«Основы науки: Наука и гипотеза, Ценность науки, Наука и метод»

Здесь я заканчиваю этот обзор, который я и не мечтал сделать полным. Думаю, этих примеров будет достаточно, чтобы показать, с помощью какого механизма математические науки совершали свой прогресс в прошлом и в каком направлении они должны продвигаться в будущем.

ГЛАВА III

Математическое творчество

Генезис математического творчества — это проблема, которая должна живо интересовать психолога. Это деятельность, в которой человеческий разум, по-видимому, меньше всего берет из внешнего мира, в которой он действует или кажется действующим только сам по себе и на самого себя, так что, изучая процедуру геометрического мышления, мы можем надеяться достичь того, что является наиболее существенным в человеческом разуме.

Это давно было оценено, и некоторое время назад журнал под названием «L'enseignement mathématique», редактируемый Лезаном и Фером, начал исследование ментальных привычек и методов работы различных математиков. Я закончил основные контуры этой статьи, когда результаты этого опроса были опубликованы, поэтому я едва ли смог их использовать и ограничусь тем, что большинство свидетелей подтверждают мои выводы; я не говорю «все», ибо когда апеллируют к всеобщему голосованию, единодушия ожидать не приходится.

Первый факт должен нас удивить, или, вернее, удивил бы нас, если бы мы не были к нему так привычны. Как случается, что есть люди, которые не понимают математику? Если математика взывает только к правилам логики, таким, как они приняты всеми нормальными умами; если ее очевидность основана на принципах, общих для всех людей, и которые никто не мог бы отрицать, не будучи сумасшедшим, как получается, что так много людей здесь оказываются невосприимчивыми?

То, что не каждый может изобретать, нисколько не загадочно. То, что не каждый может удержать в памяти однажды выученное доказательство, тоже может сойти. Но то, что не каждый может понять математическое рассуждение, когда оно объяснено, кажется очень удивительным, если задуматься. И все же те, кто может следовать этому рассуждению лишь с трудом, составляют большинство: это неоспоримо, и это, безусловно, не будет опровергнуто опытом учителей средней школы.

И далее: как возможна ошибка в математике? Здравый ум не должен быть виновен в логической ошибке, и все же есть очень тонкие умы, которые не спотыкаются в коротких рассуждениях, встречающихся в обычных делах жизни, и которые неспособны следовать или повторять без ошибок математические доказательства, которые длиннее, но которые, в конце концов, являются лишь накоплением коротких рассуждений, полностью аналогичных тем, что они проделывают так легко. Нужно ли добавлять, что сами математики не непогрешимы?

Ответ кажется мне очевидным. Представьте себе длинную серию силлогизмов, и что заключения первых служат посылками последующих: мы сможем уловить каждый из этих силлогизмов, и не в переходе от посылок к заключению мы рискуем обмануться. Но между моментом, в который мы впервые встречаем суждение как заключение одного силлогизма, и тем, в который мы вновь встречаем его как посылку другого силлогизма, иногда проходит некоторое время, несколько звеньев цепи развернутся; так может случиться, что мы забыли его, или, что хуже, что мы забыли его смысл. Так может случиться, что мы заменим его слегка отличающимся суждением, или что, сохраняя ту же формулировку, мы припишем ему слегка отличающийся смысл, и именно так мы подвергаемся риску ошибки.

Часто математик использует правило. Естественно, он начинает с доказательства этого правила; и в то время, когда это доказательство свежо в его памяти, он прекрасно понимает его смысл и его значение, и он не рискует его изменить. Но впоследствии он доверяет своей памяти и в дальнейшем применяет его только механическим способом; и тогда, если память подводит его, он может применить его совершенно неверно. Так, если взять простой пример, мы иногда делаем ошибки в вычислениях, потому что забыли таблицу умножения.

Согласно этому, особая склонность к математике была бы обусловлена только очень верной памятью или поразительной силой внимания. Это была бы способность, подобная способности игрока в вист, который помнит сыгранные карты; или, поднявшись на ступеньку выше, подобная способности шахматиста, который может визуализировать большое количество комбинаций и удерживать их в своей памяти. Каждый хороший математик должен быть хорошим шахматистом, и наоборот; точно так же он должен быть хорошим вычислителем. Конечно, такое иногда случается; так, Гаусс был одновременно геометром гения и очень ранним и точным вычислителем.

Но есть исключения; или, вернее, я ошибаюсь; я не могу назвать их исключениями, не делая исключения более частыми, чем правило. Гаусс, напротив, был исключением. Что касается меня, должен признаться, я абсолютно неспособен даже складывать без ошибок. Точно так же я был бы плохим шахматистом; я бы заметил, что определенным ходом я подвергаю себя определенной опасности; я бы перебрал в уме несколько других ходов, отвергая их по другим причинам, и затем, наконец, сделал бы ход, рассмотренный первым, забыв тем временем об опасности, которую предвидел.

Одним словом, моя память не плоха, но ее было бы недостаточно, чтобы сделать меня хорошим шахматистом. Почему же тогда она не подводит меня в сложном математическом рассуждении, где большинство шахматистов потерялись бы? Очевидно, потому что она направляется общим ходом рассуждения. Математическое доказательство — это не простое сопоставление силлогизмов, это силлогизмы, расставленные в определенном порядке, и порядок, в котором расставлены эти элементы, гораздо важнее, чем сами элементы. Если у меня есть чувство, интуиция, так сказать, этого порядка, чтобы воспринимать с первого взгляда рассуждение в целом, мне больше не нужно бояться, что я забуду один из элементов, ибо каждый из них займет свое отведенное место в строю, и это без всякого усилия памяти с моей стороны.

Мне кажется тогда, при повторении выученного рассуждения, что я мог бы изобрести его сам. Это часто лишь иллюзия; но даже тогда, даже если я не настолько одарен, чтобы создать его самостоятельно, я сам переизобретаю его, поскольку повторяю его.

Мы знаем, что это чувство, эта интуиция математического порядка, которая заставляет нас прозревать скрытые гармонии и отношения, не может быть присуща каждому. У некоторых не будет ни этого тонкого чувства, которое так трудно определить, ни силы памяти и внимания выше обычного, и тогда они будут абсолютно неспособны понять высшую математику. Таково большинство. У других это чувство будет лишь в слабой степени, но они будут одарены необычной памятью и большой силой внимания. Они выучат наизусть детали одну за другой; они могут понимать математику и иногда делать приложения, но они не могут творить. Другие, наконец, будут обладать в большей или меньшей степени упомянутой особой интуицией, и тогда они не только смогут понимать математику, даже если их память не представляет собой ничего необычного, но они могут стать творцами и пытаться изобретать с большим или меньшим успехом, в зависимости от того, насколько эта интуиция развита в них.

