«Логика случая»

§ 34. В конце концов, будет интересно и важно уделить некоторое внимание этой субъективной стороне вопроса. Во-первых, как чисто умозрительное исследование, количество нашего убеждения в любом утверждении заслуживает внимания. Изучать его сколько-нибудь глубоко означало бы вторгнуться в область психологии, но оно настолько тесно связано с нашим собственным предметом, что мы не можем избежать всякого упоминания о нем. Поэтому мы обсуждаем законы, по которым наше ожидание и удивление по поводу изолированных событий увеличивается или уменьшается, чтобы объяснить эти состояния ума в любом индивидуальном случае и, при необходимости, исправить их, когда они отклоняются от своей надлежащей величины.

Но есть другая, более важная причина, чем эта. Совершенно верно, что когда предметы нашего обсуждения в любом конкретном случае лежат полностью в пределах области вероятности, они могут быть рассмотрены без всякого упоминания о нашем убеждении. Мы можем или не можем использовать эту сторону вопроса по нашему усмотрению. Если, например, меня спрашивают, более ли вероятно, что А. Б. умрет в этом году, чем то, что завтра пойдет дождь, я могу рассчитать шанс (который на самом деле в основе своей то же самое, что и мое убеждение) каждого, найти их соответственно, одну шестую и одну седьмую, скажем, и поэтому решить, что мое «ожидание» первого больше, а именно, что это более вероятное событие. В этом случае процесс точно такой же, предполагаем ли мы, что наше убеждение введено или нет; наше ментальное состояние, по сути, совершенно несущественно для вопроса. Но в других случаях это может быть иначе. Предположим, что мы сравниваем две вещи, из которых одна полностью чужда вероятности, в том смысле, что безнадежно пытаться приписать ей какую-либо степень числовой частоты, единственная почва, которую они имеют общую, может быть степень убеждения, на которую они соответственно имеют право. Мы не можем сравнить частоту их возникновения, ибо одна может происходить слишком редко, чтобы судить по ней, возможно, она может быть уникальной. Уже было сказано, что наше убеждение во многих событиях опирается на очень сложную и обширную основу. Мое убеждение может быть продуктом многих противоречивых аргументов и многих аналогий, более или менее отдаленных; эти доказательства сами по себе могли в основном исчезнуть из моего ума, но они оставят свой эффект позади себя в слабом или сильном убеждении. В то время, следовательно, я все еще могу быть в состоянии сказать, с некоторой степенью точности, хотя и очень слабой степени, какую степень убеждения я испытываю по предмету. Теперь мы не можем сравнивать вещи, которые являются гетерогенными: если, следовательно, мы должны решить между этим и событием, определенным естественно и правильно вероятностью, невозможно апеллировать к шансам или частоте возникновения. Мера убеждения — единственная общая почва, и мы должны поэтому сравнить это количество в каждом случае. Тест, предоставленный, будет чрезвычайно грубым, по причинам, упомянутым выше, но он будет лучше, чем никакой; в некоторых случаях будет обнаружено, что он предоставляет все, что нам нужно.

Предположим, например, что одно письмо из миллиона теряется в почтовом отделении, и что в любом данном случае я хочу знать, что более вероятно, что письмо было так потеряно, или что мой слуга украл его? Если бы последняя альтернатива могла, как первая, быть выражена в числовой форме, сравнение было бы простым. Но она не может быть сведена к этой форме, по крайней мере не сознательно и прямо. Тем не менее, если бы мы могли чувствовать, что наше убеждение в нечестности человека было больше, чем одна миллионная, мы имели бы тогда перед собой гомогенные вещи, и поэтому сравнение было бы возможно.

§ 35. Мы теперь в состоянии дать довольно точное определение фразы, которую мы часто были вынуждены использовать, или случайно предлагать, и от которой читатель, возможно, уже ожидал определения, а именно: вероятность события, или что эквивалентно этому, шанс любого данного события произойти. Я считаю, что эти термины предполагают серию; внутри бесконечно многочисленного класса, который составляет эту серию, меньший класс выделяется присутствием или отсутствием какого-либо атрибута или атрибутов, как это было полностью проиллюстрировано и объяснено в предыдущей главе. Эти большие и меньшие классы соответственно обычно называются примерами «события» и «его происшествия данным конкретным способом». Принимая эту фразеологию, которая с надлежащими объяснениями вполне подходит, мы можем определить вероятность или шанс (термины здесь рассматриваются как синонимы) события, происходящего таким конкретным способом, как числовая дробь, которая представляет пропорцию между двумя разными классами в долгосрочной перспективе. Так, например, пусть вероятность будет вероятностью того, что данный младенец доживет до восьмидесяти лет. Большая серия будет включать всех младенцев, меньшая — всех, кто доживет до восьмидесяти. Пусть пропорция первых ко вторым будет 9 к 1; другими словами, предположим, что один младенец из десяти доживает до восьмидесяти. Тогда шанс или вероятность того, что любой данный младенец доживет до восьмидесяти, есть числовая дробь 1/10. Это предполагает, что серии имеют неопределенную протяженность и того вида, который мы описали как обладающий фиксированным типом. Если это не так, но серия предполагается завершаемой, или регулярно или нерегулярно колеблющейся, как могло бы быть, например, в обществе, где из-за санитарных или других причин среднее долголетие постоянно претерпевало изменение, тогда в той мере, в какой это так, серия перестает быть предметом науки. Что мы должны сделать при этих обстоятельствах, это заменить серию правильного вида на неподходящую, представленную природой, выбирая ее, конечно, с как можно меньшим отклонением от наблюдаемых фактов. Это не что иное, как то, что должно быть сделано, и неизменно делается, всякий раз, когда природные объекты делаются предметами строгой науки.

§ 36. Слово или два объяснения могут быть добавлены о выражении, использованном выше, «пропорция в долгосрочной перспективе». Пробег должен предполагаться очень длинным, на самом деле никогда не останавливающимся. Поскольку мы продолжаем брать больше членов серии, мы обнаружим, что пропорция все еще немного колеблется, но ее колебания будут уменьшаться. Пропорция, на самом деле, будет постепенно приближаться к некоторому фиксированному числовому значению, тому, что математики называют ее пределом. Это дробное значение — то, о котором говорилось выше. В случаях, в которых дедуктивное рассуждение возможно, эта дробь может быть получена без прямого обращения к статистике, из рассуждения об условиях, при которых события происходят, как это было объяснено в четвертой главе.

