«Философские и математические комментарии Прокла к первой книге «Начал» Евклида»

[26] Геометрия, поистине, желает спекулировать неделимые логосы души, но поскольку она не может использовать интеллекции, лишенные воображения, она простирает свои дискурсы к воображаемым формам и к фигурам, наделенным измерением, и этим средством спекулирует нематериальные логосы в этих; и когда воображение недостаточно для этой цели, она переходит даже к внешней материи, в которой она описывает прекрасное разнообразие своих предложений. Но, поистине, даже тогда главный замысел геометрии не в том, чтобы постичь чувственную и внешнюю форму, но ту внутреннюю жизненную, пребывающую в зеркале воображения, которой внешняя неодушевленная форма подражает, насколько ее несовершенная природа допустит. Но и не есть ее главный замысел быть общающейся с воображаемой формой; но когда, по причине слабости ее интеллекции, она не может получить форму, лишенную воображения, она спекулирует нематериальный логос в более чистой форме фантазии; так что ее главное занятие — около универсальных и нематериальных форм. Сириан в Арист. Мета. стр. 49.

[27] Сириан в своем превосходном Комментарии к «Метафизике» Аристотеля (который не столько разъясняет Аристотеля, сколько защищает учение об идеях согласно Платону от кажущегося, если не действительного, противодействия Аристотеля их существованию) сообщает нам, что дело мудрости, собственно так именуемой, — рассматривать нематериальные формы или сущности и их существенные акциденции. Посредством метода разделения, принимающего начала бытия; посредством разделяющего и определительного метода, рассматривающего сущности всех вещей; но посредством доказательного процесса, делающего заключения относительно существенных свойств, которые содержат в себе субстанции. Отсюда (говорит он), поскольку умопостигаемые сущности имеют наиболее простую природу, они не способны ни к определению, ни к доказательству, но постигаются простым созерцанием и энергией одного лишь интеллекта. Но промежуточные сущности, которые доказуемы, существуют согласно своим присущим свойствам: поскольку в наиболее простых существах нет ничего присущего, кроме их бытия. По каковой причине мы не можем сказать, что это есть их сущность, а то — нечто иное; и отсюда они выше определения и доказательства. Но в универсальных логосах, рассматриваемых самих по себе и украшающих чувственно воспринимаемую природу, возникают существенные акциденции; и отсюда доказательство имеет дело с ними. Но в материальных видах, индивидах и чувственно воспринимаемых вещах то, что является собственно акциденциями, постигается воображением и присутствует или отсутствует без порчи их субъектов. И они, опять же, будучи хуже доказуемых акциденций, постигаются знаками, конечно, не мудрецом, рассматриваемым как мудрец, но, возможно, врачами, натурфилософами и всеми подобными им.

[28] См. примечание к гл. I кн. I последующих Комментариев.

[29] Стр. 227.

[30] Стр. 250.

[31] Этот метод соперничает с алгеброй по легкости, но очевидностью и элегантностью доказательств, по-видимому, далеко превосходит ее: в чем можно легко убедиться, если сравнить это учение Аполлония о «Сечении отношения» с алгебраическим анализом той же задачи, который представил светлейший Валлис, том II, «Математических трудов», гл. LIV, стр. 220.

[32] Однако следует взвесить, что одно дело — дать задачу, решенную каким-либо образом, что, как правило, можно сделать разными способами, а другое — выполнить ее самым элегантным методом; с кратчайшим и в то же время ясным анализом, с изящным и наименее трудоемким синтезом.

[33] В его «Математических лекциях», стр. 44.

[34] Кн. IV.

[35] Кн. I, стр. 30.

[36] В «Теэтете».

[37] В его превосходнейшем труде «О воздержании», кн. I, стр. 22 и сл.

[38] См. «Извлечения» Фичино из Прокла к первому «Алкивиаду» Платона; из которых сохранилась только его латинская версия. Opera Фичино, том II.

[39] Марин, автор последующего жизнеописания, был учеником Прокла и его преемником в Афинской школе. Его философские сочинения были не очень многочисленны и не сохранились. Приписываемый ему комментарий к «Данным» Евклида дошел до нас; но его самым прославленным трудом, по-видимому, является настоящее жизнеописание его учителя. Оно действительно в оригинале элегантно и лаконично; и может рассматриваться как весьма удачный образец философской биографии. Любой свободный ум должен быть очарован и возвышен величием и возвышенностью характера, в котором Прокл предстает перед нашим взором. Если сравнивать его с современными философскими героями, он кажется существом высшего порядка; и мы с сожалением оглядываемся на тот славный период, столь хорошо приспособленный для роста философского гения и поощрения возвышенных достоинств. Мы не находим в его жизни никаких следов обычных слабостей развращенного человечества; никаких примеров низости или неустойчивости поведения: но он неизменно величествен и постоянно добр. Я прекрасно осознаю, что этот рассказ о нем многими будет сочтен сильно преувеличенным; как результат слабого энтузиазма, слепого суеверия или грубого обмана: но это никогда не будет убеждением тех, кто по опыту знает, какую возвышенность ума и чистоту жизни способна дать платоническая философия; и кто истинно понимает божественные истины, содержащиеся в его трудах. И свидетельство толпы, которая измеряет достоинство характеров других людей низостью своих собственных, конечно, не должно приниматься во внимание. Я лишь добавлю, что наш философ процветал через 412 лет после Христа, согласно точной хронологии Фабриция; и я бы порекомендовал тем, кто желает получить разнообразную критическую информацию о Прокле, обратиться к Пролегоменам, предпосланным этим ученейшим мужем к его превосходному греко-латинскому изданию этого труда, напечатанному в Лондоне в 1703 году.

[40] Платон в «Федре». Упоминает и Плутарх, VIII, «Застольные беседы». Суда в слове μήτοι. Фабриций.

[41] Для полного отчета о распределении добродетелей согласно платоникам, обратитесь к «Изречениям» Порфирия и Пролегоменам Фабриция к этому труду.

[42] См. шестую книгу его «Государства» и «Эпиномис».

[43] Фабриций сообщает нам, что платоник Олимпиодор в своем рукописном комментарии к «Алкивиаду» Платона делит порядки Богов на ὑπερκόσμιοι, или сверхкосмические, которые отделены от всякой связи с телом; и на ἐγκόσμιοι, или внутрикосмические. И что из них одни — οὐράνιοι, или небесные, другие — αἰθέριοι, или эфирные, или πύριοι, огненные, другие — ἀέριοι, или воздушные, другие — ἔνυδροι, или водные, другие — χθόνιοι, или земные; и другие — ὑποταρτάριοι, или подземные. Но среди земных одни — κλιματάρχαι, или правители климатов, другие — πολιοῦχοι, или правители городов, и другие, наконец, κατοικίδιοι, или управители домов.

[44] Этот эпитет также приписывается Ономакритом Луне, как можно видеть в его гимне этому божеству; причину чего мы привели в наших примечаниях к этому гимну.

[45] Божественные видения и необычайные обстоятельства могут быть справедливо допущены для таких возвышенных гениев, как Прокл; но заслуживают осмеяния, когда приписываются вульгарным людям.

[46] Какие славные времена! Когда считалось необычайным обстоятельством, чтобы учитель риторики обращался с благородным и богатым учеником как со своим домочадцем. Сравнивая их с нынешними, мы можем лишь воскликнуть: O tempora! O mores! Философия потонула в руинах древней Греции и Рима.

[47] Фабриций справедливо замечает, что этот Олимпиодор — не тот философ с таким именем, чьи ученые комментарии к некоторым книгам Платона сохранились в рукописях в различных библиотеках. Ибо в них прославляется не только сам Прокл, но и Дамаский, который процветал долго после Прокла.

[48] О различных математиках с этим именем см. Фабриция в «Bibliotheca Græca».

