«Военные школы и курсы обучения военно-научному делу во Франции, Пруссии, Австрии, России и других странах»

Второй и более длинный оглавление был напечатан в конце тома. Частично в разделе о Франции имеется дополнительное оглавление, охватывающее только Политехническую школу. Связь между оглавлениями (всеми) и печатной книгой в лучшем случае случайна; информация могла быть точной для первого издания. За исключением случаев явных опечаток, все несоответствия оставлены в том виде, в каком они были напечатаны.

Раздел о Швейцарии (Часть IX) был напечатан после раздела о Великобритании (Часть VIII). В данном электронном тексте он объединен с меньшими странами (Части с III по VIII).

Предисловие к пересмотренному изданию Содержание (2 страницы) Введение Подробное оглавление (12 страниц)

В отдельных файлах: I. Франция II. Пруссия III. Австрия IV. Бавария, Голландия, Саксония V. Италия VI. Россия VII. Швеция, Норвегия, Дания VIII. Великобритания IX. Швейцария X. США

Опечатки показаны в тексте с помощью всплывающих подсказок при наведении указателя мыши. Ошибки снова перечислены в конце каждого раздела.

В

ФРАНЦИИ, ПРУССИИ, АВСТРИИ, РОССИИ, ШВЕЦИИ, ШВЕЙЦАРИИ, САРДИНИИ, АНГЛИИ И США.

СОСТАВЛЕНО НА ОСНОВЕ НЕДАВНИХ ОФИЦИАЛЬНЫХ ОТЧЕТОВ И ДОКУМЕНТОВ.

Составил ГЕНРИ БАРНАРД, доктор права.

ПЕРЕСМОТРЕННОЕ ИЗДАНИЕ.

NEW YORK:

PUBLISHED BY E. STEIGER,

22 & 24 FRANKFORT STREET.

1872.

ПЕРЕСМОТРЕННОЕ ИЗДАНИЕ.

Первое издание «Военных школ во Франции и Пруссии» было опубликовано в 1862 году в виде выпуска «Американского журнала образования» (American Journal of Education); а впоследствии в том же году эта часть была напечатана как Часть I всеобъемлющего обзора всей сферы обучения науке и искусству войны в различных странах. Обстоятельства, при которых было начато издание, изложены в Предисловии к несовершенному изданию 1862 года. Теперь, когда обзор в серийных главах Журнала стал столь полным, насколько это позволяют материал, находящийся в распоряжении редактора, и отведенное ему для этой специальной темы пространство, отдельные главы были пересмотрены и объединены в один том, чтобы представить актуальное состояние этого важного отдела народного образования в главных государствах Европы, а также в нашей собственной стране.

Следует отдать должное покойному полковнику Сэмюэлу Кольту, изобретателю револьера Кольта и основателю завода патентного огнестрельного оружия Кольта — двух предприятий, которые изменили характер и способ конструирования огнестрельного оружия в каждой стране, — и заявить, что информация, содержащаяся в первом издании этого трактата, была собрана и подготовлена по его просьбе, чтобы помочь ему в разработке плана школы машиностроения, которую он предполагал основать в своем имении в Хартфорде и в которую, после начала Войны за сецессию, он решил внедрить как военную муштру, так и военную историю, а также дать то научное образование, которым должен обладать каждый выпускник наших национальных военных и военно-морских академий. Вскоре после смерти полковника Кольта (10 января 1862 г.) миссис Элизабет Джарвис Кольт, узнав о том, что было сделано в русле желаний ее мужа, разрешила использовать уже собранный материал при подготовке этого трактата, а также уже изданного тома о технических школах в разных странах и любых других материалов, которые могли бы быть собраны и подготовлены за ее счет для иллюстрации любого раздела его плана научной школы в Хартфорде.

ГЕНРИ БАРНАРД.

Хартфорд, шт. Коннектикут, март 1872 г.

СОДЕРЖАНИЕ.

PAGE.

