«Основы науки: Наука и гипотеза, Ценность науки, Наука и метод»

Итак, к чему мы должны прийти? Люмен не имеет права говорить, что вероятность причины (его причины, нашего эффекта) должна быть представлена обязательно непрерывной функцией. Но тогда почему у нас есть это право? Это потому, что это состояние неустойчивого равновесия, которое мы называли начальным, само по себе является лишь конечным результатом долгой предыдущей истории. В ходе этой истории сложные причины работали долгое время: они способствовали созданию смеси элементов и стремились сделать все единообразным, по крайней мере, в пределах небольшой области; они сгладили углы, выровняли холмы и заполнили долины. Каким бы капризным и нерегулярным ни была примитивная кривая, отданная им, они работали так много над тем, чтобы сделать ее регулярной, что в конечном итоге они доставляют нам непрерывную кривую. И именно поэтому мы можем со всей уверенностью предположить ее непрерывность.

У Люмена не было бы тех же причин для такого вывода. Для него сложные причины не казались бы агентами выравнивания и регулярности, а, наоборот, создавали бы только неравенство и дифференциацию. Он увидел бы мир, все более и более разнообразный, выходящий из своего рода примитивного хаоса. Изменения, которые он мог бы наблюдать, были бы для него непредвиденными и невозможными для предвидения. Они казались бы ему обусловленными тем или иным капризом; но этот каприз был бы совсем не похож на наш случай, поскольку он был бы противоположен всякому закону, в то время как наш случай все еще имеет свои законы. Все эти пункты требуют длительных объяснений, которые, возможно, помогли бы лучше понять необратимость Вселенной.

VIII

Мы стремились определить случай, и теперь уместно задать вопрос. Обладает ли случай, определенный таким образом, насколько это возможно, объективностью?

Это можно поставить под сомнение. Я говорил об очень незначительных или очень сложных причинах. Но то, что очень мало для одного, может быть очень большим для другого, и то, что кажется очень сложным одному, может казаться простым другому. Отчасти я уже ответил, сказав точно, в каких случаях дифференциальные уравнения становятся слишком простыми для того, чтобы законы случая оставались применимыми. Но уместно рассмотреть этот вопрос немного ближе, потому что мы можем принять еще другие точки зрения.

Что означает фраза «очень незначительный»? Чтобы понять ее, нам нужно только вернуться к тому, что уже было сказано. Разница очень незначительна, интервал очень мал, когда в пределах этого интервала вероятность остается заметно постоянной. И почему эта вероятность может рассматриваться как постоянная в пределах малого интервала? Это потому, что мы предполагаем, что закон вероятности представлен непрерывной кривой, непрерывной не только в аналитическом смысле, но «практически» непрерывной, как уже объяснялось. Это означает, что она не только не представляет никакого абсолютного разрыва, но что у нее нет ни слишком острых, ни слишком акцентированных выступов или впадин.

И что дает нам право делать эту гипотезу? Мы уже сказали, что это потому, что с начала времен всегда существовали сложные причины, непрестанно действующие одним и тем же образом и заставляющие мир стремиться к единообразию, никогда не имея возможности повернуть вспять. Это причины, которые мало-помалу сгладили выступы и заполнили впадины, и именно поэтому наши кривые вероятности теперь показывают только пологие волны. Через миллиарды миллиардов веков будет сделан еще один шаг к единообразию, и эти волны будут в десять раз более пологими; радиус средней кривизны нашей кривой станет в десять раз больше. И тогда такая длина, которая кажется нам сегодня не очень малой, поскольку на нашей кривой дуга этой длины не может рассматриваться как прямолинейная, должна, наоборот, в ту эпоху называться очень малой, поскольку кривизна станет в десять раз меньше, и дуга этой длины может быть заметно отождествлена с отрезком.

Таким образом, фраза «очень незначительный» остается относительной; но она не относительна к тому или иному человеку, она относительна к актуальному состоянию мира. Она изменит свое значение, когда мир станет более единообразным, когда все вещи смешаются еще больше. Но тогда, несомненно, люди больше не смогут жить и должны будут уступить место другим существам — должен ли я сказать, гораздо меньшим или гораздо большим? Так что наш критерий, оставаясь верным для всех людей, сохраняет объективный смысл.

А с другой стороны, что означает фраза «очень сложный»? Я уже дал одно решение, но есть и другие. Сложные причины, как мы сказали, производят смесь все более и более интимную, но через какое время эта смесь удовлетворит нас? Когда она накопит достаточную сложность? Когда мы достаточно перетасуем карты? Если мы смешаем два порошка, один синий, другой белый, наступает момент, когда оттенок смеси кажется нам равномерным из-за слабости наших чувств; он будет равномерным для дальнозоркого, вынужденного смотреть издалека, прежде чем он станет таковым для близорукого. И когда он станет равномерным для всех глаз, мы все еще могли бы отодвинуть предел с помощью инструментов. Нет шансов для какого-либо человека когда-либо различить бесконечное разнообразие, которое, если кинетическая теория верна, скрывается под равномерным видом газа. И все же, если мы примем идеи Гуи о броуновском движении, не кажется ли микроскоп близким к тому, чтобы показать нам что-то аналогичное?

Этот новый критерий поэтому относителен, как и первый; и если он сохраняет объективный характер, то это потому, что все люди имеют примерно одинаковые чувства, мощность их инструментов ограничена, и, кроме того, они используют их только в исключительных случаях.

IX

То же самое происходит в моральных науках и, в частности, в истории. Историк обязан сделать выбор среди событий эпохи, которую он изучает; он рассказывает только те, которые кажутся ему наиболее важными. Он поэтому довольствуется тем, что излагает наиболее важные события шестнадцатого века, например, как и наиболее примечательные факты семнадцатого века. Если первые достаточны для объяснения вторых, мы говорим, что они соответствуют законам истории. Но если великое событие семнадцатого века имеет своей причиной малый факт шестнадцатого века, о котором не сообщает ни одна история, который все пренебрегли, тогда мы говорим, что это событие обусловлено случаем. Это слово имеет поэтому тот же смысл, что и в физических науках; оно означает, что малые причины произвели большие эффекты.

Самый большой случай — это рождение великого человека. Только случайно происходит встреча двух зародышевых клеток, разного пола, содержащих точно, каждая со своей стороны, таинственные элементы, чья взаимная реакция должна произвести гения. Согласятся, что эти элементы должны быть редкими и что их встреча еще более редка. Как мало нужно было, чтобы отклонить с пути несущий сперматозоид. Достаточно было бы отклонить его на десятую долю миллиметра, и Наполеон не родился бы, и судьбы континента были бы изменены. Никакой пример не может лучше заставить нас понять истинные характеристики случая.