На самом деле, что такое математическое творчество? Оно не состоит в создании новых комбинаций с уже известными математическими сущностями. Любой мог бы это сделать, но комбинации, созданные таким образом, были бы бесконечны по числу, и большинство из них абсолютно не представляли бы интереса. Творить — значит именно не создавать бесполезных комбинаций и создавать те, которые полезны и которые составляют лишь небольшое меньшинство. Изобретение — это проницательность, выбор.

Как сделать этот выбор, я объяснял ранее; математические факты, достойные изучения, — это те, которые благодаря своей аналогии с другими фактами способны привести нас к познанию математического закона, точно так же как экспериментальные факты приводят нас к познанию физического закона. Это те факты, которые открывают нам неожиданное родство между другими фактами, давно известными, но ошибочно считавшимися чуждыми друг другу.

Среди выбранных комбинаций наиболее плодотворными часто будут те, что сформированы из элементов, взятых из областей, которые далеки друг от друга. Не то чтобы я имел в виду, что для изобретения достаточно сведения вместе объектов, насколько возможно разрозненных; большинство комбинаций, созданных таким образом, были бы совершенно бесплодными. Но некоторые из них, очень редкие, являются самыми плодотворными из всех.

Изобретать, я сказал, — значит выбирать; но слово это, возможно, не совсем точно. Оно заставляет думать о покупателе, перед которым выставлено большое количество образцов и который изучает их, один за другим, чтобы сделать выбор. Здесь образцы были бы настолько многочисленны, что целой жизни не хватило бы, чтобы их изучить. Это не реальное положение вещей. Бесплодные комбинации даже не представляются уму изобретателя. Никогда в поле его сознания не появляются комбинации, которые не являются действительно полезными, за исключением некоторых, которые он отвергает, но которые имеют в некоторой степени характеристики полезных комбинаций. Все происходит так, как если бы изобретатель был экзаменатором второй степени, которому нужно было бы опрашивать только тех кандидатов, которые прошли предыдущий экзамен.

Но то, что я до сих пор говорил, — это то, что можно наблюдать или вывести, читая труды геометров, читая вдумчиво.

Пора проникнуть глубже и увидеть, что происходит в самой душе математика. Для этого, я полагаю, я могу сделать лучше всего, вспоминая свои собственные воспоминания. Но я ограничусь тем, что расскажу, как я написал свой первый мемуар о фуксовых функциях. Я прошу прощения у читателя; я собираюсь использовать некоторые технические выражения, но они не должны его пугать, ибо он не обязан их понимать. Я скажу, например, что я нашел доказательство такой-то теоремы при таких-то обстоятельствах. Эта теорема будет иметь варварское имя, незнакомое многим, но это неважно; что интересно для психолога, так это не теорема, а обстоятельства.

В течение пятнадцати дней я стремился доказать, что не может быть никаких функций, подобных тем, которые я с тех пор назвал фуксовыми функциями. Я был тогда очень невежественен; каждый день я садился за свой рабочий стол, оставался час или два, пробовал большое количество комбинаций и не достигал никаких результатов. Однажды вечером, вопреки своему обыкновению, я выпил черного кофе и не мог уснуть. Идеи возникали толпами; я чувствовал, как они сталкиваются, пока пары не сцеплялись, так сказать, образуя стабильную комбинацию. К следующему утру я установил существование класса фуксовых функций, тех, которые происходят из гипергеометрического ряда; мне оставалось только записать результаты, что заняло всего несколько часов.

Затем я захотел представить эти функции как частное двух рядов; эта идея была совершенно сознательной и обдуманной, аналогия с эллиптическими функциями направляла меня. Я спросил себя, какими свойствами должны обладать эти ряды, если бы они существовали, и я без труда преуспел в формировании рядов, которые я назвал тета-фуксовыми.

Как раз в это время я покинул Кан, где тогда жил, чтобы отправиться в геологическую экскурсию под эгидой Политехнической школы. Смена обстановки в путешествии заставила меня забыть о моей математической работе. Достигнув Кутанса, мы сели в омнибус, чтобы ехать куда-то еще. В тот момент, когда я поставил ногу на подножку, мне пришла идея, без того, чтобы что-либо в моих прежних мыслях, казалось, проложило к ней путь, что преобразования, которые я использовал для определения фуксовых функций, идентичны преобразованиям неевклидовой геометрии. Я не проверял эту идею; у меня не было бы времени, так как, заняв свое место в омнибусе, я продолжил уже начатый разговор, но я почувствовал совершенную уверенность. По возвращении в Кан, ради совести, я проверил результат на досуге.

Затем я обратил свое внимание на изучение некоторых арифметических вопросов, по-видимому, без особого успеха и без подозрения о какой-либо связи с моими предыдущими исследованиями. Разочарованный своей неудачей, я отправился провести несколько дней на морском побережье и думал о чем-то другом. Однажды утром, гуляя по утесу, мне пришла идея, с теми же характеристиками краткости, внезапности и немедленной уверенности, что арифметические преобразования неопределенных тернарных квадратичных форм идентичны преобразованиям неевклидовой геометрии.

Вернувшись в Кан, я размышлял над этим результатом и вывел следствия. Пример квадратичных форм показал мне, что существовали фуксовы группы, отличные от тех, которые соответствуют гипергеометрическому ряду; я увидел, что могу применить к ним теорию тета-фуксовых рядов и что, следовательно, существовали фуксовы функции, отличные от тех, что происходят из гипергеометрического ряда, тех, которые я тогда знал. Естественно, я поставил себе задачу сформировать все эти функции. Я предпринял систематическую атаку на них и взял все внешние укрепления, одно за другим. Было одно, однако, которое все еще держалось, падение которого повлекло бы за собой падение всего места. Но все мои усилия лишь поначалу послужили тому, чтобы лучше показать мне трудность, которая, действительно, была чем-то. Вся эта работа была совершенно сознательной.

После этого я уехал в Мон-Валерьен, где должен был проходить военную службу; так что я был занят совсем иначе. Однажды, идя по улице, решение трудности, которая меня останавливала, внезапно явилось мне. Я не пытался углубляться в него немедленно и только после службы снова взялся за этот вопрос. У меня были все элементы, и оставалось только расположить их и соединить вместе. Так я написал свой окончательный мемуар одним махом и без труда.

Я ограничусь этим единственным примером; бесполезно умножать их. В отношении моих других исследований мне пришлось бы сказать аналогичные вещи, и наблюдения других математиков, приведенные в «L'enseignement mathématique», только подтвердили бы их.

