«Теория спектров и строение атома: три эссе»

Мы видим, таким образом, что частота излучения, испускаемого при переходе между двумя стационарными состояниями, для которых числа n' и n'' велики по сравнению с их разностью, будет совпадать с частотой одного из компонентов излучения, который согласно обычным представлениям об излучении ожидался бы от движения атома в этих состояниях, при условии, что последний множитель в правой части уравнения (10) равен τ. Это условие, которое идентично условию ν = τω, фактически выполняется, если мы придадим K его значение, найденное из измерений спектра водорода, и если для e, m и h мы используем значения, полученные непосредственно из эксперимента. Это согласие ясно дает нам связь между спектром и атомной моделью водорода, которая является настолько тесной, насколько можно было разумно ожидать, учитывая фундаментальное различие между идеями квантовой теории и обычной теории излучения.

Принцип соответствия. Давайте теперь рассмотрим несколько более внимательно эту связь между спектрами, которые можно было бы ожидать на основе квантовой теории, и спектрами, ожидаемыми на основе обычной теории излучения. Частоты спектральных линий, рассчитанные обоими методами, полностью согласуются в области, где стационарные состояния лишь незначительно отклоняются друг от друга. Мы не должны, однако, забывать, что механизм испускания в обоих случаях различен. Различные частоты, соответствующие различным гармоническим компонентам движения, испускаются одновременно согласно обычной теории излучения и с относительной интенсивностью, зависящей непосредственно от отношения амплитуд этих колебаний. Но согласно квантовой теории различные спектральные линии испускаются совершенно отдельными процессами, состоящими из переходов из одного стационарного состояния в различные соседние состояния, так что излучение, соответствующее τ-му «гармоническому компоненту», будет испускаться при переходе, для которого n' - n'' = τ. Относительная интенсивность, с которой испускается каждая конкретная линия, зависит, следовательно, от относительной вероятности возникновения различных переходов.

Это соответствие между частотами, определенными двумя методами, должно иметь более глубокое значение, и мы вправе ожидать, что оно будет применимо и к интенсивностям. Это эквивалентно утверждению, что когда квантовые числа велики, относительная вероятность конкретного перехода связана простым образом с амплитудой соответствующего гармонического компонента в движении.

Это своеобразное соотношение предполагает общий закон возникновения переходов между стационарными состояниями. Таким образом, мы будем предполагать, что даже когда квантовые числа малы, возможность перехода между двумя стационарными состояниями связана с наличием определенного гармонического компонента в движении системы. Если числа n' и n'' не велики по сравнению с их разностью, численные значения амплитуд этих компонентов в двух стационарных состояниях могут быть совершенно разными. Мы должны быть готовы обнаружить, следовательно, что точная связь между вероятностью перехода и амплитудой соответствующего гармонического компонента в движении в общем случае сложна, как и связь между частотой излучения и частотой компонента. С этой точки зрения, например, зеленую линию H_β спектра водорода, которая соответствует переходу из четвертого во второе стационарное состояние, можно в некотором смысле считать «октавой» красной линии H_α, соответствующей переходу из третьего во второе состояние, даже если частота первой линии отнюдь не в два раза больше частоты последней. Фактически, переход, приводящий к H_β, можно рассматривать как обусловленный наличием гармонического колебания в движении атома, которое на октаву выше колебания, приводящего к испусканию H_α.

Прежде чем рассматривать другие спектры, где будет найдено множество возможностей использовать эту точку зрения, я кратко упомяну интересное применение к осциллятору Планка. Если из (1) и (4) мы вычислим частоту, которая соответствовала бы переходу между двумя конкретными состояниями такого осциллятора, мы найдем ν = (n' - n'')ν_0, где n' и n'' — числа, характеризующие состояния. Существенным предположением в теории Планка было то, что частота излучения, испускаемого и поглощаемого осциллятором, всегда равна ν_0. Мы видим, что это предположение эквивалентно утверждению, что переходы происходят только между двумя последовательными стационарными состояниями, в резком контрасте с атомом водорода. Согласно нашему взгляду, однако, это было именно то, чего можно было ожидать, ибо мы должны предположить, что существенное различие между осциллятором и атомом водорода заключается в том, что движение осциллятора является просто гармоническим. Мы видим, что можно развить формальную теорию излучения, в которой спектр водорода и простой спектр осциллятора Планка выглядят полностью аналогичными. Эта теория может быть сформулирована только одним и тем же условием для такой простой системы, как осциллятор. В общем случае это условие распадается на две части: одна касается фиксации стационарных состояний, а другая относится к частоте излучения, испускаемого при переходе между этими состояниями.

Общие спектральные законы. Хотя серийные спектры элементов с более высоким атомным номером имеют более сложную структуру, чем спектр водорода, были обнаружены простые законы, показывающие поразительную аналогию с формулой Бальмера. Ридберг и Ритц показали, что частоты в серийных спектрах многих элементов могут быть выражены формулой типа ν = f_τ''(n'') - f_τ'(n'), где n' и n'' — два целых числа, а f_τ' и f_τ'' — две функции, принадлежащие к ряду функций, характерных для данного элемента. Эти функции простым образом меняются с n и, в частности, сходятся к нулю при возрастающих значениях n. Различные серии линий получаются из этой формулы путем оставления первого члена f_τ'' постоянным, в то время как ряд последовательных целых чисел подставляется вместо n' во второй член f_τ'(n'). Согласно принципу комбинации Ритца, весь спектр может быть затем получен путем формирования каждой возможной комбинации двух значений среди всех величин f_τ(n).

Тот факт, что частота каждой линии спектра может быть записана как разность двух простых выражений, зависящих от целых чисел, сразу предполагает, что члены в правой части, умноженные на h, могут быть приравнены к энергии в различных стационарных состояниях атома. Существование в спектрах других элементов ряда отдельных функций f_τ(n) заставляет нас предположить наличие не одного, а ряда серий стационарных состояний, причем энергия n-го состояния τ-й серии, помимо произвольной аддитивной постоянной, задается выражением E_τ(n) = -h * f_τ(n). Этот сложный характер ансамбля стационарных состояний атомов с более высоким атомным номером — именно то, чего следовало ожидать из соотношения между спектрами, рассчитанными по квантовой теории, и разложением движений атомов на гармонические колебания. С этой точки зрения мы можем рассматривать простой характер стационарных состояний атома водорода как тесно связанный с простым периодическим характером этого атома. Там, где нейтральный атом содержит более одного электрона, мы находим гораздо более сложные движения с соответствующими сложными гармоническими компонентами. Мы должны поэтому ожидать более сложного ансамбля стационарных состояний, если мы все еще хотим иметь соответствующее соотношение между движениями в атоме и спектром. В ходе лекции мы подробно проследим это соответствие и придем к простому объяснению кажущейся капризности в возникновении линий, предсказанных принципом комбинации.

