«Тайна пространства»

Фактически, можно установить как один из первых принципов психогенеза, что ум редко, если вообще когда-либо, постигает идею до тех пор, пока он предварительно не развил силу ее концептуализации и выражения в терминах предшествующего опыта. Как в росте тела существуют определенные процессы, требующие полного развития органа выражения, прежде чем они могут быть безопасно выполнены, так и в филетическом развитии способностей существуют определенные идеи, концепции и объемы ментального видения, которые не могут быть визуализированы или концептуализированы до тех пор, пока основа для такой ментации не будет заложена появлением ранее развитых способностей выражения. И особенно это верно в отношении интеллекта. Поскольку все содержание интеллекта состоит из знаний, полученных через чувства, за исключением интуиций, которые не имеют интеллектуального происхождения, хотя и зависят от интеллекта в интерпретации, не может быть сомнений в необходимости предварительного отложения в интеллекте чувственно-производной основы для интеллигенции, прежде чем она сможет стать явной. Сенсуалисты во главе с Лейбницем выдвинули в качестве своей фундаментальной предпосылки следующий диктум: «Нет ничего в интеллекте, чего не было бы прежде в чувствах, кроме самого интеллекта», и это никогда не было опровергнуто ни одной школой, которая могла бы это доказать. Интуиционист не отрицает этого: он лишь утверждает, что мы являемся получателями другой формы знания, интуитивной, которая вместо того, чтобы быть производной от чувственного опыта, проецируется в интеллектуальное сознание из другого источника, который мы называем Мыслителем. Таким образом, из двух форм сознания в область осознания приходят истины, которые проистекают из совершенно разных источников. Из одного источника течет устойчивый поток впечатлений, составляющий субстанцию интеллектуального сознания; из другого лишь капля, время от времени, падает в великую вливающуюся массу, чтобы добавить тусклую фосфоресценцию в иначе неосвещенный бассейн. Очевидно, когда существует недостаток чувственных данных, из которых может быть выработан определенный концепт, не может быть концепции, основанной на них, и поскольку разнообразие и качество концептов находятся в точном соответствии с разнообразием и качеством чувственного опыта, не может быть спроса на особый вид понятий, таких как те, что могли бы быть выработаны из отсутствующего или несуществующего восприятия. Следовательно, сила концептуализации проистекает из чувственного опыта. Чувственный опыт по существу является массой восприятий: они, создавая спрос на дополнительные адаптации, сговариваются, как бы, вызвать силу или способность для удовлетворения спроса, и, следовательно, совершается добавленная концептуализация.

Прогресс в человеческой мысли совершается способом, подобным тому, который преобладает в развитии других естественных процессов, таких как сила речи у ребенка. В развитии этой способности существуют определенные четкие стадии, которые появляются в должной последовательности. Ребенок не одарен силой речи сразу. Он приходит путем постепенного и иногда болезненного роста к полному использованию этой способности. Теперь, почти тот же принцип справедлив и в эволюции ума у человеческого вида. Установленным биологическим принципом является то, что онтогенетические процессы, проявляющиеся в индивиде, являются лишь рекапитуляцией филогенетических процессов, которые наблюдаемы в прогрессе всего вида. Этот взгляд становится еще более убедительным, когда принимается во внимание тот факт, что плод во время эмбриогенеза последовательно проходит стадии роста, которые, как было показано, аналогичны, если не идентичны, тем стадиям, через которые развивался человеческий вид, а именно: минеральной, растительной и животной.

Поэтому можно сказать, что четырехмерный концепт знаменует собой определенную стадию в психогенезе или эволюции ума. Потребовалось, как будет показано в главе II, почти две тысячи лет, чтобы он пророс, пустил корни и пришел к полному плодоношению. Ибо только в ранние годы девятнадцатого века математики, черпая вдохновение у Римана (1826–1866), полностью признали этот концепт как метафизическую возможность, или даже сама идея была постигнута вообще. Существуют серьезные сомнения относительно возможности его постижения каким-либо человеческим умом до этой даты, то есть времени, когда он фактически родился. До этого времени математическая мысль принимала ту форму и тенденцию, которые в конечном итоге привели бы к открытию гиперпространства; но она не могла достичь зенита своих устремлений вверх одним прыжком. Это было бы неестественно.

Такова конституция ума, что, хотя это та величина, которая перекидывает мост через пропасть между двумя стадиями эволюции человека, когда он просто мыслит и когда он действительно знает, она полностью находится под властью закона и должна соблюдать времена и сезоны, так сказать, в выполнении своих функций. Объем психогенеза очень широк, возможно, неограничен; но его различные стадии очень четко определены, несмотря на широту его объема подвижности. И хотя расстояние от монерона до человека, или от чувства до мышления огромно, пропасть, отделяющая человека-Мыслителя от человека-знающего, еще обширнее. Кто, следовательно, может сказать, какие наслаждения еще ожидают ум, когда он приближается медленными шагами к цели, где ему не нужно будет пробиваться через извилистые пути восприятия, концептуализации, анализа, сравнения, обобщения, вывода и суждения; но он будет способен знать определенно, абсолютно и мгновенно? То, что какое-то подобное завершение увенчает труды ментальной эволюции, кажется лишь естественным и логичным.

Некоторым может показаться, что характер и содержание откровений составляют отклонение от требований закона, упомянутого выше, но небольшое размышление обнаружит ошибочность этого взгляда. Природа явленного послания такова, что делает его полностью поддающимся ограничениям, налагаемым эволюционными аспектами ума в целом. Что это верно, становится очевидным при рассмотрении четырех кардинальных характеристик таких впечатлений. Во-первых, мы должны рассмотреть неопределенный характер апокалиптического идеографа, который обусловлен его символической природой. Это особенность, которая лишает впечатление какой-либо прагматической ценности вообще, особенно для периода, охватывающего его провозглашение. Затем, такие криптические послания могут быть или не быть поняты получателем, в последнем случае они не подлежат распространению. Во-вторых, необходимость предшествующего опыта в уме получателя для того, чтобы он был способен интерпретировать для своего собственного ума психическое воздействие. Основа, которую предоставляет такой опыт, должна обязательно присутствовать для того, чтобы существовала адекватная среда ментальных качеств и сил, в которой идеограмма может быть сохранена. Третья характеристика заключается в том, что откровения совершенно неизменно предполагают созерцательное отношение ума, которое по самой природе вещей вызывает состояние подготовленности в уме для надлежащего восприятия вовлеченного концепта. Этот факт довольно убедительно доказывает, что впечатления откровения не являются исключениями из общего правила. Наконец, неудовлетворенность условиями, с которыми имеет дело символизм или к которым он относится, также является предпосылкой. Это условие на самом деле является тем, что вызывает криптическое возвещение, и все же, предшествуя ему, идет длинная серия причин, которые произвели как условия, так и бунт, который чувствует провозвестник при их присутствии. В свете вышеизложенного представляется, что возражения, основанные на предполагаемом несоответствии явленного или вдохновенного, не могут быть приняты, так как должно быть очевидно, что оно также подпадает под действие законов ментального роста.

