Радиусы-векторы, проведенные из фокусов к любой точке эллипса, образуют равные углы с касательной в этой точке по одну сторону от нее. — Нормаль делит пополам угол, образуемый радиусами-векторами друг с другом. — Это свойство может служить для проведения касательной к эллипсу через точку на кривой или через точку, лежащую вне ее.
Диаметры эллипса представляют собой прямые линии, проходящие через центр кривой. — Хорды, которые диаметр делит пополам, параллельны касательной, проведенной через конец этого диаметра. — Дополнительные хорды. С их помощью можно провести касательную к эллипсу через заданную точку на этой кривой или параллельно заданной прямой линии.
Сопряженные диаметры. — Два сопряженных диаметра всегда параллельны дополнительным хордам, и наоборот. — Предел угла двух сопряженных диаметров. — Эллипс всегда содержит два равных сопряженных диаметра. — Сумма квадратов двух сопряженных диаметров постоянна. — Площадь параллелограмма, построенного на двух сопряженных диаметрах, постоянна. — Построить эллипс, зная два сопряженных диаметра и угол между ними.
Выражение площади эллипса в функции его осей.
О гиперболе.
Центр и осях. — Отношение квадратов ординат, перпендикулярных к поперечным осям.
О фокусах и директрисах; о касательной и нормали; о диаметрах и дополнительных хордах. — Свойства этих точек и этих линий, аналогичные тем, которыми они обладают в эллипсе.
Асимптоты гиперболы. — Асимптоты совпадают с диагоналями параллелограмма, образованного на любых двух сопряженных диаметрах. — Части секущей, заключенные между гиперболой и ее асимптотами, равны. — Применение к касательной и ее построению.
Прямоугольник из частей секущей, заключенных между точкой кривой и асимптотами, равен квадрату половины диаметра, которому параллельна секущая.
Вид уравнения гиперболы, отнесенной к ее асимптотам.
О параболе.
Ось параболы. — Отношение квадратов ординат, перпендикулярных к оси.
Фокус и директриса параболы. — Каждая точка кривой находится на одинаковом расстоянии от фокуса и от директрисы. — Построение параболы.
Параболу можно рассматривать как эллипс, в котором большая ось бесконечно увеличивается, в то время как расстояние от одного фокуса до примыкающей вершины остается постоянным.
Уравнения касательной и нормали. — Подкасательная и поднормаль. Они дают средства для проведения касательной в любой точке кривой.
Касательная образует равные углы с осью и с радиусом-вектором, проведенным к точке касания. — Провести с помощью этого свойства касательную к параболе: 1° через точку на кривой; 2° через внешнюю точку.
Все диаметры параболы представляют собой прямые линии, параллельные оси, и наоборот. — Хорды, которые диаметр делит пополам, параллельны касательной, проведенной на конце этого диаметра.
Выражение площади параболического сегмента.
Полярные координаты. — Переход от системы прямолинейных и прямоугольных координат к системе полярных координат и наоборот.
Полярные уравнения трех кривых второго порядка, причем полюс расположен в фокусе, а углы отсчитываются от оси, проходящей через этот фокус.
Краткое обсуждение некоторых трансцендентных кривых. — Определение касательной в одной из их точек.
Построение действительных корней уравнений любого вида с одним неизвестным. — Исследование пересечений двух кривых второго порядка. — Численные приложения этих формул.
2. ГЕОМЕТРИЯ ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЙ.
Сумма проекций нескольких последовательных прямых линий на ось равна проекции результирующей линии. — Сумма проекций прямой линии на три прямоугольные оси равна квадрату прямой линии. — Сумма квадратов косинусов углов, которые прямая линия образует с тремя прямоугольными прямыми линиями, равна единице.
Проекция плоской площади на плоскость равна произведению этой площади на косинус угла между двумя плоскостями.
Представление точки ее координатами. — Уравнения линий и поверхностей.
Преобразование прямолинейных координат.
О прямой линии и плоскости.
Уравнения прямой линии. — Уравнение плоскости.
Найти уравнения прямой линии, 1° которая проходит через две заданные точки, 2° которая проходит через заданную точку и параллельна заданной линии.
Определить точку пересечения двух прямых линий, уравнения которых известны.
Провести плоскость: 1° через три заданные точки; 2° через заданную точку параллельно заданной плоскости; 3° через точку и через заданную прямую линию.
Зная уравнения двух плоскостей, найти проекции линии их пересечения.
