[155] То есть эллипс.
[156] То есть они либо прямые, либо острые, либо тупые.
[157] Этот оракул не упоминается никем из собирателей зороастрийских оракулов.
[158] Это, действительно, всегда должно быть так с теми геометрами, которые не являются одновременно философами; соединение не менее ценное, чем редкое. Отсюда, из-за их незнания принципов и интеллектуальных забот, когда предлагается какое-либо созерцательное исследование, они немедленно спрашивают, в чем состоит его полезность; считая все излишним, что не способствует решению какой-либо практической задачи.
[159] О нисхождении души в тело см. кн. IV, Эннеада IX Плотина; а о методе, посредством которого она может снова вернуться к своему первоначальному блаженству, изучите первую книгу трактата Порфирия «Об воздержании».
[160] Это определение также отмечено г-ном Симсоном перевернутыми кавычками как символ того, что оно интерполировано. Но по какой причине — не знаю, разве что потому, что оно бесполезно, то есть потому, что оно философское!
[161] То есть различные виды форм, которыми преисполнены четыре элемента.
[162] То есть круг.
[163] Поклонник современников и их занятий, несомненно, сочтет все это пережитками языческого суеверия и невежества; и подумает, быть может, что он делает великую уступку, допуская существование одного верховного бога, не признавая множества божеств, подчиненных первому. О том, что древние могут привести в защиту этого устаревшего мнения, я должен просить позволения отослать читателя к диссертации, предпосланной моему переводу Орфея; в дополнение к которой пусть он обратит внимание на следующие соображения. Возможно ли, чтобы машинерия богов у Гомера была столь прекрасной, если бы таких существ не существовало? Или может ли быть прекрасным что-либо, лишенное всякой реальности? Разве вещи не нравятся повсеместно пропорционально тому, насколько они напоминают реальность? Возможно, ответят, что верно обратное, и что вымысел нравится более, чем истина, как это очевидно из великой алчности, с которой читаются романы. На это я отвечу, что сам вымысел перестает быть приятным, когда он предполагает абсолютные невозможности: ибо существование гениев и фей нельзя доказать как невозможное; а они составляют все чудесное в романе. Это наблюдение подтверждается в «Королеве фей» Спенсера: ибо его аллегории, в которых олицетворены страсти, утомительны и неприятны, потому что они не замаскированы под видимость реальности: в то время как магия Цирцеи, беседка Калипсо, скалы Сциллы и Харибды и мелодия Сирен в «Одиссее» Гомера, хотя и являются лишь аллегориями, повсеместно очаровывают и восхищают, потому что они покрыты подобием истины. Именно по этой причине битвы Мильтона на небесах варварски и смехотворны в высшей степени; ибо каждый видит невозможность предположения пороха и пушек в небесных регионах: машинерия натянута и неестественна, не содержит никакой изящности фантазии и не преисполнена никакой мистической информацией. Напротив, машинерия Гомера естественна и возможна, полна достоинства и изящества и чревата возвышеннейшими истинами; она восхищает и облагораживает ум читателя, поражает его своим великолепием и уместностью и воодушевляет его яростью поэтического вдохновения. И это потому, что она возможна и истинна.
[164] Предложение в скобках опущено в греческом тексте.
[165] То есть круговая форма происходит от «предела», а прямолинейные фигуры — от «бесконечности».
[166] То есть число три.
[167] В «Тимее».
[168] «πρὸς ὃ», или «к которому», отсутствует в оригинале и во всех опубликованных собраниях зороастрийских оракулов.
[169] То есть Юпитер, который называется триадическим, потому что он происходит от Сатурна и Реи; и потому что его правление разделяют Нептун и Плутон, ибо каждый из них называется Юпитером у Орфея.
[170] Это предложение в скобках опущено в печатном греческом тексте.
[171]
Рис. I. Рис. II.
Таким образом, пусть часть AEB, отсеченная диаметром AB (рис. I) круга AEBD, будет наложена на другую часть ADB, как на рис. II. Тогда, если она не равна другой части, либо AEB попадет внутрь ADB, либо ADB внутрь AEB: но в любом случае CE будет равно CD, что абсурдно.
[172] Это возражение выдвигается Филопоном в его книге против Прокла о вечности мира; но, по моему мнению, без всякого успеха. См. также Симпликия в его третьем отступлении против Филопона в его комментарии к 8-й книге «Физики» Аристотеля.
[173] Это определение нигде не существует, кроме как в комментариях Прокла. Вместо него почти во всех печатных изданиях Евклида подставлено следующее: «Сегмент круга есть фигура, содержащаяся между диаметром и частью окружности, отсеченной диаметром». Это г-н Симсон отметил запятыми как символ того, что оно интерполировано: но он не обратил внимания на другое чтение в комментариях Прокла. И что еще более примечательно, это изменение не замечено ни одним редактором «Начал» Евклида, ни древним, ни современным.
[174] Как в каждой гиперболе.
[175] Платонический читатель, несомненно, должен быть рад узнать, что Евклид был глубоко искушен в философии Платона, как повсюду доказывает Прокл. Действительно, великая точность и изящное распределение этих «Начал» достаточно доказывают истинность этого утверждения. И это немаловажное свидетельство в пользу платонической философии, что ее помощь позволила Евклиду создать столь замечательную работу.
[176] Относительно этих корон, или кольцевых пространств, обратитесь к великой работе того весьма тонкого и изящного математика Такке, озаглавленной «Cylindrica et Annularia».
[177] В предшествующем десятом комментарии.
[178] Это вследствие того, что каждый треугольник обладает углами, в сумме равными двум прямым.
[179] Это также следует из той же причины, что и выше.
