«Военные школы и курсы обучения военно-научному делу во Франции, Пруссии, Австрии, России и других странах»

Каковы бы ни были формулы, которые могут быть даны ученикам для определения отношения окружности к диаметру (рекомендуется «метод изопериметров» из-за его простоты), от них следует требовать выполнения вычисления так, чтобы получить по крайней мере два или три верных десятичных знака. Эти вычисления, выполненные с помощью логарифмов, должны быть методично оформлены и представлены на экзамене. Можно узнать, является ли кандидат действительно автором работ, потребовав объяснений по поводу некоторых этапов или заставив его пересчитать заново некоторые точки.

Формулировки, касающиеся измерения площадей, слишком часто оставляют неясность в умах учащихся, несомненно, из-за своей формы. Мы желаем сделать их более понятными, настаивая на их применении посредством большого числа примеров.

В качестве одного из применений мы требуем знания методов съемки на содержание (arpentage), несколько отличающихся от метода триангуляции, используемого при съемке планов (lever des plans). Чтобы сделать это применение более плодотворным, местность должна быть ограничена с одной стороны нерегулярной кривой. Ученики не только научатся таким образом преодолевать эту практическую трудность, но и найдут в вычислении площади посредством трапеций первое применение метода квадратур, с которым важно ознакомить их как можно раньше. Это применение составит новый лист чертежей и вычислений, подлежащий предъявлению на экзамене.

Большая часть наших замечаний по планиметрии применима и к стереометрии. Следует заботиться о том, чтобы однородность всегда оставалась очевидной и чтобы делать многочисленные применения к измерению объемов.

Теория подобных многогранников часто порождает при экзамене учащихся серьезные затруднения с их стороны. Сии затруднения относятся скорее к форме, чем к существу, и к тому способу, каким каждый отдельный ум ухватывает пространственные отношения; отношения, всегда более легкие для прочувствования, нежели для выражения. Экзаменаторы должны довольствоваться достижением результатов, сформулированных в нашей программе, кратчайшим и легчайшим путем.

Желаемая простота не может быть однако достигнута, если все не имеют общей отправной точки в определении подобных многогранников. Лучший путь — несомненно, рассматривать эту теорию с той точки зрения, в какой она применяется в искусствах, особенно в скульптуре; то есть представлять себе, что из данной системы точек M, N, P, . . . . через точку S, являющуюся полюсом подобия, проходят линии, продолженные за ее пределы до M’, N’, P’, . . . . так, что SM’, SN’, SP’, . . . . пропорциональны SM, SN, SP, . . . . . Тогда точки M’, N’, P’, . . . . образуют систему, подобную M, N, P, . . . . .

Площади и объемы цилиндра, конуса и сферы должны выводиться из площадей и объемов призмы, пирамиды и многоугольного сектора с той же простотой, которую мы потребовали для измерения поверхности круга, и по тем же причинам. Это, кроме того, единственное средство легко распространить на конусы и цилиндры с любыми основаниями, прямые или наклонные, те свойства конусов и цилиндров — прямых и с круговыми основаниями, — которые к ним применимы.

Числовые примеры вычислений этих площадей и объемов с помощью логарифмов, включая площадь сферического треугольника, составят еще один лист, предъявляемый экзаменаторам.

ПРОГРАММА ГЕОМЕТРИИ.

1. О ПЛОСКИХ ФИГУРАХ.

Измерение расстояния между двумя точками. — Даны две конечные прямые линии, найти их общую меру или по крайней мере их приближенное отношение.

Об углах. — Прямые, острые, тупые углы. — Вертикально противоположные углы равны.

О треугольниках. — Углы и стороны. — Простейшие случаи равенства. — Элементарные задачи на построение углов и треугольников.

О перпендикулярах и наклонных линиях.

Из всех линий, которые могут быть проведены из данной точки к данной прямой линии, перпендикуляр есть кратчайший, а наклонные линии тем длиннее, чем дальше они отстоят от основания перпендикуляра.

Свойства равнобедренного треугольника. — Задачи на проведение перпендикуляров. — Деление данной прямой линии на равные части.

Случаи равенства прямоугольных треугольников.

О параллельных линиях.

Свойства углов, образованных двумя параллелями и секущей. — Обратно: когда эти свойства существуют для двух прямых линий и общей секущей, две линии параллельны. 1 — Через данную точку провести прямую линию, параллельную данной прямой линии или пересекающую ее под данным углом. — Равенство углов, имеющих стороны параллельными, а растворы направленными в одну сторону.

Сумма углов треугольника.

Части параллелей, заключенные между параллелями, равны, и обратно. Три параллели всегда делят любые две прямые линии на пропорциональные части. Отношение этих частей может быть несоизмеримым. — Применение к случаю, когда в треугольнике проведена прямая линия, параллельная одной из его сторон.

Найти четвертую пропорциональную к трем данным линиям.

Прямая линия, делящая пополам один из углов треугольника, делит противоположную сторону на два сегмента, пропорциональных прилежащим сторонам.

О подобных треугольниках.

Условия подобия. — Построить на данной прямой линии треугольник, подобный данному треугольнику.

Любое число прямых линий, проходящих через одну точку и пересекаемых двумя параллелями, делится этими параллелями на пропорциональные части и также делит их на пропорциональные части. — Разделить данную прямую линию так же, как разделена другая. — Деление прямой линии на равные части.

Если из прямого угла прямоугольного треугольника опустить перпендикуляр на гипотенузу, то 1) этот перпендикуляр разделит треугольник на два других, которые будут подобны ему и, следовательно, друг другу; 2) он разделит гипотенузу на два сегмента так, что каждая сторона прямого угла будет средним пропорциональным между прилежащим сегментом и всей гипотенузой; 3) перпендикуляр будет средним пропорциональным между двумя сегментами гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике квадрат числа, выражающего длину гипотенузы, равен сумме квадратов чисел, выражающих длины двух других сторон.

Если три стороны любого треугольника выражены в числах, то при опускании из конца одной из сторон перпендикуляра на одну из других сторон квадрат первой стороны будет равен сумме квадратов двух других без удвоенного произведения стороны, на которую опущен перпендикуляр, на расстояние этого перпендикуляра от угла, противоположного первой стороне, если угол острый, и плюс удвоенное же произведение, если этот угол тупой.

О многоугольниках.

Параллелограммы. — Свойства их углов и диагоналей.

Деление многоугольников на треугольники. — Сумма их внутренних углов. — Равенство и построение многоугольников.

