«Философия математики»

Таким образом, когда мы допускаем любой вид функций в определение уравнений, мы вовсе не учитываем крайнюю трудность, которую почти всегда испытываем при составлении уравнения для проблемы, и которая так часто может быть сравнима с усилиями, требуемыми аналитической проработкой уравнения, когда оно уже получено. Одним словом, обычная абстрактная и общая идея уравнения вовсе не соответствует реальному значению, которое геометры придают этому выражению в актуальном развитии науки. Здесь, следовательно, логическая ошибка, дефект корреляции, который очень важно исправить.

Деление функций на абстрактные и конкретные. Чтобы преуспеть в этом, я начинаю с различения двух видов функций: абстрактных, или аналитических, функций и конкретных функций. Только первые могут входить в подлинные уравнения. Мы можем, следовательно, отныне определять каждое уравнение точным и достаточно глубоким образом как отношение равенства между двумя абстрактными функциями рассматриваемых величин. Чтобы не возвращаться снова к этому фундаментальному определению, я должен добавить здесь, в качестве необходимого дополнения, без которого идея не была бы достаточно общей, что эти абстрактные функции могут относиться не только к величинам, которые проблема представляет сама по себе, но также ко всем другим вспомогательным величинам, которые связаны с ней и которые мы часто сможем вводить просто как математический приём с единственной целью облегчения обнаружения уравнений явлений. Я здесь суммарно предвосхищаю результат общего обсуждения высочайшей важности, которое будет найдено в конце этой главы. Теперь мы вернёмся к существенному различению функций как абстрактных и конкретных.

Это различие может быть установлено двумя способами, существенно различными, но дополняющими друг друга: априори и апостериорно; то есть путём характеристики общим образом своеобразной природы каждого вида функций, а затем путём фактического перечисления всех абстрактных функций, известных в настоящее время, по крайней мере в том, что касается элементов, из которых они состоят.

Априори функции, которые я называю абстрактными, — это те, которые выражают способ зависимости между величинами, который можно мыслить только между числами, без необходимости указывать какое-либо явление, в котором он реализуется. Я называю, с другой стороны, конкретными функциями те, для которых выраженный способ зависимости не может быть определён или осмыслен иначе, как путём указания определённого случая физики, геометрии, механики и т. д., в котором он реально существует.

Большинство функций в своём происхождении, даже те, которые в настоящее время являются наиболее чисто абстрактными, начинались как конкретные; так что легко сделать понятным предыдущее различие, цитируя только последовательные различные точки зрения, под которыми, по мере формирования науки, геометры рассматривали простейшие аналитические функции. Я укажу, например, степени, которые в целом стали абстрактными функциями только после трудов Виета и Декарта. Функции x2, x3, которые в нашем нынешнем анализе так хорошо мыслятся как просто абстрактные, были для геометров древности совершенно конкретными функциями, выражающими отношение поверхности квадрата или объёма куба к длине их стороны. Они имели в их глазах такой характер столь исключительно, что только с помощью геометрических определений они обнаружили элементарные алгебраические свойства этих функций, относящиеся к разложению переменной на две части, свойства, которые были в ту эпоху лишь реальными теоремами геометрии, к которым числовое значение было привязано лишь долгое время спустя.

У меня будет повод процитировать сейчас, по другой причине, новый пример, очень подходящий для того, чтобы сделать очевидным фундаментальное различие, которое я только что представил; это пример круговых функций, как прямых, так и обратных, которые в настоящее время всё ещё иногда являются конкретными, иногда абстрактными, в зависимости от точки зрения, под которой они рассматриваются.

Апостериорно, после того как был установлен общий характер, делающий функцию абстрактной или конкретной, вопрос о том, является ли определённая функция подлинно абстрактной и, следовательно, способной входить в истинные аналитические уравнения, становится простым вопросом факта, поскольку мы собираемся перечислить все функции этого вида.

Перечисление абстрактных функций. На первый взгляд это перечисление кажется невозможным, так как число различных аналитических функций бесконечно. Но когда мы делим их на простые и составные, трудность исчезает; ибо, хотя число различных функций, рассматриваемых в математическом анализе, действительно бесконечно, они, напротив, даже в наши дни состоят из очень малого числа элементарных функций, которые могут быть легко назначены и которые, очевидно, достаточны для определения абстрактного или конкретного характера любой данной функции; которая будет того или иного характера в зависимости от того, будет ли она состоять исключительно из этих простых абстрактных функций или будет включать другие.

Мы, очевидно, должны рассматривать для этой цели только функции одной переменной, поскольку те, что относятся к нескольким независимым переменным, постоянно по своей природе являются более или менее составными.

Пусть x — независимая переменная, y — коррелятивная переменная, которая зависит от неё. Различные простые способы абстрактной зависимости, которые мы можем теперь мыслить между y и x, выражаются десятью следующими элементарными формулами, в которых каждая функция сопряжена со своей обратной, то есть с той, которая была бы получена из прямой функции путём отнесения x к y, вместо отнесения y к x.

FUNCTION.ITS NAME. 1st couple1° y = a + xSum. 2° y = a - xDifference. 2d couple1° y = axProduct. 2° y = a/xQuotient. 3d couple1° y = x^aPower. 2° y = [aroot]xRoot. 4th couple1° y = a^xExponential. 2° y = [log a]xLogarithmic. 5th couple1° y = sin. xDirect Circular. 2° y = arc(sin. = x).Inverse Circular.[3]

Таковы элементы, очень немногие по числу, которые непосредственно составляют все абстрактные функции, известные в настоящее время. Немногие, как они есть, они, очевидно, достаточны для того, чтобы дать начало бесконечному числу аналитических комбинаций.

Никакое рациональное соображение строго не ограничивает априори предыдущую таблицу, которая является лишь актуальным выражением нынешнего состояния науки. Наши аналитические элементы в настоящее время более многочисленны, чем они были для Декарта и даже для Ньютона и Лейбница: прошёл всего век с тех пор, как последние две пары были введены в анализ трудами Иоганна Бернулли и Эйлера. Несомненно, новые будут допущены в будущем; но, как я покажу ближе к концу этой главы, мы не можем надеяться, что они когда-либо будут сильно умножены, так как их реальное увеличение порождает очень большие трудности.

