«Древнейшая арифметика на английском языке»

o°o o o o°o

Однако в первой сумме все еще остается 9, подлежащее вычитанию из второй суммы, где в этом разряде единиц отображается только 7; тогда я должен уменьшить большую сумму, то есть 10, но поскольку 10 больше 9 (которое я должен вычесть) на 1, я заберу один счетный маркер со второй линии и положу его на первую или самую нижнюю линию, как вы видите здесь.

|| o o o o

o°o o o

o°o o

o°o o

И так я завершил эту работу, и сумма оказывается той же самой, которая была второй суммой моего сложения, и поэтому я понимаю, что поступил правильно.

М. Задерживаться на этом дольше — просто глупость: за тем исключением, что вы также можете усвоить следующее: многие начинают вычитание с помощью счетных маркеров не с высшей суммы, как я вас учил, а с самой нижней, как они привыкли делать при сложении; и когда сумма, подлежащая вычитанию на какой-либо линии, оказывается больше другой, тогда они занимают единицу из ближайшего высшего помещения; например: если бы они должны были вычесть 1846 из 2378, они бы расположили суммы следующим образом.

|| o o o

o°o o o o o

o o o o o°o

o° o°o o

И сначала они вычитают 6, находящееся на нижней линии, и его промежуток из 8 в тех же помещениях во второй сумме, и все же на нижней линии остается 2 счетных маркера. Затем на второй линии 4 должно быть вычтено из 7, и таким образом там остается 3. Затем 8 на третьей линии и ее промежутке не может быть вычтено из 3 второй суммы, поэтому они вычитают это из более высокого помещения, то есть из 1000, и поскольку 1000 больше на 200, я должен положить 200 на третью линию после того, как забрал 1000 с четвертой линии: тогда на четвертой линии первой суммы все еще остается 1000, и если я отниму ее от второй суммы, то все цифры встанут в этом порядке.

||

°

o o o

o o

Так что (как вы видите) не имеет большого значения, начинаете ли вы вычитание с верхних линий или с нижних. Тем не менее, поскольку одним людям больше нравится один способ, а другим — другой, вы, зная теперь оба, можете использовать тот, который вам больше по душе.

Умножение с помощью счетных маркеров.

Умножение. Но теперь, что касается умножения: вы должны расположить свои числа в двух помещениях, как вы делали в тех двух других видах, но так, чтобы множитель располагался в первом помещении. Затем вы должны начать с наибольших чисел второго помещения и умножить их в первую очередь следующим образом. Возьмите самую верхнюю линию в вашей первой работе, как если бы она была самой нижней линией, установив на ней какую-либо подвижную отметку по вашему усмотрению, и посмотрите, сколько счетных маркеров находится на ней; возьмите их и вместо них выложите весь множитель столько раз, сколько вы взяли счетных маркеров, считая, повторяю, эту линию за единицы; и когда вы проделаете это с наибольшим числом, переходите к следующей линии ниже и сделайте то же самое с ней, и так со следующей, пока не закончите все. И если какое-либо число находится в промежутке, то вместо него вы должны взять множитель 5 раз, и тогда вы должны считать за единицы ту линию, которая находится непосредственно под этим промежутком; либо же, по более короткому пути, вы должны взять лишь половину множителя, но тогда в качестве линии единиц вы должны взять линию, находящуюся непосредственно над этим промежутком; но при такой работе, если случится так, что ваш множитель окажется нечетным числом, так что вы не сможете взять его половину точно, вы должны взять бо́льшую половину и отложить ее так, будто она является точной половиной, кроме того, вы должны положить один счетный маркер в промежуток под той линией, которую вы считаете за линию единиц, либо просто передвинуть вперед то число, которое подлежит умножению.

У. Если вы приведете к этому пример, то, думаю, я вас пойму.

М. Возьмите этот пример: я хотел бы умножить 1542 на 365, поэтому я записываю числа следующим образом.

|| o

o o o °

o° o o o o

° o o

Затем я сначала начинаю с тысяч в высшем помещении, как если бы это был первый разряд, и забираю их, выкладывая вместо них столько раз (то есть один) множитель, который равен 365, следующим образом, как вы видите здесь:

o o o

o°

X °

o o o °

o° o o o o

° o o

где вместо одного счетного маркера, взятого с четвертой линии, я выложил другие 6, которые составляют сумму множителя, считая эту четвертую линию так, как если бы она была первой: что я обозначил рукой, поставленной в начале оной,

У. Я хорошо это понимаю: ибо поистине эта сумма, которую вы выложили, равна 365000, ибо ровно столько получается от умножения 1000 на 365.

М. Что ж, продолжая далее, в следующем промежутке я нахожу один счетный маркер, который я продвигаю вперед, но не забираю, а делаю (как в таком случае и должен) следующее: выкладываю бо́льшую половину моего множителя (поскольку он является нечетным числом), которая равна 182, и здесь я продолжаю оставлять это четвертое место так, как если бы оно было первым:

o o o o

o° o°o o

|| ° o°o

o o o °

o° o o o o

° o o

как вы видите в этой форме, где я поместил это умножение вместе с другим: но для удобства вашего понимания я провел между ними маленькую линию; теперь они оба в виде одной суммы должны выглядеть следующим образом.

o o o o o

o o o o

|| o°o

o o o °

o° o o o o

° o o

Однако другая форма умножения таких счетных маркеров в промежутке такова: сначала перенести палец на линию, находящуюся непосредственно под промежутком, а затем взять счетный маркер и выложить множитель 5 раз, как вы видите здесь.

o o o

o° o o o o o o o o o o o o o o o

° o° ° o° o° o°

X o o o ° ° ° ° °

o° o o o o

° o o

И если вы сложите эти суммы в одну сумму, то заметите, что она окажется той же самой, которая получается от другой работы прежде, так что оба способа ведут к одной цели; но поскольку первый способ гораздо короче, этот является более понятным для рассуждения для тех, кто имеет небольшой опыт в этом искусстве. Тем не менее, вы можете складывать их в уме перед тем, как выкладывать, как в этом примере: вы могли бы сказать, что 5 раз по 300 будет 1500, и 5 раз по 60 будет 300, а также 5 раз по 5 будет 25, что в сложении вместе составляет 1825, каковую сумму при желании вы можете выложить за один раз. Но теперь, продолжая далее, я должен перенести руку к следующим счетным маркерам, которые находятся на второй линии, и там я должен взять те 4 счетных маркера, выкладывая для них мой множитель 4 раза, каковую вещь я могу сделать либо в 4 приема раздельно, либо я могу сначала собрать всю эту сумму в уме, а затем выложить ее: например, сказать, что 4 раза по 300 будет 1200; 4 раза по 60 будет 240; и 4 раза по 5 составляют 20: то есть в целом 1460, и это я также выложу, как вы видите здесь.

°

o o o o o

X o°o o o o o

o o o ° o°

o°

° o o

которую, если я объединю в одну сумму с предыдущими числами, окажется следующей.

°

o°

o o

o o o o

o°

° o o

Затем, чтобы завершить это умножение, я переношу палец на самую нижнюю линию, где имеется только 2, забираю их, а вместо них выкладываю дважды по 365, то есть 730, для чего помещаю один в промежуток над третьей линией для 500, и еще 2 на третью линию вместе с тем одним, который там уже есть, а остальные — в надлежащем порядке, и таким образом я завершил всю сумму следующим образом.

°

o°

o o

o o o o°o o

o° o o o

°

Благодаря чему вы видите, что 1542 (что является числом лет со времени воплощения Христова), будучи умноженным на 365 (что является числом дней в одном году), составляет 562830, что выражает число дней от воплощения Христова до конца 1542 года (помимо 385 дней и 12 часов за високосные годы).