[49] Слово в оригинале — λογικὰ, которое, как справедливо предполагает Фабриций, имеет в данном месте более широкое значение, чем логика или риторика: но я должен просить позволения не согласиться с этим великим критиком, не переводя его просто как «философские», поскольку я скорее полагаю, что Марин намеревался ограничить его той частью трудов Аристотеля, которая охватывает только логику, риторику и поэтику. Ибо глагол ἐξεμάνθανω, или «изучать», который Марин использует в этом случае, не может с должной точностью применяться к более глубоким сочинениям Аристотеля.

[50] Отсюда Прокла называли, в знак превосходства, διάδοχος Πλατωνικός, или Платонический Преемник.

[51] О Поллетесе см. Суду; а о Меламподе обратитесь к Фабрицию в «Bibliotheca Græca».

[52] Этот Сириан был, действительно, превосходнейшим философом, в чем мы можем убедиться из его комментария к метафизике Аристотеля, латинский перевод которого, сделанный неким Иеронимом Баголинусом, был опубликован в Венеции в 1558 году. Греческий текст, согласно Фабрицию, сохранился во многих итальянских библиотеках и в Иоанновской библиотеке в Гамбурге. Согласно Суде, он написал комментарий ко всему Гомеру в шести книгах; к политике Платона — в четырех книгах; и о согласии Орфея, Пифагора и Платона с Халдейскими оракулами — в десяти книгах. Все они, к несчастью, утрачены; и свободные умы, немногие, лишены таким образом сокровищ мудрости, которые другой философский век, в каком-то отдаленном перевороте, только и может произвести.

[53] Сократ в 6-й книге «Государства» Платона говорит, что от великих гениев не следует ожидать ничего среднего; но либо великое благо, либо великое зло.

[54] Читатель, пожалуйста, прими к сведению, что этот великий муж — не тот Плутарх-биограф, чьи труды столь хорошо известны; но афинский философ гораздо более позднего периода.

[55] Философия Аристотеля, если сравнивать ее с дисциплиной Платона, по моему мнению, заслуженно рассматривается в данном месте как имеющая отношение proteleia к epopteia в священных мистериях. Теперь proteleia, или вещи, предшествующие совершенству, принадлежат посвященным и мистикам; первые из которых были введены только в некоторые более легкие церемонии: но мистикам было позволено присутствовать при определенных предварительных и меньших священных делах. С другой стороны, эпопты допускались в святилище великих священных обрядов; и становились созерцателями символов и более внутренних церемоний. Аристотель, действительно, повсюду кажется врагом учения об идеях, как оно понимается Платоном; хотя они, несомненно, являются ведущими звездами всей истинной философии. Однако великое превосходство его трудов, рассматриваемых как введение в божественную теологию Платона, заслуживает самой безграничной похвалы. В согласии с этим Дамаский сообщает нам, что философ Исидор, «когда он обратился к более священной философии Аристотеля и увидел, что тот больше доверяет необходимым доводам, нежели своему собственному чувству, однако не полностью использовал божественное умопостижение, был мало озабочен его учением: но когда он вкусил концепций Платона, он больше не удостаивал его взглядом на языке Пиндара. Но надеясь, что он достигнет своей желаемой цели, если сможет проникнуть в святилище ума Платона, он направил на эту цель весь ход своего усердия». Photii Bibliotheca, стр. 1034.

[56] согласно оракулу.

[57] Ничто не прославляется древними больше, чем та строгая дружба, которая существовала среди пифагорейцев; к осуществлению которой они имели обыкновение увещевать друг друга: «не разделять бога, которого они содержали в себе», как повествует Ямвлих, кн. I, гл. 33, «О жизни Пифагора». Действительно, истинная дружба может существовать только в душах, должным образом просвещенных подлинной мудростью и добродетелью; ибо тогда она становится союзом интеллектов и, следовательно, должна быть бессмертной и божественной.

[58] Пифагор, согласно Дамаскому, говорил, что дружба есть мать всех политических добродетелей.

[59] Подлинный современник, несомненно, сочтет все религиозное поведение Прокла смехотворно суеверным. И так, действительно, на первый взгляд, оно и кажется; но тот, кто проник в глубины древней мудрости, найдет в нем больше, чем открывается вульгарному слуху. Религия язычников, действительно, на протяжении многих веков была объектом насмешек и презрения: однако автор настоящего труда не стыдится признаться, что он является полным новообращенным в нее во всех отношениях, насколько она понималась и иллюстрировалась пифагорейскими и платоническими философами. Действительно, теология древней, как и современной толпы, была, без сомнения, полна абсурда; но теология древних философов представляется достойной высочайших похвал и самого усердного возделывания. Однако нынешние преобладающие мнения запрещают защиту такой системы; ибо это должно быть делом более просвещенного и философского века. Кроме того, автор не забывает о судьбе Порфирия, чьи полемические сочинения были подавлены указами императоров; и чьи аргументы в защиту своей религии были столь тщетны и легки для опровержения, что, как сообщает нам св. Иероним в своем предисловии к Даниилу, Евсевий ответил ему в двадцати пяти, а Аполлинарий — в тридцати томах!

[60] См. Прокл о «Политике» Платона, стр. 399. Instit. Theolog. № 196; и извлечения Фичино из комментария Прокла к первому «Алкивиаду», стр. 246 и сл.

[61] Намек на прекрасное описание Улисса, данное в 3-й книге «Илиады», ст. 222.

Καί ἔπεα νιφάδεσιν ἐοικότα χειμερίησιν.

Которое так элегантно перефразировано г-ном Поупом.

But when he speaks, what elocution flows!

Soft as the fleeces of descending snows

The copious accents fall, with easy art;

Melting they fall, and sink into the heart! &c.

[62] О Домнине см. Фотия и Суду из Дамаского в его «Жизни Исидора».

[63] Никифор в своем комментарии к «О сновидениях» Синезия, стр. 562, сообщает нам, что гекатический шар — это золотая сфера, которая имеет сапфировый камень, включенный в ее среднюю часть, и по всей ее поверхности — знаки и различные фигуры. Он добавляет, что, вращая эту сферу, они совершают призывания, которые называют Июнгами. Так же, согласно Суде, маг Юлиан из Халдеи и Арнуфис Египтянин вызывали ливни магической силой. И с помощью хитрости такого рода Эмпедокл имел обыкновение сдерживать ярость ветров; по каковой причине его называли ἀλεξάνεμος, или «гонитель ветров».

[64] Ни одно мнение не является более знаменитым, чем мнение о метемпсихозе Пифагора: но, пожалуй, ни одно учение не является более ошибочно понимаемым. Большинством людей сегодняшнего дня оно отвергается как смехотворное; и те немногие, кто сохраняет некоторое почтение к его основателю, пытаются разрушить буквальный смысл и ограничить его аллегорическим. Некоторые из древних ограничивали это превращение подобными телами: так что они полагали, что человеческая душа может переселяться в различные человеческие тела, но не в тела животных; и это было мнение Гиерокла, как можно видеть в его комментарии к «Золотым стихам». Но почему человеческая душа не может соединиться с подчиненными, так же как и с высшими жизнями, в силу склонности? Разве подобное не любит соединяться с подобным, и нет ли во всех видах жизни чего-то подобного и общего? Отсюда, когда аффекты души склоняются к низшей природе, будучи связанными с человеческим телом, эти аффекты, при распаде такого тела, становятся как бы облеченными в животную природу, и разумное око, в этом случае затуманенное возмущениями, подавляется иррациональными энергиями животного и не созерцает ничего, кроме темных фантазий деградировавшего воображения. Но это учение защищается Проклом с его обычной тонкостью в его восхитительном комментарии к «Тимею», кн. V, стр. 329, следующим образом: «Обычно, — говорит он, — спрашивают, как души могут нисходить в животных. И некоторые, действительно, думают, что существуют определенные подобия людей животным, которые они называют дикими жизнями: ибо они отнюдь не считают возможным, чтобы разумная сущность могла стать душой дикого животного. Напротив, другие допускают, что она может быть послана в животных, потому что все души одного и того же вида; так что они могут стать волками, пантерами и ихневмонами. Но истинный разум, действительно, утверждает, что человеческая душа может быть помещена в животных, однако таким образом, чтобы она могла получить свою собственную жизнь, и чтобы деградировавшая душа могла как бы переноситься над ней и быть связанной с низшей природой склонностью и подобием аффекта. И что это единственный способ вселения, мы доказали множеством доводов в наших комментариях к «Федру». Но если необходимо заметить, что это мнение Платона, мы добавим, что в своей «Политике» он говорит, что душа Терсита приняла обезьяну, но не тело обезьяны: и в «Федре», что душа нисходит в дикую жизнь, но не в дикое тело; ибо жизнь соединена со своей собственной душой. И в этом месте он говорит, что она превращается в животную природу: ибо животная природа — это не животное тело, но животная жизнь».

