«Философия математики»

ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ.

ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ;

ПЕРЕВЕДЕНО ИЗ «КУРСА ПОЗИТИВНОЙ ФИЛОСОФИИ» ОГЮСТА КОНТА,

У. М. ДЖИЛЛЕСПИ, ПРОФЕССОРОМ ГРАЖДАНСКОГО СТРОИТЕЛЬСТВА И АДЪЮНКТ-ПРОФЕССОРОМ МАТЕМАТИКИ В ЮНИОН-КОЛЛЕДЖЕ.

NEW YORK:

HARPER & BROTHERS, PUBLISHERS,

82 CLIFF STREET

1851.

Зарегистрировано в соответствии с Актом Конгресса в тысяча восемьсот пятьдесят первом году издательством Harper & Brothers в канцелярии окружного суда Южного округа Нью-Йорка.

ПРЕДИСЛОВИЕ.

Удовольствие и польза, полученные переводчиком от великого труда, представленного здесь, побудили его предложить его вниманию своих коллег-преподавателей и студентов математики в более доступной форме, чем та, в которой он до сих пор появлялся. Потребность в исчерпывающей карте обширной области математической науки — взгляде с высоты птичьего полета на ее главные особенности, а также на истинное положение и взаимосвязи всех ее частей — ощущается каждым вдумчивым студентом. Он подобен посетителю великого города, который не получает верного представления о его размерах и расположении, пока не увидит его с какой-нибудь господствующей высоты. Панорамный вид на весь район, представляющий одним взглядом все части в надлежащей координации, с четко показанными самыми темными уголками, бесценен как для путешественника, так и для студента. Именно это было наиболее совершенно достигнуто для математической науки автором, чей труд здесь представлен.

Ясность и глубина, всесторонность и точность, возможно, никогда не были столь замечательно объединены, как у Огюста Конта. Он рассматривает свой предмет с высоты, которая придает каждой части сложного целого ее истинное положение и значение, в то время как его телескопический взгляд не упускает ни одной необходимой детали и не только сам проникает в суть дела, но и превращает его непрозрачность в такой прозрачный кристалл, что другие глаза могут видеть в нем так же глубоко, как и его собственные.

Любому математику, который прочтет этот том, не потребуется иного оправдания высокого мнения, выраженного здесь; но другие могут оценить следующие одобрения известных авторитетов. Милль в своей «Логике» называет работу г-на Конта «безусловно величайшей из всех, созданных до сих пор по философии наук», и добавляет: «из этого замечательного труда одной из самых замечательных частей является та, в которой, можно истинно сказать, он создал философию высшей математики». Морелл в своей «Спекулятивной философии Европы» говорит: «Классификация наук в целом и их регулярный порядок развития, несомненно, являются шедевром научного мышления, столь же простого, сколь и всеобъемлющего»; а Льюис в своей «Биографической истории философии» называет Конта «Бэконом девятнадцатого века» и говорит: «Я без колебаний записываю свое убеждение, что это величайший труд нашего века».

Полный труд г-на Конта — его «Курс позитивной философии» — занимает шесть больших томов формата октаво, по шестьсот или семьсот страниц каждый, причем две трети первого тома составляют чисто математическую часть. Огромный объем «Курса» является вероятной причиной немногочисленности тех, кому известен даже этот его раздел. Поэтому переводчик считает представление его в нынешнем виде весьма полезным вкладом в математический прогресс в этой стране. Всесторонность стиля автора — охватывающего все возможные формы идеи в одном бриареевском предложении, вооруженном со всех сторон против оставления какой-либо лазейки для ошибки или забывчивости — временами граничит с громоздкостью и формальностью. Переводчик поэтому иногда брал на себя смелость разбивать или сокращать длинное предложение и опускать несколько пассажей, не являющихся абсолютно необходимыми или относящихся к специфической «позитивной философии» автора; но в целом он стремился к добросовестной верности оригиналу. Часто было трудно сохранить его тонкие оттенки и едва уловимые различия в значении и в то же время заменить специфически подходящие французские идиомы соответствующими английскими. Попытка, однако, была сделана всегда, хотя, когда лучший путь был хоть сколько-нибудь сомнительным, язык оригинала соблюдался как можно ближе, а когда это было необходимо, плавность и изящество без колебаний приносились в жертву более высоким атрибутам ясности и точности.

Некоторые формы выражения могут показаться читателю необычными, но они были сохранены, потому что они были характерны не просто для языка оригинала, а для его духа. Когда великий мыслитель облек свои концепции в фразы, которые являются своеобразными даже на его собственном языке, тот, кто берется переводить его, обязан верно сохранить такие формы речи, насколько это практически возможно; и это было сделано здесь в отношении таких особенностей выражения, которые принадлежат автору не как иностранцу, а как личности — не потому, что он пишет по-французски, а потому, что он — Огюст Конт.

Молодому студенту математики не следует пытаться прочитать весь этот том сразу, но следует изучать каждую его часть в связи с текущим предметом своего специального изучения: первую главу первой книги, например, во время изучения алгебры; первую главу второй книги, когда он достигнет некоторого прогресса в геометрии; и так далее с остальными. Пассажи, которые непонятны при первом чтении, прояснятся при втором; и по мере того, как его собственные занятия будут охватывать большую часть области математики, он будет все яснее видеть их отношения друг к другу и к тем, к которым ему предстоит перейти. Для этой цели ему настоятельно рекомендуется достичь совершенного знакомства с «Аналитическим оглавлением», которое намечает весь предмет, главные деления которого также указаны в Табличном обзоре, расположенном напротив титульного листа. Соответствующие заголовки будут найдены в основном тексте работы, причем главные деления набраны капителью, а подразделения — курсивом. За эти детали ответственность несет только переводчик.

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

Страница

ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ НАУКЕ 17

Объект математики 18

Измерение величин 18

Трудности 19

Общий метод 20

Иллюстрации 21

1. Падающие тела 21

2. Недоступные расстояния 23

3. Астрономические факты 24

Истинное определение математики 25

Наука, а не искусство 25

Ее два фундаментальных деления 26

Их различные объекты 27

Их различная природа 29

Конкретная математика 31

Геометрия и механика 32

Абстрактная математика 33

Исчисление, или анализ 33

Объем ее области 35

Ее универсальность 36

Ее ограничения 37

КНИГА I. АНАЛИЗ.

ГЛАВА I.