Подобные многоугольники. — Их разложение на подобный треугольники. — Прямые линии, сходственно расположенные в двух многоугольниках, пропорциональны гомологичным сторонам многоугольников. — Построить на данной линии многоугольник, подобный данному многоугольнику. — Периметры двух подобных многоугольников относятся друг к другу как гомологичные стороны этих многоугольников.

О прямой линии и окружности круга.

Одновременное равенство дуг и хорд в одном и том же круге. — Большая дуга имеет большую хорду, и обратно. — Даны две дуги в одном круге или в равных кругах, найти отношение их длин.

Всякая прямая линия, проведенная перпендикулярно к хорде в ее середине, проходит через центр круга и через середину дуги, стягиваемой хордой. — Деление дуги на две равные части. — Провести окружность круга через три точки, не лежащие на одной прямой линии.

Касательная в любой точке окружности перпендикулярна к радиусу, проходящему через эту точку.

Дуги, заключенные в одном круге между двумя параллельными хордами или между касательной и параллельной хордой, равны.

Измерение углов.

Если из вершин двух углов описать дуги кругов с одним и тем же радиусом, то отношение дуг, заключенных между сторонами каждого угла, будет таким же, как отношение этих углов. — Деление окружности на градусы, минуты и секунды. — Использование транспортира.

Угол имеет вершину, расположенную: 1) в центре круга; 2) на окружности этого круга; 3) внутри круга между центром и окружностью; 4) вне круга, но так, что его стороны пересекают окружность; определить отношение этого угла к прямому углу посредством рассмотрения дуги, заключенной между его сторонами.

Из данной точки вне круга провести касательную к этому кругу.

Описать на данной линии сегмент круга, способный вместить данный угол.

Производить съемку планов. (Lever des plans.)

Провешивание прямой линии на местности. — Измерение этой линии цепью.

Измерение углов графометром. — Описание его.

Вычерчивание плана на бумаге. — Масштаб уменьшения. — Использование линейки, треугольника и транспортира.

Определить расстояние недоступного объекта с помощью графометра или без него.

Три точки A, B, C расположены на гладкой поверхности и представлены на карте; найти на ней точку P, из которой расстояния AB и AC видны под заданными углами. «Задача о трех точках». «Трилинейная задача».

О касании и пересечении кругов.

Два круга, проходящие через одну и ту же точку прямой линии, соединяющей их центры, имеют общую лишь ту точку, в которой они касаются; и обратно, если два круга касаются, их центры и точка касания лежат на одной прямой линии.

Условия, которые должны существовать для того, чтобы два круга пересекались.

Свойства секущих круга.

Две секущие, исходящие из одной точки вне круга и продолженные до наиболее удаленной части окружности, взаимно пропорциональны своим внешним сегментам. — Касательная есть средняя пропорциональная между секущей и ее внешним сегментом.

Две хорды, пересекающиеся внутри круга, делят друг друга на части, взаимно пропорциональные. — Линия, перпендикулярная к диаметру и ограниченная окружностью, есть средняя пропорциональная между двумя сегментами диаметра.

Хорда, проходящая через конец диаметра, есть средняя пропорциональная между диаметром и сегментом, образованным перпендикуляром, опущенным из другого конца этой хорды. — Найти среднюю пропорциональную между двумя данными линиями.

Разделить линию в крайнем и среднем отношении. — Длина линии задана числовой величиной, вычислить числовое значение каждого из сегментов.

О многоугольниках, вписанных в круг и описанных около него.

Вписать круг в данный треугольник или описать его около него.

В любой правильный многоугольник можно вписать круг, и около него можно описать круг.

В круг вписан правильный многоугольник: 1) вписать в тот же круг многоугольник с вдвое большим числом сторон и найти длину одной из сторон второго многоугольника; 2) описать около круга правильный многоугольник с тем же числом сторон и выразить сторону описанного многоугольника через сторону соответствующего вписанного многоугольника.

To inscribe in a circle polygons of 4, 8, 16, 32, sides.

To inscribe in a circle polygons of 3, 6, 12, 24, sides.

To inscribe in a circle polygons of 5, 10, 20, 40, sides.

To inscribe in a circle polygons of 15, 30, 60, sides.

Правильные многоугольники с одинаковым числом сторон подобны, и их периметры относятся друг к другу как радиусы кругов, в которые они вписаны или около которых описаны. — Окружности кругов относятся друг к другу как их радиусы.

Найти приближенное отношение окружности к диаметру.

Об площади многоугольников и площади круга.

Два параллелограмма с одинаковым основанием и одинаковой высотой равновелики. — Два треугольника с одинаковым основанием и высотой равновелики.

Площадь прямоугольника и площадь параллелограмма равны произведению основания на высоту. — Что следует понимать под этой формулировкой. — Площадь треугольника измеряется половиной произведения основания на высоту.

Преобразовать любой многоугольник в равновеликий квадрат. — Измерение площади многоугольника. — Измерение площади трапеции.

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на двух других сторонах. — Квадраты, построенные на двух сторонах прямого угла прямоугольного треугольника и на гипотенузе, относятся друг к другу как прилежащие сегменты и вся гипотенуза.

Площади подобных многоугольников относятся друг к другу как квадраты гомологичных сторон многоугольников.

Понятия о съемке на содержание (arpentage). — Метод разложения на треугольники. — Более простой метод разложения на трапеции. — Экер землемера. — Практическое решение, когда местность ограничена в одной или нескольких частях кривой линией.

Площадь правильного многоугольника измеряется половиной произведения его периметра на радиус вписанной окружности. — Площадь круга измеряется половиной произведения окружности на радиус. — Площади кругов относятся друг к другу как квадраты радиусов.

Площадь сектора круга измеряется половиной произведения дуги на радиус. — Измерение площади сегмента круга.

2. О ПЛОСКОСТЯХ И ТЕЛАХ, ОГРАНИЧЕННЫХ ПЛОСКИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ.

Условия, необходимые для того, чтобы прямая линия и плоскость были соответственно перпендикулярны.

Из всех линий, которые могут быть проведены из данной точки к данной плоскости, перпендикуляр есть кратчайший, а наклонные линии тем длиннее, чем дальше они отстоят от основания перпендикуляра.

Параллельные прямые линии и плоскости. — Углы, имеющие стороны параллельными, а растворы направленными в одну сторону, равны, хотя и расположены в разных плоскостях.

Двугранный угол. — Как измерить отношение любого двугранного угла к прямому двугранному углу.

