«Принципы науки: Трактат о логике и научном методе»

Различие между полной и неполной индукцией.

Мы не можем с пользой продолжить, не отметив крайнее различие, существующее между случаями полной и неполной индукции. Мы называем индукцию полной, когда были исследованы все объекты или события, которые могут подпадать под рассматриваемый класс. Но в большинстве случаев невозможно собрать вместе или каким-либо образом исследовать свойства всех частей вещества или всех индивидов рода. Количество объектов часто было бы практически бесконечным, и большая их часть могла бы находиться вне нашей досягаемости — в недрах земли или в самых отдаленных частях Вселенной. Во всех таких случаях индукция является неполной и подвержена большей или меньшей неопределенности. Поскольку некоторые авторы впали в большие заблуждения относительно функций и относительной важности этих двух ветвей рассуждения, мне придется указать, что —

1. Полная индукция — это процесс, абсолютно необходимый как при выполнении неполной индукции, так и при обработке больших массивов фактов, о которых наши знания являются полными.

2. Неполная индукция основывается на полной индукции, но включает в себя другой процесс вывода совершенно иного характера.

Несомненно, что если я вообще могу сделать какой-либо вывод относительно неисследованных объектов, это должно быть сделано на основе данных, предоставленных объектами, которые были исследованы. Если я сужу, что далекая звезда подчиняется закону тяготения, это должно быть потому, что все другие материальные объекты, достаточно известные мне, подчиняются этому закону. Если я осмеливаюсь утверждать, что все жвачные животные имеют раздвоенные копыта, это потому, что все жвачные животные, которые попадались мне на глаза, имеют раздвоенные копыта. С другой стороны, я не могу с уверенностью сказать, что все тайнобрачные растения обладают чисто клеточной структурой, потому что некоторые тайнобрачные растения, исследованные ботаниками, имеют частично сосудистую структуру. Вероятность того, что новое тайнобрачное растение будет только клеточным, может быть оценена, если вообще может, на основании сравнительного количества известных тайнобрачных растений, которые являются и которые не являются клеточными. Таким образом, первый шаг в каждой индукции будет состоять в точном суммировании количества случаев определенного явления, которые попали в поле нашего наблюдения. Адамс и Леверье, например, должны были сделать вывод, что неоткрытая планета Нептун будет подчиняться закону Боде, потому что все планеты, известные в то время, подчинялись ему. На каких принципах оправдан переход от известного к якобы неизвестному, должно быть тщательно обсуждено в следующем разделе и в различных частях этой работы.

Однако было бы большой ошибкой полагать, что полная индукция сама по себе бесполезна. Даже когда перечисление объектов, принадлежащих к какому-либо классу, является полным и не допускает никакого вывода к неисследованным объектам, изложение наших знаний в общем суждении является процессом такой важности, что мы можем считать его необходимым. Во многих случаях мы можем сделать наши исследования исчерпывающими; все зубы или кости животного; все клетки в мельчайшем растительном органе; все пещеры на склоне горы; все пласты в геологическом разрезе; все монеты в найденном кладе могут быть изучены настолько полно, что мы можем сделать некоторое общее утверждение относительно них без страха ошибки. Каждая кость может быть доказана как содержащая фосфат извести; каждая клетка — как заключающая в себе ядро; каждая пещера — как скрывающая останки вымерших животных; каждый пласт — как проявляющий признаки морского происхождения; каждая монета — как имеющая римское происхождение. Это случаи, когда наше исследование ограничено определенной частью материи или определенной областью на поверхности земли.

Существует другой класс случаев, где индукция естественно и необходимо ограничена определенным числом альтернатив. О правильных многогранниках мы можем сказать без малейшего сомнения, что ни один из них не имеет более двадцати граней, тридцати ребер и двадцати углов; ибо из принципов геометрии мы узнаем, что не может существовать более пяти правильных многогранников, для каждого из которых мы легко замечаем, что вышеуказанные утверждения истинны. В теории чисел может быть сделано бесконечное разнообразие полных индукций; мы можем показать, что ни одно число меньше шестидесяти не обладает таким количеством делителей, и то же самое верно для 360; ибо не требуется большого труда, чтобы установить и сосчитать все делители чисел до шестидесяти или 360. Я могу утверждать, что между 60 041 и 60 077 не встречается ни одного простого числа, потому что исчерпывающее исследование тех, кто составил таблицы простых чисел, доказывает, что это так.

В делах, установленных людьми, или в истории мы часто можем иметь полное ограничение числа случаев, которые должны быть включены в индукцию. Мы могли бы показать, что суждения третьей книги Евклида трактуют только о кругах; что ни одна часть трудов Галена не упоминает четвертую фигуру силлогизма; что никто из других королей Англии не правил так долго, как Георг III; что Великая хартия вольностей не была отменена никаким последующим статутом; что цена на зерно в Англии никогда не была такой высокой после 1847 года, как она была в том году; что цена английских фондов никогда не была ниже, чем она была 23 января 1798 года, когда она упала до 47 1/4.

Против этого процесса полной индукции выдвигалось возражение, что он не дает никакой новой информации и является лишь суммированием в краткой форме множества частностей. Но простое сокращение умственного труда является одним из самых важных вспомогательных средств, которыми мы можем пользоваться при приобретении знаний. Силы человеческого разума настолько ограничены, что одно лишь множество деталей достаточно, чтобы предотвратить его прогресс во многих направлениях. Мышление было бы практически невозможным, если бы каждый отдельный факт нужно было отдельно обдумывать и обрабатывать. Экономию умственной энергии можно считать одним из главных условий, от которых зависит наше высокое интеллектуальное положение. Математические процессы по большей части являются лишь сокращениями более простых актов сложения и вычитания. Изобретение логарифмов было одним из самых поразительных дополнений, когда-либо сделанных к человеческой силе: однако это было лишь сокращение операций, которые могли быть выполнены и раньше, если бы имелось достаточное количество труда. Подобные дополнения к нашей силе, как можно надеяться, будут делаться время от времени; ибо количество математических задач, решенных до сих пор, является лишь бесконечно малой долей тех, которые ожидают решения, потому что труд, которого они до сих пор требовали, делает их непрактичными. Так обстоит дело во всех областях мысли. Объем наших знаний зависит от нашей способности привести их в практические рамки. Если мы не упорядочиваем и не классифицируем факты и не конденсируем их в общие истины, они вскоре превосходят наши способности памяти и служат лишь для того, чтобы вносить путаницу. Следовательно, полная индукция, даже как процесс сокращения, абсолютно необходима для любого высокого уровня умственных достижений.

