«Принципы науки: Трактат о логике и научном методе»

Профессор Боуэн объяснил 84 с большой ясностью, что заключение аргумента прямо выражает то, что мыслится виртуально или имплицитно. «Процесс рассуждения — это не столько способ развития новой истины, сколько способ установления или доказательства старой, путем показа того, сколько было допущено при признании двух посылок, взятых вместе». Правда, весь смысл этих утверждений покоится на смысле таких слов, как «эксплицитный», «имплицитный», «виртуальный». Имплицитным является то, что завернуто, и мы делаем его эксплицитным, когда разворачиваем его. Точно так же, как концепция круга включает сотню важных геометрических свойств, все из которых следуют из того, что мы знаем, если у нас есть острота ума, чтобы развернуть результаты, так и каждый факт и утверждение включают больше смысла, чем кажется на первый взгляд. Рассуждение эксплицирует или приводит к сознательному владению то, что было раньше бессознательным. Оно не создает и не уничтожает, но трансмутирует и переводит ту же материю в новую форму.

Трудный вопрос остается: где начинается новизна формы? Является ли это случаем умозаключения, когда мы переходим от «Искренность — родитель истины» к «Родитель истины — искренность»? Старые логики назвали бы это изменение конверсией, одним из случаев непосредственного умозаключения. Но поскольку всякое тождество необходимо взаимно, и сам смысл такого суждения заключается в том, что два термина тождественны в своем значении, я не вижу никакой разницы между этими утверждениями вообще. С таким же успехом можно было бы сказать, что x = y и y = x — разные уравнения.

Другой момент трудности — решить, когда изменение является чисто грамматическим, а когда оно включает реальную логическую трансформацию. Между «деревянным столом» и «столом из дерева» нет логической разницы (стр. 31), прилагательное является лишь удобной заменой предложной фразы. Но для меня остается неопределенным, является ли изменение от «Все люди смертны» к «Ни один человек не есть не-смертен» чисто грамматическим. Логическое изменение, возможно, лучше всего описать как состоящее в определении отношения между определенными классами объектов из отношения между определенными другими классами. Так, я считаю истинно логическим умозаключением, когда мы переходим от «Все люди смертны» к «Все бессмертные суть не-люди», потому что классы «бессмертные» и «не-люди» отличаются от «смертных» и «людей», и все же суждения содержат в основе ту же самую истину, как показано в комбинациях Логического алфавита.

Переход от качественного к количественному способу выражения суждения — это еще один вид изменения, который мы должны отличать от истинного логического вывода. Мы выражаем одну и ту же истину, когда говорим, что «смертность присуща всем людям», и когда утверждаем, что «все люди смертны». Здесь мы переходим не от класса к классу, а от одного вида термина, абстрактного, к другому виду, конкретному. Однако вывод, вероятно, имеет место, когда мы переходим от любого из вышеуказанных суждений к утверждению, что класс бессмертных людей равен нулю или не содержит объектов.

Разумеется, это вопрос терминологии, к каким процессам мы будем или не будем применять название «вывод», и у меня нет желания продолжать пустые дискуссии, которые уже имели место по этому поводу. Что нам нужно сделать, так это точно определить смысл, в котором мы используем слово «вывод», и отличить отношение выводимых суждений от других возможных отношений. По-видимому, достаточно выделить четыре способа, которыми могут быть связаны два внешне различных суждения. Таким образом, два суждения могут быть —

1. Тавтологичными или тождественными, включающими одно и то же отношение между одними и теми же терминами и классами и различающимися только порядком изложения; так, «Виктория — королева Англии» тавтологично суждению «Королева Англии — Виктория».

2. Грамматически связанными, когда классы или объекты одни и те же и связаны сходным образом, а единственное различие заключается в словах; так, «Виктория — королева Англии» грамматически эквивалентно «Виктория — английская королева».

3. Эквивалентными в качественной и количественной форме, когда классы одни и те же, но рассматриваются по-разному.

4. Логически выводимыми друг из друга, или, возможно, эквивалентными, когда классы и отношения различны, но подразумевают одно и то же знание о возможных комбинациях.

ГЛАВА VII. ИНДУКЦИЯ.

В этой главе мы переходим ко второму великому разделу логического метода — индукции, или выводу общих истин из частных. Нельзя сказать, что индуктивный процесс имеет большее значение, чем уже рассмотренный дедуктивный процесс, поскольку последний абсолютно необходим для существования первого. Каждый из них является дополнением и аналогом другого. Принципы мышления и бытия, лежащие в их основе, по сути одни и те же, точно так же, как вычитание чисел неизбежно опирается на те же принципы, что и сложение. Индукция, по сути, является обратной операцией по отношению к дедукции и не может существовать без соответствующей операции, поэтому вопрос об относительной важности не может возникнуть. Кто задумывается над тем, что важнее в арифметике — сложение или вычитание? Но в то же время между прямой и обратной операцией может существовать большая разница в сложности; интегральное исчисление, например, бесконечно сложнее дифференциального исчисления, обратной операцией которого оно является. Точно так же следует признать, что индуктивные исследования обладают гораздо более высокой степенью сложности и запутанности, чем любые вопросы дедукции; и именно этот факт, несомненно, привел некоторых логиков, таких как Фрэнсис Бэкон, Локк и Дж. С. Милль, к ошибочным мнениям относительно исключительной важности индукции.

До сих пор мы рассматривали, как из определенных условий, законов или тождеств, управляющих комбинациями качеств, мы можем вывести природу комбинаций, согласующихся с этими условиями. Наша работа заключалась в том, чтобы раскрыть результаты того, что содержится в любых утверждениях, и этот процесс был синтетическим. Термины или комбинации, характер которых был определен, обычно, хотя и далеко не всегда, включали больше качеств, а следовательно, в силу отношения объема и содержания, меньше объектов, чем термины, в которых они были описаны. Таким образом, выведенные истины обычно были менее общими, чем истины, из которых они были выведены.

В индукции все наоборот. Истины, которые предстоит установить, более общие, чем данные, из которых они извлечены. Процесс, с помощью которого они достигаются, является аналитическим и состоит в разделении сложных комбинаций, в которых нам представлены природные явления, и определении отношений отдельных качеств. Имея события, подчиняющиеся определенным неизвестным законам, мы должны открыть законы, которым они подчиняются. Вместо сравнительно легкой задачи нахождения того, какие следствия вытекают из данного закона, теперь даны следствия и требуется найти закон. Мы должны истолковать волю, согласно которой были установлены условия творения.