Еще одно слово о парадоксах, вызванных применением исчисления вероятностей к моральным наукам. Было доказано, что ни одна Палата депутатов никогда не обойдется без члена оппозиции, или, по крайней мере, такое событие было бы настолько невероятным, что мы могли бы без страха поставить обратное и поспорить на миллион против су.

Кондорсе стремился вычислить, сколько присяжных потребовалось бы, чтобы сделать судебную ошибку практически невозможной. Если бы мы использовали результаты этого вычисления, мы, безусловно, подверглись бы тем же разочарованиям, что и при ставке, на веру в исчисление, что оппозиция никогда не останется без представителя.

Законы случая не применимы к этим вопросам. Если правосудие не всегда вершится в соответствии с лучшими доводами, оно использует меньше, чем мы думаем, метод Бридуа. Это, возможно, прискорбно, ибо тогда система Кондорсе защитила бы нас от судебных ошибок.

Что это означает? Мы склонны приписывать факты такого рода случаю, потому что их причины неясны; но это не истинный случай. Причины неизвестны нам, это правда, и они даже сложны; но они недостаточно сложны, поскольку они сохраняют что-то. Мы видели, что именно это отличает причины «слишком простые». Когда люди собираются вместе, они больше не решают наугад и независимо друг от друга; они влияют друг на друга. В действие вступают мультиплексные причины. Они беспокоят людей, увлекая их вправо или влево, но есть одна вещь, которую они не могут разрушить, это их привычки стада овец Панурга. И это инвариант.

X

Трудности действительно связаны с применением исчисления вероятностей к точным наукам. Почему десятичные дроби таблицы логарифмов, почему десятичные дроби числа π распределены в соответствии с законами случая? В другом месте я уже изучал этот вопрос в той мере, в какой он касается логарифмов, и там это легко. Ясно, что небольшая разница аргумента даст небольшую разницу логарифма, но большую разницу в шестом десятичном знаке логарифма. Всегда мы находим тот же критерий.

Но что касается числа π, это представляет больше трудностей, и у меня в данный момент нет ничего стоящего, чтобы сказать.

Было бы много других вопросов для решения, если бы я хотел взяться за них до решения того, который я более специально поставил перед собой. Когда мы достигаем простого результата, когда мы находим, например, круглое число, мы говорим, что такой результат не может быть обусловлен случаем, и мы ищем для его объяснения неслучайную причину. И на самом деле существует лишь очень небольшая вероятность того, что среди 10 000 чисел случай даст круглое число; например, число 10 000. Это имеет только один шанс из 10 000. Но существует только один шанс из 10 000 для появления любого другого одного числа; и все же этот результат не удивит нас, и нам не будет трудно приписать его случаю; и это просто потому, что он будет менее поразительным.

Является ли это простой иллюзией с нашей стороны, или есть случаи, когда такой образ мышления легитимен? Мы должны надеяться на это, иначе всякая наука была бы невозможна. Когда мы хотим проверить гипотезу, что мы делаем? Мы не можем проверить все ее следствия, поскольку они были бы бесконечны по числу; мы довольствуемся проверкой некоторых из них, и если мы преуспеваем, мы объявляем гипотезу подтвержденной, потому что такой успех не мог быть обусловлен случаем. И это всегда в основе одно и то же рассуждение.

Я не могу полностью оправдать его здесь, поскольку это заняло бы слишком много времени; но я могу по крайней мере сказать, что мы оказываемся перед лицом двух гипотез: либо простая причина, либо та совокупность сложных причин, которую мы называем случаем. Мы находим естественным предполагать, что первая должна произвести простой результат, и тогда, если мы находим этот простой результат, круглое число, например, нам кажется более вероятным, что он может быть приписан простой причине, которая должна дать его почти наверняка, чем случаю, который мог бы дать его только один раз из 10 000 случаев. Это будет не так, если мы найдем результат, который не является простым; случай, это правда, не даст этого более одного раза из 10 000 случаев; но и у простой причины нет больше шансов произвести его.

КНИГА II МАТЕМАТИЧЕСКОЕ РАССУЖДЕНИЕ

ГЛАВА I

Относительность пространства

I

Невозможно представить себе пустое пространство; все наши усилия вообразить чистое пространство, откуда должны быть исключены меняющиеся образы материальных объектов, могут привести только к представлению, где ярко окрашенные поверхности, например, заменены линиями слабой окраски, и мы не можем дойти до самого конца таким образом, чтобы все не исчезло и не закончилось небытием. Отсюда происходит нередуцируемая относительность пространства.

Кто говорит об абсолютном пространстве, использует бессмысленную фразу. Это истина, давно провозглашенная всеми, кто размышлял над этим вопросом, но которую мы слишком часто склонны забывать.

Я нахожусь в определенной точке Парижа, например, на площади Пантеона, и говорю: я вернусь «сюда» завтра. Если меня спросят: вы имеете в виду, что вернетесь в ту же точку пространства, я буду склонен ответить: да; и все же я буду неправ, поскольку к завтрашнему дню Земля уйдет отсюда, унося с собой площадь Пантеона, которая проделает путь более чем в два миллиона километров. И если бы я попытался говорить точнее, я бы ничего не выиграл, поскольку наш глобус прошел эти два миллиона километров в своем движении по отношению к Солнцу, в то время как Солнце в свою очередь смещается по отношению к Млечному Пути, в то время как сам Млечный Путь, несомненно, находится в движении, без того чтобы мы могли воспринимать его скорость. Так что мы полностью невежественны, и всегда будем таковыми, относительно того, насколько смещается площадь Пантеона за день.

Короче говоря, я хотел сказать: завтра я снова увижу купол и фронтон Пантеона, и если бы Пантеона не существовало, моя фраза была бы бессмысленной, а пространство исчезло бы.

Это одна из самых банальных форм принципа относительности пространства; но существует и другая, на которой особенно настаивал Дельбёф. Предположим, что ночью все размеры Вселенной увеличились в тысячу раз: мир остался бы подобным самому себе, если придать слову «подобие» тот же смысл, что и в VI книге Евклида. Только то, что было длиной в метр, отныне будет измеряться километром, а то, что было длиной в миллиметр, станет метром. Кровать, на которой я лежу, и само мое тело увеличатся в той же пропорции.

