Глава I. Нумерация.
Fol. 48 b. *Ибо нумерация есть искусственное представление каждого числа с помощью надлежащих фигур. Фигуры, разряды, места и пределы. Воистину фигура, разряд, места и линии подразумевают одну и ту же вещь, но они помещены здесь по разным причинам. Фигура называется так из-за начертания конфигурации; разряд называется так потому, что посредством него показывается, чем каждая фигура отличается от предшествующих ей фигур; место — по причине пространства, в котором пишут; линии — потому что они предназначены для представления каждой фигуры. 9 фигур. И пойми, что существует 9 пределов фигур, которые представляют 9 цифр, и вот они: 0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Цифра ноль. Десятая называется тетой, или кругом, или нулем [cifre], или фигурой ничто, ибо она означает ничто. Тем не менее она, занимая это место, дает возможность другим выражать значение, ибо без нуля или нулей чистый десяток не может быть написан. Нумерация И поскольку посредством этих 9 значащих фигур, соединенных с нулем или с нулями, все числа представлены и могут быть представлены, не было и нет никакой необходимости изобретать какие-либо другие фигуры. цифр, И заметим хорошо, что каждая цифра должна быть написана с помощью одной единственной фигуры, предназначенной для нее; десятков, И все десятки — с помощью нуля, ибо каждый десяток назван по одной из цифр, как 10 от 1, 20 от 2 и так далее. И все цифры должны помещаться в первом разряде: все десятки — во втором. Также все числа от 10 до 100 [которая] исключена, должны быть написаны двумя фигурами; и если это десяток — с помощью предварительно поставленного нуля и фигуры, написанной в сторону левой руки, которая обозначает цифру, по которой назван этот десяток; составных чисел. А если это составное число, сначала запиши цифру, которая является частью этого составного числа, а с левой стороны запиши десяток, как было сказано выше. Каждое число, которое находится от ста до тысячи исключительной, должно записываться тремя фигурами; и каждое число, которое находится от тысячи до 10 000, должно записываться четырьмя фигурами; и так далее. Позиционное значение. И пойми хорошо, что каждая фигура, стоящая на первом месте, обозначает свою цифру; на втором месте — 10 своих цифр; на третьем месте — столько же сотен; на четвертом месте — столько же тысяч; на пятом месте — столько же десятков тысяч; на шестом месте — столько же сотен тысяч; на седьмом месте — миллион [тысячу тысяч]. И так до бесконечности умножая на Фолио 49. *эти три: 10, 100, 1000. И пойми хорошо, что можно с полным правом поставить над фигурой на месте тысячи точку, чтобы показать, сколько тысяч будет представлять последняя фигура. Числа пишем справа налево. Мы пишем в этом искусстве в левую сторону, как пишем арабы, которые были создателями этой науки, либо по той причине, что для поддержания привычного порядка при чтении мы всегда ставим большее число впереди.
Глава II. Сложение.
Определение. Сложение есть объединение числа или чисел с числом или числами, чтобы можно было видеть то, что из этого получается как результат [excreßent]. В сложении необходимы 2 ряда фигур и 2 числа, а именно: число, которое нужно прибавить, и число, к которому должно производиться сложение. Число, которое нужно прибавить, есть то, что должно быть прибавлено к нему, и оно должно быть записано ниже; число, к которому должно производиться сложение, есть то число, которое принимает сложение другого, и оно должно быть записано выше; Как следует записывать числа. и целесообразнее, чтобы меньшее число было записано ниже, а большее прибавлено, нежели наоборот. Но случается ли так или иначе, получается одно и то же. Поэтому, если ты хочешь прибавить число к числу, запиши число, к которому должно производиться сложение, в верхнем ряду по его разрядам, так чтобы первый разряд нижнего ряда находился под первым разрядом верхнего ряда, и так же для остальных. Способ работы. По завершении этого прибавь первый [разряд] нижнего ряда к первому верхнего ряда. И от такого сложения возникает либо цифра, либо десяток, либо составное число. Начинай справа. Если это цифра, на месте верхнего ты должен записать получившуюся цифру, а именно так: —
The resultant 2
To whom it shal be addede 1
The nombre to be addede 1
Сумма есть цифра, Если же десяток: на место верхнего помести написанный ноль, а перенесенную цифру, от которой десяток получил свое название, — в сторону левой руки, и пусть она будет прибавлена к следующей за ней фигуре, если таковая имеется; а если нет, оставь это место [в] пустоте, а именно так: —
or an article,
The resultant 10
To whom it shalle be addede 7
The nombre to be addede 3
Resultans 2 7 8 2 7
Cui debet addi 1 0 0 8 4
Numerus addendus 1 7 7 4 3
И если случится так, что следующая фигура, к которой должно производиться сложение, является [нулем] десятка, отложи ее в сторону;
The resultant 17
To whom it shalle be addede 10
The nombre to be addede 7
На ее месте напиши Фолио 49 b. *[цифру] десятка, а именно так: —
И если случится [прибавить единицу] к фигуре 9,
The resultant 10
To whom it shalle be addede 9
The nombre to be addede 1
на место этой 9 поставь ноль и запиши десяток в сторону левой руки, как прежде, и таким образом: —
or a composite. And yf3 [therefrom grow a] nombre componed,4 [in the place of the nombre] put a-way5
The resultant 12
To whom it shalle be addede 8
The nombre to be addede 4
[пусть] будет записана цифра [6], которая является частью этого составного числа, а затем помести с левой стороны десяток, как прежде, и таким образом: —
Примечание переводчика. После этого приложи второе к второму и запиши выше остальное, как прежде. Заметим хорошо, что в сложении и во всех последующих действиях, когда говорится, что одно должно быть записано над другим, необходимо использовать каждую фигуру так, как если бы каждая фигура была установлена отдельно и сама по себе.