На следующем рисунке представлен обзор стационарных состояний атома натрия, выведенных из спектральных термов.

Диаграмма серийного спектра натрия.

Стационарные состояния представлены черными точками, расстояние которых от вертикальной линии a—a пропорционально численному значению энергии в этих состояниях. Стрелки на рисунке указывают переходы, дающие те линии спектра натрия, которые появляются при обычных условиях возбуждения. Расположение состояний в горизонтальных рядах соответствует обычному расположению «спектральных термов» в спектроскопических таблицах. Так, состояния в первом ряду (n, 1) соответствуют переменному члену в «резкой серии», линии которой испускаются при переходах из этих состояний в первое состояние во втором ряду. Состояния во втором ряду (n, 2) соответствуют переменному члену в «главной серии», которая испускается при переходах из этих состояний в первое состояние в (1, 2) ряду. Состояния (n, 3) соответствуют переменному члену в «диффузной серии», которая, как и резкая серия, испускается при переходах в первое состояние в (2, 3) ряду, и, наконец, состояния (n, 4) соответствуют переменному члену в серии «Бергмана» (фундаментальной серии), в которой переходы происходят в первое состояние в (3, 4) ряду. То, как различные ряды расположены по отношению друг к другу, будет использовано для иллюстрации более детальной теории, которая будет обсуждаться позже. Кажущаяся капризность принципа комбинации, о которой я упоминал, заключается в том, что при обычных условиях возбуждения появляются не все линии, принадлежащие возможным комбинациям термов спектра натрия, а только те, которые указаны на рисунке стрелками.

Общий вопрос о фиксации стационарных состояний атома, содержащего несколько электронов, представляет трудности глубокого характера, которые, возможно, еще далеки от полного решения. Однако можно получить непосредственное представление о стационарных состояниях, участвующих в испускании серийных спектров, рассматривая эмпирические законы, которые были обнаружены относительно спектральных термов. Согласно хорошо известному закону, открытому Ридбергом для спектров элементов, испускаемых при обычных условиях возбуждения, функции f_τ(n), появляющиеся в формуле (14), могут быть записаны в форме f_τ(n) = K / (n + a_τ)^2, где a_τ представляет функцию, которая сходится к единице для больших значений n. K — та же постоянная, которая появляется в формуле (5) для спектра водорода. Этот результат должен, очевидно, объясняться предположением, что атом в этих состояниях электрически нейтрален, а один электрон движется вокруг ядра по орбите, размеры которой очень велики по сравнению с расстоянием других электронов от ядра. Мы видим, действительно, что в этом случае электрическая сила, действующая на внешний электрон, будет в первом приближении такой же, как та, что действует на электрон в атоме водорода, и приближение будет тем лучше, чем больше орбита.

Из-за ограниченности времени я не буду обсуждать, как это объяснение универсального появления постоянной Ридберга в дуговых спектрах убедительно подтверждается исследованием «искровых спектров». Они испускаются элементами под влиянием очень сильных электрических разрядов и исходят от ионизированных, а не нейтральных атомов. Важно, однако, чтобы я кратко указал, как фундаментальные идеи теории и предположение о том, что в состояниях, соответствующих спектрам, один электрон движется по орбите вокруг остальных, подтверждаются исследованиями селективного поглощения и возбуждения спектральных линий бомбардировкой электронами.

Поглощение и возбуждение излучения. Точно так же, как мы предположили, что каждое испускание излучения обусловлено переходом из стационарного состояния с более высокой энергией в состояние с более низкой энергией, мы должны также предположить, что поглощение излучения атомом обусловлено переходом в противоположном направлении. Чтобы элемент поглощал свет, соответствующий данной линии в его серийном спектре, необходимо, следовательно, чтобы атом этого элемента находился в том из двух состояний, связанных с линией, которое обладает меньшим значением энергии. Если мы теперь рассмотрим элемент, атомы которого в газообразном состоянии не соединяются в молекулы, необходимо будет предположить, что при обычных условиях почти все атомы существуют в том стационарном состоянии, в котором значение энергии является минимальным. Это состояние я буду называть нормальным состоянием. Мы должны поэтому ожидать, что спектр поглощения одноатомного газа будет содержать только те линии серийного спектра, испускание которых соответствует переходам в нормальное состояние. Это ожидание полностью подтверждается спектрами щелочных металлов. Спектр поглощения паров натрия, например, демонстрирует линии, соответствующие только главной серии, которая, как упоминалось в описании рисунка, соответствует переходам в состояние минимальной энергии. Дальнейшее подтверждение этого взгляда на процесс поглощения дают эксперименты по резонансному излучению. Вуд первым показал, что пары натрия, подвергнутые воздействию света, соответствующего первой линии главной серии — знакомой желтой линии — приобретают способность снова испускать излучение, состоящее только из света этой линии. Мы можем объяснить это, предположив, что атом натрия был переведен из нормального состояния в первое состояние во втором ряду. Тот факт, что резонансное излучение не демонстрирует той же степени поляризации, что и падающий свет, находится в полном согласии с нашим предположением, что излучение от возбужденного пара не является резонансным явлением в смысле обычной теории излучения, а, напротив, зависит от процесса, который не связан напрямую с падающим излучением.

