«Английские сочинения Томаса Гоббса, том 1»

Contingent accidents.

10. Акциденции по отношению к другим акциденциям, которые предшествуют им или находятся перед ними во времени и от которых они не зависят как от своих причин, называются случайными акциденциями; я говорю: по отношению к тем акциденциям, которыми они не порождаются; ибо по отношению к своим причинам все вещи происходят с равной необходимостью; иначе они вовсе не имели бы причин; что в отношении порожденных вещей непостижимо.

ГЛАВА X. О СИЛЕ И АКТЕ.

1. Сила и причина суть одно и то же. — 2. Акт производится в тот же самый момент, в который сила является полной. — 3. Активная и пассивная сила суть лишь части полной силы. — 4. Акт, когда говорится, что он возможен. — 5. Акт необходимый и случайный, что это такое. — 6. Активная сила состоит в движении. — 7. Причина, формальная и конечная, что они такое.

Power and cause are the same thing.

1. Соответствующими «причине» и «следствию» являются «СИЛА» и «АКТ»; более того, те и другие суть одни и те же вещи; хотя в силу различных соображений они имеют различные имена. Ибо всякий раз, когда какой-либо агент обладает всеми теми акциденциями, которые необходимо требуются для производства некоторого следствия в претерпевающем теле, тогда мы говорим, что этот агент обладает силой произвести это следствие, если он приложен к претерпевающему телу. Но, как я показал в предыдущей главе, эти акциденции составляют действующую причину; и поэтому те же самые акциденции, которые составляют действующую причину, составляют также силу агента. Посему сила агента и действующая причина суть одно и то же. Но они рассматриваются с тем различием, что причина так называется по отношению к уже произведенному следствию, а сила — по отношению к тому же следствию, которое будет произведено в будущем; так что причина относится к прошедшему, а сила — к будущему времени. Также сила агента есть то, что обычно называют активной силой.

Точно так же, всякий раз, когда какое-либо претерпевающее тело обладает всеми теми акциденциями, которыми оно должно обладать для производства в нем некоторого следствия, мы говорим, что в силе этого претерпевающего тела произвести это следствие, если оно приложено к подходящему агенту. Но эти акциденции, как определено в предыдущей главе, составляют материальную причину; и поэтому сила претерпевающего тела, обычно называемая пассивной силой, и материальная причина суть одно и то же; но с тем различным соображением, что в причине учитывается прошедшее время, а в силе — будущее. Посему сила агента и претерпевающего тела вместе, которую можно назвать полной или совершенной силой, есть то же самое, что и полная причина; ибо обе они состоят в сумме или совокупности всех акциденций, как в агенте, так и в претерпевающем теле, которые требуются для производства следствия. Наконец, как произведенная акциденция по отношению к причине называется следствием, так по отношению к силе она называется актом.

An act is produced at the same instant in which the power is plenary.

2. Как поэтому следствие производится в тот же самый момент, в который причина является полной, так и всякий акт, который может быть произведен, производится в тот же самый момент, в который сила является полной. И как не может быть следствия иначе, как от достаточной и необходимой причины, так и никакой акт не может быть произведен иначе, как достаточной силой, или той силой, посредством которой он не мог не быть произведен.

Active and passive power are parts only of plenary power.

3. И как очевидно, как я показал, что действующая и материальная причины порознь и сами по себе суть лишь части полной причины и не могут произвести никакого следствия, кроме как будучи соединенными вместе, так и сила, активная и пассивная, суть лишь части полной и совершенной силы; и, если они не соединены, никакой акт не может из них исходить; и поэтому эти силы, как я сказал в первой статье, суть лишь условные, а именно: агент обладает силой, если он приложен к претерпевающему телу; и претерпевающее тело обладает силой, если оно приложено к агенту; иначе ни один из них не обладает силой, и акциденции, которые находятся в них порознь, не могут быть должным образом названы силами; и никакое действие не может быть названо возможным только в силу силы агента или только в силу силы претерпевающего тела.

An act, when said to be possible.

4. Ибо невозможным является тот акт, для производства которого нет полной силы. Ибо, поскольку полная сила есть та, в которой сходятся все вещи, требуемые для производства акта, если сила никогда не будет полной, всегда будет недоставать некоторых из тех вещей, без которых акт не может быть произведен; посему этот акт никогда не будет произведен; то есть этот акт есть НЕВОЗМОЖНЫЙ: и всякий акт, который не является невозможным, есть ВОЗМОЖНЫЙ. Всякий акт, следовательно, который является возможным, будет когда-нибудь произведен; ибо если он никогда не будет произведен, то никогда не сойдутся те вещи, которые требуются для его производства; посему этот акт является невозможным, согласно определению; что противоречит тому, что предполагалось.

An act necessary and contingent, what.

5. Необходимый акт есть тот, производство которого невозможно предотвратить; и поэтому всякий акт, который будет произведен, будет произведен с необходимостью; ибо то, что он не будет произведен, невозможно; потому что, как уже доказано, всякий возможный акт будет когда-нибудь произведен; более того, это суждение, «что будет, то будет», является столь же необходимым суждением, как и это: «человек есть человек».

Но здесь, возможно, кто-нибудь спросит, являются ли необходимыми те будущие вещи, которые обычно называют случайными. Я утверждаю поэтому, что вообще все случайные вещи имеют свои необходимые причины, как показано в предыдущей главе; но называются случайными по отношению к другим событиям, от которых они не зависят; как дождь, который будет завтра, будет необходимым, то есть из необходимых причин; но мы думаем и говорим, что он происходит случайно, потому что мы еще не воспринимаем его причин, хотя они существуют сейчас; ибо люди обычно называют случайным или контингентным то, чью необходимую причину они не воспринимают; и точно так же они привыкли говорить о вещах прошедших, когда, не зная, совершилась ли вещь или нет, они говорят, что возможно, она никогда не была совершена.

Посему все суждения относительно будущих вещей, случайных или неслучайных, как это: «завтра будет дождь», или это: «завтра взойдет солнце», являются либо необходимо истинными, либо необходимо ложными; но мы называем их случайными, потому что мы еще не знаем, истинны они или ложны; тогда как их истинность зависит не от нашего знания, а от предшествования их причин. Но есть некоторые, кто, хотя и признают все это суждение, «завтра будет либо дождь, либо не будет дождя», истинным, все же не хотят признавать части его, как, «завтра будет дождь» или «завтра не будет дождя», истинными сами по себе; потому что они говорят, что ни то, ни другое не является истинным определенно. Но что такое «определенно истинное», как не истинное согласно нашему знанию, или очевидно истинное? И поэтому они говорят лишь то, что еще не известно, истинно оно или нет; но они говорят это более туманно и затемняют очевидность истины теми же словами, которыми пытаются скрыть собственное невежество.

Active power consists in motion.

