«Логика современной физики»

Вопрос о бессмысленных вопросах — это очень тонкая вещь, которая может отравить гораздо большую часть нашего мышления, чем та, что касается чисто физических явлений. Я полагаю, что многие вопросы, задаваемые в социальных и философских дисциплинах, окажутся бессмысленными, если рассматривать их с точки зрения операций. Несомненно, ясности мышления способствовало бы принятие операционального способа мышления во всех областях исследования, а не только в физике. Как и в физической области, так и в других, человек делает значимое утверждение о своем предмете, заявляя, что определенный вопрос бессмыслен.

Чтобы подчеркнуть этот вопрос о бессмысленных вопросах, я привожу здесь список вопросов, с которыми читатель может позабавиться, выясняя, имеют ли они смысл или нет.

(1) Было ли когда-нибудь время, когда материя не существовала?

(2) Может ли время иметь начало или конец?

(3) Почему время течет?

(4) Может ли пространство быть ограниченным?

(5) Могут ли пространство или время быть прерывными?

(6) Может ли пространство иметь четвертое измерение, не обнаруживаемое напрямую, но заданное косвенно путем вывода?

(7) Существуют ли части природы, навсегда недоступные нашему обнаружению?

(8) Является ли ощущение, которое я называю синим, действительно тем же самым, что и то, которое мой сосед называет синим? Возможно ли, что синий объект вызывает у него то же ощущение, что красный объект у меня, и наоборот?

(9) Могут ли в ряду натуральных чисел, какими мы их знаем, отсутствовать целые числа?

(10) Возможна ли Вселенная, в которой 2 + 2 ≠ 4?

(11) Почему отрицательное электричество притягивает положительное?

(12) Почему природа подчиняется законам?

(13) Возможна ли Вселенная, в которой законы иные?

(14) Если бы одну часть нашей Вселенной можно было полностью изолировать от остальной, продолжала бы она подчиняться тем же законам?

(15) Можем ли мы быть уверены, что наши логические процессы верны?

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ОПЕРАЦИОНАЛЬНОМ ПОДХОДЕ

Принятие операционального подхода подразумевает нечто большее, чем просто ограничение смысла, в котором мы понимаем «понятие», оно означает далеко идущее изменение во всех наших привычках мышления, поскольку мы больше не позволим себе использовать в качестве инструментов мышления понятия, для которых мы не можем дать адекватного обоснования в терминах операций. В некоторых отношениях мышление становится проще, так как некоторые старые обобщения и идеализации становятся непригодными для использования; например, многие спекуляции ранних натурфилософов становятся просто нечитаемыми. В других отношениях, однако, мышление становится гораздо труднее, потому что операциональные следствия понятия часто очень сложны. Например, крайне трудно адекватно охватить все, что содержится в кажущемся простым понятии «времени», и это требует постоянной коррекции ментальных тенденций, которые мы долгое время принимали без вопросов.

Операциональное мышление поначалу окажется асоциальной добродетелью; человек обнаружит, что постоянно не в состоянии понять простейший разговор своих друзей, и станет повсеместно непопулярным, требуя определения смысла, казалось бы, самых простых терминов в любом споре. Возможно, после того как каждый приучит себя к этому лучшему способу, сохранится постоянная асоциальная тенденция, поскольку, несомненно, большая часть нашего нынешнего общения тогда станет ненужной. Социально оптимистично настроенные люди могут, однако, рискнуть надеяться, что конечный эффект будет заключаться в высвобождении энергии для более стимулирующего и интересного обмена идеями.

Операциональное мышление реформирует не только социальное искусство беседы, но и все наши социальные отношения будут подвержены реформе. Пусть кто-нибудь рассмотрит в операциональных терминах любую популярную современную дискуссию о религиозных или моральных вопросах, чтобы осознать масштаб ожидающей нас реформации. Везде, где мы идем на уступки или компромиссы при применении наших теорий поведения к практической жизни, мы можем заподозрить неудачу операционального мышления.

ГЛАВА II ДРУГИЕ ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ

ПРИБЛИЖЕННЫЙ ХАРАКТЕР ЭМПИРИЧЕСКОГО ЗНАНИЯ

ХОТЯ многие аспекты процессов, посредством которых мы получаем знания о внешнем физическом мире, выходят далеко за рамки нашего настоящего исследования, один момент необходимо упомянуть подробно, поскольку он неявно лежит в основе всего нашего обсуждения, а именно тот факт, что все результаты измерений являются лишь приближенными. То, что это верно, становится очевидным после самого поверхностного изучения любого процесса измерения; любое утверждение о численных отношениях между измеренными величинами всегда должно сопровождаться оговоркой, что отношение справедливо только в определенных пределах. Более того, весь опыт, по-видимому, носит такой характер; мы никогда не обладаем совершенно четким знанием о чем-либо, но весь наш опыт окружен сумеречной зоной, полутенью неопределенности, в которую мы еще не проникли. Эта полутень является столь же неисследованной областью, как и любая другая область за пределами эксперимента, например, область высоких скоростей, и мы не должны иметь никаких предвзятых мнений относительно того, что будет найдено внутри этой области. Полутень должна быть пронизана путем повышения точности измерений. Внутри того, что когда-то было полутенью, было обнаружено смещение углового положения звезд вблизи края солнечного диска, и внутри еще не пронизанной полутени мы ищем такие эффекты, как эквивалентность массы и энергии. Многие великие открытия будущего, вероятно, будут сделаны внутри полутени: мы уже упоминали, что расширение знаний о явлениях космического масштаба должно быть достигнуто путем повышения точности измерений очень малых величин.

Общим следствием приближенного характера всех измерений является то, что ни одна эмпирическая наука никогда не может делать точных утверждений. Это было довольно очевидно в случае механики, но потребовался Гаусс [4], чтобы убедить нас в том, что геометрия, которая интересует нас как физиков, является эмпирической дисциплиной и что нельзя сказать, что реальное пространство является евклидовым, а лишь то, что реальное пространство приближается к идеальному евклидову пространству с определенной степенью точности. Я полагаю, что мы вынуждены пойти еще дальше и признать, что арифметика, поскольку она претендует на то, чтобы иметь дело с реальными физическими объектами, также затронута той же полутенью неопределенности, что и всякая другая эмпирическая наука. Типичное утверждение эмпирической арифметики гласит, что 2 объекта плюс 2 объекта составляют 4 объекта. Это утверждение приобретает физический смысл только в терминах определенных физических операций, и эти операции должны выполняться во времени.

[4] К. Ф. Гаусс, «Собрание сочинений», особенно тома IV и VIII.

