«Принципы науки: Трактат о логике и научном методе»

All heated solids give continuous spectra (1)

Some nebulæ do not give continuous spectra (2)

Therefore, some nebulæ are not heated solids (3)

Рассматривая маленькое слово «некоторые» как неопределенное прилагательное выбора, которому мы присваиваем символ, как и любому другому прилагательному, пусть

A = some

B = nebulæ

C = giving continuous spectra

D = heated solids

Посылки тогда становятся

D

= DC (1)

AB

= ABc (2)

Теперь из (1) мы получаем непрямым методом контрапозитивное суждение

c = cd

и если мы подставим это выражение для c в (2), мы имеем

AB = ABcd

полный смысл которого заключается в том, что «некоторые туманности не дают непрерывных спектров и не являются нагретыми твердыми телами».

Мы могли бы аналогично применить контрапозитив во многих других случаях. Возьмем аргумент: «Все неподвижные звезды самосветящиеся; но некоторые небесные тела не являются самосветящимися и, следовательно, не являются неподвижными звездами». Принимая наши термины

A = fixed stars

B = self-luminous

C = some

D = heavenly bodies

мы имеем посылки

A

= AB, (1)

CD

= bCD (2)

Теперь из (1) мы можем вывести контрапозитив

b = ab

и подставляя это выражение для b в (2), мы получаем

CD = abCD

который выражает заключение аргумента о том, что некоторые небесные тела не являются неподвижными звездами.

Контрапозитив простого тождества.

Читатель должен внимательно заметить, что когда мы применяем процесс непрямого умозаключения к простому тождеству вида

A = B

мы можем получить дальнейшие результаты. Если мы хотим знать, что такое термин не-B, мы имеем, как и прежде, по закону двойственности,

b = Ab ꖌ ab

и подставляя вместо A, мы получаем

b = Bb ꖌ ab = ab.

Но мы можем теперь также вывести второй контрапозитив; ибо мы имеем

a = aB ꖌ ab,

и подставляя вместо B его эквивалент A, мы имеем

a = aA ꖌ ab = ab.

Следовательно, из единственного тождества A = B мы можем вывести два суждения

a = ab

b = ab,

и, заметив, что эти суждения имеют общий термин ab, мы можем сделать новую подстановку, получив

a = b.

Этот результат находится в строгом соответствии с фундаментальными принципами умозаключения, и может возникнуть вопрос, не является ли он самоочевидным результатом, независимым от шагов дедукции, посредством которых мы к нему пришли. Ибо там, где два класса совпадают, как A и B, все, что истинно для одного, истинно для другого; то, что исключено из одного, должно быть исключено из другого аналогично. Теперь, поскольку a относится к A точно так же, как b относится к B, тождество любой пары следует из тождества другой пары. В любом тождестве, равенстве или сходстве мы можем рассуждать от отрицания одной стороны к отрицанию другой. Таким образом, при обычных температурах

Mercury = liquid-metal,

следовательно, очевидно

Not-mercury = not liquid-metal;

или поскольку

Sirius = brightest fixed star,

отсюда следует, что любая звезда, которая не является самой яркой, не является Сириусом, и наоборот. Каждое правильное определение имеет форму A = B и часто может требовать применения в эквивалентной отрицательной форме.

Возьмем в качестве иллюстрации способа использования этого результата следующий аргумент:

Vowels are letters which can be sounded alone, (1)

The letter w cannot be sounded alone; (2)

Therefore the letter w is not a vowel. (3)

Здесь у нас есть определение (1) и сравнение вещи с этим определением (2), ведущее к исключению вещи из определенного класса.

Принимая термины

A = vowel,

B = letter which can be sounded alone,

C = letter w,

посылки явно имеют формы

A = B, (1)

C = bC. (2)

Теперь непрямым методом мы получаем из (1) контрапозитив

b = a,

и вставляя в (2) эквивалент для b, мы имеем

C = aC, (3)

или «буква w не является гласной».

Различные примеры метода.

Мы можем применять непрямой метод умозаключения, сколько бы терминов ни было вовлечено или сколько бы посылок ни содержало эти термины. Поскольку работа метода лучше всего усваивается на примерах, я возьму случай двух посылок, образующих силлогизм Barbara: таким образом

Iron is metal (1)

Metal is element. (2)

Если мы хотим установить, какое умозаключение возможно относительно термина «Железо», мы развертываем термин по закону двойственности. Железо должно быть либо металлом, либо не-металлом; железо, которое является металлом, должно быть либо элементом, либо не-элементом; и аналогично железо, которое не является металлом, должно быть либо элементом, либо не-элементом. Тогда всего существует четыре альтернативы, среди которых должно содержаться описание железа; таким образом

Iron, metal, element, (α)

Iron, metal, not-element, (β)

Iron, not-metal, element, (γ)

Iron, not-metal, not-element. (δ)

Наша первая посылка сообщает нам, что железо — это металл, и если мы подставим это описание в (γ) и (δ), мы получим самопротиворечивые комбинации. Наша вторая посылка также сообщает нам, что металл — это элемент, и применяя это описание к (β), мы снова получаем самопротиворечие, так что остается только (α) как описание железа — наше умозаключение есть

Iron = iron, metal, element.

Чтобы представить этот процесс рассуждения в общих символах, пусть

A = iron

B = metal

C = element,

Посылки задачи принимают формы

A = AB (1)

B = BC. (2)

По закону двойственности мы имеем

A = AB ꖌ Ab (3)

A = AC ꖌ Ac. (4)

Теперь, если мы вставим для A во второй стороне (3) его описание в (4), мы получим то, что я назову развитием A относительно B и C, а именно

A = ABC ꖌ ABc ꖌ AbC ꖌ Abc. (5)

Везде, где буквы A или B появляются во второй стороне (5), подставьте их эквиваленты, данные в (1) и (2), и результаты, изложенные полностью, суть

A = ABC ꖌ ABCc ꖌ ABbC ꖌ ABbCc.

Последние три альтернативы нарушают закон противоречия, так что

A = ABC ꖌ 0 ꖌ 0 ꖌ 0 = ABC.

Это заключение, действительно, не более того, что мы могли бы получить прямым процессом подстановки, то есть подстановкой вместо B в (1) его описания в (2), как на стр. 55; характеристикой непрямого процесса является то, что он дает все возможные логические заключения, как те, которые мы получили ранее, так и огромное количество других, которые древняя логика почти или совсем не учитывала. Из тех же посылок, например, мы можем получить описание класса «не-элемент» или c. По закону двойственности мы можем развернуть c в четыре альтернативы, таким образом

c = ABc ꖌ Abc ꖌ aBc ꖌ abc.

Если мы подставим вместо A и B, как прежде, мы получим

c = ABCc ꖌ ABbc ꖌ aBCc ꖌ abc,

и, вычеркивая термины, которые нарушают закон противоречия, остается

c = abc,

или то, что не является элементом, также не является железом и не является металлом. Этот непрямой метод умозаключения, таким образом, дает полное решение следующей задачи — Дано любое количество логических посылок или условий, требуется описание любого класса объектов или любого термина, как управляемого этими условиями.

Шаги процесса умозаключения могут быть таким образом кратко сформулированы —

1. По закону двойственности разверните предельное количество альтернатив, которые могут существовать в описании требуемого класса или термина относительно терминов, вовлеченных в посылки.