Когда я проснусь завтра утром, какое ощущение я испытаю при виде столь поразительной трансформации? Что ж, я не замечу ровным счетом ничего. Самые точные измерения будут неспособны выявить для меня что-либо в этом грандиозном потрясении, поскольку меры, которыми я пользуюсь, изменятся точно в той же пропорции, что и объекты, которые я пытаюсь измерить. В действительности это потрясение существует только для тех, кто рассуждает так, будто пространство абсолютно. Если я на мгновение рассуждал так же, как они, то лишь для того, чтобы лучше показать, что их способ видения содержит противоречие. На самом деле было бы лучше сказать, что, поскольку пространство относительно, ничего не произошло, и именно поэтому мы ничего не заметили.

Имеет ли кто-нибудь право утверждать, что знает расстояние между двумя точками? Нет, поскольку это расстояние могло претерпеть огромные изменения, не будучи нами замеченным, при условии, что другие расстояния изменились в той же пропорции. Мы только что видели, что когда я говорю: «Завтра я буду здесь», это не означает: «Завтра я буду в той же точке пространства, где я нахожусь сегодня», а скорее: «Завтра я буду на том же расстоянии от Пантеона, что и сегодня». И мы видим, что этого утверждения уже недостаточно и что я должен был бы сказать: «Завтра и сегодня мое расстояние от Пантеона будет равно одному и тому же числу, умноженному на мой рост».

Но это еще не все; я предположил, что размеры мира меняются, но что, по крайней мере, мир всегда остается подобным самому себе. Мы могли бы пойти гораздо дальше, и одна из самых удивительных теорий современной физики дает нам для этого повод.

Согласно Лоренцу и Фитцджеральду, все тела, движущиеся вместе с Землей, претерпевают деформацию.

Эта деформация в действительности очень мала, поскольку все размеры, параллельные движению Земли, уменьшаются на стомиллионную долю, в то время как размеры, перпендикулярные этому движению, остаются неизменными. Но неважно, что она мала; того, что она существует, достаточно для вывода, который я собираюсь сделать. К тому же я сказал, что она мала, но в действительности я ничего об этом не знаю; я сам стал жертвой упорной иллюзии, которая заставляет нас верить, что мы постигаем абсолютное пространство; я думал о движении Земли по ее эллиптической орбите вокруг Солнца и принял ее скорость за тридцать километров в секунду. Но ее реальную скорость (я имею в виду на этот раз не абсолютную скорость, которая бессмысленна, а скорость по отношению к эфиру) я не знаю и не имею средств узнать: она, возможно, в 10 или 100 раз больше, и тогда деформация будет в 100 или 10 000 раз сильнее.

Можем ли мы обнаружить эту деформацию? Очевидно, нет; вот куб с ребром в один метр; вследствие перемещения Земли он деформируется: одно из его ребер, параллельное движению, становится меньше, остальные не меняются. Если я захочу убедиться в этом с помощью метровой линейки, я сначала измерю одно из ребер, перпендикулярных движению, и обнаружу, что мой эталонный метр точно соответствует этому ребру; и, по сути, ни одна из этих двух длин не изменилась, так как обе они перпендикулярны движению. Затем я хочу измерить другое ребро, параллельное движению; для этого я перемещаю свой метр и поворачиваю его так, чтобы приложить к ребру. Но метр, изменив ориентацию и став параллельным движению, в свою очередь претерпел деформацию, так что, хотя ребро уже не равно метру, он будет соответствовать ему точно, и я ничего не обнаружу.

Вы спросите тогда, в чем польза гипотезы Лоренца и Фитцджеральда, если ни один эксперимент не позволяет ее проверить? Мое изложение было неполным; я говорил только об измерениях, которые можно произвести с помощью метра; но мы можем также измерить длину по времени, которое требуется свету для ее прохождения, при условии, что мы предположим скорость света постоянной и не зависящей от направления. Лоренц мог бы объяснить эти факты, предположив, что скорость света больше в направлении движения Земли, чем в перпендикулярном направлении. Он предпочел предположить, что скорость одинакова в этих различных направлениях, но тела меньше в одном из них, чем в другом. Если бы волновые поверхности света претерпели те же деформации, что и материальные тела, мы никогда не заметили бы деформацию Лоренца — Фитцджеральда.

В любом случае речь идет не об абсолютной величине, а об измерении этой величины с помощью какого-либо инструмента; этим инструментом может быть метр или путь, пройденный светом; мы измеряем только отношение величины к инструменту; и если это отношение изменяется, у нас нет способа узнать, изменилась ли сама величина или инструмент.

Но я хочу подчеркнуть, что при этой деформации мир не остался подобным самому себе; квадраты превратились в прямоугольники, круги — в эллипсы, сферы — в эллипсоиды. И все же у нас нет способа узнать, является ли эта деформация реальной.

Очевидно, можно было бы пойти гораздо дальше: вместо деформации Лоренца — Фитцджеральда, законы которой особенно просты, мы могли бы вообразить любую деформацию. Тела могли бы деформироваться по любым законам, сколь угодно сложным, мы никогда бы этого не заметили, при условии, что все тела без исключения деформировались бы по одним и тем же законам. Говоря «все тела без исключения», я, конечно, включаю наше собственное тело и световые лучи, исходящие от различных объектов.

Если мы посмотрим на мир в одно из тех зеркал сложной формы, которые причудливо искажают объекты, взаимные отношения различных частей этого мира не изменятся; если, по сути, два реальных объекта соприкасаются, их изображения также кажутся соприкасающимися. Конечно, когда мы смотрим в такое зеркало, мы действительно видим деформацию, но это происходит потому, что реальный мир существует наряду со своим деформированным изображением; и тогда, даже если бы этот реальный мир был скрыт от нас, кое-что не могло бы быть скрыто — мы сами; мы не могли бы перестать видеть или, по крайней мере, чувствовать наше тело и наши конечности, которые не были деформированы и которые продолжают служить нам инструментами измерения.

Но если мы вообразим наше тело деформированным точно так же, как если бы мы видели его в зеркале, эти инструменты измерения в свою очередь подведут нас, и деформацию уже нельзя будет установить.

Рассмотрим таким же образом два мира, являющиеся изображениями друг друга; каждому объекту P мира A соответствует в мире B объект P', его изображение; координаты этого изображения P' являются определенными функциями координат объекта P; более того, эти функции могут быть какими угодно; я лишь предполагаю, что они выбраны раз и навсегда. Между положением P и положением P' существует постоянное отношение; каково это отношение — неважно; достаточно, чтобы оно было постоянным.