Плоскости, перпендикулярные друг к другу. — Линия пересечения двух плоскостей, перпендикулярных к третьей плоскости, перпендикулярна к этой третьей плоскости.

Параллельные плоскости. — Когда две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, линии пересечения параллельны. — Две параллельные плоскости имеют общие перпендикуляры.

Кратчайшее расстояние между двумя прямыми линиями, не пересекающимися и не параллельными.

Две прямые линии, заключенные между двумя параллельными плоскостями, всегда делятся на пропорциональные части третьей плоскостью, параллельной первым двум.

Трехгранный угол. — Сумма любых двух плоских углов, составляющих трехгранный угол, всегда больше третьего.

Сумма плоских углов, образующих выпуклый многогранный угол, всегда меньше четырех прямых углов.

Если два трехгранных угла образованы одними и теми же плоскими углами, то двугранные углы, заключенные между равными плоскими углами, равны. — Между двумя трехгранными углами может существовать абсолютное равенство или простое сходство (симметрия).

О многогранниках.

Если два тетраэдра имеют каждый трехгранный угол, составленный из равных и сходственно расположенных треугольников, эти тетраэдры равны. Они также равны, если две грани одного равны двум граням другого, расположены одинаково и образуют друг с другом один и тот же двугранный угол.

Когда треугольники, образующие два гомологичных трехгранных угла двух тетраэдров, подобны каждый каждому и сходственно расположены, эти тетраэдры подобны. Они также подобны, если две грани одного, образующие друг с другом тот же угол, что и две грани другого, также подобны последним и соединены гомологичными сторонами и вершинами.

Подобные пирамиды. — Плоскость, параллельная основанию пирамиды, отсекает от нее пирамиду, подобную ей. — Найти высоту пирамиды, когда нам известны размеры ее усеченной части с параллельными основаниями.

Сечения, сделанные в любых двух пирамидах на одинаковом расстоянии от их вершин, находятся в постоянном отношении.

Параллелепипед. — Его диагонали.

Любой многогранник всегда может быть разбит на треугольные пирамиды. — Два тела, составленные из одинакового числа равных и сходственно расположенных треугольных пирамид, равны.

Подобные многогранники.

Гомологичные ребра подобных многогранников пропорциональны, как и диагонали гомологичных граней и внутренние диагонали многогранников. — Площади подобных многогранников относятся как квадраты гомологичных ребер.

Измерение объемов.

Два параллелепипеда с одинаковым основанием и одинаковой высотой равновелики по объему.

Если на основании треугольной призмы построить параллелограмм и на этом параллелограмме, взятом за основание, построить параллелепипед той же высоты, что и треугольная призма, то объем этой призмы будет равен половине объема параллелепипеда. — Две треугольные призмы с одинаковым основанием и одинаковой высотой равновелики.

Два тетраэдра с одинаковым основанием и одинаковой высотой равновелики.

Тетраэдр равновелик одной трети треугольной призмы с тем же основанием и той же высотой.

Объем любого параллелепипеда равен произведению его основания на высоту. — Что следует понимать под этой формулировкой. — Объем любой призмы равен произведению ее основания на высоту.

Объем тетраэдра и объем любой пирамиды измеряются третью произведения основания на высоту.

Объем усеченной наклонной треугольной призмы.

Объемы двух подобных многогранников относятся друг к другу как кубы гомологичных ребер.

3. О КРУГЛЫХ ТЕЛАХ.

О прямом конусе с круговым основанием.

Сечения, параллельные основанию. — Имея размеры усеченного конуса с параллельными основаниями, найти высоту всего конуса.

Площадь прямого конуса измеряется половиной произведения окружности его кругового основания на его образующую. — Площадь усеченной части прямого конуса с параллельными основаниями.

Объем пирамиды, вписанной в конус. — Объем конуса измеряется третью произведения площади его основания на его высоту.

Какие из предшествующих свойств принадлежат конусу с любым основанием?

О прямом цилиндре с круговым основанием.

Сечения, параллельные основанию.

Площадь боковой поверхности прямого цилиндра измеряется произведением окружности его основания на его высоту. — Это же справедливо и для прямого цилиндра с любым основанием.

Измерение объема призмы, вписанной в цилиндр. — Объем прямого цилиндра измеряется произведением площади его основания на его высоту. — Это же справедливо для любого цилиндра, прямого или наклонного, с любым основанием.

О сфере.

Каждое сечение сферы, сделанное плоскостью, есть круг. — Большие и малые круги.

В любом сферическом треугольнике любая сторона меньше суммы двух других. Кратчайший путь из одной точки в другую на поверхности сферы есть дуга большого круга, соединяющая две данные точки.

Сумма сторон сферического треугольника или любого сферического многоугольника меньше окружности большого круга.

Полюсы дуги большого или малого круга. — Они служат для проведения дуг кругов на сфере.

Всякая плоскость, перпендикулярная концу радиуса, касается сферы.

Измерение угла двух дуг больших кругов.

Свойства полярного или дополнительного треугольника.

Два сферических треугольника, расположенных на одной сфере или на равных сферах, равны во всех своих частях: 1) когда они имеют равный угол, заключенный между соответственно равными сторонами; 2) когда они имеют равную сторону, прилежащую к двум соответственно равным углам; 3) когда они взаимно равносторонние; 4) когда они взаимно равноугольные. В этих различных случаях треугольники могут быть равными или просто симметричными.

Сумма углов любого сферического треугольника меньше шести и больше двух прямых углов.

Двуугольник относится к поверхности сферы так, как угол этого двуугольника относится к четырем прямым углам.

Два симметричных сферических треугольника равновелики по поверхности.

Площадь сферического треугольника относится к площади всей сферы так, как избыток суммы его углов над двумя прямыми углами относится к восьми прямым углам.

Когда часть правильного многоугольника, вписанного в порождающий круг сферы, вращается вокруг диаметра этого круга, образованная выпуклая площадь измеряется произведением ее высоты на окружность круга, вписанного в порождающий многоугольник. — Объем соответствующего многоугольного сектора измеряется описываемой таким образом площадью, умноженной на треть радиуса вписанной окружности.

Поверхность сферического пояса равна высоте этого пояса, умноженной на окружность большого круга. — Поверхность сферы вчетверо больше поверхности большого круга.

Каждый сферический сектор измеряется поясом, образующим его основание, умноженным на треть радиуса. Вся сфера измеряется ее поверхностью, умноженной на треть ее радиуса.