Переход от полной к неполной индукции.

Вопрос о том, на каких основаниях мы вправе делать вывод о будущем из настоящего или о природе неоткрытых объектов из тех, которые мы исследовали нашими чувствами, является чрезвычайно трудным. Мы переходим от полной к неполной индукции, как только позволяем нашему заключению применяться, во всяком случае по-видимому, за пределами данных, на которых оно было основано. Делая такой шаг, мы, кажется, получаем чистое приращение к нашим знаниям; ибо мы узнаем природу того, что было неизвестно. Мы пожинаем там, где никогда не сеяли. Мы, по-видимому, обладаем божественной силой создавать знания и достигать нашими ментальными руками далеко за пределы сферы нашего собственного наблюдения. Мне, действительно, придется указать на определенные методы рассуждения, в которых мы выходим совершенно за пределы сферы чувств и приобретаем точные знания, которые наблюдение никогда не могло бы дать; но не неполная индукция совершает такую задачу. О самой неполной индукции я осмеливаюсь утверждать, что она никогда не делает никакого реального приращения к нашим знаниям в значении этого выражения, иногда принимаемом. Как и в других случаях вывода, она лишь раскрывает информацию, содержащуюся в прошлых наблюдениях; она лишь делает явным то, что было неявным в предыдущем опыте. Она трансформирует, но, безусловно, не создает знания.

Нет факта, который я буду более постоянно держать перед умом читателя на следующих страницах, чем тот, что результаты неполной индукции, как бы хорошо они ни были подтверждены и проверены, никогда не являются более чем вероятными. Мы никогда не можем быть уверены, что будущее будет таким же, как настоящее. Мы всегда зависим от воли Творца: и только в той мере, в какой Он создал две вещи похожими или поддерживает структуру мира неизменной от момента к моменту, наши самые тщательные выводы могут быть оправданы. Все предсказания, все выводы, которые выходят за пределы своих данных, являются чисто гипотетическими и исходят из предположения, что новые события будут соответствовать условиям, обнаруженным в нашем наблюдении прошлых событий. Никакой опыт конечной продолжительности не может дать исчерпывающего знания о силах, которые находятся в действии. Таким образом, существует двойная неопределенность; даже предполагая, что Вселенная в целом продолжает оставаться неизменной, мы на самом деле не знаем Вселенную в целом. Мы знаем только точку в ее бесконечном пространстве и момент в ее бесконечной длительности. Мы не можем быть уверены, следовательно, что наши наблюдения не упустили какой-то факт, который заставит будущее быть по-видимому отличным от прошлого; не можем мы быть уверены и в том, что будущее действительно будет результатом прошлого. Мы действуем тогда во всех наших выводах к неисследованным объектам и временам на предположениях —

1. Что наше прошлое наблюдение дает нам полное знание того, что существует.

2. Что условия вещей, которые существовали, будут продолжать оставаться условиями, которые будут существовать.

Нам часто нужно будет иллюстрировать характер нашего знания о природе подобием избирательной урны, так часто используемой математическими авторами в теории вероятностей. Природа для нас подобна бесконечной избирательной урне, содержимое которой постоянно извлекается, шар за шаром, и демонстрируется нам. Наука — это лишь тщательное наблюдение последовательности, в которой появляются шары различного характера; мы регистрируем комбинации, замечаем те, которые, по-видимому, исключены из появления, и из пропорциональной частоты тех, которые появляются, мы делаем вывод о вероятном характере будущих извлечений. Но при таких обстоятельствах достоверность предсказания зависит от двух условий: —

1. Что мы приобретаем совершенное знание сравнительных количеств шаров каждого вида внутри урны.

2. Что содержимое избирательной урны остается неизменным.

Об этом последнем предположении, или, скорее, о том, что касается устройства мира, которое оно иллюстрирует, логик или физик не может ничего сказать. Поскольку Сотворение Вселенной является по необходимости актом, превосходящим всякий опыт и всякое понятие, так и любое изменение в этой Вселенной, или, может быть, ее прекращение, должно точно так же быть бесконечно за пределами границ наших умственных способностей. Никакая наука, никакое рассуждение на эту тему не могут иметь никакой силы; ибо без опыта мы лишены основы и материалов знания. Соответственно, фундаментальным постулатом всякого вывода относительно будущего является то, что не должно быть никакого произвольного изменения в предмете вывода; о вероятности или невероятности такого изменения, я полагаю, наши способности не могут дать никакой оценки.

Другое условие индуктивного вывода — что мы приобретаем приблизительно полное знание комбинаций, в которых действительно происходят события, — в некоторой степени находится в нашей власти. Существуют отрасли науки, в которых явления, по-видимому, управляются условиями самого фиксированного и общего характера. У нас есть основания в таких случаях верить, что будущее появление таких явлений может быть вычислено и предсказано. Но весь вопрос теперь становится вопросом вероятности и невероятности. Мы, кажется, покидаем область логики, чтобы войти в ту, в которой количество событий является основанием вывода. Мы на самом деле не покидаем область логики; мы только покидаем ту, где достоверность, утвердительная или отрицательная, является результатом, а согласие или несогласие качеств — средством вывода. В будущем число и количество обычно будут входить в наши процессы рассуждения; но тогда я утверждаю, что число и количество являются лишь частями великой логической области. Я осмеливаюсь утверждать, что число является полностью логическим как по своей фундаментальной природе, так и по своим развитиям. Количество во всех своих формах является лишь развитием числа. То, что является математическим, не менее логично; если что, оно более логично в том смысле, что оно представляет логические результаты в более высокой степени сложности и разнообразия.

Прежде чем переходить тогда от полной к неполной индукции, я должен посвятить часть этой работы рассмотрению логических условий числа. Затем я буду использовать число для оценки разнообразия комбинаций, в которых могут представляться природные явления, и вероятности или невероятности их появления при определенных обстоятельствах. Именно в более поздних частях работы я должен попытаться обосновать понятия, которые я изложил по вопросу о неполной индукции, как она применяется в исследовании Природы, которые понятия могут быть кратко сформулированы так: —

1. Неполная индукция полностью опирается на полную индукцию в отношении своих материалов.

2. Логический процесс, посредством которого мы, по-видимому, переходим непосредственно от исследованных к неисследованным случаям, состоит в обратном применении дедуктивного вывода, так что можно сказать, что всякое рассуждение является либо прямо, либо обратно дедуктивным.

3. Результат всегда носит гипотетический характер и никогда не является более чем вероятным.

