«Философские и математические комментарии Прокла к первой книге «Начал» Евклида»

ГЛАВА III.

О том, откуда берет начало вся Геометрия, как далеко она простирается и в чем состоит ее польза.

Но, начиная еще выше, давайте созерцать всю геометрию: откуда она возникла и как далеко простирается в своих энергиях, ибо так мы должным образом постигнем то украшение, которое она в себе содержит. В самом деле, необходимо понимать, что она распространяется через всеобщность вещей, что она приспосабливает свои умозрения ко всем существам и содержит в себе формы всех вещей; что, согласно своей высшей части, наделенной высочайшей силой разума, она обозревает истинно сущее и посредством образов учит свойствам божественных украшений и силам умопостигаемых форм, ибо она содержит основания и для них в своих особых созерцаниях. И она показывает, какие фигуры приличествуют богу, первичным сущностям и природам душ. Но согласно своим средним познаниям она развертывает мыслительные основания, объясняет и созерцает разнообразие, которое они содержат, являет их бытие и присущие им страсти, а также их общности и различия. Исходя из этого, она, конечно, охватывает в определенных границах имагинативные образования фигур и сводит их к сущностной субстанции оснований. Но согласно третьим распространениям мыслительного интеллекта она рассматривает природу и излагает способ, которым формы чувственно воспринимаемых элементов и содержащиеся в них силы предварительно принимаются согласно причине в самих основаниях. Ибо она обладает образами всеобщих умопостигаемых родов, но прообразами тех, что являются чувственно воспринимаемыми, и завершает свою собственную сущность согласно таким вещам, которые подлежат мышлению. И через них, как через надлежащие посредники, она восходит и нисходит к тем всеобщим, которые истинно суть, и к чувственным формам, находящимся в состоянии вечного становления. Но всегда геометрически философствуя о вещах, которые суть, она охватывает во всех пропорциях добродетелей образы интеллектуальных, одушевленных и природных забот. И она упорядоченным образом излагает все украшения республик и являет в себе их различные мутации. Таковы, стало быть, ее энергии, возникающие из некой нематериальной силы познания; но когда она касается материи, она производит из себя множество наук, таких как геодезия, механика и перспектива, посредством которых она доставляет величайшую пользу жизни смертных. Ибо она строит с помощью этих наук военные орудия и оплоты городов, и делает известными окружности гор и расположение мест. Наконец, она наставляет нас в мерах: в одно время — разнообразных путей земли, а в другое — беспокойных путей пучины. Добавьте также, что она строит весы и безмены, посредством которых она воздает городам верное равенство согласно неизменному стандарту числа. Точно так же она ясно выражает посредством образов порядок всего земного шара и посредством них являет многие вещи, невероятные для человечества, и делает их достоверными для всех. Таковы, в самом деле, те слова, которые, как сообщается, Гиерон Сиракузский сказал об Архимеде, когда тот изготовил корабль, оснащенный тремя парусами, который он приготовил для отправки Птолемею, царю Египта. Ибо когда все сиракузяне вместе не могли сдвинуть этот корабль, Архимед позволил Гиерону сдвинуть его самому, без какой-либо помощи со стороны других. Но тот, будучи поражен, сказал: «С сего дня Архимеду будут верить во всем, что бы он ни утвердил». Также сообщают, что Гелон сказал то же самое, когда Архимед обнаружил вес различных материалов, из которых была составлена его корона, не разрушая их соединения. И таковы те повествования, которые многие из древних передали нашей памяти, желая высказаться в похвалу математики; и по этой причине мы представили читателю в настоящее время несколько из многих, как не чуждые нашему замыслу показать знание и пользу геометрии.

ГЛАВА IV.

О происхождении геометрии и ее изобретателях.

Но давайте теперь объясним происхождение геометрии, как существующей в нынешнюю эпоху мира. Ибо божественный Аристотель замечает, что одни и те же мнения часто существуют среди людей согласно определенным упорядоченным революциям мира, и что науки не получили свое первое устроение в наши времена, ни в те периоды, которые известны нам из исторической традиции, но появлялись и исчезали вновь в других революциях вселенной; и невозможно сказать, как часто это случалось в прошлые века и будет происходить вновь в будущих обращениях времени. Но поскольку происхождение искусств и наук следует рассматривать согласно нынешней революции вселенной, мы должны утверждать, в соответствии с самой общей традицией, что геометрия была впервые изобретена египтянами, ведя свое начало от измерения их полей, поскольку это, в самом деле, было необходимо им из-за разлива Нила, смывающего границы земли, принадлежащей каждому. И не должно казаться удивительным, что изобретение этой, как и других наук, должно получить свое начало от удобства и случая. Поскольку все, что переносится в круге становления, исходит от несовершенного к совершенному. Переход, следовательно, не без основания совершается от чувства к размышлению, а от него — к более благородным энергиям интеллекта. Отсюда, как достоверное знание чисел получило свое начало среди финикийцев из-за торговли и коммерции, так и геометрия была найдена среди египтян из распределения земли. Когда Фалес, следовательно, впервые отправился в Египет, он перенес это знание оттуда в Грецию; и он изобрел многое сам, и сообщил своим преемникам принципы многого. Некоторые из них были, в самом деле, более всеобщими, но другие простирались до чувственно воспринимаемого. После него Америст, брат поэта Стесихора, прославляется как тот, кто коснулся и вкусил занятия геометрией, и о ком упоминает Гиппий Элидский как о восстановителе славы геометрии. Но после них Пифагор изменил ту философию, которая занимается самой геометрией, в форму свободной доктрины, рассматривая ее принципы более возвышенным образом и исследуя ее теоремы нематериально и интеллектуально; он также изобрел трактат о таких вещах, которые не могут быть объяснены в геометрии, и открыл устроение мирских фигур. После него последовал Анаксагор Клазоменский, который предпринял многое, относящееся к геометрии. И Энопид Хиосский был несколько моложе Анаксагора, и о нем Платон упоминает в своих «Соперниках» как о том, кто обрел математическую славу. За ними последовал Гиппократ Хиосский, который изобрел квадратуру луночки, и Феодор Киренский, оба они выдающиеся в геометрическом знании. Ибо первый из них, Гиппократ, составил геометрические начала; но Платон, который был позже них, заставил как саму геометрию, так и другие математические дисциплины получить замечательное приращение из-за великого усердия, которое он приложил к их исследованию. Это он сам являет, и его книги, исполненные математических рассуждений, доказывают; к чему мы можем добавить, что он повсюду возбуждает все, что в них есть удивительного, и распространяет на философию. Но в его время также жили Леодамант Фасосский, Архит Тарентский и Теэтет Афинский, которыми теоремы были приумножены и продвинуты к более искусной конституции. Но Неоклид был моложе Леодаманта, и его учеником был Леон, который добавил многое к тому, что было задумано прежними геометрами. Так что Леон также построил начала более точные, как из-за их множества, так и из-за пользы, которую они являют; и помимо этого он открыл метод определения того, когда задача, исследование которой ищется, возможна, а когда невозможна. Но Евдокс Книдский, который был несколько моложе Леона и спутником Платона, прежде всего сделал множество тех теорем, которые называются всеобщими, более обильным; и к трем пропорциям добавил три другие; и вещи, относящиеся к сечению, которые получили свое начало от Платона, он распространил в более богатое множество, используя также разрешения в преследовании их. Снова, Амикл Гераклейский, один из приближенных Платона, и Менехм, ученик Евдокса, но общавшийся с Платоном, и его брат Динострат сделали всю геометрию еще более совершенной. Но Тевдий Магнийский, по-видимому, преуспел как в математических дисциплинах, так и в остальной философии. Ибо он построил начала превосходно и сделал многие частности более всеобщими. Кроме того, Кизикин Афинский процветал в тот же период и стал знаменит в других математических дисциплинах, но особенно в геометрии. Они, следовательно, по очереди прибегали к Академии и занимались предложением общих вопросов. Но Гермотим Колофонский сделал более обильным то, что было ранее опубликовано Евдоксом и Теэтетом, и изобрел множество начал, и писал о некоторых геометрических местах. Но Филипп Мендийский, ученик Платона и им воспламененный в математических дисциплинах, как составлял вопросы согласно установлениям Платона, так и предлагал в качестве объекта своего исследования все, что, по его мнению, способствовало платоновской философии. И до сих пор историки доводят совершенство этой науки. Но Евклид был не намного моложе них, который собрал начала и построил многие из тех вещей, которые были изобретены Евдоксом; и усовершенствовал многие, которые были открыты Теэтетом. Кроме того, он свел к неопровержимым доказательствам такие вещи, которые были представлены другими более слабой рукой. Но он жил во времена первого Птолемея: ибо Архимед упоминает Евклида в своей первой книге, а также в других. Кроме того, они рассказывают, что Евклид был спрошен Птолемеем, есть ли какой-либо более короткий путь к достижению геометрии, чем через его элементарное наставление, и что он ответил, что нет другого царского пути, который вел бы к геометрии. Евклид, следовательно, был моложе приближенных Платона, но древнее Эратосфена и Архимеда (ибо они жили в одно и то же время, согласно традиции Эратосфена), но он был из платоновской секты и знаком с ее философией; и отсюда он назначил устроение тех фигур, которые называются платоновскими, в качестве цели своих элементарных наставлений.

