«Тайна пространства»

Риману, таким образом, принадлежит заслуга в том, что он первым обнародовал идею о том, что пространство, будучи частным случаем многообразия, является генерируемым, а следовательно, конечным. Он заложил фундамент для создания особого вида геометрии, известной как «эллиптическая». Пространство, как его видел он, обладало следующими свойствами, а именно: генерируемостью, делимостью, измеримостью, весомостью, конечностью и гибкостью.

Это шесть столпов, на которых покоится структура анализов гиперпространства. [5]

Генерируемость — это то свойство геометрического пространства, в силу которого оно может быть сгенерировано или сконструировано движением линии, плоскости, поверхности или тела в направлении вне себя. Делимость — это то свойство геометрического пространства, в силу которого оно может быть сегментировано или разделено на отдельные части и наложено или вставлено друг на друга или между собой. Измеримость — это то свойство, в силу которого геометрическое пространство определяется как многообразие либо положительной, либо отрицательной кривизны, а также то, с помощью которого может быть измерена его протяженность. Весомость — это то свойство геометрического пространства, в силу которого оно может рассматриваться как величина, которой можно манипулировать, сортировать, размещать на полках или иным образом распоряжаться. Конечность — это то свойство, в силу которого геометрическое пространство ограничено рамками индивидуального сознания унидима, дуодима или тридима и в силу которого оно конечно по протяженности. Гибкость — это то свойство, в силу которого геометрическое пространство рассматривается как обладающее кривизной, и в результате чего движение через него совершается по кривой, а не по геодезической линии, а также то, в силу которого оно может быть изогнуто без разрушения или дилатации.

Риман, который таким образом подготовил путь для входа в настоящий лабиринт гиперпространств, поэтому справедливо именуется «отцом метагеометрии», а четвертое измерение — его первенец. Он умер, когда ему было всего сорок лет, и никогда не жил достаточно долго, чтобы полностью разработать свою теорию в отношении ее применения к мере кривизны пространства. Это было оставлено его очень энергичному ученику Эудженио Бельтрами (1835–1900), который родился через девять лет после Римана и прожил на тридцать четыре года дольше него. Его труды знаменуют характерную точку зрения детерминативного периода. Математические исследования Бельтрами были посвящены главным образом неевклидовой геометрии. Они привели его к довольно замечательному выводу, что положения, воплощенные в ней, относятся к фигурам, лежащим на поверхностях постоянной отрицательной кривизны.

Бельтрами стремился показать, что такие поверхности имеют природу псевдосферы, и при этом использовал следующую иллюстрацию:

Fig. 3.

Fig. 4.

Если плоскую фигуру aabb заставить вращаться вокруг своей оси симметрии AB, две дуги, ab и ab, опишут псевдосферическую вогнуто-выпуклую поверхность, подобную поверхности сплошного кольца. Вверху и внизу, по направлению к aa и bb, поверхность будет поворачиваться наружу с постоянно возрастающим изгибом, пока не станет перпендикулярной к оси и не закончится у края с бесконечной кривизной. Или половина псевдосферической поверхности может быть свернута в форму бокала для шампанского, как на рис. 4. Таким образом, две самые прямые линии псевдосферической поверхности могут быть неограниченно продолжены, давая своего рода пространство (псевдосферическое), в котором аксиома о параллельных не выполняется.

Детерминативный период знаменует собой важнейший этап в развитии неевклидовой геометрии и, безусловно, самый значительный в эволюции идеи гиперпространств и многомерности. Риман и Бельтрами являются главными среди тех, чьи труды характеризуют масштаб этого периода. Их работа дала направление и общие очертания для последующих разработок, и все последующие исследования по этим линиям проводились в строгом соответствии с принципами, заложенными этими пионерами-конструкторами. Они разметили поле и обозначили его границы, за которые с тех пор никто из искателей приключений не осмеливался переступить.

Огромное значение работы Римана в это время можно увидеть далее в том факте, что она не только ознаменовала начало новой эпохи в геометрии; но его провозглашение гипотезы о том, что пространство безгранично, хотя и конечно, является действительно первым разом в истории человеческой мысли, когда было выражено мнение, что пространство может быть лишь ограниченным по протяженности. До того времени умы всех людей, казалось, были единодушны в рассмотрении пространства как безграничной и бесконечной величины.

Элаборативный период

Элаборативный этап включает в себя работу всех тех, кто, работая на фундаментах, заложенных Лобачевским, Бойяи, Швейкартом и Риманом, стремился расширить выводы, достигнутые ими. Среди тех, чьи исследования значительно приумножили приложения концепций гиперпространства, — Оэль (1866) и Фли Сент-Мари (1871) из Франции; Гельмгольц (1868), Фришауф (1872), Клейн (1849) и Бальцер (1877) из Германии; Бельтрами (1872) из Италии; Де Тилли (1879) из Бельгии; Клиффорд и Кэли (1821) из Англии; Ньюком (1835) и Халстед из Америки.

Они были наиболее активны в популяризации предмета неевклидовой геометрии и, попутно, идеи четвертого измерения. Огромная масса непрофессиональных математических читателей, следовательно, обязана этим людям неизмеримым долгом благодарности за работу, которую они проделали в деле придания концепциям, составляющим ткань метагеометрии, понятности и мыслимости. Взгляд на библиографию, приложенную в конце этого тома, даст некоторое представление об огромном объеме труда, который был затрачен в попытке перевести самые абстрактные математические принципы на язык, который мог бы быть легко понят средним интеллигентным человеком.

Характерной точкой зрения этого периода является популярное понимание концепции гиперпространства и последующее ментальное освобождение, которое за этим следует. Ибо нет сомнений в том, что неслыханные возможности мысли были раскрыты исследованиями природы пространства. Совершенно новый мир был открыт для обозрения, и только начало было положено в исследовании его протяженности и ресурсов.

Одним из примечательных событий ранних лет этого периода является позиция, занятая Феликсом Клейном, который находится примерно в таком же отношении к Кэли, как Бельтрами к Риману, в том, что он взял на себя задачу завершения работы своего предшественника. Клейн придерживался мнения, что существует только два вида риманова пространства — эллиптическое и сферическое. Или, другими словами, что существует только два возможных вида пространства, в которых могли бы применяться положения, провозглашенные Риманом. Софус Ли, названный «великим сравнительным анатомом геометрических теорий», довел свои классификации до окончательного вывода в связи с пространствами всех видов и решил, что возможны только четыре вида трехмерных пространств.