Явление резонансного излучения желтой линии натрия, однако, не совсем так просто, как я указал, поскольку, как вы знаете, эта линия на самом деле является дублетом. Это означает, что переменные члены главной серии не являются простыми, а представлены двумя значениями, слегка отличающимися друг от друга. Согласно нашей картине происхождения спектра натрия, это означает, что состояния (n, 2) во втором ряду на рисунке — в отличие от состояний (n, 1) в первом ряду — не являются простыми, а для каждого места в этом ряду существуют два стационарных состояния. Значения энергии настолько мало отличаются друг от друга, что невозможно представить их на рисунке в виде отдельных точек. Испускание (и поглощение) двух компонентов желтой линии, следовательно, связаны с двумя различными процессами. Это было прекрасно показано некоторыми более поздними исследованиями Вуда и Дюнуайе. Они обнаружили, что если пары натрия подвергаются воздействию излучения только от одного из двух компонентов желтой линии, резонансное излучение, по крайней мере при низких давлениях, состоит только из этого компонента. Эти эксперименты были позже продолжены Страттом и были распространены на случай, когда возбуждающая линия соответствовала второй линии в главной серии. Стратт обнаружил, что резонансное излучение состояло, по-видимому, лишь в небольшой степени из света той же частоты, что и падающий свет, в то время как большая часть состояла из знакомой желтой линии. Этот результат должен казаться очень удивительным с точки зрения обычных идей о резонансе, поскольку, как отметил Стратт, не существует рациональной связи между частотами первой и второй линий главной серии. Однако это легко объясняется с нашей точки зрения. Из рисунка видно, что когда атом был переведен во второе состояние во втором ряду, в дополнение к прямому возврату в нормальное состояние, существуют еще два других перехода, которые могут привести к излучению, а именно переходы во второе состояние в первом ряду и в первое состояние в третьем ряду. Эксперименты, по-видимому, указывают на то, что второй из этих трех переходов является наиболее вероятным, и я покажу позже, что для этого вывода есть некоторое теоретическое обоснование. Этим переходом, который приводит к испусканию инфракрасной линии, которую невозможно было наблюдать с помощью экспериментальной установки, атом переводится во второе состояние первого ряда, и из этого состояния возможен только один переход, который снова дает инфракрасную линию. Этот переход переводит атом в первое состояние во втором ряду, и последующий переход в нормальное состояние затем приводит к возникновению желтой линии. Стратт обнаружил еще один столь же удивительный результат: это желтое резонансное излучение, по-видимому, состояло из обоих компонентов первой линии главной серии, даже когда падающий свет состоял только из одного компонента второй линии главной серии. Это находится в прекрасном согласии с нашей картиной явления. Мы должны помнить, что состояния в первом ряду просты, поэтому, когда атом прибыл в одно из них, он потерял всякую возможность позже дать какое-либо указание, из какого из двух состояний во втором ряду он первоначально пришел.

Пары натрия, в дополнение к поглощению, соответствующему линиям главной серии, демонстрируют селективное поглощение в непрерывной спектральной области, начинающейся у предела этой серии и простирающейся в ультрафиолет. Это поразительным образом подтверждает наше предположение о том, что поглощение линий главной серии натрия приводит к конечным состояниям атома, в которых один из электронов вращается по все более и более широким орбитам. Ибо мы должны предположить, что это непрерывное поглощение соответствует переходам из нормального состояния в состояния, в которых электрон находится в положении, позволяющем ему удалиться бесконечно далеко от ядра. Это явление демонстрирует полную аналогию с фотоэлектрическим эффектом от освещенной металлической пластины, в котором при использовании света подходящей частоты можно получить электроны любой скорости. Частота, однако, должна всегда лежать выше определенного предела, связанного согласно теории Эйнштейна простым образом с энергией, необходимой для вывода электрона из металла.

Этот взгляд на происхождение спектров испускания и поглощения был подтвержден весьма интересным образом экспериментами по возбуждению спектральных линий и производству ионизации электронной бомбардировкой. Главный прогресс в этой области связан с хорошо известными экспериментами Франка и Герца. Эти исследователи получили свои первые важные результаты из экспериментов с парами ртути, свойства которых особенно облегчают такие эксперименты. Из-за большой важности результатов эти эксперименты были распространены на большинство газов и металлов, которые могут быть получены в газообразном состоянии. С помощью рисунка я кратко проиллюстрирую результаты для случая паров натрия. Было обнаружено, что электроны при столкновении с атомами отбрасывались назад с неуменьшенной скоростью, когда их энергия была меньше той, которая требовалась для перевода атома из нормального состояния в следующее за ним стационарное состояние с более высоким значением энергии. В случае паров натрия это означает переход из первого состояния в первом ряду в первое состояние во втором ряду. Как только, однако, энергия электрона достигает этого критического значения, происходит новый тип столкновения, при котором электрон теряет всю свою кинетическую энергию, в то время как пары возбуждаются и испускают излучение, соответствующее желтой линии. Это то, чего следовало бы ожидать, если бы при столкновении атом был переведен из нормального состояния в первое во втором ряду. Некоторое время было неясно, насколько верно это объяснение, поскольку в экспериментах с парами ртути было обнаружено, что вместе с возникновением неупругих ударов в парах всегда образовывались ионы. С нашего рисунка, однако, мы ожидали бы, что ионы будут образовываться только тогда, когда кинетическая энергия электронов достаточно велика, чтобы перевести атом из нормального состояния к общему пределу состояний. Более поздние эксперименты, особенно Дэвиса и Гочера, прояснили этот момент. Было показано, что ионы могут непосредственно образовываться при столкновениях только тогда, когда кинетическая энергия электронов соответствует пределу серии, и что ионизация, обнаруженная сначала, была косвенным эффектом, возникающим из фотоэлектрического эффекта, производимого на металлических стенках аппарата излучением, возникающим при возвращении атомов ртути в нормальное состояние. Эти эксперименты предоставляют прямое и независимое доказательство реальности отличительных стационарных состояний, о существовании которых мы были вынуждены сделать вывод из серийных спектров. В то же время мы получаем поразительное впечатление о недостаточности обычных электродинамических и механических представлений для описания атомных процессов, не только в отношении испускания излучения, но и в таких явлениях, как столкновение свободных электронов с атомами.

