«Английские сочинения Томаса Гоббса, том 1»

10. Если тело переносится двумя движителями вместе, которые встречаются под любым заданным углом и движутся: один равномерно, другой — с импульсом, возрастающим из состояния покоя, пока он не станет равным импульсу равномерного движения, и с таким ускорением, что пропорция пройденных длин везде трипликатна пропорции времен, в течение которых они пройдены; линия, по которой движется это тело, будет кривой линией первого полупараболастера двух средних, основанием которого является последний приобретенный импульс.

Пусть прямая линия A B (на 6-м рисунке) перемещается равномерно к C D; и пусть другой движитель A C перемещается в то же время к B D с движением, ускоренным настолько, что пропорция пройденных длин везде трипликатна пропорции их времен; и пусть импульс, приобретенный в конце этого движения, будет B D, равный прямой линии A C; и, наконец, пусть A G D будет кривой линией первого полупараболастера двух средних. Я утверждаю, что при схождении двух движителей вместе тело будет всегда находиться на этой кривой линии A G D. Ибо пусть будет построен параллелограмм A B D C; и из точки E, взятой в любом месте прямой линии A B, пусть будет проведена E F параллельно A C и пересекающая кривую линию в G; и через точку G пусть будет проведена H I параллельно прямым линиям A B и C D. Поскольку, следовательно, пропорция A B к A E по предположению трипликатна пропорции E F к E G, то есть времени A C к времени A H, в то же время, когда A C будет в E F, A B будет в H I; и поэтому движущееся тело будет в общей точке G. И так будет всегда, в какой бы части A B ни была взята точка E; и, следовательно, тело всегда будет находиться на кривой линии A G D; что и требовалось доказать.

11. Тем же методом можно показать, какая линия образуется движением тела, переносимого при схождении любых двух движителей, которые движутся: один из них равномерно, другой — с ускорением, но в таких пропорциях пространств и времен, которые объяснимы числами, как дупликатные, трипликатные и т. д., или такими, которые могут быть обозначены любым дробным числом. Для чего существует следующее правило. Пусть два числа длины и времени будут сложены вместе; и пусть их сумма будет знаменателем дроби, числителем которой должно быть число длины. Ищите эту дробь в таблице третьей статьи XVII главы; и искомой линией будет та, которая обозначает трехстороннюю фигуру, отмеченную с левой стороны; и ее вид будет тем, который пронумерован выше над дробью. Например, пусть будет схождение двух движителей, из которых один движется равномерно, другой — с движением, ускоренным настолько, что пространства относятся к временам как 5 к 3. Пусть будет составлена дробь, знаменателем которой является сумма 5 и 3, а числителем — 5, а именно дробь 5/8. Ищите в таблице, и вы найдете, что 5/8 — третья в том ряду, который относится к трехсторонней фигуре четырех средних. Поэтому линией движения, образованной схождением двух таких движителей, как описано в последнюю очередь, будет кривая линия третьего параболастера четырех средних.

12. Если движение совершается при схождении двух движителей, из которых один движется равномерно, другой — начиная из состояния покоя в угле схождения с любым ускорением; движитель, который движется равномерно, будет продвигать движущееся тело в соответствующих параллельных пространствах меньше, чем если бы оба движителя имели равномерное движение; и все меньше и меньше, по мере того как движение другого движителя все более и более ускоряется.

Пусть тело будет помещено в A (на 7-м рисунке) и переносится двумя движителями: одним — равномерным движением от прямой линии A B к параллельной ей прямой линии C D; и другим — с любым ускорением, от прямой линии A C к параллельной ей прямой линии B D; и в параллелограмме A B D C пусть будет взято пространство между любыми двумя параллелями E F и G H. Я утверждаю, что пока движитель A C проходит широту, которая находится между E F и G H, тело меньше продвигается вперед от A B к C D, чем оно продвинулось бы, если бы движение от A C к B D было равномерным.

Ибо предположим, что пока тело заставляют опускаться к параллели E F силой движителя от A C к B D, то же тело за то же время продвигается вперед к любой точке F на линии E F силой движителя от A B к C D; и пусть будет проведена прямая линия A F и продолжена неопределенно, пересекая G H в H. Поскольку, следовательно, как A E относится к A G, так E F относится к G H; если бы A C опускался к B D равномерным движением, тело за время G H (ибо я делаю A C и его параллели мерой времени) оказалось бы в точке H. Но поскольку A C предполагается движущимся к B D с непрерывно ускоряющимся движением, то есть в большей пропорции пространства к пространству, чем времени к времени, за время G H тело будет находиться на некоторой параллели за ней, как между G H и B D. Предположим теперь, что в конце времени G H оно находится на параллели I K, и в I K пусть I L будет взято равным G H. Когда, следовательно, тело находится на параллели I K, оно будет в точке L. Поэтому, когда оно было на параллели G H, оно было в некоторой точке между G и H, как в точке M; но если бы оба движения были равномерными, оно было бы в точке H; и поэтому, пока движитель A C проходит широту, которая находится между E F и G H, тело меньше продвигается вперед от A B к C D, чем оно продвинулось бы, если бы оба движения были равномерными; что и требовалось доказать.

13. Дана любая длина, которая пройдена за данное время при равномерном движении; найти, какая длина будет пройдена за то же время при равномерно ускоренном движении, то есть при таком движении, что пропорция пройденных длин непрерывно дупликатна пропорции их времен, и что линия последнего приобретенного импульса равна линии всего времени движения.

Пусть A B (на 8-м рисунке) будет длиной, пройденной равномерным движением за время A C; и требуется найти другую длину, которая будет пройдена за то же время равномерно ускоренным движением, так чтобы линия последнего приобретенного импульса была равна прямой линии A C.

Пусть будет построен параллелограмм A B D C; и пусть B D будет разделено пополам в E; и между B E и B D пусть B F будет средним пропорциональным; и пусть A F будет проведено и продолжено до тех пор, пока оно не встретится с C D, продолженной в G; и, наконец, пусть будет построен параллелограмм A C G H. Я утверждаю, что A H — искомая длина.

Ибо как дупликатная пропорция относится к простой пропорции, так пусть A H относится к A I, то есть пусть A I будет половиной A H; и пусть I K будет проведено параллельно прямой линии A C и пересекающее диагональ A D в K, а прямую линию A G в L. Поскольку, следовательно, A I есть половина A H, I L также будет половиной B D, то есть равной B E; и I K равной B F; ибо B D, то есть G H, B F и B E, то есть I L, будучи непрерывными пропорциональными, A H, A B и A I также будут непрерывными пропорциональными. Но как A B относится к A I, то есть как A H относится к A B, так B D относится к I K, и так же G H, то есть B D, относится к B F; и поэтому B F и I K равны. Теперь пропорция A H к A I дупликатна пропорции A B к A I, то есть пропорции B D к I K, или G H к I K. Поэтому точка K будет лежать на параболе, диаметром которой является A H, а основанием — G H, каковое G H равно A C. Тело, следовательно, двигаясь из состояния покоя в A с равномерно ускоренным движением за время A C, когда оно пройдет длину A H, приобретет импульс G H, равный времени A C, то есть такой импульс, с которым тело пройдет длину A C за время A C. Поэтому дана любая длина и т. д., что и требовалось сделать.

