«Философия математики»

Но чаще всего мы рассматриваем только те случаи, в которых функции являются такими, как называются алгебраическими, и к которым применима идея степени. В этом случае мы можем придать больше точности общему предложению, определив аналитический характер, который должен быть обязательно представлен уравнением, чтобы это свойство могло быть проверено. Легко видеть тогда, что при модификации, только что объясненной, все члены первой степени, какой бы ни была их форма, рациональная или иррациональная, целая или дробная, станут в m раз больше; все члены второй степени — в m2 раз; члены третьей — в m3 раз и т. д. Таким образом, члены одной и той же степени, как бы ни был различен их состав, варьируясь одинаковым образом, а члены разных степеней варьируясь в неравной пропорции, какое бы сходство ни было в их составе, будет необходимо, чтобы предотвратить нарушение уравнения, чтобы все члены, которые оно содержит, были одной и той же степени. Именно в этом по существу состоит обычная теорема однородности, и именно из этого обстоятельства общий закон получил свое название, которое, однако, перестает быть точно подходящим для всех других функций.

Чтобы рассмотреть этот предмет во всем его объеме, важно заметить существенное условие, на которое необходимо обращать внимание при применении этого свойства, когда явление, выраженное уравнением, представляет величины разных природ. Так может случиться, что соответствующие единицы совершенно независимы друг от друга, и тогда теорема однородности будет справедлива либо по отношению ко всем соответствующим классам величин, либо по отношению только к одной или нескольким из них. Но в других случаях будет случаться, что разные единицы будут иметь фиксированные отношения друг к другу, определяемые природой вопроса; тогда будет необходимо обращать внимание на эту субординацию единиц при проверке однородности, которая не будет существовать больше в чисто алгебраическом смысле, и точная форма которой будет варьироваться в зависимости от природы явлений. Так, например, чтобы зафиксировать наши идеи, когда в аналитическом выражении геометрических явлений мы рассматриваем одновременно линии, площади и объемы, будет необходимо заметить, что три соответствующие единицы неизбежно так связаны друг с другом, что, согласно субординации, обычно установленной в этом отношении, когда первая становится в m раз больше, вторая становится в m2 раз, а третья — в m3 раз. Именно с такой модификацией однородность будет существовать в уравнениях, в которых, если они алгебраические, нам придется оценивать степень каждого члена путем удвоения показателей факторов, которые соответствуют площадям, и утроения показателей факторов, относящихся к объемам.

Таковы основные общие соображения, относящиеся к исчислению прямых функций. Мы должны теперь перейти к философскому рассмотрению исчисления косвенных функций, гораздо более превосходящая важность и объем которого требуют более полного развития.

ГЛАВА III.

ТРАНСЦЕНДЕНТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ: РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ ЕГО РАССМОТРЕНИЯ.

Мы определили во второй главе философский характер трансцендентального анализа, каким бы образом он ни был задуман, рассматривая только общую природу его фактического назначения как части математической науки. Этот анализ был представлен геометрами с нескольких точек зрения, действительно различных, хотя и обязательно эквивалентных, и ведущих всегда к тождественным результатам. Они могут быть сведены к трем основным: Лейбница, Ньютона и Лагранжа, из которых все остальные являются лишь вторичными модификациями. В нынешнем состоянии науки каждая из этих трех общих концепций предлагает существенные преимущества, которые принадлежат исключительно ей, без того, чтобы нам удалось до сих пор построить единый метод, объединяющий все эти различные характерные качества. Это сочетание, вероятно, будет осуществлено в будущем каким-либо методом, основанным на концепции Лагранжа; когда эта важная философская работа будет завершена, изучение других концепций будет иметь лишь исторический интерес; но до тех пор наука должна рассматриваться как находящаяся лишь в предварительном состоянии, которое требует одновременного рассмотрения всех различных способов рассмотрения этого исчисления. Как бы нелогичной ни казалась эта множественность концепций одного тождественного предмета, все же без них всех мы могли бы составить лишь очень недостаточное представление об этом анализе, как в нем самом, так и, особенно, в отношении его приложений. Это отсутствие системы в самой важной части математического анализа не покажется странным, если мы рассмотрим, с одной стороны, его огромный объем и его превосходящую трудность, а с другой — его недавнее формирование.

ЕГО РАННЯЯ ИСТОРИЯ.

Если бы нам пришлось проследить здесь систематическую историю последовательного формирования трансцендентального анализа, необходимо было бы предварительно тщательно отличить от исчисления косвенных функций в собственном смысле слова первоначальную идею метода бесконечно малых, которая может быть задумана сама по себе, независимо от какого-либо исчисления. Мы увидели бы, что первое зерно этой идеи находится в процедуре, постоянно используемой греческими геометрами под названием метода исчерпывания, как средства перехода от свойств прямых линий к свойствам кривых, и состоящей по существу в подстановке для кривой вспомогательного рассмотрения вписанного или описанного многоугольника, с помощью которого они восходили к самой кривой, принимая надлежащим образом пределы примитивных отношений. Как бы неоспорима ни была эта филиация идей, было бы приданием ей сильно преувеличенного значения видеть в этом методе исчерпывания реальный эквивалент наших современных методов, как это делали некоторые геометры; ибо у древних не было логических и общих средств для определения этих пределов, и это обычно было величайшей трудностью вопроса; так что их решения не были подчинены абстрактным и неизменным правилам, единообразное применение которых приводило бы с уверенностью к искомому знанию; что, напротив, является главной характеристикой нашего трансцендентального анализа. Одним словом, оставалась еще задача обобщения концепций, используемых древними, и, особенно, рассматривая ее чисто абстрактным образом, сведения ее к полной системе вычисления, что для них было невозможно.