Наиболее поразительным поначалу является это появление внезапного озарения, явный признак долгой, бессознательной предварительной работы. Роль этой бессознательной работы в математическом изобретении кажется мне неоспоримой, и следы ее можно было бы найти в других случаях, где она менее очевидна. Часто, когда работаешь над трудным вопросом, при первой атаке ничего хорошего не достигается. Затем берешь отдых, более или менее долгий, и снова садишься за работу. В течение первого получаса, как и прежде, ничего не находится, а затем внезапно решающая идея представляется уму. Можно было бы сказать, что сознательная работа была более плодотворной, потому что она была прервана и отдых вернул уму его силу и свежесть. Но более вероятно, что этот отдых был заполнен бессознательной работой и что результат этой работы впоследствии открылся геометру точно так же, как в случаях, которые я привел; только откровение, вместо того чтобы прийти во время прогулки или путешествия, произошло во время периода сознательной работы, но независимо от этой работы, которая играет самое большее роль возбудителя, как если бы она была стрекалом, стимулирующим результаты, уже достигнутые во время отдыха, но остающиеся бессознательными, принять сознательную форму.

Есть еще одно замечание, которое нужно сделать об условиях этой бессознательной работы: она возможна, и, безусловно, она плодотворна только в том случае, если она, с одной стороны, предваряется, а с другой стороны, сопровождается периодом сознательной работы. Эти внезапные вдохновения (и приведенные примеры достаточно доказывают это) никогда не случаются иначе, как после нескольких дней добровольного усилия, которое казалось абсолютно бесплодным и из которого, кажется, ничего хорошего не вышло, где выбранный путь кажется совершенно сбившимся. Эти усилия, значит, не были такими стерильными, как думают; они привели в движение бессознательную машину, и без них она не сдвинулась бы и ничего не произвела бы.

Необходимость второго периода сознательной работы, после вдохновения, еще легче понять. Необходимо придать форму результатам этого вдохновения, вывести из них непосредственные следствия, расположить их, сформулировать доказательства, но прежде всего необходима проверка. Я говорил о чувстве абсолютной уверенности, сопровождающем вдохновение; в приведенных случаях это чувство не было обманщиком, как не является оно обычно. Но не думайте, что это правило без исключения; часто это чувство обманывает нас, не будучи при этом менее ярким, и мы обнаруживаем это только тогда, когда пытаемся осуществить доказательство. Я особенно заметил этот факт в отношении идей, приходящих ко мне утром или вечером в постели, находясь в полугипнагогическом состоянии.

Таковы реалии; теперь о мыслях, которые они нам навязывают. Бессознательное, или, как мы говорим, подсознательное «я» играет важную роль в математическом творчестве; это следует из того, что мы сказали. Но обычно подсознательное «я» рассматривается как чисто автоматическое. Теперь мы видели, что математическая работа — это не просто механическая работа, что она не могла бы быть выполнена машиной, какой бы совершенной она ни была. Это не просто вопрос применения правил, создания как можно большего количества комбинаций согласно определенным фиксированным законам. Комбинации, полученные таким образом, были бы чрезвычайно многочисленны, бесполезны и обременительны. Истинная работа изобретателя состоит в выборе среди этих комбинаций, чтобы устранить бесполезные или, вернее, избежать труда по их созданию, и правила, которые должны направлять этот выбор, чрезвычайно тонкие и деликатные. Почти невозможно сформулировать их точно; они скорее чувствуются, чем формулируются. В этих условиях как представить себе сито, способное применять их механически?

Первая гипотеза теперь представляется сама собой: подсознательное «я» ни в чем не уступает сознательному «я»; оно не чисто автоматическое; оно способно к различению; оно обладает тактом, деликатностью; оно знает, как выбирать, как прозревать. Что я говорю? Оно лучше умеет прозревать, чем сознательное «я», поскольку оно преуспевает там, где последнее потерпело неудачу. Одним словом, не является ли подсознательное «я» высшим по отношению к сознательному «я»? Вы узнаете всю важность этого вопроса. Бутру в недавней лекции показал, как он возник по совершенно другому поводу и какие последствия повлек бы за собой утвердительный ответ. (См. также того же автора, Science et Religion, стр. 313 и сл.)

Навязывается ли нам этот утвердительный ответ фактами, которые я только что привел? Признаюсь, что я, со своей стороны, не хотел бы его принимать. Пересмотрите факты тогда и посмотрите, не совместимы ли они с другим объяснением.

Несомненно, что комбинации, которые представляются уму в своего рода внезапном озарении, после несколько затянувшейся бессознательной работы, являются, как правило, полезными и плодотворными комбинациями, которые кажутся результатом первого впечатления. Следует ли из этого, что подсознательное «я», прозрев благодаря тонкой интуиции, что эти комбинации будут полезны, сформировало только их, или оно, скорее, сформировало многие другие, которые не представляли интереса и остались бессознательными?

При таком втором взгляде на вещи все комбинации формировались бы вследствие автоматизма подсознательного «я», но только интересные прорывались бы в область сознания. И это все еще очень загадочно. Что является причиной того, что среди тысячи продуктов нашей бессознательной деятельности некоторые призваны пересечь порог, в то время как другие остаются внизу? Простая ли это случайность, которая дарует эту привилегию? Очевидно, нет; среди всех стимулов наших чувств, например, только самые интенсивные фиксируют наше внимание, если только оно не было привлечено к ним другими причинами. Более общо, привилегированные бессознательные явления, те, что способны стать сознательными, — это те, которые прямо или косвенно затрагивают наиболее глубоко нашу эмоциональную чувствительность.

Может быть удивительно видеть, что эмоциональная чувствительность призывается à propos математических доказательств, которые, казалось бы, могут интересовать только интеллект. Это означало бы забыть о чувстве математической красоты, гармонии чисел и форм, геометрической элегантности. Это истинное эстетическое чувство, которое знают все настоящие математики, и, безусловно, оно принадлежит к эмоциональной чувствительности.

Теперь, что это за математические сущности, которым мы приписываем этот характер красоты и элегантности и которые способны развивать в нас своего рода эстетическую эмоцию? Это те, чьи элементы гармонично расположены так, что ум без усилий может охватить их совокупность, осознавая при этом детали. Эта гармония — одновременно удовлетворение наших эстетических потребностей и помощь уму, поддерживающая и направляющая; и в то же время, представляя нашим глазам хорошо упорядоченное целое, она заставляет нас предвидеть математический закон. Теперь, как мы сказали выше, единственные математические факты, достойные фиксации нашего внимания и способные быть полезными, — это те, которые могут научить нас математическому закону. Так что мы приходим к следующему выводу: полезные комбинации — это именно самые красивые, я имею в виду те, которые лучше всего способны очаровать эту особую чувствительность, которую знают все математики, но о которой профаны настолько невежественны, что часто склонны улыбаться ей.