[65] Перикл Лидийский, философ-стоик.

[66] Vide Pausan. lib. i. Atticorum, cap. 21. et 20.

[67] Он имеет в виду христиан.

[68] Прокл родился в 412 году от Христа, в 6-й день ид февраля. Но ради астрологов я добавил следующую фигуру из Пролегомен Фабриция к этой жизни: и хотя я сам не искушен в этом искусстве, я убежден, исходя из аргументов Плотина, что она содержит много общих истин; но когда ее делают подчиненной частностям, она подвержена большой неточности и ошибкам. Короче говоря, ее свидетельство носит целиком физиогномический характер; ибо таков удивительный порядок и связь вещей, что во всей вселенной одно обозначается другим, и целое некоторым образом содержится в своих частях. Так что язык темного и глубокого Гераклита совершенно справедлив, когда он говорит: «Вы должны соединить совершенное и несовершенное, согласное и несогласное, созвучное и диссонирующее, и из одного — все вещи, и из всех вещей — одно».

Схема положения звезд, какой она была в Византии, когда родился философ Прокл.

[69] Раньше у почти всех народов был обычай иметь места погребения в пригородах, а не в самом городе.

[70] Это затмение произошло, согласно Фабрицию, в 484 г. н. э., 19-го числа до февральских календ, на восходе солнца.

[71] Все древние теологи, среди которых Платон занимает выдающееся место, утверждали, что душа имеет некоторую среднюю природу и состояние между умопостигаемым и чувственно воспринимаемым: в согласии с этим учением Плотин божественно утверждает, что она помещена на горизонте, или, так сказать, на границе и перешейке вечных и смертных природ; и отсюда, согласно магам, она подобна луне, одна из частей которой светла, а другая темна. Теперь душа, вследствие этого среднего состояния, должна неизбежно быть вместилищем всех средних энергий, как жизненных, так и гностических; так что ее знание ниже неделимой простоты интеллектуального постижения, но выше импульсивных восприятий чувства. Отсюда математические роды и виды пребывают в ее сущности, как в своем собственном и естественном регионе; ибо они целиком имеют среднюю природу, как доказывает Прокл в этой и шести последующих главах. Но это учение Платона, первоначально заимствованное у Бронтина и Архита, так элегантно объясняется этим философом в заключительной части шестой книги его «Государства»: «Сократ, знай же, они суть, как мы говорим, два (само Благо и Солнце), и что одно царствует над умопостигаемым миром, а другое — над видимым, чтобы не сказать небесами, дабы я не ввел тебя в заблуждение именем. Ты понимаешь, значит, эти два порядка вещей, я имею в виду видимое и умопостигаемое? — Главкон. Понимаю. — Сократ. Продолжай это деление тогда, как если бы это была линия, разделенная на два неравных сегмента; и каждая часть, т. е. чувственно воспринимаемое и умопостигаемое, разделена подобным же образом, и ты получишь очевидность и неясность, помещенные рядом друг с другом. В видимом сегменте, действительно, одна часть будет содержать образы. Но я называю образами, во-первых, тени; затем подобия вещей, появляющиеся в воде и в плотных, гладких и светлых телах, и все подобное этому, если ты понимаешь меня? — Главкон. Я понимаю тебя. — Сократ. Теперь представь, что другой раздел охватывает вещи, подобиями которых являются эти образы, такие как животные вокруг нас, вместе с растениями и всем, что является делом природы и искусства. — Главкон. Я представляю это. — Сократ. Считаешь ли ты этот раздел тогда разделенным на истинное и ложное? И что гипотеза мнения относится к знанию науки, как подобие к своему оригиналу? — Главкон. Да, очень охотно. — Сократ. Теперь тогда рассмотри, как должен быть разделен раздел умопостигаемого. — Главкон. Как? — Сократ. Так: один сегмент — это тот, который душа ищет, используя прежние деления как образы и будучи вынужденной переходить от гипотез не к принципу, а к заключению. Другой — это тот, который использует мыслительную силу души, когда она переходит от гипотезы к принципу, уже не предполагаемому, и, пренебрегая образами, продвигается через их неясность в свет самих идей. — Главкон. Я не достаточно понимаю тебя в этом. — Сократ. Но снова, ибо ты легче поймешь меня из того, что уже было сказано. Думаю, ты не невежда в том, что те, кто занимается геометрией, арифметикой и тому подобным, предполагают четное и нечетное, вместе с различными фигурами и тремя видами углов, и другими вещами, подобными этим, согласно каждому методу продвижения. Теперь, установив их как гипотезы, достаточно известные, они полагают, что не требуется никакого довода для их положения: но, начиная с них, они нисходят через остальное и приходят наконец к объекту своего исследования. — Главкон. Это я знаю совершенно хорошо. — Сократ. Это также ты знаешь, что они используют видимые формы и делают их предметом своего рассуждения, в то же время не направляя свой интеллект на восприятие их, но на оригиналы, которым они подобны; я имею в виду сам квадрат и сам диаметр; а не на фигуры, которые они чертят. И таким образом, другие формы, которые представлены тенями и образами в воде, используются ими лишь как подобия, в то время как они стремятся созерцать то, что может быть увидено только мышлением. — Главкон. Ты говоришь правду. — Сократ. Это то, что я называл выше видом умопостигаемого, в исследовании которого душа была вынуждена использовать гипотезы; не восходя к принципу, как неспособная подняться выше гипотез, но используя образы, сформированные из низших объектов, к подобию таких, которые являются высшими, и которые так понимаются и различаются мнением, как если бы они ясно способствовали знанию самих вещей. — Главкон. Я понимаю, действительно, что ты говоришь об обстоятельствах, которые имеют место в геометрии и родственных ей искусствах. — Сократ. Пойми теперь, что под другим разделом умопостигаемого я имею в виду то, чего достигает сам разум своей силой доказательства, когда, уже не почитая гипотезы за принципы, но принимая их в действительности за гипотезы, она использует их как столько-то ступеней и поручней в своем восхождении, пока не придет к тому, что уже не является гипотетическим, к принципу вселенной; и затем нисходя, держась за идеи, которые примыкают к принципу, она приходит к заключению, не используя ничего чувственного в своем прогрессе, но продвигаясь через идеи и в них наконец завершая свое нисхождение. — Главкон. Я понимаю тебя, но не так хорошо, как желаю: ибо ты, кажется, предлагаешь великое предприятие. Ты стремишься, действительно, определить, что часть истинного бытия и умопостигаемого, которую мы созерцаем наукой доказательства, более очевидна, чем открытия, сделанные науками, называемыми искусствами; потому что в первой гипотезы являются принципами, и их мастера вынуждены использовать око мышления, а не восприятия чувств. Однако, поскольку они не восходят к принципу, но исследуют из гипотез, они кажутся тебе не имеющими интеллекта относительно них, хотя они умопостигаемы через свет принципа. Но ты, кажется, называешь привычку рассуждать о геометрических и тому подобных делах мышлением, а не интеллектом, как если бы мышление занимало среднее положение между мнением и интеллектом. — Сократ. Ты понимаешь меня достаточно хорошо. И снова: с этими четырьмя пропорциями возьми эти четыре соответствующие аффекта души: с высшим — интеллект; со вторым — мышление; против третьего поставь мнение; и против четвертого — уподобление, или воображение. Помимо этого, установи их в порядке альтернативной пропорции, чтобы они могли причаствовать очевидности таким же образом, как их соответствующие объекты причаствуют реальности». Я взял на себя смелость перевести этот прекрасный отрывок иначе, чем Петвин и Спенс; потому что они пренебрегли тем, чтобы дать надлежащее значение слову διάνοια, или мышление, первый перевел его как «ум» и «око ума», и таким образом смешивая его с интеллектом; а второй называя его «пониманием». Но несомненно, что Платон в этом месте ставит интеллект как первый, по причине превосходной очевидности его восприятий; на следующем месте — мышление; на третьем — мнение; и на четвертом — воображение. Однако читатель, пожалуйста, прими к сведению, что под διάνοια, или мышлением, в настоящем труде понимается та сила души, которая рассуждает от посылок к заключениям и чья силлогистическая энергия по активным предметам называется благоразумием; а по таким, которые являются умозрительными, — наукой. Но для дальнейшей информации относительно ее природы см. диссертацию, предпосланную этому труду, и следующую пятую главу.