Первая идея, которая была произведена в этом новом направлении, восходит к великому геометру Ферма, которого Лагранж справедливо представил как заложившего основы прямого формирования трансцендентального анализа своим методом для определения максимумов и минимумов и для нахождения касательных, который состоял по существу во введении вспомогательного рассмотрения коррелятивных приращений предложенных переменных, приращений, впоследствии подавляемых как равные нулю, когда уравнения подвергались некоторым подходящим преобразованиям. Но хотя Ферма был первым, кто задумал этот анализ чисто абстрактным образом, он был еще далек от того, чтобы быть регулярно сформированным в общее и отдельное исчисление, имеющее свое собственное обозначение и, особенно, освобожденное от излишнего рассмотрения членов, которые в анализе Ферма в конечном итоге не принимались в расчет, после того как тем не менее сильно усложнили все операции своим присутствием. Это то, что Лейбниц так удачно выполнил полвека спустя, после некоторых промежуточных модификаций идей Ферма, введенных Валлисом и еще более Барроу; и он таким образом стал истинным творцом трансцендентального анализа, каким мы его сейчас используем. Это восхитительное открытие было настолько зрелым (как и все великие концепции человеческого интеллекта в момент их проявления), что Ньютон со своей стороны пришел в то же время или немного раньше к методу, точно эквивалентному, рассматривая этот анализ под очень другой точкой зрения, которая, хотя и более логична сама по себе, действительно менее приспособлена для придания общему фундаментальному методу всей той широты и легкости, которые были приданы ему идеями Лейбница. Наконец, Лагранж, отбросив неоднородные соображения, которые направляли Лейбница и Ньютона, преуспел в сведении трансцендентального анализа в его величайшем совершенстве к чисто алгебраической системе, которой не хватает только большей способности для ее практических приложений.

После этого краткого взгляда на общую историю трансцендентального анализа мы перейдем к догматическому изложению трех основных концепций, чтобы оценить точно их характерные свойства и показать необходимую идентичность методов, которые отсюда выводятся. Начнем с концепции Лейбница.

МЕТОД ЛЕЙБНИЦА.

Бесконечно малые элементы. Это состоит во введении в исчисление, с целью облегчения установления уравнений, бесконечно малых элементов, из которых, как считается, состоят все величины, отношения между которыми ищутся. Эти элементы или дифференциалы будут иметь определенные отношения друг к другу, которые постоянно и обязательно более просты и легки для обнаружения, чем отношения примитивных величин, и с помощью которых мы будем способны (с помощью специального исчисления, имеющего своей особой целью исключение этих вспомогательных бесконечно малых) вернуться к желаемым уравнениям, которые было бы чаще всего невозможно получить непосредственно. Этот косвенный анализ может иметь разные степени косвенности; ибо, когда существует слишком большая трудность в формировании немедленно уравнения между дифференциалами рассматриваемых величин, придется сделать второе применение того же общего приема, и эти дифференциалы рассматривать, в свою очередь, как новые примитивные величины, и искать отношение между их бесконечно малыми элементами (которые, по отношению к конечным объектам вопроса, будут вторыми дифференциалами), и так далее; то же преобразование допускает повторение любое число раз, при условии окончательного исключения постоянно возрастающего числа бесконечно малых величин, введенных в качестве вспомогательных.

Человек, еще не знакомый с этими соображениями, не воспринимает сразу, как использование этих вспомогательных величин может облегчить открытие аналитических законов явлений; ибо бесконечно малые приращения предложенных величин, будучи того же вида, что и они, казалось бы, что их отношения не должны быть получены с большей легкостью, поскольку большая или меньшая ценность величины не может, по сути, оказать никакого влияния на исследование, которое обязательно независимо по своей природе от всякой идеи ценности. Но легко, тем не менее, объяснить очень ясно и в совершенно общем виде, насколько вопрос должен быть упрощен таким приемом. Для этой цели необходимо начать с различения разных порядков бесконечно малых величин, очень точное представление о которых может быть получено путем рассмотрения их как являющихся либо последовательными степенями одной и той же примитивной бесконечно малой величины, либо как величин, которые могут рассматриваться как имеющие конечные отношения с этими степенями; так что, чтобы взять пример, вторые, третьи и т. д. дифференциалы любой переменной классифицируются как бесконечно малые величины второго порядка, третьего и т. д., потому что легко обнаружить в них конечные кратные вторых, третьих и т. д. степеней некоторого первого дифференциала. Эти предварительные идеи будучи установлены, дух исчисления бесконечно малых состоит в постоянном пренебрежении бесконечно малыми величинами в сравнении с конечными величинами и вообще бесконечно малыми величинами любого порядка в сравнении со всеми величинами низшего порядка. Сразу становится очевидно, насколько такая свобода должна облегчать формирование уравнений между дифференциалами величин, поскольку вместо этих дифференциалов мы можем подставить такие другие элементы, какие мы можем выбрать и которые будут более простыми для рассмотрения, только заботясь о соблюдении этого единственного условия, что новые элементы отличаются от предыдущих только величинами, бесконечно малыми в сравнении с ними. Именно так будет возможно в геометрии рассматривать кривые линии как состоящие из бесконечности прямолинейных элементов, кривые поверхности как сформированные из плоских элементов, а в механике — переменные движения как бесконечную серию равномерных движений, следующих друг за другом через бесконечно малые интервалы времени.

Примеры. Учитывая важность этой восхитительной концепции, я думаю, что должен здесь завершить иллюстрацию ее фундаментального характера кратким указанием некоторых ведущих примеров.

1. Касательные. Пусть требуется определить для каждой точки плоской кривой, уравнение которой дано, направление ее касательной; вопрос, общее решение которого было первоначальным объектом изобретателей трансцендентального анализа. Мы будем рассматривать касательную как секущую, соединяющую две точки, бесконечно близкие друг к другу; и тогда, обозначая через dy и dx бесконечно малые разности координат этих двух точек, элементарные принципы геометрии немедленно дадут уравнение t = dy/dx для тригонометрической касательной угла, который образуется с осью абсцисс желаемой касательной, это будучи самым простым способом фиксации ее положения в системе прямолинейных координат. Это уравнение, общее для всех кривых, будучи установлено, вопрос сводится к простой аналитической задаче, которая будет состоять в исключении бесконечно малых dx и dy, которые были введены как вспомогательные, путем определения в каждом частном случае, с помощью уравнения предложенной кривой, отношения dy к dx, что будет постоянно делаться единообразными и очень простыми методами.

2. Выпрямление дуги. Во-вторых, предположим, что мы хотим знать длину дуги любой кривой, рассматриваемую как функцию координат ее конечностей. Было бы невозможно установить непосредственно уравнение между этой дугой s и этими координатами, в то время как легко найти соответствующее отношение между дифференциалами этих различных величин. Самые простые теоремы элементарной геометрии, по сути, дадут сразу, рассматривая бесконечно малую дугу ds как прямую линию, уравнения

ds2 = dy2 + dx2, или ds2 = dx2 + dy2 + dz2,

в зависимости от того, является ли кривая одинарной или двойной кривизны. В любом случае вопрос теперь полностью находится в области анализа, который путем исключения дифференциалов (что является особым объектом исчисления косвенных функций) перенесет нас от этого отношения к тому, которое существует между самими конечными величинами, находящимися под исследованием.