Здесь становится очевидной полная важность различия, на котором так часто настаивали, между фактической нерегулярной серией перед нами и замещенной серией вычисления, и смысл утверждения (Гл. I. § 13), что именно в случае последней только строгие научные выводы могли быть сделаны. Ибо как мы можем иметь «предел» в случае тех серий, которые в конечном итоге демонстрируют нерегулярные колебания? Когда мы говорим, например, что это равный шанс, что данный человек выздоравливает от холеры, смысл этого утверждения заключается в том, что в долгосрочной перспективе одна половина лиц, пораженных этой болезнью, выздоравливает. Но если бы мы исследовали достаточно обширный диапазон статистики, мы могли бы обнаружить, что нравы и обычаи общества произвели такое изменение в типе болезни или ее лечении, что мы были не ближе к приближению к фиксированному пределу, чем были вначале. Концепция окончательного предела в отношении между числами двух классов в серии обязательно включает абсолютную фиксацию типа. Когда, следовательно, природа не представляет нам этой абсолютной фиксации, как она редко или никогда не делает, за исключением азартных игр (и не доказуемо там), наш единственный ресурс — это ввести такую серию, другими словами, как так часто говорилось, заменить серию правильного вида.

§ 37. Вышеизложенное, которое может считаться довольно полным как определение, могло бы с равным успехом быть дано в последней главе. Оно было отложено, однако, до настоящего места, чтобы соединить с ним сразу предложение, включающее концепции, введенные в этой главе; а именно: состояние наших собственных умов, в отношении степени убеждения, которую мы испытываем при созерцании любого из событий, чья вероятность была только что описана. Были приведены причины против мнения, что наше убеждение допускает какое-либо точное распределение, подобное числовому, только что упомянутому. Тем не менее, было показано, что разумное объяснение может быть дано такому выражению, как «мое убеждение составляет 1/10 от достоверности», хотя это было объяснение, которое указывало несомненно на серию событий и переставало быть понятным, или, во всяком случае, оправданным, когда оно не рассматривалось в таком отношении к серии. В той мере, следовательно, в какой это объяснение принято, мы можем сказать, что наше убеждение пропорционально вышеупомянутой дроби. Это относилось к чисто интеллектуальной части убеждения, которая не может быть задумана как отделимая, даже в мысли, от вещей, на которые она упражняется. С этой интеллектуальной частью обычно связаны различные эмоции. Их мы можем до некоторой степени отделить и, когда отделены, можем измерить с той степенью точности, которая возможна в случае других эмоций. Они, более того, понятны в отношении индивидуальных событий. Будет обнаружено, что они увеличиваются и уменьшаются в соответствии, до некоторой степени, с дробью, которая представляет редкость события. Эмоция удивления делает это с некоторой степенью точности.

Вышеупомянутое исследование описывает, хотя и в очень краткой форме, объем истины, который, как мне кажется, содержится в утверждении, часто делаемом, что дробь, выражающая вероятность, представляет также дробную часть полной достоверности, до которой доходит наше убеждение в индивидуальном событии. Любой дальнейший анализ этого вопроса, по-видимому, относится к психологии, а не к вероятности.

1 В обычном значении этого термина. Как Де Морган использует его, он делает формальную логику включающей вероятность, как одну из ее ветвей, как указано в его названии «Формальная логика, или Исчисление вывода, необходимого и вероятного».

2 Формальная логика. Предисловие, страница v.

3 Иллюстрация пунктов, на которых здесь настаивали, была недавно [1876] дана в месте, где немногие ожидали бы ее; я имею в виду, как многие читатели легко выведут, очень интересные Эссе о теизме Дж. С. Милля. Не в нашей компетенции здесь критиковать какие-либо из их выводов, но они выразили очень значимым образом убеждение, разделяемое им, что убеждения, которые не оправданы доказательствами и, возможно, не могут быть способны к оправданию (те, например, о бессмертии и существовании Божества), могут тем не менее не только продолжать существовать в культурных умах, но могут также с пользой поощряться там, во всяком случае в форме надежд, ради определенных предполагаемых преимуществ, сопутствующих их сохранению, независимо даже от их истинности.

4 Необходимо взять пример, в котором человек вынужден действовать, иначе мы не смогли бы показать, что он вообще имеет какое-либо убеждение по этому предмету. Он может заявить, что он ничего не знает и не заботится ни о чем по этому вопросу, и что поэтому в его ментальном состоянии нет ничего от природы убеждения, что можно было бы извлечь. Он, весьма вероятно, занял бы эту позицию, если бы мы спросили его, как это делает Де Морган, с немного другой ссылкой (Формальная логика, стр. 183), считает ли он, что на невидимой стороне луны есть вулканы, большие, чем те, что на стороне, повернутой к нам; или, с Джевонсом (Принципы науки, изд. II, стр. 212), считает ли он, что Платитлиптический коэффициент является положительным. Поэтому они не кажутся хорошими примерами для иллюстрации позиции, что мы всегда испытываем определенную степень убеждения по каждому вопросу, который может быть поставлен, и что полная неспособность дать причину в пользу любой альтернативы соответствует половинному убеждению.

5 За исключением, действительно, на принципах, указанных далее в §§ 24, 25.

6 Для более полного обсуждения этого см. Главу о причинности.

7 Лучший пример, который я могу вспомнить, различия между суждением с субъективной и объективной стороны, в таких случаях, как эти, произошел однажды в поезде. Я встретил робкую пожилую леди, которая была в большом страхе перед несчастными случаями. Я попытался успокоить ее на обычном статистическом основании крайней редкости таких событий. Она выслушала терпеливо, а затем ответила: «Да, сэр, это все очень хорошо; но я не вижу, как реальная опасность станет хоть немного меньше от того, что я не верю в нее».

8 Это все еще было бы верно для эмпирических законов, которые могут быть способны быть нарушенными: мы теперь очень сильно сместили слово, чтобы обозначить окончательный закон, который, как предполагается, не может быть нарушен.

ГЛАВА VII.

ПРАВИЛА ВЫВОДА В ВЕРОЯТНОСТИ.

