«Философские и математические комментарии Прокла к первой книге «Начал» Евклида»

ГЛАВА IX.

Решение возражения, выдвинутого некоторыми против пользы математических наук.

Но некоторые, кто склонен к противоречию через тех, кто желает ниспровергнуть геометрию, стремятся уничтожить достоинство этой науки. Одна часть, поистине, лишая ее украшения и блага, потому что она не рассуждает об этом. Но другая часть, утверждая, что чувственные эксперименты более полезны, чем универсальные объекты ее умозрения; я имею в виду, что геодезия (например) или измерение земли предпочтительнее геометрии, а вульгарная арифметика — той арифметике, которая вращается вокруг одних теорем: и что морская астрология более полезна, чем та, которая учит универсально, абстрагируясь от всякого применения к чувственным предметам. Ибо мы не, говорят они, становимся богатыми от нашего знания о богатстве, но от использования его; и мы не счастливы от простого понимания счастья, но от счастливой жизни. Отсюда мы должны признать, что те математические науки, которые вращаются вокруг познания, не приносят пользы человеческой жизни и не способствуют действию, но только те, которые заняты упражнением. Ибо те, кто невежественен в основаниях вещей, но упражняется в частных и чувственных экспериментах, во всех отношениях более превосходны для целей человеческой жизни, чем те, кто занят одним созерцанием. Против возражений, следовательно, такого рода мы ответим, показывая красоту математических дисциплин теми аргументами, которыми Аристотель стремится убедить нас. Мы должны, следовательно, признать, что есть три вещи, которые особенно вызывают красоту, как в телах, так и в душах; я имею в виду порядок, удобство и определение. Поскольку телесная низость, поистине, возникает из материальной неупорядоченности, безобразия и неудобства, и из господства неопределенного в составном теле. Но низость души происходит из ее иррациональности, неупорядоченного движения и из ее пребывания в состоянии раздора с разумом и неприятия от него своего надлежащего ограничения. Отсюда красота существует даже в противоположностях посредством порядка, удобства и определения. Но мы можем созерцать их в более высокой степени в математической науке; порядок, поистине, в постоянном представлении вещей последующих и более различных из таких, что первичны и более просты; ибо последующие вещи всегда присоединены к своим прецедентам, последние ранжируются как начала, а первые — как первые предположения вещей последующих: но удобство доказывается во взаимном созвучии доказанных вещей и в отношении всех их к интеллекту, поскольку интеллект есть общая мера всей науки, от которой он получает свои начала и к которой он обращает обучающегося: но определение воспринимается в ее вечно пребывающих и неподвижных основаниях, ибо объекты ее знания не подвержены временами вариации, как объекты мнения и чувства, но представляют себя вечно одними и теми же и ограничены интеллектуальными формами. Если таковы главные требования красоты, то очевидно, что в этих науках найдено то прославленное украшение и грациозность. Ибо как возможно, чтобы этого не было в науке, получающей горнее озарение от интеллекта, к которому она постоянно продвигается, спеша перенести нас от неясного света чувственного информирования? Относительно второго возражения мы считаем правильным судить о его пользе, не обращая внимания на удобства и необходимости человеческой жизни. Ибо иначе мы должны признать, что созерцательная добродетель также бесполезна, которая отделяет себя от человеческих забот, на которые она очень мало желает смотреть вниз и понимать. В самом деле, Сократ в «Теэтете», утверждая это относительно дворян, наделенных пророческой силой, говорит: «что она отстраняет их от всякого внимания к человеческой жизни и поднимает их мысли, должным образом освобожденные от всякой необходимости и использования, к самой вершине всего истинного бытия». Математическая наука, следовательно, должна рассматриваться как желательная ради нее самой и ради созерцания, которое она предоставляет, а не по причине пользы, которую она доставляет человеческим заботам. Но если необходимо отнести пользу, которую она производит, к чему-то отличному от нее самой, она должна быть отнесена к интеллектуальному знанию. Ибо она ведет нас к этому и подготавливает глаз души к знанию универсалий, удаляя и стирая препятствия, возникающие от чувств и от телесного вовлечения. Как, следовательно, мы называем всю очистительную добродетель полезной или наоборот, не обращая внимания на использование чувственной жизни, но той, что созерцательна, так, поистине, необходимо отнести цель математики к интеллекту и универсальной мудрости. Отсюда ее энергия достойна нашего изучения как ради нее самой, так и ради интеллектуальной жизни. Но кажется, как говорит Аристотель, что эта наука желательна сама по себе для своих приверженцев, потому что, хотя никакой награды не предложено ее исследователям, математическое созерцание получает в малое время обильное возрастание. Кроме того, это далее очевидно отсюда, что все люди охотно заняты ее преследованием и желают пребывать в ее умозрениях, опуская всякую другую заботу; даже те, кто своими устами, так сказать, только коснулись ее пользы. И отсюда следует, что те, кто презирает знание математических дисциплин, очень мало вкусили удовольствий, которые они содержат. Математика, следовательно, не должна быть презираема, потому что ее умозрительные части не приносят немедленной пользы человеческой жизни (ибо конечные пределы ее прогрессий и все, что действует с материей, рассматривают использование такого рода); но, напротив, мы должны восхищаться ее нематериальностью и благом, которое она содержит, рассматриваемое само по себе. Ибо когда человечество было полностью освобождено от заботы о необходимых делах, они обратили себя к исследованию математических дисциплин; и это, поистине, с величайшим правом. Поскольку дела, знакомые человеческой жизни в ее самом несовершенном состоянии и которые непосредственно связаны с ее происхождением, прежде всего занимали занятия человечества: но, во-вторых, последовали те заботы, которые отделяют душу от возникновения и восстанавливают ее память о том, что ЕСТЬ. Таким образом, следовательно, мы заняты необходимым до вещей, почетных ради них самих, по причине их внутреннего достоинства и ценности; и вещами, относящимися к чувству, до тех, что постигаются более благородными энергиями ума. Ибо всякое происхождение и жизнь души, которая обращена в саму себя, естественно приспособлена продвигаться от несовершенного к совершенному. И на этом довольно против тех, кто презирает математическую науку.

ГЛАВА X.

Решение другого возражения некоторых платоников против пользы математических наук.

