«Древнейшая арифметика на английском языке»

¶ Occurrant si forte cifre; dum dempseris vnum

¶ Postea procedas reliquas demendo figuras.

Излагается очень сложный случай. ¶ Здесь он излагает четвертый случай, который заключается в следующем: если случится так, что нижняя фигура, которую ты должен вычесть из верхнего числа, больше верхней фигуры над ней, а следующая фигура или две, или три, или четыре, или сколько их ни есть, являются нулями, как бы ты поступил? Ты хорошо знаешь, что тебе обязательно нужно занять, а ты не можешь занять у нулей, ибо у них нет ничего, чем они могли бы поделиться или что могли бы сберечь. Следовательно, 4 как бы ты поступил? Воистину, ты должен поступить следующим образом: ты должен занять единицу у следующей значащей фигуры в этом ряду, ибо этот случай не может произойти иначе, как если за нулями идут значащие фигуры. Когда ты займешь эту 1 у следующей значащей фигуры, помести эту единицу над головой той фигуры, из которой ты хотел бы вычесть нижнюю фигуру, если бы мог, и считай ее за десять, как ты делал в другом случае здесь ранее. Когда ты сделаешь это, посмотри, сколько нулей было между этой значащей фигурой и фигурой, из которой ты хотел бы вычесть лист 145а *нижнюю фигуру, и из каждого из этих нулей сделай цифру 9. Вот пример. вот пример после. 40002 10004 Вычти 4 из 2. Это не получится. Займи 1 у следующей значащей фигуры, которая равна 4, и тогда останется 3. Убери эту фигуру 4 и напиши там 3. И помести эту 1 на голову фигуры 2, а затем вычти 4 из десяти, и тогда останется 6. Прибавь 6 к фигуре 2, это будет 8. Убери эту 6 и запиши там 8. Когда ты это сделаешь, сделай из каждого нуля между 3 и 8 цифру 9, и тогда продолжай работу во имя Бога. Так. 39998 10004 И если ты все сделал правильно, 5 у тебя будет это число

Как проверить вычитание.

¶ Si subt ra cc i o sit b e n e facta p o bar e valebis

Quas s u btraxisti p ri mas addendo figuras.

Как сделать проверку вычитания. ¶ Здесь он обучает искусству того, как ты должен узнать, когда ты вычел, правильно ли ты всё сделал или нет. И это искусство состоит в следующем: точно так же, как ты вычитал нижние цифры из верхних, точно так же прибавь те же нижние цифры к верхним. И если ты поработал на славу, у тебя получится то же верхнее число, которое было у тебя до того, как ты начал действовать; ради этого я велел тебе сохранять нижние цифры в неприкосновенности. Вот пример. см. лист 145 б. *Пример всех 4 случаев вместе. Поработай хорошо над этим примером: 40003468 20004664 И если ты поработал хорошо, то после того, как ты вычел все верхние числа здесь, у тебя получится следующее число после вычитания: 39998804 20004664 Наш автор допускает здесь описку (3 вместо 1). И ты узнаешь это следующим образом: прибавь нижний ряд того же числа к верхнему ряду вот так: прибавь 4 к 4, это будет 8; убери 4 и напиши там 8 согласно первому случаю сложения. Затем прибавь 6 к 0, это будет 6; убери 0 и напиши там 6. Затем прибавь 6 к 8, это будет 14; убери 8 и напиши там цифру 4, которая является цифрой [единиц], и запиши цифру 1, которая будет обозначать десять; это десяток над головой следующей за ней 8; затем посчитай эту 1 как 1 и прибавь ее к 8, это будет 9; прибавь к этой 9 нижнюю цифру под ней, которая равна 4, и это будет 13; убери эту 9 и поставь там 3, и поставь цифру 1, которая будет обозначать 10 над головой следующей цифры, которая равна 9, по второму случаю, который был у тебя при сложении. Затем прибавь 1 к 9, и это будет 10; убери 9 и эту 1, и напиши там цифру ноль, и запиши десяток, то есть 1, обозначающую 10, над головой следующей цифры в левую сторону, которая лист 146 а. *является 9, и так поступай до тех пор, пока не дойдешь до последней 9. Он доводит свою проверку до конца, возьми цифру этой 1, которую ты найдешь над головой 9, и поставь ее над головой следующей цифры, которая будет 3. ¶ Также убери 9 и поставь там цифру ноль, а затем прибавь ту 1, которая стоит над головой 3, к самой 3, и это составит 4; затем прибавь к этой самой 4 цифру в нижнем ряду, которая равна 2, и это будет 6, и выводит результат. 60003468 20004664 И тогда у тебя снова будет пример, посмотри и убедись: если у тебя не получится то же самое, ты сотворил ошибку.

Искусство дупликации.

Sequit ur de duplac i one

S i vis duplar e num u ru m , sic i n cipe p rim o

Scribe fig ur ar u m serie m q ua mcu n q ue vel is tu.

