«Философия математики»

При рассмотрении всего корпуса трансцендентного анализа, как я охарактеризовал его в предыдущей главе, не сразу очевидно, в чем может состоять специфическая полезность дифференциального исчисления, независимо от этого необходимого отношения с интегральным исчислением, которое кажется, как если бы оно должно было быть само по себе единственным непосредственно необходимым. Фактически, исключение бесконечно малых или производных, введенных как вспомогательные для облегчения установления уравнений, составляя, как мы видели, конечную и неизменную цель исчисления косвенных функций, естественно думать, что исчисление, которое учит, как вывести из уравнений между этими вспомогательными величинами те, что существуют между самими примитивными величинами, должно строго быть достаточным для общих нужд трансцендентного анализа, без того чтобы мы воспринимали с первого взгляда, какую специальную и постоянную часть решение обратного вопроса может иметь в таком анализе. Было бы реальной ошибкой, хотя и обычной, приписать дифференциальному исчислению, чтобы объяснить его специфическое, прямое и необходимое влияние, назначение формирования дифференциальных уравнений, из которых интегральное исчисление затем позволяет нам прийти к конечным уравнениям; ибо примитивное формирование дифференциальных уравнений не есть и не может быть, собственно говоря, объектом какого-либо исчисления, поскольку, напротив, оно образует по своей природе необходимую отправную точку любого исчисления вообще. Как, в частности, могло бы дифференциальное исчисление, которое само по себе сводится к обучению средствам дифференцирования различных уравнений, быть общим порядком действий для их установления? То, что в каждом приложении трансцендентного анализа действительно облегчает формирование уравнений, есть инфинитезимальный метод, а не инфинитезимальное исчисление, которое совершенно отлично от него, хотя оно является его необходимым дополнением. Такое соображение дало бы, следовательно, ложную идею о специальном назначении, которое характеризует дифференциальное исчисление в общей системе трансцендентного анализа.

Но мы должны были бы, тем не менее, весьма несовершенно осмыслить реальную специфическую важность этой первой ветви исчисления косвенных функций, если бы мы видели в ней только простую предварительную работу, не имеющую другой общей и существенной цели, кроме как подготовить необходимые основы для интегрального исчисления. Поскольку идеи по этому предмету обычно смутны, я думаю, что я должен здесь объяснить в кратком виде это важное отношение, как я его вижу, и показать, что в каждом приложении трансцендентного анализа первичная, прямая и необходимая часть постоянно отводится дифференциальному исчислению.

1. Использование дифференциального исчисления как подготовительного к интегральному. При формировании дифференциальных уравнений любого явления вообще, очень редко мы ограничиваемся введением дифференциально только тех величин, отношения которых ищутся. Наложить это условие означало бы бесполезно уменьшить ресурсы, представленные трансцендентным анализом для выражения математических законов явлений. Чаще всего мы вводим в примитивные уравнения, через их дифференциалы, другие величины, отношения которых уже известны или предполагаются таковыми, и без рассмотрения которых было бы часто невозможно установить уравнения. Так, например, в общей задаче спрямления кривых, дифференциальное уравнение,

ds^2 = dy^2 + dx^2, или ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2,

установлено не только между желаемой функцией s и независимой переменной x, к которой она отнесена, но в то же время были введены в качестве необходимых посредников дифференциалы одной или двух других функций, y и z, которые находятся среди данных задачи; было бы невозможно сформировать прямо уравнение между ds и dx, которое было бы, кроме того, специфичным для каждой рассматриваемой кривой. То же самое для большинства вопросов. Теперь в этих случаях очевидно, что дифференциальное уравнение не является непосредственно подходящим для интегрирования. Предварительно необходимо, чтобы дифференциалы функций, предполагаемых известными, которые были использованы как посредники, были полностью исключены, чтобы уравнения могли быть получены между дифференциалами функций, которые одни только ищутся, и дифференциалами действительно независимых переменных, после чего вопрос зависит только от интегрального исчисления. Теперь это подготовительное исключение некоторых дифференциалов, чтобы свести бесконечно малые к наименьшему возможному числу, относится просто к дифференциальному исчислению; ибо оно должно очевидно быть сделано путем определения, посредством уравнений между функциями, предполагаемыми известными, взятыми как посредники, отношений их дифференциалов, что есть просто вопрос дифференцирования. Так, например, в случае спрямлений, будет сначала необходимо вычислить dy, или dy и dz, дифференцируя уравнение или уравнения каждой предложенной кривой; после исключения этих выражений общая дифференциальная формула, выше сформулированная, будет тогда содержать только ds и dx; дойдя до этой точки, исключение бесконечно малых может быть завершено только интегральным исчислением.

Такова, следовательно, общая задача, необходимо возлагаемая на дифференциальное исчисление при полном решении вопросов, требующих применения трансцендентного анализа: по возможности исключить бесконечно малые величины, то есть в каждом случае привести исходные дифференциальные уравнения к такому виду, чтобы они содержали только дифференциалы действительно независимых переменных и искомых функций, устраняя путем исключения дифференциалы всех других известных функций, которые могли быть приняты в качестве промежуточных в момент составления дифференциальных уравнений рассматриваемой задачи.

2. Применение одного лишь дифференциального исчисления. В некоторых вопросах, которые, хотя и немногочисленны, тем не менее, как мы увидим далее, имеют огромное значение, искомые величины входят в исходные дифференциальные уравнения непосредственно, а не через свои дифференциалы; такие уравнения содержат дифференциально лишь различные известные функции, используемые в качестве промежуточных, согласно предыдущему объяснению. Эти случаи являются наиболее благоприятными из всех, ибо очевидно, что дифференциальное исчисление тогда полностью достаточно для исключения бесконечно малых величин без необходимости прибегать к какому-либо интегрированию. Это происходит, например, в задаче о касательных в геометрии, в задаче о скоростях в механике и т. д.

