«Логика случая»

§ 10. (III.) Ошибка, описанная в начале этой главы, возникла из решения судить о наблюдаемом или сообщенном событии по правилам вероятности, но использования неверного набора статистики в процессе суждения. Другая ошибка, тесно связанная с этой, возникает из практики взятия лишь некоторых характеристик такого события и произвольного ограничения ими апелляции к вероятности. Предположим, я подбрасываю двенадцать монет и обнаруживаю, что одиннадцать из них дают «орлов». Многие люди, став свидетелями такого случая, испытали бы чувство, которое они выразили бы замечанием: «Как близко это было к тому, чтобы получить всех орлов!». И если бы на бросок было поставлено что-то очень важное, они были бы очень взволнованы этим случаем. Но в каком смысле мы были близки к двенадцати? Существует не такая уж редкая ошибка, как я полагаю, которая состоит в бессознательном рассмотрении одиннадцати орлов как вещи, которая уже каким-то образом обеспечена, так что можно было бы, так сказать, сохранить их, а затем рискнуть, чтобы обеспечить оставшийся один. Одиннадцать мысленно откладываются в сторону, рассматриваются как нечто достоверное (ибо они уже произошли), и мы затем вводим понятие шанса только для двенадцатого. Но этот двенадцатый, также произошедший, не имеет лучших прав на такое отличие, чем любой из остальных. Если мы вводим понятие шанса в случае того, который дал «решку», мы должны сделать то же самое и в случае всех остальных. Иными словами, если бросающий недоволен появлением одной «решки» и хочет отменить ее и попытать счастья снова, он должен подбросить всю партию монет снова честно вместе. В этом случае, конечно, далеко не имея лучших перспектив для следующего броска, он может считать, что ему очень повезло, если он сделает снова такой же хороший бросок, как тот, который он отверг. То, что он делает, — это смешение этого случая с тем, в котором броски действительно последовательны. Если одиннадцать орлов были подброшены по очереди, мы, конечно, находимся в пределах равного шанса получить двенадцатого; но обстоятельства совершенно иные в предложенном примере.

§ 11. В приведенном выше примере ошибка прозрачна. Но при формировании суждения о делах большей сложности, чем игральные кости и монеты, особенно в случае того, что называют «чудесными спасениями», ошибка аналогичного рода, я полагаю, далеко не редкость. Человек, например, который только что пережил чудесное спасение, часто будет полон удивления и тревоги, доходящей почти до ужаса. Событие уже в прошлом, эти чувства в то время, строго говоря, неуместны. Если, как вполне возможно, они являются просто инстинктивными или результатом ассоциации, они не подпадают под область какого-либо вида логики. Если, однако, как кажется более вероятным, они частично возникают из предполагаемого переноса нас в тот момент прошлого времени, когда событие вот-вот должно было произойти, и создания воображением чувств, которые мы тогда ожидали бы испытать, этот процесс носит характер вывода и может быть правильным или неправильным. Иными словами, тревога может быть соразмерна или несоразмерна той степени опасности, на которую можно было бы справедливо рассчитывать в таком гипотетическом предвосхищении. Если бы предполагаемый перенос был полностью осуществлен, ошибки не было бы; но это часто делается очень неполно, причем некоторые из составных частей события предполагаются определенными или «организованными» (используя спортивный термин) в той форме, в которой мы теперь знаем, что они действительно произошли, и только оставшиеся справедливо созерцаются как будущие шансы.

Человек, например, находится на прогулке с другом, чья винтовка случайно стреляет, и пуля проходит через его шляпу. Он дрожит от тревоги, думая о том, что могло бы случиться, и, возможно, замечает: «Как близко я был к тому, чтобы быть убитым!». Теперь мы можем смело предположить, что он имеет в виду нечто большее, чем то, что выстрел прошел очень близко от него. У него есть какое-то смутное представление, что, как он, вероятно, сказал бы, «его шанс быть убитым тогда был очень велик». Его удивление и ужас могут быть в значительной степени физическими и инстинктивными, возникающими просто из знания того, что выстрел прошел очень близко от него. Но его психическое состояние может быть проанализировано, и мы тогда, скорее всего, обнаружим в основе ошибку того рода, который описан выше. Говорить или думать о шансе в связи с инцидентом — значит отнести конкретный инцидент к классу инцидентов аналогичного характера, а затем рассмотреть сравнительную частоту, с которой наступает рассматриваемый результат. Теперь серия, которую мы можем предположить наиболее естественно выбранной в этом случае, — это серия, состоящая из стрелковых прогулок с его другом; до этого момента действия предполагаются запланированными, только за его пределами, в последующем событии, был несчастный случай. Раз в тысячу раз, возможно, в таких случаях ружье выстрелит случайно; один из тысячи только из этих выстрелов будет направлен близко к голове его друга. Если мы хотим сделать несчастный случай вопросом вероятности, мы должны по праву таким образом (принять язык первого примера) «подбросить снова» честно. Но мы не делаем этого; мы, кажется, принимаем как должное, что выстрел проходит в дюйме от наших голов, отделяем это от понятия шанса вообще, а затем начинаем вводить это понятие снова для возможных отклонений от этого спасительного дюйма.

§ 12. (IV.) Мы теперь заметим ошибку, связанную с предметами ставок и азартных игр. Многие или большинство популярных заблуждений на этот предмет подразумевают такое полное невежество и путаницу в отношении основ науки, что было бы излишне обсуждать их здесь. Следующее, однако, носит гораздо более правдоподобный характер и было источником недоумения для людей значительной остроты ума.

Случай, приведенный в простейшей форме, выглядит следующим образом. Предположим, что человек А играет против Б, причем Б является либо другим индивидом, либо группой индивидов, скажем, игорным банком. Они начинают с подбрасывания монеты на шиллинг, и А утверждает, что он владеет устройством, которое обеспечит его выигрыш. Если он выигрывает в первом случае, он явно добился своего до сих пор. Если он проигрывает, он ставит в следующий раз два шиллинга вместо одного. Результат, конечно, в том, что если он выигрывает во втором случае, он возмещает свой прежний проигрыш и остается с одним шиллингом прибыли также. Так он продолжает, удваивая свою ставку после каждого проигрыша, с очевидным результатом, что в первом случае успеха он возмещает все свои предыдущие проигрыши и остается с шиллингом сверху. Но такой случай должен наступить рано или поздно, согласно допущениям шанса, на которых основана игра. Отсюда следует, что он может обеспечить, рано или поздно, остаться в конечном итоге победителем. Более того, он может выиграть любую сумму; во-первых, из очевидного соображения, что он мог бы сделать свою начальную ставку такой большой, как ему угодно, сто фунтов, например, вместо шиллинга; и во-вторых, потому что то, что он сделал однажды, он может сделать снова. Он может отложить свой шиллинг и иметь второй сеанс игры, длинный или короткий, как получится, с тем же завершением. Соответственно, просто упорством он может накопить любую сумму денег, какую пожелает, в явный вызов всему тому, что подразумевается под удачей.

