«Основы науки: Наука и гипотеза, Ценность науки, Наука и метод»

Но после того, что мы только что объяснили в четвертой части, мы можем пойти дальше. Физическая теория, сказали мы, тем более истинна, чем больше истинных отношений она выявляет. В свете этого нового принципа давайте рассмотрим занимающий нас вопрос.

Нет, не существует абсолютного пространства; эти два противоречивых утверждения: «Земля вращается» и «Земля не вращается» — поэтому ни одно из них не является более истинным, чем другое. Утверждать одно, отрицая другое, в кинематическом смысле, означало бы признать существование абсолютного пространства.

Но если одно из них выявляет истинные отношения, которые другое от нас скрывает, мы тем не менее можем считать его физически более истинным, чем другое, поскольку оно обладает более богатым содержанием. Теперь в этом отношении сомнений быть не может.

Взгляните на кажущееся суточное движение звезд и суточное движение других небесных тел, а кроме того, на сплюснутость Земли, вращение маятника Фуко, вращение циклонов, пассаты, да мало ли что еще? Для птолемеевца все эти явления не имеют между собой никакой связи; для коперниканца они порождены одной и той же причиной. Говоря «Земля вращается», я утверждаю, что все эти явления имеют интимную связь, и это истинно, и это остается истинным, хотя не существует и не может существовать абсолютного пространства.

Столько о вращении Земли вокруг своей оси; что скажем мы о ее обращении вокруг Солнца? Здесь снова у нас есть три явления, которые для птолемеевца абсолютно независимы, а для коперниканца сводятся к одному и тому же источнику: это кажущиеся перемещения планет на небесной сфере, аберрация неподвижных звезд, параллакс этих же звезд. Случайно ли, что все планеты допускают неравенство, период которого равен году, и что этот период в точности равен периоду аберрации, а также в точности равен периоду параллакса? Принять систему Птолемея — значит ответить «да»; принять систему Коперника — значит ответить «нет»; это значит утверждать, что между тремя явлениями существует связь, и это также истинно, хотя не существует абсолютного пространства.

В системе Птолемея движения небесных тел не могут быть объяснены действием центральных сил, небесная механика невозможна. Интимные отношения, которые небесная механика открывает нам между всеми небесными явлениями, являются истинными отношениями; утверждать неподвижность Земли — значит отрицать эти отношения, это значит обманывать самих себя.

Истина, за которую страдал Галилей, остается, следовательно, истиной, хотя она имеет не совсем тот же смысл, что для вульгарного сознания, и ее истинный смысл гораздо более тонок, глубок и богат.

8. Наука ради самой науки

Не против г-на Ле Руа я хочу защищать науку ради самой науки; может быть, это то, что он осуждает, но это то, что он культивирует, поскольку он любит и ищет истину и не мог бы без нее жить. Но у меня есть несколько мыслей, которые я хочу высказать.

Мы не можем знать все факты, и необходимо выбирать те, которые достойны того, чтобы быть известными. Согласно Толстому, ученые делают этот выбор наугад, вместо того чтобы делать его, что было бы разумно, с точки зрения практического применения. Напротив, ученые считают, что одни факты интереснее других, потому что они завершают незаконченную гармонию или потому что они позволяют предвидеть большое количество других фактов. Если они ошибаются, если эта иерархия фактов, которую они неявно постулируют, — лишь праздная иллюзия, то не могло бы существовать науки ради самой науки, а следовательно, не могло бы существовать и науки. Что касается меня, я верю, что они правы, и, например, я показал выше, какова высокая ценность астрономических фактов, не потому, что они способны к практическому применению, а потому, что они являются самыми поучительными из всех.

Только благодаря науке и искусству цивилизация имеет ценность. Некоторые удивлялись формуле «наука ради самой науки»; и все же она так же хороша, как «жизнь ради самой жизни», если жизнь — это только страдание; и даже как «счастье ради самого счастья», если мы не верим, что все удовольствия одного качества, если мы не хотим признать, что цель цивилизации — поставлять алкоголь людям, которые любят выпить.

У каждого действия должна быть цель. Мы должны страдать, мы должны работать, мы должны платить за свое место в игре, но это ради того, чтобы видеть; или, по крайней мере, чтобы другие могли однажды увидеть.

Все, что не является мыслью, — чистое ничто; поскольку мы можем мыслить только мысли и все слова, которые мы используем, чтобы говорить о вещах, могут выражать только мысли, сказать, что есть нечто иное, чем мысль, — это, следовательно, утверждение, которое не может иметь смысла.

И все же — странное противоречие для тех, кто верит во время, — геологическая история показывает нам, что жизнь — это лишь короткий эпизод между двумя вечностями смерти и что даже в этом эпизоде сознательная мысль длилась и будет длиться лишь мгновение. Мысль — это лишь проблеск посреди долгой ночи.

Но именно этот проблеск — это все.

НАУКА И МЕТОД

ВВЕДЕНИЕ

Я собрал здесь различные исследования, относящиеся более или менее непосредственно к вопросам научной методологии. Научный метод состоит в наблюдении и экспериментировании; если бы ученый имел в своем распоряжении бесконечное время, ему нужно было бы только сказать: «Смотри и замечай хорошо»; но, поскольку нет времени видеть все, а лучше не видеть, чем видеть неправильно, ему необходимо сделать выбор. Первый вопрос, следовательно, заключается в том, как он должен сделать этот выбор. Этот вопрос встает как перед физиком, так и перед историком; он встает одинаково перед математиком, и принципы, которые должны направлять каждого, не лишены аналогии. Ученый следует им инстинктивно, и можно, размышляя над этими принципами, предсказать будущее математики.

Мы поймем их еще лучше, если понаблюдаем за ученым за работой, и прежде всего необходимо знать психологический механизм изобретения и, в частности, механизм математического творчества. Наблюдение за процессами работы математика особенно поучительно для психолога.

Во всех науках наблюдения необходимо учитывать ошибки, обусловленные несовершенством наших чувств и наших инструментов. К счастью, мы можем предположить, что при определенных условиях эти ошибки частично компенсируют друг друга, так что исчезают в среднем значении; эта компенсация обусловлена случаем. Но что такое случай? Эту идею трудно обосновать или даже определить; и все же то, что я только что сказал об ошибках наблюдения, показывает, что ученый не может пренебрегать ею. Поэтому необходимо дать как можно более точное определение этому понятию, столь незаменимому и в то же время столь неуловимому.

Это общие положения, применимые в сумме ко всем наукам; и, например, механизм математического изобретения не отличается заметно от механизма изобретения в целом. Позже я перехожу к вопросам, относящимся более конкретно к некоторым специальным наукам, и прежде всего к чистой математике.

