«Английские сочинения Томаса Гоббса, том 1»

Отсюда возникает другой способ составления многих пропорций в одну, а именно тот, который предполагается в 5-м определении 6-й книги Евклида; который заключается в умножении всех антецедентов пропорций друг на друга и, подобным образом, всех консеквентов друг на друга. И отсюда также очевидно, во-первых, что причина, по которой параллелограммы, образованные дукцией двух прямых линий друг в друга, и все тела, равные фигурам, так образованным, имеют свои пропорции, составленные из пропорций эффективных величин; и во-вторых, почему умножение двух или более дробей друг на друга есть то же самое, что композиция пропорций их отдельных числителей к их отдельным знаменателям. Например, если эти дроби 1/2, 2/3, 3/4 должны быть умножены друг на друга, числители 1, 2, 3 должны быть сначала умножены друг на друга, что дает 6; а затем знаменатели 2, 3, 4, что дает 24; и эти два произведения образуют дробь 6/24. Подобным образом, если пропорции 1 к 2, 2 к 3 и 3 к 4 должны быть составлены, работая так, как я показал выше, будет получена та же пропорция 6 к 24.

15. Если какая-либо пропорция составлена с самой собой инвертированной, состав будет пропорцией равенства. Ибо пусть дана какая-либо пропорция, как A к B, и пусть инверсией ее будет пропорция C к D; и как C относится к D, так пусть B относится к другой величине; ибо так они будут составлены (согласно второму следствию 12-й статьи). Теперь, видя, что пропорция C к D есть инверсия пропорции A к B, будет как C к D, так B к A; и поэтому, если их поставить в порядке A, B, A, пропорция, составленная из пропорций A к B и C к D, будет пропорцией A к A, то есть пропорцией равенства. И отсюда очевидна причина, почему два равных произведения имеют свои эффективные величины взаимно пропорциональными. Ибо для того, чтобы два произведения были равны, пропорции их эффективных величин должны быть такими, чтобы при составлении они могли образовать пропорцию равенства, что невозможно, если одна не является инверсией другой; ибо если между A и A вставить любую другую величину, например C, их порядок будет A, C, A, и более поздняя пропорция C к A будет инверсией более ранней пропорции A к C.

The definition and properties of continual proportion.

16. Пропорция называется умноженной на число, когда она берется столько раз, сколько единиц в этом числе; и если пропорция большего к меньшему, то и величина пропорции будет увеличена умножением; но когда пропорция меньшего к большему, то по мере увеличения числа величина пропорции уменьшается; как в этих трех числах, 4, 2, 1, пропорция 4 к 1 есть не только дупликат 4 к 2, но и вдвое больше; но при инвертировании порядка этих чисел, 1, 2, 4, пропорция 1 к 2 больше, чем 1 к 4; и поэтому, хотя пропорция 1 к 4 есть дупликат 1 к 2, она не вдвое больше, чем 1 к 2, а наоборот, ее половина. Подобным образом, пропорция называется деленной, когда между двумя величинами вставлены одна или более средних в непрерывной пропорции, и тогда пропорция первой ко второй называется субдупликатной пропорции первой к третьей, и субтрипликатной пропорции первой к четвертой и т. д.

Это смешение пропорций, где одни являются пропорциями избытка, другие — недостатка, как в купеческом счете дебитора и кредитора, не так легко исчисляется, как некоторые думают; но делает композицию пропорций иногда сложением, иногда вычитанием; что звучит абсурдно для тех, кто всегда под композицией понимал сложение, а под уменьшением — вычитание. Поэтому, чтобы сделать этот счет немного яснее, мы должны рассмотреть (то, что обычно предполагается, и справедливо), что если имеется сколько угодно величин, пропорция первой к последней составляется из пропорций первой ко второй, второй к третьей и так далее до последней, не обращая внимания на их равенство, избыток или недостаток; так что если две пропорции, одна неравенства, другая равенства, сложить вместе, пропорция от этого не станет ни больше, ни меньше; как, например, если составить пропорции A к B и B к B, пропорция первой ко второй будет равна сумме обеих, потому что пропорция равенства, не будучи величиной, ни увеличивает величину, ни уменьшает ее. Но если есть три величины, A, B, C, неравные, и первая — наибольшая, последняя — наименьшая, то пропорция B к C есть прибавление к пропорции A к B и делает ее больше; и наоборот, если A — наименьшая, а C — наибольшая величина, то прибавление пропорции B к C делает составную пропорцию A к C меньше пропорции A к B, то есть целое меньше части. Композиция пропорций, следовательно, в этом случае не есть их увеличение, а уменьшение; ибо та же величина (Евклид V. 8), сравниваемая с двумя другими величинами, имеет большую пропорцию к меньшей из них, чем к большей. Также, когда составленные пропорции — одна избытка, другая недостатка, если первая — избытка, как в этих числах 8, 6, 9, составленная пропорция, а именно 8 к 9, меньше пропорции одной из ее частей, а именно 8 к 6; но если пропорция первой ко второй — недостатка, а второй к третьей — избытка, как в этих числах 6, 8, 4, то пропорция первой к третьей будет больше пропорции первой ко второй, как 6 имеет большую пропорцию к 4, чем к 8; причина чего явно в том, что чем меньше величина недостает до другой, или чем больше одна превышает другую, тем больше пропорция ее к этой другой. Предположим теперь три величины в непрерывной пропорции, AB 4, AC 6, AD 9. Поскольку, следовательно, AD больше AC, но не больше AD, пропорция AD к AC будет (по Евклиду V. 8) больше, чем AD к AD; и точно так же, поскольку пропорции AD к AC и AC к AB одни и те же, пропорции AD к AC и AC к AB, будучи обе пропорциями избытка, делают общую пропорцию AD к AB, или 9 к 4, не только дупликатом AD к AC, то есть 9 к 6, но и двойной, или вдвое большей. С другой стороны, поскольку пропорция AD к AD, или 9 к 9, будучи пропорцией равенства, не есть величина, и все же больше, чем AC к AD, или 6 к 9, будет как 0 - 9 к 0 - 6, так AC к AD, и опять, как 0 - 9 к 0 - 6, так 0 - 6 к 0 - 4; но 0 - 4, 0 - 6, 0 - 9 находятся в непрерывной пропорции; и поскольку 0 - 4 больше 0 - 6, пропорция 0 - 4 к 0 - 6 будет двойной к пропорции 0 - 4 к 0 - 9, двойной, говорю я, и все же не дупликатной, а субдупликатной.

Если кто-то не удовлетворен этим рассуждением, пусть сначала рассмотрит, что (по Евклиду V. 8) пропорция AB к AC больше, чем AB к AD, где бы D ни было помещено на продолженной линии AC; и чем дальше точка D от C, тем больше пропорция AB к AC, чем AB к AD. Существует, следовательно, некоторая точка (пусть это будет E) на таком расстоянии от C, что пропорция AB к AC будет вдвое больше, чем AB к AE. Это рассмотрев, пусть он определит длину линии AE и докажет, если сможет, что AE больше или меньше AD.

