«Эксперименты с подпорными стенами и давлениями на туннели»

АМЕРИКАНСКОЕ ОБЩЕСТВО ГРАЖДАНСКИХ ИНЖЕНЕРОВ. ОСНОВАНО В 1852 Г.

ТРУДЫ

Статья № 1192

ЭКСПЕРИМЕНТЫ С ПОДПОРНЫМИ СТЕНАМИ И ДАВЛЕНИЕМ НА ТУННЕЛИ.

Уильям Кейн, член Американского общества гражданских инженеров

С обсуждением Дж. Р. Вустера, Дж. К. Мима и Уильяма Кейна.

Наиболее обширные эксперименты, касающиеся подпорных стен, — это те, что относятся к собственно подпорным стенам, и более детальные исследования на небольших вращающихся подпорных щитах. Результаты, относящиеся к первым, довольно хорошо согласуются с рациональной теорией, особенно когда высота стен составляет несколько футов; однако в случае со вторыми возникает множество расхождений, для которых до сих пор не было предложено объяснения.

Основная цель этой статьи — показать, что результаты этих экспериментов на небольших подпорных щитах можно привести в соответствие с теорией, если учесть влияние сцепления, которым пренебрегают при выводе практических формул. Будет показано, что влияние сцепления является заметным из-за малого размера щитов. Эта информация должна оказаться полезной для будущих исследователей, поскольку будет продемонстрировано, что по мере увеличения высоты щита или стены влияние сцепления становится все меньше и меньше, так что (для обычной засыпки из сухого песка) для высот, скажем, от 5 до 10 футов, им можно полностью пренебречь.

Результатом этого исследования станет повышение уверенности практиков-строителей в теории призмы скольжения, которая служит основой для последующих методов.

Fig. 1.

Поскольку в ходе данного исследования потребуются некоторые хорошо известные конструкции для определения давления любого зернистого материала на подпорные стены, целесообразно сгруппировать их здесь. Предполагается, что различные рисунки представляют собой сечения, перпендикулярные внутренним граням стен с их засыпкой из зернистого материала. Для стены с пригрузкой (рис. 1) продолжите внутреннюю грань стены до пересечения с поверхностью пригрузки в точке I. Требуется найти давление на плоскость AB для 1 погонного фута стены. Проведите через B, основание стены, линию под углом естественного откоса грунта к горизонту, пересекающую верхнюю поверхность в точке D. Поскольку любая возможная призма обрушения, такая как ABD, при стремлении к движению вниз развивает трение по обеим поверхностям, AB и AD, давление грунта на стену будет составлять угол δ с нормалью к AB, где δ — угол трения грунта о стену. Поскольку грунт оседает больше, чем стена, это трение всегда будет проявляться. Кроме того, поскольку стена из-за своей упругости и упругости основания будет стремиться отклониться в верхней части под действием давления грунта, грунт, благодаря своему фрикционному сцеплению со стеной, будет стремиться предотвратить это, так что трение в любом случае направлено вниз, и направление давления грунта E на AB будет таким, как показано на рис. 1.

Однако если δ = φ, тонкий слой грунта будет двигаться вместе со стеной, и трение будет трением грунта о грунт, поэтому в данном случае δ должно быть заменено на φ. Это правило будет применяться во всех последующих случаях без дополнительных пояснений везде, где упоминается δ.

Теперь проведите линию под углом φ к нормали, как показано; затем проведите линию, параллельную этой, до пересечения в точке C с продолжением поверхности пригрузки. Из точки C строится параллель к AD, встречающая AB в точке K.

Поскольку теория дает соотношение: (BK)^2 = BA * BC, геометрически следуют два способа нахождения точки K. Согласно первому, на BC как на диаметре описывается полуокружность; в точке A к BC восстанавливается перпендикуляр, встречающий полуокружность в точке M; затем BK откладывается равным хорде BM. Согласно второму способу, на BC как на диаметре описывается полуокружность, из точки A к ней проводится касательная, ограниченная перпендикулярным радиусом, и, наконец, BK откладывается равным этой касательной.

Точка K, будучи таким образом найденной любым из способов, позволяет провести линию, параллельную AD, до пересечения в точке D с поверхностью пригрузки. AD — это плоскость обрушения. Отложив BK и опустив перпендикуляр h из K на AD, давление грунта E на AD определяется по формуле E = 1/2 * w * h * AD, где w — вес кубической единицы грунта; иначе значение E дается произведением w на площадь заштрихованного треугольника KAD. Если размеры даны в футах, а w — в фунтах на кубический фут, давление E будет получено в фунтах.

На рис. 2 и 3 подпорные щиты AB вертикальны, и AD проведена под углом φ к вертикали. Верхняя поверхность грунта горизонтальна, и построения для нахождения K и D такие же, как для рис. 1. AD во всех фигурах представляет плоскость обрушения. [Сноска 1] Во всех случаях предполагается, что найденное выше давление грунта составляет угол δ (как показано) с нормалью к внутренней поверхности стены.

Fig. 2.

Fig. 3.

В теории Ренкина, относящейся, скажем, к рис. 2, давление грунта на вертикальную плоскость всегда принимается действующим параллельно верхнему откосу. Это верно для давления на вертикальную плоскость внутри массы грунта неограниченной протяженности, но, как правило, неверно для давления на подпорную стену. Таким образом, когда поверхность грунта (рис. 2) горизонтальна, давление Ренкина на AB принималось бы горизонтальным, что полностью игнорирует трение грунта о стену. Две теории согласуются, когда поверхность грунта наклонена под углом естественного откоса, и в этом случае, поскольку AD параллельна поверхности, пересечения D нет. Это предельный случай, в котором для вычисления давления AD можно отложить из любой точки на поверхности, проведя линию параллельно AD и т. д. По мере приближения поверхности к естественному откосу точка D удаляется бесконечно вправо, и видно, что плоскость обрушения AD бесконечно приближается к линии естественного откоса. Этот предельный случай из-за соответствующего чрезмерного давления будет более тщательно рассмотрен далее.

Если H — высота стены в футах, а w — вес кубического фута грунта в фунтах, то когда δ = 0 и поверхность грунта (рис. 2) наклонена под углом естественного откоса φ, давление грунта E в фунтах определяется уравнением: E = 1/2 * w * H^2 * cos φ.

Если, однако, δ не равно 0, то E направлено под углом δ к нормали к стене, и давление E равно: E = 1/2 * w * H^2 * cos φ / cos δ.

Вышеприведенные построения и соответствующие уравнения получены из теории призмы скольжения. Клин ABD (рис. 2 и 3) рассматривается как неизменяемое твердое тело, стремящееся соскользнуть одновременно по двум граням, AB и AD, тем самым развивая полное трение, которое может быть проявлено на этих гранях. В случае фактического поворота щита AB эксперименты показывают, что каждая частица грунта в призме ABD движется параллельно AD, причем каждый слой, параллельный AD, перемещается поверх слоя, находящегося непосредственно под ним.