3. Применение одного лишь интегрального исчисления. Наконец, некоторые другие вопросы, число которых также очень мало, но важность которых не менее велика, представляют собой второй исключительный случай, по своей природе являющийся прямой противоположностью предыдущего. Это те случаи, в которых дифференциальные уравнения оказываются непосредственно готовыми к интегрированию, поскольку они содержат при своем первоначальном образовании только бесконечно малые величины, относящиеся к искомым функциям или к действительно независимым переменным, без необходимости вводить дифференциально другие функции в качестве промежуточных. Если в этих новых случаях мы введем последние функции, то, поскольку по гипотезе они будут входить непосредственно, а не через свои дифференциалы, обычная алгебра будет достаточна для их исключения и сведения вопроса к зависимости только от интегрального исчисления. Дифференциальное исчисление тогда не будет играть особой роли в полном решении задачи, которая будет целиком зависеть от интегрального исчисления. Общая задача о квадратурах представляет собой важный пример этого, ибо дифференциальное уравнение dA = ydx станет непосредственно пригодным для интегрирования, как только мы исключим с помощью уравнения предложенной кривой промежуточную функцию y, которая не входит в него дифференциально. Те же обстоятельства имеют место в задаче о кубатурах и в некоторых других, столь же важных.

Три класса возникающих отсюда вопросов. Как общий результат предыдущих соображений, необходимо разделить на три класса математические вопросы, требующие использования трансцендентного анализа: первый класс включает задачи, поддающиеся полному решению исключительно с помощью дифференциального исчисления, без какой-либо необходимости в интегральном исчислении; второй — те, которые, напротив, полностью зависят от интегрального исчисления, без участия дифференциального исчисления в их решении; наконец, в третьем и наиболее обширном классе, который представляет собой нормальный случай, в то время как два других являются лишь исключительными, дифференциальное и интегральное исчисления играют каждое в свою очередь особую и необходимую роль в полном решении задачи, причем первое подвергает исходные дифференциальные уравнения подготовке, необходимой для применения второго. Таковы в точности их общие соотношения, о которых обычно складываются слишком неопределенные и неточные представления.

Теперь давайте проведем общий обзор логического состава каждого исчисления, начиная с дифференциального.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

В изложении трансцендентного анализа принято смешивать чисто аналитическую часть (которая сводится к рассмотрению абстрактных принципов дифференцирования и интегрирования) с изучением его различных основных приложений, особенно тех, что касаются геометрии. Это смешение идей, являющееся следствием фактического способа развития науки, представляет с догматической точки зрения серьезные неудобства, поскольку затрудняет правильное понимание как анализа, так и геометрии. Имея в виду рассмотреть здесь наиболее рациональную координацию, насколько это возможно, я включу в следующий очерк только исчисление косвенных функций в собственном смысле слова, оставив для той части этого тома, которая относится к философскому изучению конкретной математики, общее рассмотрение его великих геометрических и механических приложений.

Два случая: явные и неявные функции. Фундаментальное разделение дифференциального исчисления, или общего предмета дифференцирования, состоит в различении двух случаев в зависимости от того, являются ли аналитические функции, подлежащие дифференцированию, явными или неявными; отсюда вытекают две части, обычно обозначаемые как дифференцирование формул и дифференцирование уравнений. Легко понять a priori важность этой классификации. В самом деле, такое различие было бы иллюзорным, если бы обычный анализ был совершенен, то есть если бы мы умели решать все уравнения алгебраически, ибо тогда можно было бы сделать любую неявную функцию явной; и, дифференцируя ее в таком состоянии, вторая часть дифференциального исчисления была бы непосредственно включена в первую, не вызывая никаких новых трудностей. Но поскольку алгебраическое решение уравнений, как мы видели, все еще находится почти в зачаточном состоянии и пока невозможно для большинства случаев, ясно, что дело обстоит иначе, так как нам приходится, собственно говоря, дифференцировать функцию, не зная ее, хотя она и определена. Дифференцирование неявных функций представляет собой, таким образом, по своей природе вопрос, действительно отличный от того, который представляют явные функции, и неизбежно более сложный. Очевидно, что мы должны начать с дифференцирования формул и свести дифференцирование уравнений к этому первичному случаю с помощью определенных неизменных аналитических соображений, о которых здесь не нужно упоминать.

Эти два общих случая дифференцирования также различны с другой точки зрения, столь же необходимой и слишком важной, чтобы оставить ее без внимания. Соотношение, получаемое между дифференциалами, постоянно является более косвенным по сравнению с соотношением конечных величин при дифференцировании неявных функций, чем при дифференцировании явных функций. Мы знаем, фактически, из соображений, представленных Лагранжем об общем образовании дифференциальных уравнений, что, с одной стороны, одно и то же исходное уравнение может порождать большее или меньшее число производных уравнений самых разных форм, хотя по сути эквивалентных, в зависимости от того, какая из произвольных постоянных исключается, чего не происходит при дифференцировании явных формул; и что, с другой стороны, неограниченная система различных исходных уравнений, соответствующих одному и тому же производному уравнению, представляет гораздо более глубокое аналитическое разнообразие, чем система различных функций, которые допускают один и тот же явный дифференциал и различаются между собой лишь постоянным членом. Неявные функции должны поэтому рассматриваться как в действительности еще более измененные дифференцированием, чем явные функции. Мы снова встретимся с этим соображением применительно к интегральному исчислению, где оно приобретает преобладающее значение.

Два подслучая: одна переменная или несколько переменных. Каждая из двух фундаментальных частей дифференциального исчисления подразделяется на две весьма различные теории в зависимости от того, требуется ли нам дифференцировать функции одной переменной или функции нескольких независимых переменных. Этот второй случай по своей природе вполне отличен от первого и, очевидно, представляет больше сложностей, даже если рассматривать только явные функции, а тем более неявные. В остальном один из этих случаев выводится из другого общим образом с помощью неизменного и очень простого принципа, который состоит в том, чтобы рассматривать полный дифференциал функции, порожденный одновременными приращениями различных независимых переменных, которые она содержит, как сумму частных дифференциалов, которые были бы порождены отдельным приращением каждой переменной по очереди, если бы все остальные были постоянными. Кроме того, необходимо тщательно отметить в связи с этим предметом новую идею, вводимую различием функций на функции одной переменной и нескольких; это рассмотрение различных специальных производных функций, относящихся к каждой переменной отдельно, число которых возрастает все больше и больше по мере того, как порядок производной становится выше, а также когда переменных становится больше. Из этого следует, что дифференциальные соотношения, относящиеся к функциям нескольких переменных, по своей природе являются гораздо более косвенными и, особенно, гораздо более неопределенными, чем те, что относятся к функциям одной переменной. Это наиболее заметно в случае неявных функций, в которых вместо простых произвольных постоянных, которые исключение заставляет исчезнуть при формировании надлежащих дифференциальных уравнений для функций одной переменной, исключаются произвольные функции предложенных переменных; откуда должны возникать особые трудности, когда эти уравнения доходят до интегрирования.