III. АЛГЕБРА. Алгебра не является, в отличие от арифметики и геометрии, незаменимой для каждого. Ее следует очень сдержанно вводить в общее образование юношества, и мы охотно обошлись бы в нем совсем без нее — за исключением логарифмов, — если бы это пошло на пользу изучению арифметики и геометрии. Приводимая нами программа рассматривает алгебру исключительно с точки зрения ее полезности для инженеров, и мы тщательно устраним все то, что для них не является необходимым.

Алгебраические вычисления не представляют серьезной трудности, когда учащиеся хорошо усваивают ту мысль, что каждая буква представляет собой число; и в особенности тогда, когда рассмотрение отрицательных величин не вносится в самом начале и абсолютным образом. Сии величины и их свойства не должны вводиться иначе, как по мере того, как решение вопросов посредством уравнений заставляет почувствовать их необходимость — либо для обобщения правил вычисления, либо для расширения смысла формул, к которым оно приводит. Клеро следует этому курсу. Он говорит: «Я рассматриваю умножение отрицательных величин — эту опасную мель как для учеников, так и для преподавателей — лишь после того, как показал его необходимость учащемуся, дав ему задачу, в которой ему приходится рассматривать отрицательные величины независимо от каких-либо положительных величин, из которых они вычитаются. Когда я дохожу в задаче до того места, где мне нужно умножить или разделить отрицательные величины друг на друга, я избираю путь, который несомненно был избран первыми аналитиками, имевшим эти операции к исполнению и желавшими следовать совершенно верным путем: я ищу решение задачи, которое не вовлекает эти операции; я прихожу таким образом к результату посредством рассуждений, не допускающих сомнения, и я вижу таким образом, чем должны быть те произведения или частные отрицательных величин, которые дали мне первое решение». Безу действует тем же путем.

Мы рекомендуем преподавателям следовать этим примерам: не говорить своим ученикам об отрицательных величинах до тех пор, пока не возникнет в них необходимость, и когда они ознакомятся с алгебраическими вычислениями; и прежде всего не терять драгоценное время на темные дискуссии и доказательства, которым лучшая теория никогда не научит студентов столь хорошо, сколь многочисленные применения.

Обыкновенно в алгебре возобновляют исчисление дробей, дабы обобщить пояснения, данные в арифметике, поскольку члены буквенных дробей могут быть любыми величинами. Строго говоря, это может быть хорошо, но для экономии времени мы опускаем это, находя лучшим использовать это время на продвижение вперед и упражнение ума на новых истинах, нежели на возвращение к уже данным правилам ради того, чтобы запечатлеть в них новую степень строговости или придать им расширение, в котором никто не сомневается.

Изучение числовых уравнений первой степени с одним или несколькими неизвестными должно проводиться с величайшей тщательностью. Мы потребовали, чтобы решение этих уравнений производилось методом подстановки. Мы сделали это не только потому, что этот метод действительно включает в себя остальные, в особенности метод сравнения, но по следующей дальнейшей причине. В трактатах по алгебре рассматриваются лишь те уравнения, числовые коэффициенты и решения которых суть весьма простые числа. Тогда совершенно безразлично, какой метод используется и в каком порядке исключаются неизвестные. Но совершенно иначе обстоит дело на практике, где коэффициенты представляют собой сложные числа с десятичными частями, и где числовые значения этих коэффициентов могут быть весьма различными в одном и том же уравнении: одни очень велики, а другие очень малы. В таких случаях метод подстановки может с выгодой применяться один лишь раз, и притом с предосторожностью брать значение исключаемого неизвестного из того уравнения, в котором оно имеет относительно наибольший коэффициент. Метод же сравнения есть лишь метод подстановки, поставленный в форму, при которой эти предосторожности соблюдены быть не могут, так что на практике он даст дурные результаты при большом труде.

Кандидаты должны представить экзаменаторам полные вычисления по разрешению четырех уравнений с четырьмя неизвестными, выполненные со всей точностью, какую допускают логарифмические таблицы Калле, и доказательство того, что эта точность была достигнута. Коэффициенты должны содержать десятичные знаки и быть сильно отличными друг от друга, а исключение должно быть осуществлено с вышеупомянутыми предосторожностями.

Преподавание нынешнего дня слишком пренебрегает применимостью даваемых методов, лишь бы они были элегантны по своей форме; так что от них приходится отказываться и менять их, когда ученики вступают на путь практики. Это пренебрежение практической полезностью не разделялось нашими великими математиками, которые непрестанно обращали свое внимание на применения. Так, прославленный Лагранж делал предложения, подобные только что приведенным; а Лаплас рекомендовал построение кривых для прямого решения всех видов числовых уравнений.

Что касается буквенных уравнений первой степени, мы требуем формул, достаточных для разрешения уравнений с двумя или тремя неизвестными. Метод исключения Безу должен быть дан в качестве первого применения этого плодотворного метода неопределенных. Общее обсуждение формул будет ограничено случаем двух неизвестных. Обсуждение трех уравнений с тремя неизвестными x, y и z, в которых члены, независимые от неизвестных, равны нулю, будет производиться напрямую из того простого соображения, что система в таком случае действительно включает в себя лишь два неизвестных, а именно — отношения x и y, например, к z.

Разрешение неравенств первой степени с одним или несколькими неизвестными было добавлено к уравнениям первой степени несколько лет назад. Мы не сохраняем это добавление.

Уравнения второй степени, подобно уравнениям первой, должны излагаться с величайшей тщательностью. При остановке на случае, когда коэффициент x² стремится к нулю, будет отмечено, что при весьма малом коэффициенте обычная формула дала бы один из корней через разность двух почти равных чисел; так что достаточная точность не могла бы быть получена без большого труда. Следует показать, как можно избежать этого неудобства.

Обычно встречаются выражения, максимум или минимум которых может быть определен посредством рассмотрения уравнения второй степени. Мы сохраняем их изучение, особенно в пользу тех, у кого не будет возможности продвинуться к общей теории максимумов и минимумов.

Теория алгебраического вычисления мнимых величин, даваемая априори, может, напротив, быть отставлена в сторону без неудобств. Достаточно, чтобы ученики знали, что различные степени √-1 постоянно воспроизводят по очереди одно из этих четырех значений: ±1, ±-√-1. То же самое мы скажем о вычислении алгебраических значений радикалов, которое не имеет пользы. Будет востребовано вычисление лишь их арифметических значений. В этой связи будут преподаваться нотация дробных показателей и нотация отрицательных показателей.

