«Методика преподавания в колледже»

В дополнение к четким свидетельствам психической деятельности, по крайней мере в ее элементарных формах, в стратиграфических записях рано появились намеки на некоторые связи, которые чувствующие существа поддерживали друг с другом; и эта связь дает повод изучить примитивные аспекты социологических явлений. Если не будет извлечено ничего другого, кроме важного урока о том, что социология не есть вещь сегодняшнего дня, не есть неизведанная область, приглашающая всякого рода непереваренные проекты, а напротив, является полем обширной и поучительной истории, выигрыш будет немалым. Имеются намеки на раннее существование и эффективную активность тех привязанностей, которые предшествуют родительским отношениям и группируются вокруг них — ядра самых жизненно важных из всех социологических отношений. В контраст привязанностям существуют четкие свидетельства антагонистических отношений, преследования и захвата, нападения и защиты; существовали орудия войны и приспособления для защиты. Со временем был испробован целый ряд экспериментов, так сказать, для достижения преимуществ, избегания страданий, спасения от смерти и сохранения вида. Были даже намеки на более грубые формы управления. Многочисленные этапы эволюции различных приспособлений, а также стадии их оставления, сменявшие друг друга на протяжении веков, зафиксировали результаты множества усилий по социологической адаптации. Они поднимают вопрос о том, не лежат ли общие руководящие принципы в основе всех таких отношений, более ранних и более поздних, каково бы ни было их место в нашей шкале ценностей. И таким образом эта великая область исследования — слишком узко рассматриваемая как сугубо гуманистическая — появляется в поле зрения рано в истории Земли. Геологические и социологические науки находят в ней общую рабочую площадку. Если геологическим и гуманистическим наукам дать их наиболее широкое толкование и самое свободное применение, выгода не может быть иной, кроме как взаимной.

Возможно, не будет преувеличением сказать, что исследования в физиологической, психологической, социологической и смежных областях неизбежно лишены полноты, если они не включают в свой кругозор данные своей общей исторической летописи, прослеженной до тех пор, пока в ней обнаруживаются намеки на их реальное распространение.

Принято говорить о геологических эпохах так, будто они полностью в прошлом; действительно, в нынешнем виде летописи они преимущественно в прошлом, но время идет вперед, и история Земли продолжается; процессы прошлого все еще активны, и они, вероятно, будут действовать далеко в будущем. И поэтому геологическое изучение фундаментально связывается со всеми теми нынешними земными интересами, которые захватывают отдаленное будущее. Прогноз долговечности Земли, сопровождаемой условиями, благоприятными для жизни, а также умственной и нравственной деятельности, зависит от глубокого понимания великих действующих сил, присущих Земле, наряду с теми, которые могут вступить в игру из небесного окружения. Все человеческие интересы, поскольку они зависят от продолжительного будущего, сосредоточены на прогнозе Земли, основанном на ее настоящем и прошлом. Последние фазы геологической доктрины пророчат долгую пригодность Земли для жизни. Тем самым они придают смысл и значимость более глубоким целям, преследуемым во всех высших начинаниях, не последним из которых является образование, особенно те его фазы, которые ведут к эффектам, передаваемым из века в век.

Standard for selecting subject matter for the general college course: select fundamentals or that which bears on fundamentals

Из всей этой обширной физической, биологической и психологической истории для сути мысли и служения умственному развитию в курсе колледжа следует выбирать прежде всего те вещи, которые либо фундаментальны сами по себе, либо имеют жизненно важное значение для того, что фундаментально. Это главным образом великие динамические факторы, агенты, определившие направление главных событий, силы, приводившие в движение основополагающие процессы, посредством которых были достигнуты грандиозные результаты. Материальные образования и поверхностные конфигурации, ставшие результатом этого, безусловно, должны быть должным образом рассмотрены, поскольку они образуют основу интерпретации, а кроме того, являются хранилищами экономических ценностей незаменимой важности; но, как уже подчеркивалось, в курсе интеллектуального обучения их следует рассматривать скорее как реликвии великих сил и доказательства их действий, чем как наиболее жизненно важные предметы изучения, которыми являются сами эти силы. Как уже отмечалось, геологические образования следует трактовать скорее как верительные грамоты потенций, заложенных в земном организме, чем как сами жизненно важные вещи. Следы творения и отпечатки исторического прогресса воплощают душу предмета; они составляют главный источник вдохновения для тех, кто стремится мыслить широко и глубоко о действительно великих вещах. С точки зрения либеральной культуры мало ценности в том, чтобы знать о существовании определенной последовательности песчаников, сланцев и известняков; что профессиональная условность дала им определенные имена, более или менее неудачные по происхождению и звучности; но жизненно важно узнать, как и почему эти реликвии прежних процессов остались такими, какими они предстали, и тем самым стали свидетелями истории далекого прошлого. Было мудрым делом, несомненно, то, что отцы геологии решительно настаивали на строгом и довольно буквальном следовании земной летописи во всех исследованиях Земли, поскольку в те времена перехода от свободной, более или менее фантастической мысли, знаменовавшей юношеский этап человеческого рода, было крайне важно, чтобы студенты придерживались непосредственных свидетельств происшедшего и воздерживались от сильного расширения кругозора на основе менее осязаемых улик; но на нынешнем этапе, когда общий характер истории Земли прочно установлен, было бы ошибкой для тех, кто ищет наиболее либерализующих и расширяющих ценностей науки, рассматривать летопись лишь как материальный регистр только сиюминутного значения, пренебрегая менее осязаемыми, но более жизненно важными уроками, имманентными ее великим силам и процессам. Искатель либеральной культуры должен направить свое внимание на великие события и, прежде всего, на более широкие и глубокие смыслы, подразумеваемые этими событиями.