Подобное движение наблюдается, если щит AB перемещается горизонтально влево. Однако в первом случае (поворота) частицы у основания B вообще не движутся, тогда как во втором (поступательного движения) частицы около B движутся, трусь о пол, который, таким образом, сопротивляется движению за счет трения. Давление, зарегистрированное пружинами или другим устройством в случае, когда стена движется горизонтально, дало бы заниженную оценку в нижней части AB, и, следовательно, вычисленный центр давления на AB был бы слишком высоким. По этой причине в данной статье будут рассматриваться только эксперименты с вращающимися щитами.

Теория клина скольжения, однако, оправдана, поскольку фактически не предполагается никакого движения ни того, ни другого рода. Предполагается, что клин ABD находится как раз на грани движения, будучи в равновесии под действием своего веса, нормальных составляющих реакций стены и плоскости AD, а также всего трения, которое может быть проявлено вдоль AB и AD. Эти силы остаются неизменными, какое бы начальное движение ни предполагалось. Гипотеза плоской поверхности обрушения, однако, не совсем реализуется: эксперимент показывает, что грунт разрывается вдоль слегка изогнутой поверхности, выпуклой по отношению к движущейся массе. Ради простоты теория пренебрегает сцеплением, действующим не только вдоль AD, но, возможно, в небольшой степени вдоль AB. Эта дополнительная сила будет включена в некоторые исследования, которые будут приведены позже.

После того как с этими предварительными замечаниями было покончено, будут приведены результаты некоторых экспериментов с подпорными стенами, находящимися на пределе устойчивости.

Fig. 4.

Fig. 5.

Fig. 6.

Fig. 7.

Рис. 4, 5, 6 и 7 относятся к вертикальным прямоугольным стенам с засыпкой из песка, за исключением случая рис. 5, где засыпкой служил щебень. Поверхность засыпки в каждом случае была горизонтальной. Чтобы кратко и подробно изложить величины, относящиеся к каждой стене, будут использованы следующие символы:

x и y положительны, когда равнодействующая на основании проходит внутри основания, в противном случае они отрицательны.

Рис. 4 представляет стену лейтенанта Хоупа из кирпичей, уложенных во влажный песок: H = 10 футов, b = 3,5 фута, w = 100 фунтов, φ = 35°, δ = 35°. Она была длиной 20 футов и имела засыпку из грунта вровень с верхом. x = 0,17 фута, y = 0,33 фута. Свес в момент разрушения составлял, вероятно, 4 дюйма. Включая это, x = 0,5 фута.

Рис. 5 показывает стену Бейкера из брусьев смолистой сосны с засыпкой из щебня, уровень поверхности которого был на 0,25 фута ниже верха стены; H = 4 фута, b = 1,33 фута, w = 100 фунтов, φ = 40°, δ = 30°, предполагаемый угол трения дерева о камень δ = 30°, x = 0,15 фута.

Экспериментальная стена Траутвайна показана на рис. 6. Автором было дано только отношение основания к высоте, 0,35, но Дж. К. Траутвайн-младший, ассоциированный член Американского общества гражданских инженеров, заверяет автора, что стены, вероятно, были высотой 6 дюймов, хотя в некоторых заметках упоминаются стены высотой от 4 до 9 дюймов. H = 0,5 фута, b = 0,175 фута, φ = 34°, δ = 34° (предполагается), x = 0,01 фута.

Стена Кюри, рис. 7, была деревянной, покрытой с тыльной стороны песком, так что δ = φ. Также H = 0,5 фута, b = 0,16 фута, φ = 35°, δ = 35°, x = 0,01 фута.

Fig. 8.

Все эти стены находились на пределе устойчивости, причем первые две имеют значительную высоту: 10 футов и 4 фута соответственно.

Рисунки показывают, что теория, включающая полное трение стены, довольно хорошо согласуется с экспериментом, но теория Ренкина с ним не согласуется. В обеих теориях предполагается, что давление E действует на одной трети высоты от основания стены до поверхности засыпки; но в теории Ренкина предполагается, что это давление действует горизонтально, тогда как в другой теории предполагается, что оно действует в направлении, составляющем угол δ ниже нормали к стене.

При объединении давлений с весом стены, как обычно, равнодействующая пересекает продолжение основания в точке, соответствующей x, в первом случае (теория Ренкина), но в точке, соответствующей x, во втором случае. Рис. 4–7 представляют собой яркий наглядный урок неточности метода Ренкина при рассмотрении экспериментальных подпорных стен.

Однако в следующих экспериментах, относящихся к подпорной конструкции, состоящей из двух щитов, шарнирно соединенных сверху (рис. 8) и имеющих засыпку из песка, горизонтальную сверху, теория Ренкина применима, когда щит AB расположен либо на плоскости обрушения, либо ниже нее, слева от AD. Давление на AB тогда принимается действующим горизонтально, на высоте H/3 над B, и объединяется с весом песка W, чтобы найти равнодействующую на щите. Если щит находится на плоскости обрушения, эта равнодействующая будет составлять угол δ ниже нормали к AB; следовательно, если предположить меньшее давление на AB, особенно если оно направлено вниз, новая равнодействующая на AB будет составлять угол, больший δ, с нормалью к AB, что несовместимо с устойчивостью. [Сноска 2] Те же рассуждения применимы, когда AB лежит ниже плоскости обрушения. [Сноска 3]

Fig. 9.

Подпорный щит размером 1 м в квадрате был покрыт песком, так что δ = φ для влажного песка. Следовательно, для горизонтального давления на AB плоскость обрушения (которая делит пополам угол между вертикалью и естественным откосом) составляет угол 27,5° с вертикалью. Щит AB был установлен под этим углом к вертикали, засыпан песком вровень с верхом, и было обнаружено, что конструкция находится на пределе устойчивости при H = 0,656 м. Тем временем, однако, песок высох, так что δ стало равно 27,5°; следовательно, строго говоря, применимо построение рис. 1 (для грунта вровень с верхом стены); но, поскольку результаты могут различаться лишь незначительно, давление на AB, действующее горизонтально, было вычислено для δ = 27,5° и объединено с весом песка W и весом конструкции, действующими через их центры тяжести, чтобы найти равнодействующую на основании. Было обнаружено, что она пересекает его на расстоянии 0,11 его ширины от внешнего края; следовательно, x = 0,11b.

В следующем эксперименте угол δ был 55°, H = 0,656 м и x = 0,04b. Следуя тому же методу, установлено, что x = 0, или равнодействующая на основании проходит практически через B. Третий эксперимент был проведен на меньшем подпорном щите. Здесь H = 0,328 м, δ = 55°, φ = 33,7°, x = 0,02b.

На рис. 9 показана стена с пригрузкой Кюри, находящаяся как раз на пределе устойчивости, имеющая H = 0,656 фута, b = 0,23 фута, а горизонтальная верхняя поверхность пригрузки находится на 4,26 фута выше верха стены. Пригрузка распространялась над стеной под углом δ, соответствующим влажному песку. Эксперимент дал x = 0,02b. Стена была из кирпича на портландцементе. Отношение b/H = 0,35. Было обнаружено с использованием построения рис. 1, что при принятии давления E, действующего на 1,24 фута выше основания, или на одной трети высоты поверхности, x = 0,02b; и далее, что если E действует на 1,303 фута выше основания, равнодействующая на основании проходит точно через внешний край стены.