Что ж, эти два мира будут неотличимы друг от друга. Я имею в виду, что первый будет для своих обитателей тем же, чем второй является для своих. И так будет до тех пор, пока эти два мира остаются чуждыми друг другу. Предположим, мы жили в мире A, мы построили бы нашу науку и, в частности, нашу геометрию; в это время обитатели мира B построили бы свою науку, и, поскольку их мир является изображением нашего, их геометрия также была бы изображением нашей или, вернее, она была бы такой же. Но если для нас однажды откроется окно в мир B, как мы будем жалеть их: «Бедняги, — скажем мы, — они думают, что создали геометрию, но то, что они так называют, — лишь гротескное изображение нашей; их прямые все искривлены, их круги горбаты, их сферы имеют капризные неровности». И мы никогда не заподозрим, что они говорят то же самое о нас, и никто никогда не узнает, кто прав.

Мы видим, в сколь широком смысле следует понимать относительность пространства; пространство в действительности аморфно, и лишь находящиеся в нем вещи придают ему форму. Что же тогда следует думать о той прямой интуиции, которую мы якобы имеем относительно прямой или расстояния? У нас настолько мало интуиции расстояния как такового, что ночью, как мы уже сказали, расстояние могло бы стать в тысячу раз больше, и мы не смогли бы этого заметить, если бы все остальные расстояния претерпели такое же изменение. И даже за одну ночь мир B мог бы быть подменен миром A, и у нас не было бы способа узнать об этом, и тогда вчерашние прямые линии перестали бы быть прямыми, а мы бы этого даже не заметили.

Одна часть пространства сама по себе и в абсолютном смысле слова не равна другой части пространства; потому что если это так для нас, то это не будет так для обитателей мира B; и они имеют такое же право отвергнуть наше мнение, как мы — осудить их.

Я уже показывал в другом месте, каковы последствия этих фактов с точки зрения того представления, которое мы должны составить о неевклидовой геометрии и других аналогичных геометриях; к этому я не хочу возвращаться, и сегодня я займу несколько иную точку зрения.

II

Если эта интуиция расстояния, направления, прямой линии, если эта прямая интуиция пространства, одним словом, не существует, откуда берется наша вера в то, что она у нас есть? Если это лишь иллюзия, почему эта иллюзия так упорна? Стоит в этом разобраться. Мы сказали, что нет прямой интуиции размера, и мы можем прийти лишь к отношению этой величины к нашим инструментам измерения. Следовательно, мы не смогли бы построить пространство, если бы у нас не было инструмента для его измерения; что ж, этот инструмент, к которому мы все относим, которым пользуемся инстинктивно, — это наше собственное тело. Именно по отношению к нашему телу мы размещаем внешние объекты, и единственные пространственные отношения этих объектов, которые мы можем представить, — это их отношения к нашему телу. Именно наше тело служит нам, так сказать, системой осей координат.

Например, в момент α присутствие объекта A открывается мне чувством зрения; в другой момент, β, присутствие другого объекта, B, открывается мне другим чувством, например, слухом или осязанием. Я сужу, что этот объект B занимает то же место, что и объект A. Что это означает? Во-первых, это не означает, что эти два объекта занимают в два разных момента одну и ту же точку абсолютного пространства, которое, даже если бы оно существовало, ускользало бы от нашего познания, поскольку между моментами α и β Солнечная система переместилась, и мы не можем знать ее смещения. Это означает, что эти два объекта занимают одинаковое относительное положение по отношению к нашему телу.

Но даже это — что это означает? Впечатления, которые пришли к нам от этих объектов, последовали по совершенно разным путям: зрительный нерв для объекта A, слуховой нерв для объекта B. С качественной точки зрения у них нет ничего общего. Представления, которые мы можем составить об этих двух объектах, абсолютно гетерогенны, несводимы одно к другому. Только я знаю, что, чтобы достичь объекта A, мне достаточно определенным образом вытянуть правую руку; даже когда я воздерживаюсь от этого, я представляю себе мышечные ощущения и другие аналогичные ощущения, которые сопровождали бы это вытягивание, и это представление ассоциируется с представлением об объекте A.

Теперь я точно так же знаю, что могу достичь объекта B, вытянув правую руку таким же образом, — вытягивание, сопровождаемое тем же рядом мышечных ощущений. И когда я говорю, что эти два объекта занимают одно и то же место, я не имею в виду ничего большего.

Я также знаю, что мог бы достичь объекта A другим подходящим движением левой руки, и я представляю себе мышечные ощущения, которые сопровождали бы это движение; и этим же движением левой руки, сопровождаемым теми же ощущениями, я точно так же мог бы достичь объекта B.

И это очень важно, поскольку так я могу защитить себя от опасностей, угрожающих мне со стороны объекта A или объекта B. С каждым ударом, который может быть нанесен нам, природа связала одну или несколько защит, позволяющих нам обороняться. Одна и та же защита может отвечать на несколько ударов; так, например, одно и то же движение правой руки позволило бы нам защититься в момент α от объекта A, а в момент β — от объекта B. Точно так же один и тот же удар может быть парирован несколькими способами, и мы сказали, например, что объекта A можно достичь безразлично либо определенным движением правой руки, либо определенным движением левой руки.

Все эти защиты не имеют ничего общего, кроме отражения одного и того же удара, и именно это, и ничто иное, имеется в виду, когда мы говорим, что они являются движениями, заканчивающимися в одной и той же точке пространства. Точно так же эти объекты, о которых мы говорим, что они занимают одну и ту же точку пространства, не имеют ничего общего, кроме того, что одна и та же защита защищает от них.

Или, если хотите, представьте себе бесчисленные телеграфные провода, одни центростремительные, другие центробежные. Центростремительные провода предупреждают нас о несчастных случаях, происходящих снаружи; центробежные провода несут исправление. Соединения установлены так, что когда по центростремительному проводу проходит ток, он воздействует на реле и таким образом запускает ток в одном из центробежных проводов, и все устроено так, что несколько центростремительных проводов могут воздействовать на один и тот же центробежный провод, если одно и то же средство подходит для нескольких бед, и что один центростремительный провод может приводить в действие разные центробежные провода, либо одновременно, либо вместо одного другим, когда одна и та же беда может быть излечена несколькими средствами.