И поэтому — позвольте мне простить за повторное подчеркивание? — преподаватель геологии, чьей основной целью является либеральное обучение, ведущее к широким и прочным знаниям и к надежным мыслительным процессам, будет критически различать геологию, преподаваемую должным образом с точки зрения колледжа, и геологию, преподаваемую целенаправленно с профессиональной и технической точек зрения. В последних важны конкретные детали в конкретных направлениях, и они могут быть даже существенными, но функция преподавателя геологии в колледже состоит в том, чтобы выбрать из огромной массы материала науки те факторы, которые являются фундаментальными, жизненно важными и талисманскими. Он уделит им внимание, пренебрегая множеством деталей, не имеющих значения в качестве рабочих элементов или вех прогресса, каково бы ни было их значение в других отношениях. Этот отбор одинаково важен, будь то применение к великим физическим процессам, сформировавшим Землю в ее нынешнюю конфигурацию, к великим химическим и минералогическим процессам, определившим ее текстуру и структуру, или к великим биологическим и психологическим процессам, задавшим направление развитию ее обитателей.

Даже если курс геологии для бакалавров изучается меньше с целью либеральной культуры, чем как средство подготовки к профессиональной карьере экономиста-геолога, не рекомендуется существенно отклоняться от стремления сначала овладеть фундаментальными чертами и более широкими аспектами науки, особенно динамическими аспектами. Кратчайший путь к заявленному успеху в профессиональной и экономической геологии лежит через раннее освоение ее основ. Несомненно, немедленный и видимый успех часто может быть достигнут быстрее с помощью более узкого и поверхностного изучения тех специальных аспектов предмета, которые как раз сейчас наиболее очевидно связаны с существующим состоянием промышленности; но промышленные требования постоянно меняются — фактически в настоящее время довольно быстро — и новые аспекты сменяют друг друга в тесной последовательности. Эти новые аспекты почти неизбежно вырастают из более фундаментальных факторов по мере того, как последние вступают в действие по ходу опыта или под давлением новых требований. Те, кто искал лишь сиюминутного и поверхностного в ущерб фундаментальному, и особенно те, кто пренебрег приобретением способности и склонности искать основы, почти наверняка останутся среди несчастных отстающих; их вряд ли удастся обнаружить среди тех, кто лидирует в те моменты, когда лидерство имеет значение. По мнению тех выдающихся умов, которые руководят делами и придерживаются широких и проникающих взглядов, направления, по которым вносятся наиболее жизненно важные вклады в экономические интересы, тесно связаны с фундаментальными исследованиями действующих сил, обусловливающих великие предприятия. По мнению автора, ложно полагать, что любое короткое, поверхностное изучение столь обширного предмета, как строение и история Земли, может привести к экономической компетентности. Поскольку время для учебы ограничено, оно должно быть сосредоточено на тех великих лежащих в основе факторах, которые составляют сущность науки. Здесь предполагается, что люди, вообще желающие пройти курс обучения в колледже, ищут большого успеха и амбициозны в отношении своей высокой личной карьеры. Если они в конечном итоге ориентируются на профессиональную работу в экономической сфере, им можно смело посоветовать, что прямой путь к заявленному успеху лежит в поиске жизненно важных сил, критических агентов и глубоких принципов, способствующих достижению великих результатов, а не по обходным путям, чьи извилистые, поверхностные маршруты петляют из стороны в сторону под воздействием случайных условий, сама природа которых вызывает скорее недоверие, чем уверенность.

Evaluations of methods of teaching

Обращаясь к некоторым более формальным аспектам преподавания, можно выделить три типа работы: (1) использование лаборатории природы, самого мира, (2) использование коллекций и лабораторий колледжа и (3) использование литературы по предмету.

(1) К счастью, на поверхности Земли нет ни одного места, где не было бы какого-либо природного материала для геологического изучения, ибо даже в самых искусственных местах геологические процессы активны. В переполненных городах эти процессы можно легко не заметить, но тем не менее они поддаются эффективному использованию. В пределах легкой досягаемости практически от каждого колледжа имеются пригодные для изучения участки, и в любом живом курсе они будут усердно обрабатываться. Они могут быть относительно скромными по своим явлениям; им может казаться не хватать той впечатляющей силы, которая сыграла столь большую роль в народном представлении о содержании геологии, но тем не менее они могут служить прекрасными полигонами для тренировки молодых геологов. Если студенты расположены так, что в начале обучения оказываются под влиянием весьма впечатляющих проявлений геологических явлений — отвесных гор, суровых утесов, глубоких каньонов и тому подобного, — существует опасность, что их умственные привычки станут расплывчатыми, а не точными и острыми; эмоции могут пробудиться в виде удивления, а не превратиться в азарт поисков доказательств. Если студентов нужно приучать к усердию в исследованиях и к высочайшей силе умозаключений и интерпретаций, возможно, для них к лучшему находиться там, где для изучения представлены лишь скромные следы геологических процессов. В таких регионах их с большей вероятностью заставят внимательно, четко и прилежно изучать местность в поисках данных, на которых можно строить свои интерпретации. Научное использование их воображения тренируется тем лучше, если в попытке построить последовательную концепцию всей структуры, лежащей в основе их местности, они вынуждены проецировать свои выводы от нескольких обнажений далеко под покров прилегающего слоя, скрывающего прямой обзор. Поэтому у немногих преподавателей есть реальный повод тосковать по более богатым полям, чем те, что им доступны, если у них есть такт сделать их плодотворными в плане стимулов и подсказок.

(2) Лабораторная работа с материалом, собранным в полевых условиях, а также лабораторная работа с коллекциями колледжа являются необходимыми дополнениями. Достаточные условия для этой дополнительной работы, какими бы скромными ни были средства, важны и обычно могут быть обеспечены за счет изобретательности и усердия вопреки финансовым ограничениям.

Как полевая, так и лабораторная работа должны быть хорошо согласованы друг с другом и с систематической работой над учебником, руководящим учебой, так чтобы каждая оттачивала грани другой и все вместе они достигали того, чего не смогла бы ни одна по отдельности.

(3) Выбранный учебник должен быть таковым, который в некоторой значительной степени хотя бы отвечает изложенным выше общим целям. Он должен дополняться, насколько возможно, разумными заданиями для чтения и специального изучения. Лекции могут стать ценным подспорьем для дискуссий в классе, но в студенческих аудиториях они редко могут стать выгодной заменой обсуждениям. Лекции, насколько они используются, лучше всего неформально вплетать в дискуссии в классе. Вспомогательные мини-лекции можно рекомендовать, если они носят настолько неформальный характер, что могут практически бессознательно брать начало из любой жизненно важной точки, встреченной в ходе обсуждения, продолжаться столько, сколько требует случай, а затем снова уступать место дискуссии с максимальной непринужденностью. Подобное участие преподавателя в работе класса, вероятно, будет встречено с сердечным одобрением. В то же время, если оно выполнено хорошо, оно послужит прекрасным примером презентационного искусства, а также удачной организации мысли.