§ 1. В предыдущей главе было проведено исследование того, что можно назвать, по аналогии с логикой, непосредственными выводами. Дано, что девять человек из десяти, любого назначенного возраста, доживают до сорока, что можно было бы вывести о перспективе жизни любого конкретного человека? Было показано, что, хотя этот шаг был очень далек от того, чтобы быть таким простым, как часто предполагается, и как соответствующий шаг действительно является в логике, тем не менее существовал понятный смысл, в котором мы могли бы говорить о степени нашей убежденности в любом из этих «пропорциональных предложений», как их можно кратко назвать, и обосновать эту степень. Мы должны теперь перейти к рассмотрению выводов, более собственно так называемых, я имею в виду выводы вида, аналогичного тем, которые составляют основу обычных логических трактатов. Другими словами, установив, каким образом конкретные предложения могли быть выведены из общих предложений, которые включали их, мы должны теперь исследовать, в каких случаях одно общее предложение может быть выведено из другого. Под общим предложением здесь понимается, конечно, общее предложение статистического вида, рассматриваемое в вероятности. Правила такого вывода будучи очень немногими и простыми, их рассмотрение не задержит нас надолго. Из данных, находящихся теперь в нашем распоряжении, мы можем вывести правила вероятности, данные в обычных трактатах по науке. Было бы более правильно сказать, что мы можем вывести некоторые из этих правил, ибо, как покажет исследование, они бывают двух очень разных видов, покоящихся на совершенно различных основаниях. Их можно было бы разделить на те, которые являются формальными, и те, которые являются более или менее экспериментальными. Это может быть иначе выражено, сказав, что из вида серии, описанной в первых главах, некоторые правила будут следовать необходимо простым применением арифметики; в то время как другие либо зависят от особых гипотез, либо требуют для своего установления постоянно возобновляемых обращений к опыту и расширения с помощью различных ресурсов индукции. Мы ограничим наше внимание в настоящее время главным образом первым классом; последние могут быть полностью поняты только тогда, когда мы рассмотрели связь нашей науки с индукцией.

§ 2. Фундаментальные правила вероятности, строго так называемые, то есть формальные правила, могут быть разделены на два класса — те, которые получены сложением или вычитанием, с одной стороны, соответствующие тому, что обычно называют связью исключительных или несовместимых событий; [1] и те, которые получены умножением или делением, с другой стороны, соответствующие тому, что обычно называют зависимыми событиями. Мы рассмотрим их по порядку.

(1) Мы можем делать выводы простым сложением. Если, например, существуют два отчетливых свойства, наблюдаемые у различных членов серии, которые свойства не встречаются у одного и того же индивида; ясно, что в любой партии число тех, которые относятся к одному или другому виду, будет равно сумме тех, которые относятся к двум видам отдельно. Так, 36,4 младенца из 100 доживают до более чем шестидесяти, 35,4 из 100 умирают до десяти лет; [2] возьмем большое число, скажем 10 000, тогда будет около 3640, которые доживут до более чем шестидесяти, и около 3540, которые не достигнут десяти; следовательно, общее число тех, кто не умрет в пределах назначенных пределов, составит около 2820 в целом. Конечно, если бы эти пропорции были точно назначены, результирующая сумма была бы столь же точной: но, как читатель знает, в вероятности эта пропорция является лишь пределом, к которому числа стремятся в долгосрочной перспективе, а не точным результатом, назначенным в любом конкретном случае. Следовательно, мы можем только рискнуть сказать, что это предел, к которому мы стремимся, по мере того как числа становятся все больше и больше.

Это правило, в своей общей алгебраической форме, было бы выражено на языке вероятности следующим образом: — Если шансы двух исключительных или несовместимых событий соответственно 1/m и 1/n, шанс того, что одно или другое из них произойдет, будет 1/m + 1/n или (m+n)/mn. Аналогично, если бы было больше двух событий рассматриваемого вида. На принципах, принятых в этой работе, правило, когда оно выражено таким образом алгебраически, означает точно то же самое, что и когда оно выражено в статистической форме. В заключении последней главы было показано, что сказать, например, что шанс данного события произойти определенным образом есть 1/6, есть только другой способ сказать, что в долгосрочной перспективе оно действительно стремится произойти таким образом один раз в шесть раз.

Ясно, что своего рода следствие из этого правила могло бы быть получено, точно таким же образом, вычитанием вместо сложения. Сформулированное в общем виде, оно было бы следующим: — Если шанс одного или другого из двух несовместимых событий есть 1/m, а шанс одного только есть 1/n, шанс оставшегося будет 1/m - 1/n или (n-m)/nm.

Например, если шанс любого умереть в течение года есть 1/10, а его шанс умереть от какой-то конкретной болезни есть 1/100, его шанс умереть от любой другой болезни есть 9/100.

Читатель заметит здесь, что существуют два по-видимому разных способа формулирования этого правила, в зависимости от того, говорим ли мы о «происхождении одного или другого из двух или более событий» или о «происхождении того же события одним или другим из двух или более способов». Но никакой путаницы не должно возникнуть на этом основании; любой способ речи является законным, разница является чисто словесной и зависит (как было показано в первой главе, § 8) от того, являются ли различия между «способами» слишком глубокими и многочисленными, чтобы дать событию право быть условно рассматриваемым как то же самое.

Мы можем также здесь указать обоснование для общей доктрины, что достоверность представлена единицей, точно так же, как любая данная степень вероятности представлена своей соответствующей дробью. Если утверждение, что событие происходит один раз в m раз, эквивалентно выражается словами, что его шанс есть 1/m, из этого следует, что сказать, что оно происходит m раз в m раз, или каждый раз без исключения, эквивалентно словам, что его шанс есть m/m или 1. Теперь событие, которое происходит каждый раз, есть, конечно, то, в чьем происхождении мы уверены; следовательно, дробь, которая представляет «шанс» события, которое является достоверным, становится единицей.

Будет столь же очевидно, что при условии, что шанс того, что событие произойдет, есть 1/m, шанс того, что оно не произойдет, есть 1 - 1/m или (m-1)/m.

§ 3. (2) Мы можем также делать выводы умножением или делением. Предположим, что два события, вместо того чтобы быть несовместимыми, связаны вместе в том смысле, что одно зависит от возникновения другого. Пусть нам скажут, что данная пропорция членов серии обладает определенным свойством, а данная пропорция опять из них обладает другим свойством, тогда пропорция целого, которые обладают обоими свойствами, будет найдена умножением вместе двух дробей, которые представляют вышеупомянутые две пропорции. Из жителей Лондона, двадцать пять на тысячу, скажем, умрут в течение года; мы предполагаем, что известно также, что одна смерть из пяти вызвана лихорадкой; мы должны тогда вывести, что один из 200 жителей умрет от лихорадки в течение года. Было бы, конечно, столь же просто, делением, сделать своего рода обратный вывод. Зная общую смертность в процентах населения от лихорадки и пропорцию случаев лихорадки к совокупности других случаев смертности, мы могли бы вывести, делением одной дроби на другую, какова была общая смертность в процентах от всех причин.

