«Энциклопедия Британника, 11-е издание, Том 9, Выпуск 7: Уравнение — Этика»

Число a, такое, что при подстановке его вместо x оно обращает функцию xn − p1xn−1 ... ± pn в нуль, то есть такое, которое удовлетворяет уравнению ƒ(x) = 0, называется корнем уравнения; то есть, поскольку a является корнем, мы имеем

an − p1an−1 ... ± pn = 0, или, иными словами, ƒ(a) = 0;

и тогда легко показать, что x − a является множителем функции ƒ(x), а именно, что мы имеем ƒ(x) = (x − a)ƒ1(x), где ƒ1(x) есть функция xn−1 − q1xn−2 ... ± qn−1 степени n − 1 с числовыми коэффициентами q1, q2 ... qn−1.

В общем случае a не является корнем уравнения ƒ1(x) = 0, но это может иметь место — то есть ƒ1(x) может содержать множитель x − a; когда это так, ƒ(x) будет содержать множитель (x − a)²; записывая тогда ƒ(x) = (x − a)²ƒ2(x) и предполагая, что a не является корнем уравнения ƒ2(x) = 0, говорят тогда, что x = a есть двойной корень уравнения ƒ(x) = 0; аналогично ƒ(x) может содержать множитель (x − a)³ и не содержать более высоких степеней, и тогда x = a является тройным корнем; и так далее.

Предполагая в общем случае, что ƒ(x) = (x − a)^α F(x) (где α — положительное целое число, которое может быть равно 1; (x − a)^α — наивысшая степень x − a, на которую делится ƒ(x); а F(x), разумеется, имеет степень n − α), мы получаем, что уравнение F(x) = 0 будет иметь корень b, отличный от a; x − b будет множителем (в общем случае простым, но он может быть и кратным) функции F(x), и в этом случае ƒ(x) будет равно (x − a)^α (x − b)^β Φ(x) (где β — положительное целое число, которое может быть равно 1; (x − b)^β — наивысшая степень x − b в F(x) или ƒ(x); а Φ(x), разумеется, имеет степень n − α − β). В этом случае говорят, что исходное уравнение ƒ(x) = 0 имеет α корней, каждый из которых равен a, β корней, каждый из которых равен b, и так далее для любых других множителей (x − c)^γ и т. д.

Таким образом, мы получаем теорему: числовое уравнение степени n в любом случае имеет n корней, то есть существуют n чисел a, b, ... (в общем случае все они различны, но могут объединяться в любые группы равных значений) таких, что тождественно выполняется равенство ƒ(x) = (x − a)(x − b)(x − c) ...

Если уравнение имеет равные корни, их в общем случае можно определить, и этот случай во всяком поэтому является частным, который в первую очередь может быть исключен из рассмотрения. Следовательно, в общем случае предполагается, что все корни уравнения ƒ(x) = 0 различны.

Если коэффициенты p1, p2, ... все или некоторые из них являются мнимыми, то уравнение ƒ(x) = 0, если выделить в нем действительную и мнимую части, может быть записано как F(x) + iΦ(x) = 0, где F(x) и Φ(x) являются функциями с действительными коэффициентами; отсюда видно, что уравнение ƒ(x) = 0 с мнимыми коэффициентами не имеет в общем случае никаких действительных корней; если предположить, что оно имеет действительный корень a, он одновременно должен быть корнем каждого из уравнений F(x) = 0 и Φ(x) = 0.

Но уравнение с действительными коэффициентами может иметь как мнимые, так и действительные корни, и кроме того, мы имеем теорему о том, что для любого такого уравнения мнимые корни входят парами, то есть если α + βi является корнем, то α − βi также будет корнем. Отсюда следует, что если степень уравнения нечетная, всегда существует нечетное число действительных корней, и следовательно, по меньшей мере один действительный корень.

9. В случае уравнения с действительными коэффициентами вопрос о существовании действительных корней и их отделении уже был рассмотрен. В общем случае уравнения с мнимыми (или, возможно, действительными) коэффициентами возникает аналогичный вопрос о расположении (действительных или мнимых) корней; так, если для удобства восприятия мы рассматриваем составляющие α и β корня α + βi как координаты точки на плоскости (in plano) и соответственно представляем корень такой точкой, то при проведении на плоскости любой замкнутой кривой, или «контура», возникает вопрос о том, сколько корней лежит внутри этого контура.

Теоретически это решается с помощью теоремы О.Л. Коши (1837 г.), а именно: при подстановке x + iy вместо x в исходное уравнение функция ƒ(x + iy) принимает вид P + iQ, где P и Q каждая представляют собой рациональную и целую функцию (с действительными коэффициентами) от x и y. Если представить себе, что точка (x, y) перемещается вдоль контура, и подсчитать количество смен знака с минус на плюс (− на +) и с плюс на минус (+ на −) дроби, соответствующих прохождению дроби через нуль (то есть для значений, при которых P обращается в нуль, не учитывая те, при которых Q обращается в нуль), то разность этих чисел дает число корней внутри контура.

Важно отметить, что это доказательство не предполагает заранее существования какого-либо корня; контур может представлять собой бесконечность плоскости (такая бесконечность рассматривается как контур, или замкнутая кривая), и в этом случае можно показать (причем очень легко), что разность чисел смен знака равна n; то есть внутри бесконечного контура имеется (или, что то же самое, всего имеется) n корней; таким образом, теорема Коши фактически содержит доказательство фундаментальной теоремы о том, что числовое уравнение n-й степени (не только имеет числовой корень, но) имеет ровно n корней. По-видимому, это доказательство фундаментальной теоремы в ее наиболее полной форме по своему принципу совпадает с последним доказательством Карла Фридриха Гаусса (1849 г.) теоремы в формулировке: «Числовое уравнение n-й степени всегда имеет корень».

Но в случае конечного контура фактическое определение разности, дающей количество действительных корней, может быть осуществлено лишь для прямоугольного контура путем применения к каждой из его сторон по отдельности метода, подобного методу теоремы Штурма; и таким образом фактическое определение в конечном итоге сводится к методу, аналогичному методу теоремы Штурма.

В отношении приближенного вычисления мнимых корней уравнения сделано очень мало, и этот вопрос здесь не рассматривается.

10. Классом числовых уравнений, который необходимо рассмотреть, являются двучленные уравнения xn − a = 0 (где a = α + βi — комплексное число).

Предыдущие выводы применимы и здесь: всегда существует n корней, которые, как можно показать, все различны. И их можно найти числовым путем извлечением квадратного корня и корня n-й степени из действительных чисел с помощью таблиц натуральных синусов и косинусов.

α + βi = √(α² + β²) { α + β i }, √(α² + β²) √(α² + β²) Ибо записывая [выражение], мы всегда имеем действительный угол λ (положительный и меньший 2π), косинус и синус которого равны соответственно α / √(α² + β²) и β / √(α² + β²); то есть, обозначая для краткости √(α² + β²) через ρ, мы получаем α + βi = ρ (cos λ + i sin λ), или уравнение принимает вид xn = ρ (cos λ + i sin λ); отсюда, замечая, что (cos (λ/n) + i sin (λ/n))^n = cos λ + i sin λ, получаем одно из значений x равным n√ρ (cos (λ/n) + i sin (λ/n)). Эта формула действительно дает все корни, поскольку вместо λ мы можем написать λ + 2sπ, где s — положительное или отрицательное целое число, и тогда мы получаем [формулу]

x = n√ρ ( cos λ + 2sπ + i sin λ + 2sπ ), n n которая имеет n значений, получаемых последовательным приданием s значений 0, 1, 2, ..., n − 1; корни, очевидно, представлены точками, лежащими на равных расстояниях на окружности. Но удобнее поступить несколько иначе: приняв один из корней за θ, так что θn = a, и предполагая затем x = θy, мы сводим уравнение к виду yn − 1 = 0, которое, подобно исходному уравнению, имеет ровно n корней (причем один из них, разумеется, равен 1). Исходное уравнение xn − a = 0 тем самым сводится к более простому уравнению xn − 1 = 0; и хотя теория этого уравнения содержится в предыдущей, все же целесообразно изложить ее отдельно.