Organization of courses

Если заявленный курс науки о Земле ограничен младшими и старшими курсами в силу существующих требований учебного плана заведения или решений его руководства — как это нередко бывает в настоящее время, — относительно неважно, объединены ли разделы курса под единым названием «геология» или им даются отдельные названия как субалкам, при условии, что специальные предметы расположены в логической последовательности и в непрерывном порядке. Если, с другой стороны, выбор времени и отношений у преподавателя более свободен, наиболее доступные фазы изучения Земли, ныне хорошо организованные под названием «физиогеография», образуют отличный курс либо для первокурсников, либо для второкурсников. Он открывает их уму мир интересных процессов вокруг них, которые, вероятно, в предыдущие годы в значительной степени упускались из виду. Он дает им суть мысли, которая сослужит большую службу при изучении других наук. Было обнаружено, что этот курс оказывает весьма заметную помощь молодым студентам в качестве основы для упражнений в искусстве литературного изложения, и преподаватели этого важного искусства часто дают этому факту выразительные свидетельства. Секрет, по-видимому, заключается в том, что физиогеография дает разнообразный и яркий материал, поддающийся литературному изложению, в то время как фиксированные качества предмета определяют выбор терминов и способ выражения.

Если география и физиогеография преподаются на младших курсах, то курс исторической геологии, а также изучение более сложных фаз геологических процессов, принципов динамической геологии наряду с минералогией, петрологией и палеонтологией лучше всего перенести на старшие курсы, даже если некоторый интервал отделяет их от географии и физиогеографии.

Сто двадцать аудиторных часов или их эквивалент в лабораторной и полевой работе следует, пожалуй, рассматривать как абсолютный минимум в сбалансированном курсе для бакалавриата, в то время как вдвое большее время или более требуется для создания заметно сильного курса колледжа по наукам о Земле.

Рассмотрение последовательностей среди геологических подпредметов, а также среди предметов, считающихся предварительными для наук о Земле, важно, но это завело бы нас слишком далеко в детали, которые зависят более или менее от местных условий. По опыту американских преподавателей, оказалось целесообразным выставлять на передний план геологические процессы и типичные явления, а геологическую историю рассматривать позже. Более ранний метод рассмотрения истории в первую очередь, начиная с недавних стадий и двигаясь назад сквозь века — некогда популярный за рубежом, — был оставлен в этой стране. Это был порядок, в котором развивалась наука, и он имел преимущество старта с живого настоящего и наиболее доступных формаций, но последнее преимущество обеспечивается первоначальным изучением живых процессов как таковых и обращением к истории позже. Это позволяет изучать историю в ее естественном порядке, что кажется лучшим для выявления связей причины и следствия и для придания акцента влиянию унаследованных условий.

Что касается предварительных знаний, то чем больше известно о физике, химии, зоологии и ботанике, тем лучше, но легко переоценить необходимость такой подготовки, сколь бы логичной она ни казалась, ибо в действительности все естественные науки так переплетены, что, по строгой логике, полное знание всех остальных должно быть получено до начала любой из них, что является reductio ad absurdum. Науки развивались более или менее одновременно и прогрессивно, помогая друг другу. Их можно изучать примерно так же или путем чередования, при котором каждое предшествующее исследование благоприятствует последующему. Их можно даже брать в кажущемся нелогичным порядке без серьезного ущерба, ибо альтернативные преимущества и другие соображения могут перевесить силу логического порядка, который в лучшем случае лишь частично логичен. Первостепенное значение имеет стимулирование у студентов привычки наблюдать природные явления в раннем возрасте. Для студента может быть мудро заняться физиогеографией или ее эквивалентом в начале курса колледжа, независимо от идеальной подготовки по смежным наукам. Прискорбно откладывать такое изучение на этап, когда естественная склонность студента к наблюдениям и выводам притупилась от пренебрежения или от погружения в предметы, лишенные натуралистических стимулов. Поэтому позволить студентам заняться науками о Земле на первом и втором курсах даже без идеальной подготовки, вероятно, разумнее, чем откладывать учебу за пределы возраста восприимчивости к влиянию природной среды. Географическая и геологическая среда обусловили ментальную эволюцию человечества. Они оставили унаследованный след в перцептивной и эмоциональной природе, пробудить который наиболее успешно удается, по-видимому, примерно в том возрасте, в котором натуралистические фазы психики молодежи изначально приводились в состояние наиболее интенсивного напряжения.

Т. К. Чемберлин Чикагский университет

VIII

ПРЕПОДАВАНИЕ МАТЕМАТИКИ

Recent changes and some of their sources

В последние годы преподавание математики претерпело замечательные изменения во многих странах, как в отношении методов, так и в отношении содержания. Что касается математики в колледже, эти изменения проявились в растущем внимании к приложениям и историческому контексту различных вопросов. Чтобы понять один из прямых источников этих изменений, достаточно вспомнить тот факт, что примерно в 1880 году начался устойчивый поток американских студентов-математиков в Европу, особенно в Германию. Большинство этих студентов по возвращении в Америку вошли в состав факультетов наших колледжей и университетов. Поэтому представляет большой интерес вопрос о том, какая математическая ситуация послужила вдохновением для этих студентов.

Германские математические разработки на протяжении большей части девятнадцатого века демонстрировали растущую тенденцию пренебрегать приложениями. Лишь около 1890 года в Германии было инициировано мощное движение за уделение большего внимания прикладной математике[3]. Поэтому наши первые американские студенты привезли с собой из Германии решительную склонность к исследованиям в математических областях, далеких от прямого контакта с приложениями к другим научным предметам, таким как физика и астрономия, которые столь сильно доминировали в математических исследованиях в прежние годы.