Правило, как оно дано выше, по-разному выражается на языке вероятности. Пожалуй, самая простая и лучшая формулировка заключается в том, что оно дает нам правило зависимых событий. То есть: если шанс одного события есть 1/m, а шанс того, что если оно произойдет, другое также произойдет, есть 1/n, тогда шанс последнего есть 1/mn. В этом случае предполагается, что последнее настолько полностью зависит от первого, что хотя оно не всегда происходит с ним, оно, безусловно, не произойдет без него; необходимость этого предположения, однако, может быть обойдена, сказав, что то, о чем мы говорим в последнем случае, есть совместное событие, а именно: оба вместе, если они являются одновременными событиями, или последнее вследствие первого, если они являются последовательными.

§ 4. Вышеупомянутые выводы являются необходимыми, в том смысле, в котором арифметические выводы являются необходимыми, и они не требуют для своего установления никакой произвольной гипотезы. Мы предполагаем в них не более, чем оправдано, и на самом деле необходимо, данными, фактически данными нам, и делаем наши выводы из этих данных с помощью арифметики. В простых примерах, приведенных выше, ничего не требуется, кроме арифметики в ее самой знакомой форме, но едва ли нужно добавлять, что на практике примеры могут часто представляться, которые потребуют гораздо более глубоких методов, чем эти. Это может потребовать всех ресурсов той высшей и более абстрактной арифметики, известной как алгебра, чтобы извлечь решение. Но поскольку необходимость обращения к таким методам, как эти, не затрагивает принципы этой части предмета, нам не нужно входить в них здесь.

§ 5. Формула, которую предстоит обсудить далее, стоит на несколько ином основании, чем вышеупомянутые, в отношении своей убедительности и свободы от обращения к опыту или к гипотезе. В двух предыдущих случаях мы рассматривали случаи, в которых данные предполагались данными при условиях, что свойства, которые отличали разные виды событий, чья частота обсуждалась, были соответственно известны как разъединенные и известны как связанные. Давайте теперь предположим, что никакие такие условия нам не даны. Один человек из десяти, скажем, имеет черные волосы, и один из двенадцати близорук; какие выводы мы могли бы тогда сделать относительно шанса любого данного человека иметь только одно из этих двух свойств, или ни одного, или оба? Ясно возможно, что рассматриваемые свойства могли быть несовместимы друг с другом, так чтобы никогда не быть найденными объединенными в одном и том же человеке; или все близорукие могли иметь черные волосы; или свойства могли быть распределены [3] почти в любой другой пропорции вообще. Если мы совершенно невежественны по этим пунктам, казалось бы, что никакие выводы вообще не могли быть сделаны относительно требуемых шансов.

Тем не менее выводы делаются, и на практике в большинстве случаев вполне справедливо. Выход из кажущейся неопределенности задачи, описанной выше, находится в предположении, что не только одна десятая от общего числа людей имеет черные волосы (ибо это было дано в качестве одного из исходных данных), но также и то, что одна десятая как тех, кто близорук, так и тех, кто не близорук, имеют черные волосы. Возьмем группу из 1200 человек в качестве выборки из общего числа. Теперь, исходя из данных, которые были первоначально предоставлены нам, легко увидеть, что в каждой такой группе в среднем будет 120 человек с черными волосами и, следовательно, 1080 человек без них. И здесь, по строгой справедливости, нам следовало бы остановиться, по крайней мере до тех пор, пока мы снова не обратимся к опыту; но мы не останавливаемся на этом. Из данных, которые мы принимаем, мы переходим к выводу, что из 120 человек 10 (т.е. одна двенадцатая от 120) будут близорукими, а 110 (остальные) — нет. Аналогично мы делаем вывод, что из 1080 человек 90 близоруки, а 990 — нет. Таким образом, в целом 1200 человек распределяются следующим образом: близорукие с черными волосами — 10; близорукие без черных волос — 90; люди с черными волосами, не являющиеся близорукими, — 110; люди, которые не являются ни близорукими, ни имеют черных волос, — 990.

Это правило, выраженное в наиболее общей форме на языке теории вероятностей, выглядело бы следующим образом: если шансы того, что нечто является p и q, равны соответственно 1/m и 1/n, то шанс того, что оно является и p, и q, равен 1/mn; что оно является p и не является q, равен (n-1)/mn; что оно является q и не является p, равен (m-1)/mn; что оно не является ни p, ни q, равен (m-1)(n-1)/mn, где p и q независимы. Сумма этих шансов очевидно равна единице, как и должно быть, поскольку одна из четырех альтернатив должна обязательно существовать.

§ 6. Я намеренно подчеркнул различие между выводом в данном случае и выводами в двух предыдущих до такой степени, которая многим читателям может показаться неоправданной. Но мне представляется, что там, где наука использует, как это делает теория вероятностей, два столь различных источника убеждения, как необходимые правила арифметики и лишь более или менее убедительные правила индукции, едва ли возможно придавать слишком большое значение этому различию. Мало кто готов будет отрицать, что многими авторами по данному предмету делались весьма произвольные допущения, и никто не станет отрицать, что в случае так называемых «обратных вероятностей» иногда делаются предположения, которые, по меньшей мере, решительно открыты для сомнений. Поэтому лучший путь — сделать паузу и провести строгий анализ в той точке, где впервые проявляется возможность такой ошибки и сомнительности. Эти замечания применимы к некоторым из лучших авторов по данному предмету; в случае же менее значительных авторов или тех, кто обращается к теории вероятностей, не усвоив должным образом ее принципов, мы можем пойти дальше. Действительно, не будет преувеличением сказать, что они, по-видимому, считают себя вправе предполагать, что там, где мы ничего не знаем о распределении упомянутых свойств, мы должны исходить из того, что они распределены так, как описано выше, и, следовательно, распределять нашу веру в той же пропорции. Это называется «предположением о независимости событий», при этом делается допущение, что правило обязательно вытекает из этой независимости и что мы имеем право, если не знаем ничего противного, предполагать, что события независимы.

Обоснованность этого последнего утверждения уже обсуждалась в первой главе; это лишь еще одна из попыток сконструировать априорно серию, которую представит нам опыт, и попытка, в пользу которой нельзя привести столь веских доводов, как в пользу равенства орлов и решек при подбрасывании монеты. Но значение, которое следует придать «независимости» рассматриваемых событий, требует некоторого размышления.