§ 13. Я отнес это мнение к числу заблуждений, поскольку сейчас наиболее удобный момент для его обсуждения, хотя, строго говоря, его следовало бы назвать парадоксом, так как сам вывод совершенно верен. Единственное заблуждение заключается в том, чтобы считать такой способ получения результата таинственным. Напротив, нет ничего проще, чем обеспечить конечный успех при заданных условиях. Этот вопрос заслуживает изучения как из-за принципов, которые он затрагивает, так и потому, что ответы, которые обычно даются, не совсем решают возникшую трудность. Иногда, например, утверждают, что ни один банк не позволит и не позволяет спекулянту выбирать размер своей ставки по своему усмотрению, а устанавливает предел суммы, на которую он согласен играть. Это совершенно верно, но, конечно, не является ответом на поставленный перед нами гипотетический вопрос, в котором предполагается, что такое положение дел допустимо. Далее, утверждалось, что рассматриваемая возможность целиком зависит от того факта, что необходимо предполагать предоставление кредита, иначе состояние игрока может не продержаться до тех пор, пока не придет его очередь на удачу: что, по сути, рано или поздно, если он будет продолжать достаточно долго, его состояние не продержится достаточно долго, и все его выигрыши будут сметены. Совершенно верно, что кредит является условием успеха, но он ни в коем случае не является его причиной. Мы можем предположить, что обе стороны в самом начале договорились о том, что никаких выплат не будет до окончания игры, причем А имеет право решать, когда она должна считаться оконченной. По-прежнему остается верным, что в то время как в обычной азартной игре, т.е. с фиксированными или случайными ставками, А не мог бы обеспечить себе выигрыш в конечном итоге в каком-либо размере, он может сделать это, если применит такую схему, как рассматриваемая. И именно это положение дел, по-видимому, требует объяснения.

§ 14. Что вызывает здесь недоумение, так это предполагаемый факт, что каким-то таинственным образом из неопределенности была сотворена определенность; что в игре, где детальные события совершенно непостижимы и где среднее значение, по предположению, не показывает предпочтения ни одной из сторон, одна сторона, тем не менее, каким-то образом преуспевает в том, чтобы неуклонно склонять удачу на свою сторону. Это выглядит так, как если бы это был параллельный случай с человеком, который преуспел бы с помощью какого-то устройства в том, чтобы постоянно обеспечивать себе более половины выпадений орла при подбрасывании монеты, которую, тем не менее, следовало бы считать совершенно честной.

Это совершенно ошибочно. На самом деле А вовсе не подвергает свои выигрыши случайности; все, что он так подвергает, — это количество раз, которое он должен ждать, пока не выиграет. Представим такой случай. Я предлагаю дать человеку любую сумму денег, которую он пожелает назвать, при условии, что он немедленно вернет ее мне с добавлением одного фунта. Не нужно много проницательности, чтобы увидеть, что мне безразлично, решит ли он назвать один фунт, десять или сто. Теперь предположим, что вместо того, чтобы оставлять выбор каждой из этих сумм на его усмотрение, обе стороны соглашаются предоставить это случаю. Пусть они, например, каждый раз вытягивают число из мешка, и пусть это будет сумма, которую А отдает Б при предписанных условиях. Случай не меняется. А по-прежнему выигрывает свой фунт каждый раз, ибо введение элемента случайности никак не затронуло это. Все, что оно делает, — это превращает этот фунт в результат неопределенного вычитания, иногда 10 минус 9, иногда 50 минус 49 и так далее. Именно эти числа, а не их разность, он отдает на волю случая, и это не имеет никакого значения.

Предложить какому-либо лицу или компании согласиться продолжать играть на таких условиях было бы слишком бесстыдным предложением. И все же рассматриваемый случай идентичен по принципу и почти идентичен по форме этому. Предложить дать человеку любую сумму, которую он пожелает назвать, при условии, что он вернет вам ту же самую сумму плюс один, и предложить ему любое количество членов ряда 1, 2, 4, 8, 16 и т. д. при условии, что вы получаете следующий член ряда, равносильны. Единственная разница заключается в том, что в последнем случае результат достигается с несколько большим арифметическим парадом. Аналогично эквивалентны процессы в случае, если мы предпочитаем предоставить случаю, а не выбору, решение о том, какая сумма или какое количество членов должны быть зафиксированы. Последнее и делается на самом деле в рассматриваемом случае. Человек, который соглашается продолжать удваивать свою ставку каждый раз, когда он выигрывает, не оставляет на волю случая ничего, кроме определения конкретного количества членов такой геометрической прогрессии, которое будет позволено пройти, прежде чем он остановится.

§ 15. Можно добавить, что нет никакой особой заслуги в конкретном рассматриваемом ряде, а именно в том, в соответствии с которым ставка удваивается каждый раз. Все, что нужно, — это чтобы последний член ряда более чем уравновешивал все предыдущие. Любой другой ряд, который возрастал бы быстрее, чем эта геометрическая прогрессия, подошел бы для этой цели так же хорошо или лучше. Также нет необходимости в том, чтобы игра была равной или «честной». Случай, следует помнить, здесь ни на что не влияет, кроме количества членов, которых ряд достигает в каждом случае, причем его конечный результат всегда арифметически фиксирован. Когда подбрасывается монета, только в одном из каждых двух случаев ряд доходит до более чем двух членов, и поэтому его фиксированные выигрыши приходят довольно регулярно. Но если бы он играл не в течение ограниченного времени, на него не повлияло бы, если бы ряд дошел до двухсот членов; это просто заняло бы у него несколько больше времени, чтобы выиграть свои ставки. Человек мог бы, например, безопасно продолжать делать равную ставку на то, что он получит единственный приз в лотерее из тысячи билетов, при условии, что он таким образом удваивал или более чем удваивал свою ставку каждый раз и предоставлялся неограниченный кредит.

§ 16. В таком рассмотрении задача достаточно проста, но есть два момента, на которые можно с удобством обратить внимание.