Fig. 10.

Поскольку истинное положение центра давления на стене с пригрузкой никогда не было установлено, насколько известно автору, он выполнил ряд построений по методу, проиллюстрированному на рис. 1, чтобы найти его.

Вместо выполнения построения для частного случая выше, было решено, что результаты будут более полезными в общем виде, если естественный откос принять с основанием 3 и высотой 2, и φ = 33,7°, следовательно, δ = 33,7°. Стена AB (рис. 10) была принята вертикальной и высотой 20 футов. Пригрузка наклонялась от A под углом естественного откоса до точки C, на 10 футов выше A, откуда поверхность грунта была горизонтальной. Грань стены AB была разделена на двадцать равных частей по 1 футу каждая; и с помощью построения рис. 1 давления (наклоненные под углом δ ниже нормали к стене) были найдены для последовательных высот стены 1, 2, 3... 20 футов соответственно, принимая вес 1 куб. фута грунта равным единице. Последовательные плоскости обрушения показаны пунктирными линиями на рис. 10. В исходном масштабе (2 фута в 1 дюйме) верхняя плоскость обрушения (для высоты стены = 1 фут) проходила немного правее B.

Вычитая последовательные давления, были получены давления на каждый фут стены. Они были нанесены как горизонтальные ординаты в центре каждого футового деления стены, а «пики» были слегка сглажены, как показано на рисунке. Поскольку при всей осторожности легко допустить ошибки, составляющие 1% от общего давления, было целесообразно скорректировать результаты таким образом, чтобы получить наиболее вероятные удельные давления на последовательные участки стены. Центры давления для высот стены от 5 до 20 футов были легко получены путем взятия моментов относительно удобной точки; результаты приведены в таблице 1.

Обозначим H как высоту стены, измеренную от A вниз, и h как высоту пригрузки над верхом стены; также пусть n будет отношением расстояния от основания рассматриваемой стены до центра давления к высоте стены. Значения n для различных отношений h/H приведены в таблице 1.

TABLE 1.

0.3331.000.364 ......0.750.364 2.000.3530.500.364 1.500.356...... 1.250.3600.000.333 1.110.362

Видно, что по мере уменьшения h/H значение n увеличивается, пока для h/H = 0,5, максимальное значение для n, 0,364, не будет достигнуто и не останется прежним до h/H = 0, после чего оно, вероятно, уменьшается, потому что для h = 0, n = 1/3.

Когда для естественного откоса задается другой, более пологий наклон, несомненно, эти значения n изменятся, но для предполагаемого случая они должны оказаться полезными на практике.

Хотя давления грунта на последовательные части AB действительно наклонены под углом δ ниже нормали к AB, они отложены здесь под прямым углом к ней, так что площадь KAD равна полному давлению на AD. Если бы удельные давления изменялись как ординаты прямой линии, как для равномерно наклонной поверхности грунта, то, как хорошо известно, n = 1/3. Площадь слева от прямой дает избыточное давление, которое заставляет n превышать 1/3.

Используя результаты таблицы как приблизительно применимые в предыдущем примере (рис. 9) и принимая центр давления на AB на высоте 1,303 фута выше основания, равнодействующая там проходит на 0,02 ширины вне основания, следовательно, x = 0,02b. Этот эксперимент на стене с пригрузкой такого типа особенно ценен как единственный, о котором было дано какое-либо описание, насколько известно автору.

Возвращаясь еще раз к рис. 10, можно вспомнить, что некоторые авторы предполагали, что удельные давления на AB изменяются как ординаты трапеции, так что удельное давление в A не было нулевым (как должно быть), а составляло величину, принятую несколько произвольно. В частности, Шеффлер вывел таким образом n = 0,4 как верхний практический предел и использовал его при составлении таблиц для практического применения.

Теперь необходимо добавить замечание (относительно всех ранее упомянутых экспериментальных стен, кроме стены Траутвайна), что трением засыпки о стенки ящика, в котором содержался песок, равномерно пренебрегали. Там, где стена длинная, это может иметь малое влияние, но там, где длина не намного больше высоты, как в экспериментах, это боковое трение становится заметным.

Дарвин, как и Лейг, пытались оценить величину, на которую уменьшается полное давление (без бокового трения), экспериментируя с песком за подпорным щитом или стеной, заключенными в ящик, как обычно, когда перегородка помещалась перпендикулярно стене и центрально в массе, и сравнивая результаты с теми, что были найдены, когда перегородка отсутствовала. Лейг таким образом обнаружил для стен, имеющих длину в два раза больше высоты, что истинное или полное давление уменьшалось примерно на 5% из-за бокового трения для грунта с горизонтальной поверхностью и на целых 15% для поверхности, наклоненной под углом естественного откоса. Если это верно, то экспериментальные стены, только что рассмотренные, должны были бы быть толще, чтобы выдержать фактическое давление; или, иначе говоря, для данной толщины теоретическое давление, включая боковое трение, должно было бы быть сделано (как грубое среднее) примерно на 5% меньше для грунта с горизонтальной поверхностью и (грубо) на 15% меньше для грунта, наклоненного под углом естественного откоса. Из рисунков видно, что это лишь незначительно изменит результаты, недостаточно, чтобы изменить общий вывод о том, что пропагандируемая теория (включая трение стены) практически подтверждается экспериментами, а теория Ренкина — нет.

Стена Траутвайна состояла из центральной части равномерной высоты, от которой она сужалась к концам, причем верхняя поверхность находилась под углом естественного откоса для сужающихся концов. В этом случае боковое трение не развивалось. Результаты в общем согласуются с другими.

Во многих экспериментах с высокими зернохранилищами наблюдалось огромное влияние трения зерна о вертикальные стены или стороны бункера. Фактически, большая часть веса зерна, даже при высыпании, поддерживается стенами за счет этого бокового трения. Это дает еще один аргумент в пользу включения трения стены при проектировании подпорных стен.

В связи с этим можно заметить, что многие эксперименты, проведенные для определения фактического бокового давления песка или его угла внутреннего трения, являются неубедительными, поскольку неизвестная часть вертикального давления, приложенного к песку в вертикальном цилиндре или ящике, поддерживалась стенками цилиндра или ящика. Отношение бокового давления к вертикальному, или угол трения, не может быть точно найдено, пока доля нагрузки, поддерживаемая стенками вмещающего сосуда, не будет определена экспериментально. Автор придерживается мнения, что лучшие эксперименты для помощи в проектировании подпорных стен — это те, которые относятся к вращению подпорных стен или щитов. Немногие приведенные здесь являются лучшими из зарегистрированных, хотя некоторые из них были на моделях, которые были слишком малы. Фактически, для малых моделей Лейга и других эффект сцепления настолько выражен, что некоторые результаты очень вводят в заблуждение.

Поскольку эксперименты Лейга [Сноска 4] были очень обширными и, очевидно, выполнены с большой тщательностью, они будут тщательно рассмотрены в дальнейшем.