В главах, посвященных им, мне приходится рассматривать темы несколько более абстрактные. Я должен сначала сказать о понятии пространства; каждый знает, что пространство относительно, или, вернее, каждый так говорит, но многие все еще думают так, как если бы они верили, что оно абсолютно; достаточно, однако, немного поразмыслить, чтобы заметить, каким противоречиям они подвергаются.

Вопросы преподавания имеют свое значение, во-первых, сами по себе, а во-вторых, потому что размышление о лучшем способе проникновения новых идей в девственные умы — это одновременно размышление о том, как эти понятия были приобретены нашими предками, и, следовательно, об их истинном происхождении, то есть, в действительности, об их истинной природе. Почему дети обычно ничего не понимают в определениях, которые удовлетворяют ученых? Почему необходимо давать им другие? Это вопрос, который я ставлю перед собой в следующей главе и решение которого, я думаю, должно навести на полезные размышления философов, занимающихся логикой наук.

С другой стороны, многие геометры полагают, что мы можем свести математику к правилам формальной логики. Были предприняты неслыханные усилия, чтобы сделать это; чтобы достичь этого, некоторые не колеблясь, например, изменили исторический порядок генезиса наших концепций и попытались объяснить конечное через бесконечное. Я полагаю, что мне удалось показать для всех тех, кто подходит к проблеме без предубеждений, что здесь кроется ложная иллюзия. Надеюсь, читатель поймет важность вопроса и простит мне сухость страниц, посвященных ему.

Заключительные главы, относящиеся к механике и астрономии, будут легче для чтения.

Механика, кажется, находится на пороге полной революции. Идеи, которые казались наиболее устоявшимися, подвергаются нападкам со стороны смелых новаторов. Конечно, было бы преждевременно принимать их сторону сразу только потому, что они новаторы.

Но интересно ознакомить с их доктринами, и это то, что я попытался сделать. Насколько возможно, я следовал историческому порядку; ибо новые идеи казались бы слишком удивительными, если бы мы не видели, как они возникли.

Астрономия предлагает нам величественные зрелища и ставит гигантские проблемы. Мы не можем мечтать о том, чтобы применять к ним непосредственно экспериментальный метод; наши лаборатории слишком малы. Но аналогия с явлениями, которые позволяют нам достичь эти лаборатории, может тем не менее направлять астронома. Млечный Путь, например, представляет собой скопление солнц, движения которых кажутся на первый взгляд капризными. Но нельзя ли сравнить это скопление с молекулами газа, свойства которых открыла нам кинетическая теория газов? Именно таким окольным путем метод физика может прийти на помощь астроному.

Наконец, я попытался в нескольких строках дать историю развития французской геодезии; я показал, какими упорными усилиями и часто какими опасностями геодезисты добыли для нас те знания, которые мы имеем о фигуре Земли. Является ли это вопросом метода? Да, без сомнения, эта история учит нас на самом деле, какими предосторожностями необходимо окружить серьезную научную операцию и сколько времени и труда стоит завоевать один новый десятичный знак.

КНИГА I НАУКА И УЧЕНЫЙ

ГЛАВА I

Выбор фактов

Толстой где-то объясняет, почему «наука ради самой науки» в его глазах — абсурдная концепция. Мы не можем знать все факты, поскольку их число практически бесконечно. Необходимо выбирать; тогда мы можем позволить этому выбору зависеть от чистого каприза нашего любопытства; не лучше ли было бы позволить направлять себя пользой, нашими практическими и, прежде всего, нашими моральными потребностями; неужели у нас нет ничего лучше, чем считать количество божьих коровок на нашей планете?

Ясно, что слово «польза» не имеет для него того смысла, который придают ему деловые люди, и вслед за ними большинство наших современников. Его мало заботят промышленные применения, чудеса электричества или автомобилизма, которые он рассматривает скорее как препятствия для морального прогресса; польза для него — только то, что может сделать человека лучше.

Что касается меня, то вряд ли стоит говорить, что я никогда не мог бы довольствоваться ни тем, ни другим идеалом; я не хочу ни той плутократии, алчной и подлой, ни той демократии, добродушной и посредственной, занятой исключительно подставлением другой щеки, где жили бы мудрецы без любопытства, которые, избегая крайностей, не умирали бы от болезней, но наверняка умерли бы от скуки. Но это дело вкуса, и это не то, что я хочу обсуждать.

Вопрос тем не менее остается и должен привлечь наше внимание; если наш выбор может быть определен только капризом или немедленной пользой, не может быть науки ради самой науки, а следовательно, и науки. Но так ли это? То, что выбор должен быть сделан, бесспорно; какой бы ни была наша деятельность, факты идут быстрее нас, и мы не можем их догнать; пока ученый открывает один факт, их происходят миллиарды миллиардов в кубическом миллиметре его тела. Желать включить природу в науку — значит хотеть вложить целое в часть.

Но ученые верят, что существует иерархия фактов и что среди них может быть сделан разумный выбор. Они правы, поскольку иначе не было бы науки, однако наука существует. Стоит только открыть глаза, чтобы увидеть, что завоевания индустрии, которые обогатили столь многих практиков, никогда не увидели бы света, если бы существовали только эти практики и если бы им не предшествовали бескорыстные подвижники, которые умирали в бедности, никогда не думали о пользе, и все же имели руководство, далекое от каприза.

Как говорит Мах, эти подвижники избавили своих преемников от необходимости думать. Те, кто работал бы исключительно ради немедленного применения, ничего бы не оставили после себя, и перед лицом новой потребности все пришлось бы начинать сначала. Но большинство людей не любят думать, и это, возможно, к счастью, когда ими руководит инстинкт, ибо чаще всего, когда они преследуют цель, которая является немедленной и всегда одной и той же, инстинкт ведет их лучше, чем разум вел бы чистый интеллект. Но инстинкт — это рутина, и если бы мысль не оплодотворяла его, он не прогрессировал бы у человека больше, чем у пчелы или муравья. Нужно, значит, думать за тех, кто не любит думать, и, поскольку их много, нужно, чтобы каждая из наших мыслей была как можно чаще полезна, и именно поэтому закон будет тем ценнее, чем он более общий.