В дупликации нужно знать четыре вещи. ¶ Это глава о дупликации, в каковой науке ты должен владеть четырьмя вещами и знать их. ¶ Первое, что ты должен знать, — что такое дупликация; второе — сколько рядов цифр ты должен иметь для этого искусства; третья — сколько различных случаев может возникнуть в этом искусстве; четвертая — в чем польза этого искусства. Вот они. ¶ Что касается первого: дупликация — это удвоение числа. ¶ Что касается второго, ты должен лист 146 б. *иметь одно число или один ряд цифр, который называется удваиваемым числом (numerus duplandus). Что касается третьего, ты должен знать, что в этом искусстве может возникнуть 3 различных случая. Что касается четвертого: в чем польза этого искусства — а это значит знать, что получается от удвоенного числа. Помни, с чего ты начинаешь. ¶ Кроме того, ты должен знать и хорошо обращать внимание на то, с какой стороны ты должен начать в этом искусстве, иначе ты можешь испортить весь свой труд над ним. Несомненно, ты должен начать с левой стороны в этом искусстве; хорошо обдумай этот стих. ¶ 7 A leua dupla, divide, multiplica. 7

Смысл этих вышеприведенных стихов, как ты можешь видеть, если обратишь внимание. Помни свои правила. Как гласит текст этого стиха, то есть: ¶ Si vis duplare. Смысл таков: ¶ Если ты хочешь удвоить число, ты должен начать так: напиши ряд цифр любого числа, какого пожелаешь. versus.

Postea p ro cedas p ri ma m duplando figura m

Inde q uo d excrescit scribas vbi iusserit ordo

Iuxta p re cepta tibi que dant

ur in addic i one.

Как выполнять пример. ¶ Здесь он рассказывает, как ты должен действовать в этом искусстве. Он говорит: во-первых, когда ты написал число, ты должен начать с первой цифры с левой стороны, удвоить эту цифру, а число, которое от этого получится, ты должен записать так же, как ты делал при сложении, как ¶ Я расскажу тебе в [соответствующем] случае. versus.

Случаи искусства дупликации.

leaf 147 a.

* ¶ Nam si sit digitus in primo limite scribas.

Если в ответе получается цифра, ¶ Вот первый случай этого искусства, который заключается в следующем: если от удвоения цифры получается цифра, что ты должен делать? Поступай так: напиши ее на месте верхней цифры. Убери цифру, которая была удвоена, и поставь там цифру [единиц], которая получается от дупликации, а именно так: 23, удвой 2, и это будет 4; убери цифру 2 и поставь там цифру 4, и так работай дальше, пока не дойдешь до конца. versus.

¶ Articul us si sit, in p ri mo limite cifram,

¶ Articulu m v ero reliquis inscribe figuris;

¶ Vel p

er se scribas, si nulla figura sequat

ur .

Если это десяток, ¶ Вот второй случай, который заключается в следующем: если от удвоения цифры получается десяток, ты должен сделать точно так же, как ты делал при сложении, то есть следует убрать цифру, которая удваивается, и поставить на это место цифру ноль, а десятки «перенести». Поставь там цифру ноль и запиши десяток над головой следующей цифры, если таковая имеется далее в левую сторону, а именно так: 25, наччи с левой стороны и удвой 2, это будет 4; убери эту 2 и поставь там 4; затем удвой 5, это будет 10; убери 5 и поставь там 0, и поставь 1 над головой следующей цифры, которая равна 4; и затем опусти 1 к 4, и это будет 5, и затем убери ту 4 и эту 1 и поставь там 5, ибо та 1 при сложении будет учитываться как 1. Когда лист 147 б. *ты это сделаешь, у тебя получится число 50. Если нет цифры, куда их «перенести», запишите их. Если после добавляемой цифры, от сложения которой получается десяток, не идет никакой цифры, ты должен убрать удваиваемую цифру и поставить там 0, а следующий десяток записать рядом в том же ряду в левую сторону, а именно так: 523, удвой 5, это будет десять; убери цифру 5 и поставь там цифру ноль, а следующий десяток поставь рядом в том же ряду в левую сторону, и у тебя получится число 1023; затем иди дальше и удвой остальные числа, что сделать весьма легко. versus.

¶ Compositus si sit, in limite sc ri be seq uen te

Articulu m , p ri mo digitu m ; q uia sic iubet ordo:

Et sic de reliq ui s facie n s, si sint tibi plures.

Если это составное число, ¶ Здесь он излагает третий случай, который заключается в следующем: если от удвоения цифры получается составное число, ты должен убрать цифру, которая удваивается, и поставить там цифру [единиц] составного числа, запишите цифру единиц и «перенесите» десятки. а десяток поставь над головой следующей цифры и после спусти его вместе с цифрой, над чьей головой он стоит, и сделай из них число, как ты делал раньше; и если после той цифры, которую ты написал, не идет никакой цифры, тогда поставь десяток сразу за ней в том же ряду, а именно так: 67: удвой 6, это будет 12, убери 6 и напиши там цифру лист 148 а. *12, которая есть 2, Вот пример. и поставь десяток сразу за ней в левую сторону в том же ряду, так как после нее не идет никакой цифры; затем удвой другую цифру, которая равна 7, это будет 14, которая является составным числом; затем убери 7, которую ты удвоил, и поставь ее цифру [единиц], которая равна 4; поставь десяток над головой следующей цифры, которая равна 2, а затем прибавь к ней ту единицу и сделай одно число, которое будет 3. И тогда, если ты все сделал правильно, у тебя получится от этой дупликации число 134. versus.