Тем же методом, если величин больше трех, как A, B, C, D, в непрерывной пропорции, и A — наименьшая, можно показать, что пропорция A к B есть тройная величина, хотя и субтроичная по множеству, к пропорции A к D.

17. Если имеется сколько угодно величин, число которых нечетно, и их порядок таков, что от средней величины они в обе стороны идут в непрерывной пропорции, то пропорция двух, которые находятся ближе всего с любой стороны к средней, есть субдупликатная пропорции двух, которые находятся ближе всего к ним с обеих сторон, и субтрипликатная пропорции двух, которые еще на одно место дальше и т. д. Ибо пусть величины будут C, B, A, D, E, и пусть A, B, C, а также A, D, E будут в непрерывной пропорции; я утверждаю, что пропорция D к B есть субдупликатная пропорции E к C. Ибо пропорция D к B составляется из пропорций D к A и A к B, взятых однажды; но пропорция E к C составляется из тех же, взятых дважды; и поэтому пропорция D к B есть субдупликатная пропорции E к C. И таким же образом, если бы было три члена с любой стороны, можно было бы доказать, что пропорция D к B была бы субтрипликатной пропорции крайних и т. д.

18. Если имеется сколько угодно непрерывных пропорциональных величин, как первая, вторая, третья и т. д., их разности будут пропорциональны им. Ибо вторая, третья и т. д. являются соответственно консеквентами предыдущей и антецедентами следующей пропорции. Но (согласно статье 10) разность первого антецедента и консеквента к разности второго антецедента и консеквента относится как первый антецедент ко второму антецеденту, то есть как первый член ко второму, или как второй к третьему и т. д. в непрерывных пропорциональных величинах.

19. Если есть три непрерывные пропорциональные величины, сумма крайних, вместе со средним, взятым дважды, сумма среднего и любого из крайних, и тот же крайний являются непрерывными пропорциональными величинами. Ибо пусть A : B : C будут непрерывными пропорциональными величинами. Видя, следовательно, что A : B :: B : C являются пропорциональными, при композиции также A + B : B :: B + C : C будут пропорциональными; и при перестановке A + B : B + C :: B : C также будут пропорциональными; и опять, при композиции A + 2B + C : B + C :: B + C : C; что и требовалось доказать.

20. В четырех непрерывных пропорциональных величинах наибольшая и наименьшая, сложенные вместе, составляют большую величину, чем две другие, сложенные вместе. Пусть A : B :: C : D будут непрерывными пропорциональными величинами; из которых пусть наибольшая будет A, а наименьшая — D; я утверждаю, что A + D больше, чем B + C. Ибо согласно статье 10, A - B : C - D :: A : C являются пропорциональными; и поэтому A - B, согласно статье 11, больше, чем C - D. Прибавьте B с обеих сторон, и A будет больше, чем C + B - D. И опять, прибавьте D с обеих сторон, и A + D будет больше, чем B + C; что и требовалось доказать.

The definition and properties of continual proportion.

21. Если есть четыре пропорциональные величины, крайние, умноженные друг на друга, и средние, умноженные друг на друга, дадут равные произведения. Пусть A : B :: C : D являются пропорциональными; я утверждаю, что AD равно BC. Ибо пропорция AD к BC составляется, согласно статье 13, из пропорций A к B и D к C, то есть ее инверсии B к A; и поэтому, согласно статье 14, эта составная пропорция есть пропорция равенства; и поэтому также пропорция AD к BC есть пропорция равенства. Посему они равны.

22. Если есть четыре величины, и пропорция первой ко второй есть дупликат пропорции третьей к четвертой, произведение крайних к произведению средних будет как третья к четвертой. Пусть четыре величины будут A, B, C и D; и пусть пропорция A к B будет дупликатом пропорции C к D, я утверждаю, что AD, то есть произведение A на D, относится к BC, то есть к произведению средних, как C к D. Ибо, видя, что пропорция A к B есть дупликат пропорции C к D, если будет как C к D, так D к другой, E, то A : B :: C : E будут пропорциональными; ибо пропорция A к B по предположению есть дупликат пропорции C к D; и C к E также дупликат пропорции C к D согласно определению, статья 15. Посему, согласно последней статье, AE или A на E равно BC или B на C; но, согласно следствию IV статьи 6, AD относится к AE как D к E, то есть как C к D; и поэтому AD относится к BC, которое, как я показал, равно AE, как C к D; что и требовалось доказать.

Более того, если пропорция первой A ко второй B есть трипликат пропорции третьей C к четвертой D, произведение крайних к произведению средних будет дупликатом пропорции третьей к четвертой. Ибо если будет как C к D, так D к E, и опять, как D к E, так E к другой, F, то пропорция C к F будет трипликатом пропорции C к D; и, следовательно, A : B :: C : F будут пропорциональными, и AF равно BC. Но как AD к AF, так D к F; и поэтому также как AD к BC, так D к F, то есть как C к E; но пропорция C к E есть дупликат пропорции C к D; посему также пропорция AD к BC есть дупликат пропорции C к D, как и было предложено.

23. Если есть четыре пропорциональные величины, и среднее вставлено между первой и второй, а другое между третьей и четвертой, первая из этих средних будет относиться ко второй, как первая из пропорциональных величин к третьей, или как вторая из них к четвертой. Ибо пусть A : B :: C : D будут пропорциональными, и пусть E будет средним между A и B, а F — средним между C и D; я утверждаю, что A : C :: E : F являются пропорциональными. Ибо пропорция A к E есть субдупликатная пропорции A к B, или C к D. Также пропорция C к F есть субдупликатная пропорции C к D; и поэтому A : C :: E : F являются пропорциональными; и при перестановке A : C :: E : F также являются пропорциональными; что и требовалось доказать.

24. Любая вещь называется разделенной в крайнем и среднем отношении, когда целое и части находятся в непрерывной пропорции. Как, например, когда A + B : A : B являются непрерывными пропорциональными величинами; или когда прямая линия AC разделена в B так, что AC : AB : BC находятся в непрерывной пропорции. И если та же линия AC будет снова разделена в D так, что AC : CD : AD будут непрерывными пропорциональными величинами; тогда также AC : AB : AD будут непрерывными пропорциональными величинами; и подобным образом, хотя и в обратном порядке, CA : CD : CB будут непрерывными пропорциональными величинами; что не может случиться ни в какой линии, разделенной иначе.

