«Энциклопедия Британника, 11-е издание, Том 9, Выпуск 7: Уравнение — Этика»

Transcriber’s note:

A few typographical errors have been corrected. They appear in the text like this, and the explanation will appear when the mouse pointer is moved over the marked passage. Sections in Greek will yield a transliteration when the pointer is moved over them, and words using diacritic characters in the Latin Extended Additional block, which may not display in some fonts or browsers, will display an unaccented version.

Links to other EB articles: Links to articles residing in other EB volumes will be made available when the respective volumes are introduced online.

ЭНЦИКЛОПЕДИЯ БРИТАННИКА

СЛОВАРЬ ИСККУССТВ, НАУК, ЛИТЕРАТУРЫ И ОБЩИХ СВЕДЕНИЙ

ОДИННАДЦАТЫЕ ИЗДАНИЕ

ТОМ IX, ВЫПУСК VII Уравнение — Этика

Статьи в этом выпуске

EQUATION ESCHEAT EQUATION OF THE CENTRE ESCHENBURG, JOHANN JOACHIM EQUATION OF TIME ESCHENMAYER, ADAM KARL AUGUST VON EQUATOR ESCHER VON DER LINTH, ARNOLD EQUERRY ESCHSCHOLTZ, JOHANN FRIEDRICH EQUIDAE ESCHWEGE EQUILIBRIUM ESCHWEILER EQUINOX ESCOBAR Y MENDOZA, ANTONIO EQUITES ESCOIQUIZ, JUAN EQUITY ESCOMBE, HARRY EQUIVALENT ESCORIAL ÉRARD, SÉBASTIEN ESCOVEDO, JUAN DE ERASMUS, DESIDERIUS ESCUINTLA ERASTUS, THOMAS ESCUTCHEON ERATOSTHENES OF ALEXANDRIA ESHER, WILLIAM BALIOL BRETT ERBACH ESHER ERBIUM ESKER ERCILLA Y ZÚNIGA, ALONSO DE ESKILSTUNA ERCKMANN-CHATRIAN ESKIMO ERDÉLYI, JÁNOS ESKI-SHEHR ERDMANN, JOHANN EDUARD ESMARCH, JOHANNES FRIEDRICH AUGUST VON ERDMANN, OTTO LINNÉ ESNA EREBUS ESOTERIC ERECH ESPAGNOLS SUR MER, LES ERECHTHEUM ESPALIER ERECHTHEUS ESPARTERO, BALDOMERO ERESHKIGAL ESPARTO ERETRIA ESPERANCE ERETRIAN SCHOOL OF PHILOSOPHY ESPERANTO ERFURT ESPINAY, TIMOLÉON D’ ERGOT ESPINEL, VICENTE MARTINEZ ERIC XIV ESPIRITO SANTO ERICACEAE ESPRONCEDA, JOSÉ IGNACIO JAVIER ORIOL ENCARNACIÓN DE ERICHSEN, SIR JOHN ERIC ESQUIRE ERICHT, LOCH ESQUIROL, JEAN ÉTIENNE DOMINIQUE ERICSSON, JOHN ESQUIROS, HENRI FRANÇOIS ALPHONSE ERIDANUS ESS, JOHANN HEINRICH VAN ERIDU ESSAY, ESSAYIST ERIE (lake) ESSEG ERIE (city) ESSEN ERIGENA, JOHANNES SCOTUS ESSENES ERIGONE ESSENTUKI ERIN ESSEQUIBO ERINNA ESSEX, EARLS OF ERINYES ESSEX, ARTHUR CAPEL ERIPHYLE ESSEX, ROBERT DEVEREUX ERIS ESSEX, ROBERT DEVEREUX ERITH ESSEX, WALTER DEVEREUX ERITREA ESSEX ERIVAN (government of Russia) ESSEX, KINGDOM OF ERIVAN (town of Russia) ESSLINGEN ERLANGEN ESTABLISHMENT ERLE, SIR WILLIAM ESTABLISHMENT OF A PORT ERLKÖNIG ESTAING, CHARLES HECTOR ERMAN, PAUL ESTATE ERMANARIC ESTATE AND HOUSE AGENTS ERMELAND ESTATE DUTY ERMELO ESTCOURT, RICHARD ERMINE ESTE (family) ERMINE STREET ESTE (town) ERMOLDUS NIGELLUS ESTÉBANEZ CALDERÓN, SERAFÍN ERNE ESTELLA ERNEST I ESTERHÁZY OF GALÁNTHA ERNEST II ESTERS ERNEST AUGUSTUS ESTHER ERNESTI, JOHANN AUGUST ESTHONIA ERNESTI, JOHANN CHRISTIAN GOTTLIEB ESTIENNE ERNST, HEINRICH WILHELM ESTON ERODE ESTOPPEL EROS (planet) ESTOUTEVILLE, GUILLAUME D’ EROS (god of love) ESTOVERS ERPENIUS, THOMAS ESTRADA, LA ERROLL, FRANCIS HAY ESTRADE ERROR ESTRADES, GODEFROI ERSCH, JOHANN SAMUEL ESTREAT ERSKINE, EBENEZER ESTRÉES, GABRIELLE D’ ERSKINE, HENRY ESTREMADURA ERSKINE, JOHN (Scottish divine) ESTREMOZ ERSKINE, JOHN (of Carnock) ESTUARY ERSKINE, JOHN (of Dun) ESZTERGOM ERSKINE, RALPH ÉTAGÈRE ERSKINE, THOMAS (of Linlathen) ETAH ERSKINE, THOMAS ERSKINE ÉTAMPES, ANNE DE PISSELEU D’HEILLY ERUBESCITE ÉTAMPES ERYSIPELAS ÉTAPLES ERYTHRAE ETAWAH ERYTHRITE ETCHING ERZERUM ETEOCLES ERZGEBIRGE ETESIAN WIND ERZINGAN ÉTEX, ANTOINE ESAR-HADDON ETHER ESAU ETHEREDGE, SIR GEORGE ESBJERG ETHERIDGE, JOHN WESLEY ESCANABA ETHERIDGE, ROBERT ESCAPE ETHERS ESCHATOLOGY ETHICS

УРАВНЕНИЕ (от лат. aequatio, aequare — делать равным), выражение или утверждение о равенстве двух величин. Математическая эквивалентность обозначается знаком =, символом, изобретенным Робертом Рекордом (1510–1558), который считал, что ничто не может быть более равным, чем две равные и параллельные прямые линии. Уравнение выражает равенство, существующее между двумя классами величин, различаемыми как известные и неизвестные; они соответствуют исходным данным задачи и искомой величине. Целью математика является выражение неизвестных через известные отдельно друг от друга; это называется решением уравнения, а полученные таким образом значения неизвестных называются корнями или решениями. Неизвестные обычно обозначаются последними буквами алфавита — x, y, z, а известные либо являются конкретными числами, либо обозначаются буквами a, b, c и т. д., то есть начальными буквами алфавита. Любое число или буквенный символ, выражающие кратность члена уравнения, называются коэффициентом этого члена; а член, не содержащий неизвестного, называется свободным членом. Степень уравнения равна наибольшему показателю степени неизвестного в уравнении или наибольшей сумме показателей степеней в произведениях неизвестных. Если для каждого члена сумма показателей степеней одинакова, уравнение называется однородным. Эти определения иллюстрируются следующими уравнениями:—

(1) ax² + 2bx + c = 0,

(2) xy² + 4a²x = 8a³,

(3) ax² + 2hxy + by² = 0.