ГЛАВА V.

Какие математические тома составил Евклид.

Существует, следовательно, много других математических томов этого мужа, полных удивительного усердия и искусного рассмотрения: ибо таковы его «Оптика» и «Катоптрика»; и таковы также его элементарные наставления, которые способствуют достижению музыки; и его книга о делениях. Но его геометрическое наставление «Начал» особенно достойно восхищения из-за порядка и выбора тех теорем и задач, которые распределены по «Началам». Ибо он не предполагает все, что могло бы быть сказано, но только то, что могло быть изложено в элементарном порядке. Помимо этого, он являет способы силлогизмов всякого рода; некоторые, в самом деле, получающие достоверность от причин, но другие, исходящие из определенных знаков; но все они неопровержимы и верны, и приспособлены к науке. Но помимо них он использует все диалектические пути, разделяя, в самом деле, в изобретениях форм, но определяя в сущностных основаниях; и снова, доказывая в прогрессиях от принципов к искомым вещам, но разрешая в возвращениях от искомых вещей к принципам. Помимо этого, мы можем видеть в его геометрических началах различные виды обращений, как простых, так и более сложных. И снова, какие целые могут быть обращены с целыми: какие целые с частями; и, с другой стороны, какие как части с частями. Помимо этого, мы должны сказать, что в продолжении изобретений, в расположении и порядке вещей предшествующих и последующих, и в силе, с которой он трактует каждую частности, он не обманывается, как если бы падал из науки и переносился к ее противоположности, лжи и невежеству. Но поскольку мы можем вообразить многие вещи как приверженные истине, и которые являются следствиями принципов, производящих науку, которые тем не менее стремятся к тому заблуждению, которое проистекает из принципов и которое обманывает более грубые умы, он также изложил методы проницательной благоразумия, принадлежащие им. Обладая которыми, мы можем упражнять тех в изобретении заблуждений, кто предпринимает этот осмотр, и можем сохранить себя от всякого обмана. И эта книга, посредством которой он доставляет нам эту подготовку, надписана «Псевдарии», или «О заблуждениях». Потому что он перечисляет по порядку их различные способы и в каждом упражняет наше мышление различными теоремами. И он сравнивает истину с ложью и адаптирует опровержение обмана к самому опыту. Эта книга, следовательно, содержит очистительную и упражняющую силу. Но наставление его элементарного, искусного созерцания геометрических забот обладает неопровержимым и совершенным повествованием.

ГЛАВА VI.

О смысле геометрии.

Но, возможно, кто-то может спросить, в чем состоит замысел этого трактата? На это я отвечу, что его замысел следует различать как согласно объектам исследования, так и согласно обучающемуся. И, в самом деле, касательно предмета, мы должны утверждать, что все рассуждение геометрии касается мирских фигур. Потому что она начинается с таких вещей, которые просты, но заканчивается разнообразием их устроения. И, в самом деле, она составляет каждую из них отдельно, но в то же время излагает их вписания в сферу и пропорции, которые они содержат. По какой причине некоторые думали, что замысел каждой из книг должен быть отнесен к миру; и они передали нашей памяти ту пользу, которую они доставляют нам в созерцании вселенной. Но различая замысел в отношении обучающегося, мы должны утверждать, что его цель — это наставление начал; и совершенствование мыслительных способностей обучающихся во всеобщей геометрии. Ибо, начиная с них, мы получаем возможность понимать другие части этой науки и охватывать разнообразие, которое они содержат. И, в самом деле, без них дисциплина остальных для нас невозможна и непостижима. Ибо такие теоремы, которые являются наиболее главными и простыми и наиболее близки к первым предпосылкам, здесь собраны в подобающем порядке. И доказательства других математиков используют их как наиболее известные и продвигаются от них в своих наиболее сложных прогрессиях. Ибо так Архимед в том, что он написал о сфере и цилиндре, и Аполлоний, и остальные математики используют как очевидные принципы вещи, представленные в этом трактате. Его цель, следовательно, — это наставление обучающихся во всей геометрической науке и изложение определенных устроений мирских фигур.

