«Английские сочинения Томаса Гоббса, том 1»

Асимптозия зависит от того, что величина бесконечно делима. И отсюда следует, что при задании любой линии и предположении, что тело движется от одного ее конца к другому, возможно, принимая степени скорости все меньшими и меньшими, в такой пропорции, в какой части линии становятся меньше при непрерывном делении, что то же самое тело может всегда двигаться вперед по этой линии и все же никогда не достичь ее конца. Ибо очевидно, что если любую прямую, как A F (на 8-м рисунке), разрезать где-либо в точке B, а затем B F разрезать в C, C F в D, D F в E и так до бесконечности, и провести из точки F прямую F F под любым углом A F F; и, наконец, если прямые A F, B F, C F, D F, E F и т. д., имеющие то же отношение друг к другу, что и сегменты линии A F, расположить по порядку и параллельно той же A F, то кривая линия A B C D E и прямая F F будут асимптотами, то есть они будут всегда приближаться все ближе и ближе, но никогда не коснутся друг друга. Теперь, поскольку любую линию можно разрезать до бесконечности согласно пропорциям, которые сегменты имеют друг к другу, то различные виды асимптот бесконечны по числу, и о них нет необходимости говорить далее в этом месте. В природе асимптот в общем нет ничего, кроме того, что они приближаются все ближе и ближе, но никогда не касаются. Но в частности, в асимптозии гиперболических линий понимается, что они должны приближаться на расстояние, меньшее любой заданной величины.

Situation, by what it is determined.

20. Положение есть отношение одного места к другому; и там, где много мест, их положение определяется четырьмя вещами: их расстояниями друг от друга; различными расстояниями от назначенного места; порядком прямых линий, проведенных из назначенного места к местам их всех; и углами, которые образуются проведенными таким образом линиями. Ибо если их расстояния, порядок и углы даны, то есть достоверно известны, то их отдельные места будут также столь достоверно известны, что они не могут быть иными.

What is like situation; what is figure; and what are like figures.

21. Точки, сколько бы их ни было, имеют подобное положение с равным числом других точек, когда все прямые линии, проведенные из какой-либо одной точки ко всем этим, имеют по отдельности то же отношение к тем, что проведены в том же порядке и под равными углами из какой-либо одной точки ко всем тем. Ибо пусть будет любое число точек, как A, B и C (на 9-м рисунке), к которым из какой-либо одной точки D проведены прямые D A, D B и D C; и пусть будет равное число других точек, как E, F и G, и из какой-либо точки H проведены прямые H E, H F и H G, так что углы A D B и B D C по отдельности и в том же порядке равны углам E H F и F H G, а прямые D A, D B и D C пропорциональны прямым H E, H F и H G; я утверждаю, что три точки A, B и C имеют подобное положение с тремя точками E, F и G, или расположены подобно. Ибо если понимать H E наложенной на D A так, что точка H находится в D, то точка F будет на прямой D B по причине равенства углов A D B и E H F; и точка G будет на прямой D C по причине равенства углов B D C и F H G; и прямые A B и E F, так же как B C и F G, будут параллельны, поскольку D A : E H :: B D : F H :: C D : G H суть пропорциональные величины по построению; и поэтому расстояния между точками A и B и точками B и C будут пропорциональны расстояниям между точками E и F и точками F и G. Посему в положении точек A, B и C и положении точек E, F и G углы в том же порядке равны; так что их положения не отличаются ничем, кроме неравенства их расстояний друг от друга и их расстояний от точек D и H. Теперь, в обоих порядках точек эти неравенства равны; ибо A B : B C :: E F : F G, что суть их расстояния друг от друга, так же как D A : D B : D C :: H E : H F : H G, что суть их расстояния от принятых точек D и H, являются пропорциональными. Их различие, следовательно, состоит исключительно в величине их расстояний. Но по определению подобного (глава I, статья 2) те вещи, которые различаются только величиной, суть подобные. Посему точки A, B и C имеют друг к другу подобное положение с точками E, F и G, или расположены подобно; что и требовалось доказать.

Фигура есть величина, определяемая положением или размещением всех ее крайних точек. Теперь я называю крайними те точки, которые примыкают к месту, находящемуся вне фигуры. Поэтому в линиях и поверхностях все точки можно назвать крайними; но в телах только те, которые находятся на поверхности, их включающей.

Подобные фигуры — это те, чьи крайние точки в одной из них все расположены подобно всем крайним точкам в другой; ибо такие фигуры не отличаются ничем, кроме величины.

И подобные фигуры расположены подобно, когда в обеих из них гомологичные прямые линии, то есть прямые линии, соединяющие точки, которые соответствуют друг другу, параллельны и имеют свои пропорциональные стороны, наклоненные в одну и ту же сторону.

И видя, что каждая прямая линия подобна каждой другой прямой линии, и каждая плоскость подобна каждой другой плоскости, когда рассматривается только плоскостность; если линии, включающие плоскости, или поверхности, включающие тела, имеют известные пропорции, то будет не трудно узнать, подобна ли какая-либо фигура другой предложенной фигуре или нет.

И это все касательно первых оснований философии. Следующее место принадлежит геометрии, в которой величины фигур отыскиваются из пропорций линий и углов. Поэтому необходимо тому, кто хочет изучать геометрию, знать прежде, какова природа величины, пропорции, угла и фигуры. Объяснив их в трех последних главах, я счел уместным добавить их к этой части; и так перейти к следующей.

Том 1. Лат. и англ. Гл. XIV. Рис. 1-10

Fig 1. Fig 2. Fig 3. Fig 4. Fig 5. Fig 6. Fig 7. Fig 8. Fig 9. Fig 10.

ЧАСТЬ III. ПРОПОРЦИИ ДВИЖЕНИЙ И ВЕЛИЧИН.

ГЛАВА XV. О ПРИРОДЕ, СВОЙСТВАХ И РАЗЛИЧНЫХ РАССМОТРЕНИЯХ ДВИЖЕНИЯ И СТРЕМЛЕНИЯ.

1. Повторение некоторых принципов учения о движении, изложенных ранее. 2. Другие принципы, добавленные к ним. 3. Некоторые теоремы о природе движения. 4. Различные рассмотрения движения. 5. Путь, к которому стремится первое стремление движущихся тел. 6. В движении, которое совершается по стечению обстоятельств, при прекращении одного из движителей стремление совершается по пути, к которому стремится остальное. 7. Всякое стремление распространяется до бесконечности. 8. Чем больше скорость или величина движителя, тем больше его эффективность по отношению к любому другому телу на его пути.