Мы можем теперь сформировать определённую и в то же время достаточно широкую идею о том, что геометры понимают под подлинным уравнением. Это объяснение особенно подходит для того, чтобы дать нам понять, насколько трудно должно быть реально установить уравнения явлений, поскольку мы эффективно преуспели в этом только тогда, когда смогли осмыслить математические законы этих явлений с помощью функций, полностью состоящих только из математических элементов, которые я только что перечислил. Ясно, в самом деле, что только тогда проблема становится подлинно абстрактной и сводится к чистому вопросу о числах, поскольку эти функции являются единственными простыми отношениями, которые мы можем мыслить между числами, рассматриваемыми сами по себе. До этого периода решения, каковы бы ни были внешние проявления, вопрос остаётся по существу конкретным и не входит в область исчисления. Теперь фундаментальная трудность этого перехода от конкретного к абстрактному в целом состоит особенно в недостаточности этого очень малого числа аналитических элементов, которыми мы обладаем и с помощью которых, тем не менее, несмотря на малое реальное разнообразие, которое они нам предлагают, мы должны преуспеть в представлении всех точных отношений, которые все различные природные явления могут нам проявить. Учитывая бесконечное разнообразие, которое должно неизбежно существовать в этом отношении во внешнем мире, мы легко понимаем, насколько ниже истинной трудности должны часто оказываться наши концепции, особенно если мы добавим, что, поскольку эти элементы нашего анализа были в первую очередь предоставлены нам математическим рассмотрением простейших явлений, у нас априори нет рациональной гарантии их необходимой пригодности для представления математического закона любого другого класса явлений. Я объясню сейчас общий приём, столь глубоко остроумный, с помощью которого человеческий разум преуспел в уменьшении в значительной степени этой фундаментальной трудности, которая представлена отношением конкретного к абстрактному в математике, без того, однако, чтобы было необходимо умножать число этих аналитических элементов.

ДВЕ ОСНОВНЫЕ ДИВИЗИИ ИСЧИСЛЕНИЯ.

Предыдущие объяснения определяют с точностью истинный предмет и реальную область абстрактной математики. Я должен теперь перейти к рассмотрению её основных делений, ибо до сих пор мы рассматривали исчисление как целое.

Первое прямое соображение, которое следует представить о составе науки исчисления, состоит в том, чтобы разделить её, в первую очередь, на две основные ветви, которым, за неимением более подходящих наименований, я дам названия алгебраического исчисления, или алгебры, и арифметического исчисления, или арифметики; но с предостережением принимать эти два выражения в их наиболее широком логическом значении, вместо гораздо более ограниченного смысла, который обычно к ним привязывается.

Полное решение каждого вопроса исчисления, от самого элементарного до самого трансцендентного, неизбежно состоит из двух последовательных частей, природа которых существенно различна. В первой целью является преобразование предложенных уравнений так, чтобы сделать очевидным способ, которым неизвестные величины формируются из известных: это то, что составляет алгебраический вопрос. Во второй нашей целью является нахождение значений полученных таким образом формул; то есть определение непосредственно значений искомых чисел, которые уже представлены определёнными явными функциями данных чисел: это арифметический вопрос. Очевидно, что в каждом решении, которое является подлинно рациональным, он неизбежно следует за алгебраическим вопросом, дополнением которого он является, поскольку очевидно необходимо знать способ генерации искомых чисел перед определением их актуальных значений для каждого конкретного случая. Таким образом, место остановки алгебраической части решения становится отправной точкой арифметической части.

Мы видим таким образом, что алгебраическое исчисление и арифметическое исчисление существенно различаются по своему предмету. Они различаются не менее и по точке зрения, под которой они рассматривают величины; которые рассматриваются в первом в отношении их отношений, а во втором — в отношении их значений. Истинный дух исчисления в целом требует, чтобы это различие поддерживалось с самой строгой точностью, а линия демаркации между двумя периодами решения была сделана столь ясной и отчётливой, насколько это позволяет предложенный вопрос. Внимательное соблюдение этого предписания, которым слишком пренебрегают, может быть большой помощью в каждом конкретном вопросе, направляя усилия нашего разума в любой момент решения к реальной соответствующей трудности. По правде говоря, несовершенство науки исчисления обязывает нас очень часто (как будет объяснено в следующей главе) смешивать алгебраические и арифметические соображения при решении одного и того же вопроса. Но как бы невозможно ни было чётко разделить две части работы, всё же предыдущие указания всегда позволят нам избежать их смешения.

Пытаясь суммировать как можно более кратко только что установленное различие, мы видим, что алгебра может быть определена в общем как имеющая своей целью решение уравнений; принимая это выражение в его полном логическом значении, которое означает преобразование неявных функций в эквивалентные явные. Точно так же арифметика может быть определена как предназначенная для определения значений функций. Отныне, следовательно, мы будем кратко говорить, что алгебра — это исчисление функций, а арифметика — исчисление значений.

Мы можем теперь осознать, насколько недостаточны и даже ошибочны обычные определения. Чаще всего преувеличенное значение, приписываемое знакам, привело к различению двух фундаментальных ветвей науки исчисления по способу обозначения в каждой из них предметов обсуждения, идея, которая очевидно абсурдна в принципе и ложна по факту. Даже знаменитое определение, данное Ньютоном, характеризующее алгебру как универсальную арифметику, даёт, безусловно, очень ложное представление о природе алгебры и о природе арифметики.

Установив таким образом фундаментальное деление исчисления на две основные ветви, я должен теперь сравнить в общих чертах объём, важность и трудность этих двух видов исчисления, чтобы в дальнейшем рассматривать только исчисление функций, которое будет основным предметом нашего изучения.

ИСЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ, ИЛИ АРИФМЕТИКА.

Её объём. Исчисление значений, или арифметика, на первый взгляд, казалось бы, представляет область столь же обширную, как и область алгебры, поскольку, казалось бы, оно допускает столько же различных вопросов, сколько мы можем мыслить различных алгебраических формул, значения которых должны быть определены. Но очень простое размышление покажет разницу. Деля функции на простые и составные, очевидно, что когда мы знаем, как определить значение простых функций, рассмотрение составных функций больше не будет представлять никакой трудности. С алгебраической точки зрения составная функция играет очень отличную роль от роли элементарных функций, из которых она состоит, и из этого, действительно, происходят все основные трудности анализа. Но совсем иначе обстоит дело с арифметическим исчислением. Таким образом, число подлинно различных арифметических операций — это только то, которое определяется числом элементарных абстрактных функций, очень ограниченный список которых был приведён выше. Определение значений этих десяти функций неизбежно даёт значение всех функций, бесконечных по числу, которые рассматриваются во всей математической аналитике, по крайней мере в том виде, в каком она существует в настоящее время. Не может быть новых арифметических операций без создания подлинно новых аналитических элементов, число которых всегда должно быть чрезвычайно малым. Область арифметики, следовательно, по своей природе чрезвычайно ограничена, в то время как область алгебры строго неопределённа.