ГЛАВА VII.

Откуда произошло название элементарного наставления и почему Евклид называется наставником начал.

Но что дало начало названию элементарного наставления и самого элемента, из которого было выведено элементарное наставление? На это мы ответим, заметив, что из теорем одни обычно называются началами, другие — элементарными, а третьи, опять же, определяются сверх силы этих. Следовательно, начало — это то, чье рассмотрение переходит к науке о других вещах и из которого мы извлекаем решение сомнений, присущих конкретной науке, которую мы исследуем. Ибо как существуют определенные первые принципы речи, наиболее простые и неделимые, которые мы называем элементами и из которых составлено все рассуждение; так существуют определенные главные теоремы всей геометрии, называемые началами, которые имеют отношение принципов к следующим теоремам; которые касаются всех последующих предложений и доставляют доказательства многих акциденций, существенных для предметов геометрического умозрения. Но вещи элементарные — это такие, которые распространяют себя на множество предложений и обладают определенной простотой и сладостью, однако не имеют того же достоинства, что и начала; потому что их созерцание не является общим для всей науки, к которой они принадлежат, как это имеет место в следующей теореме: что в треугольниках перпендикуляры, проведенные из их углов к их сторонам, совпадают в одной точке. Наконец, все, что не обладает ни знанием, распространенным на множество, ни являет ничего искусного и элегантного, падает за пределы элементарной силы. Снова, начало, как говорит Менехм, может иметь двоякое определение. Ибо то, что подтверждает, является началом того, что подтверждается; как первое предложение Евклида по отношению ко второму, и четвертое по отношению к пятому. И так, в самом деле, многие вещи могут взаимно называться началами одна другой; ибо они взаимно подтверждаются. Так, потому что внешние углы прямолинейных фигур равны четырем прямым углам, множество внутренних равно прямым углам; и, напротив, что из этого являет. Кроме того, начало иначе называется то, во что, поскольку оно более простое, разрешается сложное. Но следует заметить, что каждое начало не может быть названо началом каждой вещи: но такие, которые являются более главными, суть начала таких, которые устроены в разуме совершаемой вещи; как петиции являются началами теорем. И согласно этому значению начала построены начала Евклида. Некоторые, в самом деле, той геометрии, которая занимается плоскостями; но другие — стереометрии. Таким же образом, точно так же в арифметике и астрономии многие составили элементарные наставления. Но трудно в каждой науке выбрать и удобно упорядочить начала, из которых происходят все особенности этой науки и в которые они могут быть разрешены. И среди тех, кто предпринял это занятие, некоторые смогли собрать больше, а другие — меньше начал. И некоторые, в самом деле, использовали более короткие доказательства; но другие распространили свой трактат до бесконечной длины. И некоторые опустили метод через невозможность; но другие — тот, что через пропорцию; и другие, опять же, предприняли приготовления против аргументов, разрушающих принципы. Так что многие методы элементарного наставления были изобретены отдельными писателями по этому предмету. Но требуется, чтобы этот трактат полностью удалил все лишнее, потому что оно является препятствием для науки. Но все должно быть выбрано, что содержит и заключает предложенную вещь; ибо это наиболее удобно и полезно в науке. Величайшее внимание, точно так же, должно быть уделено ясности и краткости; ибо противоположности им смущают наше мышление. Наконец, он должен оправдать для себя всеобщее охватывание теорем в их надлежащих границах: ибо такие вещи, которые делят обучение на отдельные фрагменты, производят непостижимое знание. Но во всех этих способах любой может легко найти, что элементарное наставление Евклида превосходит наставления других. Ибо его польза, в самом деле, особенно способствует созерцанию первичных фигур; но переход от вещей более простых к таким, которые более разнообразны, а также то восприятие, которое от аксиом обладает началом знания, производит ясность и упорядоченную традицию; и миграция от первых и главных теорем к объектам исследования осуществляет всеобщность доказательства. Ибо все, что он, кажется, опускает, может быть либо известно теми же путями, как построение разностороннего и равнобедренного треугольника; или потому, что они трудны и способны к бесконечному разнообразию, они далеки от выбора начал, такие как доктрина возмущенных пропорций, которую Аполлоний обильно обработал; или, наконец, потому, что они могут быть легко построены из вещей изложенных, как из причин, такие как многие виды углов и линий. Ибо они, в самом деле, были опущены Евклидом, и о них широко рассуждают другие, и они известны из простых предложений. И так много касательно всеобщего элементарного наставления геометрии.

ГЛАВА VIII.

О порядке геометрических рассуждений.