Introduction, 3

I. FRANCE.

Outline of Military System, 9

System of Military Instruction, 10

I. Polytechnic School at Paris, 11

1. Subject and Methods of Instruction prescribed for Admission, 13

2. Scientific Course in Lycées and other Schools in reference to, 49

3. History, Management, Studies, Examinations, 55

4. Public Services, Legal and Military, provided for by, 88

5. Programmes of Lectures and Courses of Instruction, 91

II. The Artillery and Engineer School of Application at Metz, 133

III. The Regimental Schools of Practice for Artillery and Engineers, 221

IV. The Infantry and Cavalry School at St. Cyr, 225

V. The Cavalry School of Practice at Saumur, 241

VI. The Staff School at Paris, 245

VII. The Military Orphan School at La Fleche, 257

VIII. The School of Musketry at Vincennes, 259

IX. The Military and Naval Schools of Medicine and Pharmacy, 261

X. The Naval School at Brest, 263

XI. The Military Gymnastic School at Vincennes, 265

Remarks on French Military Education, 273

II. PRUSSIA.

Outline of Military System and Military Education, 275

I. Outline of Military System, 281

II. Historical View of Military Education, 284

III. Present System of Military Education and Promotion, 293

IV. Examinations; General and Professional for a Commission, 297

1. Preliminary or Ensign’s Examination, 297

2. Officers’ Examination, 302

V. Military Schools preparatory to the Officers’ Examination, 310

1. The Cadet Schools, or Cadet Houses, 310

2. The Division Schools, 321

3. The United Artillery and Engineers’ School, 325

VI. The School for Staff Officers at Berlin, 330

VII. Elementary Military Schools for Non-commissioned Officers, 329

1. Military Orphan Houses, 339

Orphan-House at Potsdam, 340

Orphan-House at Annaburg, 345

2. The School Division or Non-commissioned Officers’ School, 348

3. Regimental Schools, 350

4. The Noble-School at Liegnitz, 350

VIII. Remarks on the System of Military Education in Prussia, 351

Appendix, 351

The Artillery and Engineer School at Berlin, 353

The Staff School at Berlin, 395

III. AUSTRIA.

Military System and Instruction 409-464

I. Schools of non-commissioned officers 411

II. School for officers 429

III. Special Military Schools 436

IV. Staff School at Vienna 447

V. Reorganization of Military Schools in 1868 453

VI. Cavalry Brigade School for officers 463

IV. BAVARIA, SAXONY, HOLLAND.

Military System and Schools of Bavaria 465-480

I. Cadet Corps—War School—Artillery, Engineers, and Staff Schools 467

II. Military Academy at Dresden 471

III. Military Academy at Breda 477

V. ITALY.

Military System and Schools 481-500

I. Military Academy at Turin 483

II. Artillery and Engineer School 489

III. Staff School and Staff Corps 492

IV. Regimental School for officers 494

V. School for Artillery officers 498

VI. Nautical School at Genoa 499

VI. RUSSIA.

Military System and Schools 501-514

I. Imperial Staff School at St. Petersburg 505

VII. SWEDEN, &c.

Military System and Schools 515-516

VIII. GREAT BRITAIN.

Military System and Schools 511-686

I. Council of Military Education 535

II. Royal Military College at Sandhurst 557

III. Royal Military Academy at Woolwich 585

IV. Royal School of Military Engineering at Chatham 595

V. Professional Instruction for officers. 605

1. Survey Class at Aldershot.

2. Advanced Class of Artillery at Woolwich.

3. School of Gunnery at Shoeburyness

VI. Staff College and Staff appointments 619

VII. School of Musketry, and Army Schools 625

VIII. Naval and Navigation Schools 627

IX. English and other Naval Systems and Schools compared 655

1. French Naval and Navigation Schools 659

2. German Naval and Navigation Schools 681

IX. SWITZERLAND.

Military System and Military Instruction 687-714

I. Federal Militia—Cantonal Cadet System—Target Shooting 689

II. Federal Instruction of officers—experience of 1870 710

X. UNITED STATES.

Military System and Schools 713-940

A. Military Education for Land Service 715

I. National Military Academy at West Point 721

II. Special Artillery School at Fortress Monroe 819

III. Military element in State Schools 825

IV. Individual and Corporate Institutions 838

V. Military Drill in Public Schools 865

B. Naval and Navigation Schools 887

I. United States Naval Academy at Annapolis 897

II. School of Naval Construction and Marine Engineering 937

III. Instruction for the Mercantile Marine 939

General Review of Military System and Schools 945

Опечатки в оглавлении:

VIII. ВЕЛИКОБРИТАНИЯ. VIII. ВЕЛИКОБРИТАНИЯ.

V. ... 2. Продвинутый класс артиллерии в Вулидже. Классс

ВОЕННЫЕ ШКОЛЫ И ОБРАЗОВАНИЕ.

Описание военных и военно-морских школ разных стран с особым акцентом на расширение и совершенствование среди нас аналогичных учреждений и ведомств, как национальных, так и штатных, для специальной подготовки офицеров и нижних чинов к требованиям войны, было обещано редактором в его первоначальном анонсе «Американского журнала и библиотеки образования» (The American Journal and Library of Education). Полагая, что лучшая подготовка к профессиональной и служебной службе любого рода, как в мирное, так и в военное время, достигается через всестороннее развитие всех мужественных качеств и что все специальные школы должны опираться на фундамент общей системы образования для всего общества и естественным образом вырастать из нее, мы направили свои первые усилия на наиболее полное изложение лучших принципов и методов элементарного обучения, а также на усовершенствование организации, преподавания и дисциплины в школах различных ступеней, но при этом направленных на обеспечение соразмерного развития всех способностей. Мы время от времени затрагивали тему научных школ — то есть учреждений, в которых принципы математики, механики, физики и химии постигаются досконально, а их применения к более привычным, равно как и высшим искусствам конструирования, машиностроения, промышленности и сельского хозяйства преподаются экспериментально. Именно в такого рода обучении следует искать специальную подготовку наших инженеров, как гражданских, так и военных; и школы такого рода, учрежденные в каждом штате, должны ежегодно выпускать определенное число кандидатов подходящего возраста для свободного участия в открытых экзаменах на поступление в крупную Национальную школу, подобную Политехнической школе в Париже или чисто научному курсу Военной академии в Вест-Пойнте, после чего, проучившись два года суровых занятий и подтвердив свою квалификацию по результатам повторных экзаменов (полугодовых и выпускных), проводимых комиссией, состоящей не из почетных гостей, а из экспертов по каждой науке, они должны переходить в школы применения или обучения для той специальной службы, к которой они имеют природную склонность и особую подготовку.

Страшные реалии нашего нынешнего положения как народа — тот факт, что в течение двенадцати месяцев миллион трудоспособных мужчин были призваны под ружье от мирных занятий в конситуациях в офисах, лавках и на полях и ныне находятся в боевом строю или в реальном столкновении в пределах Соединенных Штатов, — а также не менее тревожный облик будущего, проистекающий не только из щекотливого положения наших собственных отношений с иностранными правительствами, но и из вооруженного вмешательства великих военных держав Европы во внутренние дела соседней республики, — выдвинули вопрос о военных школах и военном образовании на рассмотрение и к действию с неотложной срочностью, не допускающей промедления. Что-то должно быть сделано и будет сделано немедленно. И в ответ на многочисленные письма с запросами информации и предложений, а также чтобы позволить тем, кто подталкивает национальные органы власти, власти штатов или муниципальные власти к предоставлению дополнительных возможностей для военного обучения, или тем, кто предлагает основать школы либо внедрить в существующие учебные заведения упражнения для этой цели, воспользоваться опытом нашей и других стран в деле подготовки офицеров и рядовых для военного искусства, мы объединим в один том «Статьи по военному образованию», которые мы намеревались публиковать в последующих номерах «Новой серии» «Американского журнала образования».

Этот том, как видно из Содержания, представляет собой всеобъемлющий обзор институтов и курсов обучения, которые главные нации Европы выработали на основе собственного опыта и изучения достижений друг друга в целях подготовки своих офицеров для каждого рода военной и военно-морской службы, требуемого условиями современной войны, и в то же время дает ценные подсказки для окончательной организации всех наших воинских формирований, как национальных, так и на уровне штатов.

В разделе, посвященном Соединенным Штатам, мы опубликуем описание Военной академии в Вест-Пойнте, Военно-морской академии в Ньюпорте и других учреждений и ведомств — государственных, ассоциативных и частных, — существующих ныне в нашей стране для военного обучения, а также несколько писем и предложений, полученных нами в поддержку военной муштры и гимнастических упражнений в школах. Мы не возражаем против умеренного объема такой муштры и таких упражнений, надлежащим образом регламентированных по времени и объему и проводимых компетентными преподавателями. Военный элемент имеет большую практическую ценность как в отношении физической подготовки, так и моральной и умственной дисциплины. Но мы не верим в физическое вырождение или отсутствие военных способностей и духа у американского народа — по крайней мере, в той степени, в какой это утверждают многие авторы, пишущие на данную тему. И мы не верим, что какое бы то ни было количество детской военной муштры, какая бы то ни было организация кадетских корпусов, какое бы то ни было количество практики в стрельбе из винтовок или мушкетов либо стрельбы по мишеням, при всей их ценности, могут стать адекватной заменой суровому научному изучению или специальной подготовке, которую хорошо организованная система военных институтов обеспечивает для подготовки офицеров как для армии, так и для флота.