Наконец, чтобы завершить этот краткий обзор различных существенных частей дифференциального исчисления в собственном смысле слова, я должен добавить, что при дифференцировании неявных функций, будь то одной переменной или нескольких, необходимо сделать еще одно различие: случай, когда требуется дифференцировать одновременно различные функции такого рода, объединенные в определенных исходных уравнениях, и случай, когда все эти функции разделены.

Функции, очевидно, на самом деле еще более неявны в первом случае, чем во втором, если учесть, что то же самое несовершенство обычного анализа, которое запрещает нам преобразовывать любую неявную функцию в эквивалентную явную функцию, точно так же делает нас неспособными разделить функции, которые входят одновременно в любую систему уравнений. Тогда необходимо дифференцировать не только не умея решать исходные уравнения, но даже не будучи в состоянии произвести надлежащие исключения между ними, что создает новую трудность.

Сведение всего к дифференцированию десяти элементарных функций. Таковы, следовательно, естественная связь и логическое распределение различных основных теорий, составляющих общую систему дифференцирования. Поскольку дифференцирование неявных функций выводится из дифференцирования явных функций с помощью одного постоянного принципа, а дифференцирование функций нескольких переменных сводится другим фиксированным принципом к дифференцированию функций одной переменной, все дифференциальное исчисление в конечном итоге оказывается основанным на дифференцировании явных функций с одной переменной, единственном, которое когда-либо выполняется непосредственно. Теперь легко понять, что эта первая теория, необходимая основа всей системы, состоит просто в дифференцировании десяти простых функций, которые являются единообразными элементами всех наших аналитических комбинаций и список которых был приведен в первой главе на странице 51; ибо дифференцирование сложных функций, очевидно, выводится непосредственным и необходимым образом из дифференцирования простых функций, которые их составляют. Таким образом, именно к знанию этих десяти фундаментальных дифференциалов и к знанию двух только что упомянутых общих принципов, которые сводят к ним все другие возможные случаи, собственно и сводится вся система дифференцирования. Мы видим, благодаря сочетанию этих различных соображений, насколько проста и совершенна вся система дифференциального исчисления. Оно, безусловно, представляет собой, в своих логических отношениях, самое интересное зрелище, которое математический анализ может представить нашему пониманию.

Преобразование производных функций для новых переменных. Общий очерк, который я только что кратко набросал, тем не менее имел бы существенный недостаток, если бы я здесь отчетливо не указал на последнюю теорию, которая по своей природе составляет необходимое дополнение системы дифференцирования. Это та теория, целью которой является постоянное преобразование производных функций как результат определенных изменений независимых переменных, откуда вытекает возможность отнесения к новым переменным всех общих дифференциальных формул, первоначально установленных для других. Этот вопрос теперь решен самым полным и самым простым образом, как и все те, из которых состоит дифференциальное исчисление. Легко представить себе общую важность, которую он должен иметь в любом из приложений трансцендентного анализа, фундаментальные ресурсы которого он может считаться увеличивающим, позволяя нам выбирать (чтобы сформировать дифференциальные уравнения, в первую очередь, с большей легкостью) ту систему независимых переменных, которая может показаться наиболее выгодной, хотя она и не должна быть окончательно сохранена. Именно так, например, большинство основных вопросов геометрии решаются гораздо легче путем отнесения линий и поверхностей к прямолинейным координатам, и мы, тем не менее, можем иметь случай выразить эти линии и т. д. аналитически с помощью полярных координат или любым другим способом. Мы тогда сможем начать дифференциальное решение задачи, используя прямолинейную систему, но только как промежуточный шаг, от которого, с помощью общей теории, о которой здесь идет речь, мы можем перейти к окончательной системе, которую иногда нельзя было бы рассмотреть непосредственно.

Различные порядки дифференцирования. В логической классификации дифференциального исчисления, которая была только что дана, некоторые могут быть склонны предположить серьезное упущение, поскольку я не подразделил каждую из его четырех существенных частей согласно другому общему соображению, которое кажется на первый взгляд очень важным, а именно: высшего или низшего порядка дифференцирования. Но легко понять, что это различие не имеет реального влияния в дифференциальном исчислении, поскольку оно не порождает никакой новой трудности. Если бы, действительно, дифференциальное исчисление не было строго полным, то есть если бы мы не умели дифференцировать по желанию любую функцию, дифференцирование до второго или высшего порядка каждой определенной функции могло бы порождать особые трудности. Но совершенная универсальность дифференциального исчисления ясно дает нам уверенность в возможности дифференцировать до любого порядка любые известные функции, причем вопрос сводится к постоянно повторяющемуся дифференцированию первого порядка. Это различие, неважное для дифференциального исчисления, приобретает, однако, очень большое значение в интегральном исчислении из-за крайней несовершенности последнего.

Аналитические приложения. Наконец, хотя это не место для рассмотрения различных приложений дифференциального исчисления, все же можно сделать исключение для тех, которые состоят в решении вопросов, являющихся чисто аналитическими, которые, действительно, должны логически рассматриваться в продолжение системы дифференцирования из-за очевидной однородности вовлеченных соображений. Эти вопросы могут быть сведены к трем существенным.

Во-первых, разложение в ряды функций одной или нескольких переменных, или, более общо, преобразование функций, что составляет самое красивое и самое важное приложение дифференциального исчисления к общему анализу и что включает, помимо фундаментального ряда, открытого Тейлором, замечательные ряды, открытые Маклореном, Иоганном Бернулли, Лагранжем и т. д.:

Во-вторых, общая теория максимумов и минимумов значений для любых функций, одной или нескольких переменных; одна из самых интересных проблем, которые может представить анализ, как бы элементарной она теперь ни стала, и к полному решению которой естественно применяется дифференциальное исчисление:

В-третьих, общее определение истинного значения функций, которые представляются в неопределенном виде для определенных гипотез, сделанных относительно значений соответствующих переменных; что является наименее обширным и наименее важным из трех.