Но давайте теперь объясним всеобщий порядок рассуждений, содержащихся в геометрии. Поскольку тогда мы утверждаем, что эта наука состоит из гипотезы и доказывает свои последующие предложения из определенных принципов (ибо одна наука только, я имею в виду первую философию, без предположения, но все остальные принимают свои принципы из нее), необходимо, чтобы тот, кто строит геометрическое наставление начал, отдельно излагал принципы науки, и отдельно — выводы, которые проистекают из этих принципов; и чтобы он не давал никакого основания касательно природы или истины принципов, но подтверждал основаниями вещи, следующие из этих геометрических принципов. Ибо никакая наука не доказывает свои собственные принципы, ни рассуждает о них; но доставляет себе веру в их реальность, и они становятся более очевидными для конкретной науки, к которой они принадлежат, чем вещи, производные от них как их источник. И эти, в самом деле, наука знает сами по себе; но их следствия — через посредство этих. Ибо так, также, естественный философ распространяет свои основания из определенного принципа, предполагая существование движения. Так же — врач, и тот, кто искусен в любой из других наук и искусств. Ибо если кто-то смешивает принципы и вещи, вытекающие из принципов, в одно и то же, он нарушает весь порядок знания и склеивает вещи, которые никогда не могут взаимно согласиться; поскольку принцип и его эманирующее следствие естественно отличны друг от друга. В первую очередь, следовательно (как я сказал), принципы в геометрическом наставлении должны быть отделены от их следствий, что выполняется Евклидом в каждой из его книг; который перед каждым трактатом являет общие принципы этой науки; и впоследствии делит эти общие принципы на гипотезы, петиции и аксиомы. Ибо все они взаимно различаются; ни аксиома, петиция и гипотеза не являются одними и теми же, согласно божественному Аристотелю; но когда то, что предполагается в порядке принципа, в самом деле известно обучающемуся и достоверно само по себе, это аксиома: такая как, что вещи, равные одному и тому же, взаимно равны друг другу. Но когда кто-то, слыша другого, говорящего о том, о чем он не имеет самоочевидного знания, дает это согласие на его предположение, это гипотеза. Ибо то, что круг есть фигура такого конкретного рода, мы предполагаем (не согласно какому-либо общему понятию) без какого-либо предшествующего учения. Но когда, опять же, то, что утверждается, не было ни известно, ни допущено обучающимся, однако предполагается, тогда (говорит он) мы называем это петицией; как предположение, что все прямые углы равны. Но истина этого доказывается теми, кто стремится трактовать какую-либо петицию, как ту, которая не может сама по себе быть допущена кем-либо. И так, согласно доктрине Аристотеля, аксиома, петиция и предположение различаются. Но зачастую некоторые называют все эти гипотезами, таким же образом, как стоики называют всякое простое высказывание аксиомой. Так что, согласно их мнению, гипотезы также будут аксиомами; но, согласно мнению других, аксиомы будут называться предположениями. Снова, такие вещи, которые проистекают из принципов, делятся на задачи и теоремы. Первые, в самом деле, содержат происхождение, сечения, отнятия или прибавления фигур, и все аффекции, с которыми они общаются; но другие являют акциденции, существенные для каждой фигуры. Ибо, как вещи, эффективные для науки, участвуют в созерцании, таким же образом вещи созерцательные предварительно принимают задачи на месте операций. Но прежде некоторые из древних математиков думали, что все геометрические предложения должны называться теоремами, как последователи Спевсиппа и Амфинома, полагая, что для созерцательных наук название теорем более подобает, чем название задач; особенно поскольку они рассуждают о вечных и неизменных объектах. Ибо происхождение не существует среди вещей вечных: по какой причине задачи не могут иметь никакого места в этих науках; поскольку они высказывают происхождение и производство того, что ранее не имело существования, как построение равностороннего треугольника, или описание квадрата на данной прямой линии, или положение прямой линии в данной точке. Лучше, следовательно (говорят они), утверждать, что все предложения являются спекулятивного рода; но что мы воспринимаем их происхождение не через производство, но через знание, принимая вещи вечные так, как если бы они были порождены; и по этой причине мы должны мыслить все те теорематически, но не проблематически. Но другие, напротив, думают, что все должны называться задачами; как те математики, которые следовали за Менехмом. Но что должность задач двояка: иногда, в самом деле, чтобы добыть искомую вещь; но в другое время, когда они получили определенный объект исследования, видеть, либо что это, или какого рода это, или какую аффекцию оно обладает, или каково его отношение к другому. И, в самом деле, утверждения каждого верны; ибо последователи Спевсиппа хорошо воспринимают. Поскольку задачи геометрии не того же рода, что такие, как механические. Ибо эти — чувственно воспринимаемые, и наделены происхождением и мутацией всякого рода. И, с другой стороны, те, кто следует за Менехмом, не расходятся с истиной: поскольку изобретения теорем не могут никоим образом иметь место без приближения к материи; я имею в виду умопостигаемую материю. Основания, следовательно, переходящие в это и дающие форму его бесформенной природе, не без основания, как говорят, уподобляются поколениям. Ибо мы говорим, что движение нашего мышления и производство его присущих оснований есть происхождение фигур, расположенных в фантазии, и аффекций, с которыми они общаются: ибо там существуют построения и сечения, положения и приложения, прибавления и отнятия: но все, пребывающее в мышлении, существует без происхождения и мутации. Существуют, следовательно, как геометрические задачи, так и теоремы. Но поскольку созерцание изобилует в геометрии, как производство в механике, все задачи участвуют в созерцании; но все созерцательное не является проблематическим. Ибо доказательства — это целиком работа созерцания; но все в геометрии, последующее принципам, принимается через доказательство. Отсюда, теорема более общая: но все теоремы не требуют задач; ибо есть некоторые, которые обладают сами по себе доказательством искомой вещи. Но другие, различая теорему от задачи, говорят, что, в самом деле, каждая задача получает все, что предицируется о ее материи, вместе со своей собственной противоположностью: но что каждая теорема получает, в самом деле, свой симптом-предикат, но не свою противоположность. Но я называю материей их тот род, который является предметом исследования; как, например, треугольник, четырехугольник или круг: но симптом-предикат — то, что называется существенной акциденцией, как равенство, или сечение, или положение, или какая-то другая аффекция этого рода. Когда, следовательно, кто-то предлагает вписать равносторонний треугольник в круг, он предлагает задачу: ибо возможно вписать такой, который не является равносторонним. Но когда кто-то утверждает, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, мы должны утверждать, что он предлагает теорему; ибо невозможно, чтобы углы при основании равнобедренного треугольника были неравны друг другу. По какой причине, если кто-то, формируя проблематически, сказал бы, что он желает вписать прямой угол в полукруг, он должен считаться невежественным в геометрии; поскольку каждый угол в полукруге необходимо является прямым. Отсюда, предложения, которые имеют всеобщий симптом, сопровождающий всю материю, должны называться теоремами; но те, в которых симптом не является всеобщим и не сопровождает свой предмет, должны считаться задачами. Как разделить пополам данную ограниченную прямую линию, или разрезать ее на равные части: ибо возможно разрезать ее на неравные части. Разделить пополам каждый прямолинейный угол, или разделить его на равные части; ибо деление может быть дано на неравные части. На данной прямой линии описать четырехугольник; ибо фигура, которая не является четырехугольной, может быть описана. И, короче говоря, все этого рода принадлежат к проблематическому порядку. Но последователи Зенодота, который был знаком с доктриной Энопида, но учеником Андрона, различают теорему от задачи, поскольку теорема исследует, что есть симптом, который предицируется о материи, которую она содержит; но задача исследует, что есть то, существование чего дано. Откуда последователи Посидония определяют теорему как предложение, посредством которого исследуется, существует ли вещь или нет; но задачу — как предложение, в котором исследуется, что есть вещь, или способ ее существования. И они говорят, что мы должны формировать созерцательную теорему, высказывая, как то, что каждый треугольник имеет две стороны, большие, чем оставшаяся одна, и что углы при основании каждого равнобедренного треугольника равны: но мы должны формировать проблематическую теорему, как если бы исследуя, должен ли треугольник быть построен на этой прямой линии. Ибо есть разница, говорят они, абсолютно и неопределенно, исследовать, является ли предложенная вещь возведением прямой линии из данной точки под прямым углом к данной линии, и созерцать, что есть перпендикуляр. И так, из того, что было сказано, очевидно, что есть некоторая разница между задачей и теоремой. Но что элементарное наставление Евклида также состоит отчасти из задач, а отчасти из теорем, будет очевидно из рассмотрения нескольких предложений. Поскольку в заключении своих доказательств он иногда добавляет «что и требовалось показать», иногда «что и требовалось сделать», последнее предложение будучи знаком или символом задач, а первое — теорем. Ибо хотя, как мы сказали, доказательство имеет место в задачах, все же оно часто ради порождения; ибо мы принимаем доказательство для того, чтобы показать, что то, что было приказано, выполнено: но иногда оно достойно само по себе, поскольку природа искомой вещи может быть приведена в середину. Но вы найдете Евклида иногда комбинирующим теоремы с задачами и использующим их попеременно, как в первой книге; но иногда изобилующим одними и не другими. Ибо четвертая книга целиком проблематична; но пятая целиком составлена из теорем. И так много касательно порядка геометрических предложений.