¶ Si super ext re ma m nota sit monade m dat eid em

Quod t ibi con ingat si p ri mo dimidiabis.

Как удваивать отметку половины. ¶ Здесь он говорит: если над первой цифрой с правой стороны стоит такая отметка, какая сделана здесь: w, ты должен сначала удвоить цифру, которая стоит под этой отметкой, а затем ты должен удвоить эту отметку, которая обозначает половину, ибо две половины составляют одну, и таким образом это будет единица; прибавь эту единицу к удвоенному значению той цифры, над чьей головой стояла эта отметка, и запиши это на том же месте, где стояла удваиваемая цифра, а именно так: 23 w, удвой 3, это будет 6; удвой ту половину, и это будет единица; прибавь единицу к 6, это будет 7; убери 6 и ту 1 и поставь там 7. Затем ты закончил с этой цифрой, после чего иди лист 148 б. *к другой цифре и работай дальше. Это может стоять только над первой цифрой. И у тебя никогда не будет такой отметки иначе как над головой первой цифры с правой стороны; и все же этого не случится, если только перед этим не была взята половина — так ты должен понимать этот стих: ¶ Si super extremam &c. Et nota, talis figura w significans medietatem, unitatis veniat, i.e. contingat uel fiat super extremam, i.e. super primam figuram in extremo sic versus dextram ars dat: i.e. reddit monadem. i.e. unitatem eidem. i.e. eidem note & declinatur hec monos, dis, di, dem, &c. ¶ Quod ergo totum hoc dabis monadem note continget. i.e. eveniet tibi si dimidiasti, i.e. accepisti uel subtulisti medietatem alicuius unius, in cuius principio sint figura numerum denotans imparem primo i.e. principiis.

Искусство медиации.

¶ Sequit ur de mediacione.

I ncipe sic, si vis alique m nu me u m mediar e :

Sc ri be figurar um seriem sola m , velut an te .

Четыре вещи, которые нужно знать в медиации: ¶ В этой главе преподается искусство медиации, в коем искусстве ты должен знать 4 вещи: во-первых, что такое медиация; во-вторых, сколько рядов цифр ты должен иметь при выполнении этого искусства; в-третьих, сколько различных случаев может возникнуть в этом искусстве; 8 первое ¶ Что касается первого, ты должен понимать, что медиация — это извлечение половины числа из целого числа, лист 149 а. *как если бы ты хотел взять 3 из 6. вторая ¶ Что касается второго, ты должен знать, что ты должен иметь один ряд цифр и не более, как у тебя есть в искусстве дупликации. третья ¶ Что касается третьего, ты должен понимать, что в этом искусстве может возникнуть 5 случаев. четвертая ¶ Что касается четвертого, ты должен знать, что польза этого искусства состоит в том, чтобы после извлечения половины числа сказать, что останется. ¶ Incipe sic, &c. Смысл этого стиха таков: если ты хочешь произвести медиацию, то есть взять половину из целого или половину из половины, ты должен начать так. Начни так. Напиши один ряд цифр любого числа, какого пожелаешь, как ты делал раньше в искусстве дупликации. versus.

¶ Postea p ro cedas medians, si p ri ma figura

Si par aut i m par videas.

¶ Здесь он говорит, что, когда ты написал ряд цифр, ты должен посмотри, четное число или нечетное. обратить внимание на то, четная или нечетная цифра в числе стоит первой, и понимать, что он говорит о первой цифре с правой стороны. И в этом искусстве ты должен начинать с правой стороны.

¶ Quia si fu er it par,

Dimidiab is eam, scribe n s quicq ui d remanebit:

Если число четное, раздели его пополам и запиши ответ на его месте. ¶ Вот первый случай этого искусства, который заключается в следующем: если первая цифра четная, ты должен взять от этой четной цифры половину, убрать эту цифру и поставить то, что остается, а именно так: 4, возьми лист 149 б. *половину из 4, и тогда останется 2; убери 4 и поставь там 2; это весьма легко. versus.

Медиация нечетного числа.

¶ Impar si fu er it vnu m demas mediar e

Quod no n p re sumas, s ed quod sup er est mediabis

Inde sup er tractu m fac demptu m quod no tat vnu m .