4. Никакого чистого приращения к нашим знаниям никогда не делается путем рассуждения; то, что мы знаем о будущих событиях или неисследованных объектах, является лишь раскрытым содержанием нашего предыдущего знания, и оно становится менее вероятным по мере того, как оно более смело распространяется на отдаленные случаи.

КНИГА II. ЧИСЛО, РАЗНООБРАЗИЕ И ВЕРОЯТНОСТЬ.

ГЛАВА VIII. ПРИНЦИПЫ ЧИСЛА.

Не без причины Пифагор представлял мир управляемым числом. Почти во все наши акты мышления входит число, и в той мере, в какой мы можем определить численно, мы наслаждаемся точным и полезным знанием Вселенной. Наука о числах также до сих пор представляла собой самую широкую и практичную подготовку в логике. Столь свободным и энергичным было изучение математических форм по сравнению с формами логики, что математики ушли далеко вперед чистых логиков. Иногда в последнее время они снисходили до применения своего алгебраического инструмента к рефлексивному рассмотрению первичной логической науки. Именно так мы обязаны глубоким математикам, таким как Джон Гершель, Уэвелл, Де Морган или Буль, возрождением логики в нынешнем столетии. Я не сомневаюсь, что именно в поддержании тесного союза с количественным рассуждением мы должны искать дальнейший прогресс в нашем понимании качественного вывода.

Я не могу согласиться, действительно, с обычным представлением, что достоверность начинается и заканчивается числовым определением. Нет ничего более достоверного, чем логическая истина. Законы тождества и различия являются критериями всего, что достоверно во всем диапазоне мысли, и математическое рассуждение убедительно только тогда, когда оно соответствует этим условиям, из которых логика является первым развитием. И если ошибочно полагать, что всякая достоверность является математической, то столь же ошибочно воображать, что все, что является математическим, достоверно. Многие процессы математического рассуждения имеют весьма сомнительную обоснованность. Существуют пункты математической доктрины, которые должны долго оставаться делом мнения; например, наилучшая форма определения и аксиомы относительно параллельных линий или истинная природа предела. При использовании символического рассуждения возникают вопросы, по которым лучшие математики могут расходиться во мнениях, как Бернулли и Лейбниц непримиримо расходились во мнениях относительно существования логарифмов отрицательных величин. В самом деле, как только мы покидаем простые логические условия числа, мы обнаруживаем, что вовлечены в запутанную и таинственную науку символов.

Математическая наука не пользуется монополией и даже не превосходством в достоверности результатов. Именно безграничный объем и разнообразие количественных вопросов восхищают математического студента. Когда простая логика может дать лишь скупой ответ «Да» или «Нет», алгебраист поднимает множество тонких вопросов и выдает толпу любопытных результатов. Цветок и плод, все, что привлекательно и восхитительно, достается на долю математика, который слишком часто презирает простой, но необходимый стебель, из которого все возникло. Ни в одной области мысли рассуждающий не может освободиться от предварительных условий логической правильности. Математик силен и истинен лишь до тех пор, пока он логичен, и если число правит миром, то именно логика правит числом.

Почти все авторы до сих пор странным образом довольствовались тем, что рассматривали числовое рассуждение как нечто отдельное от логического вывода. Долгий развод существовал между качеством и количеством, и было не редкостью рассматривать их как противопоставленные по природе и ограниченные независимыми ветвями мысли. Что касается меня, я верю, что все науки встречаются где-то. Ни одна часть знания не может стоять полностью оторванной от других частей вселенной мысли; невероятно, прежде всего, что две великие ветви абстрактной науки, переплетаясь и сотрудничая в каждом дискурсе, должны покоиться на совершенно различных основаниях. Я предполагаю, что связь существует, и забочусь лишь о том, чтобы спросить: какова ее природа? Покоится ли наука о количестве на науке о качестве; или, наоборот, покоится ли наука о качестве на науке о количестве? Можно было бы мыслимо предположить третий взгляд, что они обе покоятся на каком-то еще более глубоком наборе принципов.

Обычно предполагается, что Буль принял второй взгляд и рассматривал логику как приложение алгебры, частный случай аналитического рассуждения, который допускает только две величины: единицу и ноль. Нелегко точно установить, какой из этих взглядов действительно был принят Булем. В своем интересном биографическом очерке о Буле преподобный Р. Харли протестует против утверждения, что логическое исчисление Буля внесло условия числа и количества в логику. Он говорит: «Логика никогда не отождествляется и не смешивается с математикой; две системы мысли сохраняются совершенно различными, каждая из них подчиняется своим собственным законам и условиям. Символы одинаковы для обеих систем, но они не имеют одинаковой интерпретации». Преподобный Дж. Венн, опять же, в своем обзоре логической системы Буля, придерживается мнения, что процессы Буля в основе своей логические, а не математические, хотя и изложены в высокообобщенной форме и в математическом облачении. Но вполне вероятно, что читатели Буля могут быть введены в заблуждение. Не только его логические работы имеют совершенно математический вид, но я нахожу на стр. 12 его «Законов мышления» следующее недвусмысленное утверждение: «То, что логика как наука восприимчива к очень широким приложениям, признается; но столь же верно, что ее конечные формы и процессы являются математическими». Несколькими строками ниже он добавляет: «Не является сущностью математики быть сведущей в идеях числа и количества».

Решение этой трудности заключается в том, что Буль использовал термин «математика» в более широком смысле, чем тот, который обычно ему приписывается. Он, вероятно, принял третий взгляд, так что его математические «Законы мышления» являются общей основой как для логики, так и для количественной математики. Но я не хочу продолжать эту тему, потому что думаю, что в любом случае Буль был неправ. По моему мнению, логика — это высшая наука, общая основа математики, как и всех других наук. Число — это лишь логическое различение, а алгебра — высокоразвитая логика. Таким образом, легко понять глубокую аналогию, которую Буль указал между формами алгебраического и логического вывода. Логика напоминает алгебру так же, как форма напоминает то, что в ней отлито. Буль принял отливку за форму. Учитывая, что логика навязывает свои собственные законы каждой ветви математической науки, неудивительно, что мы постоянно встречаем следы логических законов в математических процессах.

Природа числа.