Но, быть может, кто-то из наших близких восстанет здесь против нас и, выдвинув Платона в качестве свидетеля, попытается побудить более грубые умы к презрительному пренебрежению математическими дисциплинами. Ибо они скажут, что этот философ полностью исключает (в своем «Государстве») математическое знание из хора наук и обвиняет его в том, что оно не знает собственных начал, что само его начало ему неведомо, а его цели и посредствующие звенья составлены из того, чего оно не ведает. К этим возражениям они могут добавить и все прочие упреки, которые Сократ направляет там против этого созерцания. В ответ же на возражения наших друзей мы напомним им, что сам Платон ясно утверждает, будто математическая наука есть очищение души и что она наделена силой возводить ее ввысь; ибо, подобно гомеровской Минерве, она устраняет тьму чувственно воспринимаемой природы от интеллектуального света мысли, который стоит того, чтобы его беречь больше, чем десять тысяч телесных очей, и который не только причастен меркурианскому дару (оберегающему нас от заклинаний и заблуждений этого материального обиталища, подобного чарующим царствам Цирцеи), но также и более божественным искусствам Минервы. Он также повсюду называет ее именем науки и утверждает, что она является причиной величайшего блаженства для тех, кто упражняется в ее созерцании. Но я кратко объясню, почему в «Государстве» он отнимает у нее имя науки: ибо мое нынешнее рассуждение адресовано ученым. Платон, действительно, в большинстве мест называет все знание (как я могу сказать) об универсалиях именем науки, противопоставляя его в делении чувственному восприятию, которое постигает лишь частное, совершается ли такой способ познания посредством искусства или опыта. И в этом смысле, как мне представляется, в «Политике» и в «Софисте» он, по-видимому, использует имя науки; помещая туда же и прославленную софистическую науку, которую Сократ в «Горгии» называет неким опытом: а также льстивую и многие другие, которые суть опыты, но не истинные науки. Но, опять же, разделяя это знание об универсалиях на то, которое знает причины, и на то, которое понимает без причины, он полагает, что первое следует называть наукой, а второе — опытом. И отсюда искусствам он иногда приписывает имя науки, а опыту — никогда. Ибо как (говорит он в «Пире») может быть наукой то, что не обладает разумом? Всякое знание, следовательно, которое содержит в себе разум и причину познаваемых вещей, есть некая наука. Опять же, поэтому он делит эту науку, наделенную силой от причины познания, по особенности ее предметов, и помещает одну, предположительную, о вещах делимых; другую же — о таких, которые существуют сами по себе и всегда познаваемы одним и тем же образом. И согласно этому делению он отделяет от науки медицину и всякую способность, которая имеет дело с материальными заботами. Но математическое знание и все, что обладает силой созерцать вечные объекты, он называет именем науки. Наконец, разделяя эту науку, которую мы отличили от искусств, он рассматривает одну часть как лишенную предпосылки, другую же — как исходящую из предпосылки. И что та, которая лишена предпосылки, обладает силой познания универсалий: что она восходит к благу и высшей причине всего; и что она рассматривает благо как цель своего возвышения: но что другая, которая предварительно создает для себя определенные и детерминированные начала, из которых она доказывает вещи, следующие из таких начал, стремится не к началу, а к заключению. И отсюда он утверждает, что математическое знание, поскольку оно использует предпосылку, не достигает той науки, которая без предпосылки и совершенна. Ибо существует одна истинная наука, посредством которой мы расположены познавать все вещи, которые суть, и из которой также возникают начала для всех наук; для некоторых, правда, установленные более близко, для других же — более отдаленно. Мы не должны поэтому говорить, что Платон изгоняет математическое знание из числа наук, но что он утверждает, будто оно является вторым после той одной науки, которая занимает высшее место среди всех: и не должны мы утверждать, что он обвиняет его в незнании собственных начал, но что, получая их от господствующей науки диалектики и владея ими без какого-либо доказательства, оно доказывает из них свои последующие положения. Ибо, действительно, он иногда допускает, что душа, которая составлена из математических умозрений, является началом движения: а иногда утверждает, что она получает свое движение от родов, которые подлежат интеллекту. И эти вариации согласуются между собой. Ибо для таких вещей, которые движутся другим, душа есть некая причина движения, но она не является причиной всякого движения. Подобным же образом математическая наука действительно является второй после первой из всех наук и по отношению к ней несовершенной: но она, тем не менее, есть наука, не как свободная от предпосылки, но как знающая особые умозрения, пребывающие в душе, и как привносящая причины заключений, и содержащая разум таких вещей, которые подлежат ее познанию. И на этом довольно о мнении Платона относительно математики.

ГЛАВА XI.

Но давайте теперь рассмотрим, что именно может требоваться от математика и как кто-либо может правильно судить о его отличительных особенностях. Ибо Аристотель, действительно, говорит, что тот, кто просто сведущ во всех дисциплинах, способен судить обо всех: но что тот, кто искусен лишь в математических науках, может один определять величину умозрений, присущих им. Необходимо, следовательно, чтобы мы предварительно приняли условия суждения и чтобы мы знали, в первую очередь, в каких вещах подобает доказывать общее, а в каких — учитывать особенности единичного. Ибо многие из одних и тех же свойств присущи вещам, различающимся по виду, как два прямых угла во всех треугольниках: но многие имеют, правда, одну и ту же предикацию, однако различаются в своих индивидах в общем виде, как подобие в фигурах и числах. Но математику не следует искать одно доказательство для них, ибо начала фигур и чисел не одни и те же, но различаются по своему предметному роду. И если существенная акциденция одна, то и доказательство будет одно: ибо обладание двумя прямыми углами одинаково во всех треугольниках, и то общее нечто, к чему это относится, одно и то же во всех, я имею в виду треугольник и треугольное умозрение. Таким же образом, обладание внешними углами, равными четырем прямым, относится не только к треугольникам, но и ко всем прямолинейным фигурам; и доказательство, поскольку они прямолинейны, согласуется во всех. Ибо всякое умозрение несет с собой одновременно некое свойство и претерпевание, в которых все участвуют через это умозрение, будь то треугольное, или прямолинейное, или вообще фигура. Но второй предел, по которому следует судить о математике, заключается в том, демонстрирует ли он согласно своему предмету и представляет ли необходимые умозрения, такие, которые не могут быть опровергнуты, но в то же время не являются ни вероятными, ни наполненными подобием истины. Ибо, говорит Аристотель, это все равно что требовать доказательств от ритора и соглашаться с математиком, рассуждающим вероятно; поскольку каждый, наделенный наукой и искусством, должен представлять умозрения, адаптированные к предметам своего исследования. Подобным же образом и Платон в «Тимее» требует достоверных умозрений от естествоиспытателя, как от того, кто занят подобиями истины: но от того, кто рассуждает об умопостигаемом и устойчивой сущности, он требует умозрений, которые не могут быть ни опровергнуты, ни поколеблены. Ибо предметы повсюду вызывают различие в науках и искусствах, поскольку, если одни из них неподвижны, другие имеют дело с движением; одни более просты, другие же более сложны; одни суть умопостигаемые, другие — чувственно воспринимаемые. Отсюда мы не должны требовать одинаковой достоверности от каждой части математической науки. Ибо если одна часть, некоторым образом, граничит с чувственно воспринимаемым, а другая часть есть знание умопостигаемых предметов, они не могут быть оба одинаково достоверными, но один должен обладать более высокой степенью очевидности, чем другой. И отсюда происходит то, что мы называем арифметику более достоверной, чем науку о гармонии. И мы не должны считать справедливым, чтобы математика и другие науки использовали одни и те же доказательства; ибо их предметы доставляют им немалое разнообразие. В-третьих, мы должны утверждать, что тот, кто правильно судит о математических умозрениях, должен рассматривать тождество и различие, то, что существует само по себе, и то, что случайно, что такое пропорция и всякое рассмотрение подобного рода. Ибо почти все ошибки такого рода случаются с теми, кто думает, что они доказывают математически, когда в то же время они вовсе не доказывают, поскольку они либо доказывают одно и то же как различное в каждом виде, либо то, что различно, как если бы оно было тем же самым: или когда они рассматривают то, что случайно, как если бы оно было существенным свойством; или то, что существует само по себе, как если бы оно было случайным. Например, когда они пытаются доказать, что окружность круга прекраснее прямой линии, или равносторонний треугольник прекраснее равнобедренного. Ибо определение этого принадлежит не математику, а одному лишь первому философу. Наконец, в-четвертых, мы должны утверждать, что, поскольку математическая наука занимает среднее положение между умопостигаемым и чувственно воспринимаемым и являет в себе многие образы божественных дел и многие прообразы естественных умозрений, мы можем созерцать в ней три вида доказательства, один, приближающийся к интеллекту, второй, более приспособленный к размышлению, и третий, граничащий с мнением. Ибо необходимо, чтобы доказательства различались в соответствии с разнообразием проблем и получали деление, соответствующее родам сущего, поскольку математическая наука связана со всеми ими и адаптирует свои умозрения к универсальности вещей. И на этом довольно для обсуждения предложенного предмета.