[72] Эти два принципа, предел и бесконечное, несомненно, будут рассматриваться немыслящей частью человечества как не более чем общие термины, а не как самые реальные из существ. Однако точное созерцание вселенной убедит каждый истинно философский ум в их реальности. Ибо сами небеса, благодаря связности и порядку своих частей, доказывают свое причастие пределу. Но благодаря своим плодовитым силам и непрекращающимся вращениям сфер, которые они содержат, они демонстрируют свое причастие бесконечности. И конечные и вечно пребывающие формы, которыми наполнен мир, несут подобие пределу: в то время как, напротив, разнообразие частностей, их никогда не прекращающееся изменение и связь большего и меньшего в общении форм представляет образ бесконечности. Добавь также, что каждый естественный вид своей формой подобен пределу; но своей материей — бесконечности. Ибо эти два, форма и материя, зависят от предела и бесконечности и являются их конечными прогрессиями. И каждая из них, действительно, причаствует единству; но форма есть мера и предел материи и является более единой. Но материя есть в возможности все вещи, потому что она существует посредством эманации из первой возможности, или самого бесконечного.

[73] Из человеческих дисциплин только те заслуживают называться науками, которые не используют никаких гипотез, которые разрешают вещи в их принципы, которые имеют дело с истинным бытием и возвышают нас к самим идеям. Диалектика целиком такого рода (я имею в виду диалектику Платона); ибо она одна не использует никаких предположений, но, пренебрегая тенями и образами, возвышает нас посредством возвышенного исследования к принципу вселенной; и по этой причине заслуживает называться самой вершиной дисциплин. Но мы не должны воображать, что под словом «диалектика» здесь имеется в виду логика или какая-либо часть логики, или тот метод диспута, посредством которого мы фабрикуем вероятные доводы; но мы должны понимать ее как означающую дисциплину, наделенную величайшей остротой; пренебрегающую всеми гипотезами, истинно парящую к первичным причинам и в конечном итоге покоящуюся в их созерцании. Плотин дал нам счастливейшие образцы этого метода в своих книгах «О родах бытия».

[74] См. примечание к первой главе.

[75] Я бы особенно рекомендовал эту главу современным математикам, большинство из которых, боюсь, никогда не задумывались, имеют ли предметы их умозрения какое-либо реальное существование: хотя это, несомненно, исследование, достойное серьезного внимания каждого свободного ума. Ибо если объекты математического исследования являются лишь воображаемыми, я имею в виду точку без частей, линию без ширины и т. д., то наука, основанная на этих ложных принципах, должна, конечно, быть целиком обманчивой. Действительно, абсолютно истинное заключение никогда не может проистекать из ошибочного принципа как из своей причины: так как поток всегда должен причаствовать своему источнику. Я имею в виду такое заключение, которое доказывается надлежащей причиной, πλὴν οὐ διότι, ἀλλ’ ὅτι, говорит Аристотель в своей первой «Аналитике»; то есть силлогизм из ложных принципов не докажет «почему», но только просто «что это есть»: действительно, он может только просто доказать, «что это есть», тому, кто допускает ложные суждения; потому что тот, кто позволяет посылки, не может отрицать заключение, когда силлогизм правильно сконструирован. Таким образом, мы можем силлогизировать в первой фигуре,

Every thing white, is an animal:

Every bird is white:

Therefore, Every bird is an animal.

И заключение будет истинным, хотя большая и меньшая посылки ложны; но тогда эти термины не являются причинами заключения, и мы имеем вывод без доказательства. Подобным же образом, если математические виды обманчивы и фиктивны, заключения, выведенные из них как из принципов, являются лишь гипотетическими, а не доказательными.

[76] Аристотель, в своей последней «Аналитике». Читатель, пожалуйста, прими к сведению, что вся сила этого энергичного, точного и элегантного рассуждения направлена против Аристотеля; который, к несчастью, по-видимому, считал, вместе с современниками, что математические виды существуют в душе посредством абстракции от чувственно воспринимаемого. См. предшествующую Диссертацию.

[77] А именно: 1, 2, 4, 8, 3, 9, 27. О чем см. кн. III превосходного комментария Прокла к «Тимею».

[78] Платон часто, как в «Меноне», так и в других местах, показывает, что наука есть Припоминание; и я думаю, не без сильнейшего основания. Ибо поскольку душа нематериальна, как мы доказали в диссертации к этому труду, она должна быть истинно бессмертной, т. е. как a parte ante, так и a parte post. Что она должна быть вечной, действительно, в отношении будущего, если нематериальна, допускается всеми; и мы можем доказать, вместе с Аристотелем, в его первой книге «О небе», что она бессмертна также a parte ante, следующим образом. Все, что без рождения, неразрушимо, и все неразрушимое — без рождения: ибо то, что без рождения, имеет необходимость существовать бесконечно a parte ante (из гипотезы); и поэтому, если оно обладает возможностью быть разрушенным, поскольку нет большей причины, почему оно должно быть разрушено сейчас, а не в какой-то прежний период, оно наделено возможностью быть разрушенным и перестать быть в каждый момент бесконечного времени, в котором оно необходимо существует. Подобным же образом, то, что неразрушимо, имеет необходимость существовать бесконечно a parte post; поэтому, если оно обладает возможностью быть рожденным, поскольку нет большей причины, почему оно должно быть рождено сейчас, а не впоследствии, оно обладает возможностью быть рожденным в каждый момент времени, в котором оно необходимо существует. Если тогда душа существенно бессмертна в отношении прошлых и будущих циркуляций времени; и если она наполнена формами или идеями всякого рода, как мы доказали в диссертации, она должна, из своей циркулирующей природы, быть вечно занята попеременным обладанием и потерей знания о них. Теперь восстановление этого знания посредством науки называется Платоном припоминанием; и есть не что иное, как обновленное созерцание тех божественных форм, столь знакомых душе, прежде чем она стала вовлеченной в темное облачение земного тела. Так что мы можем сказать, вместе с элегантным Максимом Тирским (Disser. 28): «Припоминание подобно тому, что случается с телесным оком, которое, хотя всегда наделено силой зрения, однако тьма иногда препятствует его проходу и отвращает его от восприятия вещей. Искусство, следовательно, приближается, которое, хотя и не дает оку силу зрения, однако устраняет его препятствия и дает свободный выход его лучам. Представь теперь, что наша разумная душа есть такая сила восприятия, которая видит и знает природу существ. С ней случается общее бедствие тел, что тьма, распространяясь вокруг нее, уносит ее аспект, притупляет ее остроту и гасит ее собственный свет. Впоследствии приближается искусство разума, которое, подобно врачу, не приносит или не дает ей новую науку, но пробуждает ту, которой она обладает, хотя очень слабую, запутанную и неустойчивую». Отсюда, поскольку душа, своим погружением в тело, находится в спящем состоянии, пока не будет пробуждена наукой к проявлению своих скрытых энергий; и все же даже до этого пробуждения, поскольку она содержит живые искры, так сказать, всякого знания, которые только требуют быть раздутыми крыльями учения, чтобы вновь зажечь свет идей, она может быть сказана в этом случае знать все вещи как во сне и быть невежественной о них в отношении бдительных восприятий. Отсюда также мы можем заключить, что время не предшествует нашему существенному знанию форм, потому что мы обладаем им от вечности: но оно предшествует нашему знанию в отношении производства этих логосов в совершенную энергию. Я лишь добавлю, что я бы порекомендовал свободному английскому читателю превосходный перевод «Менона» Платона, сделанный г-ном Сиденхэмом, где он найдет знакомое и элегантное доказательство учения о Припоминании.