3. Квадратура кривой. То же самое было бы с квадратурой криволинейных площадей. Если кривая плоская и отнесена к прямолинейным координатам, мы будем представлять себе площадь A, заключенную между этой кривой, осью абсцисс и двумя крайними координатами, увеличивающейся на бесконечно малую величину dA в результате соответствующего приращения абсциссы. Отношение между этими двумя дифференциалами может быть немедленно получено с величайшей легкостью путем подстановки вместо криволинейного элемента предложенной площади прямоугольника, образованного крайней ординатой и элементом абсциссы, от которого он, очевидно, отличается только бесконечно малой величиной второго порядка. Это сразу даст, какой бы ни была кривая, очень простое дифференциальное уравнение

dA = ydx,

из которого, когда кривая определена, исчисление косвенных функций покажет, как вывести конечное уравнение, которое является непосредственным объектом задачи.

4. Скорость при переменном движении. Точно так же в динамике, когда мы желаем знать выражение для скорости, приобретаемой в каждый момент телом, на которое воздействует движение, изменяющееся согласно любому закону, мы будем рассматривать движение как равномерное в течение бесконечно малого элемента времени t, и мы таким образом немедленно сформируем дифференциальное уравнение de = vdt, в котором v обозначает скорость, приобретенную, когда тело прошло пространство e; и оттуда будет легко вывести с помощью простых и неизменных аналитических процедур формулу, которая дала бы скорость в каждом частном движении в соответствии с соответствующим отношением между временем и пространством; или, наоборот, каким было бы это отношение, если бы способ изменения скорости предполагался известным, будь то по отношению к пространству или ко времени.

5. Распределение тепла. Наконец, чтобы указать на другой род вопросов, именно с помощью подобных шагов мы способны в изучении термологических явлений, согласно удачной концепции г-на Фурье, сформировать весьма простым способом общее дифференциальное уравнение, выражающее переменное распределение тепла в любом теле, подверженном любому воздействию, посредством единственного и легко получаемого соотношения, которое представляет равномерное распределение тепла в прямоугольном параллелепипеде, рассматривая (геометрически) любое другое тело как разложенное на бесконечно малые элементы подобной формы, а (термологически) поток тепла как постоянный в течение бесконечно малого промежутка времени. Впредь все вопросы, которые могут быть представлены абстрактной термологией, будут сведены, как в геометрии и механике, к простым трудностям анализа, которые всегда будут состоять в исключении дифференциалов, введенных в качестве вспомогательных средств для облегчения составления уравнений.

Примеров столь различной природы более чем достаточно, чтобы дать ясное общее представление об огромном охвате фундаментальной концепции трансцендентного анализа, сформированной Лейбницем, которая, несомненно, представляет собой самую возвышенную мысль, до которой до сих пор дошел человеческий разум.

Очевидно, что эта концепция была необходима для завершения фундамента математической науки, позволяя нам установить в широком и плодотворном ключе отношение конкретного к абстрактному. В этом отношении ее следует рассматривать как необходимое дополнение к великой фундаментальной идее Декарта об общем аналитическом представлении природных явлений: идее, которая не начинала достойно оцениваться и надлежащим образом использоваться до формирования инфинитезимального анализа, без которого она не могла бы дать, даже в геометрии, очень важных результатов.

Общность формул. Помимо удивительной легкости, которую дает трансцендентный анализ для исследования математических законов всех явлений, вторым фундаментальным и неотъемлемым свойством, возможно, столь же важным, как и первое, является чрезвычайная общность дифференциальных формул, которые выражают в одном уравнении каждое определенное явление, как бы ни варьировались предметы, в отношении которых оно рассматривается. Таким образом, мы видим в предыдущих примерах, что одно дифференциальное уравнение дает касательные ко всем кривым, другое — их спрямления, третье — их квадратуры; и точно так же одна неизменная формула выражает математический закон всякого переменного движения; и, наконец, одно уравнение постоянно представляет распределение тепла в любом теле и для любого случая. Эта общность, которая столь чрезвычайно примечательна и которая для геометров является основой самых возвышенных соображений, есть счастливое и необходимое следствие самого духа трансцендентного анализа, особенно в концепции Лейбница. Таким образом, инфинитезимальный анализ не только предоставил общий метод для косвенного формирования уравнений, которые было бы невозможно обнаружить прямым способом, но он также позволил нам рассматривать для математического изучения природных явлений новый порядок более общих законов, которые, тем не менее, представляют ясное и точное значение для каждого ума, привыкшего к их интерпретации. В силу этого второго характерного свойства вся система огромной науки, такой как геометрия или механика, была сведена к небольшому числу аналитических формул, из которых человеческий разум может вывести, по верным и неизменным правилам, решение всех частных задач.

Демонстрация метода. Для завершения общего изложения концепции Лейбница остается рассмотреть демонстрацию логической процедуры, к которой она ведет, и это, к сожалению, самая несовершенная часть этого прекрасного метода.

В начале инфинитезимального анализа самые знаменитые геометры справедливо придавали большее значение расширению бессмертного открытия Лейбница и умножению его приложений, чем строгому установлению логических основ его операций. Они долгое время довольствовались тем, что отвечали на возражения второстепенных геометров неожиданным решением самых трудных задач; несомненно, будучи убежденными, что в математической науке, гораздо больше, чем в любой другой, можно смело приветствовать новые методы, даже когда их рациональное объяснение несовершенно, при условии, что они плодотворны в результатах, поскольку ее гораздо более легкие и многочисленные проверки не позволили бы никакой ошибке долго оставаться необнаруженной. Но такое положение вещей не могло долго существовать, и необходимо было вернуться к самым основам анализа Лейбница, чтобы доказать, совершенно общим образом, строгую точность процедур, используемых в этом методе, несмотря на кажущиеся нарушения обычных правил рассуждения, которые он допускал.