Что происходит тогда? Среди огромного количества комбинаций, слепо сформированных подсознательным «я», почти все лишены интереса и полезности; но именно по этой причине они также лишены воздействия на эстетическую чувствительность. Сознание никогда не узнает их; только некоторые из них гармоничны и, следовательно, одновременно полезны и красивы. Они будут способны затронуть эту особую чувствительность геометра, о которой я только что говорил, и которая, будучи однажды возбужденной, привлечет наше внимание к ним и, таким образом, даст им повод стать сознательными.

Это лишь гипотеза, и все же вот наблюдение, которое может подтвердить ее: когда внезапное озарение охватывает ум математика, обычно случается, что оно не обманывает его, но также иногда случается, как я сказал, что оно не выдерживает проверки верификацией; что ж, мы почти всегда замечаем, что эта ложная идея, будь она истинной, удовлетворила бы наше естественное чувство математической элегантности.

Таким образом, именно эта особая эстетическая чувствительность играет роль деликатного сита, о котором я говорил, и это достаточно объясняет, почему тот, кто лишен ее, никогда не будет настоящим творцом.

И все же не все трудности исчезли. Сознательное «я» узко ограничено, а что касается подсознательного «я», мы не знаем его ограничений, и именно поэтому мы не слишком неохотно предполагаем, что оно было способно за короткое время сделать больше различных комбинаций, чем вся жизнь сознательного существа могла бы охватить. И все же эти ограничения существуют. Вероятно ли, что оно способно сформировать все возможные комбинации, число которых напугало бы воображение? Тем не менее это казалось бы необходимым, потому что если оно производит лишь малую часть этих комбинаций и если оно делает их наугад, было бы мало шансов, что «хорошая», та, которую мы должны были бы выбрать, оказалась бы среди них.

Возможно, нам следует искать объяснение в том предварительном периоде сознательной работы, который всегда предшествует всякому плодотворному бессознательному труду. Позвольте мне грубое сравнение. Представьте будущие элементы наших комбинаций как нечто вроде крючковатых атомов Эпикура. Во время полного покоя ума эти атомы неподвижны, они, так сказать, прицеплены к стене; так что этот полный покой может быть неопределенно долгим без того, чтобы атомы встретились, и, следовательно, без какой-либо комбинации между ними.

С другой стороны, во время периода кажущегося покоя и бессознательной работы некоторые из них отрываются от стены и приводятся в движение. Они проносятся во всех направлениях через пространство (я собирался сказать комнату), где они заключены, как это делал бы, например, рой мошек или, если вы предпочитаете более ученое сравнение, как молекулы газа в кинетической теории газов. Тогда их взаимные столкновения могут породить новые комбинации.

Какова роль предварительной сознательной работы? Она, очевидно, заключается в том, чтобы мобилизовать некоторые из этих атомов, отцепить их от стены и привести в движение. Мы думаем, что не сделали ничего хорошего, потому что перемещали эти элементы тысячей разных способов, пытаясь собрать их, и не нашли удовлетворительного агрегата. Но после этого встряхивания, навязанного им нашей волей, эти атомы не возвращаются к своему первобытному покою. Они свободно продолжают свой танец.

Теперь, наша воля не выбирала их наугад; она преследовала совершенно определенную цель. Мобилизованные атомы, следовательно, не какие-либо атомы вообще; это те, от которых мы могли бы разумно ожидать желаемого решения. Затем мобилизованные атомы подвергаются ударам, которые заставляют их вступать в комбинации между собой или с другими атомами в покое, о которые они ударились на своем пути. Снова прошу прощения, мое сравнение очень грубое, но я едва ли знаю, как иначе сделать мою мысль понятной.

Как бы то ни было, единственные комбинации, которые имеют шанс сформироваться, — это те, где по крайней мере один из элементов является одним из тех атомов, что свободно выбраны нашей волей. И очевидно, что именно среди них находится то, что я назвал «удачной комбинацией». Возможно, это способ смягчить парадоксальность исходной гипотезы.

Еще одно наблюдение. Никогда не бывает так, чтобы бессознательная работа давала нам результат сколько-нибудь длинного вычисления «в готовом виде», где нам остается лишь применить фиксированные правила. Можно было бы подумать, что полностью автоматическое подсознательное «я» особенно приспособлено для такого рода работы, которая в некотором смысле является исключительно механической. Казалось бы, размышляя вечером над множителями, можно было бы надеяться найти произведение уже готовым при пробуждении, или же что алгебраическое вычисление, например, проверка, будет выполнено бессознательно. Ничего подобного, как доказывает наблюдение. Все, на что можно надеяться от этих озарений, плодов бессознательной работы, — это отправная точка для таких вычислений. Что касается самих вычислений, то они должны быть выполнены во второй период сознательной работы, тот, который следует за озарением, в котором мы проверяем результаты этого озарения и выводим их следствия. Правила этих вычислений строги и сложны. Они требуют дисциплины, внимания, воли, а значит, и сознания. В подсознательном «я», напротив, царит то, что я назвал бы свободой, если бы мы могли дать это имя простому отсутствию дисциплины и беспорядку, рожденному случаем. Только этот беспорядок сам по себе допускает неожиданные комбинации.

Сделаю последнее замечание: когда выше я приводил некоторые личные наблюдения, я говорил о ночи возбуждения, когда я работал вопреки самому себе. Такие случаи часты, и вовсе не обязательно, чтобы ненормальная мозговая деятельность была вызвана физическим возбудителем, как в том случае, о котором я упоминал. Кажется, что в таких случаях человек присутствует при своей собственной бессознательной работе, ставшей частично ощутимой для перевозбужденного сознания, но при этом не изменившей своей природы. Тогда мы смутно понимаем, что отличает два механизма или, если хотите, методы работы двух «я». И психологические наблюдения, которые я смог таким образом сделать, представляются мне подтверждающими в общих чертах те взгляды, которые я изложил.

Безусловно, они нуждаются в этом, ибо они являются и остаются, несмотря ни на что, весьма гипотетичными: интерес к этим вопросам настолько велик, что я не раскаиваюсь в том, что представил их на суд читателя.