[79] Относительно этого ценного труда, озаглавленного ΙΕΡΟ‘Σ ΛΟΓΟ’Σ, см. «Bibliotheca Græca» Фабриция, том I, стр. 118 и 462, и в комментарии Сириана к метафизике Аристотеля, стр. 7, 71, 83 и 108, читатель найдет некоторые любопытные извлечения из этого прославленного рассуждения; особенно на стр. 83. Сириан сообщает нам, «что тот, кто обращается к этому труду, найдет все порядки как Монад, так и Чисел, не пренебрегая ни одним, полностью прославленными (ὐμνουμένας)». Нет сомнения, что Пифагор и его ученики скрывали возвышеннейшие истины под символами чисел; в чем тот, кто читает и понимает сочинения платоников, будет полностью убежден. Отсюда Прокл, в третьей книге своего превосходного комментария к «Тимею», замечает, «что Платон использовал математические термины ради таинства и сокрытия, как некие завесы, которыми святилища истины могли быть отделены от вульгарного осмотра, точно так же, как теологи делали басни, а пифагорейцы — символы, служащими той же цели: ибо в образах мы можем созерцать их прообразы, и первые дают нам средства доступа ко вторым».

[80] Относительно этого Геометрического Числа в 8-й книге «Государства» Платона, о котором Цицерон утверждает, что нет ничего более неясного, см. примечания Буллиальда к Теону, стр. 292.

[81] Мне жаль говорить, что эта часть врагов чистой геометрии и арифметики в настоящее время очень многочисленна; концепции полезности в этих науках не простираются дальше грязных целей чисто животной жизни. Но, несомненно, если интеллект есть часть нашего состава, и притом самая благородная часть, должен быть объект его созерцания; и это, которое есть не что иное, как истина в самом возвышенном смысле, должно быть самым благородным и полезным предметом умозрения для каждого разумного существа.

[82] В 13-й книге его «Метафизики», гл. III.

[83] В I «О частях животных» и в первой «Этике», гл. III.

[84] См. подробнее об этом в Диссертации.

[85] Поскольку число предшествует величине, доказательства арифметики должны быть более интеллектуальными, но доказательства геометрии — более приспособленными к разумной силе. И когда либо арифметика, либо геометрия применяется к чувственно воспринимаемым делам, доказательства, из природы предметов, должны причаствовать неясности мнения. Если это так, истинный математик будет ценить те части своей науки больше всего, которые причаствуют очевидности; и будет считать их деградировавшими, когда они применяются к обычным целям жизни.

[86] Это деление математической науки согласно пифагорейцам, которое почти совпадает с делением Платона, порицается д-ром Барроу в его «Математических лекциях», стр. 15, как ограниченное слишком узкими пределами: и причина, которую он приписывает столь частичному делению, заключается в том, «что во времена Платона другие были либо еще не изобретены, либо недостаточно возделаны, или, по крайней мере, еще не были приняты в число математических наук». Но я должен просить позволения не согласиться с этим прославленнейшим математиком в этом деле; и утверждать, что причина столь ограниченного распределения (как оно понимается современниками) возникла из возвышенных концепций, которые эти мудрые люди питали о математических науках, которые они рассматривали как столько-то прелюдий к знанию божественности, когда они преследуются должным образом; но они считали их деградировавшими и извращенными, когда они становились смешанными с чувственно воспринимаемыми объектами и применялись к обычным целям жизни.

[87] То есть прямая и круговая линия.

[88] Боюсь, что в нынешний день найдется немного тех, кто не считает тактику одной из самых главных частей математики; и кто не преминул бы процитировать в защиту своих мнений того великого реформатора философии, «как его называют», лорда Бэкона, хвалящего занятия, которые «приходят домой к делам и сердцам людей». Действительно, если то, что является низшим в истинном порядке вещей и лучше всего служит самой подлой части человеческой природы, должно иметь предпочтение, их мнение верно, и лорд Бэкон — «философ»!

[89] Под этим следует понимать искусство, ныне называемое Перспективой: откуда очевидно, что это искусство не было неизвестно древним, хотя это и ставится под сомнение современниками.

[90] Отсюда видно, что сомнительно, является ли Платон автором диалога, называемого «Эпиномис»; и я думаю, это может с большим основанием быть поставлено под вопрос. Ибо хотя он несет явные признаки глубокой древности и наполнен подлинной мудростью, он не кажется совершенно написанным в манере Платона; и не содержит той великой глубины мысли, которой изобилуют сочинения этого философа. Фабриций (в своей «Bibliotheca Græca», кн. I, стр. 27) удивляется, что Суда должен приписывать этот труд философу, который распределил законы Платона на двенадцать книг, потому что это было обычным мнением; откуда кажется, что тот точный критик не обратил внимания на настоящий отрывок.

[91] Это непосредственное соединение математических наук, которые Прокл рассматривает как подчиненные диалектике, кажется, отличается от той вершины науки тем, что первая просто охватывает принципы всей науки, но последняя охватывает универсальные роды бытия и созерцает принцип всего.

[92] В «Меноне».

[93] Это, безусловно, истинное или философское применение математической науки; ибо этим средством мы будем способны восходить от чувства к интеллекту и вновь зажечь в душе тот божественный свет истины, который, до такой энергии, был погребен в неясности телесной природы. Но посредством противоположного процесса, я имею в виду применение математических умозрений к экспериментальным целям, мы ослепим свободное око души и не оставим ничего взамен, кроме тьмы телесного зрения и фантомов деградировавшего воображения.