Во-первых, она очень четко напоминает нам о различии между серией событий (в данном случае подбрасывания монеты), которые действительно являются предметом случая, и нашим поведением, основанным на этих событиях, которое может быть или не быть таковым. Вполне возможно, что последнее может быть устроено таким образом, чтобы во многих отношениях быть делом абсолютной определенности, — соображение, которое, полагаю, достаточно хорошо знакомо профессиональным игрокам. Почему обычный способ ставок на подбрасывание монеты является честным для обеих сторон? Потому что «честная» серия «честно» обрабатывается. Орлы и решки выпадают случайно, но в среднем одинаково часто, а ставки либо фиксированы, либо также организованы случайным образом. Если человек каждый раз ставит на орла одну и ту же сумму, он, конечно, в долгосрочной перспективе не выиграет и не проиграет. Не выиграет и не проиграет он и в том случае, если он каждый раз меняет ставку, при условии, что он не меняет ее таким образом, чтобы ее размер зависел от того, выиграл он или проиграл в прошлый раз. Но он может, если захочет, и другая сторона согласится, так организовать свои ставки (как в рассматриваемом случае), что Случай, если можно так выразиться, не получит честного шанса. Здесь человеческие элементы выбора и замысла были настолько применены к серии событий, которые, рассматриваемые сами по себе, демонстрируют лишь физические характеристики случайности, что последние элементы исчезают, и мы получаем результат, который арифметически достоверен. Можно было бы предложить и другие аналогичные примеры, но рассматриваемый нами имеет достоинство наиболее изобретательной маскировки фактического процесса.

§ 17. Смысл только что сделанного замечания будет лучше понят при сравнении со следующим случаем. Была предпринята попытка объяснить преобладание рождений мальчиков над девочками предположением, что шансы на то и другое равны, но что общее желание иметь наследника мужского пола имеет тенденцию побуждать многие союзы продолжаться до тех пор, пока не произойдет это событие, и не дольше. Предполагается, что таким образом возникло бы небольшое преобладание семей, состоящих только из одного сына или из двух сыновей и одной дочери и так далее.

Это совершенно ошибочно (как было замечено Лапласом в его «Essai»); и нельзя было бы выбрать лучшего примера, чем этот, чтобы показать, что именно мы можем и чего не можем сделать в плане изменения удачи в реальной случайной последовательности событий. Предполагать, что на количество фактических рождений можно повлиять таким образом, — это то же самое, что предполагать, будто ряд игроков мог бы увеличить отношение орлов к решкам до чего-то большего, чем одна вторая, если бы каждый передавал монету своему соседу, как только у него выпадал орел: что им нужно только прекратить игру, как только выпал орел; абсурд, который нам не нужно останавливаться объяснять на данном этапе. Существенный момент относительно «Мартингейла» заключается в том, что, хотя на возникновение событий, на которые делаются ставки, это не влияет, сами ставки могут быть скорректированы таким образом, чтобы удача качнулась в одну сторону.

§ 18. Во-вторых, этот пример ставит перед нами то, что уже так часто приходилось упоминать, а именно, что серии Вероятности, строго говоря, предполагаются бесконечными. Поэтому, если мы позволим любой из сторон потребовать от нас остановиться, особенно в момент, который как раз устраивает ее, мы можем получить результаты, решительно противоречащие целостности теории. В рассматриваемом случае необходимым условием для А является то, что ему может быть позволено прекратить игру, когда он пожелает, то есть в один из моментов, когда бросок в его пользу. Без этого условия он может остаться проигравшим в любом размере.

Введите предположение, что одна сторона может произвольно потребовать остановки, когда ей это удобно, и отказаться разрешить ее раньше, и почти любая система того, что в противном случае было бы честной игрой, может быть превращена в очень одностороннюю договоренность. Действительно, в рассматриваемом случае А не нужно прибегать к этому приему удвоения ставок каждый раз, когда он проигрывает. Он может играть с фиксированной ставкой и тем не менее обеспечить, чтобы одна сторона выиграла любую назначенную сумму, предполагая, что игра равная и что ему разрешено играть в кредит.

§ 19. (V.) Распространенная ошибка — предполагать, что очень маловероятная вещь не произойдет вовсе. Это ошибка, которая, будучи так сформулирована словами, слишком очевидна, чтобы ее совершать, ибо значение маловероятной вещи — это то, что происходит с редкими интервалами; если бы не предполагалось, что событие произойдет когда-нибудь, его назвали бы не маловероятным, а невозможным. Это ошибка, которая вряд ли могла бы возникнуть, за исключением смутного популярного недопонимания, и она настолько обильно опровергнута в работах по Вероятности, что здесь ее нужно лишь кратко затронуть. Из нашего определения Вероятности, конечно, следует, что говорить об очень редкой комбинации событий как о той, что «точно никогда не произойдет», — значит использовать язык неправильно. Такая фраза может иметь хождение как свободное популярное преувеличение, но в строгом смысле она содержит противоречие. Истину о таких редких событиях нельзя описать лучше, чем в следующей цитате из Де Моргана:

«Говорят, что никто никогда не сталкивается с такими крайне маловероятными случаями, как только что приведенный [вытягивание одного и того же шара пять раз подряд из мешка, содержащего двадцать шаров]. То, что данный индивид никогда не выбросит туз двенадцать раз подряд на одной кости, — это наиболее вероятно; действительно, настолько отдаленны шансы такого события в любых двенадцати попытках (более 2 000 000 000 к 1 против него), что маловероятно, чтобы опыт любой данной страны в любом данном столетии предоставил его. Но давайте остановимся на мгновение и спросим себя, к чему относится этот аргумент. Человек, который редко касается костей, вряд ли поверит, что дубли иногда выпадают три раза подряд; тот, кто часто ими пользуется, знает, что иногда это факт. Каждый очень практикующий пользователь этих инструментов видел еще более редкие последовательности. Теперь предположим, что общество лиц бросало кости так часто, что обеспечило серию из шести тузов, наблюдаемую и записанную, предыдущий аргумент все равно использовался бы против двенадцати. И если бы другое общество практиковалось достаточно долго, чтобы увидеть двенадцать тузов, следующих друг за другом, они могли бы все еще использовать тот же метод сомнения относительно серии из двадцати четырех; и так далее, ad infinitum. Способность воображать случаи, которые содержат длинные комбинации, настолько превышает способность демонстрировать и организовывать их, что легко назначить телеграф, который делал бы отдельный сигнал для каждой песчинки в земном шаре, таком же большом, как видимая Вселенная, исходя из гипотезы самого проницательного астронома. Заблуждение предыдущего возражения заключается в предположении событий в количестве, превышающем наш опыт, состоящих целиком из последовательностей, таких как те, что попадают в наш опыт. Оно заставляет прошлое обязательно содержать целое, что касается качества его компонентов; и судит по образцам. Теперь наименее осторожный покупатель зерна требует осмотреть горсть, прежде чем судить о бушеле, и бушель, прежде чем судить о грузе. Но относительно таких огромных количеств комбинаций, как те, что часто предлагаются, наш опыт не заслуживает названия горсти по сравнению с бушелем или даже одной песчинкой».