Индукция как обратная операция

Я уже утверждал, что индукция — это обратная операция по отношению к дедукции, но разница настолько важна, что я должен остановиться на ней подробнее. Существует много случаев, когда мы можем легко и безошибочно сделать что-то, но можем испытать большие трудности, пытаясь это отменить. Человек может войти в самый запутанный лабиринт или самые обширные катакомбы и поворачивать туда и сюда по своей воле; именно тогда, когда он хочет вернуться, начинаются сомнения и трудности. При входе ему подходил любой путь; при выходе он должен выбрать определенные пути, и в этом выборе он должен либо полагаться на память о том пути, которым вошел, либо произвести исчерпывающее испытание всех возможных путей. Исследователь, входящий в новую страну, обеспечивает себе обратный путь, делая зарубки на деревьях.

Та же трудность возникает во многих научных процессах. Имея любые два числа, мы можем с помощью простого и безошибочного процесса получить их произведение; но когда дано большое число, определить его множители — совсем другое дело. Может ли читатель сказать, какие два числа при перемножении дадут число 8 616 460 799? Думаю, маловероятно, что кто-то, кроме меня, когда-либо узнает это; ибо это два больших простых числа, и их можно заново открыть, только последовательно перебирая длинный ряд простых делителей, пока не наткнешься на нужный. Работа, вероятно, заняла бы у хорошего вычислителя много недель, но у меня не заняла много минут перемножить эти два множителя. Точно так же не существует прямого процесса для обнаружения того, является ли какое-либо число простым или нет; только путем исчерпывающего перебора всех меньших чисел, которые могли бы быть делителями, мы можем показать, что таких нет, и трудоемкость этого процесса была бы невыносимой, если бы он не выполнялся систематически раз и навсегда в процессе, известном как решето Эратосфена, результаты которого зарегистрированы в таблицах простых чисел.

Огромные трудности, с которыми сталкиваются при решении алгебраических уравнений, дают еще одну иллюстрацию. Имея любые алгебраические множители, мы можем легко и безошибочно прийти к произведению; но имея произведение, бесконечно трудно разложить его на множители. Имея любой ряд величин, сколь угодно многочисленный, нетрудно составить уравнение, корнями которого будут эти величины. Пусть a, b, c, d и т. д. — это величины; тогда (x - a)(x - b)(x - c)(x - d) . . . = 0 — требуемое уравнение, и нам нужно лишь перемножить выражение в левой части по обычным правилам. Но имея сложное алгебраическое выражение, приравненное к нулю, чрезвычайно трудно обнаружить все корни. Математики исчерпали свои величайшие силы, доводя полное решение до четвертой степени. Во всех других математических операциях обратный процесс гораздо труднее прямого: вычитание труднее сложения, деление — умножения, извлечение корня — возведения в степень; но трудность значительно возрастает по мере усложнения процесса. Дифференцирование, прямой процесс, всегда может быть выполнено по фиксированным правилам, но поскольку эти правила дают значительное разнообразие результатов, обратный процесс интегрирования представляет огромные трудности и в бесконечном большинстве случаев превосходит нынешние ресурсы математиков. Для его выполнения не существует безошибочных и общих правил; это должно делаться путем проб, догадок или запоминания результатов дифференцирования и использования их в качестве руководства.

Переходя ближе к нашей непосредственной теме, точно такая же трудность существует при определении закона, которому подчиняются определенные вещи. Имея общее математическое выражение, мы можем безошибочно установить его значение для любого требуемого значения переменной. Но я не знаю, чтобы математики когда-либо пытались установить правила процесса, с помощью которого, имея определенные числа, можно было бы обнаружить рациональную или точную формулу, из которой они происходят. Читатель может проверить свою способность обнаруживать закон путем созерцания его результатов, если он, не будучи математиком, попытается указать закон, которому подчиняются следующие числа:

1/6, 1/30, 1/42, 1/30, 5/66, 691/2730, 7/6, 3617/510, 43867/798, etc.

Эти числа иногда выражаются малыми членами, но неожиданно возрастают до больших; по абсолютной величине они очень изменчивы. Они, кажется, бросают вызов всякой регулярности и методу, и вряд ли можно предположить, что кто-то мог бы, созерцая эти числа, обнаружить отношения между ними. Тем не менее они выведены из самых регулярных и симметричных законов отношения и имеют высочайшее значение в математическом анализе, будучи известными как числа Бернулли.

Сравните снова трудность дешифровки с шифрованием. Любой может изобрести секретный язык и с небольшим упорным трудом перевести самое длинное письмо в этот шифр. Но расшифровать письмо, не имея ключа к принятым знакам, — это совсем другое дело. Поскольку возможные способы секретного письма бесконечны по количеству и чрезвычайно разнообразны по виду, прямого способа обнаружения не существует вовсе. Повторные пробы, направляемые в большей или меньшей степени знанием обычной формы шифра и опирающиеся исключительно на принципы вероятности и логической индукции, — единственный ресурс. Для этого процесса требуется особый такт или навык, и несколько человек, таких как Валлис или Уитстон, достигли больших успехов.

Индукция — это дешифровка скрытого смысла природных явлений. Имея события, которые происходят в определенных четких комбинациях, мы должны указать законы, которые управляют этими комбинациями. Предположив любые законы, мы можем с легкостью и уверенностью решить, подчиняются ли явления этим законам. Но законы, которые могут существовать, бесконечно разнообразны, так что шансы против простого случайного угадывания огромны. Трудность значительно возрастает из-за того, что несколько законов обычно действуют одновременно, эффекты которых переплетаются. Единственные способы открытия состоят либо в исчерпывающем переборе большого количества предполагаемых законов — процесс, который является исчерпывающим во многих смыслах, — либо в тщательном созерцании эффектов, попытке вспомнить случаи, в которых подобные эффекты следовали из известных законов. Каким бы образом мы ни совершили открытие, это должно быть сделано путем более или менее сознательного применения прямого процесса дедукции.

Логический алфавит иллюстрирует индукцию так же, как и дедукцию. Рассматривая непрямой процесс вывода, мы обнаружили, что из определенных суждений мы можем безошибочно определить комбинации терминов, согласующиеся с этими посылками. Индуктивная проблема — это как раз обратное. Имея данные комбинации терминов, нам нужно установить суждения, с которыми эти комбинации согласуются и из которых они могли произойти. Теперь, если читатель посмотрит на следующие комбинации,

ABC abC

aBC abc,

он, вероятно, сразу вспомнит, что они относятся к посылкам A = AB, B = BC (стр. 92). Если нет, ему потребуется несколько попыток, прежде чем он найдет правильный ответ, и каждая попытка будет состоять в допущении определенных законов и наблюдении за тем, согласуются ли выведенные результаты с данными. Чтобы проверить легкость, с которой он может решить эту индуктивную задачу, пусть он случайно вычеркнет любую из комбинаций четвертого столбца Логического алфавита (стр. 94) и скажет, каким законам подчиняются оставшиеся комбинации, заметив, что каждый из буквенных терминов и их отрицаний должен присутствовать, чтобы избежать внутреннего противоречия в посылках (стр. 74, 111). Пусть он скажет, например, какие законы воплощены в комбинациях

ABC aBC

Abc abC.