В уравнении (1) неизвестным является x, а известными — a, b, c; коэффициентами при x² и x являются a и 2b; свободный член равен c, а степень равна 2. В уравнении (2) неизвестными являются x и y, а известным — a; степень равна 3, то есть сумме показателей степеней в члене xy². (3) представляет собой однородное уравнение второй степени относительно x и y. Уравнения первой степени называются простыми или линейными; второй — квадратными; третьей — кубическими; четвертой — биквадратными; пятой — кубическими ( quintic — квинтучными / уравнениями пятой степени) и т. д. Для уравнений, содержащих только одно неизвестное, количество корней равно степени уравнения; таким образом, простое уравнение имеет один корень, квадратное — два, кубическое — три и т. д. Если дано одно уравнение, содержащее два неизвестных, как, например, ax + by = c или ax² + by² = c, то видно, что существует бесконечное множество корней, поскольку мы можем придать x, например, любое значение, а затем определить соответствующее значение y; такое уравнение называется неопределенным; из выбранных примеров первое является линейным, а второе — квадратичным неопределенным уравнением. В общем случае неопределенное уравнение получается тогда, когда число неизвестных на единицу превышает число уравнений. Если, с другой стороны, у нас есть два уравнения, связывающие два неизвестных, можно решить уравнения по отдельности относительно одного неизвестного, и тогда, приравняв эти значения, мы получим уравнение с одним неизвестным, которое разрешимо, если его степень не превышает четвертой. Подставив эти значения, находят соответствующие значения другого неизвестного. Такие уравнения называются системами уравнений (сильмутанными / одновременными); а система уравнений представляет собой ряд уравнений, число которых равно числу неизвестных. Такая система не всегда разрешима, поскольку может случиться так, что одно уравнение вытекает из остальных; когда это происходит, система называется поризматической или пористической. Тождество отличается от уравнения тем, что оно не может быть решено, так как члены взаимно уничтожаются; например, выражение x² − a² = (x − a)(x + a) является тождеством, поскольку при приведении оно дает 0 = 0. Для выражения этого отношения принято использовать знак ≡.

Уравнение допускает описание двумя способами: (1) оно может рассматриваться чисто как алгебраическое выражение или (2) как геометрическое место точек. В первом случае очевидно нет никаких ограничений на количество неизвестных и степень уравнения; следовательно, этот аспект является наиболее общим. Во втором случае количество неизвестных ограничено тремя, что соответствует тремя измерениям пространства; степень по-прежнему не ограничена. Следует отметить, однако, что путем введения соответствующих гиперпространств, то есть степени, равной числу неизвестных, любое уравнение теоретически допускает геометрическую визуализацию, иными словами, каждое уравнение может быть представлено геометрической фигурой, и каждая геометрическая фигура — уравнением. Этим двум аспектам соответствуют два типичных метода решения уравнений, а именно: алгебраический и геометрический. Первый приводит к точным результатам или, с помощью приближенных методов, к результатам, верным с любой требуемой степенью точности. Второй может дать лишь приближенные значения: когда доступны теоретически точные построения, источником погрешности является само черчение, а когда построения являются лишь приближенными, точность результатов становится более проблематичной. Однако геометрический аспект имеет значительную ценность при обсуждении теории уравнений.

История. Существует мало сомнений в том, что самые ранние решения уравнений приведены в папирусе Ринда — иератическом документе, написанном примерно за 2000 лет до нашей эры. Решаемые задачи носили арифметический характер и принимали такие формы, как «некая масса и ее 1/7 часть составляют 19». Называя неизвестную массу x, мы получаем x + 1/7 x = 19, что представляет собой простое уравнение. Арифметические задачи также дали начало уравнениям, содержащим два неизвестных; древним грекам были знакомы системы линейных уравнений, и они их решали, однако неопределенные уравнения, такие, например, как система, приведенная в «задаче о быках» Архимеда, не изучались серьезно до тех пор, пока Диофант не решил множество частных задач. Квадратные уравнения возникли в ходе греческих исследований в области теории пропорций, и хотя они были представлены и решены в геометрической форме, используемые методы не имеют отношения к обобщенной концепции алгебраической геометрии, которая представляет кривую уравнением и наоборот. Самое простое квадратное уравнение возникло при построении среднего пропорционального (x) между двумя отрезками (a, b) или при построении квадрата, равного данному прямоугольнику; поскольку мы имеем пропорцию a:x = x:b; то есть x² = ab. Более общее уравнение, а именно x² − ax + a² = 0, является алгебраическим эквивалентом задачи о делении отрезка в среднем и крайнем отношении; это решается у Евклида, кн. II, 11. Возможно, Диофант владел алгебраическим решением квадратных уравнений; однако он признавал только один корень, а интерпретация обоих корней была впервые осуществлена индусом Бхаскарой. Простое кубическое уравнение возникло в задаче о нахождении двух средних пропорциональных x, y между двумя отрезками, один из которых вдвое больше другого. Мы имеем a:x = x:y = y:2a, что дает x² = ay и xy = 2a²; исключая y, мы получаем x³ = 2a³, простое кубическое уравнение. Греки не могли решить это уравнение с помощью циркуля и линейки (оно также возникало в задачах удвоения куба и трисекции угла), а решали его только с помощью механических кривых, таких как циссоида, конхоида и квадратриса. Такие решения были значительно усовершенствованы арабами, которые также решали как кубические, так и биквадратные уравнения с помощью пересекающихся конических сечений; в то же время они развили методы, зародившиеся у Диофанта и усовершенствованные индусами, для нахождения приближенных корней числовых уравнений с помощью алгебраических процессов. Алгебраическое решение общего кубического и биквадратного уравнений было осуществлено в XVI веке С. Ферро, Н. Тарталья, Дж. Кардано и Л. Феррари (см. Алгебра: История). Было предпринято много безуспешных попыток решить в радикалах уравнение пятой степени, пока П. Руффини и Н.Х. Абель не доказали невозможность этой задачи; решение с использованием эллиптических функций было дано Ш. Эрмитом и Л. Кронекером, в то время как другое решение дал Ф. Клейн.

В геометрическом рассмотрении уравнений греки и арабы основывали свои построения на определенных эмпирически выведенных свойствах используемых кривых и фигур. Зная различные метрические соотношения, обычно выражаемые в виде пропорций, они находили возможным решать частные уравнения, но общего метода не хватало. Этот пробел был заполнен лишь в XVII веке, когда Декарт открыл общую теорию, объясняющую природу таких решений, в частности тех, в которых использовались конические сечения, и, кроме того, установил важнейшие факты о том, что каждое уравнение представляет геометрическое место точек, и наоборот. Для представления уравнений, содержащих два неизвестных x, y, он выбрал две взаимно перпендикулярные оси координат и откладывал x вдоль горизонтальной оси, а y — вдоль вертикальной. Затем с помощью методов, описанных в статье Геометрия: Аналитическая, он показал, что: (1) линейное уравнение представляет прямую линию, а (2) квадратное уравнение представляет коническое сечение. Если уравнение является однородным или распадается на множители, оно представляет собой в первом случае ряд прямых линий, а во втором — геометрические места точек, соответствующие множителям. Нетрудно видеть, что решение систем уравнений представляет собой значения x, y, соответствующие точкам пересечения геометрических мест. Отсюда следует, что существует только одна пара значений x, y, удовлетворяющая двум линейным уравнениям, поскольку две прямые пересекаются только в одной точке; два значения, удовлетворяющие линейному и квадратному уравнениям, поскольку прямая пересекает коническое сечение в двух точках; и четыре значения, удовлетворяющие двум квадратным уравнениям, поскольку два конических сечения пересекаются в четырех точках. Может случиться так, что кривые фактически не пересекаются в теоретически максимальном числе точек; принцип непрерывности (см. Геометрическая непрерывность) показывает нам, что в таких случаях некоторые из корней являются мнимыми. Для представления уравнений, содержащих три неизвестных x, y, z, вводится третья ось — ось z, перпендикулярная плоскости xy и проходящая через точку пересечения осей x, y. В этой нотации линейное уравнение представляет плоскость, а два совместных линейных уравнения представляют прямую, то есть пересечение двух плоскостей; квадратное уравнение представляет поверхность второго градуса. Для графического рассмотрения уравнений, содержащих только одно неизвестное, удобно приравнять члены к y; то есть, если уравнение имеет вид ƒ(x) = 0, мы принимаем y = ƒ(x) и строим эту кривую в прямоугольных декартовых координатах, определяя значения y, соответствующие выбранным значениям x, и проводя кривую через полученные точки. Точки пересечения кривой с осью x дают действительные корни уравнения; мнимые корни, очевидно, не отображаются.