III. РАЗВИТИЕ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ СПЕКТРОВ

Мы видим, что, используя несколько простых идей, можно получить определенное представление о происхождении серийных спектров. Но когда мы пытаемся проникнуть глубже, возникают трудности. Фактически, для систем, которые не являются просто периодическими, невозможно получить достаточную информацию о движениях этих систем в стационарных состояниях только из численных значений энергии; для фиксации движения требуются дополнительные определяющие факторы. Мы встречаем те же трудности, когда пытаемся подробно объяснить характерное влияние внешних сил на спектр водорода. Фундамент для дальнейших успехов в этой области был заложен в последние годы благодаря развитию квантовой теории, которая позволяет фиксировать стационарные состояния не только в случае просто периодических систем, но и для определенных классов непериодических систем. Это условно-периодические системы, уравнения движения которых могут быть решены путем «разделения переменных». Если используются обобщенные координаты, описание движения этих систем может быть сведено к рассмотрению ряда обобщенных «компонентов движения». Каждый из них соответствует изменению только одной из координат и поэтому может в некотором смысле рассматриваться как «независимый». Метод фиксации стационарных состояний состоит в фиксации движения каждого из этих компонентов условием, которое можно рассматривать как прямое обобщение условия (1) для осциллятора Планка, так что стационарные состояния в общем случае характеризуются таким же количеством целых чисел, как и количество степеней свободы, которыми обладает система. Значительное число физиков принимало участие в этом развитии квантовой теории, включая самого Планка. Я также хочу упомянуть важный вклад, внесенный Эренфестом в эту тему относительно ограничений применимости законов механики к атомным процессам. Решающий прогресс в применении квантовой теории к спектрам, однако, принадлежит Зоммерфельду и его последователям. Однако я не буду далее обсуждать систематическую форму, в которой эти авторы представили свои результаты. В статье, которая появилась некоторое время назад в «Трудах Копенгагенской академии», я показал, что спектры, рассчитанные с помощью этого метода фиксации стационарных состояний, обнаруживают соответствие со спектрами, которые должны соответствовать движению системы, подобное тому, которое мы уже рассматривали в случае водорода. С помощью этого общего соответствия я попытаюсь в оставшейся части этой лекции показать, как можно представить теорию серийных спектров и эффекты, производимые внешними полями сил на эти спектры, в форме, которую можно рассматривать как естественное обобщение предыдущих соображений. Эта форма кажется мне особенно подходящей для будущей работы в теории спектров, поскольку она позволяет получить непосредственное представление о проблемах, для которых упомянутые выше методы терпят неудачу из-за сложности движений в атоме.

Влияние внешних сил на спектр водорода. Мы теперь перейдем к исследованию влияния малых возмущающих сил на спектр простой системы, состоящей из одного электрона, вращающегося вокруг ядра. Для простоты мы на мгновение пренебрежем изменением массы электрона с его скоростью. Рассмотрение небольших изменений в движении, обусловленных этим изменением, имело большое значение в развитии теории Зоммерфельда, которая возникла при объяснении тонкой структуры линий водорода. Эта тонкая структура обусловлена тем, что при учете изменения массы со скоростью орбита электрона немного отклоняется от простого эллипса и уже не является строго периодической. Это отклонение от кеплеровского движения, однако, очень мало по сравнению с возмущениями, обусловленными наличием внешних сил, таких как те, что возникают в экспериментах по эффектам Зеемана и Штарка. В атомах с более высоким атомным номером оно также пренебрежимо мало по сравнению с возмущающим влиянием внутренних электронов на движение внешнего электрона. Пренебрежение изменением массы, следовательно, не окажет существенного влияния на объяснение эффектов Зеемана и Штарка или на объяснение разницы между спектром водорода и спектрами других элементов.

Мы будем поэтому, как и прежде, рассматривать движение невозмущенного атома водорода как просто периодическое и спросим в первую очередь о стационарных состояниях, соответствующих этому движению. Энергия в этих состояниях будет тогда определяться выражением (7), которое было выведено из спектра водорода. Поскольку энергия системы задана, большая полуось эллиптической орбиты электрона и его частота обращения также определены. Подставляя в формулы (7) и (8) выражение для E_n, данное в (12), мы получаем для энергии, большой полуоси и частоты обращения в n-м состоянии невозмущенного атома выражения E_n = -2π^2me^4 / h^2n^2, a_n = h^2n^2 / 2π^2me^2, ω_n = 2π^2me^4 / h^3n^3.

Мы должны далее предположить, что в стационарных состояниях невозмущенной системы форма орбиты настолько не определена, что эксцентриситет может меняться непрерывно. Это не только непосредственно указывается принципом соответствия — поскольку частота обращения определяется только энергией, а не эксцентриситетом, — но также тем фактом, что наличие любых малых внешних сил в общем случае с течением времени вызовет конечное изменение положения, а также эксцентриситета периодической орбиты, в то время как в большой полуоси оно может вызвать только малые изменения, пропорциональные интенсивности возмущающих сил.

Чтобы зафиксировать стационарные состояния систем в присутствии заданного консервативного внешнего поля сил, нам придется исследовать на основе принципа соответствия, как эти силы влияют на разложение движения на гармонические колебания. Из-за внешних сил форма и положение орбиты будут непрерывно меняться. В общем случае эти изменения будут настолько сложными, что невозможно будет разложить возмущенное движение на дискретные гармонические колебания. В таком случае мы должны ожидать, что возмущенная система не будет обладать какими-либо резко разделенными стационарными состояниями. Хотя каждое испускание излучения должно предполагаться монохроматическим и протекающим согласно общему частотному условию, мы будем поэтому ожидать, что конечным эффектом будет уширение резких спектральных линий невозмущенной системы. В некоторых случаях, однако, возмущения будут иметь настолько регулярный характер, что возмущенная система может быть разложена на гармонические колебания, хотя ансамбль этих колебаний будет, естественно, более сложного вида, чем в невозмущенной системе. Это происходит, например, когда изменения орбиты с течением времени периодичны. В этом случае в движении системы появятся гармонические колебания, частоты которых равны целым кратным периода орбитальных возмущений, и в спектре, который ожидается на основе обычной теории излучения, мы ожидали бы компоненты, соответствующие этим частотам. Согласно принципу соответствия мы поэтому непосредственно приходим к выводу, что каждому стационарному состоянию в невозмущенной системе соответствует ряд стационарных состояний в возмущенной системе таким образом, что при переходе между двумя из этих состояний испускается излучение, частота которого находится в том же отношении к периодическому ходу изменений в орбите, что и спектр просто периодической системы к его движению в стационарных состояниях.

