«Английские сочинения Томаса Гоббса, том 1»

To find a strait line equal to the crooked line of the first semiparabolaster or to the crooked line of any other of the deficient figures of the table of art. 3 of the preceding chapter.

2. Найти прямую линию, равную кривой линии первого полупараболастера.

[Discussion of Figure 18.2]

Пусть A B C будет кривой линией первого полупараболастера; A D — диаметром; D C — основанием; и пусть завершенный параллелограмм будет A D C E, диагональ которого — A C. Разделите диаметр на две равные части в F и проведите F H, равную и параллельную D C, пересекающую A C в K, кривую линию в O и E C в H. Затем проведите O L параллельно E C, пересекающую A C в L; и проведите L N параллельно основанию D C, пересекающую кривую линию в M, а прямую линию E C в N; и продолжите ее с другой стороны до A D в I. Наконец, через точку M проведите P M Q, параллельную и равную H C, пересекающую F H в P; и соедините C P, A P и A O. Утверждаю, что две прямые линии A P и P C равны кривой линии A B O C.

Ибо линия A B O C, будучи кривой линией первого полупараболастера, порождается сочетанием двух движений: одного равномерного от A к E и другого, за то же время ускоренного от состояния покоя в A к D, так что импульс возрастает в пропорции, постоянно утроенной по отношению к пропорции возрастания времени, или, что то же самое, пройденные длины находятся в утроенной пропорции к временам их прохождения; ибо по мере возрастания импульса или скорости возрастают и пройденные длины. И поскольку движение от A к E равномерно, линия A E может служить для представления времени, и, следовательно, линии, ординатно проведенные в полупараболастере, будут обозначать части времени, в которые тело, начиная из состояния покоя в A, описывает своим движением кривую линию A B O C. И поскольку D C, представляющая наибольший приобретенный импульс, равна A E, те же ординатные линии будут представлять различные приращения импульса, возрастающего из состояния покоя в A. Поэтому, предполагая равномерное движение от A к F, за время F K будет описана, вследствие сочетания двух равномерных движений A F и F K, линия A K равномерно, и K O будет приращением импульса за время F K; а вследствие сочетания двух равномерных движений по A F и F O будет равномерно описана линия A O. Через точку L проведите прямую линию L M N параллельно D C, пересекающую прямую линию A D в I, кривую линию A B C в M и прямую линию E C в N; и через точку M — прямую линию P M Q, параллельную и равную H C, пересекающую D C в Q и F H в P. Следовательно, вследствие сочетания двух равномерных движений по A F и F P за время F P будет равномерно описана прямая линия A P; а L M или O P будет приращением импульса, которое следует добавить за время F O. И поскольку пропорция I N к I L утроена по отношению к пропорции I N к I M, пропорция F H к F O также будет утроена по отношению к пропорции F H к F P; и пропорциональный импульс, полученный за время F P, есть P H. Таким образом, поскольку F H равна D C, которая обозначала весь импульс, приобретенный при ускорении, больше нет приращения импульса, которое нужно вычислять. Теперь за время P H предположим равномерное движение от H к C; и двумя равномерными движениями по C H и H P будет равномерно описана прямая линия P C. Видя, следовательно, что две прямые линии A P и P C описываются за время A E с тем же приращением импульса, с которым за то же время A E описывается кривая линия A B O C, то есть видя, что линия A P C и линия A B O C проходятся одним и тем же телом за одно и то же время и с равными скоростями, сами линии равны; что и требовалось доказать.

Тем же методом (если будет представлен какой-либо из полупараболастеров из таблицы ст. 3 предыдущей главы) можно найти прямую линию, равную его кривой линии, а именно путем деления диаметра на две равные части и действуя, как прежде. Однако до сих пор никто не сравнивал какую-либо кривую линию с какой-либо прямой, хотя многие геометры всех веков стремились к этому. Но причина, по которой они этого не сделали, может быть в том, что, поскольку у Евклида нет определения равенства, кроме конгруэнтности (которая является 8-й аксиомой первой книги его «Начал»), — вещь совершенно бесполезная при сравнении прямой и кривой; а другие после Евклида (за исключением Архимеда и Аполлония, а в наше время Бонавентуры), полагая, что усердие древних достигло всего, что можно было сделать в геометрии, также думали, что все, что могло быть предложено, либо должно быть выведено из того, что они написали, либо же это вообще невозможно сделать: поэтому некоторыми из самих этих древних оспаривалось, может ли вообще существовать какое-либо равенство между кривыми и прямыми линиями; этот вопрос Архимед, который предположил, что некоторая прямая линия равна окружности круга, по-видимому, презирал, и у него были на то основания. И есть один поздний автор, который признает, что между прямой и кривой линией существует равенство; но теперь, говорит он, после грехопадения Адама, без особой помощи Божественной Благодати оно не может быть найдено.

Том 1. Лат. и англ. Гл. XVIII. Рис. 1-2

Fig 1. Fig 2.

ГЛАВА XIX. ОБ УГЛАХ ПАДЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ, РАВНЫХ ПО ПРЕДПОЛОЖЕНИЮ.

1. Если две прямые линии, падающие на другую прямую линию, параллельны, то линии, отраженные от них, также будут параллельны. 2. Если две прямые линии, проведенные из одной точки, падают на другую прямую линию, то линии, отраженные от них, если их продолжить в другую сторону, встретятся под углом, равным углу, образованному линиями падения. 3. Если две прямые параллельные линии, проведенные не противоположно, а из одних и тех же частей, падают на окружность круга, то линии, отраженные от них, если при продолжении они встретятся внутри круга, образуют угол, вдвое больший того, который образован двумя прямыми линиями, проведенными из центра к точкам падения. 4. Если две прямые линии, проведенные из одной точки вне круга, падают на окружность, и отраженные от них линии при продолжении встречаются внутри круга, они образуют угол, равный удвоенному углу, образованному двумя прямыми линиями, проведенными из центра к точкам падения, вместе с углом, который образуют сами падающие линии. 5. Если две прямые линии, проведенные из одной точки, падают на вогнутую окружность круга, и угол, который они образуют, меньше удвоенного угла при центре, то линии, отраженные от них и встречающиеся внутри круга, образуют угол, который при сложении с углом падающих линий будет равен удвоенному углу при центре. 6. Если через какую-либо одну точку проведены две неравные хорды, пересекающие друг друга, и центр круга не расположен между ними, и линии, отраженные от них, сходятся где бы то ни было, то через точку, через которую были проведены две предыдущие линии, нельзя провести никакую другую прямую линию, чья отраженная линия проходила бы через общую точку двух предыдущих отраженных линий. 7. Для равных хорд это неверно. 8. Даны две точки на окружности круга; провести к ним две прямые линии так, чтобы их отраженные линии содержали любой заданный угол. 9. Если прямая линия, падающая на окружность круга, продолжена до тех пор, пока она не достигнет полудиаметра, и та ее часть, которая заключена между окружностью и полудиаметром, равна той части полудиаметра, которая находится между точкой схождения и центром, то отраженная линия будет параллельна полудиаметру. 10. Если из точки внутри круга проведены две прямые линии к окружности, и их отраженные линии встречаются на окружности того же круга, угол, образованный отраженными линиями, будет третьей частью угла, образованного падающими линиями.