Это показывает нам, как мы должны выбирать: самые интересные факты — это те, которые могут служить много раз; это факты, которые имеют шанс повториться. Нам так повезло, что мы родились в мире, где такие есть. Предположим, что вместо 60 химических элементов их было бы 60 миллиардов, что они были бы не одни обычными, другие редкими, а что они были бы равномерно распределены. Тогда каждый раз, когда мы поднимали бы новый камешек, была бы большая вероятность того, что он образован из какого-то неизвестного вещества; все, что мы знали о других камешках, было бы бесполезно для него; перед каждым новым объектом мы были бы как новорожденные младенцы; как и они, мы могли бы только подчиняться нашим капризам или нашим потребностям. Биологи были бы в таком же затруднении, если бы существовали только индивиды, а не виды, и если бы наследственность не делала сыновей похожими на отцов.

В таком мире не было бы науки; возможно, мысль и даже жизнь были бы невозможны, поскольку эволюция не могла бы там развить инстинкты сохранения. К счастью, это не так; как и всякое счастье, к которому мы привыкли, это не ценится по достоинству.

Какие же факты могут повториться? Это прежде всего простые факты. Ясно, что в сложном факте тысяча обстоятельств объединены случаем и что только случай, еще гораздо менее вероятный, мог бы воссоединить их вновь. Но существуют ли простые факты? И если существуют, как их распознать? Какая гарантия, что вещь, которую мы считаем простой, не скрывает ужасную сложность? Все, что мы можем сказать, это то, что мы должны предпочесть факты, которые кажутся простыми, тем, где наш грубый глаз различает непохожие элементы. И тогда одно из двух: либо эта простота реальна, либо элементы настолько интимно перемешаны, что их невозможно различить. В первом случае есть шанс, что мы встретим вновь этот же простой факт, либо во всей его чистоте, либо входящим как элемент в сложное многообразие. Во втором случае эта интимная смесь также имеет больше шансов повториться, чем гетерогенное скопление; случай умеет смешивать, он не умеет распутывать, и чтобы сделать из множества элементов хорошо упорядоченное здание, в котором что-то различимо, оно должно быть сделано специально. Факты, которые кажутся простыми, даже если они таковыми не являются, будут поэтому легче возрождаться случаем. Именно это оправдывает метод, инстинктивно принятый ученым, и что оправдывает его еще лучше, возможно, это то, что часто повторяющиеся факты кажутся нам простыми именно потому, что мы к ним привыкли.

Но где простой факт? Ученые искали его в двух крайностях: в бесконечно большом и в бесконечно малом. Астроном нашел его, потому что расстояния до звезд огромны, настолько велики, что каждая из них кажется лишь точкой, настолько велики, что качественные различия стираются, и потому что точка проще, чем тело, имеющее форму и качества. Физик, с другой стороны, искал элементарное явление, фиктивно разрезая тела на бесконечно малые кубики, потому что условия задачи, которые претерпевают медленное и непрерывное изменение при переходе от одной точки тела к другой, могут рассматриваться как постоянные внутри каждого из этих маленьких кубиков. Точно так же биолог был инстинктивно приведен к тому, чтобы рассматривать клетку как более интересную, чем все животное, и результат показал его мудрость, поскольку клетки, принадлежащие организмам самым разным, более похожи для того, кто может распознать их сходства, чем сами эти организмы. Социолог более смущен; элементы, которыми для него являются люди, слишком непохожи, слишком изменчивы, слишком капризны, одним словом, слишком сложны; кроме того, история никогда не начинается сначала. Как же тогда выбрать интересный факт, который есть тот, что начинается снова? Метод — это именно выбор фактов; нужно, значит, быть занятым прежде всего созданием метода, и многие были придуманы, поскольку ни один не навязывает себя, так что социология — это наука, которая имеет больше всего методов и меньше всего результатов.

Поэтому именно с регулярных фактов следует начинать; но после того, как правило хорошо установлено, после того, как оно вне всякого сомнения, факты, полностью соответствующие ему, вскоре теряют интерес, поскольку они больше не учат нас ничему новому. Тогда важным становится исключение. Мы перестаем искать сходства; мы посвящаем себя прежде всего различиям, и среди различий выбираются прежде всего самые акцентированные, не только потому, что они самые поразительные, но потому, что они будут самыми поучительными. Простой пример сделает мою мысль яснее: предположим, кто-то хочет определить кривую, наблюдая некоторые из ее точек. Практик, который заботится только о немедленной пользе, наблюдал бы только точки, которые могут понадобиться ему для какой-то специальной цели. Эти точки были бы плохо распределены на кривой; они были бы скучены в одних регионах, редки в других, так что невозможно было бы соединить их непрерывной линией, и они были бы непригодны для других применений. Ученый будет действовать иначе; поскольку он хочет изучить кривую ради нее самой, он будет распределять регулярно точки для наблюдения, и когда их будет достаточно, он соединит их регулярной линией, и тогда у него будет вся кривая. Но для этого как он действует? Если он определил крайнюю точку кривой, он не остается возле этой конечности, а идет сначала к другому концу; после двух конечностей самой поучительной точкой будет средняя точка, и так далее.

Поэтому, когда правило установлено, мы должны сначала искать случаи, где это правило имеет наибольший шанс не сработать. Отсюда, среди прочих причин, проистекает интерес астрономических фактов и интерес геологического прошлого; уходя очень далеко в пространстве или очень далеко во времени, мы можем найти наши обычные правила полностью опрокинутыми, и эти великие опрокидывания помогают нам лучше видеть или лучше понимать маленькие изменения, которые могут произойти ближе к нам, в маленьком уголке мира, где мы призваны жить и действовать. Мы лучше узнаем этот уголок, попутешествовав по далеким странам, с которыми мы не имеем ничего общего.

Но к чему мы должны стремиться, так это в меньшей степени к установлению сходств и различий, чем к распознаванию подобий, скрытых под кажущимися расхождениями. Частные правила кажутся поначалу несогласованными, но, присмотревшись, мы видим в общем, что они похожи друг на друга; разные по материи, они похожи по форме, по порядку своих частей. Когда мы смотрим на них с этим предубеждением, мы увидим, как они расширяются и стремятся охватить все. И именно это составляет ценность определенных фактов, которые приходят, чтобы завершить ансамбль и показать, что он является верным образом других известных ансамблей.

Я не буду больше настаивать, но этих нескольких слов достаточно, чтобы показать, что ученый не выбирает наугад факты, которые он наблюдает. Он не считает, как говорит Толстой, божьих коровок, потому что, как бы интересны ни были божьи коровки, их число подвержено капризным изменениям. Он стремится сжать много опыта и много мысли в тонкий том; и именно поэтому маленькая книга по физике содержит так много прошлых опытов и в тысячу раз больше возможных опытов, результат которых известен заранее.