Все корни уравнения xn − 1 = 0 выражаются в виде 1, ω, ω², ..., ωn−1, где ω можно принять равным cos (2π/n) + i sin (2π/n); действительно, при таком значении ω любая целая степень ωk равна cos (2πk/n) + i sin (2πk/n), и отсюда мы имеем (ωk)n = cos 2πk + i sin 2πk = 1, то есть ωk является корнем уравнения. К этой теории мы вернемся позже.

На основании изложенного мы приходим к понятию (числовому) радикала a^(1/n), рассматриваемого как n-значная функция; если обозначить любое из этих значений через n√a, то ряд значений будет иметь вид n√a, ω n√a, ..., ω^(n−1) n√a; или мы можем, если угодно, использовать n√a вместо a^(1/n) в качестве символа для обозначения n-значной функции.

Поскольку коэффициенты алгебраического уравнения могут быть числовыми, все последующие положения об алгебраических уравнениях применимы (возможно, с некоторыми небольшими модификациями) и к числовым уравнениям; и поэтому, временно завершая эту тему, будет удобно перейти к алгебраическим уравнениям.

Алгебраические уравнения

11. Уравнение имеет вид

xn − p1xn−1 + ... ± pn = 0,

и здесь мы предполагаем существование корней, то есть мы предполагаем, что существуют n величин a, b, c, ... (в общем случае все они различны, но в частных случаях могут определенным образом объединяться в равные группы), таких, что

xn − p1xn−1 + ... ± pn = 0;

или, глядя на вопрос с другой точки зрения и начиная с заданных корней a, b, c, ..., мы выражаем произведение n факторов x − a, x − b, ... в указанной выше форме и тем самым приходим к уравнению степени n, имеющему n корней a, b, c, ... В обоих случаях мы имеем

p1 = Σa, p2 = Σab, ..., pn = abc...;

то есть, рассматривая коэффициенты p1, p2, ..., pn как заданные, мы предполагаем существование корней a, b, c, ... таких, что p1 = Σa и т. д.; либо, рассматривая корни как заданные, мы записываем p1, p2 и т. д. для обозначения функций Σa, Σab и т. д.

Как уже объяснялось, эпитет «алгебраический» не используется в противовес «числовому»; алгебраическое уравнение — это просто уравнение, в котором коэффициенты не ограничены требованием обозначать числа или явно не рассматриваются как обозначающие их. То, что такая абстракция правомерна, видно на простейшем примере: утверждая, что уравнение x² − px + q = 0 имеет корень x = ½ {p + √(p² − 4q) }, мы имеем в виду, что при подстановке этого значения вместо x уравнение превращается в тождество: [½ {p + √(p² − 4q) }]² − p[½ {p + √(p² − 4q) }] + q = 0; и проверка этого тождества никоим образом не зависит от того, означают ли p и q числа. Но если спросить, что именно помимо числовых уравнений охватывается термином «алгебраическое уравнение» или каков полный объем значения, приписываемого этому термину, то на второй вопрос во всяком случае было бы очень трудно ответить; что же касается первого, можно сказать, что коэффициенты могут, например, быть символами операций. Что касается таких уравнений, то здесь, безусловно, нет никакого доказательства того, что каждое уравнение имеет корень, или что уравнение n-й степени имеет n корней; и совершенно неясно, каков точный смысл этого утверждения. Однако обнаруживается, что предположение о существовании n корней может быть сделано без каких-либо противоречивых результатов; выводы, полученные из него, если они содержат корни, покоятся на том же основании, что и исходное предположение; но вывод может быть и вовсе не зависящим от корней, и в этом случае он несомненно верен; рассуждение, хотя оно фактически ведется с помощью этого предположения (и, возможно, наиболее легко и изящно именно таким способом), на самом деле от этого предположения не зависит. В качестве иллюстрации мы отмечаем, что допускается выражать функцию от p и q следующим образом — то есть с помощью рациональной симметричной функции от a и b, которая на деле может быть выражена как рациональная функция от a + b и ab; и если мы предпишем, что a + b и ab затем будут заменены соответственно на p и q, мы получим искомую функцию от p и q. То есть мы имеем F(α, β) в качестве представления ƒ(p, q), полученного так, как если бы мы имели p = a + b, q = ab, но без какого-либо предположения о существовании величин a и b этих уравнений.

12. Исходя из уравнения

xn − p1xn−1 + ... = (x − a)(x − b)...

или эквивалентных уравнений p1 = Σa и т. д., мы находим

an − p1an−1 + ... = 0, bn − p1bn−1 + ... = 0, ... [и т. д.]

(именно как удовлетворяющие этим уравнениям величины a, b, ... называются корнями уравнения xn − p1xn−1 + ... = 0); и обратно, из последних уравнений, предполагая, что a, b, ... все различны, мы выводим

p1 = Σa, p2 = Σab и т. д.

и

xn − p1xn−1 + ... = (x − a)(x − b)...

Заметьте, что если, например, a = b, то уравнения an − p1an−1 + ... = 0 и bn − p1bn−1 + ... = 0 свелись бы к единому соотношению, которое само по себе не выражало бы того, что a является двойным корнем, то есть что (x − a)² является множителем xn − p1xn−1 + ...; но, рассматривая b как предел a + h при бесконечно малой h, мы получаем второе уравнение

nan−1 − (n − 1)p1an−2 + ... = 0,

которое вместе с первым выражает, что a является двойным корнем; и тогда вся система уравнений приводит, как и раньше, к уравнениям p1 = Σa и т. д. Но существование двойного корня подразумевает определенное соотношение между коэффициентами; в общем случае все корни различны.

Тогда мы имеем теорему о том, что любая рациональная симметричная функция корней является рациональной функцией коэффициентов. Это легко следует из менее общей теоремы: всякая рациональная и целая симметричная функция корней является рациональной и целой функцией коэффициентов.

В частности, суммы степеней Σa², Σa³ и т. д. являются рациональными и целыми функциями коэффициентов.

Процесс, первоначально применявшийся для выражения других функций Σa^α b^β и т. д. через коэффициенты, заключается в том, чтобы выразить их через суммы степеней: например, Σa^α b^β = Σa^α Σa^β − Σa^(α+β); однако это крайне неудобно; истинная теория заключается в демонстрации того, что у нас имеются системы уравнений

p1 = Σa, p2 = Σab, p1² = Σa² + 2Σab, p3 = Σabc, p1p2 = Σa²b + 3Σabc, p1³ = Σa³ + 3Σa²b + 6Σabc,

в которых каждая система содержит ровно столько уравнений, сколько имеется корневых функций в правой части, — например, 3 уравнения и 3 функции Σabc, Σa²b, Σa³. Следовательно, в каждой системе корневые функции могут быть определены линейным образом через степени и произведения коэффициентов:

Σab = p2, Σa² = p1² − 2p2, Σabc = p3, Σa²b = p1p2 − 3p3, Σa³ = p1³ − 3p1p2 + 3p3,

и так далее. Другой процесс, если применять его последовательно, позволил бы вывести первоначально принятое значение Σab = p2 из двух уравнений Σa = p, Σa² = p1² − 2p2; то есть мы имеем 2Σab = Σa·Σa − Σa² = p1² − (p1² − 2p2) = 2p2.