Теперь полутень проникает в эту ситуацию через понятие объекта. Если арифметическое утверждение должно быть точным утверждением в математическом смысле, «объект» должен быть определенной, четко очерченной вещью, которая сохраняет свою идентичность во времени без какой-либо полутени. Но подобная вещь никогда не встречается в опыте и, насколько нам известно, не соответствует в точности ничему в опыте. Конечно, верно, что в большинстве случаев полутень настолько тонка и плотно прилегает, что требуются специальные усилия, чтобы вообще распознать ее присутствие; но, полагаю, тщательное изучение показывает, что она всегда присутствует. Если бы наш опыт ограничивался явлениями в вакууме, а объекты, которые мы пытались бы сосчитать, были бы сферами газа, которые расширяются и проникают друг в друга, очевидно, что понятие «объекта» как вещи, обладающей идентичностью, было бы гораздо труднее сформировать. Или, если наши объекты — это стаканы с водой, мы обнаруживаем, когда наше наблюдение достигает определенной стадии уточнения, что количество воды постоянно меняется из-за испарения и конденсации, и нас беспокоит вопрос, остается ли объект тем же самым после того, как он увеличился или уменьшился. Переходя к твердым телам, мы в конечном итоге обнаруживаем, что даже твердые тела испаряются или конденсируют на себе газы, и мы видим, что объект с идентичностью — это абстракция, не соответствующая в точности ничему в природе. Конечно, полутень неопределенности, окружающая наши арифметические утверждения из-за этого свойства физических объектов, настолько чрезвычайно тонка, что практически мы не осознаем ее существования и не ожидаем когда-либо найти нераскрытые явления внутри полутени. Но в принципе мы должны признать ее присутствие и должны далее признать, что вся эмпирическая наука должна носить такой характер.

В большинстве эмпирических наук полутень поначалу заметна, а затем становится менее важной и более тонкой по мере повышения точности физических измерений. В механике, например, полутень поначалу подобна густой скрывающей завесе на той стадии, когда мы измеряем силы только нашими мышечными ощущениями, и постепенно ослабевает по мере повышения точности измерений. Но с арифметическим понятием индивидуального идентифицируемого объекта все в точности наоборот; грубый подход вообще не подозревает о существовании полутени, и мы обнаруживаем ее только путем значительного уточнения наших методов. Несомненно, арифметика обязана своим ранним развитием этому свойству.

Теперь мы можем пойти еще дальше. Сами операции, конечно, происходят из опыта, и можно было бы ожидать, что они также имеют туманный край неопределенности. Мы должны задавать такие вопросы, как: являются ли операции арифметики четко очерченными вещами? Является ли операция умножения 2 объектов на 2 определенной операцией без окутывающей дымки? Весь наш физический опыт убеждает нас в том, что если вокруг понятия операций такого рода и существует полутень, то она настолько тонка, что ею можно пренебречь, по крайней мере в настоящее время; но этот вопрос дает интересную тему для размышлений. Мы также должны спросить, могут ли ментальные операции быть аналогичным образом окутаны дымкой.

ОБЪЯСНЕНИЯ И МЕХАНИЗМЫ

Возможно, кульминация нашей задачи по интерпретации и корреляции природы достигается тогда, когда мы способны найти объяснение явлений; с нахождением объяснения мы склонны чувствовать, что наше понимание ситуации является полным. Теперь мы должны спросить, какова природа объяснения, которое мы ставим целью наших усилий. Ответ дать нелегко, и на этот счет могут быть разные мнения. Мы получим лучший ответ на этот, как и на многие другие вопросы, приняв операциональный подход и изучив, что мы делаем, давая объяснение. Я полагаю, что исследование покажет, что сущность объяснения состоит в сведении ситуации к элементам, с которыми мы настолько знакомы, что принимаем их как нечто само собой разумеющееся, так что наше любопытство успокаивается. [5] «Сведение ситуации к элементам» означает, с операциональной точки зрения, обнаружение знакомых корреляций между явлениями, из которых состоит ситуация.

[5] Конечные элементы объяснения аналогичны аксиомам формальной математики.

Здесь подразумевается тезис о том, что природу можно анализировать на корреляции, однако без каких-либо предположений о характере этих корреляций. Мне кажется, что такой тезис является наиболее общим из всех возможных, если природа вообще должна быть постижимой. Этот тезис лежит в основе всех соображений данного эссе, и мы не будем пытаться найти что-либо более общее. Мы, однако, признаем, что любое предположение о характере корреляций представляет собой специальную гипотезу, которая может ограничить будущее, и что поэтому эти специальные гипотезы подлежат специальному рассмотрению. Мы вернемся к этому вопросу более подробно при обсуждении понятия причинности, которое тесно связано с понятием объяснения.

В таком взгляде на объяснение нет подразумеваемого утверждения, что «элемент» является вещью либо меньшего, либо большего масштаба, чем объясняемое явление; так, мы можем объяснить свойства газа через составляющие его молекулы, или, возможно, когда-нибудь мы настолько свыкнемся с идеей неевклидова пространства, что будем объяснять (вместо того чтобы описывать) гравитационное притяжение камня Землей через кривизну пространства-времени, навязанную всей остальной материей во Вселенной.

Если это принять как истинную природу объяснения, мы увидим, что объяснение не является чем-то абсолютным, но то, что удовлетворительно для одного человека, не будет таковым для другого. Дикарь удовлетворяется объяснением грозы как капризного акта разгневанного бога. Физик требует большего и требует, чтобы знакомые элементы, к которым мы сводим ситуацию, были таковыми, чтобы мы могли интуитивно предсказать их поведение. Таким образом, даже если бы физик верил в существование разгневанного бога, он не удовлетворился бы таким объяснением грозы, потому что он недостаточно знаком с разгневанными богами, чтобы предсказать, когда за гневом последует шторм. Ему пришлось бы знать, почему бог разгневался и почему создание грозы облегчило его гнев. Но даже с этой дополнительной оговоркой научное объяснение, очевидно, остается относительным делом — относительным по отношению к элементам или аксиомам, к которым мы сводим ситуацию и которые принимаем как конечные. Эти элементы зависят в определенной степени от поставленной цели, а также от диапазона нашего предыдущего физического опыта. Если мы объясняем действие машины, мы удовлетворены сведением действия к толчкам и тягам различных частей машины, принимая как конечное то, что эти части передают толчки или тяги. Но физик, который расширил свои экспериментальные знания дальше, может захотеть объяснить, как части передают толчки или тяги, через действие друг на друга электронов на их орбитах в атомах. Характер нашей объяснительной структуры будет зависеть от характера наших экспериментальных знаний и будет меняться по мере их изменения.