14. Дана любая длина, которая за данное время пройдена равномерным движением; найти, какая длина будет пройдена за то же время при движении, ускоренном настолько, что пройденные длины непрерывно находятся в трипликатной пропорции к пропорции их времен, а линия последнего приобретенного импульса равна линии данного времени.

Пусть данная длина A B (на 9-м рисунке) пройдена равномерным движением за время A C; и требуется найти, какая длина будет пройдена за то же время при движении, ускоренном настолько, что пройденные длины непрерывно находятся в трипликатной пропорции к пропорции их времен, а последний приобретенный импульс равен данному времени.

Пусть будет построен параллелограмм A B D C; и пусть B D будет разделено в E так, что B E составляет третью часть всего B D; и пусть B F будет средним пропорциональным между B D и B E; и пусть A F будет проведено и продолжено до тех пор, пока оно не встретит прямую линию C D в G; и, наконец, пусть будет построен параллелограмм A C G H. Я утверждаю, что A H — искомая длина.

Ибо как трипликатная пропорция относится к простой пропорции, так пусть A H относится к другой линии, A I, то есть сделаем A I третьей частью всего A H; и пусть I K будет проведено параллельно прямой линии A C, пересекающее диагональ A D в K, а прямую линию A G в L; затем, как A B относится к A I, так пусть A I относится к другой, A N; и из точки N пусть N Q будет проведено параллельно A C, пересекающее A G, A D и F K, продолженные в P, M и O; и, наконец, пусть будут проведены F O и L M, которые будут равны и параллельны прямым линиям B N и I N. Благодаря этому построению пройденные длины A H, A B, A I и A N будут непрерывными пропорциональными; и таким же образом времена G H, B F, I L и N P, то есть N Q, N O, N M и N P, будут непрерывными пропорциональными и в той же пропорции, что и A H, A B, A I и A N. Поэтому пропорция A H к A N та же, что и B D, то есть N Q к N P; и пропорция N Q к N P трипликатна пропорции N Q к N O, то есть трипликатна пропорции B D к I K; поэтому и длина A H относится к длине A N в трипликатной пропорции к пропорции времени B D к времени I K; и поэтому кривая линия первой трехсторонней фигуры двух средних, диаметром которой является A H, а основанием G H, равное A C, пройдет через точку O; и, следовательно, A H будет пройдена за время A C и будет иметь свой последний приобретенный импульс G H, равный A C, а пропорции длин, приобретенных за любое из времен, будут трипликатны пропорциям самих времен. Поэтому A H — длина, которую требовалось найти.

Тем же методом, если дана длина, которая пройдена равномерным движением за любое данное время, можно найти другую длину, которая будет пройдена за то же время при движении, ускоренном настолько, что пройденные длины будут относиться к временам, в течение которых они пройдены, в квадрупликатной, квинтупликатной и так далее до бесконечности пропорции. Ибо если B D разделить в E так, что B D относится к B E как 4 к 1; и взять между B D и B E среднее пропорциональное F B; и как A H относится к A B, так сделать A B к третьей, и снова так, чтобы эта третья относилась к четвертой, а четвертая к пятой, A N, так что пропорция A H к A N была квадрупликатной пропорции A H к A B, и построить параллелограмм N B F O, кривая линия первой трехсторонней фигуры трех средних пройдет через точку O; и, следовательно, движущееся тело приобретет импульс G H, равный A C, за время A C. И так далее для остальных.

15. Также, если пропорция пройденных длин к пропорции их времен относится как любое число к любому числу, тот же метод служит для нахождения длины, пройденной с таким импульсом и за такое время.

Ибо пусть A C (на 10-м рисунке) будет временем, за которое тело проходит равномерным движением от A до B; и, построив параллелограмм A B D C, требуется найти длину, на которой это тело может двигаться за то же время A C от A с движением, ускоренным настолько, что пропорция пройденных длин к пропорции времен непрерывно относится как 3 к 2.

Пусть B D будет разделено в E так, что B D относится к B E как 3 к 2; и между B D и B E пусть B F будет средним пропорциональным; и пусть A F будет проведено и продолжено до тех пор, пока оно не встретит C D, продолженную в G; и, сделав A M средним пропорциональным между A H и A B, пусть будет как A M к A B, так A B к A I; и так пропорция A H к A I будет относиться к пропорции A H к A B как 3 к 2; ибо из пропорций, одной из которых является A H к A M, пропорция A H к A B составляет две, а A H к A I — три; и, следовательно, как 3 к 2 к пропорции G H к B F, и (при проведении F K параллельно B I и пересекающем A D в K) так же к пропорции G H или B D к I K. Поэтому пропорция длины A H к A I относится к пропорции времени B D к I K как 3 к 2; и поэтому, если за время A C тело движется ускоренным движением, как было предложено, пока оно не приобретет импульс H G, равный A C, пройденная за то же время длина будет A H.

16. Но если бы пропорция длин к пропорции времен была как 4 к 3, тогда нужно было бы взять два средних пропорциональных между A H и A B, и их пропорция должна была бы быть продолжена еще на один член, так чтобы A H к A B имело три таких же пропорции, из которых A H к A I имеет четыре; и все остальное должно было бы быть сделано так, как уже показано. Теперь способ, как вставить любое число средних между двумя данными линиями, еще не найден. Тем не менее, это может служить общим правилом: если дано время и длина, пройденная за это время равномерным движением; как, например, если время есть A C, а длина A B, то прямая линия A G, которая определяет длину C G или A H, пройденную за то же время A C при любом ускоренном движении, должна так пересекать B D в F, что B F будет средним пропорциональным между B D и B E, причем B E берется в B D так, что пропорция длины к длине везде относится к пропорции времени к времени как все B D к его части B E.

17. Если за данное время пройдены две длины, одна равномерным движением, другая — движением, ускоренным в любой пропорции длин к временам; и снова, за часть того же времени пройдены части тех же длин с теми же движениями, вся длина будет превышать другую длину в той же пропорции, в какой одна часть превышает другую часть.

Например, пусть A B (на 8-м рисунке) будет длиной, пройденной за время A C равномерным движением; и пусть A H будет другой длиной, пройденной за то же время равномерно ускоренным движением, так что последний приобретенный импульс G H равен A C; и в A H пусть будет взята любая часть A I, пройденная за часть времени A C равномерным движением; и пусть будет взята другая часть A B, пройденная за ту же часть времени A C равномерно ускоренным движением; я утверждаю, что как A H относится к A B, так A B будет относиться к A I.

Пусть B D будет проведено параллельно и равно H G и разделено пополам в E, и между B D и B E пусть будет взято среднее пропорциональное B F; и прямая линия A G, согласно доказательству ст. 13, пройдет через F. И разделив A H пополам в I, A B будет средним пропорциональным между A H и A I. Далее, поскольку A I и A B описаны теми же движениями, если I K будет проведено параллельно и равно B F или A M и разделено пополам в N, и между I K и I N будет взято среднее пропорциональное I L, прямая линия A F, согласно доказательству той же ст. 13, пройдет через L. И разделив A B пополам в O, линия A I будет средним пропорциональным между A B и A O. Где A B разделено в I и O таким же образом, как A H разделено в B и I; и как A H к A B, так A B к A I. Что и требовалось доказать.