Важно, однако, заметить, что область исчисления значений в действительности гораздо обширнее, чем её обычно представляют; ибо несколько вопросов, подлинно арифметических, поскольку они состоят из определений значений, обычно не классифицируются как таковые, потому что мы привыкли рассматривать их только как случайные в середине корпуса аналитических исследований более или менее высокого уровня, причём слишком высокое мнение, обычно формируемое о влиянии знаков, снова является основной причиной этого смешения идей. Таким образом, не только построение таблицы логарифмов, но и вычисление тригонометрических таблиц являются истинными арифметическими операциями высшего рода. Мы можем также привести в качестве относящихся к тому же классу, хотя и в очень отличном и более высоком порядке, все методы, с помощью которых мы определяем непосредственно значение любой функции для каждой конкретной системы значений, приписанных величинам, от которых она зависит, когда мы не можем выразить в общих чертах явную форму этой функции. С этой точки зрения численное решение вопросов, которые мы не можем решить алгебраически, и даже вычисление «определённых интегралов», общие интегралы которых мы не знаем, действительно составляют часть, вопреки всем внешним проявлениям, области арифметики, в которую мы должны неизбежно включить всё, что имеет своей целью определение значений функций. Соображения, относящиеся к этому предмету, в самом деле, постоянно однородны, каковы бы ни были определения, о которых идёт речь, и всегда очень отличны от подлинно алгебраических соображений.

Чтобы завершить верную идею о реальном объёме исчисления значений, мы должны включить в него также ту часть общей науки исчисления, которая теперь носит название теории чисел и которая ещё так мало продвинулась. Эта ветвь, очень обширная по своей природе, но важность которой в общей системе науки не очень велика, имеет своей целью обнаружение свойств, присущих различным числам в силу их значений, и независимых от какой-либо конкретной системы нумерации. Она формирует, следовательно, своего рода трансцендентную арифметику; и к ней действительно применилось бы определение, предложенное Ньютоном для алгебры.

Вся область арифметики, следовательно, гораздо обширнее, чем обычно предполагается; но это исчисление значений всё равно никогда не будет более чем точкой, так сказать, в сравнении с исчислением функций, из которого существенно состоит математическая наука. Эта сравнительная оценка будет ещё более очевидна из некоторых соображений, которые я должен теперь указать относительно истинной природы арифметических вопросов в целом, когда они рассматриваются более глубоко.

Её истинная природа. Пытаясь определить с точностью, в чём собственно состоят определения значений, мы легко признаём, что они суть не что иное, как подлинные преобразования функций, подлежащих оценке; преобразования, которые, несмотря на их специальную цель, тем не менее существенно того же характера, что и все те, которым учит анализ. С этой точки зрения исчисление значений могло бы быть просто осмыслено как приложение и частное применение исчисления функций, так что арифметика исчезла бы, так сказать, как отдельная секция во всём корпусе абстрактной математики.

Чтобы досконально понять это соображение, мы должны заметить, что, когда мы предлагаем определить значение неизвестного числа, способ формирования которого дан, оно, самим объявлением арифметического вопроса, уже определено и выражено под определённой формой; и что, определяя его значение, мы только ставим его выражение под другую определённую форму, к которой мы привыкли относить точное понятие каждого конкретного числа, заставляя его вновь войти в регулярную систему нумерации. Определение значений состоит так полностью из простого преобразования, что когда первоначальное выражение числа оказывается уже согласованным с регулярной системой нумерации, больше нет никакого определения значения, собственно говоря, или, скорее, вопрос отвечен самим вопросом. Пусть вопрос будет сложить два числа один и двадцать, мы отвечаем на него, просто повторяя объявление вопроса, и тем не менее мы думаем, что определили значение суммы. Это означает, что в данном случае первое выражение функции не имело нужды быть преобразованным, в то время как это было бы не так при сложении двадцати трёх и четырнадцати, ибо тогда сумма не была бы немедленно выражена образом, согласованным с рангом, который она занимает в фиксированной и общей шкале нумерации.

Чтобы суммировать как можно более исчерпывающе предыдущие взгляды, мы можем сказать, что определить значение числа есть не что иное, как постановка его первоначального выражения под форму

a + bz + cz2 + dz3 + ez4 . . . . . + pzm,

z будучи в общем равным 10, а коэффициенты a, b, c, d и т. д. будучи подчинёнными условиям быть целыми числами, меньшими z; способными становиться равными нулю; но никогда не отрицательными. Каждый арифметический вопрос может быть, таким образом, поставлен как состоящий в постановке под такую форму любой абстрактной функции вообще различных величин, которые предполагаются уже имеющими подобную форму. Мы могли бы тогда видеть в различных операциях арифметики только простые частные случаи определённых алгебраических преобразований, за исключением специальных трудностей, относящихся к условиям, касающимся природы коэффициентов.

Ясно следует, что абстрактная математика существенно состоит из исчисления функций, которое уже было признано её самой важной, самой обширной и самой трудной частью. Оно отныне будет исключительным предметом наших аналитических исследований. Я поэтому больше не буду задерживаться на исчислении значений, а перейду немедленно к рассмотрению фундаментального деления исчисления функций.

ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ, ИЛИ АЛГЕБРА.

Принцип его фундаментального деления. Мы определили в начале этой главы, в чём собственно состоит трудность, которую мы испытываем при постановке математических вопросов в уравнения. Это существенно из-за недостаточности очень малого числа аналитических элементов, которыми мы обладаем, что отношение конкретного к абстрактному обычно так трудно установить. Давайте попытаемся теперь оценить философским образом общий процесс, с помощью которого человеческий разум преуспел в столь большом числе важных случаев в преодолении этого фундаментального препятствия к установлению уравнений.