Найти пересечение прямой линии и плоскости, если их уравнения известны.
Зная координаты двух точек, найти расстояние между ними.
Из заданной точки опустить перпендикуляр на плоскость; найти основание и длину этого перпендикуляра (прямоугольные координаты).
Через заданную точку провести плоскость, перпендикулярную к заданной прямой линии (прямоугольные координаты).
Через заданную точку провести перпендикуляр к заданной прямой линии; определить основание и длину этого перпендикуляра (прямоугольные координаты).
Зная уравнения прямой линии, определить углы, которые эта линия образует с осями координат (прямоугольные координаты).
Найти угол между двумя прямыми линиями, уравнения которых известны (прямоугольные координаты).
Зная уравнение плоскости, найти углы, которые она образует с координатным плоскостями (прямоугольные координаты).
Определить угол между двумя плоскостями (прямоугольные координаты).
Найти угол между прямой линией и плоскостью (прямоугольные координаты).
Поверхности второго порядка.
Они делятся на два класса: один класс имеет центр, другой не имеет никакого. Координаты центра.
О диаметральных плоскостях.
Упрощение общего уравнения второй степени путем преобразования координат.
Простейшие уравнения эллипсоида, однополостного и двуполостного гиперболоидов, эллиптического и гиперболического параболоидов, конусов и цилиндров второго порядка.
Характер плоских сечений поверхностей второго порядка. — Плоские сечения конуса и прямого цилиндра с круговым основанием. — Антипараллельные сечения косого конуса с круговым основанием.
Конус, асимптотический к гиперболоиду.
Прямолинейные сечения однополостного гиперболоида. — Через каждую точку однополостного гиперболоида можно провести две прямые линии, откуда получаются две системы прямолинейных образующих гиперболоида. — Две прямые линии, взятые в одной системе, не пересекаются, а две прямые линии разных систем всегда пересекаются. — Все прямые линии, расположенные на гиперболоиде, будучи перенесенными в центр и оставаясь параллельными самим себе, совпадают с поверхностью асимптотического конуса. — Три прямые линии одной системы никогда не параллельны одной и той же плоскости. — Однополостный гиперболоид может быть образован прямой линией, которая движется вдоль трех фиксированных прямых линий, не параллельных одной и той же плоскости; и, наоборот, когда прямая линия скользит по трем фиксированным линиям, не параллельным одной и той же плоскости, она образует однополостный гиперболоид.
Прямолинейные сечения гиперболического параболоида. — Через каждую точку поверхности гиперболического параболоида можно провести две прямые линии, откуда проистекает образование параболоида двумя системами прямых линий. — Две прямые линии одной системы не пересекаются, но две прямые линии разных систем всегда пересекаются. — Все прямые линии одной системы параллельны одной и той же плоскости. — Гиперболический параболоид может быть образован движением прямой линии, которая скользит по трем фиксированным прямым линиям, параллельным одной и той же плоскости; или прямой линией, скользящей по двум фиксированным прямым линиям и остающейся при этом всегда параллельной данной плоскости. Обратно, любая поверхность, получающаяся в результате одного из этих двух способов образования, является гиперболическим параболоидом.
Общие уравнения конических поверхностей и цилиндрических поверхностей.
VI. НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Общие методы начертательной геометрии — их применение в камнерезном деле и плотничном искусстве, в линейной перспективе и при определении теней тел — составляют одну из наиболее плодотворных ветвей применения математики. Этот курс всегда преподавался в Политехнической школе с особым тщанием в соответствии с планами, начертанными прославленным Монжем, однако до сих пор никакой части этого предмета не требовалось для поступления. Поскольку на время, уделяемое ему в школе, со всех сторон жалуются как на недостаточное для его огромного объема и важных применений, общие методы начертательной геометрии отныне будут изъяты из внутреннего курса и станут обязательными для всех кандидатов при поступлении.
Что касается самой программы, то излишне что-либо говорить, ибо она была составлена Монжем, и тот объем, который он ей придал, а также созданные им методы до сих пор сохраняются. Мы лишь опускаем построение наименьшего расстояния между двумя прямыми линиями, которое представляет неприятное и бесполезное усложнение.
Кандидаты должны будут представить экзаменатору собрание своих графических построений (эпюров) по всем вопросам программы, подписанных их преподавателем. От них также требуется выполнять от руки наброски пяти своих эпюров.
ПРОГРАММА НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ.