У. Теперь я докажу это на другом примере, таком: 40 работников (при плате в 6 пенсов в день за каждого человека) проработали 28 дней; я хотел бы знать, чему равна их заработная плата: в этом случае я должен действовать в два приема: сначала я должен умножить число работников на плату одному человеку за один день, таким образом получится расход за один день; затем во вторую очередь я должен умножить этот расход за один день на общее число дней, и таким образом появится общая сумма; поэтому сначала я расположу суммы следующим образом.

o o o o

o°

Где в первом помещении находится множитель (то есть дневной заработок одного человека), а во втором помещении записано число работников, подлежащих умножению; затем я говорю: 6 раз по 4 (считая эту вторую линию как линию единиц) составляет 24, для каковой суммы я должен был бы поставить 2 счетных маркера на третью линию и 4 на вторую, поэтому я ставлю 2 на третью линию, а 4 оставляю стоять на второй линии вот так.

o o

o o o o

Таким образом общая плата за день оказывается равной 240 пенсам, то есть 20 шиллингам. Затем я снова умножаю ту же сумму на число дней и сначала записываю числа следующим образом.

o o

o o o o o o

o°o o

Затем, поскольку счетные маркеры находятся на разных линиях, я начинаю с высших и забираю их, выкладывая вместо них множитель столько раз, сколько я взял счетных маркеров, то есть дважды; тогда сумма будет выглядеть следующим образом.

°

o°

o o o o

Затем я перехожу ко второй линии и забираю те 4 счетных маркера, выкладывая для них множитель четыре раза, и тогда общая сумма предстанет в следующем виде.

o°

o°o

o o

Таким образом, общая заработная плата 40 работников за 28 дней (при плате в 6 пенсов в день за человека) составляет 6720 пенсов, то есть 560 шиллингов, или 28 фунтов стерлингов.

Деление на счетной доске.

Деление. М. Теперь, если вы хотите проверить умножение, самый надежный способ — это деление; поэтому я отложу его, пока не обучу вас искусству деления, которое вы будете выполнять следующим образом. Сначала запишите делитель во избежание забвения, а затем поместите число, которое должно быть разделено, с правой стороны — на таком расстоянии от делителя, чтобы между ними можно было поместить частное: например, если 225 овец стоили 45 фунтов стерлингов, во сколько обошлась каждая овца? Чтобы узнать это, я должен разделить общую сумму, то есть 45 фунтов, на 225, но сделать это напрямую нельзя, поэтому я должен сначала перевести эти 45 фунтов в меньшую денежную единицу, а именно в шиллинги: затем я умножаю 45 на 20, получается 900; эту сумму я должен разделить на число овец, которое составляет 225; поэтому эти два числа я располагаю следующим образом.

o o o°o o o

o o

°

Затем я начинаю с наивысшей линии делимого и смотрю, сколько раз я могу поместить в нем делитель, и это я могу сделать 4 раза; затем я говорю: 4 раза по 2 будет 8, которые, если я вычту из 9, оставляют лишь 1, вот так

o o o

o o

° o o o o

И поскольку я нашел делитель 4 раза в делимом, я поместил (как вы видите) 4 в среднее помещение, которое является местом частного: но теперь я должен вычесть остальные части делителя столько же раз из остатка; поэтому я подхожу ко второй линии делителя, говоря: 2 четыре раза составляют 8, вычитаем 8 из 10, и остается 2, вот так.

||

o o

o o o o

° o o o o

Затем я перехожу к наименьшему числу, которое равно 5, и умножаю его 4 раза, получается 20; я вычитаю его из 20, и ничего не остается, так что я вижу, что мое частное равно 4, и по значению это шиллинги, ибо таковым было делимое; и тем самым я знаю, что если 225 овец стоили 45 фунтов, каждая овца стоила 4 шиллинга.

У. Я могу это сделать, в чем вы убедитесь на этом примере: если 160 солдат тратят каждый месяц 68 фунтов стерлингов, сколько тратит каждый человек? Сначала, поскольку я не могу разделить 68 на 160, я путем умножения преобразую фунты в пенсы, и тогда получится 16320 пенсов. Теперь я должен разделить эту сумму на число солдат, поэтому я располагаю их в должном порядке следующим образом.

o

|| o°

o o o o

o° o o

Затем я начинаю с высшего разряда делимого, отыскивая там мой делитель, который я нахожу 1 раз. Поэтому я ставлю 1 на нижней линии.

М. Не на нижней линии всей суммы, а на нижней линии этой операции, которая является третьей линией.

У. Это звучит разумно.

М. Тогда они располагаются следующим образом.

||

o o o o o

o° o o

Затем я снова ищу в остатке, сколько раз я могу обнаружить свой делитель, и вижу, что в 300 я могу найти 100 три раза, но тогда 60 не сможет столь же часто обнаружиться в 20, поэтому я беру 2 для моего частного; затем я беру 100 дважды из 300, и остается 100, из которого вместе с 20 (что составляет 120) я могу также дважды взять 60, и тогда числа располагаются следующим образом,

||

o o

o°

o o

где я поместил частное 2 на самую нижнюю линию: таким образом, доля каждого солдата составляет 102 пенса, то есть 8 шиллингов 6 пенсов.

М. Но все же, чтобы вы точно уяснили смысл деления, будет хорошо, если вы продолжите ставить свой делитель напротив тех чисел, из которых вы его вычитаете; что я и объясню на следующем примере. Если покупка 200 акров земли обошлась в 290 фунтов стерлингов, во сколько обошелся один акр? Сначала я переведу фунты в пенсы, и тогда получится 69600 пенсов. Затем при записи этих чисел я поступлю следующим образом.

o o o°

X o°o o o

o °

Сначала поместите делимое с правой стороны, как положено, а затем делитель с левой стороны напротив тех чисел, из которых я намерен вычесть его в первую очередь, как вы видите здесь, где я поместил делитель на две линии выше их собственного места.

У. Это похоже на порядок деления с помощью пера.

М. Вы говорите правду, и теперь я должен поместить частное этой операции на третью линию, ибо в данной работе это линия единиц по отношению к делителю. Затем я ищу, сколько раз делитель содержится в делимом, и нахожу это 3 раза, после чего я ставлю 3 на третью линию для частного и убираю те 60000 из делимого, а кроме того, опускаю делитель на одну линию ниже, как вы видите здесь.

|| o o o°o o o

o o o °o

И тогда я ищу, сколько раз делитель может быть вычтен из противостоящего ему числа, что составит 4 раза при остатке 1.

У. Но что если случится так, что при таком перемещении делитель не сможет быть вычтен из противостоящего ему делимого ни разу?

М. Тогда делитель должен быть помещен на другую линию ниже.

У. Так было и при делении с помощью пера, и поэтому в частном ставился нуль: но как это отметить здесь?

М. Здесь не нужен никакой знак, ибо линии представляют собой разряды: просто следите за тем, чтобы поместить ваше частное в том разряде, который обозначает единицы по отношению к делителю; но теперь, возвращаясь к примеру, я нахожу делитель 4 раза в делимом, и остается 1, ибо 4 раза по 2 составляют 8, которые я вычитаю из 9, и остается 1, как показывает эта цифра:

|| o o o

o o o o°

o o o o

а в среднем промежутке для частного я ставлю 4 на вторую линию, которая в этой работе является местом единиц. Затем я переношу делитель на следующую более низкую линию и ищу, сколько раз я могу иметь его в делимом, что я могу сделать здесь ровно 8 раз без какого-либо остатка, как в этой форме,

||

o o o o o

o o o o

o°o o

где вы можете видеть, что все частное составляет 348 пенсов, то есть 29 шиллингов, благодаря чему я знаю, во сколько обошлась покупка одного акра.

У. Теперь остались проверки умножения, а также деления.

М. Лучшая проверка для них — друг другом, ибо умножение проверяется делением, а деление — умножением, как вы усвоили при работе с пером.

У. Если это все, вам не нужно повторять то, что уже было достаточно хорошо усвоено; и если вы не собираетесь обучать меня какому-то другому фокусу, полагаю, на этом вы можете завершить изучение этого искусства.

М. Так я и сделаю в отношении целых чисел, а что до дробей, я не стану утруждать ваш разум ими до тех пор, пока вы не отработаете это настолько хорошо, что станете совершенно искусны, так что у вас не останется сомнений ни в одном пункте из того, чему я вас научил, и тогда я смогу смело наставить вас в искусстве дробей, в котором я также покажу вам основания всего того, чему вы сейчас научились. Но прежде чем я закончу, я покажу вам порядок обычного счета на маркерах, в котором используются пенсы, шиллинги и фунты, проистекающие не из какого-то обоснованного принципа, а лишь из принятой формы, причем у разных людей по-разному: ибо купцы используют одну форму, а аудиторы — другую:

Счетные маркеры купцов.