6. В 9-й статье предыдущей главы я показал, что действующая причина всякого движения и изменения состоит в движении агента или агентов; а в первой статье этой главы — что сила агента есть то же самое, что и действующая причина. Откуда можно понять, что всякая активная сила состоит также в движении; и что сила не есть некая акциденция, которая отличается от всех актов, но есть, в самом деле, акт, а именно движение, которое поэтому называется силой, потому что другой акт будет произведен им впоследствии. Например, если из трех тел первое толкает второе, а это — третье, то движение второго тела по отношению к первому, которое его производит, есть акт второго тела; но по отношению к третьему оно есть активная сила того же самого второго тела.

Cause, formal and final, what they are.

7. Авторы метафизики перечисляют две другие причины, помимо действующей и материальной, а именно: СУЩНОСТЬ, которую некоторые называют формальной причиной, и ЦЕЛЬ, или конечную причину; обе из которых, тем не менее, являются действующими причинами. Ибо когда говорится, что сущность вещи есть ее причина, как «быть разумным есть причина человека», это непостижимо; ибо это все равно, как если бы было сказано: «быть человеком есть причина человека»; что сказано неверно. И все же знание сущности чего-либо есть причина знания самой вещи; ибо, если я сначала узнаю, что вещь есть «разумная», я узнаю отсюда, что она есть «человек»; но это не что иное, как действующая причина. Конечная причина не имеет места, кроме как в таких вещах, которые обладают чувством и волей; и это я также докажу в дальнейшем как действующую причину.

ГЛАВА XI. ОБ ТОЖДЕСТВЕ И РАЗЛИЧИИ.

1. Что значит, что одна вещь отличается от другой. — 2. Отличаться по числу, величине, виду и роду, что это такое. — 3. Что такое отношение, пропорция и относительные понятия. — 4. Пропорциональные величины, что это такое. — 5. Пропорция величин друг к другу, в чем она состоит. — 6. Отношение не есть новая акциденция, а одна из тех, что были в относительном понятии до того, как было сделано отношение или сравнение. Также причины акциденций в коррелятах суть причина отношения. — 7. О начале индивидуации.

What it is for one thing to differ from another.

1. До сих пор я говорил о теле вообще и об акциденциях, общих для всех тел, таких как величина, движение, покой, действие, претерпевание, сила, возможное и т. д.; и я должен был бы теперь перейти к тем акциденциям, которыми одно тело отличается от другого, если бы сначала не следовало объявить, что значит быть «различным» и «неразличным», а именно: что такое ТОЖДЕСТВЕННОЕ и РАЗЛИЧНОЕ; ибо это также обще для всех тел, что они могут быть различены и отделены друг от друга. Теперь, два тела называются отличающимися друг от друга, когда о одном из них можно сказать нечто такое, что нельзя сказать о другом в то же самое время.

To differ in number, magnitude, species, and genus, what.

2. И, прежде всего, очевидно, что никакие два тела не являются тождественными; ибо, поскольку они суть два, они находятся в двух местах в одно и то же время; тогда как то, что является тождественным, находится в одно и то же время в одном и том же месте. Все тела, следовательно, отличаются друг от друга по числу, а именно как одно и другое; так что «тождественное» и «различное по числу» суть имена, противопоставленные друг другу по противоречию.

По величине тела отличаются, когда одно больше другого, как «длиной в локоть» и «длиной в два локтя», «весом в два фунта» и «весом в три фунта». И этим противопоставляются «равные».

Тела, которые отличаются более чем по величине, называются «неподобными»; а те, которые отличаются только по величине, — «подобными». Также из неподобных тел одни, как говорят, отличаются по виду, другие — по роду; по виду, когда их различие воспринимается одним и тем же чувством, как «белое» и «черное»; а по роду, когда их различие воспринимается не иначе, как разными чувствами, как «белое» и «горячее».

What is relation, proportion, and relatives.

3. И подобие или неподобие, равенство или неравенство одного тела другому называется их ОТНОШЕНИЕМ; а сами тела — относительными или коррелятами; Аристотель называет их τὰ πρὸς τί; первое из которых обычно называется антецедентом, а второе — консеквентом; и отношение антецедента к консеквенту согласно величине, а именно равенство, избыток или недостаток его, называется ПРОПОРЦИЕЙ антецедента к консеквенту; так что пропорция есть не что иное, как равенство или неравенство величины антецедента, сравниваемой с величиной консеквента только по их разности или сравниваемой также с их разностью. Например, пропорция трех к двум состоит только в том, что три превышает два на единицу; а пропорция двух к пяти — в том, что два, сравниваемое с пятью, уступает ему на три, либо просто, либо сравниваемое с числами, отличными от них; и поэтому в пропорции неравных величин пропорция меньшего к большему называется НЕДОСТАТКОМ; а пропорция большего к меньшему — ИЗБЫТКОМ.

Proportionals, what.

4. Кроме того, из неравных величин одни более, другие менее, а некоторые одинаково неравны; так что существует пропорция пропорций, так же как и величин; а именно, когда две неравные величины имеют отношение к двум другим неравным величинам; как, когда неравенство, которое существует между 2 и 3, сравнивается с неравенством, которое существует между 4 и 5. В этом сравнении всегда есть четыре величины; или, что то же самое, если их всего три, средняя считается дважды; и если пропорция первой ко второй равна пропорции третьей к четвертой, то эти четыре называются пропорциональными; в противном случае они не являются пропорциональными.

The proportion of magnitudes to one another, wherein it consists.

5. Пропорция антецедента к консеквенту состоит в их разности, взятой не только просто, но также как сравниваемой с одним из относительных понятий; то есть либо в той части большей величины, на которую она превышает меньшую, либо в остатке после того, как меньшая вычтена из большей; как пропорция двух к пяти состоит в трех, на которые пять превышает два, не только в трех просто, но также как сравниваемых с пятью или двумя. Ибо хотя существует та же разность между двумя и пятью, что и между девятью и двенадцатью, а именно три, все же это не то же самое неравенство; и поэтому пропорция двух к пяти не во всяком отношении та же, что и пропорция девяти к двенадцати, а только в той, которая называется арифметической.

Relation is no new accident, but one of those that were in the relative, before the relation or comparison was made. Also the causes of accidents in correlatives are the cause of relation.

6. Но мы не должны думать об отношении так, как если бы оно было акциденцией, отличающейся от всех других акциденций относительного понятия; но одной из них, а именно той, посредством которой производится сравнение. Например, подобие одного «белого» другому «белому» или его неподобие «черному» есть та же самая акциденция, что и его «белизна»; а равенство и неравенство — та же самая акциденция, что и величина сравниваемой вещи, хотя и под другим именем: ибо то, что называется «белым» или «великим», когда оно не сравнивается с чем-то другим, то же самое, когда оно сравнивается, называется «подобным» или «неподобным», «равным» или «неравным». И из этого следует, что причины акциденций, которые находятся в относительных понятиях, суть причины также подобия, неподобия, равенства и неравенства; а именно, что тот, кто создает два неравных тела, создает также их неравенство; и тот, кто создает правило и действие, создает также, если действие соответствует правилу, их соответствие; если не соответствует — их несоответствие. И это все относительно сравнения одного тела с другим.