1. Путём создания новых функций. Рассматривая этот важный вопрос с самой общей точки зрения, мы приходим сразу к концепции одного средства облегчения установления уравнений явлений. Поскольку основное препятствие в этом деле исходит от слишком малого числа наших аналитических элементов, весь вопрос, казалось бы, сводился к созданию новых. Но это средство, хотя и естественное, в действительности иллюзорно; и хотя оно могло бы быть полезным, оно, безусловно, недостаточно.

В самом деле, создание элементарной абстрактной функции, которая была бы подлинно новой, представляет само по себе величайшие трудности. Есть даже нечто противоречивое в такой идее; ибо новый аналитический элемент, очевидно, не выполнил бы своих существенных и соответствующих условий, если бы мы не могли немедленно определить его значение. Теперь, с другой стороны, как нам определить значение новой функции, которая является подлинно простой, то есть которая не сформирована комбинацией уже известных? Это кажется почти невозможным. Введение в анализ другой элементарной абстрактной функции, или, скорее, другой пары функций (ибо каждая всегда сопровождалась бы своей обратной), предполагает, следовательно, по необходимости, одновременное создание новой арифметической операции, что, безусловно, очень трудно.

Если мы попытаемся получить представление о средствах, которые человеческий разум использует для изобретения новых аналитических элементов, путём рассмотрения процедур, с помощью которых он фактически постиг те, которыми мы уже обладаем, наши наблюдения оставляют нас в этом отношении в полной неопределённости, ибо приёмы, которые он уже использовал для этой цели, очевидно, исчерпаны. Чтобы убедиться в этом, давайте рассмотрим последнюю пару простых функций, которая была введена в анализ и при формировании которой мы присутствовали, так сказать, а именно четвёртую пару; ибо, как я объяснил, пятая пара не даёт строго подлинно новых аналитических элементов. Функция ax и, следовательно, её обратная были сформированы путём осмысления под новой точкой зрения функции, которая была давно известна, а именно степеней — когда идея о них стала достаточно обобщённой. Рассмотрение степени относительно изменения её показателя, вместо изменения её основания, было достаточным, чтобы дать начало подлинно новой простой функции, изменение которой следовало затем совершенно иным путём. Но этот приём, столь же простой, сколь и остроумный, не может дать ничего большего; ибо, переворачивая таким же образом все наши нынешние аналитические элементы, мы приходим только к тому, что заставляем их возвращаться друг в друга.

У нас, следовательно, нет идеи о том, как мы могли бы приступить к созданию новых элементарных абстрактных функций, которые должным образом удовлетворяли бы всем необходимым условиям. Это не значит, однако, что мы в настоящее время достигли эффективного предела, установленного в этом отношении границами нашего интеллекта. Даже несомненно, что последние специальные улучшения в математическом анализе способствовали расширению наших ресурсов в этом отношении, введя в область исчисления определённые интегралы, которые в некоторых отношениях заменяют новые простые функции, хотя они далеки от выполнения всех необходимых условий, что предотвратило меня от включения их в таблицу истинных аналитических элементов. Но в целом я считаю несомненным, что число этих элементов не может увеличиваться иначе, как с крайней медленностью. Поэтому не из этих источников человеческий разум черпал свои самые мощные средства облегчения, насколько это возможно, установления уравнений.

2. Путём концепции уравнений между определёнными вспомогательными величинами. Этот первый метод будучи отложен, остаётся, очевидно, только один другой: это, видя невозможность нахождения непосредственно уравнений между рассматриваемыми величинами, искать соответствующие им между другими вспомогательными величинами, связанными с первыми согласно определённому закону, и от отношения между которыми мы можем вернуться к тому, что между первоначальными величинами. Такова, в сущности, исключительно плодотворная концепция, которую человеческий разум преуспел в установлении и которая составляет его самый удивительный инструмент для математического объяснения природных явлений; анализ, называемый трансцендентным.

Как общий философский принцип, вспомогательные величины, которые вводятся вместо первоначальных величин или одновременно с ними, чтобы облегчить установление уравнений, могли бы быть выведены согласно любому закону вообще из непосредственных элементов вопроса. Эта концепция имеет, таким образом, гораздо более обширный охват, чем тот, который обычно приписывался ей даже самыми глубокими геометрами. Чрезвычайно важно для нас рассматривать её во всём её логическом объёме, ибо, возможно, установив общий способ выведения, отличный от того, к которому мы до сих пор ограничивались (хотя он, очевидно, очень далёк от того, чтобы быть единственным возможным), мы однажды преуспеем в существенном совершенствовании математического анализа в целом и, следовательно, в установлении более мощных средств исследования законов природы, чем наши нынешние процессы, которые, несомненно, восприимчивы к тому, чтобы стать исчерпанными.

Но, рассматривая лишь нынешнее состояние науки, единственные вспомогательные величины, обычно вводимые вместо первоначальных величин в трансцендентном анализе, — это то, что называется: 1) бесконечно малые элементы, дифференциалы (различных порядков) этих величин, если мы рассматриваем этот анализ по методу Лейбница; или 2) флюксии, пределы отношений одновременных приращений первоначальных величин, сравниваемых друг с другом, или, короче, первые и последние отношения этих приращений, если мы принимаем концепцию Ньютона; или 3) производные, собственно называемые, этих величин, то есть коэффициенты различных членов их соответствующих приращений, согласно концепции Лагранжа.

Эти три основных метода рассмотрения нашего современного трансцендентального анализа, как и все другие, менее четко охарактеризованные методы, которые предлагались последовательно, по своей природе обязательно тождественны как в вычислениях, так и в приложениях, что будет объяснено в общем виде в третьей главе. Что касается их относительной ценности, то мы увидим там, что концепция Лейбница до сих пор на практике обладает неоспоримым превосходством, но ее логический характер чрезвычайно порочен; в то время как концепция Лагранжа, восхитительная своей простотой, логическим совершенством и философским единством, которое она установила в математическом анализе (до того разделенном на два почти полностью независимых мира), все еще представляет серьезные неудобства в приложениях, замедляя прогресс мысли. Концепция Ньютона занимает почти промежуточное положение в этих различных отношениях, будучи менее быстрой, но более рациональной, чем концепция Лейбница; менее философской, но более применимой, чем концепция Лагранжа.