Трудность становится намного больше, когда в комбинации входит больше терминов. Потребовалось бы некоторое исследование, чтобы установить полные условия, выполненные в комбинациях

ACe abCe

aBCe abcE.

aBcdE

Читатель может довольно легко обнаружить, что основные законы — это C = e и A = Ae; но он вряд ли без труда обнаружит оставшийся закон, а именно, что BD = BDe.

Трудности, с которыми сталкиваются при индуктивных исследованиях природы, точно такого же рода. Мы редко наблюдаем какой-либо закон в непрерывном и нескрытом действии. Острота ума Аристотеля и древних греков не позволила им обнаружить, что все земные тела стремятся падать к центру Земли. Несколько ночей наблюдений могли бы убедить астронома, наблюдающего за солнечной системой из ее центра, что планеты вращаются вокруг Солнца; но тот факт, что наше место наблюдения — одна из движущихся планет, настолько усложняет видимые движения других тел, что потребовалась вся проницательность Коперника, чтобы доказать реальную простоту планетной системы. Так происходит во всей природе; законы могут быть простыми, но их совокупные эффекты не просты, и у нас нет ключа, который вел бы нас через их хитросплетения. «Слава Божия — облекать тайное, а слава царей — исследовать дело», — сказал Соломон. Законы природы — это бесценные секреты, которые скрыл Бог, и царская прерогатива философа — исследовать их с помощью усердия и проницательности.

Индуктивные задачи для решения читателем.

В первом издании (том II, стр. 370) я привел логическую задачу, включающую шесть терминов, и попросил читателей обнаружить законы, управляющие данными комбинациями. Я получил удовлетворительные ответы от читателей как из Соединенных Штатов, так и из Англии. Я сформировал комбинации дедуктивно из четырех законов коррекции, но мои корреспонденты обнаружили, что три более простых закона, эквивалентных четырем более сложным, были лучшим ответом; эти законы таковы: a = ac, b = cd, d = Ef.

На случай, если другие читатели захотят проверить свое мастерство в индуктивной или обратной задаче, я привожу ниже несколько серий комбинаций, образующих задачи возрастающей сложности.

Problem I.

A B c

A b C

a B C

Problem II.

A B C

A b C

a B C

a B c

Problem III.

A B C

A b C

a B C

a B c

a b c

Problem IV.

A B C D

A b c D

a B c f

a b C f

Problem V.

A B C D

A B C f

A B c f

A b C D

A b c D

a B C D

a B c D

a B c f

a b C f

Problem VI.

A B C D E

A B C f e

A B c D E

A B c f e

A b C D E

a B C D E

a B C f e

a b C D E

a b c f e

Problem VII.

A b c D e

a B C f E

a b C f E

Problem VIII.

A B C D E

A B C D e

A B C f e

A B c f e

A b C D E

A b c f E

A b c f e

a B C D e

a B C f e

a B c D e

a b C D e

a b C f E

a b c D e

a b c f E

Problem IX.

A B c D E F

A B c D e F

A b C D e f

A b c D E f

A b c D e f

A b c f E F

A b c f e F

a B c D E F

a B c D e F

a B c f E F

a b C D E F

a b C D e F

a b C D e f

a b c D e f

a b c D E f

a b c f e F

Problem X.

A B C D e F

A B c D E f

A b C D E F

A b C D e F

A b c D e F

a B C D E f

a B c D E f

a b C D e F

a b C f e F

a b c D e f

a b c d e f

Индукция простых тождеств.

Многие важные законы природы выразимы в форме простых тождеств, и я могу сразу привести их в качестве примеров, чтобы проиллюстрировать то, что я сказал о трудности обратного процесса индукции. Два явления сопряжены. Так, всякая гравитирующая материя в точности совпадает со всей материей, обладающей инерцией; где появляется одно свойство, там же появляется и другое. Все кристаллы кубической системы — это все кристаллы, которые не обладают двойным лучепреломлением света. Все двудольные растения — это, за некоторыми исключениями, те, которые имеют две семядоли или семядольные листочки.

Небольшое размышление покажет, что не существует прямого и безошибочного процесса, с помощью которого можно было бы обнаружить такие полные совпадения. Природные объекты — это агрегаты многих качеств, и любое из этих качеств может оказаться в тесной связи с некоторыми другими. Если каждый из многочисленной группы объектов наделен сотней различных физических или химических качеств, то будет не менее 1/2 (100 × 99), или 4950 пар качеств, которые могут быть связаны, и, очевидно, будет делом большой сложности и труда точно установить, какие качества связаны каким-либо простым законом.

Один из главных источников трудности заключается в том, что ограниченных способностей человеческого разума недостаточно, чтобы сравнить одним актом любую большую группу объектов с другой большой группой. Мы не можем удерживать в сознании в любой момент времени более пяти или шести различных идей. Следовательно, мы должны обрабатывать любую более сложную группу последовательными актами внимания. Читатель заметит почти индивидуальным актом сравнения, что слова Roma и Mora содержат одни и те же буквы. Возможно, он с первого взгляда увидит, верно ли это для Causal и Casual, а также для Logica и Caligo. Чтобы убедиться, что буквы в Astronomers составляют No more stars, что Serpens in akuleo — это анаграмма Joannes Keplerus, или Great gun do us a sum — анаграмма Augustus de Morgan, безусловно, необходимо разбить акт сравнения на несколько последовательных актов. Процесс приобретет двойной характер и будет состоять в установлении того, что каждая буква первой группы находится среди букв второй группы, и наоборот, что каждая буква второй находится среди букв первой группы. Точно так же мы можем доказать, что два длинных списка имен идентичны, только показав, что каждое имя в одном списке встречается в другом, и наоборот.

Этот процесс сравнения на самом деле состоит в установлении двух частичных тождеств, которые, как уже было показано (стр. 58), эквивалентны в совокупности одному простому тождеству. Мы сначала устанавливаем истинность двух суждений A = AB, B = AB, а затем переходим путем подстановки к единому закону A = B.

Существует, правда, другой процесс, с помощью которого мы можем прийти к точно такому же результату; ибо два суждения A = AB, a = ab также эквивалентны простому тождеству A = B. Если мы можем показать, что все объекты, включенные в A, включены в B, а также что все объекты, не включенные в A, не включены в B, то наша цель достигнута. Этим процессом мы обычно сравнивали бы два списка, если бы нам было позволено их отмечать. Для каждого имени в первом списке мы вычеркивали бы одно во втором, и если, когда первый список исчерпан, второй список также исчерпан, то следует, что все имена, отсутствующие в первом, должны отсутствовать и во втором, и совпадение должно быть полным.