Однако эта картина была бы очень неполной без демонстрации другого фактора аналогичного типа, действовавшего в нашей собственной среде. Дж. Дж. Сильвестр был выбран первым профессором математики в Университете Джонса Хопкинса, который открыл свои двери в 1876 году и сразу же начал оказывать мощное влияние на привлечение молодых людей к высшим исследованиям. Собственные исследования Сильвестра касались главным образом формальной и абстрактной стороны математики. Более того, «он был плохим преподавателем с несовершенным знанием математической литературы. Тем не менее он обладал экстраординарной личностью и в замечательной степени владерил даром вселять энтузиазм — качеством немаловажной ценности в такие пионерские дни, какими были эти для нас»[4].

Influence of researches in mathematics on methods of teaching

Математические исследования были практически внедрены в американских колледжах в последней четверти девятнадцатого века, и волна энтузиазма, сопровождавшая это внедрение, к сожалению, была недостаточно умеруведена акцентом на хорошее преподавание и широту знаний, особенно в отношении приложений. Фактически ведущий математик Америки в начале этого периода был вопиюще слаб в этих направлениях. Благодаря своему изобильному энтузиазму он смог сделать много хорошего для избранной группы одаренных студентов, посещавших его лекции, но некоторые из них оказались не столь удачливы в поиске того типа студентов, которым больше помогает прямой энтузиазм преподавателя, чем косвенный энтузиазм, проистекающий из хорошего преподавания.

Потребность в хорошем преподавании математики в наших колледжах и университетах стала более отчетливой примерно в то время, когда началась волна энтузиазма к исследованиям, в результате растущего внимания к техническому образованию, которое проявилось наиболее выраженно в развитии инженерных школ. Хотя студент, особо интересующийся математикой, может быть готов мириться с преподавателем, чей энтузиазм к новому и общему заставляет его пренебрегать выделением существенных деталей при подаче материала, рядовой студент-инженер настаивает на ясности изложения и применимости результатов. Поскольку последний студент не рассчитывает стать математическим специалистом, он, естественно, гораздо больше заинтересован в хорошем преподавании, чем в математической репутации своего преподавателя, даже если эта репутация не является для него совершенно незначительным фактором.

В последнее десятилетие девятнадцатого века и первое десятилетие нынешнего века математические департаменты наших колледжей и университетов столкнулись с исключительно серьезной ситуацией в результате только что отмеченных условий. Новая волна энтузиазма к исследованиям все еще пребывала в своей юношеской силе и юношеском настроении беспечности в отношении некоторых из наиболее важных факторов. С другой стороны, многие инженерные факультеты укрепились и поэтому смогли обеспечить тот тип преподавания, который соответствовал их нуждам. В ряде учебных заведений это привело к разделению математического департамента на два или более отдельных подразделения, нацеленных на удовлетворение особых потребностей.

Ввиду того, что математические потребности этих различных категорий студентов имеют столь много общего, ведущие математики с большой озабоченностью смотрели на эту тенденцию к разрушению многих более сильных департаментов. Отсюда вопрос о хорошем преподавании стремительно выдвинулся на передний план. Было общепризнанно, что студенты, изучающие чистую математику, извлекают пользу из изучения различных применений рассматриваемых теорий, а студенты, которые рассчитывают работать в специальных технических областях, выигрывают от получения широких и всеобъемлющих взглядов на фундаментальные математические вопросы. Более того, также признавалось, что исследовательская работа самих преподавателей выиграет от более широкого кругозора, достигаемого за счет большего внимания к приложениям и историческому контексту рассматриваемых проблем.

К этим фундаментальным элементам, касающимся улучшения преподавания в колледже, пожалуй, следует добавить еще один, проистекающий из признания того факта, что количество людей, обладающих выдающимися способностями к математическим исследованиям, было намного меньше числа вакансий на математических факультетах наших колледжей и университетов. Публикация результатов некачественных исследований имеет сомнительную ценность. С другой стороны, многие те, кто мог бы проделать отличную работу в качестве преподавателей, направив большую часть своей энергии на эту деятельность, потерпели частичную неудачу как в роли преподавателей, так и в роли исследователей из-за своего стремления преуспеть в последнем направлении.

Range of subjects and preparation of students

Следует подчеркнуть, что преподавателям математики в колледжах и университетах приходится иметь дело с широким кругом предметов и условий, особенно там, где ведется обучение в аспирантуре. У потребности продвинутых аспирантов есть существенные отличия от потребностей первокурсников, стремящихся стать инженерами. Этот широкий спектр условий требует от преподавателя колледжа и университета необычайной гибкости. Данный диапазон намного шире того, с которым сталкиваются преподаватели в средней школе, и недостаток достаточной гибкости у некоторых преподавателей колледжа, вероятно, ответственен за распространенное впечатление, будто худшее преподавание математики осуществляется в колледжах. Несомненно, в равной степени верно и то, что некоторое из наилучшего преподавания математики можно обнаружить именно в этих учебных заведениях.

В некоторых колледжах прослеживается тенденция к сокращению индивидуального диапазона преподавания математики путем четкого разделения работы со студентами младших курсов и более продвинутой работы. Например, в Университете Джонса Хопкинса в 1897 году Л. С. Хулберт был назначен «профессором математики колледжа» с тем условием, что он посвятит себя интересам студентов младших курсов. Во многих крупных университетах младшие сотрудники кафедры обычно ведут занятия только для студентов младших курсов, в то время как некоторые из старших преподавателей уделяют все свое время или большую его часть углубленной работе; однако в этом отношении нет единообразия, и нынешние условия часто неудовлетворительны.

Курсы математики для студентов младших курсов в американских колледжах и университетах существенно различаются. Стандартные начальные курсы в настоящее время предполагают наличие года геометрии и полутора лет алгебры в дополнение к элементарным курсам арифметики, но иногда предъявляются гораздо более высокие требования, особенно на инженерных отделениях. В последние годы несколько крупнейших университетов снизили минимальное требование к поступлению по алгебре до одного года обучения, однако студентам, поступающим с такой минимальной подготовкой, иногда не разрешается продолжать обучение на регулярных математических занятиях в университете.

Variety of college courses in mathematics

Курсы математики для первокурсников сильно различаются, но наиболее распространенными предметами являются высшая алгебра, плоская тригонометрия и стереометрия. Наиболее распространенными предметами несколько более продвинутого типа являются плоская аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисление, а также сферическая тригонометрия. За пределами этих курсов наблюдается гораздо меньшее единообразие, особенно в тех учебных заведениях, которые стремятся завершить всесторонний курс математики бакалавриата, а не подготовить к обучению в аспирантуре. Среди наиболее распространенных предметов помимо уже названных — дифференциальные уравнения, теория уравнений, пространственная аналитическая геометрия и механика.