Однако в качестве предварительного замечания к обсуждению целесообразно привести основы экспериментального доказательства Лейга того, что сцепление и трение существуют одновременно. Ящик без дна, около 4 дюймов в поперечном сечении и 4 дюйма высотой, был превращен в маленькую тележку добавлением четырех колес. Последние катились по сторонам желоба, заполненного песком, которого дно ящика почти касалось. Ящик был частично заполнен песком, а желоб и ящик затем наклонялись под углом, при котором движение ящика только начиналось, причем песок в ящике покоился на песке в желобе, развивая трение или сцепление, или и то, и другое, непосредственно перед началом движения. Только трение проявлялось после начала движения. Решение включает теорию наклонной плоскости, но для объяснения принципов метода достаточно предположить, что желоб и песок в нем горизонтальны, и что ящик без дна, заполненный песком, находится как раз на грани движения из-за приложенной к нему горизонтальной силы. Вес ящика и часть веса песка в нем, удерживаемая трением стенок, непосредственно поддерживается колесами, опирающимися на стороны желоба; так что только часть веса W песка в ящике поддерживается непосредственно песком в желобе. Обозначим это количество как W'. Тогда для равновесия, называя P горизонтальную силу за вычетом сопротивления колес тележки, мы имеем: P = W' * tg φ + c * S, где c — сцепление на единицу площади, а S — площадь основания ящика. [Сноска 5]

Значение W'/W было найдено взвешиванием: для сухого песка оно варьировалось от 0,79 до 0,65 для высот песка в ящике от 1,2 до 3,5 дюймов. Для влажного песка и свежего грунта (слегка увлажненного и слегка утрамбованного), который может стоять с вертикальной гранью на высоту ящика, засыпка была разрыхлена многими ударами по ящику, и W'/W было принято равным 1.

Были сделаны три предположения: (1) что и сцепление, и трение действовали одновременно до движения; (2) что действовало только трение (c = 0); (3) что действовало только сцепление (φ = 0).

Результаты для различных высот песка в ящике приведены в таблице 2.

TABLE 2.

(1)(2)(3)

Dry sand70.700.80 to 0.9626 to 56 Wet sand400.851.20 " 1.9073 " 133 Very wet sand311.702.00 " 2.40107 " 226 Fresh earth901.632.60 " 4.40150 " 242

Значения c даны в килограммах на квадратный метр. Видно, что предположения (2) и (3) дают противоречивые результаты, тогда как (1) для каждого вида засыпки дало идентичные значения φ и c для различных высот; следовательно, можно справедливо заключить, что до движения сцепление и трение действовали одновременно. Что касается высоких значений, найденных для c для связного свежего грунта, Лейг заявляет, что Коллин нашел независимым методом для глинистого грунта и глины малой консистенции c = 100 и c = 200 кг/кв. м соответственно. В качестве дальнейшей проверки значений φ и c, данных в (1), установлено, что при использовании их в формуле для вычисления высоты, на которой влажный песок или грунт будет стоять вертикально, результаты согласуются с экспериментами.

Значения c, в фунтах на квадратный фут, данные в столбце (1), со значениями φ, соответствующими данному W'/W, следующие:

Возможно, метод, использованный Лейгом, может оказаться полезным для экспериментаторов в получении более точно, чем до сих пор, коэффициента внутреннего трения. Увеличивающиеся давления можно было бы получить добавлением грузов поверх песка в ящике; но если общий вес, поддерживаемый трением вдоль стенок ящика, не определен тщательно для каждого используемого веса, результаты могут иметь лишь небольшую ценность. Далее, для связных грунтов метод Лейга открыт для возражений.

Допуская гипотезу о том, что сцепление и трение действуют одновременно, теперь будет дан общий графический метод [Сноска 6] для нахождения давления на внутреннюю грань AB подпорной стены или щита (рис. 11), вызванного грунтом, стремящимся соскользнуть вниз по некоторой плоскости обрушения AD, AD', AD''..., причем сопротивление вдоль этой плоскости обусловлено как трением, так и сцеплением.

Fig. 11.

Предположим, что AD — плоскость обрушения, и назовем вес призмы обрушения ABD для толщины в одну единицу W. Вес призмы вызывает тенденцию к скольжению вдоль плоскостей AB и AD. Эта тенденция сопротивляется реакциями стены AB и плоскости AD. Реакция стены состоит из нормальной составляющей N, действующей вправо, и силы трения F, действующей вверх. Равнодействующая этих двух сил R, которая равна и противоположна давлению грунта на AB, таким образом составляет угол δ с нормалью к стене. Ее направление дано линией E на рис. 11. Реакция AD складывается из сцепления C, действующего вверх вдоль AD, нормальной составляющей N', действующей вверх, и трения F', действующего вверх вдоль AD. Две силы, N' и F', при объединении дают равнодействующую R', составляющую угол φ с нормалью n' к AD. Следовательно, если угол φ' = φ, то R' дает направление равнодействующей R'.

Призма ABD, таким образом, находится в равновесии под действием собственного веса W, силы сцепления C, действующей вверх вдоль AD, реакции R стены AB, действующей вправо, и силы R', действующей вверх. При проведении в масштабе сил вертикальной линии, равной W; затем линии, параллельной AD и равной C; затем линии, параллельной R' до пересечения с линией, параллельной R, стороны замкнутого многоугольника будут представлять четыре силы W, C, R и R' в равновесии.

Подобное исследование относится к любой другой предполагаемой призме обрушения. Чтобы найти истинную, предполагается ряд пробных плоскостей обрушения AD, AD', AD''..., и каждая рассматривается по очереди как истинная (хотя может быть только одна истинная). Как видно выше, равнодействующая нормальной реакции и трения на любой пробной плоскости обрушения должна быть наклонена ниже нормали к плоскости под углом φ. Чтобы отложить направления этих равнодействующих, из любой удобной точки O, скажем, на вертикали через A, как из центра, опишите дугу с удобным радиусом r. С тем же радиусом и A как центром опишите дугу, пересекающую пробные плоскости (продленные, если необходимо) в точках 1, 2, 3... Пусть точка D0 — это точка, где линия естественного откоса из A пересекает дугу. Откладывая хорды D01, D02, D03... равными хордам 1, 2, 3..., соответственно, будет следовать, что R1, R2, R3... будут составлять углы φ ниже нормалей к плоскостям AD, AD', AD''... соответственно. Чтобы доказать это, возьмите любую пробную плоскость, как AD, которая составляет угол α с горизонталью, и опустите перпендикуляр из A на AD (продленную, если необходимо); тогда, поскольку стороны углов перпендикулярны, угол между нормалью и вертикалью равен α, и если угол между R' и нормалью равен φ, то угол между R' и вертикалью равен φ - α, что и требовалось доказать.

Веса в фунтах призм ABD, ABD', ABD''... равны W = 1/2 * w * h * AD, W' = 1/2 * w * h' * AD', W'' = 1/2 * w * h'' * AD''..., соответственно, где h — длина перпендикуляра из D на AB (продленную, если необходимо), причем фут — единица длины, а w — вес в фунтах 1 куб. фута грунта. Предполагается, что призмы имеют длину 1 фут, перпендикулярную плоскости чертежа.