В этой статье мы рассмотрим: (1) Системы уравнений, (2) неопределенные уравнения, (3) кубические уравнения, (4) биквадратные уравнения, (5) теорию уравнений. Простые, линейные совместные (системы) и квадратные уравнения рассматриваются в статье Алгебра; о дифференциальных уравнениях см. Дифференциальные уравнения.

I. Системы уравнений.

Системы уравнений, содержащие вторую и более высокие степени неизвестного, могут быть неразрешимыми. Никаких общих правил указать нельзя, и решение любой конкретной задачи в значительной степени зависит от сообразительности решающего. Здесь мы приведем лишь несколько типичных примеров.

1. Уравнения, которые могут быть приведены к линейным уравнениям. — П р и м е р. Решить x(x − a) = yz, y(y − b) = zx, z(z − c) = xy. Умножим уравнения соответственно на y, z и x и разделим сумму на xyz; тогда

a + b + c = 0 z x y (1).

Умножим на z, x и y и разделим сумму на xyz; тогда

a + b + c = 0 y z x (2).

Из (1) и (2) перекрестным умножением получаем

1 = 1 = 1 = 1 (suppose) y (b² − ac) z (c² − ab) x (a² − bc) λ (3).

Подставив x, y и z в уравнение x(x − a) = yz, получаем

1 = 3abc − (a³ + b³ + c³) ; λ (a² − bc) (b² − ac) (c² − ab) и, следовательно, x, y и z определяются из (3). С помощью того же приема решаются уравнения x² − yz = a, y² − xz = b, z² − xy = c.

2. Однородные уравнения одинаковой степени. — Эти уравнения могут быть решены подстановкой y = mx. Перейдем к объяснению метода на примере.

П р и м е р. Решить уравнения 3x² + xy + y² = 15, 31xy − 3x² − 5y² = 45. Подставив y = mx в оба эти уравнения, а затем выполнив деление, получаем 31m − 3 − 5m² = 3 (3 + m + m²) или 8m² − 28m + 12 = 0. Корнями этого квадратного уравнения являются m = ½ или 3, и, следовательно, 2y = x или y = 3x.

Приняв 2y = x и подставив в 3x² + xy + y² = 0, получаем y² (12 + 2 + 1) = 15; ∴ y² = 1, откуда y = ±1, x = ±2. Взяв второе значение, y = 3x, и подставив вместо y, получаем x² (3 + 3 + 9) = 15; ∴ x² = 1, откуда x = ±1, y = ±3. Таким образом, решениями являются x = ±2, y = ±1 и x = ±1, y = ±3. Для решения других видов систем уравнений приходится применять иные приемы, отсылающие читателя к работе Дж. Дж. Милна (J.J. Milne, Companion to Weekly Problem Papers).

II. Неопределенные уравнения.

1. Когда число неизвестных величин превышает число уравнений, уравнения допускают бесчисленное множество решений и поэтому называются неопределенными. Так, если требуется найти два числа так, чтобы их сумма была равна 10, мы имеем две неизвестные величины x и y и только одно уравнение, а именно x + y = 10, которое, очевидно, может быть удовлетворено бесчисленным множеством различных значений x и y, если допускать дробные решения. Однако в таких вопросах принято ограничивать значения искомых чисел положительными целыми числами, и поэтому в данном случае мы можем иметь только следующие девять решений:

x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;

y = 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1;

которые на самом деле могут быть сведены к пяти; ибо первые четыре становятся такими же, как последние четыре, если просто заменить x на y и наоборот. Эта веть анализа подробно изучалась Диофантом и иногда называется диофантовым анализом.

2. Неопределенные задачи бывают разных порядков в зависимости от степени уравнения, получающегося после того, как все неизвестные величины, кроме двух, исключены с помощью данных уравнений. Задачи первого порядка всегда приводят к уравнениям вида

ax ± by = ±c,

где a, b, c обозначают заданные целые числа, а x, y — два числа, которые нужно найти так, чтобы оба они были целыми. Чтобы это условие выполнялось, необходимо, чтобы коэффициенты a, b не имели общего делителя, который в то же время не был бы делителем c; ибо если a = md и b = me, то ax + by = mdx + mey = c, и dx + e y = c/m; но d, e, x, y предполагаются целыми числами, следовательно, c/m — целое число; отсюда m должно быть делителем c.

Из четырех форм, выражаемых уравнением ax ± by = ±c, очевидно, что ax + by = −c не может иметь положительных целых решений. Кроме того, ax − by = −c эквивалентно by − ax = c, и поэтому нам нужно рассматривать только формы ax ± by = c. Прежде чем переходить к общему решению этих уравнений, мы приведем числовой пример.

Решить уравнение 2x + 3y = 25 в положительных целых числах. Из данного уравнения имеем x = (25 − 3y) / 2 = 12 − y − (y − 1) / 2. Теперь, поскольку x должно быть целым числом, отсюда следует, что (y − 1)/2 должно быть целым числом. Предположим, что (y − 1) / 2 = z, тогда y = 1 + 2z; и x = 11 − 3z, где z мог бы быть любым целым числом вообще, если бы не было ограничений на знаки x и y. Но поскольку эти величины должны быть положительными, из значения y очевидно, что z должен быть либо равен нулю, либо положительным, а из значения x — что он должен быть меньше 4; следовательно, z может принимать следующие четыре значения: 0, 1, 2, 3.

If z = 0, z = 1, z = 2, z = 3; Then x = 11, x = 8, x = 5, x = 2, y = 1, y = 3, y = 5, y = 7.

3. Теперь мы приведем решение уравнения ax − by = c в положительных целых числах.

Превратим a/b в цепную дробь и пусть p/q будет подходящей дробью, непосредственно предшествующей a/b, тогда aq − bp = ±1 (см. Цепная дробь).

(α) Если aq − bp = 1, данное уравнение можно записать так:

ax − by = c (aq − bp); ∴ a (x − cq) = b (y − cp).

Поскольку a и b взаимно просты, то x − cq должно делиться на b, а y − cp — на a; следовательно,

(x − cq) / b = (y − cq) / a = t.

То есть x = bt + cq и y = at + cp.