Именно эта сложная система ассоциаций, именно эта таблица распределения, так сказать, и есть вся наша геометрия или, если хотите, все то в нашей геометрии, что является инстинктивным. То, что мы называем нашей интуицией прямой линии или расстояния, — это сознание, которое мы имеем об этих ассоциациях и об их властном характере.

И легко понять, откуда берется сам этот властный характер. Ассоциация будет казаться нам тем более неразрушимой, чем она древнее. Но эти ассоциации по большей части не являются завоеваниями индивида, поскольку их следы видны у новорожденного младенца: это завоевания рода. Естественный отбор должен был совершить эти завоевания тем быстрее, чем они были необходимее.

По этой причине те, о которых мы говорим, должны были быть самыми ранними по времени, поскольку без них защита организма была бы невозможна. С того времени, когда клетки перестали быть просто сопоставленными, но были призваны оказывать взаимную помощь, необходимо было организовать механизм, аналогичный тому, который мы описали, чтобы эта помощь не сбилась с пути, а предотвратила опасность.

Когда лягушка обезглавлена и капля кислоты помещена на точку ее кожи, она пытается стереть кислоту ближайшей лапкой, и, если эта лапка ампутирована, она стирает ее лапкой противоположной стороны. Вот двойная защита, о которой я только что говорил, позволяющая бороться с бедой с помощью второго средства, если первое не срабатывает. И именно эта множественность защит и результирующая координация и есть пространство.

Мы видим, в какие глубины бессознательного мы должны спуститься, чтобы найти первые следы этих пространственных ассоциаций, поскольку задействованы только низшие отделы нервной системы. Почему же тогда удивляться сопротивлению, которое мы оказываем всякой попытке разъединить то, что так долго было соединено? Теперь, именно это сопротивление мы называем очевидностью геометрических истин; эта очевидность — не что иное, как отвращение, которое мы испытываем к тому, чтобы порвать с очень старыми привычками, которые всегда оказывались полезными.

III

Созданное таким образом пространство — это лишь малое пространство, простирающееся не дальше, чем может дотянуться моя рука; вмешательство памяти необходимо, чтобы отодвинуть его границы. Есть точки, которые останутся вне моей досягаемости, какие бы усилия я ни прилагал, чтобы протянуть руку; если бы я был прикован к земле, как, например, гидра, которая может только вытягивать свои щупальца, все эти точки были бы вне пространства, поскольку ощущения, которые мы могли бы испытать от действия расположенных там тел, ассоциировались бы с идеей отсутствия движения, позволяющего нам достичь их, отсутствия подходящей защиты. Эти ощущения не казались бы нам имеющими какой-либо пространственный характер, и мы не стремились бы их локализовать.

Но мы не прикованы к земле, как низшие животные; мы можем, если враг слишком далеко, сначала продвинуться к нему и протянуть руку, когда будем достаточно близко. Это все еще защита, но защита на дальнем расстоянии. С другой стороны, это сложная защита, и в представление, которое мы о ней составляем, входит представление о мышечных ощущениях, вызванных движениями ног, представление о мышечных ощущениях, вызванных конечным движением руки, представление об ощущениях полукружных каналов и т. д. Мы должны, кроме того, представлять себе не комплекс одновременных ощущений, а комплекс последовательных ощущений, следующих друг за другом в определенном порядке, и именно поэтому я только что сказал, что вмешательство памяти необходимо. Заметьте, кроме того, что, чтобы достичь одной и той же точки, я могу подойти ближе к цели, чтобы меньше вытягивать руку. Что еще? Это не одна, это тысяча защит, которые я могу противопоставить одной и той же опасности. Все эти защиты состоят из ощущений, которые могут не иметь ничего общего, и все же мы рассматриваем их как определяющие одну и ту же точку пространства, поскольку они могут отвечать на одну и ту же опасность и все ассоциируются с понятием этой опасности. Именно потенциальность отражения одного и того же удара создает единство этих различных защит, как возможность быть парированным одним и тем же способом создает единство столь различных по виду ударов, которые могут угрожать нам из одной и той же точки пространства. Именно это двойное единство создает индивидуальность каждой точки пространства, и в понятии точки нет ничего другого.

Пространство, рассмотренное ранее, которое можно было бы назвать ограниченным пространством, соотносилось с осями координат, привязанными к моему телу; эти оси были фиксированы, поскольку мое тело не двигалось, а перемещались только мои члены. Каковы оси, к которым мы естественно относим расширенное пространство? То есть новое пространство, которое мы только что определили. Мы определяем точку последовательностью движений, которые нужно совершить, чтобы достичь ее, начиная с определенного начального положения тела. Оси, следовательно, привязаны к этому начальному положению тела.

Но положение, которое я называю начальным, может быть произвольно выбрано среди всех положений, которые мое тело последовательно занимало; если память, более или менее бессознательная, об этих последовательных положениях необходима для генезиса понятия пространства, эта память может уходить более или менее далеко в прошлое. Отсюда в самом определении пространства возникает некоторая неопределенность, и именно эта неопределенность составляет его относительность.

Нет абсолютного пространства, есть только пространство, относительное к определенному начальному положению тела. Для сознательного существа, прикованного к земле, как низшие животные, и, следовательно, знающего только ограниченное пространство, пространство все равно было бы относительным (поскольку оно имело бы отношение к его телу), но это существо не осознавало бы этой относительности, потому что оси отсчета для этого ограниченного пространства были бы неизменными! Несомненно, скала, к которой было бы приковано это существо, не была бы неподвижной, поскольку она увлекалась бы движением нашей планеты; для нас, следовательно, эти оси менялись бы в каждый момент; но для него они были бы неизменными. Мы обладаем способностью относить наше расширенное пространство то к положению A нашего тела, рассматриваемому как начальное, то к положению B, которое оно занимало спустя некоторое время и которое мы вольны в свою очередь рассматривать как начальное; мы совершаем, следовательно, в каждый момент бессознательные преобразования координат. Эта способность отсутствовала бы у нашего воображаемого существа, и, не путешествуя, он считал бы пространство абсолютным. В каждый момент его система осей была бы навязана ему; эта система должна была бы сильно меняться в реальности, но для него она была бы всегда той же самой, поскольку она была бы всегда единственной системой. Совсем иначе обстоит дело с нами, кто в каждый момент имеет много систем, между которыми мы можем выбирать по желанию, при условии, что мы вернемся с помощью памяти более или менее далеко в прошлое.