Формально процессу объяснения нет предела, потому что мы всегда можем спросить, каково объяснение элементов, в терминах которых мы дали последнее объяснение. Но точка зрения операций показывает, что это лишь формализм, который заканчивается лишь бессмысленным жаргоном, ибо мы вскоре достигаем предела наших экспериментальных знаний, и за этим пределом операции, включенные в понятия наших объяснений, становятся невозможными, а понятия становятся бессмысленными.

По мере того как мы расширяем экспериментальные знания и продвигаем наши объяснения все дальше и дальше, мы видим, что объяснительная последовательность может быть завершена несколькими возможными способами. Во-первых, мы можем никогда не продвигать наши эксперименты за пределы стадии, в которую не входят элементы, с которыми мы уже знакомы. В этом случае объяснение очень простое: оно не включает в себя ничего существенно нового, а лишь распутывание сложностей. Кинетическая теория газов, объясняющая тепловые свойства газа через обычные механические свойства молекул, предполагает такую ситуацию. Или, во-вторых, наши эксперименты могут привести нас в контакт с ситуациями, новыми для нас, в которых мы не можем распознать знакомые элементы или, по крайней мере, должны признать, что есть что-то помимо знакомых элементов. Такая ситуация представляет собой объяснительный кризис, и объяснение должно остановиться по определению. Или, в-третьих, мы можем попытаться втиснуть наши объяснения в заранее определенную форму, формально возводя или изобретая за пределами диапазона текущего эксперимента конечные элементы, более или менее похожие на элементы, уже знакомые нам, и стремиться объяснить весь текущий опыт в терминах этих выбранных конечных элементов.

Оставляя на время третью возможность, которую мы можем принять или отвергнуть и которая является формальным делом, остается лишь вопрос экспериментального факта, какая из первых двух возможностей соответствует фактическому положению дел. Самое поверхностное изучение современного состояния физики показывает, что мы сейчас сталкиваемся со второй из этих возможностей и что в новых экспериментальных фактах теории относительности и во всех квантовых явлениях мы сталкиваемся с объяснительным кризисом. Часто подчеркивалось, что теория гравитации Эйнштейна вовсе не стремится дать объяснение гравитационных явлений, а лишь описывает и соотносит эти явления на сравнительно простом математическом языке. Никаких попыток свести гравитационное притяжение между Землей и Солнцем к простым терминам не делается больше, чем это делал Ньютон. В области квантовых явлений, конечно, является самым обычным делом, что наши старые идеи механики и электродинамики потерпели неудачу, поэтому представляет величайший интерес выяснить, сколько элементов старых ситуаций, и можно ли вообще какие-либо из них, перенести в новые.

Изучение многих так называемых «объяснений» квантовой теории является одновременно оправданием приведенного выше определения объяснения и утверждения о том, что в квантовых явлениях мы находимся в состоянии объяснительного кризиса. Ибо стремление всех этих квантовых объяснений состоит в том, чтобы найти в каждой новой или более сложной ситуации те же элементы, которые уже встречались в более простых ситуациях и которые поэтому относительно более знакомы. Например, многие квантовые явления заставляют включать испускание энергии, когда электрон перескакивает с одной орбиты на другую. Но всегда элементы, к которым производится сведение, сами являются квантовыми явлениями, и они все еще настолько новы и незнакомы, что мы чувствуем инстинктивную потребность в объяснении в других терминах. Мы стремимся понять, почему электрон испускает энергию, когда он совершает скачок.

Объяснительный кризис, с которым мы сейчас сталкиваемся в теории относительности и квантовых явлениях, — это лишь повторение того, что происходило много раз в прошлом. Подобный кризис пережил Прометей, когда открыл огонь, и первый человек, который наблюдал соломинку, прилипшую к куску потертого янтаря, или подвешенный магнит, ищущий Полярную звезду. Каждый котенок сталкивается с таким кризисом в возрасте девяти дней. Всякий раз, когда опыт уводит нас в новые и незнакомые сферы, мы должны быть, по крайней мере, готовы к новому кризису.

Что же нам делать в таком кризисе? Мне кажется, что единственный разумный курс — это делать в точности то, что делает котенок, а именно: ждать, пока мы не накопим так много опыта нового рода, что он станет нам совершенно знаком, а затем возобновить процесс объяснения, включив элементы нашего нового опыта в наш список аксиом. Наблюдение покажет не только то, что именно это сейчас и делается в отношении квантовых и гравитационных явлений, но и то, что это гармонирует со всем духом нашего взгляда на природу. Все наши знания выражаются в терминах опыта; мы не должны ожидать или желать возвести объяснительную структуру, отличную по характеру от структуры опыта. Наш опыт конечен; на границах экспериментально достижимого он становится туманным, и понятия, в терминах которых мы его описываем, сливаются вместе и теряют независимый смысл. Более того, при каждом расширении нашего экспериментального диапазона мы должны быть готовы обнаружить, и, по правде говоря, часто обнаруживали, что сталкиваемся с явлениями совершенно нового характера, к которым предыдущий опыт нас не подготовил. Предложенная выше объяснительная структура обладает всеми этими свойствами; она конечна, будучи ограниченной краем эксперимента, последние стадии наших объяснений туманны в том смысле, что становится все труднее различать элементы знакомого опыта, и время от времени мы должны допускать новые элементы в наши объяснения.

Первым шагом в возобновлении нашего объяснительного прогресса после того, как мы столкнулись с таким кризисом, является поиск различных видов корреляции между элементами нашего нового опыта в уверенном ожидании, что эти элементы в конечном итоге станут нам настолько знакомы, что их можно будет использовать в качестве конечных элементов нового объяснения. Это именно то, что сейчас происходит в квантовой теории.

Диаметрально противоположным вышеизложенным взглядам является другой идеал объяснительного процесса, которого придерживаются многие физики и который был упомянут выше как третий возможный способ завершения объяснительной последовательности, а именно: стремление разработать за пределами предела текущего эксперимента структуру, построенную из элементов, подобных некоторым из элементов нашего нынешнего опыта, в действии которых мы стремимся найти объяснение явлений в текущем диапазоне. Теперь такая программа, как серьезная программа для окончательной корреляции природы, полностью противоречит духу изложенных здесь соображений. В опыте нет никаких оснований для убеждения, что по мере того, как мы проникаем все глубже и глубже, мы будем находить повторение элементов предыдущего опыта, хотя иногда мы действительно находим такие повторения, как в поведении газов. Тем не менее, это было позицией многих выдающихся физиков, например, Фарадея и Максвелла, стремившихся объяснить дистанционное электрическое действие распространением через среду механического толчка или тяги, или Герца, который искал во всех явлениях действие скрытых масс с обычной механической инерцией. Хотя как общий принцип эта программа кажется абсолютно лишенной оправдания, тем не менее она может быть оправдана, если специфический характер физических фактов, по-видимому, указывает на повторение на более низких уровнях элементов, знакомых на более высоких. У Герца, несомненно, было это оправдание, как и у Максвелла в некоторой степени, в открытии того, что общие уравнения электродинамики имеют ту же форму, что и обобщенные уравнения Лагранжа в механике. Однако для Фарадея такого оправдания, по-видимому, нет; побуждение к подобным вещам у Фарадея исходило из некритического принятия его собственных темпераментных реакций.