[94] Цель настоящей главы — доказать, что фигуры, которые являются предметами геометрического умозрения, существуют не во внешней и чувственно воспринимаемой материи, но во вместилище воображения, или материи фантазии. И это наш философ доказывает со своей обычной элегантностью, тонкостью и глубиной. Действительно, должно быть очевидно каждому внимательному наблюдателю, что чувственно воспринимаемые фигуры далеко отстают от той точности и совершенства, которые требуются в геометрических определениях: ибо нет чувственно воспринимаемого круга, совершенно круглого, поскольку точка, из которой он описан, не без частей; и, как хорошо замечает Воссий (de Mathem. стр. 4), нет никакой сферы в природе вещей, которая касается только в точке, ибо некоторой частью своей поверхности она всегда касается подчиненной плоскости по линии, как Аристотель показывает, что Протагор возражал против геометров. Не должны мы также говорить, вместе с тем великим математиком д-ром Барроу в его «Математических лекциях», стр. 76, «что все вообразимые геометрические фигуры действительно присущи каждой частице материи, в величайшем совершенстве, хотя и не очевидны для чувства; точно так же, как изображение Цезаря скрыто в необработанном мраморе и не является новой вещью, сделанной скульптором, но только обнаружено и приведено к виду его мастерством, т. е. удалением частей материи, которыми оно затенено и вовлечено. Что заставило Микеланджело, самого знаменитого резчика, сказать, что скульптура была не чем иным, как очищением от вещей излишних. Ибо убери все излишнее, — говорит он, — из дерева или камня, и остальное будет фигурой, которую ты намереваешься получить. Так, если бы рука ангела (по крайней мере, сила Бога) сочла нужным отполировать любую частицу материи, без пустоты, сферическая поверхность предстала бы глазам, фигурой совершенно круглой; не как созданная заново, но как открытая и обнаженная от маскировок и покрытий окружающей ее материи». Ибо это означало бы придание совершенства чувственно воспринимаемой материи, которое она по природе неспособна получить: поскольку внешнее тело существенно полно пор и неровностей, которые должны вечно препятствовать его получению точности геометрического тела, хотя бы оно было отполировано рукой ангела. Кроме того, какая полировка когда-либо произвела бы точку без частей и линию без ширины? Ибо хотя тело может быть сведено к величайшей тонкости, оно этим средством никогда не перейдет в бестелесную природу и не оставит свое тройное измерение. Поскольку внешняя материя, следовательно, отнюдь не является вместилищем геометрических фигур, они должны неизбежно пребывать в катоптрической материи фантазии, где они существуют с точностью, достаточной для энергий этой науки. Это правда, действительно, что даже в более чистой материи воображения точка не кажется совершенно неделимой, ни линия без широты: но тогда величина точки и ширина линии неопределенны, и они, в то же время, не сопровождаются качествами тела и выставляют оку мысли одну лишь величину. Отсюда фигуры в фантазии являются надлежащими получателями того универсального, которое является объектом геометрического умозрения, и представляют, как в зеркале, причастное существование тех жизненных и нематериальных форм, которые существенно пребывают в душе.

[95] Это деление изящно разъяснено Аммонием (в комм. на Порфирия, стр. 12) следующим образом: «Представьте себе перстень с печатью, на которой вырезано изображение какого-либо конкретного лица, например Ахилла, и пусть имеется множество восковых оттисков, сделанных этим перстнем. Затем представьте, что некто подходит, созерцает все эти восковые части, запечатленные образом одного этого перстня, и удерживает оттиск перстня в своем уме: печать, вырезанная на перстне, представляет собой всеобщее, предшествующее многим; оттиск на восковых частях — всеобщее во многих; а то, что остается в разуме созерцающего, можно назвать всеобщим после и позади многих. То же самое мы должны мыслить относительно родов и видов. Ибо тот наилучший и превосходнейший зодчий мира обладает внутри себя формами и прообразами всех вещей: так что при создании человека он взирает на форму человека, пребывающую в его сущности, и ваяет все остальное согласно этому прообразу. Но если кто-либо станет возражать против этого учения и утверждать, что формы вещей не пребывают у их зодчего, пусть обратит внимание на следующие доводы. Зодчий либо знает, либо не знает того, что он производит: но тот, кто не знает, никогда ничего не произведет. Ибо кто станет пытаться делать то, чего он не знает, как исполнить? Поскольку он не может действовать подобно иррациональной силе, каковой является природа, чьи операции не сопровождаются осознанием. Но если он производит что-либо согласно некоему разумению, он должен обладать знанием всего, что он производит. Если, следовательно, не является нечестивым утверждать, что действия Божества, подобно человеческим, сопровождаются знанием, то очевидно, что формы вещей должны пребывать в его сущности: но формы находятся в Демиурге, подобно печати в перстне; и эти формы называются предшествующими многим и отделенными от материи. Вид же человек содержится в каждом отдельном человеке, подобно оттиску печати в воске, и, как говорят, существует во многих, не отделяясь от материи. И когда мы созерцаем отдельных людей и воспринимаем одну и ту же форму и образ в каждом, эта форма, запечатленная в нашей душе, называется существующей после многих и имеющей последующее возникновение: точно так же, как мы наблюдали у того, кто созерцал множество печатей, оттиснутых на воске одним и тем же перстнем. И это единое, последующее после многих, может быть отделено от тела, когда оно мыслится не как присущее телу, а как пребывающее в душе: но оно неспособно к реальному отделению от своего субъекта». Здесь, однако, мы должны заметить, что когда Аммоний говорит о знании Божества, его следует мыслить как далеко превосходящее наше. Ибо он обладает природой, более истинной, чем всякая сущность, и восприятием, более ясным, чем всякое знание. И как он произвел все вещи своим единством, так и невыразимым единством постижения он знает всеобщность вещей.

[96] В кн. VII «Метафизики», 35 и 39.

[97] В кн. III «О душе», текст 20.

[98] То есть геометрия сначала исследует круг, начертанный на бумаге или на песке: но посредством круговой фигуры в фантазии созерцает круг, пребывающий в мышлении; и посредством этого всеобщего, или кругового разума, причастного кругу фантазии, строит свои доказательства.

[99] В его «Первой Аналитике», т. 42. См. диссертацию к настоящей работе.

[100] Такие как отношение диагонали квадрата к его стороне; и отношение диаметра круга к периферии.

[101] Гномоны, из которых образуются квадратные числа, суть нечетные числа в естественном ряду, начиная с единицы, т. е. 1, 3, 5, 7, 9, 11 и т. д., ибо они, будучи постоянно прибавляемы друг к другу, образуют квадратные числа до бесконечности. Но эти гномоны постоянно убывают от наибольшего и в конце концов завершаются неделимой единицей.

[102] Это учение о невыразимых величинах, или таких, чье отношение не может быть выражено, широко и точно обсуждается Евклидом в десятой книге его «Начал»: но его изучение пренебрегается современными математиками, «потому что оно бесполезно», то есть потому что оно не способствует ничему механическому.

[103] Это предложение является 11-м во второй книге: по крайней мере, метод деления линии в крайнем и среднем отношении непосредственно выводится из него; что и делает Евклид в 30-м предложении шестой книги. Таким образом, Евклид показывает (II. 11), как разделить линию АВ (А G B) так, чтобы прямоугольник, заключенный между всей линией АВ и отрезком GB, был равен квадрату, построенному на AG: ибо когда это сделано, следует, что как АВ относится к AG, так AG относится к GB, как хорошо известно. Но это предложение, как отмечает д-р Барроу, не может быть объяснено числами; потому что нет такого числа, которое могло бы быть разделено так, чтобы произведение целого на одну часть было равно квадрату другой части.

[104] Все многоугольные фигуры, как известно, могут быть разложены на треугольники; и это не менее верно для многоугольных чисел, как показывают следующие наблюдения. Всякое число берет начало от неделимой единицы, которая соответствует точке: и оно либо линейное, соответствующее линии; либо поверхностное, которое соответствует поверхности; либо телесное, которое подражает геометрическому телу. После единицы, следовательно, первым из линейных чисел является диада; точно так же, как каждой конечной линии отведены две крайности. Триада есть первое из поверхностных чисел; как треугольник — среди геометрических фигур. А тетрада есть первое из телесных; потому что треугольная пирамида есть первое среди телесных чисел, так же как и среди телесных фигур. Как, следовательно, монада уподобляется точке, так диада — линии, триада — поверхности, а тетрада — телу. Ныне из поверхностных чисел одни суть треугольные, другие квадратные, третьи пятиугольные, шестиугольные, семиугольные и т. д. Треугольные числа порождаются из постоянного сложения чисел в естественном ряду, начиная с единицы. Так, если числа 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. постоянно прибавлять друг к другу, они образуют треугольные числа 1, 3, 6, 10, 15 и т. д.; и если каждое треугольное число прибавить к предшествующему ему числу, оно образует квадратное число. Так, 3, прибавленное к 1, дает 4; 6, прибавленное к 3, равно 9; 10, прибавленное к 6, равно 16; и так далее. Пятиугольные числа образуются из соединения треугольных и квадратных чисел следующим образом. Пусть имеется ряд треугольных чисел 1, 3, 6, 10, 15 и т. д.