Здесь не место объяснять преимущества введения такого рода вспомогательных величин вместо примитивных. Этому предмету посвящена третья глава. В настоящее время я ограничусь рассмотрением этой концепции в самом общем виде, чтобы вывести из нее фундаментальное деление исчисления функций на две существенно различные системы, зависимость между которыми для полного решения любого математического вопроса является неизменно определенной.

В этой связи и в логическом порядке идей трансцендентальный анализ представляется обязательно первым, поскольку его общая цель — облегчить составление уравнений, операция, которая, очевидно, должна предшествовать разрешению этих уравнений, что является объектом обычного анализа. Но хотя чрезвычайно важно именно так понимать истинные отношения этих двух систем анализа, тем не менее, в соответствии с установившейся практикой, уместно изучать трансцендентальный анализ после обычного анализа; ибо, хотя первый, по сути, сам по себе логически независим от последнего или, по крайней мере, может быть существенно отделен от него, ясно, что, поскольку его использование при решении вопросов всегда в большей или меньшей степени требует завершения с помощью обычного анализа, мы были бы вынуждены оставить вопросы нерешенными, если бы последний не был изучен ранее.

Соответствующие разделы исчисления функций. Из предыдущих соображений следует, что исчисление функций, или алгебра (в самом широком смысле этого слова), состоит из двух различных фундаментальных ветвей, одна из которых имеет своей непосредственной целью разрешение уравнений, когда они установлены непосредственно между самими рассматриваемыми величинами; а другая, исходя из уравнений (как правило, гораздо более простых для составления) между величинами, косвенно связанными с величинами задачи, имеет своим особым и постоянным назначением выведение с помощью неизменных аналитических методов соответствующих уравнений между прямыми величинами, которые мы рассматриваем; это переводит вопрос в область предыдущего исчисления.

Первое исчисление чаще всего носит название обычного анализа или алгебры в собственном смысле слова. Второе составляет то, что называется трансцендентальным анализом, который обозначался различными терминами: исчисление бесконечно малых, исчисление флюксий и флюент, исчисление исчезающих величин, дифференциальное и интегральное исчисление и т. д., в зависимости от точки зрения, с которой оно было задумано.

Чтобы устранить всякое постороннее соображение, я предложу назвать его исчислением косвенных функций, дав обычному анализу название исчисления прямых функций. Эти выражения, которые я формирую, по сути, путем обобщения и резюмирования идей Лагранжа, просто призваны с точностью указать истинный общий характер, присущий каждой из этих двух форм анализа.

Установив фундаментальное деление математического анализа, я должен теперь рассмотреть отдельно каждую из его двух частей, начиная с исчисления прямых функций и оставляя более широкие разработки для различных ветвей исчисления косвенных функций.

ГЛАВА II.

ОБЫЧНЫЙ АНАЛИЗ, ИЛИ АЛГЕБРА.

Исчисление прямых функций, или алгебра, является (как было показано в конце предыдущей главы) вполне достаточным для решения математических вопросов, когда они настолько просты, что мы можем непосредственно составить уравнения между самими рассматриваемыми величинами, без необходимости вводить вместо них или вместе с ними какую-либо систему вспомогательных величин, производных от первых. Правда, в большинстве важных случаев его использование требует, чтобы ему предшествовало и подготавливало его использование исчисления косвенных функций, которое предназначено для облегчения составления уравнений. Но хотя алгебра в этом случае выполняет лишь второстепенную роль, она тем не менее играет необходимую роль в полном решении вопроса, так что исчисление прямых функций должно оставаться по своей природе фундаментальной основой всего математического анализа. Поэтому мы должны, прежде чем идти дальше, рассмотреть в общем виде логический состав этого исчисления и ту степень развития, которой оно достигло в настоящее время.

Его объект. Поскольку конечной целью этого исчисления является разрешение (в собственном смысле слова) уравнений, то есть открытие того, каким образом неизвестные величины формируются из известных величин в соответствии с уравнениями, существующими между ними, оно естественным образом представляет столько различных отделов, сколько мы можем представить себе действительно различных классов уравнений. Его надлежащий объем, следовательно, строго неопределенен, так как число аналитических функций, способных входить в уравнения, само по себе совершенно безгранично, хотя они и состоят лишь из очень малого числа примитивных элементов.

Классификация уравнений. Рациональная классификация уравнений должна, очевидно, определяться природой аналитических элементов, из которых состоят их члены; любая другая классификация была бы по существу произвольной. Соответственно, аналитики начинают с разделения уравнений с одной или несколькими переменными на два основных класса, в зависимости от того, содержат ли они функции только первых трех пар (см. таблицу в главе I, стр. 51) или включают также экспоненциальные или круговые функции. Названия алгебраических функций и трансцендентальных функций, обычно даваемые этим двум основным группам аналитических элементов, несомненно, очень неуместны. Но повсеместно установленное деление между соответствующими уравнениями от этого не становится менее реальным в том смысле, что разрешение уравнений, содержащих функции, называемые трансцендентальными, неизбежно представляет больше трудностей, чем разрешение уравнений, называемых алгебраическими. Отсюда изучение первых до сих пор чрезвычайно несовершенно, так что часто разрешение даже самых простых из них нам еще неизвестно, а наши аналитические методы почти исключительно относятся к разработке последних.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.

Рассматривая теперь только эти алгебраические уравнения, мы должны, во-первых, заметить, что, хотя они часто могут содержать иррациональные функции неизвестных величин, так же как и рациональные функции, мы всегда можем с помощью более или менее простых преобразований свести первый случай ко второму, так что именно последним аналитикам приходилось заниматься исключительно для разрешения всех видов алгебраических уравнений.

Их классификация. В младенчестве алгебры эти уравнения классифицировались по числу их членов. Но эта классификация была явно ошибочной, поскольку она разделяла случаи, которые были действительно похожи, и объединяла другие, которые не имели ничего общего, кроме этой неважной характеристики. Она была сохранена только для двучленных уравнений, которые, по сути, способны быть разрешены способом, свойственным только им.

Классификация уравнений по тому, что называется их степенями, с другой стороны, является в высшей степени естественной, ибо это различие строго определяет большую или меньшую трудность их разрешения. Эта градация очевидна в случаях всех уравнений, которые могут быть разрешены; но она может быть указана в общем виде независимо от факта разрешения. Нам нужно лишь учесть, что наиболее общее уравнение каждой степени неизбежно охватывает все уравнения различных низших степеней, как это должна делать и формула, определяющая неизвестную величину. Следовательно, как бы мы ни преуменьшали трудность, присущую рассматриваемой степени, поскольку она неизбежно усложняется при выполнении трудностями, представленными всеми предыдущими степенями, разрешение действительно предлагает все больше и больше препятствий по мере повышения степени уравнения.