Открытия, будь то философского или механического характера, или будь то этической или чисто математической тенденции, никогда не являются результатами преднамеренного, методического или целенаправленного размышления. Например, возьмем «группы преобразований» Ли, математические приспособления, используемые в решении определенных теорем. Теперь должно быть очевидно, что эти матезисные махинации не были открыты Софусом Ли как следствие какого-либо методического или целенаправленного намерения с его стороны. То есть он не намеревался преднамеренно открыть «группы преобразований». Ибо за «группами» лежал весь диапазон аналитических исследований; математическая мысль более чем тысячи лет обеспечивала подструктуру, на которой Ли построил концепцию своих «групп». Аналогично можно с равной уверенностью сказать, что независимо от интенсивности мысли, или насколько целенаправленной, или какой продолжительности была серия сконцентрированных абстракций, которые привели к изобретению печатного станка, линотипа или мультиплексной печатной машины наших дней, они не могли быть произведены внезапно, ни с помощью ментальной динамики человеческого ума более отдаленных дней. Их производство должно было следовать пути, проложенному законами психогенеза, и ожидать развития тех сил, которые одни могли дать им рождение. Весь вопрос, следовательно, сводится к идее полной подчиненности ума во всех вопросах особого значения вышеупомянутым законам. Преодоление умом закона своей собственной жизни почти немыслимо, если не совсем.

Если мы теперь рассмотрим историю ума, как она проявлена в человеческом виде, перед нами предстают три великие эпохи, которые делят объем ментальной эволюции на более или менее четко определенные стадии. Это: во-первых, формирующая стадия; во-вторых, детерминативная стадия; в-третьих, стадия свободы, или элаборативная стадия.

У всех ранних рас людей, через каждый шаг, который даже предшествовал роду человеческому (genus homo), родовой ум формулировался. Ему придавались форма, очертания и направление. Весь первый этап, формирующий, был посвящен организации и направлению. Те элементарные ощущения, которые составляли основу ума у первобытного человека, были, соответственно, сильно детерминирующими того, чем ум должен стать в эти последние дни. К этому общему результату внесли свой вклад эффекты активности клеток, нервов, костей, волокон, мышц и крови.

Формирующий период естественно охватывал очень обширную область в истории ума или психогенетического развития. За ним последовал тесно, но почти незаметно, детерминативный период, в течение которого все латентные силы, способности и функции, которые были прямыми продуктами формирующего периода, использовались для удовлетворения требований закона необходимости. Обеспечение против бытовой нужды, против нападений внешних врагов; борьба с болезнями, физической неэффективностью, погодой, дикими зверями, суровостью племенных вражд; а также содействие производству искусства, музыки, скульптуры, различных отраслей рукоделия, литературы, философий, религий и осуществление всех тех вещей, которые сейчас предстают как результат ментальной активности современного человека, составляют сущность и цель детерминативного периода.

Признаки рассвета элаборативной стадии, также называемой стадией свободы, проявляются уже более трех столетий, и, следовательно, она находится в своих началах. Она еще не наступила полностью. Мы еще не можем полностью осознать, что это может означать, и не можем безошибочно предсказать ее окончательный исход; но мы чувствуем, что она уже здесь, во всей славе своей утренней свежести. И ум начинает освобождаться от гнетущих необходимостей конструктивного периода, уже освободившись от ограничивающих препятствий первобытного периода формулировки. Уже растущие омоложения, столь обычные в начале нового периода, начинают проявляться в каждом отделе человеческой деятельности в почти всеобщем желании большей свободы. И это особенно заметно во многих политических потрясениях, которые время от времени выходят на поверхность, а также в бесчисленных других аспектах широко распространенного ренессанса. Возможно, придет время, никогда не полностью, когда больше не будет необходимости обеспечивать себя против внешних требований жизни; возможно, никогда не наступит время, когда ум больше не будет связан законом самосохранения, даже когда он достигнет бессмертия абсолютного знания; тем не менее, интуитивно чувствуется, что должно произойти так, что ум станет значительно свободнее, чем он есть сегодня. И с этой новой свободой должно прийти освобождение от необходимостей элементарных проблем простого физического существования.

Следовательно, делается вывод, что четырехмерный концепт и все, что он означает в отношении гиперпространства или пространств n-мерности, являются одними из свидетельств того, что эта стадия свободы наступает. И ум, радуясь перспективе безграничной свободы, которую предлагают эти концепты, не может сдержаться, но уже начал наслаждаться залитыми солнцем славами нового дня. Каков будет конец; какой эффект эта новая свобода окажет на духовную и экономическую жизнь человека; и что это может означать в стремлениях Мыслителя вверх к той возвышенной вечности, которая всегда является свойством непосредственного знания, никто не может надеяться в настоящее время постичь. Однако считается вместе с Кайзером, что «именно созданием гиперпространств рациональный дух обеспечивает освобождение от ограничений»; ибо, как он говорит, «в них он живет всегда радостно, поддерживаемый неизменным чувством бесконечной свободы».