§ 20. Происхождение этой закоренелой ошибки нетрудно объяснить. Она, несомненно, возникает из потребностей нашей практической жизни. Ни один человек не может держать в уме каждую непредвиденную ситуацию, которой он может быть подвержен. Поэтому, если мы вообще хотим что-то делать в мире, большое количество более редких непредвиденных ситуаций должно быть полностью исключено из рассмотрения. И необходимость этого забвения усиливается краткостью нашей жизни. Математически говоря, можно было бы сказать, что достоверно то, что любой, кто живет достаточно долго, будет укушен бешеной собакой, ибо событие это не невозможное, а только маловероятное, и поэтому должно произойти со временем. Но это и неопределенное количество других неприятных непредвиденных ситуаций в большинстве случаев должны полностью игнорироваться на практике, и отсюда они почти неизбежно выпадают в равной степени из наших мыслей и ожиданий. И когда событие само по себе не имеет значения, как редкий бросок костей, от лиц, не привыкших к абстрактным математическим вычислениям, может потребоваться большое усилие воображения, чтобы позволить им осознать бросок как хотя бы возможный.

Иногда предпринимались попытки оценить, какая крайность маловероятности должна считаться эквивалентной этой практической нулевой точке веры. Поскольку такие попытки осуществляются логиками или теми, кто не желает прибегать к математической оценке шансов, их следует рассматривать лишь как особую форму модальных трудностей, обсуждавшихся в последней главе, и поэтому их не нужно пересматривать здесь; но можно добавить пару слов относительно взглядов некоторых, кто рассматривал этот вопрос с точки зрения математика.

Главным из них является, пожалуй, Бюффон. Он пришел к оценке (Arithmétique Morale § VIII.), что этот практический ноль эквивалентен шансу 1/10 000. Основания для выбора этой дроби кроются в том факте, что, согласно доступным ему таблицам смертности, она представляет шанс человека 56 лет умереть в течение следующего дня. Но поскольку ни один человек при обычных обстоятельствах не принимает этот шанс во внимание ни в малейшей степени, из этого следует, что он практически оценивается как не имеющий никакой ценности.

Очевидно, что этот результат почти полностью произволен, и на самом деле его причины нельзя рассматривать как нечто большее, чем слабое оправдание на основе опыта для принятия удобно простой дроби; оправдание, однако, которое, по-видимому, было бы в равной степени доступно в случае любых других дробей, лежащих в широких пределах от выбранной.

§ 21. Существует одна конкретная форма этой ошибки, которая, в силу важности, иногда придаваемой ей, заслуживает, возможно, более специального рассмотрения. Как было сказано выше, нет сомнений в том, что, как бы маловероятно ни было событие, если мы (грубо говоря) достаточно варьируем обстоятельства или, другими словами, если мы продолжаем пытаться достаточно долго, мы в конце концов встретимся с таким событием. Если мы подбросим пару костей несколько раз, мы получим дубли; если мы попробуем дольше с тремя, мы получим триплеты и так далее. Как бы необычно ни было событие, даже если бы это были шестерки тысячу раз подряд, оно придет рано или поздно, если у нас хватит терпения и жизненных сил. Теперь примените этот результат к буквам алфавита. Предположим, что по одной букве вытягивается из мешка, который содержит их все, а затем возвращается обратно. Если бы буквы записывались одна за другой по мере их появления, обычно ожидалось бы, что они составят просто бессмыслицу и никогда не сложатся в слова какого-либо языка, известного людям. Больше они бы этого в общем и не сделали, но это общепринятый результат теории, и тот, который мы можем предположить, читатель готов признать без дальнейшего обсуждения, что, если бы процесс продолжался достаточно долго, появились бы слова, имеющие смысл; более того, любая книга, которую мы пожелали бы упомянуть, — «Потерянный рай» Мильтона или пьесы Шекспира, например, — была бы произведена таким образом в конце концов. Потребовалось бы больше дней, чем у нас есть места в этом томе, чтобы представить в цифрах, чтобы сделать достаточно достоверным получение первой из этих работ путем такого вытягивания букв из мешка, но желаемый результат был бы получен в конце концов. Теперь многие люди не без оснований считали унизительным для гения предполагать, что его произведения могли быть получены также случайно, в то время как другие продолжали рассуждать: если это так, не мог ли сам мир быть произведен таким образом случайно?

§ 22. Мы начнем с относительно простой, детерминированной и понятной задачи возможного случайного создания произведений великого человеческого гения. Что касается этой возможности, некоторым робким умам может быть утешением напомнить, что способность создавать произведения Шекспира со временем не ограничивается совершенным гением и чистой случайностью. Существует третья альтернатива, а именно: чисто механическая процедура. Любой, вплоть до почти идиота, мог бы сделать это, если бы уделил задаче достаточно времени. Ибо предположим, что требуемое количество букв было получено и расположено не случайно, а намеренно и в соответствии с правилами, предложенными теорией перестановок: буквы алфавита и их количество, которое должно быть использовано, будучи конечными, каждый порядок, в котором они могли бы появиться, пришел бы в свою очередь, и поэтому все, что может быть выражено на языке, было бы достигнуто рано или поздно.

На самом деле нет ничего, что должно шокировать кого-либо в таком результате. Его возможность возникает по следующей причине. Количество букв, а следовательно, и слов, находящихся в нашем распоряжении, ограничено; поэтому все, что мы можем пожелать выразить на языке, неизбежно становится предметом соответствующего ограничения. Возможные вариации мысли буквально бесконечны, как и вариации разговорного языка (по интонации голоса и т. д.); но когда мы переходим к словам, существует ограничение, природа которого отчетливо постижима умом, хотя это ограничение, которое на практике никогда не будет ощутимым, из-за того факта, что количество комбинаций, которые могут быть произведены, настолько огромно, что превосходит всякую способность воображения осознать его. Ответ поэтому ясен, и это тот, который будет применим ко многим другим случаям, что поставить конечный предел количеству способов, которыми может быть сделана вещь, — значит определить, что любой, кто способен и желает пробовать достаточно долго, преуспеет в ее выполнении. Если великий гений снисходит до того, чтобы выполнить ее при этих обстоятельствах, он должен смириться с возможностью того, что его притязания будут оспорены или поставлены под сомнение случайным человеком и идиотом. Если бы Шекспир был ограничен использованием восьми или девяти назначенных слов, время, в течение которого последние агенты могли бы претендовать на равенство с ним, было бы не очень большим. Как есть, имея в своем распоряжении диапазон английского языка, его репутация не находится в опасности быть атакованной любыми такими методами.