Первый вопрос, безусловно, является главным со всех точек зрения; он также наиболее восприимчив к получению нового расширения в будущем, особенно путем более широкого, чем это делалось до сих пор, понимания использования дифференциального исчисления при преобразовании функций, по поводу чего Лагранж оставил некоторые ценные указания.

Рассмотрев таким образом кратко, хотя, возможно, и слишком сжато, главные пункты дифференциального исчисления, я теперь перехожу к столь же быстрому изложению систематического очерка интегрального исчисления в собственном смысле слова, то есть абстрактного предмета интегрирования.

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

Его фундаментальное разделение. Фундаментальное разделение интегрального исчисления основано на том же принципе, что и дифференциального исчисления, при различении интегрирования явных дифференциальных формул и интегрирования неявных дифференциалов или дифференциальных уравнений. Разделение этих двух случаев является даже гораздо более глубоким в отношении интегрирования, чем в отношении дифференцирования. В дифференциальном исчислении, фактически, это различие основывается, как мы видели, только на крайнем несовершенстве обычного анализа. Но, с другой стороны, легко видеть, что, даже если бы все уравнения могли быть алгебраически решены, дифференциальные уравнения тем не менее представляли бы собой случай интегрирования, вполне отличный от того, который представляют явные дифференциальные формулы; ибо, ограничиваясь для простоты первым порядком и одной функцией y одной переменной x, если мы предположим, что любое дифференциальное уравнение между x, y и dy/dx решено относительно dy/dx, выражение производной функции тогда обычно оказывается содержащим саму исходную функцию, которая является объектом исследования, вопрос интегрирования совсем не изменит своей природы, и решение в действительности не сделает никакого иного прогресса, кроме того, что сведет предложенное дифференциальное уравнение к первой степени относительно производной функции, что само по себе мало важно. Дифференциал тогда не был бы определен менее неявно, чем прежде, в отношении интегрирования, которое продолжало бы представлять по существу ту же характерную трудность. Алгебраическое решение уравнений не могло бы сделать рассматриваемый нами случай подпадающим под простое интегрирование явных дифференциалов, за исключением особых случаев, в которых предложенное дифференциальное уравнение не содержало бы саму исходную функцию, что, следовательно, позволило бы нам, решив его, найти dy/dx в терминах только x и, таким образом, свести вопрос к классу квадратур. Еще большие трудности, очевидно, обнаружились бы в дифференциальных уравнениях высших порядков или содержащих одновременно различные функции нескольких независимых переменных.

Интегрирование дифференциальных уравнений, следовательно, неизбежно сложнее, чем интегрирование явных дифференциалов, разработкой которых было создано интегральное исчисление и от которых другие были сделаны зависимыми, насколько это было возможно. Все различные аналитические методы, которые были предложены для интегрирования дифференциальных уравнений, будь то разделение переменных, метод множителей и т. д., фактически имеют своей целью свести эти интегрирования к интегрированию дифференциальных формул, единственному, которое по своей природе может быть предпринято непосредственно. К сожалению, при всей несовершенности этой необходимой основы всего интегрального исчисления, искусство сведения к нему интегрирования дифференциальных уравнений развито еще меньше.

Подразделения: одна переменная или несколько. Каждая из этих двух фундаментальных ветвей интегрального исчисления затем подразделяется на две другие (как в дифференциальном исчислении и по точно аналогичным причинам) в зависимости от того, рассматриваем ли мы функции с одной переменной или функции с несколькими независимыми переменными.

Это различие, как и предыдущее, еще более важно для интегрирования, чем для дифференцирования. Это особенно заметно в отношении дифференциальных уравнений. Действительно, те из них, которые зависят от нескольких независимых переменных, могут, очевидно, представлять эту характерную и гораздо более серьезную трудность, что искомая функция может быть дифференциально определена простым соотношением между ее различными специальными производными относительно различных переменных, взятых отдельно. Отсюда вытекает самая трудная, а также самая обширная ветвь интегрального исчисления, которая обычно называется интегральным исчислением частных производных, созданная Д'Аламбером и в которой, согласно справедливой оценке Лагранжа, геометры должны были видеть действительно новое исчисление, философский характер которого еще не был определен с достаточной точностью. Очень поразительное различие между этим случаем и случаем уравнений с одной независимой переменной состоит, как уже было замечено, в произвольных функциях, которые занимают место простых произвольных постоянных, чтобы придать соответствующим интегралам всю надлежащую общность.

Едва ли нужно говорить, что эта высшая ветвь трансцендентного анализа все еще находится полностью в зачаточном состоянии, поскольку даже в самом простом случае, в случае уравнения первого порядка между частными производными одной функции с двумя независимыми переменными, мы еще не полностью способны свести интегрирование к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. Интегрирование функций нескольких переменных продвинуто гораздо дальше в случае (бесконечно более простом, действительно), в котором оно имеет дело только с явными дифференциальными формулами. Мы можем тогда, фактически, когда эти формулы выполняют необходимые условия интегрируемости, всегда свести их интегрирование к квадратурам.

Другие подразделения: различные порядки дифференцирования. Новое общее различие, применимое как подразделение к интегрированию явных или неявных дифференциалов, с одной переменной или несколькими, выводится из высшего или низшего порядка дифференциалов: различие, которое, как мы выше заметили, не порождает никакого особого вопроса в дифференциальном исчислении.

Относительно явных дифференциалов, будь то одной переменной или нескольких, необходимость различения их различных порядков относится только к крайней несовершенности интегрального исчисления. Фактически, если бы мы могли всегда интегрировать любую дифференциальную формулу первого порядка, интегрирование формулы второго порядка или любого другого, очевидно, не составляло бы нового вопроса, поскольку, интегрируя ее сначала в первой степени, мы пришли бы к дифференциальному выражению непосредственно предшествующего порядка, из которого, с помощью подходящего ряда аналогичных интегрирований, мы были бы уверены в конечном итоге прийти к исходной функции, конечному объекту этих операций. Но те скудные знания, которыми мы обладаем об интегрировании даже первого порядка, вызывают совсем другое положение дел, так что высший порядок дифференциалов порождает новые трудности; ибо, имея дифференциальные формулы любого порядка выше первого, может случиться, что мы сможем интегрировать их либо один раз, либо несколько раз подряд, и что мы все еще будем не в состоянии вернуться к исходным функциям, если эти предварительные труды породили для дифференциалов низшего порядка выражения, интегралы которых не известны. Это обстоятельство должно происходить тем чаще (число известных интегралов все еще очень мало), видя, что эти последовательные интегралы являются обычно очень отличными функциями от производных, которые их породили.