Эти два способа доказательства тождества настолько тесно связаны, что сомнительно, насколько мы можем обнаружить какую-либо разницу в их силе и случаях применения. Первый метод, возможно, более удобен, когда явления, подлежащие сравнению, редки. Так, мы доказываем, что все музыкальные консонансы совпадают со всеми более простыми числовыми отношениями, показывая, что каждый консонанс возникает из простого отношения колебаний, а затем показывая, что каждое простое отношение порождает один из консонансов. Исследовать все возможные случаи диссонанса или сложного отношения колебаний было бы невозможно. Счастливым индуктивным ходом сэр Джон Гершель обнаружил, что все кристаллы кварца, которые заставляют плоскость поляризации света вращаться, — это именно те кристаллы, которые имеют плагиэдрические грани, то есть косые грани на углах призмы, несимметричные по отношению к обычным граням. Это необычное отношение было бы доказано наблюдением того, что все плагиэдрические кристаллы обладают силой вращения, и наоборот, все кристаллы, обладающие этой силой, были плагиэдрическими. Но в то же время можно было бы заметить, что все обычные кристаллы были лишены этой силы. Нет причин, по которым мы не могли бы обнаружить любое из четырех суждений A = AB, B = AB, a = ab, b = ab, каждое из которых вытекает из A = B (стр. 115).

Иногда терминами тождества могут быть единичные объекты; так, мы наблюдаем, что алмаз — это горючий драгоценный камень, и, будучи не в состоянии обнаружить никакой другой, мы утверждаем —

Diamond = combustible gem.

Подобным образом мы устанавливаем, что

Mercury = metal liquid at ordinary temperatures,

Substance of least density = substance of least atomic weight.

Два или три объекта могут иногда входить в индукцию, как когда мы узнаем, что

Sodium ꖌ potassium = metal of less density than water,

Venus ꖌ Mercury ꖌ Mars = major planet devoid of satellites.

Индукция частичных тождеств.

Мы обнаружили в последнем разделе, что полное тождество двух классов почти всегда обнаруживается не путем прямого наблюдения факта, а путем предварительного установления двух частичных тождеств. Существует также множество случаев, когда частичное тождество одного класса с другим является единственным отношением, которое нужно обнаружить. Так, наиболее распространенный из всех индуктивных выводов состоит в установлении факта, что все объекты, обладающие свойствами A, обладают также свойствами B, или что A = AB. Чтобы установить истинность суждения такого рода, необходимо лишь собрать вместе, мысленно или физически, все объекты, включенные в A, а затем наблюдать, присутствует ли B в каждом из них, или, что то же самое, было бы невозможно выбрать среди них какой-либо не-B. Так, если мы мысленно соберем вместе все небесные тела, которые движутся с видимой быстротой, то есть планеты, мы обнаружим, что все они обладают свойством не мерцать. Мы не можем проанализировать ни одно растительное вещество, не обнаружив, что оно содержит углерод и водород, но неверно, что все вещества, содержащие углерод и водород, являются растительными веществами.

Огромная масса научных истин состоит из суждений этой формы A = AB. Так, в астрономии мы узнаем, что все планеты — сфероидальные тела; что все они вращаются в одном направлении вокруг Солнца; что все они светят отраженным светом; что все они подчиняются закону тяготения. Но, конечно, нельзя утверждать, что все тела, подчиняющиеся закону тяготения, или светящиеся отраженным светом, или вращающиеся в определенном направлении, или являющиеся сфероидальными по форме, — это планеты. В других науках у нас есть огромное количество суждений той же формы, как, например, все вещества при переходе в газообразное состояние поглощают тепло; все металлы — элементы; все они хорошие проводники тепла и электричества; все щелочные металлы — монады; все фораминиферы — морские организмы; все паразитические животные — не млекопитающие; молния никогда не исходит из слоистых облаков; пемза никогда не встречается там, где присутствует только лабрадоровый полевой шпат; доярки не страдают от оспы; и в работах Дарвина научное значение может придаваться даже такому, казалось бы, пустяковому наблюдению, как то, что «белые коты с голубыми глазами глухи».

Процесс вывода, с помощью которого получаются все такие истины, может быть легко представлен в точной символической форме. У нас должна быть одна посылка, определяющая в дизъюнктивной форме всех возможных индивидов, принадлежащих к классу; мы, короче говоря, разлагаем класс на его составляющие. Затем нам нужно несколько суждений, каждое из которых утверждает, что один из индивидов обладает определенным свойством. Таким образом, посылки должны быть форм

A = B ꖌ C ꖌ D ꖌ ...... ꖌ P ꖌ Q

B = BX

C = CX

... ...

... ...

Q = QX.

Теперь, если мы подставим вместо каждой альтернативы первой посылки ее описание, найденное среди последующих посылок, мы получим

A = BX ꖌ CX ꖌ ...... ꖌ PX ꖌ QX

или

A = (B ꖌ C ꖌ ...... ꖌ Q)X

Но вместо совокупности альтернатив мы теперь можем подставить их эквивалент, как дано в первой посылке, а именно A, так что мы получаем требуемый результат:

A = AX.

Мы пришли бы к тому же результату, если бы первая посылка была формы

A = AB ꖌ AC ꖌ ...... ꖌ AQ.

Мы всегда можем доказать суждение, если найдем это более удобным, доказав его эквивалент. Утверждать, что все не-B суть не-A, — это в точности то же самое, что утверждать, что все A суть B. Соответственно, мы можем установить, что A = AB, сначала установив, что b = ab. Если мы заметим, например, что все вещества, которые не являются твердыми, также не способны к двойному лучепреломлению, то из этого необходимо следует, что все вещества, обладающие двойным лучепреломлением, являются твердыми. Мы можем убедиться, что все электрические вещества являются непроводниками электричества, размышляя о том, что все хорошие проводники не удерживают и, по сути, не могут удерживать электрическое возбуждение. Когда мы перейдем к вопросам вероятности, окажется желательным доказать, насколько это возможно, как исходное суждение, так и его эквивалент, поскольку тогда увеличивается область наблюдения.

Количество альтернатив, которые могут возникнуть при делении класса, сильно варьируется и может быть любым числом от двух и выше. Так, вероятно, что каждое вещество является либо магнитным, либо диамагнитным, и ни одно вещество не может быть тем и другим одновременно. Тогда деление должно быть сделано в форме

A = ABc ꖌ AbC.