Возвышающее влияние абстрактного мышления, такого как размышление над проблемами, имеющими дело с сущностями, населяющими область матезиса, без сомнения, неисчислимо ввиду того факта, что только через этот вид мысли дух способен достичь своих высших возможностей. Это, несомненно, философия тех религиозных и оккультных упражнений, известных как «медитации», и это, возможно, была главная идея в уме еврейского поэта, когда он воскликнул: «Да будут слова уст моих и помышление сердца моего благоугодны пред Тобою, Господи, твердыня моя и Избавитель мой». Основная, если не единственная, ценность, которой обладают «бесвершинные иерархии гиперпространств», которые математик конструирует в мире чистой мысли, — это обогащающее и облагораживающее влияние, которое они оказывают на ум. Но, безусловно, эта безграничная область матезисной территории, которую он исследует и которую он находит «населенной идеями, ансамблями, предложениями, отношениями и импликациями в бесконечном разнообразии и множественности», вполне реальна для него и существует под властью закона, наказания которого, хотя и не столь суровые и неразумные, как некоторые, которые мы находим в нашем тридименсиональном мире, тем не менее столь же ощутимы и столь же внушают страх. Ибо ортодоксия математики столь же холодна и нетерпима, как когда-либо может быть религиозный фанатик. Но реальность и даже актуальность, которые могут быть приписаны области матезиса, имеют совершенно иное качество, чем то, которое мы испытываем в нашем мире триединой размерности, и это прискорбная ошибка суждения — отождествлять их. Поэтому никогда не следует ожидать, и логически неразумно предполагать, что сущности, населяющие матезисную сферу аналитика, должны быть покорны законам чувственного пространства; или что условия, которые могут быть найдены в ней, могут когда-либо быть приведены в соответствие с условиями, которые существуют в перцептивном пространстве.

Платон верил, что идеи одни обладают реальностью, а то, что мы считаем актуальным и реальным, в силу своей эфемерности и мимолетности не является реальным, а иллюзорным. Этот взгляд разделялся рядом выдающихся мыслителей, которые следовали, с некоторой демонстративностью, за лидером, установленным Платоном. В течение значительного периода времени эта школа мыслителей имела много приверженцев; но принципы в конце концов впали в немилость из-за абсурдностей, допускаемых некоторыми менее осторожными последователями. Реализм, или, если на то пошло, актуальность идей нельзя отрицать; однако это реализм, который не следует сравнивать ни с физической реальностью чувственных впечатлений, ни с ее феноменами. Характер и своеобразие идей находятся в классе, отдельном от подобных понятий содержания перцептивного пространства. Это как если бы мы рассматривали потенциальности мира духов и сущности в нем в связи с воплощенными сущностями, что по самой природе вещей недопустимо. Более того, неразумно предполагать, что условия на более высоком плане, чем физический, могут быть сделаны ответственными перед аналогичным набором условий на физическом плане.

Существуют определенные астрономы, которые основывают свои спекуляции относительно обитаемости других планет на абсурдной гипотезе о том, что условия жизни на всех планетах должны быть такими же, как на Земле, забывая, что протяженность вселенной и объем подвижности самой жизни таковы, что допускают бесконечные вариации и адаптации. Существует реализм идей и реализм перцептивного пространства. Однако это не причина, по которой их следует отождествлять. С другой стороны, из-за разнообразия во вселенной, каждое соображение естественным образом привело бы к предположению, что они несходны. Наделение идей, понятий, импликаций и выводов реальностью не должно логически или иным образом влиять на реальность камня, инжира или даже чувственного впечатления.

Для существа на уровнях духа наши грубейшие реальности должны казаться несуществующими. Они не являются ни ощутимыми, ни доступными для контакта каким-либо образом в пределах обычного диапазона физических возможностей. Для нас его серьезнейшие опыты не могут иметь никакой реальности вообще; ибо как бы реален ни был опыт для него, он совершенно вне наших сил восприятия, и поэтому для нас также несуществующий. Однако следует сказать, что состояние нашего знания о данном условии никак не может повлиять на его существование. Оно лишь устанавливает факт, что две или более реальности могут существовать независимо друг от друга, и далее, что гамма реализма во вселенной бесконечна и приближается к конечному состоянию, когда его окклюзия в абсолютное бытие следует как логическая последовательность.

Возвращаясь к рассмотрению реальности миров духа по сравнению с реальностью чувственного пространства, становится очевидным, что наш идеализм, то есть идеализм, который является качеством концептуализации, может рассматриваться как идентичный их реализму, по крайней мере, как находящийся на том же плане, что и он. Иначе говоря, вещи, которые идеальны для нас и которые составляют данные нашего сознания, могут быть столь же реальны для них, как самый обычный объект чувственного знания для нас. То, что, следовательно, кажется нам наиболее эфирным и идеалистическим, может иметь вполне реалистический характер для них.

В конечном счете, однако, и в последних глубинах анализа будет несомненно обнаружено, что как наш реализм, так и наш идеализм, а также подобные качества мира духа, во всех существенных соображениях вполне иллюзорны. Все знание, полученное в состоянии, не доходящем до самой божественности, печально относительно. Даже математическое знание далеко не дотягивает до абсолютного, вопреки самым нежным притязаниям ортодоксального математика. Часто говорилось, что математический факт — это абсолютный факт и что его истинность, необходимость и достоверность не могут быть поставлены под сомнение нигде во вселенной, будь то на Юпитере, Нептуне, Фомальгауте, Канопусе или Спике. Но после такого заявления факт чистой относительности нашего знания этим не нарушается и не опровергается. К счастью, ни расстояние, ни отсутствие расстояния никак не могут повлиять на качество человеческого знания, математическое знание не исключение. На него могут повлиять только условия, которые заставляют его приближаться к совершенству, и ничто, кроме эволюции, не может этого сделать.

В свете результатов, полученных в аналитических исследованиях, вопрос гибкости математических приложений становится очевидным, и человек, вместо того чтобы быть убежденным в хваленой неизменности законов, действующих в мире матезиса, с другой стороны, осознает замечательную и, казалось бы, ничем не сдерживаемую легкость, с которой эти законы могут быть применены к любым условиям или набору предположений в пределах диапазона сил концепции ума. Математики обожествили определение и наделили его всемогущими силами, приписывая ему все атрибуты божественности — неизменность, инвариантность и вечность. В этом они тяжко ошиблись, хотя, возможно, и неизбежно. Матезисные заключения полностью условны и зависят в своей достоверности от предполагаемой уверенности других предложений, которые, в свою очередь, зависят, во все возрастающих и бесконечно сложных отношениях, от ранее принятых постулатов. Эти факты делают чрезвычайно трудным понимание отношения ума, которое скрыло полную изменчивость и, как следствие, окончательную ненадежность тонко сплетенных теорий аналитических махинаций.