Очень важным элементом, повлиявшим на математические курсы в последние годы, является быстрое улучшение подготовки наших учителей в средних школах. Это привело к быстрому внедрению курсов, направленных на формирование широких взглядов на фундаментальные предметы. В частности, все большее внимание привлекают курсы, касающиеся исторического развития заложенных в них понятий. Косвенные исторические источники стали гораздо более доступными в последние годы благодаря публикации различных переводов древних трудов и публикации обширных исторических примечаний в Encyclopédie des Sciences Mathématiques и в других менее обширных справочных изданиях.

Проблема, стоящая перед теми, кто готовится преподавать математику, на первый взгляд может сильно отличаться от проблемы тех, кто рассчитывает стать инженерами. Последние в основном заинтересованы в получении из своих математических курсов мощного инструментария для практической деятельности, в то время как первые проявляют больший интерес к тем направлениям развития, которые освещают и проясняют основы их предмета. Следовательно, будущий преподаватель и будущий инженер могут показаться имеющими противоречивые математические интересы. На самом деле эти интересы не противоречат друг другу. Будущему преподавателю очень полезно подчеркивание практической применимости математики, а будущий инженер обнаруживает, что общность и ясность взгляда, к которым стремится будущий преподаватель, оказываются для него не менее полезными при работе с новыми приложениями. Следовательно, эти две категории студентов вполне могут вместе изучать многие ранние математические курсы, в то время как завершающие курсы обычно должны различаться.

Стремительно растущий интерес к статистическим методам, а также к страхованию, пенсиям и инвестициям естественным образом привлек особое внимание к лежащим в их основе математическим теориям, особенно к теории вероятностей. Некоторые учебные заведения организовали специальные математические курсы, посвященные эти темам, и тем самым еще больше расширили спектр предметов бакалавриата, охватываемых математическими кафедрами. Стремительно растущий акцент на университетском образовании, специально адаптированном к потребностям будущего делового человека, недавно привел к усилению внимания к некоторым из этих предметов в ряде учебных заведений.

Круг математических предметов, подходящих для аспирантов, не ограничен, но обычно считается желательным, чтобы аспирант прошел по крайней мере один общий курс по каждой из более широких тем, таких как теория чисел, высшая алгебра, теория функций и проективная геометрия, прежде чем он начнет специализироваться в определенном направлении. Обычно принимается как должное, что курсы математики для бакалавриата не должны предполагать знания какого-либо языка, кроме английского, однако аспирантская работа по этому предмету во многих случаях не может успешно вестись без навыка чтения на трех других великих математических языках, а именно: французском, немецком и итальянском. Следовательно, изучение математики в аспирантуре неизбежно предполагает некоторую языковую подготовку в дополнение к знакомству с элементами фундаментальных математических предметов.

Исторические исследования предъявляют особенно высокие требования к языку в тех случаях, когда они не ограничиваются в основном готовым материалом. Это особенно верно в отношении более старого исторического материала. При изучении современной математической истории языковые предпосылки примерно такие же, как и при изучении других современных математических предметов. С быстрым распространением математических исследований в последние годы возникла возрастающая потребность в более обширных лингвистических знаниях со стороны тех математиков, которые стремятся идти в ногу с прогрессом в различных областях. Например, процветающее испанское национальное математическое общество было организовано в 1911 году в Мадриде, Испания, а в марте 1916 года в Буэнос-Айресе, Аргентинская Республика, начал издаваться новый математический журнал под названием Revista de Matematicas. Следовательно, знание испанского языка становится все более полезным для студента-математика. Подобная деятельность недавно была начата и в других странах.

History of college mathematics

Примерно до начала девятнадцатого века курсы математики в колледже обычно не предполагали математической базы, тщательно подготовленной для надстройки. По мнению М. Гебхардта, функции преподавания элементарной математики в Германии взяли на себя гимназии в период с 1810 по 1830 год.[ 5 ] До этого времени немецкие университеты обычно давали образование по самым элементарным математическим предметам. В нашей собственной стране Йельский университет ввел вступительное требование по математике под названием «арифметика» еще в 1745 году, однако в Гарвардском университете до 1803 года знание математики не требовалось для поступления.

С другой стороны, Политехническая школа в Париже (L'Ecole Polytechnique), занимающая видное место в истории университетской математики, с самого начала предъявляла очень высокие требования к поступающим по математике. Согласно закону, принятому в 1795 году, кандидаты при поступлении должны были сдать экзамен по арифметике; по алгебре, включая решение уравнений первых четырех степеней и теорию рядов; и по геометрии, включая тригонометрию, приложения алгебры к геометрии и конические сечения.[ 6 ] Следует отметить, что эти требования шире обычных современных математических требований наших ведущих университетов и технических вузов, однако Политехническая школа делала особый упор на математику и физику и стала мировым прототипом сильных технических учебных заведений.

Влияние Политехнической школы значительно возросло благодаря изданию регулярного периодического издания под названием Journal de l'Ecole Polytechnique, которое было основано в 1795 году и издается по сей день. В ранних томах этого журнала появился ряд курсов лекций, прочитанных в Политехнической школе и в Нормальной школе (L'Ecole Normale). Тот факт, что некоторые из этих курсов читались такими выдающимися математиками, как Ж. Л. Лагранж, Г. Монж и П. С. Лаплас, служит достаточной гарантией их большой ценности и благотворного влияния на более поздние учебники по аналогичным направлениям. В частности, можно отметить, что Г. Монж прочитал первый курс начертательной геометрии в Нормальной школе в 1795 году, а также в течение ряда лет был одним из самых влиятельных преподавателей в Политехнической школе.

Самым фундаментальным элементом в истории университетской математики является расширение масштабов работы колледжа. Покá студенты колледжей состояли почти исключительно из будущих проповедников, юристов и врачей, к математике проявлялся сравнительно небольшой интерес. Верно, что ценность математики как средства умственной дисциплины подчеркивалась многими, но эта предполагаемая ценность не вдыхала реальной жизни в математическую работу. Мертвых абстрактных рассуждений «Начал» Евклида или даже числовых спекуляций древних пифагорейцев было достаточно, чтобы удовлетворить большинство тех, кто рассматривал математику как предмет, подходящий для умственной гимнастики.