ГЛАВА IX.

О замысле первой книги, ее делении и предварительном наставлении читателю.

Но после этих соображений, когда мы определили замысел первой книги и представили ее деление, мы приступим к трактату об определениях. Замысел, стало быть, этой книги — изложить принципы созерцания прямых линий. Ибо хотя круг и его рассмотрение более превосходны, чем сущность и знание прямых линий, все же доктрина касательно них более адаптирована к нам, которые спешат перенести наше мышление от более несовершенных и чувственных природ к таким, которые являются умопостигаемыми. Ибо, в самом деле, прямолинейные фигуры свойственны чувственно воспринимаемому, но круг — умопостигаемому. Потому что то, что просто, единообразно и определенно, свойственно природе вещей, которые суть; но то, что разнообразно и что увеличивается неопределенно от числа своих содержащих сторон, касается колеблющейся сущности чувственных частностей. Отсюда, в этой книге представлены первые и наиболее главные из прямолинейных фигур; я имею в виду треугольник и параллелограмм. Ибо в них, как под их собственным родом, содержатся причины начал: а именно, равнобедренный и разносторонний, и те, которые образованы из них, равносторонний треугольник и четырехугольник, из которых составлены четыре фигуры начал. Мы найдем, следовательно, как происхождение равностороннего треугольника, так и четырехугольника; последнего, в самом деле, на, но первого — от данной прямой линии. [Равносторонний треугольник, следовательно, является ближайшей причиной трех начал: огня, воздуха и воды; но четырехугольник присоединен к земле.] И наконец, замысел первой книги адаптирован ко всему трактату и способствует всеобщему знанию мирских начал. Кроме того, он наставляет обучающихся в науке касательно прямолинейных фигур; поскольку он правильно изобретает и точно собирает первые принципы их.

Но эта книга разделена на три величайшие части, из которых первая объявляет происхождение и свойства треугольников, как согласно углам, так и согласно сторонам. Кроме того, она делает взаимные сравнения их и созерцает каждый сам по себе. Ибо, принимая один треугольник, иногда она рассматривает углы от сторон, но иногда стороны от углов: и это согласно равенству и неравенству. И предполагая два треугольника, она обнаруживает то же свойство снова различными методами. Но вторая часть комбинирует созерцание параллелограммов, описывая их свойства и порождения. И третья часть показывает сообщение треугольников и параллелограммов, как в симптомах, так и во взаимных сравнениях. Ибо она показывает, что треугольники и параллелограммы, составленные на одних и тех же и на равных основаниях, подвержены одним и тем же страстям; и по осложнению, когда оба стоят на одном основании: и снова, каким образом параллелограмм может быть сделан равным треугольнику; и наконец, касательно пропорции, которую в прямоугольных треугольниках квадрат, сделанный из стороны, подлежащей углу, имеет к квадратам, содержащим прямой угол. И таково деление первой книги.

Но до нашего исследования каждой из этих частей мы считаем необходимым уведомить читателя, что он не должен требовать от нас тех малых предположений, и случаев, и всего прочего, что может быть того рода, которое было обнародовано нашими предшественниками. Ибо мы насыщены ими и поэтому будем лишь редко принимать их в нашем рассуждении. Но все, что имеет более трудное созерцание и касается всеобщей философии, об этом мы сделаем особое повествование: подражая пифагорейцам, у которых эта загадка была общей: «фигура и шаг, но не фигура и три обола», показывая этим, что требуется преследовать ту философию, которая восходит по каждой теореме шагом и возвышает душу ввысь; но не позволяет ей оставаться среди чувственно воспринимаемого, чтобы заполнить пользу, присущую смертным, и, советуясь для этого, пренебрегать возвышением, которое поднимается отсюда к умопостигаемой сущности.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ I.

Точка есть то, что не имеет частей.