Of the beginning of individuation.

7. Но одно и то же тело может в разное время сравниваться с самим собой. И отсюда возникает великий спор среди философов о начале индивидуации, а именно: в каком смысле можно представить, что тело в одно время является тем же самым, а в другое время — не тем же самым, каким было ранее. Например, является ли человек, ставший старым, тем же самым человеком, каким он был, пока был молодым, или другим человеком; или является ли город в разные эпохи тем же самым или другим городом. Одни помещают индивидуальность в единство материи; другие — в единство формы; и один говорит, что она состоит в единстве совокупности всех акциденций вместе. Относительно материи приводится довод, что кусок воска, будет ли он сферическим или кубическим, есть тот же самый воск, потому что та же самая материя. Относительно формы — что когда человек вырастает из младенца в старика, хотя его материя изменилась, он все же остается тем же самым числовым человеком; ибо то тождество, которое нельзя приписать материи, вероятно, следует приписать форме. Относительно совокупности акциденций нельзя привести никакого примера; но поскольку, когда порождается какая-либо новая акциденция, вещи обычно дается новое имя, поэтому тот, кто приписал эту причину индивидуальности, думал, что и сама вещь стала другой вещью. Согласно первому мнению, тот, кто грешит, и тот, кто наказывается, не должны быть одним и тем же человеком по причине постоянного потока и изменения человеческого тела; не должен быть тем же самым городом и тот город, который издает законы в одну эпоху и отменяет их в другую; что означало бы смешать все гражданские права. Согласно второму мнению, два тела, существующие оба одновременно, были бы одним и тем же числовым телом. Ибо если, например, тот корабль Тесея, о различии которого, вызванном постоянным ремонтом путем изъятия старых досок и вставки новых, софисты Афин имели обыкновение спорить, был после того, как все доски были заменены, тем же самым числовым кораблем, что был в начале; и если бы какой-то человек сохранил старые доски, как они были изъяты, и, вставив их впоследствии вместе в том же порядке, снова сделал бы из них корабль, то это, без сомнения, был бы также тот же самый числовой корабль, что был в начале; и таким образом было бы два корабля, числово тождественных, что абсурдно. Но, согласно третьему мнению, ничто не было бы тем же самым, чем было; так что стоящий человек не был бы тем же самым, что был сидящим; и вода, которая находится в сосуде, не была бы той же самой, что вылита из него. Посему начало индивидуации не всегда должно браться либо только из материи, либо только из формы.

Но мы должны учитывать, под каким именем что-либо называется, когда мы спрашиваем о его тождестве. Ибо одно дело спрашивать о Сократе, является ли он тем же самым человеком, и другое — спрашивать, является ли он тем же самым телом; ибо его тело, когда он стар, не может быть тем же самым, что было, когда он был младенцем, по причине различия величины; ибо одно тело всегда имеет одну и ту же величину; тем не менее, он может быть тем же самым человеком. И поэтому, всякий раз, когда имя, под которым спрашивается, является ли вещь той же самой, что была, дается ей только ради материи, тогда, если материя та же самая, вещь также индивидуально та же самая; как вода, которая была в море, есть та же самая, что впоследствии находится в облаке; и любое тело есть то же самое, будут ли его части соединены или рассеяны; или будет ли оно замерзшим или растворенным. Также, если имя дается ради такой формы, которая есть начало движения, тогда, пока это движение остается, это будет та же самая индивидуальная вещь; как тот человек будет всегда тем же самым, чьи действия и мысли происходят все из одного и того же начала движения, а именно того, которое было при его зарождении; и та будет той же самой рекой, которая течет из одного и того же источника, течет ли из него та же самая вода, или другая вода, или что-то иное, чем вода; и тот — тем же самым городом, чьи акты происходят постоянно из одного и того же установления, являются ли люди теми же самыми или нет. Наконец, если имя дается ради какой-то акциденции, тогда тождество вещи будет зависеть от материи; ибо путем изъятия и добавления материи бывшие акциденции уничтожаются, а порождаются другие, новые, которые не могут быть числово теми же самыми; так что корабль, который означает материю, так оформленную, будет тем же самым, пока материя остается той же самой; но если ни одна часть материи не является той же самой, тогда это числово другой корабль; и если часть материи остается, а часть изменена, тогда корабль будет отчасти тем же самым, а отчасти не тем же самым.

ГЛАВА XII. О КОЛИЧЕСТВЕ.

1. Определение количества. — 2. Экспозиция количества, что это такое. — 3. Как экспонируются линия, поверхность и тело. — 4. Как экспонируется время. — 5. Как экспонируется число. — 6. Как экспонируется скорость. — 7. Как экспонируется вес. — 8. Как экспонируется пропорция величин. — 9. Как экспонируется пропорция времен и скоростей.

Definition of quantity.

1. Что такое измерение и насколько оно многообразно, было сказано в 8-й главе, а именно, что есть три измерения: линия или длина, поверхность и тело; каждое из которых, если оно определено, то есть если его пределы сделаны известными, обычно называется количеством; ибо под количеством все люди понимают то, что обозначается этим словом, которым дается ответ на вопрос: «Сколько это?» Всякий раз, поэтому, когда спрашивается, например: «Как длинно путешествие?», не отвечают неопределенно: «длина»; ни когда спрашивается: «Как велико поле?», не отвечают неопределенно: «поверхность»; ни если человек спросит: «Как велик объем?», неопределенно: «тело»: но отвечают определенно: путешествие — сто миль; поле — сто акров; объем — сто кубических футов; или, по крайней мере, каким-то таким образом, чтобы величина вещи, о которой спрашивают, могла быть посредством определенных пределов постигнута умом. КОЛИЧЕСТВО, поэтому, не может быть определено иначе, как «определенное измерение» или «измерение, пределы которого установлены либо их местом, либо некоторым сравнением».

The exposition of quantity, what it is.

2. И количество определяется двумя способами: одним — чувством, когда перед ним ставится некий чувственный объект; как когда линия, поверхность или тело в фут или локоть, отмеченные в некоторой материи, противопоставляются глазам; этот способ определения называется экспозицией, а так познанное количество называется экспонированным количеством; другим — памятью, то есть путем сравнения с некоторым экспонированным количеством. Первым способом, когда спрашивают, какого количества вещь, отвечают: такого количества, какое вы видите экспонированным. Вторым способом ответ не может быть дан иначе, как путем сравнения с некоторым экспонированным количеством; ибо если спрашивают, как длинна дорога, ответ таков: столько-то тысяч шагов; то есть путем сравнения дороги с шагом или другой мерой, определенной и известной посредством экспозиции; или количество ее относится к другому количеству, известному посредством экспозиции, как диаметр квадрата к его стороне, или каким-то другим подобным средством. Но следует понимать, что экспонированное количество должно быть некоторой стоячей или постоянной вещью, такой, которая отмечена в постоянной или долговечной материи; или, по крайней мере, чем-то, что может быть возвращено к чувству; ибо иначе никакое сравнение не может быть сделано посредством него. Поскольку, поэтому, согласно тому, что было сказано в следующей предыдущей главе, сравнение одной величины с другой есть то же самое, что и пропорция; очевидно, что количество, определенное вторым способом, есть не что иное, как пропорция измерения, не экспонированного к другому, которое экспонировано; то есть сравнение его равенства или неравенства с экспонированным количеством.