Эффект Штарка. Поучительный пример появления периодических возмущений получается, когда водород подвергается воздействию однородного электрического поля. Эксцентриситет и положение орбиты непрерывно меняются под влиянием поля. Во время этих изменений, однако, обнаруживается, что центр орбиты остается в плоскости, перпендикулярной направлению электрической силы, и что его движение в этой плоскости просто периодично. Когда центр возвращается в свою исходную точку, орбита возобновляет свой первоначальный эксцентриситет и положение, и с этого момента весь цикл орбит повторяется. В этом случае определение энергии стационарных состояний возмущенной системы чрезвычайно просто, поскольку обнаруживается, что период возмущения не зависит от первоначальной конфигурации орбит и, следовательно, от положения плоскости, в которой движется центр орбиты, а только от большой полуоси и частоты обращения. Из простого расчета найдено, что период a задается следующей формулой a = 3/2 * n * h / eF, где F — интенсивность внешнего электрического поля. По аналогии с фиксацией отличительных значений энергии осциллятора Планка мы должны поэтому ожидать, что разность энергий между двумя различными состояниями, соответствующими одному и тому же стационарному состоянию невозмущенной системы, будет просто равна целому кратному произведению h на частоту 1/a возмущений. Мы поэтому непосредственно приходим к следующему выражению для энергии стационарных состояний возмущенной системы E = E_n + k * h/a, где k зависит только от числа n, характеризующего стационарное состояние невозмущенного атома, в то время как k — новое целое число, которое в этом случае может быть как положительным, так и отрицательным. Как мы увидим ниже, рассмотрение соотношения между энергией и движением системы показывает, что k должно быть численно меньше n, если, как и прежде, мы поместим величину E_n равной энергии n-го стационарного состояния невозмущенного атома. Подставляя значения E_n и a, данные (17) в формулу (19), мы получаем E = -2π^2me^4 / h^2n^2 + k * 3/2 * n * eFh / 2π^2me. Чтобы найти влияние электрического поля на линии спектра водорода, мы используем частотное условие (4) и получаем для частоты ν излучения, испускаемого при переходе между двумя стационарными состояниями, определенными числами n', k' и n'', k''.

Хорошо известно, что эта формула дает полное объяснение эффекта Штарка для линий водорода. Она точно соответствует той, что была получена другим методом Эпштейном и Шварцшильдом. Они использовали тот факт, что атом водорода в однородном электрическом поле является условно-периодической системой, допускающей разделение переменных с использованием параболических координат. Стационарные состояния были зафиксированы путем применения квантовых условий к каждой из этих переменных.

Мы теперь рассмотрим более внимательно соответствие между изменениями в спектре водорода из-за наличия электрического поля и разложением возмущенного движения атома на его гармонические компоненты. Вместо простого разложения на гармонические компоненты, соответствующие простому кеплеровскому движению, смещение q электрона в заданном направлении в пространстве может быть выражено в настоящем случае формулой q = Σ A_{τ, s} cos(2π(τ ω + s/a)t + c_{τ, s}), где ω — средняя частота обращения в возмущенной орбите, а a — период орбитальных возмущений, в то время как A_{τ, s} и c_{τ, s} — константы. Суммирование должно быть распространено на все целые значения для τ и s.

Если мы теперь рассмотрим переход между двумя стационарными состояниями, характеризующимися определенными числами n', k' и n'', k'', мы обнаружим, что в области, где эти числа велики по сравнению с их разностями τ = n' - n'' и s = k' - k'', частота спектральной линии, которая испускается, будет задаваться приблизительно формулой ν = τ ω + s/a. Мы видим, таким образом, что мы получили соотношение между спектром и движением точно такого же характера, как и в простом случае невозмущенного атома водорода. Мы имеем здесь подобное соответствие между гармоническим компонентом в движении, соответствующим определенным значениям для τ и s в формуле (22), и переходом между двумя стационарными состояниями, для которых n' - n'' = τ и k' - k'' = s.

Ряд интересных результатов может быть получен из этого соответствия путем рассмотрения движения более подробно. Каждый гармонический компонент в выражении (22), для которого s является четным числом, соответствует линейному колебанию, параллельному направлению электрического поля, в то время как каждый компонент, для которого s является нечетным, соответствует эллиптическому колебанию, перпендикулярному этому направлению. Принцип соответствия сразу предполагает, что эти факты связаны с характерной поляризацией, наблюдаемой в эффекте Штарка. Мы ожидали бы, что переход, для которого s является четным, приведет к компоненту с электрическим вектором, параллельным полю, в то время как переход, для которого s является нечетным, будет соответствовать компоненту с электрическим вектором, перпендикулярным полю. Эти результаты были полностью подтверждены экспериментом и соответствуют эмпирическому правилу поляризации, которое Эпштейн предложил в своей первой статье об эффекте Штарка.

Применения принципа соответствия, которые были описаны до сих пор, носили чисто качественный характер. Однако можно получить количественную оценку относительной интенсивности различных компонентов эффекта Штарка для водорода, сопоставляя численные значения коэффициентов A_{τ, s} в формуле (22) с вероятностью соответствующих переходов между стационарными состояниями. Эта проблема была подробно рассмотрена Крамерсом в недавно опубликованной диссертации. В ней он дает тщательное обсуждение применения принципа соответствия к вопросу об интенсивности спектральных линий.

Эффект Зеемана. Проблема влияния однородного магнитного поля на линии водорода может быть решена совершенно аналогичным образом. Влияние на движение атома водорода состоит просто в наложении равномерного вращения на движение электрона в невозмущенном атоме. Ось вращения параллельна направлению магнитной силы, в то время как частота обращения задается формулой ω_H = eH / 4πmc, где H — интенсивность поля, а c — скорость света.

Снова мы имеем случай, когда возмущения просто периодичны и где период возмущений не зависит от формы и положения орбиты, а в настоящем случае — даже от большой полуоси. Поэтому применяются аналогичные соображения, как и в случае эффекта Штарка, и мы должны ожидать, что энергия в стационарных состояниях снова будет задаваться формулой (19), если мы подставим вместо 1/a значение, данное в выражении (24). Этот результат также находится в полном согласии с тем, который был получен Зоммерфельдом и Дебаем. Метод, который они использовали, включал решение уравнений движения методом разделения переменных. Подходящими координатами являются полярные координаты относительно оси, параллельной полю.