Но независимо от того, установят ли люди с проницательным, микроскопическим, гистологическим зрением существование одного или многих пространств, и независимо от математической строгости, с которой они будут доказывать самосогласованность доктрин, которых они придерживаются, остается фактом то, что гипотезы, таким образом поддерживаемые, хотя их можно рассматривать как верные описания рассматриваемых пространств, являются, тем не менее, несовместимыми. Все они не могут быть верными. Возможно, будет обнаружено, что ни одна из них не является верной, особенно объективно. Единственный верный взгляд, следовательно, на эти системы гиперпространств — это тот, который отводит им надлежащее место в бесконечно обширном мире чистого матезиса, где их верность может оставаться неоспоримой, а их существование — не подвергаться сомнению; ибо в этой области неограниченного мышления, в том царстве божественной интуитивности, удивительной стране чудес идей и понятий, человек не только не склонен сомневаться в их логической актуальности, но и вполне готов признать их притязания.

ГЛАВА III

Основы неевклидовой геометрии

Неевклидова геометрия, касающаяся исключительно концептуального пространства — Результат неудач в решении постулата о параллельных — Основа неевклидовой геометрии — Кривизна пространства и многообразие — Некоторые элементы неевклидовой геометрии — Достоверность, необходимость и универсальность как оплоты геометрии — Некоторые последствия усилий по решению постулата о параллельных — Окончательный итог неевклидовой геометрии — Расширенное сознание.

Термин «неевклидова» используется для обозначения любой системы геометрии, которая не является строго евклидовой по содержанию.

Интересно отметить, как этот термин стал использоваться. По-видимому, он был впервые применен Гауссом. Однако он не пришел к нему внезапно, так как в переписке между ним и Вахтером в 1816 году он использовал обозначение «антиевклидова», а затем, позже, вслед за Швейкартом, он принял терминологию последнего и назвал ее «Астральной геометрией». Это он нашел в первом опубликованном трактате Швейкарта, известном под этим названием, который появился в Марбурге в декабре 1818 года. Наконец, в своей переписке с Тауринусом в 1824 году Гаусс впервые использовал выражение «неевклидова» для обозначения системы, которую он разработал, и продолжал использовать его в своей переписке с Шумахером в 1831 году.

«Нележандрова», «полуевклидова» и «неархимедова» — это названия, используемые М. Деном для обозначения всех видов геометрий, которые представляли собой отклонения от гипотез, заложенных Лежандром, Евклидом и Архимедом.

Полуевклидова — это система геометрии, в которой сумма углов треугольника, как говорят, равна двум прямым углам, но в которой можно провести бесконечное множество параллелей к прямой линии через данную точку. Неевклидова геометрия охватывает все результаты, полученные в результате усилий, предпринятых для поиска удовлетворительного доказательства постулата о параллельных, и поэтому основана на концепции пространства, которая расходится с той, которой придерживался Евклид. Согласно ионийской школе, пространство — это бесконечный континуум, обладающий однородностью на всем своем протяжении. Неевклиды утверждают, что пространство — это не бесконечное протяжение, а конечное, хотя и безграничное многообразие, способное быть сгенерированным движением точки, линии или плоскости в направлении вне себя. Также считается, что пространство искривлено и существует в форме сферы или псевдосферы и, следовательно, является эллиптическим.

Неприменимость постулата о параллельных Евклида к линиям, проведенным на поверхности сферы, подсказала возможность существования пространства, в котором постулат мог бы применяться ко всем возможным поверхностям, или того, что само пространство может быть сферическим, и в этом случае постулат был бы полностью аннулирован. Следовательно, вполне естественно, что математики, обнаружив, что не могут доказать постулат с должной математической точностью, обратили свое внимание на концептуально возможное. В этом фактическом отказе от перцептивного в пользу концептуального заключается фундаментальное различие между евклидовой и неевклидовой геометриями. Можно сказать в заслугу евклидов, что они стремились сделать свои геометрические концепции как можно более соответствующими фактической природе вещей в чувственном мире, в то же время они, должно быть, осознавали, что в лучшем случае их пространственные понятия были лишь приближениями к чувственной реальности объектов в пространстве.

С другой стороны, неевклиды не делают вид, что обнаруживают какое-либо соответствие между своими понятиями и вещами, как они есть на самом деле. Отношение метагеометров в этом отношении очень метко описано Кассиусом Джексоном Кейзером, который говорит:

«Он конструирует в мысли не имеющую вершины иерархию гиперпространств, бесконечную серию упорядоченных миров, миров, которые возможны и логически актуальны, и он довольствуется тем, что не знает, является ли какой-либо из них актуальным или актуализированным иным образом». [6]

Неевклидова геометрия, следовательно, не обеспокоена применимостью ансамблей, понятий и положений к реальным, перцептивным условиям пространства. Ему достаточно знать, что его творения мыслимы. Как только он может разрешить туманность своего сознания в концептуальные «звездные формы» определенных идей и понятий, он садится за пир, который находит предоставленным супероплодотворенными гипотезами, изготовленными в глубинах разума и логических актуальностей, невозмутимый и не заботящийся о благе перцептивного пространства в его однородности формы и размерности.

Фундаментально неевклидова геометрия построена почти полностью на основе концептуального пространства. Знание о ее содержании, соответственно, выводится из сверхперцептивного представления отношений и взаимоотношений, существующих между понятиями, идеями, положениями и величинами, возникающими из концептуального рассмотрения оных. Другими словами, представления о неевклидовых величинах нельзя назвать строго перцептивными в том же смысле, в каком воспринимаются величины трехмерного пространства; ибо величины трехмерного пространства — это действительно чувственные объекты, в то время как величины гиперпространства — нет. Они далеки от чувственного мира, и чтобы постичь их, нужно поднять свое сознание с чувственного плана на концептуальный план и осознать класс восприятий, которые не являются восприятиями в строгом смысле слова, а сверхвосприятиями; потому что они являются представлениями концептов, а не перцептов.

Понятия перцептивного пространства состоят из тройных представлений, возникающих из визуальных, тактильных и моторных ощущений, которые сливаются вместе в их окончательной доставке сознанию. Синтез этих трех чувственных доставок достигается путем уравновешивания их соответствующих различий и путем исправления восприятий одного чувства восприятиями другого таким образом, чтобы получить полностью надежное восприятие объекта. Это тот способ, которым устанавливаются характеристики евклидова пространства.