Положительные целые решения, число которых неограниченно, получаются приданием t любого положительного целого значения и любого отрицательного целого значения при условии, что оно по абсолютной величине меньше меньшей из величин cq/b, cp/a; t также может быть равным нулю.

(β) Если aq − bp = −1, мы получаем x = bt − cq, y = at − cp, откуда положительные целые решения, также неограниченные по количеству, получаются при наделении t любым положительным целым значением, превышающим большую из двух величин cq/b, cp/a.

Если a или b равны единице, a/b не может быть преобразовано в цепную дробь с числителями, равными единице, и описанный выше метод терпит неудачу. В этом случае решения могут быть получены напрямую, поскольку если b равно единице, уравнение можно записать в виде y = ax − c, и решения получаются приданием x положительных целых значений, больших чем c/a.

4. Решить ax + by = c в положительных целых числах. Превращая a/b в цепную дробь и действуя как прежде, мы получаем в случае aq − bp = 1 следующее:

x = cq − bt, y = at − cp.

Положительные целые решения получаются приданием t положительных целых значений, не меньших чем cp/a и не больших чем cq/b.

В этом случае количество решений ограничено. Если aq − bp = −1, мы получаем общее решение x = bt − cq, y = cp − at, которое имеет ту же форму, что и в предыдущем случае. Для определения количества решений читатель отсылается к учебникам Х.С. Холла и С.Р. Найта «Высшая алгебра» (Higher Algebra), Г. Кристала «Алгебра» (Algebra) и другим.

5. Если предложено уравнение с тремя неизвестными величинами, такое как ax + by + cz = d, то путем переноса членов мы имеем ax + by = d − cz, и, полагая d − cz = c′, получаем ax + by = c′. Из этого последнего уравнения мы можем найти значения x и y следующего вида:

x = mr + nc′, y = mr + n′c′, или x = mr + n (d − cz), y = m′r + n′ (d − cz);

где z и r могут выбираться произвольно, за исключением тех случаев, когда от значений x, y, z требуется, чтобы все они были положительными; из-за такого ограничения значения z и r могут быть ограничены определенными пределами, определяемыми из данного уравнения. Более подробное рассмотрение линейных неопределенных уравнений см. в статье Комбинаторный анализ.

6. Переходим к неопределенным задачам второй степени: ограничиваясь рассмотрением формулы y² = a + bx + cx², где x должно быть найдено так, чтобы y было рациональной величиной. Возможность превращения предложенной формулы в квадрат полностью зависит от коэффициентов a, b, c; существует четыре случая этой задачи, решение каждого из которых связано с некоторой особенностью его природы.

Случай 1. Пусть a будет точным квадратом; тогда, обозначая a через g², мы имеем y² = g² + bx + cx². Предположим, что √(g² + bx + cx²) = g + mx; тогда g² + bx + cx² = g² + 2gmx + m²x², или bx + cx² = 2gmx + m²x², то есть b + cx = 2gm + m²x; отсюда

x = 2gm − b , y = √(g² + bx + cx²)= cg − bm + gm² . c − m² c − m² Случай 2. Пусть c будет точным квадратом = g²; тогда, полагая √(a + bx + g²x²) = m + gx, находим a + bx + g²x² = m² + 2mgx + g²x², или a + bx = m² + 2mgx; отсюда находим

x = m² − a , y = √(a + bx + g²x²) = bm − gm² − ag . b − 2mg b − 2mg Случай 3. Когда ни a, ни c не являются точными квадратами, но выражение a + bx + cx² может быть разложено на два простых множителя, таких как f + gx и h + kx, иррациональность может быть устранена следующим образом:—

Предположим √(a + bx + cx²) = √{ (f + gx) (h + kx) } = m (f + gx), тогда (f + gx) (h + kx) = m² (f + gx)², или h + kx = m² (f + gx); отсюда находим

x = fm² − h , y = √{ (f + gx) (h + kx) } = (fk − gh) m ; k − gm² k − gm² и во всех этих формулах m может выбираться произвольно.

Случай 4. Выражение a + bx + cx² может быть преобразовано в квадрат столько раз, сколько оно может быть разложено на две части, одна из которых является полным квадратом, а другая — произведением двух простых множителей; ибо тогда оно имеет вид p² + qr, где p, q и r являются величинами, которые не содержат степени x выше первой. Предположим √(p² + qr) = p + mq; таким образом мы имеем p² + qr = p² + 2mpq + m²q² и r = 2mp + m²q, и так как это уравнение содержит только первую степень x, мы можем путем надлежащего приведения получить из него рациональные значения x и y, как в трех предыдущих случаях.

Применение предыдущих общих методов решения к любому конкретному случаю весьма просто; поэтому мы завершим рассмотрение одним примером.

П р и м е р. Требуется найти два квадратных числа, сумма которых представляет собой заданное квадратное число.

Пусть a² будет заданным квадратным числом, а x², y² — искомыми числами; тогда по условию задачи x² + y² = a², и y = √(a² − x²). Это уравнение очевидно имеет такую форму, что разрешимо методом, применяемым в случае 1. Соответственно, сравнивая √(a² − x²) с общим выражением √(g² + bx + cx²), мы получаем g = a, b = 0, c = −1, и, подставляя эти значения в формулы, а также −n вместо +m, мы находим

x = 2an , y = a (n² − 1) . n² + 1 n² + 1 Если a = n² + 1, получаются x = 2n, y = n² − 1, a = n² + 1. Следовательно, если r — четное число, то три стороны рационального прямоугольного треугольника равны r, (½ r)² − 1, (½ r)² + 1. Если r — нечетное число, они принимают вид (разделяя на 2) r, ½ (r² − 1), ½ (r² + 1).

Например, если r = 4, то 4, 4²... [4, 4² / 4 − 1, 4² / 4 + 1? или 4, 4−1, 4+1 — нет, по тексту: 4, 4, 4−1, 4+1, или 4, 3, 5] являются сторонами прямоугольного треугольника; если r = 7, то 7, 24, 25 суть стороны прямоугольного треугольника.

III. Кубические уравнения.

1. Кубические уравнения, как и все уравнения выше первой степени, делятся на два класса: они называются чистыми, когда содержат только одну степень неизвестной величины, и приложенными ( adfected — полными / приложенными), когда содержат две или более степени этой величины.

Чистые кубические уравнения имеют, следовательно, вид x³ = r; и отсюда видно, что значение простой степени неизвестной величины всегда может быть найдено без труда извлечением кубического корня из каждой части уравнения. Рассмотрим уравнение x³ − c³ = 0 более подробно. Оно разлагается на множители x − c = 0 и x² + cx + c² = 0. Корнями этого квадратного уравнения являются ½ (−1 ± √−3) c, и мы видим, что уравнение x³ = c³ имеет три корня, а именно один действительный корень c и два мнимых корня ½ (−1 ± √−3) c. Полагая c равным единице, мы замечаем, что ½ (−1 ± √−3) представляют собой мнимые кубические корни из единицы, которые обычно обозначаются через ω и ω², ибо легко показать, что (½ (−1 − √−3))² = ½ (−1 + √−3).

2. Рассмотрим теперь кубические уравнения, которые содержат все свои члены и имеют поэтому следующий вид:

x³ + Ax² + Bx + C = 0,

где A, B и C обозначают известные величины, как положительные, так и отрицательные.