[180] Таким образом, следующая фигура ABDC имеет четыре стороны, но только три угла.
[181] Греческий текст в этом месте очень ошибочен, я восстановил его из версии Бароция.
[182] Ибо греческое слово «ῥόμβος» происходит от глагола «ῥέμβω», который означает иметь круговое движение.
[183] См. Орфические гимны Ономакрита этим божествам; мой перевод которых я должен рекомендовать английскому читателю, потому что другого нет.
[184] Эти двенадцать божеств, во главе которых стоит Юпитер, суть: Юпитер, Нептун, Вулкан, Веста, Минерва, Марс, Церера, Юнона, Диана, Меркурий, Венера и Аполлон. Первая триада из них — демиургическая, вторая охватывает богов-хранителей, третья — животворящая, или зоогоническая, а четвертая содержит возвышающих богов. Но для частного теологического отчета об этих божествах изучите Прокла «О теологии Платона», и вы найдете их природу раскрытой на стр. 403 этой замечательной работы.
[185] Ибо легко представить цилиндрическую спираль, описанную вокруг прямой линии так, чтобы сохранять равное расстояние от нее в каждой части; и в этом случае спираль и прямая линия никогда не совпадут, даже если их бесконечно продолжить.
[186]
Поскольку конхоида — кривая, малоизвестная, я добавил следующий отчет о ее порождении и главном свойстве. В любой данной прямой линии AP назовите P полюсом, A — вершиной, а любую промежуточную точку C — центром конхоиды: также представьте бесконечную прямую линию CH, которая называется правилом, перпендикулярную AP. Тогда, если прямая линия Ap, продолженная в p настолько, насколько необходимо, мыслится как повернутая вокруг неподвижного полюса p так, что точка C может постоянно оставаться на прямой линии CH, точка A опишет кривую Ao, которую древние называли конхоидой.
В этой кривой очевидно (из-за того, что прямая линия PO пересекает правило в H), что точка o никогда не достигнет правила CH; но поскольку hO постоянно равно CA, а угол сечения постоянно более острый, расстояние точки O от CH в конце концов будет меньше любого данного расстояния, и, следовательно, прямая линия CH будет асимптотой к кривой AO.
Когда полюс находится в P так, что PC равно CA, конхоида AO, описанная вращением PA, называется первичной конхоидой, а те, что описаны из полюсов p и π, или кривые A o, A ω — вторичными конхоидами; и они либо сжаты, либо растянуты, в зависимости от того, больше или меньше эксцентриситет PC, чем порождающий радиус CA, который называется высотой кривой.
Теперь, из природы конхоиды можно легко вывести, что не только внешняя конхоида A ω никогда не совпадет с прямой линией CH, но это также верно для конхоид AO, Ao; и путем бесконечного продолжения прямой линии A π может быть описано бесконечное число конхоид между внешней конхоидой A ω и линией CH, ни одна из которых никогда не совпадет с асимптотой CH. И это парадоксальное свойство конхоиды, которое не было замечено ни одним математиком, является законным следствием бесконечной делимости величины. Не то, чтобы величина допускала актуальное деление до бесконечности, ибо это абсурдно и невозможно; но она наделена неутомимой способностью к делению и силой быть рассеянной во множество, которое никогда не может быть исчерпано. И эта бесконечная способность, которой она обладает, возникает из ее участия в неопределенной диаде; источнике безграничного рассеяния и бесчисленного множества.
Но это исключительное свойство не ограничивается конхоидой, но встречается в следующей кривой. Представьте, что прямая линия AC, которая перпендикулярна неопределенной линии XY, равна квадрантной дуге HD, описанной из центра C радиусом CD: затем из того же центра C, с различными расстояниями CE, CF, CG, опишите дуги El, Fn, Gp, каждая из которых должна мыслиться равной первой дуге HD, и так далее до бесконечности. Теперь, если точки H, k, l, n, p будут соединены, они образуют кривую линию, приближающуюся постоянно ближе к прямой линии AB (параллельной CY), но никогда не достигающую полного совпадения. Это будет очевидно из рассмотрения того, что каждый из синусов дуг HD, lE, nF и т. д., будучи меньше своей соответствующей дуги, должен также быть меньше прямой линии AC и, следовательно, никогда не может совпасть с прямой линией AB.
Но если предположить другие дуги Di, Em, Fo и т. д., каждая из которых равна прямой линии AC и описана из одного центра, касательные к прежним дугам HD, lE, nF и т. д.; очевидно, что точки H, i, m, o и т. д., будучи соединены, образуют кривую линию, которая пройдет за пределы прежней кривой и сойдется еще ближе к линии AB, без возможности когда-либо стать совпадающей: ибо поскольку дуги Di, Em, Fo и т. д. имеют меньшую кривизну, чем прежние дуги, но равны им по длине, очевидно, что они будут стягиваться более длинными линиями и все же никогда не смогут коснуться прямой линии AB. Подобным же образом, если другие касательные дуги будут проведены к прежним, и так далее до бесконечности, с теми же условиями, будет образовано бесконечное число кривых линий, каждая из которых пройдет между Hp и AB и будет постоянно расходиться от последней, без возможности когда-либо совпасть с прежней. Эту кривую, которую я изобрел несколько лет назад, я подозреваю, является параболой; но у меня еще не было возможности определить это с уверенностью.
Примечания транскриптора: 1. Очевидные опечатки, ошибки пунктуации и правописания исправлены молчаливо. 2. Там, где дефисы сомнительны, они сохранены как в оригинале. 3. Некоторые дефисные и недефисные версии одних и тех же слов сохранены как в оригинале. 4. Опечатки исправлены молчаливо.