ГЛАВА XII.

Каковы и сколько существует видов всей математической науки, согласно мнению пифагорейцев.

Но после этих соображений необходимо определить относительно частей математической науки, что они такое и сколько их. Ибо справедливо, после размышления о ее целом и полном роде, рассмотреть различия ее более частных наук согласно их видам. Пифагорейцы, следовательно, полагали, что вся математическая наука должна получить четырехкратное распределение, приписывая одну из ее частей тому, что «сколько», а другую — тому, что «насколько»; и они назначили каждой из этих частей двоякое деление. Ибо они говорили, что дискретное количество, или «сколько», либо существует само по себе, либо должно рассматриваться в отношении к чему-то другому; но что непрерывное количество, или «насколько», либо устойчиво, либо находится в движении. Отсюда они утверждали, что арифметика созерцает то дискретное количество, которое существует само по себе, а музыка — то, которое относится к другому; и что геометрия рассматривает непрерывное количество, поскольку оно неподвижно; а сферика созерцает непрерывное количество как движущееся само по себе, вследствие его соединения с самодвижущейся природой. Они утверждали, кроме того, что эти две науки, дискретное и непрерывное количество, не рассматривают ни величину, ни множество абсолютно, но лишь то, что в каждом из них определено участием предела. Ибо науки созерцают только определенное, отвергая как суетное постижение бесконечного количества. Но когда эти мудрецы назначали это распределение, мы не должны предполагать, что они понимали то дискретное количество, которое обнаруживается в чувственно воспринимаемых природах, ни то непрерывное количество, которое существует в изменчивом порядке тел. Ибо, я думаю, созерцание их относится к естественной, а не к математической науке. Но поскольку Демиург вселенной использовал соединение, деление и тождество общих природ, вместе с различием, покоем и движением, с целью завершения сущности души и составил ее из этих родов, как сообщает нам Тимей, мы должны утверждать, что размышление, пребывающее согласно своему разнообразию, своему делению умозрений и своему множеству, и понимающее себя как единое и многое, предлагает, действительно, само себе и производит числа, вместе с арифметическим знанием о них: но оно обеспечивает себе музыку согласно соединению своего множества, и общению и связи с самим собой; и отсюда происходит то, что арифметика превосходит музыку в древности; поскольку, согласно повествованию Платона, Демиург сначала разделил душу, а затем собрал ее в гармонических пропорциях. Опять же, мысль, устанавливающая свою энергию согласно устойчивости, которую она содержит, извлекает из своих сокровенных тайников геометрию, вместе с одной существенной фигурой и демиургическими началами всех фигур: но, согласно присущему ей движению, она производит сферическую науку. Ибо она движется также кругами, но пребывает вечно той же самой от причин кругов. Отсюда, точно так же, геометрия предшествует сферике, подобно тому как покой предшествует движению. Но поскольку само размышление производит эти науки, не оглядываясь назад на свое свертывание форм, наделенное бесконечной силой, но на заключение предела согласно своим определенным родам; отсюда они говорят, что математические науки отнимают бесконечное у множества и величины и имеют дело только с конечным количеством. Действительно, интеллект поместил в размышление все начала как множества, так и величины. Ибо, поскольку оно целиком состоит, по отношению к себе, из подобных частей и является единым и неделимым, и опять делимым, выводя украшение форм, оно участвует в пределе и бесконечном от самих умопостигаемых сущностей. Но оно понимает, действительно, от своего участия в пределе и порождает жизненные энергии и различные умозрения от природы бесконечного. Интеллекции, следовательно, мысли составляют эти науки согласно пределу, который они содержат, а не согласно бесконечности жизни; поскольку они приносят с собой образ интеллекта, но не жизни. Таково, следовательно, мнение пифагорейцев и деление четырех математических наук.

ГЛАВА XIII.

Другое деление математической науки, согласно Гемину.