§ 23. Случай возможного случайного создания мира ведет нас в совершенно иную область дискуссии. Мы здесь имеем дело не с цифрами, природа и использование которых находятся в пределах справедливых способностей понимания, как бы воображение ни ломалось при попытке осознать малейшую долю их полного значения. Само понимание выходит за пределы своей надлежащей области, ибо условия задачи не могут быть назначены. Когда мы вытягиваем буквы из мешка, мы очень хорошо знаем, что делаем; но что на самом деле означает создание мира случайно? По аналогии с предыдущим случаем мы можем предположить, что подразумевается какой-то агент; — возможно, поэтому следующее предположение менее абсурдно, чем любое другое. Представьте себе какое-то существо, не Творца, а своего рода Демиурга, которому дали в руки количество материалов, и он назначает им их расположение и их законы действия, слепо и наугад: каковы шансы, что такой мир, который мы фактически испытываем, был создан таким образом?

Если бы стоило всерьез заняться ответом на такой вопрос, и если бы кто-то предоставил нам количество букв такого алфавита и длину работы, которая должна быть написана ими, мы могли бы указать результат. Но можно, безусловно, утверждать следующее: — что, далеко не просто находя длину этого небольшого тома недостаточной для содержания цифр, в которых были бы даны неблагоприятные шансы, вся бумага, которую мир произвел до сих пор, была бы израсходована, прежде чем мы продвинулись бы далеко на своем пути в их записи.

§ 24. Самая соблазнительная форма, в которой обычно представляется трудность относительно возникновения очень редких событий, вероятно, такова. «Вы признаете (некоторые люди будут склонны сказать), что такое событие может иногда произойти; более того, что оно иногда происходит в бесконечном течении времени. Как же тогда мне знать, что этот случай не является одним из этих возможных происшествий?» На это можно дать только один ответ, — тот же, который всегда должен быть дан, когда речь идет о статистике и вероятности, — «Настоящий момент может быть таким случаем, но невероятно маловероятно, чтобы он был таковым. Среди бесчисленных миллиардов раз, когда вы и такие, как вы, настаиваете на этом, оправдан будет только один человек; и маловероятно, что вы — тот самый, или что это — тот самый случай».

§ 25. Существует еще одна форма этой практической неспособности различать одно большое число от другого при оценке шансов, которая заслуживает мимолетного внимания из-за своей важности в спорах о наследственности. Люди часто выдвигают возражение против доктрины о том, что качества, умственные и телесные, передаются от родителей к потомству, на том основании, что существует множество примеров обратного, фактически подавляющее большинство таких примеров. Выдвижение этого возражения подразумевает полное отсутствие понимания очень больших шансов, которые, возможно, могут существовать и которые аргумент в поддержку наследственности подразумевает, что существуют против того, чтобы какой-либо данный человек отличался интеллектуальной или иной выдающейся чертой. Это, несомненно, отчасти вопрос определения, зависящий от степени редкости, которую мы считаем подразумеваемой выдающейся чертой; но принимая любой разумный смысл этого термина, мы легко увидим, что очень большая доля неудач может все еще оставить огромное преобладание доказательств в пользу доктрины наследственности. Возьмем, например, ту степень выдающейся черты, которая подразумевается тем, чтобы быть одним из четырех тысяч. Это значительное отличие, хотя, поскольку среди общего взрослого мужского населения Великобритании можно найти около двух тысяч таких лиц, это далеко не подразумевает какого-либо выдающегося гения. Теперь предположим, что при изучении случаев большого числа детей таких лиц мы обнаружили, что 199 из 200 из них не достигли того же отличия. Многие люди пришли бы к выводу, что это довольно убедительное доказательство против любой наследственной передачи. Быть в состоянии привести только один благоприятный пример против 199 враждебных для них представляло бы собой полный крах любой такой теории. Ошибка, конечно, достаточно очевидна, и та, которую, имея перед собой такие цифры, вряд ли кто-то мог бы избежать. Но если судить по обычному разговору и другим таким источникам информации, на практике оказывается чрезвычайно трудно адекватно сохранить убеждение, что даже если только один из 200 случаев был благоприятным, это представляло бы шансы около 20 к 1 в пользу теории. Если бы наследственная передача не преобладала, только один из 4000 сыновей таким образом соперничал бы со своими отцами; но мы находим на самом деле, скажем (мы, конечно, берем здесь воображаемые пропорции), что один из 200 соперничает. Следовательно, если статистика достаточно велика, чтобы быть удовлетворительной, имело место какое-то влияние, которое улучшило шансы простого совпадения в отношении 20 к 1. Мы, по сути, настолько мало способны осознать значение очень больших чисел, — то есть сохранить пропорции в уме, когда речь идет о больших числах, — что если мы неоднократно не проверяем себя арифметическими соображениями, мы слишком склонны рассматривать и оценивать все, что выходит за определенные пределы, как одинаково обширное и расплывчатое.

§ 26. (VI.) Обсуждая природу связи между Вероятностью и Индукцией, мы исследовали притязания правила, обычно даваемого для вывода вероятности того, что событие, которое неоднократно наблюдалось, повторится снова. Я попытался показать, что все попытки получить и доказать такое правило были неизбежно тщетными; если эти причины были убедительными, использование такого правила должно, конечно, рассматриваться как ошибочное. Несколько примеров могут быть удобно добавлены здесь, стремясь показать, как вместо того, чтобы существовать просто единое правило последовательности, мы могли бы лучше разделить возможные формы на три класса.

(1) В некоторых случаях, когда наблюдалось, что вещь происходит несколько раз, становится вследствие этого более вероятным, что вещь произойдет снова. Это согласуется с обычной формой правила и, вероятно, является случаем наиболее частого возникновения. Необходимая расплывчатость выражения, когда мы говорим о «происхождении вещи», делает совершенно невозможным терпимость к правилу в этой общей форме, но если мы немного специализируем его, мы обнаружим, что оно принимает более знакомую форму. Если, например, мы наблюдали, что два или более свойства часто ассоциируются вместе в последовательности индивидов, мы с некоторой силой придем к выводу, что они будут найдены связанными таким образом в будущем. Сила нашего убеждения, однако, будет зависеть не только от количества наблюдаемых совпадений, но от гораздо более сложных соображений; для обсуждения которых читатель должен быть направлен к регулярным трактатам об Индуктивном доказательстве. Или, опять же, если мы наблюдали, что одно из двух событий следует за другим несколько раз, возникновение первого вызовет в большинстве случаев некоторую степень ожидания второго. Как и прежде, однако, степень нашего ожидания не должна быть назначена какой-либо простой формулой; она будет зависеть отчасти от предполагаемой близости, с которой события связаны. Попытка установить определенные правила по этому предмету привела бы к дискуссии о законах причинности и обстоятельствах, при которых их существование может быть выведено, и поэтому любое дальнейшее рассмотрение этого вопроса должно быть оставлено здесь.