Купеческий счет. Но сначала для купеческой формы обратите внимание на этот пример,

o o o o o

o

o o o o

o

o o o o o

o

o o o o o

в котором я выразил сумму в 198 фунтов стерлингов 19 шиллингов 11 пенсов. Так что вы можете видеть, что самая нижняя линия служит для пенсов, следующая над ней — для шиллингов, третья — для фунтов, а четвертая — для десятков фунтов. И кроме того, вы можете видеть, что промежуток между пенсами и шиллингами может вмещать только один маркер (как и все остальные промежутки подобным образом), и этот один маркер в данном месте означает 6 пенсов. Подобным же образом между шиллингами и фунтами один маркер означает 10 шиллингов. А между фунтами и 20 фунтами один маркер означает 10 фунтов. Но помимо этого вы можете видеть с левой стороны от шиллингов, что один маркер стоит отдельно и обозначает 5 шиллингов. Точно так же напротив фунтов один маркер означает 5 фунтов. А напротив 20 фунтов один маркер означает пять десятков фунтов, то есть 100 фунтов, так что каждый боковой маркер равен по стоимости 5 таким маркерам, против которых он стоит. Счет аудиторов. Теперь для отчета аудиторов возьмите этот пример.

o o o o o o

o o o o o o o o o o o o

o

o o o

в котором я выразил ту же сумму в 198 фунтов стерлингов 19 шиллингов 11 пенсов. Но здесь вы видите, что пенсы располагаются в направлении правой руки, а остальные величины возрастают по порядку в сторону левой руки. Опять же, вы можете видеть, что аудиторы делают 2 линии (да и больше) для пенсов, шиллингов и всех прочих величин, если их суммы до этого доходят. Также вы видите, что они ставят один маркер на правом конце каждого ряда, который, будучи так там установлен, означает 5 единиц этого разряда; а в левом углу ряда он означает 10 единиц того же ряда. Но теперь, если вы захотите сложить или вычесть по любому из этих двух способов, если вы обратите внимание на порядок другого приема, которому я вас научил, вы легко сможете сделать то же самое здесь без долгих поучений: ибо при сложении вы должны сначала выложить одну сумму, а к ней аккуратно добавить другую, и точно так же, если у вас много сумм; но при вычитании вы должны сначала выложить наибольшую сумму и из нее убавить другую, каждый разряд с его надлежащего места.

У. Я не сомневаюсь, что с небольшой практикой я овладею обоими этими способами: но как мне умножать и делить по этим формам?

М. Вы не можете должным образом выполнить ни то, ни другое с помощью этих способов, поэтому в таком случае вы должны обратиться к другим вашим приемам.

У. Сир, однако с помощью этих способов я не вижу, как выразить сотни, если они превышают одну сотню, равно как и тысячи.

М. Те, кто пользуется такими расчетами, если сумма превышает 200 в одном числе, не ставят 5 с левой стороны от десятков фунтов, но помещают все сотни в другом, более удаленном ряду, а 500 — с левой стороны от него, а тысячи они помещают в еще более удаленном ряду, и с левой стороны от него они ставят 5000, а в промежутке над ним они помещают 10000, и в более высоком ряду — 20000, все из коих я выразил в этом примере,

o o o o

o

o o o

o o o o

o o o

o o o o o

o

o o

o

o o o

o o

o

что составляет 97869 фунтов 12 шиллингов 9 пенсов и 1 обол 1 фартинг, ибо я не сказал вам ранее, где и как следует записывать фартинги, которые (как вы здесь видите) должны помещаться в пустом пространстве сбоку под перьями: ибо для одного фартинга — один жетон; для обола — 2 жетона; для обола и фартинга — 3 жетона; и больше их быть не может, поскольку 4 фартинга составляют 1 пенс, который должен быть помещен на свое надлежащее место.

Счетные жетона аудиторов.

А если вы желаете получить ту же сумму на манер аудиторов, то вот она.

o o o

o o o

o o o o o o o o o o o o o o o o o o o

o oo o

o

Но в этом деле вам будет достаточно и сего, а остального вы будете придерживаться, как можете видеть по работе с каждым разрядом: ибо разнообразные умы людей изобрели почти бесчисленное множество различных путей. Однако я обучу вас одному искусству, которое не только весьма приятно своей необычностью и сокровенностью, но также поистине заслуживает пристального внимания благодаря своей великой пользе. Это искусство использовалось по меньшей мере более двух тысяч лет, и все же оно никогда не было общеизвестным, а особенно на английском языке ему еще никогда не учили. Это есть искусство счета на руке при помощи различных жестов пальцев, выражающих любую сумму, задуманную в уме. И сперва начнем с того, что если вы хотите выразить любую сумму менее 100, то должны выразить ее на левой руке; а от 100 до 10000 вы должны выразить ее на правой руке, как здесь по порядку вы можете заметить из следующей таблицы.

¶ Далее следует таблица искусства руки

В которой, как вы можете видеть, 1 выражается мизинцем левой руки, плотно и сильно согнутым.

2 обозначается аналогичным сгибанием безымянного пальца (который является следующим за мизинцем) вместе с мизинцем.

3 обозначается средним пальцем, согнутым подобным образом вместе с теми двумя.

4 обозначается сгибанием среднего и кольцевого (или безымянного) пальцев, при этом все остальные вытянуты.

5 представляется одним лишь согнутым средним пальцем.

А 6 — только согнутым безымянным пальцем: и в этом вы можете заметить определенный порядок. Но теперь 7, 8 и 9 выражаются с помощью сгибания тех же пальцев, что и 1, 2 и 3, но по иной форме.

Ибо 7 обозначается сгибанием мизинца, как и 1, за исключением того, что для 1 палец сцеплен внутрь, крепко и округло, а чтобы выразить 7, вы должны согнуть только средний сустав мизинца, а остальные суставы держать прямо.

У. Если вы позволите мне выразить это на мой грубый манер, то я понимаю ваше значение так: что 1 выражается сгибанием мизинца наподобие верхушки епископского посоха; а 7 обозначается тем же пальцем, согнутым наподобие виселицы.

М. Итак, я вижу, вы понимаете это.

Затем, чтобы выразить 8, вы должны точно так же согнуть как мизинец, так и безымянный палец.

А если вы согнете вместе с ними и средний палец, то это будет означать 9.

Теперь для выражения 10 вы должны кругло согнуть указательный палец и приставить его конец к высшему суставу большого пальца.

А чтобы выразить 20, вы должны держать пальцы прямо, а кончик большого пальца — у перегородки указательного и среднего пальцев.

30 представляется соединением вместе кончиков указательного и большого пальцев.

40 обозначается наложением большого пальца крест-накрест на указательный палец.

50 обозначается прямым совместным вытягиванием пальцев и приложением кончика большого пальца к перегородке среднего и кольцевого (или безымянного) пальцев.

60 образуется сгибанием большого пальца дугой и пересечением его с указательным пальцем.

70 выражается сгибанием указательного пальца и помещением кончика большого пальца между двумя его первыми или высшими суставами.

80 выражается наложением указательного пальца крест-накрест на большой палец, так что 80 отличается от 40 тем, что для 80 указательный палец кладется крест-накрест на большой палец, а для 40 большой палец кладется крест-накрест поверх указательного пальца.

90 обозначается сгибанием указательного пальца и помещением его кончика во внутренний сустав большого пальца, то есть прямо у его основания. И на этом заканчиваются все числа менее 100.

У. Поистине это все числа от 1 до 10, а затем все десятки в пределах 100: 11, 12, 13, 21, 22, 23, но это не научило меня тому, как выражать 11, 12, 13 и т. д., 21, 22, 23 и т. д. и тому подобное.