Задачи, относящиеся к точке, прямой линии и плоскости. 7
Через точку, заданную в пространстве, провести прямую линию, параллельную заданной прямой линии, и найти длину части этой прямой линии.
Через заданную точку провести плоскость, параллельную заданной плоскости.
Построить плоскость, проходящую через три точки, заданные в пространстве.
При заданных двух плоскостях найти проекции линии их пересечения.
При заданных прямой линии и плоскости найти проекции точки, в которой прямая линия встречается с плоскостью.
Через заданную точку провести перпендикуляр к заданной плоскости и построить проекции точки встречи прямой линии и плоскости.
Через заданную точку провести прямую линию, перпендикулярную к заданной прямой линии, и построить проекции точки встречи двух прямых линий.
При заданных плоскости найти углы, которые она образует с плоскостями проекций.
При заданных двух плоскостях построить угол, который они образуют между собой.
При заданных двух пересекающихся прямых линиях построить угол, который они образуют между собой.
Построить угол, образованный прямой линией и плоскостью, заданными по своему положению в пространстве.
Задачи, относящиеся к касательным плоскостям.
Провести плоскость, касательную к цилиндрической или конической поверхности: 1° через точку, взятую на поверхности; 2° через точку, взятую вне поверхности; 3° параллельно заданной прямой линии.
Через точку, взятую на поверхности вращения, меридиан которой известен, провести плоскость, касательную к этой поверхности.
Задачи, касающиеся пересечения поверхностей.
Построить линию пересечения, образующуюся на поверхности прямого и вертикального цилиндра плоскостью, перпендикулярной одной из плоскостей проекций.—Провести касательную к линии пересечения.—Выполнить развертку цилиндрической поверхности и перенести на нее линию пересечения, а также касательную.
Построить пересечение прямого конуса плоскостью, перпендикулярной одной из плоскостей проекций. Развертка и касательная.
Построить правильное пересечение косого цилиндра.—Провести касательную к линии пересечения. Выполнить развертку цилиндрической поверхности и перенести на нее кривую, служившую ее основанием, а также ее касательные.
Построить пересечение поверхности вращения плоскостью и касательные к линии пересечения.—Решить эту задачу в случае, когда образующая линия представляет собой прямую, не пересекающую ось.
Построить пересечение двух цилиндрических поверхностей и касательные к этой кривой.
Построить пересечение двух косых конусов и касательные к этой кривой.
Построить пересечение двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются.
VII. ПРОЧИЕ ТРЕБОВАНИЯ. Шесть предыдущих разделов завершают описание общего конспекта элементарного курса математического образования, который ставила своей целью представить настоящая статья; однако следует уделить еще несколько строк простому перечислению остальных требований для поступления в школу.
Далее следует механика. Программа разделена на следующие темы: Простое движение и сложное движение; Инерция; Силы, приложенные к свободной материальной точке; Работа сил, приложенных к подвижной точке; Силы, приложенные к твердому телу; Машины.
Физика охватывает следующие разделы: Общие свойства тел; Гидростатика и гидравлика; Плотности твердых тел и жидкостей; Свойства газов; Теплота; Пар; Электричество; Магнетизм; Акустика; Свет.
Химия рассматривает кислород; водород; соединения водорода с кислородом; азот; соединения азота с кислородом; соединения азота с водородом, или аммиак; серу; хлор; фосфор; углерод.
Космография описывает звезды; Землю; Солнце; Луну; планеты; кометы; приливы и отливы.
История и география охватывают период Европы от Римской империи до воцарения Людовика XVI.
Немецкий язык должен быть известен в объеме, достаточном для перевода, небольшого разговора и письма на нем в его собственном алфавите.
Навыки рисования, помимо чертежей начертательной геометрии, должны быть приобретены в степени, достаточной для копирования академического этюда и выполнения тушевки карандашом и тушью.
Разве наши читатели не согласятся с г-ном Кориолисом в том, что «существует очень мало ученых-математиков, которые смогли бы безупречно ответить на экзамене при поступлении в Политехническую школу»?
ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ ШКОЛЫ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОЙ ШКОЛЫ
Строго говоря, не существует младших военных школ, готовящих к поступлению в Политехническую школу или в Специальную военную школу в Сен-Сире. Пополнение в эти школы набирается в основном из лицеев и других учебных заведений среднего образования, на которые они оказывают мощнейшее влияние. До 1852 года в учебных курсах лицеев не предусматривалось никаких специальных положений для математической подготовки, требуемой для поступления в Политехническую школу, а степень бакалавра естественных наук невозможно было получить без выполнения требований по латыни, риторике и логике для выпуска по гуманитарным наукам, что было необходимо для профессий юриста, врача и теолога. Вследствие этого молодые люди, готовившиеся стать кандидатами для предварительных экзаменов в Политехническую школу и Сен-Сир, покидали лицеи до окончания курса, чтобы изучать больше геометрии и меньше литературы в частных школах или с частными преподавателями.
Новое устройство, получившее вроде народного названия «бифуркация», было введено декретами от 10 апреля 1852 года и к настоящему времени вступило в силу. Условия, предъявляемые для получения степени по естественным наукам, были приведены в соответствие с требованиями военных школ; в обмен на эту уступку от кандидатов в военные школы отныне стало требоваться ее наличие. Диплом по гуманитарным наукам больше не требуется до выдачи диплома по естественным наукам. Обучение, которое в старших классах лицеев до сих пор готовило главным образом к первому, отныне идет в определенной точке (называемой точкой бифуркации) по двум разным путям, ведущим раздельно: один — к степени бакалавра искусств, другой — к степени бакалавра наук. Соответственно изменилась вся система преподавания. Юношей, желающих изучать алгебру, больше не заставляют проходить долгий курс латыни; математика возведена вровень с литературой; и таким образом, военные питомцы — юноши, желающие поступить в Политехническую школу и Сен-Сир, — могут отныне, как надеются, получить в лицеях всю ту подготовку, которую они последнее время искали в других местах.
При этой новой системе обычный путь обучения для юноши выглядит следующим образом:
Он поступает в лицей в элементарные классы или, немного позже, в грамматические классы, где изучает латынь и начинает изучать греческий язык. Примерно в четырнадцатилетнем возрасте он должен сдать экзамен для поступления в высшее отделение, и здесь, в соответствии с новыми правилами, он делает выбор в пользу математики или литературы, причем обучение отныне разделяется: один курс ведет к получению степени бакалавра наук, другой — к степени бакалавра искусств.
В любом случае ему предстоят трехлетние курсы, три класса: третий, второй и так называемая риторика. По окончании этого курса или после того, как он проучится еще год в так называемом классе логики (если пожелает), он может держать экзамен на степень бакалавра. Юноша, желающий поступить в Сен-Сир или Политехническую школу, выбирает, разумеется, математическое отделение, ведущее к нужному ему диплому бакалавра наук. Соответственно, он начинает изучение алгебры, переходит к тригонометрии, коническим сечениям и механике, а также проходит соответствующие этапы по естественной философии и т. п. Если он решит провести четвертый год в классе логики, он будет занят главным образом повторением пройденных предметов. Он может получить степень бакалавра в любое время по окончании третьего года; и если он пожелает, то, получив ее, может остаться на пятый или даже шестой год в классе специальной математики.
Если он предназначается для Сен-Сира, он вполне может уйти по окончании года обучения в риторике, получив, конечно, свою степень. Для поступления в Политехническую школу потребуется один год обучения на курсе специальной математики. Как правило, число поступающих в последнюю школу из числа тех, кто пробыл в классе специальной математики не более одного года, весьма невелико. Очень вероятно, что молодой кандидат попытает счастья в конце своего первого года в этом классе и на практике научится действовать лучше к концу второго года.
Ниже приводятся учебные дисциплины математического отделения высшего отделения, установленные указом от 30 августа 1854 года.
Третий класс (troisième), в возрасте четырнадцати лет.
Арифметика и первые понятия об алгебре. Планиметрия и ее приложения. Первые понятия о химии и физике. Общие понятия о естественной истории; принципы классификации. Линейное и художественное рисование.
Второй класс (seconde), в возрасте пятнадцати лет.
Алгебра; геометрия, фигуры в пространстве, повторение; приложения геометрии, понятия о геометрическом изображении тел с помощью проекций; прямолинейная тригонометрия; химия; физика и рисование.
Риторика, в возрасте шестнадцати лет.
Упражнения по арифметике и алгебре; геометрия; понятия о некоторых распространенных кривых линиях и общее повторение; приложения геометрии; понятия о нивелировании и его методах; повторение тригонометрии; космография; механика; завершение изучения химии и ее повторение; зоология и физиология животных; ботаника и физиология растений; геология; рисование. (Ученик теперь может быть готов к сдаче на степень и к поступлению в Сен-Сир.)