§ 27. (2) Или, во-вторых, прошлое повторение может само по себе не давать никаких веских оснований для вывода о будущем; это случай, который наиболее правильно относится к Вероятности. То, что он действительно относится к ней, будет легко видно, если мы будем иметь в виду фундаментальную концепцию науки. Мы там представлены серии, — для целей вывода неопределенно расширенной серии, — членов, о деталях которых, за исключением некоторых моментов, информация не дается; наше знание ограничивается статистическим фактом, что, скажем, один из десяти из них имеет некоторый атрибут, который мы назовем X. Предположим теперь, что пять из этих членов подряд были X, какой намек это дает о том, что шестой также является X? Явно никакого; этот прошлый факт не говорит нам ничего; формула для нашего вывода все еще точно такая же, какой была раньше, что один из десяти является X, это один к девяти, что следующий член является X. И сколько бы членов подряд ни было одного вида, точно такая же формула была бы дана все равно.

§ 28. То, как события оправдают ответ, данный этой формулой, часто понимается неправильно. Поэтому для пользы тех, кто не знаком с некоторыми концепциями, знакомыми математикам, можно добавить несколько слов объяснения. Предположим тогда, что у нас был X двенадцать раз подряд. Это явно аномальное положение дел. Предполагать, что что-то подобное продолжает происходить, было бы явно в противоречии со статистикой, которая утверждает, что в долгосрочной перспективе только один из десяти является X. Но как преодолевается эта аномалия? Другими словами, как мы предотвращаем вывод, что X должны происходить чаще, чем один раз в десять раз, после такой долгой последовательности их, как у нас была сейчас? Многие люди, кажется, верят, что должно быть уменьшение X впоследствии, чтобы уравновесить их прошлое преобладание. Это, однако, было бы совершенно ошибочно; пропорция, в которой они происходят в будущем, должна оставаться той же самой на протяжении всего времени; она не может быть изменена, если мы должны придерживаться нашей статистической формулы. Факт в том, что исправление исключительного нарушения в пропорции будет достигнуто просто постоянным притоком свежих членов в серии. Они в долгосрочной перспективе нейтрализуют нарушение, не какой-либо специальной адаптацией, как бы для этой цели, а просто весом их подавляющих чисел. На каждом этапе, следовательно, в последовательности, каким бы ни было количество и природа предыдущих членов, все еще будет верно сказать, что один из десяти членов будет X.

Если бы мы имели дело только с конечным числом членов, каким бы большим ни было это число, такое нарушение, о котором мы говорили, действительно нуждалось бы в специальном изменении в последующих пропорциях, чтобы нейтрализовать его эффекты. Но когда мы имеем дело с бесконечным числом членов, это не так; «предел» серии, с которым мы тогда имеем дело, не затрагивается этими временными нарушениями. В продолжении прогресса серии мы обнаружим, как факт, все больше и больше таких нарушений, и эти все более и более исключительного характера. Но какой бы ни была точка, которую мы можем занимать в любое время, если мы посмотрим вперед или назад в неопределенное расширение серии, мы все еще увидим, что конечный предел пропорции, в которой расположены ее члены, остается тем же самым; и именно с этим пределом, как упомянуто выше, мы имеем дело в строгих правилах Вероятности.

Наиболее знакомым примером, пожалуй, этого вида является подбрасывание монеты. Предположим, у нас было четыре орла подряд; люди теперь достаточно осознали, что «орел в пятый раз» — это все еще равный шанс, как «орел» был каждый раз до этого, и будет всегда после. Предыдущий параграф объясняет, как это происходит, что эти случайные нарушения в среднем становятся нейтрализованными в долгосрочной перспективе.

§ 29. (3) Существуют другие случаи, которые, хотя и редки, отнюдь не неизвестны, в которых такой вывод, как тот, что получен из Правила Последовательности, был бы прямой противоположностью истины. Чем чаще вещь происходит, может быть, тем более маловероятно, что она произойдет снова. Это случай всякий раз, когда мы вытягиваем вещи из ограниченного источника (как шары из мешка, не заменяя их), или всякий раз, когда сам акт повторения имеет тенденцию предотвращать последовательность (как при подаче ложных тревог).

Я вполне готов признать, что мы верим в результаты, описанные в последних двух классах, на основе некоторого такого общего Индуктивного правила, или скорее принципа, как тот, что вовлечен в первый. Но было бы большой ошибкой смешивать это с признанием справедливости правила в каждом специальном случае. Мы говорим о применении правила к индивидуальным случаям, или классам случаев; это совершенно иная вещь, как было указано в предыдущей главе, от предоставления оснований, на которых мы основываем само правило. Если бы человек установил как универсальное правило, что свидетельству всех лиц следует верить, и мы привели бы пример человека, который солгал, не считалось бы, что он спас свое правило, показав, что мы поверили, что это ложь, на слово других лиц. Но совершенно последовательно давать как просто общее, но не универсальное правило, что свидетельство людей заслуживает доверия; затем отделить второй класс людей, чьему слову нельзя доверять, и, наконец, если кто-то хочет знать наше основание для второго правила, основывать его на первом. Если бы мы говорили о необходимых законах, такой конфликт, как этот, был бы таким же безнадежным, как старая «Критская» головоломка в логике; но в случаях Индуктивного и Аналогического расширения это совершенно безвредно.

Знакомый пример послужит для того, чтобы выявить три различных возможных вывода, упомянутых выше. Мы наблюдали, что дождь шел десять дней подряд. А и Б заключают соответственно за и против дождя на одиннадцатый день; С утверждает, что прошлый дождь не дает никаких данных вообще для мнения. Кто прав? Мы действительно не можем определить à priori. Должно быть сделано обращение к прямому наблюдению, или должны быть найдены средства для решения на независимых основаниях, к какому классу мы должны отнести случай. Если, например, было известно, что каждая страна производит свой собственный дождь, мы выбрали бы третье правило, ибо это был бы случай вытягивания из ограниченного запаса. Если опять же у нас были причины полагать, что дождь для нашей страны может быть произведен где угодно на земном шаре, мы, вероятно, пришли бы к выводу, что прошлые осадки не проливают никакого света вообще на перспективу продолжения влажной погоды, и поэтому приняли бы второе. Или если, наконец, мы знали, что дождь приходит длинными периодами или сезонами, как в тропиках, тогда возникновение десяти влажных дней подряд заставило бы нас поверить, что мы вступили в один из этих сезонов, и что поэтому следующий день, вероятно, будет напоминать предыдущие десять.