Repetition of some principles of the doctrine of motion formerly set down.

1. Следующими по порядку, подлежащими рассмотрению, являются ДВИЖЕНИЕ и ВЕЛИЧИНА, которые суть наиболее общие акциденции всех тел. Это место поэтому наиболее подобающим образом принадлежит элементам геометрии. Но поскольку эта часть философии, будучи усовершенствованной лучшими умами всех веков, предоставила большее изобилие материала, чем может быть хорошо сжато в узких пределах этого рассуждения, я счел уместным уведомить читателя, чтобы он, прежде чем двигаться дальше, взял в руки труды Евклида, Архимеда, Аполлония и других как древних, так и современных авторов. Ибо к чему делать заново то, что уже сделано? То немногое, следовательно, что я скажу касательно геометрии в некоторых из следующих глав, будет лишь таким, что является новым и способствующим натурфилософии.

Я уже изложил некоторые принципы этого учения в восьмой и девятой главах; которые я кратко соберу здесь, чтобы читатель при дальнейшем чтении имел их свет под рукой.

Во-первых, следовательно, в гл. VIII, ст. 10, движение определяется как непрерывное лишение одного места и приобретение другого.

Во-вторых, там показано, что все, что движется, движется во времени.

В-третьих, в той же главе, ст. 11, я определил покой как состояние, когда тело остается некоторое время в одном месте.

В-четвертых, там показано, что все, что движется, не находится в каком-либо определенном месте; как и то, что оно двигалось, все еще движется и будет еще двигаться; так что в каждой части того пространства, в котором совершается движение, мы можем рассматривать три времени, а именно: прошедшее, настоящее и будущее время.

В-пятых, в ст. 15 той же главы я определил скорость или быстроту как движение, рассматриваемое как сила, а именно та сила, посредством которой движущееся тело может за определенное время передать определенную длину; что также может быть более кратко сформулировано так: скорость есть количество движения, определяемое временем и линией.

В-шестых, в той же главе, ст. 16, я показал, что движение есть мера времени.

В-седьмых, в той же главе, ст. 17, я определил движения как равнобыстрые, когда за равные времена ими передаются равные длины.

В-восьмых, в ст. 18 той же главы движения определены как равные, когда быстрота одного движущегося тела, вычисленная в каждой части его величины, равна быстроте другого, вычисленной также в каждой части его величины. Откуда следует заметить, что движения, равные друг другу, и движения равнобыстрые не означают одно и то же; ибо когда две лошади тянут в ряд, движение обеих больше, чем движение каждой из них в отдельности; но быстрота обеих вместе лишь равна быстроте каждой из них.

В-девятых, в ст. 19 той же главы я показал, что все, что находится в покое, всегда будет в покое, если не будет какого-либо другого тела помимо него, которое, попадая на его место, не позволит ему более оставаться в покое. И что все, что движется, всегда будет двигаться, если не будет какого-либо другого тела помимо него, которое препятствует его движению.

В-десятых, в гл. IX, ст. 7, я доказал, что когда движется какое-либо тело, которое ранее было в покое, непосредственная производящая причина этого движения находится в каком-либо другом движущемся и соприкасающемся теле.

В-одиннадцатых, я показал в том же месте, что все, что движется, всегда будет двигаться тем же путем и с той же быстротой, если не будет задержано каким-либо другим движущимся и соприкасающимся телом.

Other principles

added to them.

2. К этим принципам я добавлю здесь следующие. Во-первых, я определяю СТРЕМЛЕНИЕ как движение, совершаемое в меньшем пространстве и времени, чем может быть дано; то есть меньше, чем может быть определено или назначено посредством изложения или числа; то есть движение, совершаемое через длину точки и в мгновение или точку времени. Для объяснения этого определения следует помнить, что под точкой не следует понимать то, что не имеет величины или что не может быть никаким образом разделено; ибо в природе нет такой вещи; но то, чья величина вовсе не рассматривается, то есть из чего ни величина, ни какая-либо часть не вычисляются в доказательстве; так что точка не должна приниматься за неделимое, но за неразделенное; как и мгновение должно приниматься за неразделенное, а не за неделимое время.

Подобным образом стремление следует мыслить как движение; но так, чтобы ни количество времени, в которое, ни количество линии, в которой оно совершается, не могли быть в доказательстве вовсе приведены в сравнение с количеством того времени или той линии, частью которых оно является. И все же, как точка может быть сравнима с точкой, так одно стремление может быть сравнимо с другим стремлением, и одно может быть найдено большим или меньшим другого. Ибо если сравнить вертикальные точки двух углов, они будут равны или неравны в той же пропорции, которую углы сами имеют друг к другу. Или если прямая линия пересекает многие окружности концентрических кругов, неравенство точек пересечения будет в той же пропорции, которую периметры имеют друг к другу. И таким же образом, если два движения начинаются и заканчиваются вместе, их стремления будут равны или неравны согласно пропорции их скоростей; как мы видим, свинцовая пуля опускается с большим стремлением, чем шерстяной мяч.

Во-вторых, я определяю ИМПУЛЬС, или быстроту движения, как скорость или быстроту движущегося тела, но рассматриваемую в отдельных точках того времени, в которое оно движется. В этом смысле импульс есть не что иное, как количество или скорость стремления. Но рассматриваемый со всем временем, он есть вся скорость движущегося тела, взятая вместе на протяжении всего времени, и равна произведению линии, представляющей время, умноженной на линию, представляющую арифметически средний импульс или быстроту. Какое это арифметическое среднее, определено в 29-й статье главы XIII.

И поскольку в равные времена пройденные пути относятся как скорости, а импульс есть скорость, с которой они идут, исчисленная во всех отдельных точках времен, следует, что в течение любого времени, как бы импульс ни увеличивался или уменьшался, длина пройденного пути будет увеличиваться или уменьшаться в той же пропорции; и та же линия будет представлять как путь движущегося тела, так и отдельные импульсы или степени быстроты, с которыми путь проходится.

И если движущееся тело есть не точка, а прямая линия, движущаяся так, что каждая ее точка образует отдельную прямую линию, плоскость, описанная ее движением, будь то равномерным, ускоренным или замедленным, будет больше или меньше, при том же времени, в той же пропорции, что и пропорция импульса, исчисленного в одном движении, к импульсу, исчисленному в другом. Ибо причина та же в параллелограммах и их сторонах.

По той же причине также, если движущееся тело есть плоскость, описанное тело будет все еще больше или меньше в пропорциях отдельных импульсов или быстрот, исчисленных через одну линию, к отдельным импульсам, исчисленным через другую.