Число — это лишь другое имя для разнообразия. Точное тождество есть единство, а с различием возникает множественность. Абстрактное понятие, как было указано (стр. 28), обладает определенной «однородностью». Качество справедливости, например, одно и то же, в каких бы справедливых актах оно ни проявлялось. В самой справедливости нет признаков различия, по которым можно было бы отличить справедливость от справедливости. Но один справедливый акт можно отличить от другого справедливого акта по обстоятельствам времени и места, и мы можем сосчитать много актов, таким образом различенных друг от друга. Точно так же чистое золото — это просто чистое золото, и оно настолько является одним и тем же повсюду. Но помимо своих внутренних качеств, золото занимает пространство и должно иметь форму и размер. Части золота всегда взаимно исключительны и способны к различению в том отношении, что они должны быть каждая без другой. Следовательно, их можно пронумеровать.

Множественность возникает тогда и только тогда, когда мы обнаруживаем различие. Например, при подсчете количества золотых монет я должен сосчитать каждую монету один раз и не более одного раза. Пусть C обозначает монету, а знак над ней — порядок счета. Тогда я должен сосчитать монеты

C′ + C″ + C‴ + C″″ + . . . . . .

Если бы я считал их следующим образом

C′ + C″ + C‴ + C‴ + C″″ + . . .,

Я превратил бы третью монету в две и подразумевал бы существование различия там, где нет никакого различия. C‴ и C‴ — это лишь имена одной монеты, названной дважды. Но согласно одному из условий логических символов, которое я назвал Законом единства (стр. 72), повторенное одно и то же имя не имеет эффекта, и

A ꖌ A = A.

Мы должны применить Закон единства и должны сократить все тождественные альтернативы, прежде чем сможем считать с уверенностью и использовать процессы численного вычисления. Тождественные альтернативы безвредны в логике, но совершенно недопустимы в числе. Таким образом, логическая наука устанавливает природу математической единицы, и определение может быть дано в таких терминах: Единица — это любой объект мысли, который может быть отличен от любого другого объекта, рассматриваемого как единица в той же задаче.

Часто говорили, что единицы являются единицами в отношении того, что они совершенно похожи друг на друга; но хотя они могут быть совершенно похожими в некоторых отношениях, они должны быть разными по крайней мере в одном пункте, иначе они были бы неспособны к множественности. Если бы три монеты были настолько похожи, что занимали бы одно и то же пространство в одно и то же время, они были бы не тремя монетами, а одной монетой. Свойство пространства таково, что каждая точка отличима от любой другой точки, и во времени каждый момент по необходимости отличен от любого другого момента до или после. Следовательно, мы часто считаем в пространстве или времени, и Локк, вместе с некоторыми другими философами, придерживался мнения, что число возникает из повторения во времени. Удары маятника могут быть настолько совершенно похожими, что мы не можем обнаружить никакой разницы, кроме того, что один удар до, а другой после. Время само по себе является здесь основанием различия и является достаточным фундаментом для различения множественности; но это отнюдь не единственное основание. Три монеты — это три монеты, считаем ли мы их последовательно или рассматриваем их все одновременно. Во многих случаях ни время, ни пространство не являются основанием различия, а входит только чистое качество. Мы можем различить вес, инерцию и твердость золота как три качества, хотя ни одно из них не является до или после другого, ни в пространстве, ни во времени. Любое средство различения может быть источником множественности.

Наша логическая нотация может быть использована для выражения возникновения числа. Символ A означает одну вещь или один класс и сам по себе должен рассматриваться как единица, потому что никакое различие не указано. Но комбинации AB и Ab по необходимости являются двумя, потому что они не могут логически слиться, и есть знак B, который отличает одну от другой. Логическое определение числа четыре дано в комбинациях ABC, ABc, AbC, Abc, где есть двойное различие. Как говорит Пак —

“Yet but three? Come one more;

Two of both kinds makes up four.”

Я полагаю, что все числа могли бы быть представлены как возникающие из комбинаций Логического алфавита, причем больше или меньше из каждого ряда вычеркивается различными логическими условиями. Число три, например, возникает из условия, что A должно быть либо B, либо C, так что комбинации суть ABC, ABc, AbC.

О числовой абстракции.

Теперь не составит труда сформировать ясное понятие о природе числовой абстракции. Она состоит в абстрагировании характера различия, из которого возникает множественность, сохраняя лишь сам факт. Когда я говорю о «трех людях», мне не нужно сразу указывать признаки, по которым каждого можно узнать от каждого. Эти признаки должны существовать, если они действительно три человека, а не один и тот же, и, говоря о них как о многих, я подразумеваю существование необходимых различий. Абстрактное число, таким образом, есть пустая форма различия; абстрактное число «три» утверждает существование признаков, не указывая их вида.

Таким образом, видно, что числовая абстракция является процессом, отличным от логической абстракции (стр. 27), ибо в последнем процессе мы упускаем из виду само существование различия и множественности. Формируя абстрактное понятие «твердость», мы полностью игнорируем разнообразные обстоятельства, в которых это качество может проявляться. Именно конкретное понятие «три твердых объекта» утверждает существование твердости наряду с достаточными другими неопределенными качествами, чтобы выделить три таких объекта. Числовое мышление действительно тесно переплетено с логическим мышлением. Мы не можем использовать конкретный термин во множественном числе, как «люди», не подразумевая, что существуют признаки различия. Но когда мы используем абстрактный термин, мы имеем дело с единством.

Происхождение великой общности числа теперь очевидно. Три звука отличаются от трех цветов, или три всадника от трех лошадей; но они согласуются в отношении разнообразия признаков, по которым их можно различить. Символы 1 + 1 + 1 являются, таким образом, пустыми знаками, утверждающими существование различения. Но, упуская из виду характер различий, мы порождаем новые согласия, на которых основывается математическое рассуждение. Числовая абстракция настолько далека от несовместимости с логической абстракцией, что она является источником наших самых широких актов обобщения.

Конкретное и абстрактное число.

Обычное различие между конкретным и абстрактным числом теперь может быть легко сформулировано. В той мере, в какой мы указываем логические характеристики нумеруемых вещей, мы делаем их конкретными. В абстрактном числе «три» нет утверждения о пунктах, в которых три объекта согласуются; но в «трех монетах», «трех людях» или «трех лошадях» не только объекты пронумерованы, но и их природа ограничена. Конкретное число, таким образом, подразумевает то же сознание различия, что и абстрактное число, но оно смешано с основой сходства, выраженной в логических терминах. Существует тождество, поскольку входят логические термины; различие, поскольку термины являются чисто числовыми.