С менее серьезной точки зрения, однако, может быть вполне оправдано выдвижение такой рабочей гипотезы, что в действии электрических сил могут быть обнаружены те же элементы, с которыми мы знакомы в повседневном опыте механики. Ибо такая гипотеза часто позволяет нам делать частичные корреляции, которые подсказывают новые экспериментальные проверки, и тем самым дает стимул к расширению нашего экспериментального горизонта. Многие физики признают предварительный характер таких попыток объяснения, но другие, по-видимому, относятся к ним более серьезно, как, например, лорд Кельвин в своих постоянных, продолжавшихся всю жизнь попытках найти механическое объяснение всех физических явлений. Эта цитата из Кельвина показательна: «Я никогда не удовлетворяюсь, пока не смогу сделать механическую модель вещи. Если я могу сделать механическую модель, я могу ее понять. Пока я не могу сделать механическую модель до конца, я не могу ее понять... Но я хочу понимать свет настолько хорошо, насколько могу, не вводя вещей, которые мы понимаем еще меньше».

На этом общие соображения о природе объяснения можно закончить. Переходя теперь к большим деталям, многие объяснения включают то, что можно описать как механизм. Трудно охарактеризовать точно, что мы подразумеваем под механизмом, но, по-видимому, это связано с образом мышления, который стремится реализовать третью из упомянутых выше возможностей. На самом деле искомый механизм обычно относится к особому типу, поскольку выбранные конечные элементы являются механическими элементами. Эта точка зрения особенно характерна для английской школы физиков. Хотя «механизм» обычно подразумевает механические элементы, мы можем показать на конкретных примерах, что мы действительно используем это слово в более широком значении. Если бы, например, мы могли разработать внутри ядра атома вращающуюся систему электрических зарядов, действующих друг на друга с обычными силами электростатики, обратно пропорциональными квадрату расстояния, так что время от времени система становится нестабильной и распадается, мы, несомненно, сказали бы, что нашли механизм для объяснения радиоактивного распада.

Однако формулировка точного определения механизма является для нас второстепенной задачей; нас прежде всего интересует понимание образа мышления, который чувствует, что механизм необходим. Типичный пример такого стремления к механизму дает гравитационное действие между удаленными телами. Для многих умов понятие действия на расстоянии абсолютно отвратительно, его нельзя терпеть ни мгновения. Такая невыносимая ситуация избегается изобретением среды, заполняющей все пространство, которая передает силу от одного тела к другому через последовательное действие друг на друга ее соприкасающихся частей. Или дилемма действия на расстоянии может быть избегнута другими способами, как это сделал Бошкович в XVIII веке, который, чтобы объяснить гравитацию, заполнил пространство трижды бесконечной ордой бесконечно малых снарядов. Теперь, конечно, дело эксперимента — решить, можно ли приписать какую-либо физическую реальность среде, которая делает гравитацию возможной через действие ее соседних частей, но я не вижу никаких оправданий для позиции, которая отказывается на чисто априорных основаниях принять действие на расстоянии как возможную аксиому или конечное объяснение. Трудно представить что-либо более научно фанатичное, чем постулирование того, что весь возможный опыт соответствует тому же типу, что и тот, с которым мы уже знакомы, и поэтому требовать, чтобы объяснение использовало только элементы, знакомые в повседневном опыте. Такое отношение свидетельствует о нехватке воображения, ментальной тупости и упрямстве, которые, как можно было ожидать, исчерпали свое прагматическое оправдание на более низком уровне ментальной активности.

Хотя, вероятно, будет довольно легко дать интеллектуальное согласие с критикой последнего абзаца, я полагаю, что многие обнаружат в себе тягу к механическому объяснению, которая обладает всей цепкостью первородного греха. Обнаружение такого желания не должно вызывать особой тревоги, потому что легко понять, как требование такого рода объяснения берет свое начало в огромном преобладании механического в нашем физическом опыте. Но тем не менее, подобно тому как старые монахи боролись, чтобы покорить плоть, так и физик должен бороться, чтобы покорить это иногда почти непреодолимое, но совершенно неоправданное желание. Одна из больших целей этого изложения будет достигнута, если оно принесет убеждение, что эта тяга неоправданна и стоит того, чтобы приложить усилия для ее подавления.

Ситуация в отношении действия на расстоянии типична для общей ситуации. Я полагаю, что сущность объяснительного процесса такова, что мы должны быть готовы принять в качестве конечного для наших объяснений простое утверждение о корреляции между явлениями или ситуациями, с которыми мы достаточно знакомы. Так, в квантовой теории нет причин, по которым мы не должны быть готовы принять в качестве конечного фундаментальный факт, что когда электрон совершает скачок, излучается радиация, при условии, конечно, что мы можем дать независимый смысл в терминах операций скачку электрона. Если нет эксперимента, предполагающего другие и промежуточные явления, мы должны быть в состоянии оставаться интеллектуально удовлетворенными этим. Конечно, это совсем другое дело, и вполне оправданное, — вообразить, что вовлекло бы экспериментально допущение более тонких деталей в процессе, а затем искать эти возможные новые экспериментальные факты.

Следствием этого взгляда является то, что любая корреляция приспособлена быть абсолютно конечным элементом объяснения и никогда не может быть вытеснена открытием новых экспериментальных фактов, если корреляция по определению находится вне досягаемости дальнейшего эксперимента. Такая возможность, например, содержится в корреляции между численной величиной гравитационной постоянной и общей массой Вселенной. Что-то в этом роде может быть вполне предпринято теми, кто желает, чтобы их объяснения приняли формально конечную форму. Мы вернемся к этой теме позже.

Инстинктивное требование механизма подкрепляется наблюдением многих важных случаев, в которых механизмы были обнаружены или изобретены. Однако значимость таких успешных попыток должна быть подвергнута самому тщательному изучению. Этот вопрос обсуждался Пуанкаре [6], который показал, что не только всегда возможно найти механистическое объяснение любого явления (программа Герца была вполне возможной), но всегда существует бесконечное число таких объяснений. Это очень неудовлетворительно.