13. Здесь уместно упомянуть теорему о том, что если x определяется, как указано выше, уравнением степени n, то любая рациональная и целая функция от x вообще, или, более общо, любая рациональная функция, которая не обращается в бесконечность в силу самого уравнения, может быть выражена как рациональная и целая функция от x степени n − 1, причем коэффициенты являются рациональными функциями коэффициентов уравнения. Таким образом, уравнение дает xn — функцию указанной формы; умножая обе части на x и подставляя в правой части вместо xn его предыдущее значение, мы получаем x^(n+1) — функцию указанной формы; то же самое справедливо для любой более высокой степени x, а следовательно, и для любой рациональной и целой функции от x. Доказательство в случае рациональной нецелой функции несколько сложнее. Конечный результат имеет вид φ(x)/ψ(x) = I(x), или, иными словами, φ(x) − ψ(x)I(x) = 0, где φ, ψ и I — рациональные и целые функции; иначе говоря, это уравнение, будучи верным лишь при условии ƒ(x) = 0, может выполняться только по той причине, что левая часть содержит ƒ(x) в качестве множителя, то есть тождественно должно выполняться равенство φ(x) − ψ(x)I(x) = M(x)ƒ(x). Более того, очевидно, что уравнение φ(x)/ψ(x) = I(x), удовлетворяясь всякий раз, когда ƒ(x) = 0, должно удовлетворяться каждым корнем уравнения.

Из теоремы о том, что рациональная симметричная функция корней выражается через коэффициенты, непосредственно следует возможность определить уравнение (определенной степени), корнями которого служат различные значения любой заданной (несимметричной) функции корней данного уравнения. Например, в случае уравнения четвертой степени с корнями (a, b, c, d) можно найти уравнение, имеющее корни ab, ac, ad, bc, bd, cd (и представляющее собой, таким образом, уравнение шестой степени): а именно, в произведении

(y − ab)(y − ac)(y − ad)(y − bc)(y − bd)(y − cd)

коэффициенты различных степеней y будут симметричными функциями a, b, c, d и, следовательно, рациональными и целыми функциями коэффициентов уравнения четвертой степени; следовательно, представив произведение в таком виде и приравняв его к нулю, мы получим искомое уравнение шестой степени. Тем же способом можно найти уравнение шестой степени с корнями (a − b)², (a − c)², (a − d)², (b − c)², (b − d)², (c − d)², которое представляет собой упоминавшееся ранее уравнение разностей; аналогичным образом мы получаем уравнение разностей для заданного уравнения любой степени. Далее, искомое уравнение может быть уравнением, имеющим своими n корнями заданные рациональные функции φ(a), φ(b), ... различных корней данного уравнения. Любая такая рациональная функция может (как было показано) быть выражена как рациональная и целая функция степени n − 1; и, сохраняя x вместо любого из корней, задача сводится к нахождении y из уравнений xn − p1xn−1 ... = 0 и y = M0xn−1 + M1xn−2 + ... или, что то же самое, к исключению x из этих двух уравнений. Это по сути преобразование Э.В. Чирнхауза (1683 г.).

14. В связи с изложенным выше возникает вопрос о количестве значений (получаемых перестановками корней) заданных несимметричных функций корней или, скажем, заданного набора букв: например, при наличии корней или букв (a, b, c, d), как и прежде, сколько существует значений функции ab + cd или, лучше сказать, сколько существует функций такого вида? Ответ: 3, а именно ab + cd, ac + bd, ad + bc; кроме того, можно спросить, существуют ли для заданного числа букв функции с заданным количеством значений — трехзначные, четырехзначные функции и т. д.

Сразу видно, что для любого заданного числа букв существуют двухзначные функции; произведение разностей букв является такой функцией; как бы ни переставлялись буквы, оно меняет только свой знак; иными словами, эти два значения равны Δ и −Δ. Если P и Q — симметричные функции букв, то общая форма такой функции есть P + QΔ; она имеет всего два значения: P + QΔ и P − QΔ.

Для 4 букв существуют (как показано выше) трехзначные функции; однако для 5 букв не существует никаких трехзначных или четырехзначных функций, а единственными пятизначными функциями являются те, которые симметричны относительно четырех букв и могут тем самым быть выражены через одну букву и симметричные функции всех букв. Эти последние теоремы возникают при доказательстве невозможности решения уравнения пятой степени в радикалах.

Эта теория является обширной и важной, опираясь на понятия подстановок и групп (см.).

15. Возвращаясь к уравнениям, мы приходим к весьма важной теореме о том, что при заданном значении любой несимметричной функции корней, например, в случае уравнения четвертой степени — функции ab + cd, в общем случае можно рационально определить значение любой подобной функции, такой как (a + b)³ + (c + d)³.

Априорное обоснование этой теоремы можно проиллюстрировать на числовом уравнении. Предположим, что корнями уравнения четвертой степени являются 1, 2, 3, 4; тогда, если дано, что ab + cd = 14, это фактически определяет a и b как 1 и 2, а c и d как 3 и 4 (а именно: a = 1, b = 2 или a = 2, b = 1, и c = 3, d = 4 или c = 3, d = 4), либо же a и b как 3 и 4, а c и d как 1 и 2; следовательно, это фактически определяет значение (a + b)³ + (c + d)³ как равное 370, и никакое другое; то есть выражение (a + b)³ + (c + d)³, имея единственное значение, должно определяться рационально. Тем же способом мы можем объяснить случаи неудачи применительно к конкретным уравнениям; так, если корни равны 1, 2, 3, 4, как и прежде, то a²b = 2 определяет a = 1 и b = 2, но если бы корнями были 1, 2, 4, 16, то a²b = 16 не определяет однозначно a и b, а лишь делает их равными соответственно 1 и 16 или 2 и 4.

Что касается апостериорного доказательства, предположим, например,

t₁ = ab + cd, y₁ = (a + b)³ + (c + d)³, t₂ = ac + bd, y₂ = (a + c)³ + (b + d)³, t₃ = ad + bc, y₃ = (a + d)³ + (b + c)³;

тогда y₁ + y₂ + y₃, t₁y₁ + t₂y₂ + t₃y₃, t₁²y₁ + t₂²y₂ + t₃²y₃ будут соответственно симметричными функциями корней уравнения четвертой степени и, следовательно, рациональными и целыми функциями коэффициентов; то есть они будут известны.

Предположим на мгновение, что t₁, t₂, t₃ все известны; тогда, поскольку уравнения являются линейными относительно y₁, y₂, y₃, их можно выразить рационально через коэффициенты и через t₁, t₂, t₃; то есть y₁, y₂, y₃ будут известны. Но заметим далее, что y₁ получается как функция от t₁, t₂, t₃, симметричная относительно t₂, t₃; поэтому она может быть выражена как рациональная функция от t₁ и от t₂ + t₃, t₂t₃, а отсюда — как рациональная функция от t₁ и от t₁ + t₂ + t₃, t₁t₂ + t₁t₃ + t₂t₃, t₁t₂t₃; но последние являются симметричными функциями корней, и как таковые они выражаются рационально через коэффициенты; то есть y₁ будет выражена как рациональная функция от t₁ и от коэффициентов; или же, при известном t₁ (самом по себе, а не t₂ или t₃), y₁ будет определена рационально.