Но мы пока посмотрели только на одну сторону вопроса. Ученый не изучает природу потому, что она полезна; он изучает ее потому, что он наслаждается ею, и он наслаждается ею потому, что она прекрасна. Если бы природа не была прекрасна, она не стоила бы того, чтобы ее знать, и если бы природа не стоила того, чтобы ее знать, жизнь не стоила бы того, чтобы жить. Конечно, я здесь не говорю о той красоте, которая поражает чувства, красоте качеств и внешнего вида; не то чтобы я недооценивал такую красоту, отнюдь нет, но она не имеет ничего общего с наукой; я имею в виду ту более глубокую красоту, которая исходит от гармоничного порядка частей и которую чистый интеллект может постичь. Именно это придает тело, структуру, так сказать, переливающимся явлениям, которые льстят нашим чувствам, и без этой поддержки красота этих мимолетных снов была бы лишь несовершенной, потому что она была бы расплывчатой и всегда ускользающей. Напротив, интеллектуальная красота самодостаточна, и именно ради нее, больше, возможно, чем ради будущего блага человечества, ученый посвящает себя долгим и трудным трудам.

Именно поэтому поиск этой особой красоты, чувство гармонии космоса заставляет нас выбирать факты, наиболее подходящие для того, чтобы внести вклад в эту гармонию, точно так же, как художник выбирает среди черт своей модели те, которые совершенствуют картину и придают ей характер и жизнь. И нам не нужно бояться, что эта инстинктивная и невысказанная предрасположенность отвратит ученого от поиска истины. Можно мечтать о гармоничном мире, но как далеко реальный мир оставит его позади! Величайшие художники, которые когда-либо жили, греки, создали свои небеса; как они убоги рядом с истинными небесами, нашими!

И именно потому, что простота, потому что величие прекрасны, мы предпочтительно ищем простые факты, возвышенные факты, что мы наслаждаемся то следовать величественному курсу звезд, то рассматривать в микроскоп ту поразительную малость, которая также является величием, то искать в геологическом времени следы прошлого, которое притягивает, потому что оно далеко.

Мы видим также, что стремление к прекрасному ведет нас к тому же выбору, что и стремление к полезному. И так получается, что эта экономия мысли, эта экономия усилий, которая является, согласно Маху, постоянной тенденцией науки, является в то же время источником красоты и практическим преимуществом. Здания, которыми мы восхищаемся, — это те, где архитектор умел соразмерить средства с целью, где колонны кажутся несущими весело, без усилий, вес, возложенный на них, как грациозные кариатиды Эрехтейона.

Откуда берется это согласие? Просто ли это то, что вещи, которые кажутся нам красивыми, — это те, которые лучше всего адаптируются к нашему интеллекту, и что, следовательно, они являются в то же время инструментом, который этот интеллект лучше всего умеет использовать? Или здесь есть игра эволюции и естественного отбора? Истребили ли народы, чей идеал наиболее соответствовал их высшему интересу, других и заняли их место? Все преследовали свои идеалы без оглядки на последствия, но в то время как этот поиск вел одних к разрушению, другим он дал империю. Искушение верить в это велико. Если греки восторжествовали над варварами и если Европа, наследница греческой мысли, доминирует в мире, то это потому, что дикари любили яркие цвета и шумные тона барабана, которые занимали только их чувства, в то время как греки любили интеллектуальную красоту, которая скрывается под чувственной красотой, и именно эта интеллектуальная красота делает интеллект уверенным и сильным.

Несомненно, такой триумф ужаснул бы Толстого, и он не хотел бы признать, что он может быть действительно полезен. Но этот бескорыстный поиск истины ради ее собственной красоты также здоров и способен сделать человека лучше. Я хорошо знаю, что бывают ошибки, что мыслитель не всегда черпает оттуда ту безмятежность, которую должен был бы найти, и даже что есть ученые с дурным характером. Должны ли мы поэтому оставить науку и изучать только мораль? Что! Вы думаете, что моралисты сами безупречны, когда они спускаются со своего пьедестала?

ГЛАВА II

Будущее математики

Чтобы предвидеть будущее математики, истинный метод — изучать ее историю и ее нынешнее состояние.

Разве это не является для нас, математиков, своего рода профессиональной процедурой? Мы привыкли экстраполировать, что является средством выведения будущего из прошлого и настоящего, и, поскольку мы хорошо знаем, к чему это сводится, мы не рискуем обмануться относительно диапазона результатов, которые это нам дает.

У нас до сих пор были пророки зла. Они беззаботно повторяют, что все проблемы, поддающиеся решению, уже решены и что не осталось ничего, кроме собирания крох. К счастью, случай прошлого обнадеживает нас. Часто думали, что все проблемы решены или, по крайней мере, составлен инвентарь всех, допускающих решение. А затем смысл слова «решение» расширялся, неразрешимые проблемы становились самыми интересными из всех, и появлялись другие, непредвиденные. Для греков хорошим решением было то, которое использовало только линейку и циркуль; затем оно стало тем, которое получено извлечением корней, затем тем, которое использует только алгебраические или логарифмические функции. Пессимисты, таким образом, оказывались всегда обойденными, всегда вынужденными отступать, так что в настоящее время, я думаю, их больше нет.

Мое намерение, следовательно, не в том, чтобы бороться с ними, так как они мертвы; мы хорошо знаем, что математика будет продолжать развиваться, но вопрос в том, как, в каком направлении? Вы ответите: «во всех направлениях», и это отчасти верно; но если бы это было полностью верно, это было бы немного пугающе. Наши богатства скоро стали бы обременительными, и их накопление произвело бы мешанину, столь же непроницаемую, какой была неизвестная истина для невежды.

Историк, физик, даже, должен сделать выбор среди фактов; голова ученого, которая является лишь уголком вселенной, никогда не могла бы вместить вселенную целиком; так что среди бесчисленных фактов, которые предлагает природа, одни будут пропущены, другие удержаны.

Точно так же, тем более, в математике; геометр не может удерживать вперемешку все факты, представляющиеся ему; тем более, что именно он, почти сказал бы я, его каприз, создает эти факты. Он конструирует совершенно новую комбинацию, соединяя вместе ее элементы; природа в общем не дает ее ему готовой.

Несомненно, иногда случается, что математик берется за проблему, чтобы удовлетворить потребность в физике; что физик или инженер просит его вычислить число для определенного применения. Следует ли сказать, что мы, геометры, должны ограничиться ожиданием приказов и, вместо того чтобы культивировать нашу науку ради собственного удовольствия, пытаться только приспособиться к желаниям наших покровителей? Если математика не имеет другой цели, кроме помощи тем, кто изучает природу, именно от них мы должны ждать приказов. Легитимен ли этот способ смотреть на это? Конечно, нет; если бы мы не культивировали точные науки ради них самих, мы не создали бы математику как инструмент, и в день, когда пришел бы вызов от физика, мы были бы беспомощны.