2. Для каждого термина в этих альтернативах подставьте его описание, как дано в посылках.

3. Вычеркните каждую альтернативу, которая затем обнаруживается нарушающей закон противоречия.

4. Оставшиеся термины могут быть приравнены к рассматриваемому термину как желаемое описание.

Задача г-на Венна.

Потребность в некотором логическом методе, более мощном и всеобъемлющем, чем старая логика Аристотеля, поразительно проиллюстрирована г-ном Венном в его интереснейшей и способной статье о логике Буля. Легкий пример, первоначально полученный, как он говорит, с помощью моего метода, как просто описано в «Элементарных уроках логики», был предложен на экзаменах и в лекционных залах примерно ста пятидесяти студентам как задача по обычной логике. На него ответили, самое большее, пять или шесть из них. Впоследствии он был задан как пример на метод Буля небольшой группе, которая посетила несколько лекций о природе этих символических методов. На него легко ответила половина или более их числа.

Задача была следующей: «Члены совета были все либо держателями облигаций, либо акционерами, но не теми и другими вместе; и держатели облигаций, как оказалось, были все в совете. Какое заключение можно сделать?» Требуемое заключение — «Ни один акционер не является держателем облигаций». Теперь, как говорит г-н Венн, ничто не может выглядеть проще, чем следующее рассуждение, когда оно изложено: «Не может быть держателей облигаций, которые являются акционерами; ибо если бы они были, они должны были бы быть либо в совете, либо вне его. Но они не в нем, согласно первому из данных утверждений; и не вне его, согласно второму». Тем не менее, из-за отсутствия какого-либо систематического способа обращения с таким вопросом только пять или шесть из примерно ста пятидесяти студентов смогли справиться с такой простой задачей.

Символическим изложением задача решается мгновенно. Принимая

A = member of board

B = bondholder

C = shareholder

посылки очевидно суть

A = ABc ꖌ AbC B = AB.

Класс C, или акционеры, может быть относительно A и B развернут в четыре альтернативы,

C = ABC ꖌ AbC ꖌ aBC ꖌ abC.

Но подставляя вместо A в первой и вместо B в третьей альтернативе, мы получаем

C = ABCc ꖌ ABbC ꖌ AbC ꖌ aABC ꖌ abC.

Первая, вторая и четвертая альтернативы в вышеприведенном являются самопротиворечивыми комбинациями, и только они; вычеркивая их, остаются

C = AbC ꖌ abC = bC,

требуемый ответ. Это символическое рассуждение, я полагаю, является точным эквивалентом рассуждения г-на Венна, и я не верю, что результат может быть достигнут более простым способом. Г-н Венн добавляет, что он мог бы привести другие подобные примеры, то есть примеры, показывающие необходимость лучшего логического метода.

Сокращение процесса.

Прежде чем переходить к дальнейшим иллюстрациям использования этого метода, я должен указать, насколько его практическое применение может быть упрощено и насколько оно легче, чем могло бы показаться из описания. Когда мы хотим осуществить полное решение логической задачи, лучше всего сформировать, в первую очередь, полную серию всех комбинаций терминов, вовлеченных в нее. Если есть два термина A и B, предельное разнообразие комбинаций, в которых они могут появиться, суть

AB aB

Ab ab.

Термин A появляется в первой и второй; B — в первой и третьей; a — в третьей и четвертой; и b — во второй и четвертой. Теперь, если у нас есть какая-либо посылка, скажем

A = B,

мы должны установить, какие из этих комбинаций будут сделаны самопротиворечивыми путем подстановки; вторая и третья должны быть вычеркнуты, и останется только

AB

ba.

Следовательно, мы делаем следующие умозаключения

A = AB, B = AB, a = ab, b = ab.

Точно такой же метод должен соблюдаться, когда вопрос включает большее количество терминов. Таким образом, по закону двойственности три термина A, B, C порождают восемь мыслимых комбинаций, а именно

ABC (α) aBC (ε)

ABc (β) aBc (ζ)

AbC (γ) abC (η)

Abc (δ) abc. (θ)

Развитие термина A сформировано первыми четырьмя из них; для B мы должны выбрать (α), (β), (ε), (ζ); C состоит из (α), (γ), (ε), (η); b — из (γ), (δ), (η), (θ) и так далее.

Теперь, если мы хотим полностью исследовать смысл посылок

A = AB (1)

B = BC (2)

мы исследуем каждую из восьми комбинаций относительно каждой посылки; (γ) и (δ) противоречат (1), а (β) и (ζ) — (2), так что остаются только

ABC (α)

aBC (ε)

abC (η)

abc. (θ)

Чтобы описать любой термин при условиях посылок (1) и (2), нам просто нужно выписать правильные комбинации из этого списка; таким образом, A представлен только ABC, то есть

A

= ABC,

similarly c

= abc.

Для B мы имеем две альтернативы, сформулированные так,

B = ABC ꖌ aBC;

и для b мы имеем

b = abC ꖌ abc.

Когда у нас есть задача, включающая четыре различных термина, нам нужно удвоить количество комбинаций, и по мере добавления каждого нового термина комбинации становятся вдвое многочисленнее. Таким образом

A, B produce

four combinations

A, B, C, "

eight "

A, B, C, D "

sixteen "

A, B, C, D, E "

thirty-two "

A, B, C, D, E, F "

sixty-four "

и так далее.

Я предлагаю называть любую такую серию комбинаций логическим алфавитом. Он занимает в логической науке положение, важность которого невозможно преувеличить, и по мере того, как мы переходим от логических к математическим соображениям, станет очевидно, что существует тесная связь между этими комбинациями и фундаментальными теоремами математической науки. Для удобства читателя, который может пожелать использовать алфавит в логических вопросах, я напечатал на следующей странице полную серию комбинаций до шести терминов. В самом начале, в первом столбце, помещена единственная буква X, которая могла бы показаться излишней. Эта буква служит для обозначения того, что всегда разделяется какой-то более высокий класс. Таким образом, комбинация AB на самом деле означает ABX, или ту часть какого-то большего класса, скажем X, в которой присутствуют качества A и B. Буква X опущена в большей части таблицы просто ради краткости и ясности. В более поздней главе о комбинациях станет очевидно, что введение этого единичного класса необходимо для того, чтобы завершить аналогию с описанным там арифметическим треугольником.

Читателю следует помнить, что, хотя Логический алфавит, по-видимому, дает лишь списки комбинаций, эти комбинации в каждом случае призваны составлять развертывание термина суждения. Так, четыре комбинации AB, Ab, aB, ab на самом деле означают, что любой класс X описывается следующим суждением,

X = XAB ꖌ XAb ꖌ XaB ꖌ Xab.

Если мы выберем A, мы получим следующее суждение

AX = XAB ꖌ XAb.

Таким образом, любую группу комбинаций, которую мы рассматриваем, следует воспринимать как часть более высокого класса, summum genus или универсума, символизируемого термином X; однако, помня об этом, нет необходимости усложнять наши формулы постоянным введением этой буквы. Всякое умозаключение состоит в переходе от суждений к суждениям, а комбинации сами по себе не имеют значения. Следовательно, их во всех случаях следует рассматривать как части суждений.