Это уравнение может быть преобразовано в другое, в котором отсутствует второй член, с помощью подстановки x = y − A/3. Это преобразование является частным случаем общей теоремы. Пусть xⁿ + Axⁿ⁻¹ + Bxⁿ⁻² ... = 0. Подставим x = y + h; тогда (y + h)ⁿ + A (y + h)ⁿ⁻¹ ... = 0. Разложим каждый член по формуле бинома и обратим внимание на коэффициент при yⁿ⁻¹. В результате этого процесса мы получаем 0 = yⁿ + yⁿ⁻¹ (A + nh) + члены, содержащие более низкие степени y.

Теперь h может принимать любое значение, и если мы выберем его так, чтобы A + nh = 0, то второй член нашего полученного уравнения обратится в нуль.

Возобновляя, таким образом, уравнение y³ + qy + r = 0, предположим, что y = v + z; тогда мы имеем y³ = v³ + z³ + 3vz (v + z) = v³ + z³ + 3vzy, и исходное уравнение принимает вид v³ + z³ + (3vz + q) y + r = 0. Теперь v и z — любые две величины, подчиненные условию y = v + z, и если мы предположим, что 3vz + q = 0, они определяются полностью. Это приводит к соотношениям v³ + z³ + r = 0 и 3vz + q = 0. Следовательно, v³ и z³ являются корнями квадратного уравнения t² + rt − q²/27 = 0. Отсюда

v³ = −½ r + √(1⁄27 q³ + ¼ r²); z³ = −½ r − √(1⁄27 q³ + ¼r²); v = 3√{−½ r + √(1⁄27 q³ + ¼ r²) }; z = 3√{ (−½ r − √(1⁄27 q³ + ¼ r²) }; and y = v + z = 3√{−½ r + √(1⁄27q³ + ¼ r²) } + 3√{−½ r − √(1⁄27 q³ + ¼ r²) }.

Таким образом, мы получили значение неизвестной величины y через известные величины q и r; следовательно, уравнение решено.

3. Но это лишь одно из трех значений, которые может иметь y. Ради краткости положим

A = −½ r + √(1/27 q³ + ¼ r²), B = −½ r − √(1/27 q³ + ¼ r²),

and put α = ½ (−1 + √−3), β = ½ (−1 − √−3).

Тогда из вышесказанного (§ 1) очевидно, что каждая из величин v и z имеет следующие три значения:

v = ³√A, v = α ³√A, v = β ³√A; z = ³√B, z = α ³√B, z = β ³√B.

Для определения соответствующих значений v и z мы должны учесть, что vz = − 1/3 q = ³√(AB). Теперь, если мы заметим, что αβ = 1, то сразу увидим, что v + z принимает следующие три значения:

v + z = ³√A + ³√B, v + z = α ³√A + β ³√B, v + z = β ³√A + α ³√B,

которые, следовательно, и являются тремя значениями y.

Первая из этих формул общеизвестна под названием правила Кардано (см. Алгебра: История).

Формулы, приведенные выше для корней кубического уравнения, могут быть представлены в другом виде, более приспособленном для целей арифметических вычислений, а именно: поскольку vz = − 1/3 q, то z = − 1/3 q × 1/v = − 1/3 q / ³√A; следовательно, v + z = ³√A − 1/3 q / ³√A: отсюда видно, что три значения y могут быть выражены также следующим образом:

y = ³√A − 1/3 q / ³√A y = α ³√A − 1/3 qβ / ³√A y = β ³√A − 1/3 qα / ³√A.

См. ниже, Теория уравнений, §§ 16 и след.

IV. Биквадратные уравнения.

1. Когда биквадратное уравнение содержит все свои члены, оно имеет следующий вид:

x⁴ + Ax³ + Bx² + Cx + D = 0,

где A, B, C, D обозначают известные величины.

Сначала мы рассмотрим чистые биквадратные уравнения, то есть такие, которые содержат только первый и последний члены и имеют поэтому вид x⁴ = b⁴. В этом случае очевидно, что x может быть легко найдено двукратным извлечением квадратного корня; первым извлечением мы находим x² = b², а вторым — x = b. Это, однако, лишь одно из значений, которые может иметь x; ибо так как x⁴ = b⁴, то x⁴ − b⁴ = 0; но x⁴ − b⁴ может быть разложено на два множителя x² − b² и x² + b², каждый из которых допускает аналогичное разложение; ибо x² − b² = (x − b)(x + b) и x² + b² = (x − b√−1)(x + b√−1). Отсюда следует, что уравнение x⁴ − b⁴ = 0 может быть также выражено следующим образом:

(x − b) (x + b) (x − b√−1) (x + b√−1) = 0;

так что x может принимать следующие четыре значения:

+b, −b, +b√−1, −b√−1,

два из которых являются действительными, а остальные — мнимыми.

2. Вторыми по простоте разрешения после чистых биквадратных уравнений являются такие, в которых отсутствуют второй и четвертый члены и которые поэтому имеют следующий вид:

x⁴ + qx² + s = 0.

Они могут быть решены подобно квадратным уравнениям; ибо если мы положим y = x², то получим

y² + qy + s = 0,

откуда находим y = ½ {−q ± √(q² − 4s)}, и следовательно,

x = ±√½ {−q ± √(q² − 4s)}.

3. Когда биквадратное уравнение содержит все свои члены, его решение всегда может бытьведено к решению кубического уравнения. Существуют различные методы, с помощью которых такое приведение может быть осуществлено. Следующий метод был впервые изложен Леонардом Эйлером в «Петербургских комментариях» (Petersburg Commentaries), а затем более подробно объяснен в его «Элементах алгебры».

Мы уже объясняли, как уравнение, полное по своим членам, может быть преобразовано в другое уравнение той же степени, но в котором отсутствует второй член; поэтому любое биквадратное уравнение может быть приведено к следующему виду:

y⁴ + py² + qy + r = 0,

где второй член отсутствует, а p, q, r обозначают любые известные величины.

Чтобы составить уравнение, подобное приведенному выше, предположим, что y = √a + √b + √c, а также предположим, что буквы a, b, c обозначают корни кубического уравнения

z³ + Pz² + Qz − R = 0;

тогда из теории уравнений мы имеем

a + b + c = −P, ab + ac + bc = Q, abc = R.

Возведем в квадрат предполагаемую формулу

y = √a + √b + √c,

и получим y² = a + b + c + 2(√ab + √ac + √bc);

или, подставив −P вместо a + b + c и перенеся члены,

y² + P = 2(√ab + √ac + √bc).

Возведем это уравнение в квадрат также, и мы получим

y⁴ + 2Py² + P² = 4 (ab + ac + bc) + 8 (√a²bc + √ab²c + √abc²);

и так как ab + ac + bc = Q,

и √a²bc + √ab²c + √abc² = √abc (√a + √b + √c) = √R·y,

это же уравнение может быть выражено следующим образом:

y⁴ + 2Py² + P² = 4Q + 8√R·y.

Таким образом, мы получаем биквадратное уравнение

y⁴ + 2Py² − 8√R·y + P² − 4Q = 0,

один из корней которого есть y = √a + √b + √c, в то время как a, b, c суть корни кубического уравнения z³ + Pz² + Qz − R = 0.

4. Чтобы применить это разрешение к предложенному уравнению y⁴ + py² + qy + r = 0, мы должны выразить предполагаемые коэффициенты P, Q, R через p, q, r — коэффициенты этого уравнения. Для этого сравним уравнения

y⁴ + py² + qy + r = 0, y⁴ + 2Py² − 8√Ry + P² − 4Q = 0,

и сразу становится очевидным, что

2P = p, −8√R = q, P² − 4Q = r;

и из этих уравнений мы находим

P = ½ p, Q = 1/16 (p² − 4r), R = 1/64 q².