Если теперь мы сможем доказать, что все магнитные вещества способны к полярности, скажем B = BD, а также что все диамагнитные вещества способны к полярности, C = CD, то путем подстановки следует, что все вещества способны к полярности, или A = AD. Мы обычно делим класс веществ на три подкласса: твердые, жидкие и газообразные; и если мы можем показать, что в каждой из этих форм оно подчиняется термодинамическому закону Карно, то следует, что все вещества подчиняются этому закону. Подобным образом мы можем показать, что все позвоночные животные обладают красной кровью, если сможем отдельно показать, что рыбы, рептилии, птицы, сумчатые и млекопитающие обладают красной кровью, поскольку, насколько известно, существует только пять основных подклассов позвоночных.

Наши индукции часто будут затруднены исключениями, реальными или кажущимися. Мы могли бы утверждать, что все драгоценные камни негорючи, если бы алмазы, несомненно, не были горючими. Ничто не кажется более очевидным, чем то, что все металлы непрозрачны, пока мы не исследуем их в тонких пленках, когда обнаруживается, что золото и серебро прозрачны. Все растения поглощают углекислый газ, за исключением некоторых грибов; все тела планетной системы имеют прогрессивное движение с запада на восток, за исключением спутников Урана и Нептуна. Даже некоторые из самых глубоких законов материи не совсем универсальны; все твердые тела расширяются при нагревании, за исключением каучука и, возможно, нескольких других веществ; все жидкости, которые были протестированы, расширяются при нагревании, за исключением воды ниже 4° C и плавленного висмута; все газы имеют коэффициент расширения, увеличивающийся с температурой, за исключением водорода. В более поздней главе я рассмотрю, как такие аномальные случаи могут быть рассмотрены и классифицированы; здесь нам нужно только выразить их последовательным образом с помощью нашей нотации.

Возьмем случай прозрачности металлов и назначим термины следующим образом:—

A = metal D = iron

B = gold E, F, &c. = copper, lead, &c.

C = silver X = opaque.

Нашими посылками будут

A = B ꖌ C ꖌ D ꖌ E, &c.

B = Bx

C = Cx

D = DX

E = EX,

и так далее для остальных металлов. Теперь, очевидно,

Abc = (D ꖌ E ꖌ F ꖌ ......)bc,

и путем подстановки, как и прежде, мы получим

Abc = AbcX,

или словами: «Все металлы, не являющиеся золотом или серебром, непрозрачны»; в то же время у нас есть

A(B ꖌ C) = AB ꖌ AC = ABx ꖌ ACx = A(B ꖌ C)x,

или «Металлы, которые являются либо золотом, либо серебром, не являются непрозрачными».

В некоторых случаях проблема индукции приобретает гораздо более высокую степень сложности. Если мы исследуем свойства кристаллизованных веществ, мы можем найти некоторые свойства, которые являются общими для всех, такие как спайность или излом по определенным плоскостям; но вскоре станет необходимым разбить класс на несколько более мелких. Мы должны были бы разделить кристаллы согласно семи принятым системам — и тогда мы обнаружили бы, что кристаллы каждой системы обладают многими общими свойствами. Так, кристаллы регулярной или кубической системы расширяются при нагревании одинаково, проводят тепло и электричество с равномерной скоростью и обладают одинаковой упругостью во всех направлениях; они имеют только один показатель преломления для света; и каждая грань повторяется в одинаковом отношении к каждой из трех осей. Кристаллы системы, имеющей одну главную ось, будут обладать различными физическими свойствами проводимости, преломления, упругости и т. д. равномерно в направлениях, перпендикулярных главной оси; в других направлениях их свойства варьируются согласно сложным законам. Остальные системы, в которых кристаллы обладают тремя неравными осями или имеют наклонные оси, демонстрируют еще более сложные результаты, причем воздействие кристалла на свет, тепло, электричество и т. д. варьируется во всех направлениях. Но когда мы преследуем индукцию в хитросплетениях ее применения к природе, мы действительно вступаем в область классификации, которую мы должны будем рассмотреть снова в более поздней части этой работы.

Решение обратной или индуктивной задачи, включающей два класса.

Теперь ясно, что индукция состоит в переходе назад от ряда комбинаций к законам, которыми такие комбинации управляются. Естественный закон, что все металлы являются проводниками электричества, на самом деле означает, что в природе мы находим три класса объектов, а именно—

1. Metals, conductors;

2. Not-metals, conductors;

3. Not-metals, not-conductors.

К тому же самому сводится, если мы скажем, что это исключает существование класса «металлы — непроводники». Таким же образом любой другой закон или группа законов на самом деле будет означать исключение из существования определенных комбинаций вещей, обстоятельств или явлений, управляемых этими законами. Теперь в логике, строго говоря, мы рассматриваем не явления, не законы, а общие формы законов; и небольшое размышление покажет, что для конечного числа вещей возможное число форм или видов закона, управляющих ими, также должно быть конечным. Используя общие термины, мы знаем, что A и B могут присутствовать или отсутствовать четырьмя способами и не более — таким образом:

AB, Ab, aB, ab;

следовательно, каждый возможный закон, который может существовать относительно отношения A и B, должен быть отмечен исключением одной или нескольких из вышеуказанных комбинаций. Число возможных законов тогда не может превышать число выборок, которые мы можем сделать из этих четырех комбинаций. Поскольку каждая комбинация может присутствовать или отсутствовать, число случаев, которые необходимо рассмотреть, составляет 2 × 2 × 2 × 2, или шестнадцать; и все эти случаи показаны в следующей таблице, в которой знак 0 указывает на отсутствие или несуществование комбинации, показанной в левом столбце в той же строке, а знак 1 — на ее присутствие:—

1 2 3 4 5 6 7

* 8

* 9 10

* 11 12

* 13 14

* 15

* 16

*

AB 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

Ab 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

aB 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

ab 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Таким образом, в шестнадцатом столбце мы находим, что присутствуют все мыслимые комбинации, что означает, что в таком случае не существует никаких особых законов и что комбинации управляются только универсальными законами тождества и различия. Пример металлов и проводников электричества был бы представлен двенадцатым столбцом; и каждый другой способ, которым два предмета или качества могут проявиться, показан в том или ином столбце. Более половины случаев, действительно, могут быть сразу отброшены, потому что они включают полное отсутствие термина или его отрицания. Было показано, что логический принцип гласит, что каждый термин должен иметь свое отрицание (стр. 111), и когда это не так, должно существовать противоречие между условиями комбинации. Так, если бы мы сформулировали два следующих суждения: «Графит проводит электричество» и «Графит не проводит электричество», это означало бы утверждение невозможности существования графита вообще; или, говоря общими словами, A есть B и A не есть B приводят к полному разрушению комбинаций, содержащих A, случай, показанный в четвертом столбце вышеприведенной таблицы. Поэтому мы ограничиваем наше внимание теми случаями, которые могут быть представлены в природных явлениях, когда присутствуют по крайней мере две комбинации и которые соответствуют тем столбцам таблицы, в которых появляется каждый из A, a, B, b. Эти случаи показаны в столбцах, отмеченных звездочкой.