Теория чисел постепенно приобрела непропорциональное развитие на вступительных экзаменах; она не имеет пользы на практике и, кроме того, представляет собой в чистой математике отдельную науку.

Теория цепных дробей сперва кажется более полезной. Она применяется при разрешении алгебраических уравнений и в показательном уравнении a^x = b. Но эти методы совершенно непригодны для практики, и поэтому мы опускаем эту теорию.

Теория рядов, напротив, требует некоторых дальнейших разработок. Ряды постоянно встречаются на практике; они дают наилучшие решения многих вопросов, и необходимо знать, в каких обстоятельствах они могут безопасно применяться.

Мы столь часто настаивали на необходимости учить студентов вычислять, что это оправдывает объем той части программы, которая касается логарифмов. Мы опустили неприменимый метод определения логарифмов посредством цепных дробей и заменили его использованием ряда, который дает логарифм n + 1, зя логарифм n. Чтобы упражнять учеников в вычислении рядов, их следует заставить определить логарифмы чисел от 1 до 10, от 101 до 110 и от 10 000 до 10 010, причем целью последних является показать им, с какими темпами идет вычисление, когда числа велики; тогда первого члена ряда оказывается достаточно, поскольку вариации логарифмов заметно пропорциональны вариациям чисел в пределах необходимой точности. В логарифмических вычислениях ученики будут упражняться в суждении о точности, которую они могли получить; рассмотрение числовых значений пропорциональных частей, приведенных в таблицах, вполне достаточно для этой цели и кроме того является единственным, которое может применяться на практике.

Использование счетной линейки, которая является лишь применением логарифмов, дает быстрое и портативное средство приблизительного выполнения большого числа вычислений, не требующих высокой точности. Мы желаем, чтобы кандидаты были ознакомлены с использованием этого небольшого инструмента. Этого просят все преподаватели «Школы применения», в особенности преподаватели топографии, артиллерии, фортификации и прикладной механики, которые на собственном опыте убедились в полезности этого инструмента, имеющего величайшую возможную аналогию с таблицами логарифмов.

Прежде чем переходить к предметам высшей алгебры, следует помнить, что сокращения курса, которые мы сочли столь насущными, будут произведены главным образом на ней. Общая теория уравнений приобрела на экзаменах ненормальное и неуместное развитие, не стоящее того времени, которого она стоит студентам. Можем добавить, что очень редко встречается числовое уравнение высокой степени, требующее разрешения, и что те, кому приходится это делать, остерегаются искать его корни методами, которым их научили. Сии методы к тому же неприменимы к трансцендентным уравнениям, которые встречаются на практике гораздо чаще.

Теория наибольшего общего алгебраического делителя во всей ее общности не представляет никакой пользы даже в чистой науке, за исключением исключения между уравнениями какой бы то ни было степени. Но поскольку последний предмет опущен, от наибольшего общего делителя также отказываются.

В общей теории алгебраических уравнений принято рассматривать производные многочлены целых функций от x. Эти многочлены действительно полезны при различных обстоятельствах и в особенности в теории равных корней; а в аналитической геометрии они служат для исследования кривых и определения их касательных. Но поскольку на практике очень часто встречаются трансцендентные кривые, мы приводим в нашей программе вычисление производных от алгебраических и дробных функций, а также трансцендентных функций: логарифмических, показательных и круговых. Этого давно требовали не только потому, что это должно оказать большую помощь в преподавании аналитической геометрии, но и потому, что это облегчит элементарное изучение исчисления бесконечно малых.

Мы не сократили никаких общих идей о сложении целого многочлена посредством корней, соответствующих его корням. Мы сохраняем несколько теорем скорее потому, что они содержат в себе зачатки полезных идей, чем из-за их практической полезности, и поэтому желаем, чтобы экзаменаторы строго ограничивались программой.

Существенным моментом на практике является способность уметь удобно определять несоизмеримый корень алгебраического или трансцендентного уравнения при его встрече. Рассмотрим сначала алгебраическое уравнение.

Все методы, имеющие своей целью отделение корней или приближение к ним, начинаются с подстановки ряда последовательных целых чисел в первое член уравнения. Прямая подстановка становится чрезвычайно сложной, когда подставляемые числа возрастают. Однако ее можно значительно сократить, выводя результаты один из другого с помощью их разностей и избегая любой возможности ошибки путем проверки некоторых из этих результатов, соответствующих числам, которые легче всего подставить, таким как ±10, ±20. Учитель не должен упускать из виду объяснение этого своим ученикам.

Более того: предположим, что нам нужно решить уравнение третьей степени и что мы признали в результате предшествующих вычислений необходимость подстановки между числами 2 и 3 чисел, различающихся на одну десятую, либо с целью продолжить отделение корней, либо для того, чтобы ближе приблизиться к корню, заключенному между 2 и 3. Если бы мы знали для результата, соответствующего подстановке 2, первую, вторую и третью разности результатов новых подстановок, мы могли бы отсюда вывести сами эти результаты с такой же простотой, как и в случае целых чисел. Новая третья разность, например, будет просто тысячной долей старой третьей разности. Мы можем также заметить, что никакой возможности ошибки не существует, так как, поскольку числа выводятся одно из другого, когда мы таким образом приходим к результату подстановки 3, который уже был вычислен, вся работа тем самым будет проверена.

Предположим снова, что мы таким образом признали, что уравнение имеет корень, заключенный между 2,3 и 2,4; мы приблизимся еще ближе, подставляя промежуточные числа, различающиеся на 0,01, и применяя только что предписанный ход. Как только вторые разности можно будет пренебречь, вычисление сразу завершится рассмотрением уравнения второй степени; или, если предпочтительнее продолжать приближения до тех пор, пока вторыми разностями в свою очередь можно пренебречь, вычисление тогда завершится простой пропорцией.

Когда в трансцендентном уравнении f(X) = 0 мы подставили в f(X) равноотстоящие числа, достаточно близкие друг к другу, чтобы разностями результатов можно было пренебречь, начиная с некоторого порядка, например четвертого, мы можем в определенных пределах x заменить трансцендентную функцию алгебраической и целой функцией от x и тем самым свести поиск корней уравнения f(X) = 0 к предыдущей теории.

Независимо от того, является ли предложенное уравнение алгебраическим или трансцендентным, мы можем таким образом, получив один его корень с подходящей степенью точности, продолжить приближение методом Ньютона.

ПРОГРАММА АЛГЕБРЫ.

Алгебраические вычисления.

Сложение и вычитание многочленов. — Приведение подобных членов.