Обстоятельства задачи таковы. Существуют два различных качества, благодаря наличию или отсутствию каждого из которых среди индивидов серии образуются две различные пары классов этих индивидов. Для установления обсуждаемого правила было найдено, что одно допущение является одновременно необходимым и достаточным, а именно: разделение на классы, вызванное каждым из вышеуказанных различий, должно подразделять каждый из классов, созданных другим различием, в той же пропорции, в какой оно подразделяет целое. Если независимость признана и определена именно так, то правило, конечно, останется в силе, но без особого внимания к этому пункту не кажется, что слово «независимость» естественно понималось бы именно так.

§ 7. Поскольку вышеизложенное является фундаментальными правилами вывода в теории вероятностей, сразу возникает вопрос: каково их отношение к огромному массиву формул, которые используются в трактатах по этой науке и в ее практических приложениях? Ответ заключался бы в том, что эти формулы, поскольку они должным образом принадлежат к данной науке, в действительности являются не чем иным, как приложениями вышеуказанных фундаментальных правил. Такие приложения могут принимать любую степень сложности, ибо из-за трудности конкретных примеров в том виде, в каком они фактически представлены, иногда приходится прибегать к глубочайшим теоремам математики. Тем не менее мы не должны рассматривать эти теоремы как что-либо иное, кроме как удобные и необходимые сокращения арифметических процессов, которые на практике стали слишком громоздкими, чтобы их можно было выполнять иначе.

Это объяснение позволит обосновать некоторые правила в том виде, в каком они обычно приводятся, но отнюдь не все из них. Оно объяснит те, которые доказуемы достоверными законами арифметики, но не те, которые в действительности покоятся лишь на индуктивных обобщениях. И едва ли можно сомневаться в том, что многие правила последнего рода стали ассоциироваться с правилами первого рода, так что в общественном мнении они слились в одну систему, в которой все отдельные правила, как предполагается, имеют схожее происхождение и равную достоверность. На эту тенденцию уже часто указывалось, но предмет этот имеет столь исключительную важность, что его рассмотрению должна быть посвящена отдельная глава (глава об индукции).

§ 8. При установлении обоснованности вышеуказанных правил мы взяли за основу наших исследований, в соответствии с общей схемой этой работы, статистическую частоту упоминаемых событий; но было также показано, что каждая формула, будучи установленной, может с равным основанием быть выражена в более привычной форме дроби, представляющей «шанс» наступления конкретного события. Поэтому теперь можно поставить вопрос: могут ли те авторы, которые (как описано в последней главе) берут в качестве основного предмета науки не степень статистической частоты, а количество веры, с такой же последовательностью сделать это основой своих правил и, следовательно, также рассматривать дробь, выражающую шанс, как просто синонимичное выражение? Де Морган утверждает, что в то время как в обычной логике мы предполагаем посылки абсолютно истинными, область теории вероятностей заключается в изучении «эффекта, который частичная вера в посылки производит в отношении заключения». По-видимому, поэтому, если следовать этому взгляду, мы должны быть в состоянии определить это результирующее уменьшение из первых рук, путем самонаблюдения разума, то есть концепций и убеждений, которые он содержит, вместо того чтобы прибегать к статистике, чтобы сказать нам, насколько мы должны верить в заключение.

Любые читатели, которые согласились со мной в общих результатах последней главы, естественно, придут к выводу, что из любого обращения к нашему сознанию относительно количества веры, которую мы питаем к тому или иному суждению, нельзя извлечь ничего, заслуживающего названия логической науки. Предположим, например, что один человек из 100 умирает во время морского перехода в Индию, и что один из 9 умирает в течение 5 лет проживания там. Обычно говорят, что шанс того, что кто-либо, кто сейчас отправляется туда, доживет до начала обратного пути через 5 лет, составляет 88/100; ибо его шанс добраться туда составляет 99/100, а шанс выжить, если он туда доберется, — 8/9; следовательно, результат или зависимое событие получается путем перемножения этих дробей, что дает 88/100. Здесь реальной основой рассуждения является статистика, а процессы или результаты впоследствии лишь переводятся в дроби. Но можем ли мы сказать то же самое, когда смотрим на сторону веры в этом вопросе? Я вполне признаю психологический факт, что у нас есть степени веры, более или менее соответствующие частоте событий, к которым они относятся. В приведенном выше примере, например, мы, несомненно, признали бы при исследовании, что наша вера в возвращение человека была затронута каждым из рассматриваемых рисков, так что у нас было меньше ожиданий этого, чем если бы он был подвержен любому из рисков по отдельности; то есть мы бы каким-то образом скомбинировали риски. Но чего я не могу признать, так это того, что мы были бы способны выполнить этот процесс с какой-либо степенью точности без обращения к статистике, или что, даже если предположить, что мы могли бы это сделать, у нас была бы какая-либо гарантия правильности результата без аналогичного обращения. Мне на самом деле кажется, что мало смысла, и уж точно никакой надежности, можно достичь, рассматривая процесс вывода таким образом. Вероятности, выраженные как степени веры, точно так же, как те, которые выражены как дроби, должны, когда нас призывают к оправданию, сначала быть переведены в соответствующие им факты статистической частоты возникновения событий, и только затем выводы должны быть сделаны и обоснованы там. Эта часть операции, как мы уже показали, в основном осуществляется по обычным правилам арифметики. Когда мы получили наш вывод, мы можем, если хотим, перевести его обратно в субъективную форму, точно так же, как мы можем и делаем это для удобства в дробную, но я не вижу, как процесс вывода может быть представлен происходящим в этой форме, и тем более как может быть дано какое-либо доказательство этого. Если поэтому процесс вывода выражается таким образом, он должен рассматриваться как символический процесс, символизирующий такой вывод о вещах, который был описан выше, и поэтому мне кажется более целесообразным излагать и разъяснять его в этой последней форме.

Об обратной вероятности и необходимых для нее правилах.

§ 9. Уже было сказано, что единственными фундаментальными правилами вывода в теории вероятностей являются два, описанные в §§ 2, 3, но, конечно, существует множество производных правил, характер и использование которых лучше всего почерпнуть из изучения любого руководства по данному предмету. Однако один класс этих производных правил достаточно своеобразен в отношении вопросов, к которым он может привести, чтобы заслужить особого рассмотрения. Он включает в себя различие, обычно признаваемое как различие между прямой и обратной вероятностью. Оно вводится Де Морганом следующим образом:

«В предыдущей главе мы вычислили шансы события, зная обстоятельства, при которых оно должно произойти или не произойти. Теперь мы должны поставить себя в обратное положение: мы знаем событие и спрашиваем, какова вероятность, которая вытекает из этого события в пользу любого набора обстоятельств, при которых оно могло бы произойти». [4] Таким образом, различие можно кратко описать как различие между поиском следствия, когда нам даны причины, и поиском причины, когда нам даны следствия.