Наша давняя и неизменная опора на пути промышленного прогресса, общественного благосостояния, внутреннего мира и безопасности от внешней агрессии покоится на следующих основах:—

I. Более качественное начальное образование всего народа — посредством лучших домов и лучших школ: домов, подобных тем, какие устанавливает и признает христианство, и школ, общедоступных, поскольку они достаточно дешевы для беднейших и достаточно хороши для лучших, — улучшаемых за счет более осознанного общественного убеждения в их необходимости и более широких знаний среди взрослых о наиболее прямых способах достижения их усовершенствования, а также благодаря совместным действиям более ответственных родителей, лучше подготовленных учителей и более преданных своему делу школьных работников. Этот первый великий пункт должен быть обеспечен путем более энергичного проведения в жизнь всех мер и задействования всех средств, ныне используемых для продвижения государственных школ, и более широкого осознания колоссального объема косной невежественности, полуобразования или ложного образования, которые царят ныне даже в штатах, где народному образованию уделялось наибольшее внимание.

II. Создание системы государственных средних школ в каждом штате — гораздо более совершенной, чем существует в настоящее время, основанной на системе начальных школ, в которые кандидаты должны допускаться только после того, как их квалификация по определенным предметам будет подтверждена на открытом экзамене. Занятия в школах этого разряда должны носить подготовительный характер как в области литературы и науки для того, что ныне составляет колледжный курс, так и для требований по математике на втором курсе обучения в Военной академии в Вест-Пойнте.

III. Система специальных школ — либо при существующих колледжах, либо на независимой основе, — в которых принципы науки будут преподаваться с особым акцентом на их применение к искусствам мира и войны. На первом месте в этом ряду должна стоять Национальная школа науки, организованная и управляемая по плану Политехнической школы Франции и служащая подготовительной ступенью к специальным военным и военно-морским школам.

IV. Замещение вакансий во всех высших публичных школах — как среди преподавателей, так и среди учеников — и во всех департаментах государственной службы посредством открытых конкурсных экзаменов.

ГЕНРИ БАРНАРД.

Хартфорд, шт. Коннектикут, 1862 г.

В разделе по математике форма «assymplotes» используется несколько раз наряду с «asymptote(s)». Написание «assymptotic» встречается один раз при переносе строки. Ударения в французских словах напечатаны так, как показано; пропущенные ударения не проставлялись.

ЧАСТЬ I ВОЕННАЯ СИСТЕМА И ШКОЛЫ ВО ФРАНЦИИ.

ИСТОЧНИКИ.

Следующее описание системы военного образования во Франции, за исключением трех или четырех школ, ссылки на которые даны на другие источники, взято из английского документа под названием «Отчет комиссаров, назначенных (военным министром) для рассмотрения наилучшего способа реорганизации системы подготовки офицеров для инженерных и артиллерийских войск: вместе с описанием иностранного и прочего военного образования». При составлении программ и курсов обучения производились обращения непосредственно к первоисточникам, на которые ссылались комиссары.

I. Общая военная организация Франции.

Vauchelle’s Course d’ Administration Militaire, 3 vols.

II. Политехническая школа.

1. «История Политехнической школы» Фурси (Fourcy’s Histoire de l’Ecole Polytechnique).

2. Декрет об организации и т. д. (Décret portant l’Organisation, &c.).

3. Регламент внутренней службы (Règlement pour le Service Interieur).

4. Программа внутреннего обучения (Programme de l’Enseignement Interieur).

5. Программа знаний, требуемых для поступления, и т. д. (Programme des Connaissances Exigées pour Admission, &c.).

6. Отчет Смешанной комиссии, 1850 г. (Rapport de la Commission Mixte, 1850).

7. Справочник Политехнической школы м. Мариэля (Répertoire de l’Ecole Polytechnique; by M. Marielle).

8. Календари с 1833 г.

9. Брошюры: маркиза де Шамбре, 1836 г.; В. Д. Бюгно, 1837 г.; м. Араго, 1853 г.

III. Школа применения в Меце и Сен-Сир.

Императорский декрет и т. д., 1854 г. (Décret Impérial, &c., 1854).

IV. Школа генерального штаба в Париже.

Регламентированное руководство для употребления и т. д. (Manuel Réglementaire a l’Usage, &c.).

V. Ежегодник народного просвещения, 1860 г. (Annuaire de l’Instruction Publique, 1860).

ВОЕННАЯ СИСТЕМА И ШКОЛЫ ФРАНЦИИ

I. ВОЕННАЯ СИСТЕМА.

Французские армии комплектуются солдатами, набираемыми посредством ежегодной конскрипции на семилетний срок службы. Допускается замена застрельщиками, однако в соответствии с недавним изменением они отбираются государством. Частные договоренности больше не разрешаются: властям выплачивается фиксированная сумма, а выбор заменяющих лиц осуществляют они сами.

Офицерский состав войск формируется отчасти из выпускников военных школ, а отчасти путем производства из нижних чинов. Пропорции установлены законом. Одна треть офицерских вакансий зарезервирована за военными школами, а одна треть оставляется для производства из нижних чинов. Распоряжение оставшейся третьей частью возложено на Императора.

Производство в чины осуществляется частично по выслуге лет, частично по выбору.

В мирное время действуют следующие правила относительно продолжительности службы в каждом чине до получения следующего:

A second Lieutenant can not be promoted to Lieutenant under 2 years’ service.

A Lieutenant “ “ Captain “ 2 “

A Captain “ “ Major “ 4 “

A Major “ “ Lieut-Col. “ 3 “

A Lieutenant-Colonel “ “ Colonel “ 2 “

Однако в военное время эти правила не применяются.

До чина капитана включительно две трети производств осуществляются по выслуге лет, а оставшаяся одна треть — по выбору.

От чина капитана до майора (chef de bataillon ou d’escadron) половина производств осуществляется по выслуге лет, а другая половина — по выбору, а от майора и выше — исключительно по выбору.

Процедура отбора выглядит следующим образом: генеральные офицеры, назначаемые военным министром для проведения ежегодных инспекций различных дивизий французской армии, именуемые генеральными инспекторами, по завершении своих инспекционных поездок возвращаются в Париж и собираются вместе для сопоставления своих заметок об офицерах, которых каждый из них видел, и таким образом составляют список, расположенный в порядке, в котором они рекомендуют производить отбор для повышения по службе.

Нам сообщили, что нынешний военный министр почти неизменно производит в чины офицеров из верхней части этого списка, или, иными словами, следует рекомендациям генерального инспектора.