25. Если есть три непрерывные пропорциональные величины, и опять три другие непрерывные пропорции, которые имеют тот же средний член, их крайние будут в обратной пропорции. Ибо пусть A : B : C и D : B : E будут непрерывными пропорциональными величинами, я утверждаю, что A : D :: E : C будут пропорциональными. Ибо пропорция A к D составляется из пропорций A к B и B к D; а пропорция E к C составляется из пропорций E к B, то есть B к D, и B к C, то есть A к B. Посему, по равенству, A : D :: E : C являются пропорциональными.

Comparison of arithmetical and geometrical proportion.

26. Если любые две неравные величины принять за крайние члены, и между ними вставить любое число средних членов в геометрической прогрессии, а также такое же число средних членов в арифметической прогрессии, то отдельные средние члены в геометрической прогрессии будут меньше соответствующих средних членов в арифметической прогрессии. Ибо между A, меньшим крайним членом, и E, большим крайним членом, вставим три средних члена B, C, D в геометрической прогрессии и столько же других, F, G, H, в арифметической прогрессии; утверждаю, что B будет меньше F, C меньше G, а D меньше H. Ибо, во-первых, разность между A и F равна разности между F и G, а также разности между G и H согласно определению арифметической прогрессии; и поэтому отношение разности соседних членов прогрессии к разности крайних членов составляет, когда есть только один средний член, половину их разности; когда два — третью часть; когда три — четверть и т. д.; так что в данном примере это четверть. Но разность между D и E, согласно ст. 17, больше четверти разности между крайними членами, поскольку прогрессия геометрическая, и поэтому разность между A и D меньше трех четвертей той же разности крайних членов. Подобным образом, если понимать разность между A и D разделенной на три равные части, можно доказать, что разность между A и C меньше двух четвертей разности крайних членов A и E. И наконец, если разность между A и C разделить на две равные части, то разность между A и B будет меньше четверти разности крайних членов A и E.

Из этого рассмотрения очевидно, что B, то есть A вместе с чем-то еще, что меньше четвертой части разности крайних членов A и E, меньше F, то есть того же A с чем-то еще, что равно указанной четвертой части. Также очевидно, что C, то есть A с чем-то еще, что меньше двух четвертых частей указанной разности, меньше G, то есть A вместе с указанными двумя четвертями. И наконец, что D, которое превышает A менее чем на три четверти указанной разности, меньше H, которое превышает то же A на три полные четверти указанной разности. И точно так же было бы, если бы средних членов было четыре, за тем исключением, что вместо четвертей разности крайних членов мы должны брать пятые части; и так далее.

27. Лемма. Если дана некоторая величина, и к ней сначала прибавляется и из нее вычитается одна величина, а затем другая, большая или меньшая, то отношение остатка к сумме будет больше там, где прибавляется и вычитается меньшая величина, чем там, где прибавляется и вычитается большая величина. Пусть B прибавляется к величине A и вычитается из нее; так что A - B будет остатком, а A + B — суммой; и снова, пусть C, величина большая, чем B, прибавляется к той же A и вычитается из нее, так что A - C будет остатком, а A + C — суммой; утверждаю, что A - B : A + B :: A - C : A + C будет гиперлогизмом. Ибо A - B : A :: A - C : A есть гиперлогизм большего антецедента к тому же консеквенту; и поэтому A - B : A + B :: A - C : A + C есть гораздо больший гиперлогизм, образованный из большего антецедента к меньшему консеквенту.

28. Если от двух равных величин отнять неравные части и между целым и частью каждой вставить два средних члена, один в геометрической, другой в арифметической прогрессии, то разность между двумя средними членами будет наибольшей там, где разность между целым и его частью наибольшая. Ибо пусть AB и AB будут две равные величины, от которых отнимем две неравные части, а именно AE — меньшую, и AF — большую; и между AB и AE пусть AG будет средним членом в геометрической прогрессии, а AH — средним членом в арифметической прогрессии. Также между AB и AF пусть AI будет средним членом в геометрической прогрессии, а AK — средним членом в арифметической прогрессии; утверждаю, что HG больше, чем KI.

For in the first place we have this analogism

A B. A G :: B G. G E, by

article 18.

Then by composition we have this

A B + A G. A B :: B G + G E

that is, B E. B G.

And by taking the halves of the antecedents this third

½A B + ½A G. A B :: ½B G + ½G E,

that is, B H. B G.

And by conversion a fourth A B. ½A B + ½A G :: B G. B H.

And by division this fifth ½A B - ½A G. ½A B + ½A G

:: H G. B H.

And by doubling the first antecedent and the first consequent

A B - A G. A B + A G :: H G. B H.

Also by the same method may be found out this analogism A B - A I. A B + AI :: K I. B K.

Теперь, видя, что отношение AB к AE больше, чем отношение AB к AF, отношение AB к AG, которое составляет половину большего отношения, больше, чем отношение AB к AI, половине меньшего отношения; и поэтому AI больше, чем AG. Откуда отношение AB - AG к AB + AG, согласно предыдущей лемме, будет больше, чем отношение AB - AI к AB + AI; и поэтому также отношение HG к BH будет больше, чем отношение KI к BK, и гораздо больше, чем отношение KI к BH, которое больше, чем BK; ибо BH есть половина BE, как BK есть половина BF, которая, по предположению, меньше BE. Откуда HG больше, чем KI; что и требовалось доказать.

Следствие. Отсюда очевидно, что если предположить, что какая-либо величина разделена на равные части в бесконечном количестве, разность между арифметическим и геометрическим средними будет бесконечно малой, то есть равной нулю. И на этом основании, главным образом, по-видимому, было построено искусство составления тех чисел, которые называются логарифмами.

29. Если предложено любое число величин, будь они неравными или равными друг другу; и существует другая величина, которая, будучи умноженной на число предложенных величин, равна их сумме; то эта другая величина является средним арифметическим для всех этих предложенных величин.

ГЛАВА XIV. О ПРЯМОМ И КРИВОМ, УГЛЕ И ФИГУРЕ.

1. Определение и свойства прямой линии. 2. Определение и свойства плоской поверхности. 3. Различные виды кривых линий. 4. Определение и свойства круговой линии. 5. Свойства прямой линии, взятой на плоскости. 6. Определение касательных линий. 7. Определение угла и его виды. 8. В концентрических кругах дуги одного и того же угла относятся друг к другу так же, как целые окружности. 9. Величина угла, в чем она состоит. 10. Различие углов, просто так называемых. 11. О прямых линиях из центра круга к касательной того же круга. 12. Общее определение параллелей и свойства прямых параллелей. 13. Окружности кругов относятся друг к другу так же, как их диаметры. 14. В треугольниках прямые линии, параллельные основаниям, относятся друг к другу так же, как части сторон, которые они отсекают от вершины. 15. Какой долей прямой линии образуется окружность круга. 16. Что угол касания есть величина, но иного рода, чем угол, просто так называемый; и что он не может ни прибавить, ни отнять ничего от последнего. 17. Что наклон плоскостей есть угол, просто так называемый. 18. Что такое телесный угол. 19. Какова природа асимптот. 20. Положение, чем оно определяется. 21. Что такое подобное положение; что такое фигура; и что такое подобные фигуры.