[6] Анри Пуанкаре. «Наука и гипотеза», перевод на немецкий Ф. и Л. Линдеман, Тойбнер, Лейпциг, 1906 г. См. особенно стр. 217.

Мы хотим иметь возможность найти реальный механизм. Теперь изучение конкретных предложенных механизмов покажет, что большинство механизмов сложнее, чем простое физическое явление, для объяснения которого они изобретены, в том смысле, что они имеют больше независимо варьируемых атрибутов, чем явление, как было доказано до сих пор. Пример дают механические модели, изобретенные для облегчения изучения свойств простых индуктивных электрических цепей. Большое количество таких моделей, которые были предложены, является достаточным указанием на их возможное бесконечное число. Но если механизм имеет больше независимо варьируемых атрибутов, чем исходное явление, то очевидно, что вопрос о том, является ли механизм реальным или нет, не имеет смысла, ибо в механизме должны быть простые движения или комбинации движений, которые не имеют аналогов в чертах исходного явления, как они были обнаружены до сих пор. Очевидно, тогда, что не существуют операции, с помощью которых мы могли бы установить взаимно однозначное соответствие между свойствами механизма и природным явлением, и вопрос о реальности не имеет смысла. Если, следовательно, механизм должен восприниматься всерьез как фактически соответствующий реальности, мы должны потребовать, чтобы он не имел больше степеней свободы, чем исходное явление, и мы также должны быть уверены, что явление не имеет нераскрытых черт. Физический опыт показывает, что таким условиям труднее всего соответствовать, и, по правде говоря, вероятность того, что они невозможны, велика.

Механизм с большим количеством независимо варьируемых атрибутов, чем явление, может оказаться очень полезным инструментом мышления, а значит, стоит того, чтобы его изобретать и изучать, но к нему следует относиться не более серьезно, чем к мнемоническому устройству или любой другой уловке, с помощью которой человек заставляет свой разум лучше ему служить.

Существует другая возможная программа объяснения, обратная той, что рассматривалась выше, а именно: объяснить все знакомые факты обычного опыта через менее знакомые факты, обнаруженные на более глубоком уровне. Самым ярким примером этого является недавняя попытка дать полное электрическое объяснение Вселенной. Первоначальная попытка состояла в том, чтобы объяснить электрические эффекты в механических терминах; эта попытка провалилась. Примерно в то же время существование электрона было экспериментально установлено, так что стало очевидно, что электричество является очень фундаментальной составляющей материи. Программа объяснения была перевернута, и электрическое объяснение искалось для всех механических явлений, включая, в частности, механическую массу. Но эта попытка также провалилась; мы признаем, что часть массы может иметь неэлектрический характер, мы постулируем неэлектрические силы внутри электрона и, кроме того, мы обычно постулируем для электронов и протонов свойство непроницаемости, свойство, полученное из опыта на более высоком уровне величины.

Программа такого общего рода, вероятно, будет встречена с немалым сочувствием, и, действительно, шансы на успех кажутся гораздо большими, чем у обратной программы, ибо в нашем опыте крупномасштабные явления чаще строятся из мелкомасштабных явлений и анализируются на них, чем наоборот. Но в принципе мы должны снова признать, что единственная апелляция — к эксперименту, и что мы должны задать только один вопрос: «Правда ли, как дело обстоит на самом деле, что все крупномасштабные явления могут быть построены из элементов мелкомасштабных явлений?» Мне кажется, что экспериментального подтверждения этого убеждения еще не было дано. Провал попытки электрического объяснения Вселенной является тому примером. Однако неудача в доказательстве положения не является гарантией того, что когда-нибудь оно не будет доказано, и многие физики убеждены в конечной осуществимости этой программы. Лично я чувствую, что крупное не всегда может быть проанализировано на более мелкое; этот предмет будет обсуждаться снова.

Убеждение в значимости микроскопического анализа имеет много общего с обычным убеждением в конечной простоте природы. Тезис о простоте включает в дополнение предположение, что видов мелкомасштабных элементов немного, но на самом деле это не влечет за собой никакой важной разницы между двумя убеждениями, потому что мы видели, что элементы, из которых мы строим нашу структуру, становятся меньше по количеству по мере приближения к пределу экспериментально достижимого. Мы можем должным образом признать за убеждениями такого рода прагматическую ценность в предложении новых корреляций и экспериментов, но признание эмпирической основы всей физики не позволит нам пойти дальше.

МОДЕЛИ И КОНСТРУКТЫ

При обсуждении понятия длины мы не смогли найти смысла в таких вопросах, как: «Является ли пространство в масштабе 10^-8 см евклидовым?» Тем не менее многим покажется, что они придают совершенно определенный смысл вопросу такого рода. Конечно, нужно согласиться с тем, что величины 10^-8 см нельзя мыслить в терминах непосредственного ощущения. Когда кто-то думает об атоме как о вещи, обладающей хоть какими-то геометрическими свойствами, я полагаю, он обнаружит, что по сути он делает то, что воображает модель, умножая все гипотетические размеры на коэффициент, достаточно большой, чтобы довести их до величины обычного опыта. Эта крупномасштабная модель наделяется свойствами, соответствующими свойствам физической вещи. Например, модель атома, которая была принята осенью 1925 года, содержит электроны, вращающиеся по орбитам, и время от времени электрон перескакивает с одной орбиты на другую, и одновременно из атома излучается энергия. Такая модель удовлетворительна, если она предлагает аналог всех явлений исходного атома. Теперь я полагаю, что единственный смысл, который кто-либо может найти в своем утверждении, что пространство атома является евклидовым, заключается в том, что он верит, что может построить в евклидовом пространстве модель со всеми наблюдаемыми свойствами атома. Эта возможность может быть или не быть достаточной, чтобы придать реальную физическую значимость утверждению, что пространство атома является евклидовым. Ситуация здесь очень похожа на ту, что была в отношении механизмов. Модель может иметь гораздо больше свойств, чем соответствует измеримым свойствам атома, и, в частности, операции, с помощью которых пространство модели проверяется на евклидов характер, могут [и, по правде говоря, я полагаю, действительно] не иметь аналогов в операциях, которые могут быть выполнены над атомом. Более того, мы не можем придать никакого реального значения утверждению, что пространство атома является евклидовым, если не можем показать, что никакая модель, построенная в неевклидовом пространстве, не может воспроизвести измеримые свойства атома.

Несмотря на все это, я полагаю, что модель является полезным и, действительно, неизбежным инструментом мышления, в том смысле, что она позволяет нам думать о незнакомом в терминах знакомого. Однако при ее использовании существуют опасности: функция критики состоит в том, чтобы раскрыть эти опасности, чтобы инструмент можно было использовать с уверенностью.