Глава III. Вычитание.
Определение вычитания. Вычитание есть нахождение из двух предложенных чисел избытка большего над меньшим: либо вычитание есть устранение одного числа из другого, чтобы можно было увидеть оставшуюся сумму. Меньшее из большего или равное из равного может быть вычтено; большее из меньшего — никогда. Как это может быть выполнено. И поистине то число больше, которое имеет больше фигур, при условии, что последние являются значащими; а если их столько же в одном, сколько в другом, нужно судить по последней или по предпоследней. Что требуется. Более того, при вычитании необходимы 2 числа: число, которое нужно вычесть, и число, из которого нужно вычесть. Число, подлежащее вычитанию, должно быть записано в нижнем ряду по его разрядам; Запишите большее число сверху. Число, из которого будут вычитать — в верхнем ряду, так чтобы первый был под первым, второй под вторым и так для всех остальных. Вычтите первую фигуру, если это возможно. Вычти поэтому первую фигуру нижнего ряда из первой фигуры ряда над ней, и это будет либо больше, либо меньше, либо равно.
The remanent 20
Wherof me shalle withdraw 22
The nombre to be withdraw 2
The remanent 2 2
Wherof me shalle with-draw 2 8
Þe nombre to be withdraw
6
Если оно равно или четно [даже], поставь на его место ноль рядом стоящей фигуры. А если оно больше, отними от него столько единиц, сколько содержит нижняя фигура, и запиши остаток следующим образом
Fol. 50.
*Remanens 2 2 1 8 2 9 9 9 8
A quo sit subtraccio
8 7 2 4 3 0 0 0 4
Numerus subtrahendus
6 5 7 [6] . . . . 6
Если это невозможно, «занимают десять», И если оно меньше, поскольку большее не может быть вычтено из него, займи единицу у следующей фигуры, которая стоит 10. Из этих 10 и из фигуры, из которой вы хотели вычить, а затем вычитают. соединенных вместе,
The remanent 1 8
Wherof me shalle with-draw 2 4
The nombre to be with-draw 0 6
вычти нижнюю фигуру и помести остаток на место отложенной фигуры, а именно так: —
Если вторая фигура равна единице. И если фигура, у которой нужно занять единицу, равна единице, отложи ее в сторону и напиши ноль на ее месте, чтобы последующим фигурам не не хватило их числа, и тогда действуй так, как показано на этом рисунке: —
The remanent 3 0 98
Wherof me shal with-draw 3 1 2
The nombre to be with-draw . . 3
Если вторая фигура является нулем. И если единица, у которой нужно занять, является нулем, иди дальше к значащей фигуре и займи единицу там, и, возвращаясь назад, на месте каждого нуля, который ты прошел, поставь девятки, как здесь указано: —
The remenaunt 2 9 9 9 9
Wherof me shalle with-draw 3 0 0 0 3
The nombre to be with-draw
4
И когда подходят к числу, к которому стремятся, там всегда остается 10. Ради этих 10 и т. д. Обоснование приведенного правила. Причина того, почему для каждого оставленного позади нуля ставят девятки, такова: если с третьего места заняли единицу, эта единица по отношению к фигуре, от которой она произошла, представляет сотню; на месте того нуля [который прошли] остается 9 [что равно девяносту], и все же остается как 10; и та же самая причина была бы, если бы заняли единицу с 4-го, 5-го, 6-го места или любого другого выше. По завершении этого вычти вторую [фигуру] нижнего ряда из фигуры над ней из верхнего ряда и действуй так же, как прежде. Почему лучше работать справа налево. И заметь хорошо, что при сложении и вычитании вполне можно начинать с левой стороны и двигаться к правой, но полезнее выполнять это так, как обучено. Как проверить вычитание, И если ты хочешь проверить, хорошо ли ты справился, числа, которые ты вычел, прибавь снова к верхним числам, и они совпадут с теми первыми, которые у тебя были, если ты потрудился на славу; и сложение. и точно так же при сложении, когда ты прибавил все свои фигуры, вычти те, которые ты прибавил Фолио 50 b. *сначала, и получится то же самое. Вычитание есть не что иное, как проверка сложения, и наоборот точно так же.