How line, superficies, and solids, are exposed.

3. Линии, поверхности и тела экспонируются, во-первых, движением, таким образом, как в 8-й главе я сказал, что они порождаются; но так, чтобы следы такого движения были постоянными; как когда они проектируются на некоторую материю, как линия на бумаге; или выгравированы в некоторой долговечной материи. Во-вторых, путем аппозиции; как когда одна линия или длина прикладывается к другой линии или длине, одна ширина к другой ширине, и одна толщина к другой толщине; что равносильно описанию линии точками, поверхности — линиями, а тела — поверхностями; за исключением того, что под точками в этом месте следует понимать очень короткие линии, а под поверхностями — очень тонкие тела. В-третьих, линии и поверхности могут быть экспонированы путем сечения, а именно: линия может быть сделана путем разрезания экспонированной поверхности; а поверхность — путем разрезания экспонированного тела.

How time is exposed.

4. Время экспонируется не только экспозицией линии, но также некоторой движущейся вещи, которая движется равномерно по этой линии, или, по крайней мере, предполагается так движущейся. Ибо, поскольку время есть идея движения, в которой мы рассматриваем прежнее и последующее, то есть последовательность, для экспозиции времени недостаточно того, чтобы была описана линия; но мы должны также иметь в нашем уме воображение некоторой движущейся вещи, проходящей по этой линии; и движение ее должно быть равномерным, чтобы время могло быть разделено и сложено так часто, как в том будет нужда. И поэтому, когда философы в своих доказательствах чертят линию и говорят: «Пусть эта линия будет временем», следует понимать, как если бы они сказали: «Пусть концепция равномерного движения по этой линии будет временем». Ибо хотя круги на циферблатах суть линии, все же они сами по себе недостаточны для того, чтобы отмечать время, если также не существует или не предполагается движение тени или стрелки.

How number is exposed.

5. Число экспонируется либо экспозицией точек, либо имен числа: один, два, три и т. д.; и эти точки не должны быть соприкасающимися, так чтобы их нельзя было различить по знакам, но они должны быть расположены так, чтобы их можно было различить одну от другой; ибо именно отсюда число называется дискретным количеством, тогда как всякое количество, которое проектируется движением, называется непрерывным количеством. Но чтобы число могло быть экспонировано именами числа, необходимо, чтобы они были произнесены наизусть и по порядку, как один, два, три и т. д.; ибо говоря «один, один, один» и так далее, мы не знаем, на каком числе мы находимся, кроме двух или трех; которые также представляются нам в этом виде не как число, а как фигура.

How velocity is exposed.

6. Для экспозиции скорости, которая, по определению ее, есть движение, которое за определенное время проходит определенное пространство, требуется не только то, чтобы время было экспонировано, но чтобы было также экспонировано то пространство, которое проходится телом, чью скорость мы хотим определить; и чтобы тело понималось как движущееся и в этом пространстве; так что должны быть экспонированы две линии, на одной из которых должно пониматься равномерное движение, чтобы время могло быть определено; а на другой — скорость, которая должна быть вычислена. | А Б В Г | Как если бы мы хотели экспонировать скорость тела А, мы чертим две линии АБ и ВГ и помещаем тело также в В; что сделав, мы говорим, что скорость тела А столь велика, что оно проходит линию АБ за то же время, в которое тело В проходит линию ВГ с равномерным движением.

How weight is exposed.

7. Вес экспонируется любым тяжелым телом, из какой бы материи оно ни было, лишь бы оно было всегда одинаково тяжелым.

How the proportion of magnitudes is exposed.

8. Пропорция двух величин экспонируется тогда, когда экспонированы сами величины, а именно: пропорция равенства — когда величины равны; и неравенства — когда они неравны. Ибо поскольку, согласно 5-й статье предыдущей главы, пропорция двух неравных величин состоит в их разности, сравниваемой с любой из них; и когда две неравные величины экспонированы, их разность также экспонирована; то следует, что когда величины, которые имеют пропорцию друг к другу, экспонированы, их пропорция также экспонирована вместе с ними; и, точно так же, пропорция равных величин, которая состоит в том, что между ними нет разности величины, экспонируется в то же самое время, когда экспонированы сами равные величины. Например, если экспонированные линии АБ и ВГ равны, пропорция равенства экспонирована в них; | А Б В Г Д Ж Е | и если экспонированные линии ДЕ и ДЖ неравны, пропорция, которую ДЕ имеет к ДЖ, и та, которую ДЖ имеет к ДЕ, также экспонированы в них; ибо экспонированы не только сами линии, но также их разность, ЖЕ. Пропорция неравных величин есть количество; ибо разность, ЖЕ, в которой она состоит, есть количество. Но пропорция равенства не есть количество; потому что между равными величинами нет разности; и одно равенство не больше другого, как одно неравенство больше другого неравенства.

How the proportion of times and velocities is exposed.

9. Пропорция двух времен или двух равномерных скоростей экспонируется тогда, когда экспонированы две линии, по которым два тела понимаются как движущиеся равномерно; и поэтому те же самые две линии служат для того, чтобы показать как их собственную пропорцию, так и пропорцию времен и скоростей, в зависимости от того, рассматриваются ли они как экспонированные для самих величин, или для времен, или для скоростей. Ибо пусть будут экспонированы две линии А и Б; | А Б | их пропорция поэтому (согласно последней предыдущей статье) экспонирована; и если они рассматриваются как начерченные с равной и равномерной скоростью, тогда, поскольку их времена больше, или равны, или меньше, в зависимости от того, как те же самые пространства проходятся за большее, или равное, или меньшее время, линии А и Б покажут равенство или неравенство, то есть пропорцию времен. В заключение, если те же самые линии, А и Б, рассматриваются как начерченные за одно и то же время, тогда, поскольку их скорости больше, или равны, или меньше, в зависимости от того, как они проходят за одно и то же время более длинные, или равные, или более короткие линии, те же самые линии, А и Б, покажут равенство или неравенство, то есть пропорцию их скоростей.

ГЛАВА XIII. ОБ АНАЛОГИЗМЕ, ИЛИ ТОЙ ЖЕ ПРОПОРЦИИ.

1, 2, 3, 4. Природа и определение пропорции, арифметической и геометрической. — 5. Определение и некоторые свойства той же арифметической пропорции. — 6, 7. Определение и преобразования аналогизма, или той же геометрической пропорции. — 8, 9. Определения гиперлогизма и гипологизма, то есть большей и меньшей пропорции, и их преобразования. — 10, 11, 12. Сравнение аналогических величин согласно величине. — 13, 14, 15. Составление пропорций. — 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25. Определение и свойства непрерывной пропорции. — 26, 27, 28, 29. Сравнение арифметических и геометрических пропорций.