The definition end properties of a strait line.

1. Между двумя данными точками кратчайшей линией является та, крайние точки которой нельзя раздвинуть дальше, не изменив величину, то есть не изменив отношение этой линии к любой другой данной линии. Ибо величина линии вычисляется по наибольшему расстоянию, которое может быть между ее крайними точками; так что любая линия, будь она вытянута или изогнута, всегда имеет одну и ту же длину, поскольку она может иметь только одно наибольшее расстояние между своими крайними точками.

И поскольку действие, посредством которого прямая линия становится кривой, или, наоборот, кривая линия становится прямой, есть не что иное, как сближение ее крайних точек или их раздвижение, кривую линию можно правильно определить как ту, чьи крайние точки можно понимать как раздвинутые дальше; а прямую линию — как ту, чьи крайние точки нельзя раздвинуть дальше; и сравнительно, более кривой — ту линию, чьи крайние точки ближе друг к другу, чем у другой, при условии, что обе линии равной длины. Теперь, как бы ни была изогнута линия, она всегда образует sinus или углубление, иногда с одной стороны, иногда с другой; так что одна и та же кривая линия может иметь все свое углубление только с одной стороны, или же часть его с одной стороны, а часть с другой. Если это хорошо понять, будет легко понять следующие сравнения прямых и кривых линий.

Во-первых, если прямая и кривая линии имеют общие крайние точки, кривая линия длиннее прямой. Ибо если крайние точки кривой линии раздвинуть до их наибольшего расстояния, она станет прямой линией, частью которой будет та, что была прямой линией с самого начала; и поэтому прямая линия была короче кривой линии, имевшей те же крайние точки. И по той же причине, если две кривые линии имеют общие крайние точки и обе имеют все свое углубление на одной и той же стороне, самая внешняя из них будет самой длинной линией.

Во-вторых, прямая линия и постоянно кривая линия не могут совпадать, даже в самой малой части. Ибо если бы они совпадали, то не только некоторая прямая линия имела бы общие крайние точки с некоторой кривой линией, но они также, вследствие своего совпадения, были бы равны друг другу; что, как я только что показал, невозможно.

В-третьих, между двумя данными точками можно понимать только одну прямую линию; потому что не может быть более одного наименьшего интервала или длины между одними и теми же точками. Ибо если их может быть две, они либо совпадут, и тогда обе они будут одной прямой линией; или, если они не совпадут, тогда приложение одной к другой путем вытягивания сделает так, что крайние точки вытянутой линии будут находиться на большем расстоянии, чем у другой; и, следовательно, она была кривой с самого начала.

В-четвертых, из последнего следует, что две прямые линии не могут заключать в себе поверхность. Ибо если они имеют обе крайние точки общими, они совпадают; а если они имеют только одну или ни одной общей точки, то на одном или обоих концах крайние точки будут разъединены и не заключат в себе никакой поверхности, а оставят все открытым и неопределенным.

В-пятых, каждая часть прямой линии есть прямая линия. Ибо, видя, что каждая часть прямой линии есть наименьшая из тех, что могут быть проведены между ее собственными крайними точками, если бы все части не составляли прямую линию, они в совокупности были бы длиннее всей линии.

The definition and properties of a plane superficies.

2. Плоскость, или плоская поверхность, есть та, которая описывается прямой линией, движущейся так, что все ее отдельные точки описывают отдельные прямые линии. Прямая линия, следовательно, необходимо вся целиком находится в той же плоскости, которую она описывает. Также прямые линии, которые образуются точками, описывающими плоскость, все находятся в той же плоскости. Более того, если какая-либо линия движется в плоскости, линии, которые ею описываются, все находятся в той же плоскости.

Все остальные поверхности, которые не являются плоскими, суть кривые, то есть либо вогнутые, либо выпуклые. И те же сравнения, которые были сделаны для прямых и кривых линий, могут быть сделаны и для плоских и кривых поверхностей.

Ибо, во-первых, если плоская и кривая поверхности ограничены одними и теми же линиями, кривая поверхность больше плоской поверхности. Ибо если линии, из которых состоит кривая поверхность, вытянуть, они окажутся длиннее тех, из которых состоит плоская поверхность, которые не могут быть вытянуты, потому что они прямые.

Во-вторых, две поверхности, из которых одна плоская, а другая постоянно кривая, не могут совпадать, даже в самой малой части. Ибо если бы они совпадали, они были бы равны; более того, одна и та же поверхность была бы одновременно и плоской, и кривой, что невозможно.

В-третьих, внутри одних и тех же ограничивающих линий не может быть более одной плоской поверхности; потому что внутри них может быть только одна наименьшая поверхность.

В-четвертых, никакое число плоских поверхностей не может заключать в себе тело, если более двух из них не сходятся в общей вершине. Ибо если две плоскости имеют одни и те же ограничивающие линии, они совпадают, то есть они суть одна поверхность; а если их ограничивающие линии не одни и те же, они оставляют одну или несколько сторон открытыми.

В-пятых, каждая часть плоской поверхности есть плоская поверхность. Ибо, видя, что вся плоская поверхность есть наименьшая из всех тех, что имеют одни и те же ограничивающие линии; а также каждая часть той же поверхности есть наименьшая из всех тех, что ограничены теми же линиями; если бы каждая часть не составляла плоскую поверхность, все части, сложенные вместе, не были бы равны целому.

Several sorts of crooked lines.

3. О прямолинейности, будь то в линиях или в поверхностях, существует только один вид; но о кривизне существует много видов; ибо из кривых величин одни конгруэнтны, то есть совпадают, когда их прикладывают одну к другой; другие неконгруэнтны. Далее, одни суть ὁμοιομερεῖς или однородные, то есть имеют свои части, как бы они ни были взяты, конгруэнтными друг другу; другие суть ἀνομοιομερεῖς или различных форм. Более того, из тех, что кривые, одни постоянно кривые, другие имеют части, которые не являются кривыми.

Definition and properties of a circular line.

4. Если прямая линия движется в плоскости таким образом, что, пока один ее конец остается неподвижным, вся линия переносится по кругу, пока снова не придет в то же место, откуда она была впервые сдвинута, она опишет плоскую поверхность, которая будет ограничена со всех сторон той кривой линией, которая образована тем концом прямой линии, который переносился по кругу. Теперь эта поверхность называется КРУГОМ; и у этого круга неподвижная точка есть центр; кривая линия, которая его ограничивает, — периметр; и каждая часть этой кривой линии — окружность или дуга; прямая линия, которая породила круг, есть полудиаметр или радиус; и любая прямая линия, которая проходит через центр и ограничена с обеих сторон окружностью, называется диаметром. Более того, каждая точка радиуса, который описывает круг, описывает в то же время свой собственный периметр, ограничивающий свой собственный круг, который называется концентрическим всем другим кругам, потому что этот и все те имеют один общий центр.