Если оно нечетное, раздели пополам четное число, меньшее его. Вот второй случай этого искусства, который заключается в следующем: если первая цифра обозначает нечетное число, каковое нечетное число не может быть разделено пополам, тогда ты должен разделить пополам то число, которое остается, когда из этого же числа вычитается нечетная единица, и записать то, что остается, так же, как ты делал в первом случае этого искусства. Когда ты записал это, поскольку то, что остается, Затем напишите над ним знак половины. напиши над его головой такую отметку, какая здесь w, каковая отметка будет обозначать половину отнятой нечетной единицы. Вот пример. вот пример: 245. Первая цифра здесь обозначает нечетное число, а именно 5, ибо 5 — нечетное; поэтому убери то, что является нечетным, то есть 1, тогда останется 4; затем раздели пополам 4, и останется 2; убери 4 и поставь там 2, и сделай такую отметку w над его головой, то есть над головой 2, вот так: 242 w. И после этого работай дальше с остальными цифрами, пока не дойдешь до конца согласно первому случаю, поскольку ты должен понимать, что Ставьте отметку только над первой цифрой. ты никогда не должен делать такую отметку иначе как над головой первой цифры с правой стороны, идут ли следующие лист 150 а. *за ней цифры четными или нечетными. versus.

Случаи искусства медиации.

¶ Si monos, dele; sit t ibi cifra post no ta supra.

Если первая цифра единица, поставьте ноль. ¶ Вот третий случай, который заключается в следующем: если первая цифра есть цифра 1, ты должен убрать эту 1 и поставить там ноль, а над нулем поставить отметку, вот так: 241, убери 1 и поставь там ноль с отметкой над его головой, и тогда ты закончил с этим 0, вот так: 0 w; затем работай дальше с остальными цифрами, пока не дойдешь до конца, ибо это легко как вода в канаве. unde versus.

¶ Postea p ro cedas hac condic i one secu n da:

Imp ar si fu er it hinc vnu m deme p ri ori,

Inscribens quinque, nam denos significabit

Monos p re d ict am.

Что делать, если какая-либо другая цифра нечетная. ¶ Здесь он излагает четвертый случай, который заключается в следующем: если случится так, что вторая цифра обозначает нечетное число, ты должен убрать единицу из этого нечетного числа, которая обозначается этой цифрой 1, причем эта 1 будет учитываться как 10. Когда ты убрал эту 1 из числа, обозначаемого этой цифрой, ты должен разделить пополам то, что остается, убрать эту разделенную пополам цифру и поставить на ее место половину этого числа. Напишите цифру пять над головой следующего меньшего числа. ¶ Когда ты это сделаешь, ты должен написать лист 150 б. *цифру 5 над головой следующей цифры спереди в правую сторону, ибо та 1, которая составила нечетное число, будет стоять за десять, а 5 — это половина 10; поэтому ты должен записать 5 в качестве ее половины. Пример. Вот пример: 4678. Начни с правой стороны, как тебе и положено. Раздели пополам 8, тогда у тебя останется 4; убери 8 и поставь там 4. Затем из 7 убери 1, которая образует нечетное число, и поставь 5 над головой следующей цифры спереди в правую сторону, которая теперь равна 4, а до этого была 8, ибо та 1 будет учитываться как 10, от каковых 10 половиной является 5, как ты хорошо знаешь. Когда ты это сделал, раздели пополам то, что остается после удаления того, что является нечетным, каковой остаток будет 3; 5 4634. Убери 6 и поставь там 3, и у тебя получится такое число; после этого переходи к следующей цифре, раздели ее пополам и работай дальше, ибо для тебя это определенно достаточно легко.

¶ Si v ero s e c un da dat vnu m .

Illa deleta, sc ri bat ur cifra; p ri ori

¶ Tradendo quinque pro denario mediato;

Nec cifra sc ri batur, nisi dei

nde fig ur a seq u at ur :

Postea p ro cedas reliq ua s mediando figuras

Vt sup ra docui, si sint tibi mille figure.

¶ Здесь он излагает 5-й случай, который является лист 151 а. *следующим: Если вторая цифра единица, поставьте ноль и напишите пять над следующей цифрой. если вторая цифра равна 1, как здесь 12, ты должен убрать эту 1 и поставить там ноль, и поставить 5 над головой следующей цифры спереди в правую сторону, как ты делал раньше; и эта 5 будет половиной той 1, каторая 1 учитывается за 10. Вот пример: 214. Раздели пополам 4, это будет 2; убери 4 и поставь там 2. Затем переходи к следующей цифре, которая есть всего лишь 1; убери эту 1 и поставь там ноль, и поставь 5 над головой цифры спереди, которая теперь равна 2, и тогда у тебя будет это число: 5 202, затем работай дальше со следующей цифрой. И также не составит труда, если после разделенной пополам единицы не идет никакой цифры, ты не должен писать ни 0, ни что-либо еще, а поставить 5 над следующей цифрой спереди вправо, а именно так: 14. Как разделить пополам четырнадцать. Раздели пополам 4, тогда остается 2, убери 4 и поставь там 2; затем раздели пополам 1, которая учитывается за десять, половина от нее будет 5; поставь эту 5 над головой той цифры, которая теперь равна 2, 5 2, и убери ту 1, и у тебя получится это число, если ты поработаешь хорошо, unde versus.

Как проверить медиацию.