Логический алфавит.

I.

II.

III.

IV.

V.

VI.

VII.

X

AX

AB

ABC

ABCD

ABCDE

ABCDEF

aX

Ab

ABc

ABCd

ABCDe

ABCDEf

aB

AbC

ABcD

ABCdE

ABCDeF

ab

Abc

ABcd

ABCde

ABCDef

aBC

AbCD

ABcDE

ABCdEF

aBc

AbCd

ABcDe

ABCdEf

abC

AbcD

ABcdE

ABCdeF

abc

Abcd

ABcde

ABCdef

aBCD

AbCDE

ABcDEF

aBCd

AbCDe

ABcDEf

aBcD

AbCdE

ABcDeF

aBcd

AbCde

ABcDef

abCD

AbcDE

ABcdEF

abCd

AbcDe

ABcdEf

abcD

AbcdE

ABcdeF

abcd

Abcde

ABcdef

aBCDE

AbCDEF

aBCDe

AbCDEf

aBCdE

AbCDeF

aBCde

AbCDef

aBcDE

AbCdEF

aBcDe

AbCdEf

aBcdE

AbCdeF

aBcde

AbCdef

abCDE

AbcDEF

abCDe

AbcDEf

abCdE

AbcDeF

abCde

AbcDef

abcDE

AbcdEF

abcDe

AbcdEf

abcdE

AbcdeF

abcde

Abcdef

aBCDEF

aBCDEf

aBCDeF

aBCDef

aBCdEF

aBCdEf

aBCdeF

aBCdef

aBcDEF

aBcDEf

aBcDeF

aBcDef

aBcdEF

aBcdEf

aBcdeF

aBcdef

abCDEF

abCDEf

abCDeF

abCDef

abCdEF

abCdEf

abCdeF

abCdef

abcDEF

abcDEf

abcDeF

abcDef

abcdEF

abcdEf

abcdeF

abcdef

С теоретической точки зрения мы можем представить, что Логический алфавит бесконечно расширяем. Каждое новое качество или обстоятельство, которое может принадлежать объекту, подразделяет каждую комбинацию или класс, так что число таких комбинаций, когда оно не ограничено логическими условиями, представляется бесконечно высокой степенью двойки. Чрезвычайно быстрый рост числа подразделений вынуждает нас ограничивать наше внимание лишь несколькими качествами одновременно.

Размышляя о свойствах этого Алфавита, я часто склонен думать, что Пифагор осознавал глубокое логическое значение двойственности; ибо, в то время как единство было символом тождества и гармонии, он описывал число два как источник контрастов или символ разнообразия, деления и разделения. Число четыре, или Тетрактис, также рассматривалось им как один из главных элементов бытия, ибо оно представляло собой порождающую силу, из которой происходят все комбинации. В одном из золотых стихов, приписываемых Пифагору, он заклинает своего ученика быть добродетельным: 77

“By him who stampt The Four upon the Mind,

The Four, the fount of Nature’s endless stream.”

Теперь четыре и более высокие степени двойственности действительно представляют в этой логической системе количество комбинаций, которые могут быть порождены при отсутствии логических ограничений. Последователи Пифагора, возможно, окутали учение своего учителя таинственными и суеверными представлениями, но во многих пунктах эти доктрины, по-видимому, имеют некоторое основание в логической философии.

Логическая доска.

Для человека, который однажды постиг огромное значение и полезность Логического алфавита, косвенный процесс умозаключения сводится к повторению нескольких единообразных операций классификации, отбора и исключения противоречий. Логическая дедукция, даже в самых сложных вопросах, становится делом простой рутины, и единственным препятствием, как только смысл посылок становится ясным, является лишь объем требуемого труда. Но объем труда часто оказывается значительным. Одно только выписывание шестидесяти четырех комбинаций по шесть букв в каждой — задача немалая, и если бы у нас была задача из пяти посылок, каждую из шестидесяти четырех комбинаций пришлось бы проверять в связи с каждой посылкой. Необходимое сравнение часто носит весьма утомительный характер, и возникает значительная вероятность ошибки.

Поэтому я уделил много внимания облегчению как ручного, так и умственного труда в этом процессе, и я опишу несколько устройств, которые можно использовать для экономии усилий и снижения риска ошибки.

Во-первых, поскольку одни и те же наборы комбинаций встречаются снова и снова в разных задачах, мы можем избежать труда по их выписыванию, имея наборы букв, заранее напечатанные на небольших листах писчей бумаги. Также было предложено одним корреспондентом, что если бы какая-либо серия комбинаций была отмечена на полях листа бумаги, а между каждой парой комбинаций был сделан разрез, было бы легко загнуть любую конкретную комбинацию и тем самым исключить ее из поля зрения. Комбинации, согласующиеся с посылками, тогда оставались бы в виде прерывистого ряда. Этот метод вполне подходит для эпизодического использования.

Более удобный способ, однако, состоит в том, чтобы иметь серию букв, показанную на стр. 94, выгравированную на обычной школьной грифельной доске такого размера, чтобы буквы занимали лишь около трети пространства на левой стороне доски. Условия задачи тогда можно записать на свободной части доски, и, выбрав соответствующую серию комбинаций, можно вычеркнуть карандашом противоречивые комбинации. Я использую доску такого рода, которую называю Логической доской, уже более двенадцати лет, и она избавила меня от многих хлопот. Применять этот процесс к задачам более чем с шестью терминами вряд ли возможно из-за большого количества комбинаций, которые потребовали бы проверки.

Абстрагирование безразличных обстоятельств.

Существует простой, но весьма важный процесс умозаключения, который позволяет нам абстрагировать, исключать или игнорировать все обстоятельства, которые безразлично присутствуют или отсутствуют. Так, если бы я заявил, что «треугольник — это трехсторонняя прямолинейная фигура, либо большая, либо не большая», эти две альтернативы были бы излишними, потому что, согласно Закону двойственности, я знаю, что все должно быть либо большим, либо не большим. Добавление этого уточнения не дает нового знания, поскольку существование двух альтернатив будет подразумеваться при отсутствии какой-либо информации об обратном. Соответственно, когда две альтернативы различаются только одним компонентным термином, который является положительным в одной и отрицательным в другой, мы можем свести их к одному термину, вычеркнув их безразличную часть. Это действительно процесс подстановки, который позволяет нам сделать это; ибо, имея любое суждение вида

A = ABC ꖌ ABc, (1)

мы знаем по Закону двойственности, что

AB = ABC ꖌ ABc. (2)

Поскольку второй член этого тождественен второму члену (1), мы можем произвести подстановку, получив

A = AB.

Этот процесс сокращения бесполезных альтернатив можно применять снова и снова; ибо ясно, что

A = AB (CD ꖌ Cd ꖌ cD ꖌ cd)

не сообщает никакой иной информации, кроме того, что A есть B. Абстрагирование безразличных терминов, по сути, является обратным процессом по отношению к развитию, описанному на стр. 89; и это одна из важнейших операций во всей сфере рассуждения.

Читатель должен заметить, что в суждении

AC = BC

мы не можем абстрагировать C и сделать вывод

A = B;

но из

AC ꖌ Ac = BC ꖌ Bc

мы можем абстрагировать всякое упоминание термина C.