16. Теперь мы рассмотрим вопрос об алгебраическом решении уравнений или, точнее, о решении уравнений в радикалах.

В случае квадратного уравнения x² − px + q = 0 мы можем с помощью знака √( ) или ( )¹ᐟ² найти выражение для x как двузначной функции коэффициентов p, q такое, что при подстановке этого значения в уравнение последнее тождественно удовлетворяется; было найдено, что это выражение имеет вид

x = ½ {p ± √(p² − 4q)},

и уравнение по этой причине называется алгебраически разрешимым, или, точнее, разрешимым в радикалах. Или же мы можем, записав x = −½p + z, привести уравнение к виду z² = ¼(p² − 4q), то есть к уравнению вида x² = a; и в силу такой приводимости мы говорим, что исходное уравнение разрешимо в радикалах. И вопрос для уравнения любого более высокого порядка, скажем порядка n, состоит в следующем: можем ли мы с помощью радикалов (то есть с помощью знака ᵐ√( ) или ( )¹ᐟᵐ, используя сколько угодно таких знаков и при любых значениях m) найти n-значную функцию (или любую функцию) коэффициентов, которая при подстановке вместо x в уравнение удовлетворяет ему тождественно?

Заметим, что коэффициенты p, q ... не рассматриваются явно как числа, но даже если они обозначают числа, вопрос о том, допускает ли числовое уравнение решение в радикалах, совершенно не связан с упомянутой выше теоремой о существовании n корней такого уравнения. Из этого даже не следует, что в случае числового уравнения, разрешимого в радикалах, алгебраическое решение дает числовое решение, однако это требует пояснения. Рассмотрим сначала числовое квадратное уравнение с мнимыми коэффициентами. В формуле x = ½ {p ± √(p² − 4q)}, подставляя вместо p, q их заданные числовые значения, мы получаем для x выражение вида x = α + βi ± √(γ + δi), где α, β, γ, δ — действительные числа. Это выражение, подставленное вместо x в квадратное уравнение, удовлетворяло бы ему тождественно, и таким образом оно представляет собой алгебраическое решение; но нет очевидной априорной причины, почему √(γ + δi) должно иметь значение c + di, где c и d — действительные числа, вычисляемые извлечением корня или корней из действительных чисел; тем не менее дело обстоит так (чего не было никаких априорных оснований ожидать), что √(γ + δi) имеет такое значение, вычисляемое с помощью радикальных выражений √{√(γ² + δ²) ± γ}; и следовательно, алгебраическое решение числового квадратного уравнения в каждом случае дает числовое решение. Случай числового кубического уравнения будет рассмотрен вскоре.

17. Кубическое уравнение может быть решено в радикалах.

Взяв для большей простоты кубическое уравнение в приведенном виде x³ + qx − r = 0 и полагая x = a + b, мы получим решение при условии, что 3ab = q и a³ + b³ = r, — уравнения, которые дают (a³ − b³)² = r² − ⁴⁄₂₇q³, то есть квадратное уравнение, разрешимое в радикалах и дающее a³ − b³ = √(r² − ⁴⁄₂₇q³), двузначную функцию коэффициентов: объединяя это с a³ + b³ = r, мы получаем a³ = ½ {r + √(r² − ⁴⁄₂₇q³)}, двузначную функцию; затем мы находим a с помощью кубического корня, а именно:

a = ³√[½ {r + √(r² − ⁴⁄₂₇q³)}],

шестизначную функцию коэффициентов; но затем, записав q = b/3a, мы получаем, как можно показать, a + b — трехзначную функцию коэффициентов; и x = a + b есть требуемое решение в радикалах. Было бы ошибкой завершать решение записью

b = ³√[½ {r − √(r² − ⁴⁄₂₇q³)}],

ибо тогда a + b было бы дано как девятизначная функция, имеющая только 3 своих значения корнями, а остальные 6 значений являлись бы посторонними. Заметим, что в этом последнем процессе мы не используем уравнение 3ab = q в его первоначальном виде, а используем лишь производное уравнение 27a³b³ = q³, которое подразумевается исходным видом, но не подразумевает его.

Интересной вариацией решения является запись x = ab(a + b), дающая a³b³(a³ + b³) = r и 3a³b³ = q, или, скажем, a³ + b³ = 3r/q, a³b³ = ⅓q; и следовательно,

a³ = 3⁄2 {r + √(r² − 4⁄27 q³) }, b³ = 3⁄2 {r − √(r² − 4⁄27 q³) }, q q то есть здесь a³ и b³ представляют собой каждое двузначную функцию, но поскольку единственным эффектом изменения знака квадратичного радикала является перестановка a³ и b³, их можно рассматривать как каждое однозначные; a и b каждое суть трехзначные функции (ибо заметьте, что здесь дано лишь a³b³, а не ab); и ab(a + b) таким образом на вид является девятизначной функцией; но легко показать, что она является (как и должно быть) лишь трехзначной.

В случае числового кубического уравнения, даже когда коэффициенты действительны, при подстановке их значений в выражение

x = ³√[½ {r + √(r² − ⁴⁄₂₇q³)}] + ⅓q ÷ ³√[½ {r + √(r² − ⁴⁄₂₇q³)}],

оно может зависеть от выражения вида ³√(γ + δi), где γ и δ — действительные числа (это будет иметь место, если r² − ⁴⁄₂₇q³ представляет собой отрицательное число), и тогда мы не можем посредством извлечения какого-либо корня или корней из действительных положительных чисел привести ³√(γ + δi) к виду c + di, где c и d — действительные числа; следовательно, здесь алгебраическое решение не дает числового решения, и мы имеем здесь так называемый «неприводимый случай» кубического уравнения. Из предыдущего следует, что в этом нет ничего неожиданного; алгебраическое решение делает решение зависимым от извлечения кубического корня из числа, и не было никаких причин ожидать, что это число окажется действительным. Общеизвестно, что рассматриваемый случай — это тот, в котором все три корня числового кубического уравнения действительны; если же два корня мнимые, а один действительный, то, наоборот, количество под знаком кубического корня является действительным, и алгебраическое решение дает числовое.

Неприводимый случай разрешим с помощью тригонометрической формулы, но это не есть решение в радикалах: оно заключается по сути введении заданного числового кубического уравнения (не к кубическому уравнению вида z³ = a, разрешимому извлечением кубического корня, а) к кубическому уравнению вида 4x³ − 3x = a, соответствующему уравнению 4 cos³ θ − 3 cos θ = cos 3θ, которое служит для определения cos θ, когда cos 3θ известен. Эта теория применима к алгебраическому кубическому уравнению; скажем, что такое уравнение, если его можно привести к виду 4x³ − 3x = a, разрешимо «трисекцией» — тогда общее кубическое уравнение разрешимо трисекцией.