Страница

ОБЩИЙ ВЗГЛЯД НА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 45

Истинная идея уравнения 46

Деление функций на абстрактные и конкретные 47

Перечисление абстрактных функций 50

Деления исчисления 53

Исчисление значений, или арифметика 57

Ее объем 57

Ее истинная природа 59

Исчисление функций 61

Два способа получения уравнений 61

1. По отношениям между данными величинами 61

2. По отношениям между вспомогательными величинами 64

Соответствующие деления исчисления функций 67

ГЛАВА II.

ОБЫКНОВЕННЫЙ АНАЛИЗ; ИЛИ, АЛГЕБРА. 69

Ее объект 69

Классификация уравнений 70

Алгебраические уравнения 71

Их классификация 71

Алгебраическое решение уравнений 72

Его пределы 72

Общее решение 72

Что мы знаем в алгебре 74

Численное решение уравнений 75

Его ограниченная полезность 76

Различные деления двух систем 78

Теория уравнений 79

Метод неопределенных коэффициентов 80

Мнимые величины 81

Отрицательные величины 81

Принцип однородности 84

ГЛАВА III.

ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЙ АНАЛИЗ: его различные концепции 88

Предварительные замечания 88

Его ранняя история 89

Метод Лейбница 91

Бесконечно малые элементы 91

Примеры:

1. Касательные 93

2. Выпрямление дуги 94

3. Квадратура кривой 95

4. Скорость при переменном движении 95

5. Распределение тепла 96

Общность формул 97

Обоснование метода 98

Иллюстрация касательными 102

Метод Ньютона 103

Метод пределов 103

Примеры:

1. Касательные 104

2. Выпрямления 105

Флюксии и флюенты 106

Метод Лагранжа 108

Производные функции 108

Расширение обыкновенного анализа 108

Пример: Касательные 109

Фундаментальная тождественность трех методов 110

Их сравнительная ценность 113

Метод Лейбница 113

Метод Ньютона 115

Метод Лагранжа 117

ГЛАВА IV.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 120

Его два фундаментальных деления 120

Их отношения друг к другу 121

1. Использование дифференциального исчисления как подготовительного к интегральному 123

2. Применение только дифференциального исчисления 125

3. Применение только интегрального исчисления 125

Три класса вопросов, отсюда вытекающих 126

Дифференциальное исчисление 127

Два случая: явные и неявные функции 127

Два подслучая: одна переменная или несколько 129

Два других случая: функции раздельные или комбинированные 130

Сведение всего к дифференцированию десяти элементарных функций 131

Преобразование производных функций для новых переменных 132

Различные порядки дифференцирования 133

Аналитические приложения 133

Интегральное исчисление 135

Его фундаментальное деление: явные и неявные функции 135

Подразделения: одна переменная или несколько 136

Исчисление частных разностей 137

Другое подразделение: различные порядки дифференцирования 138

Другое эквивалентное различие 140

Квадратуры 142

Интегрирование трансцендентных функций 143

Интегрирование по частям 143

Интегрирование алгебраических функций 143

Особые решения 144

Определенные интегралы 146

Перспективы интегрального исчисления 148

ГЛАВА V.

ИСЧИСЛЕНИЕ ВАРИАЦИЙ 151

Задачи, порождающие его 151

Обыкновенные вопросы о максимумах и минимумах 151

Новый класс вопросов 152

Тело наименьшего сопротивления; брахистохрона; изопериметры 153

Аналитическая природа этих вопросов 154

Методы старых геометров 155

Метод Лагранжа 156

Два класса вопросов 157

1. Абсолютные максимумы и минимумы 157

Уравнения пределов 159

Более общее соображение 159

2. Относительные максимумы и минимумы 160

Другие приложения метода вариаций 162

Его отношения к обыкновенному исчислению 163

ГЛАВА VI.

ИСЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 167

Его общий характер 167

Его истинная природа 168

Общая теория рядов 170

Его тождественность с этим исчислением 172

Периодические или разрывные функции 173

Приложения этого исчисления 173

Ряды 173

Интерполяция 173

Приближенное выпрямление и т. д. 174

КНИГА II. ГЕОМЕТРИЯ.

ГЛАВА I.

ОБЩИЙ ВЗГЛЯД НА ГЕОМЕТРИЮ 179

Истинная природа геометрии 179

Две фундаментальные идеи 181

1. Идея пространства 181

2. Различные виды протяженности 182

Конечный объект геометрии 184

Природа геометрического измерения 185

О поверхностях и объемах 185

О кривых линиях 187

О прямых линиях 189

Бесконечный объем ее области 190

Бесконечность линий 190

Бесконечность поверхностей 191

Бесконечность объемов 192

Аналитическое изобретение кривых и т. д. 193

Расширение первоначального определения 193

Свойства линий и поверхностей 195

Необходимость их изучения 195

1. Чтобы найти наиболее подходящее свойство 195

2. Чтобы перейти от конкретного к абстрактному 197

Иллюстрации:

Орбиты планет 198

Фигура Земли 199

Два общих метода геометрии 202

Их фундаментальное различие 203

1°. Различные вопросы в отношении одной и той же фигуры 204

2°. Похожие вопросы в отношении различных фигур 204

Геометрия древних 204

Геометрия современных 206

Превосходство современной 207

Древняя — основа современной 209

ГЛАВА II.

ДРЕВНЯЯ ИЛИ СИНТЕТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 212

Ее надлежащий объем 212

Линии; многоугольники; многогранники 212

Не должна быть ограничена далее 213

Ненадлежащее применение анализа 214

Попытки доказательств аксиом 216

Геометрия прямой линии 217

Графические решения 218

Начертательная геометрия 220

Алгебраические решения 224

Тригонометрия 225

Два метода введения углов 226

1. Дугами 226

2. Тригонометрическими линиями 226

Преимущества последних 226

Ее деление тригонометрических вопросов 227

1. Отношения между углами и тригонометрическими линиями 228

2. Отношения между тригонометрическими линиями и сторонами 228

Увеличение тригонометрических линий 228

Изучение отношений между ними 230

ГЛАВА III.

СОВРЕМЕННАЯ ИЛИ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 232

Аналитическое представление фигур 232

Сведение фигуры к положению 233

Определение положения точки 234

Плоские кривые 237

Выражение линий уравнениями 237

Выражение уравнений линиями 238

Любое изменение в линии меняет уравнение 240

Каждое «определение» линии есть уравнение 241

Выбор координат 245

Две различные точки зрения 245

1. Представление линий уравнениями 246

2. Представление уравнений линиями 246

Превосходство прямолинейной системы 248

Преимущества перпендикулярных осей 249

Поверхности 251

Определение точки в пространстве 251

Выражение поверхностей уравнениями 253

Выражение уравнений поверхностями 253

Кривые в пространстве 255

Несовершенства аналитической геометрии 258

Относительно геометрии 258

Относительно анализа 258

ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ.