Мы находим, что для исследования остаются семь случаев, характеризующихся следующим образом—

Four cases exhibiting three combinations,

Two cases exhibiting two combinations,

One case exhibiting four combinations.

Уже было указано, что суждение формы A = AB разрушает одну комбинацию, Ab, так что это форма закона, применяемая к двенадцатому столбцу. Но путем изменения одного или нескольких терминов в A = AB на его отрицание, или путем перестановки A и B, a и b, мы получаем не менее восьми различных разновидностей одной формы; таким образом—

12th case. 8th case. 15th case. 14th case.

A =

AB A =

Ab a =

aB a =

ab

b =

ab B =

aB b =

Ab B =

AB

Читатель предыдущих разделов увидит, что каждое суждение в нижней строке логически эквивалентно и, по сути, является контрапозитивом того, что над ним (стр. 83). Так, суждения A = Ab и B = aB оба дают одни и те же комбинации, показанные в восьмом столбце таблицы, и проба показывает, что двенадцатый, восьмой, пятнадцатый и четырнадцатый столбцы таким образом объяснены. Мы приходим к такому заключению — Общая форма суждения A = AB допускает четыре логически различных разновидности, каждая из которых способна к выражению в двух режимах.

В двух столбцах таблицы, а именно седьмом и десятом, мы наблюдаем, что отсутствуют две комбинации. Теперь простое тождество A = B делает невозможными как Ab, так и aB, объясняя десятый случай; и если мы изменим B на b, тождество A = b объясняет седьмый случай. Могут, конечно, существовать две другие разновидности простого тождества, а именно a = b и a = B; но уже неоднократно было показано, что они эквивалентны соответственно A = B и A = b (стр. 115). Поскольку шестнадцатый столбец уже был объяснен как не управляемый никакими особыми условиями, мы приходим к следующему общему выводу: — Законы, управляющие комбинациями двух терминов, должны быть способны к выражению либо в частичном тождестве, либо в простом тождестве; частичное тождество способно только к четырем логически различным разновидностям, а простое тождество — к двум. Каждое логическое отношение между двумя терминами должно быть выражено в одной из этих шести форм закона или должно быть логически эквивалентно одной из них.

Короче говоря, мы можем заключить, что, рассматривая частичное и полное тождество, мы исчерпывающе рассмотрели способы, которыми могут быть связаны два термина или класса объектов. О любых двух классах можно сказать, что один должен либо быть включен в другой, либо быть идентичен ему, либо подобное отношение должно существовать между одним классом и отрицанием другого. Таким образом, мы полностью решили обратную логическую задачу, касающуюся двух терминов.

Обратная логическая задача, включающая три класса.

Как только мы вводим в задачу третий термин C, исследование приобретает гораздо более сложный характер, так что некоторые читатели могут предпочесть пропустить этот раздел. Три термина и их отрицания могут быть объединены, как мы часто видели, в восемь различных комбинаций, и эффект законов или логических условий заключается в разрушении любой одной или нескольких из этих комбинаций. Теперь мы можем сделать выборки из восьми вещей 2^8 или 256 способами; так что у нас есть не менее 256 различных случаев для рассмотрения, и полное решение по крайней мере в пятьдесят раз более хлопотно, чем с двумя терминами. Многие серии комбинаций, действительно, противоречивы, как и в более простой задаче, и могут быть пропущены, причем тестом на непротиворечивость является то, что каждая из букв A, B, C, a, b, c должна где-то появиться в серии комбинаций.

Мой способ решения задачи был следующим: — Выписав все 256 серий комбинаций, я исследовал их отдельно и вычеркнул те, которые не удовлетворяли тесту на непротиворечивость. Затем я выбрал некоторую форму суждения, включающую два или три термина, и варьировал ее всеми возможными способами, как путем круговой перестановки букв (A, B, C в B, C, A, а затем в C, A, B), так и путем подстановки вместо любого одного или нескольких терминов соответствующих отрицательных терминов. Например, суждение AB = ABC может быть сначала варьировано путем круговой перестановки, чтобы дать BC = BCA, а затем CA = CAB. Каждое из этих трех может быть затем приведено к восьми разновидностям путем отрицательного изменения. Так, AB = ABC дает aB = aBC, Ab = AbC, AB = ABc, ab = abC и так далее. Таким образом, может существовать не менее двадцати четырех разновидностей закона, имеющего общую форму AB = ABC, означающего, что все, что обладает свойствами A и B, обладает также свойствами C. Из этого отнюдь не следует, что некоторые из разновидностей не могут быть эквивалентны другим; и проба показывает, на самом деле, что AB = ABC по смыслу в точности то же самое, что Ac = Abc или Bc = Bca. Таким образом, рассматриваемый закон имеет лишь восемь разновидностей различного логического смысла. Теперь я устанавливаю путем фактического дедуктивного рассуждения, какие из 256 серий комбинаций возникают из каждого из этих различных законов, и отмечаю их, как только нахожу. Затем я перехожу к другой форме закона, например A = ABC, означающей, что все, что обладает качествами A, обладает также качествами B и C. Я обнаруживаю, что она допускает двадцать четыре вариации, все из которых оказываются логически различными; комбинации проработаны, и я могу отметить еще двадцать четыре из списка 256 серий. Я продолжаю таким образом прорабатывать результаты каждой формы закона, которую могу найти или изобрести. Если в ходе этой работы я получаю какую-либо серию комбинаций, которая была отмечена ранее, я сразу узнаю, что закон, дающий эти комбинации, логически эквивалентен некоторому закону, рассмотренному ранее. Можно с уверенностью предположить, что каждая разновидность внешне нового закона будет совпадать по смыслу с некоторой разновидностью прежнего выражения того же закона. Я достаточно проверил это предположение в некоторых случаях и никогда не обнаруживал, чтобы оно приводило к ошибке. Так, поскольку AB = ABC эквивалентно Ac = Abc, так мы находим, что ab = abC эквивалентно ac = acB.

Среди рассмотренных законов были два: A = AB и A = B, которые включают только два термина, потому что, конечно, может случиться так, что среди трех вещей только две находятся в особом логическом отношении, а третья независима; и серии комбинаций, представляющие такие случаи отношения, обязательно встретятся в полном перечислении. Все одиночные суждения, которые я мог изобрести, были рассмотрены, затем были исследованы пары суждений. Так, у нас есть отношения: «Все A суть B, и все B суть C», развитием которых является старый логический силлогизм. У нас также могут быть «все A суть все B, и все B суть C» или даже «все A суть все B, и все B суть все C». Все такие посылки допускают вариации, большие или меньшие по количеству, логическая различимость которых может быть определена только путем детальной пробы. Дизъюнктивные суждения, как по отдельности, так и в парах, также были рассмотрены, но часто оказывались эквивалентными другим суждениям более простой формы; так, A = ABC ꖌ Abc по смыслу в точности то же самое, что AB = AC.