То, что геометрия, согласно переходу, который имеет место от вещей более сложных к таким, которые более просты, бежит от тела, которое распространено в расстояние тремя измерениями, к поверхности, которой оно ограничено; но от поверхности к линии, границе поверхности; и от линии к точке, лишенной всякого измерения, часто говорилось и является совершенно очевидным. Но поскольку эти термины во многих местах из-за своей простоты кажутся более превосходными, чем природа сложных вещей; но во многих, как когда они существуют в вещах, которые они ограничивают, они подобны акциденциям, необходимо определить, в каких родах существ каждое из них может быть созерцаемо. Я говорю тогда, что такие вещи, которые лишены материи, которые существуют в отдельных основаниях и в тех формах, которые помещены под собой, всегда наделены существованием более простых сущностей, превосходящих существование таких, которые более сложны. По этой причине как в интеллекте, так и в украшениях, как среднего рода, так и среди тех, которые свойственны душе, и в самих природах, термины, которые ближайшим образом оживляют тела, превосходят согласно сущности вещи, которые ограничены; и являются более неделимыми, более единообразными и более первичными, чем эти. Ибо в нематериальных формах единство более совершенно, чем множество; то, что неделимо, чем то, что наделено безграничной прогрессией; и то, что ограничивает, чем то, что получает границу от другого. Но такие вещи, которые нуждаются в материи и пребывают в других, и вырождаются от совершенства своей сущности, которые рассеяны о субъектах и имеют неестественное соединение, наделены более сложными основаниями, предшествующими таким, которые более просты. Отсюда, вещи, которые появляются в фантазии, облеченные формой, и материя фигур, которые содержит фантазия, и все, что в чувственно воспринимаемом порождено природой, имеют в предшествующем порядке основания вещей ограниченных; но основания, которые ограничивают, — в последующем и привходящем ранге. Ибо чтобы то, что распределено на три измерения, не было распространено в бесконечную величину, либо согласно интеллекту, либо согласно чувству, оно было всячески ограничено поверхностью. И чтобы плоская поверхность не скрыла себя в бесконечной прогрессии, линия, приближаясь, воспротивилась ее диффузии и дала границу ее неопределенному распространению. И, подобным образом, точка ограничила прогрессии линии; сложные природы, выводящие свое существование из таких, которые просты. Ибо это также снова очевидно, что в отдельных формах основания терминов существуют сами по себе, но не в тех, которые ограничены; и, пребывая такими, какими они являются в реальности, обладают силой составлять вторичные природы. Но в неразделимых формах они отдают себя вещам, которые ограничены, пребывают в них, становятся, как бы, их частями и наполняются более низкими природами. По какой причине то, что неделимо, там наделено делимой сущностью, и то, что лишено широты, распространено в ширину. И термины уже не способны сохранить свою простоту и чистоту. Ибо поскольку они пребывают в другом, они необходимо меняют свою собственную природу в материю своего содержащего субъекта. Материя, в самом деле, нарушает совершенство их и заставляет основание плоскости стать глубокой плоскостью; но, затеняя одно измерение линии, заставляет ее быть всячески делимой; и дает телесность неделимости точки, и отделяет ее вместе с природами, которые она ограничивает. Ибо все эти основания, падая в материю, одни — из мышления в умопостигаемую материю, но другие — из природы в то, что является чувственно воспринимаемым, наполняются своими содержащими субъектами; и отходят от своей собственной простоты в чуждые композиции и интервалы. Но здесь возникает сомнение, как все они, существуя в интеллекте и душе неделимым образом и без какого-либо измерения, распределяются в материю, некоторые, в самом деле, преимущественно, но другие — из-за ее природы? Скажем ли мы, что существует определенный порядок в нематериальных формах, так что некоторые наделены первым, некоторые — средним, а другие — последним местом; и что из форм некоторые более единообразны, но что другие более умножены; и что некоторые имеют свои силы собранными вместе, но другие — стремящимися в интервал; и что некоторые, опять же, граничат с границей, но что другие близки к бесконечности? Ибо хотя все участвуют в этих двух принципах, все же некоторые происходят от границы, но другие — от бесконечности, в которой они более широко участвуют. Отсюда, точка целиком неделима, поскольку она существует согласно границе, все же она скрыто содержит бесконечную силу, посредством которой она производит каждый интервал, и прогрессия всех интервалов развертывает ее бесконечную силу. Но тело, и основание тела, участвует более в бесконечной природе; по какой причине оно находится среди числа вещей, ограниченных другим, и делимых в бесконечность согласно всем измерениям. Но посредники между ними, согласно расстоянию крайностей, находятся либо среди числа вещей, которые имеют изобилие границы; либо среди таких, которые имеют изобилие бесконечности: по какой причине они оба ограничивают и ограничены. Ибо, в самом деле, поскольку они состоят из границы, они способны ограничивать других; но поскольку они участвуют в бесконечности, они нуждаются в ограничении от других. Отсюда, поскольку точка также является границей, она сохраняет свою собственную силу в участии; но поскольку она точно так же содержит бесконечность скрыто и принуждена быть везде присутствующей с природами, которые она ограничивает, она пребывает с ними бесконечно. И, потому что среди нематериальных форм была некоторая бесконечная сила, способная производить вещи, удаленные друг от друга интервалами, точка присутствует со своими участниками в возможности. Ибо бесконечность в умопостигаемом есть первичная причина и плодовитая сила вселенной; но в материальных природах она несовершенна и является единственно всеми вещами в дремлющей возможности. И, короче говоря, те формы, которые из-за своей простоты и неделимости занимают высший ранг среди принципов, сохраняют, в самом деле (в соответствии со своей природой), свою собственную собственность в своих участия, но становятся хуже, чем более сложные основания. Ибо материя способна участвовать в этих более ясно и быть подготовленной к их приему, скорее, чем в той, что является наиболее простыми причинами существ. По какой причине следы отдельных принципов нисходят в материю; но участия тех во втором и третьем порядке становятся более заметными. Отсюда, материя участвует более в причине тела, чем плоскости; и в этой более, чем в форме линии; и в этой еще более, чем в той, что является точкой, которая содержит все эти и является границей их всех. Ибо основание точки председательствует над всей этой серией, объединяет и содержит все делимые природы, ограничивает их прогрессии, производит их все своей бесконечной силой и охватывает их в своей неделимой границе. По какой причине также в образах нематериальных форм некоторые являются границами других; но точка есть предел их всех. Но что мы не должны думать вместе со стоиками, что эти границы тел существуют единственно от мышления; но что существуют определенные природы этого рода среди существ, которые предварительно содержат демиургические основания вещей, мы будем способны помнить, если мы посмотрим на весь мир, конволюции его частей, центры этих конволюций и оси, которые проникают через все эти вращающиеся круги. Ибо центры существуют в энергии, поскольку они содержат сферы, сохраняют их в их надлежащем состоянии, объединяют их интервалы и связывают и устанавливают для себя силы, которыми они обладают. Но сами оси, будучи в неподвижном положении, развертывают сферы, дают им круговое движение и революцию вокруг их собственной пребывающей природы. А полюса сфер, которые как ограничивают оси, так и связывают в себе другие конволюции, не ясно ли являют, что точки наделены демиургическими и вместительными силами, что они являются совершенствующими все, удаленное интервалами, и являются источниками соединения и непрекращающегося движения? Откуда, в самом деле, Платон также говорит, что они имеют адамантовое существование; показывая этим неизменную, вечную и стабильную силу их сущности, всегда сохраняющую себя в том же единообразном режиме существования. Он добавляет также, что все веретено Судеб вращается вокруг них и прыгает вокруг их принудительного соединения. Но другие, более сокровенные и глубокие рассуждения утверждают, что демиург председательствует над миром, восседая на полюсах, и своей божественной любовью обращая вселенную к себе. Но пифагорейцы думали, что полюс следует называть Печатью Реи; потому что зоогоническая, или животворящая богиня, изливает через них во вселенную необъяснимую и эффективную силу. А центр они называли тюрьмой Юпитера; потому что, поскольку Юпитер поместил демиургическую