ВВЕДЕНИЕ.

ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ.

Хотя математическая наука является самой древней и самой совершенной из всех, тем не менее общее представление, которое мы должны составить о ней, еще не было четко определено. Ее определение и ее главные деления оставались до сих пор расплывчатыми и неопределенными. Действительно, само название во множественном числе — «Математика», которым мы обычно обозначаем ее, уже одно было бы достаточным, чтобы указать на отсутствие единства в общем представлении о ней.

По правде говоря, лишь к началу прошлого века различные фундаментальные концепции, составляющие эту великую науку, были каждая из них достаточно развиты, чтобы позволить истинному духу целого проявиться с ясностью. С той эпохи внимание геометров было слишком исключительно поглощено специальным совершенствованием различных ветвей и применением, которое они сделали из них к важнейшим законам вселенной, чтобы позволить им уделить должное внимание общей системе науки.

Но в настоящее время прогресс специальных отделов уже не столь быстр, чтобы препятствовать созерцанию целого. Наука математика теперь достаточно развита, как сама по себе, так и в отношении своего наиболее существенного применения, чтобы прийти к тому состоянию последовательности, в котором мы должны стремиться расположить ее различные части в единую систему, чтобы подготовиться к новым достижениям. Мы можем даже заметить, что последние важные улучшения науки прямо проложили путь для этой важной философской операции, придав ее главным частям характер единства, которого ранее не существовало.

Чтобы составить верное представление об объекте математической науки, мы можем начать с неопределенного и бессмысленного определения ее, обычно даваемого, называя ее «наукой о величинах» или, что более определенно, «наукой, имеющей своим объектом измерение величин». Посмотрим, как мы можем подняться от этого грубого наброска (который удивительно лишен точности и глубины, хотя, в сущности, верен) к подлинному определению, достойному важности, объема и трудности науки.

ОБЪЕКТ МАТЕМАТИКИ.

Измерение величин. Вопрос об измерении величины самой по себе не представляет уму никакой другой идеи, кроме идеи простого прямого сравнения этой величины с другой подобной величиной, предполагаемой известной, которую он берет за единицу сравнения среди всех других того же рода. Согласно этому определению, тогда, наука математика — обширная и глубокая, как она справедливо считается — вместо того чтобы быть огромным сцеплением длительных умственных трудов, которые предлагают неисчерпаемое занятие нашей интеллектуальной деятельности, казалась бы состоящей из простой серии механических процессов для получения непосредственно отношений величин, подлежащих измерению, к тем, посредством которых мы желаем измерить их, с помощью операций, подобных наложению линий, как это практикуется плотником с его линейкой.

Ошибка этого определения состоит в представлении как прямого объекта, который почти всегда, напротив, очень косвенный. Прямое измерение величины, путем наложения или любого подобного процесса, чаще всего является операцией, совершенно невозможной для нас; так что если бы у нас не было других средств для определения величин, кроме прямых сравнений, мы были бы вынуждены отказаться от знания большинства тех, которые интересуют нас.

Трудности. Сила этого общего наблюдения будет понята, если мы ограничимся рассмотрением специально частного случая, который очевидно предлагает наибольшую легкость — измерения одной прямой линии другой. Это сравнение, которое, безусловно, является самым простым, которое мы можем себе представить, тем не менее почти никогда не может быть осуществлено непосредственно. Размышляя обо всей совокупности условий, необходимых для того, чтобы сделать линию восприимчивой к прямому измерению, мы видим, что чаще всего они не могут быть все выполнены одновременно. Первое и самое ощутимое из этих условий — возможность пройти по линии от одного ее конца до другого, чтобы приложить единицу измерения ко всей ее длине — очевидно исключает сразу большую часть расстояний, которые интересуют нас больше всего; во-первых, все расстояния между небесными телами или от любого из них до Земли; а затем, также, даже большую часть земных расстояний, которые так часто недоступны. Но даже если это первое условие окажется выполненным, все равно необходимо, чтобы длина была ни слишком большой, ни слишком малой, что сделало бы прямое измерение одинаково невозможным. Линия должна также быть подходящим образом расположена; ибо пусть это будет та, которую мы могли бы измерить с величайшей легкостью, если бы она была горизонтальной, но представьте ее повернутой вертикально, и становится невозможным измерить ее.

Трудности, которые мы указали в отношении измерения линий, существуют в гораздо большей степени при измерении поверхностей, объемов, скоростей, времен, сил и т. д. Именно этот факт делает необходимым формирование математической науки, как мы сейчас увидим; ибо человеческий разум был вынужден отказаться, почти во всех случаях, от прямого измерения величин и искать способы определить их косвенно, и именно так он был приведен к созданию математики.

Общий метод. Общий метод, который постоянно применяется и очевидно является единственным мыслимым для установления величин, не допускающих прямого измерения, состоит в соединении их с другими, которые восприимчивы к определению непосредственно, и посредством которых мы преуспеваем в открытии первых через отношения, существующие между ними двумя. Таков точный объект математической науки, рассматриваемой как целое. Чтобы сформировать достаточно расширенное представление о ней, мы должны учесть, что это косвенное определение величин может быть косвенным в очень разных степенях. В большом числе случаев, которые часто являются наиболее важными, величины, посредством которых должны быть определены главные искомые величины, не могут сами быть измерены непосредственно и должны, следовательно, в свою очередь, стать предметом подобного вопроса, и так далее; так что во многих случаях человеческий разум вынужден устанавливать длинную серию промежуточных звеньев между системой неизвестных величин, которые являются конечными объектами его исследований, и системой величин, восприимчивых к прямому измерению, посредством которых мы в конечном итоге определяем первые, с которыми поначалу они, кажется, не имеют никакой связи.

Иллюстрации. Некоторые примеры прояснят все, что может показаться слишком абстрактным в предыдущих общностях.

1. Падающие тела. Рассмотрим, во-первых, природное явление, очень простое, действительно, но которое тем не менее может дать повод для математического вопроса, реально существующего и восприимчивого к фактическим приложениям — явление вертикального падения тяжелых тел.