II. ВОЕННЫЕ ШКОЛЫ.

Главными военными школами, существующими в настоящее время во Франции, являются следующие:

1. Политехническая школа в Париже (Ecole Impériale Polytechnique), являющаяся подготовительной для—

2. Школы применения артиллерии и инженерных войск в Меце (Ecole Impériale d’Application de l’Artillerie et du Génie).

3. Военная школа в Сен-Сире (Ecole Impériale Spéciale Militaire) для пехоты и кавалерии, в которую недавно влилось отделение офицеров Кавалерийской школы в Сомюре.

4. Академия генерального штаба в Париже (Ecole Impériale d’Application d’Etat Major).

5. Военное сиротское училище (Prytanée Impériale Militaire) в Ла-Флеше.

6. Военно-медицинская и фармакологическая школа (Ecole Impériale de Médicine et de Pharmacie Militaires), недавно учрежденная при госпитале Валь-де-Грас.

7. Стрелковая школа (Ecole Normale de Tir) в Венсене, основанная в 1842 году.

8. Гимнастическая школа (Ecole Normale de Gymnastique) близ Венсена.

9. Музыкальная школа (Gymnase Musical).

10. Поковые школы (Ecoles Régimentaires).

Военные школы находятся в ведении военного министра, с которым руководство школ находится в прямой связи.

Расходы государства на военные школы, включая жалование военнослужащих, состоящих при них на службе, за 1851 год составляют:

For Polytechnic School at Paris,

fr. 554,911. 91

“ Artillery and Engineers School at Metz, 187,352. 06

“ Infantry and Cavalry School at St. Cyr, 682,187. 35

“ Cavalry School at Saumur, 196,170. 27

“ Staff School at Paris, 145,349. 96

“ Gymnastic School of Musketry at Vincennes, 33,211. 33

“ Regimental Schools, 108,911½, 30

Из этой суммы в 2 224 542 франка следует вычесть 421 372 франка, полученные от платных учеников, в результате чего общие расходы государства составляют 1 803 308 франков, или около 360 000 долларов, примерно на 2100 учеников. Затраты государства на подготовку одного офицера артиллерии и инженерных войск составляют около 1500 долларов, а офицера штаба — около 1400 долларов.

ПРЕДМЕТЫ И МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ, УСТАНОВЛЕННЫЕ ДЛЯ ПОСТУПЛЕНИЯ В ПОЛИТЕХНИЧЕСКУЮ ШКОЛУ ФРАНЦИИ.

Политехническая школа («L’École Polytechnique») слишком хорошо известна, по крайней мере по названию, чтобы нуждаться в похвалах на страницах этого журнала. Курс обучения в ней издавна славится своей полнотой, точностью и соответствием поставленным целям. Однако этот курс постепенно несколько утратил свои симметричные пропорции из-за введения некоторых новых предметов и чрезмерного развития других. Те же изъяны закрались и в программу экзаменационных предметов для поступления в школу. Под влиянием этих соображений Законодательное собрание Франции законом от 5 июня 1850 года учредило «Комиссию» для пересмотра программ вступительных экзаменов и внутреннего обучения. Председателем комиссии был Тенар, ее «докладчиком» был Леверье, а остальные девять членов были достойны быть их коллегами. Перед ними была поставлена задача избежать ошибки предложения молодым учащимся предметов и методов обучения, «слишком возвышенных, слишком абстрактных и превышающих их понимание»; проследить за тем, чтобы предписанный курс был «рассчитан не просто на несколько избранных умов, а на средние способности»; и исправить «чрезмерное развитие подготовительных штудий, которые далеко вышли за желаемые рамки».

Комиссия в лице м. Леверье подготовила обстоятельный отчет объемом в 440 страниц кварто, из которого было отпечатано всего двести экземпляров исключительно для служебного пользования властями. Экземпляр, принадлежавший покойному члену Комиссии (почтенной памяти профессору Теодору Оливье), попал в руки настоящего автора, который счел, что из него можно извлечь ценные указания для нашего применения в нашей стране, поскольку он представляет собой точный и обстоятельный курс математического обучения, адаптированный к любым условиям и организованный в самом совершенном порядке столь компетентными авторами. Соответственно, он изложил здесь в сжатом виде мнения Комиссии о надлежащих предметах экзамена по математике, предшествующего поступлению в Политехническую школу, и наилучших методах их преподавания.

Предметами обсуждения являются: Арифметика; Геометрия; Алгебра; Тригонометрия; Аналитическая геометрия; Начертательная геометрия.

I. АРИФМЕТИКА. Знание арифметики необходимо каждому. Торговцу, рабочему, инженеру — всем нужно уметь производить расчеты быстро и точно. Полезный характер арифметики указывает на то, что ее методы должны отличаться величайшей простотой, а ее преподавание должно быть тщательнейшим образом очищено от всех ненужных усложнений. Вникая в дух арифметических методов, мы замечаем, что все они ясно и просто проистекают из самых принципов нумерации, из некоторых точных определений и из определенных представлений об отношениях между числами, которые легко улавливаются любым умом и которыми тот обладал даже заблаговременно, прежде чем учитель помог их осознать и научил классифицировать их в методический и плодотворный порядок. Поэтому мы полагаем, что нет никого, кто был бы неспособен воспринять, понять и оценить хорошо организованное и продуманное арифметическое обучение.

Но подавляющее большинство тех, кто получил либеральное образование, не обладают этим полезным знанием. Их ум, говорят они, не расположен к изучению математики. Им показалось невозможным склонить себя к изучению тех абстрактных наук, сухость и бесплодность которых образуют столь поразительный контраст с прелестью истории, а также красотой стиля и мысли великих поэтов, и так далее.

Теперь же, не раздечая полностью справедливости подобных заявлений, мы без колебаний признаем, что преподавание элементарной математики утратило свою прежнюю простоту и приняло сложную и претенциозную форму, которая не имеет никаких достоинств и преисполнена неудобств. Упрек, бросаемый наукам самим по себе, мы полностью отвергаем и относим его исключительно к порочной манере, в которой они преподаются в настоящее время.

Арифметика, в особенности, представляет собой лишь инструмент, орудие, теорию которого мы, безусловно, должны знать, но практическое владение которым важнее всего остального. Методы анализа и механики неизменно ведут к решениям, применения которых требуют сведения к числам посредством арифметических вычислений. Мы можем добавить, что числовое определение конечного результата почти всегда незаменимо для ясного и полного понимания даже наименее сложного метода. Подобное применение — либо благодаря более полному уплотнению идей, которых оно требует, либо путем более точного и ясного сосредоточения внимания на предмете — порождает множество замечаний, которые в противном случае сделаны не были бы, и тем самым способствует облегчению понимания теорий настолько эффективным образом, что время, затраченное на числовую работу, с лихвой окупается тем, что отпадает необходимость беспрестанно возвращаться к новым объяснениям одного и того же метода.