Априорность всего математического знания открыта для серьезного сомнения. И хотя нет колебаний в признании базового согласия самых первичных фактов математического знания с сущностным характером интеллекта, существование четко определенных пределов для такого соответствия не может быть опровергнуто. Субъективное качество геометрических и аналитических предложений становится очевидным при рассмотрении возможностей, подпадающих под диапазон допустимости, предлагаемый матезисной лицензией. Например, имея привилегию действовать согласно аналитическому методу, допустимо реконструировать последовательность значений в нашей обычной системе счисления так, чтобы допустить спецификацию нового значения для, скажем, всей серии нечетных чисел. Это значение могло бы быть принято как плюс-или-минус один, в зависимости от его положения в серии. То есть все нечетные числа в серии, начинающейся с цифры 3 и продолжающейся 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ... n, могли бы быть приняты как имеющие только позиционное значение, которое могло бы рассматриваться как константа-переменная. Серия четных чисел, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... n, может быть принята как сохраняющая свои текущие порядковые значения. В этой системе цифра 1 имела бы абсолютное значение; все другие нечетные числа имели бы значение константы-переменной; константы, потому что всегда не более и не менее 1, в зависимости от их места в операциях и от того, должны ли их значения быть применены путем сложения или вычитания к или из одного из значений в серии четных чисел; переменной, потому что их значения были бы определяемы их применением и алгебраическим использованием.

Конечно, были бы утилитарные возражения против системы такого рода; но при условиях предположительной гипотезы она была бы самосогласованной во всем, и если бы получила всеобщее согласие, то служила бы нашим целям так же хорошо, как наша нынешняя система. Но тот факт, что это может быть сделано по матезисному методу, поистине доказывает нарушаемость математических законов и полностью отрицает предположение, что сумма любых двух цифр, как, скажем, 2 плюс 2 равно 4, является необходимо и неизбежно неизменной. Ибо можно видеть, что суммарное значение всех чисел может быть сделано зависимым от предполагаемого значения, которое может быть присвоено им или любой их совокупности. Более того, исторически известно, что у древних рас людей был обычай объяснять значения совершенно иным методом, чем тот, который мы используем сегодня. Последний является результатом эволюции, и хотя опыт учит, что он является наиболее удобным, тем не менее верно, что более ранние люди справлялись, по крайней мере, довольно хорошо на другой основе. Затем, также факт полезности и всеобщей применимости нашей нынешней системы, основанной на всеобщем согласии, не исключает вывода, что любая другая система, согласованная сама в себе, могла бы быть сделана служить нашим целям так же хорошо.

Следует, однако, сказать, в справедливость довольно утилитарных результатов, полученных Лагранжем, Гельмгольцем, Фехнером и другими, которые стремились использовать свои открытия в анализе при решении механических, физиологических и других проблем более или менее прагматического значения, что, поскольку это верно, математическое знание должно быть признано согласующимся с необходимостями априорных требований. Но даже эти результаты не могут рассматриваться как выходящие за пределы объема самых фундаментальных принципов чувственного опыта. В конечном итоге, возможно, будет обнаружено, что энергия, затраченная на разработку сложных серий аналитических курьезов, была использована не по назначению. Тогда станет необходимым обратить внимание определенно на изучение того, что лежит не в терминале modus vivendi интеллекта, но что является как источником интеллекта, так и его вечным поддержателем — интуицией, или самой жизнью. Это не может привести ни к чему иному, как к полной спиритуализации ментального взгляда человека и, как следствие, неизбежному признанию лежащего в основе и вечно поддерживающего единства всех жизненных проявлений.

Одной из диковинок тенденции в уме человека специализироваться на аналитике, будь то в области чистой математики или метафизики, является тот факт, что она почти неизменно ведет к попытке объяснить космические истоки на основе паралогических теорий. Это в прошлом породило теорию чисто механического происхождения вселенной, а также многие другие фантастические заблуждения, главная ошибка которых заключалась в неспособности различить реализм ментальных концептов и реализм чувственного мира. Несмотря на это, однако, нельзя не оценить благотворные эффекты аналитических операций, потому что они служат стимуляторами ментального роста. Поэтому нельзя было бы желать, чтобы не существовало такой вещи, как аналитика; ибо на свойство ума восстанавливать равновесие можно во все времена положиться, чтобы минимизировать опасность крайностей в любом направлении. Точно так же, как прилив, втекая, вытекает снова, восстанавливая тем самым равновесие океана, так и ум, поднимающийся в одном поколении выше безопасной отметки, восстанавливает свое равновесие в следующем путем отказа от глупостей предыдущего.

Четырехмерное пространство — одна из диковинок аналитики; однако оно не должно быть угрозой для здравого созерцания пестрых продуктов анализа. Безопасность здесь пребывает в сдержанности, которая должна характеризовать все обсуждение и применение концепта. Если бы энтузиасты довольствовались тем, что не переносили так называемое четырехмерное пространство из сферы гиперпространства и перестали пытаться спекулировать на результатах его вмешательства в условия трехмерного пространства, что является во всех отношениях конструктивной невозможностью, не могло бы быть никаких возможных возражений против его должного рассмотрения. Это исключило бы опасность постановки под сомнение искренности или проницательности тех, чей энтузиазм искушает их преступить пределы приличия в своем поведении по отношению к исследованию.

Существует только одна жизнь, один ум, одно протяжение, одно количество, одно качество, одно бытие, одно состояние, одно условие, одно настроение, одна аффекция, одно желание, одно чувство, одно сознание. Существует также только одно число, и это — единство. Все так называемые целые числа являются лишь дробными частями этого космического единства. Идея, представленная словом «два», на самом деле означает две части единства, и то же самое верно для дециллиона или любого числа частей. Это лишь инфинитезимали единства, и они уменьшаются в размере и значении по мере того, как деления увеличиваются в числе. Анализ единства на бесконечность частей является чисто апостериорной процедурой. То, что это присущий уму процесс, — заблуждение. Все наши обычные количества, такие как миля, километр, ярд, фут, дюйм, галлон, кварта, являются конвенциональными и произвольными и подвержены широким вариациям. Поскольку основой всех физических явлений является единство; только в эфемерных проявлениях чувственных объектов они предстают как отдельные и различные количества.

Мы видим на дереве много листьев, много яблок или вишен; на початке много зерен кукурузы. Мы научились присваивать каждому из этих количеств в их суммировании порядковое значение. Но это эмпирическое понятие, и нельзя сказать, что оно присуще самому уму. Возьмем, например, горчичное семя. Если бы было верно, что в одном из этих семян существовали все последующие семена, которые появляются в растении горчицы как отдельные и идентифицируемые количества, а не в сущности, тогда, возможно, было бы основание для понятия, что разнообразие, как вычислимый элемент, является априорной концепцией. Но, поскольку это не так, и поскольку разнообразие является чисто эмпирическим и относится только к цветению одной жизни, очевидно абсурдно придерживаться этого взгляда.