Глава IV. Медиация [Хавлирование].
Определение медиации. Медиация есть нахождение половины каждого числа, чтобы было видно, какова и насколько велика каждая половина. Для нахождения половины необходим один ряд фигур и одно число, а именно число, которое нужно уменьшить вдвое. Поэтому, если ты хочешь уменьшить любое число вдвое, запиши это число по его разрядам и С чего начать. начни справа, то есть с первой фигуры с правой стороны, так чтобы она была значащей или представляла единицу либо любое другое цифровое число. Если это единица, напиши на ее месте ноль для Если первая фигура есть единица. последующих фигур [чтобы они не означали меньше], и запиши эту единицу вне таблицы, или разложи ее на 60 минут и отложи в сторону половину этих минут таким образом, а остаток сохрани вне таблицы, а именно так: .30; или запиши вне таблицы вот так: dī; которое не сохраняет порядок места. Тем не менее оно имеет значение. И если другая фигура обозначает любое другое цифровое число от единицы и далее, число является нечетным или четным.
Halfede 2 2
to be halfede 4 4
halfede 2 3 [di]
To be halfede 4 7
Что делать, если это не единица. Если оно четное, запиши эту половину следующим образом: —
И если оно нечетное, возьми следующее четное число, содержащееся под ним, и помести его половину на место этого нечетного, а с единицей, которая остается для уменьшения вдвое, сделай следующее: —
Затем раздели вторую фигуру пополам. После этого нужно уменьшить вдвое вторую [фигуру]: если это ноль, отложи его в сторону, а если она значащая, то она либо четная, либо нечетная: если она четная, запиши на месте стертых чисел половину; если она нечетная, возьми следующее четное число, содержащееся под ней, и на месте нечетного числа поставь половину четного: единица, которая остается для уменьшения вдвое, с учетом предыдущих, стоит 10.
Halfede
to be halfede
Если число нечетное, прибавьте 5 к предыдущей фигуре. Раздели эти 10 на 2, получится 5, и отложи одно в сторону, а другое прибавь к следующей предшествующей фигуре, как здесь: —
И если сложение должно производиться с нулем, отложи его в сторону и напиши на его месте 5.
doublede 2 6 8 9 0 10 17 4
to be doublede 1 3 4 4 5 5 8 7
И в таком виде следует записывать и работать, пока все число целиком не будет разделено пополам.
Глава V. Дупликация [Удвоение].
Определение дупликации. Дупликация есть сложение числа [самого с собой], чтобы можно было увидеть увеличившееся число. При удвоении всегда необходим только один ряд фигур. И нужно начинать с левой стороны, то есть с большей фигуры, и в соответствии с тем, что представляет большая фигура. Фолио 51. *В трех предыдущих мы всегда начинаем с правой стороны и с меньшего числа, С чего начать. в этом виде и во всех последующих мы будем начинать с левой стороны, ибо если бы мы начали удвоение с первого [справа], порой можно было бы удвоить одну вещь дважды. Зачем. И хотя можно было бы удваивать справа, это было бы труднее в обучении и в работе. Поэтому, если ты хочешь удвоить какое-либо число, запиши это число по его разрядам и удвой последнее. И от этого удвоения получается число цифровое, десяток или составное. [Если это цифра, запиши ее на месте первой цифры.]
double 10
to be doublede 5
Что делать с результатом. Если это десяток, напиши на его месте ноль и перенеси десяток влево, а именно так: —
И если число составное,
doublede 16
to be doublede 8
напиши цифру, которая является частью его состава, и помести десяток с левой стороны, а именно так: —
По завершении этого нужно удвоить предпоследнее, и с тем, что из этого получится, нужно поступить так же, как прежде. А если есть ноль, не трогай его. Но если к нулю должно быть прибавлено какое-либо число,
doublede 6 0 6
to be doublede 3 0 3
на месте стертой фигуры нужно записать добавляемое число, а именно так: —
Таким же образом следует поступать со всеми остальными. Как проверить свой ответ. И вот эта проверка:
Doublede 6 1 8
to be doublede 3 0 9
Если ты верно удвоишь половины и верно разделишь пополам удвоенное, сойдутся те же число и фигура, над которыми ты работал сначала, и наоборот.