Angles of incidence and reflection.

Делает ли тело, падающее на поверхность другого тела и отражающееся от нее, равные углы с этой поверхностью, не относится к этому месту для обсуждения, будучи знанием, которое зависит от естественных причин отражения; о которых до сих пор ничего не было сказано, но будет сказано в дальнейшем.

В этом месте, следовательно, предположим, что угол падения равен углу отражения; чтобы наше нынешнее исследование могло быть применено не к поиску причин, а к некоторым следствиям того же самого.

Я называю углом падения тот, который образован между прямой линией и другой линией, прямой или кривой, на которую она падает и которую я называю отражающей линией; а углом отражения, равным ему, — тот, который образован в той же точке между прямой линией, которая отражается, и отражающей линией.

If two strait lines falling upon another strait line be parallel, the lines reflected from them shall also be parallel.

1. Если две прямые линии, которые падают на другую прямую линию, параллельны, их отраженные линии также будут параллельны.

Пусть две прямые линии A B и C D (на рис. 1), которые падают на прямую линию E F в точках B и D, будут параллельны; и пусть линии, отраженные от них, будут B G и D H. Утверждаю, что B G и D H также параллельны.

Ибо углы A B E и C D E равны по причине параллельности A B и C D; а углы G B F и H D F равны им по предположению; ибо линии B G и D H отражены от линий A B и C D. Следовательно, B G и D H параллельны.

If two strait lines drawn from one point fall upon another strait line, the lines reflected from them, if they be drawn out the other way, will meet in an angle equal to the angle made by the lines of incidence.

2. Если две прямые линии, проведенные из одной точки, падают на другую прямую линию, линии, отраженные от них, если их продолжить в другую сторону, встретятся под углом, равным углу падающих линий.

Из точки A (на рис. 2) пусть будут проведены две прямые линии A B и A D; и пусть они падают на прямую линию E K в точках B и D; и пусть линии B I и D G будут отражены от них. Утверждаю, что I B и G D сходятся, и что если их продолжить по другую сторону линии E K, они встретятся, как в F; и что угол B F D будет равен углу B A D.

Ибо угол отражения I B K равен углу падения A B E; а углу I B K равен его вертикальный угол E B F; и, следовательно, угол A B E равен углу E B F. Далее, угол A D E равен углу отражения G D K, то есть его вертикальному углу E D F; и, следовательно, два угла A B D и A D B треугольника A B D по отдельности равны двум углам F B D и F D B треугольника F B D; поэтому также третий угол B A D равен третьему углу B F D; что и требовалось доказать.

Следствие I. Если провести прямую линию A F, она будет перпендикулярна прямой линии E K. Ибо оба угла при E будут равны по причине равенства двух углов A B E и F B E и двух сторон A B и F B.

Следствие II. Если на любую точку между B и D падает прямая линия, такая как A C, чья отраженная линия есть C H, то она, также продолженная за C, упадет в F; что очевидно из доказательства выше.

If two strait parallel lines, drawn not oppositely, but from the same parts, fall upon the circumference of a circle, the lines reflected from them, if produced they meet within the circle, will make an angle double to that which is made by two strait lines drawn from the centre to the points of incidence.

3. Если из двух точек, взятых вне круга, две прямые параллельные линии, проведенные не противоположно, а из одних и тех же частей, падают на окружность; линии, отраженные от них, если при продолжении они встретятся внутри круга, образуют угол, вдвое больший того, который образован двумя прямыми линиями, проведенными из центра к точкам падения.

Пусть две прямые параллельные линии A B и D C (на рис. 3) падают на окружность B C в точках B и C; и пусть центр круга будет E; и пусть A B, отраженная, будет B F, а D C, отраженная, будет C G; и пусть линии F B и G C, продолженные, встречаются внутри круга в H; и пусть E B и E C будут соединены. Утверждаю, что угол F H G вдвое больше угла B E C.

Ибо, видя, что A B и D C — параллели, а E B пересекает A B в B, та же E B, продолженная, пересечет D C где-нибудь; пусть она пересечет ее в D; и пусть D C будет продолжена как угодно до I, и пусть пересечение D C и B F будет в K. Угол, следовательно, I C H, будучи внешним для треугольника C K H, будет равен двум противоположным углам C K H и C H K. Далее, I C E, будучи внешним для треугольника C D E, равен двум углам при D и E. Следовательно, угол I C H, будучи вдвое больше угла I C E, равен углам при D и E, взятым дважды; и, следовательно, два угла C K H и C H K равны двум углам при D и E, взятым дважды. Но угол C K H равен углам D и A B D, то есть D, взятому дважды; ибо A B и D C — параллели, чередующиеся углы D и A B D равны. Следовательно, C H K, то есть угол F H G, также равен углу при E, взятому дважды; что и требовалось доказать.

Следствие. Если из двух точек, взятых внутри круга, две прямые параллельные линии падают на окружность, линии, отраженные от них, встретятся под углом, вдвое большим того, который образован двумя прямыми линиями, проведенными из центра к точкам падения. Ибо параллели A B и I C, падающие на точки B и C, отражаются в линиях B H и C H и образуют угол при H вдвое больший угла при E, как было только что доказано.

If two strait lines drawn from the same point without a circle fall upon the circumference, and the lines reflected from them being produced meet within

the circle, they will make an angle equal to twice that angle, which is made by two strait lines drawn from the centre to the points of incidence, together with the angle which the incident lines themselves make.

4. Если две прямые линии, проведенные из одной точки вне круга, падают на окружность, и отраженные от них линии при продолжении встречаются внутри круга, они образуют угол, равный удвоенному углу, который образован двумя прямыми линиями, проведенными из центра к точкам падения, вместе с углом, который образуют сами падающие линии.

Пусть две прямые линии A B и A C (на рис. 4) проведены из точки A к окружности круга, центр которого D; и пусть линии, отраженные от них, будут B E и C G, и, будучи продолженными, образуют внутри круга угол H; также пусть две прямые линии D B и D C будут проведены из центра D к точкам падения B и C. Утверждаю, что угол H равен удвоенному углу при D вместе с углом при A.