Это не все; ограниченное пространство не было бы однородным; различные точки этого пространства нельзя было бы рассматривать как эквивалентные, поскольку одних можно было бы достичь только ценой величайших усилий, в то время как другие можно было бы легко достичь. Напротив, наше расширенное пространство кажется нам однородным, и мы говорим, что все его точки эквивалентны. Что это означает?

Если мы начинаем из определенного места A, мы можем из этого положения совершить определенные движения M, характеризующиеся определенным комплексом мышечных ощущений. Но, начиная из другого положения B, мы совершаем движения M', характеризующиеся теми же мышечными ощущениями. Пусть a будет ситуацией определенной точки тела, кончика указательного пальца правой руки, например, в начальном положении A, а b — ситуацией этого же пальца, когда, начиная из этого положения A, мы совершили движения M. Затем пусть a' будет ситуацией этого пальца в положении B, а b' — его ситуацией, когда, начиная из положения B, мы совершили движения M'.

Что ж, я привык говорить, что точки пространства a и b относятся друг к другу так же, как точки a' и b', и это просто означает, что две серии движений M и M' сопровождаются одними и теми же мышечными ощущениями. И поскольку я осознаю, что при переходе от положения A к положению B мое тело осталось способным к тем же движениям, я знаю, что существует точка пространства, относящаяся к точке a' так же, как любая точка b относится к точке a, так что две точки a и a' эквивалентны. Это называется однородностью пространства. И в то же время именно поэтому пространство относительно, поскольку его свойства остаются теми же, независимо от того, относится ли оно к осям A или к осям B. Таким образом, относительность пространства и его однородность — это одно и то же.

Теперь, если я хочу перейти к великому пространству, которое больше не служит только мне, но где я могу разместить Вселенную, я прихожу туда актом воображения. Я воображаю, что почувствовал бы гигант, который мог бы достичь планет за несколько шагов; или, если хотите, что я сам почувствовал бы в присутствии миниатюрного мира, где эти планеты были заменены маленькими шариками, в то время как на одном из этих маленьких шариков двигался лилипут, которого я назвал бы собой. Но этот акт воображения был бы невозможен для меня, если бы я предварительно не построил свое ограниченное пространство и свое расширенное пространство для собственного пользования.

IV

Почему теперь все эти пространства имеют три измерения? Вернемся к «таблице распределения», о которой мы говорили. У нас есть с одной стороны список различных возможных опасностей; обозначим их A1, A2 и т. д.; и, с другой стороны, список различных средств защиты, которые я назову так же: B1, B2 и т. д. У нас есть тогда соединения между контактными штифтами или кнопками первого списка и второго, так что когда, например, оповещатель об опасности A3 функционирует, он приведет или может привести в действие реле, соответствующее защите B4.

Поскольку я говорил выше о центростремительных или центробежных проводах, я боюсь, как бы кто-нибудь не увидел во всем этом не просто сравнение, а описание нервной системы. Такова не моя мысль, и это по нескольким причинам: во-первых, я не позволил бы себе высказывать мнение о структуре нервной системы, которую я не знаю, в то время как те, кто ее изучал, говорят лишь осторожно; во-вторых, потому что, несмотря на мою некомпетентность, я хорошо знаю, что эта схема была бы слишком упрощенной; и, наконец, потому что в моем списке защит некоторые выглядели бы очень сложными, которые могли бы даже, в случае расширенного пространства, как мы видели выше, состоять из многих шагов, за которыми следует движение руки. Речь идет тогда не о физической связи между двумя реальными проводниками, а о психологической ассоциации между двумя сериями ощущений.

Если A1 и A2, например, оба ассоциированы с защитой B1, и если A1 также ассоциирован с защитой B2, то обычно будет случаться, что A2 и B2 также будут сами по себе ассоциированы. Если бы этот фундаментальный закон не был в целом истинным, существовала бы только огромная путаница и не было бы ничего, напоминающего концепцию пространства или геометрию. Как, собственно, мы определили точку пространства? Мы сделали это двумя способами: это, с одной стороны, совокупность оповещателей A, связанных с одной и той же защитой B; это, с другой стороны, совокупность защит B, связанных с одним и тем же оповещателем A. Если бы наш закон не был истинным, мы сказали бы, что A1 и A2 соответствуют одной и той же точке, поскольку они оба связаны с B1; но мы точно так же сказали бы, что они не соответствуют одной и той же точке, поскольку A1 был бы связан с B2, а то же самое не было бы верно для A2. Это было бы противоречием.

Но, с другой стороны, если бы закон был строго и всегда истинным, пространство было бы очень отличным от того, что оно есть. У нас были бы сильно контрастирующие категории, между которыми были бы распределены, с одной стороны, оповещатели A, с другой стороны, защиты B; эти категории были бы чрезмерно многочисленны, но они были бы полностью отделены одна от другой. Пространство состояло бы из точек, очень многочисленных, но дискретных; оно было бы прерывистым. Не было бы причин располагать эти точки в одном порядке, а не в другом, ни, следовательно, приписывать пространству три измерения.

Но это не так; позвольте мне на мгновение возобновить язык тех, кто уже знает геометрию; это вполне уместно, поскольку это язык, лучше всего понятный тем, кому я хочу дать себя понять.

Когда я желаю парировать удар, я стремлюсь достичь точки, откуда исходит этот удар, но достаточно, чтобы я подошел совсем близко. Тогда защита B1 может ответить за A1 и за A2, если точка, соответствующая B1, достаточно близка как к той, что соответствует A1, так и к той, что соответствует A2. Но может случиться, что точка, соответствующая другой защите B2, может быть достаточно близка к точке, соответствующей A1, и недостаточно близка к точке, соответствующей A2; так что защита B2 может ответить за A1, не отвечая за A2. Для того, кто еще не знает геометрии, это переводится просто как отступление от закона, изложенного выше. И тогда все будет происходить так:

Две защиты B1 и B2 будут ассоциированы с одним и тем же предупреждением A1 и с большим количеством предупреждений, которые мы расположим в той же категории, что и A1, и которые мы заставим соответствовать одной и той же точке пространства. Но мы можем найти предупреждения A2, которые будут ассоциированы с B2, не будучи ассоциированными с B1, и которые в качестве компенсации будут ассоциированы с B3, который B3 не был ассоциирован с A1, и так далее, так что мы можем написать серию

B1, A1, B2, A2, B3, A3, B4, A4,

где каждый член ассоциирован со следующим и предыдущим, но не с членами, находящимися на несколько мест дальше.