Следует, однако, тщательно отметить, что альтернативы, которые кажутся лишенными смысла, часто подразумевают важное знание. Так, если я скажу, что «треугольник — это трехсторонняя прямолинейная фигура, с тремя равными углами или без них», последние альтернативы действительно выражают свойство треугольников, а именно то, что некоторые треугольники имеют три равных угла, а некоторые их не имеют. Если мы положим P = «Некоторые», подразумевая под неопределенным прилагательным «Некоторые» одно или несколько неопределенных свойств треугольников с тремя равными углами, и возьмем

A = triangle

B = three-sided rectilinear figure

C = with three equal angles,

то подразумеваемое знание выражается в двух суждениях

PA = PBC

pA = pBc.

Их также можно свести к форме одного суждения, а именно

A = PBC ꖌ pBc;

но эти альтернативы не могут быть сокращены, и суждение совершенно отличается от

A = BC ꖌ Bc.

Иллюстрации косвенного метода.

Здесь можно было бы привести большое разнообразие аргументов и логических задач, чтобы показать всеобъемлющий характер и возможности Косвенного метода. Мы можем рассматривать как одну посылку, так и серию посылок.

Возьмем, во-первых, простое определение, такое как «треугольник — это трехсторонняя прямолинейная фигура». Пусть

A = triangle

B = three-sided

C = rectilinear figure,

тогда определение имеет вид

A = BC.

Если мы возьмем серию из восьми комбинаций трех букв в Логическом алфавите (стр. 94) и вычеркнем те, которые несовместимы с определением, мы получим следующий результат:—

ABC

aBc

abC

abc.

Для описания класса C мы имеем

C = ABC ꖌ abC,

то есть «прямолинейная фигура есть либо треугольник и трехсторонняя, либо не треугольник и не трехсторонняя».

Для класса b мы имеем

b = abC ꖌ abc.

Ко второй стороне этого мы можем применить процесс упрощения путем абстрагирования, описанный в последнем разделе; ибо по Закону двойственности

ab = abC ꖌ abc;

и поскольку у нас есть два суждения, тождественных во второй стороне каждого, мы можем произвести подстановку, получив

b = ab,

или то, что не является трехсторонним, не есть треугольник (независимо от того, является ли оно прямолинейным или нет).

Второй пример.

Давайте рассмотрим этим методом следующий аргумент:—

“Blende is not an elementary substance; elementary substances are those which are undecomposable; blende, therefore, is decomposable.”

Принимая наши буквы таким образом—

A = blende,

B = elementary substance,

C = undecomposable,

посылки имеют формы

A = Ab, (1)

B = C. (2)

Никакой немедленной подстановки сделать нельзя; но если мы возьмем контрапозитив (2) (см. стр. 86), а именно

b = c, (3)

мы можем произвести подстановку в (1), получив заключение

A = Ac.

Но тот же результат можно получить, взяв восемь комбинаций A, B, C из Логического алфавита; окажется, что только три комбинации, а именно

Abc

aBC

abc,

совместимы с посылками, откуда следует, что

A = Abc,

или посредством процесса эллипсиса, описанного ранее (стр. 57)

A = Ac.

Третий пример.

В качестве несколько более сложного примера я возьму аргумент, сформулированный следующим образом, который нельзя было бы свести к силлогистической форме:—

“All metals except gold and silver are opaque; therefore what is not opaque is either gold or silver or is not-metal.”

В этом утверждении подразумевается больше, чем четко заявлено, причем полный смысл заключается в следующем:

All metals not gold or silver are opaque, (1)

Gold is not opaque but is a metal, (2)

Silver is not opaque but is a metal, (3)

Gold is not silver. (4)

Принимая наши буквы таким образом—

A = metal C = silver

B = gold D = opaque,

мы можем сформулировать посылки в формах

Abc

= AbcD (1)

B

= ABd (2)

C

= ACd (3)

B

= Bc. (4)

Чтобы получить полное решение вопроса, мы берем шестнадцать комбинаций A, B, C, D и, вычеркивая те, которые несовместимы с посылками, оставляем только

ABcd

AbCd

AbcD

abcD

abcd.

Выражение для непрозрачных вещей состоит из трех комбинаций, содержащих d, таким образом

d

= ABcd ꖌ AbCd ꖌ abcd,

or d

= Ad (Bc ꖌ bC) ꖌ abcd.

На обычном языке то, что не является непрозрачным, есть либо металл, который является золотом, и тогда не является серебром, либо серебро, и тогда не является золотом, либо же это не-металл, который не является ни золотом, ни серебром.

Четвертый пример.

Хороший пример для иллюстрации Косвенного метода можно найти в «Формальной логике» Де Моргана (стр. 123), где посылки по существу таковы:—

Из A следует B, а из C следует D; но B и D несовместимы друг с другом; следовательно, A и C несовместимы.

Смысл, несомненно, заключается в том, что там, где есть A, найдется B, или что каждое A есть B, и аналогично каждое C есть D; но B и D не могут встречаться вместе. Посылки, следовательно, по-видимому, имеют формы

A = AB, (1)

C = CD, (2)

B = Bd. (3)

При изучении серии из шестнадцати комбинаций только пять оказываются совместимыми с вышеуказанными условиями, а именно

ABcd

aBcd

abCD

abcD

abcd.

В этих комбинациях единственное A, которое появляется, соединено с c, и аналогично C соединено с a, или A несовместимо с C.

Пятый пример.

Более сложный аргумент, также приведенный Де Морганом 78, содержит пять терминов и сформулирован ниже, за исключением того, что буквы изменены.

Every A is one only of the two B or C; D is both B and C, except when B is E, and then it is neither; therefore no A is D.

Смысл вышеприведенных посылок трудно интерпретировать, но, по-видимому, он может быть выражен в следующих символических формах—

A

= ABc ꖌ AbC, (1)

De

= DeBC, (2)

DE

= DEbc. (3)

Поскольку в эти посылки входят пять терминов, необходимо рассмотреть их тридцать две комбинации, и окажется, что четырнадцать из них остаются совместимыми с посылками, а именно

ABcdE aBCDe abCdE

ABcde aBCdE abCde

AbCdE aBCde abcDE

AbCde aBcdE abcdE

aBcde abcde.

Если мы изучим первые четыре комбинации, каждая из которых содержит A, мы обнаружим, что ни одна из них не содержит D; или, опять же, если мы выберем те, которые содержат D, у нас останется только две, таким образом—

D = aBCDe ꖌ abcDE.

Следовательно, ясно, что ни одно A не есть D, и vice versâ ни одно D не есть A. Мы могли бы сделать много других выводов из тех же посылок; например—

DE = abcDE,

или D и E никогда не встречаются, кроме как при отсутствии A, B и C.

Ошибки, проанализированные Косвенным методом.