М. Вы мало что понимаете, раз не можете сделать этого без обучения: что такое 11? Разве это не 10 и 1? Тогда выразите 10, как вас учили, и также 1, и это будет 11; а для 12 выразите 10 и 2; для 23 установите 20 и 3; и точно так же для 68 вы должны составить 60 и к ним 8; и так во всех прочих случаях.

Но теперь, если вы захотите представить 100 или любое число выше него, вы должны сделать это правой рукой следующим образом.

Вы должны выразить 100 на правой руке мизинцем, согнутым так же, как вы выражали 1 на левой руке.

И как вы выражали 2 на левой руке, тот же способ на правой руке обозначает 200.

Форма 3 на правой руке означает 300.

Форма 4 — 400.

Подобным же образом форма 5 означает 500.

Форма 6 — 600. И короче говоря: посмотрите, как вы выражали отдельные единицы и десятки на левой руке, точно так же вы должны выражать единицы и десятки сотен на правой руке.

У. Я понимаю вас так: что если я захочу представить 900, я должен сложить пальцы моей правой руки так же, как я сделал бы на левой руке для выражения 9, и как на левой руке я выражал 10, так на правой руке я должен выразить 1000.

И так форма каждого десятка на левой руке служит для выражения такого же числа тысяч, поэтому форма 40 обозначает 4000.

Форма 80 — 8000.

9000 137 a. А форма 90 (которая является наибольшей) — 9000, а выше этого я не могу выразить никакое число. М. Нет, не одним пальцем: однако несколькими пальцами вы можете выразить 9999, и все разом, и для этого не хватает лишь 1 до 10000. Так что в пределах 10000 вы можете выразить пальцами любую сумму. И этого будет достаточно для нумерации на пальцах. А что касается сложения, вычитания, умножения и деления (которые до сих пор никем не преподавались, насколько мне известно), то я обучу вас им после трактата о дробях. А теперь на этот раз прощайте и следите за тем, чтобы не переставать упражняться в том, что вы изучили. У. Сэр, от всего сердца благодарю вас как за ваше доброе учение, так и за ваш добрый совет, которому (с божьей помощью) я надеюсь следовать.

Конец.

1. В оригинале 1342.

2. В оригинале 168.

3. Скобка ([) в оригинале обозначает новый абзац.

В данном электронном тексте скобки были опущены в пользу восстановления разделения на абзацы. Числа от 200 и выше были напечатаны как отдельные абзацы и оставлены без изменений. Боковая сноска 4 отсутствовала и была восстановлена ​​переводчиком; пары 5, 6 и 9, 10 (изначально находившиеся на одной строке) были разделены.

ПРИЛОЖЕНИЕ I.

[Из рукописи XIV века.]

Для всех таких четных чисел большинство имеет цифры нули, как для десяти, двадцати, тридцати, ста, тысячи и тому подобного; но вы должны понимать, что цифра ноль не обозначает ничего, но она делает более значимой другую цифру, которая идет после нее. Также вы должны понимать, что в составных числах и во всех других числах, состоящих из различных знаков, вы должны начинать с правой стороны и производить расчет назад, и так он будет записан — например, 1000: цифра ноль на правой стороне была записана первой, и все же она ничего не обозначает ни для второй, ни для третьей, но они делают ту цифру 1 более значимой, которая идет после них, поскольку она смещена со своего первого места, где, если бы она стояла там, она обозначала бы только единицу. И там, где она стоит теперь, на четвертом месте, она обозначает тысячу согласно этому правилу. На первом месте она обозначает лишь саму себя. На втором месте она обозначает себя в десять раз. На третьем месте она обозначает себя в сто раз. На четвертом месте она обозначает себя в тысячу раз. На пятом месте она обозначает себя в десять тысяч раз. На шестом месте она обозначает себя в сто тысяч раз. На седьмом месте она обозначает себя в миллион раз и т. д. И вы должны понимать, что это слово «число» делится на три части. Одно называется числом однозначных чисел, ибо все они являются однозначными числами, которые находятся в пределах десяти, а именно ix, viii, vii, vi, v, iv, iii, ii, i. Десятки — это все те, которые могут быть разделены на числа по десять, как xx, xxx, xl и тому подобное. Составные числа — это все числа, которые состоят из однозначного числа и десятка, такие как четырнадцать, пятнадцать, тринадцать и тому подобное. Четырнадцать состоит из четырех, которое является однозначным числом, и из десяти, которое является десятком. Пятнадцать состоит из пяти, которое является однозначным числом, и из десяти, которое является десятком, и так же обстоит дело с остальными....... Но что касается этого правила: на первом месте он обозначает лишь самого себя, то есть сказать, он обозначает только это и не более. Если он стоит на втором месте, он обозначает себя в десять раз, как эта цифра 2 здесь: 21, это двадцать один. Эта цифра 2 стоит на втором месте, и поэтому она обозначает себя в десять раз, а десять раз по 2 — это двадцать, и так далее для каждой цифры: если она стоит после другой по направлению к наименьшей стороне, она будет обозначать в десять раз больше того, что она обозначала бы, если бы она стояла на том месте, где стоит предшествующая ей цифра; вот пример: 9634. Эта цифра четыре, которая имеет такую форму 4, обозначает лишь сама себя, ибо она стоит на первом месте. Цифра три, которая имеет такую форму 3, обозначает себя в десять раз, ибо она стоит на втором месте, и это тридцать. Цифра шесть, которая имеет такую форму 6, обозначает в десять раз больше, чем она обозначала бы, если бы она стояла на месте, где стоит цифра три, ибо там она обозначала бы только шестьдесят. А теперь она обозначает в десять раз больше, то есть шестьсот. Цифра девять, которая имеет такую форму 9, обозначает в десять раз больше, чем она обозначала бы, если бы она стояла на месте, где стоит цифра 6, ибо тогда она обозначала бы только девятьсот. А на том месте, где она стоит теперь, она обозначает девять тысяч. Все целое число этих четырех цифр: девять тысяч шестьсот тридцать четыре.

ПРИЛОЖЕНИЕ II.

[From a B.M. MS., 8 C. iv., with additions from 12 E. 1 & Eg. 2622.]

Настоящее искусство зовется алгоризмом1; в нем

Мы пользуемся следующими пятью индийскими2 цифрами.

0. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1.

Первая означает единицу, вторая же — двойку,

4 Третья означает три; так двигайся влево,

Пока не дойдешь до крайней, что зовется цифрой ноль,

[Что ничего не значащей служит, но дает значение следующей.]3

Любую из них, ежели поставишь на первом пределе,

8 Просто саму себя означает; если же на втором,

Себя вдесятеро; выше продвигайся умножая.4

[Ибо любая последующая цифра обозначает вдесятеро больше,

12 Чем та, что была бы на этом месте, пропади она:

Ибо последняя будет означать больше предшествующих.]

5После вышесказанного знай, что существует вкратце три

Различных вида чисел; ибо одни суть однозначные числа,

16 Одни — десятки; другие же суть составные числа.

[Однозначные суть те числа, что находятся ниже десятка;

Десятки — десятикратные однозначных; составные суть

Те, которые состоят из десятков и однозначных чисел.]

20 Итак, собираясь записать предложенное тебе число, сперва

Посмотри, каково это число; ибо если это однозначное число,

5[Одной цифры для него достаточно; но если оно составное,]

На первом месте запиши однозначное число, а за ним сделай десяток.

24 Если же это десяток, то цифру ноль помести после десятка,

[Десяток же запиши на месте остающейся цифры.]

В любом числе, если первая цифра четная,

Четным будет и все, что содержится в нем;

28 Если же она окажется нечетной, то и все оно станет для тебя нечетным.

Семь6 есть частей, не более, сего искусства;

Складывать, вычитать, удваивать, делить пополам;

Шестая — делить, а пятая — умножать;

32 Извлечение корня зовется седьмой частью.

Вычитаешь или складываешь справа, либо делишь пополам;

Слева удваивай, дели и умножай;

Корень извлекай всегда под левой частью.

36 Сложение. Если хочешь прибавить число к числу, в таком порядке

Начинай; запиши сперва два ряда чисел,

Помещая цифру первой под первой точно,

И то же сделай с остальными, если их у тебя больше.