В отношении неявных дифференциалов различие порядков еще более важно; ибо, помимо предыдущей причины, влияние которой очевидно аналогично в этом случае и даже больше, легко заметить, что высший порядок дифференциальных уравнений неизбежно порождает вопросы новой природы. Фактически, даже если бы мы могли интегрировать каждое уравнение первого порядка, относящееся к одной функции, этого было бы недостаточно для получения окончательного интеграла уравнения любого порядка, поскольку не каждое дифференциальное уравнение сводимо к уравнению непосредственно низшего порядка. Так, например, если нам дано любое соотношение между x, y, dx/dy и d2y/dx2 для определения функции y переменной x, мы не сможем вывести из него сразу, после выполнения первого интегрирования, соответствующее дифференциальное соотношение между x, y и dy/dx, из которого, путем второго интегрирования, мы могли бы подняться к исходным уравнениям. Это не обязательно происходило бы, по крайней мере без введения новых вспомогательных функций, если бы предложенное уравнение второго порядка не содержало искомую функцию y вместе с ее производными. Как общий принцип, дифференциальные уравнения должны будут рассматриваться как представляющие случаи, которые являются все более неявными по мере того, как они являются более высокого порядка, и которые не могут быть сведены к зависимости друг от друга иначе, как с помощью специальных методов, исследование которых, следовательно, образует новый класс вопросов, относительно которых мы пока почти ничего не знаем, даже для функций одной переменной. [10]

Другое эквивалентное различие. Более того, когда мы исследуем более глубоко это различие различных порядков дифференциальных уравнений, мы находим, что оно всегда может быть сведено к конечному общему различию относительно дифференциальных уравнений, которое остается заметить. Дифференциальные уравнения с одной или несколькими независимыми переменными могут содержать просто одну функцию, или (в случае, очевидно, более сложном и более неявном, который соответствует дифференцированию одновременных неявных функций) нам, возможно, придется определять в то же время несколько функций из дифференциальных уравнений, в которых они находятся объединенными вместе с их различными производными. Ясно, что такое состояние вопроса неизбежно представляет новую особую трудность — трудность разделения различных искомых функций путем формирования для каждой из них, из предложенных дифференциальных уравнений, изолированного дифференциального уравнения, которое не содержит другие функции или их производные. Эта предварительная работа, которая аналогична исключению в алгебре, очевидно, необходима перед попыткой любого прямого интегрирования, поскольку мы не можем взяться в общем (за исключением специальных ухищрений, которые очень редко применимы) определять непосредственно несколько различных функций сразу.

Теперь легко установить точное и необходимое совпадение этого нового различия с предыдущим относительно порядка дифференциальных уравнений. Мы знаем, фактически, что общий метод изолирования функций в одновременных дифференциальных уравнениях состоит по существу в формировании дифференциальных уравнений отдельно в отношении каждой функции и порядка, равного сумме всех порядков различных предложенных уравнений. Это преобразование всегда может быть осуществлено. С другой стороны, каждое дифференциальное уравнение любого порядка в отношении одной функции могло бы, очевидно, всегда быть сведено к первому порядку путем введения подходящего числа вспомогательных дифференциальных уравнений, содержащих в то же время различные предыдущие производные, рассматриваемые как новые функции, подлежащие определению. Этот метод, действительно, иногда фактически применялся с успехом, хотя он и не является естественным.

Вот, следовательно, два обязательно эквивалентных порядка условий в общей теории дифференциальных уравнений: одновременность большего или меньшего числа функций и высший или низший порядок дифференцирования одной функции. Увеличивая порядок дифференциальных уравнений, мы можем изолировать все функции; и, искусственно умножая число функций, мы можем свести все уравнения к первому порядку. Существует, следовательно, в обоих случаях только одна и та же трудность с двух разных точек зрения. Но как бы мы ее ни представляли, эта новая трудность не менее реальна и не менее составляет по своей природе заметное разделение между интегрированием уравнений первого порядка и интегрированием уравнений высшего порядка. Я предпочитаю указывать различие в этой последней форме как более простой, более общей и более логичной.

Квадратуры. Из различных соображений, которые были указаны относительно логической зависимости различных основных частей интегрального исчисления, мы видим, что интегрирование явных дифференциальных формул первого порядка и одной переменной является необходимой основой всех других интегрирований, которые нам никогда не удается осуществить, кроме как сводя их к этому элементарному случаю, очевидно, единственному, который по своей природе способен быть обработан непосредственно. Это простое фундаментальное интегрирование часто обозначается удобным выражением квадратуры, видя, что каждый интеграл такого рода, S f(x) dx, может, фактически, рассматриваться как представляющий площадь кривой, уравнение которой в прямолинейных координатах было бы y = f(x). Такой класс вопросов соответствует в дифференциальном исчислении элементарному случаю дифференцирования явных функций одной переменной. Но интегральный вопрос по своей природе очень иначе сложен и, особенно, гораздо более обширен, чем дифференциальный вопрос. Последний, фактически, неизбежно сводится, как мы видели, к дифференцированию десяти простых функций, элементы всех которых рассматриваются в анализе. С другой стороны, интегрирование сложных функций не обязательно вытекает из интегрирования простых функций, каждая комбинация которых может представлять особые трудности в отношении интегрального исчисления. Отсюда вытекает естественно неопределенная обширность и столь разнообразная сложность вопроса о квадратурах, о котором, несмотря на все усилия аналитиков, мы все еще обладаем так мало полными знаниями.

Разлагая этот вопрос, как это естественно, согласно различным формам, которые могут быть приняты производной функцией, мы различаем случай алгебраических функций и случай трансцендентных функций.

Интегрирование трансцендентных функций. Истинно аналитическое интегрирование трансцендентных функций пока еще очень мало продвинуто, будь то для экспоненциальных, или для логарифмических, или для круговых функций. Лишь очень небольшое число случаев этих трех различных видов было до сих пор обработано, и те выбраны из числа самых простых; и все же необходимые вычисления в большинстве случаев чрезвычайно трудоемки. Обстоятельство, которое мы должны особенно отметить в его философской связи, состоит в том, что различные процедуры квадратуры не имеют отношения к какому-либо общему взгляду на интегрирование и состоят из простых ухищрений, очень несвязных друг с другом и очень многочисленных из-за очень ограниченного охвата каждого.