С другой стороны, когда колледжи начали готовить людей для других сфер деятельности, когда применение пара привело к масштабным предприятиям, таким как строительство железных дорог и крупных океанских лайнеров, математика стала живым предметом, чья огромная прямая полезность в практических делах начала общепризнаваться. Более того, стало очевидно, что существует острая необходимость в математическом росте, поскольку математика больше не должна была использоваться исключительно в качестве умственных булав или гантелей, где ограниченный ассортимент удовлетворял бы всем практическим потребностям, но как инструмент умственного проникновения в бесчисленные барьеры, которые сдерживали прогресс в различных областях и, казалось, требовали бесконечного разнообразия методов проникновения.

Американские колледжи, естественно, несколько отставали от некоторых европейских в адаптации к изменившимся условиям, но о быстроте перемен в нашей стране можно судить по тому факту, что в первой половине девятнадцатого века Гарвард в относительно короткой последовательности включил три математических предмета в свой список вступительных требований: арифметика в 1802 году, алгебра в 1820 году и геометрия в 1844 году. Хотя Гарвард не устанавливал никаких вступительных требований по математике в течение более чем полутора веков после своего открытия, он ввел три таких требования в течение полувека. Интересно отметить, что в течение по крайней мере девяноста лет с момента открытия Гарварда арифметика преподавалась на выпускном курсе как один из завершающих предметов университетского образования.[ 7 ]

Переход некоторых предметов элементарной математики из колледжей в средние школы породил два очень фундаментальных вопроса. Первый из них касался главным образом средних школ, поскольку он предполагал адаптацию к потребностям более молодых учащихся более или менее кристаллизованного материала учебников, перешедшего к ним из колледжей. Второй вопрос затрагивал только колледжи, поскольку он предполагал выбор надлежащего материала для опоры на фундамент, заложенный средними школами. Естественно, что влияние колледжей оказалось несколько пагубным по отношению к средним школам, поскольку интересы первых, казалось, лучше всего удовлетворялись путем ограничения большей части усилий учителей математики средней школы тщательным натаскиванием своих учеников на ловкие формальные манипуляции с алгебраическими символами и доказательство фундаментальных абстрактных теорем геометрии.

Relation of mathematics in secondary schools and college

Студенты, которые приходят в колледж с прочным и широким фундаментом, но без каких-либо знаний о надстройке, могут легко воодушевиться возведением прекрасной надстройки на фундаменте, заложенном преимущественно под землей, при этом без каких-либо прямых доказательств его ценности или важности. Несправедливость и недальновидность тенденции ограничивать средние школы такой фундаментной работой не казались бы столь очевидными, если бы большинство учащихся средних школ поступало в колледж. На самом деле это привело к тому, что математика в средней школе оказалась дискредитированной и тем самым создала угрозу для университетской математики в самом ее основании. Лишь в последние годы были предприняты серьезные усилия по исправлению этой весьма серьезной математической ситуации.

Был достигнут значительный прогресс на пути к более здравому взгляду — позволить школьной математике возводить свое небольшое здание ввысь с некоторым расчетом на гармонию и пропорцию, а также требовать, чтобы университетская математика строилась как на основе работы, проделанной средними школами, так и вдобавок к ней. Плодотворные и животворные понятия функции, производной и группы постепенно проникают в школьную математику, а графические методы привнесли в эту же область часть очарования аналитической геометрии.

Эта трансформация закономернейшим образом самым глубоким образом затрагивает университетскую математику. Скучная работа по заложению фундамента в университетской математике становится все более настоятельной. Использование перфоратора все сильнее навязывается преподавателю колледжа, привыкшему пользоваться только молотком и пилой. Поскольку мы только вступаем в эту ситуацию, еще слишком рано пророчить что-либо относительно ее стабильности, но представляется вероятным, что учителя средней школы больше не возьмут на себя то иго, которое некоторые преподаватели колледжей так охотно заставили бы их нести и который они долго несли ради служения интересам последних.

Поскольку многие учебники, используемые учителями средних школ, написаны университетскими преподавателями, а успех этих учителей часто измеряется успехом их учеников, которым случается поступить в колледж, легко увидеть, что у учителя средней школы возникает серьезный искушение смотреть на свою работу глазами преподавателя колледжа. Недавние организации, объединяющие преподавателей колледжей и средних школ, уже оказали весьма благотворное влияние и способствовали выявлению того факта, что успех преподавателя математики в колледже теснейшим образом связан с успехом преподавателей математики в средней школе.

Хотя трудно определить важнейшее отдельное событие в истории преподавания в американских колледжах, мало найдется событий в этой истории, которые заслуживали бы такого отличия больше, чем создание Математической ассоциации Америки, осуществленное в декабре 1915 года. Эта ассоциация ставит своей особой целью содействие интересам математики в сфере колледжей и издает журнал под названием The American Mathematical Monthly, содержащий множество обзорных статей, представляющих особый интерес для преподавателей. Она также проводит регулярные встречи и организовала различные секции, чтобы дать возможность своим членам посещать собрания без необходимости нести расходы на дальние поездки. Ее первыми четырьмя президентами были Э. Р. Хедрик, Флориан Каджори, Э. В. Хантингтон и Х. Э. Слоу.

Событием, которое, пожалуй, затронуло самую суть преподавания математики в Америке еще глубже, является основание Американского математического общества в 1888 году (до 1894 года оно называлось Нью-Йоркским математическим обществом). Через свои Bulletins и Transactions, а также через свои собрания и лекции на коллоквиумах это общество выступало за вдохновение и глубокий математический интерес, без которых преподавание в колледже выродится в ремесло. За первые тридцать лет своей истории его президентами были: Дж. Х. Ван Амриндж, Эмори МакКлинток, Г. В. Хилл, Саймон Ньюкомб, Р. С. Вудворд, Э. Х. Мур, Т. С. Фиск, В. Ф. Осгуд, Х. С. Уайт, Максим Бохер, Х. Б. Файн, Э. Б. Ван Влек, Э. В. Браун, Л. Э. Диксон и Франк Морли.

