Convertible,Familiar, Adversary,Mammoth, Illuminate,Drawee, Circuit,Motor, Remnant,Presumption, Stencil,Monosyllable, Degradation,Apprentice, Claret,Alcohol, Ludicrous,Charity, Idea,Plantain, Saucy,Stampede, Recollect,Demonstrate, Cupola,Longitude.
АРИФМЕТИКА.
Уроки по десятичным дробям.
Экзаменационная работа по арифметике на экзаменах для второй категории обычно содержит одну, иногда две задачи на обыкновенные или десятичные дроби. Решать их не сложнее, если понимать правила, управляющие ими, чем любое простое задание на сложение, деление и т. д. В целых числах, таких как 57, 563, 4278, различные единицы возрастают по десятеричной шкале влево (или убывают по той же десятеричной шкале вправо). Так, в последнем числе мы говорим: 8 единиц, 7 десятков, 2 сотни и 4 тысячи, или четыре тысячи двести семьдесят восемь.
Десятичные дроби также убывают по десятеричной шкале вправо (или возрастают по той же десятеричной шкале влево). При записи десятичных дробей мы сначала пишем десятичную точку, которая представляет собой тот же знак, который мы используем в конце предложения и который называется точкой. Затем первая цифра справа называется «десятыми» и записывается так: .6, что означает шесть десятых. Вторая цифра обозначает сотые, например .06 — шесть сотых; .006 — шесть тысячных; .0006 — шесть десятитысячных; .00006 — шесть стотысячных; .000006 — шесть миллионных и т. д. Когда целое число, упоминавшееся ранее, и десятичные дроби пишутся вместе, например 47,328, это называется смешанным числом.
Единственное различие между чтением целых чисел и десятичных дробей заключается в добавлении окончания к десятичным дробям, причем наименование крайней правой цифры должно быть выражено, чтобы придать десятичным долям правильное значение. Например, .12 — это двенадцать сотых; .007 — это семь тысячных; .062 — это шестьдесят две тысячные; .201 — это двести одна тысячная; .5562 — это пять тысяч пятьсот шестьдесят две десятитысячных; .24371 — это двадцать четыре тысячи триста семьдесят одна стотысячная; .893254 — это восемьсот девяносто три тысячи двести пятьдесят четыре миллионные и т. д. Помните, что в десятичных дробях первая цифра обозначает десятые; вторая — сотые; третья — тысячные; четвертая — десятитысячные; пятая — стотысячные; шестая — миллионные, и что при чтении десятичных дробей мы добавляем наименование крайней правой цифры. При чтении смешанного числа слово «и» используется исключительно для того, чтобы указать на десятичную точку. Так, число 45.304 следует читать как сорок пять И триста четыре тысячные.
Сложение и вычитание десятичных дробей отличаются от аналогичных операций с целыми числами только расстановкой цифр. В целых числах единицы пишутся под единицами, десятки под десятками и т. д. Проиллюстрируем это:
Какова сумма чисел 260, 4398, 305, 2, 29?
Цифры располагаются следующим образом:
260 4,398 305 2 29 ——— 4,994
Теперь возьмем те же цифры, выраженные в виде десятичных дробей: .260, .4398, .305, .2, .29.
.260 .4398 .305 .2 .29 ——— 1.4948
При вычитании целых чисел или десятичных дробей цифры располагаются так же, как и при сложении.
Примеры — Вычтите .204 из .4723.
.4723 .204 ——– .2683
Вычтите 5.346 из .937.
5.346 .937 ——– 4.409
Вычтите .753 из 18. (Обратите внимание, что точка ставится слева от «753», указывая на десятичную дробь, но применительно к числу «18» точка ставится справа исключительно как знак препинания, показывая тем самым, что «18» является целым числом.)
Теперь из целого числа «18», которое является уменьшаемым, поскольку оно представляет собой число, из которого вычитают, мы должны вычесть .753, и это делается следующим образом:
Minuend18.000 Subtrahend .753 ——— 17.247
К уменьшаемому добавляются три нуля, чтобы привести его в соответствие с количеством десятичных знаков в вычитаемом. Нули можно не записывать, но начинающие склонны путаться, если внизу нет ничего, соответствующего десятичным знакам. Припишите к уменьшаемому столько нулей, сколько десятичных знаков в вычитаемом, и поставьте в остатке десятичную точку под точками вычитаемых чисел.
Умножение десятичных дробей несколько отличается от упомянутых выше операций по той причине, что нам не обязательно ставить десятичные точки строго друг под другом. Крайняя права цифра множителя обычно располагается под крайней правой цифрой множимого, после чего задача решается так же, как и умножение целых чисел. Получив произведение, мы отделяем в нем запятой столько десятичных знаков, сколько их в множителе и множимом вместе взятых.
В качестве примера возьмем следующее: умножить 2,648 на 2,35.