18. Уравнение четвертой степени разрешимо в радикалах, и следует отметить, что существование такого решения зависит от существования трехзначных функций четырех корней (a, b, c, d), таких как ab + cd: в силу изложенного выше, ab + cd является корнем кубического уравнения, которое разрешимо в радикалах; следовательно, ab + cd может быть найдено в радикалах; и поскольку abcd есть заданная функция, ab и cd могут быть затем найдены в радикалах. Но согласно изложенному выше, если ab известно, то любая подобная функция, скажем a + b, получается рационально; и тогда из значений a + b и ab мы можем в радикалах получить значение a или b, то есть выражение для корня данного уравнения четвертой степени: получаемое в итоге выражение является четырехзначным, что соответствует различным значениям нескольких входящих в него радикалов, и таким образом мы получаем выраженное в радикалах выражение для каждого из четырех корней уравнения четвертой степени. Но когда уравнение четвертой степени является числовым, происходит то же самое, что и в кубическом уравнении, и алгебраическое решение далеко не во всяком случае дает числовое.

Из предыдущего объяснения касательно уравнения четвертой степени будет понятно, как в следующем далее случае, в случае уравнения пятой степени, вопрос о разрешимости в радикалах зависит от существования или несуществования k-значных функций пяти корней (a, b, c, d, e); фундаментальной теоремой является уже сформулированная: рациональная функция пяти букв, если она имеет менее 5 значений, не может иметь более 2 значений, то есть не существует 3-значных или 4-значных функций от 5 букв; и на основе рассуждений, зависящих отчасти от этой теоремы, Н.Х. Абель (1824) показал, что общее уравнение пятой степени не разрешимо в радикалах; и тем более (a fortiori) общее уравнение любого порядка выше 5 не разрешимо в радикалах.

19. Общая теория разрешимости уравнения в радикалах принципиально опирается на замечание А.Т. Вандермонда (1770) о том, что если предположить, что уравнение разрешимо в радикалах, и мы имеем поэтому алгебраическое выражение x через коэффициенты, то при подстановке вместо коэффициентов их значений через корни получающееся выражение должно сводиться к любому из корней a, b, c ... по нашему выбору; так, в случае квадратного уравнения в выражении x = ½ {p + √(p² − 4q)}, подставляя вместо p и q их значения и замечая, что (a + b)² − 4ab = (a − b)², мы получаем x = ½ {a + b + √(a − b)²}, причем значение равно a или b в зависимости от того, берется ли радикал со знаком +(a − b) или −(a − b).

Так же и в кубическом уравнении x³ − px² + qx − r = 0, если корнями являются а, b, c, и если через ω обозначен мнимый кубический корень из единицы, ω² + ω + 1 = 0, то, обозначая для краткости p = a + b + c, L = a + ωb + ω²c, M = a + ω²b + ωc, мы сразу видим, что LM, L³ + M³, а следовательно, и (L³ − M³)² являются симметричными функциями корней и, следовательно, рациональными функциями коэффициентов; отсюда

½ {L³ + M³ + √(L³ − M³)²}

представляет собой рациональную функцию коэффициентов, которая при замене их на их значения в качестве функций корней становится — в зависимости от знака, придаваемого квадратичному радикалу, — равной L³ или M³; принимая ее равной L³, кубический корень из этого выражения имеет три значения L, ωL, ω²L; а LM, деленное на тот же кубический корень, имеет, следовательно, значения M, ω²M, ωM; откуда в итоге выражение

⅓ [p + ³√{½(L³ + M³ + √(L³ − M³)₂)} + LM ÷ ³√{½L³ + M³ + √(L³ − M³)₂)}]

имеет три значения

1⁄3 (p + L + M), 1⁄3 (p + ωL + ω²M), 1⁄3 (p + ω²L + ωM);

то есть они равны соответственно a, b, c. Если бы вместо L³ было взято значение M³, то выражение имело бы те же три значения a, b, c. Сравнивая решение, данное для кубического уравнения x³ + qx − r = 0, нетрудно видеть, что оба решения идентичны и что функция r² − ⁴⁄₂₇q³ под знаком радикала должна (с помощью соотношения p = 0, которое имеет место в данном случае) сводиться к (L³ − M³)²; лишь благодаря тому, что каждый радикал равен рациональной функции корней, окончательное выражение может стать равным соответственно корням a, b, c.

Формулы для кубического уравнения были получены Ж.Л. Лагранжем (1770–1771) с другой точки зрения. Изучая и сравнивая основные известные методы решения алгебраических уравнений, он обнаружил, что все они в конечном счете зависят от нахождения «резольвентного» уравнения, корнем которого является a + ωb + ω²c + ω³d + ..., где ω — мнимый корень из единицы того же порядка, что и уравнение; например, для кубического уравнения корень равен a + ωb + ω²c, где ω — мнимый кубический корень из единицы. Очевидно, этот метод дает для L³ квадратное уравнение, которое в данном конкретном случае является «резольвентным» уравнением.

Для уравнения четвертой степени формулы имеют несколько иной вид по той причине, что 4 не является простым числом. Пытаясь применить этот метод к уравнению пятой степени, мы ищем уравнение, корнем которого является (a + ωb + ω²c + ω³d + ω⁴e), где ω — мнимый пятый корень из единицы, или точнее, его пятая степень (a + ωb + ω²c + ω³d + ω⁴e)⁵; это 24-значная функция, но если мы рассмотрим четыре значения, соответствующие корням из единицы ω, ω², ω³, ω⁴, а именно значения

(a + ωb + ω²c + ω³d + ω⁴e)⁵,

(a + ω²b + ω⁴c + ωd + ω³e)⁵,

(a + ω³b + ωc + ω⁴d + ω²e)⁵,

(a + ω⁴b + ω³c + ω²d + ωe)⁵,

то любая их симметричная функция, например их сумма, является 6-значной функцией корней и поэтому может быть определена посредством уравнения шестой степени, коэффициенты которого суть рациональные функции коэффициентов исходного уравнения пятой степени; вывод заключается в том, что решение уравнения пятой степени сводится к решению уравнения шестой степени. Это, конечно, бесполезно для решения уравнения пятой степени, которое, как уже упоминалось, не допускает решения в радикалах; но уравнение шестой степени — резольвентная секстика Лагранжа — очень важно и тесно связано со всеми последующими исследованиями в этой теории.

27. [b270] Следует отметить в отношении вопроса о разрешимости в радикалах, что коэффициенты считаются не только произвольными, но предполагается также, что каждый из них представлен одной буквой, или, скажем лучше, что они не выражены через другие произвольные величины так, чтобы сделать решение возможным. Если коэффициенты не все произвольны, например, если некоторые из них равны нулю, уравнение шестой степени может иметь вид x⁶ + bx⁴ + cx² + d = 0 и тем самым решаться как кубическое; или если коэффициенты уравнения шестой степени суть заданные функции шести произвольных величин a, b, c, d, e, f такие, что уравнение шестой степени на самом деле имеет вид (x² + ax + b)(x⁴ + cx³ + dx² + ex + f) = 0, то оно распадается на уравнения x² + ax + b = 0, x⁴ + cx³ + dx² + ex + f = 0 и, следовательно, разрешимо в радикалах; точно так же, если форма имеет вид (x − a)(x − b)(x − c)(x − d)(x − e)(x − f) = 0, то уравнение разрешимо в радикалах, причем в этом предельном случае — рационально. Такие случаи разрешимости очевидны сами по себе; но их достаточно, чтобы показать, что общая теорема о неразрешимости в радикалах уравнения пятой или любого более высокого порядка никоим образом не исключает для таких порядков существования частных уравнений, разрешимых в радикалах, и существуют, по сути, обширные классы уравнений, которые разрешимы таким образом; примером тому служат двучленные уравнения xⁿ − 1 = 0.