Ибо пусть A C будет продолжена как угодно до I. Следовательно, угол I C H, который является внешним для треугольника C K H, будет равен двум углам C K H и C H K. Далее, угол I C D, который является внешним для треугольника C L D, будет равен двум углам C L D и C D L. Но угол I C H вдвое больше угла I C D и, следовательно, равен углам C L D и C D L, взятым дважды. Следовательно, углы C K H и C H K равны углам C L D и C D L, взятым дважды. Но угол C L D, будучи внешним для треугольника A L B, равен двум углам L A B и L B A; и, следовательно, C L D, взятый дважды, равен L A B и L B A, взятым дважды. Следовательно, C K H и C H K равны углу C D L вместе с L A B и L B A, взятыми дважды. Также угол C K H равен углу L A B один раз и A B K, то есть L B A, взятому дважды. Следовательно, угол C H K равен оставшемуся углу C D L, то есть углу при D, взятому дважды, и углу L A B, то есть углу при A, взятому один раз; что и требовалось доказать.

Следствие. Если две прямые сходящиеся линии, такие как I C и M B, падают на вогнутую окружность круга, их отраженные линии, такие как C H и B H, встретятся под углом H, равным удвоенному углу D вместе с углом при A, образованным продолженными падающими линиями. Или, если падающие линии — H B и I C, чьи отраженные линии C H и B M встречаются в точке N, угол C N B будет равен удвоенному углу D вместе с углом C K H, образованным падающими линиями. Ибо угол C N B равен углу H, то есть удвоенному углу D вместе с двумя углами A и N B H, то есть K B A. Но углы K B A и A равны углу C K H. Следовательно, угол C N B равен удвоенному углу D вместе с углом C K H, образованным падающими линиями I C и H B, продолженными до K.

If two strait lines drawn from one point fall upon the concave circumference of a circle, and the angle they make be less than twice the angle at the centre, the lines reflected from them and meeting within the circle will make an angle, which being added to the angle of the incident lines will be equal to twice the angle at the centre.

5. Если две прямые линии, проведенные из одной точки, падают на вогнутую окружность круга, и угол, который они образуют, меньше удвоенного угла при центре, то линии, отраженные от них и встречающиеся внутри круга, образуют угол, который при сложении с углом падающих линий будет равен удвоенному углу при центре.

Пусть две линии A B и A C (на рис. 5), проведенные из точки A, падают на вогнутую окружность круга, центр которого D; и пусть их отраженные линии B E и C E встречаются в точке E; также пусть угол A меньше удвоенного угла D. Утверждаю, что углы A и E, взятые вместе, равны удвоенному углу D.

Ибо пусть прямые линии A B и E C пересекают прямые линии D C и D B в точках G и H; и угол B H C будет равен двум углам E B H и E; также тот же угол B H C будет равен двум углам D и D C H; и таким же образом угол B G C будет равен двум углам A C D и A, и тот же угол B G C будет также равен двум углам D B G и D. Следовательно, четыре угла E B H, E, A C D и A равны четырем углам D, D C H, D B G и D. Если, следовательно, равные величины будут отняты с обеих сторон, а именно с одной стороны A C D и E B H, а с другой стороны D C H и D B G (ибо угол E B H равен углу D B G, а угол A C D равен углу D C H), остатки с обеих сторон будут равны, а именно с одной стороны углы A и E, а с другой — угол D, взятый дважды. Следовательно, углы A и E равны удвоенному углу D.

Следствие. Если угол A больше удвоенного угла D, их отраженные линии будут расходиться. Ибо, согласно следствию из третьей пропозиции, если угол A равен удвоенному углу D, отраженные линии B E и C E будут параллельны; а если он меньше, они сойдутся, как было только что доказано. И поэтому, если он больше, отраженные линии B E и C E будут расходиться, и, следовательно, если их продолжить в другую сторону, они сойдутся и образуют угол, равный избытку угла A над удвоенным углом D; как очевидно из ст. 4.

If through any one point two unequal chords be drawn cutting one another, and the centre of the circle be not placed between them, and the lines reflected from them concur wheresoever, there cannot through the point, through which the two former lines were drawn, be drawn any other strait line whose reflected line shall pass through the common point of the two former lines reflected.

6. Если через какую-либо одну точку проведены две неравные хорды, пересекающие друг друга либо внутри круга, либо, если их продолжить, вне его, и центр круга не расположен между ними, и линии, отраженные от них, сходятся где бы то ни было; то через точку, через которую были проведены предыдущие линии, нельзя провести другую прямую линию, чья отраженная линия проходила бы через точку, где сходятся две предыдущие отраженные линии.

Пусть любые две неравные хорды, такие как B K и C H (на рис. 6), проведены через точку A в круге B C; и пусть их отраженные линии B D и C E встречаются в F; и пусть центр не находится между A B и A C; и из точки A пусть будет проведена любая другая прямая линия, такая как A G, к окружности между B и C. Утверждаю, что G N, которая проходит через точку F, где встречаются отраженные линии B D и C E, не будет отраженной линией A G.

Ибо пусть дуга B L будет взята равной дуге B G, а прямая линия B M равной прямой линии B A; и, будучи проведенной L M, пусть она будет продолжена до окружности в O. Видя, следовательно, что B A и B M равны, а дуга B L равна дуге B G, и угол M B L равен углу A B G, A G и M L также будут равны, и, продолжая G A до окружности в I, целые линии L O и G I будут таким же образом равны. Но L O больше G F N, как будет сейчас доказано; и, следовательно, также G I больше G N. Следовательно, углы N G C и I G B не равны. Следовательно, линия G F N не отражена от линии падения A G, и, следовательно, никакая другая прямая линия, кроме A B и A C, которая проведена через точку A и падает на окружность B C, не может быть отражена в точку F; что и требовалось доказать.

Остается доказать, что L O больше G N; что я сделаю следующим образом. L O и G N пересекают друг друга в P; и P L больше P G. Видя теперь, что L P : P G :: P N : P O — пропорциональны, следовательно, два крайних члена L P и P O, взятые вместе, то есть L O, больше P G и P N, взятых вместе, то есть G N; что и оставалось доказать.

In equal chords the same is not true.

7. Но если две равные хорды проведены через одну точку внутри круга, и линии, отраженные от них, встречаются в другой точке, тогда между ними через предыдущую точку может быть проведена другая прямая линия, чья отраженная линия будет проходить через последнюю точку.

Пусть две равные хорды B C и E D (на 7-м рисунке) пересекают друг друга в точке A внутри круга B C D; и пусть их отраженные линии C H и D I встречаются в точке F. Затем, разделив дугу C D пополам в G, пусть две хорды G K и G L будут проведены через точки A и F. Утверждаю, что G L будет линией, отраженной от хорды K G. Ибо четыре хорды B C, C H, E D и D I по предположению все равны друг другу; и, следовательно, дуга B C H равна дуге E D I; как и угол B C H — углу E D I; и угол A M C — своему вертикальному углу F M D; и прямая линия D M — прямой линии G M; и, таким же образом, прямая линия A C — прямой линии F D; и хорды C G и G D, будучи проведенными, также будут равны; а также углы F D G и A C G в равных сегментах G D I и G C B. Следовательно, прямые линии F G и A G равны; и, следовательно, угол F G D равен углу A G C, то есть угол падения равен углу отражения. Следовательно, линия G L отражена от падающей линии C G; что и требовалось доказать.