Опять же, некоторые полагают (среди которых Гемин), что математическую науку следует делить иным образом, нежели предыдущую. И они считают, что одна из ее частей имеет дело только с умопостигаемым, а другая — с чувственно воспринимаемым, с которым она граничит; называя умопостигаемым все те созерцания, которые душа пробуждает к энергии сама по себе, когда отделяет себя от материальных форм. И из того, что имеет дело с умопостигаемым, они устанавливают две, безусловно, первые и самые главные части: арифметику и геометрию: но из того, что разворачивает свою службу и занятие в чувственно воспринимаемом, они назначают шесть частей: механику, астрологию, оптику, геодезию, канонику и логистику, или искусство счета. Но они не думают, что военное искусство, или тактика, должно называться какой-либо одной частью математики, согласно мнению некоторых; но они считают, что оно использует в одно время искусство счета, как при исчислении легионов; в другое же время геодезию, как при делении и измерении пространств, занятых полем лагерей. Как, говорят они, ни искусство письма, ни искусство врачевания не являются какой-либо частью математики, хотя часто и историк, и врач используют математические теоремы. Это случай с историками, действительно, когда они описывают положение климатов или собирают величины и размеры городов, или их охват и окружность: но с врачами — когда они проясняют путями такого рода многие вещи в своем искусстве. Ибо сам Гиппократ показывает пользу, извлекаемую медициной из астрологии, и почти все, кто говорит о благоприятных временах и местах. По той же причине и тот, кто приспосабливает свою работу к тактике, использует, действительно, математические теоремы, однако не является по этой причине математиком, хотя он иногда желает, чтобы многочисленный лагерь представлял очень малое множество, и формирует свою армию согласно круговой фигуре; но иногда в четырехугольной, пятиугольной или какой-то другой многоугольной фигуре, когда он желает, чтобы она казалась многочисленной. Но поскольку это виды всей математической науки, геометрия опять делится на созерцание плоскостей и измерение тел, которое называется стереометрией. Ибо нет какого-либо особого трактата о точках и линиях, потому что никакая фигура не может быть произведена из них без плоскостей или тел. Ибо геометрия не занимается ничем иным в каждой из своих частей, кроме того, чтобы она могла составить либо плоскости, либо тела: или чтобы, когда они составлены, она могла сравнивать и делить их между собой. Подобным же образом арифметика распределяется на созерцание линейных, плоских и телесных чисел. Ибо она рассматривает виды чисел отдельно от чувственных связей, исходя из единства, и происхождение плоских чисел; я имею в виду подобных, неподобных и телесных, вплоть до третьего приращения. Но геодезия и искусство счета делятся подобно арифметике и геометрии, поскольку они рассуждают не об умопостигаемых числах или фигурах, но только о таких, которые суть чувственно воспринимаемые. Ибо не является делом геодезии измерять цилиндр или конус, но материальные массы, как если бы они были конусами, и колодцы, как если бы они были цилиндрами. Также она не достигает этой цели посредством умопостигаемых прямых линий, но посредством таких, которые суть чувственно воспринимаемые, иногда, действительно, более достоверным средством, как солнечными лучами: но в другое время более грубыми, как линией и перпендикуляром. Подобным же образом счетовод не обозревает претерпевания чисел самих по себе, но как они пребывают в чувственно воспринимаемых объектах. Откуда он также налагает имя на них, производное от вещей, которые он считает, называя их «мелии» и «фиалии». Кроме этого, он не допускает какого-либо наименьшего, подобно арифметику, который принимает этот минимум как род отношения. Ибо какой-то один человек рассматривается им как мера всего множества людей, как единство также является общей мерой всех чисел. Опять же, оптика и каноника производятся из геометрии и арифметики. И оптика использует зрительные лучи, которые составлены лучами глаз, как линии и углы. Но она делится на то, что собственно называется оптикой (потому что она представляет причину тех явлений, которые привыкли представляться нам отличными от их реальности, из-за различных положений и расстояний видимых объектов, как совпадение параллельных линий или появление четырехугольников, как если бы они были кругами); и на универсальную катоптрику, которая имеет дело с различными и многообразными преломлениями и связана с воображаемым или предположительным знанием: как также на то, что называется скиаграфией, или очертанием теней, которое показывает, как явления в образах могут казаться ни неэлегантными, ни обезображенными из-за расстояний и высот проектируемых вещей. Но каноника (музыка), или регулярное искусство, рассматривает явные умозрения гармоний, обнаруживая сечения правил, повсюду используя помощь чувства и, как говорит Платон, по-видимому, предпочитая свидетельство ушей самому интеллекту. Но к частям, которые мы до сих пор перечислили, должна быть добавлена механика, поскольку она есть некая часть всей науки, и знания чувственно воспринимаемых объектов, и вещей, соединенных с материей. Но под ней существует искусство создания инструментов, которое называется (органопоэтика), я имею в виду тех инструментов, которые подобают для целей войны: таких, действительно, какие, как сообщается, сконструировал Архимед, сопротивляясь осаждающим на море и на суше; и то, которое эффективно для чудес, и которое называется (тавматопоэтика). Одна часть этого конструирует с величайшим искусством пневматические двигатели, такие, какие изготовили Ктесибий и Герон; но другая работает с весами, движение которых считается причиной неравновесия; но их состояние равновесия, как определил также Тимей; и опять, другая часть имитирует одушевленные складывания и движения посредством струн и веревок. Опять же, под механикой помещается знание равновесий и таких инструментов, которые называются центропондерными: также (сферопоэтика), или искусство создания сфер, имитирующее небесные вращения, такие, какие изготовил Архимед; и, наконец, все, что наделено силой движения материи. Но последняя из всех — астрология, которая трактует о мирских движениях, о величинах небесных тел, их фигурах и освещениях, их расстояниях от земли и обо всем такого рода; принимая многие вещи, действительно, для себя от чувства, но сообщаясь много с естественным созерцанием. Одна часть этого — гномоника, которая упражняется в установлении размера часовых гномонов: но другая — метеороскопия, которая обнаруживает различия высот и расстояния звезд, а также обучает многим другим и различным астрологическим теоремам. Третья часть — диоптрика, которая устанавливает посредством диоптрических инструментов такого рода расстояния солнца и луны и пяти других звезд. И таков отчет о частях математической науки, доставленный древними и переданный нашей памяти информирующей рукой времени.

ГЛАВА XIV.

Как диалектика является вершиной математических наук и в чем их соединение, согласно Платону.