Пожалуй, было достаточно показано, что мы можем с помощью Косвенного метода умозаключения извлечь всю истину из серии суждений и представить ее заново в любой требуемой форме заключения. Но, возможно, также необходимо показать на примерах, что до тех пор, пока мы правильно следуем почти механическим правилам этого метода, мы не можем впасть ни в одну из ошибок или паралогизмов, которые часто совершаются в обычном обсуждении. Давайте возьмем пример ошибочного аргумента, ранее рассмотренного методом Прямого умозаключения (стр. 62),

Granite is not a sedimentary rock, (1)

Basalt is not a sedimentary rock, (2)

и выясним, можно ли сделать какое-либо точное заключение относительно отношения гранита и базальта. Принимая, как и прежде,

A = granite,

B = sedimentary rock,

C = basalt,

посылки становятся

A = Ab, (1)

C = Cb. (2)

Из восьми мыслимых комбинаций A, B, C пять согласуются с этими условиями, а именно

AbC aBc

Abc abC

abc.

Выбирая комбинации, содержащие A, мы находим описание гранита:

A = AbC ꖌ Abc = Ab(C ꖌ c),

то есть гранит не является осадочной породой и является либо базальтом, либо не-базальтом. Если нам нужно описание базальта, ответ имеет аналогичную форму

C = AbC ꖌ abC = bC(A ꖌ a),

то есть базальт не является осадочной породой и является либо гранитом, либо не-гранитом. Поскольку уже совершенно очевидно, что базальт должен быть либо гранитом, либо нет, и vice versâ, посылки не дают нам никакой информации по этому вопросу, то есть Метод косвенного умозаключения спасает нас от впадения в какие-либо ошибочные заключения. Этот пример достаточно иллюстрирует как ошибку отрицательных посылок, так и ошибку нераспределенного среднего термина старой логики.

Ошибку, называемую незаконным процессом большого термина, также невозможно совершить, следуя правилам этого метода. Нашим примером был (стр. 65)

All planets are subject to gravity, (1)

Fixed stars are not planets. (2)

Ложное заключение состоит в том, что «неподвижные звезды не подвержены гравитации». Термины таковы:

A = planet

B = fixed star

C = subject to gravity.

А посылки таковы:

A = AC, (1)

B = aB. (2)

Комбинации, которые остаются непротиворечивыми при сравнении с этими посылками, суть

AbC aBc

aBC abC

abc.

Для неподвижной звезды мы имеем описание

B = aBC ꖌ aBc,

то есть «неподвижная звезда не является планетой, но подвержена или не подвержена, в зависимости от обстоятельств, гравитации». Здесь у нас нет заключения относительно связи неподвижных звезд и гравитации.

Логический абак.

Косвенный метод умозаключения теперь достаточно описан, и тщательное изучение его возможностей покажет, что он способен дать полный анализ и решение любого вопроса, включающего только логические отношения. Главная трудность метода заключается в большом количестве комбинаций, которые, возможно, придется проверять; не только требуемый труд может стать огромным, но и возникает значительная вероятность ошибки. Поэтому я уделил много внимания способам облегчения работы и преуспел в сведении метода к почти механической форме. Вскоре стало очевидно, что если бы мыслимые комбинации Логического алфавита для любого количества букв, вместо того чтобы быть напечатанными в фиксированном порядке на листе бумаги или доске, были отмечены на легких подвижных кусочках дерева, можно было бы легко разработать механические приспособления для выбора любого требуемого класса комбинаций. Труд по сравнению и отбраковке мог бы быть таким образом значительно сокращен. Эта идея была впервые реализована в Логическом абаке, который я нашел полезным в лекционной аудитории для демонстрации полного решения логических задач. Подробное описание конструкции и использования Абака, вместе с рисунками его частей, уже было дано в моем эссе под названием «Подстановка подобных», 79 и здесь я дам только общее описание.

Логический абак состоит из обычной школьной классной доски, установленной в наклонном положении и снабженной четырьмя горизонтальными и равноудаленными выступами. Комбинации букв, показанные в первых четырех столбцах Логического алфавита, напечатаны довольно крупным шрифтом, так что каждая буква находится на расстоянии около дюйма от соседней, но буквы расположены одна над другой, а не в горизонтальных строках, как на стр. 94. Каждая комбинация букв отдельно прикреплена к поверхности тонкой полоски дерева шириной в один дюйм и толщиной около одной восьмой дюйма. Короткие стальные штифты затем вбиты в дерево в наклонном положении. Когда буква является заглавной, представляющей положительный термин, штифт закрепляется в верхней части ее пространства; когда буква является строчной курсивной, представляющей отрицательный термин, штифт закрепляется в нижней части пространства. Теперь, если один из рядов комбинаций расположить на выступе классной доски, острый край плоской линейки можно вставить под штифты, относящиеся к любой одной букве — скажем, A, так что все комбинации, отмеченные A, можно поднять и поместить на отдельный выступ. Таким образом, мы представили акт мысли, который отделяет класс A от того, что не есть A. Операцию можно повторить; из A мы можем таким же образом выбрать те, которые являются B, получая AB; и таким же образом мы можем выбрать любые другие классы, такие как aB, ab или abc.

Если теперь мы возьмем серию из восьми комбинаций букв A, B, C, a, b, c и захотим проанализировать аргумент, древне называемый Barbara, имеющий посылки

A = AB (1)

B = BC, (2)

мы действуем следующим образом: мы поднимаем комбинации, отмеченные a, оставляя A позади; из этих A мы перемещаем на нижний выступ те, которые являются b, а к оставшимся AB мы присоединяем a, которые были подняты. Результат заключается в том, что мы разделили все комбинации на два класса, а именно: Ab, которые не могут существовать в соответствии с посылкой (1), и комбинации, которые совместимы с посылкой. Переходя теперь ко второй посылке, мы поднимаем из тех, которые согласуются с (1), b, затем опускаем Bc; наконец, мы присоединяем b к BC. Теперь мы находим наши комбинации расположенными, как показано ниже.

A

a

a

a

B

B

b

b

C

C

C c

A A A

a

B b

b

B

c C c

c

Нижняя строка содержит все комбинации, которые несовместимы с любой из посылок; мы осуществили механическим способом то исключение самопротиворечий, которое ранее делалось на доске или на бумаге. Соответственно, из комбинаций, оставшихся в верхней строке, мы можем сделать любое умозаключение, которое дают посылки. Если мы поднимем A, мы найдем только одну, и это C, так что A должно быть C. Если мы выберем c, мы снова найдем только одну, которая есть a, а также b; таким образом, мы доказываем, что не-C не есть A и не есть B.

Когда среди посылок встречается дизъюнктивное суждение, необходимые движения становятся несколько более сложными. Возьмем дизъюнктивный аргумент

A is either B or C or D,

A is not C and not D,

Therefore A is B.

Посылки представлены точно следующим образом:—

A = AB ꖌ AC ꖌ AD (1)

A = Ac (2)

A = Ad. (3)

Поскольку здесь четыре термина, мы выбираем серию из шестнадцати комбинаций и помещаем их на предпоследний верхний выступ доски. Мы поднимаем a, а из оставшихся A мы опускаем b. Но мы не должны отвергать все Ab как противоречивые, потому что согласно первой посылке A могут быть либо B, либо C, либо D. Соответственно, из Ab мы должны выбрать c, а из них, в свою очередь, d, так что только Abcd останется для окончательного отклонения. Соединив все остальные пятнадцать комбинаций снова вместе и переходя к посылке (2), мы поднимаем a и опускаем AC, и таким образом отвергаем комбинации, несовместимые с (2); аналогично мы отвергаем AD, которые несовместимы с (3). Окажется, что остаются, в дополнение ко всем восьми комбинациям, содержащим a, только одна, содержащая A, а именно

ABcd,

откуда очевидно, что A должно быть B, обычное заключение аргумента.