Этот способ исчерпывающей пробы имеет некоторую аналогию с тем древним математическим процессом, который называется решетом Эратосфена. Взяв длинный ряд натуральных чисел, Эратосфен, как говорят, последовательно вычислил все кратные каждого числа и отметил их, так что в конце концов остались только простые числа, и множители каждого числа были исчерпывающе обнаружены. Моя задача из 256 серий комбинаций — это логический аналог, главные пункты различия заключаются в том, что существует предел количеству случаев и что простые числа не имеют аналога в логике, поскольку каждая серия комбинаций соответствует закону или группе условий. Но аналогия совершенна в том пункте, что оба они являются обратными процессами. Нет способа установить, что число является простым, кроме как показав, что оно не является произведением каких-либо назначаемых множителей. Так и нет способа установить, какие законы воплощены в какой-либо серии комбинаций, кроме как исчерпывающе пробуя законы, которые дали бы их. Точно так же, как результаты метода Эратосфена были в значительной степени проработаны и зарегистрированы в таблицах для удобства других математиков, я стремился проработать обратную логическую задачу до предела, который в настоящее время практически осуществим или полезен.

Таким образом, я обнаружил, что существует в общей сложности пятнадцать условий или рядов условий, которые могут определять комбинации трех терминов, образующих посылки пятнадцати существенно различных видов аргументов. Следующая таблица содержит изложение этих условий, а также количество комбинаций, которые противоречат каждому из них или исключаются им, и количество логически различных вариаций, которыми может обладать данный закон. В качестве шестнадцатого случая можно было бы добавить такой, при котором не существует никакого особого логического условия, так что сохраняются все восемь комбинаций.

Reference Number. Propositions expressing the general type of the logical conditions. Number of distinct logical variations. Number of combinations contradicted by each.

I. A = B 6 4

II. A = AB 12

2

III. A = B, B = C 4

6

IV. A = B, B = BC 24

5

V. A = AB, B = BC 24

4

VI. A = BC 24

4

VII. A = ABC 24

3

VIII. AB = ABC 8

1

IX. A = AB, aB = aBc 24

3

X. A = ABC, ab = abC 8

4

XI. AB = ABC, ab = abc 4

2

XII. AB = AC 12

2

XIII. A = BC ꖌ Abc 8

3

XIV. A = BC ꖌ bc 2

4

XV. A = ABC, a = Bc ꖌ bC 8 5

Существует шестьдесят три ряда комбинаций, производных от самопротиворечивых посылок, которые вместе со 192 — суммой количеств различных логических вариаций, указанных в третьем столбце таблицы, — и с тем одним случаем, когда вообще нет никаких условий или законов, составляют все мыслимое число из 256 рядов.

Из этой таблицы мы узнаем, например, что два суждения вида A = AB, B = BC, которые составляют посылки старого силлогизма Barbara, исключают как невозможные четыре из восьми комбинаций, в которых могут быть объединены три термина, и что эти суждения способны принимать двадцать четыре вариации путем перестановки терминов или введения отрицаний. Таким образом, эта таблица представляет результаты полного анализа всех возможных логических отношений, возникающих в случае трех терминов, и старый силлогизм образует лишь одну из пятнадцати типических форм. Вообще говоря, каждая форма может быть преобразована в по-видимому различные суждения; так, четвертый тип A = B, B = BC может предстать в форме A = ABC, a = ab или, опять же, в форме трех суждений A = AB, B = BC, aB = aBc; но все эти наборы посылок дают тождественно одинаковые ряды комбинаций и, следовательно, имеют эквивалентное логическое значение. Пятый тип, или Barbara, также может быть приведен к эквивалентным формам A = ABC, aB = aBC и A = AC, B = A ꖌ aBC. В других случаях я получил одни и те же логические условия в четырех способах изложения. Что касается простого внешнего вида и формы изложения, то число возможных посылок было бы очень велико, и его трудно представить исчерпывающим образом.

Наиболее примечательным из всех типов логического условия является четырнадцатый, а именно A = BC ꖌ bc. Он выражает деление рода на два дважды отмеченных вида и может быть проиллюстрирован примером: «Компонент физической вселенной = материя, гравитирующая, или не-материя (эфир), не-гравитирующая». Он допускает лишь две различные логические вариации, а именно A = BC ꖌ bc и A = Bc ꖌ bC. Путем перестановки или изменения знака отрицания у букв мы действительно можем получить шесть различных выражений каждого из этих суждений; но при анализе их значений путем вычисления комбинаций обнаруживается, что они логически эквивалентны одному или другому из вышеуказанных двух. Таким образом, суждение A = BC ꖌ bc может быть записано в любом из следующих пяти других видов,

a = bC ꖌ Bc, B = CA ꖌ ca, b = cA ꖌ Ca,

C = AB ꖌ ab, c = aB ꖌ Ab.

Я не считаю нужным публиковать в настоящее время полную таблицу из 193 рядов комбинаций и соответствующих им посылок. Такая таблица позволяет нам путем простого осмотра узнать законы, которым подчиняется любой набор комбинаций трех вещей, и она является для логики тем же, чем таблица множителей и простых чисел для теории чисел или таблица интегралов для высшей математики. Уже приведенная таблица (стр. 140) позволила бы человеку с небольшим трудом обнаружить закон любых комбинаций. Если имеется семь комбинаций (одна противоречива), закон должен быть восьмого типа, и надлежащая разновидность станет очевидной. Если имеется шесть комбинаций (две противоречивы), применяется либо второй, либо одиннадцатый, либо двенадцатый тип, и определенное количество проб выявит надлежащий тип и разновидность. Если имеется всего две комбинации, закон должен быть третьего типа, и так далее.

Вышеприведенные исследования являются полными в отношении возможных логических отношений двух или трех терминов. Но когда мы пытаемся применить тот же метод к отношениям четырех или более терминов, объем работы становится непрактично огромным. Четыре термина дают шестнадцать комбинаций, совместимых с законами мышления, и число возможных выборок комбинаций составляет не менее 2^16, или 65 536. Следующая таблица показывает необычайный способ, которым число возможных логических отношений возрастает с увеличением числа вовлеченных терминов.

Number of terms. Number of possible combinations. Number of possible selections of combinations corresponding to consistent or inconsistent logical relations.

2

4

16

3

8

256

4

16

65,536

5

32

4,294,967,296

6

64

18,446,744,073,709,551,616

Потребовались бы годы непрерывного труда, чтобы установить типы законов, которые могут управлять комбинациями всего лишь четырех вещей, и лишь малая часть таких законов была бы проиллюстрирована или способна к практическому применению в науке. Чисто логическая обратная задача, посредством которой мы переходим от комбинаций к их законам, решена на предыдущих страницах настолько, насколько это вероятно на долгое время вперед; и почти невозможно, чтобы она когда-либо была продвинута более чем на один шаг дальше.