Характеристики неевклидова пространства достигаются не совсем таким способом. Находясь за пределами сферы визуальных, тактильных и моторных чувственных восприятий, нельзя сказать, что они представляют суждения, полученные из какого-либо рассмотрения или разработки доставок, представленных через эти медиа. Тем не менее, субстанция метагеометрии, или науки об измерении гиперпространств, не может рассматриваться как априорная надстройка, на которой основана система. То есть концептуальное пространство неевклидовой геометрии не представляется сознанию как априорное понятие. С другой стороны, апостериорное качество метагеометрических пространств отмечает весь масштаб подвижности понятий, относящихся к ним.

Понятия, следовательно, концептуального пространства выводимы только из восприятия концептов, или, иначе, состоят из суждений относительно межконцептуальных отношений. Процесс апперцепции, вовлеченный в распознавание отношений, которые могут быть методически определены, сильно удален от первичной процедуры восприятия чувственных впечатлений и слияния их в окончательные доставки сознанию для концептуализации или разработки в концепты или общие понятия. Это процедура, которая во всех отношениях является сверхконцептуальной и внечувственной. Метагеометр или аналитик никоим образом не полагается на чувственные доставки для данных своих конструкций; ибо, если бы он это делал, он был бы тогда сведен к необходимости ограничивать свои выводы сферой подвижности, навязанной чувственным миром, с результатом, что мы были бы способны эмпирически проверять все его постулаты. Но, напротив, он обращается к внечувственному, и там, в царстве чистой концептуальности, он находит необходимую свободу для своих теорий; таким образом, окруженный своего рода интеллектуальным анархизмом, он преследует аналитические удовольствия совершенно беспрепятственно. Разница между двумя ментальными процессами — тем, который ведет от чувственного мира к концепции, и тем, который сворачивает в поля за его пределами, — настолько велика, что едва ли позволительно рассматривать результаты, достигнутые в исходе отдельных процессов, как идентичные.

Чтобы проиллюстрировать эту разницу, давайте проведем аналогию. Шахтер добывает железную руду из земли. Железо отделяется от постороннего материала и доставляется в печи, где металл плавится и выходит как чугун. Он подвергается дальнейшей обработке, и производятся сталь различных сортов, литое железо и другие виды железа. Обработка железной руды до этой стадии аналогична обработке чувственных впечатлений Мыслителем. Сталь, литое железо и т. д. аналогичны ментальным концептам. Позже сталь и другие продукты превращаются в инструменты и многочисленные изделия. Это представляет сверхперцептивный процесс. Торговля продуктами железной руды, такими как точные инструменты, пружины часов и тому подобное, представляет собой стадию, еще более удаленную от первичной обработки руды, и аналогична той, которой подвергаются концепты, когда метагеометр манипулирует ими при конструировании концептуальных пространственных форм. Восприятие — это работа с сырой железной рудой, в то время как концепция аналогична производству готового продукта.

Сверхвосприятие было бы аналогично торговле готовым продуктом как таковым и без какой-либо ссылки на источник или предшествующие процессы. Таким образом, понятия и суждения неевклидовой геометрии достигаются в результате тройного процесса восприятия, концепции и сверхвосприятия, причем последнее лишь сверхпостигается как формальные пространственные понятия. Но очевидно, что чем сложнее процессы, с помощью которых выводятся суждения, претендующие на отношение к перцептивным вещам, тем более вероятно, что эти суждения будут расходиться с природой самих вещей.

Ввиду вышесказанного опасности, возникающие в результате отождествления продуктов двух процессов, действительно очень очевидны. Но разница между двумя процедурами — это разница между евклидовой и неевклидовой геометриями или разница между понятиями перцептивного пространства и понятиями концептуального пространства. Следовательно, не совсем понятно, как или почему кому-то пришло в голову, что эти два понятия могут быть сделаны конгруэнтными. Величины в перцептивном, чувственном пространстве — это вещи, отличные от тех, которые можно сказать, существуют в математическом пространстве, или того пространства, чьи качества и свойства не имеют существования вне разума, который их постиг. Считается совершенно невозможным подходить к изучению метагеометрических положений с ясным, открытым умом, предварительно не поняв фундаментальных различий, которые существуют между ними.

Следовательно, логическим выводом является то, что геометрическое пространство любого характера является чисто формальной конструкцией интеллекта, и по этой причине оно полностью находится под суверенитетом интеллекта, какими бы причудливыми ни были его требования. Будучи таким образом творением интеллекта, его возможности ограничены только ограничениями самого интеллекта. Перцептивное пространство, не являясь ни творением интеллекта, ни обязательно априорным понятием, пребывающим в ментальной надстройке, а существующим совершенно независимо от интеллекта или его постижения оного, не может ожидаться, что оно будет соответствовать чисто формальным ограничениям, налагаемым разумом, за исключением тех случаев, когда эти ограничения могут быть определены природой перцептивного пространства. И, кстати, не следует забывать, что у нас до сих пор нет средств определить, является ли свидетельство интеллекта полностью заслуживающим доверия, просто потому, что нет другого стандарта, по которому мы могли бы проверить его свидетельство. Можно оправдать доставки глаза чувством осязания, или наоборот. Также возможно доказать все наши чувственные доставки одним или другим из чувств. Но у нас нет такой удачи с доставками интеллекта. Мы просто должны принять его свидетельство как окончательное; потому что мы не можем сделать ничего лучшего. Но если бы было возможно исправить свидетельство интеллекта какой-то другой способностью или силой, которая по своей природе могла бы быть более точной, чем интеллект, следовало бы обнаружить, что сам интеллект прискорбно ограничен.

Возможная кривизна пространства — это понятие, которое также характеризует содержание неевклидовой геометрии. Именно на этом понятии покоится вопрос о конечности и безграничности пространства в математическом смысле. В искривленном пространстве самая прямая линия — это кривая линия, которая возвращается сама к себе. Движение на восток приводит к западу; движение на север приводит к югу и т. д. С этой точки зрения пространство конечно, но не может рассматриваться как обладающее границами.

Кривизна пространства, подкрепленная идеей о том, что пространство также является многообразием, является разрешающим пунктом метагеометрии, и без них аналитик не смеет продолжать. Здесь снова мы приходим к признанию того, что, какими бы фантастическими эти два понятия ни казались и очевидно являются, в них тем не менее следует признать «тусклый проблеск» истинной реальности — легкое предвестие откровения какой-то великой космической тайны.

