Настоящее объяснение было бы совершенно неправильно понято, если бы предполагалось, что оно преуменьшает значение математики. Называя количественную характеристику просто внешней и безразличной, мы не предоставляем оправдания для лени и поверхностности, и мы не утверждаем, что количественные характеристики могут быть оставлены на произвол судьбы или, по крайней мере, не требуют очень осторожного обращения. Количество, конечно, есть стадия идеи: и как таковое оно должно получить свое должное, сначала как логическая категория, а затем в мире объектов, природных, а также духовных. Тем не менее, даже в этом случае вскоре обнаруживается разная важность, придаваемая категории количества в зависимости от того, принадлежат ли ее объекты к природному или к духовному миру. Ибо в природе, где форма идеи должна быть иной, чем она сама, и в то же время вне ее, большее значение по этой самой причине придается количеству, чем в духовном мире, мире свободной внутренней жизни. Бесспорно, мы рассматриваем даже духовные факты под количественной точкой зрения; но сразу становится очевидным, что при разговоре о Боге как о Троице число три отнюдь не имеет той же значимости, как когда мы рассматриваем три измерения пространства или три стороны треугольника; — фундаментальной чертой которого последнего как раз и является быть поверхностью, ограниченной тремя линиями. Даже внутри царства природы мы находим то же различие большей или меньшей важности количественных признаков. В неорганическом мире количество играет, так сказать, более заметную роль, чем в органическом. Даже в органической природе, когда мы отличаем механические функции от того, что называется химическими, и в более узком смысле, физическими, существует то же различие. Механика есть из всех отраслей науки, по общему признанию, та, в которой без помощи математики можно обойтись меньше всего, — где, действительно, мы не можем сделать ни шагу без них. По этой причине механика рассматривается наряду с математикой как наука par excellence; что заставляет нас повторить замечание о совпадении материалистической с исключительно математической точкой зрения. После всего сказанного мы не можем не считать, в интересах точного и тщательного знания, одним из самых вредных предрассудков искать все различие и определенность объектов только в количественных соображениях. Дух, конечно, больше, чем природа, и животное больше, чем растение: но мы знаем очень мало об этих объектах и различии между ними, если «больше» и «меньше» достаточно для нас, и если мы не переходим к тому, чтобы постичь их в их специфическом, то есть их качественном характере.
100.] Количество, как мы видели, имеет два источника: исключающая единица и отождествление или уравнивание этих единиц. Когда мы поэтому смотрим на его непосредственное отношение к себе или на характеристику самотождественности, сделанную эксплицитной притяжением, количество есть непрерывная величина; но когда мы смотрим на другую характеристику, Единое, подразумеваемое в нем, оно есть дискретная величина. Тем не менее, непрерывное количество также имеет некоторую дискретность, будучи лишь непрерывностью Множества: и дискретное количество не менее непрерывно, его непрерывность есть Единое или единица, то есть самотождественная точка многих Единых.
(1) Непрерывную и дискретную величину, следовательно, не следует считать двумя видами величины, как если бы характеристика одной не была присуща другой. Единственное различие между ними заключается в том, что одно и то же целое (количества) в одно время эксплицитно полагается под одну, в другое — под другую из своих характеристик. (2) Антиномия пространства, времени или материи, которая обсуждает вопрос об их делимости до бесконечности или о состоянии из неделимых единиц, как раз означает, что мы поддерживаем количество в одно время как дискретное, в другое — как непрерывное. Если мы эксплицитно наделяем время, пространство или материю атрибутом только непрерывного количества, они делимы ad infinitum. Когда, напротив, они наделяются атрибутом дискретного количества, они уже потенциально разделены и состоят из неделимых единиц. Один взгляд столь же неадекватен, как и другой.