Aims of college mathematics: methods of teaching

Цели университетской математики, пожалуй, можно понять наиболее четко, если вспомнить тот факт, что математика представляет собой своего рода интеллектуальный стенографический язык и что многие из новых разработок в самых разных науках тяготеют к чистой математике. В частности, «существует постоянная тенденция к поглощению математической физики чистой математикой».[ 8 ] По мере роста наук они имеют тенденцию все больше нуждаться в мощных методах интеллектуального проникновения, предоставляемых чистой математикой.

Главная современная цель университетской математики заключается не в тренировке ума, а в предоставлении информации, абсолютно необходимой тем, кто стремится работать наиболее эффективно в различных научных направлениях. Математическое знание, а не математическая дисциплина — вот главная современная цель университетских курсов математики. Поскольку это знание должно быть в пригодной для использования форме, его приобретение естественным образом сопровождается умственной дисциплиной, но само знание абсолютно необходимо и должно было бы приобретаться даже в том случае, если бы процесс его приобретения не сопровождался развитием интеллектуальной мощи.

Тот факт, что практически вся университетская математика XVIII века была постепенно усвоена современными средними школами, может заставить некоторых поставить под сомнение целесообразность замены этой более ранней математики более продвинутыми предметами. В частности, может возникнуть вопрос, не является ли сегодняшняя университетская математика излишней. На этот вопрос отчасти уже ответили предыдущие общие наблюдения. Стремительные научные достижения прошлого века привели к очень быстрому росту математических потребностей. Успехи университетской математики, ставшие возможными благодаря совершенствованию средних школ, едва ли поспевают за ростом этих потребностей, так что современные потребности в математике не могут быть обеспечены современным колледжем столь же полно, сколь признанные математические потребности XVIII века обеспечивались тогдашними колледжами.

Верхнего предела для объема полезной математики, судя по всему, не существует, а следовательно, целью колледжа должно быть удовлетворение математических потребностей студентов в максимально возможной степени при данных обстоятельствах. Чтобы удовлетворить эти потребности наиболее экономичным образом, представляется необходимым, чтобы некоторые из них удовлетворялись еще до того, как они будут в полной мере осознаны самим студентом. Первые шаги во многих научных дисциплинах не требуют математических рассуждений, и студент зачастую не выходит за рамки этих первых шагов в годы учебы в колледже, однако в дальнейшей жизни ему потребуется зайти гораздо дальше. Университетская математика должна готовить к жизни, а не только к дням учебы в колледже, и отсюда возникает желательность более глубокого математического проникновения, чем кажется прямо необходимым для работы в колледже.

Advanced work in college mathematics

Еще одна причина для изучения более продвинутой математики, чем кажется непосредственно необходимым студенту, заключается в том, что более продвинутые математические предметы представляют собой своего рода прикладную математику по отношению к более элементарным, и первые служат для пролития яркого света на вторые. Другими словами, студент, желающий полностью понять элементарный предмет, должен изучить более продвинутые предметы, которые с ним связаны, поскольку такое изучение обычно эффективнее многократного повторения элементарного предмета. В частности, многие студенты лучше понимают алгебру во время прохождения курса исчисления, чем во время самого курса алгебры, а курс дифференциальных уравнений прольет новый свет на курс исчисления. Следовательно, университетская математика обычно стремится охватить довольно широкий круг предметов за сравнительно короткое время.

Поскольку математика во многом является языком передовой науки, особенно астрономии, физики и инженерии, одной из видных целей университетской математики должно быть поддержание тесной связи с другими науками. Иными словами, идея оказания прямой и эффективной помощи другим кафедрам должна воодушевлять математическую кафедру глубже, чем любую другую кафедру университета. Тенденция к дезинтеграции, о которой мы упоминали выше, с остротой привлекла внимание к огромной необходимости подчеркивать этот аспект нашего предмета, поскольку такая дезинтеграция закономерно сопровождается ослаблением математической силы. Можно отметить, что такая дезинтеграция означала бы возврат к первобытным условиям, поскольку некоторые из старых трудов рассматривали математику лишь как главу астрономии. Так поступали, например, в некоторых древних трактатах индусов.

Mathematics and technical education

Огромный приток студентов в колледжи в последние годы и возрастающее внимание к внеаудиторной деятельности в колледже, особенно к той, что связана с университетским спортом, несомненно, оставили бы университетскую математику в плачевно заброшенном состоянии, если бы одновременно не наблюдался стремительно растущий интерес к техническому образованию, особенно к инженерным дисциплинам. Морская инженерия была одним из первых научных предметов, оказавших мощное влияние на популяризацию математики. В частности, преподавание математики в поддерживаемых государством российских школах началось с основания государственной школы математики и навигации в Москве в 1701 году. Интересно отметить, что более ранние российские школы, учрежденные духовенством после принятия христианства в этой стране, не предусматривали преподавания никакой арифметики вообще, несмотря на полезность арифметики для вычисления различных дат церковного календаря, для земельной съемки и для обычных коммерческих операций.[ 9 ]

Прямые цели преподавания университетской математики, естественно, в некоторой степени зависят от потребностей студентов-инженеров, которые во многих наших ведущих учебных заведениях составляют подавляющее большинство на математических занятиях. От этих студентов обычно ожидают получения большей практики в реальных численных вычислениях, чем требуется тем, кто стремится главным образом к более глубокому проникновению в различные математические теории. Наиболее успешные методы обучения первой категории студентов имеют много общего с теми, что обычно применяются в средних школах, и известны как методы практических занятий и решения задач. Они включают в себя исправление и прямой контроль над большим количеством разноуровневых упражнений, выполняемых студентами на классной доске или на бумаге, и призваны преодолеть специфические трудности отдельных студентов.

Метод лекций, с другой стороны, нацелен на то, чтобы представить основные факты в ясном свете и оставить студенту задачу подбора дополнительных иллюстративных примеров и переосмысления различных этапов. Чисто лекционный метод не кажется хорошо приспособленным к американским условиям, и его часто сочетают с тем, что обычно называют «опросом» (quiz). Опрос представляется американским институтом, хотя у него много общего с разновидностью французской «конференции». Он предназначен для повторения содержания цикла лекций посредством дискуссий, в которых участвуют студенты и преподаватель, и чаще всего применяется в рамках курсов продвинутого уровня бакалавриата или начального уровня аспирантуры.