Не ждут и физики изучения явления, пока какая-то острая потребность материальной жизни не сделала его необходимостью для них; и они правы. Если бы ученые восемнадцатого века пренебрегли электричеством как в их глазах лишь любопытством без практического интереса, мы не имели бы в двадцатом веке ни телеграфии, ни электрохимии, ни электротехники. Физики, вынужденные выбирать, поэтому не руководствуются в своем выборе исключительно пользой. Как же тогда они выбирают между фактами природы? Мы объяснили это в предыдущей главе: факты, которые их интересуют, — это те, которые способны привести к открытию закона, и поэтому они аналогичны многим другим фактам, которые не кажутся нам изолированными, а тесно сгруппированными с другими. Изолированный факт привлекает все взоры, как мирянина, так и ученого. Но что умеет видеть только настоящий физик, так это связь, которая объединяет многие факты, чья аналогия глубока, но скрыта. История с яблоком Ньютона, вероятно, неправда, но она символична; давайте говорить о ней тогда, как если бы она была правдой. Что ж, мы должны верить, что до Ньютона множество людей видели, как падают яблоки; никто не знал, как сделать из этого какой-либо вывод. Факты были бы стерильны, если бы не было умов, способных выбирать среди них, различать те, за которыми что-то скрыто, и распознавать, что скрывается, умов, которые под грубым фактом воспринимают душу факта.

Мы находим точно то же самое в математике. Из разнообразных элементов в нашем распоряжении мы можем получить миллионы различных комбинаций; но одна из этих комбинаций, поскольку она изолирована, абсолютно лишена ценности. Часто мы прикладывали большие усилия, чтобы сконструировать ее, но она не служит никакой цели, если не считать, возможно, задачи в среднем образовании. Совсем иначе будет, когда эта комбинация найдет место в классе аналогичных комбинаций и мы заметим эту аналогию. Мы уже не в присутствии факта, а закона. И в тот день настоящим открывателем будет не рабочий, который терпеливо построил некоторые из этих комбинаций; это будет тот, кто выявит их родство. Первый видел лишь грубый факт, только другой воспринял душу факта. Часто, чтобы зафиксировать это родство, ему достаточно сделать новое слово, и это слово творческое. История науки дает нам толпу примеров, знакомых всем.

Знаменитый венский философ Мах сказал, что роль науки — производить экономию мысли, точно так же, как машины производят экономию усилий. И это очень верно. Дикарь считает на пальцах или нагромождая камешки. Обучая детей таблице умножения, мы избавляем их позже от бесчисленных сборов камешков. Кто-то уже выяснил, с помощью камешков или иначе, что 6 раз 7 — 42, и имел идею отметить результат, и поэтому нам не нужно делать это снова. Он не тратил свое время, даже если считал ради удовольствия: его операция заняла у него только две минуты; это заняло бы в общей сложности два миллиарда, если бы миллиард человек должен был делать это снова после него.

Важность факта, таким образом, измеряется его выходом, то есть количеством мысли, которое он позволяет нам сэкономить.

В физике факты большого выхода — это те, которые входят в очень общий закон, поскольку из него они позволяют нам предвидеть большое количество других, и точно так же в математике. Предположим, я предпринял сложное вычисление и с трудом достиг результата: я не буду вознагражден за свои усилия, если тем самым я не стал способен предвидеть результаты других аналогичных вычислений и направлять их с уверенностью, которая избегает блужданий, к которым нужно быть готовым в первой попытке. С другой стороны, я не потрачу зря свое время, если эти блуждания сами по себе закончатся тем, что откроют мне глубокую аналогию проблемы, только что рассмотренной, с гораздо более обширным классом других проблем; если они покажут мне сразу сходства и различия этих, если, одним словом, они заставят меня воспринять возможность обобщения. Тогда это не новый результат, который я выиграл, это новая сила.

Простой пример, который приходит на ум первым, — это алгебраическая формула, которая дает нам решение типа числовых задач, когда мы наконец заменяем буквы числами. Благодаря ей одно алгебраическое вычисление избавляет нас от мучений постоянно начинать снова новые числовые вычисления. Но это лишь грубый пример; мы все знаем, что есть аналогии, невыразимые формулой, и тем более ценные.

Новый результат ценен, если вообще ценен, когда, объединяя элементы, давно известные, но до сих пор раздельные и кажущиеся чуждыми друг другу, он внезапно вносит порядок туда, где царил беспорядок. Он тогда позволяет нам увидеть с первого взгляда каждый из этих элементов и его место в ансамбле. Этот новый факт не просто ценен сам по себе, но он один придает ценность всем старым фактам, которые он объединяет. Наш ум слаб, как и чувства; он потерялся бы в сложности мира, если бы эта сложность не была гармоничной; как близорукий человек, он видел бы только детали и был бы вынужден забыть каждую из этих деталей перед изучением следующей, поскольку был бы неспособен охватить все. Единственные факты, достойные нашего внимания, — это те, которые вносят порядок в эту сложность и тем самым делают ее доступной.

Математики придают большое значение элегантности своих методов и своих результатов. Это не чистое дилетантство. Что же на самом деле дает нам чувство элегантности в решении, в доказательстве? Это гармония разнообразных частей, их симметрия, их счастливый баланс; одним словом, это все, что вносит порядок, все, что дает единство, что позволяет нам видеть ясно и постигать сразу как ансамбль, так и детали. Но это именно то, что дает великие результаты; на самом деле, чем яснее мы видим этот агрегат и с одного взгляда, тем лучше мы воспринимаем его аналогии с другими соседними объектами, следовательно, тем больше шансов у нас угадать возможные обобщения. Элегантность может вызвать чувство непредвиденного из-за неожиданной встречи объектов, которые мы не привыкли сводить вместе; там снова она плодотворна, поскольку она таким образом открывает нам родство, ранее не распознанное. Она плодотворна, даже когда она проистекает только из контраста между простотой средств и сложностью поставленной проблемы; она заставляет нас тогда думать о причине этого контраста и очень часто заставляет нас видеть, что случай не является причиной; что она должна быть найдена в каком-то неожиданном законе. Одним словом, чувство математической элегантности — это только удовлетворение, обусловленное любой адаптацией решения к потребностям нашего ума, и именно из-за этой самой адаптации это решение может быть для нас инструментом. Следовательно, это эстетическое удовлетворение связано с экономией мысли. Снова сравнение с Эрехтейоном приходит мне на ум, но я не должен использовать его слишком часто.