Это поняв, пусть A B C D (на рисунке 1, гл. XVII) будет параллелограммом; в котором предположим, что сторона A B движется параллельно противоположной стороне C D, уменьшаясь все время, пока не исчезнет в точке C, и таким образом описывая фигуру A B E F C; точка B, по мере уменьшения A B, будет поэтому описывать линию B E F C; и предположим, что время этого движения обозначено линией C D; и в то же время C D предположим, что сторона A C движется параллельно и равномерно к B D. Из точки O, взятой наугад на линии C D, проведем O R параллельно B D, пересекающую линию B E F C в E, а сторону A B в R. И снова, из точки Q, взятой также наугад на линии C D, проведем Q S параллельно B D, пересекающую линию B E F C в F, а сторону A B в S; и проведем E G и F H параллельно C D, пересекающие A C в G и H. Наконец, предположим, что то же построение выполнено во всех возможных точках линии B E F C. Я утверждаю, что как пропорции быстроты, с которой Q F, O E, D B и все остальные, предполагаемые проведенными параллельно D B и заканчивающиеся на линии B E F C, относятся к пропорциям их отдельных времен, обозначенных отдельными параллелями H F, G E, A B и всеми остальными, предполагаемыми проведенными параллельно линии времени C D и заканчивающимися на линии B E F C, совокупность к совокупности, так и площадь или плоскость D B E F C относится к площади или плоскости A C F E B. Ибо как A B, уменьшаясь непрерывно по линии B E F C, исчезает во время C D в точку C, так в то же время линия D C, непрерывно уменьшаясь, исчезает по той же линии C F E B в точку B; и точка D описывает в этом уменьшающемся движении линию D B, равную линии A C, описанной точкой A при уменьшающемся движении A B; и их быстроты поэтому равны. Снова, поскольку во время G E точка O описывает линию O E, а в то же время точка S описывает линию S E, линия O E будет относиться к линии S E как быстрота, с которой описывается O E, к быстроте, с которой описывается S E. Подобным образом, поскольку в то же время H F точка Q описывает линию Q F, а точка R линию R F, будет как быстрота, с которой описывается Q F, к быстроте, с которой описывается R F, так сама линия Q F к самой линии R F; и так во всех линиях, которые могут быть проведены параллельно B D в точках, где они пересекают линию B E F C. Но все параллели к B D, как S E, R F, A C и остальные, которые могут быть проведены из линии A B к линии B E F C, образуют площадь плоскости A B E F C; и все параллели к той же B D, как Q F, O E, D B и остальные, проведенные к точкам, где они пересекают ту же линию B E F C, образуют площадь плоскости B E F C D. Как поэтому совокупность быстрот, с которыми описывается плоскость B E F C D, относится к совокупности быстрот, с которыми описывается плоскость A C F E B, так и сама плоскость B E F C D относится к самой плоскости A C F E B. Но совокупность времен, представленных параллелями A B, G E, H F и остальными, образует также площадь A C F E B. И поэтому, как совокупность всех линий Q F, O E, D B и всех остальных линий, параллельных B D и заканчивающихся на линии B E F C, относится к совокупности всех линий H F, G E, A B и всех остальных линий, параллельных C D и заканчивающихся на той же линии B E F C; то есть как совокупность линий быстроты к совокупности линий времени, или как вся быстрота в параллелях к D B к целому времени в параллелях к C D, так и плоскость B E F C D относится к плоскости A C F E B. И пропорции Q F к F H, и O E к E G, и D B к B A, и так всех остальных, взятых вместе, суть пропорции плоскости D B E F C к плоскости A B E F C. Но линии Q F, O E, D B и остальные суть линии, которые обозначают быстроту; а линии H F, G E, A B и остальные суть линии, которые обозначают времена движений; и поэтому пропорция плоскости D B E F C к плоскости A B E F C есть пропорция всех скоростей, взятых вместе, ко всем временам, взятым вместе. Посему, как пропорции быстрот и т. д.; что и требовалось доказать.

То же самое справедливо и при уменьшении кругов, линиями времени которых являются полудиаметры, что можно легко представить, вообразив всю плоскость A B C D, повернутую вокруг оси B D; ибо линия B E F C будет везде на поверхности, созданной таким образом, а линии H F, G E, A B, которые здесь являются параллелограммами, будут там цилиндрами, диаметрами оснований которых являются линии H F, G E, A B и т. д., а высотой — точка, то есть величина, меньшая любой величины, которую можно назвать; а линии Q F, O E, D B и т. д. — малыми телами, чьи длины и ширины меньше любой величины, которую можно назвать.

Но следует заметить, что если пропорция суммы быстрот к пропорции суммы времен не определена, пропорция фигуры D B E F C к фигуре A B E F C не может быть определена.

В-третьих, я определяю СОПРОТИВЛЕНИЕ как стремление одного движущегося тела либо полностью, либо частично противоположное стремлению другого движущегося тела, которое касается его. Я говорю «полностью противоположное», когда стремление двух тел происходит по одной и той же прямой линии от противоположных краев, и «частично противоположное», когда два тела имеют свое стремление по двум линиям, которые, исходя из крайних точек прямой линии, встречаются вне ее.

В-четвертых, чтобы я мог определить, что значит ДАВИТЬ, я говорю, что из двух движущихся тел одно давит на другое, когда своим стремлением оно заставляет либо все, либо часть другого тела сойти со своего места.

В-пятых, тело, которое сжато и не полностью удалено, называется ВОССТАНАВЛИВАЮЩИМСЯ, когда при удалении давящего тела части, которые были сдвинуты, по причине внутреннего строения сжатого тела возвращаются каждая на свое место. И это мы можем наблюдать в пружинах, в надутых пузырях и во многих других телах, части которых уступают в большей или меньшей степени стремлению, которое давящее тело совершает при первом приближении; но впоследствии, когда давящее тело удалено, они некоторой силой внутри них восстанавливают себя и придают всему своему телу ту же фигуру, которую оно имело прежде.

В-шестых, я определяю СИЛУ как импульс или быстроту движения, умноженную либо на саму себя, либо на величину движителя, посредством чего упомянутый движитель действует в большей или меньшей степени на тело, которое сопротивляется ему.

Certain theorems concerning the nature of motion.