Давайте опять рассмотрим, каким образом Платон в своем «Государстве» называет диалектику вершиной математических дисциплин; и в чем их соединение, согласно традиции автора «Эпиномиды». И для этого мы должны утверждать, что, поскольку интеллект выше размышления, снабжая его горними началами и от самого себя давая совершенство размышлению; точно так же и диалектика, будучи чистейшей частью философии, превосходит в простоте математические дисциплины, к которым она близка и с которыми она соединена. Действительно, она охватывает полный круг этих наук, к которым она возводит от себя различные энергии, наделенные силой вызывать совершенство, суждение и интеллект. И эти энергии состоят в разрешении, делении, определении и доказательстве; посредством которых сама математика, получая помощь и совершенство, изобретает некоторые вещи посредством разрешения, но другие — посредством композиции: и некоторые вещи она объясняет посредством деления, другие — посредством определения: но собирает другие предметы своего исследования посредством доказательства; приспосабливая, действительно, эти пути к своим предметам, но используя каждый из них с целью созерцания своих средних исследований. Откуда, действительно, как разрешения, определения, деления, так и доказательства, которые она содержит, являются особыми и адаптированными к ее природе и вращаются согласно способу математического познания. Не незаслуженно, следовательно, диалектика является вершиной, как бы, и высшей точкой математики. Поскольку она совершенствует все, что математика содержит в себе от интеллекта; делает ее достоверность свободной от порицания, сохраняет устойчивость ее неподвижной сущности и относит то, что она содержит, лишенное материи и чистое, к простоте интеллекта и природе, отделенной от материальных связей. Кроме того, она различает первые начала этих наук посредством определений: являет разделения родов и форм, содержащихся под самими родами: и помимо этого, обучает композициям, которые из начал производят вещи, следующие из начал: и разрешениям, которые восходят и поднимаются к вещам первым и к самим началам. Но что касается того, что остается, сама пропорция не должна рассматриваться (как думал Эратосфен) как соединение математических дисциплин. Поскольку пропорция, как говорят, есть, и действительно является одной из тех вещей, общих для математики. Но, короче говоря, многие другие вещи, помимо пропорции, касаются всех математических дисциплин, которые существенно присущи общей природе математики. Но, как мне представляется, мы должны сказать, что существует одно близкое соединение их и всей математической науки, которое особенно охватывает в себе, более простым образом, начала всех наук; которое рассматривает их общность и различие; обучает всему, что найдено в них одинаковым; вместе с тем, какие вещи присущи многим, а какие — немногим. Так что для тех, кто подобающе учится, существует возвращение от многих других наук к этой одной. Но диалектика есть соединение математических дисциплин, превосходящее предыдущее; которое Платон, как я уже заметил, называет в своем «Государстве» их вершиной: ибо, действительно, она совершенствует всю математику, возвращает ее к интеллекту своими силами, показывает ее истинной наукой и делает ее достоверной и не подлежащей никакому упреку. Но интеллект получает третий порядок между этими соединениями, который охватывает в себе единообразно все диалектические силы, сокращает их разнообразие своей простотой, их разделение — своим неделимым знанием, и их множество — своим сокровенным соединением. Отсюда интеллект сам собирает, действительно, свертывания и отклонения диалектических путей в умопостигаемую сущность, но он собирает свыше все прогрессирование математических рассуждений: и это есть лучшая цель как возводящей силы души, так и энергии, состоящей в познании. И таковы чувства, объявленные мной по настоящему исследованию.

ГЛАВА XV.

Откуда произошло имя математики.

Опять же, откуда, скажем мы, это имя математики и математических дисциплин было назначено древними, и какой подобающий разум можем мы представить его положения? Действительно, мне представляется, что такое наименование науки, которая уважает умозрительные причины, было изобретено не, как большинство имен, безразличными лицами, но (как истинно дело обстоит и согласно сообщению) одними лишь пифагорейцами. И это, когда они осознали, что все, что называется «матезис», или дисциплина, есть не что иное, как припоминание; которое не приближается к душе извне, подобно образам, которые, поднимаясь от чувственно воспринимаемых объектов, формируются в фантазии: и не является привходящим и чуждым, подобно знанию, состоящему в мнении, но оно возбуждается, действительно, от явных объектов и совершенствуется внутри, мыслью, интимно обращенной к самой себе. И когда они также осознали, что, хотя припоминание могло быть показано из многих частностей, все же оно было доказано более выдающимся образом (как говорит также Платон) из математических дисциплин. Ибо если кто-либо, говорит он, будет ведом в описания, он там легко докажет, что дисциплина есть припоминание. Откуда Сократ также в «Меноне» показывает этим методом рассуждения, что обучение есть не что иное, как припоминание душой ее присущих умозрений. И это потому, что то, что припоминает, есть одна лишь умозрительная часть души; но это совершенствует ее сущность в умозрениях математических дисциплин, науки о которых она предварительно получила в себя, хотя она не всегда энергирует в их прекрасном разнообразии. Действительно, она содержит их все существенно и сокровенно; но она производит каждое из них, когда она освобождена от препятствий, происходящих от чувства. Ибо чувство соединяет ее с делимыми объектами: фантазия наполняет ее формирующими движениями, и аппетит склоняет ее к снисходительной и роскошной жизни. Но все делимое есть препятствие для нашего самообращения. И все, что облекает формой, тревожит и оскорбляет то знание, которое лишено формы. И все, что подвержено возмущениям, есть препятствие для той энергии, которая не повреждена аффектами. Когда, следовательно, мы удалили все это из умозрительной способности, тогда сможем мы понять самой мыслью умозрения, которые содержит мысль: тогда станем мы научными в энергии; и развернем наше существенное знание. Но пока мы пленны и связаны, и подмигиваем оком души, мы не можем никоим образом достичь совершенства, удобного нашей природе. Такова, следовательно, матезис, или дисциплина: припоминание вечных умозрений, содержащихся в душе. И математическая, или дисциплинарная, наука по этой причине особенно именуется тем знанием, которое особенно способствует нашему припоминанию этих существенных умозрений. Отсюда дело и служба этой науки очевидны из ее имени. Ибо ее долг — двигать присущее знание души; пробуждать ее интеллект; очищать ее размышление; вызывать ее существенные формы из их дремлющих тайников; удалять то забвение и невежество, которые врожденны нашему рождению; и растворять узы, возникающие от нашего соединения с иррациональной природой. Она ясно ведет нас к подобию того божества, которое председательствует над этой наукой, которое являет интеллектуальные дары и наполняет вселенную божественными умозрениями; которое возвышает души к интеллекту, пробуждает их, как от глубокого сна, обращает их посредством исследования к самим себе; и посредством некоего акушерского искусства и изобретения чистого интеллекта приводит их к блаженной жизни. Кому, действительно, посвящая настоящую работу, мы здесь завершаем наше созерцание математической науки.

КНИГА II.

ГЛАВА I.

Какая часть геометрии есть часть математики и какова материя, из которой она состоит.