21. [b271] Уже было показано, как различные корни уравнения xⁿ − 1 = 0 могут быть выражены в виде cos 2sπ/n + i sin 2sπ/n, но теперь речь идет об алгебраическом решении (или решении в радикалах) этого уравнения. Всегда существует корень, равный 1; если ω — любой другой корень, то очевидно, что ω, ω², ... ωⁿ⁻¹ являются всеми корнями; выражение xⁿ − 1 содержит множитель x − 1, и таким образом оказывается, что ω, ω², ... ωⁿ⁻¹ суть n − 1 корни уравнения

xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻² + ... + x + 1 = 0;

мы имеем, конечно, ωⁿ⁻¹ + ωⁿ⁻² + ... + ω + 1 = 0.

Следует различать случаи, когда n — простое число, и когда n — составное; причем в последнем случае имеется различие в зависимости от того, являются ли простые множители n простыми или кратными. В качестве иллюстрации рассмотрим последовательно n = 15 и n = 9; в первом случае, если α — мнимый корень уравнения x³ − 1 = 0 (или корень уравнения x² + x + 1 = 0), а β — мнимый корень уравнения x⁵ − 1 = 0 (или корень уравнения x⁴ + x³ + x² + x + 1 = 0), то ω можно взять равным αβ; последовательные его степени αβ, α²β², β³, αβ⁴, α², β, αβ², α²β³, β⁴, α, α²β, β², αβ³, α²β⁴ являются корнями уравнения x¹⁴ + x¹³ + ... + x + 1 = 0; таким образом, решение зависит от решения уравнений x³ − 1 = 0 и x⁵ − 1 = 0. Во втором случае, если α — мнимый корень уравнения x³ − 1 = 0 (или корень уравнения x² + x + 1 = 0), то уравнение x⁹ − 1 = 0 дает x³ = 1, α или α²; x³ = 1 дает x = 1, α или α²; и решение таким образом зависит от решения уравнений x³ − 1 = 0, x³ − α = 0, x³ − α² = 0. Первое уравнение имеет корни 1, α, α²; если β — корень любого из остальных, скажем, если β³ = α, то, полагая ω = β, последовательные степени суть β, β², α, αβ, αβ², α², α²β, α²β², которые являются корнями уравнения x⁸ + x⁷ + ... + x + 1 = 0.

Отсюда следует, что единственный случай, который необходимо рассмотреть, — это когда n является простым числом, и обозначая (как это более принято) r вместо ω, мы имеем r, r², r³, ... rⁿ⁻¹ в качестве (n − 1) корней приведенного уравнения

xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻² + ... + x + 1 = 0;

тогда не только rⁿ − 1 = 0, но также rⁿ⁻¹ + rⁿ⁻² + ... + r + 1 = 0.

23. Процесс решения, принадлежащий Карлу Фридриху Гауссу (1801), по существу зависит от расположения корней в определенном порядке, а именно — не так, как выше, с показателями степени r в арифметической прогрессии, а с их показателями в геометрической прогрессии; простое число n имеет определенное число первообразных корней g, которые таковы, что gⁿ⁻¹ есть наименьшая степень g, сравнимая с 1 по модулю n (gⁿ⁻¹ ≡ 1 (mod. n)); или, что то же самое, ряд степеней 1, g, g², ... gⁿ⁻², будучи разделен на n, дает (в ином порядке) остатки 1, 2, 3, ... n − 1; следовательно, придавая r последовательно показатели 1, g, g², ... gⁿ⁻², мы получаем в ином порядке весь ряд корней r, r², r³, ... rⁿ⁻¹.

В самом простом случае, n = 5, решаемое уравнение имеет вид x⁴ + x³ + x² + x + 1 = 0; здесь 2 является первообразным корнем 5, а порядок корней есть r, r², r⁴, r³. Гауссовский процесс заключается в составлении уравнения для определения периодов P₁, P₂, равных соответственно r + r⁴ и r² + r³; — причем они таковы, что симметричные функции P₁ + P₂, P₁P₂ определяются рационально: в самом деле, P₁ + P₂ = −1, P₁P₂ = (r + r⁴)(r² + r³) = r³ + r⁴ + r⁶ + r⁷ = r³ + r⁴ + r + r² = −1. Таким образом, P₁, P₂ являются корнями уравнения u² + u − 1 = 0; и принимая их известными, их самих разбивают на подпериоды, в данном случае на отдельные члены: r и r⁴ для P₁, r² и r³ для P₂; симметричные функции этих членов затем рационально определяются через P₁ и P₂; так, r + r⁴ = P₁, r · r⁴ = 1, или r, r⁴ суть корни уравнения u² − P₁u + 1 = 0. Способ деления более отчетливо виден для большего значения n; так, для n = 7 первообразный корень равен 3, и расположение корней имеет вид r, r³, r², r⁶, r⁴, r⁵. Мы можем образовать либо 3 периода, каждый из 2 членов: P₁, P₂, P₃, равные соответственно r + r⁶, r³ + r⁴, r² + r⁵; либо же 2 периода, каждый из 3 членов: P₁, P₂, равные соответственно r + r² + r⁴, r³ + r⁶ + r⁵; в каждом случае симметричные функции периодов определяются рационально: так, в случае двух периодов P₁ + P₂ = −1, P₁P₂ = 3 + r + r² + r³ + r⁴ + r⁵ + r⁶ = 2; и будучи известными, периоды и симметричные функции различных членов каждого периода рационально определяются через периоды, таким образом: r + r² + r⁴ = P₁, r · r² + r · r⁴ + r² · r⁴ = P₂, r · r² · r⁴ = 1.

Теория получила дальнейшее развитие в работах Лагранжа (1808), который, применив свой общий процесс к рассматриваемому уравнению xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻² + ... + x + 1 = 0 (где корни a, b, c ... являются различными степенями r, а показатели образуют геометрическую прогрессию, как указано выше), показал, что функция (a + ωb + ω²c + ...)ⁿ⁻¹ в данном случае является заданной функцией от ω с целочисленными коэффициентами.

Возвращаясь к упомянутому выше частному уравнению x⁴ + x³ + x² + x + 1 = 0, весьма интересно сравнить процесс его решения с процессом решения общего уравнения четвертой степени, корни которого суть a, b, c, d.

Возьмем ω, корень уравнения ω⁴ − 1 = 0 (откуда ω по нашему усмотрению равна 1, −1, i или −i), и рассмотрим выражение

(a + ωb + ω²c + ω³d)⁴,

развернутое значение которого имеет вид

= a4 + b4 + c4 + d4 + 6 (a²c² + b²d²) + 12 (a²bd + b²ca + c²db + d²ac) +ω {4 (a³b + b³c + c³ + d³a) + 12 (a²cd + b²da + c²ab + d²bc) } +ω² {6 (a²b² + b²c² + c²d² + d²a²) + 4 (a³c + b³d + c³a + d³b) + 24abcd} +ω³ {4 (a³d + b³a + c³b + d³c) + 12 (a²bc + b²cd + c²da + d²ab) }

то есть это есть 6-значная функция от a, b, c, d, корень уравнения шестой степени (которое, по сути, разрешимо в радикалах, но здесь это не имеет существенного значения).