Умножение одночленов. — Использование показателей степеней. — Умножение многочленов. Правило знаков. — Расположение многочлена по степеням. — Однородные многочлены.

Деление одночленов. Нулевой показатель степени. — Деление многочленов. Как узнать, не прекратится ли операция. — Деление многочленов, когда делимое содержит букву, которой нет в делителе.

Уравнения первой степени.

Решение численных уравнений первой степени с одним или несколькими неизвестными количествами методом подстановки. — Проверка значений неизвестных количеств и степени их точности.

О случаях невозможности или неопределенности.

Интерпретация отрицательных значений. — Использование и вычисление отрицательных величин.

Исследование общих формул для получения значений неизвестных количеств в системе уравнений первой степени с двумя или тремя неизвестными. — Метод Безу. — Полное обсуждение этих формул для случая двух неизвестных. — Символы m/o и o/o.

Обсуждение трех уравнений с тремя неизвестными, в которых члены, не зависящие от неизвестных, равны нулю.

Уравнения второй степени с одним неизвестным.

Исчисление радикалов второй степени.

Решение уравнения второй степени с одним неизвестным. — Двойное решение. — Мнимые значения.

Когда в уравнении ax^2 + bx + c = 0 величина a стремится к 0, один из корней неопределенно возрастает. — Численное вычисление двух корней, когда a очень мало.

Разложение трехчлена x^2 + px + q на множители первой степени. — Соотношения между коэффициентами и корнями уравнения x^2 + px + q = 0.

Трехчленные уравнения, сводимые ко второй степени.

О максимумах и минимумах, которые могут быть определены с помощью уравнений второй степени.

Вычисление арифметических значений радикалов.

Дробные показатели. — Отрицательные показатели.

О рядах.

Геометрические прогрессии. — Суммирование членов.

То, что мы называем рядом. — Сходимость и расходимость.

Геометрическая прогрессия является сходящейся, когда знаменатель меньше единицы; расходящейся — когда больше.

Члены ряда могут убывать до бесконечности, а сам ряд при этом может не быть сходящимся.

Ряд, все члены которого положительны, является сходящимся, когда отношение одного члена к предыдущему стремится к пределу, меньшему единицы, по мере того как индекс порядкового номера этого члена неопределенно возрастает. — Ряд является расходящимся, когда этот предел больше единицы. Имеется неопределенность, когда он равен единице.

В общем случае, когда члены ряда убывают до бесконечности и попеременно являются положительными и отрицательными, ряд сходится.

Сочетания, размещения и перестановки m букв, когда каждая комбинация не должна содержать одну и ту же букву дважды.

Разложение целых и положительных степеней бинома. — Общие члены.

Разложение (a + b \sqrt{-1})^m.

Предел, к которому стремится (1 + 1/m)^m, когда m неопределенно возрастает.

Суммирование штабелей ядер (шаров).

О логарифмах и их применении.

Все числа могут быть получены путем образования всех степеней любого положительного числа, большего или меньшего единицы.

Общие свойства логарифмов.

Когда числа находятся в геометрической прогрессии, их логарифмы находятся в арифметической прогрессии.

Как перейти от одной системы логарифмов к другой системе.

Вычисление логарифмов с помощью ряда, дающего логарифм n + 1 при известном логарифме n. — Вычисление неперовых логарифмов. — Как вывести из них логарифмы Бригга. Модуль.

Использование логарифмов, основанием которых является 10. — Характеристики. — Отрицательные характеристики. Логарифмы, полностью отрицательные, в вычислениях не используются.

Как при заданном числе найти его логарифм в таблицах Калле. Как при заданном логарифме найти число, которому он принадлежит. — Использование пропорциональных частей. — Их применение для оценки точности, за которую мы можем ручаться.

Использование логарифмической линейки.

Решение показательных уравнений с помощью логарифмов.

Сложные проценты. Аннуитеты.

Производные функции.

Разложение целой функции F(x + h) бинома (x + h). — Производная целой функции. — Возвращение от производной к функции.

Производная функции от x представляет собой предел, к которому стремится отношение приращения функции к приращению h переменной по мере того, как h стремится к нулю.

Производные тригонометрических функций.

Производные показательных и логарифмических функций.

Правила для нахождения производной суммы, произведения, степени, частного функций от x, производные которых известны.

О численном решении уравнений.

Изменения, претерпеваемые целой функцией f(x), когда x изменяется непрерывным образом. — Когда два числа a и b, подставленные в целую функцию f(x), дают результаты с противоположными знаками, уравнение f(x) = 0 имеет по меньшей мере один действительный корень, заключенный между a и b. Это свойство сохраняется для любого вида функции, которая остается непрерывной для всех значений x, заключенных между a и b.

Алгебраическое уравнение нечетной степени имеет по меньшей мере один действительный корень. — Алгебраическое уравнение четной степени, последний член которого отрицателен, имеет по меньшей мере два действительных корня.

Каждое уравнение f(x) = 0 с действительными или мнимыми коэффициентами вида a + b \sqrt{-1} допускает действительный или мнимый корень того же вида. [Требуется только формулировка, а не доказательство этой теоремы.]

Если a является корнем алгебраического уравнения, то первый член делится на x - a. Алгебраическое уравнение m-й степени всегда имеет m корней, действительных или мнимых, и оно не может допускать большего их числа. — Разложение первых членов на множители первой степени. Соотношения между коэффициентами алгебраического уравнения и его корнями.

Когда алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами допускает мнимый корень вида a + b \sqrt{-1}, оно также имеет в качестве корня сопряженное выражение a - b \sqrt{-1}.

В алгебраическом выражении, полном или неполном, количество положительных корней не может превосходить количество перемен знаков; следствие для отрицательных корней.

Исследование произведения множителей первой степени, общих для двух целых функций от x. — Определение корней, общих для двух уравнений, первые члены которых являются целыми функциями неизвестного количества.

По какому признаку распознавать, что алгебраическое уравнение имеет равные корни. — Каким образом мы затем сводим его решение к решению нескольких других уравнений более низкой степени и с неравными корнями.

Исследование соизмеримых корней алгебраического уравнения с целыми коэффициентами.

Когда ряд равноотстоящих чисел подставляется в целую функцию m-й степени и образуются разности различных порядков между результатами, разности m-го порядка оказываются постоянными.

Применение к отделению корней уравнения третьей степени. — Имея результаты подстановки -1, 0 и +1, вывести из них с помощью разностей результаты для всех других целых чисел, положительных или отрицательных. — Ход вычислений сам по себе приводит к пределам корней. — Графическое представление этого метода.