Отсюда следует, что корни предложенного уравнения обычно выражаются формулой

y = √a + √b + √c;

где a, b, c обозначают корни следующего кубического уравнения:

z³ + p z² + p² − 4r z − q² = 0. 2 16 64 Но чтобы найти каждый отдельный корень, мы должны учесть, что поскольку квадратный корень из числа может быть как положительным, так и отрицательным, каждая из величин √a, √b, √c может иметь перед собой знак + или −; и следовательно, наша формула даст восемь различных выражений для корня. Следует, однако, заметить, что поскольку произведение трех величин √a, √b, √c должно быть равно √R или − 1/8 q; когда q положительно, их произведение должно быть отрицательной величиной, и это может быть достигнуто только тогда, когда одна или три из них отрицательны; с другой стороны, когда q отрицательно, их произведение должно быть положительной величиной; так что в этом случае они должны быть либо все положительными, либо две из них должны быть отрицательными. Эти соображения позволяют нам определить, что четыре из восьми выражений для корня относятся к случаю, когда q положительно, а остальные четыре — к случаю, когда оно отрицательно.

5. Теперь мы приведем результат предыдущего исследования в виде практического правила; и поскольку коэффициенты найденного кубического уравнения содержат дроби, мы преобразуем его в другое, в котором коэффициенты являются целыми числами, полагая z = ¼ v. Таким образом, уравнение

z³ + p z² + p² − 4r z − q² = 0 2 16 64 становится после приведения:

v³ + 2pv² + (p² − 4r) v − q² = 0;

отсюда также следует, что если корнями последнего уравнения являются a, b, c, то корнями первого являются ¼ a, ¼ b, ¼ c, так что наше правило теперь может быть выражено следующим образом:

Пусть y⁴ + py² + qy + r = 0 есть любое биквадратное уравнение, в котором отсутствует второй член. Составим следующее кубическое уравнение:

v³ + 2pv² + (p² − 4r) v − q² = 0,

и найдем его корни, которые обозначим через a, b, c.

Тогда корнями предложенного биквадратного уравнения являются

when q is negative, when q is positive, y = ½ (√a + √b + √c), y = ½ (−√a − √b − √c), y = ½ (√a − √b − √c), y = ½ (−√a + √b + √c), y = ½ (−√a + √b − √c), y = ½ (√a − √b + √c), y = ½ (−√a − √b + √c), y = ½ (√a + √b − √c).

См. также ниже, Теория уравнений, § 17 и след.

(X.)

V. Теория уравнений.

1. В теме «Теория уравнений» термин уравнение используется для обозначения уравнения вида xⁿ − p₁xⁿ⁻¹ ... ± pₙ = 0, где p₁, p₂ ... pₙ считаются известными, а x — величиной, подлежащей определению; для краткости уравнение записывается как ƒ(x) = 0.

Уравнение может быть числовым; то есть коэффициенты p₁, p₂ ... pₙ являются в таком случае числами — под числом понимается величина вида α + βi (где α и β принимают любые действительные положительные или отрицательные значения, или, иными словами, каждое из них рассматривается как подверженное непрерывному изменению от неопределенно большого отрицательного до неопределенно большого положительного значения), а i обозначает √−1.

Или уравнение может быть алгебраическим; то есть коэффициенты в этом случае не ограничены требованием обозначать числа или не рассматриваются явно как обозначающие их.

1. Сначала мы рассмотрим числовые уравнения. (Теория в действительной области, 2–6; Теория в мнимой области, 7–10.)

Теория в действительной области.

2. Откладывая всякое рассмотрение мнимых величин, мы в первую очередь принимаем коэффициенты действительными и уделяем внимание только действительным корням (если таковые имеются); то есть p₁, p₂, ... pₙ суть действительные положительные или отрицательные величины, а корень a, если он существует, представляет собой положительную или отрицательную величину такую, что aⁿ − p₁aⁿ⁻¹ ... ± pₙ = 0, или, иными словами, ƒ(a) = 0.

Очень полезно рассматривать кривую y = ƒ(x) — или, что то же самое, кривую Ay = ƒ(x), — но лучше сохранить первую из упомянутых форм уравнения, проводя, если нужно, ординату y в уменьшенном масштабе. Например, если данное уравнение имеет вид x³ − 6x² + 11x − 6,06 = 0, то кривая y = x³ − 6x² + 11x − 6,06 выглядит так, как показано на рис. 1, без какого-либо уменьшения масштаба для ординаты.

Понятно, что в общем случае y является непрерывной однозначной функцией от x, конечной для каждого конечного значения x, но обращающейся в бесконечность при бесконечном x; то есть, предполагая повсюду, что коэффициент при xn равен +1, получаем: при x = ∞, y = +∞; но при x = −∞ значение y равно +∞ или −∞ в зависимости от того, является ли n четным или нечетным. Кривая пересекает любую прямую линию и, в частности, пересекает ось (x) максимум в n точках; а значение x в любой точке пересечения с осью представляет собой корень уравнения ƒ(x) = 0.

Если β и α — любые два значения x (причем α > β, то есть α ближе к +∞), то если ƒ(β) и ƒ(α) имеют противоположные знаки, кривая пересекает ось нечетное число раз (и, следовательно, по меньшей мере один раз) между точками x = β и x = α; если же ƒ(β) и ƒ(α) имеют одинаковый знак, то между этими точками кривая пересекает ось четное число раз, либо не пересекает вовсе. Иными словами, если ƒ(β) и ƒ(α) имеют противоположные знаки, между пределами β и α лежит нечетное число действительных корней, и следовательно, по меньшей мере один действительный корень; если же ƒ(β) и ƒ(α) имеют одинаковый знак, между этими пределами лежит четное число действительных корней, либо действительных корней нет вообще. В частности, придавая β и α значения −∞ и +∞ (или, что то же самое, любые два значения, достаточно близкие соответственно к этим величинам), мы видим, что уравнение нечетной степени всегда имеет нечетное число действительных корней и, следовательно, по меньшей мере один действительный корень; уравнение же четной степени имеет четное число действительных корней либо не имеет действительных корней вообще.

Если α таково, что при x = a или x > a (то есть при x ближе к +∞) функция ƒ(x) всегда положительна (+), а β таково, что при x = β или x < β (то есть при x ближе к −∞) ƒ(x) всегда отрицательна (−), то действительные корни (если они есть) лежат между этими пределами x = β и x = α; и такие два предела, заключающие между собой все действительные корни (если таковые имеются), нетрудно найти подбором.

3. Предположим, что положительное значение δ является нижним пределом разности между двумя действительными корнями уравнения; или точнее (поскольку предыдущее выражение предполагало бы существование действительных корней), предположим, что не существует двух таких действительных корней, разность которых в абсолютном выражении равна δ или меньше δ; тогда для любого значения γ между пределами γ и γ + δ очевидно лежит не более одного действительного корня; причем, согласно сказанному выше, такой действительный корень либо существует, либо отсутствует в зависимости от того, имеют ли ƒ(γ) и ƒ(γ + δ) противоположные знаки или одинаковые знаки. И разделяя таким образом интервал от β до α на интервалы, каждый из которых равен δ или меньше δ, мы не только сможем установить количество действительных корней (если они есть), но также отделить действительные корни, то есть найти для каждого из них пределы γ и γ + δ, между которыми лежит этот единственный действительный корень.