[Заметьте, что в этой главе знак + означает, что величины, между которыми он поставлен, складываются вместе; а этот знак - означает остаток после того, как последняя величина вычтена из первой. Так что А + Б равно и А, и Б вместе; и где вы видите А - Б, там А есть целое, Б — часть, вычтенная из него, а А - Б — остаток. Также две буквы, поставленные вместе без какого-либо знака, означают, если они не относятся к фигуре, что одна из величин умножается на другую; как АБ означает произведение А, умноженного на Б.]

The nature and definition of proportion, arithmetical & geometrical.

1. Великое и малое непостижимы иначе, как путем сравнения. Теперь то, с чем они сравниваются, есть нечто экспонированное; то есть некоторая величина, либо воспринимаемая чувством, либо определенная словами так, что она может быть постигнута умом. Также то, с чем сравнивается любая величина, есть либо большее, либо меньшее, либо равное ей. И поэтому пропорция (которая, как я показал, есть оценка или постижение величин путем сравнения) бывает трех видов, а именно: пропорция равенства, то есть равного к равному; или избытка, которая есть пропорция большего к меньшему; или недостатка, которая есть пропорция меньшего к большему.

Опять же, каждая из этих пропорций бывает двух видов; ибо если спрашивается относительно какой-либо данной величины, насколько она велика, ответ может быть дан путем сравнения ее двумя способами; во-первых, сказав, что она больше или меньше другой величины на столько-то; как семь меньше десяти на три единицы; и это называется арифметической пропорцией. Во-вторых, сказав, что она больше или меньше другой величины на такую-то часть или части ее; как семь меньше десяти на три десятых части тех же десяти. И хотя эта пропорция не всегда объяснима числом, все же она есть определенная пропорция, и иного рода, чем предыдущая, и называется геометрической пропорцией, и наиболее часто — просто пропорцией.

2. Пропорция, будь то арифметическая или геометрическая, не может быть экспонирована иначе, как в двух величинах (из которых первая обычно называется антецедентом, а последняя — консеквентом пропорции), как я показал в 8-й статье предыдущей главы. И поэтому, если нужно сравнить две пропорции, должны быть экспонированы четыре величины, а именно: два антецедента и два консеквента; ибо хотя иногда случается, что консеквент первой пропорции является тем же самым, что и антецедент второй, все же в этом двойном сравнении он должен по необходимости считаться дважды; так что всегда будет четыре члена.

3. Из двух пропорций, будь то арифметические или геометрические, когда величины, сравниваемые в обеих (которые Евклид в пятом определении своей шестой книги называет количествами пропорций), равны, тогда одна из пропорций не может быть ни больше, ни меньше другой; ибо одно равенство не является ни больше, ни меньше другого равенства. Но из двух пропорций неравенства, будь то пропорции избытка или недостатка, одна из них может быть либо больше, либо меньше другой, или они обе могут быть равны; ибо хотя предложены две величины, которые неравны друг другу, все же могут быть другие две, более неравные, и другие две, одинаково неравные, и другие две, менее неравные, чем те две, которые были предложены. И отсюда можно понять, что пропорции избытка и недостатка суть количество, будучи способными к «более» и «менее»; но пропорция равенства не есть количество, потому что не способна ни к «более», ни к «менее». И поэтому пропорции неравенства могут быть сложены вместе, или вычтены одна из другой, или умножены, или разделены одна на другую, или на число; но пропорции равенства — нет.

4. Две равные пропорции обычно называются «той же пропорцией»; и говорится, что пропорция первого антецедента к первому консеквенту есть та же самая, что и пропорция второго антецедента ко второму консеквенту. И когда четыре величины находятся таким образом друг к другу в геометрической пропорции, они называются пропорциональными; а некоторые, более кратко, — аналогизмом. И «большая пропорция» есть пропорция большего антецедента к тому же консеквенту, или того же антецедента к меньшему консеквенту; и когда пропорция первого антецедента к первому консеквенту больше, чем пропорция второго антецедента ко второму консеквенту, четыре величины, которые находятся таким образом друг к другу, могут быть названы гиперлогизмом.

«Меньшая пропорция» есть пропорция меньшего антецедента к тому же консеквенту, или того же антецедента к большему консеквенту; и когда пропорция первого антецедента к первому консеквенту меньше, чем пропорция второго ко второму, четыре величины могут быть названы гипологизмом.

The definition and some properties of the same arithmetical proportion.

5. Одна арифметическая пропорция есть та же самая, что и другая арифметическая пропорция, когда один из антецедентов превышает свой консеквент, или превышается им, настолько же, насколько другой антецедент превышает свой консеквент, или превышается им. И поэтому в четырех величинах, арифметически пропорциональных, сумма крайних равна сумме средних. Ибо если А. Б :: В. Г арифметически пропорциональны, и разность с обеих сторон есть тот же самый избыток, или тот же самый недостаток, Д, тогда Б + В (если А больше Б) будет равно А - Д + В; а А + Г будет равно А + В - Д; но А - Д + В и А + В - Д равны. Или если А меньше Б, тогда Б + В будет равно А + Д + В; а А + Г будет равно А + В + Д; но А + Д + В и А + В + Д равны.

Также, если есть сколько угодно величин, арифметически пропорциональных, сумма их всех будет равна произведению половины числа членов, умноженного на сумму крайних.

Ибо если А. Б :: В. Г :: Д. Е арифметически пропорциональны, пары А + Е, Б + Д, В + Г будут равны друг другу; и их сумма будет равна А + Е, умноженному на число их комбинаций, то есть на половину числа членов.

Если из четырех неравных величин любые две, взятые вместе, равны двум другим, взятым вместе, тогда наибольшая и наименьшая из них будут в одной комбинации. Пусть неравные величины будут А, Б, В, Г; и пусть А + Б равно В + Г; и пусть А будет наибольшей из них всех; я утверждаю, что Б будет наименьшей. Ибо, если это возможно, пусть какая-либо из остальных, как Г, будет наименьшей. Поскольку, следовательно, А больше В, а Б больше Г, А + Б будет больше В + Г; что противоречит тому, что предполагалось.

Если есть любые четыре величины, сумма наибольшей и наименьшей, сумма средних, разность двух наибольших и разность двух наименьших будут арифметически пропорциональны. Ибо пусть будут четыре величины, из которых А — наибольшая, Г — наименьшая, а Б и В — средние; я утверждаю, что А + Г. Б + В :: А - Б. В - Г арифметически пропорциональны. Ибо разность между первым антецедентом и его консеквентом есть эта: А + Г - Б - В; а разность между вторым антецедентом и его консеквентом эта: А - Б - В + Г; но эти две разности равны; и поэтому, согласно этой 5-й статье, А + Г. Б + В :: А - Б. В - Г арифметически пропорциональны.