Именно по той же причине, когда довольно длинное вычисление привело к какому-то простому и поразительному результату, мы не удовлетворены, пока не показали, что мы могли бы предвидеть, если не весь этот результат, то по крайней мере его самые характерные черты. Почему? Что мешает нам довольствоваться вычислением, которое сказало нам, кажется, все, что мы хотели знать? Это потому, что в аналогичных случаях длинное вычисление могло бы больше не помочь, и что это не так с рассуждением, часто полуинтуитивным, которое позволило бы нам предвидеть. Это рассуждение будучи коротким, мы видим с одного взгляда все его части, так что мы немедленно воспринимаем, что должно быть изменено, чтобы адаптировать его ко всем проблемам той же природы, которые могут возникнуть. И тогда оно позволяет нам предвидеть, будет ли решение этих проблем простым, оно показывает нам по крайней мере, стоит ли предпринимать вычисление.

Сказанного достаточно, чтобы показать, насколько тщетно было бы пытаться заменить свободу инициативы математика какой-либо механической процедурой. Чтобы получить результат, имеющий реальную ценность, недостаточно просто выполнять вычисления или иметь машину для приведения вещей в порядок; ценность представляет не просто порядок, а неожиданный порядок. Машина может грызть сырой факт, но душа факта всегда ускользнет от нее.

С середины прошлого века математики все больше стремятся к достижению абсолютной строгости; они правы, и эта тенденция будет все более усиливаться. В математике строгость — это не все, но без нее нет ничего. Доказательство, которое не является строгим, — это ничто. Думаю, никто не станет оспаривать эту истину. Но если понимать ее слишком буквально, пришлось бы сделать вывод, что до 1820 года, например, математики не существовало; это было бы явно преувеличением; геометры того времени интуитивно понимали то, что мы объясняем многословными рассуждениями. Это не значит, что они этого совсем не видели; но они проходили мимо этого слишком быстро, а чтобы увидеть это хорошо, потребовалось бы взять на себя труд это высказать.

Но всегда ли нужно говорить об этом так много раз? Те, кто первыми поставили точность превыше всего, дали нам аргументы, которым мы можем попытаться подражать; но если доказательства будущего будут строиться по этому образцу, математические трактаты станут очень длинными; и если я опасаюсь удлинений, то не только потому, что не одобряю загромождение библиотек, но и потому, что боюсь, как бы при удлинении наши доказательства не утратили то подобие гармонии, полезность которого я только что объяснил.

Экономия мышления — вот к чему мы должны стремиться, поэтому недостаточно просто предоставлять модели для подражания. Необходимо, чтобы наши последователи могли обходиться без этих моделей и, вместо повторения уже сделанного рассуждения, резюмировать его в нескольких словах. И это временами уже достигалось. Например, существовал тип рассуждений, встречавшийся повсюду и везде одинаковый. Они были совершенно точными, но длинными. Затем внезапно была найдена фраза «равномерная сходимость», и эта фраза сделала такие рассуждения излишними; нам больше не нужно было их повторять, поскольку их можно было понять. Те, кто преодолевает трудности, оказывают нам двойную услугу: во-первых, они учат нас при необходимости поступать так же, как они, но, прежде всего, они позволяют нам как можно чаще избегать поступать так, как они, не жертвуя при этом точностью.

Мы только что увидели на одном примере важность слов в математике, но можно было бы привести и многие другие. Трудно поверить, насколько хорошо выбранное слово может экономить мышление, как говорит Мах. Возможно, я уже где-то говорил, что математика — это искусство давать одно и то же имя разным вещам. Важно, чтобы эти вещи, различаясь по содержанию, были схожи по форме, чтобы они могли, так сказать, отливаться в одну и ту же форму. Когда язык выбран удачно, мы с удивлением обнаруживаем, что все доказательства, сделанные для определенного объекта, немедленно применимы ко многим новым объектам; не нужно ничего менять, даже слов, поскольку названия стали одними и теми же.

Хорошо выбранное слово обычно позволяет устранить исключения, которым подвержены правила, сформулированные по-старому; именно поэтому мы создали отрицательные величины, мнимые числа, точки на бесконечности и тому подобное. А исключения, не следует забывать, пагубны, потому что они скрывают законы.

Что ж, это одна из характеристик, по которой мы узнаем факты, дающие великие результаты. Это те факты, которые допускают такие удачные нововведения в языке. Сырой факт часто не представляет большого интереса; мы можем указывать на него много раз, не оказав при этом большой услуги науке. Он обретает ценность лишь тогда, когда более мудрый мыслитель осознает отношение, которое он представляет, и символизирует его словом.

Более того, физики поступают точно так же. Они изобрели слово «энергия», и это слово оказалось поразительно плодотворным, потому что оно также создало закон, устранив исключения, поскольку дало одно и то же имя вещам, различающимся по содержанию, но схожим по форме.

Среди слов, оказавших наиболее благотворное влияние, я бы выделил «группа» и «инвариант». Они позволили нам увидеть сущность многих математических рассуждений; они показали нам, в скольких случаях старые математики рассматривали группы, сами того не зная, и как, считая себя далекими друг от друга, они внезапно оказывались рядом, не зная почему.

Сегодня мы сказали бы, что они имели дело с изоморфными группами. Мы теперь знаем, что в группе содержание малоинтересно, важна только форма, и что, зная группу, мы тем самым знаем все изоморфные группы; и благодаря этим словам «группа» и «изоморфизм», которые конденсируют в нескольких слогах это тонкое правило и быстро делают его знакомым всем умам, переход становится непосредственным и может быть осуществлен с полной экономией усилий мышления. Идея группы, кроме того, примыкает к идее преобразования. Почему мы придаем такую ценность изобретению нового преобразования? Потому что из одной теоремы оно позволяет нам получить десять или двадцать; оно имеет ту же ценность, что и ноль, приписанный справа к целому числу.

Вот что до сих пор определяло направление математического прогресса и столь же определенно будет определять его в будущем. Но этому в равной степени способствует и природа возникающих проблем. Мы не можем забывать, какова должна быть наша цель. На мой взгляд, эта цель двойственна. Наша наука граничит как с философией, так и с физикой, и мы работаем на наших двух соседей; поэтому мы всегда видели и будем видеть математиков, продвигающихся в двух противоположных направлениях.