Поэтому в каждом круге все прямые линии от центра до окружности равны. Ибо они все совпадают с радиусом, который порождает круг.

Также диаметр делит как периметр, так и сам круг на две равные части. Ибо если эти две части приложить одну к другой, и полупериметры совпадут, то, видя, что они имеют один общий диаметр, они будут равны; и полукруги будут равны также; ибо они тоже совпадут. Но если полупериметры не совпадут, то некоторая одна прямая линия, которая проходит через центр, каковой центр находится на диаметре, будет пересечена ими в двух точках. Поэтому, видя, что все прямые линии от центра до окружности равны, часть той же прямой линии будет равна целому; что невозможно.

По той же причине периметр круга будет однородным, то есть любая его часть совпадет с любой другой равной частью того же периметра.

The properties of a strait line taken in a plane.

5. Отсюда можно вывести это свойство прямой линии, а именно, что она вся содержится в той плоскости, которая содержит обе ее крайние точки. Ибо, видя, что обе ее крайние точки находятся в плоскости, та прямая линия, которая описывает плоскость, пройдет через них обе; и если одну из них сделать центром, и на расстоянии между обеими описать окружность, радиусом которой является прямая линия, описывающая плоскость, эта окружность пройдет через другую точку. Поэтому между двумя предложенными точками существует одна прямая линия, по определению круга, содержащаяся целиком в предложенной плоскости; и поэтому, если бы можно было провести другую прямую линию между теми же точками, и при этом не содержащуюся в той же плоскости, последовало бы, что между двумя точками можно провести две прямые линии; что было доказано как невозможное.

Можно также вывести, что если две плоскости пересекают друг друга, их общим сечением будет прямая линия. Ибо две крайние точки пересечения находятся в обеих пересекающихся плоскостях; и между этими точками можно провести прямую линию; но прямая линия между любыми двумя точками находится в той же плоскости, в которой находятся точки; и видя, что они находятся в обеих плоскостях, прямая линия, которая их соединяет, также будет находиться в обеих тех же плоскостях, и поэтому она является общим сечением обеих. И любая другая линия, которую можно провести между этими точками, будет либо совпадать с той линией, то есть она будет той же самой линией; либо она не будет совпадать, и тогда она будет ни в одной, или только в одной из тех плоскостей.

Как прямую линию можно понимать движущейся по кругу, пока один ее конец остается фиксированным, как центр; так же легко понять, что плоскость может быть описана вокруг прямой линии, пока прямая линия остается неподвижной в одном и том же месте, как ось этого движения. Теперь отсюда очевидно, что любые три точки находятся в какой-то одной плоскости. Ибо как любые две точки, если их соединить прямой линией, понимаются как находящиеся в той же плоскости, в которой находится прямая линия; так, если эту плоскость описать вокруг той же прямой линии, она при своем вращении захватит любую третью точку, как бы она ни была расположена; и тогда три точки будут все в той плоскости; и, следовательно, три прямые линии, которые соединяют эти точки, также будут в той же плоскости.

Definition of tangent lines.

6. Две линии называются касающимися друг друга, которые, будучи обе проведены к одной и той же точке, не будут пересекать друг друга, даже если их продолжить, продолжить, говорю, тем же образом, каким они были порождены. И поэтому, если две прямые линии касаются друг друга в какой-либо одной точке, они будут соприкасаться на всем своем протяжении. Также две постоянно кривые линии сделают то же самое, если они конгруэнтны и приложены друг к другу согласно их конгруэнтности; в противном случае, если они приложены неконгруэнтно, они, как и все другие кривые линии, будут касаться друг друга там, где касаются, но только в одной точке. Что очевидно из того, что не может быть никакой конгруэнтности между прямой линией и линией, которая постоянно кривая; ибо иначе одна и та же линия могла бы быть одновременно и прямой, и кривой. Кроме того, когда прямая линия касается кривой линии, если прямую линию хотя бы немного сдвинуть в точке касания, она пересечет кривую линию; ибо, видя, что она касается ее только в одной точке, если она наклонится в любую сторону, она сделает больше, чем просто коснется ее; то есть она либо будет конгруэнтна ей, либо пересечет ее; но она не может быть конгруэнтна ей; и поэтому она пересечет ее.

The definition of an angle, and the kinds thereof.

7. Угол, согласно самому общему принятию этого слова, может быть определен так: когда две линии или многие поверхности сходятся в одной единственной точке и расходятся везде в другом месте, величина этого расхождения есть УГОЛ. И угол бывает двух видов; ибо, во-первых, он может быть образован схождением линий, и тогда это поверхностный угол; или схождением поверхностей, и тогда он называется телесным углом.

Далее, из двух способов, которыми две линии могут расходиться друг от друга, поверхностные углы делятся на два вида. Ибо две прямые линии, которые приложены друг к другу и соприкасаются на всем своем протяжении, могут быть разделены или раздвинуты таким образом, что их схождение в одной точке все еще останется; и это разделение или раскрытие может быть либо круговым движением, центром которого является их точка схождения, и линии все еще сохранят свою прямолинейность, величина какового разделения или расхождения есть угол, просто так называемый; либо они могут быть разделены постоянным сгибанием или кривизной в каждой мыслимой точке; и величина этого разделения есть то, что называется углом касания.

Кроме того, из поверхностных углов, просто так называемых, те, которые находятся в плоской поверхности, суть плоские; а те, которые не плоские, называются по поверхности, в которой они находятся.

Наконец, те суть прямолинейные углы, которые образованы прямыми линиями; как те, которые образованы кривыми линиями, суть криволинейные; а те, которые образованы как прямыми, так и кривыми линиями, суть смешанные углы.

In concentric circles, arches of the same angle are to one another, as the whole circumferences are.

8. Две дуги, перехваченные между двумя радиусами концентрических кругов, имеют то же отношение друг к другу, которое имеют их целые периметры друг к другу. Ибо пусть точка A (на первом рисунке) будет центром двух кругов BCD и EFG, в которых радиусы AEB и AFC перехватывают дуги BC и EF; утверждаю, что отношение дуги BC к дуге EF такое же, как отношение периметра BCD к периметру EFG. Ибо если радиус AFC понимать движущимся вокруг центра A с круговым и равномерным движением, то есть с равной быстротой везде, точка C в определенное время опишет периметр BCD, а в часть этого времени — дугу BC; и поскольку скорости равны, с которыми описываются как дуга, так и целый периметр, отношение величины периметра BCD к величине дуги BC определяется ничем иным, как разницей времен, в которые описываются периметр и дуга. Но оба периметра описываются в одно и то же время, и обе дуги в одно и то же время; и поэтому отношения периметра BCD к дуге BC и периметра EFG к дуге EF определяются одной и той же причиной. Поэтому BCD : BC :: EFG : EF суть пропорциональные величины (по 6-й ст. последней главы), и путем перестановки BCD : EFG :: BC : EF также будут пропорциональными величинами; что и требовалось доказать.