В первом издании, том I, стр. 158, я заявил, что не смог обнаружить никакого способа вычисления количества случаев, в которых противоречивость подразумевалась бы при выборе комбинаций из Логического алфавита. Логическая сложность проблемы казалась настолько великой, что обычные способы вычисления количества комбинаций, по моему мнению, не давали никакой помощи, и исчерпывающее рассмотрение комбинаций в деталях казалось единственным применимым методом. Однако это мнение было ошибочным, ибо и г-н Р. Б. Хейворд из Харроу, и г-н У. Г. Брюэр вычислили количество противоречивых случаев как для трех, так и для четырех терминов без особых трудностей. В случае четырех терминов они обнаружили, что существует 1761 противоречивая выборка и 63 774 непротиворечивых, что вместе с одним случаем, где не существует никакого условия, составляет общее число в 65 536 возможных выборок.

Противоречивые случаи распределены способом, показанным в следующей таблице:

Number of Combinations remaining.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10, &c.

Number of Inconsistent Cases.

1

16

112

352

536

448

224

64

8

0

0, &c.

Когда остается неисключенными более восьми комбинаций Логического алфавита (стр. 94, столбец V), противоречия быть не может. Общие количества способов выбора 0, 1, 2 и т. д. комбинаций из 16 приведены в 17-й строке Арифметического треугольника, представленного далее в главе о комбинациях и перестановках, причем сумма чисел в этой строке равна 65 536.

Профессор Клиффорд о типах составных суждений, включающих четыре класса.

В первом издании (том I, стр. 163) я утверждал, что потребовались бы годы труда, чтобы установить даже точное число типов законов, управляющих комбинациями четырех классов вещей. Хотя я по-прежнему считаю, что потребовались бы годы труда, чтобы разработать сами типы, было бы явной ошибкой полагать, что количество таких типов нельзя вычислить с разумным объемом труда, поскольку профессор У. К. Клиффорд фактически выполнил эту задачу. Его решение численной задачи включает использование совершенно новой системы номенклатуры и является слишком сложным, чтобы быть полностью описанным здесь. Я могу лишь дать краткий реферат результатов и отослать читателей, желающих проследить за ходом рассуждений, к «Трудам Литературного и философского общества Манчестера» за 9 января 1877 года, том XVI, стр. 88, где статья профессора Клиффорда напечатана полностью.

Под простым суждением профессор Клиффорд понимает отрицание существования какой-либо отдельной комбинации или перекрестного деления классов, как в ABCD = 0 или AbCd = 0. Отрицание двух или более таких комбинаций называется составным суждением и далее именуется двояким, трояким и т. д. в зависимости от количества отрицаемых комбинаций. Таким образом, ABC = 0 является двояким составным суждением в отношении четырех классов, поскольку оно включает как ABCD = 0, так и ABCd = 0. Когда два составных суждения могут быть преобразованы одно в другое путем перестановки классов A, B, C, D между собой или с их дополнительными классами a, b, c, d, они называются подобными, и все подобные суждения, как говорят, принадлежат к одному и тому же типу.

Два суждения называются дополнительными, когда они вместе отрицают все шестнадцать комбинаций, не отрицая при этом ни одной общей; или, что то же самое, когда каждое из них отрицает именно те комбинации, которые другое допускает к существованию. Очевидно, что когда два суждения подобны, дополнительные суждения также будут подобны, и, следовательно, для каждого типа n-кратного суждения существует дополнительный тип (16-n)-кратного суждения. Отсюда следует, что нам нужно перечислить типы только до восьмого порядка; ибо типы более чем восьмикратных суждений уже будут даны как дополнительные к типам более низких порядков.

Одна комбинация, ABCD, может быть преобразована в другую, AbCd, путем перестановки одного или нескольких классов с дополнительными классами. Количество таких изменений называется расстоянием, которое в вышеуказанном случае равно 2. В двух подобных составных суждениях расстояния отрицаемых комбинаций должны быть одинаковыми; но из этого не следует, что когда все расстояния одинаковы, суждения подобны. Существует, однако, только один пример двух неподобных суждений, имеющих одинаковые расстояния. Когда расстояние равно 4, две комбинации называются обратными друг другу, а суждения, отрицающие их, называются обратными суждениями, как в ABCD = 0 и abcd = 0 или, опять же, AbCd = 0 и aBcD = 0. Когда дана какая-либо одна комбинация, называемая началом, все остальные могут быть сгруппированы в отношении их связей с ней следующим образом: четыре находятся на расстоянии один от нее и могут быть названы ближайшими; шесть находятся на расстоянии два и могут быть названы промежуточными; четыре находятся на расстоянии три и могут быть названы крайними; наконец, обратная находится на расстоянии четыре.

Origin and

four proximates.Six

mediates.Obverse and

four ultimates. abCD | aBCD AbcD | AbCd Abcd | ╲ | ╱ | ABCd—ABCD—AbCD ╳ abcD—abcd—aBcd | ╱ | ╲ | ABcD aBcD | aBCd abCd. | ABcd

Будет видно, что четыре ближайшие комбинации являются соответственно обратными четырем крайним, и что промежуточные образуют три пары обратных. Каждая ближайшая или крайняя комбинация удалена соответственно на 1 и 3 от такой пары промежуточных.

Пользуясь этой системой номенклатуры, профессор Клиффорд приступает к исчерпывающему перечислению типов, в котором невозможно следовать за ним. Результаты следующие:

1-fold statements

1

type

159

2 " " 4

types

3 " " 6

"

4 " " 19

"

5 " " 27

"

6 " " 47

"

7 " " 55

"

8-fold statements 78

"

Теперь, поскольку каждое семикратное или менее чем семикратное суждение является дополнительным к девятикратному или более чем девятикратному суждению, отсюда следует, что полное число типов будет 159 × 2 + 78 = 396.

Таким образом, оказывается, что типов суждений относительно четырех классов всего лишь примерно в 26 раз больше, чем типов относительно трех классов (которых пятнадцать), хотя число возможных комбинаций в 256 раз больше.

Профессор Клиффорд сообщает мне, что знание возможных группировок подразделений классов, которое он получил в ходе этого исследования, было полезно ему в некоторых приложениях гиперэллиптических функций, к которым он впоследствии пришел. Профессор Кэли с тех пор выразил мнение, что эту линию исследования следует продолжать ввиду значения теории составных комбинаций для высшей геометрии. По-видимому, со временем будет обнаружено много неожиданных точек соприкосновения между науками логикой и математикой.