Если из четырех величин две равны двум другим, они будут в обратной арифметической пропорции. Ибо пусть А + Б равно В + Г, я утверждаю, что А. В :: Г. Б арифметически пропорциональны. Ибо если они не таковы, пусть А. В :: Г. Д (предполагая Д больше или меньше Б) будут арифметически пропорциональны, и тогда А + Д будет равно В + Г; посему А + Б и В + Г не равны; что противоречит тому, что предполагалось.

The definition and transmutations of analogism, or the same geometrical proportion.

6. Одна геометрическая пропорция есть та же самая, что и другая геометрическая пропорция, когда та же самая причина, производящая равные следствия за равные времена, определяет обе пропорции.

Если точка, движущаяся равномерно, описывает две линии, с одинаковой или различной скоростью, то все их части, которые являются одновременными, то есть описанными за одно и то же время, будут находиться в геометрической пропорции два к двум, независимо от того, взяты ли антецеденты на одной и той же линии или нет. Ибо пусть из точки А (на 10-м рисунке в конце 14-й главы) будут описаны две линии, AD и AG, при равномерном движении; и пусть на них будут взяты две части, AB и AE, а также две другие части, AC и AF, таким образом, чтобы AB и AE были одновременными, а также AC и AF были одновременными. Я утверждаю, во-первых (принимая антецеденты AB, AC на линии AD, а консеквенты AE, AF на линии AG), что AB : AC :: AE : AF являются пропорциональными. Ибо, видя (согласно 8-й главе и 15-й статье), что скорость есть движение, рассматриваемое как определенное некоторой длиной или линией, пройденной за определенное время, величина линии AB будет определяться скоростью и временем, за которое описана та же AB; и по той же причине величина линии AC будет определяться скоростью и временем, за которое описана та же AC; и поэтому пропорция AB к AC, будь то пропорция равенства, избытка или недостатка, определяется скоростями и временами, за которые описаны AB и AC; но поскольку движение точки А по AB и AC равномерно, обе они описаны с равной скоростью; и поэтому, имеет ли одна из них по отношению к другой пропорцию большинства или меньшинства, единственной причиной этой пропорции является разница их времен; и по той же причине очевидно, что пропорция AE к AF определяется только разницей их времен. Поскольку, следовательно, AB, AE, а также AC, AF являются одновременными, разница времен, за которые описаны AB и AC, та же самая, что и та, за которую описаны AE и AF. Посему пропорция AB к AC и пропорция AE к AF обе определяются одной и той же причиной. Но причина, которая так определяет пропорцию обеих, действует одинаково в равные времена, ибо это равномерное движение; и поэтому (согласно последнему предшествующему определению) пропорция AB к AC та же, что и AE к AF; и, следовательно, AB : AC :: AE : AF являются пропорциональными; что и требовалось доказать первым.

Во-вторых (принимая антецеденты на разных линиях), я утверждаю, что AB : AE :: AC : AF являются пропорциональными; ибо, видя, что AB и AE описаны за одно и то же время, разница скоростей, с которыми они описаны, является единственной причиной пропорции, которую они имеют друг к другу. И то же самое можно сказать о пропорции AC к AF. Но видя, что обе линии AD и AG пройдены равномерным движением, разница скоростей, с которыми описаны AB и AE, будет той же, что и разница скоростей, с которыми описаны AC и AF. Посему причина, определяющая пропорцию AB к AE, та же, что и определяющая пропорцию AC к AF; и поэтому AB : AE :: AC : AF являются пропорциональными; что и оставалось доказать.

Следствие I. Если четыре величины находятся в геометрической пропорции, они также будут пропорциональны при перестановке, то есть при транспонировании средних членов. Ибо я показал, что не только AB : AC :: AE : AF, но также, что при перестановке AB : AE :: AC : AF являются пропорциональными.

Следствие II. Если есть четыре пропорциональные величины, они также будут пропорциональны при инверсии или конверсии, то есть при превращении антецедентов в консеквенты. Ибо если бы в последнем аналогизме я вместо AB, AC поставил при инверсии AC, AB и аналогичным образом преобразовал AE, AF в AF, AE, то та же демонстрация подошла бы. Ибо как AC, AB, так и AB, AC имеют равную скорость; и AC, AF, так же как AF, AC, являются одновременными.

Следствие III. Если к пропорциональным величинам прибавлять пропорциональные или вычитать их из них, то агрегаты или остатки будут пропорциональными. Ибо одновременные величины, будь они прибавлены к одновременным или вычтены из них, делают агрегаты или остатки одновременными, даже если сложение или вычитание касается всех членов, или только антецедентов, или только консеквентов.

Следствие IV. Если оба антецедента четырех пропорциональных величин, или оба консеквента, или все члены умножить или разделить на одно и то же число или величину, произведения или частные будут пропорциональными. Ибо умножение и деление пропорциональных величин то же самое, что их сложение и вычитание.

Следствие V. Если есть четыре пропорциональные величины, они также будут пропорциональны при композиции, то есть при составлении антецедента из сложенных вместе антецедента и консеквента, и при принятии в качестве консеквента либо консеквента отдельно, либо антецедента отдельно. Ибо эта композиция есть не что иное, как сложение пропорциональных величин, а именно консеквентов к их собственным антецедентам, которые по предположению являются пропорциональными.

Следствие VI. Подобным образом, если антецедент отдельно или консеквент отдельно поставить в качестве антецедента, а консеквент составить из обоих, сложенных вместе, они также будут пропорциональными. Ибо это инверсия пропорции при композиции.

Следствие VII. Если есть четыре пропорциональные величины, они также будут пропорциональны при делении, то есть при взятии остатка после вычитания консеквента из антецедента, или разности между антецедентом и консеквентом в качестве антецедента, и либо целого, либо вычитаемого в качестве консеквента; как если A : B :: C : D являются пропорциональными, то при делении они будут A - B : B :: C - D : D, и A - B : A :: C - D : C; а когда консеквент больше антецедента, B - A : A :: D - C : C, и B - A : B :: D - C : D. Ибо во всех этих делениях пропорциональные величины, согласно самому предположению аналогизма A : B :: C : D, берутся из A и B, а также из C и D.

Следствие VIII. Если есть четыре пропорциональные величины, они также будут пропорциональны при конверсии пропорции, то есть при инвертировании деленной пропорции, или при взятии целого в качестве антецедента, а разности или остатка в качестве консеквента.

Как, если A : B :: C : D являются пропорциональными, то A : A - B :: C : C - D, а также B : A - B :: D : C - D будут пропорциональными. Ибо, видя, что в инвертированном виде они пропорциональны, они и сами являются пропорциональными.

Следствие IX. Если есть два аналогизма, у которых величины равны, второй второму, а четвертый четвертому, то либо сумма, либо разность первых величин будет относиться ко второй, как сумма или разность третьих величин к четвертой. Пусть A : B :: C : D и E : B :: F : D будут аналогизмами; я утверждаю, что A + E : B :: C + F : D являются пропорциональными. Ибо указанные аналогизмы при перестановке будут A : C :: B : D и E : F :: B : D; и поэтому A : C :: E : F будут пропорциональными, ибо они обе имеют общую пропорцию B к D. Посему, если при перестановке первого аналогизма к A и C прибавить E и F, которые E и F пропорциональны A и C, то (согласно третьему следствию) A + E : B :: C + F : D будут пропорциональными; что и требовалось доказать.