Подстановка чисел, равноотстоящих на одну десятую между двумя последовательными целыми числами, когда осмотр первых результатов показал такую необходимость. — Эта подстановка выполняется напрямую или с помощью новых разностей, выведенных из предыдущих.

Как определить при продолжении приближения к корню тот момент, когда рассмотрения первой разности достаточно для получения этого корня со всей желаемой точностью с помощью простой пропорции.

Предыдущий метод становится применимым к исследованию корней трансцендентного уравнения X = 0, когда в первый член были подставлены равноотстоящие и достаточно близкие числа, чтобы разности результатов можно было считать постоянными, начиная с определенного порядка. — Формулы интерполяции.

Получив корень алгебраического или трансцендентного уравнения с определенной степенью приближения, приближаться еще дальше методом Ньютона.

Решение двух численных уравнений второй степени с двумя неизвестными.

Разложение рациональных дробей на простые дроби.

IV. ТРИГОНОМЕТРИЯ. При объяснении использования тригонометрических таблиц ученик должен уметь назвать степень точности, с которой можно определить угол по логарифмам любой из его тригонометрических линий. Для этого будет достаточно рассмотрения пропорциональных частей. Из этого будет видно, что если синус отлично определяет малый угол, то степень точности, которую можно ожидать от использования этой линии, уменьшается по мере увеличения угла и становится совершенно недостаточной в окрестности 90 градусов. Для косинуса дело обстоит наоборот: он может очень хорошо служить для представления угла, близкого к 90 градусам, тогда как для малых углов он был бы весьма неточным. Мы видим, следовательно, что в наших приложениях мы должны с подозрением относиться к тем формулам, которые дают угол через его синус или косинус. Поскольку тангенс единственный свободен от этих затруднений, мы должны стремиться по возможности разрешать все вопросы с его помощью. Так, предположим, что нам известны гипотенуза и одна из сторон прямоугольного треугольника; прямое определение прилежащего угла будет даваться через косинус, в котором будет отсутствовать точность, если гипотенуза треугольника мало отличается от заданной стороны. В таком случае нам следует начать с вычисления третьей стороны, а затем использовать ее вместе с первой стороной для определения искомого угла с помощью его тангенса. Когда даны две стороны треугольника и угол между ними, можно с выгодой вычислить тангенс полуразности искомых углов; но мы также можем отдельно определить тангенс каждого из них. Когда даны три стороны треугольника, наилучшей формулой для вычисления угла и единственной, которая никогда не подводит, является та, которая дает тангенс его половины.

Топографическая съемка для составления планов, преподаваемая в курсе геометрии и использующая только графические методы вычислений, не нуждалась в более точных инструментах, чем цепь и графтер; но теперь, когда тригонометрия предоставляет более точные методы вычислений, измерения на местности требуют большей точности. Отсюда возникает требование к ученику тщательно измерять базис, использовать зрительные трубы, нониусы и т. д. и производить необходимые вычисления, причем местность по-прежнему рассматривается как плоская. Но поскольку эти медленные и трудоемкие методы могут применяться только для главных точек съемки, для деталей будут использоваться более быстрые средства мензулы и компаса.

В сферической тригонометрии все, что потребуется в геодезии, должно быть изучено до поступления в школу, так что к этому предмету не нужно будет возвращаться снова. Мы специально внесли в программу соотношения между углами и сторонами прямоугольного треугольника, которые должны быть известны студентам; это те соотношения, которые встречаются на практике. Излагая курс, которого следует придерживаться при решении трех случаев любых треугольников, мы указали тот, который фактически используется в приложениях и является наиболее удобным. Что касается остального, то двусмысленные случаи никогда не встречаются на практике, и поэтому мы должны остерегаться говорить о них учащимся.

При геодезической съемке сферическая тригонометрия теперь позволит нам рассматривать случаи, когда сигналы находятся не в одной плоскости, и работать на пересеченной местности, получать ее проекцию на плоскость горизонта и в то же время определять превышения (разности высот).

Можно заметить, что начертательная геометрия могла бы заменить сферическую тригонометрию посредством графического построения, но степень точности полученных таким образом разностей высот была бы недостаточной.

ПРОГРАММА ТРИГОНОМЕТРИИ.

1. ПЛОСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ.

Тригонометрические линии. — Рассматриваются исключительно их отношения к радиусу. — Соотношения тригонометрических линий одного и того же угла. — Выражения синуса и косинуса через функции тангенса.

Зная синусы и косинусы двух дуг a и b, найти синус и косинус их суммы и их разности. — Найти тангенс суммы или разности двух дуг, зная тангенсы этих дуг.

Выражения для sin 2a и sin 3a; cos 2a и cos 3a; tang 2a и tang 3a.

Зная sin a или cos a, вычислить sin ½a и cos ½a.

Зная tang a, вычислить tang ½a.

Зная sin a, вычислить sin ⅓a. — Зная cos a, вычислить cos ⅓a.

Использование формулы cos p + cos q = 2 cos ½(p + q) cos ½(p - q) для того, чтобы сделать логарифмы применимыми к сумме двух тригонометрических линий — синусов или косинусов. — Сделать логарифмы применимыми к сумме двух тангенсов.

Построение тригонометрических таблиц.

Детальное использование таблиц Калле. — Оценка с помощью пропорциональных частей степени точности при вычислении углов. — Превосходство формул с тангенсами.

Решение треугольников.

Соотношения между углами и сторонами прямоугольного треугольника или любого произвольного треугольника. — Когда даны три угла треугольника, эти соотношения определяют только отношения сторон.

Решение прямоугольных треугольников. — О случае, когда даны гипотенуза и близкая к ней по величине сторона.

Зная одну сторону и два угла произвольного треугольника, найти остальные элементы, а также площадь треугольника.

Зная две стороны a и b треугольника и угол C между ними, найти остальные элементы, а также площадь треугольника. — Можно определить tang ½(A - B) либо непосредственно tang A и tang B.

Зная три стороны a, b, c, найти углы и площадь треугольника. — Использование формулы, дающей tang ½A.

Применение к топографической съемке для составления планов.

Измерение базисов с помощью мерных стержней.

Измерение углов. — Описание и использование круга (лимба). — Использование зрительной трубы для придания большей точности визированию. — Деление круга. — Нониусы.

Измерение и вычисление системы треугольников. — Приведение углов к центрам станций.