Следствие. При самом взгляде на рисунок очевидно, что если G не является средней точкой между C и D, отраженная линия G L не будет проходить через точку F.

Two points being given in the circumference of a circle, to draw two strait lines to them so as that their reflected lines may contain any angle given.

8. Даны две точки на окружности круга; провести к ним две прямые линии так, чтобы их отраженные линии были параллельны или содержали любой заданный угол.

На окружности круга, центр которого A (на 8-м рисунке), пусть будут даны две точки B и C; и пусть требуется провести к ним из двух точек, взятых вне круга, две падающие линии так, чтобы их отраженные линии, во-первых, были параллельны.

Пусть будут проведены A B и A C; а также любая падающая линия D C с ее отраженной линией C F; и пусть угол E C D будет сделан вдвое больше угла A; и пусть H B будет проведена параллельно E C и продолжена до тех пор, пока она не встретится с продолженной D C в I. Наконец, продолжая A B неопределенно до K, пусть G B будет проведена так, чтобы угол G B K был равен углу H B K, и тогда G B будет отраженной линией падающей линии H B. Утверждаю, что D C и H B — две падающие линии, чьи отраженные линии C F и B G параллельны.

Ибо, видя, что угол E C D вдвое больше угла B A C, угол H I C также, по причине параллелей E C и H I, вдвое больше того же B A C; следовательно, также F C и G B, а именно линии, отраженные от падающих линий D C и H B, параллельны. Следовательно, первое требуемое сделано.

Во-вторых, пусть требуется провести к точкам B и C две прямые линии падения так, чтобы линии, отраженные от них, содержали заданный угол Z.

К углу E C D, образованному в точке C, пусть будет добавлен с одной стороны угол D C L, равный половине Z, а с другой стороны угол E C M, равный углу D C L; и пусть прямая линия B N будет проведена параллельно прямой линии C M; и пусть угол K B O будет сделан равным углу N B K; что будучи сделано, B O будет линией отражения от падающей линии N B. Наконец, от падающей линии L C пусть будет проведена отраженная линия C O, пересекающая B O в O и образующая угол C O B. Утверждаю, что угол C O B равен углу Z.

Пусть N B будет продолжена до тех пор, пока она не встретится с продолженной прямой линией L C в P. Видя, следовательно, что угол L C M по построению равен удвоенному углу B A C вместе с углом Z; угол N P L, который равен L C M по причине параллелей N P и M C, также будет равен удвоенному тому же углу B A C вместе с углом Z. И видя, что две прямые линии O C и O B падают из точки O на точки C и B; и их отраженные линии L C и N B встречаются в точке P; угол N P L будет равен удвоенному углу B A C вместе с углом C O B. Но я уже доказал, что угол N P L равен удвоенному углу B A C вместе с углом Z. Следовательно, угол C O B равен углу Z; следовательно, даны две точки на окружности круга, я провел и т.д.; что и требовалось сделать.

Но если требуется провести падающие линии из точки внутри круга так, чтобы линии, отраженные от них, содержали угол, равный углу Z, следует использовать тот же метод, за исключением того, что в этом случае угол Z не нужно добавлять к удвоенному углу B A C, а нужно вычесть из него.

If a strait line falling upon the circumference of a circle be produced till it reach the semidiameter, and that part of it, which is intercepted between the circumference and the semidiameter, be equal to that part of the semidiameter which is between the point of concourse and the centre, the reflected line will be parallel to the semidiameter.

9. Если прямая линия, падающая на окружность круга, продолжена до тех пор, пока она не достигнет полудиаметра, и та ее часть, которая заключена между окружностью и полудиаметром, равна той части полудиаметра, которая находится между точкой схождения и центром, то отраженная линия будет параллельна полудиаметру.

Пусть любая линия A B (на 9-м рисунке) будет полудиаметром круга, центр которого A; и на окружность B D пусть падает прямая линия C D и будет продолжена до тех пор, пока она не пересечет A B в E, так что E D и E A будут равны; и от падающей линии C D пусть будет отражена линия D F. Утверждаю, что A B и D F будут параллельны.

Пусть A G будет проведена через точку D. Видя, следовательно, что E D и E A равны, углы E D A и E A D также будут равны. Но углы F D G и E D A равны; ибо каждый из них есть половина угла E D H или F D C. Следовательно, углы F D G и E A D равны; и, следовательно, D F и A B параллельны; что и требовалось доказать.

Следствие. Если E A больше E D, то D F и A B при продолжении сойдутся; но если E A меньше E D, то B A и D H при продолжении сойдутся.

If from a point within a circle two strait lines be drawn to the circumference, and their reflected lines meet in the circumference of the same circle, the angle made by the reflected lines will be a third part of the angle made by the incident lines.

10. Если из точки внутри круга проведены две прямые линии к окружности, и их отраженные линии встречаются на окружности того же круга, угол, образованный линиями отражения, будет третьей частью угла, образованного линиями падения.

Из точки B (на 10-м рисунке), взятой внутри круга, центр которого A, пусть будут проведены две прямые линии B C и B D к окружности; и пусть их отраженные линии C E и D E встречаются на окружности того же круга в точке E. Утверждаю, что угол C E D будет третьей частью угла C B D.

Пусть будут проведены A C и A D. Видя, следовательно, что углы C E D и C B D, взятые вместе, равны удвоенному углу C A D (как было доказано в 5-й статье); и угол C A D, взятый дважды, вчетверо больше угла C E D; углы C E D и C B D, взятые вместе, также будут равны углу C E D, взятому четырежды; и, следовательно, если угол C E D отнять с обеих сторон, останется угол C B D с одной стороны, равный углу C E D, взятому трижды, с другой стороны; что и требовалось доказать.

Следствие. Следовательно, дана точка внутри круга, из нее можно провести две линии к окружности так, чтобы их отраженные линии встретились на окружности. Ибо нужно лишь разделить на три части угол C B D, что и как может быть сделано, будет показано в следующей главе.

Том 1. Лат. и англ. Гл. XIX. Рис. 1-10

Fig 1. Fig 2. Fig 3. Fig 4. Fig 5. Fig 6. Fig 7. Fig 8. Fig 9. Fig 10.

ГЛАВА XX. ОБ ИЗМЕРЕНИИ КРУГА И ДЕЛЕНИИ УГЛОВ ИЛИ ДУГ.

1. Измерение круга никогда не было определено в числах Архимедом и другими. 2. Первая попытка нахождения измерения круга с помощью линий. 3. Вторая попытка нахождения измерения круга из рассмотрения природы кривизны. 4. Третья попытка; и некоторые вещи, предложенные для дальнейшего исследования. 5. Уравнение спирали Архимеда с прямой линией. 6. Об анализе геометров с помощью степеней линий.

The dimension of a circle never determined in numbers by Archimedes and others.