Одно из этих ухищрений, однако, должно быть здесь отмечено, которое, не будучи в действительности методом интегрирования, тем не менее замечательно своей общностью; это процедура, изобретенная Иоганном Бернулли и известная под названием интегрирования по частям, с помощью которой каждый интеграл может быть сведен к другому, который иногда оказывается более легким для получения. Это остроумное соотношение заслуживает быть отмеченным по другой причине, как подсказавшее первую идею того преобразования интегралов, еще неизвестного, которое в последнее время получило большее расширение и которому М. Фурье особенно нашел столь новое и важное применение в аналитических вопросах, порожденных теорией тепла.

Интегрирование алгебраических функций. Что касается интегрирования алгебраических функций, оно продвинуто дальше. Однако мы почти ничего не знаем в отношении иррациональных функций, интегралы которых были получены только в чрезвычайно ограниченных случаях, и особенно путем приведения их к рациональным. Интегрирование рациональных функций является, таким образом, до сих пор единственной теорией интегрального исчисления, которая допускала обработку в истинно полном виде; с логической точки зрения она образует, следовательно, его самую удовлетворительную часть, но, возможно, также и наименее важную. Даже существенно отметить, чтобы иметь верное представление о крайней несовершенности интегрального исчисления, что этот случай, ограниченный как он есть, не решен полностью, за исключением того, что собственно касается интегрирования, рассматриваемого абстрактным образом; ибо при исполнении теория находит свой прогресс чаще всего совершенно остановленным, независимо от сложности вычислений, несовершенством обычного анализа, видя, что он делает интегрирование в конечном итоге зависимым от алгебраического решения уравнений, что сильно ограничивает его использование.

Чтобы охватить общим образом дух различных процедур, которые используются в квадратурах, мы должны заметить, что по своей природе они могут быть первоначально основаны только на дифференцировании десяти простых функций. Результаты этого, рассмотренные наоборот, устанавливают столько же прямых теорем интегрального исчисления, единственных, которые могут быть непосредственно известны. Все искусство интегрирования впоследствии состоит, как было сказано в начале этой главы, в сведении всех других квадратур, насколько это возможно, к этому небольшому числу элементарных, что, к несчастью, мы в большинстве случаев не в состоянии осуществить.

Особые решения. В этом систематическом перечислении различных существенных частей интегрального исчисления, рассматриваемых в их логических отношениях, я намеренно пренебрег (чтобы не разорвать цепь последовательности) рассмотрением очень важной теории, которая образует неявно часть общей теории интегрирования дифференциальных уравнений, но которую я должен здесь отметить отдельно, как находящуюся, так сказать, вне интегрального исчисления и являющуюся тем не менее величайшего интереса, как по своему логическому совершенству, так и по обширности своих приложений. Я имею в виду то, что называется особыми решениями дифференциальных уравнений, называемыми иногда, но неправильно, частными решениями, которые были предметом очень замечательных исследований Эйлера и Лапласа и из которых Лагранж особенно представил такую красивую и простую общую теорию. Клеро, который первым имел случай заметить их существование, увидел в них парадокс интегрального исчисления, поскольку эти решения имеют особенность удовлетворять дифференциальным уравнениям, не будучи включенными в соответствующие общие интегралы. Лагранж с тех пор объяснил этот парадокс самым остроумным и самым удовлетворительным образом, показав, как такие решения всегда выводятся из общего интеграла путем варьирования произвольных постоянных. Он был также первым, кто должным образом оценил важность этой теории, и не без основания он посвятил ей столь полное развитие в своем «Исчислении функций». С логической точки зрения эта теория заслуживает всего нашего внимания характером совершенной общности, который она допускает, поскольку Лагранж дал неизменные и очень простые процедуры для нахождения особого решения любого дифференциального уравнения, которое восприимчиво к нему; и, что не менее замечательно, эти процедуры не требуют интегрирования, состоя только из дифференцирований, и поэтому всегда применимы. Дифференцирование, таким образом, стало, благодаря счастливому ухищрению, средством компенсации, в определенных обстоятельствах, несовершенства интегрального исчисления. Действительно, некоторые задачи особенно требуют по своей природе знания этих особых решений; таковы, например, в геометрии все вопросы, в которых кривая должна быть определена из любого свойства ее касательной или ее соприкасающейся окружности. Во всех случаях такого рода, после выражения этого свойства дифференциальным уравнением, именно особое уравнение в своих аналитических отношениях будет составлять самый важный объект исследования, поскольку оно одно будет представлять искомую кривую; общий интеграл, который с тех пор становится ненужным знать, обозначает только систему касательных или соприкасающихся окружностей этой кривой. Мы можем отсюда легко понять всю важность этой теории, которая кажется мне еще не достаточно оцененной большинством геометров.

Определенные интегралы. Наконец, чтобы завершить наш обзор обширной коллекции аналитических исследований, из которых состоит интегральное исчисление в собственном смысле слова, остается упомянуть одну теорию, очень важную во всех приложениях трансцендентного анализа, которую мне пришлось оставить вне системы, как не будущую действительно предназначенной для подлинного интегрирования и предлагающую, напротив, восполнить место знания истинно аналитических интегралов, которые наиболее общеизвестно неизвестны. Я имею в виду определение определенных интегралов.

Выражение, всегда возможное, интегралов в бесконечные ряды может сначала рассматриваться как счастливое общее средство компенсации крайнего несовершенства интегрального исчисления. Но использование таких рядов из-за их сложности и трудности открытия закона их членов обычно имеет лишь умеренную полезность с алгебраической точки зрения, хотя иногда из них были выведены очень существенные соотношения. Именно с арифметической точки зрения эта процедура приобретает большое значение как средство вычисления того, что называется определенными интегралами, то есть значений искомых функций для определенных значений соответствующих переменных.