3. Изложив это, я докажу, во-первых, что если движущаяся точка коснется другой точки, которая находится в покое, как бы мал ни был импульс или быстрота ее движения, она сдвинет эту другую точку. Ибо если этим импульсом она вовсе не сдвинет ее с места, то не сдвинет ее и с удвоенным тем же импульсом. Ибо ничто, удвоенное, остается ничем; и по той же причине она никогда не сдвинет ее этим импульсом, сколько бы раз он ни был умножен, потому что ничто, как бы оно ни было умножено, вечно будет ничем. Посему, когда точка находится в покое, если она не уступает наименьшему импульсу, она не уступит никакому; и, следовательно, будет невозможно, чтобы то, что находится в покое, было когда-либо сдвинуто.

Во-вторых, что когда движущаяся точка, как бы мал ни был ее импульс, падает на точку любого тела, находящегося в покое, как бы твердо ни было это тело, она при первом же касании заставит его немного уступить. Ибо если оно не уступит импульсу, который находится в этой точке, то не уступит и импульсу сколь угодно многих точек, которые все имеют свои импульсы по отдельности равными импульсу этой точки. Ибо видя, что все эти точки вместе действуют одинаково, если какая-либо одна из них не имеет эффекта, совокупность их всех вместе не будет иметь эффекта столько раз, сколько есть точек во всем теле, то есть все еще никакого эффекта вовсе; и, следовательно, существовали бы некоторые тела столь твердые, что их было бы невозможно сломать; то есть конечная твердость или конечная сила не уступила бы тому, что бесконечно; что абсурдно.

Следствие. Поэтому очевидно, что покой не делает ничего вовсе и не обладает никакой эффективностью; и что ничто, кроме движения, не дает движения таким вещам, которые находятся в покое, и не отнимает его у вещей движущихся.

В-третьих, что прекращение движения в движителе не вызывает прекращения в том, что было приведено им в движение. Ибо (по числу 11 ст. 1 этой главы) все, что движется, упорствует в том же пути и с той же быстротой, пока не будет задержано чем-то, что движется против него. Теперь очевидно, что прекращение не есть противоположное движение; и поэтому следует, что остановка движителя не делает необходимым, чтобы движущаяся вещь также остановилась.

Следствие. Поэтому ошибаются те, кто считает устранение препятствия или сопротивления одной из причин движения.

Divers considerations of motions.

4. Движение принимается в расчет по разным причинам; во-первых, как в теле неделимом, то есть рассматриваемом как точка; или как в теле разделенном. В неделимом теле, когда мы предполагаем путь, по которому совершается движение, линией; а в разделенном теле, когда мы вычисляем движение отдельных частей этого тела, как частей.

Во-вторых, от разнообразия регулирования движения, оно в теле, рассматриваемом как неделимое, бывает иногда равномерным, а иногда многообразным. Равномерное — это то, посредством которого равные линии всегда передаются в равные времена; а многообразное — когда в одно время передается большее, а в другое время меньшее пространство. Опять же, из многообразных движений есть такие, в которых степени ускорения и замедления происходят в тех же пропорциях, которые имеют передаваемые пространства, будь то дублированные, или триплицированные, или умноженные на любое число; и другие, в которых это иначе.

В-третьих, от числа движителей; то есть одно движение совершается только одним движителем, а другое — стечением многих движителей.

В-четвертых, от положения той линии, в которой движется тело, по отношению к какой-либо другой линии; и отсюда одно движение называется перпендикулярным, другое — наклонным, третье — параллельным.

В-пятых, от положения движителя по отношению к движущемуся телу; откуда одно движение есть пульсия или толкание, другое — тракция или тяга. Пульсия — когда движитель заставляет движущееся тело идти перед собой; а тракция — когда он заставляет его следовать. Опять же, есть два вида пульсии; один, когда движения движителя и движущегося тела начинаются вместе, что можно назвать трузией или толканием и векторией; другой, когда движитель движется первым, а впоследствии движущееся тело, каковое движение называется перкуссией или ударом.

В-шестых, движение рассматривается иногда только по эффекту, который движитель производит в движущемся теле, что обычно называется моментом. Теперь момент есть избыток движения, который движитель имеет над движением или стремлением сопротивляющегося тела.

В-седьмых, оно может рассматриваться от разнообразия среды; так как одно движение может совершаться в вакууме или пустом месте; другое — в жидкости; третье — в постоянной среде, то есть среде, части которой по некоторой силе столь постоянны и сцеплены, что никакая часть ее не уступит движителю, если не уступит и целое.

В-восьмых, когда движущееся тело рассматривается как имеющее части, возникает другое различие движения на простое и сложное. Простое — когда все отдельные части описывают отдельные равные линии; сложное — когда описываемые линии неравны.

The way by which the first endeavour of bodies moved tendeth.

5. Всякое стремление направлено к той части, то есть тем путем, который определяется движением движителя, если движитель только один; или, если есть много движителей, тем путем, который определяет их стечение. Например, если движущееся тело имеет прямое движение, его первое стремление будет по прямой линии; если оно имеет круговое движение, его первое стремление будет по окружности круга.

In motion, which it made by concourse, one of the movents ceasing, the endeavour is made by the way by which the rest tend.

6. И какой бы ни была линия, в которой тело имеет свое движение от стечения двух движителей, как только в какой-либо ее точке сила одного из движителей прекращается, там немедленно прежнее стремление этого тела будет изменено в стремление по линии другого движителя.

Посему, когда какое-либо тело переносится стечением двух ветров, при прекращении одного из этих ветров стремление и движение этого тела будут по той линии, по которой оно переносилось бы одним тем ветром, который все еще дует. И при описании круга, где то, что движется, имеет свое движение, определяемое движителем по касательной, и радиусом, который удерживает его на определенном расстоянии от центра, если удержание радиуса прекращается, то стремление, которое было по окружности круга, будет теперь по касательной, то есть по прямой линии. Ибо, видя, что стремление вычисляется в меньшей части окружности, чем может быть дано, то есть в точке, путь, по которому тело движется по окружности, составлен из бесчисленных прямых линий, каждая из которых меньше, чем может быть дана; которые поэтому называются точками. Посему, когда какое-либо тело, движущееся по окружности круга, освобождается от удержания радиуса, оно будет продолжать движение по одной из этих прямых линий, то есть по касательной.

All endeavour is propagated in infinitum.