Поскольку, следовательно, все эти формы такого Индуктивного правила возможны, и у нас часто нет à priori оснований для предпочтения одного другому, казалось бы неразумным пытаться установить какую-либо универсальную формулу предвосхищения. Все, что мы можем сделать, — это установить, каковы обстоятельства, при которых то или иное из этих правил, как факт, оказывается применимым, и использовать его при этих обстоятельствах.

§ 31. (VII.) В случаях, обсуждавшихся в (V.), почти бесконечно малые шансы, с которыми мы имели дело, справедливо игнорировались из всякого практического рассмотрения, как бы правильно ни было, на умозрительных основаниях, держать наши умы открытыми для их фактического существования. Но мне часто приходило в голову, что существует распространенная ошибка в пренебрежении принятием их во внимание, когда они могут, хотя индивидуально малы, компенсировать свою миниатюрность своим количеством. Как выразился бы математик, они могут иногда быть способны быть интегрированными в конечную или даже значительную величину.

Например, мы можем столкнуться с трудностью, из которой, по-видимому, существует только один ощутимо возможный способ выхода. Предпринимается попытка заставить нас принять это, как бы велики ни были шансы, по-видимому, против него, на том основании, что, как бы маловероятно это ни казалось, это во всяком случае значительно более вероятно, чем любое из других. Я вполне могу признать, что на практических основаниях мы часто можем найти разумным принять этот курс; ибо мы можем действовать только на одном предположении, и мы естественно и справедливо выбираем, из количества маловероятностей, наименее маловероятную. Но когда мы не вынуждены действовать, никакого такого решительного предпочтения от нас не требуется. Тогда совершенно разумно отказаться от согласия на предложенное объяснение; даже сказать отчетливо, что мы не верим в него, и в то же время отказаться, в настоящее время, принять любое другое объяснение. Мы остаемся, по сути, в состоянии приостановки суждения, состоянии совершенно правильном и разумном до тех пор, пока никакое действие, требующее специфического выбора, не навязано нам. Одна альтернатива может быть решительно вероятной по сравнению с любой другой индивидуально, но решительно маловероятной по сравнению со всеми другими коллективно. Это само по себе достаточно понятно; чего люди часто не видят, так это того, что нет необходимого противоречия между тем, чтобы говорить и чувствовать это, и все же быть готовым энергично действовать, когда действие навязано нам, как будто эта альтернатива была действительно истинной.

§ 32. Чтобы взять конкретный пример, этот способ рассмотрения вопроса часто приходил мне в голову в спорах о «Спиритуалистических» проявлениях. Согласие навязывается нам, потому что, говорят, никакое другое возможное решение не может быть предложено. Может быть совершенно верно, что по-видимому подавляющие трудности могут лежать против каждого отдельного альтернативного решения; но достаточно ли всегда осознается, как многочисленны такие решения могут быть? Неважно, что каждое индивидуально может быть почти невероятным: они все должны быть собраны вместе и брошены на весы против предложенного решения, когда единственный заданный вопрос: Должны ли мы принять это решение? Нет никакой несправедливости в таком курсе. Мы совершенно готовы принять тот же план против любой другой индивидуальной альтернативы, всякий раз, когда кто-либо начинает претендовать на это как на решение трудности. Мы смотрим на вопрос с чисто логической точки зрения и совершенно готовы, до сих пор, поставить каждое решение, спиритуалистическое или иное, на ту же основу. Партизаны каждой альтернативы находятся в несколько том же положении, что и члены совещательного собрания, в котором никто не поддержит предложение любого другого члена. Каждый может эффективно помочь в отклонении каждого другого предложения, но никто не может преуспеть в принятии своего собственного. Давление неотложной необходимости может, возможно, вытолкнуть их из этого состояния практического бездействия, так сказать, прорвав оппозицию в какой-то точке наименьшего сопротивления; но если не подкрепленные каким-то таким давлением, они остаются в состоянии безнадежного тупика.

§ 33. Предполагая, что спиритуалистическое решение допускает и должно получить научную обработку, это, как мне кажется, вывод, к которому можно было бы иногда прийти перед лицом предложенных доказательств. Нам, возможно, пришлось бы сказать каждому индивидуальному объяснению: Это невероятно, я не могу принять его; и если обстоятельства не должны (что вряд ли возможно, чтобы они должны были) заставить нас к поспешному решению, — решению, помните, которое не должно указывать на предпочтение суждения, выходящее за рамки того, что просто достаточно, чтобы склонить чашу весов в его пользу по сравнению с любой другой единственной альтернативой, — мы оставляем вопрос таким образом в подвешенном состоянии. Очень вероятно, будет настаиваться, что одно из объяснений (предполагая, что все возможные были включены) должно быть истинным; это мы охотно признаем. Вероятно, также будет настаиваться, что (на часто цитируемом принципе Батлера) мы должны немедленно принять то, которое по сравнению с другими является наиболее правдоподобным, какова бы ни была его абсолютная ценность. Это кажется отчетливо ошибкой. Сказать, что такое-то объяснение — то, которое мы должны принять, если обстоятельства заставили бы нас предвосхитить наше решение, вполне совместимо с его нынешним отклонением. Единственная рациональная позиция, безусловно, — это признание того, что истина находится где-то среди различных альтернатив, но признание прямо, что у нас нет такого предпочтения одного перед другим, чтобы позволить нам сказать что-либо иное, кроме того, что мы не верим в каждое из них.

§ 34. (VIII.) Очень распространенное заблуждение «суждения по событию», как его обычно называют, заслуживает мимолетного внимания здесь, так как оно явно относится к Вероятности, а не к Логике; хотя его природа настолько очевидна для тех, кто ухватил общие принципы нашей науки, что очень немногих слов замечания будет достаточно. В одном смысле каждое предложение должно согласиться быть судимым по событию, так как это просто, другими словами, представление его на проверку опыта. Но существует широчайшая разница между проверкой, подходящей для универсального предложения, и той, которая подходит для просто пропорционального или статистического. Первое подрывается единственным исключением; второе не только допускает исключения, но подразумевает их. Ничто, однако, не является более распространенным, чем винить совет (у других), потому что он случайно обернулся неудачно, или претендовать на заслугу за него (у себя), потому что он случайно преуспел. Конечно, если вывод был заведомо вероятного рода, мы должны быть готовы с самодовольством принять враждебное событие, или даже последовательность их; это не до тех пор, пока последовательность не показывает склонность продолжаться долго, что подозрение и сомнение должны возникнуть, и тогда только путем сравнения степени назначенной вероятности и величины отклонения от нее, которое демонстрирует опыт. Для любой единственной неудачи ответом должно быть: «совет был здравым» (предполагая, то есть, что он должен был быть оправдан в долгосрочной перспективе), «и я предложу его снова при тех же обстоятельствах».