Если мы попытаемся, однако, вычислить непосредственно влияние поля с помощью частотного условия (4), мы немедленно встретимся с кажущимся несогласием, которое некоторое время рассматривалось как серьезная трудность для теории. Как указали и Зоммерфельд, и Дебай, линии не наблюдаются, соответствующие каждому переходу между стационарными состояниями, включенными в формулу. Мы преодолеваем эту трудность, однако, как только применяем принцип соответствия. Если мы рассмотрим гармонические компоненты движения, мы получим простое объяснение как невозникновения определенных переходов, так и наблюдаемой поляризации. В магнитном поле каждый эллиптический гармонический компонент, имеющий частоту τω, расщепляется на три гармонических компонента благодаря равномерному вращению орбиты. Из них один является прямолинейным с частотой τω, колеблющимся параллельно магнитному полю, и два являются круговыми с частотами τω + ω_H и τω - ω_H, колеблющимися в противоположных направлениях в плоскости, перпендикулярной направлению поля. Следовательно, движение, представленное формулой (22), не содержит компонентов, для которых s численно больше единицы, в отличие от эффекта Штарка, где присутствуют компоненты, соответствующие всем значениям s. Теперь формула (23) снова применяется для больших значений n' и n'' и показывает асимптотическое согласие между частотой излучения и частотой гармонического компонента в движении. Мы приходим, таким образом, к выводу, что переходы, для которых k меняется более чем на единицу, не могут происходить. Аргумент аналогичен тому, с помощью которого исключаются переходы между двумя отличительными состояниями осциллятора Планка, для которых значения n в (1) отличаются более чем на единицу. Мы должны далее заключить, что различные возможные переходы состоят из двух типов. Для одного типа, соответствующего прямолинейному компоненту, k остается неизменным, и в испускаемом излучении, которое обладает той же частотой ν, что и исходная линия водорода, электрический вектор будет колебаться параллельно полю. Для второго типа, соответствующего круговым компонентам, k будет увеличиваться или уменьшаться на единицу, и излучение, наблюдаемое в направлении поля, будет циркулярно поляризованным и иметь частоты ν + ω_H и ν - ω_H соответственно. Эти результаты согласуются с результатами знакомой теории Лоренца. Сходство в двух теориях поразительно, когда мы вспоминаем фундаментальное различие между идеями квантовой теории и обычными теориями излучения.

Центральные возмущения. Иллюстрация, основанная на аналогичных соображениях, которая прольет свет на спектры других элементов, состоит в нахождении влияния малого возмущающего поля сил, радиально симметричного относительно ядра. В этом случае ни форма орбиты, ни положение ее плоскости не будут меняться со временем, и возмущающее влияние поля будет просто состоять в равномерном вращении большой полуоси орбиты. Возмущения периодичны, так что мы можем предположить, что каждому значению энергии стационарного состояния невозмущенной системы принадлежит ряд дискретных значений энергии возмущенной системы, характеризуемых различными значениями целого числа k. Частота ω_p возмущений равна частоте вращения большой полуоси. Для заданного закона силы для возмущающего поля мы находим, что ω_p зависит как от большой полуоси, так и от эксцентриситета. Изменение энергии стационарных состояний, следовательно, не будет задаваться выражением, столь же простым, как второй член в формуле (19), а будет функцией k, которая различна для разных полей. Возможно, однако, охарактеризовать одним и тем же условием движение в стационарных состояниях атома водорода, который возмущен любым центральным полем. Чтобы показать это, мы должны рассмотреть более внимательно фиксацию движения возмущенного атома водорода.

В стационарных состояниях невозмущенного атома водорода следует считать фиксированной только большую полуось орбиты, тогда как эксцентриситет может принимать любое значение. Поскольку изменение энергии атома вследствие воздействия внешнего силового поля зависит от формы и положения его орбиты, фиксация энергии атома в присутствии такого поля естественным образом влечет за собой более точное определение орбиты возмущенной системы.

Рассмотрим для иллюстрации изменение спектра водорода вследствие наличия однородных электрического и магнитного полей, которое было описано уравнением (19). Установлено, что это энергетическое условие допускает простую геометрическую интерпретацию. В случае электрического поля расстояние от ядра до плоскости, в которой движется центр орбиты, определяет изменение энергии системы вследствие наличия поля. В стационарных состояниях это расстояние просто равно произведению некоторого множителя на половину большой полуоси орбиты. В случае магнитного поля установлено, что величиной, определяющей изменение энергии системы, является площадь проекции орбиты на плоскость, перпендикулярную магнитной силе. В различных стационарных состояниях эта площадь равна произведению некоторого множителя на площадь круга, радиус которого равен половине большой полуоси орбиты. В случае возмущающей центральной силы соответствие между спектром и движением, требуемое квантовой теорией, приводит теперь к простому условию, согласно которому в стационарных состояниях возмущенной системы малая полуось вращающейся орбиты просто равна произведению некоторого множителя на большую полуось. Это условие было впервые выведено Зоммерфельдом из его общей теории для определения стационарных состояний центрального движения. Легко показать, что такая фиксация значения малой полуоси эквивалентна утверждению, что параметр эллиптической орбиты задается выражением точно такой же формы, как и то, которое дает большую полуось в невозмущенном атоме. Единственное отличие от выражения для параметра в (17) состоит в том, что величина заменена на соответствующую ей, так что значение параметра в стационарных состояниях возмущенного атома задается формулой. Частота излучения, испускаемого при переходе между двумя стационарными состояниями, определенными таким образом, для которых квантовые числа велики по сравнению с их разностью, задается выражением, которое совпадает с выражением в уравнении (23), если в данном случае частота обращения электрона на медленно вращающейся орбите и представляет собой частоту вращения большой полуоси.

Прежде чем идти дальше, интересно отметить, что эта фиксация стационарных состояний атома водорода, возмущенного внешними электрическими и магнитными силами, в некоторых отношениях не совпадает с теориями Зоммерфельда, Эпштейна и Дебая. Согласно теории условно-периодических систем, стационарные состояния для системы с тремя степенями свободы в общем случае будут определяться тремя условиями, и поэтому в этих теориях каждое состояние характеризуется тремя целыми числами. Это означало бы, что стационарные состояния возмущенного атома водорода, соответствующие определенному стационарному состоянию невозмущенного атома водорода, фиксированному одним условием, должны подчиняться двум дополнительным условиям и, следовательно, должны характеризоваться двумя новыми целыми числами в дополнение к числу. Но возмущения кеплеровского движения являются просто периодическими, и энергия возмущенного атома поэтому будет полностью фиксирована одним дополнительным условием. Введение второго условия не добавит ничего нового к объяснению явления, поскольку с появлением новых возмущающих сил, даже если они слишком малы, чтобы заметно повлиять на наблюдаемые эффекты Зеемана и Штарка, формы движения, характеризуемые таким условием, могут быть полностью изменены. Это полностью аналогично тому факту, что спектр водорода в том виде, в каком он обычно наблюдается, не подвергается заметному влиянию малых сил, даже когда они достаточно велики, чтобы вызвать значительное изменение формы и положения орбиты электрона.