Видная цель курсов аспирантуры состоит в том, чтобы как можно быстрее привести студента к границе познания в рамках рассматриваемого в них конкретного направления. Хотя некоторые из разработок на таких курсах неизбежно оказываются несколько специфическими или слишком общими, чтобы иметь большой смысл, их новизна часто добавляет элемент интереса, достаточный для того, чтобы с лихвой компенсировать потери в других направлениях. Более того, студент, стремящийся заниматься научно-исследовательской работой, сможет таким образом оценить различные области с точки зрения их привлекательности для проведения собственных долговременных исследований.

Preparation of the college teacher of mathematics.

Тот факт, что преподавателю колледжа требуется гораздо больше математических знаний, чем он может получить за период своей подготовки, особенно если он рассчитывает принимать активное участие в исследованиях и руководстве аспирантурой, обычно приводил к предположению, что будущий преподаватель университетской математики должен посвятить все свои силы достижению глубокого математического кругозора и широкого спектра математических знаний.[ 10 ] С другой стороны, студенты, подготовленные в соответствии с этим предположением, часто обнаруживали, что им очень трудно адаптироваться к потребностям крупных потоков первокурсников-инженеров, приступающих к обязанностям, к которым они, как предполагалось, были подготовлены.

Широта кругозора и размах абстракции, необходимые для эффективной работы в аспирантуре, имеют мало общего с точностью в численных расчетах и вниманием к деталям, столь необходимыми молодым студентам-инженерам. Трудность ситуации усугубляется тем фактом, что молодого преподавателя часто заставляют верить, будто его карьерный рост и оценка его заслуг прямо пропорциональны его достижениям в исследованиях высокого порядка. Это убеждение закономерно заводит многих в тупик сожаления о времени и мыслях, которые их преподавательские обязанности должны нормально получать.

Молодой преподаватель математики в колледже оказывается перед лицом гораздо более сложной ситуации, чем та, с которой сталкиваются преподаватели математики в средней школе. Здесь успех в аудитории является главной великой целью, а требуемые математические знания сравнительно очень скромны. Возможно, положение преподавателя колледжа можно было бы существенно улучшить, если бы было понятно, что его первое продвижение по службе будет зависеть главным образом от его успехов в качестве преподавателя, в то время как последующие повышения в возрастающей пропорции включают элемент продуктивной научной деятельности.

Школы педагогики, созданные в последние годы в большинстве наших ведущих университетов, пока оказали лишь незначительное влияние на подготовку преподавателей колледжей, однако представляется вероятным, что это влияние будет возрастать по мере того, как потребности профессиональной подготовки станут лучше известны. Вероятно, верно, что соотношение курсов по методологии и курсов по знанию предмета всегда будет наибольшим для учителей начальных классов, учитывая огромную разницу между умственной зрелостью ученика и учителя, несколько меньшим для учителей средней школы и наименьшим для преподавателей колледжа; но это наименьшее не должно быть равным нулю, как это столь часто бывает в настоящее время, поскольку даже здесь обычно существует значительная разница между математической зрелостью студента и зрелостью преподавателя.

Можно утверждать, что будущий преподаватель колледжа, вероятно, извлечет больше пользы из наблюдения за методами, применяемыми его собственными преподавателями, чем из теоретических дискуссий о методах. Это, несомненно, так, но это не доказывает, что последние дискуссии не имеют ценности. С другой стороны, эти обсуждения часто будут способствовать привлечению большего внимания к первым методам и приведут студента к более точному пониманию их значения и вероятной применимости к потребностям более молодых учащихся.

Среди полезных особенностей подготовки будущих учителей математики — математические клубы, действующие при большинстве активных математических кафедр. Во многих случаях поддерживаются по крайней мере два таких клуба: один из них посвящен главным образом представлению результатов исследовательской работы, в то время как другой нацелен на предоставление возможностей для представления докладов, представляющих особый интерес для студентов. Последние доклады часто представляются аспирантами или старшекурсниками и предоставляют прекрасную возможность для таких студентов приобрести эффективные и ясные методы презентации. Тот же желанный результат часто достигается благодаря докладам, которые студенты делают на семинарах или продвинутых курсах.

Важнейшими факторами в подготовке будущих преподавателей колледжей являются преподавательские стипендии, гранты и ассистентские должности. Многие крупные университеты предоставляют целый ряд должностей подобного типа. Иногда случается, что педагогические обязанности, связанные с этими должностями, настолько тяжелы, что оставляют слишком мало сил для энергичной работы в аспирантуре. С другой стороны, эти должности позволили многим продолжать обучение в аспирантуре дольше, чем они могли бы сделать это иначе, и в то же время приобрести надежные навыки преподавания в тесном контакте с людьми, доказавшими свою квалификацию в этой области.

Следует подчеркнуть, что идеальный преподаватель математики в колледже — это не тот, кто приобретает солидный запас математических знаний, который он передает своим студентам, а тот, кто проникнут неизменным интересом к тому, чтобы узнавать все больше и больше о своем предмете до конца своих дней. Этот интерес закономерно вскоре заставляет его проводить исследования, где прогресс обычно бывает медленным и неопределенным. Научно-исследовательская работа должна воодушевляться стремлением к новым знаниям, а не стремлением к публикациям. По сути, следует публиковать лишь те новые результаты, которые способны помочь другим начать с более благоприятной точки в их усилиях по достижению интеллектуального владения определенными важными проблемами.

Полвека назад общепринято было считать, что окончание хорошего колледжа подразумевает достаточную подготовку для вступления в должность преподавателя колледжа, но этот взгляд практически изжит, по крайней мере в отношении преподавателя математики в колледже. Обычная подготовка теперь обычно отодвигается на три года вперед, и степень доктора философии (Ph.D.) обычно рассматривается как свидетельство такой нормальной подготовки. Многие полагают, что эта степень подразумевает достижение ее обладателем стадии, на которой он способен вести самостоятельную исследовательскую работу и руководить студентами, стремящимися получить аналогичные степени. Учитывая тот факт, что в Америке, как и в Германии, студент часто получает значительную прямую помощь во время работы над своей диссертацией на степень Ph.D., это предположение зачастую не соответствует действительности.[ 11 ]