The quantity of an angle, in what it consists.

9. Ничто не вносится в величину угла ни длиной, ни равенством, ни неравенством линий, которые его охватывают. Ибо линии AB и AC охватывают тот же угол, который охватывается линиями AE и AF, или AB и AF. Также угол не увеличивается и не уменьшается абсолютной величиной дуги, которая его стягивает; ибо как большая дуга BC, так и меньшая дуга EF стягиваются к одному и тому же углу. Но величина угла оценивается величиной стягивающей дуги по сравнению с величиной целого периметра. И поэтому величина угла, просто так называемого, может быть определена так: величина угла есть дуга или окружность круга, определяемая ее отношением к целому периметру. Так что когда дуга перехвачена между двумя прямыми линиями, проведенными из центра, посмотрите, какую часть составляет эта дуга от целого периметра, таков и угол. Откуда можно понять, что когда линии, содержащие угол, суть прямые линии, величину этого угла можно взять на любом расстоянии от центра. Но если одна или обе содержащие линии кривые, тогда величина угла должна быть взята на наименьшем расстоянии от центра, или от их схождения; ибо наименьшее расстояние должно рассматриваться как прямая линия, видя, что никакая кривая линия не может быть воображена столь малой, чтобы не могло быть меньшей прямой линии. И хотя наименьшая прямая линия не может быть дана, потому что наименьшая данная линия может быть еще разделена, все же мы можем прийти к части столь малой, что она вовсе не значительна; которую мы называем точкой. И эта точка может пониматься как находящаяся на прямой линии, которая касается кривой линии; ибо угол порождается отделением круговым движением одной прямой линии от другой, которая касается ее, как было сказано выше в 7-й статье. Поэтому угол, который образуют две кривые линии, есть тот же самый, который образован двумя прямыми линиями, которые касаются их.

The distinction of angles, simply so called.

10. Отсюда следует, что вертикальные углы, такие как ABC, DBF на втором рисунке, равны друг другу. Ибо если из двух полупериметров DAC, FDA, которые равны друг другу, отнять общую дугу DA, оставшиеся дуги AC, DF будут равны друг другу.

Другое различие углов — на прямые и косые. Прямой угол есть тот, величина которого составляет четвертую часть периметра. И линии, которые образуют прямой угол, называются перпендикулярными друг другу. Также из косых углов тот, который больше прямого, называется тупым углом; а тот, который меньше, — острым углом. Откуда следует, что все углы, которые только могут быть образованы в одной и той же точке, взятые вместе, равны четырем прямым углам; потому что величины их всех, сложенные вместе, составляют целый периметр. Также, что все углы, которые образованы на одной стороне прямой линии из любой одной точки, взятой на ней, равны двум прямым углам; ибо если эту точку сделать центром, та прямая линия будет диаметром круга, окружностью которого определяется величина угла; и этот диаметр разделит периметр на две равные части.

Of strait lines from the centre of a circle to a tangent of the same.

11. Если касательную сделать диаметром круга, центром которого является точка касания, прямая линия, проведенная из центра первого круга к центру последнего круга, образует два угла с касательной, то есть с диаметром последнего круга, равные двум прямым углам, согласно последней статье. И потому что, согласно 6-й статье, касательная имеет с обеих сторон равный наклон к кругу, каждый из них будет прямым углом; как также полудиаметр будет перпендикулярен той же касательной. Более того, полудиаметр, поскольку он есть полудиаметр, есть наименьшая прямая линия, которую можно провести из центра к касательной; и любая другая прямая линия, которая достигает касательной, выйдет за пределы круга и поэтому будет больше полудиаметра. Подобным образом, из всех прямых линий, которые могут быть проведены из центра к касательной, та является наибольшей, которая образует наибольший угол с перпендикуляром; что будет очевидно, если вокруг того же центра описать другой круг, полудиаметром которого является прямая линия, взятая ближе к перпендикуляру, и провести перпендикуляр, то есть касательную, к нему.

Откуда также очевидно, что если две прямые линии, которые образуют равные углы по обе стороны от перпендикуляра, продолжить до касательной, они будут равны.

The general definition of parallels; the properties of strait parallels.

12. В Евклиде есть определение прямолинейных параллелей; но я не нахожу, чтобы параллели в общем где-либо определялись; и поэтому для универсального их определения я говорю, что любые две линии, прямые или кривые, как также любые две поверхности, суть ПАРАЛЛЕЛЬНЫ; когда две равные прямые линии, где бы они ни падали на них, образуют всегда равные углы с каждой из них.

Из какового определения следует: во-первых, что любые две прямые линии, не наклоненные в противоположные стороны, падающие на две другие прямые линии, которые параллельны, и отсекающие равные части на обеих из них, сами также равны и параллельны. Как если AB и CD (на третьем рисунке), наклоненные обе в одну сторону, падают на параллели AC и BD, и AC и BD равны, AB и CD будут также равны и параллельны. Ибо если провести перпендикуляры BE и DF, прямые углы EBD и FDH будут равны. Поэтому, видя, что EF и BD параллельны, углы EBA и FDC будут равны. Теперь, если DC не равно BA, пусть любая другая прямая линия, равная BA, будет проведена из точки D; которая, видя, что она не может упасть на точку C, пусть упадет на G. Поэтому AG будет либо больше, либо меньше, чем BD; и поэтому углы EBA и FDC не равны, как предполагалось. Поэтому AB и CD равны; что есть первое.

Далее, поскольку они образуют равные углы с перпендикулярами BE и DF; поэтому угол CDH будет равен углу ABD, и, по определению параллелей, AB и CD будут параллельны; что есть второе.

Та плоскость, которая заключена с обеих сторон внутри параллельных линий, называется ПАРАЛЛЕЛОГРАММОМ.

Следствие I. Из последнего следует, что углы ABD и CDH равны, то есть что прямая линия, как BH, падающая на две параллели, как AB и CD, делает внутренний угол ABD равным внешнему и противоположному углу CDH.

Следствие II. И отсюда снова следует, что прямая линия, падающая на две параллели, делает накрест лежащие углы равными, то есть угол AGF, на четвертом рисунке, равным углу GFD. Ибо, видя, что GFD равен внешнему противоположному углу EGB, он будет также равен своему вертикальному углу AGF, который является накрест лежащим к GFD.