40 Затем сложи первые два при следующем условии;

Если от сложения предыдущих получается однозначное число,

На первом месте запиши это однозначное число, каково бы оно ни было;

Если же оно составное, на следующем пределе запиши

44 Десяток, а на первом — однозначное число; ибо так велит порядок.

Если же это десяток, то на первом пределе запиши цифру ноль,

Десяток же впиши в остальные цифры;

Или же записывай его отдельно, если за ним не следует никакая цифра.

48 Если тебе встретится возникающая поверх цифра ноль, то ее,

Замененную, удали; после запиши там цифру:

После чего приступай к сложению остальных цифр.

Вычитание. Если у тебя есть забота вычесть число из числа,

52 Запиши ряды цифр, как при сложении;

Под большим числом подпиши меньшее число,

Или же под равным числом пусть будет подписано равное число.

После этого, если можешь, вычти первую из первой,

56 Записав то, что останется, или цифру ноль, если ничего не останется.

Но если ты не можешь вычесть первую из первой;

Продвигаясь далее, вычти единицу из следующего предела;

И вычтенное сочтешь за десяток от него,

60 Полностью вычти число, которое ты предложил.

По совершении этого запиши сверху все, что останется,

И сделай девятки из нулей, когда будешь иметь остаток,

Если вдруг при вычитании единицы встретятся нули;

64 После чего приступай к вычитанию остальных цифр.

Проверка.7 [Если вычитание выполнено правильно, ты сможешь доказать это,

Сложив первые цифры, которые ты вычел.

Ибо если вычитание верно, ты сохранишь первые,

68 И выполненное вычитание докажет тебе сложение.]

Дупликация. Если хочешь удвоить число, начинай так; одну лишь

Запиши серию цифр, какую пожелаешь, и

Затем приступай к удвоению первой цифры;

72 Записав затем то, что получится сверх того, где велит порядок,

Согласно правилам, которые даются в сложении.

Ибо если это однозначное число, запиши на первом пределе;

Если это десяток, то на первом пределе запиши цифру ноль,

76 Десяток же впиши в остальные цифры;

Или же записывай отдельно, если за ним не следует никакая цифра:

Если же оно составное, на следующем пределе запиши

Сперва десяток, а затем однозначное число; ибо так велит порядок:

80 И то же сделай с остальными, если их у тебя больше.

8[Если над крайней есть знак, он дает ей монаду,

Что случается с тобой, если ты делишь пополам первое.]

Медиация. Начинай так, если хочешь разделить какое-либо число пополам:

84 Запиши только серию цифр, как и прежде;

Затем, продвигаясь вперед, дели пополам, и посмотри,

Четна или нечетна первая цифра; ибо если она четна,

Ты разделишь ее пополам, записав все, что останется;

88 Если же она окажется нечетной, отними единицу, чтобы разделить пополам,

Не смей иначе, но раздели пополам то, что останется;

Затем над чертой сделай то, что обозначает единицу вычтенного;

Если это монада, удари; пусть затем знак цифры будет там сверху.

92 Затем приступай при этом втором условии:9

Если это нечетное число10, вычти здесь единицу из предыдущего,

Вписав пять, ибо десятку будет соответствовать

Вышеупомянутая монада: если же вторая дает единицу,

96 Пусть она, будучи удалена, запишется как цифра ноль; передавая

Предыдущему пять за разделенный пополам десяток;

И пусть цифра ноль не записывается, если за ней не следует цифра:

Затем приступай к делению пополам остальных цифр,

100 Как я научил выше, если у тебя тысячи фигур.

11[Если деление пополам выполнено правильно, ты сможешь доказать это,

Удвоив число, которое ты разделил пополам вначале.]

Умножение. Если ты хочешь умножить число на число,

104 Запиши два ряда чисел, какие пожелаешь;

Однако пусть соблюдается порядок, чтобы последняя умножаемого

Была поставлена над передней умножающего;

12[Слева пусть будут записаны остальные умножающие.]

108 Если ты заботишься о том, чтобы умножить однозначное число на однозначное, посмотри,

На сколько большее число отличается от десятка, ибо ты должен

Удалить меньшее с помощью его десятка столько раз;

И тогда число, получающееся отсюда, станет тебе явным.

112 Затем приступай к умножению самой последней,

Правильно умножая на все нижележащие,

Однако при таком условии: чтобы в начале умножающего

Ты записал все, что от этого произойдет;

116 Но после того, как эта будет умножена, цифры

Ряда умножающего должны быть передвинуты вперед;

И умножай так, как ты умножил ту,

Какая бы цифра ни следовала за записанным числом.

120 Но когда ты умножаешь, действовать сперва нужно так,

Если умножение даст тебе только десяток;

Выставив цифру ноль, не забудь перенести сумму.

Если же вырастут однозначное число и десяток,

124 Десяток с поставленной сверху цифрой выскакивает дальше;

Если же однозначное число, помести его поверх нее самой,

Подчиненный умножающий уничтожает ту, которая падает поверх нее,

Нацело удаляя ее и записывая то, что происходит отсюда;

128 Но если ты умножаешь ту, что поставлена поверх нее самой,

Прибавляя число, которое дает их произведение;

Если цифра должна умножить расположенную поверх нее,

Она напрочь удаляет ее, и на этом месте должна быть записана цифра ноль,

132 12[Если ноль умножает другую, расположенную поверх нее,

И место сверху пусто, над этим нулем появится ноль;]

Если сверху окажется ноль, его всегда следует пропускать;

Если сомневаешься, правильно ли умножена вторая,

136 Раздели общую сумму на умножающий,

И появившееся отсюда число вернет прежнее.

Mental Multiplication. 13[Если хочешь умножить число также на число

Лишь посредством тонких правил без цифр,

140 Эти правила ты сможешь узнать из следующих стихов.

Если ты будешь умножать какое-либо однозначное число на однозначное

Предыдущее правило дает то, как следует действовать.

Если ты хочешь умножить десяток на остальное,

144 Каждый из них должен быть разложен на свое собственное однозначное число.

После того как десятки и однозначные числа перемножатся сами по себе,

Сколько раз перемноженное содержалось бы в однозначных числах,

Столько сотен составляют перемноженные десятки.

148 Если мы умножаем десяток на однозначное число, надлежит

Взять десяток и однозначное число, на которые мы должны

Умножить остальное, что ты умножаешь из них,

Так, чтобы всякое десятикратное от остального не могло скрыться;

152 Если ты заботишься о том, чтобы умножить однозначное число на смешанное число,

Пусть десяток смешанного будет взят затем, и ты разложишь

Его в однозначное число после этого, сделай так же и с однозначными числами, и пусть

Возникающий десяток учит удерживать при себе.

156 Затем умножь умножающее на однозначное число смешанного,

Пусть из однозначных чисел, как учит правило, оно будет соединено со вторым,

Умножь сумму, и после этого сумма станет явной,

Соединенная в чистый десяток и десяток,

160 14[И ты соединишь чистый десяток и десяток.]

Затем пусть для однозначных чисел смешанного образуется также десяток, как

Велико предписание, удерживая то, что получается из них.

Затем умножь десяток однозначного числа на однозначное число смешанного,

164 Как воспринимает правило о десятке и однозначном числе,

Из коих возникающее присоедини к твоей прежней сумме,

Так искомая сумма быстро станет тебе очевидной.

Составное число на смешанное ты умножишь так:

168 Одиннадцать на тринадцать — действовать из них следует так:

Умножь первое на остальное, затем умножь после на то же самое,

Затем умножь единицу на третьи, затем посредством единицы

Умножишь третьи, затем наконец все умноженное

172 Ты умножишь в ту сумму, которую ты назовешь своей,

Здесь, как и здесь, предполагается действовать со смешанным,

Этого достаточно о правилах умножаемых.]