Лейбниц, побуждаемый к ответу, представил совершенно ошибочное объяснение, говоря, что он рассматривает бесконечно малые величины как несравнимые и что он пренебрегает ими в сравнении с конечными величинами, «как песчинками в сравнении с морем»: взгляд, который полностью изменил бы природу его анализа, сведя его к простому приближенному исчислению, которое с этой точки зрения было бы радикально порочным, поскольку было бы невозможно предвидеть, в общем, до какой степени последовательные операции могли бы увеличить эти первые ошибки, которые, таким образом, очевидно, могли бы достичь любого размера. Лейбниц, следовательно, не видел, за исключением весьма смутного образа, истинных логических основ анализа, который он создал. Его первые преемники ограничивались поначалу проверкой его точности, показывая соответствие его результатов в частных приложениях тем, что были получены с помощью обычной алгебры или геометрии древних; воспроизводя, согласно древним методам, насколько они могли, решения некоторых задач после того, как они были однажды получены с помощью нового метода, который один был способен обнаружить их в первую очередь.

Когда этот великий вопрос рассматривался более общим образом, геометры, вместо того чтобы прямо атаковать трудность, предпочитали каким-то образом обойти ее, как это сделали, например, Эйлер и Д'Аламбер, демонстрируя необходимое и постоянное соответствие концепции Лейбница, рассматриваемой во всех ее приложениях, с другими фундаментальными концепциями трансцендентного анализа, особенно с концепцией Ньютона, точность которой была свободна от каких-либо возражений. Такая общая проверка, несомненно, строго достаточна, чтобы рассеять любую неопределенность относительно законного использования анализа Лейбница. Но инфинитезимальный метод настолько важен — он все еще предлагает почти во всех своих приложениях такое практическое превосходство над другими общими концепциями, которые последовательно предлагались, — что существовало бы реальное несовершенство в философском характере науки, если бы она не могла оправдать себя и нуждалась в том, чтобы быть логически обоснованной на соображениях иного порядка, которые тогда перестали бы использоваться.

Было, следовательно, действительно важно установить прямо и общим образом необходимую рациональность инфинитезимального метода. После различных попыток, более или менее несовершенных, выдающийся геометр Карно представил наконец истинное прямое логическое объяснение метода Лейбница, показав, что он основан на принципе необходимой компенсации ошибок, что является, по сути, точным и светлым проявлением того, что Лейбниц смутно и неясно ощущал. Карно таким образом оказал науке существенную услугу, хотя, как мы увидим ближе к концу этой главы, все эти логические леса инфинитезимального метода, собственно говоря, весьма вероятно, способны лишь на временное существование, поскольку они радикально порочны по своей природе. Тем не менее, мы не должны упускать из виду общую систему рассуждений, предложенную Карно, чтобы прямо узаконить анализ Лейбница. Вот ее суть:

При установлении дифференциального уравнения явления мы подставляем вместо непосредственных элементов различных рассматриваемых величин другие более простые бесконечно малые, которые отличаются от них бесконечно мало по сравнению с ними; и эта подстановка составляет главный прием метода Лейбница, который без него не обладал бы реальной легкостью для формирования уравнений. Карно рассматривает такую гипотезу как действительно производящую ошибку в полученном таким образом уравнении, и которую по этой причине он называет несовершенной; только ясно, что эта ошибка должна быть бесконечно малой. Теперь, с другой стороны, все аналитические операции, будь то дифференцирование или интегрирование, которые выполняются над этими дифференциальными уравнениями, чтобы поднять их до конечных уравнений путем исключения всех бесконечно малых, которые были введены в качестве вспомогательных, производят так же постоянно, по своей природе, как легко видеть, другие аналогичные ошибки, так что происходит точная компенсация, и окончательные уравнения, по словам Карно, становятся совершенными. Карно рассматривает как верный и неизменный признак фактического установления этой необходимой компенсации полное исключение различных бесконечно малых величин, что всегда, по сути, является конечной целью всех операций трансцендентного анализа; ибо если мы не совершили других нарушений общих правил рассуждения, кроме тех, которые таким образом требуются самой природой инфинитезимального метода, то бесконечно малые ошибки, таким образом произведенные, не могли породить иных, кроме бесконечно малых ошибок во всех уравнениях, и отношения являются необходимо строго точными, как только они существуют между одними лишь конечными величинами, поскольку единственные ошибки, возможные тогда, должны быть конечными, в то время как никакие такие не могли войти. Все это общее рассуждение основано на концепции бесконечно малых величин, рассматриваемых как бесконечно убывающие, в то время как те, из которых они производятся, рассматриваются как фиксированные.

Иллюстрация на касательных. Итак, чтобы проиллюстрировать это абстрактное изложение одним примером, вернемся к вопросу о касательных, который легче всего проанализировать полностью. Мы будем рассматривать уравнение t = dy/dx, полученное выше, как затронутое бесконечно малой ошибкой, поскольку оно было бы совершенно строгим только для секущей. Теперь завершим решение, ища, согласно уравнению каждой кривой, отношение между дифференциалами координат. Если мы предположим, что это уравнение есть y = ax^2, мы очевидно будем иметь

dy = 2axdx + adx^2.

В этой формуле нам придется пренебречь членом dx^2 как бесконечно малой величиной второго порядка. Тогда комбинация двух несовершенных уравнений

t = dy/dx, dy = 2ax(dx),

будучи достаточной для полного исключения бесконечно малых, конечный результат, t = 2ax, будет обязательно строго правильным, вследствие эффекта точной компенсации двух совершенных ошибок; поскольку, по своей конечной природе, он не может быть затронут бесконечно малой ошибкой, и это, тем не менее, единственная, которую он мог бы иметь, согласно духу операций, которые были выполнены.

Было бы легко воспроизвести единообразным образом то же рассуждение применительно ко всем другим общим приложениям анализа Лейбница.

Эта остроумная теория, несомненно, более тонка, чем солидна, если мы исследуем ее более глубоко; но она действительно не имеет другого радикального логического изъяна, кроме того, что присущ самому инфинитезимальному методу, которого она является, как мне кажется, естественным развитием и общим объяснением, так что она должна быть принята до тех пор, пока будет считаться уместным использовать этот метод напрямую.

Я перехожу теперь к общему изложению двух других фундаментальных концепций трансцендентного анализа, ограничиваясь в каждой ее главной идеей, поскольку философский характер анализа был достаточно определен выше при рассмотрении концепции Лейбница, на которой я специально остановился, потому что она допускает возможность быть наиболее легко понятой в целом и наиболее быстро описанной.

МЕТОД НЬЮТОНА.

Ньютон последовательно представлял свой собственный метод осмысления трансцендентного анализа в нескольких различных формах. Тот, который в настоящее время является наиболее общепринятым, был обозначен Ньютоном иногда под названием Метод первых и последних отношений, иногда под названием Метод пределов.