Основываясь на принципах науки, заложенных в определении, которое обсуждалось и было принято в ранних главах этой работы, читатель легко сделает вывод, что никакое различие, подобное этому, не может считаться фундаментальным. Одна общая черта была прослежена во всех объектах, которые должны были быть отнесены к теории вероятностей, и из этой черты можно непосредственно вывести возможные правила вывода. Все остальные различия являются лишь различиями в организации или управлении.

Но хотя это различие отнюдь не является фундаментальным, тем не менее верно, что практическое рассмотрение таких задач, как те, что в основном встречаются в обратной вероятности, соответствует очень серьезному источнику двусмысленности и недоумения. Произвольные допущения, которые появляются в прямой вероятности, отнюдь не являются серьезными, но те, которые вторгаются в большую часть задач, предлагаемых обратной вероятностью, являются одновременно серьезными и неизбежными.

§ 10. Это лучше всего видно на примере специальных задач; поскольку любая, даже самая простая, послужит нашей цели, давайте возьмем две следующие:

(1) Из мешка, содержащего девять черных шаров и один белый, вынимается шар: каков шанс того, что это белый шар?

(2) Из мешка, содержащего десять шаров, вынимается шар, и он оказывается белым; каков шанс того, что в мешке был только этот один белый шар?

Класс, простым примером которого является первая задача, уже был подробно обсужден. Его интерпретация заключается в следующем: если шары постоянно вынимаются и заменяются, пропорция белых к общему числу вынутых будет стремиться к дроби 1/10. Рассматриваемое действие является единичным, но мы рассматриваем его как одно из вышеупомянутой серии; по крайней мере, наше мнение формируется на этом допущении. Мы заключаем, что собираемся взять одно из серии событий, которые могут казаться индивидуально случайными, но в которых в долгосрочной перспективе события данного вида составляют одну десятую от целого; этот вид (белый) затем выделяется по предвосхищению. Утверждая, что его шанс равен 1/10, мы просто имеем в виду утверждение этого физического факта вместе с другими ментальными фактами, эмоциями, выводами и т. д., которые могут быть должным образом связаны с ним.

§ 11. Должны ли мы интерпретировать вторую задачу иным образом? Здесь также мы имеем единичный случай, но природа вопроса, по-видимому, решает, что единственная серия, к которой он может быть правильно отнесен, — это следующая: шары постоянно вынимаются из разных мешков, каждый из которых содержит десять, и всегда оказываются белыми; какова в конечном итоге пропорция случаев, в которых они окажутся взятыми из мешков только с одним белым шаром? Теперь можно легко показать [5], что время не имеет никакого отношения к вопросу; поэтому, опуская рассмотрение этого элемента, мы имеем для двух серий, из которых должны быть сформированы наши мнения в этих двух примерах соответственно: (1) шары разных цветов, представленные нам в данном конечном соотношении; (2) мешки с разным содержимым, представленные аналогичным образом. Из этих данных соответственно мы должны приписать должный вес нашим ожиданиям (1) белого шара; (2) мешка, содержащего только один белый шар. Так поставленные, задачи казались бы формально идентичными.

Однако, когда мы начинаем практическую работу по их решению, мы замечаем очень важное различие. В первом примере нет ничего особенно произвольного; шары в таких обстоятельствах действительно выходили бы более или менее точно в ожидаемой пропорции. Более того, в случае, если возникнет возражение, что трудно доказать, что они будут это делать, не кажется несправедливым требование сказать, что шары должны быть «хорошо перемешаны» или «справедливо распределены», или ввести любые другие условия, с помощью которых под видом априорного суждения мы заботимся о том, чтобы обеспечить нашу перспективу серии желаемого рода. Но мы не можем сказать то же самое в случае со вторым примером.

§ 12. Линия доказательства, с помощью которой обычно пытаются решить вторую задачу, такова: показывается, что поскольку в мешке заведомо есть один белый шар, единственно возможные предшествующие условия бывают десяти видов, а именно: мешки, каждый из которых содержит десять шаров, но в которых число белых шаров варьируется соответственно от одного до десяти. Это, конечно, накладывает ограничения на вид членов, которые должны быть найдены в нашей серии. Но нам нужно больше, чем такие ограничения, мы должны знать пропорции, в которых эти члены в конечном итоге располагаются в серии. Теперь это требует опыта относительно мешков, который может не быть, и, действительно, в большой доле подобных случаев не может быть нам дан. Если поэтому мы вообще собираемся решить вопрос, мы должны сделать допущение; давайте сделаем следующее: что каждый из описанных выше мешков встречается одинаково часто, — и посмотрим, что из этого выйдет. Поскольку мешки вынимаются одинаково часто, из этого не следует, что каждый из них даст равное количество белых шаров. Напротив, они, как и в последнем примере, будут давать их в прямой пропорции к количеству таких шаров, которые они содержат. Мешок с одним белым и девятью черными даст белый шар один раз из десяти; мешок с двумя белыми — дважды; и так далее. Результатом этого, как легко увидеть, будет то, что в 100 выниманиях в среднем будет получено 55 белых шаров и 45 черных. Теперь с теми выниманиями, которые не дают белых шаров, мы, согласно вопросу, не имеем ничего общего, ибо этот вопрос постулировал вынимание белого шара как свершившийся факт. Серия, которая нам нужна, поэтому состоит из тех, которые действительно дают белые шары. Теперь, какой дополнительный атрибут обнаруживается у некоторых членов, и только у некоторых членов этой серии, и который мы мысленно предвосхищаем? Ясно, что это атрибут того, что шар был вынут из мешка, который содержал только один из этих белых шаров. Из 55 выниманий такой случай только один. Соответственно, требуемый шанс равен 1/55. То есть белый шар будет вынут из мешка, содержащего только этот один белый шар, один раз из 55.

§ 13. Теперь, за исключением отрывка, выделенного курсивом, процесс здесь точно такой же, как и в другом примере; он несколько длиннее только потому, что мы не можем немедленно обратиться к опыту, а вынуждены пытаться вывести, каким будет результат, хотя обоснованность этого вывода сама по себе, конечно, в конечном итоге покоится на опыте. Но вышеуказанный отрывок очень важен. Едва ли нужно указывать, насколько он произволен.