Многообразие пространства — это фиат анализа. Оно является неизбежным следствием метода действий аналитика. Его образование, подготовка и общий взгляд на вещи препятствуют тому, чтобы он пришел к какому-либо иному результату, и его можно великодушно простить за создание пространственного многообразия. Ибо благодаря ему, возможно, может быть достигнуто лучшее понимание того удивительного расширения сознания, в природе которого заключено объяснение озадачивающих проблем, лишь смутно намеченных многообразием и другими метагеометрическими ухищрениями.

В свете вышесказанного уместно рассмотреть некоторые относительные достоинства трех формальных оплотов геометрического знания. Это достоверность, необходимость и всеобщность.

Геометрическая достоверность проистекает исключительно из природы предпосылок, на которых она основана. Если предпосылки противоречивы, она, разумеется, дефектна. Но если предпосылки непротиворечивы или самоочевидны, то достоверность геометрических понятий и выводов является обоснованной. Еще одним соображением первостепенной важности в этой связи является определение. Из него исходят все предпосылки. Следовательно, определение даже важнее предпосылки; ибо оно является устойчивым детерминантом всех геометрических выводов, в то время как предпосылка зависит от ограничений определения. Детерминативный характер определения привел к его апофеозу; но это, по общему признанию, было необходимо для придания стабильности и постоянства последующим выводам. Однако, несмотря на это, представляется, что достоверность геометрических выводов не является качеством, которое следует считать абсолютным или окончательным.

С той же уверенностью, с какой можно сказать, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам, можно утверждать, что эта сумма также больше или меньше двух прямых углов. Достоверность, основанная на внутренней согласованности определений, предпосылок и суждений, — это совсем не то, что достоверность, возникающая из реальной, непреходящей обоснованности системы мышления. Но это различие не уменьшается тем фактом, что последняя в некоторой мере зависит от правильной систематизации нашего пространственного опыта посредством методических процессов. Евклидова геометрия, соответственно, не столько достоверна в своих приложениях, сколько утилитарна; но неевклидова геометрия еще менее достоверна, чем первая, и, следовательно, в большей степени лишена утилитарных возможностей.

Необходимость геометрических определений — это лишь та необходимость, которая присуща логическим выводам или дедукциям. Они могут быть обоснованными или нет. Поскольку необходимость дедукций в первую очередь основана на условной достоверности предпосылок и определений, представляется, что это качество никоим образом не является специфическим для геометрии, будь то евклидова или неевклидова. Точно так же всеобщность геометрических суждений не может должным образом рассматриваться как особенность геометрии; она объяснима на основе формального характера лежащих в ее основе допущений. Таким образом, главная ценность неевклидовой геометрии, по-видимому, заключается в том, что она проясняет наше понимание сложных процессов, с помощью которых возможно организовать и систематизировать наш пространственный опыт для усвоения и использования в других областях знания.

После вышеприведенного изложения вопроса о неевклидовой геометрии теперь считается допустимым кратко изложить некоторые ее элементы. [7]

Ниже приведены некоторые элементы, полученные в результате усилий как по доказательству, так и по опровержению постулата Евклида о параллельных:

«Если две точки определяют линию, она называется прямой».

«Если две прямые образуют с секущей равные накрест лежащие углы, они имеют общий перпендикуляр».

«Часть прямой называется отрезком».

«Если два равных компланарных отрезка возведены перпендикулярно к прямой, и если они не пересекаются, то отрезок, соединяющий их концы, образует с ними равные углы и делится пополам перпендикуляром, возведенным посередине между их основаниями».

«Сумма углов прямолинейного треугольника есть развернутый угол в гипотезе прямого (угла); больше развернутого угла в гипотезе тупого (угла); меньше развернутого угла в гипотезе острого (угла)».

«Гипотеза прямого угла — евклидова; гипотеза острого угла — бойяи-лобачевская; гипотеза тупого угла — риманова».

«Если одна прямая параллельна второй, то вторая параллельна первой».

«Параллельные постоянно приближаются друг к другу».

«Перпендикуляры, возведенные в средней точке сторон треугольника, все параллельны, если две из них параллельны».

«Если основание перпендикуляра скользит по прямой, его конец описывает кривую, называемую эквидистантной кривой, или эквидистантой».

«Эквидистанта будет скользить по своему следу».

«В гипотезе тупого угла прямая имеет конечный размер и возвращается в саму себя».

«Две прямые всегда пересекаются».

«Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, пересекаются в точке, отстоящей на полпрямой от третьей в любую сторону».

«Полюс находится на расстоянии полпрямой от своей поляры».

«Поляра есть геометрическое место компланарных точек, отстоящих на полпрямой от своего полюса. Следовательно, если полюс одной прямой лежит на другой прямой, то полюс этой второй прямой лежит на первой прямой».

«Пересечение двух прямых есть полюс соединения их полюсов».

«Любые две прямые заключают плоскую фигуру, дигон».

«Два дигона конгруэнтны, если их углы равны».

«Эквидистанта есть окружность с центром в полюсах своей базовой прямой».

Типичным постулатом, основанным на гипотезе Бойяи об остром угле, является следующий:

«Из любой точки P опустите PC, перпендикуляр к любой заданной прямой линии AB. Если D движется бесконечно по лучу CB, отрезок будет приближаться как предел к PF, имеющему общую точку с AB в бесконечности».

Fig. 5.

PD называется в точке P параллельной к AB по направлению к B. PF образует с PC угол CPF, который называется углом параллельности для перпендикуляра PC. Он меньше прямого угла на величину, которая является пределом дефицита треугольника PCD. С другой стороны от PC равный угол параллельности дает параллельную P к BA по направлению к AM. [8] Таким образом, в любой точке есть две параллели к прямой. Прямая, следовательно, имеет две отдельные точки в бесконечности».

«Прямые через P, которые образуют с PC угол, больший угла параллельности и меньший его дополнения, не пересекают прямую AB вовсе, даже в бесконечности».

Постулат о параллельных формулируется в неевклидовой геометрии следующим образом:

«Если прямая линия, встречающая две прямые линии, образует те углы, которые являются внутренними и по одну сторону от нее, меньшими двух прямых углов, то две прямые линии, будучи продолжены бесконечно, встретятся друг с другом с той стороны, где углы меньше двух прямых углов».