ГЛАВА IV

Случай

I

«Как мы смеем говорить о законах случая? Разве случай не является антитезой всякого закона?» Так говорит Бертран в начале своего «Исчисления вероятностей». Вероятность противопоставляется достоверности; следовательно, это то, чего мы не знаем, и, как следствие, кажется, что это то, что мы не могли бы вычислить. Здесь, по крайней мере по видимости, содержится противоречие, и о нем уже много написано.

И прежде всего, что такое случай? Древние различали явления, по-видимому, подчиняющиеся гармоничным законам, установленным раз и навсегда, и те, которые они приписывали случаю; это были явления непредсказуемые, ибо они не подчинялись никакому закону. В каждой области точные законы не решали всего, они лишь проводили границы, внутри которых мог действовать случай. В этой концепции слово «случай» имело точное и объективное значение; то, что было случаем для одного, было случаем и для другого, и даже для богов.

Но эта концепция сегодня не наша. Мы стали абсолютными детерминистами, и даже те, кто хочет сохранить права человеческой свободы воли, позволяют детерминизму безраздельно царить, по крайней мере, в неорганическом мире. Каждое явление, как бы оно ни было мало, имеет причину; и разум, бесконечно мощный, бесконечно хорошо осведомленный о законах природы, мог бы предвидеть его с начала веков. Если бы такой разум существовал, мы не могли бы играть с ним ни в какие азартные игры; мы всегда бы проигрывали.

На самом деле для него слово «случай» не имело бы никакого значения, или, вернее, не было бы никакого случая. Именно из-за нашей слабости и нашего невежества это слово имеет для нас значение. И даже не выходя за пределы нашего слабого человечества, то, что является случаем для невежды, не является случаем для ученого. Случай — это лишь мера нашего невежества. Случайные явления — это, по определению, те, законы которых мы не знаем.

Но является ли это определение вполне удовлетворительным? Когда первые халдейские пастухи следили глазами за движением звезд, они еще не знали законов астрономии; стали бы они мечтать о том, чтобы сказать, что звезды движутся наугад? Если современный физик изучает новое явление и если он открывает его закон во вторник, сказал бы он в понедельник, что это явление было случайным? Более того, разве мы часто не ссылаемся на то, что Бертран называет законами случая, чтобы предсказать явление? Например, в кинетической теории газов мы получаем известные законы Мариотта и Гей-Люссака с помощью гипотезы о том, что скорости молекул газа изменяются нерегулярно, то есть наугад. Все физики согласятся, что наблюдаемые законы были бы гораздо менее простыми, если бы скорости управлялись каким-либо простым элементарным законом, если бы молекулы были, как мы говорим, «организованными», если бы они подчинялись какой-то дисциплине. Именно благодаря случаю, то есть нашему невежеству, мы можем делать наши выводы; и тогда, если слово «случай» просто синонимично невежеству, что это означает? Должны ли мы поэтому переводить следующим образом?

«Вы просите меня предсказать для вас явления, которые должны произойти. Если бы, к несчастью, я знал законы этих явлений, я мог бы сделать предсказание только путем запутанных вычислений и должен был бы отказаться от попытки ответить вам; но так как мне посчастливилось их не знать, я отвечу вам немедленно. И что самое удивительное, мой ответ будет верным».

Значит, должно быть, случай — это нечто иное, чем имя, которое мы даем нашему невежеству, что среди явлений, причины которых нам неизвестны, мы должны отличать случайные явления, о которых исчисление вероятностей даст предварительную информацию, от тех, которые не являются случайными и о которых мы ничего не можем сказать, пока не определим законы, управляющие ими. Что касается самих случайных явлений, то ясно, что информация, данная нам исчислением вероятностей, не перестанет быть истинной в тот день, когда эти явления станут лучше известны.

Директор компании по страхованию жизни не знает, когда умрет каждый из застрахованных, но он полагается на исчисление вероятностей и закон больших чисел, и он не обманывается, поскольку распределяет дивиденды своим акционерам. Эти дивиденды не исчезли бы, если бы очень проницательный и очень нескромный врач после подписания полисов раскрыл директору шансы на жизнь застрахованных. Этот врач рассеял бы невежество директора, но он не оказал бы никакого влияния на дивиденды, которые, очевидно, не являются результатом этого невежества.

II

Чтобы найти лучшее определение случая, мы должны рассмотреть некоторые факты, которые мы соглашаемся считать случайными и к которым, по-видимому, применимо исчисление вероятностей; затем мы исследуем, каковы их общие характеристики.

Первый пример, который мы выбираем, — это пример неустойчивого равновесия; если конус стоит на своей вершине, мы хорошо знаем, что он упадет, но мы не знаем, в какую сторону; нам кажется, что только случай решит это. Если бы конус был идеально симметричным, если бы его ось была идеально вертикальной, если бы на него не действовала никакая иная сила, кроме гравитации, он бы вовсе не упал. Но малейший дефект симметрии заставит его слегка наклониться в ту или иную сторону, и если он наклонится, пусть даже немного, он упадет целиком в эту сторону. Даже если бы симметрия была идеальной, очень легкое сотрясение, дуновение ветра могли бы заставить его наклониться на несколько секунд дуги; этого будет достаточно, чтобы определить его падение и даже направление его падения, которое будет направлением начального наклона.

Очень слабая причина, которая ускользает от нас, определяет значительный эффект, который мы не можем не видеть, и тогда мы говорим, что этот эффект обусловлен случаем. Если бы мы могли точно знать законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение этой же Вселенной в последующий момент. Но даже когда законы природы не имели бы для нас больше никаких секретов, мы могли бы знать начальную ситуацию только «приблизительно». Если это позволяет нам предвидеть последующую ситуацию «с той же степенью приближения», это все, что нам требуется, мы говорим, что явление предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что незначительные различия в начальных условиях производят очень большие различия в конечных явлениях; небольшая ошибка в первых привела бы к огромной ошибке в последних. Предсказание становится невозможным, и мы имеем случайное явление.

Наш второй пример будет очень похож на первый, и мы возьмем его из метеорологии. Почему метеорологи с таким трудом предсказывают погоду с какой-либо уверенностью? Почему дожди, сами бури кажутся нам приходящими случайно, так что многие находят вполне естественным молиться о дожде или солнце, когда они сочли бы смешным молиться об затмении? Мы видим, что большие возмущения обычно происходят в регионах, где атмосфера находится в неустойчивом равновесии. Метеорологи знают, что это равновесие неустойчиво, что где-то зарождается циклон; но где — они не могут сказать; на одну десятую градуса больше или меньше в любой точке, и циклон разражается здесь, а не там, и распространяет свои разрушения на страны, которые он мог бы пощадить. Это мы могли бы предвидеть, если бы знали эту десятую долю градуса, но наблюдения были недостаточно близкими и недостаточно точными, и по этой причине все кажется делом случая. Здесь мы снова находим тот же контраст между очень слабой причиной, неразличимой для наблюдателя, и важными эффектами, которые иногда являются огромными бедствиями.