стражу в лоно мира, он твердо установил ее посредине. Ибо, в самом деле, центр пребывает, вселенная обладает своим неподвижным украшением и непрекращающейся конволюцией: и боги, которые председательствуют над полюсами, обретают силу, собирательную делимых природ и унифицирующую таких, которые умножены; и те, кто наделен управлением осями, сдерживают и вечно развертывают их вечные конволюции. И, если законно предложить наше собственное мнение по этому предмету, центры и полюса всех сфер являются символами согласующих богов, оттеняющими их незаметную и объединяющую композицию. Но оси выражают связности всеобщих украшений; и наделены силой охватывать мирские целостности и периоды, таким же образом, как их председательствующие божества — таких, которые являются интеллектуальными. Но сами сферы являются образами богов, называемых совершителями дел, сопрягающими принцип с концом и превосходящими все фигуры в простоте, подобии и совершенстве. Но мы были столь многословны, чтобы явить силу неделимых и терминов, которые содержит мир, и что, поскольку они несут образ первичных и наиболее главных причин, они наделены наиболее превосходным порядком во вселенной. Ибо центры и полюса не того же рода, что вещи, которые ограничены; но они существуют в энергии и обладают сущностью и совершенной силой, которая проникает через все делимые природы. Но многие, созерцая те термины, которые несовершенно существуют в ограниченных сущностях, считают их наделенными слабым существованием; и некоторые, в самом деле, говорят, что они единственно отделены от чувственно воспринимаемого мыслью; но другие — что они имеют сущность нигде, кроме как в наших мыслях. Однако, поскольку формы всех этих найдены как в природе интеллекта, в украшениях души, в природе вещей, так и в низших телах, давайте рассмотрим, как согласно порядку, который они содержат, они существуют в родах существ. И, в самом деле, все они предсуществуют в интеллекте, но неделимым и единообразным образом: так что они все существуют согласно одной форме, основанию точки, которое существует скрыто и неделимо. Но они все существуют в душе согласно форме линии: по какой причине Тимей также составляет душу из прямых и круговых линий: ибо каждый круг есть линия одна. Но они все существуют в природах согласно основанию плоскости; и по этой причине Платон повелевает нам являть те природные основания, которые наделены силой составлять тела плоскостью. И разрешение тел на плоскости ведет нас к ближайшей причине явлений. Наконец, они все существуют в телах, но телесным образом; поскольку все формы имеют свое бытие в них согласно делимой природе тел. Отсюда, все они появляются везде, и каждая согласно своему надлежащему порядку; и разнообразие возникает из преобладающей силы. Точка, в самом деле, везде неделима, и когда то, что делимо на части, превосходит согласно уменьшению существ, она оправдывает для себя славное существование делимых природ. И иногда точка целиком превосходит согласно превосходству причины; но иногда она соединена с делимыми, и иногда она наделена в них привходящим существованием; и, как если бы поглощенная разделением низших природ, теряет свою собственную надлежащую неделимость. Как, следовательно, по отношению к монаде, одна является матерью числа, но другая — как материя, расстеленная под, и вместилище чисел; и каждая из них — принцип (все же ни одна из них не является числом), но в ином отношении: таким же образом точка также есть отчасти родитель и автор величин; но отчасти — принцип в ином отношении, и не согласно порождающей причине. Но является ли точка тогда единственной неделимой? Или мы можем утверждать это о «теперь» во времени и о единстве в числах? Не скажем ли мы, что философу, в самом деле, рассуждающему касательно всеобщности вещей, подобает созерцать все, однако подпадающее под распределение; но что тому, кто наделен наукой частностей, кто производит свое созерцание из определенных принципов и бежит назад даже к ним, но очень мало исследует прогрессии существ, требуется пытаться, рассматривать и трактовать касательно той неделимой природы единственно, которая касается его первых принципов; и созерцать ту простоту, которая председательствует над всеми конкретными субъектами его знания? Вследствие этого рассуждения, следовательно, точка единственно, согласно геометрической материи, лишена разделения; но единство — согласно той, что является арифметической. И основание точки, однако в некоторых других отношениях оно может быть несовершенным, все же совершенно в настоящей науке. Ибо, в самом деле, врач также говорит, что элементы тел — это огонь и вода, и вещи, подобные этим; и до этих разрешение тел продолжается. Но естественный философ переходит к более простым элементам; и один определяет элемент простым согласно чувству, но другой — простым согласно разуму; и оба они должным образом согласно своей специфической науке. Мы не должны, следовательно, думать, что определение точки ошибочно, ни определять его как несовершенное; ибо поскольку оно касается геометрической материи и ее принципов, оно достаточно изложено. Это единственно, в самом деле, недостает для его завершения, что определение не говорит ясно, что то, что неделимо со мной, есть точка; и мой принцип, и то, что я содержат как наиболее простое, есть не что иное, как это. И после этого образа подобает слышать геометра, обращающегося к нам. Евклид, следовательно, из отрицания частей объявляет нам принцип, ведущий к теории всей его предметной природы. Ибо отрицательные рассуждения подобают принципам, как Парменид учит нас, который излагает доктрину касательно первой и последней причины одними отрицаниями. Поскольку каждый принцип состоит из сущности, отличной от его текущих следствий; и отрицания этих являют нам собственность их источника. Ибо то, что это, в самом деле, причина их, но в то же время не имеет ничего общего с этими, становится ясным из доктрины этого рода. Но здесь сомнение может возникнуть, как, поскольку фантазия принимает все вещи, облеченные формами, и делимым образом, геометр созерцает в ней точку, лишенную частей? Ибо это не потому, что они — основания, существующие в мышлении, но фантазия принимает подобия интеллектуальных и божественных форм согласно своей собственной надлежащей природе, являя в своем теневом лоне формы бесформенных природ и облекая фигурой вещи, целиком свободные от аффекций фигуры. На эту двусмысленность мы должны сказать, что вид имагинативного движения не является ни единственно делимым, ни неделимым; но что он исходит от неделимого к делимому и от бесформенной природы к тому, что выражено формой. Ибо если бы он был делимым единственно, он не мог бы сохранить в себе многие впечатления форм, поскольку последующее затенило бы предсуществующие фигуры: ибо никакое тело не может содержать одновременно и согласно той же ситуации множество фигур; но прежняя будет стерта последовательностью последней. Но если бы он был единственно неделимым, он не был бы ниже мышления и души, которая обозревает все вещи неделимым образом. Отсюда, необходимо, чтобы он, в самом деле, начинал от неделимого согласно своему движению и оттуда извлекал сложенную и рассеянную форму всего, подпадающего под мышление, и проникал к своему теневому вместилищу: но чтобы он, наконец, заканчивал формой, фигурой и интервалом. И если он наделен природой этого рода, он будет, после определенного образа, содержать неделимую сущность: и точка, согласно этому, должна быть сказана имеющей свое главное существование: ибо форма линии сокращена в фантазии согласно этому. Отсюда, потому что она обладает двоякой силой, неделимой и делимой, она будет, в самом деле, содержать точку неделимым образом, а интервалы — делимым. Но как пифагорейцы определяют точку как единство, имеющее положение, давайте рассмотрим, что они имеют в виду. Что числа, в самом деле, более нематериальны и более чисты, чем величины, и что принцип чисел более прост, чем принцип величин, очевидно каждому; но когда они говорят, что точка есть единство, наделенное положением, они кажутся мне являющими, что единство и число существуют в мнении: я имею в виду монадическое число. По какой причине каждое число, как пентада и гептада, есть одно в каждой душе, а не много; и они лишены фигуры и привходящей формы. Но точка открыто представляет себя в фантазии, существует, как бы, в месте и является материальной согласно умопостигаемой материи. Единство, следовательно, не имеет положения, поскольку оно нематериально и свободно от всякого интервала и места: но точка имеет положение, поскольку она появляется восседающей в лоне фантазии и имеет материальное существование. Единство, следовательно, еще более просто, чем точка, из-за общности принципов. Поскольку точка превосходит единство согласно положению; но аппозиции в бестелесном производят уменьшения тех природ, которыми аппозиции приняты.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ II.