Количество, как ближайший результат бытия-для-себя, включает две стороны в процессе последнего, притяжение и отталкивание, как конститутивные элементы своей собственной идеи. Оно, следовательно, непрерывно, а также дискретно. Каждый из этих двух элементов включает в себя также другой, и поэтому не существует такого понятия, как просто непрерывное или просто дискретное количество. Мы можем говорить о двух как о двух частных и противоположных видах величины; но это лишь результат нашей абстрагирующей рефлексии, которая при рассмотрении определенных величин опускает теперь одно, теперь другое из элементов, содержащихся в неразрывном единстве в понятии количества. Так, можно сказать, пространство, занимаемое этой комнатой, есть непрерывная величина, а сто человек, собравшихся в ней, образуют дискретную величину. И все же пространство непрерывно и дискретно в одно и то же время; поэтому мы говорим о точках пространства, или мы делим пространство, определенную длину, на столько-то футов, дюймов и т.д., что может быть сделано только при гипотезе, что пространство также потенциально дискретно. Точно так же, с другой стороны, дискретная величина, состоящая из ста человек, также непрерывна: и обстоятельство, от которого зависит эта непрерывность, есть общий элемент, вид «человек», который пронизывает всех индивидов и объединяет их друг с другом.
(b) Квантум (Сколько).
101.] Количество, существенно наделенное исключающим характером, который оно включает, есть Квантум (или Сколько): т.е. ограниченное количество.
Квантум есть, так сказать, наличное бытие количества: тогда как простое количество соответствует абстрактному бытию, а степень, которая будет рассмотрена далее, соответствует бытию-для-себя. Что касается деталей продвижения от простого количества к квантуму, оно основано на этом: что в то время как в простом количестве различие, как различие непрерывности и дискретности, сначала только имплицитно, в квантуме различие фактически сделано, так что количество вообще теперь предстает как различенное или ограниченное. Но таким образом квантум распадается в то же время на неопределенное множество квантов или определенных величин. Каждая из этих определенных величин, в отличие от других, образует единство, в то время как, с другой стороны, рассматриваемая per se, она есть множество. И когда это сделано, квантум описывается как число.
102.] В числе квантум достигает своего развития и совершенного модуса. Подобно Единому, среде, в которой оно существует, число включает два качественных фактора или функции; аннумерация или сумма, которая зависит от фактора дискретности, и единство, которое зависит от непрерывности.
В арифметике различные виды операций обычно представляются как случайные способы обращения с числами. Если необходимость и смысл должны быть найдены в этих операциях, это должно быть по принципу: и он должен исходить из характеристических элементов в самом понятии числа. (Этот принцип должен быть здесь кратко изложен.) Эти характеристические элементы — аннумерация с одной стороны и единство с другой, которые вместе составляют число. Но единство, когда оно применяется к эмпирическим числам, есть только равенство этих чисел: следовательно, принцип арифметических операций должен заключаться в том, чтобы поставить числа в отношение единства и суммы (или количества) и выявить равенство этих двух модусов.
Единые или сами числа безразличны друг к другу, и поэтому единство, в которое они переводятся арифметической операцией, принимает аспект внешней связи. Всякий счет, следовательно, есть составление счета: и разница между видами его заключается только в качественной конституции чисел, из которых мы составляем счет. Принцип для этой конституции дается тем, как мы фиксируем единство и аннумерацию.
Нумерация идет первой: то, что мы можем назвать составлением числа; связь стольких единиц, сколько мы хотим. Но чтобы получить вид вычисления, необходимо, чтобы то, что мы подсчитываем, было уже числами, а не просто единицей.
Во-первых, и как они естественно приходят под руку, числа — это совершенно неопределенно числа вообще, и поэтому, в целом, неравные. Связь, или составление счета этих, есть сложение.
Вторая точка зрения, под которой мы рассматриваем числа, — это как равные, так что они составляют одно единство, и из таких есть аннумерация или сумма перед нами. Составить счет этих — есть умножение. В процессе не имеет значения, как функции суммы и единства распределены между двумя числами, или факторами произведения; любое может быть суммой и любое может быть единством.
Третья и последняя точка зрения — это равенство суммы (количества) и единства. Складывать вместе числа, когда они так охарактеризованы, есть возведение в степень; и в первом случае возведение их в квадрат. Возвести число в более высокую степень означает по форме продолжать умножать число само на себя неопределенное количество раз. — Поскольку этот третий тип вычисления демонстрирует полное равенство единственного существующего различия в числе, а именно различия между суммой или количеством и единством, не может быть более трех способов вычисления. Соответственно интеграции мы имеем разложение чисел согласно тем же признакам. Следовательно, помимо трех упомянутых видов, которые в этой мере могут быть названы положительными, существуют три отрицательных вида арифметической операции.