Исследование такого рода в точности соответствует в трансцендентном анализе численному решению уравнений в обычном анализе. Будучи в общем не в состоянии получить подлинный интеграл — называемый по противопоставлению общим или неопределенным интегралом; то есть функцию, которая, будучи продифференцированной, породила предложенную дифференциальную формулу, — аналитики были вынуждены заняться определением по крайней мере, не зная этой функции, частных численных значений, которые она приняла бы при назначении определенных обозначенных значений переменным. Это, очевидно, решение арифметического вопроса без предварительного решения соответствующего алгебраического, который наиболее общеизвестно является самым важным. Такой анализ является, следовательно, по своей природе столь же несовершенным, каким мы видели численное решение уравнений. Он представляет, подобно последнему, порочное смешение арифметических и алгебраических соображений, откуда возникают аналогичные неудобства как с чисто логической точки зрения, так и в приложениях. Нам не нужно здесь повторять соображения, предложенные в нашей третьей главе. Но будет понято, что, будучи почти всегда не в состоянии получить истинные интегралы, высшей важности является возможность получить это решение, неполное и неизбежно недостаточное, как оно есть. Теперь это было счастливо достигнуто в наши дни для всех случаев, определение значения определенных интегралов было сведено к совершенно общим методам, которые не оставляют ничего желать, в большом числе случаев, кроме меньшей сложности в вычислениях, объект, к которому в настоящее время направлены все специальные преобразования аналитиков. Рассматривая теперь этот род трансцендентной арифметики как совершенный, трудность в приложениях по существу сводится к тому, чтобы сделать предложенное исследование зависимым, в конечном итоге, от простого определения определенных интегралов, что, очевидно, не всегда может быть возможным, какое бы аналитическое искусство ни было использовано при осуществлении такого преобразования.

Перспективы интегрального исчисления. Из соображений, указанных в этой главе, мы видим, что, в то время как дифференциальное исчисление составляет по своей природе ограниченную и совершенную систему, к которой не остается добавить ничего существенного, интегральное исчисление, или простая система интегрирования, представляет неизбежно неисчерпаемое поле для деятельности человеческого разума, независимо от неопределенных приложений, к которым трансцендентный анализ очевидно восприимчив. Общий аргумент, с помощью которого я пытался во второй главе сделать очевидной невозможность когда-либо открыть алгебраическое решение уравнений любой степени и формы, несомненно, имеет бесконечно больше силы в отношении поиска единого метода интегрирования, неизменно применимого ко всем случаям. «Это, — говорит Лагранж, — одна из тех проблем, общего решения которой мы не можем надеяться получить». Чем больше мы размышляем над этим предметом, тем больше мы будем убеждены, что такое исследование совершенно химерично, как находящееся далеко выше слабого охвата нашего интеллекта; хотя труды геометров должны, безусловно, увеличить в будущем объем наших знаний относительно интегрирования и, таким образом, создать методы большей общности. Трансцендентный анализ все еще слишком близок к своему происхождению — особенно слишком мало времени прошло с тех пор, как он был задуман в истинно рациональном виде, — чтобы мы теперь могли иметь правильное представление о том, чем он станет в будущем. Но, каковы бы ни были наши законные надежды, не будем забывать рассматривать прежде всего пределы, которые наложены нашей интеллектуальной конституцией и которые, хотя и не восприимчивы к точному определению, имеют тем не менее неоспоримую реальность.

Я склонен думать, что, когда геометры исчерпают самые важные приложения нашего нынешнего трансцендентного анализа, вместо того чтобы стремиться придать ему, как теперь задуманному, химерическое совершенство, они скорее создадут новые ресурсы путем изменения способа вывода вспомогательных величин, введенных для облегчения установления уравнений, и формирование которых могло бы следовать бесконечности других законов, помимо очень простого соотношения, которое было выбрано, согласно концепции, предложенной в первой главе. Ресурсы такого рода кажутся мне восприимчивыми к гораздо большей плодовитости, чем те, которые состояли бы просто в продвижении дальше нашего нынешнего исчисления косвенных функций. Это предложение, которое я представляю геометрам, обратившим свои мысли к общей философии анализа.

Наконец, хотя в кратком изложении, которое было объектом этой главы, мне пришлось показать состояние крайней несовершенности, которое все еще принадлежит интегральному исчислению, студент имел бы ложное представление об общих ресурсах трансцендентного анализа, если бы он придал этому соображению слишком большое значение. С ним, действительно, так же, как с обычным анализом, в котором очень малое количество фундаментальных знаний относительно решения уравнений было использовано с огромной степенью полезности. Мало продвинутыми, как геометры действительно являются пока в науке интегрирований, они тем не менее получили из своих скудных абстрактных концепций решение множества вопросов первой важности в геометрии, в механике, в термологии и т. д. Философское объяснение этого двойного общего факта вытекает из неизбежно преобладающей важности и охвата абстрактных отраслей знания, наименьшая из которых естественно оказывается соответствующей толпе конкретных исследований, причем человек не имеет иного ресурса для последовательного расширения своих интеллектуальных средств, кроме как в рассмотрении идей все более абстрактных и все еще положительных.

Чтобы закончить полное изложение философского характера трансцендентного анализа, остается рассмотреть последнюю концепцию, с помощью которой бессмертный Лагранж сделал этот анализ еще более приспособленным для облегчения установления уравнений в самых трудных задачах, путем рассмотрения класса уравнений еще более косвенных, чем обычные дифференциальные уравнения. Это исчисление, или, скорее, метод вариаций; общая оценка которого будет нашим следующим предметом.

ГЛАВА V.

ИСЧИСЛЕНИЕ ВАРИАЦИЙ.

Чтобы охватить с большей легкостью философский характер метода вариаций, будет хорошо начать с рассмотрения в кратком виде особой природы задач, общее решение которых сделало необходимым формирование этого гипертрансцендентного анализа. Он все еще слишком близок к своему происхождению, и его приложения были слишком немногочисленны, чтобы позволить нам получить достаточно ясное общее представление о нем из чисто абстрактного изложения его фундаментальной теории.

ЗАДАЧИ, ПОРОЖДАЮЩИЕ ЕГО.

Математические вопросы, которые дали рождение исчислению вариаций, состоят в общем в исследовании максимумов и минимумов определенных неопределенных интегральных формул, которые выражают аналитический закон того или иного явления геометрии или механики, рассматриваемого независимо от любого конкретного предмета. Геометры долгое время обозначали все вопросы такого характера общим названием изопериметрических задач, которое, однако, действительно подходит только к наименьшему числу из них.