7. Всякое стремление, сильное или слабое, распространяется на бесконечное расстояние; ибо оно есть движение. Если поэтому первое стремление тела совершается в пространстве, которое пусто, оно всегда будет продолжаться с той же скоростью; ибо нельзя предположить, что оно может получить какое-либо сопротивление от пустого пространства; и поэтому (по ст. 7, гл. IX) оно всегда будет продолжаться тем же путем и с той же быстротой. И если его стремление в пространстве, которое заполнено, все же, видя, что стремление есть движение, то, что стоит следующим на его пути, будет удалено, и стремление пойдет дальше, и снова удалит то, что стоит следующим, и так бесконечно. Посему распространение стремления, от одной части полного пространства к другой, происходит бесконечно. Кроме того, оно достигает в любое мгновение любого расстояния, как бы велико оно ни было. Ибо в то же самое мгновение, в которое первая часть полной среды удаляет то, что находится рядом с ней, вторая также удаляет ту часть, которая находится рядом с ней; и поэтому всякое стремление, будь то в пустом или в полном пространстве, происходит не только на любое расстояние, как бы велико оно ни было, но также в любое время, как бы мало оно ни было, то есть в мгновение. И не имеет никакого значения, что стремление, продолжаясь, становится все слабее и слабее, пока наконец не может быть более воспринято чувством; ибо движение может быть нечувствительным; и я здесь исследую вещи не чувством и опытом, а разумом.

How much greater the velocity or magnitude is of a movent, so much the greater is the efficacy thereof upon any other body in its way.

8. Когда два движителя равной величины, более быстрый из них работает с большей силой, чем более медленный, над телом, которое сопротивляется их движению. Также, если два движителя имеют равную скорость, больший из них работает с большей силой, чем меньший. Ибо где величина равна, движитель большей скорости производит большее впечатление на то тело, на которое он падает; и где скорость равна, движитель большей величины, падая на ту же точку или равную часть другого тела, теряет меньше своей скорости, потому что сопротивляющееся тело работает только на ту часть движителя, которую оно касается, и поэтому уменьшает импульс только этой части; тогда как тем временем части, которые не затронуты, продолжают движение и сохраняют всю свою силу, пока они также не придут к тому, чтобы быть затронутыми; и их сила имеет некоторый эффект. Посему, например, в батареях более длинный, чем более короткий кусок дерева той же толщины и скорости, и более толстый, чем более тонкий кусок той же длины и скорости, производят больший эффект на стену.

ГЛАВА XVI. О ДВИЖЕНИИ УСКОРЕННОМ И РАВНОМЕРНОМ, И О ДВИЖЕНИИ ПО СТЕЧЕНИЮ.

1. Скорость любого тела, в какое бы время она ни вычислялась, есть то, что получается от умножения импульса, или быстроты его движения, на время. 2-5. Во всяком движении длины, которые пройдены, относятся друг к другу как произведения, полученные умножением импульса на время. 6. Если два тела движутся равномерным движением через две длины, пропорция этих длин друг к другу будет составлена из пропорций времени к времени и импульса к импульсу, взятых прямо. 7. Если два тела проходят через две длины с равномерным движением, пропорция их времен друг к другу будет составлена из пропорций длины к длине и импульса к импульсу, взятых обратно; также пропорция их импульсов друг к другу будет составлена из пропорций длины к длине и времени к времени, взятых обратно. 8. Если тело переносится равномерным движением двумя движителями вместе, которые встречаются под углом, линия, по которой оно проходит, будет прямой линией, стягивающей дополнение этого угла до двух прямых углов. 9 и т. д. Если тело переносится двумя движителями вместе, один из которых движется равномерным, другой — ускоренным движением, и пропорция их длин к их временам объяснима в числах, как найти, какую линию описывает это тело.

The velocity of any body, in what time soever it be computed, is that which is made of the multiplication of the impetus or quickness of its motion into the time.

1. Скорость любого тела, в какое бы время оно ни двигалось, имеет свою величину, определяемую суммой всех отдельных быстрот или импульсов, которые оно имеет в отдельные точки времени движения тела. Ибо видя, что скорость (по определению ее, гл. VIII, ст. 15) есть та сила, посредством которой тело может за определенное время пройти через определенную длину; а быстрота движения или импульс (по гл. XV, ст. 2, число 2) есть скорость, взятая только в одной точке времени, все импульсы, взятые вместе во всех точках времени, будут тем же самым, что средний импульс, умноженный на все время, или, что то же самое, будет скоростью всего движения.

Следствие. Если импульс один и тот же в каждой точке, любая прямая линия, представляющая его, может быть взята за меру времени: и быстроты или импульсы, приложенные ординатно к любой прямой линии, образующей с ней угол и представляющей путь движения тела, обозначат параллелограмм, который будет представлять скорость всего движения. Но если импульс или быстрота движения начинаются от покоя и увеличиваются равномерно, то есть в той же пропорции непрерывно с временами, которые прошли, вся скорость движения будет представлена треугольником, одна сторона которого есть все время, а другая — наибольший импульс, приобретенный за это время; или же параллелограммом, одна из сторон которого есть все время движения, а другая — половина наибольшего импульса; или, наконец, параллелограммом, имеющим в качестве одной стороны среднюю пропорциональную между всем временем и половиной этого времени, а в качестве другой стороны — половину наибольшего импульса. Ибо оба эти параллелограмма равны друг другу и по отдельности равны треугольнику, который составлен из всей линии времени и наибольшего приобретенного импульса; как доказано в элементах геометрии.

In all motion, the lengths which are passed through are to one another, as the products made by the impetus multiplied into time.

2. Во всех равномерных движениях длины, которые передаются, относятся друг к другу как произведение среднего импульса, умноженного на его время, к произведению среднего импульса, умноженного также на его время.

Ибо пусть A B (на рис. 1) будет временем, а A C — импульсом, посредством которого любое тело проходит с равномерным движением через длину D E; и в любой части времени A B, как во времени A F, пусть другое тело движется с равномерным движением, во-первых, с тем же импульсом A C. Это тело, следовательно, во время A F с импульсом A C пройдет через длину A F. Видя, следовательно, что когда тела движутся в одно и то же время и с той же скоростью и импульсом в каждой части их движения, пропорция одной переданной длины к другой переданной длине есть та же, что и пропорция времени к времени, следует, что длина, переданная во время A B с импульсом A C, будет относиться к длине, переданной во время A F с тем же импульсом A C, как A B сама относится к A F, то есть как параллелограмм A I относится к параллелограмму A H, то есть как произведение времени A B на средний импульс A C относится к произведению времени A F на тот же импульс A C. Снова, пусть будет предположено, что тело движется во время A F не с тем же, но с каким-то другим равномерным импульсом, как A L. Видя, следовательно, что одно из тел имеет во всех частях своего движения импульс A C, а другое подобным образом импульс A L, длина, переданная телом, движущимся с импульсом A C, будет относиться к длине, переданной телом, движущимся с импульсом A L, как A C сама относится к A L, то есть как параллелограмм A H относится к параллелограмму F L. Посему, по ординатной пропорции будет: как параллелограмм A I к параллелограмму F L, то есть как произведение среднего импульса на время к произведению среднего импульса на время, так длина, переданная во время A B с импульсом A C, к длине, переданной во время A F с импульсом A L; что и требовалось доказать.