Метод пределов. Общий дух трансцендентного анализа с этой точки зрения состоит во введении в качестве вспомогательных средств, вместо примитивных величин или одновременно с ними, чтобы облегчить установление уравнений, пределов отношений одновременных приращений этих величин; или, другими словами, окончательных отношений этих приращений; пределов или окончательных отношений, которые, как можно легко показать, имеют определенное и конечное значение. Специальное исчисление, которое является эквивалентом инфинитезимального исчисления, затем используется для перехода от уравнений между этими пределами к соответствующим уравнениям между самими примитивными величинами.

Сила, которая дается таким анализом для выражения с большей легкостью математических законов явлений, зависит в общем от того, что, поскольку исчисление применяется не к самим приращениям предложенных величин, а к пределам отношений этих приращений, мы всегда можем подставить вместо каждого приращения любую другую величину, более легкую для рассмотрения, при условии, что их окончательное отношение есть отношение равенства, или, другими словами, что предел их отношения есть единица. Ясно, действительно, что исчисление пределов ни в коем случае не было бы затронуто этой подстановкой. Исходя из этого принципа, мы находим почти эквивалент удобств, предлагаемых анализом Лейбница, которые тогда просто осмысливаются с другой точки зрения. Таким образом, кривые будут рассматриваться как пределы ряда прямолинейных многоугольников, переменные движения как пределы совокупности равномерных движений постоянно уменьшающихся длительностей и так далее.

Примеры. 1. Касательные. Предположим, например, что мы хотим определить направление касательной к кривой; мы будем рассматривать ее как предел, к которому стремилась бы секущая, которая должна вращаться вокруг данной точки так, чтобы ее вторая точка пересечения бесконечно приближалась к первой. Представляя разности координат двух точек через Δy и Δx, мы имели бы в каждый момент, для тригонометрической касательной угла, который секущая образует с осью абсцисс,

t = Δy/Δx;

из чего, беря пределы, мы получим, относительно самой касательной, эту общую формулу трансцендентного анализа,

t = L(Δy/Δx),

характеристика L используется для обозначения предела. Исчисление косвенных функций покажет, как вывести из этой формулы в каждом частном случае, когда дано уравнение кривой, отношение между t и x путем исключения вспомогательных величин, которые были введены. Если мы предположим, для завершения решения, что уравнение предложенной кривой есть y = ax^2, мы очевидно будем иметь

Δy = 2axΔx + a(Δx)^2,

из чего мы получим

Δy/Δx = 2ax + aΔx.

Теперь ясно, что предел, к которому стремится второе число по мере того, как Δx уменьшается, есть 2ax. Мы, следовательно, найдем этим методом t = 2ax, как мы получили его для того же случая методом Лейбница.

2. Спрямления. Точно так же, когда желательно спрямление кривой, мы должны подставить вместо приращения дуги s хорду этого приращения, которая очевидно имеет такую связь с ней, что предел их отношения есть единица; и тогда мы находим (следуя в остальном тому же плану, что и с методом Лейбница) это общее уравнение спрямлений:

(L Δs/Δx)^2 = 1 + (L Δy/Δx)^2, или (L Δs/Δx)^2 = 1 + (L Δy/Δx)^2 + (L Δz/Δx)^2,

в зависимости от того, является ли кривая плоской или двоякой кривизны. Теперь будет необходимо для каждой частной кривой перейти от этого уравнения к уравнению между дугой и абсциссой, что зависит от трансцендентного исчисления, собственно говоря.

Мы могли бы рассмотреть с той же легкостью, методом пределов, все другие общие вопросы, решение которых уже было указано согласно инфинитезимальному методу.

Такова, в сущности, концепция, которую Ньютон сформировал для трансцендентного анализа, или, точнее, та, которую Маклорен и Д'Аламбер представили как наиболее рациональную основу этого анализа, стремясь зафиксировать и упорядочить идеи Ньютона по этому предмету.

Флюксии и флюенты. Другая отдельная форма, под которой Ньютон представил этот же метод, должна быть здесь отмечена и заслуживает особого внимания, как своей остроумной ясностью в некоторых случаях, так и тем, что она предоставила обозначение, наиболее подходящее для такого способа рассмотрения трансцендентного анализа, и, кроме того, как бывшая до недавнего времени специальной формой исчисления косвенных функций, обычно принятой английскими геометрами. Я имею в виду исчисление флюксий и флюент, основанное на общей идее скоростей.

Чтобы облегчить осмысление фундаментальной идеи, рассмотрим каждую кривую как порожденную точкой, которой придано движение, изменяющееся по любому закону. Различные величины, которые может представлять кривая, абсцисса, ордината, дуга, площадь и т. д., будут рассматриваться как одновременно производимые последовательными степенями во время этого движения. Скорость, с которой каждая из них была описана, будет называться флюксией этой величины, которая будет обратно названа ее флюентой. Впредь трансцендентный анализ будет состоять, согласно этой концепции, в формировании непосредственно уравнений между флюксиями предложенных величин, чтобы вывести из них, с помощью специального исчисления, уравнения между самими флюентами. То, что было сказано относительно кривых, может, кроме того, очевидно быть применено к любым величинам, рассматриваемым, с помощью подходящих образов, как произведенные движением.

Легко понять общую и необходимую идентичность этого метода с методом пределов, осложненным чуждой идеей движения. Фактически, возобновляя случай кривой, если мы предположим, как мы очевидно всегда можем, что движение описывающей точки является равномерным в определенном направлении, например, абсциссы, тогда флюксия абсциссы будет постоянной, как элемент времени; для всех других порожденных величин движение не может быть осмыслено как равномерное, кроме как на бесконечно малое время. Теперь, скорость будучи в общем, согласно ее механической концепции, отношением каждого пространства ко времени, затраченному на его прохождение, и это время будучи здесь пропорциональным приращению абсциссы, из этого следует, что флюксии ординаты, дуги, площади и т. д. на самом деле не являются ничем иным (отбрасывая промежуточное рассмотрение времени), как окончательными отношениями приращений этих различных величин к приращению абсциссы. Этот метод флюксий и флюент есть, следовательно, в действительности лишь способ представления, посредством сравнения, заимствованного из механики, метода первых и последних отношений, который один может быть сведен к исчислению. Он очевидно, следовательно, предлагает те же общие преимущества в различных главных приложениях трансцендентного анализа, без необходимости представлять специальные доказательства этого.

МЕТОД ЛАГРАНЖА.