В частных случаях часто удается без особого труда определить количество действительных корней и осуществить их отделение путем подбора или иным способом; однако описанный выше процесс являлся общим методом, который применял Жозеф Луи Лагранж даже во втором издании (1808 г.) своего труда «Трактат о решении числовых уравнений» (Traité de la résolution des équations numériques); определение предела δ приходилось осуществлять с помощью «уравнения разностей», или уравнения степени ½n(n − 1), корнями которого являются квадраты разностей корней данного уравнения, и этот процесс является громоздким и неудовлетворительным.

4. Большой шаг вперед был сделан благодаря теореме Ж.К.Ф. Штурма (1835 г.) — а именно, начиная с функции ƒ(x) и ее первой производной функции ƒ′(x), мы должны (с помощью процесса, представляющего собой небольшую модификацию метода нахождения наибольшего общего делителя этих двух функций) составить ряд функций

ƒ(x), ƒ′(x), ƒ2(x), ... ƒn(x)

степеней соответственно n, n − 1, n − 2, ..., 0 — причем последний член ƒn(x) оказывается тем самым абсолютной константой. Они приводят к немедленному определению числа действительных корней (если они есть) между любыми двумя заданными пределами β и α; а именно, предполагая, что α > β (то есть α ближе к +∞), и последовательно подставляя эти два значения в ряд функций и учитывая только знаки получающихся значений, мы находим, что число потерянных знака́ми изменений при переходе от β к α представляет собой искомое число действительных корней между двумя пределами. В частности, принимая β и α соответственно равными −∞ и +∞, знаки различных функций зависят исключительно от знаков членов, содержащих наивысшие степени x, и определяются простым осмотром, благодаря чему теорема сразу дает общее число действительных корней.

И хотя теоретически для завершения отделения действительных корней за конечное число операций нам по-прежнему необходимо знать значение упомянутого выше предела δ, тем не менее в любом конкретном случае отделение может быть осуществлено за ограниченное число повторений этого процесса. Практическая трудность возникает тогда, когда два или более корней находятся очень близко друг к другу. Предположим, например, что теорема показывает наличие двух корней между 0 и 10; последовательно придавая x значения 1, 2, 3 и т. д., мы можем обнаружить, что оба корня лежат между 5 и 6; затем — что они лежат между 5,3 и 5,4, далее между 5,34 и 5,35 и так далее, пока мы не придем к отделению; скажем, обнаруживается, что между 5,346 и 5,347 находится один корень, а между 5,348 и 5,349 — другой. Но в рассматриваемом случае δ будет иметь очень малое значение, такое как 0,002, и даже если предположить это значение известным, прямое применение первого из упомянутых процессов окажется еще более трудоемким.

5. Если отделение уже выполнено, определение единственного действительного коренного значения, лежащего между двумя заданными пределами, может быть осуществлено с любой требуемой степенью приближения либо с помощью процессов В.Г. Горнера и Лагранжа (которые в принципе являются развитием метода теоремы Штурма), либо с помощью процесса Исаака Ньютона, усовершенствованного Жозефом Фурье (который требует отдельного рассмотрения).

Сначала о методах Горнера и Лагранжа. Мы знаем, что между пределами β и α лежит один и только один действительный корень уравнения; следовательно, ƒ(β) и ƒ(α) имеют противоположные знаки. Пусть θ — некоторое промежуточное значение; чтобы определить с помощью теоремы Штурма, лежит ли корень между β и θ или между θ и α, совершенно не нужно вычислять знаки ƒ(θ), ƒ′(θ), ƒ2(θ) и т. д.; требуется лишь знак ƒ(θ), ибо если он совпадает со знаком ƒ(β), то корень лежит между β и θ; если же он совпадает со знаком ƒ(α), то корень лежит между θ и α. Мы хотим заставить θ возрастать от нижнего предела β, при котором ƒ(θ) имеет знак ƒ(β), до тех пор, пока ƒ(θ) сохраняет этот знак, а затем до значения, при котором оно принимает противоположный знак; таким образом мы получаем два более близких предела искомого корня, и этот процесс можно повторять неопределенно.

Метод Горнера (1819 г.) дает корень в виде десятичной дроби, цифра за цифрой; так, если известно, что уравнение имеет один действительный корень между 0 и 10, то фактически показывается, например, что 5 — это слишком мало (то есть корень лежит между 5 и 6); затем — что 5,4 — это слишком мало (тоis корень лежит между 5,4 и 5,5); и так далее до любого числа десятичных знаков. Каждая цифра получается не путем последовательного пробного перебора всех предшествующих ей цифр, а (как в обычном процессе извлечения квадратного корня, который по сути является методом Горнера, примененным к этому частному случаю) задается предположительно как первая цифра частного; такое значение может оказаться слишком большим, и тогда вместо него следует попробовать следующее меньшее целое число, либо его может потребоваться дополнительно уменьшить. При этом следует заметить, что процесс не только дает приближенное значение α корня, но (как и при извлечении квадратного корня) включает в себя вычисление значения функции ƒ(α), которое должно быть и приблизительно равно 0. Расположение вычислений весьма изящно и составляет неотъемлемую часть самого метода. Следует отметить, что после получения определенного числа десятичных знаков множество последующих знаков можно найти простым делением. В ходе процесса молчаливо предполагается, что корни уже предварительно отделены.

Метод Лагранжа (1767 г.) представляет корень в виде цепной дроби a + 1/b + 1/c + ..., где a — положительное или отрицательное целое число (которое может быть равно 0), а b, c, ... — положительные целые числа. Предположим, что корни отделены; тогда (путем подбора последовательных целых значений, если это необходимо) пределы можно сделать последовательными целыми числами: скажем, это a и a + 1; следовательно, значение x равно a + 1/y, где y положительно и больше 1; подставляя x = a + 1/y в данное уравнение, мы составляем уравнение той же степени относительно y, и это уравнение будет иметь один и только один положительный отвлеченный корень, больший 1; отсюда, находя для него пределы b и b + 1 (где b равно 1 или больше 1), мы получаем y = b + 1/z, где z положительно и больше 1, и так далее — то есть таким образом мы находим последовательные знаменатели b, c, d ... цепной дроби. Этот метод теоретически весьма изящен, однако его недостаток заключается в том, что он дает результат в виде цепной дроби, которую в большинстве случаев в конечном счете приходится преобразовывать в десятичную. У этого метода есть одно преимущество: соизмеримый корень (то есть корень, равный рациональной дроби) находится точно, поскольку при существовании такого корня цепная дробь обрывается.

6. Метод Ньютона (1711 г.), усовершенствованный Фурье (1831 г.), можно в общих чертах сформулировать следующим образом. Если x = γ — приближенное значение какого-либо корня, а γ + h — точное значение, то ƒ(γ + h) = 0, то есть

ƒ(γ) + h ƒ′(γ) + h² ƒ″(γ) + ... = 0; 1 1·2 и тогда, если h столь мало, что членами после второго можно пренебречь, ƒ(γ) + hƒ′(γ) = 0, то есть h = {−ƒ(γ)/ƒ′(γ) }, или новое приближенное значение есть x = γ − {ƒ(γ)/ƒ′(γ) }; и так далее столько раз, сколько нам угодно. Следует отметить, что до сих пор ничего не предполагалось ни об отделении корней, ни даже о существовании действительного корня; γ было взято в качестве приближенного значения корня, но этому выражению не придавали никакого точного смысла. Возникает вопрос: каким условиям должна удовлетворять величина γ, чтобы процесс путем последовательных повторений действительно приводил к определенному действительному корню уравнения, или чтобы при γ, являющемся приближенным значением некоторого действительного корня, новое значение γ − {ƒ(γ)/ƒ′(γ) } было более точным приближением.