Division. Если хочешь разделить число, начинай сперва так;

176 Запиши два ряда чисел, какие пожелаешь;

Под большим числом подпиши меньшее число,

15[Ибо оно учит, чтобы большее содержало меньшее дважды или трижды;]

И под самой последней поставь самую последнюю цифру,

180 Так же с правой стороны ты расположишь остальные с остальными;

После этого из первой вычти первую с левой стороны,

Если можешь, столько раз, по меньшей мере, сколько сможешь это сделать,

Записав то, что остается, при таком условии:

184 Чтобы столько раз вычитать вычитаемые из остатка,

Которые будут правильно поставлены в предыдущем ряду,

Если она одна, подобает действовать с ней лишь столько раз;

Но если ты не можешь вычесть первую из первой,

188 Продвигайся дальше и подпиши ее под следующим числом;

Отведя ее назад на один разряд, на который отводятся сопутствующие,

И, сколько сможешь, вычитай из нее прежнюю,

Чтобы столько раз вычитать вычитаемые из остатка,

192 И отнимать не должен ты от сей основы боле девяти раз,

Отсюда рождается число, сколько раз над последующей

Сначала запиши сию, вычти оттуда цифры,

Покуда верхняя больше расположенной ниже,

196 И вновь пусть совершится деление прежним образом;

И число частного запиши над исчезающей [цифрой],

Ежели при вычитании происходит скачок, пусть будет помещена цифра ноль,

И исчезающему числу частного предложи ту же

200 Цифру ноль, дабы не погибла сила числа, пока тамо место

Остается, а по завершении деление более не имеет силы:

Пока число чисел окажется отдельно ниже,

Ты сохранишь его; отсюда умножением докажешь ты,

Proof. 204 Ежели поступил верно, да будет делитель умножен

На число частного; когда умножишь, прибавь

К общей сумме то, что было сохранено прежде,

И вернется тебе число, которое ты предложил;

208 И ежели ничто не остается, оно вернет это умножением,

Square Numbers. Когда умножаешь число само на себя, происходящее отсюда

Пусть будет тебе квадратом, а множитель станет корнем оного,

И не все числа должен ты называть квадратными,

212 Но всякое число есть корень какого-либо.

Когда пожелаешь искать корень числа, записано

Оно должно быть; затем отметь, есть ли далее нечетное место,

И на том месте должна быть записана такая цифра,

216 Которая, будучи взята сама по себе, уничтожит для тебя то число,

Или сколько возможно будет, удалишь оную оттуда;

Или, вычитая, удвой вычитающее путем удвоения под оной,

Которая следует первой, [она] удваивается посредством дупликации,

220 Затем уменьшаемое само по себе ради того, что должно быть уменьшено.

16 После сего предложишь цифру, которая прежним образом

Через предшествующие, а затем сама по себе умноженная,

Уничтожит насколько возможно оставшееся число,

224 И так действуя, вычитая путем удвоения цифры,

Предполагая новую, пока все не будет завершено,

И учит сохранять полудвойные при собственных удвоенных;

Ежели дупликация дает составное число, должен

228 Быть вписан десяток справа на ближайшей части,

А цифра — в месте, где неудвоенное осталось;

Ежели она даст десяток, пусть цифра ноль будет на исчезающем месте,

А десяток занимает одно место, оставшееся от удвоенного;

232 Ежели она дает цифру, помести под первой последующей,

Ежели вышестоящая удвоенная цифра окажется

Большей, должна быть предложена только цифра ноль,

Вычитая сии, предложишь цифру обычным образом,

236 Вплоть до крайней так делай, вычитая цифры,

Ежели ты полностью удалишь число, которое предложил,

Оно будет квадратным от той половины, что ты удвоил,

И таким образом тебе откроется точный корень оного,

240 Ежели от удвоенных образуется соединенная высшая цифра;

Умножь корень сам на себя и имей

Сначала предложенное, ты доказал, что поступил верно;

Не квадратное оно, ежеify что-то остается, но имеются

244 Корень квадрата, который стоит меньшим под оным;

Или все, что останется, помни сохранить на доске;

В этом случае корень пусть также умножится сам на себя,

Или так квадрат под первым большим обретается,

248 Отсюда прибавишь остаток, и прежде должно получиться оно;

Ежели крайнее место будет четным, запиши цифру

Под исчезающим местом, с которым ты должен работать,

Которая насколько возможно подавит и уничтожит обе,

252 Или полностью соблюдай прежнее правило при работе,

Ежели подчиненная цифра, обнаруженная в своем конце,

Полностью уничтожает [ее], там должна быть записана цифра ноль,

Слева если какая-то фигура сопряжена с ней;

256 Ежели нули остаются в конце четными, подобает их

Корням предложить половину части числа,

Искомый корень явлен, будучи найден таким искусством.

Если ты умеешь правильно умножить на число

260 Его квадрат, число, которое происходит отсюда,

Назовется кубическим; первой будет корень оного;

И не все числа должен ты называть кубическими,

Но всякое число есть корень какого-либо;

Cube Root. 264 Ежели ты заботишься искать корень кубического, сначала

Написанное число должен ты разделить по разрядам;

Те, которые обозначают тебе тысячи, начиная с высшей тысячи,

В высшей левой части работы,

268 Там запиши внизу цифру, которая, будучи умножена

Сама на себя кубически, уничтожит расположенное над ней,

И если что-то будет прибавлено в левой части,

Если не полностью, то уменьшая насколько сможешь,

272 Отсюда утрояя, сделай скачок, производя под оной

Остающуюся от удаленной цифры тройку, цифру

Предложишь той, под которой она троекратно сочетается,

Чтобы с подтроенной ею умножались тройные;

276 Отсюда ею одной ты умножишь произведение,

После чего общее число, происходящее отсюда,

Отними от вышестоящих относительно утроенной

Добавленной к низшей кубически, затем умножится,

280 Относительно которого число, которое будет продвигаться

От кубического произведения, отнимется у всех;

Тогда, удаляя ее, утрояй, делая скачок,

Всегда под тройками, вычитая другие утроенные,

284 Отсюда к утроенным предложи другую цифру,

Которая пусть ведется через утроенные прежним образом;

Сначала под соединенными с ней тройками, затем сама по себе,

Будучи введена в число, произведение из утроенных:

288 И как я сказал ранее, число, происходящее отсюда,

Пусть будет вычтено из вышестоящих, глядя на них,

К этому произведению кубически ты умножишь под первым,

И отношение его удалишь из остатка,

292 И так поступай, вычитая и утрояя цифру.

И предлагая девятую, пока все не будет завершено,

Подтроенные подобает сохранять под собственными утроенными;

Ежели в конце ничего не остается, данное ранее число

296 Есть кубическое; кубический корень под тройкой дают они,

Соединенный с цифрой, которую ты поместил внизу,

Сии, умноженные кубически, возвращают тебе первое число.

Ежели останется что-то, оно не кубическое, но имеется

300 Стоящий под первым больший кубический корень,

Должно сохраняться все, что осталось от корня,

По извлечении числа подобает прибавить сие к кубическому.

По совершении сего тебе должно быть возвращено первое число.

304 Ибо должен ты умножить корень сам на себя,

Отсюда возведешь в число, происходящее отсюда,

Под первым кубическим так большее найдется;

К нему присоединится остаток, и получается первое,

308 Ежели ты не можешь работать с утроенным числом;

Предложишь цифру ноль, но ничем не работай посредством нее,

Но вычитая ее со скачком из утроенной затем,

Предложишь ей цифру по прежнему правилу,

312 И когда вычитаешь цифру ноль со скачком, не будешь утроять,

Ибо говорится, что утроение цифры ноль есть ничто;

Но ты, когда вытянешь цифру ноль или утроенную,

Всегда помни сохранять ее с подтроенной:

316 Ежели она дает составное, утроение цифры

Должно быть записано оной, цифра со скачком под ней самой;

При удалении цифры, что зовется тройкой;

Десяток соединяется с исчезающей утроенной,

320 Но заставляет записывать его само первое утроение,

Которое, если дает цифру, заставляет записать ее саму; [если десяток — ...]

По исчерпании числа, если у тебя был лишь ноль

Утроенный, предложи ноль, делая скачок,

324 И когда вычитаешь тройной ноль, записывая цифру,

Предложи нулю, продолжая действовать так,

Если три или два в ряду имеются, помести под нижней,

Справа сохраняя цифру по первому наставлению.