Ум, наиболее непривычный к математическим концепциям, наблюдая это явление, воспринимает сразу, что две величины, которые оно представляет — а именно, высота, с которой упало тело, и время его падения — обязательно связаны друг с другом, так как они изменяются вместе и одновременно остаются фиксированными; или, на языке геометров, что они являются «функциями» друг друга. Явление, рассматриваемое под этой точкой зрения, дает повод тогда к математическому вопросу, который состоит в подстановке вместо прямого измерения одной из этих двух величин, когда оно невозможно, измерения другой. Именно так, например, мы можем определить косвенно глубину пропасти, просто измеряя время, которое тяжелое тело заняло бы при падении на ее дно, и с помощью подходящих процедур эта недоступная глубина будет известна с такой же точностью, как если бы это была горизонтальная линия, помещенная в наиболее благоприятные обстоятельства для легкого и точного измерения. В других случаях именно высоту, с которой упало тело, будет легко установить, в то время как время падения не могло бы наблюдаться непосредственно; тогда то же самое явление дало бы повод к обратному вопросу, а именно, определить время по высоте; как, например, если бы мы хотели установить, какова была бы продолжительность вертикального падения тела, падающего с Луны на Землю.

В этом примере математический вопрос очень прост, по крайней мере, когда мы не обращаем внимания на изменение интенсивности гравитации или сопротивление жидкости, через которую тело проходит при своем падении. Но, чтобы расширить вопрос, нам нужно только рассмотреть то же самое явление в его величайшей общности, предполагая падение наклонным и принимая во внимание все главные обстоятельства. Тогда, вместо того чтобы предлагать просто две переменные величины, связанные друг с другом отношением, легким для прослеживания, явление представит гораздо большее число; а именно, пространство, пройденное в вертикальном или горизонтальном направлении; время, затраченное на его прохождение; скорость тела в каждой точке его пути; даже интенсивность и направление его первоначального импульса, которые также могут рассматриваться как переменные; и, наконец, в некоторых случаях (чтобы принять все во внимание), сопротивление среды и интенсивность гравитации. Все эти различные величины будут связаны друг с другом таким образом, что каждая в свою очередь может быть косвенно определена посредством других; и это представит столько же различных математических вопросов, сколько может быть сосуществующих величин в рассматриваемом явлении. Такое очень незначительное изменение физических условий задачи может вызвать (как в вышеприведенном примере) математическое исследование, поначалу очень элементарное, к тому, чтобы быть поставленным сразу в ряд самых трудных вопросов, чье полное и строгое решение превосходит пока что предельные возможности человеческого интеллекта.

2. Недоступные расстояния. Возьмем второй пример из геометрических явлений. Пусть будет предложено определить расстояние, которое не восприимчиво к прямому измерению; оно будет в общем случае мыслиться как составляющая часть фигуры или определенной системы линий, выбранной таким образом, чтобы все остальные ее части могли наблюдаться непосредственно; так, в случае, который является самым простым и к которому все остальные могут быть в конечном итоге сведены, предлагаемое расстояние будет рассматриваться как принадлежащее треугольнику, в котором мы можем определить непосредственно либо другую сторону и два угла, либо две стороны и один угол. С этого момента знание желаемого расстояния, вместо того чтобы быть полученным непосредственно, будет результатом математического вычисления, которое будет состоять в выведении его из наблюдаемых элементов посредством отношения, которое связывает его с ними. Это вычисление будет становиться последовательно все более и более сложным, если части, которые мы предположили известными, не могут сами быть определены (как это чаще всего бывает) иначе, как косвенным образом, с помощью новых вспомогательных систем, число которых в великих операциях такого рода в конечном итоге становится очень значительным. Расстояние будучи однажды определенным, знание его будет часто достаточным для получения новых величин, которые станут предметом новых математических вопросов. Так, когда мы знаем, на каком расстоянии расположен какой-либо объект, простое наблюдение его видимого диаметра очевидно позволит нам определить косвенно его реальные размеры, как бы недоступен он ни был, и, посредством серии аналогичных исследований, его поверхность, его объем, даже его вес и ряд других свойств, знание которых казалось запрещенным для нас.

3. Астрономические факты. Именно такими вычислениями человек смог установить не только расстояния от планет до Земли и, следовательно, друг от друга, но и их фактическую величину, их истинную фигуру, вплоть до неровностей их поверхности; и, что казалось еще более полностью скрытым от нас, их соответствующие массы, их средние плотности, главные обстоятельства падения тяжелых тел на поверхность каждой из них и т. д.

Силой математических теорий все эти различные результаты и многие другие, относящиеся к различным классам математических явлений, не потребовали иных прямых измерений, кроме измерений очень малого числа прямых линий, подходящим образом выбранных, и большего числа углов. Мы можем даже сказать, с совершенной истиной, чтобы указать в двух словах общий диапазон науки, что если бы мы не боялись умножать вычисления без необходимости и если бы нам не приходилось, как следствие, резервировать их для определения величин, которые не могли быть измерены непосредственно, определение всех величин, восприимчивых к точной оценке, которые могут предложить нам различные порядки явлений, могло бы быть в конечном итоге сведено к прямому измерению одной прямой линии и подходящего числа углов.

ИСТИННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИКИ.

Мы теперь способны определить математическую науку с точностью, назначив ей в качестве объекта косвенное измерение величин и сказав, что она постоянно предлагает определять одни величины из других посредством точных отношений, существующих между ними.

Эта формулировка, вместо того чтобы давать идею только искусства, как делают все обычные определения, характеризует немедленно истинную науку и показывает ее сразу состоящей из огромной цепи интеллектуальных операций, которые могут очевидно стать очень сложными из-за серии промежуточных звеньев, которые необходимо будет установить между неизвестными величинами и теми, которые допускают прямое измерение; из-за числа переменных, сосуществующих в предлагаемом вопросе; и из-за природы отношений между всеми этими различными величинами, предоставленными рассматриваемыми явлениями. Согласно такому определению, дух математики состоит в том, чтобы всегда рассматривать все величины, которые может представить любое явление, как связанные и переплетенные друг с другом, с целью выведения их друг из друга. Теперь очевидно нет явления, которое не могло бы дать повод к соображениям такого рода; откуда проистекает естественно неопределенный объем и даже строгая логическая универсальность математической науки. Мы постараемся далее ограничить как можно точнее ее реальное расширение.