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РАЗРЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ.

Его пределы. Разрешение алгебраических уравнений нам пока известно только для четырех первых степеней, таков рост трудности, отмеченный выше. В этом отношении алгебра не сделала значительного прогресса со времен работ Декарта и итальянских аналитиков XVI века, хотя за последние два столетия вряд ли нашелся хоть один геометр, который не занимался бы попытками продвинуть разрешение уравнений. Общее уравнение пятой степени до сих пор сопротивлялось всем атакам.

Постоянно возрастающая сложность, которую неизбежно должны представлять формулы для разрешения уравнений по мере увеличения степени (трудность использования формулы четвертой степени делает ее почти неприменимой), заставила аналитиков по молчаливому согласию отказаться от продолжения таких исследований, хотя они далеки от того, чтобы считать невозможным получение разрешения уравнений пятой степени и некоторых других более высоких степеней.

Общее решение. Единственным вопросом такого рода, который был бы действительно очень важен, по крайней мере в своих логических отношениях, было бы общее разрешение алгебраических уравнений любой степени. Теперь, чем больше мы размышляем над этим предметом, тем больше мы склоняемся к мысли вместе с Лагранжем, что он действительно превосходит возможности нашего интеллекта. Мы должны, кроме того, заметить, что формула, которая выражала бы корень уравнения m-й степени, неизбежно включала бы радикалы m-го порядка (или функции эквивалентной множественности) из-за m определений, которые она должна допускать. Поскольку мы видели, кроме того, что эта формула должна также охватывать, как частный случай, ту формулу, которая соответствует каждой низшей степени, из этого следует, что она неизбежно содержала бы также радикалы следующей низшей степени, следующей за ней и т. д., так что, даже если бы ее можно было обнаружить, она почти всегда представляла бы слишком большую сложность, чтобы ее можно было полезно использовать, если только мы не смогли бы упростить ее, сохранив при этом всю ее общность, путем введения нового класса аналитических элементов, о которых мы еще не имеем представления. У нас есть, таким образом, основания полагать, что, еще не достигнув здесь пределов, наложенных слабым охватом нашего интеллекта, мы недолго будем их достигать, если активно и серьезно продолжим эту серию исследований.

Кроме того, важно заметить, что, даже если предположить, что мы получили разрешение алгебраических уравнений любой степени, мы все равно рассмотрели бы лишь очень малую часть алгебры в собственном смысле слова, то есть исчисления прямых функций, включая разрешение всех уравнений, которые могут быть образованы известными аналитическими функциями.

Наконец, мы должны помнить, что в силу неоспоримого закона человеческой природы наши средства для осмысления новых вопросов гораздо мощнее, чем наши ресурсы для их разрешения, или, другими словами, человеческий разум гораздо более склонен спрашивать, чем рассуждать, поэтому мы неизбежно всегда будем оставаться ниже уровня трудности, до какой бы степени развития ни дошел наш интеллектуальный труд. Таким образом, даже если бы мы когда-нибудь открыли полное разрешение всех аналитических уравнений, известных в настоящее время, как бы химерично ни было это предположение, нет сомнений, что, прежде чем достичь этой цели, и, вероятно, даже как вспомогательное средство, мы уже преодолели бы трудность (гораздо меньшую, хотя все еще очень большую) осмысления новых аналитических элементов, введение которых породило бы классы уравнений, о которых мы в настоящее время совершенно не подозреваем; так что подобное несовершенство в алгебраической науке постоянно воспроизводилось бы, несмотря на реальный и очень важный рост абсолютной массы наших знаний.

Что мы знаем в алгебре. В нынешнем состоянии алгебры полное разрешение уравнений первых четырех степеней, любых двучленных уравнений, некоторых частных уравнений более высоких степеней и очень малого числа экспоненциальных, логарифмических или круговых уравнений составляют фундаментальные методы, которые представлены исчислением прямых функций для решения математических задач. Но, какими бы ограниченными ни были эти элементы, геометрам тем не менее удалось рассмотреть поистине восхитительным образом очень большое число важных вопросов, как мы увидим в ходе этого тома. Общие улучшения, внесенные в течение столетия в общую систему математического анализа, имели своей главной целью сделать неизмеримо полезными те немногие знания, которые у нас есть, вместо того чтобы стремиться их увеличить. Этот результат был достигнут настолько полно, что чаще всего это исчисление не имеет реального участия в полном решении вопроса, за исключением его самых простых частей; тех, которые относятся к уравнениям двух первых степеней с одной или несколькими переменными.

ЧИСЛЕННОЕ РАЗРЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ.

Крайнее несовершенство алгебры в отношении разрешения уравнений заставило аналитиков заняться новым классом вопросов, истинный характер которых следует здесь отметить. Они занялись заполнением огромного пробела в разрешении алгебраических уравнений более высоких степеней тем, что они назвали численным разрешением уравнений. Не будучи в состоянии получить в общем виде формулу, которая выражает, какой явной функцией данных величин является неизвестная, они стремились (в отсутствие этого вида разрешения, единственно действительно алгебраического) определить, независимо от этой формулы, по крайней мере значение каждой неизвестной величины для различных обозначенных систем частных значений, приписываемых данным величинам. Благодаря последовательным трудам аналитиков эта неполная и нелегитимная операция, представляющая собой тесное смешение действительно алгебраических вопросов с другими, чисто арифметическими, стала возможной во всех случаях для уравнений любой степени и даже любой формы. Методы для этого, которыми мы сейчас обладаем, достаточно общи, хотя вычисления, к которым они приводят, часто настолько сложны, что их выполнение почти невозможно. Нам не остается ничего другого в этой части алгебры, кроме как упростить методы настолько, чтобы сделать их регулярно применимыми, что мы можем надеяться осуществить в будущем. В этом состоянии исчисления прямых функций мы стремимся при его применении так располагать предложенные вопросы, чтобы в конечном итоге требовалось только это численное разрешение уравнений.