1. В сравнении дуги круга с прямой линией многие великие геометры, даже с самых древних времен, упражняли свой ум; и больше сделали бы то же самое, если бы не видели, что их труды, хотя и предпринятые на общее благо, если не доведены до совершенства, поносятся теми, кто завидует похвалам других людей. Среди тех древних авторов, чьи работы попали нам в руки, Архимед был первым, кто привел длину периметра круга в пределы чисел, очень мало отличающихся от истины; доказав, что она меньше трех диаметров и одной седьмой части, но больше трех диаметров и десяти семьдесят первых частей диаметра. Так что, предполагая, что радиус состоит из 10 000 000 равных частей, дуга квадранта будет между 15 714 285 и 15 704 225 тех же частей. В наши времена Людольф ван Цейлен и Виллеброрд Снеллиус совместным усердием подошли еще ближе к истине; и провозгласили из истинных принципов, что дуга квадранта, полагая, как прежде, 10 000 000 за радиус, отличается не более чем на одну целую единицу от числа 15 707 963; что, если бы они представили свои арифметические операции и никто не обнаружил бы никакой ошибки в той их долгой работе, было бы ими доказано. Это самый дальний прогресс, который был сделан путем чисел; и те, кто продвинулся так далеко, заслуживают похвалы за усердие. Тем не менее, если мы рассмотрим пользу, которая является целью, к которой должно стремиться всякое умозрение, то улучшение, которое они сделали, было незначительным или никаким. Ибо любой обычный человек может гораздо быстрее и точнее найти прямую линию, равную периметру круга, и, следовательно, квадратуру круга, наматывая небольшую нить на данный цилиндр, чем любой геометр сделает то же самое, разделив радиус на 10 000 000 равных частей. Но хотя бы длина окружности была точно установлена, либо числами, либо механически, либо только случайно, это не принесло бы никакой помощи к делению углов, если только, возможно, эти две задачи — разделить данный угол согласно любой заданной пропорции и найти прямую линию, равную дуге круга — не были взаимными и не следовали одна за другой. Видя, следовательно, что польза, проистекающая из знания длины дуги квадранта, состоит в том, что мы можем тем самым разделить угол согласно любой пропорции, либо точно, либо, по крайней мере, достаточно точно для общего пользования; и видя, что это не может быть сделано арифметикой, я счел уместным попытаться сделать то же самое геометрией и в этой главе испытать, не может ли это быть выполнено проведением прямых и круговых линий.

The first attempt for the finding out of the dimension of a circle by lines.

2. Пусть будет описан квадрат A B C D (на первом рисунке); и радиусами A B, B C и D C — три дуги B D, C A и A C; из которых пусть две, B D и C A, пересекают друг друга в E, а две, B D и A C, — в F. Диагонали, следовательно, B D и A C, будучи проведенными, пересекут друг друга в центре квадрата G, а две дуги B D и C A — на две равные части в H и Y; и дуга B H D будет разделена на три части в F и E. Через центр G пусть будут проведены две прямые линии K G L и M G N, параллельные и равные сторонам квадрата A B и A D, пересекающие четыре стороны того же квадрата в точках K, L, M и N; что будучи сделано, K L пройдет через F, а M N — через E. Затем пусть O P будет проведена параллельно и равна стороне B C, пересекая дугу B F D в F, а стороны A B и D C — в O и P. Следовательно, O F будет синусом дуги B F, которая является дугой в 30 градусов; и та же O F будет равна половине радиуса. Наконец, разделив дугу B F посередине в Q, пусть R Q, синус дуги B Q, будет проведен и продолжен до S так, чтобы Q S была равна R Q, и, следовательно, R S была равна хорде дуги B F; и пусть F S будет проведена и продолжена до T на стороне B C. Утверждаю, что прямая линия B T равна дуге B F; и, следовательно, что B V, утроенная B T, равна дуге квадранта B F E D.

Пусть T F будет продолжена до тех пор, пока она не встретит сторону A B, продолженную в X; и, разделив O F посередине в Z, пусть Q Z будет проведена и продолжена до тех пор, пока она не встретится со стороной A B, продолженной. Видя, следовательно, что прямые линии R S и O F параллельны и разделены посередине в Q и Z, Q Z, продолженная, упадет в X, а X Z Q, продолженная до стороны B C, пересечет B T посередине в α.

На прямой линии F Z, четвертой части радиуса A B, пусть будет построен равносторонний треугольник a Z F; и на центре a, радиусом a Z, пусть будет проведена дуга Z F; которая дуга Z F будет, следовательно, равна дуге Q F, половине дуги B F. Далее, пусть прямая линия Z O будет разделена посередине в b, а прямая линия b O посередине в c; и пусть бисекция будет продолжена таким образом, пока последняя часть O c не станет наименьшей, которую только можно взять; и на ней, и на всех остальных равных ей частях, на которые может быть разделена прямая линия O F, пусть будут поняты построенными столько равносторонних треугольников; из которых пусть последний будет d O c. Если, следовательно, на центре d, радиусом d O, будет проведена дуга O c, и на остальных равных частях прямой линии O F будут проведены таким же образом столько же равных дуг, все эти дуги, взятые вместе, будут равны целой дуге B F, а половина их, а именно те, которые заключены между O и Z, или между Z и F, будут равны дуге B Q или Q F, и в сумме, какую бы часть ни составляла прямая линия O c от прямой линии O F, такую же часть будет составлять дуга O c от дуги B F, хотя и дуга, и хорда будут бесконечно бисектироваться. Теперь, видя, что дуга O c более кривая, чем та часть дуги B F, которая равна ей; и видя также, что чем больше прямая линия X c продолжена, тем больше она расходится от прямой линии X O, если точки O и c будут поняты как движущиеся вперед с прямолинейным движением в X O и X c, дуга O c будет тем самым расширяться мало-помалу, пока, наконец, где-то не придет к тому, чтобы иметь ту же кривизну, что и та часть дуги B F, которая равна ей. Таким же образом, если будет проведена прямая линия X b и точка b будет понята как движущаяся вперед в то же время, дуга c b также будет мало-помалу расширяться, пока ее кривизна не станет равной кривизне той части дуги B F, которая равна ей. И то же самое произойдет во всех тех малых равных дугах, которые описаны на стольких же равных частях прямой линии O F. Также очевидно, что при прямолинейном движении в X O и X Z все те малые дуги будут лежать в дуге B F, в точках B, Q и F. И хотя те же малые равные дуги не должны совпадать с равными частями дуги B F во всех других ее точках, все же, безусловно, они будут составлять две кривые линии, не только равные двум дугам B Q и Q F и одинаково кривые, но также имеющие свою вогнутость в одни и те же стороны; что как это могло бы быть, если бы все те малые дуги не совпадали с дугой B F во всех ее точках, невообразимо. Они, следовательно, совпадают, и все прямые линии, проведенные из X и проходящие через точки деления прямой линии O F, будут также делить дугу B F в тех же пропорциях, в которых разделена O F.