Предыдущие объяснения устанавливают ясно уместность названия, используемого для обозначения науки, которую мы рассматриваем. Это наименование, которое приобрело сегодня столь определенное значение, само по себе означает просто науку в целом. Такое обозначение, строго точное для греков, у которых не было другой реальной науки, могло быть сохранено современными лишь для того, чтобы указать на математику как на науку, превыше всех других — науку наук.

Действительно, каждая истинная наука имеет своим объектом определение одних явлений посредством других, в соответствии с отношениями, которые существуют между ними. Каждая наука состоит в координации фактов; если бы различные наблюдения были полностью изолированы, не было бы никакой науки. Мы можем даже сказать, в общих чертах, что наука существенно предназначена для того, чтобы обходиться, насколько это позволяют различные явления, без всякого прямого наблюдения, позволяя нам выводить из наименьшего возможного числа непосредственных данных наибольшее возможное число результатов. Разве это не реальное использование, будь то в спекуляции или в действии, законов, которые мы преуспеваем в открытии среди природных явлений? Математическая наука, с этой точки зрения, просто доводит до высочайшей возможной степени тот же род исследований, которые преследуются, в степенях более или менее низших, каждой реальной наукой в своей соответствующей сфере.

ЕЕ ДВА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ДЕЛЕНИЯ.

Мы до сих пор рассматривали математическую науку только как целое, не обращая никакого внимания на ее деления. Мы должны теперь, чтобы завершить этот общий взгляд и сформировать верное представление о философском характере науки, рассмотреть ее фундаментальное деление. Вторичные деления будут рассмотрены в следующих главах.

Это главное деление, которое мы собираемся исследовать, может быть истинно рациональным и производным от реальной природы предмета только в той мере, в какой оно спонтанно представляется нам при выполнении точного анализа полного математического вопроса. Мы поэтому, определив выше, каков общий объект математических трудов, теперь охарактеризуем с точностью главные различные порядки исследований, из которых они постоянно состоят.

Их различные объекты. Полное решение каждого математического вопроса делится необходимо на две части, по своей природе существенно различные и с отношениями неизменно определенными. Мы видели, что каждое математическое исследование имеет своим объектом определение неизвестных величин в соответствии с отношениями между ними и известными величинами. Теперь для этого объекта очевидно необходимо, во-первых, установить с точностью отношения, которые существуют между величинами, которые мы рассматриваем. Эта первая ветвь исследований составляет то, что я называю конкретной частью решения. Когда она закончена, вопрос меняется; он теперь сведен к чистому вопросу чисел, состоящему просто в определении неизвестных чисел, когда мы знаем, какие точные отношения связывают их с известными числами. Эта вторая ветвь исследований — то, что я называю абстрактной частью решения. Отсюда следует фундаментальное деление общей математической науки на две великие науки — АБСТРАКТНУЮ МАТЕМАТИКУ и КОНКРЕТНУЮ МАТЕМАТИКУ.

Этот анализ может быть замечен в каждом полном математическом вопросе, как бы прост или сложен он ни был. Одного примера будет достаточно, чтобы сделать его понятным.

Взяв снова явление вертикального падения тяжелого тела и рассматривая простейший случай, мы видим, что для того, чтобы преуспеть в определении посредством друг друга высоты, с которой упало тело, и продолжительности его падения, мы должны начать с открытия точного отношения этих двух величин, или, чтобы использовать язык геометров, уравнения, которое существует между ними. Пока это первое исследование не завершено, каждая попытка определить численно значение одной из этих двух величин из другой была бы очевидно преждевременной, ибо она не имела бы основы. Недостаточно знать смутно, что они зависят друг от друга — что каждый сразу воспринимает, — но необходимо определить, в чем состоит эта зависимость. Это исследование может быть очень трудным и, фактически, в данном случае составляет несравненно большую часть проблемы. Истинный научный дух настолько современен, что никто, возможно, до Галилея никогда не замечал увеличения скорости, которое тело испытывает при своем падении: обстоятельство, которое исключает гипотезу, к которой наш ум (всегда непроизвольно склонный предполагать в каждом явлении наиболее простые функции, без всякого иного мотива, кроме ее большей легкости в их осмыслении) был бы естественно приведен, что высота была пропорциональна времени. Одним словом, это первое исследование завершилось открытием закона Галилея.

Когда эта конкретная часть завершена, исследование становится делом совсем другой природы. Зная, что пространства, пройденные телом в каждую последовательную секунду его падения, увеличиваются как ряд нечетных чисел, мы имеем тогда проблему чисто числовую и абстрактную; вывести высоту из времени или время из высоты; и это состоит в нахождении того, что первая из этих двух величин, согласно закону, который был установлен, является известным кратным второй степени другой; из чего, наконец, мы должны вычислить значение одной, когда дано значение другой.

В этом примере конкретный вопрос труднее, чем абстрактный. Обратное было бы случаем, если бы мы рассматривали то же самое явление в его величайшей общности, как я сделал выше для другого объекта. В зависимости от обстоятельств, иногда первая, иногда вторая из этих двух частей будет составлять главную трудность всего вопроса; ибо математический закон явления может быть очень простым, но очень трудным для получения, или он может быть легким для открытия, но очень сложным; так что две великие секции математической науки, когда мы сравниваем их как целые, должны рассматриваться как точно эквивалентные по объему и по трудности, а также по важности, как мы покажем далее, рассматривая каждую из них отдельно.

Их различная природа. Эти две части, существенно различные по своему объекту, как мы только что видели, не менее таковы в отношении природы исследований, из которых они состоят.

Первую следует называть конкретной, так как она очевидно зависит от характера рассматриваемых явлений и должна обязательно варьироваться, когда мы исследуем новые явления; в то время как вторая полностью независима от природы рассматриваемых объектов и занимается только числовыми отношениями, которые они представляют, по какой причине она должна называться абстрактной. Одни и те же отношения могут существовать в большом числе различных явлений, которые, несмотря на их крайнее разнообразие, будут рассматриваться геометром как предлагающие аналитический вопрос, восприимчивый, когда он изучен сам по себе, к тому, чтобы быть решенным раз и навсегда. Так, например, тот же закон, который существует между пространством и временем вертикального падения тела в вакууме, находится снова во многих других явлениях, которые не предлагают никакой аналогии с первым ни с друг другом; ибо он выражает отношение между поверхностью сферического тела и длиной его диаметра; он определяет, подобным образом, уменьшение интенсивности света или тепла в отношении к расстоянию освещаемых или нагреваемых объектов и т. д. Абстрактная часть, общая для этих различных математических вопросов, будучи рассмотренной в отношении одного из них, будет таким образом рассмотрена для всех; в то время как конкретная часть должна будет обязательно быть снова взята для каждого вопроса отдельно, без того, чтобы решение любого из них могло дать какую-либо прямую помощь, в этой связи, для решения остальных.