Перейдем к другому примеру — распределению малых планет по зодиаку. Их начальные долготы могли быть любыми долготами; но их средние движения были разными, и они вращались так долго, что мы можем сказать, что теперь они распределены «наугад» вдоль зодиака. Очень незначительные начальные различия между их расстояниями от Солнца, или, что то же самое, между их средними движениями, в конечном итоге привели к огромным различиям между их нынешними долготами. Превышение на тысячную долю секунды в ежедневном среднем движении даст, по сути, секунду за три года, градус за десять тысяч лет, целую окружность за три или четыре миллиона лет, и что это по сравнению со временем, прошедшим с тех пор, как малые планеты отделились от туманности Лапласа? Поэтому мы снова видим слабую причину и большой эффект; или, лучше, незначительные различия в причине и большие различия в эффекте.

Игра в рулетку не уводит нас так далеко, как могло бы показаться из предыдущего примера. Предположим, что стрелка вращается на оси над циферблатом, разделенным на сто секторов, попеременно красных и черных. Если она остановится на красном секторе, я выигрываю; если нет, я проигрываю. Очевидно, все зависит от начального импульса, который я придаю стрелке. Стрелка сделает, предположим, десять или двадцать оборотов, но она остановится раньше или позже в зависимости от того, сильнее или слабее я ее толкнул. Достаточно, чтобы импульс изменился всего на тысячную или двухтысячную долю, чтобы стрелка остановилась над черным сектором или над следующим красным. Это различия, которые мышечное чувство не может различить и которые ускользают даже от самых тонких инструментов. Поэтому мне невозможно предвидеть, что сделает стрелка, которую я запустил, и именно поэтому мое сердце бьется, и я жду всего от удачи. Разница в причине незаметна, а разница в эффекте для меня имеет высочайшее значение, поскольку она означает всю мою ставку.

III

Позвольте мне в этой связи высказать мысль, несколько чуждую моей теме. Несколько лет назад один философ сказал, что будущее определяется прошлым, но не прошлое будущим; или, другими словами, из знания настоящего мы могли бы вывести будущее, но не прошлое; потому что, сказал он, причина может иметь только один эффект, в то время как один и тот же эффект может быть произведен несколькими различными причинами. Ясно, что ни один ученый не может подписаться под этим выводом. Законы природы связывают антецедент с консеквентом таким образом, что антецедент так же хорошо определяется консеквентом, как консеквент антецедентом. Но откуда взялась ошибка этого философа? Мы знаем, что в силу принципа Карно физические явления необратимы и мир стремится к единообразию. Когда два тела разной температуры приходят в контакт, более теплое отдает тепло более холодному; поэтому мы можем предвидеть, что температура выровняется. Но однажды выровнявшись, если спросить о предыдущем состоянии, что мы можем ответить? Мы могли бы сказать, что одно было теплым, а другое холодным, но не смогли бы угадать, какое из них раньше было более теплым.

И все же в действительности температуры никогда не достигнут идеального равенства. Разница температур лишь асимптотически стремится к нулю. Наступает момент, когда наши термометры бессильны ее обнаружить. Но если бы у нас были термометры в тысячу, в сто тысяч раз более чувствительные, мы бы признали, что все еще существует небольшая разница и что одно из тел остается немного теплее другого, и так мы могли бы сказать, что именно оно раньше было гораздо более теплым.

Итак, существуют, вопреки тому, что мы обнаружили в предыдущих примерах, большие различия в причине и незначительные различия в эффекте. Фламмарион однажды вообразил наблюдателя, удаляющегося от Земли со скоростью, превышающей скорость света; для него время изменило бы знак. История повернулась бы вспять, и Ватерлоо предшествовало бы Аустерлицу. Что ж, для этого наблюдателя эффекты и причины были бы инвертированы; неустойчивое равновесие больше не было бы исключением. Из-за универсальной необратимости все казалось бы ему выходящим из своего рода хаоса в неустойчивом равновесии. Вся природа казалась бы ему отданной на волю случая.

IV

Теперь перейдем к другим примерам, где мы увидим несколько иные характеристики. Возьмем сначала кинетическую теорию газов. Как мы должны представлять себе сосуд, наполненный газом? Бесчисленные молекулы, движущиеся на высоких скоростях, проносятся через этот сосуд во всех направлениях. В каждое мгновение они ударяются о его стенки или друг о друга, и эти столкновения происходят в самых разнообразных условиях. Что прежде всего поражает нас здесь, так это не малость причин, а их сложность, и все же первый элемент все еще встречается здесь и играет важную роль. Если бы молекула отклонилась вправо или влево от своей траектории на очень малую величину, сравнимую с радиусом действия газовых молекул, она избежала бы столкновения или претерпела бы его в других условиях, и это изменило бы направление ее скорости после удара, возможно, на девяносто градусов или на сто восемьдесят градусов.

И это еще не все; мы только что видели, что необходимо отклонить молекулу перед столкновением лишь на бесконечно малую величину, чтобы произвести ее отклонение после столкновения на конечную величину. Если затем молекула претерпевает два последовательных удара, достаточно будет отклонить ее перед первым на бесконечно малую величину второго порядка, чтобы она отклонилась после первой встречи на бесконечно малую величину первого порядка, а после второго удара — на конечную величину. И молекула претерпит не просто два удара; она претерпит очень большое число ударов в секунду. Так что если первый удар умножил отклонение на очень большое число A, после n ударов оно будет умножено на A в степени n. Оно, следовательно, станет очень большим не только потому, что A велико, то есть потому, что малые причины производят большие эффекты, но потому, что показатель n велик, то есть потому, что удары очень многочисленны, а причины очень сложны.

Возьмем второй пример. Почему капли дождя в ливень кажутся распределенными наугад? Это опять же из-за сложности причин, которые определяют их формирование. Ионы распределены в атмосфере. Долгое время они подвергались воздействию постоянно меняющихся воздушных потоков, они были захвачены очень маленькими вихрями, так что их конечное распределение больше не имеет никакого отношения к их начальному распределению. Внезапно температура падает, пар конденсируется, и каждый из этих ионов становится центром капли дождя. Чтобы узнать, каким будет распределение этих капель и сколько их упадет на каждую мостовую, недостаточно было бы знать начальное положение ионов, необходимо было бы вычислить эффект тысячи маленьких капризных воздушных потоков.