Следствие. Поскольку, как было показано, при равномерном движении передаваемые длины относятся друг к другу как параллелограммы, образованные умножением среднего импульса на время, то есть, в силу постоянства импульса на всем пути, как сами времена, то путем перестановки также будет: как время к длине, так и время к длине; и в целом к этому месту применимы все свойства и преобразования аналогизмов, которые я изложил и доказал в главе XIII.

3. При движении, начатом из состояния покоя и равномерно ускоренном, то есть там, где импульс непрерывно возрастает пропорционально времени, отношение одного произведения, образованного средним импульсом, умноженным на время, к другому произведению, образованному таким же образом средним импульсом, умноженным на время, будет таким же, как отношение длины, пройденной за одно время, к длине, пройденной за другое время.

Ибо пусть A B (на рис. 1) представляет собой время; в начале которого, в точке A, пусть импульс будет как точка A; но по мере того, как время идет, пусть импульс возрастает равномерно, пока в последней точке этого времени A B, а именно в B, приобретенный импульс не станет равным B I. Далее, пусть A F представляет собой другое время, в начале которого, в точке A, пусть импульс будет как сама точка A; но по мере того, как время протекает, пусть импульс возрастает равномерно, пока в последней точке F времени A F приобретенный импульс не станет равным F K; и пусть D E будет длиной, пройденной за время A B при равномерно возрастающем импульсе. Я утверждаю, что длина D E относится к длине, пройденной за время A F, как время A B, умноженное на среднее значение импульса, возрастающего в течение времени A B, относится к времени A F, умноженному на среднее значение импульса, возрастающего в течение времени A F.

Ибо, поскольку треугольник A B I представляет собой всю скорость тела, движущегося в течение времени A B, пока приобретенный импульс не станет равным B I; а треугольник A F K — всю скорость тела, движущегося в течение времени A F при импульсе, возрастающем до тех пор, пока не будет приобретен импульс F K; длина D E к длине, приобретенной за время A F при импульсе, возрастающем из состояния покоя в A до тех пор, пока не будет приобретен импульс F K, будет относиться как треугольник A B I к треугольнику A F K, то есть, если треугольники A B I и A F K подобны, в дупликатной пропорции времени A B к времени A F; но если они не подобны, то в пропорции, составленной из пропорций A B к A F и B I к F K. Поэтому, как A B I относится к A F K, так пусть D E относится к D P; ибо тогда длина, пройденная за время A B при импульсе, возрастающем до B I, будет относиться к длине, пройденной за время A F при импульсе, возрастающем до F K, как треугольник A B I к треугольнику A F K; но треугольник A B I образован умножением времени A B на среднее значение импульса, возрастающего до B I; а треугольник A F K образован умножением времени A F на среднее значение импульса, возрастающего до F K; и, следовательно, длина D E, пройденная за время A B при импульсе, возрастающем до B I, к длине D P, пройденной за время A F при импульсе, возрастающем до F K, относится как произведение времени A B, умноженного на его средний импульс, к произведению времени A F, также умноженного на его средний импульс; что и требовалось доказать.

Следствие I. При равномерно ускоренном движении пропорция пройденных длин к пропорции их времен составляется из пропорций их времен к их временам и импульса к импульсу.

Следствие II. При равномерно ускоренном движении длины, пройденные за равные промежутки времени, взятые в непрерывной последовательности от начала движения, относятся как разности квадратных чисел, начиная с единицы, а именно как 3, 5, 7 и т. д. Ибо если за первое время пройденная длина равна 1, то за первое и второе времена пройденная длина будет равна 4, что есть квадрат 2, а за три первых времени она будет равна 9, что есть квадрат 3, а за четыре первых времени — 16, и так далее. Разности этих квадратов суть 3, 5, 7 и т. д.

Следствие III. При равномерно ускоренном движении из состояния покоя пройденная длина относится к другой длине, пройденной равномерно за то же время, но с таким импульсом, который был приобретен ускоренным движением в последней точке этого времени, как треугольник к параллелограмму, имеющим общие высоту и основание. Ибо, поскольку длина D E (на рис. 1) пройдена со скоростью, соответствующей треугольнику A B I, необходимо, чтобы для прохождения длины, которая вдвое больше D E, скорость соответствовала параллелограмму A I; ибо параллелограмм A I вдвое больше треугольника A B I.

4. При движении, которое, начавшись из состояния покоя, ускоряется таким образом, что его импульс непрерывно возрастает в пропорции, дупликатной по отношению к пропорции времен, в течение которых оно совершается, длина, пройденная за одно время, будет относиться к длине, пройденной за другое время, как произведение среднего импульса, умноженного на время одного из этих движений, к произведению среднего импульса, умноженного на время другого движения.

Ибо пусть A B (на рис. 2) представляет собой время, в первый момент которого A пусть импульс будет как точка A; но по мере того, как время протекает, пусть импульс непрерывно возрастает в дупликатной пропорции к пропорции времен, пока в последней точке времени B приобретенный импульс не станет равным B I; затем, взяв точку F в любом месте времени A B, пусть импульс F K, приобретенный за время A F, будет ординатно приложен к этой точке F. Поскольку, следовательно, пропорция F K к B I предполагается дупликатной по отношению к пропорции A F к A B, пропорция A F к A B будет субдупликатной по отношению к пропорции F K к B I; а пропорция A B к A F будет (согласно гл. XIII, ст. 16) дупликатной по отношению к пропорции B I к F K; и, следовательно, точка K будет лежать на параболической линии, диаметром которой является A B, а основанием — B I; и по той же причине, к какой бы точке времени A B ни был ординатно приложен импульс, приобретенный за это время, прямая линия, определяющая этот импульс, будет лежать на той же параболической линии A K I. Поэтому средний импульс, умноженный на все время A B, будет равен параболе A K I B, равной параллелограмму A M, который имеет одной стороной линию времени A B, а другой — линию импульса A L, составляющую две трети импульса B I; ибо каждая парабола равна двум третям того параллелограмма, с которым она имеет общие высоту и основание. Поэтому вся скорость за время A B будет равна параллелограмму A M, как образованному умножением импульса A L на время A B. И таким же образом, если взять F N, составляющую две трети импульса F K, и построить параллелограмм F O, то F O будет всей скоростью за время A F, как образованной равномерным импульсом A O или F N, умноженным на время A F. Пусть теперь длина, пройденная за время A B со скоростью A M, будет прямой линией D E; и, наконец, пусть длина, пройденная за время A F со скоростью A N, будет D P; я утверждаю, что как A M относится к A N, или как парабола A K I B к параболе A K F, так D E относится к D P. Ибо как A M относится к F L, то есть как A B относится к A F, так пусть D E относится к D G. Теперь пропорция A M к A N составляется из пропорций A M к F L и F L к A N. Но как A M относится к F L, так по построению D E относится к D G; а как F L относится к A N (поскольку время в обоих случаях одно и то же, а именно A F), так длина D G относится к длине D P; ибо длины, пройденные за одно и то же время, относятся друг к другу как их скорости. Поэтому по ординатной пропорции, как A M относится к A N, то есть как средний импульс A L, умноженный на его время A B, относится к среднему импульсу A O, умноженному на A F, так D E относится к D P; что и требовалось доказать.