Поэтому сущностной задачей преподавания арифметики будет выработка у учащихся привычки к расчетам, с тем чтобы они могли легко и постоянно применять их в ходе своих занятий. Теория операций должна преподаваться им с ясностью и точностью: не только для того, чтобы они понимали механизм этих операций, но и потому, что практически во всех вопросах применение методов требует пристального внимания и постоянного обсуждения, если мы желаем прийти к результату, на который можно положиться. Но в то же время любая бесполезная теория должна быть тщательно устранена, чтобы не отвлекать внимание ученика, а направить его целиком на основные задачи этого обучения.

Можно возразить, что эти теории служат отличными упражнениями для формирования ума учащихся. Мы отвечаем, что в таком мнении можно усомниться по меньшей мере по нескольким причинам, и что, во всяком случае, поскольку в необъятной области, охватываемой математикой, нет недостатка в упражнениях на полезные темы, совершенно излишне создавать ради самого удовольствия трудности, которые никогда не найдут полезного применения.

Еще одно замечание мы находим важным. Нет никакой пользы в получении числового результата, если мы не можем ручаться за его правильность. Обучение вычислениям должно включать в качестве непременного условия демонстрацию учащимся того, как любой результат, выведенный из ряда арифметических операций, всегда может быть проверен таким образом, чтобы мы обладали всей желаемой уверенностью в его правильности; так что, хотя ученик может и должен часто совершать ошибки, он был бы способен сам их обнаружить, сам исправить и в конечном счете представлять исключительно точный результат.

Приводимая ниже Программа составлена с большой детализацией во избежание тех бед, к которым приводила краткость старой. В ней границы требуемого материала были очерчены нечетко, из-за чего каждый преподаватель предпочитал расширять их чрезмерно, нежели подвергать своих учеников риску оказаться не в состоянии ответить на те или иные вопросы. Экзаменаторы тогда естественным образом склонялись к тому, чтобы задавать вопросы, предлагаемые им таким образом, так сказать; и таким образом подготовительные занятия разрослись до чрезмерного и экстравагантного развития. Подобные злоупотребления можно было исправить лишь изданием столь подробных программ, чтобы границы, в которых должны быть ограничены разделы, требуемые для поступления, были настолько очевидны для всех, что делали бы невозможным для экзаменаторов выход за их пределы, позволяя тем самым преподавателям ограничить свое обучение именно ими.

Новая программа по арифметике начинается со слов «Десятичная нумерация». Это призвано указать на то, что двенадцатеричная нумерация спрашиваться не будет.

Единственной практической проверкой сложения и умножения служит повторение этих операций в ином порядке.

Деление целых чисел является первым вопросом, который считается хоть сколько-нибудь трудным. Эта трудность проистекает из сложности методов, посредством которых преподается деление. В некоторых книгах его объяснение содержит вдвое больше доводов, чем необходимо. Ум запутывается от такого обучения и перестает понимать, что такое демонстрация, когда видит ее продолжение в тот момент, когда она уже казалась завершенной. В большинстве случаев доказательство чрезвычайно усложнено и не следует тому же порядку, что и практическое правило, к которому затем приходится возвращаться. В этом и заключается корень зла, и он реален и глубок.

Фраза программы «Деление целых чисел» подразумевает, что от учащегося потребуется объяснить практическое правило и уметь пользоваться им привычным и быстрым образом. Мы не предлагаем какого-либо конкретного способа доказательства, но для разъяснения наших взглядов укажем, как мы трактовали бы этот предмет, если бы составляли подробную программу курса арифметики, а не просто экзаменационную. Это выглядело бы примерно так:

«Частное может быть найдено посредством сложения, вычитания, умножения;

«Деление числа на однозначное число, когда частное меньше 10;

«Деление любого числа на число меньше 10;

«Деление любых двух чисел, когда частное имеет только одну цифру;

«Деление в наиболее общем случае.

«Примечание. — Практическое правило может быть полностью объяснено тем соображением, что путем умножения делителя на различные числа мы смотрим, оказывается ли частное больше или меньше множителя».

Свойства делителей чисел и разложение числа на простые множители должны быть известны учащемуся. Но и здесь мы рекомендуем простоту. Теория наибольшего общего делителя, например, не нуждается в изложении во всех тех подробностях, которыми ее обычно окружают, поскольку она не имеет применения на практике.

Вычисления с десятичными числами представляют собой ту область, в которой особенно необходимо упражнять учащихся. Именно с такими числами им в основном придется иметь дело. Редко когда данные вопроса представляют собой целые числа; обычно это десятичные числа, которые даже не известны со строгой точностью, а лишь с заданной десятичной степенью приближения; и искомый результат заключается в том, чтобы вывести из них другие десятичные числа, сами по себе точные до определенной степени приближения, установленной условиями задачи. Именно так следует преподавать этот предмет. Ученик должен научиться не просто тому, как в одном или двух случаях он может получить результат с точностью до 1/n, где n — любое число, а тому, как находить практическим путем результаты, точные до требуемого знака после запятой и в правильности которых они могут быть уверены.

Возьмем для примера десятичное умножение. Обычно учащиеся не знают никакого другого правила, кроме как «умножить один множитель на другой, не обращая внимания на десятичную запятую, за исключением того, чтобы отсечь справа в произведении столько десятичных знаков, сколько их имеется в обоих множителях». Сформулированное таким образом правило методично, просто и кажется легким. Но в действительности оно практически неприемлемо по своей длине и в большинстве случаев неприменимо.

Предположим, нам нужно перемножить два числа, каждое из которых имеет по шесть знаков после запятой, и мы хотим узнать произведение также с точностью до шестого знака. Приведенное выше правило даст двенадцать знаков, последние шесть из которых, будучи бесполезными, приведут из-за своего расчета к потере драгоценного времени. Более того, когда множитель произведения задан с шестью знаками после запятой, это происходит потому, что мы остановились в его определении на этой степени приближения, пренебрегнув последующими знаками; откуда следует, что несколько десятичных знаков, расположенных справа в вычисленном произведении, не являются теми, которые принадлежали бы строгому произведению. Какая же тогда польза брать на себя труд их определять?

Наконец, заметим, что если сомножители произведения несоизмеримы и если необходимо перевести их в десятичные дроби перед выполнением умножения, мы не будем знать, насколько далеко нам следует доводить приближение множителей перед применением вышеуказанного правила. Поэтому необходимо обучить учащихся сокращенным методам, с помощью которых удается одновременно использовать меньше цифр и знать реальную степень приближения получаемого нами результата.