В предыдущих рассуждениях мы рассмотрели те общие свойства, которые касаются всей математической науки; и это мы сделали согласно учению Платона; в то же время собирая такие частности, которые относятся к нашему настоящему замыслу. Но вслед за этим необходимо, чтобы мы рассуждали о самой геометрии и о предложенном установлении начал, ради которых мы предприняли всю настоящую работу. Что геометрия, следовательно, есть часть всей математики и что она получает второе место после арифметики, поскольку она совершенствуется и ограничивается ею (ибо все, что в геометрии может быть выражено и познано, определяется арифметическими умозрениями), было утверждено древними и не требует долгого обсуждения в настоящем исследовании. Но мы также можем быть способны изложить наше мнение по этой частности, если мы рассмотрим, какое место и какая сущность ее предметной материи отведена среди универсальности вещей. Ибо из надлежащего обзора этого сила науки, которая знает эту предметную материю, польза, возникающая из нее, и благо, приобретаемое ее учащимися, немедленно появятся. Действительно, кто-то может сомневаться, в какой род вещей он должен поместить геометрическую материю, чтобы не отклониться от истины, которую она содержит. Ибо если фигуры, о которых рассуждает геометрия, существуют в чувственно воспринимаемых природах и не могут быть отделены от темного вместилища материи; как можем мы утверждать, что геометрия освобождает нас от чувственно воспринимаемых объектов, что она приводит нас к бестелесной сущности, что она приучает нас к созерцанию умопостигаемого и подготавливает нас к интеллектуальной энергии? Где мы когда-либо созерцаем среди чувственно воспринимаемых объектов точку без частей, или линию, лишенную ширины, или поверхность без глубины, или равенство линий от центра к окружности; или многоугольники и все фигуры многих оснований, о которых информирует нас геометрия? Наконец, каким образом могут умозрения такой науки оставаться свободными от всякого возможного опровержения; поскольку, действительно, чувственно воспринимаемые формы и фигуры восприимчивы к большему и меньшему, все они подвижны и изменчивы и полны материального разнообразия; среди которых равенство существует смешанным и спутанным со своей противоположностью — неравенством, и в которые вещи без частей перешли в разделение и интервал, затемненные тенями материи и потерянные в ее бесконечных складках? Но если предметы геометрии удалены от материи, суть чистые формы и отделены от чувственно воспринимаемых объектов: они будут все, без сомнения, лишены частей, бестелесны и лишены величины. Ибо протяжение, опухоль и интервал приближаются к формам из-за материального вместилища, в котором они вовлечены и которое принимает вещи, лишенные частей, распределенные на части; вещи, лишенные измерения, протяженные в измерение; и неподвижные природы, сопровождаемые движением. Как тогда, если это так, разрежем мы прямую линию, треугольник и круг? Как можем мы говорить о различиях углов и приращениях и убываниях треугольных и четырехугольных фигур? Или как показать контакты кругов или прямых линий? Ибо все они доказывают, что геометрическая материя состоит из частей и не пребывает среди неделимых умозрений. Таковы, следовательно, сомнения относительно материи геометрии, к которым мы можем добавить, что Платон рассматривает формы геометрии как помещенные в размышление; и допускает, что мы продвигаемся от чувственно воспринимаемого к формам такого рода и что мы восходим от чувственно воспринимаемого к интеллекту, хотя (как мы предварительно заметили) умозрения, существующие в размышлении, неделимы, отделены никаким интервалом и существуют согласно особенности души. Но если умозрения должны быть представлены согласно самим вещам и учению Платона, должно быть принято следующее деление. Всякая универсалия и одно нечто, содержащее многое, либо естественно расположено быть мыслимым в частностях, либо казаться таким, потому что оно обладает своим существованием в них; неотделимо от них; расположено и распределено в них; и вместе с ними либо движется, либо твердо и неподвижно пребывает. Либо оно адаптировано существовать до многого и обладать силой порождения множества, предоставляя многим вещам образы от себя, будучи снабженным природой, лишенной частей, от сущностей, в которых оно участвует, и возвышая различные участия к вторичным природам: либо оно расположено быть сформированным мыслью, из многого, обладать порождающим существованием и пребывать на последнем месте во многом. Ибо согласно этим трем способам существования мы найдем, я думаю, что некоторые существуют до многого, другие — во многом, а третьи — из отношения и предикации, которыми они обладают к ним. Но, чтобы я мог завершить все одним словом, универсальные формы будучи тройственными, мы рассмотрим различия той формы, в которой участвуют многие, которая существует во многом и наполняет частные природы согласно своей предметной материи. Помимо этого, устанавливая двоякий порядок участников, один, существующий в чувственно воспринимаемых объектах, другой же — в фантазии (поскольку материя двояка; одна, действительно, вещей, соединенных с чувством, другая же — таких, которые подпадают под созерцание фантазии, как утверждает Аристотель в определенном месте), мы должны допустить, что универсалия, которая распределена во многом, является также двоякой. Одна, действительно, чувственно воспринимаемая, как будучи тем, в чем участвуют чувственно воспринимаемые объекты; другая же — воображаемая, как та, которая существует во многом фантазии. Ибо фантазия, из-за своего формирующего движения и потому что она существует с телом и в теле, всегда получает впечатления, которые суть и разделены, и фигурированы. Так что все, что познается ею, наделено соответствующим существованием: по каковой причине Аристотель не колеблется называть ее пассивным интеллектом. Но если это интеллект, почему он не бесстрастен и не лишен материи? И если он действует со страстью, как может он с приличием называться интеллектом? Ибо бесстрастность, действительно, собственно принадлежит интеллекту и интеллектуальной природе: но страстность очень далека от такой сущности. Но (если я не обманут) Аристотель, желая объяснить ее среднюю природу между познаниями, самыми первичными, и такими, которые суть последние, называет ее в то же время интеллектом, потому что она подобна первичным познаниям, и пассивной — от того союза, которым она обладает с такими, которые суть последующие. Ибо первые познания, действительно, лишены фигур и форм; охватывая в себе умопостигаемые природы, энергируя вокруг себя, соединенные с объектами знания и свободные от всякого внешнего впечатления и страсти. Но последние познания упражняют себя посредством инструментов, суть скорее страсти, чем энергии, допускают внешнее знание и движут себя вместе со своими различными предметами. Ибо таковы (говорит Платон) ощущения, которые возникают от насильственных страстей. Но фантазия, получая средний центр в порядке познаний, возбуждается, действительно, сама по себе и производит то, что подпадает под размышление: но поскольку она не отделена от тела, она выводит в разделение, интервал и фигуру объекты своего знания из неделимости интеллектуальной жизни. Отсюда все, что она знает, есть некое впечатление и форма