¶ Si mediacio sit b e n e f ac ta p ro bar e valeb is

¶ Duplando num er u m que m p ri mo di m ediasti

Как проверить свою медиацию. ¶ Здесь он рассказывает тебе, как ты должен узнать, правильно ли ты всё сделал или нет. Удвой лист 151 б. *число, которое ты разделил пополам, и если ты правильно выполнил деление пополам после дупликации, то у тебя получится то же число, которое было у тебя в таблице до того, как ты начал деление пополам, а именно так: Первый пример. ¶ Первый пример был таким: 4, от разделения пополам которого осталась 2, какова 2 была записана на том месте, где раньше была записана 4. Теперь удвой эту 2, и у тебя получится 4, как было у тебя до того. Второй. Второй пример был таким: 245. Когда ты разделил пополам все это число, если ты сделал все правильно, в результате этой медиации у тебя получится следующее число: 122 w. Теперь удвой это число, начав с левой стороны: удвой 1, это будет 2; убери ту 1 и поставь там 2; затем удвой ту другую 2 и поставь там 4; затем удвой ту другую 2, и это будет 4; затем удвой ту отметку, которая обозначает половину единицы, и это будет 1; прибавь эту единицу к 4, и это будет 5; убери ту 2 и ту отметку и поставь там 5, и тогда у тебя получится число 245. И это было то же число, которое было у тебя до того, как ты начал деление пополам, как ты можешь видеть, если обратишь внимание. Третий пример. Число, которое было дано тебе в качестве примера в 3-м случае медиации для разделения пополам, было следующим: 241. Когда ты разделил пополам все это число истинно лист 152 а. *для каждой цифры, в результате этой медиации у тебя получится следующее число: 120 w. Теперь удвой это число, начав с левой стороны, как я говорил тебе в искусстве дупликации, а именно: удвой цифру 1, это будет 2; убери ту 1 и поставь там 2; затем удвой следующую цифру спереди, которая равна 2, и это будет 4; убери 2 и поставь там 4. Затем удвой ноль, и это будет ничто, ибо 0 есть ничто, а дважды ничто — это всего лишь ничто. Поэтому удвой отметку над головой нуля, которая обозначает половину единицы, и это будет 1; убери ноль и отметку и поставь там 1, и тогда у тебя получится это число: 241. И это же число было у тебя до того, как ты начал деление пополам, если ты обратишь пристальное внимание. Четвертый пример. ¶ Следующий пример, который был в 4-м случае медиации, был следующим: 4678. Когда ты истинно разделил пополам все это число от начала до конца, у тебя в результате медиации получится это число: 5 2334. Теперь удвой это число, начав с левой стороны, и удвой 2, это будет 4; убери 2 и поставь там 4; затем удвой 3, это будет 6; убери 3 и поставь там 6; затем удвой ту другую 3, и это будет 6; убери 3 и поставь лист 152 б. *там 6; затем удвой 4, это будет 8; затем удвой 5, которая стоит над головой 4, и это будет 10; прибавь 10 к 8, и это будет 18; убери 4 и ту 5 и поставь там 8, и поставь ту 1, которая является десятком составного числа, равного 18, над головой следующей цифры в левую сторону, которая равна 6. Прибавь ту 1 к 6, каковая 1 при прибавлении будет учитываться только как 1, и эта 1 вместе с той 6 составят 7; убери ту 6 и ту 1, которая стоит над ее головой, и поставь там 7, и тогда у тебя получится число 4678. И это же число было у тебя до того, как ты начал деление пополам, как ты можешь видеть во втором примере, который был у тебя в 4-м случае медиации, а именно этот: Пятый пример. когда ты истинно разделил пополам все число, a principio usque ad finem, у тебя в результате этой медиации получится следующее число: 5 102. Теперь удвой 1, это будет 2; убери 1 и поставь там 2; затем удвой 0, это будет ничто; поэтому возьми 5, которая стоит над головой следующей цифры, и удвой ее, и это будет 10; убери 0, стоящий между двумя цифрами, и поставь на его место 1, ибо та 1 теперь будет стоять на втором месте, где она будет обозначать 10; затем удвой 2, это будет 4; убери 2 и поставь там 4, и лист 153 а. *у тебя получится следующее число: 214. Это то же число, которое было у тебя до того, как ты начал деление пополам, как ты можешь видеть. И так поступай всегда, если хочешь узнать, правильно ли ты разделил пополам или нет. ¶ Удвой число, получающееся после медиации, и у тебя получится то же число, которое было у тебя до того, как ты начал деление пополам, если ты все сделал правильно. А если нет, не сомневайся: если у тебя не получилось то же самое, ты совершил ошибку в своем искусстве.

Искусство умножения.

Sequitur de multiplicatione.

Как записывать пример на умножение.

S i tu p er num er u m num er u m vis m u ltiplicar e

Scribe duas q ua scu n q ue velis series nu me ror u m

Ordo s

er vet ur vt vltima m u ltiplicandi

Ponat ur sup er ant er iorem multiplicant is

A leua reliq u e sint scripte m u ltiplicantes.