Следствие. Также как A H к A B, так H B к B I; и так же B I к I O.

И как это, где одно из движений равномерно ускорено, доказано из доказательства ст. 13; так, когда ускорения находятся в двойной пропорции к временам, то же самое может быть доказано доказательством ст. 14; и тем же методом при всех других ускорениях, пропорции которых к временам объяснимы числами.

18. Если две стороны, содержащие угол в любом параллелограмме, перемещаются за одно и то же время к противоположным им сторонам, одна из них равномерным движением, другая — равномерно ускоренным движением; та сторона, которая движется равномерно, будет влиять своим схождением на всю пройденную длину столько же, сколько она влияла бы, если бы другое движение также было равномерным, а длина, пройденная им за то же время, была средним пропорциональным между целым и половиной.

Пусть сторона A B параллелограмма A B D C (на 11-м рисунке) понимается как перемещающаяся равномерным движением до совпадения с C D; и пусть время этого движения будет A C или B D. Также за то же время пусть сторона A C понимается как перемещающаяся равномерно ускоренным движением до совпадения с B D; затем, разделив A B пополам в E, пусть A F будет сделано средним пропорциональным между A B и A E; и, проведя F G параллельно A C, пусть сторона A C понимается как перемещающаяся за то же время A C равномерным движением до совпадения с F G. Я утверждаю, что целое A B вносит такой же вклад в скорость тела, помещенного в A, когда движение A C равномерно ускоряется до B D, какой вклад вносит часть A F, когда сторона A C движется равномерно и за то же время к F G.

Ибо, поскольку A F есть средняя пропорциональная между целым A B и его половиной A E, B D будет (согласно 13-й статье) последним импульсом, приобретенным A C при равномерно ускоренном движении до тех пор, пока оно не достигнет того же B D; и, следовательно, прямая линия F B будет тем избытком, на который длина, пройденная A C при равномерно ускоренном движении, превысит длину, пройденную тем же A C за то же время при равномерном движении и с импульсом, везде равным B D. Посему, если целое A B движется равномерно к C D за то же время, в которое A C движется равномерно к F G, то часть F B, поскольку она вовсе не совпадает с движением стороны A C, которая, как предполагается, движется только к F G, ничего не добавит к ее движению. Далее, предполагая, что сторона A C движется к B D равномерно ускоренным движением, сторона A B со своим равномерным движением к C D будет меньше продвигать тело, когда оно ускоряется во всех параллелях, чем когда оно вовсе не ускоряется; и чем больше ускорение, тем меньше она будет его продвигать, как показано в 12-й статье. Когда, следовательно, A C находится в F G при ускоренном движении, тело будет находиться не в стороне C D в точке G, а в точке D; так что G D будет избытком, на который длина, пройденная при ускоренном движении к B D, превышает длину, пройденную при равномерном движении к F G; так что тело благодаря своему ускорению избегает действия части A F, достигает стороны C D за время A C и образует длину C D, которая равна длине A B. Посему равномерное движение от A B к C D за время A C воздействует на тело, равномерно ускоренное от A C к B D, не более, чем если бы A C двигалось за то же время равномерным движением к F G; различие состоит лишь в том, что когда A B воздействует на тело, равномерно движущееся от A C к F G, то, на что ускоренное движение превышает равномерное, целиком заключается в F B или G D; но когда то же A B воздействует на ускоряемое тело, то, на что ускоренное движение превышает равномерное, распределяется по всей длине A B или C D, однако так, что если бы это было собрано и сложено вместе, оно было бы равно тому же F B или G D. Посему, если две стороны, содержащие угол, и т. д.; что и требовалось доказать.

19. Если две пройденные длины имеют к своим временам любую другую пропорцию, выразимую числом, и сторона A B разделена в точке E так, что A B относится к A E в той же пропорции, которую пройденные длины имеют к временам, за которые они пройдены, и между A B и A E взята средняя пропорциональная A F, то тем же методом можно показать, что сторона, движущаяся равномерным движением, воздействует своим сопряжением на всю длину A B так же, как она воздействовала бы, если бы другое движение также было равномерным, а длина, пройденная за то же время A C, была бы этой средней пропорциональной A F.

И это все относительно движения при сопряжении.

Том 1. Лат. и англ. Гл. XVI. Рис. 1-11

Fig 1. Fig 2. Fig 3. Fig 4. Fig 5. Fig 6. Fig 7. Fig 8. Fig 9. Fig 10. Fig 11.

ГЛАВА XVII. О ДЕФИЦИТНЫХ ФИГУРАХ.

1. Определения дефицитной фигуры; полной фигуры; дополнения дефицитной фигуры; и пропорций, которые являются пропорциональными и соизмеримыми друг другу. — 2. Пропорция дефицитной фигуры к ее дополнению. — 3. Пропорции дефицитных фигур к параллелограммам, в которых они описаны, представленные в таблице. — 4. Описание и построение этих фигур. — 5. Проведение касательных к ним. — 6. В какой пропорции эти фигуры превышают прямолинейный треугольник той же высоты и основания. — 7. Таблица твердых дефицитных фигур, описанных в цилиндре. — 8. В какой пропорции эти фигуры превышают конус той же высоты и основания. — 9. Как плоская дефицитная фигура может быть описана в параллелограмме так, чтобы она относилась к треугольнику того же основания и высоты, как другая дефицитная фигура, плоская или твердая, взятая дважды, относится к той же дефицитной фигуре вместе с полной фигурой, в которой она описана. — 10. Перенос некоторых свойств дефицитных фигур, описанных в параллелограмме, на пропорции пространств, пройденных с различными степенями скорости. — 11. О дефицитных фигурах, описанных в круге. — 12. Пропозиция, доказанная в ст. 2, подтвержденная элементами философии. — 13. Необычный способ рассуждения о равенстве между поверхностью части сферы и кругом. — 14. Как из описания дефицитных фигур в параллелограмме можно найти любое количество средних пропорциональных между двумя данными прямыми линиями.

Definition of a deficient figure.

1. Я называю дефицитными фигурами те, которые можно понимать как порожденные равномерным движением некоторой величины, которая постоянно убывает, пока, наконец, не перестанет иметь какую-либо величину.

Definitions of a complete figure; of the complement of a deficient figure; and of proportions which are proportional & commensurable to one another.

И я называю полной фигурой ту, что соответствует дефицитной фигуре, которая порождается тем же движением и за то же время величиной, которая всегда сохраняет свою полную величину.

Дополнение дефицитной фигуры — это то, что при добавлении к дефицитной фигуре делает ее полной.

Четыре пропорции называются пропорциональными, когда первая из них относится ко второй так же, как третья к четвертой. Например, если первая пропорция является дупликатной ко второй, а третья — дупликатной к четвертой, то эти пропорции называются пропорциональными.

А соизмеримые пропорции — это те, которые относятся друг к другу как число к числу. Так, когда к данной пропорции одна пропорция является дупликатной, а другая трипликатной, дупликатная пропорция будет относиться к трипликатной как 2 к 3; но к данной пропорции она будет относиться как 2 к 1; и поэтому я называю эти три пропорции соизмеримыми.