Эти веса теперь откладываются в масштабе сил вертикально вниз из точки O до точек 1, 2, 3..., и из этих точек проводятся линии, параллельные AD, AD', AD''..., соответственно, длиной, равной C, C', C''..., чтобы представить силы сцепления, действующие вверх вдоль AD, AD', AD''..., где c — сила сцепления в фунтах на квадратный фут. Из концов этих линий проводятся линии, параллельные направлению давления грунта на AB (наклоненного под углом δ ниже нормали к AB), до пересечений R1, R2, R3... с линиями R'1, R'2, R'3... соответственно. С помощью циркуля найдено для этой фигуры, что R1 — самая длинная из этих линий; откуда R1 в масштабе сил измеряет давление грунта на AB в фунтах. Это следует из того, что для любого меньшего давления, поскольку W фиксировано, когда R' становится меньше, R падает левее первого положения, и новое R, представляющее давление на AB из-за нормальной реакции на нем и только трения, будет составлять больший угол, чем δ к нормали к AB, что несовместимо с законами устойчивости зернистой массы. Фактически, если N — нормальная составляющая давления на плоскость AD, F = N * tg φ — это все трение, которое может быть проявлено на ней. Равнодействующая N и F, таким образом, составляет угол φ с нормалью, и этот угол не может быть превышен. Истинное давление на стену E — это, таким образом, наибольшее из пробных давлений. Призма обрушения ABD находится в равновесии под действием четырех сил, представленных сторонами замкнутого многоугольника; W представляет ее вес; C — сцепление, действующее вдоль AD; R — реакция AB (противоположная и равная давлению грунта); и R' — реакция плоскости AD, обусловленная только нормальной составляющей и трением на ней. Полная реакция плоскости может быть найдена объединением сил, данных по величине и направлению C и R', но она не нужна.

Следует отметить, что E1 — это наименьшее давление, для которого возможно равновесие. Другие пробные давления теперь должны быть удлинены до E1, так как это истинное давление или реакция стены. Все новые точки R'1, R'2, R'3, R'4, R'5 теперь будут лежать правее старых точек; следовательно, новые R'1, R'2, R'3, R'4, R'5 будут все составлять меньшие углы, чем φ, с нормалями к плоскостям AD, AD' и т. д.; следовательно, устойчивость везде в массе грунта обеспечена.

Fig. 12.

Решение, представленное рис. 11, является общим и применимо, наклонена ли AB вправо или влево от вертикали через B, или совпадает с ней, и является ли поверхность грунта горизонтальной или наклоненной выше или ниже горизонтали. Оно также может быть легко адаптировано к случаю, показанному на рис. 1. [Сноска 7] Построение рис. 11 использовалось при оценке давления и определении (приблизительно) плоскости обрушения в экспериментах (записанных ниже) Лейга на подпорных щитах, которые могли вращаться вокруг B и, таким образом, устанавливаться под любым наклоном к вертикали. Во всех экспериментах вертикальная высота AB составляла 0,656 фута; длина щита была 1,3 фута. Величина момента давления грунта относительно B была найдена с использованием подходящего аппарата, соответствующего сухому песку с естественным откосом 3 основания к 2 высоте, или φ = 33,7°, δ = 33,7° и w = 100 фунтов на куб. фут. С помощью упомянутой ранее перегородки было оценено боковое трение песка о стеклянные стенки ящика, содержащего его, и моменты скорректированы, чтобы дать истинный момент, когда нет бокового трения. Обозначения, используемые для выражения результатов, частично даны на рис. 12 для общего случая, где M = E * a.

Равнодействующая R' сил N' и F' очевидно составляет угол φ с нормалью к AD. Момент этой равнодействующей относительно B, если мы положим E = R', равен M = E * a. Из последней формулы видно, что M — это момент давления относительно B для δ = φ; также из E = N' / cos φ следует, что N' — это нормальная составляющая давления для δ = φ.

Когда включено сцепление, R' не совсем равно N' / cos φ, но оно очень незначительно меньше для φ = 33,7° или 27,5°. Оно будет принято равным R', и из значений c, данных Лейгом, R' будет выведено из формулы выше, R' = W * sin(φ - α) / cos(φ - α - δ).

Таким образом, для случая, представленного рис. 11, H = 0,656 фута, δ = 33,7°, φ = 33,7°, c = 0,5 фунта на кв. фут; E = 12,5 фунта. Эксперимент дал E = 12,5 фунта, следовательно, c = 0,5 фунта.

Пренебрегая сцеплением, теория дает E = 25 фунтов, или в два раза больше величины, данной экспериментом. Если, однако, построение рис. 11 сделано для фактической высоты подпорного щита H = 0,656 фута, δ = 33,7°, φ = 33,7°, c = 0,5 (сцепление в фунтах на квадратный фут), мы находим E = 12,5 фунта. Подставляя это в формулу E = 1/2 * w * H^2 * cos φ / cos δ, мы имеем E = 12,5 фунта.

Сравнивая значения, очевидно, что если бы сцепление было принято немного меньше 1 фунта на кв. фут, теоретические и экспериментальные значения могли бы быть сделаны точно согласующимися. Только что рассмотренный случай демонстрирует наиболее выраженное различие между обычной теорией (соответствующей c = 0) и экспериментом из всех показанных в таблице 3. Далее, будет замечено, что для принятого сцепления около 1 фунта на кв. фут теоретические и экспериментальные значения для всех случаев, данных Лейгом, очень близко согласуются.

Было использовано значение φ = 33,7° вместо лейговского φ = 35°, что несколько изменило бы результаты, но не общие выводы. Построение рис. 11 даст E и его нормальную составляющую N с практической точностью, но оно не легко адаптируется при нахождении плоскости обрушения. В большинстве чертежей использовался малый масштаб, чтобы ограничить чертеж листом писчей бумаги, следовательно, по обеим причинам δ не может считаться точнее, чем до 1° или 2°, за исключением случая δ = 0, когда E было найдено вычислением или построением рис. 1.

TABLE 3.

..Cohesion,

,

in pounds

per

square

foot.Angle of rupture with

the horizontal,

.Coefficient of the

normal component of

the thrust

. Theory.Experiment.Theory.Experiment. +⅓0050° 12′0.060 151°51° 30′0.0420.043 252° 30′0.026 +⅓⅔033° 41′0.182 144°47°0.0840.091 249°0.043 00056° 36′0.111 157°56° 30′0.0930.090 258°0.077 358° 30′0.062 0½047° 30′0.178 150°51°0.1480.141 253°0.121 355°0.098 0⅔033° 41′0.345 144°49°0.2050.195 246° 30′0.150 350°0.111 –⅓0060° 21′0.185 163°61°0.1710.179 263°0.155 –⅓⅔033° 41′0.660 157°57°0.2670.387 250°0.236

Результаты в таблице 3 замечательны и вполне удовлетворительно объясняют, как Лейг, Дарвин и другие нашли экспериментами на малых моделях результаты, так сильно отличающиеся от обычной теории, где сцеплением пренебрегают.