Fig. 1. Обращаясь к рис. 1, легко видеть, что если отрезок OC представляет предполагаемое значение γ, то, проводя ординату CP до пересечения с кривой в точке P и касательную PC′ до пересечения с осью в точке C′, мы получим отсчет OC′ в качестве нового приближенного значения корня. Но заметьте, что здесь имеется действительный корень OX, и кривая за точкой X выпукла по отношению к оси; при этих условиях точка C′ расположена ближе к X, чем была точка C; и, начиная с C′ вместо C и продолжая аналогичным образом проводить новую ординату и касательную и так далее столько раз, сколько нам угодно, мы непрерывно и с большой быстротой приближаемся к истинному значению OX. Но если бы точка C была взята по другую сторону от X, где кривая вогнута по отношению к оси, новая точка C′ могла бы как приблизиться к X, так и не приблизиться по сравнению с точкой C; и в этом случае метод, если он вообще приводит к успеху, делает это лишь случайно, то есть может случиться так, что C′ или какая-либо последующая точка окажется такой точкой C, для которой CO является правильным приближенным значением корня, и тогда последующие приближения протекают так же, как если бы это значение было принято изначально, а вся предшествующая работа оказывается потраченной впустую. Отсюда следует, что для правильного применения метода требуется больше, чем простое отделение корней. Чтобы иметь возможность приближаться к определенному корню α = OX, нам необходимо знать, что между OX и некоторым значением ON кривая всегда выпукла по отношению к оси (аналитически: между этими двумя значениями ƒ(x) и ƒ″(x) должны всегда иметь одинаковый знак). Когда это так, точка C может быть взята где угодно на надлежащей стороне от X и в пределах участка XN оси; и тогда процесс представляет собой описанный выше. Приближение в общем случае происходит очень быстро. Если мы знаем для искомого корня OX два предела OM и ON такие, что от M до X кривая всегда вогнута по отношению к оси, в то время как от X до N она всегда выпукла по отношению к оси, — то, взяв точку D где угодно на участке MX и (как прежде) точку C на участке XN, проведя ординаты DQ и CP и соединив точки P и Q прямой линией, пересекающей ось в точке D′, а также построив точку C′ с помощью касательной в точке P, как и раньше, мы получаем для искомого корня новые пределы OD′ и OC′; и продолжая подобным же образом с точками D′, C′ и так далее столько раз, сколько нам угодно, мы получаем на каждом шаге два предела, все более и более приближающиеся к искомому корню OX. Процесс для точки D′, переведенный на язык анализа, представляет собой обычный процесс интерполяции. Пусть OD = β, OC = α, тогда приближенно имеем ƒ(β + h) = ƒ(β) + h{ƒ(α) − ƒ(β) } / (α − β), откуда, если корень равен β + h, получаем h = − (α − β)ƒ(β) / {ƒ(α) − ƒ(β) }.

Возвращаясь на мгновение к методу Горнера, можно заметить, что поправка h к приближенному значению α получается в нем как частное, тождественное или аналогичное частному ƒ(α) ÷ ƒ′(α), которое возникает в методе Ньютона. Разница заключается в том, что у Горнера целая часть этого частного берется в качестве предполагаемого значения h, и эта цифра проверяется на каждом шаге. У Ньютона само частное, развитое до нужного числа десятичных знаков, принимается в качестве значения h; если взять слишком много десятичных знаков, получится перерасход работы, но ошибка исправится на следующем шаге. Разумеется, вычисления следует вести без такого перерасхода работы.

Теория мнимых величин

7. Следует вспомнить, что термин «число» и соотносительный с ним эпитет «числовой» первоначально использовались в широком смысле, распространяясь на мнимые величины. Это расширение проистекает из теории уравнений посредством процесса, аналогичного тому, с помощью которого число в его первоначальном, наиболее узком смысле положительного целого числа было распространено на значение действительной положительной или отрицательной величины, способной к непрерывному изменению.

Если на мгновение понять число в его наиболее узком смысле как положительное целое число, решение простого уравнения приводит к расширению: ax − b = 0 дает x = b/a, положительную дробь, и таким образом мы можем представить — не точно, но столь близко, сколь нам угодно, — любую положительную величину вообще; точно так же уравнение ax + b = 0 дает x = −b/a, что (приближенно, как и раньше) представляет любую отрицательную величину. Таким образом мы приходим к расширенному значению числа как непрерывно изменяющейся положительной или отрицательной величины. Такие числа можно складывать или вычитать, умножать или делить одно на другое, и результатом всегда является число. Теперь из квадратного уравнения мы выводим аналогичным образом понятие комплексного или мнимого числа, о котором шла речь выше. Уравнение x² + 1 = 0 не удовлетворяется (в предыдущем смысле: число = действительное число) ни при каком числовом значении x вообще; однако мы предполагаем существование числа, которое мы называем i и которое удовлетворяет уравнению i² + 1 = 0, а затем, беря a и b в качестве любых действительных чисел, мы образуем выражение вроде a + bi и используем термин «число» в этом расширенном смысле: любые два таких числа могут складываться или вычитаться, умножаться или делить друг друга, и в результате всегда получается число. И если мы рассмотрим сначала квадратное уравнение x² + px + q = 0, где p и q — действительные числа, а затем аналогичное уравнение, где p и q — любые числа вообще, можно показать, что для x существует числовое значение, которое удовлетворяет уравнению; или, иными словами, можно показать, что уравнение имеет числовой корень. Подобная теорема фактически справедлива для уравнения любой степени вообще; но предположим на мгновение, что это не так: скажем, существовало бы кубическое уравнение x³ + px² + qx + r = 0 с числовыми коэффициентами, не удовлетворяемое никаким числовым значением x, — тогда нам пришлось бы ввести новое мнимое число j, удовлетворяющее какому-нибудь подобному уравнению, и нам пришлось бы рассматривать числа вида a + bj или, возможно, a + bj + cj² (где a, b, c — числа α + βi рассмотренного ранее вида), — сначала мы оказались бы отброшены назад к квадратному уравнению x² + px + q = 0, где p и q теперь являются числами упомянутой последней расширенной формы (причем не очевидно (non constat), что каждое такое уравнение имеет числовой корень), а если нет, то мы могли бы прийти к другим мнимым величинам k, l и т. д., и так до бесконечности в неразберихе.

Но на самом деле числовое уравнение любой степени всегда имеет числовой корень, и таким образом числа (в предыдущем смысле: число = величина вида α + βi) образуют (чего не делают действительные числа) замкнутую в самой себе вселенную, такую, что, начав внутри нее, мы никогда не выходим за ее пределы. Вполне могут существовать (и, возможно, существуют) числа в более общем смысле этого термина (кватернионы не являются подходящим примером, поскольку обычные законы комбинации в них не соблюдаются), но чтобы иметь дело с такими числами (если они есть), мы должны исходить из них самих.

8. Основная теорема, касающаяся числовых уравнений, звучит так: каждое числовое уравнение имеет числовой корень; или, короче (при прежнем значении терминов), каждое уравнение имеет корень. Разумеется, эта теорема далеко не очевидна и требует доказательства; но, предварительно приняв ее за истинную, мы выводим из нее общую теорию числовых уравнений. Поскольку термин «корень» был введен в ходе пояснения, здесь будет уместно дать его формальное определение.