Причина важного Закона однородности теперь будет очевидна. Этот закон утверждает, что в каждом арифметическом вычислении логическая природа нумеруемых вещей должна оставаться неизменной. Указанное логическое согласие вещей не должно затрагиваться неуказанными числовыми различиями. Вычисление было бы явно абсурдным, если бы, начав с длины, оно дало результат в часах. Столь же абсурдно, с чисто арифметической точки зрения, выводить площади из вычисления длин, массы из комбинации объема и плотности или импульсы из массы и скорости. Должно остаться для последующего рассмотрения решение вопроса о том, в каком смысле мы можем истинно сказать, что два линейных фута, умноженные на два линейных фута, дают четыре квадратных фута; арифметически это абсурдно, потому что происходит смена единицы.

Как общее правило, мы рассматриваем в каждом вычислении только объекты одной природы. Мы не складываем и не можем должным образом складывать в одной сумме ярды ткани и фунты сахара. Мы не можем даже представить результат сложения площади к скорости, или длины к плотности, или веса к стоимости. Складываемые единицы должны иметь основу однородности или должны быть приводимы к какому-то общему знаменателю. Тем не менее возможно, и на самом деле обычно, рассматривать в одном сложном вычислении самые разнородные величины при условии, что каждый вид объекта сохраняется отдельным и рассматривается численно только в сочетании со своим собственным видом. Различные единицы, поскольку их логические различия указаны, никогда не должны заменяться одна другой. Химики постоянно используют уравнения, которые утверждают эквивалентность групп атомов. Обычное брожение представлено формулой

C6 H12 O6 = 2C2 H6 O + 2CO2.

Три вида единиц, атомы соответственно углерода, водорода и кислорода, здесь перемешаны, но на самом деле существует отдельное уравнение в отношении каждого вида. Математики также используют составные уравнения того же рода; ибо в a + b√-1 = c + d√-1 невозможно путем обычного сложения прибавить a к b√-1. Следовательно, у нас на самом деле есть отдельные уравнения: a = c и b√-1 = d√-1. Аналогично уравнение между двумя кватернионами эквивалентно четырем уравнениям между обычными величинами, откуда, собственно, и название «кватернион».

Аналогия логических и числовых терминов.

Если мое утверждение верно, что число возникает из логических условий, мы должны обнаружить, что число подчиняется всем законам логики. Почти излишне указывать, что это так в отношении фундаментальных законов тождества и различия, и остается только показать, что математические символы действительно подчиняются особым условиям логических символов, которые были ранее указаны (стр. 32). Таким образом, Закон коммутативности одинаково верен для качества и количества. Как в логике мы имеем

AB = BA,

так в математике общеизвестно, что

2 × 3 = 3 × 2, or x × y = y × x.

Свойства пространства так же безразличны при умножении, как мы обнаружили их в чистом логическом мышлении.

Аналогично, как в логике

triangle or square =

square or triangle,

or generally A ꖌ B =

B ꖌ A,

so in quantity 2 + 3 =

3 + 2,

or generally x + y =

y + x.

Символ ꖌ не идентичен +, но он в такой степени аналогичен.

Насколько теперь верно, что математические символы подчиняются Закону простоты, выраженному в форме

AA = A,

или примере

Round round = round?

По-видимому, существуют только два числа, которые подчиняются этому закону; ибо несомненно, что

x × x = x

истинно только в двух случаях, когда x = 1 или x = 0.

В действительности все числа подчиняются закону, ибо 2 × 2 = 2 на самом деле не аналогично AA = A. Согласно определению единицы, уже данному, каждая единица отличается от каждой другой в той же задаче, так что в 2′ × 2″ первая «двойка» подразумевает иное различение, чем вторая «двойка». Я получаю четыре вида вещей, например, если я сначала различаю «тяжелое и легкое», а затем «кубическое и сферическое», ибо теперь у нас есть следующие классы —

heavy, cubical. light, cubical.

heavy, spherical. light, spherical.

Но предположим, что мои два класса в обоих случаях различаются одним и тем же различием легкого и тяжелого, тогда у нас есть

heavy heavy =

heavy,

heavy light =

0,

light heavy =

0,

light light =

light.

Таким образом, (тяжелое или легкое) × (тяжелое или легкое) = (тяжелое или легкое).

Короче говоря, дважды два — два, если мы не позаботимся о том, чтобы вторая «двойка» имела иное значение, чем первая. Но при подобных обстоятельствах логические термины дают подобный результат, и неверно, что A′A″ = A′, когда A″ отличается по значению от A′.

Подобным образом можно показать, что Закон единства

A ꖌ A = A.

справедлив как для логических, так и для математических терминов. Абсурдно, действительно, говорить, что

x + x = x

кроме одного случая, когда x = абсолютный ноль. Но это противоречие x + x = x возникает из того факта, что мы уже определили единицы в одном x как отличающиеся от тех, что в другом. При таких обстоятельствах Закон единства не применяется. Ибо если в

A′ ꖌ A″ = A′

мы подразумеваем, что A″ каким-либо образом отличается от A′, утверждение тождества очевидно ложно.

Контраст, который, по-видимому, существует между логическими и математическими символами, является лишь кажущимся. Именно потому, что Законы простоты и единства должны всегда соблюдаться при операции счета, эти законы кажутся не применимыми далее. Это подразумеваемое условие, при котором мы используем все числовые символы. Всякий раз, когда я пишу символ 5, я на самом деле подразумеваю

1 + 1 + 1 + 1 + 1,

и совершенно понятно, что каждая из этих единиц отлична от каждой другой. Если потребуется, я мог бы отметить их так

1′+ 1″ + 1‴ + 1″″ + 1″‴.

Если бы это было не так и если бы единицы были на самом деле

1′ + 1″ + 1″ + 1‴ + 1″″,

Закон единства, как было замечено ранее, применялся бы, и

1″ + 1″ = 1″.

Математические символы, таким образом, подчиняются всем законам логических символов, но два из этих законов кажутся неприменимыми просто потому, что они предполагаются в определении математической единицы. Логика, таким образом, устанавливает условия числа, и наука об арифметике, развитая, как она есть, во все чудесные ветви математического исчисления, является лишь порождением логического различения.

Принцип математического вывода.

Универсальный принцип всякого рассуждения, как я утверждал, заключается в том, что позволяет нам подставлять равное вместо равного. Теперь я должен указать, как в математических науках этот принцип задействован на каждом шаге рассуждения. Действительно, именно в этих науках мы встречаем наиболее ясные случаи подстановки, и именно простота, с которой этот принцип может быть применен, вероятно, привела к сравнительно раннему совершенству наук геометрии и арифметики. Евклид и греческие математики с самого начала признавали равенство в качестве фундаментального отношения количественного мышления, но Аристотель отверг точно аналогичное, но гораздо более общее отношение тождества, и тем самым искалечил формальную науку логики, в каком виде она дошла до наших дней.