С одной стороны, математическая наука должна размышлять о самой себе, и это полезно, поскольку размышление о себе — это размышление о человеческом разуме, который ее создал, тем более что это именно то из его творений, для которого он меньше всего заимствовал извне. Вот почему полезны некоторые математические спекуляции, такие как те, что посвящены изучению постулатов, необычных геометрий, своеобразных функций. Чем больше эти спекуляции отклоняются от обычных концепций и, следовательно, от природы и приложений, тем лучше они показывают нам, что может создать человеческий разум, когда он все больше освобождается от тирании внешнего мира, и, следовательно, тем лучше они позволяют нам познать его самого по себе.

Но именно в другую сторону, в сторону природы, мы должны направить основную часть нашей армии. Там мы встречаем физика или инженера, который говорит нам: «Пожалуйста, проинтегрируйте для меня это дифференциальное уравнение; оно может понадобиться мне через неделю для конструкции, которая должна быть закончена к тому времени». «Это уравнение, — отвечаем мы, — не относится ни к одному из интегрируемых типов; вы знаете, их не так много». «Да, я знаю; но тогда какая от вас польза?» Обычно достаточно понять друг друга; инженеру в действительности не нужен интеграл в конечном виде; ему нужно знать общий вид интегральной функции, или он просто хочет получить определенное число, которое можно было бы легко вывести из этого интеграла, если бы он был известен. Обычно он не известен, но число можно вычислить и без него, если мы точно знаем, какое число нужно инженеру и с какой точностью.

Раньше уравнение считалось решенным только тогда, когда его решение было выражено с помощью конечного числа известных функций; но это возможно едва ли один раз из ста. Что мы всегда можем сделать, или, вернее, к чему мы всегда должны стремиться, — это решить проблему, так сказать, качественно; то есть попытаться узнать общую форму кривой, которая представляет неизвестную функцию.

Остается найти количественное решение проблемы; но если неизвестное не может быть определено конечным вычислением, оно всегда может быть представлено сходящимся бесконечным рядом, который позволяет нам его вычислить. Можно ли это считать истинным решением? Нам говорят, что Ньютон прислал Лейбницу анаграмму, почти такую: aaaaabbbeeeeij и т. д. Лейбниц, естественно, ничего из этого не понял; но мы, имеющие ключ, знаем, что эта анаграмма означала в переводе на современные термины: «Я могу интегрировать все дифференциальные уравнения»; и нас подмывает сказать, что Ньютону либо очень повезло, либо у него были странные заблуждения. Он просто хотел сказать, что может сформировать (методом неопределенных коэффициентов) степенной ряд, формально удовлетворяющий предложенному уравнению.

Такое решение сегодня нас бы не удовлетворило, и по двум причинам: потому что сходимость слишком медленная и потому что члены следуют друг за другом, не подчиняясь никакому закону. Напротив, ряд Θ кажется нам не оставляющим желать лучшего, во-первых, потому что он сходится очень быстро (это для практика, который хочет как можно скорее получить число), а во-вторых, потому что мы с первого взгляда видим закон членов (это для удовлетворения эстетической потребности теоретика).

Но тогда больше нет решенных проблем и других, которые не решены; есть только проблемы, решенные в большей или меньшей степени, в зависимости от того, решены ли они рядом, сходящимся более или менее быстро, или подчиняющимся более или менее гармоничному закону. Однако часто случается, что несовершенное решение направляет нас к лучшему. Иногда ряд сходится так медленно, что вычисление невыполнимо, и нам удалось лишь доказать возможность решения проблемы.

И тогда инженер находит это насмешкой, и справедливо, поскольку это не поможет ему завершить свою конструкцию к установленному сроку. Его мало заботит, принесет ли это пользу инженерам двадцать второго века. Но что касается нас, мы думаем иначе, и иногда мы счастливее тем, что сэкономили нашим внукам день работы, чем тем, что сэкономили нашим современникам час.

Иногда на ощупь, эмпирически, так сказать, мы приходим к достаточно сходящейся формуле. «Чего же вы еще хотите?» — говорит инженер. И все же, несмотря на все, мы не удовлетворены; мы хотели бы предвидеть эту сходимость. Почему? Потому что, если бы мы знали, как предвидеть ее однажды, мы знали бы, как предвидеть ее в другой раз. Мы преуспели; это мало что значит в наших глазах, если мы не можем обоснованно ожидать, что сделаем это снова.

По мере развития науки ее полное понимание становится все более трудным; тогда мы стремимся разрезать ее на части и довольствоваться одной из этих частей: одним словом, специализироваться. Если бы мы продолжали двигаться этим путем, это стало бы серьезным препятствием для прогресса науки. Как мы уже говорили, она прогрессирует благодаря неожиданному союзу между своими разнообразными частями. Слишком сильная специализация означала бы запрет на эти сближения. Следует надеяться, что конгрессы, подобные тем, что были в Гейдельберге и Риме, вводя нас в контакт друг с другом, откроют нам перспективы на соседние области и заставят нас сравнивать их с нашими собственными, немного выходить за пределы нашей маленькой деревни; таким образом, они станут лучшим средством от только что упомянутой опасности.

Но я слишком долго задержался на общих положениях; пора перейти к деталям.

Давайте рассмотрим различные специальные науки, которые в совокупности составляют математику; посмотрим, чего каждая из них достигла, к чему она стремится и чего мы можем от нее ожидать. Если предыдущие взгляды верны, мы должны увидеть, что величайшие достижения в прошлом происходили тогда, когда две из этих наук объединялись, когда мы осознавали сходство их формы, несмотря на различие их содержания, когда они моделировались друг на друге так, что каждая могла воспользоваться завоеваниями другой. Мы должны в то же время предвидеть в комбинациях такого же рода прогресс будущего.

Арифметика

Прогресс в арифметике был гораздо медленнее, чем в алгебре и анализе, и легко понять почему. Чувство непрерывности — это драгоценный ориентир, которого не хватает арифметику; каждое целое число отделено от других — оно имеет, так сказать, свою собственную индивидуальность. Каждое из них — своего рода исключение, и именно поэтому общие теоремы в теории чисел встречаются реже; именно поэтому те, что существуют, более скрыты и дольше ускользают от исследователей.

Если арифметика отстает от алгебры и анализа, лучшее, что она может сделать, — это попытаться моделировать себя на этих науках, чтобы воспользоваться их прогрессом. Арифметику поэтому следует взять в качестве ориентира аналогии с алгеброй. Эти аналогии многочисленны, и если во многих случаях они еще не были изучены достаточно пристально, чтобы стать применимыми, они, по крайней мере, давно предвидены, и даже язык двух наук показывает, что они были распознаны. Так, мы говорим о трансцендентных числах и так мы объясняем будущую классификацию этих чисел, уже имея в качестве модели классификацию трансцендентных функций, и все же мы пока не очень хорошо видим, как перейти от одной классификации к другой; но если бы это было увидено, это было бы уже осуществлено и не было бы делом будущего.