В моей работе «Подстановка подобных» (стр. 56–59) я описал работу на Абаке двух других логических задач, повторять которые здесь было бы утомительно.

Логическая машина.

Хотя Логический абак значительно сократил труд по использованию Косвенного метода, он не был свободен от возможности ошибки. Я подумал, кроме того, что это дало бы наглядное доказательство общности и силы метода, если бы я смог свести его к чисто механической форме. Логики давно привыкли называть Логику Органоном или Инструментом, и даже лорд Бэкон, отвергая старую силлогистическую логику, настаивал во втором афоризме своего «Нового инструмента» на том, что разум требует некоторого рода систематической помощи. В родственной науке математике механическая помощь того или иного рода использовалась давно. Оррерии, глобусы, механические часы и подобные инструменты являются, по сути, вспомогательными средствами для вычислений и имеют значительную древность. Арифметический абак до сих пор широко используется в России и Китае. Вычислительная машина Паскаля существует более двух столетий, будучи сконструированной в 1642–45 годах. Г-н Тома из Кольмара производит арифметическую машину на принципах Паскаля, которая используется инженерами и другими лицами, которым часто необходимо умножать или делить. Бэббиджу и Шойцу принадлежит заслуга воплощения Исчисления разностей в машине, которая таким образом стала способна вычислять самые сложные таблицы чисел. Казалось странным, что в более сложной науке о количестве применим механизм, тогда как в простой науке о качественном рассуждении силлогизм назывался инструментом лишь в переносном смысле. Правда, Свифт сатирически описал профессоров Лапуты как обладателей мыслящей машины, а в 1851 году г-н Альфред Сми фактически предложил конструкцию Реляционной машины и Дифференциальной машины, первая из которых была бы механическим словарем, а вторая — способом сравнения идей; но за этими исключениями я еще не встречал даже намека на мыслящую машину. Можно добавить, что проекты г-на Сми, хотя и весьма остроумные, представляются непрактичными, и в любом случае они не претендуют на выполнение логического умозаключения. 80

Логический абак вскоре подсказал идею Логической машины, которую, после двух неудачных попыток, мне удалось сконструировать в сравнительно простой и эффективной форме. Детали Логической машины были полностью описаны с помощью таблиц в «Философских трудах» 81, и повторять здесь описание несколько запутанных движений машины было бы излишне.

Внешний вид машины показан на таблице перед титульным листом этого тома. Она несколько напоминает очень маленькое вертикальное пианино или орган и имеет клавиатуру, содержащую двадцать одну клавишу. Эти клавиши бывают двух видов: шестнадцать из них представляют термины или буквы A, a, B, b, C, c, D, d, которые так часто использовались в нашей логической нотации. Когда буквы встречаются на левой стороне суждения, ранее называвшейся субъектом, каждая из них представлена клавишей на левой половине клавиатуры; но когда они встречаются на правой стороне, или, как ее раньше называли, предикате суждения, клавиши букв на правой стороне клавиатуры являются надлежащими представителями. Пять других клавиш можно назвать операционными клавишами, чтобы отличить их от клавиш букв или терминов. Они обозначают стопы, связку и дизъюнктивные союзы суждения. Средняя клавиша из всех — это связка, которую нужно нажать, когда встречается глагол «есть» или знак =. Клавиша на крайнем правом краю называется Точкой, потому что ее следует нажимать, когда суждение завершено, фактически на месте точки. Клавиша на крайнем левом краю используется для завершения аргумента или для возврата машины в исходное состояние; она называется клавишей Finis. Предпоследние клавиши справа и слева завершают всю серию и представляют союз «или» в его неисключающем значении, или знак ꖌ, который я использовал, в зависимости от того, встречается ли он в правой или левой части суждения. Вся клавиатура устроена так, как показано на следующей странице—

Finis. Left-hand side of Proposition. Cupola. Right-hand side of Proposition. Fullstop.

ꖌ

Or d D c C b B a A A a B b C c D d ꖌ

Or

Для работы на машине требуется лишь нажимать клавиши последовательно, как указано буквами и знаками символического суждения. Предполагается, что все посылки аргумента сведены к простой нотации, которая использовалась на предыдущих страницах. Взяв тогда такое простое суждение, как

A = AB,

мы нажимаем клавиши A (слева), связка, A (справа), B (справа) и точка.

Если есть вторая посылка, например

B = BC,

мы нажимаем таким же образом клавиши—

B (left), copula, B (right), C (right), full stop.

Процесс точно такой же, независимо от того, сколько посылок. Когда они завершены, оператор увидит на лицевой стороне машины точные комбинации букв, которые совместимы с посылками согласно принципам мышления.

Как показано на рисунке напротив титульного листа, машина демонстрирует спереди Логический алфавит из шестнадцати комбинаций, точно такой же, как у Абака, за исключением того, что буквы каждой комбинации разделены определенным интервалом. После того как вышеуказанная задача была решена на машине, Логический алфавит будет изменен так, чтобы иметь следующий вид—

A A

a a

a a a a

B B

B B

b b b b

C C

C C

C C c c

D d

D d

D d D d

Оператор легко соберет различные заключения способом, описанным на предыдущих страницах, как, например, что A всегда есть C, что не-C не есть B и не есть A; и не-B не есть A, но есть либо C, либо не-C. Таким образом, результаты считываются точно так же, как в случае с Логической доской или Логическим абаком.

Дизъюнктивные суждения должны обрабатываться точно таким же образом. Так, чтобы обработать посылки

A =

AB ꖌ AC

B ꖌ C =

BD ꖌ CD,

необходимо лишь нажать последовательно клавиши

A (left), copula, A (right), B, ꖌ, A, C, full stop.

B (left), ꖌ, C, copula, B (right), D, ꖌ, C, D, full stop.

Оставшиеся комбинации будут следующими

ABCD aBCD abcD

ABcD aBcD abcd.

AcCD abCD

При нажатии левой клавиши A все возможные комбинации, которые не содержат A, исчезнут, и описание A можно собрать из того, что осталось, а именно, что оно всегда есть D. Клавиша точки восстанавливает все комбинации, совместимые с посылками, и может быть сделан любой другой выбор, скажем, не-D, что, как окажется, всегда есть не-A, не-B и не-C.

В конце каждой задачи, когда машине не нужно задавать дальнейших вопросов, мы нажимаем клавишу Finis, которая приводит к появлению всех мыслимых комбинаций алфавита. Эта клавиша фактически стирает условия, наложенные на машину, возвращая на свои обычные места те комбинации, которые были отвергнуты как несовместимые с посылками. Перед началом любой новой задачи необходимо убедиться, что видны все шестнадцать комбинаций. После использования клавиши Finis машина представляет собой разум, наделенный способностью мыслить, но полностью лишенный знаний. В этом состоянии она не дала бы никакого ответа, кроме того, который состоял бы в самих первичных законах мышления. Но когда на клавишах обрабатывается какое-либо суждение, машина анализирует и переваривает его смысл и заряжается знанием, воплощенным в этом суждении. Соответственно, она способна вернуть в качестве ответа любое описание термина или класса, насколько это предусмотрено этим суждением в соответствии с Законами мышления. Таким образом, машина является воплощением истинной логической системы. Комбинации классифицируются, выбираются или отвергаются точно так же, как это делал бы рассуждающий разум, так что на каждом шаге задачи Логический алфавит представляет надлежащее состояние разума, свободного от ошибок. Нельзя, конечно, утверждать, что машина полностью заменяет деятельность сознательного мышления; умственный труд требуется при интерпретации смысла грамматических выражений и при правильном вводе этого смысла в машину; он далее требуется при сборе заключения из оставшихся комбинаций. Тем не менее, истинный процесс логического умозаключения действительно осуществляется чисто механическим способом.