Геометрическое рассуждение исходит из аксиомы: «величины, равные одной и той же величине, равны между собой». Два равенства позволяют нам вывести третье равенство; и это верно не только для линий и углов, но и для площадей, объемов, чисел, интервалов времени, сил, скоростей, степеней интенсивности или, короче говоря, всего, что способно быть равным или неравным. Две звезды, одинаково яркие по сравнению с одной и той же звездой, должны быть одинаково яркими по сравнению друг с другом, и две силы, одинаково интенсивные по сравнению с третьей силой, одинаково интенсивны по сравнению друг с другом. Примечательно, что Евклид не сформулировал явно две другие аксиомы, истинность которых подразумевается с необходимостью. Вторая аксиома должна гласить: «Две величины, из которых одна равна, а другая не равна третьей общей величине, не равны друг другу». Короче говоря, равенство и неравенство дают неравенство, и это в равной степени верно, как и первая аксиома, для всех видов величин. Если, например, Венера совпадает с Марсом по плотности, но Марс отличается от Юпитера, то Венера отличается от Юпитера. Должна существовать третья аксиома о том, что «величины, не равные одной и той же величине, могут быть или не быть равными друг другу». Два неравенства не дают никаких оснований для вывода. Если мы знаем, например, только то, что Меркурий и Юпитер отличаются по плотности от Марса, мы не можем сказать, совпадают ли они между собой. Фактически они не совпадают; но Венера и Марс, с другой стороны, оба отличаются от Юпитера и тем не менее тесно совпадают друг с другом. Сила этих аксиом может быть наиболее ясно проиллюстрирована путем проведения равных и неравных линий.

Таким образом, общий вывод должен состоять в том, что там, где есть равенство, может быть вывод, но там, где нет равенства, не может быть вывода. Простая индукция приведет нас к убеждению, что равенство является условием вывода относительно количества. Все три аксиомы могут быть фактически сведены к одной, гласящей: «В каком бы отношении одна величина ни находилась к другой, в таком же отношении она находится к равной этой другой величине».

Активной силой всегда является подстановка равных, и случайным обстоятельством является то, что в паре равенств мы можем произвести подстановку двумя способами. Из a = b = c мы можем вывести a = c либо путем подстановки в a = b значения b, как оно дано в b = c, либо путем подстановки в b = c значения b, как оно дано в a = b. В a = b ~ d мы можем произвести только одну подстановку a вместо b. В e ~ f ~ g мы не можем произвести никакой подстановки и не получаем никакого вывода.

В математике отношения, в которых могут находиться термины друг к другу, гораздо более разнообразны, чем в чистой логике, однако наш принцип подстановки всегда остается верным. Мы можем сказать самым общим образом: в каком бы отношении одна величина ни находилась к другой, в таком же отношении она находится к равной этой другой величине. В этой аксиоме мы суммируем ряд аксиом, которые были сформулированы более или менее подробно алгебраистами. Так, «если к равным величинам прибавить равные величины, то суммы будут равны». Чтобы объяснить это, пусть

a = b, c = d.

Теперь a + c, что бы это ни значило, должно быть тождественно самому себе, так что

a + c = a + c.

В одной части этого уравнения подставим вместо величин их эквиваленты, и мы получим доказательство аксиомы

a + c = b + d.

Аналогичная аксиома относительно вычитания столь же очевидна, ибо что бы ни значило a - c, оно равно a - c, а следовательно, путем подстановки, равно b - d. Далее, «если равные величины умножить на одни и те же или равные величины, то произведения будут равны». Ибо очевидно

ac = ac,

и если в одной части мы подставим вместо c его равное d, мы получим

ac = ad,

и вторая аналогичная подстановка дает нам

ac = bd.

Мы могли бы доказать подобную аксиому относительно деления точно таким же образом. Я мог бы даже расширить список аксиом и сказать, что «равные степени равных чисел равны». Ибо, безусловно, что бы ни значило a × a × a, оно равно a × a × a; следовательно, путем нашей обычной подстановки оно равно b × b × b. То же самое будет верно для корней чисел, и c√a = d√b при условии, что корни взяты так, что корень из a действительно относится к a так же, как корень из b относится к b. Таким образом, двусмысленность значения операции никак не может поколебать универсальность принципа. Мы можем пойти дальше и утверждать, что не только вышеуказанные общие отношения, но и все другие известные или мыслимые математические отношения подчиняются тому же принципу. Пусть Qa самым общим образом обозначает, что мы производим некое действие с величиной a; тогда, если a = b, из этого следует, что

Qa = Qb.

Читатель также вспомнит, что одной из наиболее частых операций в математическом рассуждении является подстановка вместо величины равной ей, как известной из принятых, естественных или самоочевидных условий. Всякий раз, когда величина встречается в задаче дважды, мы можем применить то, что узнаем о ее отношениях в одном месте, к ее отношениям в другом. Таким образом, всякое рассуждение в математике, как и в других отраслях науки, включает в себя принцип равного обращения с равными или сходного с подобными. Каким бы образом мы ни применяли количественное рассуждение в оставшихся частях этой работы, мы никогда не сможем отступить от простого принципа, с которого мы начали.

Рассуждение посредством неравенств.

Я утверждал, что все процессы математического рассуждения могут быть выведены из принципа подстановки. Исключения из этого утверждения могут показаться существующими при использовании неравенств. Большее из большего, несомненно, есть большее, а то, что меньше меньшего, безусловно, меньше. Сноудон выше, чем Врекин, а Бен-Невис выше, чем Сноудон; следовательно, Бен-Невис выше, чем Врекин. Но небольшое размышление обнаруживает достаточно оснований полагать, что даже в таких случаях, где равенство, по-видимому, не присутствует, сила рассуждения полностью зависит от лежащих в основе и подразумеваемых равенств.

Во-первых, два утверждения о простом различии не дают никаких оснований для вывода. Мы ничего не узнаем о сравнительной высоте собора Святого Павла и Вестминстерского аббатства из утверждений, что они оба отличаются по высоте от собора Святого Петра в Риме. Нам нужно нечто большее, чем неравенство; нам требуется одно тождество в дополнение, а именно тождество направления двух различий. Таким образом, мы не можем использовать неравенства так же просто, как равенства, и, когда мы пытаемся выразить, какие другие условия необходимы, мы обнаруживаем, что переходим к использованию равенств или тождеств.