Также подобным образом можно показать, что A - E : B :: C - F : D являются пропорциональными.

7. Если есть два аналогизма, где четыре антецедента составляют аналогизм, их консеквенты также составят аналогизм; как и суммы их антецедентов будут пропорциональны суммам их консеквентов. Ибо если A : B :: C : D и E : F :: G : H — два аналогизма, и A : E :: C : G являются пропорциональными, то при перестановке A : C :: E : G, и E : G :: F : H, и A : C :: B : D будут пропорциональными; посему B : D :: E : G, то есть B : D :: F : H, и при перестановке B : F :: D : H являются пропорциональными; что и есть первое. Во-вторых, я утверждаю, что A + E : B + F :: C + G : D + H будут пропорциональными. Ибо, видя, что A : E :: C : G являются пропорциональными, A + E : E :: C + G : G также при композиции будут пропорциональными, и при перестановке A + E : C + G :: E : G будут пропорциональными; посему также A + E : C + G :: B + F : D + H будут пропорциональными. Опять же, видя, как показано выше, что B : F :: D : H являются пропорциональными, B + F : F :: D + H : H также при композиции будут пропорциональными; и при перестановке B + F : D + H :: F : H также будут пропорциональными; посему A + E : C + G :: B + F : D + H являются пропорциональными; что и оставалось доказать.

Следствие. По той же причине, если имеется сколько угодно аналогизмов и антецеденты пропорциональны антецедентам, можно также доказать, что консеквенты будут пропорциональны консеквентам, как и сумма антецедентов — сумме консеквентов.

The definition of hyperlogism and hypologism, that is, of greater and less proportion, and their transmutations.

8. В гиперлогизме, то есть когда пропорция первого антецедента к его консеквенту больше пропорции второго антецедента к его консеквенту, перестановка пропорциональных величин, сложение пропорциональных величин с пропорциональными и вычитание их друг из друга, а также их композиция и деление, и их умножение и деление на одно и то же число, всегда дают гиперлогизм. Ибо предположим, что A : B :: C : D и A : C :: E : F — аналогизмы, A + E : B :: C + F : D также будет аналогизмом; но A + E : B :: C : D будет гиперлогизмом; посему при перестановке A + E : C :: B : D есть гиперлогизм, потому что A : B :: C : D есть аналогизм. Во-вторых, если к гиперлогизму A + E : B :: C : D прибавить пропорциональные величины G и H, то A + E + G : B :: C + H : D будет гиперлогизмом, по причине того, что A + E + G : B :: C + F + H : D есть аналогизм. Также, если G и H вычесть, A + E - G : B :: C - H : D будет гиперлогизмом; ибо A + E - G : B :: C + F - H : D есть аналогизм. В-третьих, при композиции A + E + B : B :: C + D : D будет гиперлогизмом, потому что A + E + B : B :: C + F + D : D есть аналогизм, и так будет во всех видах композиции. В-четвертых, при делении A + E - B : B :: C - D : D будет гиперлогизмом, по причине того, что A + E - B : B :: C + F - D : D есть аналогизм. Также A + E - B : A + E :: C - D : C есть гиперлогизм; ибо A + E - B : A + E :: C + F - D : C есть аналогизм. В-пятых, при умножении 4A + 4E : B :: 4C : D есть гиперлогизм, потому что 4A : B :: 4C : D есть аналогизм; и при делении 1/4A + 1/4E : B :: 1/4C : D есть гиперлогизм, потому что 1/4A : B :: 1/4C : D есть аналогизм.

9. Но если A + E : B :: C : D есть гиперлогизм, то при инверсии B : A + E :: D : C будет гипологизмом, потому что B : A :: D : C есть аналогизм, первый консеквент будет слишком велик. Также при конверсии пропорции A + E : A + E - B :: C : C - D есть гипологизм, потому что инверсия его, а именно A + E - B : A + E :: C - D : C, есть гиперлогизм, как я только что показал. Так же и B : A + E - B :: D : C - D есть гипологизм, потому что, как я только что показал, инверсия его, а именно A + E - B : B :: C - D : D, есть гиперлогизм. Заметьте, что этот гипологизм A + E : A + E - B :: C : C - D обычно выражается так: если пропорция целого (A + E) к тому, что из него взято (B), больше пропорции целого (C) к тому, что из него взято (D), то пропорция целого (A + E) к остатку (A + E - B) будет меньше пропорции целого (C) к остатку (C - D).

Comparison of analogical quantities, according to magnitude.

10. Если есть четыре пропорциональные величины, разность двух первых к разности двух последних будет относиться как первый антецедент ко второму антецеденту, или как первый консеквент ко второму консеквенту. Ибо если A : B :: C : D являются пропорциональными, то при делении A - B : B :: C - D : D будут пропорциональными; и при перестановке A - B : C - D :: B : D; то есть разности пропорциональны консеквентам, а следовательно, они таковы же и по отношению к антецедентам.

11. Из четырех пропорциональных величин, если первая больше второй, то третья также будет больше четвертой. Ибо, видя, что первая больше второй, пропорция первой ко второй есть пропорция избытка; но пропорция третьей к четвертой та же, что и первой ко второй; и поэтому также пропорция третьей к четвертой есть пропорция избытка; посему третья больше четвертой. Таким же образом можно доказать, что всякий раз, когда первая меньше второй, третья также меньше четвертой; а когда они равны, то и эти также равны.

12. Если есть какие-либо четыре пропорциональные величины, A : B :: C : D, и первая и третья умножены на какое-либо одно число, например на 2; и опять вторая и четвертая умножены на какое-либо одно число, например на 3; и произведение первой 2A больше произведения второй 3B; то произведение третьей 2C также будет больше произведения четвертой 3D. Но если произведение первой меньше произведения второй, то произведение третьей будет меньше, чем у четвертой. И наконец, если произведения первой и второй равны, произведения третьей и четвертой также будут равны. Теперь эта теорема есть то же самое, что определение Евклида той же пропорции; и ее можно доказать так. Видя, что A : B :: C : D являются пропорциональными, при перестановке также (статья 6, следствие I) A : C :: B : D будут пропорциональными; посему (согласно следствию IV статьи 6) 2A : 2C :: 3B : 3D будут пропорциональными; и опять, при перестановке 2A : 3B :: 2C : 3D будут пропорциональными; и поэтому, согласно последней статье, если 2A больше 3B, то 2C будет больше 3D; если меньше, то меньше; и если равны, то равны; что и требовалось доказать.

Composition of proportions.