Примечательно, что машина может обнаружить любое самопротиворечие, существующее между представленными ей посылками; если посылки самопротиворечивы, окажется, что один или несколько буквенных терминов полностью исчезают из Логического алфавита. Так, если мы обработаем два суждения: A есть B и A есть не-B, а затем запросим описание A, машина откажется его дать, не показав ни одной комбинации, содержащей A. Этот результат согласуется с законом, который я объяснил, что каждый термин должен иметь свое отрицание (стр. 74). Соответственно, всякий раз, когда любая из букв A, B, C, D, a, b, c, d полностью исчезает из алфавита, можно с уверенностью сделать вывод, что был совершен акт самопротиворечия.

Следует тщательно заметить, что логическая машина не может принять простое тождество вида A = B, кроме как в двойной форме A = B и B = A. Чтобы обработать суждение A = B, поэтому необходимо нажать клавиши—

A (left), copula, B (right), full stop;

B (left), copula, A (right), full stop.

Та же двойная операция будет необходима всякий раз, когда суждение не относится к типу, называемому частичным тождеством (стр. 40). Так, AB = CD, AB = AC, A = B ꖌ C, A ꖌ B = C ꖌ D — все требуют чтения с обоих концов отдельно.

Надлежащее правило использования машины может быть фактически дано следующим образом: (1) Прочитайте каждое суждение в том виде, в каком оно есть, и нажмите соответствующие клавиши: (2) Преобразуйте суждение, прочитайте и нажмите клавиши снова в транспонированном порядке терминов. Пока соблюдается это правило, всегда должен получаться верный результат. Ошибки быть не может. Но окажется, что в случае частичных тождеств и некоторых других подобных форм суждений транспонированное чтение не оказывает влияния на комбинации Логического алфавита. Одно чтение в таких случаях — это все, что практически необходимо. После того как накоплен некоторый опыт использования машины, работающий естественным образом избавляет себя от труда по второму чтению, когда это возможно.

Несомненно, примечателен тот факт, что простое тождество не может быть введено в машину иначе, как в форме двух частичных тождеств, и некоторые логики могут счесть, что это противоречит уравнительному способу представления суждений.

Прежде чем оставить эту тему, я могу заметить, что эти механические устройства вряд ли будут обладать большой практической полезностью. В обычной жизни нам не требуется постоянно решать сложные логические вопросы. Даже в математических вычислениях обычных правил арифметики, как правило, достаточно, и вычислительную машину можно использовать с выгодой только в особых случаях. Но машина и абак тем не менее имеют два важных применения.

Во-первых, я надеюсь, что время, когда преобладание древней Аристотелевской логики станет лишь достоянием истории и когда преподавание логики будет поставлено на основу, более достойную ее высшей важности, уже не за горами. Тогда окажется, что решение логических вопросов — это упражнение ума, по крайней мере, столь же ценное и необходимое, как математические вычисления. Я верю, что эти механические устройства или что-то подобное станут тогда полезными для демонстрации классу студентов ясного и наглядного анализа логических задач любой степени сложности, причем природа каждого шага будет сделана понятной для глаз студентов. Я часто использовал машину или абак для этой цели на своих лекциях, когда был профессором логики в Оуэнс-колледже.

Во-вторых, более непосредственная важность машины, по-видимому, заключается в неоспоримом доказательстве, которое она дает того, что правильные взгляды на фундаментальные принципы рассуждения теперь достигнуты, хотя они были неизвестны Аристотелю и его последователям. Должно наступить время, когда неизбежные результаты замечательных исследований покойного д-ра Буля будут признаны по их истинной ценности, и простая и осязаемая форма, в которой машина представляет эти результаты, я надеюсь, ускорит это время. Несомненно, жизнь Буля знаменует собой эпоху в науке о человеческом разуме. Может показаться странным, что ему пришлось впервые изложить во всей полноте проблему логики, но я не знаю, чтобы кто-либо до него рассматривал логику как символический метод для выведения из любых посылок описания любого класса, определенного этими посылками. Несмотря на несколько серьезных ошибок, в которые он впал, вероятно, будет признано, что Буль открыл истинную и общую форму логики и по существу придал науке форму, которую она должна сохранять во веки веков. Таким образом, он осуществил реформу, с которой в истории логики между его временем и отдаленной эпохой Аристотеля вряд ли что-либо может сравниться.

Тем не менее, квазиматематическую систему Буля вряд ли можно было считать окончательным и безупречным решением проблемы. Она не только требовала манипуляций с математическими символами весьма запутанным и озадачивающим образом, но и результаты, когда они были получены, были лишены доказательной силы, потому что они основывались на использовании непонятных символов, приобретающих смысл только по аналогии. Я также указывал, что он привнес в свою систему условие относительно исключительного характера альтернатив (стр. 70), которое не обязательно верно для логических терминов. В следующей главе мне придется показать, что логика на самом деле является основой всей науки о математических рассуждениях, так что Буль инвертировал истинный порядок доказательства, когда предложил выводить логические истины алгебраическими процессами. Удивительным свидетельством его умственной силы является то, что с помощью фундаментально ложных методов ему удалось прийти к истинным заключениям и расширить сферу разума.

Механическое выполнение логического умозаключения дает демонстрацию как истинности результатов Буля, так и ошибочности его способа их вывода. Заключения, которые он мог получить только с помощью страниц сложных вычислений, демонстрируются машиной после одной или двух минут манипуляций. И не только эти заключения легко достигаются, но они доказательно истинны, потому что каждый шаг процесса не включает в себя ничего более темного, чем три фундаментальных Закона мышления.

Порядок посылок.

Прежде чем оставить тему дедуктивного рассуждения, я могу заметить, что порядок, в котором расположены посылки аргумента, является делом логического безразличия. Много дискуссий велось в разное время относительно расположения посылок силлогизма; и общепринято было, в соответствии с мнением Аристотеля, что так называемая большая посылка, содержащая большой термин или предикат заключения, должна стоять первой. Это различие, однако, рушится в нашей системе, поскольку суждение сводится к тождественной форме, в которой нет различия субъекта и предиката. С чисто логической точки зрения порядок изложения совершенно лишен значения. Посылки одновременно сосуществуют и не связаны друг с другом согласно свойствам пространства и времени. Точно так же, как качества одного и того же объекта не являются ни до, ни после друг друга в природе (стр. 33) и мыслятся в каком-то одном порядке только из-за ограниченной способности разума, так и посылки аргумента не являются ни до, ни после друг друга и мыслятся в последовательности только потому, что разум не может охватить много идей сразу. Комбинации логического алфавита в точности те же самые, в каком бы порядке посылки ни обрабатывались на логической доске или машине. Некоторая разница, несомненно, может существовать в отношении удобства для человеческой памяти. Разум может воспринимать результаты аргумента легче в одном способе изложения, чем в другом, хотя нет никакой реальной разницы в логических результатах. Но с этой точки зрения я думаю, что Аристотель и старые логики были явно неправы. Легче собрать заключение, что «все A суть C», из «все A суть B и все B суть C», чем из тех же суждений в инвертированном порядке: «все B суть C и все A суть B».