При самых снисходительных допущениях, следовательно, могут быть только два количества — единство и разнообразие; однако не два, ибо они суть одно. Единство — это одно количество, а разнообразие — это деление единства на трансфинитность частей. Единство бесконечно, абсолютно и всеобъемлюще. Разнообразие конечно, хотя можно допустить, что оно трансфинитно, или больше любого назначаемого значения. Только единство непостижимо. Чтобы понять что-то о его природе, мы делим его на разнообразие частей; и поскольку мы не понимаем трансфинитность множества частей, мы ошибочно называем их бесконечными.

Когда анализ продвинется достаточно далеко в бездонные тайны разнообразия; когда математический ум будет преодолен ошеломляющей запутанностью лабиринта разнообразных частей, он тогда уснет и, проснувшись, найдет ту удивительно простую вещь — единство. Это одно количество, которое наделено величиной, являющейся одновременно непостижимой и неразрешимой. Один неизбежный факт во вселенной — это непостижимость и всеобъемлющесть единства. Оно непостижимо, немыслимо и бесконечно на нынешней стадии развития ума. Но цель ума — понять сущностный характер единства, жизни. Его эволюция тогда остановится, ибо он достигнет приза самой божественности, после чего интеллект, возвышенный и соединенный с интуицией, также станет единым с божественным сознанием.

ГЛАВА II

Исторический очерк движения гиперпространства

Египет — родина геометрии — Предшественники: Насир-эд-Дин, Христофор Клавий, Саккери, Ламберт, Лагранж, Кант — Влияние «Аналитической механики» — Параллельный постулат — корень и субстанция неевклидовой геометрии — Три великих периода: формирующий, детерминативный и элаборативный — Риман и свойства аналитических пространств.

Эволюция идеи четвертого измерения пространства охватывает долгий период лет. Самая ранняя известная запись начал изучения пространства найдена в иератическом папирусе, который является частью коллекции Райнда в Британском музее и который был расшифрован Эйзенлором. Считается, что это копия более старой рукописи, датируемой 3400 г. до н. э., и озаглавлена «Наставления для познания всех темных вещей». Копия, как говорят, была сделана Ахмесом, египетским жрецом между 1700 и 1100 гг. до н. э. Она начинается с указания размеров амбаров; затем следует рассмотрение различных прямолинейных фигур, кругов, пирамид и значения числа пи ([Greek: p]). Хотя многие решения, данные в рукописи, были признаны неверными в незначительных деталях, остается фактом, что Египет действительно является родиной геометрии. И этот факт подкрепляется знанием того, что Фалес, задолго до того, как он основал Ионийскую школу, которая была началом греческого влияния в изучении математики, изучал геометрию и астрономию в Египте.

Концепт гиперпространства начал прорастать в последней части первого века до н. э. Ибо именно в эту дату Геминос Родосский (70 г. до н. э.) начал серьезно думать о математическом лабиринте, в который параллельный постулат Евклида почти наверняка привел бы, если бы была предпринята попытка демонстрации его достоверности. Он осознал трудности, которые заняли бы внимание тех, кто мог бы рискнуть погрузиться в таинственные возможности проблемы. Нет сомнения также, что сам Евклид был осведомлен, по крайней мере в некоторой мере, об этих трудностях; ибо его собственное отношение к этому постулату, по-видимому, было отношением невысказанности. Поэтому неудивительно, что астроном Птолемей (87–165 гг. н. э.) искал доказательства постулата путем рассмотрения возможностей межзвездных треугольников. Его исследования, однако, не принесли ему облегчения от общего недовольства, которое он чувствовал в отношении валидности самой проблемы.

Почти тысячу лет после попыток решения постулата Геминосом и Птолемеем область математики оставалась нетронутой. Ибо именно в это время возник странный феномен, более известный как «Темные века», который положил эффективный предел дальнейшим исследованиям или независимым изысканиям. Математики в течение этого долгого промежутка времени довольствовались тем, что принимали Евклида как единственного неопровержимого, безупречного авторитета, и даже те исследования, которые проводились, не имели мятежной тенденции, а были в основном попытками обосновать его утверждения.

Соответственно, только около первой половины тринадцатого века был сделан какой-либо реальный прогресс. В это время появился араб Насир-эд-Дин (1201–1274), который попытался сделать улучшение в проблеме параллелизма. Его работа о Евклиде была напечатана в Риме в 1594 г. н. э., примерно через триста двадцать лет после его кончины, и была передана в 1651 году Джоном Валлисом (1616–1703) математикам Оксфордского университета. Хотя его вычисления и заключения были почтительно приняты оксфордскими властями, никакие определенные результаты не считались достигнутыми тем, что он сделал. Считается, однако, что его работа возобновила спекуляции над проблемой и послужила основой, пусть даже незначительной, для большей работы, которая должна была быть проделана теми, кто последовал за ним в течение следующих восьмисот лет.

Примерно за двадцать лет до печати работы Насир-эд-Дина Христофор Клавий (1574) вывел аксиому параллелей из предположения, что линия, все точки которой равноудалены от прямой линии, сама является прямой. В своем рассмотрении параллельного постулата он, как говорят, рассматривал его как XIII аксиому Евклида. Позже Бойяи говорил о ней как об XI, а еще позже Тодхантер рассматривал ее как XII. Следовательно, не кажется, что было какое-либо общее единодушие мнений относительно точного статуса параллельного постулата, и особенно это верно ввиду неопределенности, которая, как теперь известно, существовала в уме Евклида относительно него.

Джироламо Саккери (1667–1733), ученый иезуит, родившийся в Сан-Ремо, вышел следующим на сцену. И столь важной была его работа, что она увековечит память о его имени в истории математики. Он был учителем грамматики в иезуитском Collegio di Brera, где Томмазо Чева, брат Джованни, известного математика, был учителем математики. Его ассоциация с братьями Чева была особенно полезна для него. Он использовал очень остроумные методы Чевы в своей первой опубликованной книге 1693 года, озаглавленной «Решения шести геометрических задач, предложенных графом Роджером Вентимильей».

Fig. 1.

Саккери подошел к проблеме параллельных прямых совершенно новым способом. Исследуя четырехугольник ABCD, в котором углы A и B являются прямыми, а стороны AC и BD равны, он задался целью показать, что углы C и D равны. Он также стремился доказать, что они являются либо прямыми, либо тупыми, либо острыми. Он взялся доказать ложность двух последних предположений (о том, что они могут быть тупыми или острыми), оставив единственно возможным вариант, что они должны быть прямыми. При этом он обнаружил, что его допущения привели его к противоречиям, которые он с трудом мог объяснить.