Следует заметить, что значения E, данные в таблице 3 под заголовком «Эксперимент», не совсем те, что даны Лейгом в его таблицах, а являются средними значениями, полученными из двух наборов чертежей, данных им в таблицах, и представляют наклоны хорд действительно изогнутых поверхностей обрушения. Его эксперименты с пружинным аппаратом не рассматриваются, так как результаты открыты для сомнений, потому что призма обрушения при опускании не могла свободно соскальзывать, а при продвижении терлась бы о пол, тем самым значительно уменьшая давление там.

Из таблицы 3 видно, что результаты, данные экспериментом, сильно отличаются от обычной теории, в которой c = 0.

Расхождения в значительной или почти полной мере обусловлены очень малыми использованными моделями, что будет очевидно из следующих соображений: предположим, что высота H стены AB равна 10 высотам, данным на рис. 11, или 6,56 фута; тогда, поскольку площади треугольников, таких как ABD и т. д., изменяются как квадраты высот, но длины сторон, как AD и т. д., изменяются только как первая степень высот, веса последовательных пробных призм обрушения будут в 100 раз больше, чем раньше, тогда как соответствующие силы сцепления, действующие вдоль плоскостей AD и т. д., будут только в 10 раз больше первых значений. Следовательно, если мы используем масштаб сил в 100 раз больше прежнего масштаба, веса призм W, W' и т. д. будут представлены, как и раньше, линиями W, W' и т. д., но линии, представляющие силы сцепления, будут только 1/10 прежних длин. Таким образом, новый C, рис. 11, будет отложен из точки 4 только на 1/10 длины, показанной на фигуре.

Относительное уменьшение линий, представляющих силы сцепления, будет еще более заметным для стены высотой 20 футов, веса призм будут в 400 раз больше, но силы сцепления только в 20 раз больше, чем раньше. Из этих рассуждений очевидно, что для H > 10 футов силы сцепления практически пренебрежимо малы для стен, скажем, 10 футов высотой, особенно если поверхность грунта горизонтальна. Фактически, небольшое изучение оригинальных чертежей показало для стен высотой около 6 футов, что давление грунта, пренебрегая сцеплением, было только на 1–5% больше, чем для c = 0. Меньшие проценты относятся к δ = 0 или δ = φ, тогда как большие проценты относились к δ = 0, для поверхности грунта горизонтальной или наклоненной под углом естественного откоса.

Такие результаты должны быть очень полезны будущим экспериментаторам как доказательство двух вещей: (1) что следует использовать сухой песок с как можно меньшим коэффициентом сцепления (возможно, зерно было бы более подходящим материалом), и (2) что ни одна экспериментальная стена не должна быть менее 6–10 футов высотой.

Даже если стена, скажем, 6 футов высотой, если в качестве засыпки используется влажный глинистый грунт с коэффициентом сцепления c, то все диаграммы сил, как на рис. 11, будут такими же, как раньше, или подобными фигурами, и расхождения, отмеченные в таблице 3, будут такими же выраженными, как всегда. Все эксперименты на подпорных щитах, кроме некоторых экспериментов Кюри, проводились на очень малых моделях, и результаты поставили общую теорию под подозрение, если не в дурную славу.

Автор надеется, что вышеприведенное исследование и результаты могут способствовать установлению большей уверенности в теории и показывают, когда силами сцепления можно практически пренебречь, а когда их необходимо включать.

В качестве иллюстрации результаты для вертикальной стены высотой 10 футов представлены в таблице 4, принимая φ = 33,7° и c = 10 фунтов на кв. фут. В первой стене поверхность грунта была горизонтальной; во второй стене ее наклон был 1 высота к 2 основанию.

TABLE 4.

..... 00056°36′0.111 156°0.110 557°0.101 1057°0.096 1½047°30′0.178 149°0.176 549°0.165 1049°0.155

В таблице 4 результаты для δ = 0 и δ = φ практически одинаковы, но E для δ = 0 на 13% меньше, чем для δ = φ. Если значение c = 10 фунтов на кв. фут для свежего грунта, слегка влажного и слегка утрамбованного, данное Лейгом выше, хотя бы приблизительно верно, то видно, что для такой засыпки эффект сцепления должен быть включен, чтобы получить результаты, хоть сколько-нибудь согласующиеся с опытом или экспериментом.

Возвращаясь к собственно экспериментальным подпорным стенам, рис. 4–9, из вышесказанного очевидно, что сцепление будет влиять на результаты незначительно, за исключением, возможно, случая рис. 6 и 7, где высота была около 0,6 фута. Принимая c = 1 фунт на кв. фут, представляется вероятным, исходя из результатов таблицы 4, что давление должно быть уменьшено в отношении 93:111. Выполняя построение для нового давления, найдено, что точка I падает внутри основания, на 0,03 его ширины для рис. 6 (стена Траутвайна) и 0,02 его ширины для рис. 7 (стена Кюри).

Пропагандируемая теория, таким образом, практически подтверждается всеми экспериментами, приведенными выше, либо на подпорных щитах, либо на собственно подпорных стенах, когда используется коэффициент сцепления около 1 фунта на кв. фут для сухого песка.

Метод оценки давления, данный на рис. 11, столь же справедлив, когда c = 0, или сцеплением пренебрегают, как и в обычной теории. Линии, параллельные давлению, теперь проводятся прямо из 1, 2... до пересечения с R'1, R'2... и наибольшая из них берется за истинное давление. Хотя автор прямо отказывается от какой-либо большой точности в значениях E в таблице 4 из-за малого масштаба чертежей, тем не менее, результаты построения для δ = 0 и δ = φ или φ/2 оказались отличающимися от вычисленных значений только на 2, 3, 0 и 1% для различных случаев, что должно дать уверенность, по крайней мере, в общих выводах.

Диаграмма рис. 11 с небольшим изменением может быть использована для нахождения коэффициента сцепления c, при котором берег грунта будет стоять без подпорного щита. Таким образом, пусть каждая линия, как C, представляющая силу сцепления, действующую вдоль своей надлежащей плоскости, будет продлена до пересечения с соответствующей R'; любая такая линия, измеренная в масштабе сил и затем разделенная на длину плоскости, вдоль которой она действует, даст силу сцепления в фунтах на квадратный фут, соответствующую отсутствию давления на AB для конкретной рассмотренной плоскости. Наибольшее из этих значений очевидно является значением c, при котором засыпка будет стоять без подпорного щита. Работу можно значительно сократить, используя хорошо известный принцип, что плоскость, вдоль которой удельное сцепление наибольшее (плоскость обрушения), делит пополам угол φ между поверхностью грунта и линией естественного откоса. Предположим, что AD — эта плоскость, тогда нам остается только продлить C до пересечения с R' в точке 0, измерить 10 в масштабе сил и разделить на длину AD в масштабе расстояний, чтобы найти желаемый коэффициент. Любым из методов было найдено, что сила сцепления 7 фунтов на кв. фут требуется для поддержания массы грунта с вертикальной гранью H = 2,4 фута, когда поверхность грунта была горизонтальной.