The proportion of a deficient figure to its complement.

2. Дефицитная фигура, созданная величиной, постоянно убывающей до нуля в пропорциях, везде пропорциональных и соизмеримых, относится к своему дополнению так, как пропорция всей высоты к высоте, уменьшенной за любое время, относится к пропорции всей величины, описывающей фигуру, к той же величине, уменьшенной за то же время.

Пусть величина A B (на рис. 1) своим движением через высоту A C описывает полную фигуру A D; и пусть та же величина, постоянно убывая до нуля в C, описывает дефицитную фигуру A B E F C, дополнением которой будет фигура B D C F E. Теперь предположим, что A B движется, пока не окажется в G K, так что уменьшенная высота будет G C, а уменьшенная A B — G E; и пусть пропорция всей высоты A C к уменьшенной высоте G C будет, например, трипликатной к пропорции всей величины A B или G K к уменьшенной величине G E. И таким же образом пусть H I будет взято равным G E, и пусть оно будет уменьшено до H F; и пусть пропорция G C к H C будет трипликатной к пропорции H I к H F; и пусть то же самое будет проделано для стольких частей прямой линии A C, сколько возможно; и пусть линия будет проведена через точки B, E, F и C. Я утверждаю, что дефицитная фигура A B E F C относится к своему дополнению B D C F E как 3 к 1, или как пропорция A C к G C относится к пропорции A B, то есть G K к G E.

Ибо (согласно ст. 2, главы XV) пропорция дополнения B E F C D к дефицитной фигуре A B E F C есть совокупность всех пропорций D B к B A, O E к E G, Q F к F H и всех линий, параллельных D B, ограниченных линией B E F C, ко всем параллелям к A B, ограниченным теми же точками линии B E F C. И поскольку пропорции D B к O E, и D B к Q F и т. д. везде являются трипликатными пропорций A B к G E, и A B к H F и т. д., пропорции H F к A B, и G E к A B и т. д. (согласно ст. 16, гл. XIII) являются трипликатными пропорций Q F к D B, и O E к D B и т. д., и поэтому дефицитная фигура A B E F C, которая является совокупностью всех линий H F, G E, A B и т. д., втрое больше дополнения B E F C D, составленного из всех линий Q F, O E, D B и т. д.; что и требовалось доказать.

Отсюда следует, что то же дополнение B E F C D составляет 1/4 всего параллелограмма. И тем же методом можно вычислить во всех других дефицитных фигурах, порожденных, как указано выше, пропорцию параллелограмма к любой из его частей; например, когда параллели возрастают из точки в той же пропорции, параллелограмм будет разделен на два равных треугольника; когда одно возрастание вдвое больше другого, он будет разделен на полупараболу и ее дополнение, или на 2 и 1.

При сохранении того же построения тот же вывод может быть доказан иначе следующим образом.

Пусть прямая линия C B проведена, пересекая G K в L, и через L пусть M N будет проведена параллельно прямой линии A C; посему параллелограммы G M и L D будут равны. Затем пусть L K будет разделено на три равные части, так чтобы оно относилось к одной из этих частей в той же пропорции, которую пропорция A C к G C, или G K к G L, имеет к пропорции G K к G E. Поэтому L K будет относиться к одной из этих трех частей так, как арифметическая пропорция между G K и G L относится к арифметической пропорции между G K и тем же G K без третьей части L K; и K E будет несколько больше трети L K. Видя теперь, что высота A G или M L, по причине постоянного убывания, должна предполагаться меньше любой величины, которая может быть дана; L K, которое перехвачено между диагональю B C и стороной B D, будет также меньше любой величины, которая может быть дана; и, следовательно, если G поместить так близко к A в g, чтобы разность между C g и C A была меньше любой величины, которая может быть назначена, разность также между C l (перемещая L в l) и C B будет меньше любой величины, которая может быть назначена; и линия g l, будучи проведена и продолжена до линии B D в k, пересекая кривую линию в e, пропорция G k к G l будет все еще трипликатной пропорции G k к G e, и разность между k и e, третья часть k l, будет меньше любой величины, которая может быть дана; и поэтому параллелограмм e D будет отличаться от третьей части параллелограмма A e на меньшую разность, чем любая величина, которая может быть назначена. Далее, пусть H I будет проведено параллельно и равно G E, пересекая C B в P, кривую линию в F, и O E в I, и пропорция C g к C H будет трипликатной пропорции H F к H P, и I F будет больше третьей части P I. Но снова, помещая H в h так близко к g, чтобы разность между C h и C g была лишь как точка, точка P также в p будет так близко к l, что разность между C p и C l будет лишь как точка; и проводя h p, пока она не встретится с B D в i, пересекая кривую линию в f, и проведя e o параллельно B D, пересекая D C в o, параллелограмм f o будет отличаться от третьей части параллелограмма g f менее чем на любую величину, которая может быть назначена. И так будет во всех других пространствах, порожденных таким же образом. Посему разности арифметических и геометрических средних, которые являются лишь столькими точками B, e, f и т. д. (видя, что вся фигура состоит из стольких неделимых пространств), составят некоторую линию, такую как линия B E F C, которая разделит полную фигуру A D на две части, из которых одна, а именно A B E F C, которую я называю дефицитной фигурой, втрое больше другой, а именно B D C F E, которую я называю дополнением ее. И поскольку пропорция высот друг к другу в данном случае везде трипликатна пропорции убывающих величин друг к другу; таким же образом, если бы пропорция высот была везде квадрупликатной пропорции убывающих величин, можно было бы доказать, что дефицитная фигура была бы вчетверо больше своего дополнения; и так в любой другой пропорции. Посему, дефицитная фигура, которая создана и т. д., что и требовалось доказать.

То же правило действует также при уменьшении оснований цилиндров, как доказано во второй статье главы XV.

The proportion of deficient figures to the parallelograms in which they are described, set forth in a table.

3. С помощью этой пропозиции величины всех дефицитных фигур, когда пропорции, в которых их основания постоянно убывают, пропорциональны тем, в которых убывают их высоты, могут быть сравнены с величинами их дополнений; и, следовательно, с величинами их полных фигур. И они окажутся такими, как я изложил их в следующих таблицах; в которых я сравниваю параллелограмм с трехсторонними фигурами; и во-первых, с прямолинейным треугольником, образованным основанием параллелограмма, постоянно убывающим таким образом, что высоты всегда находятся в пропорции друг к другу, как основания, и так треугольник будет равен своему дополнению; или пропорции высот и оснований будут как 1 к 1, и тогда треугольник будет составлять половину параллелограмма. Во-вторых, с той трехсторонней фигурой, которая образована постоянным убыванием оснований в субдупликатной пропорции к пропорции высот; и так дефицитная фигура будет вдвое больше своего дополнения, и к параллелограмму как 2 к 3. Затем, с той, где пропорция высот трипликатна пропорции оснований; и тогда дефицитная фигура будет втрое больше своего дополнения, и к параллелограмму как 3 к 4. Также пропорция высот к пропорции оснований может быть как 3 к 2; и тогда дефицитная фигура будет относиться к своему дополнению как 3 к 2, а к параллелограмму как 3 к 5; и так далее, в зависимости от того, сколько средних пропорциональных взято, или как пропорции более умножены, как можно видеть в следующей таблице. Например, если основания убывают так, что пропорция высот к пропорции оснований всегда как 5 к 2, и требуется узнать, какую пропорцию имеет образованная фигура к параллелограмму, который предполагается равным единице; тогда, видя, что там, где пропорция взята пять раз, должно быть четыре средних, поищите в таблице среди трехсторонних фигур с четырьмя средними, и видя, что пропорция была как 5 к 2, поищите в верхнем ряду число 2, и спускаясь во втором столбце, пока не встретите эту трехстороннюю фигуру, вы найдете 5/7; что показывает, что дефицитная фигура относится к параллелограмму как 5/7 к 1, или как 5 к 7.