Линия есть длина без ширины.

Линия занимает второе место в определениях, ибо она, безусловно, является первым и простейшим интервалом, который геометр называет длиной, добавляя также «без ширины», поскольку линия по отношению к поверхности выступает как начало. Ибо точку он определяет как начало всех величин исключительно через отрицание, а линию — как через утверждение, так и через отрицание. Следовательно, она есть длина, и этим превосходит неделимость точки; но она без ширины, потому что отделена от других измерений. Ибо, поистине, все, что лишено ширины, лишено также и объема, но обратное неверно: не все, что лишено объема, лишено также и ширины. Поскольку, таким образом, он удалил ширину из линии, он одновременно удалил и объем. По этой причине он не добавляет, что линия также не имеет толщины, ибо это свойство является следствием понятия «быть без ширины». Однако другими она определяется по-разному: одни называют ее потоком точки, другие — величиной, содержащейся в одном интервале. И это определение, конечно, совершенно и достаточно объясняет сущность линии; но то, которое называет ее потоком точки, по-видимому, обнаруживает ее природу через ее производящую причину и выражает не всякую линию, а лишь ту, что нематериальна. Ибо она производится точкой, которая, будучи сама неделимой, является причиной бытия для делимых сущностей. Но поток точки показывает ее прогрессию и творческую силу, приближающуюся к каждому интервалу, не получающую ущерба, вечно пребывающую той же самой и дарующую сущность всем делимым величинам. Впрочем, эти наблюдения известны и очевидны каждому. Мы же призовем в свою память рассуждения более пифагорейские, которые определяют точку как аналогичную единице, линию — диаде, поверхность — триаде, а тело — тетраде. [Однако, когда мы сравниваем те, что получают интервал вместе, мы обнаружим, что линия монадична, поверхность диадична, а твердое тело триадично.] Откуда и Аристотель говорит, что тело совершенствуется троичным числом. И, конечно, неудивительно, что точка, в силу своей неделимости, уподобляется единице; но то, что вещи, следующие за точкой, должны существовать согласно числам, исходящим из единицы, и должны сохранять ту же пропорцию к точке, что числа к единице; и что каждая должна приобщаться к своему ближайшему высшему, и иметь ту же пропорцию к своему сородичу и последующей степени, что высшее к этому, которое является непосредственным следствием. [Например, что линия имеет порядок диады по отношению к точке, но единицы — к поверхности; и что последняя имеет отношение триады к точке, но диады — к твердому телу.] И по этой причине тело тетрадично по отношению к точке, но триадично по отношению к линии. Каждый порядок, следовательно, имеет свою пропорцию; но порядок пифагорейцев является более главным, ибо он берет свое начало из возвышенного источника и следует природе сущего. Ибо точка, поистине, двояка; поскольку она либо существует сама по себе, либо в линии; в последнем отношении также, поскольку как предел она едина и одна, не имея ни целого, ни частей, она подражает высшей природе сущего. По этой причине она и была помещена в соответствующей пропорции к единице. [Ибо, как говорит оракул, «Единица там первая, где пребывает отцовская единица».] Но линия есть первое, наделенное частями и целым, и она монадична, потому что отстоит лишь на один интервал; и диадична по причине своего прогресса: ибо если она бесконечна, то приобщается к неопределенной диаде; если же конечна, то требует двух пределов — откуда и до какого места; поскольку благодаря им она подражает целостности и наделяется порядком среди целых. Ибо единица, согласно оракулу, «расширяется» и порождает два; и это производит прогрессию в долготу вместе с тем, что отстоит протяженно, и с одним интервалом, и материей диады. Но поверхность, поскольку она есть и триада, и диада, а также вместилище первичных фигур и то, что принимает первую форму и вид, в некотором отношении подобна триадической природе, которая первой ограничивает сущее; и диаде, посредством которой они разделяются и рассеиваются. Но твердое тело, поскольку оно имеет тройное расстояние и различается тетрадой, наделенной силой охватывать все смыслы, сводится к тому порядку, в котором проявляется различение телесных украшений; как и деление вселенной на три части вместе с тетрадическим свойством, которое является порождающим и женским. И эти наблюдения, конечно, могли бы быть обсуждены более пространно, но в настоящий момент должны быть опущены. Опять же, рассуждение пифагорейцев не без основания называет линию, которая является второй по порядку и образована согласно первому движению от неделимой природы, диадической. И что точка вторична по отношению к единице, линия — к диаде, а поверхность — к триаде, показывает сам Парменид, сначала отнимая множество от единого через отрицание, а затем — целое. Ибо если множество предшествует тому, что есть целое, то и число будет предшествовать тому, что непрерывно, и диада — линии, а единица — точке: поскольку эпитет «не многие» принадлежит единице, которая порождает множество, а к точке приложим термин «не целое», потому что она производит целое; ибо говорится, что она не имеет частей. И эти вещи утверждаются о линии, пока мы более точно созерцаем ее природу. Но нам следует также признать последователей Аполлония, которые говорят, что мы получаем понятие о линии, когда нам приказывают измерять только длины, будь то дорог или стен; ибо мы тогда не присоединяем ни ширины, ни объема, а лишь делаем одно расстояние объектом нашего рассмотрения. Таким же образом мы воспринимаем поверхность, когда измеряем поля; и твердое тело, когда берем размеры колодцев. Ибо тогда, собирая все расстояния вместе, мы говорим, что пространство колодца таково-то согласно длине, ширине и глубине. Но линия может стать объектом нашего ощущения, если мы созерцаем деления светлых мест от темных и обозреваем луну, когда она дихотомизирована: ибо эта среда не имеет расстояния по отношению к широте, но наделена долготой, которая простирается вместе со светом и тенью.