А из квадратов 1, 4, 9, 16, 25 и т. д.

Тогда второе квадратное число, прибавленное к первому треугольному, даст первое пятиугольное число от единицы, т. е. 5. Третий квадрат, прибавленный ко второму треугольному числу, даст второе пятиугольное, т. е. 12; и так далее, посредством подобного сложения. Подобным же образом второе пятиугольное число, прибавленное к первому треугольному, образует первое шестиугольное число от единицы; третье пятиугольное и второе треугольное образуют второе шестиугольное и т. д. И посредством подобного процесса могут быть получены все остальные многоугольники.

[105] Интеллекции повсеместно соответствуют своим объектам и участвуют в очевидности или обратном ей, пропорционально тому, насколько ясны или темны их субъекты. Отсюда Порфирий в своих «Сентенциях» справедливо замечает, что «мы понимаем не одинаковым образом всеми силами души, но согласно частной сущности каждой. Ибо интеллектом мы понимаем интеллектуально; а душой — рационально: наше знание растений соответствует семенному понятию; наше понимание тел есть имагинативное; а наша интеллекция божественно уединенного начала вселенной, который выше всех вещей, есть неким образом превосходящая интеллектуальное восприятие и совершающаяся сверхсущностной энергией» (Аформы к умопостигаемому, 10). Так что, вследствие этого рассуждения, спекуляции геометрии наиболее истинны тогда, когда они наиболее абстрагированы от чувственно воспринимаемых и материальных природ.

[106] См. Плутарх, «Жизнь Марцелла».

[107] В кн. I «О небе», текст 22, и кн. I «Метеорологики», гл. 3. Аристотель был назван «демоническим» платоническими философами вследствие похвалы, возданной ему его учителем Платоном: «Что он был демоном природы». Действительно, его великое знание вещей, подвластных природе, вполне заслуживало этой похвалы; а эпитет «божественный» повсеместно приписывался Платону за его глубокое знание умопостигаемого мира.

[108] «Εἰς νοῦν» (к уму) отсутствует в оригинале, но восполнено превосходным переводом Бароция.

[109] «Ἀλόγων» (иррациональных) в печатном греческом тексте, что, по мнению Фабриция в его «Bibliotheca Græca», т. I, стр. 385, следует читать как «ἀναλόγων» (аналогичных); но я перевел это слово согласно переводу Бароция, который, вероятно, получил верное чтение из множества рукописей, которые он консультировал.

[110] Квадратура луночки такова.

Пусть ABC будет прямоугольным треугольником, а BAC — полукругом на диаметре BC: BNA — полукруг, описанный на диаметре AB; AMC — полукруг, описанный на диаметре AC. Тогда полукруг BAC равен полукругу BNA и AMC вместе (потому что круги относятся друг к другу как квадраты их диаметров, 31, 6). Если, следовательно, вы отнимете две общие с обеих сторон области BA, AC, то останутся две луночки BNA, AMC, ограниченные с обеих сторон круговыми линиями, равные прямоугольному треугольнику BAC. И если линия BA равна линии AC, и вы опустите перпендикуляр на гипотенузу BC, треугольник BAO будет равен луночковой области BNA, а треугольник COA будет равен луночке CMA. Любознательные могут увидеть пространный отчет о попытке Гиппократа квадратировать круг посредством изобретения луночек в комментарии Симпликия к «Физике» Аристотеля, кн. I.

[111] Так читает Бароций, но Фабриций — «Μεδμᾶιος».

[112] Т. е. пять правильных тел: пирамида, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр; о которых и об их применении к теории вселенной см. замечательную работу Кеплера «О гармонии мира».

[113] Можно сомневаться, являются ли «Оптика» и «Катоптрика», приписываемые Евклиду в изданиях его работ, подлинными: ибо Савил и д-р Грегори считают их едва ли достойными столь великого человека.

[114] Существуют два превосходных издания этой работы: одно — Мейбомия в его собрании древних авторов по гармонии, и другое — д-ра Грегори в его собрании работ Евклида.

[115] Эта работа, скорее всего, утрачена. См. «Евклида» д-ра Грегори.

[116] Все это показано Проклом в следующих комментариях; и, безусловно, это в высшей степени достойно исследования любого свободного ума; но я боюсь, что современные математики очень мало ценят такое знание, потому что оно не может быть применено к практическим и механическим целям.

[117] Эта работа, к сожалению, утрачена.

[118] Потому что это верно только для равнобедренных и равносторонних треугольников.

[119] Это следует из 32-го предложения первой книги «Начал» Евклида и доказано д-ром Барроу в его схолии к этому предложению.

[120] Метод их построения показан нашим философом в его комментарии к первому предложению, как это будет видно во втором томе этой работы.

[121] Читателю следует заметить, что определения, действительно, являются гипотезами согласно учению Платона, как можно видеть в примечании к гл. I, кн. I этой работы.

[122] В его «Последней Аналитике». См. предшествующую диссертацию.

[123] Та часть этой работы, которая заключена в скобки, отсутствует в оригинале; я восстановил ее из превосходной версии Бароция. Философствующий читатель оригинала, который, возможно, не имеет Бароция в своем распоряжении, надеюсь, будет рад видеть столь значительный пробел восполненным; особенно потому, что он содержит начало комментария к определению точки.

[124] Я не нахожу этой загадки среди дошедших до нас пифагорейских символов, так что, вероятно, она нигде не упоминается, кроме настоящей работы. И я с сожалением должен добавить, что «фигура и три обола» — слишком общий клич нынешних времен.

[125] Настоящий комментарий, как и большинство последующих, в высшей степени доказывает истинность наблюдения Кеплера в его превосходной работе «De Harmonia Mundi», стр. 118. Ибо, говоря о сочинении нашего автора в настоящей работе, которое он повсюду восхваляет и защищает, он замечает следующее: «oratio fluit ipsi torrentis instar, ripas inundans, et cæca dubitationum vada gurgitesque occultans, dum mens plena majestatis tantarum rerum, luctatur in angustiis linguæ, et conclusio nunquam sibi ipsi verborum copiâ satisfaciens, propositionum simplicitatem excedit» (речь его течет подобно потоку, затопляя берега и скрывая слепые броды и пучины сомнений, в то время как ум, полный величия столь великих вещей, борется в теснинах языка, и заключение, никогда не удовлетворяясь обилием слов, превосходит простоту предложений). Но Кеплер был искушен в платонической философии и, по-видимому, был не менее знаком с великой глубиной ума нашего автора, чем с великолепием и возвышенностью его языка. Возможно, Кеплер — единственный пример среди современников, когда философский и математический гений были соединены в одном лице.

[126] То есть разум треугольной фигуры (например) в фантазии, или сам треугольник, превосходит треугольную природу, причастную этой фигуре.

[127] В десятой книге его «Государства».

[128] См. «Гимн Матери богов» в моем переводе «Орфических посвящений».