Производные функции. Концепция Лагранжа, в своей удивительной простоте, состоит в представлении трансцендентного анализа как великого алгебраического приема, с помощью которого, чтобы облегчить установление уравнений, мы вводим, вместо примитивных функций или одновременно с ними, их производные функции; то есть, согласно определению Лагранжа, коэффициент первого члена приращения каждой функции, расположенного по возрастающим степеням приращения ее переменной. Специальное исчисление косвенных функций имеет своей постоянной целью, здесь, так же как и в концепциях Лейбница и Ньютона, исключить эти производные, которые были таким образом использованы в качестве вспомогательных, чтобы вывести из их отношений соответствующие уравнения между примитивными величинами.

Расширение обычного анализа. Трансцендентный анализ есть, следовательно, не что иное, как простое, хотя и весьма значительное расширение обычного анализа. Геометры давно привыкли вводить в аналитические исследования, вместо самих величин, которые они хотели изучить, их различные степени, или их логарифмы, или их синусы и т. д., чтобы упростить уравнения и даже получить их более легко. Это последовательное дифференцирование есть прием той же природы, только большего охвата, и обеспечивающий, следовательно, гораздо более важные ресурсы для этой общей цели.

Но, хотя мы можем легко осмыслить, априори, что вспомогательное рассмотрение этих производных может облегчить установление уравнений, нелегко объяснить, почему это должно необходимо следовать из этого способа дифференцирования, а не из какой-либо другой трансформации. Таково слабое место великой идеи Лагранжа. Точные преимущества этого анализа не могут пока быть схвачены абстрактным образом, а только показаны путем рассмотрения отдельно каждого главного вопроса, так что проверка часто бывает чрезвычайно трудоемкой.

Пример. Касательные. Этот способ осмысления трансцендентного анализа может быть лучше всего проиллюстрирован его применением к самой простой из вышерассмотренных задач — задаче о касательных.

Вместо того чтобы осмысливать касательную как продолжение бесконечно малого элемента кривой, согласно понятию Лейбница, или как предел секущих, согласно идеям Ньютона, Лагранж рассматривает ее, согласно ее простому геометрическому характеру, аналогичному определениям древних, как прямую линию такую, что никакая другая прямая линия не может пройти через точку контакта между ней и кривой. Затем, чтобы определить ее направление, мы должны искать общее выражение ее расстояния от кривой, измеренного в любом направлении, например, в направлении ординаты, и распорядиться произвольной постоянной, относящейся к наклону прямой линии, которая обязательно войдет в это выражение, таким образом, чтобы уменьшить это разделение насколько возможно. Теперь это расстояние, будучи очевидно равным разности двух ординат кривой и прямой линии, которые соответствуют одной и той же новой абсциссе x + h, будет представлено формулой

(f'(x) - t)h + qh^2 + rh^3 + и т. д.,

в которой t обозначает, как выше, неизвестную тригонометрическую касательную угла, который искомая линия образует с осью абсцисс, а f'(x) — производную функцию ординаты f(x). При этом понимании легко видеть, что, распорядившись t так, чтобы сделать первый член предыдущей формулы равным нулю, мы сделаем интервал между двумя линиями наименьшим возможным, так что любая другая линия, для которой t не имело бы значения, таким образом определенного, обязательно отклонялась бы дальше от предложенной кривой. Мы имеем, следовательно, для направления искомой касательной общее выражение t = f'(x), результат, точно эквивалентный тем, что предоставлены инфинитезимальным методом и методом пределов. Нам еще предстоит найти f'(x) в каждой частной кривой, что есть простая задача анализа, совершенно идентичная тем, которые представлены на этой стадии операций другими методами.

После этих соображений о главных общих концепциях нам не нужно останавливаться на рассмотрении некоторых других предложенных теорий, таких как «Исчисление исчезающих величин» Эйлера, которые на самом деле являются модификациями — более или менее важными и, кроме того, больше не используемыми — предыдущих методов.

Мне теперь предстоит установить сравнение и оценку этих трех фундаментальных методов. Их совершенное и необходимое соответствие должно быть сначала доказано общим образом.

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ИДЕНТИЧНОСТЬ ТРЕХ МЕТОДОВ.

Во-первых, из вышесказанного очевидно, рассматривая эти три метода по их фактическому назначению, независимо от их предварительных идей, что все они состоят в одном и том же общем логическом приеме, который был охарактеризован в первой главе; а именно, введение определенной системы вспомогательных величин, имеющих единообразные отношения к тем, которые являются специальными объектами исследования, и подставленных вместо них специально для облегчения аналитического выражения математических законов явлений, хотя они в конечном итоге должны быть исключены с помощью специального исчисления. Это то, что определило меня регулярно определять трансцендентный анализ как исчисление косвенных функций, чтобы отметить его истинный философский характер, в то же время избегая любого обсуждения о наилучшем способе его осмысления и применения. Общий эффект этого анализа, независимо от используемого метода, состоит, следовательно, в том, чтобы привести каждый математический вопрос гораздо быстрее во власть исчисления и, таким образом, значительно уменьшить серьезную трудность, которая обычно представляется переходом от конкретного к абстрактному. Какой бы прогресс мы ни делали, мы никогда не можем надеяться, что исчисление когда-либо сможет охватить каждый вопрос естественной философии, геометрический, или механический, или термологический и т. д., немедленно при его рождении, что очевидно повлекло бы за собой противоречие. Каждая задача будет постоянно требовать выполнения определенной предварительной работы, в которой исчисление не может оказать никакой помощи и которая по своей природе не может быть подчинена абстрактным и неизменным правилам; это то, что имеет своей специальной целью установление уравнений, которые образуют необходимую отправную точку всех аналитических исследований. Но эта предварительная работа была замечательно упрощена созданием трансцендентного анализа, который таким образом ускорил момент, когда решение допускает единообразное и точное применение общих и абстрактных методов; сводя в каждом случае эту специальную работу к исследованию уравнений между вспомогательными величинами; из которых исчисление затем ведет к уравнениям, непосредственно относящимся к предложенным величинам, которые до этой замечательной концепции необходимо было устанавливать прямо и отдельно. Будут ли эти косвенные уравнения дифференциальными уравнениями, согласно идее Лейбница, или уравнениями пределов, сообразно концепции Ньютона, или, наконец, производными уравнениями, согласно теории Лагранжа, общий порядок действий очевидно всегда один и тот же.