Было заявлено в связи с уравнениями (1) и (2), относящимися к давлению на вертикальную стену высотой H, с поверхностью грунта, наклоненной под углом естественного откоса, что этот частный случай будет обсуждаться позже. Чтобы показать влияние сцепления, плоскости обрушения для такой стены высотой 2,4 фута для различных значений c (в фунтах на квадратный фут) приведены на рис. 13. Значения E (для δ = 0 и δ = φ) следующие:

Fig. 13.

Первое значение было найдено вычислением, остальные — построением. Как хорошо известно, теоретическая плоскость обрушения бесконечно приближается к естественному откосу, когда c приближается к нулю. Для заметного сцепления (а сцепление есть всегда) плоскость обрушения лежит выше естественного откоса, с очень существенно уменьшающимися нормальными составляющими давления по мере увеличения c. По мере увеличения высоты стены влияние сцепления уменьшается. Таким образом, как показано выше, для стены в 5 раз выше 2,4 фута, или 12 футов, веса призм W и т. д. в 25 раз больше прежних значений, но силы сцепления, которые изменяются прямо пропорционально AD и т. д., только в 5 раз больше первых значений. Следовательно, если прежние значения C умножить на 5, новая диаграмма сил рис. 11 будет подобна старой. Таким образом, для стены высотой 12 футов плоскость обрушения и значение E для c = 1,4 соответствуют старым значениям для c = 0,28. Для засыпки из свежего грунта, слегка уплотненного, возможно, что значения c = 10, 20 могут быть достигнуты с существенным уменьшением E по сравнению со значениями, данными уравнениями (1) и (2). По мере увеличения высоты стены, скажем, до 25 или 50 футов, влияние сцепления на уменьшение давления становится очень малым, и лучше пренебречь им вовсе. Фактически, поскольку мы знаем очень мало, и то несовершенно, о коэффициентах сцепления, возможно, безопаснее в настоящее время использовать уравнения (1) и (2) во всех случаях. Однако совершенно очевидно, что для большинства случаев на практике формулы дают очень заметный избыток по сравнению с истинным давлением, и что истинная плоскость обрушения никогда не совпадает с естественным откосом.

Из всего вышеизложенного видно, что результаты экспериментов на небольших моделях в прошлом оказались весьма обманчивыми и что эксперименты на крупных моделях желательны, так как только они могут дать уверенность. Лейг проводил такие эксперименты на подпорных щитах высотой от 1 до 2 м (3,28–6,56 фута) просто для определения поверхности разрыва. Это действительно самое важное, поскольку, как только призма скольжения становится известной, давление легко находится. В целом результаты согласуются с теорией, если пренебречь сцеплением, хотя криволинейные поверхности разрыва были весьма нерегулярными, особенно для каменной засыпки. Первые два эксперимента были выполнены с использованием как сухого, так и влажного песка в качестве засыпки; следующие шесть — с камнями диаметром от 1,5 до 20 дюймов. В другой серии из пяти экспериментов использовался песок. Во всех вышеупомянутых экспериментах поверхность материала была горизонтальной. В трех дополнительных экспериментах стены были пригружены песком в качестве засыпки. В одном эксперименте высота стены составляла 6,56 фута, а пригрузка — 3,28 фута; в другом эксперименте высота стены составляла 3,28 фута, а песок, откос которого от верха стены шел под углом естественного откоса, как и в предыдущем случае, поднимался на 3,28 фута над стеной, где поверхность была горизонтальной.

Применяя построение, показанное на рис. 1, было обнаружено, что плоскость разрыва проходила, скажем, на 2° выше той, что была получена экспериментально в первом случае, и примерно на 3° ниже во втором. Из построения на рис. 11, если не учитывать сцепление, будет очевидно, что пробные плоскости разрыва, отличающиеся на 2 или 3° от истинной, дают почти одинаковое давление. Взяв среднее значение, можно сказать, что эти эксперименты на крупных моделях в целом подтверждают теорию.

В статье покойного сэра Бенджамина Бейкера, почетного члена Американского общества гражданских инженеров, «Фактическое боковое давление земляных работ» [сноска 8] приведены два эксперимента лейтенанта Хоупа и один эксперимент полковника Мишона с контрфорсными стенами. Хотя такие стены не допускают точного расчета из-за неизвестного веса грунта, передаваемого на контрфорсы вследствие трения, вызванного давлением грунта в направлении, перпендикулярном контрфорсам, расчет все же был выполнен, поскольку полученные выводы представляют интерес. Поэтому была рассмотрена первая вертикальная стена лейтенанта Хоупа, тем более что г-н Бейкер, используя теорию Ренкина, обнаружил для этой стены наибольшее расхождение между фактическим давлением и давлением по Ренкину из всех рассмотренных подпорных стен.

В момент разрушения высота стены составляла 12 футов 10 дюймов, толщина панели — 18 дюймов, а контрфорсы располагались с шагом 10 футов между центрами, выступая на 27 дюймов от стены или на 3 фута 9 дюймов от лицевой поверхности, как следует из следующего примера. Поскольку указано, что стена имела тот же объем, что и 10-футовая стена, ранее рассмотренная в этой статье (рис. 4), контрфорсы должны были иметь толщину 2 фута. Принимая эти размеры и используя приведенные значения: вес кубического фута грунта и вес кубического фута каменной кладки, мы сначала вычисляем нормальную составляющую давления грунта на 1 фут длины стены в фунтах. Таким образом, нормальное давление на панель составляет [значение], а на контрфорс — [значение]. Трение (действующее вертикально вниз), вызванное этим давлением, составляет [значение] на панели и [значение] на контрфорсе. Момент этих сил относительно внешней подошвы стены в сумме составляет 39 800 фут-фунтов. Удерживающий момент 10 футов длины объединенных панели и контрфорса относительно внешней подошвы, при условии, что стена вертикальна, составляет 29 800 фут-фунтов. Если к последнему добавить момент 17% веса грунта между контрфорсами, который, как предполагается, удерживается их боковыми сторонами, то суммарный момент в точности равен первому. Однако в момент разрушения от опрокидывания панели выгнулись на 4,5 дюйма, а свес в верхней части составил 7,5 дюйма. Принимая момент устойчивости стены равным 26 000 фут-фунтов (цифра г-на Бейкера), обнаруживается, что для равновесия 24% веса грунта между контрфорсами должны восприниматься ими. Когда высота грунта составляла 8 футов, был зафиксирован сильный дождь, так что, несомненно, проявилось некоторое заметное сцепление, хотя при расчете оно было неизбежно опущено.