Поскольку Xb отсекает от точки B четвертую часть дуги BF, пусть эта четвертая часть будет Be; и пусть синус ее, fe, будет продолжен до FT в точке g, ибо fe будет четвертой частью прямой линии fg, так как Ob относится к OF, как fe к fg. Но BT больше, чем fg; и, следовательно, та же BT больше, чем четыре синуса четвертой части дуги BF. И подобным же образом, если дугу BF подразделить на любое число равных частей, можно доказать, что прямая линия BT больше синуса одной из этих малых дуг, взятого столько раз, сколько частей образовано из всей дуги BF. Посему прямая линия BT не меньше дуги BF. Но она не может быть и больше, ибо если какая-либо прямая линия, меньшая BT, будет проведена ниже BT, параллельно ей, и ограничена прямыми линиями XB и XT, она пересечет дугу BF; и тогда синус какой-либо одной из частей дуги BF, взятый столько раз, сколько эта малая дуга содержится во всей дуге BF, был бы больше, чем столько же таких же дуг; что абсурдно. Посему прямая линия BT равна дуге BF; а прямая линия BV равна дуге квадранта BFD; и BV, взятая четыре раза, равна периметру круга, описанного радиусом AB. Также дуга BF и прямая линия BT везде делятся в одних и тех же пропорциях; и, следовательно, любой заданный угол, будь то больше или меньше BAF, может быть разделен в любой заданной пропорции.

Но прямая линия BV, хотя ее величина и попадает в пределы, установленные Архимедом, оказывается, если вычислять ее по канону синусов, несколько больше той, что представлена Рудольфовыми числами. Тем не менее, если вместо BT подставить другую прямую линию, пусть даже сколь угодно малую, деление углов немедленно утрачивается, что может быть продемонстрировано любым человеком с помощью этой самой схемы.

Как бы то ни было, если кто-либо сочтет эту мою прямую линию BV слишком большой, все же, видя, что дуга и все параллели везде столь точно разделены, а BV столь близка к истине, я желаю, чтобы он поискал причину, почему, допуская, что BV является точно верной, отсекаемые дуги не должны быть равными.

Но кто-то может еще спросить причину, почему прямые линии, проведенные из X через равные части дуги BF, должны отсекать на касательной BV столько же равных им прямых линий, видя, что соединенная прямая линия XV не проходит через точку D, а пересекает прямую линию AD, продолженную в l; и, следовательно, требуют некоторого определения этой задачи. Относительно чего я скажу то, что считаю причиной, а именно: пока величина дуги не превышает величины радиуса, то есть величины касательной BC, и дуга, и касательная делятся одинаково прямыми линиями, проведенными из X; в противном случае — нет. Ибо если соединить AV, пересекающую дугу BHD в I, и если проведенная XC пересечет ту же дугу в той же точке I, было бы столь же верно, что дуга BI равна радиусу BC, как верно то, что дуга BF равна прямой линии BT; и, проведя XK, она пересекла бы дугу BI посередине в i; также, проведя Ai и продолжив ее до касательной BC в k, прямая линия Bk будет касательной к дуге Bi (которая равна половине радиуса), и та же прямая линия Bk будет равна прямой линии kI. Я говорю, что все это верно, если верно предыдущее доказательство; и, следовательно, пропорциональное сечение дуги и ее касательной продолжается до сих пор. Но по золотому правилу очевидно, что если взять Bh вдвое больше BT, линия Xh не отсечет дугу BE, которая вдвое больше дуги BF, но гораздо большую. Ибо, зная величину прямых линий XM, XB и ME (в числах), можно также узнать величину прямой линии, отсекаемой на касательной прямой линией XE, продолженной до касательной; и она окажется меньше Bh; посему проведенная прямая линия Xh отсечет часть дуги квадранта, большую, чем дуга BE. Но я более подробно расскажу в следующей статье о величине дуги BI.

И пусть это будет первой попыткой нахождения измерения круга посредством сечения дуги BF.

The second attempt for the finding out of the dimension of a circle from the consideration of the nature of crookedness.

3. Теперь я предприму то же самое посредством аргументов, почерпнутых из природы кривизны самого круга; но сначала я изложу некоторые предпосылки, необходимые для этого размышления; и

Во-первых, если прямая линия изогнута в дугу круга, равную ей, как когда натянутая нить, касающаяся прямого цилиндра, изгибается в каждой точке так, что она везде совпадает с периметром основания цилиндра, изгиб этой линии будет равен во всех ее точках; и, следовательно, кривизна дуги круга везде равномерна; что не требует иного доказательства, кроме того, что периметр круга есть равномерная линия.

Во-вторых, и, следовательно: если две неравные дуги одного и того же круга образованы изгибанием двух равных им прямых линий, изгиб более длинной линии, пока она изгибается в большую дугу, больше, чем изгиб более короткой линии, пока она изгибается в меньшую дугу, согласно пропорции самих дуг; и, следовательно, кривизна большей дуги относится к кривизне меньшей дуги, как большая дуга к меньшей дуге.

В-третьих: если два неравных круга и прямая линия касаются друг друга в одной и той же точке, кривизна любой дуги, взятой в меньшем круге, будет больше кривизны равной ей дуги, взятой в большем круге, в обратной пропорции к радиусам, которыми описаны круги; или, что то же самое, любая прямая линия, проведенная из точки касания до пересечения обеих окружностей, относится как часть этой прямой линии, отсекаемая окружностью большего круга, к той части, которая отсекается окружностью меньшего круга.

Ибо пусть AB и AC (на втором рисунке) будут двумя кругами, касающимися друг друга и прямой линии AD в точке A; и пусть их центры будут E и F; и пусть предполагается, что как AE относится к AF, так дуга AB относится к дуге AH. Я утверждаю, что кривизна дуги AC относится к кривизне дуги AH, как AE к AF. Ибо пусть прямая линия AD предполагается равной дуге AB, а прямая линия AG — дуге AC; и пусть AD, например, будет вдвое больше AG. Следовательно, по причине подобия дуг AB и AC, прямая линия AB будет вдвое больше прямой линии AC, а радиус AE — вдвое больше радиуса AF, и дуга AB — вдвое больше дуги AH. И поскольку прямая линия AD изогнута так, чтобы совпадать с равной ей дугой AB, как прямая линия AG изогнута, чтобы совпадать с равной ей дугой AC, изгиб прямой линии AG в кривую линию AC будет равен изгибу прямой линии AD в кривую линию AB. Но изгиб прямой линии AD в кривую линию AB вдвое больше изгиба прямой линии AG в кривую линию AH; и поэтому изгиб прямой линии AG в кривую линию AC вдвое больше изгиба той же прямой линии AG в кривую линию AH. Посему, как дуга AB относится к дуге AC или AH; или как радиус AE относится к радиусу AF; или как хорда AB относится к хорде AC; так обратно пропорционален изгиб или равномерная кривизна дуги AC к изгибу или равномерной кривизне дуги AH, а именно, здесь вдвое. И это может быть продемонстрировано тем же методом в кругах, периметры которых относятся друг к другу как тройная, четверная или в любой заданной пропорции. Кривизна, следовательно, двух равных дуг, взятых в разных кругах, находится в пропорции, обратной пропорции их радиусов, или подобных дуг, или подобных хорд; что и требовалось доказать.