интеллекта. Ибо она понимает круг, вместе с его интервалом, лишенным, действительно, внешней материи, но обладающим умопостигаемой материей. По этой причине, подобно чувственно воспринимаемой материи, она не содержит один круг только: ибо мы созерцаем в ее вместилище расстояние, вместе с большим и меньшим, и множество кругов и треугольников. Если тогда универсальная природа распределена в чувственно воспринимаемых кругах, поскольку каждый из них завершает круговую фигуру и они все взаимно подобны, существуя в одном умозрении, но различаясь в величинах или предметах: подобным же образом существует общее нечто в кругах, которые существуют в вместилище фантазии, в которых участвуют все ее круги и согласно которым они все обладают одной и той же формой; но в фантазии они обладают лишь одним различием, различием величины. Ибо когда вы воображаете многие круги вокруг одного и того же центра, они все существуют в одном нематериальном субъекте и жизни, которая неотделима от простого тела, которое, обладанием интервалом, превышает сущность, лишенную частей; но они различаются в величине и малости, и потому что они содержатся и содержат. Отсюда та универсалия является двоякой, которая понимается как существующая во многом: одна, действительно, в чувственно воспринимаемых формах; другая же — в таких, которые суть воображаемые. И умозрение круговой и треугольной фигуры, и фигуры вообще, является двояким. Одно существует в умопостигаемом, другое же — в чувственно воспринимаемой материи. Но до них есть умозрение, которое пребывает в размышлении, и то, которое помещено в самой природе. Первое будучи автором воображаемых кругов и одной формы, которую они содержат; другое же — таких, которые суть чувственно воспринимаемые. Ибо существуют круги, существующие на небесах, и вообще те, которые произведены природой, умозрение которых не подпадает под умозрительное распределение. Ибо в бестелесных причинах вещи, обладающие интервалом, различаются никакими интервалами: такие, которые наделены частями, существуют без частей: и величины без диффузии величины, как, наоборот, в телесных причинах вещи без частей существуют делимо, и такие, которые лишены величины, с протяжением величины. Отсюда круг, пребывающий в размышлении, есть один, простой и свободный от интервала: и величина сама по себе там лишена величины; и фигура выражена никакой фигурой: ибо таковы умозрения, отделенные от материи. Но круг, существующий в фантазии, делим, фигурирован, наделен интервалом, не один только, но один и многое, ни форма только, но распределен с формой. И круг, в чувственно воспринимаемых объектах, сложен, дистанцирован величиной, уменьшен определенным умозрением, полон нелепости и очень далек от чистоты нематериальных природ. Мы должны, следовательно, сказать, что геометрия, когда она утверждает что-либо о круге и диаметре, и о претерпеваниях и аффектах, которые касаются круга; как о контактах, делениях и тому подобном: ни учит, ни рассуждает о чувственно воспринимаемых формах (поскольку она пытается отделить нас от них), ни еще о форме, пребывающей в размышлении (ибо здесь круг один, но геометрия рассуждает о многих, предлагая нечто о каждом и созерцая одно и то же обо всех: и здесь он неделим, но геометрический круг делим); но мы должны признать, что она рассматривает универсалию саму по себе; однако как распределенную в воображаемых кругах. И что она созерцает, действительно, один круг: и посредством другого созерцает круг, пребывающий в глубинах размышления: но посредством другого, отличного от предыдущего, создает прекрасное разнообразие своих доказательств. Ибо поскольку размышление наделено умозрениями, но не может созерцать их свернуто, отделенными от материальной фигуры; оно распределяет и удаляет их и выводит их наружу, сидящими в теневом лоне фантазии и помещенными в вестибюлях первичных форм; вращая в ней, или вместе с ней, знание их: любя, действительно, отделение от чувственно воспринимаемого, но находя воображаемую материю подобающей для принятия своих универсальных форм. Отсюда ее интеллекция не существует без фантазии. И композиции и деления фигур суть воображаемые; и их знание есть путь, который ведет нас к той сущности, преследуемой размышлением: но само размышление еще не прибывает к этой устойчивой сущности, пока оно смотрит вовне на внешнее, созерцает свои внутренние формы согласно им, использует впечатления умозрений и движется от себя к внешним и материальным формам. Но если оно должно когда-либо быть способным вернуться к себе, когда оно сократило интервалы и впечатления и созерцает множество без впечатления и существующее единообразно; тогда оно превосходно воспримет геометрические умозрения, лишенные деления и интервала, существенные и жизненные, которых есть обильное разнообразие. И эта энергия будет лучшей целью геометрического изучения; и действительно, занятием меркурианского дара, возвращающим его, как от некой Калипсо и ее удерживающих чар, к более интеллектуальному знанию; и освобождающим его от тех формирующих постижений, которыми полно зеркало фантазии. Действительно, необходимо, чтобы истинный геометр был занят этим размышлением и должен установить, как свою подобающую цель, возбуждение и переход от фантазии к одному лишь размышлению; и что он должен совершить это, отделяя себя от интервалов и пассивного интеллекта к той энергии, которую содержит размышление. Ибо этим средством он воспримет все вещи без интервала, круг и диаметр без части, многоугольники в круге, все во всем, и все же каждый отдельно и врозь. Поскольку по этой причине мы являем также в фантазии как круги, вписанные в многоугольники, так и многоугольники в кругах; имитируя альтернативное явление умозрений, лишенных частей. Отсюда, следовательно, мы описываем конституции, происхождение, деления, положения и применения фигур: потому что мы используем фантазию и расстояния такого рода, происходящие от ее материальной природы; поскольку форма сама по себе неподвижна, без генерации, неделима и свободна от всякого субъекта. Но все, что форма содержит сокровенно и недистантным образом, производится в фантазию, существующую с интервалами, делимо и расширенно. И то, что, действительно, производит формы геометрического созерцания, есть размышление: но то, из чего они производятся, есть форма, пребывающая в размышлении: и то, в чем пребывает произведенная фигура, есть то, что называется пассивным интеллектом. Который складывает себя вокруг неделимости истинного интеллекта, отделяет от себя силу чистого интеллекта, свободного от интервала; сообразует себя согласно всем бесформенным видам и становится совершенно всем, из чего состоит само размышление и наш неделимый разум. И на этом довольно относительно геометрической материи, поскольку мы не невежественны относительно того, что Порфирий Философ заметил в своих «Смесях» и что многие из платоников описывают. Но мы думаем, что настоящие дискуссии более согласуются с геометрическими диссертациями и с самим Платоном, который подчиняет геометрии объекты размышления. Ибо эти взаимно согласуются между собой; потому что причины, действительно, геометрических форм, посредством которых размышление производит доказательства, предсуществуют в самом доказательстве: но частные фигуры, которые делятся и соединяются, расположены в вместилище фантазии.