Четыре вещи, которые следует знать об умножении: ¶ Здесь начинается глава об умножении, в которой ты должен узнать 4 вещи. ¶ Первое: что такое умножение. Второе: сколько случаев может возникнуть при умножении. Третье: сколько рядов фигур должно быть. ¶ Четвертое: в чем польза этого искусства. Первое: ¶ Что касается первого, ты должен понимать, что умножение — это приведение вместе двух чисел в одно число, каковое одно число содержит столько раз единицу, сколько [лист 153б] *единиц содержится в числе этих двух, как дважды четыре — восемь. Теперь здесь имеются два числа, из коих одно число обозначается наречием, а именно словом «дважды», и этим словом «трижды», и этим словом «четырежды», и так далее для других подобных слов. ¶ И два числа должны обозначаться именем существительным, как это слово «четыре» показывает эти два числа, сведенные в одно целое число, то есть 8, ибо дважды четыре — 8, как ты хорошо знаешь. ¶ И это число 8 содержит в себе 4 столько раз, сколько единиц имеется в том другом числе, каковым является 2, ибо в 2 содержится 2 единицы, и столько же раз 4 содержится в 8, как ты хорошо знаешь. Второе: ¶ Что касается второго, ты должен знать, что тебе необходимо иметь два ряда фигур. Третье: ¶ Что касается третьего, ты должен знать, что в этом искусстве может возникнуть 8 различных случаев. Четвертое: Польза этого искусства состоит в том, чтобы сказать, когда одно число умножено на другое, что из этого получается. ¶ Более того, что касается смысла нашего стиха, если ты хочешь хорошо умножить одно число на другое число, ты запишешь [лист 154а] *ряд фигур из каких угодно чисел, какие ты пожелаешь, Множимое. И оно будет называться Numerus multiplicandus, по-английски — число, которое следует умножить. Затем ты запишешь другой ряд фигур, посредством которого ты должен умножить число, подлежащее умножению, какового числа первая фигура должна быть записана под последней фигурой числа, подлежащего умножению. Как записать сумму. И так записывай далее в левую сторону, как ты можешь видеть здесь: 67324 1234 И это одно число будет называться numerus multiplicans, по-английски — умножающее число, ибо оно будет умножать вышестоящее число, как например: один раз 6, и так далее, как я скажу тебе впоследствии. И ты начнешь с левой стороны. Два вида умножения: мысленно, ¶ Сверх того ты должен понимать, что существует два рода умножения: один — посредством работы по книге только в уме человека; сначала он учит первому роду дупликации, каковой осуществляется посредством работы с таблицами, и на бумаге. Впоследствии он обучит второму роду. Unde versus.

Как умножить одну цифру на другую.

In digitum cures digitum si ducere maior

leaf 154 b. * Per quantum distat a denis respice debes

¶ Namque suo decuplo totiens delere minorem

Sitque tibi numerus veniens exinde patebit.

Как умножить две цифры. ¶ Здесь он обучает правилу, как ты должен найти число, получающееся от умножения одной цифры на другую. Посмотри, сколько [ени]ц находится между большей цифрой и 10, и считай десятку за единицу. Вычти большую из десяти; И столько же раз удали меньшее число из его собственной декуплы, то есть из того числа, которое в десять раз больше числа, получающегося от умножения. Например, если ты хочешь умножить 2 на 4, посмотри, сколько единиц находится между тем, что является большей цифрой, и десятью. Конечно, между 4 и десятью будет vi единиц, если ты посчитаешь вместе с десяткой и единицу, как ты можешь видеть. возьми меньшее столько раз из десяти его кратных. столько же раз вычти 2 из его декуплы, каковой является 20, ибо 20 — это декупла числа 2, 10 — это декупла 1, 30 — это декупла 3, 40 — это декупла 4, и остальные цифры, пока ты не дойдешь до десяти; ¶ и когда ты возьмешь столько же раз 2 из двадцати, каковой раз шесть, Пример. у тебя останется 8, как ты хорошо знаешь, ибо 6 раз по 2 будет двенадцать. вычти [1]2 из двадцати, и останется 8. Разве что обе цифры [лист 155а] *равны между собой, как здесь: 222 или дважды двадцать, тогда не важно, какое из них двоих ты вычитаешь из их декуплы. ровно столько же раз, сколько это число отстоит от 10. Но тем не менее, если у тебя есть работа, здесь ты найдешь таблицу фигур, с помощью которой ты сразу же увидишь, какое число получается от умножения 2 цифр. Так ты будешь действовать в этой фигуре.