Ибо является ли допущение, что различные указанные виды мешков одинаково вероятны, наиболее разумным допущением при рассматриваемых обстоятельствах? Один человек может думать, что это так, другой может придерживаться противоположного мнения. На самом деле, в отличном руководстве [6] по данному предмету делается совершенно иное допущение, по крайней мере в одном примере; в этом случае принимается как должное не то, что каждое возможное число черных и белых шаров соответственно одинаково вероятно, а то, что каждый возможный способ получения каждого числа одинаково вероятен, откуда следует, что мешки с промежуточным числом черных и белых шаров гораздо более вероятны, чем те, у которых крайнее число тех или других. На этом допущении пять черных и пять белых шаров могут быть получены 252 способами против десяти способов получения одного белого и девяти черных, из чего следует, что шанс того, что мы вытянули из мешка последнего описания, гораздо меньше, чем при первой сделанной гипотезе. Шанс, по сути, становится теперь 1/512 вместо 1/55. В одном случае каждый отдельный результат считается одинаково вероятным, в другом — каждый отдельный способ получения каждого результата.

§ 14. Неопределенности такого рода особенно склонны возникать в этих обратных вероятностях, потому что, когда нам просто дано следствие и велено искать шанс какой-то назначенной причины, нам часто не дается никаких ключей относительно относительной распространенности этих причин, а предоставляется определять их на основе общих принципов. Дайте нам либо их фактическую распространенность в статистике, либо условия, при которых такая распространенность достигается, и мы будем знать, что делать; но без помощи таких данных мы вынуждены гадать. В приведенном выше примере, если бы нам сказали, как мешок был первоначально наполнен, то есть каким процессом или при каких обстоятельствах, мы бы знали, что делать. Если бы он был наполнен случайным образом из коробки, содержащей равное количество черных и белых шаров, допущение в примере г-на Уитворта было бы наиболее разумным; но в отсутствие какой-либо информации, подобной этой, мы находимся в полном неведении, и допущение, сделанное в § 12, не более и не менее заслуживает доверия и разумно, чем многие другие, хотя оно, несомненно, обладает достоинством превосходной простоты. [7] Если читатель вернется к гл. V, §§ 4, 5, он найдет эту конкретную трудность полностью объясненной. Все практически признают, что определенное характерное расположение или распределение должно быть введено на какой-то предшествующей стадии; и что, как только эта стадия выбрана, больше нет никаких теоретических трудностей, с которыми можно столкнуться. Но когда мы приходим к решению, в примерах рассматриваемого класса, на какой стадии наиболее разумно сделать наш постулат, мы часто остаемся без какого-либо очень определенного или рационального руководства.

§ 15. Однако, когда мы берем то, что можно назвать, по сравнению с вышеупомянутыми чисто искусственными примерами, случаями, представленными природой, большая часть этой неопределенности исчезнет, и тогда всякое реальное различие между прямой и обратной вероятностью часто исчезнет. В таких случаях причины в основном определяются довольно определенными правилами, вместо того чтобы быть просто облаком капризных догадок. Мы можем либо найти их относительную частоту возникновения путем обращения к таблицам, либо быть в состоянии вывести ее путем изучения обстоятельств, при которых они возникают. Почти любой простой пример тогда послужил бы иллюстрацией того факта, что при таких обстоятельствах различие между прямой и обратной вероятностью исчезает вовсе или просто сводится к различию во времени, которое, как будет более полно показано в будущей главе, совершенно чуждо нашему предмету.

Конечно, не предполагается, что трудности, подобные упомянутым выше, не вторгаются в нас иногда и здесь. Как уже упоминалось, они, если не присущи предмету, то, по крайней мере, почти неизбежны по сравнению с более простой и прямой процедурой определения того, что, вероятно, последует из назначенных условий. Имеется в виду, что до тех пор, пока мы ограничиваемся сравнительно регулярной и однородной областью естественных последовательностей и сосуществований, статистика причин может быть столь же легко доступна, как и статистика следствий. В одном будет не намного больше произвольного, чем в другом. Но, конечно, эта уверенность теряется, когда, как будет почти немедленно замечено, в исследование вводятся то, что можно назвать метафизическими, а не естественными причинами.

Например, известно, что в Лондоне ежегодно умирает около 20 человек на тысячу. Предположим, также известно, что из каждых 100 смертей около 4 приходятся на бронхит. Шансы против того, что любой неизвестный человек умрет от бронхита в данном году, составляют 1249 к 1. Точно такая же статистика доступна для решения обратной задачи: человек умер, каков шанс, что он умер от бронхита? Здесь, поскольку смерть человека принимается как должное, нам не нужно знать общую среднюю смертность. Все, что нам нужно, — это пропорциональная смертность от рассматриваемого заболевания, как указано выше. Если бы теория вероятностей имела дело только с выводами, основанными таким образом на фактической статистике, и притом довольно обширной, едва ли вероятно, что когда-либо было бы проведено какое-либо различие, подобное этому, между прямыми и обратными задачами.

§ 16. Рассматриваемое, следовательно, как вклад в теорию предмета, различие между прямой и обратной вероятностью должно быть отброшено. Когда под рукой имеется соответствующая статистика, два класса задач становятся идентичными по методу рассмотрения, а когда ее нет, мы не имеем большего права извлекать решение в одном случае, чем в другом. Однако дискуссия может послужить направлению обновленного внимания на другое и гораздо более важное различие. Она напомнит нам, что существует один класс примеров, к которым исчисление вероятностей применяется по праву, потому что статистические данные — это все, чем мы располагаем для суждения; в то время как существуют другие примеры, в отношении которых, если мы будем настаивать на использовании этих правил, мы можем либо сознательно отказываться от возможности получения гораздо более достоверной информации другими средствами, либо мы можем получать решения по вопросам, по которым человеческий интеллект не имеет права на какое-либо определенное количественное мнение.

§ 17. Наиболее близкий подход к какому-либо практическому оправданию таких суждений, который я помню, предоставляется случаями, образцом которых является следующий пример: «Из 10 случаев, леченных по методу Листера, 7 прошли хорошо, а 3 страдали от заражения крови: из 14, леченных обычными повязками, 9 прошли хорошо, а 5 имели заражение крови; каковы шансы, что успех метода Листера был обусловлен случайностью?». [8] Или, другими словами, короткий опыт показал фактическое превосходство одного метода над другим: каковы шансы, что бесконечно долгий опыт при схожих условиях подтвердит это превосходство?