Абстрактная часть математики, таким образом, общая по своей природе; конкретная часть — специальная.

Чтобы представить это сравнение под новой точкой зрения, мы можем сказать, что конкретная математика имеет философский характер, который является существенно экспериментальным, физическим, феноменальным; в то время как характер абстрактной математики — чисто логический, рациональный. Конкретная часть каждого математического вопроса обязательно основана на рассмотрении внешнего мира и никогда не могла бы быть решена простой серией интеллектуальных комбинаций. Абстрактная часть, напротив, когда она была очень полно отделена, может состоять только из серии логических дедукций, более или менее продолжительных; ибо если мы однажды нашли уравнения явления, определение величин, в них рассматриваемых, посредством друг друга, есть дело только рассуждения, каковы бы ни были трудности. Оно принадлежит одному лишь пониманию — выводить из этих уравнений результаты, которые очевидно содержатся в них, хотя, возможно, в очень запутанном виде, без того, чтобы был повод консультироваться заново с внешним миром; рассмотрение которого, став с тех пор чуждым предмету, должно быть даже тщательно отложено в сторону, чтобы свести труд к его истинной специфической трудности. Абстрактная часть математики есть тогда чисто инструментальная и является лишь огромным и восхитительным расширением естественной логики до определенного класса дедукций. С другой стороны, геометрия и механика, которые, как мы увидим сейчас, составляют конкретную часть, должны рассматриваться как реальные естественные науки, основанные на наблюдении, как и все остальные, хотя крайняя простота их явлений допускает бесконечно большую степень систематизации, что иногда вызывало неверное понимание экспериментального характера их первых принципов.

Мы видим, по этому краткому общему сравнению, насколько естественно и глубоко наше фундаментальное деление математической науки.

Мы должны теперь ограничить, как можно точнее в этом первом наброске, каждую из этих двух великих секций.

КОНКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА.

Конкретная математика, имея своим объектом открытие уравнений явлений, казалось бы поначалу, что она должна состоять из стольких же различных наук, сколько мы находим действительно различных категорий среди природных явлений. Но мы еще очень далеки от того, чтобы открыть математические законы во всех видах явлений; мы увидим даже, сейчас, что большая часть будет очень вероятно всегда скрываться от наших исследований. В реальности, в нынешнем состоянии человеческого разума, существуют непосредственно только два великих общих класса явлений, чьи уравнения мы постоянно знаем; это, во-первых, геометрические и, во-вторых, механические явления. Таким образом, тогда, конкретная часть математики состоит из Геометрии и Рациональной механики.

Это, безусловно, достаточно для придания ему полного характера логической универсальности, если рассматривать все явления с самой высокой точки зрения натурфилософии. В самом деле, если бы все части вселенной мыслились как неподвижные, мы бы, очевидно, имели для наблюдения только геометрические явления, поскольку всё свелось бы к отношениям формы, величины и положения; затем, принимая во внимание происходящие в ней движения, нам пришлось бы рассматривать и механические явления. Таким образом, вселенная со статической точки зрения представляет только геометрические явления, а с динамической — только механические. Следовательно, геометрия и механика составляют две фундаментальные естественные науки в том смысле, что все природные эффекты можно мыслить как простые необходимые результаты либо законов протяжения, либо законов движения.

Но хотя эта концепция всегда логически возможна, трудность заключается в том, чтобы конкретизировать её с необходимой точностью и точно следовать ей в каждом из общих случаев, предлагаемых нам изучением природы; то есть эффективно свести каждый основной вопрос натурфилософии для определённого порядка явлений к вопросу геометрии или механики, к которому, как можно рационально предположить, он должен быть приведён. Это преобразование, требующее значительного прогресса, достигнутого ранее в изучении каждого класса явлений, до сих пор было реально осуществлено только для явлений астрономии и для части явлений, рассматриваемых земной физикой в собственном смысле слова. Именно так астрономия, акустика, оптика и т. д. в конечном итоге стали приложениями математической науки к определённым порядкам наблюдений. Но поскольку эти приложения по своей природе не являются строго ограниченными, смешение их с самой наукой означало бы приписать ей расплывчатую и неопределённую область; именно это и происходит при обычном делении математики на «чистую» и «прикладную», столь ошибочном во многих других отношениях.

АБСТРАКТНАЯ МАТЕМАТИКА.

Природа абстрактной математики (общее деление которой будет рассмотрено в следующей главе) определена ясно и точно. Она состоит из того, что называется исчислением, если брать это слово в самом широком смысле, охватывающем всё: от простейших численных операций до самых возвышенных комбинаций трансцендентного анализа. Исчисление имеет своим особым предметом решение всех вопросов, относящихся к числам. Его отправной точкой постоянно и необходимо является знание точных отношений, т. е. уравнений, между различными величинами, рассматриваемыми одновременно; это, напротив, является конечной точкой конкретной математики. Как бы сложны или косвенны ни были эти отношения, конечная цель исчисления всегда состоит в том, чтобы получить из них значения неизвестных величин посредством известных. Эта наука, хотя и более близкая к совершенству, чем любая другая, на самом деле ещё мало продвинулась, поэтому данная цель редко достигается вполне удовлетворительным образом.

Таким образом, математический анализ является истинной рациональной основой всей системы наших актуальных знаний. Он составляет первую и самую совершенную из всех фундаментальных наук. Идеи, которыми он занимается, являются самыми универсальными, самыми абстрактными и самыми простыми из всех, которые мы можем себе представить.

Эта своеобразная природа математического анализа позволяет нам легко объяснить, почему при правильном применении он является столь мощным инструментом не только для придания большей точности нашим реальным знаниям, что самоочевидно, но особенно для установления бесконечно более совершенной координации в изучении явлений, допускающих такое применение; ибо, поскольку наши концепции были настолько обобщены и упрощены, что один аналитический вопрос, решённый абстрактно, содержит в себе неявное решение большого числа разнообразных физических вопросов, человеческий разум должен неизбежно приобрести благодаря этому большую лёгкость в восприятии отношений между явлениями, которые поначалу казались совершенно отличными друг от друга. Мы, таким образом, естественным образом видим, как через посредство анализа возникают самые частые и самые неожиданные сближения между проблемами, которые сначала не обнаруживали никакой видимой связи, и которые мы часто в конце концов начинаем рассматривать как идентичные. Могли бы мы, например, без помощи анализа заметить хоть малейшее сходство между определением направления кривой в каждой из её точек и определением скорости, приобретаемой телом в каждый момент его переменного движения? И всё же эти вопросы, как бы они ни различались, в глазах геометра составляют лишь один.