Как привязать второстепенные точки к главной системе. — Использование мензулы и компаса.

2. СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ.

Основные соотношения (cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A) между сторонами и углами сферического треугольника.

Вывести отсюда соотношения sin A : sin B = sin a : sin b; cot a sin b - cot A sin C = cos b cos C и посредством рассмотрения полярного (дополнительного) треугольника cos A = -cos B cos C + sin B sin C cos a.

Прямоугольные треугольники. — Формулы cos a = cos b cos c; sin b = sin a sin B; tang c = tang a cos B и tang b = sin c tang B.

В прямоугольном треугольнике три стороны меньше 90°, либо две стороны больше 90°, а третья меньше. Угол и противолежащая ему сторона оба меньше 90° или оба больше.

Решение произвольных треугольников:

1° При заданных трех сторонах a, b, c или трех углах A, B, C. — Формулы tang ½a и tang ½A, вычисляемые с помощью логарифмов:

2° При заданных двух сторонах и угле между ними или двух углах и стороне между ними. — Формулы Деламбра:

3° При заданных двух сторонах и противолежащем одному из них угле или двух углах и противолежащей одной из них стороне. Использование вспомогательного угла для того, чтобы сделать формулы пригодными для вычисления с помощью логарифмов.

Приложения. — Съемка горной местности. — Приведение базиса и углов к горизонту. — Определение превышений (разностей высот).

Зная широту и долготу двух точек на поверхности земли, найти расстояние между этими точками.

V. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Важное свойство однородности должно быть изложено с ясностью и простотой.

Преобразование координат должно сопровождаться некоторыми численными приложениями, которые необходимы для того, чтобы студент четко уяснил смысл формул.

Определение касательных будет производиться наиболее общим образом с помощью производных различных функций, которые мы включили в программу алгебры. После того как будет показано, что это определение зависит от вычисления производной ординаты по абсциссе, оно будет использовано для упрощения исследования касательной к кривым второй степени и к кривым, уравнения которых содержат трансцендентные функции. Обсуждение последних, ранее осуществлявшееся с помощью громоздких косвенных методов, теперь станет простым; и поскольку кривые с трансцендентными уравнениями встречаются часто, будет полезно упражнять студентов в их обсуждении.

Свойства фокусов и директрис кривых второй степени будут установлены непосредственно для каждой из трех кривых с помощью простейших уравнений этих кривых и без какого-либо рассмотрения аналитических свойств фокусов применительно к общему уравнению второй степени. Тем более мы обойдемся без рассмотрения вопроса о том, имеют ли кривые высшего порядка фокусы — вопрос, смысл которого даже не имеет четкого определения.

Мы сохранили в алгебре исключение между двумя уравнениями второй степени с двумя неизвестными — задачу, которая соответствует чисто аналитическому исследованию координат точек пересечения двух кривых второй степени. Конечное уравнение имеет в общем случае четвертую степень, но мы иногда можем обойтись без вычисления этого уравнения. Тщательно выполненное графическое построение кривых окажется достаточным для того, чтобы примерно определить координаты каждой из точек пересечения; и когда мы таким образом получим приближенное решение, мы часто сможем придать ему всю желаемую численную строгость посредством последовательных приближений, выводимых из уравнений. Эти соображения будут распространены на исследование действительных корней уравнений любого вида с одним неизвестным.

Аналитическая геометрия трех измерений ранее полностью преподавалася в стенах Политехнической школы, и ничего из нее не резервировалось для вступительного курса. Однако в течение последних нескольких лет от кандидатов требовалось знание уравнений прямой линии в пространстве, уравнения плоскости, решения относящихся к ней задач и преобразования координат. Но рассмотрение поверхностей второго порядка было зарезервировано для внутреннего обучения. Мы считаем целесообразным поместить это также в число предметов, подлежащих усвоению до поступления, в соответствии с реализуемым ныне общим принципом отнесения к ним того двойного обучения, которое не требует предварительного знания дифференциального исчисления.

Тем не менее мы включили сюда не все свойства поверхностей второго порядка, а сохранили лишь те, которые необходимо знать и помнить. Преобразование прямолинейных координат, например, должно выполняться просто, и преподаватель должен ограничиться кратким объяснением хода действий для своих учеников; этого им будет достаточно для тех весьма редких случаев, когда им может случиться в них нужда. Никаких вопросов не будет задаваться относительно общих соображений, требующих очень сложных теоретических дискуссий и особенно общего приведения уравнения второй степени с тремя переменными. Из задач, относящихся к прямой линии и плоскости, мы исключили определение наименьшего расстояния между двумя прямыми линиями.

Свойства поверхностей второго порядка будут выводиться из уравнений этих поверхностей, взятых непосредственно в простейших видах. Среди этих свойств мы ставим на первое место благодаря их ценным приложениям свойства поверхностей, которые могут быть образованы движением прямой линии.

ПРОГРАММА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

1. ГЕОМЕТРИЯ ДВУХ ИЗМЕРЕНИЙ.

Прямолинейные координаты. — Положение точки на плоскости.

Представление геометрических мест с помощью уравнений.

Однородность уравнений и формул. — Построение алгебраических выражений.

Преобразование прямолинейных координат.

Построение уравнений первой степени. — Задачи о прямой линии.

Построение уравнений второй степени. — Деление кривых, которые они представляют, на три класса. — Приведение уравнения к простейшему виду путем изменения координат. 5

Задача о касательных. — Коэффициент наклона касательной к кривой по отношению к оси абсцисс равен производной ординаты по абсциссе.

Об эллипсе.

Центр и осях. — Квадраты ординат, перпендикулярных к одной из осей, относятся друг к другу как произведения соответствующих сегментов, образованных на этой оси.

Ординаты, перпендикулярные к большой оси, относятся к соответствующим ординатам круга, описанного на этой оси как на диаметре, в постоянном отношении малой оси к большой. — Построение кривой по точкам с помощью этого свойства.

Фокусы; эксцентриситет эллипса. — Сумма радиусов-векторов, проведенных к любой точке эллипса, постоянна и равна большой оси. — Описание эллипса с помощью этого свойства.

Директрисы. — Расстояние от каждой точки эллипса до одного из фокусов и до директрисы, примыкающей к этому фокусу, относятся друг к другу как эксцентриситет к большой оси.

Уравнения касательной и нормали в любой точке эллипса. 6 — Точка, в которой касательная встречает одну из продолженных осей, не зависит от длины другой оси. — Построение касательной в любой точке эллипса с помощью этого свойства.