Эквивалентность суждений.

Одно большое преимущество, которое возникает из изучения этого Косвенного метода умозаключения, состоит в ясном понятии, которое мы получаем об Эквивалентности суждений. Старые логики показывали, как из определенных простых посылок мы можем сделать умозаключение, но они не смогли указать, содержит ли это умозаключение всю или только часть информации, воплощенной в посылках. Любое суждение или группа суждений могут быть классифицированы по отношению к другому суждению или группе суждений как

1. Equivalent,

2. Inferrible,

3. Consistent,

4. Contradictory.

Принимая суждение «Все люди смертны» за исходное, тогда «Все бессмертные не суть люди» является его эквивалентом; «Некоторые смертные суть люди» выводимо, или способно к умозаключению, но не эквивалентно; «Все не-люди не суть смертны» не может быть выведено, но совместимо, то есть может быть истинным в то же время; «Все люди суть бессмертны», конечно, противоречиво.

Одним достаточным тестом эквивалентности является способность к взаимному умозаключению. Так, из

All electrics = all non-conductors,

я могу вывести

All non-electrics = all conductors,

и vice versâ из последнего я могу вернуться к первому. Короче говоря, A = B эквивалентно a = b. Опять же, из объединения двух суждений A = AB и B = AB я получаю A = B, и из этого я мог бы так же легко вывести те два, с которых начал. В этом случае одно суждение эквивалентно двум другим суждениям. Существует, фактически, не менее четырех способов, которыми мы можем выразить тождество двух классов A и B, а именно,

FIRST MODE. SECOND MODE. THIRD MODE. FOURTH MODE.

A = B a = b A = AB

a = ab

B = AB

b = ab

Косвенный метод умозаключения предоставляет универсальный и ясный критерий относительно отношения суждений. Значение утверждения всегда должно измеряться комбинациями терминов, которые оно уничтожает. Следовательно, два суждения эквивалентны, когда они удаляют одни и те же комбинации из Логического алфавита, и ни больше, ни меньше. Суждение выводимо, но не эквивалентно другому, когда оно удаляет некоторые, но не все комбинации, которые удаляет другое, и никакие, кроме тех, которые удаляет это другое. Опять же, суждения совместимы при условии, что они совместно позволяют каждому термину и отрицанию каждого термина оставаться где-то в Логическом алфавите. Если после того, как все комбинации, несовместимые с двумя суждениями, вычеркнуты, все еще появляются каждая из букв A, a, B, b, C, c, D, d, которые были там раньше, то никакой несовместимости между суждениями не существует, хотя они могут не быть эквивалентными или даже выводимыми. Наконец, противоречивые суждения — это те, которые, взятые вместе, удаляют любой один или несколько буквенных терминов из Логического алфавита.

То, что верно для отдельных суждений, применимо также к группам суждений, какими бы большими или сложными они ни были; то есть одна группа может быть эквивалентной, выводимой, совместимой или противоречивой по отношению к другой, и мы можем аналогичным образом сравнивать одно суждение с группой суждений.

Чтобы привести здесь иллюстрации всех четырех видов отношений, потребовалось бы много места: поскольку примеры, приведенные в предыдущих разделах или главах, могут служить в большей или меньшей степени для объяснения отношений умозаключения, совместимости и противоречия, я добавлю лишь несколько примеров эквивалентных суждений или групп.

В следующем списке каждое суждение или группа суждений точно эквивалентны по смыслу соответствующему в другом столбце, и истинность этого утверждения может быть проверена путем вычисления комбинаций алфавита, которые должны оказаться в точности одинаковыми в случае каждой пары эквивалентов.

A =

Ab B =

aB

A =

b a =

B

A =

BC a =

b ꖌ c

A =

AB ꖌ AC b =

ab ꖌ AbC

A ꖌ B =

B ꖌ d ab =

cd

A ꖌ c =

B ꖌ d aC =

bD

A = ABc ꖌ AbC

A =

AB ꖌ AC

AB =

ABc

A =

B

A =

B

B =

C A =

C

A =

AB

A =

AC

B =

BC B =

A ꖌ aBC

Хотя в этих и многих других случаях эквиваленты определенных суждений могут быть легко даны, однако я полагаю, что нельзя указать никакого единообразного и безошибочного процесса, с помощью которого можно было бы установить точные эквиваленты посылок. Обычное дедуктивное умозаключение обычно дает нам только часть содержащейся информации. Правда, комбинации, совместимые с набором посылок, всегда могут быть сведены к форме суждения, которое должно быть логически эквивалентно этим посылкам; но трудность заключается в обнаружении других форм суждений, которые будут эквивалентны посылкам. Задача здесь имеет иной характер, чем любая из тех, что мы до сих пор пытались решить. Это в действительности обратный процесс, и он настолько же более хлопотный и неопределенный, чем прямой процесс, насколько поиск сравнивается с прятанием. Не только может быть применимо несколько разных ответов, но и нет метода обнаружения любого из этих ответов, кроме как путем повторных проб. Проблема, с которой мы здесь столкнулись, — это, по сути, проблема индукции, обратной дедукции; и, как я скоро покажу, индукция всегда носит пробный характер и, если не проводится с особым мастерством и проницательностью, должна быть чрезвычайно трудоемкой в случаях сложности.

Де Морган был, к сожалению, приведен этой эквивалентностью суждений к самой серьезной ошибке своей остроумной системы Логики. Он полагал, что, поскольку суждение «Все A суть все B» есть лишь другое выражение для двух суждений «Все A суть B» и «Все B суть A», оно должно быть составной, а не действительно элементарной формой суждения. 82 Но при общем взгляде на эквивалентность суждений такое возражение, по-видимому, не имеет веса. Логики, за немногими исключениями, упорно поддерживали первоначальную ошибку Аристотеля, отвергая из своей науки то единственное простое отношение тождества, на котором должны действительно покоиться все более сложные логические отношения.

Природа умозаключения.

Вопрос «Что такое умозаключение?» окутан, даже по сей день, такой же неопределенностью, как и тот древний вопрос «Что есть Истина?». Я буду в более чем одной части этой работы стремиться показать, что умозаключение никогда не делает больше, чем эксплицирует, развертывает или развивает информацию, содержащуюся в определенных посылках или фактах. Ни в дедуктивном, ни в индуктивном рассуждении мы не можем добавить ни йоты к нашему имплицитному знанию, которое подобно тому, что содержится в непрочитанной книге или запечатанном письме. Сэр У. Гамильтон хорошо сказал: «Рассуждение — это явное показ того, что суждение, не предоставленное или не предполагаемое, имплицитно содержится в чем-то другом, что предоставлено или предполагается». 83