Тесно связаны с ментальной моделью ментальные конструкты, которыми полна физика. Существует много видов конструктов: те, которые нас интересуют, создаются нами, чтобы позволить нам иметь дело с физическими ситуациями, которые мы не можем непосредственно испытать через наши чувства, но с которыми мы имеем контакт косвенно и путем вывода. Такие конструкты обычно включают элемент изобретения в большей или меньшей степени. Конструкт, содержащий очень мало изобретения, — это конструкт внутренней части непрозрачного твердого тела. Мы никогда не можем непосредственно испытать через наши чувства внутреннюю часть такого твердого тела, потому что в тот момент, когда мы непосредственно испытываем ее, она по определению перестает быть внутренней частью. Мы имеем здесь конструкт, но настолько естественный, что он практически неизбежен. Примером конструкта, включающего большее количество изобретения, является напряжение в упругом теле. Напряжение по определению является свойством внутренних точек тела, которое связано математически простым способом с силами, действующими через свободную поверхность тела. Напряжение, таким образом, по самой своей природе навсегда вне досягаемости прямого опыта, и поэтому оно является конструктом. Вся структура напряжения не соответствует ничему в прямом опыте; она связана с силой, но сама по себе является шестикратной величиной, тогда как сила — только трехкратная.

Нам нужно далее спросить, является ли напряжение, которое мы изобрели для удовлетворения ситуации в теле, подверженном силам, хорошим конструктом. Во-первых, напряжение имеет то же количество степеней свободы, что и наблюдаемое явление, ибо одним из положений математической теории упругости является то, что граничные условия, которые являются экспериментальными переменными, однозначно определяют напряжение в данном теле [т. е. теле с заданными упругими константами]; и, конечно, сразу очевидно при осмотре уравнений, что, наоборот, возможная система напряжений однозначно определяет граничные условия до значимой величины. Существует, следовательно, уникальное взаимно однозначное соответствие между напряжением и физической ситуацией, для которой оно было создано, и до сих пор напряжение является хорошим конструктом. До этого момента напряжение, с точки зрения операций, в терминах которых оно определено, является чисто математическим изобретением, которое оправдано, потому что оно удобно при описании поведения тел, подверженных действию силы. Но мы хотим теперь пойти дальше и приписать физическую реальность напряжению, подразумевая под этим, что напряжение в твердом теле должно соответствовать некоторому реальному физическому состоянию внутренних точек. Давайте исследуем с точки зрения операций, каков может быть смысл такого утверждения. Поскольку мы теперь хотим приписать дополнительный физический смысл напряжению, помимо математических операций, в терминах которых напряжение было определено, должны существовать дополнительные физические операции, соответствующие этому смыслу, иначе наше утверждение бессмысленно. Теперь, конечно, дело самого элементарного опыта, что существуют физические явления, которые допускают эти другие независимые операции. Тело под напряжением также находится в состоянии деформации, которое может быть определено из внешних деформаций, или деформация во внутренних точках может быть сделана более ярко реальной с помощью тех оптических эффектов двойного лучепреломления в прозрачных телах, которые сейчас так широко используются в модельных экспериментах, или, если напряжение доведено до определенной точки, мы имеем такие новые явления, как остаточная деформация или, наконец, разрыв.

У нас, следовательно, есть все основания быть удовлетворенными нашим конструктом напряжения. Во-первых, с формальной точки зрения, это хороший конструкт, потому что существует уникальное соответствие между ним и физическими данными, в терминах которых он определен; и во-вторых, мы имеем право приписать ему физическую реальность, потому что он уникально связан с другими физическими явлениями, независимыми от тех, которые вошли в его определение. Это последнее требование, фактически, с операциональной точки зрения, сводится не более чем к определению того, что мы подразумеваем под реальностью вещей, не данных непосредственно опытом. Поскольку теперь, помимо удовлетворения формальным требованиям, опыт показывает, что напряжение наиболее полезно при корреляции явлений, мы оправданы в том, чтобы отвести этому конструкту напряжения видное место среди наших понятий.

Рассмотрим теперь другой конструкт, один из самых важных в физике, — электрическое поле. Во-первых, изучение операций, с помощью которых мы определяем электрическое поле в любой точке, покажет, что это конструкт, в том смысле, что он не является прямым данным опыта. Чтобы определить электрическое поле в точке, мы помещаем пробный заряд в эту точку, измеряем силу, действующую на него, а затем вычисляем отношение силы к заряду. Затем мы позволяем пробному заряду становиться все меньше и меньше, повторяя наше измерение силы на каждом меньшем заряде, и определяем предел отношения силы к заряду как напряженность электрического поля в рассматриваемой точке, а предельное направление силы на малый заряд — как направление поля. Мы можем расширить этот процесс на каждую точку пространства и таким образом получить понятие поля сил, с помощью которого каждая точка пространства, окружающего электрические заряды, помечается соответствующим числом и направлением, при этом пробный заряд полностью исчезает. Поле, таким образом, явно является конструктом. Далее, с формальной точки зрения математики, это хороший конструкт, потому что существует взаимно однозначное соответствие между электрическим полем и электрическими зарядами, в терминах которых оно определено, при этом поле однозначно определяется зарядами, и, наоборот, существует только один возможный набор зарядов, соответствующий данному полю. Теперь почти каждый физик делает следующий шаг и приписывает физическую реальность электрическому полю, полагая, что в каждой точке поля происходит некоторое реальное физическое явление, которое связано еще не точно определенным образом с числом и направлением, помечающими эту точку. Поначалу этот взгляд наиболее естественно включал в качестве следствия существование среды, но в последнее время стало модным говорить, что среды не существует и что реально только поле. Реальность поля самосознательно внушается в нашем элементарном обучении, часто с немалыми трудностями для студента. Этот взгляд обычно приписывается Фарадею и считается самым фундаментальным понятием всей современной электрической теории. Тем не менее, несмотря на это, я полагаю, что критическое исследование покажет, что приписывание физической реальности электрическому полю совершенно неоправданно. Я не могу найти ни одного физического явления или ни одной физической операции, с помощью которых можно было бы получить доказательство существования поля независимо от операций, которые вошли в определение. Единственное физическое доказательство существования поля, которое мы когда-либо имеем, получается путем похода туда с электрическим зарядом и наблюдения действия на заряд [когда заряды находятся внутри атомов, мы можем иметь оптические явления], что в точности является операцией определения. Тогда либо бессмысленно говорить, что поле обладает физической реальностью, либо мы виновны в принятии определения реальности, которое является грубейшей тавтологией.