Если же a, b, c, d обозначают корни r, r², r⁴, r³ специального уравнения, то выражение принимает вид

r4 + r³ + r + r² + 6 (1 + 1) + 12 (r² + r4 + r³ + r) + ω {4 (1 + 1 + 1 + 1) + 12 (r4 + r³ + r + r²) } + ω²{6 (r + r² + r4 + r³) + 4 (r² + r4 + r³ + r) } + ω³{4 (r + r² + r4 + r³) + 12 (r³ + r + r² + r4) }

а именно, оно равно

= −1 + 4ω + 14ω² − 16ω³,

полностью определенному значению. То есть мы имеем

(r + ωr² + ω²r⁴ + ω³r³)⁴ = −1 + 4ω + 14ω² − 16ω³,

результат, который содержит решение уравнения. Если ω = 1, мы получаем (r + r² + r⁴ + r³)⁴ = 1, что верно; если ω = −1, то (r + r⁴ − r² − r³)⁴ = 25; если ω = i, то мы имеем {r − r⁴ + i(r² − r³)}⁴ = −15 + 20i; и если ω = −i, то {r − r⁴ − i(r² − r³)}⁴ = −15 − 20i; решение может быть завершено без труда.

Результат является совершенно общим, а именно: если n — простое число, r — корень уравнения xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻² + ... + x + 1 = 0, ω — корень уравнения ωⁿ⁻¹ − 1 = 0, а g — первообразный корень сравнения gⁿ⁻¹ ≡ 1 (mod. n), то

(r + ωrᵍ + ... + ωⁿ⁻²rᵍⁿ⁻² )ⁿ⁻¹

представляет собой заданную функцию M₀ + M₁ω ... + Mⁿ⁻²ωⁿ⁻² с целочисленными коэффициентами, и путем извлечения (n − 1)-х корней из этого и подобных выражений мы в конечном счете получаем r через ω, которое считается известным; уравнение xⁿ − 1 = 0 для простого n тем самым разрешимо в радикалах. В частности, если n − 1 есть степень двойки, решение (любым из процессов) требует извлечения только квадратных корней; именно так Гаусс обнаружил возможность геометрического построения правильных многоугольников с 17 и 257 сторонами соответственно. Некоторые интересные разработки в отношении этой теории были получены К.Г.Я. Якоби (1837); см. мемуар «Ueber die Kreistheilung, u.s.w.», Crelle, t. xxx. (1846).

Уравнение xⁿ⁻¹ + ... + x + 1 = 0 рассматривалось само по себе, но оно также служит образцом класса уравнений, разрешимых в радикалах, которые рассматривались Н.Х. Абелем (1828) и с тех пор называются абелевыми уравнениями; а именно, для абелева уравнения порядка n, если x — любой корень, то корнями являются x, θx, θ²x, ... θⁿ⁻¹x (где θx — рациональная функция от x, а θⁿx = x); эта теория, по сути, весьма аналогна теории вышеупомянутого частного случая.

Более общая теорема, полученная Абелем, звучит следующим образом: если корни уравнения любого порядка связаны между собой таким образом, что все корни могут быть выражены рационально через любой из них, скажем x; если, кроме того, для любых двух корней θx, θ₁x выполняется соотношение θθ₁x = θ₁θx, то уравнение будет разрешимо в алгебраическом смысле. Следует также упомянуть определение неприводимого уравнения, данное Абелем: уравнение φx = 0, коэффициенты которого суть рациональные функции некоторого числа известных величин a, b, c ..., называется неприводимым, когда невозможно выразить его корни с помощью уравнения низшей степени, коэффициенты которого также являются рациональными функциями a, b, c ... (или, что то же самое, когда φx не распадается на множители, которые суть рациональные функции a, b, c ...). Абель применил свою теорию к уравнениям, возникающим при делении эллиптических функций, но не к модулярным уравнениям.

24. Но теория алгебраического решения уравнений в ее наиболее завершенной форме была создана Эваристом Галуа (родился в октябре 1811 года, погиб на дуэли в мае 1832 года; см. его собрание сочинений: Liouville, t. xl., 1846). Определение неприводимого уравнения напоминает определение Абеля: уравнение является приводимым, если оно допускает рациональный делитель, и неприводимым в противном случае; только слово «рациональный» используется в расширенном смысле, согласно которому в связи с коэффициентами данного уравнения или с иррациональными величинами (если таковые имеются), из которых они состоят, он рассматривает любое число других иррациональных величин, называемых «присоединенными радикалами», и называет рациональной любую рациональную функцию коэффициентов (или иррациональностей, из которых они состоят) и этих присоединенных радикалов; таким образом, эпитет «неприводимый» понимается либо в абсолютном, либо в относительном смысле, в зависимости от системы присоединенных радикалов, принимаемых во внимание. Например, рассмотрим уравнение x⁴ + x³ + x² + x + 1 = 0; левая часть здесь не имеет рационального делителя, и уравнение неприводимо; но эта функция равна (x² + ½x + 1)² − ⁵⁄₄x², и таким образом она имеет иррациональные делители x² + ½(1 + √5)x + 1, x² + ½(1 − √5)x + 1; и если мы присоединим радикал √5, эти делители станут рациональными, и уравнение перестанет быть неприводимым. В случае заданного уравнения, предполагаемого неприводимым, задача решения уравнения состоит, по сути, в отыскании радикалов, посредством присоединения которых уравнение становится приводимым; например, общее квадратное уравнение x² + px + q = 0 неприводимо, но оно становится приводимым, распадаясь на рациональные линейные множители, когда мы присоединяем радикал √(¼p² − q).

Фундаментальной теоремой является Предложение I из «Мемуара об условиях разрешимости уравнений в радикалах» («Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux»); а именно: для заданного уравнения, корнями которого являются m корней a, b, c ..., всегда существует группа перестановок букв a, b, c ..., обладающая следующими свойствами:

1. Каждая функция корней, инвариантная относительно подстановок группы, рационально известна.

2. Обратно, каждая рационально определяемая функция корней инвариантна относительно подстановок группы.

Здесь под инвариантной функцией понимается не только функция, форма которой инвариантна относительно подстановок группы, но далее и такая, значение которой инвариантно относительно этих подстановок: например, если уравнение имеет вид φ(x) = 0, то φ(x) является функцией корней, инвариантной при любой подстановке вообще. И когда говорят, что функция рационально известна, имеется в виду, что ее значение выражается рационально через коэффициенты и присоединенные величины.

Например, в случае общего уравнения группой является просто система 1 · 2 · 3 ... n перестановок всех корней, поскольку в этом случае единственными рационально определяемыми функциями являются симметричные функции корней.

В случае уравнения xⁿ⁻¹ ... + x + 1 = 0, где n — простое число, a, b, c ... k = r, rᵍ, rᵍ² ... rᵍⁿ⁻², где g — первообразный корень из n, группой является циклическая группа abc ... k, bc ... ka, ... kab ... j, то есть в данном конкретном случае число перестановок группы равно порядку уравнения.

Это понятие группы исходного уравнения или группы уравнения в ее изменении путем присоединения ряда радикалов представляется фундаментальным в теории Галуа. Но проблема решения в радикалах, вместо того чтобы быть единственной целью теории, предстает как первое звено длинной цепи вопросов, касающихся преобразования и классификации иррациональностей.

Возвращаясь к вопросу о решении в радикалах, легко понять, что посредством присоединения радикала группа может уменьшиться; например, в случае общего кубического уравнения, где группой является группа из шести перестановок, при присоединении квадратного корня, входящего в решение, группа сводится к abc, bca, cab; то есть становится возможным выразить рационально, через коэффициенты и через присоединенный квадратный корень, любую функцию вроде a²b + b²c + c²a, которая не изменяется при циклической подстановке a в b, b в с, с в а. И следовательно, чтобы определить, разрешимо ли уравнение заданного вида в радикалах, ход исследования заключается в том, чтобы выяснить, возможно ли путем последовательного присоединения радикалов уменьшить исходную группу уравнения так, чтобы в конечном счете она состояла из одной единственной перестановки.