Но совпадение этих трех главных методов не ограничивается общим эффектом, который они производят; оно существует, кроме того, в самом способе его достижения. Фактически, не только все три рассматривают вместо примитивных величин некоторые вспомогательные, но, более того, величины, таким образом введенные как вспомогательные, являются точно идентичными в трех методах, которые, следовательно, различаются только способом их рассмотрения. Это может быть легко показано путем взятия в качестве общего термина сравнения любой из трех концепций, особенно концепции Лагранжа, которая наиболее подходит для того, чтобы служить типом, как наиболее свободная от посторонних соображений. Разве не очевидно, по самому определению производных функций, что они не являются ничем иным, как тем, что Лейбниц называет дифференциальными коэффициентами, или отношениями дифференциала каждой функции к дифференциалу соответствующей переменной, поскольку при определении первого дифференциала мы будем обязаны, по самой природе инфинитезимального метода, ограничиться взятием только того члена приращения функции, который содержит первую степень бесконечно малого приращения переменной? Точно так же, не является ли производная функция, по своей природе, точно так же необходимым пределом, к которому стремится отношение между приращением примитивной функции и приращением ее переменной, по мере того как последнее бесконечно уменьшается, поскольку оно очевидно выражает то, чем становится это отношение, когда мы предполагаем приращение переменной равным нулю? То, что обозначено через dy/dx в методе Лейбница; то, что должно быть отмечено как L(Δy/Δx) в методе Ньютона; и то, что Лагранж обозначил через f'(x), есть постоянно одна и та же функция, увиденная с трех разных точек зрения, соображения Лейбница и Ньютона, собственно говоря, состоящие в том, чтобы сделать известными два общих необходимых свойства производной функции. Трансцендентный анализ, рассматриваемый абстрактно и в своем принципе, есть, следовательно, всегда один и тот же, какая бы концепция ни была принята, и процедуры исчисления косвенных функций являются необходимо идентичными в этих различных методах, которые точно так же должны, для любого приложения, приводить постоянно к строго единообразным результатам.

СРАВНИТЕЛЬНАЯ ЦЕННОСТЬ ТРЕХ МЕТОДОВ.

Если теперь мы попытаемся оценить сравнительную ценность этих трех эквивалентных концепций, мы найдем в каждой преимущества и неудобства, которые присущи ей и которые все еще мешают геометрам ограничиваться какой-либо одной из них, рассматриваемой как окончательная.

Концепция Лейбница. Концепция Лейбница представляет бесспорно, во всех своих приложениях, весьма заметное превосходство, ведя гораздо более быстрым способом и с гораздо меньшим умственным усилием к формированию уравнений между вспомогательными величинами. Именно ее использованию мы обязаны высокой степенью совершенства, которая была приобретена всеми общими теориями геометрии и механики. Каковы бы ни были различные спекулятивные мнения геометров относительно инфинитезимального метода, с абстрактной точки зрения, все молчаливо соглашаются использовать его по предпочтению, как только им приходится решать новый вопрос, чтобы не усложнять необходимую трудность этим чисто искусственным препятствием, происходящим от неуместного упрямства в принятии менее быстрого курса. Сам Лагранж, после того как перестроил трансцендентный анализ на новых основаниях, воздал (с той благородной откровенностью, которая так хорошо подходила его гению) поразительную и решительную дань уважения характерным свойствам концепции Лейбница, следуя ей исключительно во всей системе своей «Аналитической механики». Такой факт делает любые комментарии ненужными.

Но когда мы рассматриваем концепцию Лейбница саму по себе и в ее логических отношениях, мы не можем избежать признания, вместе с Лагранжем, что она радикально порочна в том, что, принимая ее собственные выражения, понятие бесконечно малых величин есть ложная идея, о которой на самом деле невозможно получить ясное представление, как бы мы ни обманывали себя в этом деле. Даже если мы примем остроумную идею компенсации ошибок, как объяснено выше, это влечет за собой радикальное неудобство быть обязанным различать в математике два класса рассуждений: те, которые являются совершенно строгими, и те, в которых мы намеренно совершаем ошибки, которые впоследствии должны быть компенсированы. Концепция, которая ведет к таким странным последствиям, несомненно, весьма неудовлетворительна с логической точки зрения.

Сказать, как делают некоторые геометры, что возможно в каждом случае свести инфинитезимальный метод к методу пределов, логический характер которого безупречен, означало бы очевидно обойти трудность, а не устранить ее; кроме того, такая трансформация почти полностью лишает концепцию Лейбница ее существенных преимуществ легкости и быстроты.

Наконец, даже не принимая во внимание предыдущие важные соображения, инфинитезимальный метод не менее очевидно представлял бы по своей природе весьма серьезный дефект нарушения единства абстрактной математики путем создания трансцендентного анализа, основанного на принципах, столь отличных от тех, которые образуют основу обычного анализа. Это разделение анализа на два мира, почти полностью независимых друг от друга, стремится препятствовать формированию поистине общих аналитических концепций. Чтобы полностью оценить последствия этого, нам пришлось бы вернуться к состоянию науки до того, как Лагранж установил общую и полную гармонию между этими двумя великими разделами.

Концепция Ньютона. Переходя теперь к концепции Ньютона, очевидно, что по своей природе она не подвержена фундаментальным логическим возражениям, которые вызываются методом Лейбница. Понятие пределов, фактически, замечательно своей простотой и точностью. В трансцендентном анализе, представленном таким образом, уравнения рассматриваются как точные с самого их происхождения, и общие правила рассуждения соблюдаются так же постоянно, как в обычном анализе. Но, с другой стороны, он очень далек от того, чтобы предлагать такие мощные ресурсы для решения задач, как инфинитезимальный метод. Обязательство, которое он налагает — никогда не рассматривать приращения величин отдельно и сами по себе, и даже не в их отношениях, а только в пределах этих отношений, — значительно замедляет операции ума при формировании вспомогательных уравнений. Мы можем даже сказать, что он сильно затрудняет чисто аналитические трансформации. Таким образом, трансцендентный анализ, рассматриваемый отдельно от своих приложений, далек от того, чтобы представлять в этом методе тот охват и ту общность, которые были запечатлены на нем концепцией Лейбница. Очень трудно, например, распространить теорию Ньютона на функции нескольких независимых переменных. Но особенно в отношении своих приложений относительная неполноценность этой теории наиболее сильно выражена.