И опять же то же самое, если мы поместим зерна порошка во взвешенное состояние в воде. Сосуд пронизан токами, закон которых мы не знаем, мы знаем только, что он очень сложен. По прошествии определенного времени зерна будут распределены наугад, то есть равномерно, в сосуде; и это происходит именно из-за сложности этих токов. Если бы они подчинялись какому-то простому закону, если бы, например, сосуд вращался и токи циркулировали вокруг оси сосуда, описывая круги, это было бы уже не так, поскольку каждое зерно сохранило бы свою начальную высоту и свое начальное расстояние от оси.

Мы пришли бы к тому же результату, рассматривая смешивание двух жидкостей или двух мелкозернистых порошков. И чтобы взять более грубый пример, это также то, что происходит, когда мы тасуем игральные карты. При каждом движении карты претерпевают перестановку (аналогичную той, что изучается в теории подстановок). Что произойдет? Вероятность конкретной перестановки (например, той, которая переносит на n-е место карту, занимавшую место φ(n) до перестановки) зависит от привычек игрока. Но если этот игрок тасует карты достаточно долго, будет большое число последовательных перестановок, и результирующий конечный порядок будет управляться ничем иным, как случаем; я хочу сказать, что все возможные порядки будут равновероятны. Именно большому числу последовательных перестановок, то есть сложности явления, обязан этот результат.

Последнее слово о теории ошибок. Здесь причины сложны и многочисленны. Каким только ловушкам не подвергается наблюдатель, даже с лучшим инструментом! Он должен приложить усилия, чтобы найти самые большие и избежать их. Именно они порождают систематические ошибки. Но когда он устранил их, допустим, что ему это удалось, остается много мелких, которые, накапливаясь, могут стать опасными. Отсюда происходят случайные ошибки; и мы приписываем их случаю, потому что их причины слишком сложны и слишком многочисленны. Здесь опять же у нас есть только малые причины, но каждая из них произвела бы лишь незначительный эффект; именно благодаря их объединению и их количеству их эффекты становятся грозными.

V

Мы можем принять еще третью точку зрения, менее важную, чем первые две, и на которой я буду меньше настаивать. Когда мы стремимся предвидеть событие и исследуем его антецеденты, мы стараемся вникнуть в предыдущую ситуацию. Это не могло быть сделано для всех частей Вселенной, и мы довольствуемся тем, что знаем, что происходит в окрестности точки, где должно произойти событие, или что, по-видимому, имеет к нему какое-то отношение. Исследование не может быть полным, и мы должны уметь выбирать. Но может случиться так, что мы прошли мимо обстоятельств, которые на первый взгляд казались совершенно чуждыми предвидимому событию, которым никто никогда не мечтал приписать какое-либо влияние и которые, тем не менее, вопреки всем ожиданиям, начинают играть важную роль.

Человек идет по улице по своим делам; кто-то, знающий эти дела, мог бы сказать, почему он вышел в такое время и пошел по такой улице. На крыше работает кровельщик. Подрядчик, нанимающий его, мог в известной мере предвидеть, что он будет делать. Но прохожий едва ли думает о кровельщике, а кровельщик о нем; они кажутся принадлежащими к двум мирам, совершенно чуждым друг другу. И все же кровельщик роняет черепицу, которая убивает человека, и мы без колебаний говорим, что это случай.

Наша слабость запрещает нам рассматривать всю Вселенную и заставляет нас разрезать ее на части. Мы стараемся делать это как можно менее искусственно. И все же время от времени случается, что две из этих частей реагируют друг на друга. Эффекты этого взаимного действия тогда кажутся нам обусловленными случаем.

Является ли это третьим способом понимания случая? Не всегда; на самом деле чаще всего мы возвращаемся к первому или второму. Всякий раз, когда два мира, обычно чуждые друг другу, приходят таким образом к взаимодействию друг с другом, законы этой реакции должны быть очень сложными. С другой стороны, очень незначительного изменения в начальных условиях этих двух миров было бы достаточно, чтобы реакция не произошла. Как мало нужно было для того, чтобы человек прошел секундой позже или кровельщик уронил свою черепицу секундой раньше.

VI

Все, что мы сказали, все еще не объясняет, почему случай подчиняется законам. Достаточно ли того факта, что причины незначительны или сложны, для того чтобы мы предвидели, если не их эффекты «в каждом случае», то по крайней мере то, какими будут их эффекты «в среднем»? Чтобы ответить на этот вопрос, нам лучше вернуться к некоторым из уже упомянутых примеров.

Я начну с примера рулетки. Я сказал, что точка, в которой остановится стрелка, зависит от начального толчка, приданного ей. Какова вероятность того, что этот толчок будет иметь то или иное значение? Я ничего об этом не знаю, но мне трудно не предположить, что эта вероятность представлена непрерывной аналитической функцией. Вероятность того, что толчок заключен между α и α + ε, будет тогда заметно равна вероятности того, что он заключен между α + ε и α + 2ε, при условии, что ε очень мало. Это свойство, общее для всех аналитических функций. Минутные вариации функции пропорциональны минутным вариациям переменной.

Но мы предположили, что чрезвычайно незначительного изменения толчка достаточно, чтобы изменить цвет сектора, над которым стрелка в конечном итоге останавливается. От α до α + ε он красный, от α + ε до α + 2ε он черный; вероятность каждого красного сектора поэтому такая же, как и следующего черного, и, следовательно, общая вероятность красного равна общей вероятности черного.

Данными вопроса является аналитическая функция, представляющая вероятность конкретного начального толчка. Но теорема остается верной, каковы бы ни были эти данные, поскольку она зависит от свойства, общего для всех аналитических функций. Из этого следует, наконец, что нам больше не нужны данные.

То, что мы только что сказали для случая рулетки, применимо также к примеру малых планет. Зодиак можно рассматривать как огромную рулетку, на которую было брошено много маленьких шариков с различными начальными импульсами, изменяющимися согласно какому-то закону. Их нынешнее распределение равномерно и не зависит от этого закона, по той же причине, что и в предыдущем случае. Таким образом, мы видим, почему явления подчиняются законам случая, когда незначительных различий в причинах достаточно, чтобы вызвать большие различия в эффектах. Вероятности этих незначительных различий могут тогда рассматриваться как пропорциональные самим этим различиям, просто потому, что эти различия минутны, а бесконечно малые приращения непрерывной функции пропорциональны приращениям переменной.

Возьмем совершенно другой пример, где вмешивается особенно сложность причин. Предположим, игрок тасует колоду карт. При каждой тасовке он меняет порядок карт, и он может менять их многими способами. Чтобы упростить изложение, рассмотрим только три карты. Карты, которые до тасовки занимали соответственно места 123, могут после тасовки занимать места

123, 231, 312, 321, 132, 213.