1 2 3 4 5 6 7

Parallelogram 1 : : : : : :

Strait-sided triangle ½ : : : : : :

Three-sided figure of 1 mean ⅔ : : : : : :

Three-sided figure of 2 means ¾ ⅗ : : : : :

Three-sided figure of 3 means ⅘ 4⁄6 4⁄7 : : : :

Three-sided figure of 4 means 5⁄6 5⁄7 5⁄8 5⁄9 : : :

Three-sided figure of 5 means 6⁄7 6⁄8 6⁄9 6⁄10 6⁄11 : :

Three-sided figure of 6 means 7⁄8 7⁄9 7⁄10 7⁄11 7⁄12 7⁄13 :

Three-sided figure of 7 means 8⁄9 8⁄10 8⁄11 8⁄12 8⁄13 8⁄14 8⁄15

Description & production of the same figures.

4. Теперь для лучшего понимания природы этих трехсторонних фигур я покажу, как они могут быть описаны точками; и во-первых, те, которые находятся в первом столбце таблицы. Будучи описан любой параллелограмм, как A B C D (на рисунке 2), пусть будет проведена диагональ B D; и прямолинейный треугольник B C D будет составлять половину параллелограмма; затем пусть будет проведено любое количество линий, как E F, параллельно стороне B C, пересекающих диагональ B D в G; и пусть везде будет, как E F к E G, так E G к другой, E H; и через все точки H пусть будет проведена линия B H H D; и фигура B H H D C будет той, которую я называю трехсторонней фигурой с одной средней, потому что в трех пропорциональных, как E F, E G и E H, есть только одна средняя, а именно E G; и эта трехсторонняя фигура будет составлять 2/3 параллелограмма и называется параболой. Далее, пусть будет, как E G к E H, так E H к другой, E I, и пусть будет проведена линия B I I D, образующая трехстороннюю фигуру B I I D C; и это будет 3/4 параллелограмма, и многими называется кубической параболой. Таким же образом, если пропорции будут далее продолжены в E F, будут образованы остальные трехсторонние фигуры первого столбца; что я доказываю так. Пусть будут проведены прямые линии, как H K и G L, параллельно основанию D C. Видя, следовательно, что пропорция E F к E H дупликатна пропорции E F к E G, или B C к B L, то есть C D к L G, или K M (продолжая K H до A D в M) к K H, пропорция B C к B K будет дупликатной пропорции K M к K H; но как B C относится к B K, так относится D C или K M к K N, и поэтому пропорция K M к K N дупликатна пропорции K M к K H; и так будет везде, где бы ни была помещена параллель K M. Посему фигура B H H D C вдвое больше своего дополнения B H H D A, и, следовательно, составляет 2/3 всего параллелограмма. Таким же образом, если через I будет проведено O P I Q параллельно и равно C D, можно доказать, что пропорция O Q к O P, то есть B C к B O, трипликатна пропорции O Q к O I, и поэтому фигура B I I D C втрое больше своего дополнения B I I D A, и, следовательно, составляет 3/4 всего параллелограмма и т. д.

Во-вторых, такие трехсторонние фигуры, которые находятся в любом из поперечных рядов, могут быть описаны так. Пусть A B C D (на рис. 3) будет параллелограмм, чья диагональ есть B D. Я хочу описать в нем такие фигуры, которые в предыдущей таблице я называю трехсторонними фигурами с тремя средними. Параллельно D C я провожу E F столько раз, сколько необходимо, пересекая B D в G; и между E F и E G я беру три пропорциональных E H, E I и E K. Если теперь будут проведены линии через все точки H, I и K, то та, что через все точки H, образует фигуру B H D C, которая является первой из этих трехсторонних фигур; а та, что через все точки I, образует фигуру B I D C, которая является второй; и та, что проведена через все точки K, образует фигуру B K D C, третью из этих трехсторонних фигур. Первая из них, видя, что пропорция E F к E G квадрупликатна пропорции E F к E H, будет относиться к своему дополнению как 4 к 1, а к параллелограмму как 4 к 5. Вторая, видя, что пропорция E F к E G относится к пропорции E F к E I как 4 к 2, будет вдвое больше своего дополнения, и 4/6 или 2/3 параллелограмма. Третья, видя, что пропорция E F к E G относится к пропорции E F к E K как 4 к 3, будет относиться к своему дополнению как 4 к 3, а к параллелограмму как 4 к 7.

Любая из этих фигур, будучи описанной, может быть продолжена по желанию, так; пусть A B C D (на рис. 4) будет параллелограмм, и в нем пусть будет описана фигура B K D C, а именно третья трехсторонняя фигура с тремя средними. Пусть B D будет продолжено неопределенно до E, и пусть E F будет сделано параллельно основанию D C, пересекая A D, продолженное в G, и B C, продолженное в F; и в G E пусть точка H будет взята так, чтобы пропорция F E к F G была квадрупликатной пропорции F E к F H, что может быть сделано путем принятия F H за наибольшую из трех пропорциональных между F E и F G; кривая линия B K D, будучи продолжена, пройдет через точку H. Ибо если прямая линия B H будет проведена, пересекая C D в I, и H L будет проведено параллельно G D, и встретит C D, продолженное в L; будет как F E к F G, так C L к C I, то есть в квадрупликатной пропорции к пропорции F E к F H, или C D к C I. Посему если линия B K D будет продолжена согласно своему порождению, она упадет на точку H.

The drawing of tangents to them.

5. Прямая линия может быть проведена так, чтобы касаться кривой линии указанной фигуры в любой точке, следующим образом. Требуется провести касательную к линии B K D H (на рис. 4) в точке D. Пусть точки B и D будут соединены, и, проведя D A равным и параллельным B C, пусть B и A будут соединены; и поскольку эта фигура по построению является третьей из трех средних, пусть в A B будут взяты три точки так, чтобы ими же A B было разделено на четыре равные части; из которых возьмите три, а именно A M, так чтобы A B относилось к A M, как фигура B K D C относится к своему дополнению. Я утверждаю, что прямая линия M D будет касаться фигуры в данной точке D. Ибо пусть будет проведена где-нибудь между A B и D C параллель, как R Q, пересекающая прямую линию B D, кривую линию B K D, прямую линию M D и прямую линию A D в точках P, K, O и Q. R K будет поэтому, по построению, наименьшей из трех средних в геометрической пропорции между R Q и R P. Посему (согласно следствию из ст. 28, главы XIII) R K будет меньше R O; и поэтому M D упадет вне фигуры. Теперь, если M D будет продолжено до N, F N будет наибольшей из трех средних в арифметической пропорции между F E и F G; и F H будет наибольшей из трех средних в геометрической пропорции между теми же F E и F G. Посему (согласно тому же следствию из ст. 28, главы XIII) F H будет меньше F N; и поэтому D N упадет вне фигуры, и прямая линия M N будет касаться той же фигуры только в точке D.