Пусть снова будет описан квадрат ABCD (на третьем рисунке), а в нем квадранты ABD, BCA и DAC; и, разделив каждую сторону квадрата ABCD посередине в E, F, G и H, соединим EG и FH, которые пересекут друг друга в центре квадрата в I и разделят дугу квадранта ABD на три равные части в K и L. Также диагонали AC и BD, будучи проведенными, пересекут друг друга в I и разделят дуги BKD и CLA на две равные части в M и N. Затем радиусом BF проведем дугу FE, пересекающую диагональ BD в O; и, разделив дугу BM посередине в P, отложим прямую линию Ea, равную хорде BP, от точки E на дуге EF, и пусть дуга ab будет взята равной дуге Oa, и пусть Ba и Bb будут проведены и продолжены до дуги AN в c и d; и, наконец, пусть будет проведена прямая линия Ad. Я утверждаю, что прямая линия Ad равна дуге AN или BM.

Я доказал в предыдущей статье, что дуга EO вдвое более кривая, чем дуга BP, то есть, что дуга EO настолько более кривая, чем дуга BP, насколько дуга BP более кривая, чем прямая линия Ea. Кривизна, следовательно, хорды Ea, дуги BP и дуги EO относятся как 0, 1, 2. Также разность между дугами EO и EO, разность между дугами EO и Ea, и разность между дугами EO и Eb относятся как 0, 1, 2. Так же и разность между дугами AN и AN, разность между дугами AN и Ac, и разность между дугами AN и Ad относятся как 0, 1, 2; и прямая линия Ac вдвое больше хорды BP или Ea, а прямая линия Ad вдвое больше хорды Eb.

Снова пусть прямая линия BF будет разделена посередине в Q, а дуга BP посередине в R; и, описав квадрант BQS (чья дуга QS есть четвертая часть дуги квадранта BMD, как дуга BR есть четвертая часть дуги BM, которая является дугой полуквадранта ABM), отложим хорду Se, равную хорде BR, от точки S на дуге SQ; и пусть Be будет проведена и продолжена до дуги AN в f; по выполнении чего прямая линия Af будет вчетверо больше хорды BR или Se. И видя, что кривизна дуги Se, или дуги Ac, вдвое больше кривизны дуги BR, избыток кривизны дуги Af над кривизной дуги Ac будет вдвое меньше избытка кривизны дуги Ac над кривизной дуги AN; и поэтому дуга Nc будет вдвое больше дуги cf. Посему дуга cd разделена посередине в f, а дуга Nf составляет 3/4 дуги Nd. И подобным же образом, если дугу BR бисектировать в V, а прямую линию BQ в X, и описать квадрант BXY, и отложить прямую линию Yg, равную хорде BV, от точки Y на дуге YX, можно доказать, что прямая линия Bg, будучи проведенной и продолженной до дуги AN, разделит дугу fd на две равные части, и что прямая линия, проведенная из A к точке этого сечения, будет равна восьми хордам дуги BV, и так далее бесконечно; и, следовательно, что прямая линия Ad равна стольким равным хордам равных частей дуги BM, сколько может быть сделано бесконечными бисекциями. Посему прямая линия Ad равна дуге BM или AN, то есть половине дуги квадранта ABD или BCA.

Следствие. Если дана дуга, не превышающая дугу квадранта (ибо, будучи сделанной больше, она снова возвращается к продолженному радиусу BA, от которого она удалялась ранее), если прямая линия, вдвое большая хорды половины данной дуги, приложена от начала дуги, и насколько дуга, стягиваемая ею, больше данной дуги, настолько большая дуга стягивается другой прямой линией, эта прямая линия будет равна первой данной дуге.

Предполагая, что прямая линия BV (на рис. 1) равна дуге квадранта BHD, и соединив AV, пересекающую дугу BHD в I, можно спросить, какую пропорцию имеет дуга BI к дуге ID. Пусть поэтому дуга AY будет разделена посередине в o, и на прямой линии AD пусть Ap будет взята равной, а Aq вдвое больше проведенной хорды Ao. Затем на центре A радиусом Aq пусть будет проведена дуга круга, пересекающая дугу AY в r, и пусть дуга Yr будет удвоена в t; по выполнении чего проведенная прямая линия At (согласно тому, что было доказано последним) будет равна дуге AY. Снова на центре A радиусом At пусть будет проведена дуга tu, пересекающая AD в u; и прямая линия Au будет равна дуге AY. Из точки u пусть будет проведена прямая линия us, равная и параллельная прямой линии AB, пересекающая MN в x, и бисектированная MN в той же точке x. Поэтому, если прямая линия Ax будет проведена и продолжена до встречи с продолженной BC в V, она отсечет BV вдвое больше Bs, то есть равную дуге BHD. Теперь пусть точка, где прямая линия AV пересекает дугу BHD, будет I; и пусть дуга DI будет разделена посередине в y; и на прямой линии DC пусть Dz будет взята равной, а Dδ вдвое больше проведенной хорды Dy; и на центре D радиусом Dδ пусть будет проведена дуга круга, пересекающая дугу BHD в точке n; и пусть дуга nm будет взята равной дуге In; по выполнении чего прямая линия Dm будет (согласно последнему следствию) равна дуге DI. Если теперь прямые линии Dm и CV равны, дуга BI будет равна радиусу AB или BC; и, следовательно, проведенная XC пройдет через точку I. Более того, если полукруг BH Dϐ будет завершен, и будут проведены прямые линии ϐI и BI, образующие прямой угол (в полукруге) в I, и дуга BI будет разделена посередине в i, последует, что соединенная Ai будет параллельна прямой линии ϐI, и, будучи продолженной до BC в k, отсечет прямую линию Bk, равную прямой линии kI, и равную также прямой линии Aγ, отсеченной на AD прямой линией ϐI. Все это очевидно, предполагая, что дуга BI и радиус BC равны.

Но то, что дуга BI и радиус BC точно равны, не может быть доказано (как бы верно это ни было), если не будет сначала доказано то, что содержится в ст. 1, а именно, что прямые линии, проведенные из X через равные части OF (продолженные до определенной длины), отсекают столько же частей также на касательной BC, по отдельности равных каждой из отсекаемых дуг; что они делают в точности до BC на касательной и BI на дуге BE; настолько, что никакого неравенства между дугой BI и радиусом BC нельзя обнаружить ни рукой, ни рассуждением. Поэтому следует далее исследовать, пересекает ли прямая линия AV дугу квадранта в I в той же пропорции, в какой точка C делит прямую линию BV, которая равна дуге квадранта. Но как бы то ни было, было доказано, что прямая линия BV равна дуге BHD.