Число, вообще, есть квантум в своей полной специализации. Следовательно, мы можем использовать его не только для определения того, что мы называем дискретными, но и того, что называется непрерывными величинами. По этой причине даже геометрия должна призывать на помощь число, когда требуется специфицировать определенные конфигурации пространства и их отношения.
(c) Степень.
103.] Предел (в квантуме) тождественен целому квантума самого по себе. Как в себе множественное, предел есть экстенсивная величина; как в себе простая определенность (качественная простота), он есть интенсивная величина или степень.
Различие между непрерывной и дискретной величиной отличается от различия между экстенсивной и интенсивной в том обстоятельстве, что первые применяются к количеству вообще, в то время как последние применяются к пределу или определенности его как таковой. Интенсивная и экстенсивная величина не являются, более чем другие, двумя видами, из которых один включает характеристику, не присущую другому: что есть экстенсивная величина, то в такой же мере интенсивная, и vice versâ.
Интенсивная величина или степень в своем понятии отлична от экстенсивной величины или квантума. Поэтому недопустимо отказываться, как многие делают, признавать это различие и без колебаний отождествлять две формы величины. Они так отождествляются в физике, когда разница удельного веса объясняется тем, что тело с удельным весом вдвое больше другого содержит в том же пространстве вдвое больше материальных частей (или атомов), чем другое. Так с теплом и светом, если различные степени температуры и яркости должны были бы объясняться большим или меньшим числом частиц (или молекул) тепла и света. Бесспорно, физики, которые используют такой способ объяснения, обычно оправдываются, когда им указывают на его несостоятельность, говоря, что выражение без предрассудков к признанно непознаваемой сущности таких явлений и используется просто для большего удобства. Это большее удобство призвано указать на более легкое применение исчисления: но трудно понять, почему интенсивные величины, имеющие, как они имеют, определенное числовое выражение свое собственное, не должны быть столь же удобны для вычисления, как экстенсивные величины. Если удобство — все, что желаемо, конечно, было бы удобнее изгнать вычисление и мысль вообще. Еще один пункт против оправдания, предлагаемого физиками, заключается в том, что заниматься объяснениями такого рода — значит выйти за пределы восприятия и опыта и прибегнуть к царству метафизики и того, что в другое время назвали бы праздной или даже пагубной спекуляцией. Это, безусловно, факт опыта, что, если один из двух кошельков, наполненных шиллингами, вдвое тяжелее другого, причина должна быть в том, что один содержит, скажем, двести, а другой только сто шиллингов. Эти монеты мы можем видеть и чувствовать нашими чувствами: атомы, молекулы и тому подобное, напротив, находятся вне диапазона чувственного восприятия; и только мысль может решить, допустимы ли они и имеют ли смысл. Но (как уже отмечалось в § 98, примечание) именно абстрактный рассудок стереотипизирует фактор множественности (вовлеченный в понятие бытия-для-себя) в форме атомов и принимает его как конечный принцип. Это тот же абстрактный рассудок, который, в данном случае, в равном противоречии с непредубежденным восприятием и с реальной конкретной мыслью, рассматривает экстенсивную величину как единственную форму количества и, где встречаются интенсивные величины, не признает их в их собственном характере, но делает насильственную попытку посредством совершенно несостоятельной гипотезы свести их к экстенсивным величинам.
Среди обвинений, выдвигаемых против современной философии, одно слышится чаще других. Современная философия, говорят, сводит все к тождеству. Отсюда ее прозвище — философия тождества. Но настоящее обсуждение может научить, что именно философия, и только философия, настаивает на различении того, что логически, а также в опыте различно; в то время как профессиональные приверженцы опыта — это люди, которые возводят абстрактное тождество в главный принцип знания. Это их философия, которую можно было бы более уместно назвать философией тождества. Кроме того, совершенно верно, что нет просто экстенсивных и просто интенсивных величин, так же мало, как нет просто непрерывных и просто дискретных величин. Две характеристики количества не противопоставлены как независимые виды. Каждая интенсивная величина также экстенсивна, и vice versâ. Так, определенная степень температуры есть интенсивная величина, которая имеет совершенно простое ощущение, соответствующее ей как таковой. Если мы посмотрим на термометр, мы обнаружим, что эта степень температуры имеет определенное расширение столбика ртути, соответствующее ей; которая экстенсивная величина изменяется одновременно с температурой или интенсивной величиной. Подобный случай в мире духа: более интенсивный характер имеет более широкий диапазон со своими эффектами, чем менее интенсивный.