In what proportion the same figures exceed a strait-lined triangle of the same altitude and base.

6. Пропорция дефицитной фигуры к ее дополнению будучи известной, может быть также известно, какую пропорцию имеет прямолинейный треугольник к избытку дефицитной фигуры над тем же треугольником; и эти пропорции я изложил в следующей таблице; где если вы ищете, например, насколько четвертая трехсторонняя фигура с пятью средними превышает треугольник той же высоты и основания, вы найдете в сопряжении четвертого столбца с трехсторонними фигурами с пятью средними 2/10; чем обозначается, что эта трехсторонняя фигура превышает треугольник на две десятых или на одну пятую часть того же треугольника.

1 2 3 4 5 6 7

The triangle 1 : : : : : :

A three-sided fig. of 1 mean 1⁄3 : : : : : :

The ex- cess of A three-sided fig. of 2 means 2⁄4 1⁄5 : : : : :

A three-sided fig. of 3 means 3⁄5 2⁄6 1⁄7 : : : :

A three-sided fig. of 4 means 4⁄6 3⁄7 2⁄8 1⁄9 : : :

A three-sided fig. of 5 means 5⁄7 4⁄8 3⁄9 2⁄10 1⁄11 : :

A three-sided fig. of 6 means 6⁄8 5⁄9 4⁄10 3⁄11 2⁄12 1⁄13 :

A three-sided fig. of 7 means 7⁄9 6⁄10 5⁄11 4⁄12 3⁄13 2⁄14 1⁄15

A table of solid deficient figures described in a cylinder.

7. В следующей таблице изложены пропорции конуса и тел указанных трехсторонних фигур, а именно пропорции между ними и цилиндром. Как, например, в сопряжении второго столбца с трехсторонними фигурами с четырьмя средними вы имеете 5/9; что дает вам понять, что тело второй трехсторонней фигуры с четырьмя средними относится к цилиндру как 5/9 к 1, или как 5 к 9.

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

A cylinder 1 : : : : : :

A cone 1⁄3 : : : : : :

A three-sided fig. of 1 mean 2⁄4 : : : : : :

A three-sided fig. of 2 means 3⁄5 3⁄7 : : : : :

The sol- ids of A three-sided fig. of 3 means 4⁄6 4⁄8 4⁄10 : : : :

A three-sided fig. of 4 means 5⁄7 5⁄9 5⁄11 5⁄13 : : :

A three-sided fig. of 5 means 6⁄8 6⁄10 6⁄12 6⁄14 6⁄16 : :

A three-sided fig. of 6 means 7⁄9 7⁄11 7⁄13 7⁄15 7⁄17 7⁄19 :

A three-sided fig. of 7 means 8⁄10 8⁄12 8⁄14 8⁄16 8⁄18 8⁄20 8⁄22

In what proportion the same figures exceed a cone of the same altitude and base.

8. Наконец, избыток тел указанных трехсторонних фигур над конусом той же высоты и основания изложен в следующей таблице:

1 2 3 4 5 6 7

The Cone 1 : : : : : :

The exces-ses of the sol-ids of these three- sided fig- ures above a cone.

Of the solid of a three-sided figure of 1 mean 6⁄12 : : : : : :

Ditto ditto, 2 means 12⁄15 6⁄21 : : : : :

Ditto ditto, 3 means 18⁄18 12⁄24 6⁄30 : : : :

Ditto ditto, 4 means 24⁄21 18⁄27 12⁄33 6⁄39 : : :

Ditto ditto, 5 means 30⁄24 24⁄30 18⁄36 12⁄42 6⁄48 : :

Ditto ditto, 6 means 36⁄27 30⁄33 24⁄39 18⁄45 12⁄51 6⁄57 :

Ditto ditto, 7 means 42⁄30 36⁄36 30⁄42 24⁄48 18⁄54 12⁄60 6⁄66

How a plain deficient figure may be described in a parallelogram, so that it be to a triangle of the same base and altitude, as another deficient figure, plain or solid, twice taken, is to the same deficient figure, together with the complete figure, in which it is described.

9. Если любая из этих дефицитных фигур, о которых я сейчас говорил, как A B C D (на 5-м рисунке), будет вписана внутри полной фигуры B E, имея A D C E своим дополнением; и будет построен на C B, продолженном, треугольник A B I; и параллелограмм A B I K будет завершен; и будут проведены параллельно прямой линии C I любое количество линий, как M F, пересекающих каждую из них кривую линию дефицитной фигуры в D, и прямые линии A C, A B и A I в H, G и L; и как G F относится к G D, так G L пусть будет сделано к другой, G N; и через все точки N пусть будет проведена линия A N I: будет дефицитная фигура A N I B, дополнением которой будет A N I K. Я утверждаю, что фигура A N I B относится к треугольнику A B I, как дефицитная фигура A B C D, взятая дважды, относится к той же дефицитной фигуре вместе с полной фигурой B E.

Ибо как пропорция A B к A G, то есть G M к G L, относится к пропорции G M к G N, так относится величина фигуры A N I B к величине ее дополнения A N I K, согласно второй статье этой главы.

Но, согласно той же статье, как пропорция A B к A G, то есть G M к G L, относится к пропорции G F к G D, то есть, по построению, G L к G N, так относится фигура A B C D к своему дополнению A D C E.

И по композиции, как пропорция G M к G L вместе с пропорцией G L к G N относится к пропорции G M к G L, так относится полная фигура B E к дефицитной фигуре A B C D.

И по конверсии, как пропорция G M к G L относится к обеим пропорциям G M к G L и G L к G N, то есть к пропорции G M к G N, которая есть пропорция, составленная из обеих, так относится дефицитная фигура A B C D к полной фигуре B E.

Но было: как пропорция G M к G L к пропорции G M к G N, так фигура A N I B к своему дополнению A N I K. И поэтому A B C D. B E :: A N I B. A N I K суть пропорциональные. И по композиции, A B C D + B E. A B C D :: B K. A N I B суть пропорциональные.

И путем удвоения консеквентов, A B C D + B E. 2 A B C D :: B K. 2 A N I B суть пропорциональные.

И путем взятия половин третьего и четвертого, A B C D + B E. 2 A B C D :: A B I. A N I B также суть пропорциональные; что и требовалось доказать.

The transferring of certain properties of deficient figures described in a parallelogram to the proportions of spaces transmitted with several degrees of velocity.

10. Из того, что было сказано о дефицитных фигурах, описанных в параллелограмме, можно найти, какие пропорции пространства, пройденные с ускоренным движением в определенные времена, имеют к самим временам, в зависимости от того, ускоряется ли движущееся тело в разные времена с одной или несколькими степенями скорости.