Каждая из этих шести гипотез возможна, и они имеют соответственно вероятности:

p1, p2, p3, p4, p5, p6.

Сумма этих шести чисел равна 1; но это все, что мы о них знаем; эти шесть вероятностей зависят, естественно, от привычек игрока, которых мы не знаем.

При второй тасовке и последующих это начнется снова, и при тех же условиях; я имею в виду, что p4, например, всегда представляет вероятность того, что три карты, которые занимали после n-й тасовки и до n+1-й места 123, занимают места 321 после n+1-й тасовки. И это остается верным, каким бы ни было число n, поскольку привычки игрока и его способ тасования остаются прежними.

Но если число тасовок очень велико, карты, которые до первой тасовки занимали места 123, могут после последней тасовки занимать места

123, 231, 312, 321, 132, 213

и вероятность этих шести гипотез будет заметно одинаковой и равной 1/6; и это будет верно, какими бы ни были числа p1...p6, которых мы не знаем. Большое число тасовок, то есть сложность причин, произвело единообразие.

Это применимо без изменений, если карт больше трех, но даже с тремя картами демонстрация была бы сложной; пусть будет достаточно привести ее только для двух карт. Тогда у нас есть только две возможности 12, 21 с вероятностями p1 и p2 = 1 − p1.

Предположим n тасовок и предположим, что я выигрываю один франк, если карты в конечном итоге в исходном порядке, и проигрываю один, если они в конечном итоге инвертированы. Тогда мое математическое ожидание будет (p1 − p2) в степени n.

Разность p1 − p2, безусловно, меньше 1; так что если n очень велико, мое ожидание будет равно нулю; нам не нужно узнавать p1 и p2, чтобы понять, что игра справедлива.

Всегда было бы исключение, если бы одно из чисел p1 и p2 было равно 1, а другое нулю. Тогда это не было бы применимо, потому что наши начальные гипотезы были бы слишком простыми.

То, что мы только что видели, применимо не только к смешиванию карт, но и ко всем смешиваниям, к смешиваниям порошков и жидкостей; и даже к смешиваниям молекул газов в кинетической теории газов.

Возвращаясь к этой теории, предположим на мгновение газ, молекулы которого не могут взаимно сталкиваться, но могут отклоняться, ударяясь о внутренние стенки сосуда, в котором заключен газ. Если форма сосуда достаточно сложна, распределение молекул и распределение скоростей не замедлят стать равномерными. Но это будет не так, если сосуд сферический или если он имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Почему? Потому что в первом случае расстояние от центра до любой траектории останется постоянным; во втором случае это будет абсолютное значение угла каждой траектории с гранями параллелепипеда.

Итак, мы видим, что следует понимать под условиями «слишком простыми»; это те, которые сохраняют что-то, которые оставляют инвариант. Являются ли дифференциальные уравнения задачи слишком простыми для того, чтобы мы могли применить законы случая? Этот вопрос на первый взгляд кажется лишенным точного смысла; теперь мы знаем, что он означает. Они слишком просты, если они сохраняют что-то, если они допускают равномерный интеграл. Если что-то в начальных условиях остается неизменным, ясно, что конечная ситуация больше не может быть независимой от начальной ситуации.

Мы приходим, наконец, к теории ошибок. Мы не знаем, чем обусловлены случайные ошибки, и именно потому, что мы не знаем, мы осознаем, что они подчиняются закону Гаусса. Таков парадокс. Объяснение почти такое же, как в предыдущих случаях. Нам нужно знать только одно: что ошибки очень многочисленны, что они очень незначительны, что каждая может быть как отрицательной, так и положительной. Какова кривая вероятности каждой из них? Мы не знаем; мы только предполагаем, что она симметрична. Мы доказываем затем, что результирующая ошибка будет следовать закону Гаусса, и этот результирующий закон не зависит от частных законов, которых мы не знаем. Здесь опять же простота результата рождается из самой сложности данных.

VII

Но мы еще не закончили с парадоксами. Я только что напомнил вымысел Фламмариона, человека, движущегося быстрее света, для которого время меняет знак. Я сказал, что для него все явления казались бы обусловленными случаем. Это верно с определенной точки зрения, и все же все эти явления в данный момент не были бы распределены в соответствии с законами случая, поскольку распределение было бы таким же, как для нас, которые, видя, как они разворачиваются гармонично и не выходя из первобытного хаоса, не рассматриваем их как управляемые случаем.

Что это значит? Для Люмена, человека Фламмариона, малые причины кажутся производящими большие эффекты; почему дела не идут так, как у нас, когда мы думаем, что видим великие эффекты, обусловленные малыми причинами? Не было бы то же рассуждение применимо в его случае?

Вернемся к аргументу. Когда незначительные различия в причинах производят огромные различия в эффектах, почему эти эффекты распределены согласно законам случая? Предположим, разница в миллиметр в причине производит разницу в километр в эффекте. Если я выигрываю в случае, если эффект соответствует километру с четным номером, моя вероятность выигрыша будет 1/2. Почему? Потому что для этого причина должна соответствовать миллиметру с четным номером. Теперь, по всем признакам, вероятность того, что причина варьируется между определенными пределами, будет пропорциональна расстоянию между этими пределами, при условии, что это расстояние очень мало. Если бы эта гипотеза не была допущена, не было бы никакого способа представить вероятность непрерывной функцией.

Что теперь произойдет, когда великие причины производят малые эффекты? Это случай, когда мы не должны приписывать явление случаю и где, наоборот, Люмен приписал бы его случаю. Разнице в километр в причине соответствовала бы разница в миллиметр в эффекте. Была бы вероятность того, что причина заключена между двумя пределами, отстоящими на n километров, все еще пропорциональна n? У нас нет оснований так полагать, поскольку это расстояние, n километров, велико. Но вероятность того, что эффект лежит между двумя пределами, отстоящими на n миллиметров, будет точно такой же, так что она не будет пропорциональна n, даже если это расстояние, n миллиметров, мало. Поэтому нет способа представить закон вероятности эффектов непрерывной кривой. Эта кривая, поймите, может оставаться непрерывной в «аналитическом» смысле слова; бесконечно малым вариациям абсциссы будут соответствовать бесконечно малые вариации ординаты. Но «практически» она не будет непрерывной, поскольку очень малые вариации ординаты не соответствовали бы очень малым вариациям абсциссы. Стало бы невозможно прочертить кривую обычным карандашом; вот что я имею в виду.