328 Если прогрессия непрерывная, недавний член

Умножь на большее среднее общую сумму;

Если четное, тогда умножь следующее на среднее.

Но если прогрессия конца непрерывной не является:

332 Нечетное, тогда умножишь большее среднее,

333 Если четное, умножь на близкое к нему среднее.

1. «Сие настоящее искусство называется алгоризмом от короля Алгора, его изобретателя, или называется от algos, что есть искусство, и rodos, что есть число; каковое есть искусство чисел или счета, для хорошего познания коего у индусов обретались дважды пять (то есть десять) фигур». — Коммент. Тома де Ново-Меркату. Рукопись Королевской библ. Брит. музея, 12 E. 1.

2. «Сии необходимые фигуры суть знаки индусов». Рукопись о нумерации. Библ. Слоуна Брит. музея, 513, фол. 58. «Когда я увидел, что индусы установили 9 букв во всем своем числе ради их расположения, я захотел прояснить суть дела, совершаемого посредством них, и чтобы оно было легче для изучающих, ежели Бог пожелает. Если же индусы пожелали этого и намерение их сводилось к девяти буквам, причина, каковая могла быть у меня, — Бог направил меня к сему. Если же скажу иное помимо того, что изложил я, это они совершили посредством того, что изложил я, и то же самое столь достоверно и без всякого сомнения сможет быть обнаружено. И легкость откроется смотрящим и изучающим». Рукопись Ун-та Кембриджа, Ii. vi. 5, ф. 102.

3. Из рукописи Eg. 2622.

4. Рукопись 8 C. iv. вставляет: Nullum cipa significat: dat significare sequenti.

5. Из 12 E. 1.

6.

En argorisme devon prendre

Vii especes . . . .

Adision subtracion

Doubloison mediacion

Monteploie et division

Et de radix eustracion

A chez vii especes savoir

Doit chascun en memoire avoir

Letres qui figures sont dites

Et qui excellens sont ecrites. — Рукопись Seld. Arch. B. 26.

7. Из 12 E. 1.

8. Из 12 E. 1.

9. Рукопись 8 C. iv. вставляет: Atque figura prior nuper fuerit mediando.

10. То есть цифра, поставленная на втором месте.

11. Так в 12 E. 1; рукопись 8 C. iv. вставляет —

Si super extremam nota sit monades dat eidem

Quod contingat cum primo dimiabis

Atque figura prior nuper fuerit mediando.

12. 12 E. 1 вставляет.

13. 12 E. 1 вставляет до ст. 174.

14. 12 E. 1 опускает, Eg. 2622 вставляет.

15. 12 E. 1 вставляет.

16. 8 C. iv. вставляет —

Hinc illam dele duplans sub ei psalliendo

Que sequitur retrahens quicquid fuerit duplicatum.

УКАЗАТЕЛЬ ТЕХНИЧЕСКИХ ТЕРМИНОВ 1

алгоризм, 33/12; algorym, augrym, 3/3; искусство вычислений с использованием так называемых арабских цифр.

Это слово в различных формах происходит от имени арабского ученого Аль-Хорезми (т. е. уроженец Хорезма (Хивы)). Это было прозвище Джафара Мухаммада ибн Мусы, написавшего трактат в начале IX века (см. стр. xiv).

Встречается также форма алгоритм (algorithm), возникшая под влиянием предполагаемого происхождения от греческого ἀριθμός (число).

антерий (antery), 24/11; перемещение фигур вправо от позиции, в которой они записаны впервые. Эта операция неоднократно выполняется над множителем при умножении и над определенными цифрами, возникающими в процессе извлечения корня.

антерирацио (anterioracioun), 50/5; операция перемещения фигур вправо.

article, 34/23; articul, 5/31; articuls, 9/36, 29/7,8; a number divisible by ten without remainder.

складывать (cast), 8/12; прибавлять одно число к другому.

«Сложение есть сложение (casting) двух чисел в одно число», 8/10.

цифра ноль (cifre), 4/1; название цифры 0. Слово происходит от арабского сл. sifr = пустой, ничто. Отсюда zero (ноль).

Цифра ноль есть символ отсутствия числа или нулевого количества. Она может использоваться отдельно или в сочетании с цифрами или другими нулями, и в последнем случае в зависимости от позиции, которую она занимает относительно других фигур, указывает на отсутствие единиц, десятков, сотен и т. д. Великое превосходство арабской системы исчисления над всеми остальными заключается в использовании этого символа. Когда цифра ноль не используется, позиционное значение цифр приходится указывать путем их записи в отведенных строках или столбцах. Однако нули могут интерполироваться между используемыми значащими цифрами, и поскольку они достаточно точно указывают позиции пустых строк или столбцов, последние не нужно указывать каким-либо иным образом. Практическое выполнение вычислений при этом колоссально облегчается (см. стр. xvi).

составное число (componede, 33/24; composyt, 5/35); применительно к числам — число, составленное из кратного десятку и цифры.

conuertide = напротив, наоборот, 46/29, 47/9.

cubicede, 50/13; to be c., иметь извлеченный кубический корень.

кубическое число (cubike nombre), 47/8; число, образованное умножением данного числа дважды самого на себя, например 27 = 3 × 3 × 3. Теперь называется просто кубом.

декупль (decuple), 22/12; произведение числа на десять. Десятикратное.

departys = делит, 5/29.

цифра (digit, 5/30; digitalle, 33/24); число меньше десяти, представленное одной из девяти арабских цифр.

димидиция (dimydicion), 7/23; операция деления числа на два. Половивление (деление пополам).

duccioun, умножение, 43/9.

дупликация (duplacion), 7/23, 14/15; операция умножения числа на два. Удвоение.

i-mediet = разделенный пополам, 19/23.

intercise = дробная, прерывистая (intercise Progression), 46/2; название, даваемое каждой из прогрессий 1, 3, 5, 7 и т. д.; 2, 4, 6, 8 и т. д., в которых общая разность равна 2.

lede into, умножить на, 47/18.

линейное число (lyneal nombre), 46/14; число, подобное тому, которое выражает меру длины линии и потому не обязательно является произведением двух или более чисел (виде Superficial, Solid). Таково, по-видимому, значение этой фразы в «Искусстве счета» (The Art of Nombryng). Возможно, числа, названные так, являются простыми числами, то есть числами, не делимыми ни на какое другое число, кроме самих себя и единицы, однако неясно, подразумевается ли именно это ограничение.

медиация (mediacioun), 16/36, 38/16; деление на два (см. также dimydicion).

смешанное число (medlede nombre), 34/1; число, составленное из кратного десятку и цифры (виде componede, composyt).

medye, 17/8, делить пополам; mediete, разделенный пополам, 17/30; ymedit, 20/9.

естественная прогрессия (naturelle progressioun), 45/22; ряды чисел 1, 2, 3 и т. д.

produccioun, умножение, 50/11.

квадратное число (quadrat nombre), 46/12; число, образованное умножением данного числа самого на себя, например 9 = 3 × 3, квадрат.

корень (rote, 7/25; roote, 47/11); корень. Корни квадратов и кубов — это числа, от которых квадраты и кубы происходят путем умножения их самих на себя.

значащая (цифра) (significatyf), значимый, 5/14; Значащими цифрами числа строго говоря являются те, которые отличны от нуля, например в 3 6 5 0 4 0 0 значащими цифрами являются 3, 6, 5, 4. Однако современное употребление считает все цифры между двумя крайними значащими цифрами значащими, даже если некоторые из них равны нулю. Так, в приведенном выше примере 3 6 5 0 4 считаются значащими.

телесное число (solide nombre), 46/37; число, являющееся произведением трех других чисел, например 66 = 11 × 2 × 3.

поверхностное число (superficial nombre), 46/18; число, являющееся произведением двух других чисел, например 6 = 2 × 3.

тернарный, состоящий из трех цифр, 51/7.

удвоенная (vnder double), цифра, которая была удвоена, 48/3.

утроенная (vnder-trebille), цифра, которая была утроена, 49/28; vnder-triplat, 49/39.

w, символ, используемый для обозначения половины единицы, 17/33.