Ибо пусть параллелограмм A B C D на 6-м рисунке, и в нем трехсторонняя фигура D E B C будут описаны; и пусть F G будет проведено где-нибудь параллельно основанию, пересекая диагональ B D в H, и кривую линию B E D в E; и пусть пропорция B C к B F будет, например, трипликатной пропорции F G к F E; вследствие чего фигура D E B C будет втрое больше своего дополнения B E D A; и таким же образом, при проведении I E параллельно B C, трехсторонняя фигура E K B F будет втрое больше своего дополнения B K E I. Посему части дефицитной фигуры, отсеченные от вершины прямыми линиями, параллельными основанию, а именно D E B C и E K B F, будут относиться друг к другу как параллелограммы A C и I F; то есть в пропорции, составленной из пропорций высот и оснований. Видя, следовательно, что пропорция высоты B C к высоте B F трипликатна пропорции основания D C к основанию F E, фигура D E B C к фигуре E K B F будет квадрупликатной пропорции тех же D C к F E. И тем же методом можно найти, какую пропорцию любая из указанных трехсторонних фигур имеет к любой своей части, отсеченной от вершины прямой линией, параллельной основанию.

Теперь, как указанные фигуры понимаются как описанные постоянным убыванием основания, как, например, C D, пока оно не закончится в точке, как в B; так же они могут пониматься как описанные постоянным возрастанием точки, как B, пока она не приобретет любую величину, как C D.

Предположим теперь, что фигура B E D C описана возрастанием точки B до величины C D. Видя, следовательно, что пропорция B C к B F трипликатна пропорции C D к F E, пропорция F E к C D будет, путем конверсии, как я сейчас докажу, трипликатной пропорции B F к B C. Посему, если прямая линия B C будет взята за меру времени, в которое точка B движется, фигура E K B F будет представлять сумму всех возрастающих скоростей во время B F; и фигура D E B C будет таким же образом представлять сумму всех возрастающих скоростей во время B C. Видя, следовательно, что пропорция фигуры E K B F к фигуре D E B C составлена из пропорций высоты к высоте и основания к основанию; и видя, что пропорция F E к C D трипликатна пропорции B F к B C; пропорция фигуры E K B F к фигуре D E B C будет квадрупликатной пропорции B F к B C; то есть пропорция суммы скоростей во время B F к сумме скоростей во время B C будет квадрупликатной пропорции B F к B C. Посему, если тело движется от B со скоростью, возрастающей так, что скорость, приобретенная во время B F, относится к скорости, приобретенной во время B C, в трипликатной пропорции к пропорции самих времен B F к B C, и тело переносится в F за время B F; то же тело за время B C будет перенесено через линию, равную пятой пропорциональной от B F в непрерывной пропорции B F к B C. И тем же способом работы мы можем определить, какие пространства проходятся скоростями, возрастающими согласно любым другим пропорциям.

Остается доказать, что пропорция F E к C D трипликатна пропорции B F к B C. Видя, следовательно, что пропорция C D, то есть F G к F E, субтрипликатна пропорции B C к B F; пропорция F G к F E будет также субтрипликатной пропорции F G к F H. Посему пропорция F G к F H трипликатна пропорции F G, то есть C D к F E. Но в четырех непрерывных пропорциональных, из которых наименьшая есть первая, пропорция первой к четвертой (согласно 16-й статье главы XIII) субтрипликатна пропорции третьей к той же четвертой. Посему пропорция F H к G F субтрипликатна пропорции F E к C D; и поэтому пропорция F E к C D трипликатна пропорции F H к F G, то есть B F к B C; что и требовалось доказать.

Отсюда можно заключить, что когда скорость тела возрастает в той же пропорции, что и времена, степени скорости одна над другой следуют как числа в непосредственной последовательности от единицы, а именно как 1, 2, 3, 4 и т. д. А когда скорость возрастает в пропорции, дупликатной пропорции времен, степени следуют как числа от единицы, пропуская одно, как 1, 3, 5, 7 и т. д. Наконец, когда пропорции скоростей трипликатны пропорциям времен, прогрессия степеней такова, как у чисел от единицы, пропуская два в каждом месте, как 1, 4, 7, 10 и т. д., и так далее для других пропорций. Ибо геометрические пропорциональные, когда они взяты в каждой точке, суть то же, что и арифметические пропорциональные.

Of deficient figures described in a circle.

11. Более того, следует заметить, что как в величинах, которые созданы любыми убывающими величинами, пропорции фигур друг к другу относятся как пропорции высот к пропорциям оснований; так же обстоит дело и в тех, которые созданы убывающим движением, которое есть не что иное, как та сила, благодаря которой описанные фигуры больше или меньше. И поэтому в описании спирали Архимеда, которая совершается постоянным уменьшением полудиаметра круга в той же пропорции, в которой уменьшается окружность, пространство, заключенное внутри полудиаметра и спиральной линии, составляет третью часть всего круга. Ибо полудиаметры кругов, поскольку круги понимаются как состоящие из их совокупности, суть столько же секторов; и поэтому в описании спирали сектор, который описывает ее, уменьшается в дупликатных пропорциях к уменьшениям окружности круга, в котором он вписан; так что дополнение спирали, то есть то пространство в круге, которое находится вне спиральной линии, вдвое больше пространства внутри спиральной линии. Таким же образом, если взять среднюю пропорциональную везде между полудиаметром круга, который содержит спираль, и той частью полудиаметра, которая находится внутри него, будет создана другая фигура, которая будет составлять половину круга. И в заключение, это правило служит для всех таких пространств, которые могут быть описаны линией или поверхностью, убывающей либо в величине, либо в силе; так что если пропорции, в которых они убывают, соизмеримы с пропорциями времен, в которые они убывают, величины фигур, которые они описывают, будут известны.

The proposition demonstrated in art. 2 confirmed from the elements of philosophy.

12. Истинность той пропозиции, которую я доказал в ст. 2, которая является фундаментом всего сказанного о дефицитных фигурах, может быть выведена из элементов философии, имея свое начало в том, что всякое равенство и неравенство между двумя эффектами, то есть всякая пропорция, происходит от и определяется равными и неравными причинами этих эффектов, или от пропорции, которую причины, сопряженные с одним эффектом, имеют к причинам, которые сопряжены с производством другого эффекта; и что поэтому пропорции величин суть те же, что и пропорции их причин. Видя, следовательно, что две дефицитные фигуры, из которых одна есть дополнение другой, созданы: одна — движением, убывающим за определенное время и в определенной пропорции, другая — потерей движения за то же время; причины, которые создают и определяют величины обеих фигур так, что они не могут быть иными, чем они есть, различаются лишь в том, что пропорции, в которых величина, порождающая фигуру, движется при описании оной, то есть пропорции остатков всех времен и высот, могут быть иными пропорциями, чем те, в которых та же порождающая величина убывает при создании дополнения этой фигуры, то есть пропорции величины, которая порождает фигуру, постоянно уменьшаемой. Посему, как пропорция времен, в которые теряется движение, относится к пропорции убывающих величин, которыми порождается дефицитная фигура, так будет относиться дефект или дополнение к самой фигуре, которая порождается.

An unusual way of reasoning concerning the equality between the superficies of a portion of a sphere and a circle.