Его труды, связанные с решением задач, предложенных графом Вентимилья, включая его работу по вопросу о параллельных прямых, привели непосредственно в область метагеометрических исследований, и, возможно, именно ему, как никому другому из его предшественников, или, по крайней мере, в большей степени, принадлежит заслуга в постоянном возобновлении интереса к той серии изысканий, которые привели к формулировке неевклидовой геометрии.

Последняя опубликованная работа Саккери представляла собой изложение его попыток доказать постулат о параллельных. Она получила «Imprimatur» Инквизиции 13 июля 1733 года; Провинциальная компания Иисуса приняла книгу для ознакомления 16 августа 1733 года; но, к несчастью, через два месяца после того, как она была рассмотрена этими властями, Саккери скончался.

Все усилия, предпринятые до работы Саккери, основывались на предположении, что должен существовать эквивалентный постулат, который, если бы его удалось доказать, привел бы к прямому, позитивному доказательству положения Евклида. Хотя эти и все другие попытки достичь такого доказательства потерпели полный крах, и хотя можно справедливо сказать, что вся история доказательств, направленных на решение знаменитого постулата, представляет собой длинную череду полных неудач, с такой же уверенностью можно утверждать, что это оказалась одна из самых плодотворных проблем в истории математической мысли. Ибо из этих неудач была воздвигнута надстройка аналитических исследований, которая превосходит самые смелые ожидания тех, кто трудился и потерпел неудачу.

В 1766 году Иоганн Ламберт (1728–1777) написал статью о «Теории параллельных», датированную 5 сентября 1766 года, впервые опубликованную в 1786 году из бумаг, оставленных Ф. Бернулли, которая содержала следующие утверждения: [2]

1. Аксиома о параллельных нуждается в доказательстве, поскольку она не выполняется для геометрии на поверхности сферы.

2. Чтобы сделать интуитивно понятной геометрию, в которой сумма углов треугольника меньше двух прямых углов, нам нужна «воображаемая» сфера (псевдосфера).

3. В пространстве, в котором сумма углов треугольника отличается от двух прямых углов, существует абсолютная мера (естественная единица длины).

В это время Иммануил Кант (1724–1804), известный немецкий метафизик, находился в разгаре своих философских трудов. И считается, что именно он первым высказал идею о различных пространствах. Ниже приводится выдержка из его «Пролегомен» [3], которая подтверждает этот взгляд.

«То, что полное пространство (которое само по себе уже не является границей другого пространства) имеет три измерения, и что пространство в целом не может иметь большего числа, основано на положении, что в одной точке не могут пересекаться под прямым углом более трех линий... То, что мы можем потребовать проведения линии в бесконечность, продолжения ряда изменений (например, пространств, пройденных движением) in indefinitum, предполагает представление о пространстве и времени, которое может быть присуще только созерцанию».

Его разграничение между пространством в целом и пространством, которое может рассматриваться как «граница другого пространства», показывает, в свете последующего развития математической идеи пространства, что он весьма полно осознавал удивительный масштаб аналитических пространств. Его концепция пространства, следовательно, должна была оказать глубокое влияние на математическую мысль того времени, заставив ее претерпеть быструю реконструкцию руками геометров, пришедших после него.

Под мастерским влиянием Лагранжа (1736–1813) идея различных пространств начала обретать определенную форму и направление; геометрия гиперпространства начала кристаллизоваться; а область матезиса подготовилась к росту концепции, постижение которой было суждено стать самым глубоким начинанием, когда-либо предпринимавшимся человеческим разумом. В отличие от большинства великих людей, которыми мир начинает восхищаться с опозданием, Лагранж дожил до того, что его таланты и гений были полностью признаны его современниками; ибо он был удостоен многих почестей как от своих соотечественников, так и от своих почитателей в чужих землях. Он провел двадцать лет в Пруссии, куда отправился по приглашению Фридриха Великого, который в королевском указе называл себя «величайшим королем в Европе», а Лагранжа — «величайшим математиком» в Европе. В Пруссии были созданы «Аналитическая механика» (Mecanique Analytique) и длинная серия мемуаров, опубликованных в трудах Берлинской и Туринской академий. Лагранж не проявлял заметного интереса к математике, пока ему не исполнилось 17 лет. Вскоре после этого он совершенно случайно стал обладателем мемуара Галлея, и это настолько пробудило его скрытый гений, что в течение одного года после того, как он изучил мемуар Галлея, он стал выдающимся математиком.

Он создал вариационное исчисление, решил большинство задач, предложенных Ферма, добавив ряд теорем собственного изобретения; поднял теорию дифференциальных уравнений до положения науки, а не просто серии остроумных методов решения частных задач, и предоставил решение знаменитой изопериметрической задачи, которая ставила в тупик мастерство ведущих математиков почти полвека. Все эти колоссальные задачи он выполнил к тому времени, когда ему исполнилось девятнадцать лет.

«Аналитическая механика» — его величайшая и наиболее всеобъемлющая работа. В ней он установил закон виртуальных работ, из которого с помощью своего вариационного исчисления вывел всю механику, включая как твердые тела, так и жидкости. Его целью в «Аналитике» было показать, что весь предмет механики неявно охватывается единым принципом, и сформулировать определенные формулы, из которых может быть получен любой частный результат. Он часто утверждал, что в «Аналитической механике» преобразовал механику, которую настойчиво определял как «геометрию четырех измерений» [4], в отрасль аналитики и показал, что так называемые механические принципы являются простыми результатами исчисления. Следовательно, нет сомнений в том, что Лагранж не только заложил фундамент, но и предоставил большую часть материала в своих анализах и других «абстрактных результатах великой общности», которые он получил в своих многочисленных расчетах, для надстройки, впоследствии известной как геометрия гиперпространства, в которой концепция четвертого измерения занимает фундаментальное место.