Излишне добавлять, что каждый из членов этих серий не изолирован, а является частью очень многочисленной категории других предупреждений или других защит, которые имеют те же связи, что и он, и которые могут рассматриваться как принадлежащие к одной и той же точке пространства.

Фундаментальный закон, хотя и допускающий исключения, остается, следовательно, почти всегда истинным. Только вследствие этих исключений эти категории, вместо того чтобы быть полностью отделенными, частично вторгаются одна в другую и взаимно проникают в некоторой мере, так что пространство становится непрерывным.

С другой стороны, порядок, в котором эти категории должны быть расположены, больше не является произвольным, и если мы обратимся к предыдущей серии, мы увидим, что необходимо поставить B2 между A1 и A2 и, следовательно, между B1 и B3, и что мы не могли бы, например, поставить его между B3 и B4.

Существует, следовательно, порядок, в котором естественно располагаются наши категории, соответствующие точкам пространства, и опыт учит нас, что этот порядок представляется в форме таблицы тройного входа, и именно поэтому пространство имеет три измерения.

V

Так что характеристическое свойство пространства, свойство иметь три измерения, — это лишь свойство нашей таблицы распределения, внутреннее свойство человеческого интеллекта, так сказать. Достаточно было бы разрушить некоторые из этих связей, то есть ассоциаций идей, чтобы получить другую таблицу распределения, и этого могло бы быть достаточно для того, чтобы пространство приобрело четвертое измерение.

Некоторые люди будут удивлены таким результатом. Внешний мир, подумают они, должен что-то значить. Если число измерений происходит от того, как мы устроены, могли бы существовать мыслящие существа, живущие в нашем мире, но устроенные иначе, чем мы, и которые верили бы, что пространство имеет больше или меньше трех измерений. Разве не говорил г-н де Сион, что японские мыши, имеющие только две пары полукружных каналов, верят, что пространство двухмерно? И тогда это мыслящее существо, если оно способно построить физику, не создало бы ли оно физику двух или четырех измерений, которая в некотором смысле все равно была бы той же самой, что и наша, поскольку это было бы описание того же мира на другом языке?

Кажется, на самом деле, что можно было бы перевести нашу физику на язык геометрии четырех измерений; попытаться сделать этот перевод означало бы приложить большие усилия ради малой выгоды, и я ограничусь цитированием механики Герца, где мы имеем нечто аналогичное. Однако кажется, что перевод всегда был бы менее простым, чем текст, и что он всегда имел бы вид перевода, что язык трех измерений кажется лучше приспособленным к описанию нашего мира, хотя это описание может быть строго сделано на другом идиоме. Кроме того, наша таблица распределения не была создана случайно. Существует связь между предупреждением A1 и защитой B1, это внутреннее свойство нашего интеллекта; но почему эта связь? Это потому, что защита B1 дает средства эффективно защититься от опасности A1; и это факт, внешний по отношению к нам, это свойство внешнего мира. Наша таблица распределения, следовательно, — это лишь перевод совокупности внешних фактов; если она имеет три измерения, это потому, что она приспособилась к миру, имеющему определенные свойства; и главное из этих свойств — то, что существуют естественные твердые тела, чьи перемещения следуют ощутимо законам, которые мы называем законами движения твердых тел. Если, следовательно, язык трех измерений — это тот, который позволяет нам легче всего описать наш мир, мы не должны удивляться; этот язык скопирован с нашей таблицы распределения; и именно для того, чтобы иметь возможность жить в этом мире, эта таблица была установлена.

Я сказал, что мы могли бы вообразить, живя в нашем мире, мыслящих существ, чья таблица распределения была бы четырехмерной и которые, следовательно, мыслили бы в гиперпространстве. Не уверен, однако, что такие существа, допустив, что они там родились, могли бы там жить и защищаться от тысячи опасностей, которыми они были бы там атакованы.

VI

Несколько замечаний в заключение. Существует поразительный контраст между грубостью этой примитивной геометрии, сводимой к тому, что я называю таблицей распределения, и бесконечной точностью геометрии геометров. И все же она рождена из этого; но не из этого одного; она должна быть оплодотворена способностью, которой мы обладаем, конструировать математические понятия, такие как понятие группы, например; необходимо было искать среди чистых понятий то, которое лучше всего адаптируется к этому грубому пространству, генезис которого я пытался объяснить и которое является общим для нас и высших животных.

Очевидность некоторых геометрических постулатов, мы сказали, — это лишь наше отвращение к отказу от очень старых привычек. Но эти постулаты бесконечно точны, в то время как эти привычки имеют в себе нечто существенно гибкое. Когда мы хотим мыслить, нам нужны постулаты бесконечно точные, поскольку это единственный способ избежать противоречия; но среди всех возможных систем постулатов есть такие, которые мы не любим выбирать, потому что они недостаточно согласуются с нашими привычками; как бы гибкими, как бы эластичными они ни были, у них есть предел эластичности.

Мы видим, что если геометрия — не экспериментальная наука, то это наука, рожденная по поводу опыта; что мы создали пространство, которое она изучает, но адаптируя его к миру, в котором мы живем. Мы выбрали наиболее удобное пространство, но опыт направлял наш выбор; поскольку этот выбор был бессознательным, мы думаем, что он был навязан нам; одни говорят, что опыт навязывает его, другие — что мы рождаемся с нашим пространством, готовым к употреблению; мы видим из предыдущих соображений, что в этих двух мнениях является долей истины, а что — ошибкой.

В этом прогрессивном образовании, результатом которого стало построение пространства, очень трудно определить, что является долей индивида, а что — долей рода. Как далеко мог бы один из нас, перенесенный с рождения в совершенно другой мир, где доминировали бы, например, тела, движущиеся в соответствии с законами движения неевклидовых твердых тел, отказаться от наследственного пространства, чтобы построить пространство совершенно новое?

Доля рода кажется действительно преобладающей; однако если ей мы обязаны грубым пространством, мягким пространством, о котором я говорил, пространством высших животных, то не бессознательному ли опыту индивида мы обязаны бесконечно точным пространством геометра? Это вопрос, который нелегко решить. Однако мы приведем факт, показывающий, что пространство, которое завещали нам наши предки, все еще сохраняет некоторую пластичность. Некоторые охотники учатся стрелять рыбу под водой, хотя изображение этих рыб перевернуто из-за преломления. К тому же они делают это инстинктивно: они, следовательно, научились изменять свой старый инстинкт направления; или, если хотите, заменить ассоциацию A1, B1 другой ассоциацией A1, B2, потому что опыт показал им, что первая не сработает.