Релятивистский эффект для линий водорода. Прежде чем оставить спектр водорода, я кратко рассмотрю эффект изменения массы электрона с его скоростью. В предыдущих разделах я описал, как внешние силовые поля расщепляют линии водорода на несколько компонентов, но следует заметить, что эти результаты точны только тогда, когда возмущения велики по сравнению с малыми отклонениями от чисто кеплеровского движения, обусловленными изменением массы электрона с его скоростью. Когда учитывается изменение массы, движение невозмущенного атома не будет строго периодическим. Вместо этого мы получаем движение точно такого же типа, как то, которое происходит в атоме водорода, возмущенном малым центральным полем. Согласно принципу соответствия, следует ожидать тесной связи между частотой обращения большой полуоси орбиты и разностью частот компонентов тонкой структуры, а стационарными состояниями будут те орбиты, параметры которых задаются выражением (25). Если мы теперь рассмотрим влияние внешних сил на компоненты тонкой структуры линий водорода, необходимо иметь в виду, что эта фиксация стационарных состояний применима только к невозмущенному атому водорода и что, как упоминалось, орбиты в этих состояниях в общем случае уже сильно подвержены влиянию присутствия внешних сил, которые малы по сравнению с теми, с которыми мы имеем дело в экспериментах по эффектам Штарка и Зеемана. В общем случае наличие таких сил приведет к большой сложности возмущений, и атом больше не будет обладать группой четко определенных стационарных состояний. Компоненты тонкой структуры данной линии водорода поэтому станут размытыми и сольются вместе. Однако существует несколько важных случаев, когда этого не происходит из-за простого характера возмущений. Простейшим примером является атом водорода, возмущенный центральной силой, действующей со стороны ядра. В этом случае очевидно, что движение системы сохранит свой центрально-симметричный характер и что возмущенное движение будет отличаться от невозмущенного только тем, что частота вращения большой полуоси будет различной для разных значений этой полуоси и параметра. Этот момент важен в теории спектров элементов с более высоким атомным номером, поскольку, как мы увидим, влияние сил, исходящих от внутренних электронов, может в первом приближении быть сопоставлено с влиянием возмущающего центрального поля. Поэтому мы не можем ожидать, что эти спектры будут демонстрировать отдельный эффект, обусловленный изменением массы электрона, того же типа, что и найденный в случае линий водорода. Это изменение не приведет к расщеплению на отдельные компоненты, а лишь к малым смещениям в положении различных линий.

Мы получаем еще один простой пример, в котором атом водорода обладает четкими стационарными состояниями, хотя изменение массы электрона и учитывается, если мы возьмем атом, подверженный воздействию однородного магнитного поля. Эффект такого поля будет состоять в наложении вращения всей системы вокруг оси, проходящей через ядро и параллельной магнитной силе. Из этого результата согласно принципу соответствия непосредственно следует, что для каждого компонента тонкой структуры следует ожидать расщепления на нормальный эффект Зеемана (триплет Лоренца). Задача может быть также решена с помощью теории условно-периодических систем, поскольку уравнения движения в присутствии магнитного поля, даже когда учитывается изменение массы, допускают разделение переменных при использовании полярных координат в пространстве. На это указывали Зоммерфельд и Дебай.

Более сложный случай возникает, когда атом подвергается воздействию однородного электрического поля, которое не настолько сильно, чтобы эффектом, обусловленным изменением массы, можно было пренебречь. В этом случае не существует системы координат, в которой уравнения движения могли бы быть решены путем разделения переменных, и задача, следовательно, не может быть рассмотрена теорией стационарных состояний условно-периодических систем. Однако более тщательное исследование возмущений показывает, что они имеют такой характер, что движение электронов может быть разложено на ряд отдельных гармонических компонентов. Они распадаются на две группы, для которых направление колебаний является либо параллельным, либо перпендикулярным полю. Согласно принципу соответствия, следовательно, мы должны ожидать, что и в этом случае в присутствии поля каждая линия водорода будет состоять из ряда четких поляризованных компонентов. Фактически, с помощью описанных мною принципов возможно дать однозначную фиксацию стационарных состояний. Проблема влияния однородного электрического поля на компоненты тонкой структуры линий водорода была подробно рассмотрена с этой точки зрения Крамерсом в статье, которая скоро будет опубликована. В этой статье будет показано, как представляется возможным детально предсказать способ, которым тонкая структура линий водорода постепенно переходит в обычный эффект Штарка по мере увеличения напряженности электрического поля.

Теория серий спектров. Обратим теперь наше внимание еще раз на проблему серий спектров элементов с более высоким атомным номером. Общий вид постоянной Ридберга в этих спектрах объясняется предположением, что атом является нейтральным и что один электрон вращается по орбите, размеры которой велики по сравнению с расстоянием внутренних электронов от ядра. В некотором смысле, следовательно, движение внешнего электрона может быть сопоставлено с движением электрона атома водорода, возмущенного внешними силами, и появление различных серий в спектрах других элементов с этой точки зрения следует рассматривать как аналогичное расщеплению линий водорода на компоненты вследствие таких сил.

В своей теории строения серий спектров типа, демонстрируемого щелочными металлами, Зоммерфельд сделал предположение, что орбита внешнего электрона в первом приближении обладает тем же характером, что и орбита, создаваемая простым возмущающим центральным полем, интенсивность которого быстро убывает с увеличением расстояния от ядра. Он зафиксировал движение внешнего электрона с помощью своей общей теории фиксации стационарных состояний центрального движения. Применение этого метода зависит от возможности разделения переменных в уравнениях движения. Таким образом, Зоммерфельд смог вычислить ряд энергетических значений, которые могут быть расположены в ряды точно так же, как эмпирические спектральные термы, показанные на диаграмме спектра натрия (стр. 30). Состояния, сгруппированные Зоммерфельдом в отдельные ряды, являются в точности теми, которые характеризовались одним и тем же значением квантового числа в нашем исследовании атома водорода, возмущенного центральной силой. Состояния в первом ряду рисунка (ряд) соответствуют значению, состояния второго ряда () соответствуют и т. д. Состояния, соответствующие одному и тому же значению, соединены пунктирными линиями, которые продолжены так, что их вертикальные асимптоты соответствуют энергетическому значению стационарных состояний атома водорода. Тот факт, что для постоянного и возрастающих значений энергетические значения приближаются к соответствующим значениям для невозмущенного атома водорода, непосредственно очевиден из теории, поскольку внешний электрон при больших значениях параметра своей орбиты остается на большом расстоянии от внутренней системы в течение всего обращения. Орбита станет почти эллиптической, а период вращения большой полуоси будет очень большим. Можно видеть, следовательно, что влияние внутренней системы на энергию, необходимую для удаления этого электрона из атома, должно становиться меньше при возрастающих значениях.