Это выглядит так, будто почти семнадцать сотен лет рабочие, такие как Гемин Родосский, Птолемей, Саккери, Насир ад-Дин, Ламберт, Клавиус и сотни других, боровшихся с проблемой параллельных, предпринимали более или менее спорадические попытки раскопок земли, на которой должно было быть возведено удивительно сложное здание. Нет никаких исторических свидетельств того, что кто-либо из них когда-либо мечтал, что результаты их трудов будут использованы таким образом, как они были использованы. Затем пришел Кант с удивительно проницательным прожектором своего мастерского интеллекта, который с высоты, которую он занимал, увидел, что площадка имеет большие возможности, но у него не было математического таланта, чтобы взяться за работу по фактическому, методичному строительству. Действительно, его задача была иного рода. Однако ему удалось открыть путь для Лагранжа и других, кто последовал за ним. Лагранж немедленно ухватился за идею, которая более тысячи лет воздействовала на умы математиков, тщетно ищущих ее обоснования, и начал разработку плана, в соответствии с которым умы, более искусные в прагматическом применении абстрактных принципов, чем его собственный, могли бы завершить начатую работу. К сожалению, из-за его интенсивной преданности и верности изучению чистой математики, и когда он достиг вершины своего величия, где он стоял «без соперников как величайший из ныне живущих математиков», его здоровье серьезно пошатнулось, что вызвало у него постоянные приступы глубокой меланхолии, от которой он скончался 10 апреля 1813 года.

Мы подходим теперь к одному из самых замечательных периодов в истории развития разума. В течение шестисот лет между рождением Насир ад-Дина и смертью Лагранжа весь мир матезиса подвергался реконструкции. Поскольку постепенно происходил внутренний процесс, который, будучи завершенным, навсегда освободил бы разум от узких рамок сознания, ограниченного трехмерным пространством, неудивительно, что мы находим в математической мысли того времени абсолютно эпохальный сдвиг. Бесчисленные попытки решения постулата о параллельных, все неудачные в том смысле, что они не дали доказательства, значительно усилили уважение, с которым сегодня относятся к бессмертным элементам Евклида. И несмотря на то, что может наступить время, когда его аксиомы и выводы могут оказаться несовместимыми с фактами чувственной реальности; и хотя все его фундаментальные концепции пространства в целом, его теоремы, положения и постулаты, возможно, должны будут уступить место перед пронзительным светом более глубокого знания из-за какой-то выявленной ошибки, совершенство его работы в области чистой математики навсегда останется шедевром, требующим неизменного восхищения человечества.

Постулат о параллельных, как он сформулирован Евклидом в его «Началах геометрии», гласит следующее:

«Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».

На этом постулате висят весь «закон и пророки» неевклидовой геометрии. В нем содержатся виртуальные элементы трех возможных геометрий. Более того, он является и основой, и утком ткацкого станка современных метагеометрических исследований. Это золотое яйцо, снесенное богом Себом в начале нового жизненного цикла в психогенезе. Его потомство многочисленно — гиперпространства, секты, прямые, дигоны, эквидистанты, поляры, планары, копланары, инварианты, кватернионы, комплексные переменные, группы и многие другие. Удивительно интересная порода, полная смысла и чреватая силой окончательного освобождения для человеческого интеллекта!

Когда выводы, которые были систематически сформулированы в результате исследований по линиям гипотез, противоречащих постулату о параллельных, были изучены, оказалось, что они распадаются на три основных раздела, а именно: синтетическая или гиперболическая; аналитическая или риманова и эллиптическая или Кэли-Клейна. Эти разделы или группы основаны на трех возможностях, которые присущи концепции, принятой относительно суммы углов, упомянутой в вышеуказанном постулате, о том, равна ли она, больше или меньше двух прямых углов.

Предположение, что угловая сумма конгруэнтна развернутому углу, называется евклидовой или параболической гипотезой и отличается от синтетической или гиперболической гипотезы, установленной Гауссом, Лобачевским и Бойяи, которая предполагает, что угловая сумма меньше развернутого угла. Эллиптическая или гипотеза Кэли-Клейна предполагает, что угловая сумма больше развернутого угла. Лобачевский, однако, не удовлетворенный формулировкой постулата о параллельных, данной Евклидом, которая вызвала многовековую полемику, заменил ее следующей:

«Все прямые линии, которые в плоскости исходят из данной точки, могут быть разделены по отношению к любой другой прямой линии в той же плоскости на два класса — пересекающиеся и непересекающиеся. Граничная линия между тем и другим классом называется параллельной данной линии».

Это лишь иной способ сказать примерно то же самое, что Евклид провозгласил ранее, и все же, как ни странно, это дало именно ту свободу, которая была нужна Лобачевскому, чтобы позволить ему разработать свою теорию.

Для целей этого очерка область развития неевклидовой геометрии разделена на три периода, которые будут называться: (1) формативный период, в котором математическая мысль формулировалась для нового направления; (2) детерминативный период, в течение которого математическим идеям были приданы направление, цель и общая тенденция; (3) элаборативный период, в течение которого результаты предыдущих периодов были разработаны в определенные виды геометрий и предприняты попытки популяризации гипотез.

Формативный период

Карла Фридриха Гаусса (1777–1855) некоторые считают самым влиятельным математиком, который фигурировал в формулировке неевклидовой геометрии; но более пристальное изучение его усилий по исследованию свойств треугольника показывает, что, хотя его исследования привели к установлению теоремы о том, что правильный многоугольник с семнадцатью сторонами (или с любым числом, которое является простым и при этом на единицу больше степени двойки) может быть вписан в круг при евклидовых ограничениях на инструменты, а также что общий сферический угол на поверхности сферы тесно связан с конституцией площади, заключенной им, его нельзя справедливо назвать лидером тех, кто сформулировал синтетическую школу. И это по той простой причине, что, как он сам признается в одном из своих писем Тауринусу, он «ничего не публиковал по этому предмету». В этом же письме он сообщает Тауринусу, что размышлял над этим предметом более тридцати лет, и выражает убеждение, что не могло быть никого, кто «занимался бы этой второй частью (о том, что сумма углов треугольника не может быть больше 180 градусов) более исчерпывающе», чем он.

Пиша из Геттингена Тауринусу 8 ноября 1824 года и комментируя геометрическое значение суммы углов треугольника, он говорит:

«Ваше изложение доказательства того, что сумма углов плоского треугольника не может быть больше 180 градусов, действительно оставляет желать лучшего в плане геометрической точности. Но это можно было бы восполнить, и нет сомнений, что рассматриваемая невозможность допускает самое строгое доказательство. Но совсем другое дело со второй частью, а именно, что сумма углов не может быть меньше 180 градусов; это настоящая трудность, скала, о которую разбиваются все усилия... Предположение, что сумма трех углов меньше 180 градусов, ведет к новой геометрии, совершенно отличной от нашей евклидовой — геометрии, которая во всем последовательна сама по себе и которую я разработал способом, совершенно удовлетворительным для себя, так что я могу решить в ней любую задачу, за исключением определения константы, которая не является a priori достижимой».