Следствие I. Длины, пройденные при движении, ускоренном настолько, что импульс непрерывно возрастает в дупликатной пропорции к пропорции их времен, если основание представляет импульс, находятся в трипликатной пропорции к их импульсам, приобретенным в последней точке их времен. Ибо как длина D E относится к длине D P, так параллелограмм A M относится к параллелограмму A N, и так парабола A K I B относится к параболе A K F. Но пропорция параболы A K I B к параболе A K F является трипликатной по отношению к пропорции, которую основание B I имеет к основанию F K. Поэтому и пропорция D E к D P является трипликатной по отношению к пропорции B I к F K.

Следствие II. Длины, пройденные за равные промежутки времени, следующие один за другим от начала движения, при движении, ускоренном настолько, что пропорция импульса дупликатна пропорции времен, относятся друг к другу как разности кубических чисел, начиная с единицы, то есть как 7, 19, 37 и т. д. Ибо если за первое время пройденная длина равна 1, то длина в конце второго времени будет равна 8, в конце третьего времени — 27, а в конце четвертого времени — 64 и т. д.; это кубические числа, разности которых суть 7, 19, 37 и т. д.

Следствие III. При движении, ускоренном настолько, что пройденная длина всегда относится к пройденной длине в дупликатной пропорции к их временам, длина, пройденная равномерно за все время с импульсом, на всем пути равным тому, который был приобретен последним, относится как парабола к параллелограмму с теми же высотой и основанием, то есть как 2 к 3. Ибо парабола A K I B есть импульс, возрастающий за время A B; а параллелограмм A I есть наибольший равномерный импульс, умноженный на то же время A B. Поэтому пройденные длины будут относиться как парабола к параллелограмму и т. д., то есть как 2 к 3.

5. Если бы я стал объяснять движения, совершаемые при импульсе, возрастающем в трипликатной, квадрупликатной, квинтупликатной и т. д. пропорции к пропорции их времен, это был бы труд бесконечный и ненужный. Ибо тем же методом, которым я вычислил длины, пройденные при импульсе, возрастающем в простой и дупликатной пропорции, любой человек может вычислить те, что пройдены при импульсе, возрастающем в трипликатной, квадрупликатной или любой другой пропорции, какой пожелает.

При выполнении этого вычисления он обнаружит, что там, где импульс возрастает в трипликатной пропорции к пропорции времен, вся скорость будет определяться первым параболастером (о чем см. следующую главу); а пройденные длины будут находиться в квадрупликатной пропорции к пропорции времен. И таким же образом, где импульс возрастает в квадрупликатной пропорции к пропорции времен, там вся скорость будет определяться вторым параболастером, а пройденные длины будут находиться в квинтупликатной пропорции к пропорции времен; и так далее непрерывно.

If two bodies be moved with uniform motion through two lengths, the proportion of those lengths to one another, will be compounded of the proportions of time to time, and impetus to impetus, directly taken.

6. Если два тела при равномерном движении проходят две длины, каждое со своим собственным импульсом и временем, пропорция пройденных длин будет составлена из пропорций времени к времени и импульса к импульсу, взятых прямо.

Пусть два тела движутся равномерно (как на рис. 3), одно в течение времени A B с импульсом A C, другое в течение времени A D с импульсом A E. Я утверждаю, что пройденные длины имеют пропорцию друг к другу, составленную из пропорций A B к A D и A C к A E. Ибо пусть любая длина, например Z, будет пройдена одним из тел за время A B с импульсом A C; и любая другая длина, например X, будет пройдена другим телом за время A D с импульсом A E; и пусть будут построены параллелограммы A F и A G. Поскольку теперь Z относится к X (согласно ст. 2) как импульс A C, умноженный на время A B, относится к импульсу A E, умноженному на время A D, то есть как A F к A G; пропорция Z к X будет составлена из тех же пропорций, из которых составлена пропорция A F к A G; но пропорция A F к A G составлена из пропорций стороны A B к стороне A D и стороны A C к стороне A E (как очевидно из Начал Евклида), то есть из пропорций времени A B к времени A D и импульса A C к импульсу A E. Поэтому и пропорция Z к X составлена из тех же пропорций времени A B к времени A D и импульса A C к импульсу A E; что и требовалось доказать.

Следствие I. Когда два тела движутся равномерно, если времена и импульсы находятся в обратной пропорции, пройденные длины будут равны. Ибо если бы было как A B к A D (на том же рис. 3), так обратно A E к A C, пропорция A F к A G была бы составлена из пропорций A B к A D и A C к A E, то есть из пропорций A B к A D и A D к A B. Поэтому A F относилось бы к A G как A B к A B, то есть было бы равно; и таким образом два произведения, образованные умножением импульса на время, были бы равны; и, следовательно, Z было бы равно X.

Следствие II. Если два тела движутся за одно и то же время, но с разными импульсами, пройденные длины будут относиться как импульс к импульсу. Ибо если время обоих есть A D, а их разные импульсы — A E и A C, пропорция A G к D C будет составлена из пропорций A E к A C и A D к A D, то есть из пропорций A E к A C и A C к A C; и таким образом пропорция A G к D C, то есть пропорция длины к длине, будет как A E к A C, то есть как пропорция импульса к импульсу. Таким же образом, если два тела движутся равномерно, и оба с одним и тем же импульсом, но за разное время, пропорция пройденных ими длин будет такой же, как пропорция их времен. Ибо если они имеют один и тот же импульс A C, а их разные времена — A B и A D, пропорция A F к D C будет составлена из пропорций A B к A D и A C к A C; то есть из пропорций A B к A D и A D к A D; и поэтому пропорция A F к D C, то есть пропорция длины к длине, будет той же, что и пропорция A B к A D, которая есть пропорция времени к времени.