[129] Философ здесь, по-видимому, противоречит тому, что он утверждает в конце своего комментария к 13-му определению: ибо там он утверждает, что круг есть некое плоское пространство. Возможно, их можно примирить, если учесть, что, поскольку круг существует наиболее согласно пределу, когда мы созерцаем его сущность в этом отношении, мы можем определить его согласно окружности, которая является причиной его предела. Но когда мы рассматриваем его как причастный также бесконечности, хотя и не в столь выдающейся степени, и рассматриваем его как исходящий из центра, так и в его возвращениях, мы можем определить его как плоское пространство.

[130] То есть сущностное единое души есть мать числа; но то, что существует в мнении, есть не что иное, как вместилище первого; точно так же, как материя есть седалище всех форм. О дальнейшем изложении существования чисел см. первый раздел предшествующей диссертации.

[131] То есть число, составленное из единиц.

[132] Это предложение в скобках полностью опущено в печатном греческом тексте.

[133] В I «О небе».

[134] Это предложение в скобках, которое очень несовершенно в греческом тексте, я восполнил из превосходного перевода Бароция. В греческом тексте нет ничего, кроме «λὲγω δὲ ἑνὸν τῂν γραμμὴν δυαδός πρὸς τὸ στερεόν».

[135] В греческом тексте: «γὰρ ἡ μονὰς ἐκεῖ πρῶτον, ὅπου πατρικὴ μονάς ἐστι φησὶ τὸ λόγιον». Только последняя часть этого оракула находится во всех печатных изданиях зороастрийских оракулов; хотя удивительно, как это упущение могло ускользнуть от внимания столь многих способных критиков и ученых мужей. Из этого кажется вероятным, что он находится в совершенном виде только в настоящей работе.

[136] Слово «τανάη» опущено в греческом тексте.

[137] Эта и следующие задачи являются 1-м, 22-м и 12-м предложениями первой книги. Но в двух последних, вместо слова «ἄπειρος» или «бесконечный», которое является термином, используемым Евклидом, г-н Симсон в своем издании «Начал» использует слово «неограниченный». Но для этого великого геометра не является необычным изменять слова Евклида, когда они несут философский смысл; как мы ясно покажем в ходе этих комментариев. Он, безусловно, заслуживает величайшей похвалы за свою ревностную привязанность к древней геометрии: но он (по моему мнению) заслуживал бы еще большего, если бы был знаком с греческой философией и постиг глубину Прокла; ибо тогда он никогда не попытался бы восстановить «Начала» Евклида, лишив их некоторых весьма значительных красот.

[138] Это, несомненно, причина, по которой отношение между прямой и круговой линией не может быть точно получено в числах; ибо согласно этой гипотезе они должны быть несоизмеримыми величинами; потому что одна содержит свойство, существенно отличное от другого.

[139]

Роговидный угол — это тот, который образован периферией круга и его касательной; то есть угол, охватываемый дугой LA и прямой линией FA, который Евклид в (III. 16) доказывает как меньший любого прямолинейного угла. И из этого замечательного предложения следует по законному выводу, что любая величина может быть постоянно и бесконечно увеличиваема, но другая — бесконечно уменьшаема; и все же приращение первой, как бы велико оно ни было, всегда будет меньше убыли второй: что Кардано доказывает следующим образом. Пусть предложен угол касания BAE и острый угол HGI. Теперь, если будут описаны другие меньшие круги AC, AD, угол касания будет очевидно увеличен. И если между прямыми линиями GH, GI упадут другие прямые линии GK, GL, острый угол будет постоянно уменьшаться: все же угол касания, как бы он ни был увеличен, всегда меньше острого угла, как бы он ни был уменьшен. Сэр Исаак Ньютон также отмечает в своем «Трактате о флюксиях», что существуют углы касания, образованные другими кривыми линиями и их касательными, бесконечно меньшие, чем те, что образованы кругом и прямой линией; все это доказуемо верно: все же такова сила предрассудка, что г-н Симсон придерживается мнения, вместе с Виетой, что эта часть 16-го предложения фальсифицирована; и что пространство, образованное круговой линией и ее касательной, не является углом. По крайней мере, его слова в примечании к этому предложению допускают такое толкование. Пелетье был того же мнения; но он был тщательно опровергнут превосходным Клавием, как можно видеть в его комментарии к этому предложению. Но все трудности и парадоксы в этом деле могут быть легко решены и допущены, если мы рассмотрим вместе с нашим философом, что сущность угла не заключается ни в величине, ни в качестве, ни в наклоне, взятых по отдельности, а в совокупности их всех. Ибо если мы рассмотрим наклон круговой линии к ее касательной, мы обнаружим, что она обладает свойством, по которому Евклид определяет угол: если мы будем уважать ее участие в величине, мы обнаружим, что она способна к увеличению и уменьшению; и если мы будем рассматривать ее как обладающую особым качеством, мы объясним ее несоизмеримость с каждым прямолинейным углом. См. комментарий к 8-му определению.

[140] В I «О небе».

[141] Именно из этой цилиндрической спирали образуется винт.

[142]

Настоящий весьма темный пассаж может быть объяснен следующим рисунком. Пусть ABC будет прямым углом, а DE — линией, которую нужно переместить, которая разделена пополам в G. Теперь представьте, что она перемещается вдоль линий AB, BC таким образом, что точка D всегда остается на AB, а точка E — на BC. Тогда, когда линия DE находится в положениях d e, δ ε, точка G будет в g, γ, и эти точки G, g, γ будут находиться на круге. И любая другая точка F на линии DE будет в то же время описывать эллипс; большая ось будет на линии AB, когда точка F находится между D и G; и на линии BC, когда точка F находится между G и E.

[143] То есть душа мира.

[144] В «Тимее».

[145] Эллипс.

[146] Циссоида. О свойствах этой кривой см. трактат д-ра Валлиса о циклоиде, стр. 81.

[147] Конхоида.

[148] Таким образом, прямая линия, рассматриваемая как сторона параллелограмма, движущаяся кругообразно, порождает цилиндрическую поверхность: при движении кругообразно, как сторона треугольника, — коническую поверхность; и так в других линиях, порожденные поверхности варьируются согласно различным положениям их порождающих линий.

[149] Во II «О государстве».

[150] Во многих местах.

[151] Это определение совпадает с тем, которое г-н Симсон принял вместо евклидова, выраженное другими словами: ибо он говорит: «плоская поверхность есть та, в которой, если взять любые две точки, прямая линия между ними лежит целиком в этой поверхности». Но он не упоминает, кому он был обязан этим определением; и это, несомненно, потому, что он считал, что «не стоит пересказывать пустяки Прокла полностью»: ибо это его собственные слова в примечании к предложению 7, кн. I. Не сообщил он нам и о том, в каком отношении определение Евклида «неясно».

[152] В греческом тексте «ἐννοιὰς» (понятия), но, несомненно, следует читать «εἰκόνας» (образы), как в переводе Бароция.

[153] Г-н Симсон в своем примечании к этому определению предполагает, что оно является добавлением какого-то менее искусного редактора; по каковой причине, и потому что оно совершенно бесполезно (по его мнению), он выделяет его из остальных перевернутыми двойными кавычками. Но, безусловно, странно, что определение угла вообще должно считаться бесполезным и работой неискусного геометра. Такое утверждение может, действительно, быть очень подходящим для профессора экспериментальной философии, который считает полезное неотделимым от практики; но оно отнюдь не подобает восстановителю свободной геометрии древних. Кроме того, г-н Симсон, по-видимому, постоянно забывает, что Евклид принадлежал к платонической секте; и, следовательно, был философом, а не только математиком. Я лишь добавлю, что комментарий к настоящему определению, по моему мнению, удивительно тонок и точен и вполне заслуживает глубокого внимания величайших геометров.

[154] Для философского обсуждения природы качества и количества обратитесь к комментариям Аммония и Симпликия к «Категориям» Аристотеля, Плотина о родах сущего и «Философским построениям» г-на Харриса.