13. Если предложены какие-либо три величины или три вещи вообще, которые имеют какую-либо пропорцию друг к другу, как три числа, три времени, три степени и т. д., то пропорции первой ко второй и второй к третьей, взятые вместе, равны пропорции первой к третьей. Пусть будут три линии, ибо любая пропорция может быть сведена к пропорции линий, AB, AC, AD; и в первом случае пусть пропорция как первой AB ко второй AC, так и второй AC к третьей AD будет пропорцией недостатка, или меньшего к большему; я утверждаю, что пропорции AB к AC и AC к AD, взятые вместе, равны пропорции AB к AD. Предположим, что точка А движется по всей линии AD с равномерным движением; тогда пропорции как AB к AC, так и AC к AD определяются разницей времен, за которые они описаны; то есть AB имеет к AC такую пропорцию, которая определяется различными временами их описания; а AC к AD — такую пропорцию, которая определяется их временами. Но пропорция AB к AD такова, что определяется разницей времен, за которые описаны AB и AD; и разница времен, за которые описаны AB и AC, вместе с разницей времен, за которые описаны AC и AD, та же самая, что и разница времен, за которые описаны AB и AD. И поэтому та же причина, которая определяет две пропорции AB к AC и AC к AD, определяет также пропорцию AB к AD. Посему, согласно определению той же пропорции, изложенному выше в 6-й статье, пропорция AB к AC вместе с пропорцией AC к AD есть то же самое, что пропорция AB к AD. Во втором случае пусть AD будет первой, AC — второй, а AB — третьей, и пусть их пропорция будет пропорцией избытка, или большего к меньшему; тогда, как и прежде, пропорции AD к AC, AC к AB и AD к AB будут определяться разницей их времен; которая при описании AD и AC, а также AC и AB, взятых вместе, та же самая, что и разница времен при описании AD и AB. Посему пропорция AD к AB равна двум пропорциям AD к AC и AC к AB.

В последнем случае. Если одна из пропорций, а именно AD к AB, есть пропорция избытка, а другая из них, как AB к AC, есть пропорция недостатка, таким образом также пропорция AD к AC будет равна двум пропорциям AD к AB и AB к AC, взятым вместе. Ибо разница времен, за которые описаны AD и AB, есть избыток времени; ибо на описание AD уходит больше времени, чем на AB; а разница времен, за которые описаны AB и AC, есть недостаток времени, ибо на описание AB уходит меньше времени, чем на AC; но этот избыток и недостаток, будучи сложенными вместе, дают DB - BC, что равно DC, на которое первая AD превышает третью AC; и поэтому пропорции первой AD ко второй AB и второй AB к третьей AC определяются той же причиной, которая определяет пропорцию первой AD к третьей AC. Посему, если какие-либо три величины и т. д.

Следствие I. Если имеется сколько угодно величин, имеющих пропорцию друг к другу, пропорция первой к последней составляется из пропорций первой ко второй, второй к третьей и так далее, пока не дойдешь до последней; или пропорция первой к последней та же самая, что и сумма всех промежуточных пропорций. Ибо для любого числа величин, имеющих пропорцию друг к другу, как A, B, C, D, E, пропорция A к E, как только что показано, составляется из пропорций A к D и D к E; а опять же, пропорция A к D — из пропорций A к C и C к D; и наконец, пропорция A к C — из пропорций A к B и B к C.

Следствие II. Отсюда можно понять, как могут быть составлены любые две пропорции. Ибо если предложено сложить пропорции A к B и C к D, пусть B имеет к чему-то другому, например к E, ту же пропорцию, которую C имеет к D, и пусть они будут поставлены в таком порядке: A, B, E; ибо так пропорция A к E будет очевидно суммой двух пропорций A к B и B к E, то есть C к D. Или пусть будет как D к C, так A к чему-то другому, например к E, и пусть они будут упорядочены так: E, A, B; ибо пропорция E к B будет составлена из пропорций E к A, то есть C к D, и A к B. Также можно понять, как одна пропорция может быть вычтена из другой. Ибо если пропорцию C к D нужно вычесть из пропорции A к B, пусть будет как C к D, так A к чему-то другому, например к E, и, поставив их в таком порядке: A, E, B, и вычтя пропорцию A к E, то есть C к D, останется пропорция E к B.

Следствие III. Если есть два порядка величин, которые имеют пропорцию друг к другу, и отдельные пропорции первого порядка те же самые и равны по числу пропорциям второго порядка; тогда, независимо от того, являются ли пропорции в обоих порядках последовательно соответствующими друг другу, что называется ординатной пропорцией, или не последовательно соответствующими, что называется возмущенной пропорцией, первая и последняя в обоих будут пропорциональными. Ибо пропорция первой к последней равна всем промежуточным пропорциям; которые, будучи в обоих порядках одними и теми же и равными по числу, агрегаты этих пропорций также будут равны друг другу; но пропорции первой к последней равны их агрегатам; и поэтому пропорция первой к последней в одном порядке та же самая, что и пропорция первой к последней в другом порядке. Посему первая и последняя в обоих являются пропорциональными.

Composition of proportions.

14. Если какие-либо две величины образованы взаимным умножением многих величин, которые имеют пропорцию друг к другу, и эффективные величины с обеих сторон равны по числу, пропорция произведений будет составлена из отдельных пропорций, которые эффективные величины имеют друг к другу.

Во-первых, пусть два произведения будут AB и CD, одно из которых образовано умножением A на B, а другое — умножением C на D. Я утверждаю, что пропорция AB к CD составляется из пропорций эффективной A к эффективной C и эффективной B к эффективной D. Ибо пусть AB, CB и CD будут поставлены в порядке; и как B относится к D, так пусть C относится к другой величине, например к E; и пусть A, C, E будут также поставлены в порядке. Тогда (согласно следствию IV 6-й статьи) будет как AB, первая величина, к CB, второй величине в первом порядке, так A к C во втором порядке; и опять, как CB к CD в первом порядке, так B к D, то есть, по построению, так C к E во втором порядке; и поэтому (согласно последнему следствию) AB : CD :: A : E будут пропорциональными. Но пропорция A к E составляется из пропорций A к C и B к D; посему также пропорция AB к CD составляется из тех же самых.

Во-вторых, пусть два произведения будут ABF и CDG, каждое из которых образовано тремя эффективными величинами, первое из A, B и F, а второе из C, D и G; я утверждаю, что пропорция ABF к CDG составляется из пропорций A к C, B к D и F к G. Ибо пусть они будут поставлены в порядке, как и прежде; и как B относится к D, так пусть C относится к другой величине E; и опять, как F относится к G, так пусть E относится к другой, H; и пусть первый порядок стоит так: ABF, CBF, CDF и CDG; а второй порядок так: A, C, E, H. Тогда пропорция ABF к CBF в первом порядке будет как A к C во втором; и пропорция CBF к CDF в первом порядке — как B к D, то есть как C к E (по построению) во втором порядке; и пропорция CDF к CDG в первом — как F к G, то есть как E к H (по построению) во втором порядке; и поэтому ABF : CDG :: A : H будут пропорциональными. Но пропорция A к H составляется из пропорций A к C, B к D и F к G. Посему пропорция произведения ABF к CDG также составляется из тех же самых. И эта операция подходит для любого количества эффективных величин, образующих данные величины.