Следствие III. Что внутренние углы по одну сторону линии FG равны двум прямым углам. Ибо углы при F, а именно GFC и GFD, равны двум прямым углам. Но GFD равен своему накрест лежащему углу AGF. Поэтому оба угла GFC и AGF, которые являются внутренними по одну сторону линии FG, равны двум прямым углам.

Следствие IV. Что три угла прямолинейного плоского треугольника равны двум прямым углам; и если любую сторону продолжить, внешний угол будет равен двум противоположным внутренним углам. Ибо если провести через вершину плоского треугольника ABC (рис. 5) параллель к любой из сторон, как к AB, углы A и B будут равны своим накрест лежащим углам E и F, а угол C — общий. Но, по 10-й статье, три угла E, C и F равны двум прямым углам; и поэтому три угла треугольника равны тому же; что есть первое. Далее, два угла B и D равны двум прямым углам, по 10-й статье. Поэтому, отняв B, останутся углы A и C, равные углу D; что есть второе.

Следствие V. Если углы A и B равны, стороны AC и CB будут также равны, потому что AB и EF параллельны; и, наоборот, если стороны AC и CB равны, углы A и B будут также равны. Ибо если они не равны, пусть углы B и G будут равны. Поэтому, видя, что GB и EF параллельны, а углы G и B равны, стороны GC и CB будут также равны; и поскольку CB и AC равны по предположению, CG и CA будут также равны; что не может быть, по 11-й статье.

Следствие VI. Отсюда очевидно, что если два радиуса круга соединены прямой линией, углы, которые они образуют с этой соединяющей линией, будут равны друг другу; и если добавить тот сегмент круга, который стягивается той же линией, которая соединяет радиусы, тогда углы, которые эти радиусы образуют с окружностью, будут также равны друг другу. Ибо прямая линия, которая стягивает любую дугу, образует равные углы с ней; потому что, если дугу и стягивающую линию разделить пополам, две половины сегмента будут конгруэнтны друг другу по причине однородности как окружности круга, так и прямой линии.

The circumferences of circles are to one another as their diameters are.

13. Периметры кругов относятся друг к другу так же, как их полудиаметры. Ибо пусть будут любые два круга, как на первом рисунке, BCD — больший, и EFG — меньший, имеющие свой общий центр в A; и пусть их полудиаметры будут AC и AE. Утверждаю, что AC имеет то же отношение к AE, которое периметр BCD имеет к периметру EFG. Ибо величина полудиаметров AC и AE определяется расстоянием точек C и E от центра A; и те же расстояния приобретаются равномерным движением точки от A к C таким образом, что в равные времена приобретаемые расстояния равны. Но периметры BCD и EFG также определяются теми же расстояниями точек C и E от центра A; и поэтому периметры BCD и EFG, так же как полудиаметры AC и AE, имеют свои величины, определяемые одной и той же причиной, каковая причина делает в равные времена равные пространства. Поэтому, по 13-й главе и 6-й статье, периметры кругов и их полудиаметры суть пропорциональные величины; что и требовалось доказать.

In triangles strait lines parallel to the bases are to one another, as the parts of the sides which they cut off from the vertex.

14. Если две прямые линии, которые образуют угол, пересекаются прямолинейными параллелями, перехваченные параллели будут относиться друг к другу так же, как части, которые они отсекают от вершины. Пусть прямые линии AB и AC на 6-м рисунке образуют угол в A и пересекаются двумя прямолинейными параллелями BC и DE, так что части, отсеченные от вершины в любой из этих линий, как в AB, могут быть AB и AD. Утверждаю, что параллели BC и DE относятся друг к другу так же, как части AB и AD. Ибо пусть AB будет разделена на любое число равных частей, как на AF, FD, DB; и через точки F и D пусть FG и DE будут проведены параллельно основанию BC и пересекут AC в G и E; и снова, через точки G и E пусть другие прямые линии будут проведены параллельно AB и пересекут BC в H и I. Если теперь точку A понимать движущейся равномерно по AB, и в то же время B движущейся к C, и все точки F, D и B движущимися равномерно и с равной быстротой по FG, DE и BC; тогда B пройдет BH, равное FG, в то же время, что A пройдет AF; и AF и FG будут относиться друг к другу так же, как их скорости; и когда A будет в F, D будет в K; когда A будет в D, D будет в E; и каким образом точка A проходит мимо точек F, D и B, таким же образом точка B будет проходить мимо точек H, I и C; и прямые линии FG, DK, KE, BH, HI и IC равны по причине их параллельности; и поэтому, как скорость в AB относится к скорости в BC, так AD относится к DE; но как скорость в AB относится к скорости в BC, так AB относится к BC; то есть все параллели будут по отдельности относиться ко всем частям, отсеченным от вершины, как AF относится к FG. Поэтому AF : GF :: AD : DE :: AB : BC суть пропорциональные величины.

Стягивающие линии равных углов в разных кругах, как прямые линии BC и FE (на рис. 1), относятся друг к другу так же, как дуги, которые они стягивают. Ибо (по ст. 8) дуги равных углов относятся друг к другу так же, как их периметры; и (по ст. 13) периметры — как их полудиаметры; но стягивающие линии BC и FE параллельны друг другу по причине равенства углов, которые они образуют с полудиаметрами; и поэтому те же стягивающие линии, согласно последней предыдущей статье, будут пропорциональны полудиаметрам, то есть периметрам, то есть дугам, которые они стягивают.

By what fraction of a strait line the circumference of a circle is made.

15. Если в круге любое число равных стягивающих линий поместить непосредственно одну за другой и провести прямые линии из крайней точки первой стягивающей линии к крайним точкам всех остальных, первая стягивающая линия, будучи продолженной, образует со второй стягивающей линией внешний угол, вдвое больший того, который образован той же первой стягивающей линией и касательной к кругу, касающейся его в крайних точках оной; и если прямая линия, которая стягивает две из тех дуг, будет продолжена, она образует внешний угол с третьей стягивающей линией, втрое больший угла, который образован касательной с первой стягивающей линией; и так постоянно. Ибо с радиусом AB (на рис. 7) пусть будет описан круг, и в нем пусть будут помещены любое число равных стягивающих линий BC, CD и DE; также пусть будут проведены BD и BE; и, продолжая BC, BD и BE на любое расстояние в G, H и I, пусть они образуют углы со стягивающими линиями, которые следуют одна за другой, а именно внешние углы GCD и HDE. Наконец, пусть будет проведена касательная KB, образующая с первой стягивающей линией угол KBC. Утверждаю, что угол GCD вдвое больше угла KBC, а угол HDE втрое больше того же угла KBC. Ибо если провести AC, пересекающую BD в M, и из точки C провести LC перпендикулярно к той же AC, тогда CL и MD будут параллельны по причине прямых углов в C и M; и поэтому накрест лежащие углы LCD и BDC будут равны: как также углы BDC и CBD будут равны по причине равенства прямых линий BC и CD. Поэтому угол GCD вдвое больше любого из углов CBD или CDB; и поэтому также угол GCD вдвое больше угла LCD, то есть угла KBC. Далее, CD параллельно BE по причине равенства углов CBE и DEB и прямых линий CB и DE; и поэтому углы GCD и GBE равны; и, следовательно, GBE, как также DEB, вдвое больше угла KBC. Но внешний угол HDE равен двум внутренним DEB и DBE; и поэтому угол HDE втрое больше угла KBC и т. д.; что и требовалось доказать.