Не может быть никаких сомнений в колоссальной важности концепции электрического поля как инструмента для осмысления, описания, соотнесения и прогнозирования свойств электрических систем; электрическая наука немыслима без этого или чего-либо эквивалентного. Однако, помимо этого аспекта концепции поля, почти всегда присутствует дополнительное молчаливое допущение о его физической реальности, которое оказало огромное влияние на характер физического мышления и эксперимента. Тем не менее я не считаю, что это дополнительное допущение о физической реальности оправдало себя, приведя к выявлению хотя бы одного положительного результата, или может предложить что-то большее, чем прагматический довод о стимулировании большого числа экспериментов, все из которых дали неизменно отрицательные результаты. Достаточно упомянуть судьбу попытки Фарадея и Максвелла приписать эфиру напряжение, подобное напряжению в обычной материи, которая провалилась — помимо прочих причин — из-за того, что в эфире не может существовать ничего аналогичного деформации обычной материи, чтобы указать на бесплодность идеи физической реальности. Мне кажется, что любое прагматическое оправдание постулирования реальности электрического поля к настоящему времени исчерпано и что мы достигли стадии, на которой нам следует попытаться приблизиться к фактическому положению дел, избавив концепцию поля от импликаций реальности.

Другим незаменимым и в высшей степени интересным конструктом является атом. Очевидно, что это конструкт, поскольку никто никогда не имел прямого опыта взаимодействия с атомом, а его существование носит исключительно умозрительный характер. Атом был изобретен для объяснения постоянства весовых отношений при химических реакциях. Долгое время не было никаких других экспериментальных доказательств его существования, и он оставался чистым изобретением, лишенным физической реальности, но полезным при обсуждении определенной группы явлений. Одно из самых захватывающих занятий в физике — прослеживать накопление независимых новых физических данных, указывающих на атом, до тех пор, пока мы не станем убеждены в его физической реальности так же, как в реальности наших рук и ног.

Конструктом, от которого пришлось отказаться, поскольку он не оказался физически реальным и, кроме того, был недостаточно полезен в свете вновь открытых явлений, была теплородная жидкость.

Понятие «физической реальности» не имеет первостепенного значения для данного обсуждения характера наших конструктов; наше определение смысла физической реальности может прийтись по душе не каждому. Суть в том, что наши конструкты делятся на два класса: те, которым не соответствуют никакие физические операции, кроме тех, что входят в определение самого конструкта, и те, которые допускают другие операции или могут быть определены несколькими альтернативными способами через физически различные операции. Следует ожидать, что это различие в характере конструктов соответствует существенным физическим различиям, и эти физические различия слишком часто упускаются из виду в мышлении физиков. Мы должны всегда быть начеку, чтобы не забывать о физических различиях между такой вещью, как напряжение в упругом теле, и электромагнитным полем.

Мораль всего этого заключается в том, что конструкты — вещи в высшей степени полезные и даже неизбежные, но они могут таить в себе серьезные опасности, и тщательная критика может оказаться необходимой, чтобы избежать приписывания им импликаций, не имеющих под собой оснований в опыте, которые могут самым глубоким образом повлиять на наши физические воззрения и образ действий.

РОЛЬ МАТЕМАТИКИ В ФИЗИКЕ

Практически все формулировки теоретической физики даются на языке математики; фактически, получение таких формулировок обычно считается целью теоретической физики. Поэтому очевидно уместно рассмотреть, какова природа той математики, которой мы отводим столь видную роль.

Прежде всего, мы должны понять, почему вообще возможно выражать физические отношения на языке математики. Я не уверен, что в этом вопросе много смысла. Это сущая банальность, сразу очевидная при неискушенном наблюдении, что математика — это человеческое изобретение. Более того, математика, которая интересует физика, была разработана с явной целью описания поведения внешнего мира, поэтому, безусловно, не случайно, что существует соответствие между математикой и природой. Однако это соответствие отнюдь не идеально, и в математике всегда присутствует некое качество точности, которого никогда не достигает ни одна из наших сведений о природе. Теоремы геометрии Евклида иллюстрируют это в высшей степени. Утверждение о том, что между двумя точками существует только одна прямая линия и что это кратчайший путь между точками, по своему характеру совершенно отличается от любой информации, когда-либо полученной путем физических измерений, ибо все наши измерения подвержены ошибкам. Тем не менее возможно придать определенный реальный физический смысл идеально точным утверждениям геометрии, поскольку повседневный опыт показывает, что по мере уточнения точности наших физических измерений количественные утверждения геометрии подтверждаются с постоянно уменьшающейся погрешностью. Из этого возникает взгляд на природу математики, который, по-видимому, является наиболее распространенным: а именно, что если бы мы могли устранить несовершенства наших измерений, отношения математики подтверждались бы в точности. Предполагается, что абстрактные математические принципы действуют в природе, управляя природными явлениями, как Пифагор давным-давно пытался выразить это своей гармонией сфер и мистическими отношениями чисел.

Этот идеализированный взгляд на связь математики с природой мог поддерживаться только в тот исторический период, когда точность физических измерений была низкой, и теперь от него необходимо отказаться. Ибо уже неверно, что точные отношения геометрии Евклида могут быть бесконечно приближены путем повышения точности процесса измерения, но существуют существенные физические ограничения самих понятий длины и т. д., входящих в геометрические формулировки, заданные дискретной структурой материи и излучения. Это не академический вопрос, а затрагивающий саму суть ситуации. Больше нет никаких оснований для идеализации математики и для взгляда, согласно которому наше несовершенное знание природы ответственно за неудачу в обнаружении в природе точных отношений математики. Это математика, созданная нами, несовершенна, а не наше знание природы. [С операциональной точки зрения бессмысленно пытаться отделить «природу» от «знания о природе».] Понятия математики — это изобретения, сделанные нами в попытке описать природу. Теперь мы будем неоднократно видеть, что труднее всего на свете изобрести понятия, которые в точности соответствуют тому, что мы знаем о природе, и мы, по-видимому, никогда не добиваемся успеха. Математика не исключение; мы, несомненно, приближаемся к идеалу здесь ближе, чем где-либо еще, но мы видели, что даже арифметика не полностью воспроизводит физическую ситуацию.