ГЛАВА II.

Какого рода наука есть геометрия.

Но давайте теперь поговорим о той науке, которая обладает силой созерцания универсальных форм, в которых участвует воображаемая материя. Геометрия, следовательно, наделена знанием величин и фигур, и терминов и умозрений, существующих в них; вместе с претерпеваниями, различными положениями и движениями, которые случаются вокруг них. Ибо она исходит, действительно, из неделимой точки, но спускается даже к телам и обнаруживает их многообразные различия. И опять, бежит назад от вещей более сложных к вещам более простым и к началам их: поскольку она использует композиции и разрешения, всегда начиная с предпосылок и принимая свои начала из предыдущей науки; но используя все диалектические пути. В началах — посредством делений форм от их родов и посредством определения своих речей. Но в вещах, последующих началам, — посредством доказательств и разрешений. Как также она являет вещи более разнообразные, происходящие из таких, которые суть более простые, и возвращающиеся к ним опять. Помимо этого, она отдельно рассуждает о своих предметах; отдельно об аксиомах; из которых она восходит к доказательствам; и отдельно о существенных акциденциях, которые она показывает, что они также пребывают в ее предметах. Ибо каждая наука имеет, действительно, род, вокруг которого она имеет дело и чьи претерпевания она предлагает рассмотреть: и помимо этого, начала, которые она использует в доказательствах; и существенные акциденции. Аксиомы, действительно, общи для всех наук (хотя каждая использует их в своей особой предметной материи), но род и существенная акциденция варьируются согласно научному разнообразию. Предметы геометрии суть, следовательно, действительно, треугольники, четырехугольники, круги и вообще фигуры и величины, и границы их. Но ее существенные акциденции суть деления, отношения, контакты, равенства, применения, излишки, недостатки и тому подобное. Но ее петиции и аксиомы, посредством которых она доказывает каждую частности, суть: это, провести прямую линию из любой точки в любую точку; и то, что если от равных вы отнимете равные, остатки будут равны; вместе с петициями и аксиомами, следующими из них. Отсюда не всякая проблема или искомая вещь есть геометрическая, но такая только, которая проистекает из геометрических начал. И тот, кто опровергнут и уличен из них, убежден как геометр. Но кто бы ни был убежден из начал, отличных от этих, не есть геометр, но чужд геометрическому созерцанию. Но объекты негеометрического исследования суть двух видов. Ибо искомая вещь либо из совершенно иных начал, как мы говорим, что музыкальное исследование чуждо геометрии, потому что оно исходит из других предпосылок, а не из начал геометрии: либо она такая, которая использует, действительно, геометрические начала, но в то же время превратно, как если бы кто-то сказал, что параллели совпадают. И по этой причине геометрия также являет нам инструменты суждения, посредством которых мы можем знать, какие вещи следуют из ее начал и какие суть те, которые падают от истины ее начал: ибо некоторые вещи сопровождают геометрические, другие же — арифметические начала. И зачем нам говорить о других, поскольку они далеко отстоят от них? Ибо одна наука более достоверна, чем другая (как говорит Аристотель), та, действительно, которая исходит из более простых предпосылок, чем та, которая использует более разнообразные начала; и та, которая говорит «почему», чем та, которая знает только простое существование вещи; и та, которая имеет дело с умопостигаемым, чем та, которая касается и занята чувственно воспринимаемым. И согласно этим определениям достоверности арифметика есть, действительно, более достоверная, чем геометрия, поскольку ее начала превосходят своей простотой. Ибо единство лишено положения, которым наделена точка. И точка, действительно, когда она получает положение, есть начало геометрии: но единство — арифметики. Но геометрия более достоверна, чем сферика; и арифметика — чем музыка. Ибо они представляют универсально причины тех теорем, которые содержатся под ними. Опять же, геометрия более достоверна, чем механика, оптика и катоптрика. Потому что они рассуждают только о чувственно воспринимаемых объектах. Начала, следовательно, геометрии и арифметики различаются, действительно, от начал других наук; но гипотезы этих двух попеременно различаются и согласуются согласно различию, которое мы уже описали. Отсюда также, что касается теорем, которые доказываются в этих науках, некоторые суть, действительно, общие для них, но другие — особые. Ибо теорема, которая говорит, «всякая пропорция может быть выражена», одна принадлежит арифметике; но ни в коем случае не геометрии: поскольку эта последняя наука содержит вещи, которые не могут быть выражены. Та теорема также, которая утверждает, что гномоны четырехугольников ограничены согласно наименьшему, есть свойство арифметики: ибо в геометрии минимум не может быть дан. Но те вещи суть особые для геометрии, которые имеют дело с положениями; ибо числа не имеют положения: которые уважают контакты; ибо контакт найден в непрерывных количествах: и которые имеют дело с неизреченными пропорциями; ибо где деление переходит в бесконечность, там также найдено то, что неизреченно. Но вещи, общие для обеих этих наук, суть такие, которые уважают деления, о которых Евклид трактует во второй книге; кроме того предложения, которое делит прямую линию в крайней и средней пропорции. Опять же, из этих общих теорем некоторые, действительно, перенесены из геометрии в арифметику; другие же — наоборот, из арифметики в геометрию: и другие подобно согласуются с обоими, которые извлечены в них из всей математической науки. Ибо перестановка, действительно, конверсии, композиции и деления отношений суть, таким образом, общие для обоих. Но такие вещи, как соизмеримые, арифметика первой созерцает; но впоследствии геометрия, имитируя арифметику. Откуда, также, она определяет такие вещи как соизмеримые этого рода, которые имеют то же взаимное отношение друг к другу, как число к числу; потому что соизмеримость преимущественно существует в числах. Ибо где число, там также найдено то, что соизмеримо; и где соизмеримо, там также число. Наконец, геометрия первой инспектирует треугольники и четырехугольники: но арифметика, получая их из геометрии, рассматривает их согласно пропорции. Ибо в числах фигуры пребывают причинным образом. Будучи возбуждены, следовательно, от эффектов, мы переходим к их причинам, которые содержатся в числах. И в одно время мы безразлично созерцаем одни и те же акциденции, как когда всякий многоугольник разрешается нами на треугольники: но в другое время мы довольствуемся тем, что ближе всего к истине, как когда мы находим в геометрии один четырехугольник, двойной другому, но не находя этого в числах, мы говорим, что один квадрат двойной другого, кроме как по дефициту единства. Как, например, квадрат от 7 есть двойной квадрата от 5, недостающий одного. Но мы представили наше обсуждение до этой длины с целью доказательства общности и различия в началах этих двух наук. Поскольку принадлежит геометру созерцать, из каких общих начал общие теоремы делятся; и из каких начал такие, которые суть особые, происходят; и таким образом различать между геометрическим и негеометрическим, относя каждое из них к различным наукам.