Высокое относительное совершенство математического анализа столь же легко заметно. Это совершенство обусловлено не природой знаков, используемых в качестве инструментов рассуждения, какими бы исключительно краткими и общими они ни были, как полагали некоторые. В действительности все великие аналитические идеи были сформированы без какой-либо существенной помощи алгебраических знаков, за исключением их использования для проработки после того, как разум их уже постиг. Высшее совершенство науки исчисления обусловлено главным образом крайней простотой идей, которые она рассматривает, какими бы знаками они ни выражались; поэтому нет ни малейшей надежды с помощью какого-либо искусственного научного языка усовершенствовать до той же степени теории, которые относятся к более сложным предметам и которые по своей природе неизбежно обречены на большую или меньшую логическую неполноценность.

ОБЪЕМ ЕГО ОБЛАСТИ.

Наше исследование философского характера математической науки осталось бы неполным, если бы, рассмотрев её предмет и состав, мы не изучили реальный объём её области.

Её универсальность. Для этого необходимо прежде всего осознать, что с чисто логической точки зрения эта наука сама по себе является необходимо и строго универсальной; ибо нет такого вопроса, который нельзя было бы в конечном итоге представить как состоящий в определении одних величин через другие посредством определённых отношений и, следовательно, как допускающий сведение в конечном анализе к простому вопросу о числах. Действительно, во всех наших исследованиях, по какому бы предмету они ни проводились, наша цель состоит в том, чтобы прийти к числам, к величинам, хотя часто весьма несовершенным образом и с помощью весьма неопределённых методов. Так, взяв пример из класса предметов, наименее доступных математике, — явлений живых тел, даже если рассматривать их (взяв самый сложный случай) в состоянии болезни, — разве не очевидно, что все вопросы терапии можно рассматривать как состоящие в определении количеств различных агентов, которые воздействуют на организм и которые должны воздействовать на него, чтобы привести его в нормальное состояние, допуская для некоторых из этих количеств в определённых случаях значения, равные нулю, отрицательные или даже противоречивые?

Фундаментальная идея Декарта об отношении конкретного к абстрактному в математике доказала, вопреки поверхностному различению метафизики, что все идеи качества могут быть сведены к идеям количества. Эта концепция, установленная сначала её бессмертным автором только в отношении геометрических явлений, с тех пор была эффективно распространена на механические явления, а в наши дни — на явления теплоты. В результате этого постепенного обобщения теперь нет геометров, которые не рассматривали бы её в чисто теоретическом смысле как способную быть применённой ко всем нашим реальным идеям любого рода, так что каждое явление логически может быть представлено уравнением; точно так же, как кривая или движение, за исключением трудности его обнаружения, а затем решения, которые могут быть, и зачастую являются, выше величайших способностей человеческого разума.

Её ограничения. Как бы важно ни было понять строгую универсальность математической науки с логической точки зрения, не менее необходимо рассмотреть теперь великие реальные ограничения, которые из-за слабости нашего интеллекта в значительной степени сужают её актуальную область по мере того, как явления, становясь специальными, становятся сложными.

Любой вопрос можно мыслить как допускающий сведение к чистому вопросу о числах; но трудность осуществления такого преобразования возрастает настолько сильно с усложнением явлений натурфилософии, что вскоре становится непреодолимой.

Это легко увидеть, если учесть, что для включения вопроса в область математического анализа мы должны сначала обнаружить точные отношения, существующие между величинами, которые встречаются в исследуемом явлении, поскольку установление этих уравнений является необходимой отправной точкой всех аналитических трудов. Это, очевидно, должно быть тем труднее, чем более специальными, а следовательно, и более сложными являются явления, с которыми мы имеем дело. Таким образом, мы обнаружим, что только в неорганической физике, в лучшем случае, мы можем справедливо надеяться когда-либо достичь столь высокой степени научного совершенства.

Первое условие, необходимое для того, чтобы явления могли допускать математические законы, поддающиеся обнаружению, очевидно, состоит в том, чтобы их различные величины допускали выражение фиксированными числами. Мы вскоре обнаруживаем, что в этом отношении вся органическая физика, а вероятно, и самые сложные части неорганической физики, по своей природе неизбежно недоступны нашему математическому анализу из-за крайней численной изменчивости соответствующих явлений. Любая точная идея фиксированных чисел действительно неуместна в явлениях живых тел, когда мы хотим использовать её иначе, чем как средство для облегчения внимания, и когда мы придаём какое-либо значение точным отношениям приписанных значений.

Мы не должны, однако, из-за этого перестать мыслить все явления как неизбежно подчинённые математическим законам, о которых мы обречены не знать лишь из-за слишком большой сложности самих явлений. Самые сложные явления живых тел, несомненно, по своей особой природе ничем не отличаются от простейших явлений неорганической материи. Если бы можно было строго изолировать каждую из простых причин, которые способствуют возникновению единичного физиологического явления, всё заставляет нас верить, что она проявила бы себя в определённых обстоятельствах наделённой своего рода влиянием и количеством действия, столь же точно фиксированными, как мы видим это во всемирном тяготении, подлинном типе фундаментальных законов природы.

Существует вторая причина, по которой мы не можем подчинить сложные явления господству математического анализа. Даже если бы мы могли установить математический закон, который управляет каждым агентом, взятым отдельно, сочетание столь большого числа условий сделало бы соответствующую математическую задачу настолько превосходящей наши слабые средства, что вопрос в большинстве случаев остался бы неспособным к решению.

Чтобы оценить эту трудность, давайте рассмотрим, насколько сложными становятся математические вопросы, даже те, что относятся к простейшим явлениям неорганических тел, когда мы желаем достаточно сблизить абстрактное и конкретное состояние, принимая во внимание все основные условия, которые могут оказать реальное влияние на производимый эффект. Мы знаем, например, что очень простое явление истечения жидкости через данное отверстие только в силу её тяжести до сих пор не имеет полного математического решения, когда мы принимаем во внимание все существенные обстоятельства. То же самое происходит даже с ещё более простым движением твёрдого снаряда в сопротивляющейся среде.