Multiplicand 2.648 Multiplier 2.35 ———– 13240 7944 5296 ———– Product6.22280
Как видно, в множимом имеется три десятичных знака, а в множителе — два, следовательно, в произведении мы отделяем запятой пять десятичных знаков.
При операции деления десятичных дробей десятичная точка не принимается во внимание до тех пор, пока не будет получен результат. Если количество десятичных знаков в делимом меньше количества десятичных знаков в делителе, необходимо приписать или добавить нули для восполнения недостатка, после чего десятичная точка опускается, что сводит операцию к делению двух целых чисел. Если остатка нет, частное является целым числом; если остаток есть, добавьте к нему справа ноль и поставьте десятичную точку справа от полученного частного, после чего продолжайте деление до желаемой степени точности, добавляя нули справа к последовательным остаткам, для каждого из которых в частном будет получаться новый десятичный знак.
Разделите 460 на .5.
.5) 460 (92 45 — 10 10 — 0
Дроби преобразуются в десятичные путем приписывания нулей к числителю с последующим делением на знаменатель.
Например — чему равна дробь 5/8 в десятичном выражении?
8) 5.000 (.625 = 5/8 4 8 — .20 16 — .40 40
Уроки проф. Жана П. Жантона, дипломированного инженера, члена Общества муниципальных инженеров и автора книги «Помощник инженера» — учебника издательства The Chief по гражданскому строительству.
При решении задач ход решения не должен просто обозначаться, а все цифры, необходимые для решения каждой задачи, должны быть приведены полностью. Ответы к каждой задаче должны быть обозначены написанием «Отв.» после них.
Арифметика\n— это наука о числах.
Число\n— это результат сравнения (также называемого измерением) какой-либо величины или количества с другой величиной или количеством того же рода, которые считаются известными.
Конкретное число\n— это число, природа единицы которого известна.
Именованное число.\n— Конкретное число, стандарт которого установлен законом или закреплен многолетней практикой.
Абстрактное число\n— это число, природа единицы которого неизвестна.
Как читать числа.\n— Правильный способ чтения чисел 101, 274 и т. д. — сто один, двести семьдесят четыре и т. д.
Десятичная точка.\n— Точка, называемая десятичной точкой, ставится в смешанном числе между целой частью и следующей за ней десятичной долью. Ее никогда нельзя опускать.
Римские цифры.\n— I обозначает 1, V — 5, X — 10, L — 50, C — 100, D — 500 и M — 1000.
Сокращения.\n— Меньшая единица, написанная слева от большей, вычитается из последней, например: IV = 4 (на циферблатах часов IV обозначается как IIII); IX = 9; XC = 90; CD = 400 и т. д. Иногда над римской цифрой ставится черта или титло; тогда она обозначает тысячи, например \nIX\n = 9000.
Сложение.
Сложение.\n— Операция, которая заключается в объединении в любом порядке всех единиц и долей единиц нескольких чисел и образовании из них единого числа, называемого их Суммой или Итогом.
Сложение длинных столбцов чисел.\n— Когда необходимо сложить длинные столбцы чисел, учащемуся следует стремиться складывать более чем по одной цифре за раз. Он может выбирать те из них, в сумме дающие 10, 15, 20 и т. д., и добавлять промежуточные цифры, когда это удобно.
Знак сложения.\n— Знаком сложения является горизонтально-вертикальный или римский крест +, помещаемый между всеми складываемыми числами; он читается как Плюс.
Проверка сложения.\n— Самый быстрый способ проверки сложения — выполнить его заново снизу вверх.
Знак равенства.\n— Знаком равенства являются две короткие равные горизонтальные параллельные линии =; он читается как Равно.
Вычитание.
Вычитание.\n— Операция, которая заключается в вычитании из числа, называемого \nуменьшаемым\n (m), всех единиц и частей единиц, содержащихся в другом числе, называемом \nвычитаемым\n (s). Результат называется \nразностью\n (d) двух чисел или \nостатком\n от их вычитания.
Знак вычитания.\n— Знаком вычитания является горизонтальное тире -, помещаемое между уменьшаемым, которое пишется первым, и вычитаемым. Так:\n84 - 38 = d;\n84 - 38 = 46.\nВ общем виде:\nm - s = d.
Проверка вычитания.\n— Сложите снизу вверх разность и вычитаемое; полученная сумма должна быть равна уменьшаемому.
Умножение.
Умножение.\n— Операция, которая заключается в повторении числа, называемого \nмножимым\n (M), столько раз, сколько единиц содержится в другом числе, называемом \nмножителем\n (m); результат называется \nпроизведением\n (p) чисел, а сами числа называются \nмножителями\n произведения. Это определение может быть распространено на случай, когда множители не являются целыми числами.