Его ограниченная полезность. Ценный, как и такой ресурс в отсутствие истинного решения, важно не заблуждаться относительно истинного характера этих методов, которые аналитики справедливо рассматривают как очень несовершенную алгебру. На самом деле мы далеки от того, чтобы всегда иметь возможность свести наши математические вопросы к тому, чтобы в конечном итоге они зависели только от численного разрешения уравнений; это можно сделать только для вопросов совершенно изолированных или действительно окончательных, то есть для наименьшего числа. Большинство вопросов, по сути, являются лишь подготовительными и предназначены служить необходимым приготовлением для решения других вопросов. Теперь, для такой цели, очевидно, что важно обнаружить не фактическое значение неизвестной величины, а формулу, которая показывает, как она выводится из других рассматриваемых величин. Это происходит, например, в очень обширном классе случаев, всякий раз, когда определенный вопрос включает одновременно несколько неизвестных величин. Мы должны тогда, прежде всего, разделить их. При надлежащем использовании простого и общего метода, так удачно изобретенного аналитиками, который состоит в сведении всех других неизвестных величин к одной из них, трудность всегда исчезала бы, если бы мы знали, как получить алгебраическое разрешение рассматриваемых уравнений, в то время как численное решение было бы тогда совершенно бесполезным. Только из-за незнания алгебраического разрешения уравнений с одной неизвестной величиной мы вынуждены рассматривать исключение как отдельный вопрос, который составляет одну из величайших специальных трудностей обычной алгебры. Трудоемкие, как и методы, с помощью которых мы преодолеваем эту трудность, они даже не применимы в совершенно общем виде к исключению одной неизвестной величины между двумя уравнениями любой формы.

В самых простых вопросах, и когда нам действительно нужно разрешить только одно уравнение с одной неизвестной величиной, это численное разрешение тем не менее является очень несовершенным методом, даже когда оно строго достаточно. Оно представляет, по сути, то серьезное неудобство, что обязывает нас повторять всю серию операций при малейшем изменении, которое может произойти в одной из рассматриваемых величин, хотя их отношения друг к другу остаются неизменными; вычисления, сделанные для одного случая, не позволяют нам обойтись без каких-либо вычислений, которые относятся к случаю, очень мало отличающемуся. Это происходит из-за нашей неспособности абстрагировать и рассматривать отдельно ту чисто алгебраическую часть вопроса, которая является общей для всех случаев, возникающих из простого изменения данных чисел.

Согласно предыдущим соображениям, исчисление прямых функций, рассматриваемое в его нынешнем состоянии, делится на две очень различные ветви, в зависимости от того, является ли его предметом алгебраическое разрешение уравнений или их численное разрешение. Первый отдел, единственный действительно удовлетворительный, к сожалению, очень ограничен и, вероятно, всегда таким останется; второй, слишком часто недостаточный, имеет, по крайней мере, преимущество гораздо большей общности. Необходимость четкого различения этих двух частей очевидна из-за существенно различной цели, предлагаемой в каждой из них, и, следовательно, особой точки зрения, под которой величины в них рассматриваются.

Различные разделы двух методов разрешения. Если, кроме того, мы рассмотрим эти части применительно к различным методам, из которых состоит каждая, мы найдем в их логическом распределении совершенно иное расположение. На самом деле первая часть должна быть разделена в соответствии с природой уравнений, которые мы способны разрешить, и независимо от всякого соображения, относящегося к значениям неизвестных величин. Во второй части, напротив, методы естественным образом различаются не по степеням уравнений, поскольку они применимы к уравнениям любой степени; они различаются по численному характеру значений неизвестных величин; ибо при вычислении этих чисел непосредственно, без выведения их из общих формул, очевидно, будут использоваться разные средства, когда числа не могут иметь свои значения, определенные иначе, чем рядом приближений, всегда неполных, или когда они могут быть получены с полной точностью. Это различие несоизмеримых и соизмеримых корней, которые требуют совершенно разных принципов для их определения, как бы важно оно ни было в численном разрешении уравнений, совершенно незначительно в алгебраическом разрешении, в котором рациональная или иррациональная природа получаемых чисел является лишь случайностью вычисления, которая не может оказать никакого влияния на используемые методы; это, одним словом, простое арифметическое соображение. То же самое можно сказать, хотя и в меньшей степени, о делении самих соизмеримых корней на целые и дробные. В конце концов, дело обстоит так же, в еще большей степени, с самой общей классификацией корней как реальных и мнимых. Все эти различные соображения, которые являются преобладающими в отношении численного разрешения уравнений и которые не имеют никакого значения в их алгебраическом разрешении, делают все более и более ощутимой существенно различную природу этих двух основных частей алгебры.

ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ.

Эти два отдела, которые составляют непосредственный объект исчисления прямых функций, подчинены третьему, чисто умозрительному, из которого оба они заимствуют свои самые мощные ресурсы и который был очень точно обозначен общим названием теории уравнений, хотя он пока относится только к алгебраическим уравнениям. Численное разрешение уравнений из-за своей общности имеет особую потребность в этом рациональном фундаменте.

Эта последняя и важная ветвь алгебры естественным образом делится на два порядка вопросов, а именно: те, которые относятся к составлению уравнений, и те, которые касаются их преобразования; последние имеют своей целью изменение корней уравнения без их знания в соответствии с любым заданным законом, при условии, что этот закон является единообразным по отношению ко всем частям.

МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ.

Чтобы завершить это быстрое общее перечисление различных существенных частей исчисления прямых функций, я должен, наконец, прямо упомянуть одну из самых плодотворных и важных теорий собственно алгебры, относящуюся к преобразованию функций в ряды с помощью того, что называется методом неопределенных коэффициентов. Этот метод, столь в высшей степени аналитический и который должен рассматриваться как одно из самых замечательных открытий Декарта, несомненно, потерял часть своего значения после изобретения и развития исчисления бесконечно малых, место которого он мог бы так удачно занять в некоторых частных отношениях. Но возрастающее расширение трансцендентального анализа, хотя и сделало этот метод гораздо менее необходимым, с другой стороны, умножило его приложения и расширило его ресурсы; так что благодаря полезному сочетанию между двумя теориями, которое было наконец осуществлено, использование метода неопределенных коэффициентов стало в настоящее время гораздо более обширным, чем оно было даже до формирования исчисления косвенных функций.

Набросав таким образом общие контуры собственно алгебры, я должен теперь предложить некоторые соображения по нескольким ведущим пунктам в исчислении прямых функций, наши идеи о которых могут быть с выгодой прояснены философским исследованием.

МНИМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

Трудности, связанные с несколькими особыми символами, к которым иногда приводят алгебраические вычисления, и особенно с выражениями, называемыми мнимыми, были, я думаю, сильно преувеличены из-за чисто метафизических соображений, которые были навязаны им вместо того, чтобы рассматривать эти ненормальные результаты с их истинной точки зрения как простые аналитические факты. Рассматривая их таким образом, мы легко видим, что, поскольку дух математического анализа состоит в рассмотрении величин только в отношении их связей и без всякого учета их определенного значения, аналитики обязаны допускать безразлично всякий вид выражения, который может быть порожден алгебраическими комбинациями. Запрет даже одного выражения из-за его кажущейся сингулярности разрушил бы общность их концепций. Общее смущение по этому поводу кажется мне происходящим по существу из бессознательного смешения идеи функции и идеи значения, или, что то же самое, между алгебраической и арифметической точками зрения. Тщательное исследование показало бы, что математический анализ гораздо более ясен по своей природе, чем даже математики обычно предполагают.

ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

Что касается отрицательных величин, которые породили так много неуместных дискуссий, столь же иррациональных, сколь и бесполезных, мы должны различать их абстрактное значение и их конкретную интерпретацию, которые почти всегда смешивались до настоящего времени. С первой точки зрения теория отрицательных величин может быть установлена полным образом с помощью одного алгебраического соображения. Необходимость допускать такие выражения та же, что и для мнимых величин, как указано выше; и их использование в качестве аналитического приема, чтобы сделать формулы более всеобъемлющими, является механизмом вычисления, который не может действительно породить никакой серьезной трудности. Мы можем, следовательно, рассматривать абстрактную теорию отрицательных величин как не оставляющую желать ничего существенного; она не представляет препятствий, кроме тех, что неуместно введены софистическими соображениями.

Однако совсем не так обстоит дело с их конкретной теорией. Она состоит по существу в том восхитительном свойстве знаков + и -, представлять аналитически противоположности направлений, которым подвержены некоторые величины. Эта общая теорема об отношении конкретного к абстрактному в математике является одним из самых прекрасных открытий, которыми мы обязаны гению Декарта, получившему его как простой результат правильно направленного философского наблюдения. С тех пор большое число геометров стремились установить непосредственно ее общее доказательство, но до сих пор их усилия были иллюзорными. Их тщетные метафизические соображения и неоднородные смешения абстрактного и конкретного настолько запутали предмет, что становится необходимым здесь четко сформулировать общий факт. Он состоит в следующем: если в любом уравнении, выражающем отношение определенных величин, которые подвержены противоположности направлений, одна или несколько из этих величин начинают отсчитываться в направлении, противоположном тому, которое принадлежало им при первом установлении уравнения, не будет необходимости непосредственно составлять новое уравнение для этого второго состояния явлений; будет достаточно изменить в первом уравнении знак каждой из величин, которые изменили свое направление; и уравнение, таким образом измененное, всегда будет строго совпадать с тем, к которому мы пришли бы, начав заново исследовать для этого нового случая аналитический закон явления. Общая теорема состоит в этом постоянном и необходимом совпадении. Теперь, до сих пор никто не преуспел в том, чтобы непосредственно доказать это; мы убедились в этом только с помощью большого числа геометрических и механических проверок, которые, правда, достаточно умножены и, особенно, достаточно разнообразны, чтобы предотвратить у любого ясного ума возникновение малейшего сомнения в точности и общности этого существенного свойства, но которые, с философской точки зрения, вовсе не избавляют от исследования столь важного объяснения. Крайняя степень теоремы должна заставить нас понять как фундаментальные трудности этого исследования, так и высокую полезность для совершенствования математической науки, которая принадлежала бы общей концепции этой великой истины. Это несовершенство теории, однако, не помешало геометрам сделать самое широкое и самое важное использование этого свойства во всех частях конкретной математики.

Из вышеприведенной общей формулировки факта, независимо от какого-либо доказательства, следует, что свойство, о котором мы говорим, никогда не должно применяться к величинам, направления которых постоянно варьируются, не порождая простого противопоставления направления; в этом случае знак, которым обязательно наделен каждый результат вычисления, не поддается никакой конкретной интерпретации, и попытки, иногда предпринимаемые для установления таковой, являются ошибочными. Это обстоятельство встречается, среди прочих случаев, в случае радиус-вектора в геометрии и расходящихся сил в механике.

ПРИНЦИП ОДНОРОДНОСТИ.

Вторая общая теорема об отношении конкретного к абстрактному — это та, которая обычно обозначается под названием принципа однородности. Она, несомненно, гораздо менее важна в своих приложениях, чем предыдущая, но она особенно заслуживает нашего внимания как имеющая по своей природе еще большую степень охвата, поскольку она применима ко всем явлениям без различия, и из-за реальной полезности, которую она часто имеет для проверки их аналитических законов. Я могу, кроме того, продемонстрировать прямое и общее доказательство ее, которое кажется мне очень простым. Оно основано на этом единственном наблюдении, которое самоочевидно, что точность всякого отношения между любыми конкретными величинами, какими бы они ни были, не зависит от значения единиц, к которым они отнесены с целью выражения их в числах. Например, отношение, которое существует между тремя сторонами прямоугольного треугольника, одно и то же, измеряются ли они ярдами, или милями, или дюймами.

Из этого общего соображения следует, что каждое уравнение, которое выражает аналитический закон любого явления, должно обладать этим свойством — никоим образом не изменяться, когда все величины, которые находятся в нем, подвергаются одновременно изменению, соответствующему тому, которое испытали бы их соответствующие единицы. Теперь это изменение, очевидно, состоит в том, что все величины каждого сорта становятся сразу в m раз меньше, если единица, которая соответствует им, становится в m раз больше, или наоборот. Таким образом, каждое уравнение, которое представляет любое конкретное отношение, какое бы оно ни было, должно обладать этой характеристикой — оставаться тем же самым, когда мы делаем в m раз больше все величины, которые оно содержит и которые выражают величины, между которыми существует отношение; исключая всегда числа, которые обозначают просто взаимные отношения этих различных величин и которые поэтому остаются неизменными во время изменения единиц. Именно это свойство составляет закон однородности в его самом широком значении, то есть из каких бы аналитических функций ни состояли уравнения.