Предлагающий рассматривал это как задачу о «мешке и шарах», аналогичную следующей: 10 шаров из одного мешка дали 7 белых и 3 черных, 14 из другого мешка дали 9 белых и 5 черных: каков шанс, что фактическое соотношение белых шаров к черным было больше в первом, чем во втором? — это фактическое соотношение, конечно, рассматривается как верный показатель того, каковы были бы конечные пропорции белых и черных выниманий. Это кажется мне единственным разумным способом рассмотрения задачи, если вообще считать ее способной к численному решению.

Конечно, здесь должно быть сделано неизбежное допущение о равной распространенности различных возможных видов мешков — или, как выразились бы сторонники справедливости вычисления, об обязательстве предполагать равную априорную вероятность каждого вида, — но я думаю, что в этом конкретном примере произвольность допущения меньше, чем обычно. Это потому, что задача обсуждает просто баланс между двумя чрезвычайно похожими случаями, и существует определенное взаимное погашение нежелательных допущений с каждой стороны. Если бы был предложен только один набор экспериментов и нас попросили бы оценить вероятность того, что их постоянное повторение подтвердит их вердикт, я бы испытал все те сомнения, о которых уже упоминал. Но здесь у нас есть два набора экспериментов, проведенных при почти точно схожих обстоятельствах, и поэтому меньше произвольности в допущении, что их неизвестные условия довольно одинаково распространены.

§ 18. Примеры описанного рода кажутся достаточно сомнительными, но если мы хотим осознать в полной мере расплывчатость некоторых задач, представленных этой обратной вероятности, нам не нужно далеко ходить. В естественных, как и в искусственных примерах, где статистика недостижима, исследование становится совершенно безнадежным, и все попытки установления правил для вычисления должны быть отброшены. Возьмем, например, вопрос, который вызвал некоторые дискуссии [9], следует или не следует считать такие-то группы звезд результатами случайного распределения; или еще более широкий и расплывчатый вопрос, были ли такие-то вещи, или, скажем, сам мир, произведены случайно?

В случаях такого рода непреодолимая трудность заключается в определении того, какой именно смысл следует придавать словам «случайный» и «произвольный», которые входят в дискуссию. В четвертой главе было дано некоторое описание их научного и конвенционального значения в теории вероятностей. По-видимому, существуют те же возражения против обобщения их вне такой связи, какие существуют в метафизике против разговоров о Бесконечном или Абсолютном. Бесконечную величину или бесконечную силу можно до некоторой степени постичь, или, по крайней мере, можно понять, о чем идет речь, но «бесконечное» кажется мне термином, лишенным смысла. Так же и с чем-либо, что предположительно было произведено случайно: скажите нам природу агентства, пределы его случайности и так далее, и мы сможем взяться за задачу, но без таких данных мы не знаем, что делать. Дальнейшее рассмотрение такой задачи могло бы, я думаю, без высокомерия быть отнесено к главе об ошибках. Соответственно, любые дальнейшие замечания, которые я должен сделать по этому предмету, будут найдены там, а также в заключении главы о причинности и дизайне.

1 Было бы точнее говорить о «несовместимых гипотезах в отношении любого индивидуального случая» или «взаимно исключающих классах событий».

2 Примеры этого рода, относящиеся к смертности людей, взяты из таблиц Карлайла. Они значительно отличаются, как хорошо известно, от других таблиц, но у нас есть высокий авторитет Де Моргана, чтобы рассматривать их как лучший представитель средней смертности английских средних классов в настоящее время.

3 Я говорю «почти любая пропорция», потому что, как легко увидеть, арифметика накладывает определенные ограничения на допущения, которые могут быть сделаны. Мы не могли бы, например, предположить, что все черноволосые люди близоруки, ибо в любой данной группе людей первые более многочисленны. Но диапазон этих ограничений ограничен, и их существование не имеет значения в вышеприведенной дискуссии.

4 Essay on Probabilities, стр. 53. Мне напомнили, что в своей статье о вероятности в Encyclopædia Metropolitana он заявил, что такие правила не включают никакого нового принципа.

5 Этот пункт будет полностью обсужден в будущей главе, после того как общая точка зрения объективной системы логики будет объяснена и проиллюстрирована.

6 Whitworth's Choice and Chance, изд. II, стр. 123. См. также Boole's Laws of Thought, стр. 370.

7 Мнения расходятся относительно защиты таких допущений, как и относительно их природы. Некоторые авторы, признавая вышеуказанное допущение сомнительным, называют его наиболее беспристрастной гипотезой. Другие рассматривают его как своего рода среднюю гипотезу.

8 Educational Times; Reprint, том xxxvii, стр. 40. Вопрос был предложен д-ром Макалистером и вызвал значительные споры. Как обычно с задачами такого обратного рода, едва ли два автора были согласны относительно допущений, которые должны быть сделаны, или, следовательно, относительно численной оценки шансов.

9 См. Todhunter's History, стр. 333, 4.

Существует интересная дискуссия по этому вопросу покойного Дж. Д. Форбса в статье в Philosophical Magazine за дек. 1850 г. На нее ответил в последующем номере проф. Донкин.

ГЛАВА VIII.

ПРАВИЛО ПРЕЕМСТВЕННОСТИ. [*]

* Здесь можно принести слово извинения за введение нового названия. Единственной другой альтернативой было бы озаглавить правило как правило индукции. Но такое название я не могу допустить по причинам, которые будут почти немедленно объяснены.

§ 1. В последней главе мы довольно подробно обсудили природу тех видов вывода в теории вероятностей, которые соответствуют тем, что в логике называются непосредственными и опосредованными выводами. Мы установили, что означало, например, утверждение, что шанс любого данного человека А. Б. умереть в течение года равен 1/3, когда это заключение делается из общего положения, что один человек из трех в его обстоятельствах умирает. Мы также обсудили природу и доказательства правил более полностью выводного характера. Но остановиться на этом пункте означало бы принять очень несовершенный взгляд на предмет. Если теория вероятностей — это наука о реальном выводе о вещах, она, безусловно, должна вести к чему-то большему, чем такие чисто формальные заключения; мы должны быть в состоянии, если не с помощью нее, то, по крайней мере, какими-то средствами, выйти за пределы того, что было фактически наблюдаемо, и сделать выводы о том, что еще не наблюдалось. Это сразу ведет к вопросу: какова связь теории вероятностей с индукцией? Это вопрос, в который необходимо теперь вникнуть с некоторой тщательностью.