Знак умножения.\n— Знаком умножения является косой крест или крест святого Андрея ×, называемый умноженным на и помещаемый между множителями, записанными один за другим.
Таким образом:\n35 × 7 = p; 35 × 7 = 245.\nВ общем виде:\nM × m = p.
Проверка умножения.\n— Умножение можно проверить с помощью второго умножения, в котором множители поменялись местами.
Это самый надежный, но самый долгий способ.
Другой способ проверки умножения.\n— Найдите остаток от деления множимого и множителя. Перемножьте их и найдите остаток от их произведения; он равен остатку от произведения при умножении.
64327 4Residue of the multiplicand. 781 7Residue of the multiplier. ————— 281 Residue of the product of the residues 64327 514616 450289 ———— 502393871 Residue of the product of multiplication.
Неабсолютный характер проверки.\n— На практике проверка не является абсолютной, поскольку при ее использовании может быть совершена ошибка, а кроме того, она может работать не во всех случаях.
Степень числа.\n— Когда множители произведения равны, произведение называется степенью этого множителя.
Квадрат числа.\n— Степень называется квадратом, когда она является произведением двух (2) равных множителей, например \n7 × 7 = 49\n, где 49 — это квадрат числа 7. Термин «квадрат» происходит от того факта, что площадь квадрата получается умножением длины его стороны на саму себя или взятием ее в качестве множителя дважды.
Куб числа.\n— Степень называется кубом, когда она является произведением трех (3) равных множителей, например \n5 × 5 × 5 = 125\n, где 125 — это куб числа 5.
Термин «куб» происходит от того факта, что объем куба получается умножением длины его стороны на саму себя и снова на саму себя или взятием ее в качестве множителя трижды.
Произведение, например, из 4, 9 и т. д. равных множителей будет называться 4-й или 9-й и т. д. степенью этого числа.
Деление.
Деление.\n— Операция, с помощью которой мы находим один из двух множителей произведения, если заданы это произведение и другой множитель. Заданное произведение называется \nДелимым\n (D) деления; известный множитель называется \nДелителем\n (d), а искомый неизвестный множитель называется \nЧастным\n (q). Мы знаем, что частное редко бывает точным и что обычно имеется \nОстаток\n (r).
Знак деления.\n— Знаком деления является короткое тире с точкой над ним и точкой под ним ÷; оно читается как разделить на, ставится после делимого и сопровождается делителем. Например, чтобы обозначить деление 72 на 8, которое, как мы знаем, дает частное 9, мы пишем\n72 ÷ 8 = 9;\nв общем виде\nD ÷ d = q.
Другой знак деления.\n— При изучении дробей показывается, что дробь выражает частное от деления ее числителя на ее знаменатель, так что предыдущее тождество можно записать как \n72 / 8 = 9\n, или более обще \nD / d = q\n, а другим знаком деления является горизонтальная линия, отделяющая записанное над ней делимое от написанного под ней делителя.
Проверка деления.\n— Мы проверяем деление, умножая делитель на частное и прибавляя остаток, если он есть; полученный таким результатом результат должен быть равен делиму. Когда имеется остаток, формула деления имеет вид \nD = dq + r\n.
By 2.—A number is divisible by 2 when it is an even number, that is to say when it ends with 0, 2, 4, 6 or 8, as 70,836.
На 3. — Число делится на 3, когда его остаток равен нулю или делится на 3.
На 4. — Число делится на 4, когда число, образованное последними двумя цифрами справа, делится на 4; 7528 делится на 4, потому что 28 делится на 4.
На 5. — Число делится на 5, когда оно оканчивается на 0 или 5, как 75 270.
На 6. — Число делится на 6, когда оно делится на 2 и на 3, как 474, потому что когда число делится на несколько других, оно делится на их произведение.
На 8. — Число делится на 8, когда число, образованное последними тремя цифрами справа, делится на 8; 37 104 делится на 8, потому что 104 делится на 8.
На 9. — Число делится на 9, когда его остаток равен 9 или 0.
На 10. — Число делится на 10, когда последняя цифра справа равна 0.
На 100. — Число делится на 100, когда последние две цифры справа равны 00.
На 11. — Число делится на 11, когда сумма цифр четных разрядов, вычтенная из суммы цифр нечетных разрядов (при необходимости увеличенная на 11), равна 0 или делится на 11, как 95 832, 3 304 081.
На 12. — Число делится на 12, когда оно делится на 3 и на 4, как 756.
На 15. — Число делится на 15, когда оно делится на 3 и на 5, как 255.
Рекомендации по изучению арифметики
Эрнеста Л. Крандалла
Бывшего экзаменатора гражданской службы
Существуют определенные «типичные ошибки», так сказать, которые неудачливый кандидат совершает в девяти случаях из десяти, и если их устранить, каждый, проявив немного практики, сможет настроиться на получение 100 процентов.