The third attempt; and some things propounded to be further searched into.

4. Теперь я предприму то же самое измерение круга другим способом, приняв две следующие леммы.

Лемма I. Если к дуге квадранта и радиусу взять в непрерывной пропорции третью линию Z; тогда дуга полуквадранта, половина хорды квадранта и Z также будут в непрерывной пропорции.

Ибо, видя, что радиус есть средняя пропорциональная между хордой квадранта и его полухордой, и тот же радиус есть средняя пропорциональная между дугой квадранта и Z, квадрат радиуса будет равен как прямоугольнику, образованному хордой и полухордой квадранта, так и прямоугольнику, образованному дугой квадранта и Z; и эти два прямоугольника будут равны друг другу. Посему, как дуга квадранта относится к своей хорде, так обратно пропорциональна половина хорды квадранта к Z. Но как дуга квадранта относится к своей хорде, так половина дуги квадранта относится к половине хорды квадранта. Посему, как половина дуги квадранта относится к половине хорды квадранта (или к синусу 45 градусов), так половина хорды квадранта относится к Z; что и требовалось доказать.

Лемма II. Радиус, дуга полуквадранта, синус 45 градусов и полурадиус пропорциональны.

Ибо, видя, что синус 45 градусов есть средняя пропорциональная между радиусом и полурадиусом; и тот же синус 45 градусов есть также средняя пропорциональная (согласно предыдущей лемме) между дугой 45 градусов и Z; квадрат синуса 45 градусов будет равен как прямоугольнику, образованному радиусом и полурадиусом, так и прямоугольнику, образованному дугой 45 градусов и Z. Посему, как радиус относится к дуге 45 градусов, так обратно пропорционален Z к полурадиусу; что и требовалось доказать.

Пусть теперь ABCD (на рис. 4) будет квадратом; и радиусами AB, BC и DA пусть будут описаны три квадранта ABD, BCA и DAC; и пусть прямые линии EF и GH, проведенные параллельно сторонам BC и AB, делят квадрат ABCD на четыре равных квадрата. Они, следовательно, пересекут дугу квадранта ABD на три равные части в I и K, а дугу квадранта BCA на три равные части в K и L. Также пусть будут проведены диагонали AC и BD, пересекающие дуги BID и ALC в M и N. Затем на центре H радиусом HF, равным половине хорды дуги BMD, или синусу 45 градусов, пусть будет проведена дуга FO, пересекающая дугу CK в O; и пусть будет проведена AO и продолжена до встречи с продолженной BC в P; также пусть она пересечет дугу BMD в Q, а прямую линию DC в R. Если теперь прямая линия HQ равна прямой линии DR, и, будучи продолженной до DC в S, отсечет DS, равную половине прямой линии BP; я утверждаю тогда, что прямая линия BP будет равна дуге BMD.

Ибо, видя, что PBA и ADR — подобные треугольники, будет как PB к радиусу BA или AD, так AD к DR; и поэтому как PB, AD и DR, так и PB, AD (или AQ) и QH находятся в непрерывной пропорции; и, продолжив HO до DC в T, DT будет равно синусу 45 градусов, как будет вскоре доказано. Теперь DS, DT и DR находятся в непрерывной пропорции согласно первой лемме; и согласно второй лемме DC : DS :: DR : DF — пропорциональны. И так будет, независимо от того, равна BP дуге квадранта BMD или нет. Но если они равны, тогда будет, как та часть дуги BMD, которая равна радиусу, относится к остатку той же дуги BMD; так AQ к HQ, или так BC к CP. И тогда BP и дуга BMD будут равны. Но не доказано, что прямые линии HQ и DR равны; хотя если из точки B провести (согласно построению рис. 1) прямую линию, равную дуге BMD, тогда DR к HQ, а также половина прямой линии BP к DS, будут всегда настолько равны, что никакого неравенства нельзя будет обнаружить между ними. Я поэтому оставлю это для дальнейшего исследования. Ибо хотя почти не вызывает сомнений, что прямая линия BP и дуга BMD равны, все же это не может быть принято без доказательства; а средств доказательства круговая линия не допускает никаких, которые не основывались бы на природе изгиба или углов. Но этим путем я уже представил прямую линию, равную дуге квадранта, в первой и второй агрессии.

Остается доказать, что DT равно синусу 45 градусов.

На продолжении BA возьмем AV, равное синусу 45 градусов; и, проведя и продолжив VH, она пересечет дугу квадранта CNA посередине в N, и ту же дугу снова в O, и прямую линию DC в T, так что DT будет равно синусу 45 градусов, или прямой линии AV; также прямая линия VH будет равна прямой линии HI, или синусу 60 градусов.

Ибо квадрат AV равен двум квадратам полурадиуса; и, следовательно, квадрат VH равен трем квадратам полурадиуса. Но HI есть средняя пропорциональная между полурадиусом и тремя полурадиусами; и, следовательно, квадрат HI равен трем квадратам полурадиуса. Посему HI равно HV. Но поскольку AD разрезано посередине в H, то VH и HT равны; и, следовательно, также DT равно синусу 45 градусов. В радиусе BA возьмем BX, равное синусу 45 градусов; ибо так VX будет равно радиусу; и будет как VA к AH (полурадиусу), так VX (радиус) к XN (синус 45 градусов). Посему продолженная VH проходит через N. Наконец, на центре V радиусом VA пусть будет проведена дуга круга, пересекающая VH в Y; по выполнении чего VY будет равно HO (ибо HO, по построению, равно синусу 45 градусов), а YH будет равно OT; и, следовательно, VT проходит через O. Все это и требовалось доказать.

Я добавлю здесь определенные задачи, если какой-либо аналитик сможет выполнить построение, он тем самым сможет ясно судить о том, что я сейчас сказал относительно измерения круга. Теперь эти задачи суть не что иное (по крайней мере, для чувств), как определенные симптомы, сопровождающие построение первого и третьего рисунка этой главы.

Описывая, следовательно, снова квадрат ABCD (на рис. 5) и три квадранта ABD, BCA и DAC, проведем диагонали AC и BD, пересекающие дуги BHD и CIA посередине в H и I; и прямые линии EF и GL, делящие квадрат ABCD на четыре равных квадрата и трисектирующие дуги BHD и CIA, а именно, BHD в K и M, а CIA в M и O. Затем, разделив дугу BK посередине в P, проведем QP, синус дуги BP, и продолжим его до R, так что QR будет вдвое больше QP; и, соединив KR, продолжим ее в одну сторону до BC в S, а в другую сторону до продолженной BA в T. Также пусть BV будет сделано втрое больше BS, и, следовательно (согласно второй статье этой главы), равным дуге BD. Это построение то же самое, что и на первом рисунке, который я счел уместным обновить, освободив от всех линий, кроме тех, что необходимы для моей настоящей цели.