Он изложен Мэннингом [9] на следующем языке:

«Если две линии пересекаются третьей и сумма внутренних углов по одну сторону от секущей линии меньше двух прямых углов, то линии встретятся с этой стороны при достаточном продолжении».

Довольно примечательно, что в этом постулате, который на самом деле является определением пространства, должны быть найдены основания для столь различных интерпретаций его природы. Конечно, как только разум стремится понять бесконечное, интерпретируя его в неизменных терминах кажущегося неизменным конечного, он запутывается в непреодолимых трудностях. Как утопающий хватается за соломинку, так и разум, погруженный в бесконечные бездны бесконечности, не может вести себя подобающим образом; но задыхается, борется и барахтается, и счастлив, если может в глубине своего недоумения обнаружить путь логического спасения. Чистый математик жаждет логической последовательности во всех своих занятиях; для него это «Святой Грааль» его высших стремлений. Он ищет его, как преданный ищет бессмертия. Это для него философский камень, эликсир вечной молодости, вечный критерий всего знания.

Неудачи в доказательстве знаменитого постулата Евклида привели, как следствие, к замене его различными другими постулатами, более или менее эквивалентными ему в том смысле, что каждый из них может быть выведен из другого без помощи какой-либо новой гипотезы.

Среди тех, кто искал доказательство путем переформулировки проблемы, были следующие:

1. Птолемей: Внутренние углы, которые две параллельные образуют с секущей по одну сторону, являются дополнительными.

2. Клавий: Две параллельные прямые линии равноудалены.

3. Прокл: Если прямая линия пересекает одну из двух параллельных, она также пересекает другую.

4. Валлис: При заданном треугольнике можно построить другой треугольник, подобный данному и любого размера.

5. Бойяи (В.): Через три точки, не лежащие на одной прямой, всегда можно провести сферу.

6. Лоренц: Через точку между линиями, ограничивающими угол, всегда можно провести прямую линию, которая пересечет эти две линии.

7. Саккери: Сумма углов треугольника равна двум прямым углам.

Существовало, конечно, много других утверждений и замен, используемых математиками в их попытках удовлетворительно установить истинность постулата о параллельных. То, что их труды должны были закончиться сначала сомнением в нем, затем отрицанием, и, наконец, построением системы геометрий, которая полностью игнорирует постулат, — это именно то, чего можно было естественно ожидать от этих людей, которые дали миру неевклидову геометрию. Делая то, что они делали, многие, если не все из них, в какой-либо мере не осознавали пропорций внушительной надстройки, которая была бы построена на их кажущихся неудачах. Все они, несомненно, должны были чувствовать смутные предвестия, предсказанные разворачивающимися тайнами, которые они стремились обнажить; все они, должно быть, чувствовали, выполняя ранние задачи тех сумеречных дней чистой математики, что путь, по которому они шли, приведет к внутреннему святилищу высшего знания и более широкой свободы; возможно, они были ведомы божественной интуицией, чтобы ступить на этот новый путь, и все же они не могли знать, насколько полно их мечты будут реализованы математиками двадцатого века. Если так, то они были поистине богами, и матезис — их царство.

Аналитик действует на основе, совершенно отличной от той, которая направляет обычного исследователя при формулировании своих выводов. Эмпирический ученый, приходя к своим теориям или гипотезам, во все времена руководствуется степенью соответствия, которую его постулаты демонстрируют фактическим явлениям природы. Он стремится установить, насколько или в какой степени его гипотеза согласуется с вещами, найденными в природе. Если обнаруживается, что диссонанс преобладает, он отказывается от своей теории, делает другое утверждение и снова приступает к определению степени соответствия. Если затем он обнаруживает, что природные явления согласуются с его теорией, он принимает ее как на данный момент окончательно решающую вопрос. Во всем он ограничен ответом, который природа дает на его запросы. Не так с представителем чистой математики. Для него истинность гипотез и постулатов не зависит от того факта, что физическая природа содержит явления, которые им отвечают. Единственным определяющим фактором для него является то, способен ли он заявить с рациональной последовательностью предполагаемые первые принципы, а затем логически развить их следствия. Если он может сделать это, то есть, если он может сформулировать свои гипотезы с последовательностью и развить их следствия в логическую систему мышления, он вполне удовлетворен и доволен своими результатами. Но тот факт, что это верно, имеет жизненно важное значение для всех, кто стремится ясно понять сущностный характер гиперпространственности.

Представляется, следовательно, что наука о следствиях является радикальной сущностью чистой геометрии. Метагеометр пользуется неограниченной свободой в выборе своих постулатов и страдает от ограничений только тогда, когда дело доходит до вопроса последовательности. Он волен сформулировать столько систем геометрии, сколько позволяют барьеры последовательности, и они практически бесчисленны. Таким образом, до тех пор, пока законы совместимости остаются незыблемыми, его умножение систем постулатов может продолжаться бесконечно. Удивительно ли тогда, что в условиях, когда исследователь обладает такой необузданной свободой, его можно застать за преданием математическим излишествам?

Кант утверждал, что аксиомы геометрии являются синтетическими суждениями a priori; но представляется, что в строжайшем смысле это не так. Это зависит от типа разума, который берется в качестве эталона. Если это необразованный разум, то несомненно, что отношения, выраженные аксиомой, никогда не проявились бы в нем спонтанно. Если, с другой стороны, эталоном является образованный разум, то также одинаково несомненно, что эти отношения были бы обнаружены им только после методических операций. Все суждения, к которым пришли в результате логических процессов, должны, по-видимому, рассматриваться как суждения a posteriori, то есть результаты эмпирических операций. По общему признанию, факты, приведенные в ходе экспериментирования, служат ориентирами при выборе среди всех многих возможных логических конвенций; но наш выбор остается ничем не ограниченным, кроме принуждения, возникающего из страха перед противоречивостью. Реальным критерием тогда всех геометрий является не истина, не приложимость и не необходимость, а последовательность и удобство.