Из этой переписки следует, что Гаусс в уединении своего кабинета разработал полную неевклидову геометрию и настолько тщательно ознакомился с ее характеристиками и возможностями, что решение каждой задачи, охватываемой ею, было ему совершенно ясно, за исключением задачи определения константы. Он завершил вышеуказанное письмо словами:

«Все мои усилия обнаружить противоречия или несообразности в этой неевклидовой геометрии были тщетны, и единственное в ней, что конфликтует с нашим разумом, — это тот факт, что если бы она была истинной, то в пространстве обязательно существовала бы линейная величина, вполне определенная сама по себе, но неизвестная нам».

Судя по переписке между Гауссом и Герлингом (1788–1857), Бесселем (1784–1846), Шумахером и Тауринусом, племянником Швейкарта, а также между Швейкартом и Герлингом, в умах математиков этого периода выросло общее недовольство евклидовой геометрией и особенно постулатом о параллельных и его коннотациями. Бессель выражает это общее недовольство в одном из своих писем Гауссу от 10 февраля 1829 года, в котором говорит:

«Благодаря тому, что сказал Ламберт, и тому, что раскрыл устно Швейкарт, мне стало ясно, что наша геометрия неполна и должна получить исправление, которое является гипотетическим, и если сумма углов плоского треугольника равна 180 градусам, то оно исчезает».

Мнение ведущих математиков в это время, по-видимому, кристаллизовалось очень быстро. Бессознательно люди этого формативного периода приводили доказательства, которые придали бы форму и тенденцию развитию в области матезиса в более позднее время. Они, по-видимому, тянулись к тому, что, подобно блуждающему огоньку, всегда было в пределах легкой досягаемости, но не совсем постижимо.

Более смелым учеником, чем Гаусс, был Фердинанд Карл Швейкарт (1780–1857), которому также приписывают основание неевклидовой геометрии. Фактически, если судить по тем же стандартам, что и Гаусса, его назвали бы «отцом геометрии гиперпространства»; ибо он действительно опубликовал первый трактат по этому предмету. Это было в виде вложения, которое он вставил между страницами книги, которую одолжил Герлингу. Он также просил, чтобы ее показали Гауссу, чтобы тот мог вынести свое суждение о ее достоинствах.

Трактат Швейкарта, датированный Марбургом, декабрь 1818 года, приводится здесь полностью:

«Существует двоякая геометрия — геометрия в узком смысле, евклидова, и астральная наука о величине.

«Треугольники последней имеют ту особенность, что сумма трех углов не равна двум прямым углам.

«Это предположив, можно самым строгим образом доказать: (а) Что сумма трех углов в треугольнике меньше двух прямых углов.

(b) Что эта сумма становится все меньше, чем больше содержания заключает в себе угол. (c) Что высота равнобедренного прямоугольного треугольника действительно все возрастает, чем больше удлиняешь сторону; что она, однако, не может превзойти определенную линию, которую я называю константой».

Квадраты имеют, следовательно, следующую форму:

Fig. 2.

«Если бы эта константа была для нас радиусом земли (так что каждая линия, проведенная во вселенной от одной неподвижной звезды к другой, удаленной на 90° от первой, была бы касательной к поверхности земли), она была бы бесконечно велика по сравнению с пространствами, которые встречаются в повседневной жизни».

Вышеуказанное, будучи первым опубликованным, а не напечатанным, трактатом по новой геометрии, занимает уникальное место в истории высшей математики. Оно придало дополнительную силу формативным тенденциям, которые характеризовали этот период, и отметило Швейкарта как конструктивного и оригинального мыслителя.

Зарождающиеся аспекты этого этапа получили плодотворный вклад, когда Николай Лобачевский (1793–1847) создал свою «Воображаемую геометрию», а Янош Бойяи (1802–1860) опубликовал в качестве приложения к «Tentamen» своего отца свою «Абсолютную науку о пространстве». Лобачевского и Бойяи называли «создателями неевклидовой геометрии». И это название, кажется, заслуженно принадлежит этим пионерам. Их работа дала именно тот импульс, который был наиболее необходим для фиксации статуса нового направления исследований, приведшего к таким замечательным открытиям в более поздние годы. «Воображаемая геометрия» и «Абсолютная наука о пространстве» были переведены французским математиком Ж. Оэлем в 1868 году и им же выведены из сорокапятилетнего забвения и неэффективности на позицию, где они стали доступны для математической общественности. Бойяи и Лобачевскому, следовательно, принадлежит честь начала движения, которое привело к развитию метагеометрии и, следовательно, того, что оказалось воротами новой математической свободы.

Гаусс, Швейкарт, Лобачевский, Вольфганг и Янош Бойяи были главными фигурами формативного периода, и ценность их работы в отношении формулировки принципов, на которых был построен Храм Метагеометрии, невозможно переоценить.

Детерминативный период

Этот период характеризуется главным образом своей тесной связью с теорией поверхностей. Хабилитационная лекция Римана «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» знаменует начало этой эпохи. В этой диссертации Риман не только обнародовал систему, на разработку которой Гаусс потратил более тридцати лет своей жизни, ибо он был учеником Гаусса; но он раскрыл свои собственные взгляды в отношении пространства, которое он рассматривал как частный случай многообразия. Его работа содержит две фундаментальные концепции, а именно: многообразие и мера кривизны непрерывного многообразия, обладающего тем, что он называл плоскостностью в мельчайших частях. Концепция меры кривизны расширяется Риманом от поверхностей к пространствам, и показывается возможность нового вида пространства — конечного, но безграничного. Он показал, что измерения любого пространства определяются количеством измерений, необходимых для установления положения точки в этом пространстве. Полагая, таким образом, что пространство является многообразием конечного, но безграничного протяжения, он установил тот факт, что переход от одного элемента многообразия к другому может быть либо дискретным, либо непрерывным, и что многообразие является дискретным или непрерывным в зависимости от способа перехода. Там, где многообразие рассматривается как дискретное, две его части могут быть сравнены по величине путем счета; там, где непрерывное — путем измерения. Если все многообразие заставить перейти в другое многообразие, причем каждый из его элементов проходит через одномерное многообразие, то таким образом генерируется двухмерное многообразие. Таким образом, может быть сгенерировано многообразие n-измерений. С другой стороны, многообразие n-измерений может быть проанализировано на одно одномерное и одно (n-1)-мерное.