Следствие I. Отсюда очевидно, что углы KBC и CBD, как также все углы, которые охватываются двумя прямыми линиями, встречающимися в окружности круга и опирающимися на равные дуги, равны друг другу.

Следствие II. Если касательную BK перемещать по окружности с равномерным движением вокруг центра B, она в равные времена будет отсекать равные дуги; и пройдет весь периметр в то же время, в которое сама описывает полупериметр вокруг центра B.

Следствие III. Отсюда также мы можем понять, что определяет сгибание или кривизну прямой линии в окружность круга; а именно, что это доля, постоянно увеличивающаяся таким же образом, как числа, от единицы вверх, увеличиваются путем постоянного прибавления единицы. Ибо неопределенная прямая линия KB, будучи преломленной в B согласно любому углу, как угол KBC, и снова в C согласно двойному углу, и в D согласно углу, который втрое, и в E согласно углу, который вчетверо больше первого угла, и так постоянно, будет описана фигура, которая действительно будет прямолинейной, если преломленные части рассматривать как имеющие величину; но если их понимать как наименьшие, какие могут быть, то есть как множество точек, тогда описанная фигура будет не прямолинейной, а кругом, окружностью которого будет преломленная линия.

Следствие IV. Из того, что было сказано в настоящей статье, можно также доказать, что угол в центре вдвое больше угла в окружности того же круга, если перехваченные дуги равны. Ибо, видя, что та прямая линия, движением которой определяется угол, проходит равные дуги в равные времена, как из центра, так и из окружности; и пока та, что из окружности, проходит половину своего собственного периметра, она проходит в то же время весь периметр той, что из центра, дуги, которые она отсекает в периметре, центром которого является A, будут вдвое больше тех, которые она делает в своем собственном полупериметре, центром которого является B. Но в равных кругах, как дуги относятся друг к другу, так и углы.

Также можно доказать, что внешний угол, образованный продолжением хорды и следующей равной хордой, равен углу из центра, опирающемуся на ту же дугу; как на последнем чертеже угол G C D равен углу C A D; ибо внешний угол G C D вдвое больше угла C B D, а угол C A D, опирающийся на ту же дугу C D, также вдвое больше того же угла C B D или K B C.

That an angle of contingence is quantity, but of a different kind from that of an angle simply so called; and that it can neither add nor take away anything from the same.

16. Угол касания, если сравнивать его с углом, называемым так просто, как бы мал он ни был, имеет к нему такое же отношение, как точка к линии; то есть никакого отношения вовсе, и никакой величины. Ибо, во-первых, угол касания образуется непрерывным изгибом; так что при его возникновении нет никакого кругового движения, в котором состоит природа угла, называемого так просто; и поэтому он не может быть сравним с ним по величине. Во-вторых, поскольку внешний угол, образованный продолжением хорды и следующей хордой, равен углу из центра, опирающемуся на ту же дугу, как на последнем рисунке угол G C D равен углу C A D, угол касания будет равен тому углу из центра, который образован A B и той же A B; ибо никакая часть касательной не может стягивать какую-либо дугу; но как точка касания должна приниматься за хорду, так и угол касания должен считаться внешним углом и равным тому углу, дугой которого является та же точка B.

Теперь, видя, что угол в общем смысле определяется как раскрытие или расхождение двух линий, которые сходятся в одной единственной точке; и видя, что одно раскрытие больше другого, нельзя отрицать, что по самому своему возникновению угол касания есть величина; ибо везде, где есть большее и меньшее, есть также и величина; но эта величина состоит в большем или меньшем изгибе; ибо чем больше круг, тем ближе его окружность к природе прямой линии; ибо окружность круга, будучи образована искривлением прямой линии, тем больше по своему искривлению, чем меньше эта прямая; и поэтому, когда одна прямая является касательной ко многим кругам, угол касания, который она образует с меньшим кругом, больше того, который она образует с большим кругом.

Следовательно, к углу, называемому так просто, ничего не прибавляется и ничего не отнимается прибавлением к нему или отнятием от него сколь угодно многих углов касания. И так как угол одного рода никогда не может быть равен углу другого рода, они не могут быть ни больше, ни меньше друг друга.

Отсюда следует, что угол сегмента, то есть угол, который любая прямая образует с любой дугой, равен углу, который образуется той же прямой и другой, касающейся круга в точке их схождения; как на последнем рисунке угол, образованный между G B и B K, равен тому, который образован между G B и дугой B C.

That the inclination of planes is angle simply so called.

17. Угол, образованный двумя плоскостями, обычно называют наклоном этих плоскостей; и поскольку плоскости имеют равный наклон во всех своих частях, вместо их наклона берется угол, образованный двумя прямыми линиями, одна из которых лежит в одной, а другая в другой из этих плоскостей, но обе перпендикулярны общему сечению.

A solid angle what it is.

18. Телесный угол можно мыслить двояко. Во-первых, как совокупность всех углов, образованных движением прямой линии, в то время как одна ее крайняя точка остается неподвижной, а сама она проводится вокруг любой плоской фигуры, в которой не содержится неподвижная точка прямой линии. И в этом смысле, по-видимому, его понимал Евклид. Теперь очевидно, что величина телесного угла, мыслимого таким образом, есть не что иное, как совокупность всех углов на поверхности, описанной таким образом, то есть на поверхности пирамидального тела. Во-вторых, когда пирамида или конус имеет свою вершину в центре сферы, телесный угол можно понимать как отношение сферической поверхности, стягивающей эту вершину, ко всей поверхности сферы. В этом смысле телесные углы относятся друг к другу как сферические основания тел, имеющих свою вершину в центре той же сферы.

What is the nature of asymptotes.

19. Все способы, которыми две линии относятся друг к другу, или все разнообразие их положения, могут быть охвачены четырьмя видами; ибо любые две линии суть либо параллельные, либо, при продолжении, если нужно, или при перемещении одной из них параллельно самой себе к другой, они образуют угол; либо же, при подобном продолжении и движении, они касаются друг друга; либо, наконец, они являются асимптотами. Природа параллельных, углов и касательных уже была разъяснена. Остается кратко сказать о природе асимптот.