Некоторые континентальные геометры, принимая метод Ньютона как более логическую основу трансцендентного анализа, частично замаскировали эту неполноценность серьезной непоследовательностью, которая состоит в применении к этому методу обозначения, изобретенного Лейбницем для инфинитезимального метода, и которое на самом деле подходит только ему одному. Обозначая через dy/dx то, что логически должно было бы, в теории пределов, обозначаться через L(Δy/Δx), и распространяя на все другие аналитические концепции это смещение знаков, они намеревались, несомненно, объединить специальные преимущества двух методов; но, в действительности, они только преуспели в том, что вызвали порочную путаницу между ними, знакомство с которой препятствует формированию ясных и точных идей о любом из них. Было бы, конечно, странно, рассматривая это использование само по себе, что, посредством одних лишь знаков, могло бы быть возможным осуществить подлинную комбинацию между двумя столь различными теориями, как рассматриваемые.

Наконец, метод пределов представляет также, хотя и в меньшей степени, большее неудобство, которое я отметил выше в отношении инфинитезимального метода, — установление полного разделения между обычным и трансцендентным анализом; ибо идея пределов, хотя ясная и строгая, тем не менее сама по себе, как заметил Лагранж, есть чуждая идея, от которой аналитические теории не должны быть зависимы.

Концепция Лагранжа. Это совершенное единство анализа и этот чисто абстрактный характер его фундаментальных понятий найдены в высшей степени в концепции Лагранжа, и найдены там одни; она есть, по этой причине, самая рациональная и самая философская из всех. Тщательно удаляя всякое гетерогенное соображение, Лагранж свел трансцендентный анализ к его истинному специфическому характеру — представлению весьма обширного класса аналитических трансформаций, которые облегчают в замечательной степени выражение условий различных задач. В то же время этот анализ таким образом необходимо представлен как простое расширение обычного анализа; это только высшая алгебра. Все различные части абстрактной математики, ранее столь несвязные, с того момента допустили возможность быть осмысленными как образующие единую систему.

К несчастью, эта концепция, которая обладает такими фундаментальными свойствами, независимо от ее столь простого и столь ясного обозначения, и которая, несомненно, предназначена стать окончательной теорией трансцендентного анализа из-за своего высокого философского превосходства над всеми другими предложенными методами, представляет в своем нынешнем состоянии слишком много трудностей в своих приложениях по сравнению с концепцией Ньютона, и еще более с концепцией Лейбница, чтобы быть пока исключительно принятой. Сам Лагранж преуспел только с большим трудом в том, чтобы заново открыть своим методом главные результаты, уже полученные инфинитезимальным методом для решения общих вопросов геометрии и механики; мы можем судить по этому, какие препятствия были бы найдены при рассмотрении тем же способом вопросов, которые были поистине новыми и важными. Правда, Лагранж по нескольким случаям показал, что трудности вызывают у людей гения высшие усилия, способные вести к величайшим результатам. Именно так, пытаясь адаптировать свой метод к исследованию кривизны линий, что казалось столь далеким от допущения его применения, он пришел к той прекрасной теории контактов, которая так сильно усовершенствовала эту важную часть геометрии. Но, несмотря на такие счастливые исключения, концепция Лагранжа тем не менее осталась, в целом, существенно непригодной для приложений.

Окончательный результат общего сравнения, который я слишком кратко набросал, состоит, следовательно, как уже предполагалось, в том, что для того, чтобы действительно понять трансцендентный анализ, мы должны не только рассматривать его в его принципах согласно трем фундаментальным концепциям Лейбница, Ньютона и Лагранжа, но должны, кроме того, приучить себя выполнять почти безразлично, согласно этим трем главным методам, и особенно согласно первому и последнему, решение всех важных вопросов, будь то чистого исчисления косвенных функций или его приложений. Это курс, который я не мог бы слишком сильно рекомендовать всем тем, кто желает судить философски об этом замечательном творении человеческого разума, а также тем, кто желает научиться использовать этот мощный инструмент с успехом и с легкостью. Во всех других частях математической науки рассмотрение различных методов для одного класса вопросов может быть полезным, даже независимо от его исторического интереса, но оно не является необходимым; здесь, напротив, оно строго необходимо.

Определив с точностью в этой главе философский характер исчисления косвенных функций согласно главным фундаментальным концепциям, которые оно допускает, нам предстоит далее рассмотреть в следующей главе логическое деление и общий состав этого исчисления.

ГЛАВА IV.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ЕГО ДВА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РАЗДЕЛА.

Исчисление косвенных функций, в соответствии с соображениями, объясненными в предыдущей главе, необходимо делится на две части (или, точнее, разлагается на два различных исчисления, совершенно отличных, хотя и тесно связанных по своей природе), в зависимости от того, предлагается ли найти отношения между вспомогательными величинами (введение которых составляет общий дух этого исчисления) посредством отношений между соответствующими примитивными величинами; или, наоборот, попытаться обнаружить эти прямые уравнения посредством косвенных уравнений, первоначально установленных. Такова, фактически, постоянно двойная цель трансцендентного анализа.

Эти две системы получили различные названия в зависимости от точки зрения, под которой этот анализ рассматривался. Инфинитезимальный метод, собственно говоря, будучи наиболее общепринятым по причинам, которые были даны, почти все геометры используют привычно наименования Дифференциального исчисления и Интегрального исчисления, установленные Лейбницем, и которые являются, фактически, весьма рациональными следствиями его концепции. Ньютон, в соответствии со своим методом, назвал первое Исчислением флюксий, а второе — Исчислением флюент, выражения, которые обычно использовались в Англии. Наконец, следуя в высшей степени философской теории, основанной Лагранжем, одно называлось бы Исчислением производных функций, а другое — Исчислением примитивных функций. Я продолжу использовать термины Лейбница как более удобные для формирования вторичных выражений, хотя я должен, в соответствии с предложениями, сделанными в предыдущей главе, использовать одновременно все различные концепции, приближаясь насколько возможно к концепции Лагранжа.

ИХ ОТНОШЕНИЯ ДРУГ К ДРУГУ.

Дифференциальное исчисление является очевидно логической основой интегрального исчисления; ибо мы не знаем и не можем знать, как интегрировать напрямую любые другие дифференциальные выражения, кроме тех, что произведены дифференцированием десяти простых функций, которые составляют общие элементы нашего анализа. Искусство интегрирования состоит, следовательно, по существу в том, чтобы привести все другие случаи, насколько это возможно, к тому, чтобы в конечном итоге зависеть только от этого небольшого числа фундаментальных интегрирований.