Условие того, чтобы уравнение заданного простого порядка n было разрешимо в радикалах, было получено таким путем — первоначально в виде (едва ли понятном без дальнейших пояснений), что каждая функция корней x₁, x₂, ... xₙ, инвариантная относительно подстановок x_{(ak+b)} вместо xₖ, должна быть рационально известна; а затем в эквивалентной форме, согласно которой резольвентное уравнение порядка 1 · 2 ... (n − 2) должно иметь рациональный корень. В частности, условие того, чтобы уравнение пятой степени было разрешимо, состоит в том, что резольвента Лагранжа порядка 6 должна иметь рациональный множитель; этот результат был получен из прямого исследования в ценном мемуаре Э. Лютера в журнале Crelle, т. xxxiv. (1847).

Среди других результатов, доказанных или анонсированных Галуа, можно упомянуть те, которые относятся к модулярным уравнениям в теории эллиптических функций; для преобразований порядков 5, 7, 11 модулярные уравнения порядков 6, 8, 12 понижаются до порядков 5, 7 и 11 соответственно; но для преобразования с порядком n, являющимся простым числом больше 11, понижение невозможно.

Общая теория Галуа относительно решения уравнений была завершена, а некоторые доказательства дополнены Э. Бетти (1852). См. также курс высшей алгебры Ж.А. Серре (J.A. Serret, Cours d’algèbre supérieure), 2-е изд. (1854); 4-е изд. (1877–1878).

25. Возвращаясь к уравнениям пятой степени, Джордж Бирч Джеррард (1835) установил теорему о том, что общее уравнение пятой степени путем извлечения только квадратных и кубических корней приводимо к виду x⁵ + ax + b = 0 или, что то же самое, к виду x⁵ + x + b = 0. Сама редукция с помощью теоремы Чирнхауза была осуществлена Шарлем Эрмитом в связи с его решением уравнения пятой степени с помощью эллиптических функций (1858) весьма изящным образом. Сэром Джеймсом Коклом и Робертом Харли (1858–1859) в связи с формой Джеррарда, а также Артуром Кэли (1861) было показано, что резольвентное уравнение Лагранжа шестой степени может быть заменено более простым уравнением шестой степени, занимающим аналогичное место в теории.

Теория модулярных уравнений, более подробно для случая n = 5, изучалась Ш. Эрмитом, Л. Кронекером и Ф. Бриоски. В случае n = 5 модулярное уравнение порядка 6 зависит, как уже упоминалось, от уравнения порядка 5; и обратно, общее уравнение пятой степени может быть поставлено в зависимость от этого модулярного уравнения порядка 6; то есть, предполагая решение этого модулярного уравнения решенным, мы можем решить (не в радикалах) общее уравнение пятой степени; это есть решение общего уравнения пятой степени с помощью эллиптических функций, принадлежащее Эрмиту (1858); оно аналогично упоминавшемуся выше тригонометрическому решению кубического уравнения. Эта теория воспроизведена и развита в мемуаре Бриоски «Über die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade», Math. Annalen, т. xiii. (1877–1878).

26. Современный труд, воспроизводящий теории Галуа и представляющий теорию алгебраических уравнений как единое целое, — это книга К. Жордана «Traité des substitutions et des équations algébriques» (Париж, 1870). Труд разделен на четыре книги: книга I, предварительная, касающаяся теории сравнений; книга II состоит из двух глав: первая относится к подстановкам в общем, вторая — к подстановкам, определяемым аналитически, и главным образом к линейным подстановка; книга III имеет четыре главы, первая из которых рассматривает принципы общей теории, а остальные три содержат приложения к алгебре, геометрии и теории трансцендентных функций; наконец, книга IV, разделенная на семь глав, содержит определение общих типов уравнений, разрешимых в радикалах, и полную систему классификации этих типов. Беглый взгляд на указатель покажет огромный масштаб, которого достигла теория, и форму полученных общих выводов; так, в книге III алгебраические приложения включают абелевы уравнения, уравнения Галуа; геометрические включают уравнение К. Гессе, уравнения Р.Ф.А. Клебша, прямые на поверхности четвертого порядка с узловой линией, особые точки поверхности Э.Э. Куммера, прямые на кубической поверхности, задачи о касании; приложения к теории трансцендентных функций включают круговые функции, эллиптические функции (включая деление и модулярное уравнение), гиперэллиптические функции, решение уравнений с помощью трансцендентных функций. И по этому последнему вопросу — решению уравнений с помощью трансцендентных функций — мы можем привести следующий результат: «решение общего уравнения степени выше пятой не может быть поставлено в зависимость от решений уравнений для деления круговых или эллиптических функций», и далее (но со ссылкой на возможный исключительный случай): «общее уравнение не может быть решено с помощью уравнений, дающих деление гиперэллиптических функций на нечетное число частей». (См. также «Теория групп».)

(A. Ca.)

Библиография. — По общей теории см. У.С. Бёрнсайд и А.В. Пэнтон, «Теория уравнений» (4-е изд., 1899–1901); теория Галуа рассматривается в труде Дж.Б. Мэтьюза «Алгебраические уравнения» (1907). См. также «Ency. d. math. Wiss.», т. ii.

1 Коэффициенты были выбраны так, чтобы корни были близки к 1, 2, 3.

2 Третье издание (1826) представляет собой репродукцию издания 1808 года; первое издание датировано 1798 годом, но большая часть содержимого заимствована из мемуаров 1767–1768 и 1770–1771 годов.

3 Более ранние доказательства Эйлера, Лагранжа и др. относятся к случаю численного уравнения с вещественными коэффициентами и состоят в демонстрации того, что такое уравнение всегда имеет вещественный квадратичный делитель, дающий два корня, которые являются либо вещественными, либо сопряженными мнимыми α + βi (см. «Численные уравнения» Лагранжа).

4 Квадратный корень из α + βi может быть определен путем извлечения квадратных корней из положительных вещественных чисел без использования тригонометрических таблиц.

УРАВНЕНИЕ ЦЕНТРА в астрономии — угловое расстояние, измеренное вокруг центра движения, на которое планета, движущаяся по эллипсу, отклоняется от среднего положения, которое она занимала бы при равномерном движении. Его величина представляет собой поправку, которую необходимо прибавить со знаком плюс или минус к средней аномалии для получения истинной аномалии. Оно проистекает из эллиптичности орбиты, равно нулю в перицентре и апоцентре и достигает наибольшей величины примерно посередине между этими точками. (См. «Аномалия» и «Орбита».)

УРАВНЕНИЕ ВРЕМЕНИ — разница между истинным солнечным временем, определяемым прохождением реального солнца через меридиан, и средним временем, определяемым прохождением среднего солнца. Оно проходит через двойной период в течение года. Его величина для одной и той же даты варьируется на долю минуты от года к году и от одного меридиана к другому в один и тот же день. Следующая таблица показывает среднее значение для любой даты и для Гринвичского меридиана за ряд лет, от которого фактическая величина редко отклоняется более чем на 20 секунд вплоть до периода после 1950 года. Знак «+» указывает на то, что реальное солнце достигает меридиана после полудня по среднему времени; знак «−» — до полудня по среднему времени.