Экспериментальная стена полковника Мишона имела высоту 40 футов с очень глубокими контрфорсами, расположенными всего в 5 футах друг от друга между центрами. Поскольку очень тяжелая и влажная засыпка между контрфорсами рассматривалась как часть стены, построение (выполненное на печатном чертеже) показывает, что равнодействующая давления грунта и веса стены проходит через внешнюю подошву. Несомненно, фактор сцепления в этой стене был значительным. В упомянутой статье приведены подробные сведения об экспериментальных стенах генерала Бергойна. Было четыре таких стены, каждая длиной 20 футов, высотой 20 футов и средней толщиной 3 фута 4 дюйма. Две стены были абсолютно устойчивы, как, собственно, и предсказывает теория для всех четырех стен, если бы они были монолитными. Две другие стены разрушились: одна выпятилась на высоте 5 футов 6 дюймов от основания, а другая (вертикальная стена) сломалась, так сказать, примерно на одной четверти своей высоты. Поскольку эти стены состояли из грубых гранитных блоков, уложенных насухо, весьма вероятно, что разрушения произошли из-за сдвига вследствие несовершенства конструкции; кроме того, «засыпка состояла из рыхлого грунта, засыпанного без уплотнения или других мер предосторожности в течение очень влажной зимы».

Рассмотрев все наблюдения и эксперименты (некоторые из них непреднамеренные), г-н Бейкер приходит к выводу, что теоретическое давление часто вдвое превышает фактическое боковое давление. Он использовал старую теорию, которая пренебрегает как сцеплением, так и трением о стену. Если бы он включил их, результирующая теория не была бы столь дефицитной «в наиболее жизненно важных элементах, существующих на самом деле», как он обвиняет «учебную» теорию.

Однако автора следует четко понимать как не рекомендующего учитывать силы сцепления при проектировании подпорной стены, за которой находится зернистый материал, такой как свеженасыпанный грунт, песок, гравий или балласт. Основной целью этой статьи было показать, что, хотя силы сцепления должны учитываться при правильной интерпретации результатов на небольших моделях и многих подпорных стенах, тем не менее, для стен высотой более 6 или 10 футов, за которыми находится сухой свежий материал, не подвергшийся консолидации, силами сцепления при проектировании можно практически пренебречь. Следовательно, экспериментаторам настоятельно рекомендуется оставить в покое небольшие модели и ограничить свои эксперименты стенами высотой от 6 до 10 футов, за которыми находится истинно зернистый материал, такой как сухой песок, уголь, зерно, гравий или балласт, где силы сцепления не будут существенно влиять на результаты. Кроме того, очевидно, что стены из кирпича во влажном песке или стены из гранитных блоков и т. д., уложенные насухо, являются очень несовершенными стенами. Свес непосредственно перед падением велик, а основание часто несовершенно. Для точных измерений, по-видимому, лучше всего подходит легкая, но прочная деревянная стена на прочном основании; и треугольная рама, показанная на рис. 8, по-видимому, очень хорошо отвечает требуемым условиям, особенно если каркас является открытым, с подпорным щитом только на одной ноге. Таким образом, основание становится шире, а свес — меньше, чем у любой прямоугольной стены.

Когда речь идет о проектировании стены для восприятия давления консолидированного грунта, даже если бы существовала совершенная математическая теория, она все равно оказалась бы малополезной или вовсе бесполезной, поскольку коэффициенты трения и сцепления неизвестны. Коэффициент трения на поверхности можно легко найти, но трудно определить коэффициент сцепления, который, несомненно, сильно варьируется по всей массе.

Г-н У. Эйри в своем обсуждении статьи г-на Бейкера заявляет, что он установил предел прочности на растяжение блока обычной кирпичной глины в 168 фунтов на кв. фут, а определенной сланцевой глины — в 800 фунтов на кв. фут, при этом коэффициенты трения для этих двух материалов составляют 1,15 и 0,36 соответственно. Сопротивление сцепления более аналогично сдвигу, но такие цифры указывают на широкие вариации, которые следует ожидать, особенно в [значение], коэффициенте сцепления. Если этот коэффициент приходится угадывать, чтобы подставить его в предполагаемую совершенную формулу, то, очевидно, лучше сразу угадать толщину стены.

В качестве иллюстрации рассмотрим хорошо известное уравнение [сноска 9]:

которое дает высоту h вертикальной траншеи, которая будет стоять без какого-либо крепления.

В этом уравнении:

Таким образом, если [значение], откуда [значение], уравнение сводится к:

Поскольку наблюдалось, что некоторые траншеи с вертикальными стенками стоят без поддержки на высотах 15 или даже 25 футов, уравнение, по-видимому, указывает на то, что для обеспечения равновесия требуются сопротивления сцепления или сдвига около 200–300 фунтов на кв. фут. Если предположить, что трение не проявляется, то [значение] и [значение]; и для тех же неподкрепленных высот сцепление было бы примерно удвоено. Очевидно, что если сцепление, которое (судя по экспериментам г-на Эйри) может варьироваться от одного до нескольких сотен фунтов на квадратный фут, приходится угадывать, чтобы определить h, то, очевидно, лучше сразу угадать h.

Вышеприведенное уравнение нельзя считать дающим очень точные результаты, главным образом потому, что предполагается плоская поверхность разрыва, тогда как, согласно теории и наблюдениям, эта поверхность, как известно, сильно искривлена; кроме того, сцепление и трение вдоль концов разрыва не учитывались. Однако гипотеза о плоской поверхности разрыва, при условии включения концов, дает большее значение для h, чем истинное, тогда как пренебрежение влиянием концов имеет тенденцию в другом направлении; так что уравнение может не так сильно ошибаться.

Fig. 14.

В обсуждении статьи [сноска 10] Дж. К. Мима, члена Американского общества гражданских инженеров, Э. Г. Хейнс, член Американского общества гражданских инженеров, заявляет, что там, где происходят разрывы в стенках неподкрепленной траншеи, тело разрыва часто приближается к четверти сферы, увенчанной полуцилиндром той же высоты, причем радиусы сферы и цилиндра равны. На рис. 14 пусть [значение] представляет четверть сферы, [значение] — полуцилиндр, а [значение] — грань траншеи. Согласно наблюдениям г-на Хейнса, когда часть [значение] стенки траншеи поддерживается креплением и распорками, иногда случается, что часть четверти сферы [значение] вываливается, так что полуцилиндр выше опустился бы, если бы не распорки, давление которых, как предполагается, вызывает арочный эффект в грунте.

Это возможно; но если так, то, поскольку крепление не должно доходить до дна траншеи, в его реакции не может быть вертикальной составляющей, и давление [значение] распорок и крепления, действующее на [значение], должно быть горизонтальным; далее, грунт не может действовать как серия независимых арок, лишенных сопротивления трения между ними, а должен действовать как единое целое.

Другой способ объяснения этого явления заключается в предположении, что горизонтальное давление распорок [значение] на открытую грань [значение] вызывает трение на задней стороне разрыва достаточной интенсивности, чтобы предотвратить опускание полуцилиндра, точно так же, как книгу можно удержать у вертикальной стены горизонтальным нажатием.

Чтобы проиллюстрировать этот принцип, достаточно заменить полуцилиндр описанным параллелепипедом [значение] и предположить, что он удерживается трением на задней грани, возможно, со сцеплением, действующим на три внутренние вертикальные грани. Таким образом, пусть [значение] и [значение]; тогда трение на задней грани равно [значение], сцепление на трех гранях равно [значение], а вес грунта [значение] равен [значение]. Следовательно, поскольку трение и сцепление всегда действуют противоположно начальному движению, или вертикально вверх в данном случае, [значение].