Периодические десятичные дроби не представляют никакой ценности. Двух элементарных вопросов программы вполне достаточно для ознакомления с ними.

Извлечение квадратного корня должно даваться очень тщательно, особенно для десятичных чисел. Здесь совершенно невозможно соблюдать правило иметь в квадрате вдвое больше десятичных знаков, чем требуется в корне. На практике это правило невыполнимо, когда предстоит выполнить серию операций. «Когда число N увеличивается на сравнительно малую величину d, квадрат этого числа увеличивается весьма близко к 2Nd». Именно так мы определяем степень приближения, с которой должно быть вычислено число, чтобы его квадратный корень можно было впоследствии получить с необходимой точностью. Это предполагает, что перед определением квадрата со всей необходимой точностью у нас имеется подходящий нижний предел значения корня, что всегда может быть сделано без труда.

Кубический корень входит в программу. Учащиеся должны знать это; но хотя на извлечении квадратного корня необходимо упражнять их на многочисленных примерах, с кубическим корнем следует проявлять большую сдержанность и не выходить далеко за рамки чистой теории. Вычисления становятся слишком сложными и отнимают слишком много времени. Логарифмы полезны даже для квадратного корня и совершенно незаменимы для кубического корня, а тем более для корней высших степеней.

Когда вопрос содержит только величины, изменяющиеся в одном и том же отношении или в обратном отношении, он немедленно разрешается посредством очень простого метода, известного под названием приведения к единице. По получении результата необходимо обратить внимание учеников на то, что он состоит из величины, которая среди данных имеет ту же природу, что и искомая, помноженной последовательно на ряд абстрактных отношений между другими величинами, которые также, взятые попарно, имеют ту же природу. Отсюда вытекает правило прямого написания искомого результата без необходимости заново воспроизводить для каждого вопроса цепь рассуждений. Это дает преимущество не только экономии времени, но и лучшего уяснения сути метода, прояснения смысла решения и подготовки к последующему использованию формул. Учет «однородности» ведет к таким результатам.

Мы рекомендуем преподавателям как можно меньше использовать примеры с отвлеченными числами и бессодержательные задачи, в которых данные, взятые наугад, не имеют никакой связи с реальностью. Пусть примеры и упражнения, предлагаемые студентам, всегда касаются предметов, встречающихся в искусствах, промышленности, природе, физике, мироустройстве. Это принесет множество преимуществ. Точный смысл решений будет усваиваться лучше. Учащиеся будут без труда приобретать запас точных и ценных знаний об окружающем их мире. Они также охотнее станут производить числовые расчеты, когда их внимание будет непрерывно пробуждаться и поддерживаться, а результат, вместо того чтобы быть просто сухим числом, станет воплощать в себе информацию реальную, полезную и интересную.

Прежняя арифметическая программа включала теорию прогрессий и логарифмов, причем последняя выводилась из первой. Но теория логарифмов вновь выводится в алгебре из показателей степени, что является гораздо лучшим методом. Это создает нежелательное «дублирование» («double emploi»). В конце концов, нет веских причин сохранять эти теории в арифметике.

Программа сохраняет вопросы, которые могут быть решены путем составления двух произвольных и последовательных гипотез относительно искомого результата. Верно, что эти вопросы могут быть напрямую разрешены с помощью простого уравнения первой степени; однако мы сочли, что поскольку решение задач посредством гипотез представляет собой наиболее плодотворный метод, реально используемый на практике, полезно приучать к нему учащихся как можно раньше. Это тем более необходимо, что преподаватели обычно следовали противоположным курсом, стремясь главным образом дать своим ученикам прямые решения, не задумываясь о том, что их теория обычно гораздо сложнее и что ум учащегося получает направление, прямо противоположное тому, которое ему придется принять в конечном итоге.

Остается рассмотреть «пропорции».

В большинстве учебников арифметики задачи решаются сначала методом «приведения к единице», а затем с помощью теории пропорций. Но помимо возражения о «дублировании» («double emploi»), совершенно очевидно, что метод приведения к единице представляет во всем их истинном свете, полным и простым образом, все вопросы отношений, которые лежат в основе арифметических решений; так что последующее введение пропорций ничего нового ученикам не дает, а лишь преподносит то же самое более сложным способом. Поэтому мы исключаем из нашей экзаменационной программы решение арифметических задач, представленных в особой форме, составляющей теорию пропорций.

Мы тщательно избегали бы изобретать эту особую форму, если бы она уже не применялась. Почему бы не сказать просто: «Отношение M к N равно отношению P к Q», вместо того чтобы выискивать другую форму выражения той же идеи: «M так относится к N, как P относится к Q»? Напрасно ссылаться на нужды геометрии; если мы рассмотрим все вопросы, в которых используются пропорции, то увидим, что простое рассмотрение равенства отношений одинаково хорошо отвечает простоте формулировки и ясности доказательств. Тем не менее, поскольку все старые учебники геометрии пользуются пропорциями, мы сохранили свойства пропорций в конце нашей программы, но с тем прямым оговорком, что экзаменаторы должны ограничиться простыми свойствами, которые мы указываем, и не требовать никакого применения пропорций к решению арифметических задач.

ПРОГРАММА АРИФМЕТИКИ.

Десятичная нумерация.

Сложение и вычитание целых чисел.

Умножение целых чисел. — Таблица Пифагора. — Произведение нескольких целых чисел не меняет своего значения при любом порядке выполнения умножений. — Чтобы умножить число на произведение нескольких факторов, достаточно последовательно умножить его на факторы этого произведения.

Деление целых чисел. — Чтобы разделить число на произведение нескольких факторов, достаточно последовательно разделить его на факторы этого произведения.

Остатки от деления целого числа на 2, 3, 5, 9 и 11. — Применения к признакам делимости на одно из этих чисел; к проверке произведения нескольких факторов; к проверке частного от деления двух чисел.

Простые числа. Взаимно простые числа.

Как найти наибольший общий делитель двух чисел. — Если число делит произведение двух факторов и взаимно просто с одним из факторов, оно делит другой фактор. — Разложение числа на простые множители. — Определение наименьшего числа, делящегося на заданные числа.

Простые (обыкновенные) дроби.

Дробь не изменяет своего значения, если оба ее члена умножить или разделить на одно и то же число. Сокращение дроби до простейшего вида. Приведение нескольких дробей к одному знаменателю. Приведение к наименьшему общему знаменателю. — Сравнение относительных величин нескольких дробей.

Сложение и вычитание дробей. — Умножение. Дроби от дробей. — Деление.

Вычисления с числами, состоящими из целой части и дроби.

Десятичные числа.

Сложение и вычитание.