13. Существуют также другие величины, которые определимы из знания их причин, а именно из сравнения движений, которыми они созданы; и это легче, чем из общих элементов геометрии. Например, что поверхность любой части сферы равна тому кругу, чей радиус есть прямая линия, проведенная от полюса части к окружности ее основания, я могу доказать таким образом. Пусть B A C (на рис. 7) будет часть сферы, чья ось есть A E, и чье основание есть B C; и пусть A B будет прямой линией, проведенной от полюса A к основанию в B; и пусть A D, равное A B, касается большого круга B A C в полюсе A. Нужно доказать, что круг, созданный радиусом A D, равен поверхности части B A C. Пусть плоскость A E B D понимается как совершающая вращение вокруг оси A E; и очевидно, что прямой линией A D будет описан круг; дугой A B — поверхность части сферы; и, наконец, субтензой A B — поверхность прямого конуса. Теперь, видя, что и прямая линия A B, и дуга A B совершают одно и то же вращение, и обе они имеют одни и те же крайние точки A и B, причина, почему сферическая поверхность, созданная дугой, больше конической поверхности, созданной субтензой, состоит в том, что A B дуга больше A B субтензы; и причина, почему она больше, состоит в том, что хотя они обе проведены от A к B, субтенза проведена прямо, а дуга угловато, а именно согласно тому углу, который дуга образует с субтензой, каковой угол равен углу D A B (ибо угол касания ничего не добавляет к углу сегмента, как было показано в главе XIV, статье 16). Посему величина угла D A B есть причина, почему поверхность части, описанная дугой A B, больше поверхности прямого конуса, описанной субтензой A B.

Далее, причина, почему круг, описанный касательной A D, больше поверхности прямого конуса, описанной субтензой A B (несмотря на то, что касательная и субтенза равны и обе движутся вокруг за одно и то же время), состоит в том, что A D стоит под прямым углом к оси, а A B — косо; каковое косое положение состоит в том же угле D A B. Видя, следовательно, что величина угла D A B есть то, что создает избыток как поверхности части, так и круга, созданного радиусом A D, над поверхностью прямого конуса, описанной субтензой A B; следует, что как поверхность части, так и поверхность круга одинаково превышают поверхность конуса. Посему круг, созданный A D или A B, и сферическая поверхность, созданная дугой A B, равны друг другу; что и требовалось доказать.

How from the description of deficient figures in a parallelogram, any number of mean proportionals may be found out between two given strait lines.

14. Если бы эти дефицитные фигуры, которые я описал в параллелограмме, были способны к точному описанию, то любое количество средних пропорциональных можно было бы найти между двумя данными прямыми линиями. Например, в параллелограмме A B C D (на рисунке 8) пусть будет описана трехсторонняя фигура с двумя средними (которую многие называют кубической параболой); и пусть R и S будут две данные прямые линии; между которыми, если требуется найти две средние пропорциональные, это может быть сделано так. Пусть будет, как R к S, так B C к B F; и пусть F E будет проведено параллельно B A и пересечет кривую линию в E; затем через E пусть G H будет проведено параллельно и равно прямой линии A D и пересечет диагональ B D в I; ибо так мы имеем G I, наибольшую из двух средних между G H и G E, как видно из описания фигуры в статье 4. Посему, если будет, как G H к G I, так R к другой линии, T, то T будет наибольшей из двух средних между R и S. И поэтому если будет снова, как R к T, так T к другой линии, X, то будет сделано то, что требовалось.

Таким же образом четыре средние пропорциональные могут быть найдены путем описания трехсторонней фигуры с четырьмя средними; и так любое другое количество средних и т. д.

Том 1. Лат. и англ. Гл. XVII. Рис. 1-8

Fig 1. Fig 2. Fig 3. Fig 4. Fig 5. Fig 6. Fig 7. Fig 8.

ГЛАВА XVIII. ОБ УРАВНЕНИИ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ С КРИВЫМИ ЛИНИЯМИ ПАРАБОЛ И ДРУГИХ ФИГУР, СОЗДАННЫХ В ПОДРАЖАНИЕ ПАРАБОЛАМ.

1. Найти прямую линию, равную кривой линии полупараболы. — 2. Найти прямую линию, равную кривой линии первого полупараболастера, или кривой линии любой другой из дефицитных фигур таблицы 3-й статьи предыдущей главы.

To find a strait line equal to the crooked line of a semiparabola.

1. Дана парабола, найти прямую линию, равную кривой линии полупараболы.

Пусть данная параболическая линия будет A B C (на рисунке 1), найденный диаметр — A D, а проведенное основание — D C; и, завершив параллелограмм A D C E, проведите прямую линию A C. Затем, разделив A D на две равные части в F, проведите F H, равное и параллельное D C, пересекающее A C в K, а параболическую линию в O; и между F H и F O возьмите среднюю пропорциональную F P, и проведите A O, A P и P C. Я утверждаю, что две линии A P и P C, взятые вместе как одна линия, равны параболической линии A B O C.

Ибо линия A B O C, будучи параболической, порождается сочетанием двух движений: одного равномерного от A к E и другого, за то же время равномерно ускоренного от состояния покоя в A к D. И поскольку движение от A к E равномерно, A E может представлять время обоих этих движений от начала до конца. Пусть, следовательно, A E будет временем; и, как следствие, линии, ординатно приложенные к полупараболе, будут обозначать части времени, в которые тело, описывающее линию A B O C, находится в каждой точке этой линии; так что, как в конце времени A E или D C оно находится в C, так и в конце времени F O оно будет в O. И поскольку скорость в A D возрастает равномерно, то есть в той же пропорции, что и время, те же линии, ординатно приложенные к полупараболе, будут обозначать также непрерывное увеличение импульса, пока он не достигнет наибольшего значения, обозначенного основанием D C. Поэтому, предполагая равномерное движение по линии A F, за время F K тело в A вследствие сочетания двух равномерных движений по A F и F K будет двигаться равномерно по линии A K; и K O будет приращением импульса или скорости, полученным за время F K; а линия A O будет равномерно описана сочетанием двух равномерных движений по A F и F O за время F O. Из O проведите O L параллельно E C, пересекающую A C в L; и проведите L N параллельно D C, пересекающую E C в N, а параболическую линию в M; и продолжите ее с другой стороны до A D в I; и I N, I M и I L будут, согласно построению параболы, находиться в непрерывной пропорции и будут равны трем линиям F H, F P и F O; а прямая линия, параллельная E C и проходящая через M, упадет в P; и, следовательно, O P будет приращением импульса, полученным за время F O или I L. Наконец, продолжите P M до C D в Q; и Q C или M N или P H будет приращением импульса, пропорциональным времени F P или I M или D Q. Предположим теперь равномерное движение от H к C за время P H. Видя, следовательно, что за время F P при равномерном движении и импульсе, возрастающем пропорционально времени, описывается прямая линия A P; а за остаток времени и импульса, а именно P H, равномерно описывается линия C P; следует, что вся линия A P C описывается с полным импульсом и за то же время, за которое описывается параболическая линия A B C; и, следовательно, линия A P C, состоящая из двух прямых линий A P и P C, равна параболической линии A B C; что и требовалось доказать.