1

2 4

3 6 9

4 8 12 16

5 10 15 20 25

6 12 18 24 30 36

7 14 21 28 35 42 49

8 16 24 32 40 48 56 64

9 18 27 36 45 54 63 72 81

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Как ее использовать. Если цифра, которую нужно умножить, равна по величине цифре, на которую должна быть умножена та другая фигура, как дважды два или трижды три или тому подобное. Способ использования таблицы умножения. посмотри, где эта фигура располагается в левой стороне треугольника, и посмотри, где цифра располагается в самом нижнем ряду треугольника, и иди от него вверх в том же ряду, каковой ряд идет вверх, пока ты не дойдешь напротив другой цифры, располагающейся в левой стороне треугольника. И то число, которое ты [лист 155б] *находишь там, есть число, получающееся от умножения этих 2 цифр, например, если ты хочешь узнать, чему равно 2жды 2: посмотри, где располагается 2 в левой стороне в первом ряду — она располагается рядом с 1 в левой стороне на самом верху, как ты можешь видеть; з[ат]ем посмотри, где располагается 2 в самом нижнем ряду треугольника, и иди от него вверх в том же ряду, пока не дойдешь напротив 2 в высшем месте, и там ты найдешь записанную 4, и это число, получающееся от умножения двухжды два, есть 4, как ты хорошо знаешь. Если цифра, которая умножается, больше другой, ты должен посмотреть, где большая цифра располагается в самом нижнем ряду треугольника, и идти вверх в том же ряду, пока [10] ты не дойдешь напротив меньшей цифры в левой стороне. И там ты найдешь число, получающееся от умножения; но ты должен понимать, что это правило, которое находится в этом стихе ¶ In digitum cures и т. д., равно как и этот треугольник, послужит лишь для того, чтобы находить числа, получающиеся от умножения 2 разрядов или составных чисел, для чего не нужно никакого искусства, если только ты не хочешь умножать в уме. И [лист 156а] *для этого у тебя впоследствии будет свое искусство, ибо ты будешь работать с цифрами в таблицах, как ты узнаешь об этом далее. Versus.

Как умножить одно составное число на другое.

¶ Postea procedas postremam multiplicando

[Recte multiplicans per cunctas inferiores]

Condicionem tamen tali quod multiplicantes

Scribas in capite quicquid processerit inde

Sed postquam fuit hec multiplicate figure

Anteriorenturserei multiplicantis

Et sic multiplica velut isti multiplicasti

Qui sequitur numerum scriptum quiscunque figuris.

Как умножить одно число на другое. ¶ Здесь он учит, как ты должен работать в этом искусстве. Ты умножишь последнюю цифру числа, и когда ты сделаешь это, ты сдвинешь все цифры нижнего числа больше к правой стороне, так что когда ты умножишь последнюю цифру высшего числа на все нижние цифры. Умножьте «последнюю» цифру высшего числа на «первую» нижнего числа. И поставь число, получающееся от этого, поверх последней цифры нижнего числа, а затем ты поставишь все остальные цифры нижнего числа ближе к правой стороне. ¶ И когда ты умножишь ту цифру, которая должна быть умножена следующей за ней, на все нижние цифры, и действуй так, как ты делал прежде, до [лист 156б] *тех пор, пока не дойдешь до конца. И ты должен понимать, что каждая цифра высшего числа должна быть умножена на все цифры нижнего числа, если высшее число представляет собой какую-либо цифру, отличную от единицы. Поставьте ответ над первой цифрой нижнего: вот пример, следующий ниже. 2465 232 Ты начнешь умножать с левой стороны. Умножь 2 на 2, и дважды два — 4. Поставь 4 затем умножьте вторую цифру нижнего и так далее. поверх головы этой 2, затем умножь ту же высшую 2 на 3 нижнего числа, так трижды два будет 6. Поставь 6 поверх головы 3, затем умножь ту же высшую 2 на ту 2, которая стоит под ней, это будет 4; убери высшую 2 и поставь [там] 4. Затем сдвинь вперед нижнее число: ¶ Теперь ты должен сдвинуть вперед нижнее число, то есть ты должен поставить нижнее число ближе к правой стороне, вот так. Возьми нижнюю 2 по направлению к правой стороне и поставь ее ровно под 4 высшего числа, и сдвинь вперед все цифры, которые идут после этой 2, вот так: поставь 2 под 4. Затем поставь цифру 3 туда, где стояла цифра 2, которая теперь находится под той 4 в высшем числе; затем поставь другую цифру 2, которая является последней цифрой в левой стороне нижнего числа, туда, где стояла цифра 3. как здесь. Затем ты получишь следующее число. 464465 232 [лист 157а] * ¶ Теперь умножь 4, которая идет непосредственно за 6, на последнюю 2 нижнего числа по направлению к левой стороне, то есть 2жды 4, это будет 8. Поставь эту 8 поверх цифры, которая стоит над головой этой 2, каторая является последней цифрой нижнего числа; затем умножь ту же самую 4 на 3, которая находится в нижнем ряду, это будет 12. Поставь цифру разряда составного числа поверх цифры, которая стоит над головой этой 3, и поставь разряд десятков этого составного числа поверх всех цифр, стоящих над головой нижнего 2. Теперь умножьте на предпоследнюю цифру высшего: затем умножь ту же 4 на 2 в правой стороне в нижнем числе, это будет 8. Убери 4 и поставь там 8. Всякий раз, когда ты умножаешь высшую цифру на ту цифру, которая стоит под ней, ты должен убрать эту высшую цифру и поставить там то число, которое получается от умножения этих цифр. как здесь. Когда ты сделаешь так, как я тебе велел, ты получишь такой порядок фигур, какой здесь имеется, 1 82 4648[65] 232 Затем возьми и сдвинь вперед свои нижние цифры. И поставь первую цифру нижних фигур [11] под цифру 6. ¶ И притяни все остальные цифры того же ряда к ней, [лист 157б] *как ты делал прежде. Затем умножь 6 на 2 и поставь то, что получается от этого, поверх голов всех остальных цифр, стоящих над этой 2. Затем умножь 6 на 3 и поставь все, что получается от этого, на головы всех цифр, стоящих над этой 3; затем умножь 6 на 2, которое стоит под этой 6, затем убери 6 и запиши там цифру составного числа, которая от этого получится, а разряд десятков поставь поверх всех цифр, стоящих над головой этой 3, как здесь, 11 121 828 464825 232 Сдвиньте цифры снова и умножьте на пять: затем сдвинь свои цифры, как ты делал прежде, и умножь 5 на 2, это будет 10; поставь 0 поверх всех цифр, стоящих над этой 2, и поставь эту 1 поверх голов следующих фигур, прямо по направлению к левой стороне. Затем умножь 5 на 3, это будет 15, запиши 5 поверх голов фигур, стоящих над этой 3, и поставь эту 1 поверх голов следующих фигур в направлении к левой стороне. Затем умножь 5 на 2, это будет 10. Убери эту 5 и поставь там 0, и поставь эту 1 поверх голов фигур, стоящих над 3. И тогда [лист 158а] *у тебя получится такое число, какое здесь стоит далее. 11 1101 1215 82820 4648 232 ¶ Теперь сложи все эти цифры вместе вот так: 6, 8, 1 и 1 сложи вместе, это будет 16, убери все эти цифры, кроме 6; пусть она останется, ибо если ты ее уберешь, тебе придется написать то же самое снова. Поэтому пусть она останется, и поставь 1 поверх головы цифры 4 в направлении к левой стороне; затем прибавь к 4, это будет 5. Затем сложите все цифры над чертой: убери эту 4 и эту 1 и поставь там 5. Затем сложи 4, 2, 2, 1 и 1 вместе, это будет 10. Убери все это и запиши там 4 и 0, и поставь эту 1 поверх головы следующей цифры в направлении к левой стороне, каковой является 6. Затем сложи эту 6 и эту 1 вместе, и это будет 7; убери 6 и поставь там 7, затем сложи 8, 8, 1, 0 и 1, и это будет 18; убери все цифры, стоящие над головой этой 8, и оставь 8 в покое, и запиши эту 1 поверх головы следующей цифры, каковой является 0. Затем убери этот 0 и поставь там 1, которое стоит над головой 0. Затем сложи 2, 5 и 1 вместе, это будет 8. Затем убери все это и запиши там 8. и у вас получится ответ. ¶ И тогда ты получишь это число: 571880.