Умножение и деление. — Как получить произведение или частное с точностью до единицы любого заданного десятичного разряда.

Как обратить простую дробь в десятичную. — Когда знаменатель несократимой дроби содержит иные факторы, кроме 2 и 5, дробь не может быть точно обращена в десятичную, и частное, продолжающееся бесконечно, является периодическим.

Как найти простую дробь, порождающую периодическую десятичную дробь: 1º когда десятичная дробь чисто периодическая; 2º когда она содержит непериодическую часть.

Система новых мер.

Линейные меры. — Меры поверхности. — Меры объема и вместимости. — Меры веса. — Денежные единицы. — Отношения главных иностранных мер (Англия, Германия, Соединенные Штаты Америки) к мерам Франции.

Об отношениях. Решение задач.

Общие понятия о величинах, изменяющихся в одинаковом или обратном отношении. — Решение с помощью метода, именуемого приведением к единице, простейших вопросов, в которых рассматриваются такие величины. — Демонстрация однородности получаемых результатов; выведение отсюда общего правила для прямого написания выражения искомого решения.

Простые проценты. — Общая формула, рассмотрение которой дает решение вопросов, касающихся простых процентов. — О скидке (дисконте), применяемой в торговле.

Как разделить сумму на части, пропорциональные данным числам.

О вопросах, которые могут быть решены с помощью двух произвольных и последовательных гипотез относительно искомого результата.

О квадрате и квадратном корне. О кубе и кубическом корне.

Образование квадрата и куба суммы двух чисел. — Правила извлечения квадратного и кубического корня из целого числа. — Если этот корень не является целым, он не может быть точно выражен никаким числом и называется несоизмеримым.

Квадрат и куб дроби. — Извлечение квадратного и кубического корня из простых дробей.

Дано любое число, либо напрямую, либо посредством ряда операций, позволяющих лишь приближенно определить его значение с помощью десятичных знаков; как извлечь квадратный или кубический корень из этого числа с точностью до любой десятичной единицы.

О пропорциях, именуемых геометрическими.

В любой пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. — Обратная пропорция. — Зная три члена пропорции, найти четвертый. — Среднее геометрическое двух чисел. — Как можно инвертировать порядок членов пропорции, не нарушая пропорции.

Когда две пропорции имеют общее отношение, два других отношения образуют пропорцию.

В любой пропорции каждый антецедент может быть увеличен или уменьшен на свой консеквент без нарушения пропорции.

Когда соответствующие члены нескольких пропорций перемножаются, четыре произведения образуют новую пропорцию. — Одинаковые степени или одинаковые корни четырех пропорциональных чисел образуют новую пропорцию.

В ряде равных отношений сумма любого числа антецедентов и сумма их консеквентов остаются в том же отношении.

II. ГЕОМЕТРИЯ Некоторое знание геометрии, следом за арифметикой, наиболее необходимо каждому, и тем не менее очень немногие владеют даже ее первыми принципами. В этом виновата обычная система обучения. Мы уделяем недостаточно внимания естественным понятиям о прямых линиях, углах, параллельных, кругах и т. д., которые молодые люди приобрели, оглядываясь вокруг, и которые их умы бессознательно обдумывали до того, как сделать предметом систематического изучения. Таким образом, мы теряем время на придание догматической формы истинам, которые ум постигает напрямую.

Знаменитый Клеро жалуется на это, а также на то, что обучение всегда начинается с большого количества определений, постулатов, аксиом и предварительных принципов — сухих и отталкивающих, за которыми следуют столь же неинтересные предложения. Он также осуждает изобилие очевидных предложений, говоря: «Не удивительно, что Евклид утруждает себя доказательством того, что два пересекающихся круга не имеют общего центра; что треугольник, расположенный внутри другого, имеет сумму сторон меньше, чем сумма сторон треугольника, который его заключает; и так далее. Этому геометру приходилось убеждать упрямых софистов, которые почитали за славу отрицать самые очевидные истины. Поэтому было необходимо, чтобы геометрия, подобно логике, пользовалась тогда помощью формальных рассуждений, чтобы затыкать рты придирам; но в наши дни положение дел изменилось; любое рассуждение о том, что простой здравый смысл решает заранее, ныне представляет собой чистую трату времени и способно лишь затуманить истину и вызвать отвращение у читателя».

Безу также осуждает умножение числа теорем, предложений и следствий — построение, которое утомляет учащегося и в котором он теряется. Все, что вытекает из какого-либо принципа, должно излагаться по возможности на естественном языке, избегая догматической формы. Верно, что некоторые считают труды Безу недостаточно строгими, но он знал лучше кого бы то ни было, что́ в действительности представляет собой доказательство. И в работах великих старых мастеров мы находим не меньше общности взглядов, меньше точности, меньше ясности концепции, чем в современных трактатах. Как раз наоборот.

Мы видим это в определении прямой линии, данном Безу, — что она стремится непременно к одной и той же точке; и в определении кривой линии — что она представляет собой след движущейся точки, которая отклоняется на бесконечно малую величину на каждом шаге своего продвижения; сии определения чрезвычайно плодотворны по своим последствиям. Когда мы определяем прямую линию как кратчайший путь из одной точки в другую, мы формулируем свойство этой линии, которое бесполезно для доказательств. Когда мы определяем кривую линию как такую, которая не является ни прямой, ни состоящей из прямых линий, мы формулируем два отрицания, которые не могут привести ни к какому результату и не имеют связи со специфической природой кривой линии. Определение же Безу, напротив, проникает в природу определяемого объекта, ухватывает способ его бытия, его характер и сразу дает читателю общее представление, из которого впоследствии выводятся свойства кривых линий и построение их касательных.

Равно и тогда, когда Безу говорит, что для получения точного представления об угле необходимо рассмотреть движение линии, вращающейся вокруг одной из своих точек, он дает понятие, которое одновременно более верно и более плодотворно по своим последствиям — как математическим, так и механическим, — нежели то, которое ограничивается утверждением, будто неопределенное пространство, заключенное между двумя прямыми линиями, сходящимися в точке и могущими рассматриваться как продолженные до бесконечности, называется углом; сие определение не слишком легко понимается и абсолютно бесполезно для дальнейших пояснений, в то время как определение Безу служит непрерывно.

Поэтому мы настоятельно призываем преподавателей вернуться в своих доказательствах к простейшим идеям, кои суть также и наиболее общие; рассматривать доказательство как законченное и полное тогда, когда оно очевидным образом внесло истину в ум ученика, и не добавлять ничего исключительно ради того, чтобы заставить замолчать софистов.