1. Этот указатель был любезно подготовлен профессором Дж. Б. Дейлом из Королевского колледжа Лондонского университета, и Общество выражает ему искреннюю благодарность за его ценный вклад.

ГЛОССАРИЙ

Слова, первое появление которых происходит раньше страницы, указанной в глоссарии, отмечены в дополнительных примечаниях, причем оба вхождения отмечены в основном тексте.

ablacioun, вычитание, удаление, 36/21

addyst, имел, 10/37

агрегация (agregacioun), сложение, 45/22. (Первый пример в Новом английском словаре (N.E.D.), 1547.)

a-ȝenenes, против, 23/10

allgate, всегда, 8/39

als, как, 22/24

and, если, 29/8;

&, 4/27;

& yf, 20/7

a-nendes, к, по направлению к, 23/15

aproprede, присвоенный, 34/27

apwereth, появляется, 61/8

a-risyȝt, возникает, 14/24

a-rowe, подряд, в ряд, 29/10

arsemetrike, арифметика, 33/1

ayene, снова, 45/15

bagle, посох, 67/12

bordure = ordure, ряд, 43/30

borro, инф. брать взаймы, 11/38;

пов. накл. ед. ч. borowe, 12/20;

прич. прош. вр. borwed, 12/15;

borred, 12/19

boue, выше, 42/34

caputule, глава, 7/26

certayn, наверняка, 18/34

clepede, названный, 47/7

competently, удобно, надлежащим образом, 35/8

compt, счет, 47/29

contynes, содержит, 21/12;

прич. прош. вр. contenythe, 38/39

craft, искусство, 3/4

distingue, разделить, 51/5

egalle, равный, 45/21

excep, кроме, 5/16

exclusede, исключенный, 34/37

excressent, получающийся в результате, 35/16

exeant, получающийся в результате, 43/26

expone, излагать, 3/23

ferye = ferþe, четвертый, 70/12

figure = figures, фигуры, 5/1

for-by, мимо, 12/11

fors; no f., неважно, 22/24

forseth, имеет значение, 53/30

forye = forþe, вперед, 71/8

fyftye = fyftþe, пятый, 70/16

grewe, греческий, 33/13

haluendel, половина, 16/16;

haldel, 19/4;

мн. ч. haluedels, 16/16

hayst, hast, 17/3, 32

hast, спешка, 22/25

heer, выше, 9/35

here, их, 7/26

here-a-fore, прежде, 13/7

heyth, назывался, 3/5

hole, весь, 4/39;

holle, 17/1;

hoole, трех измерений (телесный), 46/15

holdyþe, имеет силу, верно, 30/5

how be it that, хотя, 44/4

lede = lete, позволить, пусть, 8/37

lene, одолжить, 12/39

lest, наименьший, 43/27

lest = left, оставшийся, 71/9

leue, оставить, 6/5;

наст. вр. 3 л. ед. ч. leues, остается, 11/19; Впервые использовано в 10/40

leus, 11/28;

прич. прош. вр. laft, оставленный, 19/24

lewder, более невежественный, 3/3

lust, желаешь, 45/13

lyȝt, легкий, 15/31

lymytes, пределы, 34/18;

lynes, 34/12;

lynees, 34/17;

лат. limes, мн. ч. limites.

maystery, достижение;

no m., без труда, то есть легко, 19/10

me, неопред. мест. один (кто-то), 42/1 Впервые использовано в 34/16

mo, больше, 9/16

moder = больше (лат. majorem), 43/22

most, должен, 30/3 Впервые использовано в 3/12

multipliede, to be m. = умножение, 40/9

mynvtes, шестьдесят частей, на которые делится единица, 38/25

myse-wroȝt, ошибочно выполненный, 14/11

nether, ни, 34/25

nex, следующий, 19/9

noȝt, ноль, ничто, 5/7 Впервые использовано в 4/8

note, не, 30/5

oo, один, 42/20; o, 42/21 Впервые использовано в 34/27 (oo); 33/22 (o)

omest, верхний, высший, 35/26;

omyst, 35/28

omwhile, иногда, 45/31 Впервые использовано в 39/17

on, один, 8/29

opyne, понятный, ясный, 47/8

or, до, перед, 13/25

or = þe oþer, другой, 28/34

ordure, порядок, 34/9;

ряд, 43/1 Слово в форме «order»

other, или, 33/13, 43/26; Примечание также «one other other» в 35/24

other . . . or, или . . . или, 38/37 Впервые использовано в 37/5

ouerer, верхний, 42/15

ouer-hippede, пропущенный, 43/19

recte, напрямую, 27/20 Впервые использовано в 26/31

remayner, остаток, 56/28

representithe, представленный, 39/14

resteth, остается, 63/29 Впервые использовано в 57/29

rewarde, отношение, внимание, 48/6

rew, ряд, 4/8

rewle, ряд, 4/20, 7/12;

rewele, 4/18;

rewles, правила, 5/33

s. = scilicet (а именно), 3/8

sentens, смысл, значение, 14/29

signifye(tyf), 5/13. Последние три буквы добавлены над строкой, очевидно, из-за слова «significatyf» в стр. 14. Но «Solucio», содержавшая это слово, была опущена.

sithen, поскольку, с тех пор как, 33/8

some, sum, result, 40/17, 32 First used in 36/21

sowne, произносить, 6/29

singillatim, по отдельности, 7/25

spices, виды, роды, 34/4 Впервые использовано в 5/34

spyl, тратить попусту, 14/26

styde, место, 18/20

subtrahe, вычесть, 48/12;

прич. прош. вр. subtrayd, 13/21

sythes, раз, 21/16

taȝt, обученный, наученный, 16/36

take, прич. прош. вр. taken (взятый);

t. fro, начиная с, 45/22

taward, к, по направлению к, 23/34

thouȝt, хотя, 5/20

trebille, утроить, умножить на три, 49/26

twene, два, 8/11 Впервые использовано в 4/23

þow, хотя, 25/15

þouȝt, мысль;

þe þ., мысленно, 28/4

þus = þis, этот, 20/33

vny, объединить, 45/10

wel, хочешь, 14/31

wete, ум, разум, 15/16;

wyte, знать, 8/38;

наст. вр. 2 л. ед. ч. wost, 12/38

wex, становиться, 50/18

where, ли (вводное слово), 29/12

wher-thurghe, откуда, благодаря чему, 49/15

worch, работать, вычислять, 8/19; Впервые использовано в 7/35

wrich, 8/35;

wyrch, 6/19;

пов. накл. ед. ч. worch, 15/9; Впервые использовано в 9/6

прич. прош. вр. y-wroth, 13/24

write, написанный, 29/19; Впервые использовано в 4/5

y-write, 16/1

wryrchynge = wyrchynge, вычисление, работа, 30/4

wt, с, 55/8

y-broth, принесенный, 21/18

ychon, каждый, 29/10

ydo, сделанный, добавленный, 9/6 Впервые использовано в 8/37

ylke, тот же самый, 5/12

y-lyech, одинаково, 22/23

y-myȝt, смогший, имевший возможность, 12/2

y-nowȝt, достаточно, 15/31;

ynovȝt, 18/34

yove, данный, 45/33

yt, что, 52/8

y-write, см. write.

y-wroth, см. worch.

ПОМЕТКИ НА ПОЛЯХ

Заголовки были перенесены в начало соответствующего абзаца. Заголовки были опущены из двух приложений, поскольку пометки на полях содержат ту же информацию.

Номера строк приводятся в указателе и глоссарии. Они были опущены из электронного текста, за исключением одной стихотворной подборки (Прил. II, Carmen de Algorismo). Вместо этого указатель и глоссарий связаны напрямую с каждым словом.

Пронумерованные примечания:

Пронумерованные пометки на полях показывают номера страниц или листов из оригинальных рукописей. В электронном тексте номера пометок на полях были заменены простыми звездочками.

Сноски содержат текстологическую информацию, такую как варианты чтений. Они были пронумерованы последовательно в рамках каждого названия.

Пометки на полях, содержащие краткое содержание текста, были оставлены как можно ближе к их оригинальному формату и расположению.

back

back

back

back

back