104.] В степени понятие квантума эксплицитно полагается. Это величина как безразличная сама по себе и простая: но таким образом, что характер (или модальное бытие), который делает ее квантумом, лежит совершенно вне ее в других величинах. В этом противоречии, где независимый безразличный предел есть абсолютная внешность, бесконечное количественное прогрессирование делается эксплицитным — непосредственность, которая немедленно поворачивается в свою противоположность, в опосредование (выход за пределы и поверх квантума, только что положенного), и vice versâ.
Число есть мысль, но мысль в своей полной самовнешности. Поскольку это мысль, она не принадлежит восприятию: но это мысль, которая характеризуется внешностью восприятия. — Не только поэтому квантум может быть увеличен или уменьшен без конца: само понятие квантума — это толкать все дальше и дальше за пределы самого себя. Бесконечное количественное прогрессирование есть только бессмысленное повторение одного и того же противоречия, которое привязано к квантуму, как вообще, так и, когда эксплицитно наделено своим специальным характером, как степень. Касаясь тщетности провозглашения этого противоречия в форме бесконечного прогрессирования, Зенон, как цитирует Аристотель, справедливо говорит: «Одно и то же — сказать вещь однажды и сказать ее навсегда».
(1) Если мы следуем обычному определению математиков, данному в § 99, и говорим, что величина есть то, что может быть увеличено или уменьшено, возможно, нет ничего, что можно было бы противопоставить правильности восприятия, на котором оно основано; но остается вопрос, как мы приходим к допущению такой способности увеличения или уменьшения. Если мы просто апеллируем за ответом к опыту, мы пробуем неудовлетворительный курс; потому что, помимо того факта, что мы имели бы просто материальный образ величины, а не мысль о ней, величина вышла бы как голая возможность (увеличения или уменьшения), и у нас не было бы ключа к необходимости ее проявления такого поведения. На пути нашего логического развития, напротив, количество очевидно есть ступень процесса самоопределяющейся мысли; и было показано, что в самом понятии количества лежит то, чтобы выстреливать за пределы самого себя. Таким образом, увеличение или уменьшение (о котором мы слышали) не просто возможно, но необходимо.
(2) Количественное бесконечное прогрессирование есть то, на что обычно полагается рефлектирующий рассудок, когда он занят общим вопросом бесконечности. То же самое, однако, справедливо и для этого прогрессирования, как уже отмечалось по случаю качественно бесконечного прогрессирования. Как было тогда сказано, это не выражение истинной, а ложной бесконечности; оно никогда не продвигается дальше голого «должно» и, таким образом, действительно остается в пределах конечности. Количественная форма этого бесконечного прогрессирования, которую Спиноза справедливо называет просто воображаемой бесконечностью (infinitum imaginationis), есть образ, часто используемый поэтами, такими как Галлер и Клопшток, чтобы изобразить бесконечность не только природы, но даже самого Бога. Так мы находим Галлера в знаменитом описании бесконечности Бога, говорящего:
Ich häufe ungeheure Zahlen, Gebirge Millionen auf, Ich sesse Zeit auf Zeit Und Welt auf Welt zu Hauf, Und wenn ich von der grausen Höh' Mit Schwindel wieder nach Dir seh: Ist alle Macht der Zahl, Vermehrt zu Tausendmal, Noch nicht ein Theil von Dir.
[Я нагромождаю чудовищные числа, горы миллионов; я нагромождаю время на время и мир на мир; и когда с ужасной высоты я бросаю головокружительный взгляд к Тебе, вся сила числа, умноженная в тысячу раз, еще не есть часть Тебя.]