Почему математический анализ смог приспособиться с таким удивительным успехом к глубочайшему изучению небесных явлений? Потому что они, вопреки популярным представлениям, гораздо проще любых других. Самая сложная проблема, которую они представляют, — проблема модификации, производимой в движениях двух тел, стремящихся друг к другу в силу их тяготения, влиянием третьего тела, действующего на них обоих таким же образом, — гораздо менее сложна, чем самая простая земная проблема. И тем не менее даже она представляет трудности столь великие, что мы до сих пор обладаем лишь её приближёнными решениями. Легко даже увидеть, что высокое совершенство, до которого солнечная астрономия смогла подняться благодаря применению математической науки, кроме того, существенно обязано тому, что мы умело воспользовались всеми частными и, так сказать, случайными благоприятными условиями, представленными исключительно благоприятным строением нашей планетной системы. Планет, которые её составляют, совсем немного, и их массы в целом очень неравны и гораздо меньше массы Солнца; они, кроме того, очень удалены друг от друга; они имеют почти сферические формы; их орбиты почти круговые и лишь слегка наклонены друг к другу, и так далее. Из всех этих обстоятельств следует, что возмущения в целом незначительны и что для их вычисления обычно достаточно принять во внимание в связи с действием Солнца на каждую конкретную планету влияние только одной другой планеты, способной по своему размеру и близости вызвать заметные расстройства.

Если бы, однако, вместо такого положения вещей наша солнечная система состояла из большего числа планет, сконцентрированных в меньшем пространстве и почти равных по массе; если бы их орбиты имели очень разные наклонения и значительные эксцентриситеты; если бы эти тела имели более сложную форму, такую как очень эксцентричные эллипсоиды, — несомненно, что, предполагая существование того же закона тяготения, мы до сих пор не преуспели бы в подчинении изучения небесных явлений нашему математическому анализу, и, вероятно, мы даже не смогли бы распутать нынешний основной закон.

Эти гипотетические условия оказались бы в точности реализованными в высшей степени в химических явлениях, если бы мы попытались вычислить их с помощью теории всеобщего тяготения.

Правильно взвесив предыдущие соображения, читатель, я думаю, убедится, что, сводя будущее расширение великих приложений математического анализа, которые действительно возможны, к области, охватываемой различными отделами неорганической физики, я скорее преувеличил, чем сократил объём его актуальной области. Как важно было сделать очевидной строгую логическую универсальность математической науки, так же важно было указать условия, которые ограничивают для нас её реальное расширение, чтобы не способствовать уводу человеческого разума с истинного научного направления в изучении самых сложных явлений химерическим поиском невозможного совершенства.

Таким образом, представив существенный предмет и основной состав математической науки, а также её общие отношения со всем корпусом натурфилософии, мы теперь должны перейти к специальному рассмотрению великих наук, из которых она состоит.

Примечание. Анализ и геометрия — это две великие главы, в рамках которых предмет будет рассмотрен далее. К ним г-н Конт добавляет рациональную механику; но поскольку она не входит в обычное представление о математике и поскольку её обсуждение имело бы лишь ограниченную пользу и интерес, она не включена в настоящий перевод.

КНИГА I.

АНАЛИЗ.

КНИГА I.

АНАЛИЗ.

ГЛАВА I.

ОБЩИЙ ОБЗОР МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

В историческом развитии математической науки со времён Декарта успехи её абстрактной части всегда определялись успехами её конкретной части; но тем не менее необходимо, чтобы постичь науку истинно логическим образом, рассмотреть исчисление во всех его основных ветвях, прежде чем переходить к философскому изучению геометрии и механики. Его аналитические теории, более простые и более общие, чем теории конкретной математики, сами по себе существенно независимы от последних; в то время как эти, напротив, по своей природе постоянно нуждаются в первых, без помощи которых они могли бы достичь едва ли какого-либо прогресса. Хотя основные концепции анализа сохраняют в настоящее время некоторые весьма заметные следы своего геометрического или механического происхождения, они теперь, однако, в основном освобождены от этого примитивного характера, который больше не проявляется, за исключением некоторых второстепенных моментов; так что возможно (особенно после трудов Лагранжа) представить их в догматическом изложении, чисто абстрактным методом, в единой и непрерывной системе. Именно это будет предпринято в настоящей и пяти последующих главах, ограничивая наши исследования самыми общими соображениями по каждой основной ветви науки исчисления.

Поскольку определённой целью наших исследований в конкретной математике является обнаружение уравнений, выражающих математические законы рассматриваемого явления, и эти уравнения составляют истинную отправную точку исчисления, целью которого является получение из них определения одних величин посредством других, я считаю необходимым, прежде чем идти дальше, углубиться более, чем это было принято, в эту фундаментальную идею уравнения, постоянный предмет, будь то цель или начало, всех математических трудов. Помимо преимущества более определённого ограничения истинной области анализа, из этого будет следовать важный вывод о проведении более точной линии демаркации между конкретной и абстрактной частью математики, что завершит общее изложение фундаментального деления, установленного во вводной главе.

ИСТИННАЯ ИДЕЯ УРАВНЕНИЯ.

Мы обычно формируем слишком расплывчатое представление о том, что такое уравнение, когда даём это название любому виду отношения равенства между любыми двумя функциями величин, которые мы рассматриваем. Ибо, хотя каждое уравнение, очевидно, является отношением равенства, далеко не верно, что, взаимно, каждое отношение равенства является подлинным уравнением того вида, к которому по своей природе применимы методы анализа.

Этот недостаток точности в логическом рассмотрении идеи, столь фундаментальной в математике, влечёт за собой серьёзное неудобство, делая почти невозможным объяснение в общих чертах великой и фундаментальной трудности, которую мы находим в установлении отношения между конкретным и абстрактным, и которая столь заметно выделяется в каждом великом математическом вопросе, взятом отдельно. Если бы значение слова «уравнение» было действительно столь широким, как мы привыкли полагать в нашем определении, неясно, в чём могла бы состоять в действительности, в общем, великая трудность в установлении уравнений любой проблемы; ибо всё, таким образом, казалось бы, сводилось к простому вопросу формы, который никогда не должен был бы требовать больших интеллектуальных усилий, видя, что мы едва ли можем представить себе какое-либо точное отношение, которое не было бы непосредственно определённым отношением равенства или которое не могло бы быть легко приведено к нему с помощью некоторых очень простых преобразований.