Эти прекрасные результаты предполагают возможность нахождения законов силы для возмущающего центрального поля, которые объяснили бы наблюдаемые спектры. Хотя Зоммерфельду таким образом действительно удалось вывести формулы для спектральных термов, которые изменяются с при постоянном в согласии с формулами Ридберга, не удалось объяснить одновременное изменение с обоими параметрами в каком-либо реальном случае. Это неудивительно, поскольку следует ожидать, что влияние внутренних электронов на спектр не может быть объяснено столь простым образом. Дальнейшее рассмотрение показывает, что необходимо учитывать не только силы, исходящие от внутренних электронов, но также учитывать влияние присутствия внешнего электрона на движение внутренних электронов.

Прежде чем рассматривать серии спектров элементов с низким атомным номером, я укажу, как возникновение или отсутствие определенных переходов может, согласно принципу соответствия, служить убедительным доказательством в пользу предположения Зоммерфельда об орбите внешнего электрона. Для этой цели мы должны описать движение внешнего электрона в терминах его гармонических компонентов. Это легко выполняется, если мы предположим, что присутствие внутренних электронов просто вызывает равномерное вращение орбиты внешнего электрона в ее плоскости. Из-за этого вращения, частоту которого мы обозначим через, в движении возмущенного электрона появятся два круговых вращения с периодами вместо каждого из гармонических эллиптических компонентов с периодом в невозмущенном движении. Разложение возмущенного движения на гармонические компоненты, следовательно, будет снова представлено формулой типа (22), в которой появляются только такие члены, для которых равно или. Поскольку частота испускаемого излучения в областях, где велики, снова задается асимптотической формулой (23), мы сразу же выводим из принципа соответствия, что единственными переходами, которые могут иметь место, являются те, для которых значения квантовых чисел отличаются на единицу. Взгляд на рисунок для спектра натрия показывает, что это в точности согласуется с экспериментальными результатами. Этот факт тем более примечателен, что в теории Зоммерфельда расположение энергетических значений стационарных состояний в ряды не имеет специального отношения к возможности перехода между этими состояниями.

Принцип соответствия и закон сохранения момента импульса. Помимо этих результатов, принцип соответствия предполагает, что излучение, испускаемое возмущенным атомом, должно демонстрировать круговую поляризацию. Однако из-за неопределенности плоскости орбиты эта поляризация не может быть непосредственно наблюдаема. Предположение о такой поляризации представляет особый интерес для теории испускания излучения. Из-за общего соответствия между спектром атома и разложением его движения на гармонические компоненты мы приходим к сравнению излучения, испускаемого при переходе между двумя стационарными состояниями, с излучением, которое испускалось бы гармонически осциллирующим электроном на основе классической электродинамики. В частности, излучение, испускаемое согласно классической теории электроном, вращающимся по круговой орбите, обладает моментом импульса, и энергия и момент импульса излучения, испускаемого за определенное время, связаны соотношением

Здесь представляет частоту обращения электрона, и согласно классической теории это равно частоте излучения. Если мы теперь предположим, что полная испущенная энергия равна, мы получим для полного момента импульса излучения

Чрезвычайно интересно отметить, что это выражение равно изменению момента импульса, которое претерпевает атом при переходе, где квантовое число изменяется на единицу. Ибо в теории Зоммерфельда общее условие фиксации стационарных состояний центральной системы, которое в частном случае приблизительно кеплеровского движения эквивалентно соотношению (25), утверждает, что момент импульса системы должен быть равен целому кратному, условие, которое может быть записано в наших обозначениях. Мы видим, следовательно, что это условие получило прямое подтверждение из простого рассмотрения закона сохранения момента импульса во время испускания излучения. Я хочу подчеркнуть, что это уравнение следует рассматривать как рациональное обобщение первоначального утверждения Планка о характерных состояниях гармонического осциллятора. Может быть интересно напомнить, что возможное значение момента импульса в приложениях квантовой теории к атомным процессам было впервые указано Николсоном на основе того факта, что для кругового движения момент импульса просто пропорционален отношению кинетической энергии к частоте обращения.

В предыдущей статье, которую я представил Копенгагенской академии, я указал, что эти результаты подтверждают выводы, полученные путем применения принципа соответствия к атомным системам, обладающим радиальной или осевой симметрией. Рубинович независимо указал выводы, которые могут быть получены непосредственно из рассмотрения закона сохранения момента импульса во время процесса излучения. Таким образом, он получил несколько наших результатов, касающихся различных типов возможных переходов и поляризации испускаемого излучения. Однако даже для систем, обладающих радиальной или осевой симметрией, выводы, которые мы можем сделать с помощью принципа соответствия, носят более детальный характер, чем те, что могут быть получены исключительно из рассмотрения закона сохранения момента импульса. Например, в случае атома водорода, возмущенного центральной силой, мы можем только заключить, что квантовое число не может измениться более чем на единицу, тогда как принцип соответствия требует, чтобы оно изменялось на единицу для каждого возможного перехода и чтобы его значение не могло оставаться неизменным. Далее, этот принцип позволяет нам не только исключить определенные переходы как невозможные — и с этой точки зрения может рассматриваться как «принцип отбора» — но он также позволяет нам сделать выводы об относительных вероятностях различных возможных типов переходов из значений амплитуд гармонических компонентов. В данном случае, например, тот факт, что амплитуды тех круговых компонентов, которые вращаются в том же направлении, что и электрон, в общем случае больше амплитуд тех, которые вращаются в противоположном направлении, заставляет нас ожидать, что линии, соответствующие переходам, при которых квантовое число уменьшается на единицу, в общем случае будут обладать большей интенсивностью, чем линии, при испускании которых оно увеличивается на единицу. Однако простые соображения, подобные этому, применимы только к спектральным линиям, соответствующим переходам из одного и того же стационарного состояния. В других случаях, когда мы хотим оценить относительные интенсивности двух спектральных линий, явно необходимо принять во внимание относительное число атомов, присутствующих в каждом из двух стационарных состояний, из которых начинаются переходы. Хотя интенсивность, естественно, не может зависеть от числа атомов в конечном состоянии, следует заметить, однако, что при оценке вероятности перехода между двумя стационарными состояниями необходимо учитывать характер движения как в конечном, так и в начальном состоянии, поскольку значения амплитуд компонентов колебаний обоих состояний следует рассматривать как решающие для вероятности.