Обычные вопросы максимумов и минимумов. В обычной теории максимумов и минимумов предлагается обнаружить, относительно данной функции одной или нескольких переменных, какие частные значения должны быть назначены этим переменным, чтобы соответствующее значение предложенной функции было максимумом или минимумом по отношению к тем значениям, которые непосредственно предшествуют и следуют за ним; то есть, собственно говоря, мы ищем узнать, в какой момент функция перестает возрастать и начинает убывать, или наоборот. Дифференциальное исчисление совершенно достаточно, как мы знаем, для общего решения этого класса вопросов, показывая, что значения различных переменных, которые подходят либо для максимума, либо для минимума, должны всегда сводить к нулю различные первые производные данной функции, взятые отдельно относительно каждой независимой переменной, и указывая, кроме того, подходящую характеристику для различения максимума от минимума; состоящую, в случае функции одной переменной, например, в том, что производная функция второго порядка принимает отрицательное значение для максимума и положительное значение для минимума. Таковы хорошо известные фундаментальные условия, относящиеся к наибольшему числу случаев.

Новый класс вопросов. Построение этой общей теории неизбежно уничтожило главный интерес, который вопросы такого рода имели для геометров, они почти немедленно поднялись к рассмотрению нового порядка задач, одновременно гораздо более важных и гораздо большей трудности — задач об изопериметрах. Это, следовательно, уже не значения переменных, принадлежащие максимуму или минимуму данной функции, которые требуется определить. Это форма самой функции, которую требуется обнаружить из условия максимума или минимума определенного интеграла, лишь указанного, который зависит от этой функции.

Тело наименьшего сопротивления. Самый старый вопрос такого рода — это вопрос о теле наименьшего сопротивления, рассмотренный Ньютоном во второй книге «Начал», в которой он определяет, какой должна быть меридианная кривая тела вращения, чтобы сопротивление, испытываемое этим телом в направлении его оси, было наименьшим возможным. Но путь, пройденный Ньютоном, из-за природы его специального метода трансцендентного анализа, не имел характера достаточно простого, достаточно общего и, особенно, достаточно аналитического, чтобы привлечь геометров к этому новому порядку задач. Чтобы осуществить это, требовалось применение бесконечно малого метода; и это было сделано в 1695 году Иоганном Бернулли при предложении знаменитой задачи о брахистохроне.

Эта задача, которая впоследствии подсказала такой длинный ряд аналогичных вопросов, состоит в определении кривой, по которой тяжелое тело должно следовать, чтобы спуститься из одной точки в другую в кратчайшее возможное время. Ограничивая условия простым падением в вакууме, единственным случаем, который сначала рассматривался, легко найти, что искомая кривая должна быть перевернутой циклоидой с горизонтальным основанием и с началом в высшей точке. Но вопрос может стать необычайно сложным, либо принимая во внимание сопротивление среды, либо изменение интенсивности гравитации.

Изопериметры. Хотя этот новый класс задач был в первую очередь предоставлен механикой, именно в геометрии основные исследования такого характера были впоследствии сделаны. Так, было предложено обнаружить, какая среди всех кривых того же контура, проведенных между двумя данными точками, является той, чья площадь есть максимум или минимум, откуда пришло название задачи об изопериметрах; или требовалось, чтобы максимум или минимум принадлежал поверхности, произведенной вращением искомой кривой вокруг оси, или соответствующему объему; в других случаях это была вертикальная высота центра тяжести неизвестной кривой, или поверхности, и объема, который она могла бы породить, которая должна была стать максимумом или минимумом и т. д. Наконец, эти задачи были варьированы и усложнены почти до бесконечности Бернулли, Тейлором и особенно Эйлером, прежде чем Лагранж свел их решение к абстрактному и совершенно общему методу, открытие которого положило конец энтузиазму геометров к такому порядку исследований. Это не место для прослеживания истории этого предмета. Я только перечислил некоторые из самых простых основных вопросов, чтобы сделать очевидным первоначальный общий объект метода вариаций.

Аналитическая природа этих задач. Мы видим, что все эти задачи, рассматриваемые с аналитической точки зрения, по своей природе состоят в определении того, какой вид должна иметь некая неизвестная функция одной или нескольких переменных, чтобы тот или иной интеграл, зависящий от этой функции, имел в заданных пределах значение, являющееся максимумом или минимумом по отношению ко всем тем значениям, которые он принял бы, если бы искомая функция имела любой другой вид.

Так, например, в задаче о брахистохроне хорошо известно, что если y = f(z), x = π(z) — прямолинейные уравнения искомой кривой, при условии, что оси x и y горизонтальны, а ось z вертикальна, то время падения тяжелого тела по этой кривой от точки, ордината которой равна z1, до точки, ордината которой равна z2, выражается в общем виде определенным интегралом

∫_{z_{2}}^{z_{1}}√(1 + (f'(z))^{2} + (π'(z))^{2} / (2gz)) dz.

Следовательно, необходимо найти, какими должны быть две неизвестные функции f и π, чтобы этот интеграл был минимумом.

Точно так же вопрос о том, какая кривая среди всех плоских изопериметрических кривых охватывает наибольшую площадь, равносилен предложению найти среди всех функций f(x), которые могут придать определенное постоянное значение интегралу

∫ dx √(1 + (f'(x))^{2}),

ту, которая делает интеграл ∫ f(x)dx, взятый в тех же пределах, максимумом. Очевидно, что так обстоит дело и в других вопросах этого класса.

Методы старых геометров. В решениях, которые геометры до Лагранжа давали для этих задач, они, по сути, предлагали свести их к обычной теории максимумов и минимумов. Но средства, применявшиеся для осуществления этого преобразования, состояли из особых простых приемов, свойственных каждому отдельному случаю, открытие которых не допускало неизменных и достоверных правил, так что каждый действительно новый вопрос постоянно воспроизводил аналогичные трудности, а ранее полученные решения не приносили существенной помощи, за исключением дисциплинирования и тренировки ума. Одним словом, эта область математики представляла тогда то необходимое несовершенство, которое всегда существует, когда общая часть всех вопросов одного класса еще не была четко осознана для того, чтобы рассматриваться абстрактным и, следовательно, общим образом.