§ 35. Различие, проведенное в вышеуказанном примере, заслуживает тщательного рассмотрения; ибо из-за широкой разницы между видом предложений, рассматриваемых в Вероятности и в обычной Логике, и последующей разницы в природе предложенного доказательства, вполне возможно для аргументов того же общего вида быть обоснованными в первом и ошибочными во втором, и наоборот.

Например, возьмем хорошо известное заблуждение, которое состоит в простом обращении универсального утвердительного, т.е. в переходе от «Все А есть Б» к «Все Б есть А». Когда, как в обычной Логике, вывод должен быть таким же достоверным, как посылка, нет ни слова, что можно сказать за такой шаг. Но если мы посмотрим на процесс более снисходительным глазом Индукции или Вероятности, мы увидим, что очень справедливый случай иногда может быть сделан для него. Сам факт, что «Некоторое Б есть А», вызывает определенную презумпцию, что любое конкретное Б, взятое наугад, будет А. Есть некоторая причина, во всяком случае, для веры, хотя в отсутствие статистики относительно относительной частоты А и Б мы не способны назначить значение этой вере. Я подозреваю, что может быть много случаев, в которых человек сделал вывод, что некоторое конкретное Б есть А на том основании, что «Все А есть Б», который мог бы справедливо просить в свою пользу, что он никогда не имел в виду, чтобы это был необходимый, а только вероятный вывод. Те же замечания, конечно, будут применимы также к логическому заблуждению Нераспределенной Середины.

Теперь для случая противоположного рода, т.е. того, в котором Вероятность подводит нас, тогда как обстоятельства кажутся тесно аналогичными тем, в которых обычный вывод был бы способен сделать стойку. Предположим, что я знаю, что одно письмо из миллиона теряется, когда находится на попечении почты. Я пишу другу и не получаю ответа. Есть ли у меня какая-либо причина предполагать, что вина лежит на нем? Вот событие (т.е. потеря письма), которое определенно произошло; и мы предполагаем, что из двух единственных причин, к которым оно может быть отнесено, «значение», т.е. статистическая частота, одной точно назначено, не кажется ли естественным предполагать, что что-то может быть выведено относительно вероятности того, что другая причина была оперативной? Сказать, что ничего нельзя знать о ее адекватности при этих обстоятельствах, выглядит на первый взгляд как утверждение, что уравнение, в котором есть только один неизвестный член, теоретически неразрешимо.

Поскольку примеры такого рода были широко обсуждены в главе об Обратных правилах Вероятности, мне не нужно делать здесь ничего больше, чем напомнить читателю, что никакой вывод вообще не может быть сделан относительно вероятности того, что вина лежала на моем друге, а не на Почте. Если мы либо не знаем, либо не делаем какого-либо предположения о частоте, с которой он пренебрегает отвечать на письма, которые получает, задача остается неразрешимой.

Причина, по которой кажущаяся аналогия, указанная выше, к уравнению только с одной неизвестной величиной, не выдерживает проверки, заключается в том, что для целей Вероятности на самом деле существуют две неизвестные величины. То, с чем мы имеем дело, — это пропорциональные или статистические предложения. Теперь нам только сказано, что в рассматриваемом случае письмо было потеряно, а не то, что они были найдены потерянными в такой-то пропорции случаев. Если бы эта последняя информация была дана нам, мы действительно имели бы только одну неизвестную величину для определения, т.е. относительную частоту, с которой мой корреспондент пренебрегает отвечать на свои письма, и мы могли бы тогда определить это с величайшей легкостью.

1 Обсуждено г-ном Ф. И. Эджуортом в Phil. Mag. за апрель 1887 г.

2 Journal of the Statistical Soc. (Vol. XLII. p. 328) Осмелиться ли заподозрить шутку?

3 По-видимому, давно известно игрокам под названием Мартингейл. Существует статья Бэббиджа (Trans. of Royal Soc. of Edinburgh, за 1823 г.), которая обсуждает некоторые моменты, связанные с ним, но едва затрагивает предмет следующих разделов.

4 Внимание будет далее направлено на это различие в главе о Страховании и Азартных играх.

5 Как отмечено Прево в Bibliothèque Universelle de Genève, октябрь 1829 г. Это объяснение было замечено и, по-видимому, принято Кетле (Physique Sociale, I. 171).

6 Essay on Probabilities, стр. 126.

7 Этим теоретическим или абсолютным пренебрежением тем, что встречается крайне редко, не следует путать с практическим пренебрежением, которое иногда рекомендуют астрономы и другие наблюдатели. Критерий, известный как критерий Шовене, для указания пределов такого отсечения, описан в книге г-на Мерримана «Метод наименьших квадратов» (стр. 166). Но это основывается на понимании того, что в долгосрочной перспективе это приведет к меньшему остатку ошибок. Крайне редкое событие отбрасывается намеренно, а не упускается из виду.

8 Процесс вычисления можно легко обозначить. Скажем, в рассматриваемом произведении около 350 000 букв. Поскольку каждый раз может быть выбрана любая из 26 букв алфавита, возможное число комбинаций составило бы 26 в степени 350 000; число, которое, как легко заключить из таблицы логарифмов, потребовало бы для своего выражения почти 500 000 цифр. Только одна из этих комбинаций является благоприятной, если мы отбросим варианты написания. Следовательно, единица, деленная на это число, представляла бы собой вероятность получения желаемого результата путем последовательного случайного выбора требуемого количества из 350 000 букв.

Если эта вероятность кажется слишком малой, и кто-то спросит, сколько раз нужно повторить вышеуказанный случайный выбор, чтобы получить шансы 2 к 1 в пользу успеха, это также можно легко показать. Если вероятность события в каждом случае равна 1/n, то вероятность получить его хотя бы один раз в n испытаниях равна 1 − ((n − 1)/n) в степени n; ибо мы будем делать это, пока не потерпим неудачу n раз подряд. Когда (как в рассматриваемом случае) n очень велико, алгебраически можно показать, что это эквивалентно шансам примерно 2 к 1. То есть, когда мы извлекли необходимое количество букв число раз, равное невообразимо большому числу, представленному выше, шансы на то, что мы получим желаемое, все еще составляют только 2 к 1, — и тогда нам еще нужно это распознать.

9 Самая долгая жизнь, которую можно было бы разумно приписать любому языку, конечно, свелась бы к полному ничтожеству перед лицом таких периодов времени, которые здесь рассматриваются арифметически.