ГЛАВА II

Математические определения и преподавание

1. Я должен говорить здесь об общих определениях в математике; по крайней мере, таков заголовок, но будет невозможно ограничиться предметом так строго, как того требовало бы правило единства действия; я не смогу рассмотреть его, не затронув несколько других связанных вопросов, и если таким образом я буду вынужден время от времени ступать на пограничные клумбы справа или слева, я прошу вас простить меня.

Что такое хорошее определение? Для философа или ученого это определение, которое применяется ко всем определенным объектам и только к ним; это то, которое удовлетворяет правилам логики. Но в преподавании это не так; хорошее определение — это то, которое понятно учащимся.

Как случается, что так многие отказываются понимать математику? Разве это не своего рода парадокс? Посмотрите! Наука, апеллирующая только к фундаментальным принципам логики, к принципу противоречия, например, к тому, что является скелетом, так сказать, нашего интеллекта, к тому, от чего мы не можем отказаться, не перестав мыслить, — и есть люди, которые находят ее неясной! И они даже составляют большинство! То, что они неспособны изобретать, еще можно простить, но то, что они не понимают демонстрируемых им доказательств, что они остаются слепыми, когда мы показываем им свет, который кажется нам сверкающим чистым пламенем, — это совершенно поразительно.

И все же нет нужды в большом опыте экзаменов, чтобы знать, что эти слепцы отнюдь не являются исключительными существами. Это проблема, которую нелегко решить, но которая должна привлечь внимание всех тех, кто желает посвятить себя преподаванию.

Что значит понимать? Имеет ли это слово одно и то же значение для всего мира? Понимать доказательство теоремы — значит ли это последовательно изучать каждый составляющий его силлогизм и удостоверяться в его правильности, в его соответствии правилам игры? Точно так же, понимать определение — значит ли это просто признать, что уже знаешь значение всех используемых терминов, и удостовериться, что оно не содержит противоречия?

Для некоторых — да; когда они это сделают, они скажут: «Я понимаю».

Для большинства — нет. Почти все гораздо более требовательны; они хотят знать не только то, правильны ли все силлогизмы доказательства, но и почему они связываются в этом порядке, а не в другом. Поскольку им кажется, что они порождены капризом, а не интеллектом, всегда осознающим цель, которую нужно достичь, они не верят, что понимают.

Несомненно, они сами не вполне осознают, чего жаждут, и не смогли бы сформулировать свое желание, но если они не получают удовлетворения, они смутно чувствуют, что чего-то не хватает. Тогда что происходит? В начале они еще воспринимают доказательства, которые им подставляют под глаза; но поскольку они связаны лишь слишком тонкой нитью с тем, что предшествует, и тем, что следует, они проходят, не оставляя никакого следа в их голове; они быстро забываются; яркие на мгновение, они быстро исчезают в вечной ночи. Когда они продвигаются дальше, они уже не увидят даже этого эфемерного света, поскольку теоремы опираются одна на другую, а те, которые им нужны, забыты; так они становятся неспособными понимать математику.

Это не всегда вина их учителя; часто их ум, которому нужно воспринимать направляющую нить, слишком ленив, чтобы искать и находить ее. Но чтобы прийти им на помощь, мы сначала должны знать, что именно им мешает.

Другие всегда будут спрашивать, в чем польза этого; они не поймут, если не найдут вокруг себя, на практике или в природе, оправдания того или иного математического понятия. Под каждым словом они хотят поместить чувственный образ; определение должно вызывать этот образ, чтобы на каждой стадии доказательства они могли видеть, как он трансформируется и развивается. Только при этом условии они понимают и запоминают. Часто они обманывают себя; они не слушают рассуждение, они смотрят на фигуры; они думают, что поняли, а они только увидели.

2. Сколько различных тенденций! Должны ли мы бороться с ними? Должны ли мы использовать их? И если мы хотим бороться с ними, какую следует предпочесть? Должны ли мы показать тем, кто довольствуется чистой логикой, что они увидели только одну сторону дела? Или нам нужно сказать тем, кто не так легко удовлетворяется, что то, чего они требуют, не является необходимым?

Другими словами, должны ли мы принуждать молодых людей изменять природу их умов? Такая попытка была бы тщетной; мы не обладаем философским камнем, который позволил бы нам превращать одни металлы, доверенные нам, в другие; все, что мы можем сделать, — это работать с ними, адаптируясь к их свойствам.

Многие дети неспособны стать математиками, однако их необходимо учить математике; и сами математики не все отлиты в одну форму. Прочтения их работ достаточно, чтобы различить среди них два типа умов: логики, как Вейерштрасс, например, и интуитивисты, как Риман. Та же разница существует среди наших студентов. Одни предпочитают решать свои задачи «аналитически», как они говорят, другие — «геометрически».

Бесполезно пытаться что-то изменить в этом, да и было бы это желательно? Хорошо, что есть логики и что есть интуитивисты; кто осмелился бы сказать, предпочел бы он, чтобы Вейерштрасс никогда не писал или чтобы никогда не было Римана? Мы должны, следовательно, примириться с разнообразием умов, или, лучше, мы должны радоваться ему.

3. Поскольку слово «понимать» имеет много значений, определения, которые будут лучше всего поняты одними, не будут лучше всего подходить другим. У нас есть те, которые стремятся создать образ, и те, где мы ограничиваемся комбинированием пустых форм, совершенно понятных, но чисто умопостигаемых, которые абстракция лишила всякой материи.

Я не знаю, нужно ли приводить примеры. Приведем их, во всяком случае, и сначала определение дробей даст нам крайний случай. В начальных школах, чтобы определить дробь, разрезают яблоко или пирог; разрезают, конечно, мысленно, а не в реальности, потому что я не предполагаю, что бюджет начального образования позволяет такую расточительность. В Нормальной школе, с другой стороны, или в колледже, говорят: дробь — это комбинация двух целых чисел, разделенных горизонтальной чертой; мы определяем по соглашению операции, которым могут быть подвергнуты эти символы; доказывается, что правила этих операций такие же, как при вычислениях с целыми числами, и мы удостоверяемся, наконец, что умножение дроби, согласно этим правилам, на знаменатель дает числитель. Это все очень хорошо, потому что мы обращаемся к молодым людям, давно знакомым с понятием дробей через разрезание яблок или других объектов, и чей ум, созревший благодаря жесткому математическому образованию, постепенно пришел к желанию чисто логического определения. Но дебютант, которому попытались бы его дать, — как он ошеломлен!