Глава VI. Умножение.
Определение умножения. Умножение числа самого на себя или на другое при наличии двух предложенных чисел [есть] нахождение третьего, которое содержит то другое столько раз, сколько единиц в первом. В умножении принципиально необходимы 2 числа, а именно: умножающее число и умножаемое число, как здесь — дважды пять. Множитель. [Умножающее число] обозначается наречно. Множимое. Умножаемое число получает именное наименование, как «дважды 5»: 5 — это умножаемое число, а «дважды» — умножающее.
Resultans 9 1 0 1 3 2 6 6 8 0 0 8
Multiplicandus . . 5 . . 4 . 3 4 0 0 4
Multiplicans . 2 2 . 3 3 2 2 2 . . .
Произведение. Также в связи с этим можно определить третье число, Фолио 51 b. *которое называется произведением [product] или результатом [provenient], получаемым от взятия одного из другого: как дважды 5 будет 10, где 5 — умножаемое число, а 2 — множитель, и 10, как было сказано ранее, получается из них. И пойми хорошо, что из множителя можно сделать умножаемое число и наоборот, причем общая сумма всегда остается прежней, и отсюда происходит общее выражение, которое гласит, что любое число обращается при умножении на самого себя. Случаи умножения.
There are 6 rules of Multiplication.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 4 6 8 10 1010 14 16 18 20
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 12 18 24 30 36 42 48 56 60
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
И имеется 6 правил умножения; (1) Цифра на цифру. во-первых, если цифра умножает цифру, рассмотри, сколько единиц между умножающей цифрой и ее десятком вместе взятыми, и столько же раз вычти умножающую цифру под десятком ее наименования. Пример ради. Если ты хочешь узнать, сколько будет 4 раза по 8, 11 посмотри, сколько единиц между 8 12 и 10, сосчитанными вместе, и оказывается, что их 2: вычти поэтому четверку из десятка ее наименования дважды, то есть из 40, и останется 32, что составляет сумму всего умножения. Смотри таблицу выше. В подтверждение и разъяснение сего составлена упомянутая таблица. (2) Цифра на десяток. Когда цифра умножает десяток, ты должен умножить цифру на цифру, от которой десяток [имеет] 13 свое название, и каждая единица будет стоить 10, а каждый десяток — 100. (3) Составное число на цифру. Когда цифра умножает составное число, ты должен умножить цифру на каждую часть составного числа так, чтобы цифра умножалась на цифру по первому правилу, на десяток — по второму правилу, а затем соединить произведения, и там получится общая сумма.
Resultans 1 2 6 7 3 6 1 2 0 1 2 0 8
Multiplicandus 2 3 2 6 4
Multiplicans 6 3 2 3 2 0 3 0 2
(4) Десяток на десяток. Когда десяток умножает десяток, цифру, по которой он назван, Фолио 52. *нужно умножить на цифру, по которой назван другой, и каждая единица будет стоить 100, а каждый десяток — 1000. (5) Десяток на составное число. Когда десяток умножает составное число, ты должен умножить цифру десятка на каждую часть составного числа; и соединить произведение, и каждый десяток будет стоить 100, а каждая единица — 10, и тогда сумма будет ясна. (6) Составное число на составное число. Когда составное число умножает составное число, каждая часть умножающего числа должна быть умножена на каждую часть умножаемого числа, и таким образом цифра должна быть умножена дважды: один раз на цифру, другой раз на десяток. Десяток также дважды: один раз на цифру, другой раз на десяток. Поэтому, если ты хочешь умножить какое-либо число само на себя или на любое другое, запиши умножаемое число в верхнем ряду по его разрядам, Как записывать числа. а умножающее число — в нижнем ряду по его разрядам, так чтобы первый разряд нижнего ряда находился под последним разрядом верхнего ряда. После этого последнее [разряда] умножающего числа нужно умножить на последнее умножаемого числа. От чего затем получится цифра, десяток или составное число. Если результатом является цифра,
The resultant 6
To be multipliede 3
Þe nombre multipliyng 2
Если это цифра, то прямо над умножающей фигурой пишите ее цифру, которая получается, как здесь показано:—
десяток. И если десяток был написан над умножающей фигурой, поставьте там цифру ноль и переместите десяток влево, вот так:—
The resultant 1 0
to be multipliede
5
þe nombre multipliyng
2
или составное число. И если составное число написано над умножающей фигурой, запишите цифру на месте составного числа, а десяток поместите слева, вот так:—