Хотя примеры могут принимать форму «задач», единственными задействованными процессами будут простое сложение, вычитание, умножение и деление — никаких дробей или десятичных чисел.
При сложении следует соблюдать лишь одно правило. Если ваши числа неодинаковой длины, расположите их так, чтобы последние цифры находились в одном столбце. Предположим, вам нужно сложить 357 856, 7596, 452 и 29 360. Ниже приведены правильный и неправильный способы их расположения:
Right way. Wrong way. 357,856357856 7,5967596 452452 29,36029360 ——————
Такое расположение необходимо в силу присущих числам свойств, выраженных в цифрах в рамках того, что мы называем нашей десятичной системой, что означает просто принятую нами практику выражения наших чисел в кратных величинах десяти. Это произошло из того факта, что мы случайно родились с десятью пальцами, и наши предки, как и наши дети, научились считать с помощью этих весьма полезных «указателей».
В системе счисления каждый разряд, или столбец, если считать справа, имеет ценность в десять раз большую, чем тот, что находится в разряде или столбце непосредственно справа. Так, в числе 36 542 первая цифра справа обозначает «единицы», следующая — в десять раз больше, то есть «десятки», следующая — еще в десять раз больше, то есть «сотни» и так далее. Мы действительно читаем это число задом наперед, когда называем его, поскольку при любых манипуляциях с ним мы должны начинать с последней цифры, представляющей «единицы». Число на самом деле означает две единицы, четыре десятка, пять сотен, шесть тысяч и три десятка тысяч. Оно строится именно так, на самом деле путем сложения:
2 40 500 6000 30000 ——— 36,542
Теперь этот принцип лежит в основе процессов, называемых «переносом» и «заемом». Вы хотите сложить 26 и 37. Сложив 6 единиц с 7, вы получаете 13 единиц, или 3 единицы и 1 десяток. Поэтому вы «переносите» этот 1 десяток в столбец, к которому он принадлежит, оставляя 3 единицы на их должном месте. Таким образом, в столбце десятков у вас оказывается 2 десятка плюс 3 десятка плюс 1 «перенесенный» десяток, что составляет 6 десятков; и вашим результатом является 63, то есть 6 десятков и 3 единицы.
С другой стороны, вы хотите вычесть 19 из 38. Поскольку вы не можете вычесть 9 из 8, вы «занимаете» один из 3 десятков, превращая вашу 8 в 18 и вычитая из нее 9, что дает в остатке 9. Поступая так, вы оставляете в столбце десятков только 2 десятка, и поэтому теперь вычитание там происходит из 2, оставляя 1. Следовательно, вашим результатом являются 9 единиц и 1 десяток, то есть 19.
Вот пример на вычитание, который когда-то использовался и который с такой же вероятностью может подловить человека, как любой другой из возможных. Вычтите 199 999 из 320 012. Результат выглядит следующим образом:
320,012 199,999 ——— 120,013
Итак, вы не можете вычесть 9 из 2, поэтому вы «занимаете» единицу слева и превращаете вашу двойку в 12. Затем 9 из 12 дает в остатке 3. Занимая слева, вы уменьшаете 1 в столбце десятков до 0. Поскольку вы не можете вычесть 9 из 0, вы должны снова занять слева. Но у кого же вам занимать? В третьем, или сотенном столбце имеется лишь 0. Следовательно, прежде чем вы сможете занять у этого столбца, вы должны превратить этот 0 в 10, заняв у четвертого, или тысячного столбца (подсчитывая столбцы всегда справа).
Но и здесь вы обнаруживаете лишь 0, и поэтому, прежде чем вы сможете осуществить даже этот «заем», вы должны занять единицу у двойки в столбце десятков тысяч. Теперь посмотрите, что происходит. С помощью единицы, которую вы наконец заняли, вы превратили 0, оставшийся во втором, или десяточном столбце, в 10, и вычитаете 9 из 10, что дает в остатке 1.
Теперь вот где вы кое-что забываете. Когда вы начали «занимать», вам пришлось идти далеко-далеко к двойке в пятом столбце; это превратило ваш 0 в четвертом столбце в 10, но вы немедленно передали эту единицу в третий столбец, в результате чего осталась только 9; затем вы снова передали ее из третьего во второй столбец, в результате чего в третьем столбце осталась только 9. Следовательно, теперь у вас есть 9 в третьем и в четвертом столбцах, и ваши результаты там в каждом случае составят: 9 минус 9 равно 0.
Переходя к пятому столбцу, вы имеете 1 вместо 2, поскольку заняли 1; и вам приходится снова занимать у тройки, чтобы превратить вашу единицу в 11, получая 9 из 11 равно 2; а поскольку ваша шестая и последняя цифра уменьшена с 3 до 2, ваш последний результат составляет: 1 из 2 равно 1.