Во-вторых, каждый аргумент посредством неравенств может быть представлен в форме равенств. Мы выражаем, что a больше b, уравнением

a = b + p, (1)

где p — это внутренне положительная величина, обозначающая разность a и b. Аналогично мы выражаем, что b больше c, уравнением

b = c + q, (2)

и, подставляя вместо b в (1) его значение из (2), мы получаем

a = c + q + p. (3)

Теперь, поскольку p и q оба положительны, из этого следует, что a больше c, и мы имеем точно указанную величину превышения. Легко увидеть, что рассуждение относительно того, что меньше меньшего, приведет к уравнению вида

c = a - r - s.

Таким образом, каждый аргумент посредством неравенств может быть приведен к форме равенства; но обратное неверно. Мы никак не можем доказать, что две величины равны, просто утверждая, что они обе больше или обе меньше другой величины. Из e > f и g > f, или e < f и g < f, мы не можем вывести никакого отношения между e и g. И если читатель возьмет уравнения x = y = 3 и попытается доказать, что поэтому x = 3, приведя их к неравенствам, он обнаружит, что это невозможно сделать.

Из этих соображений я делаю вывод, что рассуждение в арифметике или алгебре посредством так называемых неравенств есть лишь несовершенно выраженное рассуждение посредством равенств, и когда мы хотим точно и ясно показать условия рассуждения, мы вынуждены явно использовать равенства. Точно так же, как в чистой логике отрицательное суждение, выражающее лишь различие, не может быть средством вывода, так и неравенство никогда не может быть истинным основанием вывода. Я не отрицаю, что утверждение и отрицание, согласие и различие, равенство и неравенство являются парами одинаково фундаментальных отношений, но я утверждаю, что вывод возможен только там, где присутствует утверждение, согласие или равенство — фактически, некий вид тождества — явно или неявно.

Арифметическое рассуждение.

Может показаться несколько противоречивым, что я утверждаю, будто число возникает из различия или дискриминации, и в то же время придерживаюсь мнения, что никакое рассуждение не может быть основано на различии. Число, конечно, открывает широчайшую сферу для вывода, и небольшое размышление показывает, что это связано с неограниченным рядом тождеств, которые возникают из численной абстракции. Если шесть человек сидят на шести стульях, между стульями и людьми нет сходства в логическом характере. Но если мы отвлечемся от всех качеств как стула, так и человека и просто запомним, что существуют признаки, по которым каждый из шести стульев может быть отличен от других, и аналогично с людьми, то возникает сходство между стульями и людьми, и это сходство в числе может быть основанием для вывода. Если в другой раз стулья снова будут заняты людьми, мы можем сделать вывод, что эти люди сходны с другими по числу, хотя они не обязаны быть сходны с ними в каких-либо других пунктах.

В арифметике мы на самом деле имеем дело с группами единиц. Число пять — это на самом деле 1 + 1 + 1 + 1 + 1, но ради краткости мы подставляем более компактный знак 5 или название «пять». Поскольку эти названия вводятся произвольно любым способом, между ними возникает бесконечное разнообразие отношений, которые отнюдь не являются произвольными. Если мы определим «четыре» как 1 + 1 + 1 + 1, а «пять» как 1 + 1 + 1 + 1 + 1, то, конечно, из этого следует, что пять = четыре + 1; но было бы столь же возможно принять это последнее равенство в качестве определения, и в этом случае одно из предыдущих равенств стало бы выводом. Едва ли требуется решать, как мы определяем названия чисел, при условии, что мы помним, что из бесконечно многочисленных отношений одного числа к другим какое-то одно отношение, выраженное в равенстве, должно быть определением рассматриваемого числа, а остальные отношения немедленно становятся необходимыми выводами.

В науке о числе разнообразие классов, которые могут быть сформированы, совершенно бесконечно, и утверждения о полной общности могут быть сделаны при условии сложности или исключения только в нижней части шкалы. Каждое существующее число, например, принадлежит к классу m + 7; то есть каждое число должно быть суммой другого числа и семи, за исключением, конечно, первых шести или семи чисел, так как отрицательные величины здесь не принимаются во внимание. Каждое число является половиной какого-то другого, и так далее. Предмет обобщения, как он представлен в математических истинах, бесконечно широк. В числе мы находимся только на первом шаге обширного ряда обобщений. Как число является общим по сравнению с конкретными пронумерованными вещами, так у нас есть общие символы для чисел и общие символы для отношений между неопределенными числами. Существует неограниченная иерархия последовательных обобщений.

Численно определенное рассуждение.

Де Морган первым обнаружил, что многие аргументы, сочетающие логическое и численное рассуждение, являются обоснованными, хотя их нельзя включить в древние логические формулы. Он развил доктрину «численно определенного силлогизма», полностью объясненную в его «Формальной логике» (стр. 141–170). Буль также уделил значительное внимание определению того, что он называл «статистическими условиями», имея в виду численные условия логических классов. В статье, опубликованной в «Мемуарах Манчестерского литературного и философского общества», третья серия, том IV, стр. 330 (сессия 1869–70 гг.), я указал, что мы можем применять арифметический расчет к Логическому алфавиту. Имея заданные определенные логические условия и количество объектов в определенных классах, мы можем либо определить количество объектов в других классах, подчиняющихся этим условиям, либо показать, какие дополнительные данные требуются для их определения. В качестве примера рода вопросов, рассматриваемых в численной логике, и способа их рассмотрения, я привожу следующую задачу, предложенную Де Морганом, с моим способом представления ее решения.

«Для каждого человека в доме есть лицо, которое является пожилым; некоторые из мужчин не являются пожилыми. Из этого следует, что некоторые лица в доме не являются мужчинами».

Now let A = person in house,

B = male,

C = aged.

Заключая логический символ в скобки, обозначим количество объектов, принадлежащих классу, указанному символом. Так, пусть

(A) =

number of persons in house,

(AB) =

number of male persons in house,

(ABC) =

number of aged male persons in house,

и так далее. Теперь, если мы используем w и w′ для обозначения неизвестных чисел, условия задачи могут быть сформулированы следующим образом в соответствии с моей интерпретацией слов —

(AB) = (AC) - w, (1)

то есть количество лиц в доме, которые являются пожилыми, по крайней мере равно и может превышать количество лиц мужского пола в доме;

(ABc) = w′, (2)

то есть количество лиц мужского пола в доме, которые не являются пожилыми, есть некая неизвестная положительная величина.

If we develop the terms in (1) by the Law of Duality (pp. 74, 81, 89), we obtain

(ABC) + (ABc) = (ABC) + (AbC) - w.

Вычитая общий член (ABC) из каждой части и подставляя вместо (ABc) его значение, как оно дано в (2), мы сразу получаем

(AbC) = w + w′,

и, прибавляя (Abc) к каждой части, мы имеем

(Ab) = (Abc) + w + w′.