Обращаясь к нашей Программе геометрии, приведенной ниже, укажем, что наши первые комментарии касаются «Теории параллельных». Это предмет, на котором все ученики боятся подвергнуться экзамену; и поскольку это общее чувство, очевидно, что вина здесь не их, а того способа, каким этот предмет преподается. Опущение естественного понятия о постоянном направлении прямой линии (как оно определено Безу) обусловливает усложнение первых элементов; делает необходимым для Лежандра доказывать, что все прямые углы равны (предложение, смысл которого редко понимается); и служит истинным источником всех мнимых трудностей теории параллельных. Сих трудностей теперь обычно избегают посредством допущения постулата, следуя примеру Евклида; а чтобы упорядочить практику в этом деле, мы сочли уместным предписать, чтобы сие предложение — через данную точку можно провести лишь единственную параллель к прямой линии — принималось чисто и просто, без доказательства и как прямое следствие нашего представления о природе прямой линии.

Следует заметить, что порядок идей в нашей программе предполагает свойства линий установленными без какого-либо использования свойств поверхностей. Мы полагаем, что в этом отношении лучше следовать Лакруа, чем Лежандру.

Когда мы таким образом доказываем, что три параллели всегда делят две прямые линии на пропорциональные части, это предложение может быть распространено на тот случай, когда отношение частей несоизмеримо, — либо посредством метода, именуемого приведением к абсурду (reductio ad absurdum), либо посредством метода пределов. Мы особенно рекомендуем использовать последний метод. Первый фактически не содержит ничего удовлетворяющего разум, и нам никогда не следует прибегать к нему, ибо всегда возможно обойтись без него. Когда мы доказали ученику, что искомая величина X не может быть ни больше, ни меньше А, ученик действительно вынужден признать, что X и А равны; но это не заставляет его понять или почувствовать, почему существует эта равенство. Те же доказательства, которые имеют такую природу, что, будучи однажды даны, они как бы исчезают, оставляя за доказанным предложением характер истины, очевидной априори, должны тщательно разыскиваться — не только потому, что они позволяют лучше прочувствовать эту истину, но и потому, что они лучше готовят ум к концепциям более высокого порядка. Метод пределов является для некоторого числа вопросов единственным, обладающим тем свойством, что доказательство тесно связано с существенной природой устанавливаемого предложения.

В отношении связей, существующих между сторонами треугольника и сегментами, образованными перпендикулярами, опущенными из вершин, мы раз и навсегда рекомендуем преподавателю упражнять своих учеников в составлении числовых применений подобных связей столь часто, сколь они будут возникать в курсе геометрии. Это способ добиться того, чтобы их смысл был хорошо понят, закрепить их в уме учеников и дать последним те упражнения в числовых вычислениях, к которым мы настоятельно требуем их приучать.

Теория подобных фигур имеет прямое применение в искусстве съемки планов (Lever des plans). Мы желаем, чтобы это применение было представлено ученикам в деталях; чтобы их учили прокладывать и измерять прямую линию на местности; чтобы им в руки давали графометр; и чтобы они использовали его и цепь для получения на местности, своими силами, всех данных, необходимых для составления карты, которую они представят экзаменаторам вместе с вычислениями на полях.

Правда, более полное изучение этого предмета впоследствии должно быть осуществлено посредством тригонометрии, в которой вычисления дадут большую точность, нежели сии графические операции. Но некоторые ученики могут не распространить свои занятия на тригонометрию (поскольку курс, преподаваемый для Политехнической школы, стал моделью для общего образования во Франции), а те, кто распространит, узнают таким образом, что тригонометрия лишь предоставляет средства для более точных вычислений. Это применение послужит также поощрением к изучению науки, пользу которой ученик таким образом начнет постигать.

Обычно говорят, что угол измеряется дугой круга, описанной из его вершины или центра и заключенной между его сторонами. Правда, преподаватели добавляют, что, поскольку величина может быть измерена лишь величиной той же природы, а дуга круга имеет иную природу, нежели угол, предшествующая формулировка есть лишь сокращение предложения, посредством которого мы находим отношение угла к прямому углу. Несмотря на эту предосторожность, несомненная формулировка, предшествующая этому, порождает неуверенность в уме ученика и производит в нем прискорбную путаницу. То же самое мы скажем о следующих формулировках: «Двугранный угол измеряется плоским углом, заключенным между его гранями»; «Поверхность сферического треугольника измеряется избытком суммы его трех углов над двумя прямыми углами» и т. д. — формулировках, которые не имеют смысла сами по себе и из которых исчезли все следы однородности. Ныне, когда каждый требует, чтобы учащиеся Политехнической школы лучше понимали смысл преподаваемых им формул, что требует, чтобы их однородность всегда была очевидна, об этом следует заботиться с самого начала их занятий — как в геометрии, так и в арифметике. Поэтому экзаменаторы должны настаивать на том, чтобы ученики никогда не давали им формулировок, в которых не соблюдается однородность.

Пропорциональность окружностей кругов их радиусам должна выводиться напрямую из пропорциональности периметров правильных многоугольников с тем же числом сторон их апофемам. Подобным же образом из того факта, что площадь правильного многоугольника измеряется половиной произведения его периметра на радиус вписанной окружности, следует напрямую выводить, что площадь круга измеряется половиной произведения его окружности на его радиус. Долгое время эти свойства круга доказывались иначе — доказывая, например, вместе с Лежандром, что мера круга не может быть ни меньше, ни больше той, которую мы только что привели, откуда приходилось выводить, что она ей равна. «Совет по улучшению» в конце концов постановил, что этот метод следует оставить и что на экзаменах для доказательств подобного рода должен допускаться исключительно метод пределов. Это был истинный шаг вперед, но его было недостаточно. Он не шел, как следовало бы, к рассмотрению круга чисто и просто как предела ряда правильных многоугольников, число сторон коих возрастает до бесконечности, и к рассмотрению круга как обладающего каждым свойством, доказанным для многоугольников. Вместо этого они вписывали в круг и описывали около него два многоугольника с одинаковым числом сторон и доказывали, что при умножении числа сторон этих многоугольников разность их площадей может стать меньше любой заданной величины, и отсюда в конечном счете выводили меру площади круга; то есть они лишали метод пределов всех его преимуществ в отношении простоты, не применяя его откровенно.

Теперь мы просим прекратить это и более не упрекать в недостатке строговости Лагранжей, Лапласов, Пуассонов и Лейбница, который дал нам следующий принцип: «Криволинейную фигуру можно рассматривать как эквивалентную многоугольнику с бесконечным числом сторон; откуда следует, что все, что может быть доказано для такого многоугольника без учета числа его сторон, то же самое может быть утверждено и для кривой». Именно к этому принципу мы взываем для простейшего его применения к измерению круга и круглых тел.