Первый пример, который приходит мне на ум, — это теория сравнений, где обнаруживается идеальный параллелизм с теорией алгебраических уравнений. Конечно, мы преуспеем в завершении этого параллелизма, который должен иметь место, например, между теорией алгебраических кривых и теорией сравнений с двумя переменными. И когда будут решены задачи, относящиеся к сравнениям с несколькими переменными, это станет первым шагом к решению многих вопросов неопределенного анализа.

Алгебра

Теория алгебраических уравнений еще долго будет удерживать внимание геометров; многочисленны и очень различны стороны, с которых к ней можно подступиться.

Нам не следует думать, что алгебра закончена, потому что она дает нам правила для формирования всех возможных комбинаций; остается найти интересные комбинации, те, которые удовлетворяют тем или иным условиям. Так сформируется своего рода неопределенный анализ, где неизвестными будут уже не целые числа, а многочлены. На этот раз именно алгебра будет моделировать себя на арифметике, следуя аналогии целого числа с целым многочленом с любыми коэффициентами или с целым многочленом с целыми коэффициентами.

Геометрия

Кажется, что геометрия не может содержать ничего, что не было бы уже включено в алгебру или анализ; что геометрические факты — это лишь алгебраические или аналитические факты, выраженные на другом языке. Можно было бы тогда подумать, что после нашего обзора нам больше нечего будет сказать, относящегося специально к геометрии. Это означало бы не признать важность хорошо построенного языка, не понять, что добавляется к самим вещам методом выражения этих вещей и, следовательно, их группировки.

Во-первых, геометрические соображения заставляют нас ставить перед собой новые задачи; это могут быть, если хотите, аналитические задачи, но такие, которые мы никогда не поставили бы перед собой в связи с анализом. Анализ, однако, выигрывает от них, как он выигрывает от тех, которые ему приходится решать для удовлетворения нужд физики.

Большое преимущество геометрии заключается в том, что в ней чувства могут прийти на помощь мысли и помочь найти путь, которому нужно следовать, и многие умы предпочитают облекать задачи анализа в геометрическую форму. К несчастью, наши чувства не могут унести нас очень далеко, и они покидают нас, когда мы хотим воспарить за пределы классических трех измерений. Означает ли это, что за пределами ограниченной области, в которую они, кажется, хотят нас заточить, мы должны полагаться только на чистый анализ и что вся геометрия более чем трех измерений тщетна и беспредметна? Величайшие мастера предыдущего поколения ответили бы «да»; сегодня мы настолько свыклись с этим понятием, что можем говорить о нем даже в университетском курсе, не вызывая слишком большого удивления.

Но какая от этого польза? Это легко увидеть: во-первых, это дает нам очень удобную терминологию, которая кратко выражает то, что обычный аналитический язык сказал бы многословными фразами. Более того, этот язык заставляет нас называть подобные вещи одним и тем же именем и подчеркивать аналогии, которые он уже никогда не позволит нам забыть. Он позволяет нам, следовательно, все еще находить свой путь в этом пространстве, которое слишком велико для нас и которое мы не можем видеть, всегда вспоминая видимое пространство, которое является лишь его несовершенным образом, несомненно, но которое тем не менее является образом. Здесь снова, как и во всех предыдущих примерах, именно аналогия с простым позволяет нам понять сложное.

Эта геометрия более чем трех измерений — не простая аналитическая геометрия; она не чисто количественная, но и качественная, и именно в этом отношении она становится наиболее интересной. Существует наука, называемая анализ ситус (топология), объектом которой является изучение позиционных отношений различных элементов фигуры, независимо от их размеров. Эта геометрия чисто качественная; ее теоремы остались бы верными, если бы фигуры, вместо того чтобы быть точными, были грубо имитированы ребенком. Мы можем также создать анализ ситус более чем трех измерений. Важность анализа ситус огромна, и ее нельзя переоценить; преимущества, полученные от него Риманом, одним из его главных создателей, было бы достаточно, чтобы доказать это. Мы должны завершить его полное построение в пространствах высших размерностей; тогда у нас будет инструмент, который позволит нам действительно видеть в гиперпространстве и дополнить наши чувства.

Задачи анализа ситус, возможно, не возникли бы, если бы использовался только аналитический язык; или, вернее, я ошибаюсь, они возникли бы наверняка, поскольку их решение существенно для множества вопросов в анализе, но они возникали бы по отдельности, одна за другой, и без возможности для нас осознать их общую связь.

Канторизм

Я говорил выше о нашей потребности постоянно возвращаться к первым принципам нашей науки и о пользе этого для изучения человеческого разума. Эта потребность вдохновила две попытки, которые заняли очень видное место в самых последних анналах математики. Первая — это канторизм, который оказал нашей науке столь выдающуюся услугу. Кантор ввел в науку новый способ рассмотрения математической бесконечности. Одной из характерных черт канторизма является то, что вместо того, чтобы восходить к общему путем построения все более сложных конструкций и определения через построение, он исходит из genus supremum и определяет только, как сказали бы схоласты, per genus proximum et differentiam specificam. Отсюда происходит ужас, который он иногда внушал некоторым умам, например, Эрмиту, чьей любимой идеей было сравнение математических наук с естественными. У большинства из нас эти предрассудки рассеялись, но случилось так, что мы столкнулись с некоторыми парадоксами, некоторыми кажущимися противоречиями, которые привели бы в восторг Зенона Элейского и мегарскую школу. И тогда каждый должен искать средство. Что касается меня, я думаю, и я не единственный, что важно никогда не вводить сущности, не определяемые полностью конечным числом слов. Каким бы ни было принятое лекарство, мы можем обещать себе радость врача, призванного наблюдать прекрасный патологический случай.

Исследование постулатов

С другой стороны, были предприняты усилия перечислить аксиомы и постулаты, более или менее скрытые, которые служат фундаментом для различных теорий математики. Профессор Гильберт получил самые блестящие результаты. Сначала кажется, что эта область была бы очень ограниченной и нечего было бы больше делать, когда инвентаризация была бы закончена, что не могло бы занять много времени. Но когда мы перечислим все, будет много способов классифицировать все; хороший библиотекарь всегда найдет, что делать, и каждая новая классификация будет поучительной для философа.