Математика, по-видимому, не соответствует физической ситуации в точности по крайней мере в двух отношениях. Во-первых, это вопрос ошибок измерения в диапазоне обычного опыта. Математика может справиться с этой ситуацией, хотя и несколько неуклюже и лишь приблизительно, специально дополняя свои уравнения утверждениями о пределе ошибки или заменяя уравнения неравенствами — короче говоря, делая то, что выполняется при любом обсуждении распространения ошибки измерения. Во-вторых, и это гораздо важнее, математика не признает, что по мере расширения физического диапазона фундаментальные понятия становятся расплывчатыми и в конечном итоге полностью перестают иметь физический смысл, а потому должны быть заменены другими понятиями, которые операционально совершенно иные. Например, уравнения движения не делают различия между движением звезды в нашу галактику из внешнего пространства и движением электрона вокруг ядра, хотя физически смысл величин в уравнениях с точки зрения операций в этих двух случаях совершенно различен. Структура нашей математики такова, что мы почти вынуждены, хотим мы того или нет, говорить о внутренности электрона, хотя физически мы не можем придать таким утверждениям никакого смысла. В своем нынешнем виде математика напоминает болтливого и не всегда связного оратора, про которого говорили, что он способен запустить свой рот, а затем уйти и оставить его работать. Что нам хотелось бы, так это некоторого развития математики, при котором уравнения могли бы перестать иметь смысл за пределами диапазона численных величин, в которых сами физические понятия имеют смысл. Другими словами, проблема состоит в том, чтобы сделать наши уравнения более точно соответствующими физическому опыту, лежащему в их основе; для этого, очевидно, требуется своего рода новое изобретение.

Мы вернемся позже, при обсуждении уравнений электродинамики Лоренца, к недостаткам, возникающим из нынешнего неразборчивого характера математики. Тем временем мы должны признать, что здесь есть очень важные преимущества, наряду с недостатками. Весь опыт оправдывает ожидание, что законы природы, с которыми мы уже знакомы, выполняются, по крайней мере приблизительно и без резких изменений, в неисследованных областях, непосредственно лежащих за пределами нашей нынешней досягаемости. Предполагая неограниченную справедливость законов, как мы их знаем сейчас, математика позволяет нам проникнуть в сумеречную зону и сделать прогнозы, которые могут быть позже подтверждены. Только когда нас заносит слишком далеко, мы должны порицать эту характеристику нашей математики.

Существует еще один аспект использования математики при описании природы, который часто упускается из виду: а именно, что любая система уравнений может содержать лишь очень малую часть реальной физической ситуации; за уравнениями стоит огромный описательный фон, через который уравнения устанавливают связь с природой. Этот фон включает описание всех физических операций, с помощью которых получаются данные, входящие в уравнения. Например, когда Эйнштейн формулирует поведение Вселенной в терминах мировых линий событий, события в том виде, в каком они входят в уравнения, являются совершенно бесцветными вещами, просто 3 пространственными и 1 временной координатой. Чтобы установить связь с опытом, должен существовать описательный фон, дающий физическое содержание событий; например, может быть утверждение, что некоторые из событий являются световыми сигналами. Предполагается, что этот описательный фон остается неизменным, не подверженным никаким операциям, которым подвержены сами уравнения. Если, например, система отсчета уравнений изменяется путем изменения ее скорости, предполагается, что физическая значимость описательного фона остается неизменной, или, вернее, об этом вопросе обычно вообще не упоминается. Однако представляется, что этот вопрос нуждается в некотором обсуждении. Описательный фон получает свой смысл только в терминах определенных физических операций. Если описательный фон остается неизменным при изменении равномерной скорости системы отсчета, например, это означает, что движение системы отсчета вовсе не влияет на возможность выполнения определенных операций. Это довольно близко к самому ограниченному принципу относительности, который гласит, что форма законов природы не зависит от равномерной скорости. Поэтому, пока не будет проведен более тщательный анализ ситуации, представляется, что есть некоторые основания для подозрения, что принцип относительности вовлечен в возможность придания физическим явлениям полной математической формулировки, понимая под «полной» — «включающую описательный фон».

ГЛАВА III ПОДРОБНОЕ РАССМОТРЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПОНЯТИЙ ФИЗИКИ

ТЕПЕРЬ мы приступаем к подробному рассмотрению наиболее важных понятий физики. Совершенно выходит за рамки данного эссе попытка сделать что-то большее, чем указать на некоторые из наиболее важных вопросов. Также не следует ожидать, что части этого обсуждения всегда будут иметь очень тесную связь друг с другом; цель обсуждения — помочь в достижении максимально возможного самосознания всей структуры физики.

ПОНЯТИЕ ПРОСТРАНСТВА

Логически удовлетворительное определение того, что мы понимаем под понятием пространства, несомненно, дать трудно, но мы будем недалеко от истины, если будем рассматривать его как совокупность всех тех понятий, которые имеют отношение к положению. Положение означает положение чего-либо. Положение вещей определяется некоторой системой измерений; пожалуй, простейшей является та, что подразумевается в декартовой системе координат с ее тремя измерениями длины. Следовательно, большая часть существенного обсуждения пространства уже была приведена в связи с понятием длины. Мы видели, что измерения длины производятся с помощью физических измерительных стержней, прикладываемых к некоторому физическому объекту. Мы не можем измерить расстояние между двумя точками в пустом пространстве, потому что, если бы пространство было пустым, не было бы ничего, что могло бы определить положение концов измерительного стержня, когда мы перемещаем его из одного положения в другое. Мы видим, таким образом, с точки зрения операций, что каркас декартовой геометрии, часто представляемый в идеальном математическом смысле, на самом деле является физическим каркасом и что то, что мы подразумеваем под пространственными свойствами, есть не что иное, как свойства этого каркаса. Когда мы говорим, что пространство евклидово, мы имеем в виду, что физическое пространство метровых линеек является евклидовым: бессмысленно спрашивать, является ли евклидовым пустое пространство. Геометрия, следовательно, постольку, поскольку ожидается, что ее результаты применимы к внешнему физическому миру, и постольку, поскольку она не является логической системой, построенной на постулатах, есть экспериментальная наука. Этот взгляд сейчас хорошо понят и принят, но было время, когда он не принимался, а подвергался яростным нападкам; изменение отношения к этому вопросу симптоматично для изменения отношения ко многим другим подобным вопросам.

Мы уже подчеркивали, что пространство астрономии — это не физическое пространство метровых линеек, а пространство световых волн. Поэтому у нас могут быть разные виды пространства в зависимости от фундаментальных операций. Пространство метровых линеек мы назвали «тактильным пространством», а пространство световых лучей — «оптическим пространством». Если мы спрашиваем, является ли астрономическое пространство евклидовым, мы имеем в виду лишь вопрос о том, являются ли те особенности оптического пространства, которые доступны астрономическим измерениям, евклидовыми. Единственно возможная позиция в отношении этого вопроса или таких связанных вопросов, как то, является ли общий объем пространства конечным или обладает ли пространство кривизной, заключается в том, что это целиком и полностью дело эксперимента и что мы не имеем права формировать какие-либо предвзятые представления. Поэтому это выходит за рамки данного обсуждения.