Трудность с неевклидами свелась к вопросу о том, является ли более последовательным, а также удобным, установить доказательство постулата, воспользовавшись поддержкой, которую можно найти в других постулатах, или же, ища доказательство, основанное на данных чувственного опыта относительно природы пространства и его свойств, можно прийти к еще более последовательному выводу. У них было дальнейшее недоумение, однако, когда дело дошло до решения о том, производится ли и поддерживается ли органический мир в евклидовом пространстве или в чисто концептуальном пространстве, которое одно может быть постигнуто силами представления разума. Не желая признавать существование мира в евклидовом пространстве, они обратили свое внимание на исследование свойств другого так называемого пространства, которое, в отличие от пространства ионийской школы, могло быть приспособлено для ответа не только на все цели плоских и объемных фигур, но и сферических. И так, многообразное пространство было изобретено Риманом и позже претерпело некоторые замечательные улучшения в руках его ученика, Бельтрами. Но здесь можно сказать в скобках, что истина всего дела заключается в том, что наш мир находится ни в евклидовом, ни в неевклидовом пространстве, оба из которых, в конечном анализе, являются концептуальными абстракциями. Хотя нельзя отрицать, что евклидово пространство является более совместимым.

Проблема разработки пространства, пусть даже очень ограниченной части, в которой можно было бы продемонстрировать предполагаемую альтернативную гипотезу и логически развить ее следствия, вызвала немалую озабоченность у неевклидовых исследователей; но ни Лобачевского, ни Бойяи, ни Римана не могли смутить трудности, с которыми они столкнулись. Они лишь побуждали их к более кропотливому труду. Успешно сконструировав мысленно особый вид пространства, который был адаптируем к их строгим математическим требованиям, им сразу пришло в голову, что все качества ограниченного пространства, таким образом разработанного, могут быть логически усилены и распространены на весь мир пространства, и что то, что верно для фигур, построенных в сегментированной части пространства, которую они использовали для экспериментальных целей, также верно для фигур, начерченных где угодно во вселенной этого пространства, так как все линии, начерченные в конечной, ограниченной части, могли быть продолжены бесконечно, и все величины аналогично обработаны. От этих результатов был лишь один шаг к выводу, который последовал — что либо был открыт совершенно новый мир пространства, либо наше представление о пространстве, в котором был произведен органический мир, совершенно неверно и нуждается в пересмотре. Но, несмотря на непреодолимые препятствия, которые стояли на пути исследователей, предпринявших попытку обнаружить гомологию, которая могла бы существовать между характеристиками вновь созданного пространства и феноменальным миром, исследования проводились с почти поразительной безрассудностью и верностью математическому духу, пока не было обнаружено, что все усилия проследить какие-либо определенные линии соответствия были тщетны. Тогда была принята политика игнорирования вопроса о приложимости и с тех пор преследуется с неизменной регулярностью аналитическим исследователем.

Среди результатов, полученных неевклидами в их глубоких исследованиях природы гиперпространства, есть следующие: 1. Было обнаружено, что сумма углов треугольника, обычно принимаемая за переменную величину, либо меньше, либо больше двух прямых углов, так что строго евклидов прямоугольник не мог быть построен. 2. Суммы углов двух треугольников равной площади равны. 3. Никакие два неравных треугольника не могут иметь одинаковые углы, так что подобные треугольники невозможны, если они не одного размера. 4. Если два равных перпендикуляра возведены к одной и той же линии, расстояние между ними увеличивается с их длиной. 5. Линия, каждая точка которой одинаково удалена от данной прямой линии, есть кривая линия. 6. Любые две линии, которые не встречаются даже в бесконечности, имеют один общий перпендикуляр, который измеряет их минимальное расстояние. 7. Линии, которые встречаются в бесконечности, параллельны. Но очевидно, что эти результаты не последовали из какого-либо математического следствия других поддерживающих постулатов или аксиом, таких, которые поставили бы их на координатную основу с теми, что используются в качестве поддержки для постулата о параллельных; ибо они основаны на представлении совершенно нового принципа восприятия пространства и принадлежат к совершенно другому набору пространственных качеств.

Конечный итог неевклидовой геометрии, следовательно, заключается не в полезности ее процессов и выводов и не в возрастающей склонности к новому взгляду на мир матезиса; но заключается исключительно в возможностях, которые еще предстоит развить в той обширной области аналитического мышления, которую она открыла и представила взору. Сказать, что она проливает какой-либо свет на природу вселенной, — это, возможно, занять радикальную позицию; однако нельзя сомневаться, что исследования, связанные с формулированием неевклидовой геометрии, значительно расширили сферу сознания. Является ли это расширение обоснованным и нормальным или просто гипертрофированным наростом умственной лихорадочности; приблизимся ли мы благодаря ему ближе к пониманию истинной природы разума Бесконечного, или все впадем в безумие — это, безусловно, спорные вопросы. Тем не менее представляется очевидным, что человечество приобрело нечто реальное, непреходящее благодаря этому новому направлению. Если это нечто — лишь расширенное сознание или пробуждение к факту, что существуют стадии осознания за пределами строго чувственных, а все наблюдаемые свидетельства указывают на это, то начался лишь процесс, посредством которого способность сознательного функционирования в этом новом мире станет нормальным достоянием человеческого вида. Но нельзя сказать, что этот новый мир имеет математическое значение; ибо сомнительно, чтобы математические законы, подобные тем, что были разработаны до настоящего времени, действовали в нем. Так что, если что-то и есть, это должно быть психологическим и жизненным.

С этой точки зрения миры гиперпространства, инкрустированные аналитическими многообразиями и постоянными кривизнами, являются лишь первичными возбудителями, которые в конечном итоге пробудят в разуме способность осознания в новой области психологического содержания. Тогда наступит цветение дневного цветка бессмертия разума и выведение органа сознания, с помощью которого бесконечные просторы гиперпространств, низменные долины реальных и мнимых чисел и возвышающиеся холмы конечных и бесконечных величин будут лишены своих тайн и предстанут в своей унитарности, больше не окутанные завесой непостижимого и непонимаемого.

Четвертое измерение, рассматриваемое некоторыми как новая сфера движения для объектов в пространстве, другими как новое и странное направление пространственной протяженности, а еще другими как дверной проем храма экзегезы, в котором может быть найдено объяснение для всего конгломерата тайн и супертайн, которые сейчас озадачивают человеческий разум, может также считаться ключом к неевклидовой геометрии. Но оно действительно усложняет ситуацию; ибо нужно быть способным к длительному абстрактному мышлению, чтобы даже представить его как концептуальную возможность. Пуанкаре [10] говорит: «Любой, кто посвятил бы этому свою жизнь, мог бы, возможно, в конечном итоге вообразить четвертое измерение», подразумевая тем самым, что жизнь длительного абстрактного мышления необходима, чтобы привести разум к той точке экстаза, где он мог бы даже вообразить это дополнительное измерение. Тем не менее, именно им (четвертым измерением) была создана неевклидова геометрия, и без него не было создано ни одно из гиперпространств, которые были созданы. Именно взгляд, который геометры приняли на пространство в целом, сделал возможным четвертое измерение, и не только четвертое, но и измерения всех степеней. Основание неевклидовой геометрии можно найти тогда в понятии пространства, которое преобладало в умах исследователей.