If two bodies pass through two lengths with uniform motion, the proportion of their times to one another, will be compounded of the proportions of length to length, and impetus to impetus reciprocally taken; also the proportion of their impetus to one another, will be compounded of the proportions of length to length, and time to time reciprocally taken.

7. Если два тела проходят две длины при равномерном движении, пропорция времен, в течение которых они движутся, будет составлена из пропорций длины к длине и импульса к импульсу, взятых обратно.

Ибо пусть даны любые две длины, как (на том же рис. 3) Z и X, и пусть одна из них пройдена с импульсом A C, другая — с импульсом A E. Я утверждаю, что пропорция времен, в течение которых они пройдены, будет составлена из пропорций Z к X и A E, который есть импульс, с которым пройдена X, к A C, импульсу, с которым пройдена Z. Ибо, поскольку A F есть произведение импульса A C, умноженного на время A B, время движения через Z будет линией, которая образована приложением параллелограмма A F к прямой линии A C, каковой линией является A B; и поэтому A B есть время движения через Z. Таким же образом, поскольку A G есть произведение импульса A E, умноженного на время A D, время движения через X будет линией, которая образована приложением A G к прямой линии A D; но A D есть время движения через X. Теперь пропорция A B к A D составлена из пропорций параллелограмма A F к параллелограмму A G и импульса A E к импульсу A C; что может быть доказано следующим образом. Расположим параллелограммы в порядке A F, A G, D C, и станет очевидно, что пропорция A F к D C составлена из пропорций A F к A G и A G к D C; но A F относится к D C как A B к A D; поэтому и пропорция A B к A D составлена из пропорций A F к A G и A G к D C. И поскольку длина Z относится к длине X как A F к A G, а импульс A E к импульсу A C как A G к D C, то пропорция A B к A D будет составлена из пропорций длины Z к длине X и импульса A E к импульсу A C; что и требовалось доказать.

Таким же образом можно доказать, что при двух равномерных движениях пропорция импульса составлена из пропорций длины к длине и времени к времени, взятых обратно.

Ибо если мы предположим, что A C (на том же рис. 3) есть время, а A B — импульс, с которым пройдена длина Z; и A E — время, а A D — импульс, с которым пройдена длина X, доказательство будет следовать так же, как в последней статье.

If a body be carried on with uniform motion by two movents together, which meet in an angle, the line by which it passes will be a strait line, subtending the complement of that angle to 2 right angles.

8. Если тело переносится двумя движителями вместе, которые движутся прямолинейным и равномерным движением и сходятся под любым заданным углом, линия, по которой проходит это тело, будет прямой линией.

Пусть движитель A B (на рис. 4) имеет прямолинейное и равномерное движение и перемещается, пока не окажется в месте C D; и пусть другой движитель A C, также имеющий прямолинейное и равномерное движение и образующий с движителем A B любой заданный угол C A B, понимается как перемещающийся за то же время в D B; и пусть тело будет помещено в точку их схождения A. Я утверждаю, что линия, которую это тело описывает своим движением, есть прямая линия. Ибо пусть будет построен параллелограмм A B D C и проведена его диагональ A D; и на прямой линии A B пусть будет взята любая точка E; и из нее пусть будет проведена E F параллельно прямым линиям A C и B D, пересекающая A D в G; и через точку G пусть будет проведена H I параллельно прямым линиям A B и C D; и, наконец, пусть мерой времени будет A C. Поскольку, следовательно, оба движения совершаются за одно и то же время, когда A B будет в C D, тело также будет в C D; и таким же образом, когда A C будет в B D, тело будет в B D. Но A B находится в C D в то же время, когда A C находится в B D; и поэтому тело будет в C D и B D в одно и то же время; следовательно, оно будет в общей точке D. Далее, поскольку движение от A C к B D равномерно, то есть пространства, пройденные им, относятся друг к другу как времена, в течение которых они пройдены, когда A C будет в E F, пропорция A B к A E будет такой же, как пропорция E F к E G, то есть времени A C к времени A H. Поэтому A B будет в H I в то же время, в которое A C будет в E F, так что тело будет в одно и то же время в E F и H I, и поэтому в их общей точке G. И таким же образом будет, где бы ни была взята точка E между A и B. Поэтому тело всегда будет находиться на диагонали A D; что и требовалось доказать.

Следствие. Отсюда очевидно, что тело будет переноситься по той же прямой линии A D, даже если движение не будет равномерным, при условии, что оно имеет одинаковое ускорение; ибо пропорция A B к A E всегда будет такой же, как пропорция A C к A H.

If a body be carried by two movents together, one of them being moved with uniform, the other with accelerated motion, and the proportion of their lengths to their times being explicable in numbers, how to find out what line that body describes.

9. Если тело переносится двумя движителями вместе, которые встречаются под любым заданным углом и движутся: один равномерно, другой — равномерно ускоренным движением из состояния покоя, то есть так, что пропорция их импульсов относится как пропорция их времен, то есть так, что пропорция их длин дупликатна пропорции линий их времен, пока линия наибольшего импульса, приобретенного ускорением, не станет равной линии времени равномерного движения; линия, по которой переносится тело, будет кривой линией полупараболы, основанием которой является последний приобретенный импульс, а вершиной — точка покоя.

Пусть прямая линия A B (на рис. 5) понимается как перемещающаяся равномерным движением к C D; и пусть другой движитель на прямой линии A C предполагается перемещающимся за то же время к B D, но равномерно ускоренным движением, то есть таким движением, что пропорция пройденных пространств всегда дупликатна пропорции времен, пока приобретенный импульс B D не станет равным прямой линии A C; и пусть будет описана полупарабола A G D B. Я утверждаю, что при схождении этих двух движителей тело будет переноситься по полупараболической кривой линии A G D. Ибо пусть будет построен параллелограмм A B D C; и из точки E, взятой в любом месте прямой линии A B, пусть будет проведена E F параллельно A C и пересекающая кривую линию в G; и, наконец, через точку G пусть будет проведена H I параллельно прямым линиям A B и C D. Поскольку, следовательно, пропорция A B к A E по предположению дупликатна пропорции E F к E G, то есть времени A C к времени A H, в то же время, когда A C будет в E F, A B будет в H I; и поэтому движущееся тело будет в общей точке G. И так будет всегда, в какой бы части A B ни была взята точка E. Поэтому движущееся тело всегда будет находиться на параболической линии A G D; что и требовалось доказать.