Значение этого результата состоит в том, что количество лиц в доме, которые не являются мужчинами, по крайней мере равно w + w′ и превышает его на количество лиц в доме, которые не являются ни мужчинами, ни пожилыми (Abc).

Следует понимать, что это решение применимо только к терминам приведенного выше примера, а не к общей задаче, для которой Де Морган намеревался использовать его в качестве иллюстрации.

В качестве второго примера возьмем следующий вопрос: — Общее количество избирателей в округе равно a; количество тех, против кого были поданы возражения либералами, равно b; а количество тех, против кого были поданы возражения консерваторами, равно c; требуется найти количество, если таковые имеются, тех, против кого были поданы возражения с обеих сторон. Принимая

A = voter,

B = objected to by liberals,

C = objected to by conservatives,

тогда нам требуется значение (ABC). Теперь следующее уравнение является тождественно истинным —

(ABC) = (AB) + (AC) + (Abc) - (A). (1)

Ибо если мы раскроем все члены во второй части, мы получим

(ABC) = (ABC) + (ABc) + (AbC) + (Abc) - (ABC) - (ABc) - (AbC) - (Abc);

и, вычеркивая соответствующие положительные и отрицательные члены, у нас остается только (ABC) = (ABC). Поскольку (1) необходимо истинно, нам остается только вставить известные значения, и мы имеем

(ABC) = b + c - a + (Abc).

Следовательно, количество тех, кто получил возражения с обеих сторон, равно превышению, если таковое имеется, общего количества возражений над количеством избирателей вместе с количеством избирателей, которые не получили никаких возражений (Abc).

Следующая задача иллюстрирует выражение для общей части любых трех классов: — Количество нищих, которые являются слепыми мужчинами, равно превышению, если таковое имеется, суммы общего количества слепых лиц, прибавленной к общему количеству лиц мужского пола, прибавленной к количеству тех, кто, будучи нищими, не являются ни слепыми, ни мужчинами, над суммой общего количества нищих, прибавленной к количеству тех, кто, не будучи нищими, являются слепыми, и к количеству тех, кто, не будучи нищими, являются мужчинами.

Читателю предлагается доказать истинность вышеприведенного утверждения: (1) своим собственным здравым смыслом; (2) аристотелевской логикой; (3) методом численной логики, который только что был изложен; а затем решить, какой метод является наиболее удовлетворительным.

Численное значение логических условий.

Во многих случаях классы объектов могут существовать при особых логических условиях, и мы должны рассмотреть, как эти условия могут быть интерпретированы численно. Каждое логическое суждение порождает соответствующее численное уравнение. Тождество качеств влечет за собой тождество чисел. Следовательно, если

A = B

обозначает тождество качеств A и B, мы можем заключить, что

(A) = (B).

Очевидно, что именно те объекты, и только те объекты, которые охватываются A, должны охватываться B. Из этого следует, что везде, где мы можем составить уравнение качеств, мы можем составить аналогичное уравнение чисел. Так, из

A = B = C

мы выводим

A = C;

и аналогично из

(A) = (B) = (C),

означающего, что количество A и C равно количеству B, мы можем вывести

(A) = (C).

Но, как ни странно, это не относится к отрицательным суждениям и неравенствам. Ибо если

A = B ~ D

означает, что A тождественно B, которое отличается от D, из этого не следует, что

(A) = (B) ~ (D).

Два класса объектов могут различаться по качествам, и тем не менее они могут совпадать по числу. Этот пункт решительно подтверждает мое мнение, которое я уже выразил, что всякий вывод действительно зависит от уравнений, а не от различий.

Таким образом, Логический алфавит позволяет нам произвести полный анализ любой численной задачи, и хотя символическая запись может иногда казаться многословной, я полагаю, что она действительно представляет собой ход мыслей, которому должен следовать разум при решении вопроса. Хотя мысль может опережать быстроту, с которой можно записывать символы, разум на самом деле не следует иным путем, чем тот, который указан символами. Для более полного объяснения этой естественной системы численно определенного рассуждения, с более обильными иллюстрациями и анализом численно определенного силлогизма Де Моргана, я должен отослать читателя к уже упомянутой статье в «Мемуарах Манчестерского литературного и философского общества», части которой, однако, были включены в настоящий раздел.

Читателя можно также отослать к трудам Буля по этому предмету в «Законах мышления», гл. xix, стр. 295, и к статье о «Численно определенных суждениях», переданной Де Морганом в 1868 году Кембриджскому философскому обществу и напечатанной в их «Трудах», том xi, часть ii.

ГЛАВА IX. РАЗНООБРАЗИЕ ПРИРОДЫ, ИЛИ ДОКТРИНА СОЧЕТАНИЙ И ПЕРЕСТАНОВОК.

Можно сказать, что природа развивается из монотонности небытия путем создания разнообразия. Правдоподобно утверждается, что мы осознаем себя лишь постольку, поскольку испытываем различие. Жизнь — это изменение, и совершенно единообразное существование было бы не лучше небытия. Несомненно, что жизнь требует непрерывной новизны и что природа, хотя она, вероятно, никогда не перестает подчиняться одним и тем же фиксированным законам, тем не менее представляет нам, по-видимому, неограниченный ряд разнообразных сочетаний событий. Задача науки — наблюдать и записывать виды и сравнительное количество таких сочетаний явлений, происходящих спонтанно или вызванных нашим вмешательством. Терпеливое и умелое изучение записей может затем раскрыть законы, наложенные на материю при ее создании, и позволить нам более или менее успешно предсказывать или даже регулировать будущее возникновение любого конкретного сочетания.

Законы мышления являются первыми и самыми важными из всех законов, которые управляют сочетаниями явлений, и, хотя они обязательны для разума, их также можно рассматривать как подтвержденные во внешнем мире. Логический алфавит развивает величайшее разнообразие вещей и событий, которые могут произойти, и очевидно, что по мере введения каждого нового качества количество сочетаний удваивается. Так, четыре качества могут встречаться в 16 сочетаниях; пять качеств — в 32; шесть качеств — в 64; и так далее. На общем языке, если n — количество качеств, то 2n — это количество разновидностей вещей, которые могут быть сформированы из них, если нет иных условий, кроме логических. Это число, едва ли стоит говорить, увеличивается после первых нескольких членов необычайным образом, так что потребовалось бы 302 цифры, чтобы выразить количество сочетаний, в которых могли бы мыслимо проявиться 1000 качеств.