Наконец, следует отметить, что неевклидова геометрия, хотя и является последовательной системой постулатов, была построена на заблуждении, основанном на отождествлении реального, перцептивного пространства с системами пространственных измерений. Гиперпространства, которые вообще не являются пространствами, не следует путать с реальным пространством. Но они составляют субстанцию неевклидовой геометрии; они — ее кровь и жилы. Их изучение интересно из-за возможностей спекуляции, которые оно предлагает. Ни один разум, который глубоко размышлял о тонкостях четвертого измерения, или гиперпространства, не остается прежним после этого процесса. Он обязан испытать определенное чувство смирения, и все же некоторую гордость, рожденную знанием того, что он был в присутствии великой тайны и погрузился в страшные глубины космического разума. К разуму, который был таким образом помазан священным елеем внутренних тайн творческой ментальности, всегда приходит та тишина и спокойствие, которые характеризуют последствия размышления о непостижимом и трансфинитном.

ГЛАВА IV

Размерность

Произвольный характер размерности — Различные определения измерения — Разграничение реального пространства и геометрического пространства — Конечность пространства — Различие между чисто формальным и фактическим — Пространство как динамическое явление — A priori и a posteriori, как определено Полом Карусом.

В предыдущих главах мы проследили рост и развитие неевклидовой геометрии, показывая, что так называемое четвертое измерение является ее аспектом. Теперь считается уместным, чтобы мы перешли к более детальному изучению вопроса о размерности с целью рассмотрения некоторых трудностей, которые его окружают.

Вопрос об измерении так же стар, как и сама геометрия. Без него геометрические выводы пусты и бессмысленны. Тем не менее само понятие размерности чисто условно. В его применении к пространству заключено много путаницы из-за выводного характера его определения. Например, обычно мы измеряем тело в пространстве и произвольно назначаем три элемента для определения его положения. Самым простым стандартом для этой цели является куб, имеющий три своих ребра, сходящихся в одном из его углов.

Fig. 6.

Таким образом, поскольку установлено, что весь объем куба фактически охвачен направлениями, указанными линиями ab, bc и db, определено, что три координаты точки b необходимы и достаточны для установления размеров куба и, следовательно, пространства, в котором он покоится. Понятие может быть сформулировано следующим образом: если совокупность элементов, скажем, точек или линий, такова по своей природе или порядку, что достаточно знать определенное количество фактов о ней, чтобы иметь возможность отличить каждый из элементов от всех остальных, то говорят, что совокупность или собрание элементов имеет то же число измерений, сколько элементов необходимо для его определения. На приведенном выше рисунке есть три элемента, а именно линии ab, bc и db, которые необходимы и достаточны для определения положения точки b. Таким образом, геометры определили, что наше пространство трехмерно; но очевидно, что этот вывод основан не на каком-либо исследовании самого пространства, а на измерении тел в пространстве. С этой точки зрения видно, что выводы, основанные на такой процедуре, делают наше представление о протяженности тел в пространстве идентичным понятию пространственной экстенсивности. Другими словами, мы берем тела в пространстве и, исследуя их характеристики и свойства, приходим к предполагаемому аподиктическому суждению о пространстве. Именно с помощью этой условной нормы геометрического знания были разработаны различные другие пространства, в частности, одномерное, двухмерное, четырехмерное и n-мерное пространство. Представляется, что если бы был принят какой-то более абсолютный стандарт измерения или определения пространства, путаница, которая сейчас прилипает к понятию измерения, могла бы быть устранена. Ибо если верно, что три и только три элемента необходимы для определения положения точки в нашем пространстве и что в этом определении мы также находим число измерений пространства, то может быть также верно, что n-координат так же верно определили бы размерность n-мерного пространства, что и признается. Но тогда n-мерное пространство было бы столь же законным, как и трехмерное; ибо оно определяется точно такими же стандартами. Оно количественно и качественно такое же. Если, однако, из-за обстоятельств, которые могут возникнуть, мы вынуждены искать утешения в понятии n-мерного пространства, куда мы обратимся за ним? Его нельзя найти; ибо оно невоспринимаемо, необитаемо, несуществующе и, следовательно, абсолютно и чисто абстрактно. Следовательно, должно быть что-то радикально неверное в определении пространства или в его детерминантах.

Чисто произвольный характер размерности очень метко описан Кассиусом Джексоном Кайзером, который говорит:

«... Размерность данного пространства не уникальна, а зависит от выбора геометрического объекта в качестве первичного или порождающего элемента. Пространство будучи заданным, его размерность этим не определяется, а зависит от воли исследователя, который путем правильного выбора порождающего элемента наделяет пространство любой размерностью, какой пожелает. Этот факт имеет кардинальное значение для науки и философии». [11]

Это факт «кардинального значения» для науки; потому что он подчеркивает необходимость некоторой более рациональной процедуры, чем процедура геометра, в достижении абсолютно уникального метода определения измерения и сущностной природы реального пространства. Его значение для философии заключается в потребности в логическом, жестко исключающем и абсолютно специфическом стандарте определения пространства. Определение перцептивного пространства должно быть таким, чтобы строго препятствовать его включению в качестве частного случая в какой-либо общий класс. Необходимость этого оправдана его всеобщностью и уникальностью.

Линии разграничения между тем, что признается перцептивным пространством, и тем, что было названо геометрическим или концептуальным пространством, должны быть очень четко проведены. Так что, когда делается ссылка на любое из них, не будет сомнений в том, что имеется в виду. И затем, концептуальное пространство вообще не является пространством, если говорить правильно. Это лишь система измерения пространства. И как таковая не имеет логического права быть помещенной в ту же категорию, что и перцептивное пространство.

Реальное пространство уникально. Геометрическое пространство принадлежит к классу, члены которого способны к бесконечному умножению. Безусловно, крайне нелогично отождествлять их. Перцептивное пространство, образно говоря, есть величина; аналитическое пространство — это линейка, ярдовая мера, километр, которыми оно измеряется и распределяется. Логически невозможно предикатировать один и тот же вывод для них обоих. То есть, делать это вызывает глубокий разрыв фундаментальных норм логики. Такие выводы, будучи таким образом незаконными, довольно удивительно, что ошибка такого рода была сделана. Это, возможно, объяснимо на основании полной беззаботности геометра относительно того, как его постулаты будут соотноситься с вещами в феноменальном мире.

Согласовано, что, как бы удобна ни была система измерения пространства Евклида, она отнюдь не конгруэнтна протяженности объектов реального пространства. Она, однако, приближается к конгруэнтности с этими объектами настолько, насколько это возможно. Как же тогда можно было ожидать, что система измерения пространства, столь далекая от этой первичной конгруэнтности, как неевклидова система, должна демонстрировать более очевидные признаки соответствия? Но сторонники n-мерности пространства ошибочно утверждали идентичность пространства и его измерений. Соответственно, не признается никакого различия между их концепцией самого пространства и его качественными особенностями. Они используют термины как взаимозаменяемые. Так что измерение означает пространство и наоборот. В этом отсутствии различения можно найти источник большей части путаницы, которая прикрепляется к понятию пространства.

Если бы можно было утверждать, что отношение между пространством и его измерениями такое же, как между материей и ее свойствами, то ограничение этого отношения тремя и только тремя направлениями протяженности было бы отвергнуто; по той причине, что если, как это обычно делается, измерение заставить означать направление протяженности, то существовало бы неограниченное число направлений протяженности, и все они были бы воспринимаемы. Но это действительно еще одна фундаментальная ошибка. Неевклиды растянули значение термина «измерение» так, что он не только включает идею направления, но и совершенно новый класс качеств — четвертое измерение. И несмотря на эту реформацию первоначальной концепции, они требуют, чтобы это называлось пространством.

Мы только что показали, что родовое понятие размерности заключается в том, что три и только три координаты необходимы и достаточны для его определения. Признавая, что это верно, не вынуждены ли мы, следовательно, видеть, что мы, добавив четвертое или n-измерений, вовлекли себя в более сложную ситуацию, чем прежде? Ибо, постулируя четвертое измерение, мы либо создали новый мир, чьи измерения равны четырем, либо мы явно признали, что три измерения имеют четвертое. Помимо логических трудностей, которые окружают эти выводы, также создается условие, которое находится в противоречии с самыми элементарными требованиями здравого смысла.

До сих пор математическая мысль не послужила прояснению наших представлений о пространстве и не пролила новый свет на жизненные процессы, которые, как утверждается, имеют свое объяснение в новом открытии. Проще говоря, метагеометры привели нас к месту, где мы должны либо признать, что четвертое измерение — это еще одна сфера, лежащая опасно близко к земле, в которой пространство простирается в четырех первичных направлениях и в которой четыре координаты необходимы для его определения, либо мы загнаны на другой рог дилеммы, где мы сталкиваемся с выводом, что три перцептивных пространственных измерения имеют общее доселе неизвестное свойство или протяженность, в силу которой оно может рассматриваться как имеющее неограниченное число измерений. Принять последнюю точку зрения — это равносильно тому, чтобы сказать, что на приведенном выше рисунке три линии ab, bc и db сформировали тройственный союз, посредством которого они взаимно и по отдельности приобрели новую область, гиперпространство, и в которой, из-за обширных ресурсов региона, они способны совершать чудесные вещи.

Давайте кратко рассмотрим различные текущие определения измерения. Некоторыми предполагается, что измерение — это то же самое, что направление. Но можем ли мы признать это полностью верным? Если так, то даже ребенок может видеть, что существуют и должны обязательно существовать столько измерений, сколько существует направлений. Первично существует шесть направлений пространства и неограниченное число вспомогательных направлений. С этой точки зрения нет необходимости изобретать новую область пространства, если цель состоит лишь в том, чтобы обнаружить и использовать большее число измерений, чем было разрешено до сих пор. Ибо отождествление термина «измерение» с направлением уже делает доступным почти бесконечное число измерений. Но эта точка зрения оспаривается сторонниками, ибо она противоречит гипотезе n-мерности.

Измерение также означает протяженность. Это частично верно. Это не может быть полностью верно. Ибо, если бы это было так, то пространство имело бы только одно измерение, что также не допускается в рамках гипотезы. Затем определение упускает из виду идею о том, что пространство является в то же время направлением или совокупностью направлений. Термин «протяженность» является родовым и при применении к пространству означает протяженность во всех возможных направлениях, а не в каком-либо одном направлении. Так что недопустимо говорить, что пространство простирается в этом направлении или в том, потому что оно простирается во всех направлениях одновременно и одинаково.

Геометры утверждают, что пространство — это система координат, необходимых для установления положения точки в нем. Эта точка зрения, однако, отождествляет пространство с системой измерения пространства и поэтому ошибочна. Согласно этой точке зрения, может существовать столько пространств, сколько существует систем измерения пространства, и последние могут быть безграничны. Но если совокупность пространств должна рассматриваться как одно пространство, то мы будем иметь одно пространство с неопределенным числом измерений; также неопределенное число измерений пространства, что было бы запутанным. Большая часть, если не вся, полезность и удобство такой системы были бы недоступны или бесполезны. Это также было бы нарушением заявленной цели этих исследований, которая состоит в повышении полезности и удобства математических операций.

Теперь очевидно, что пространство не является ни направлением, ни протяженностью, ни системой измерения пространства, ни системой многообразий, чьи измерения могут быть порождены. И это так по той же причине, по которой кусок ткани не является элементами измерения — дюймами, футами, ярдами, — которыми он распределяется. И то, что мы находим, что ткань пространства уступчиво поддается нашим условным нормам измерения, не является достаточной причиной для отождествления его с этими нормами. Здесь мы имеем источник всей ошибки в математических выводах о природе пространства; потому что все такие выводы основаны не на внутренней природе пространства, а на искусственных формах, которые мы выбираем навязывать ему для нашего собственного удобства. Но следует помнить, что неровности, которые мы отмечаем, находятся не в самом пространстве, а присущи формам, которые мы используем. Для этих целей пространство чрезвычайно эластично и приспосабливается к форме и объему любой конструкции, которую мы можем решить попробовать на нем. В этом отношении оно похоже на воду, которая не имеет отношения к форме, размеру или виду сосуда, в который она может быть помещена. Одно можно сказать наверняка: судя по вышеприведенным соображениям, математиками еще не было разработано никакого абсолютного, всеудовлетворяющего определения пространства.