Случаи этого искусства.

leaf 158 b.

* ¶ Sed cum multiplicabis, primo sic est operandum,

Si dabit articulum tibi multiplicacio solum;

Proposita cifra summam transferre memento.

Что делать, если первое умножение дает разряд десятков. ¶ Здесь он излагает первый случай этого искусства, который таков: если от умножения получается разряд десятков, поставь перед разрядом десятков в левой стороне вот так: 51 23 Умножь 5 на 2, это будет 10; поставь поверх головы этой 2 ноль (0), и поставь ту единицу, то есть разряд десятков, в левой стороне, которая находится рядом с ней, тогда ты получишь это число: 1051 23 ¶ И затем работай дальше, как ты делал прежде. И ты должен понимать, что ты не будешь писать никакой ноль (0), кроме тех случаев, когда то место, куда ты должен записать этот ноль (0), не имеет перед собой или после себя никакой фигуры. Versus.

¶ Si autem digitus excreuerit articulusque.

Articulus 12 supra proposito digito salit vltra.

Что делать, если в результате получается составное число. ¶ Вот второй случай, который таков: если случится так, что получится составное число, ты запишешь цифру поверх головы нижней фигуры, на которую ты умножаешь высшую фигуру; и поставь разряд десятков рядом с ней по направлению к левой стороне, как ты делал прежде, вот так: 83 83 Умножь 8 на 8, это будет 64. Запиши 4 над 8, то есть над головой нижнего 8; и поставь 6, которое [лист 159а] *является разрядом десятков, непосредственно после него. И тогда ты получишь такое число, какое здесь имеется, 6483 13 83 И затем работай дальше.

¶ Si digitus tamen ponas ipsum super ipsam.

Что делать, если это цифра. ¶ Вот третий случай, который таков: если случится так, что от твоего умножения получится цифра, ты запишешь эту цифру поверх головы нижней фигуры, на которую ты умножаешь высшую фигуру, ибо здесь не требуется примера.

¶ Subdita multiplica non hanc que [incidit] illi

Delet eam penitus scribens quod provenit inde.

Четвертый случай этого искусства. ¶ Здесь описывается 4-й случай, который заключается в следующем: если случится так, что нижняя фигура должна умножить ту фигуру, которая стоит над головой той фигуры, ты убери высшую фигуру и поставь там то, что получается от этого умножения. Если от этого умножения получается разряд десятков, ты запишешь там, где стояла высшая фигура, 0. ¶ И запиши разряд десятков в левой стороне; если это цифра, запиши там цифру; если это составное число, запиши цифру этого составного числа, а разряд десятков — в левой стороне. Всё это достаточно просто, поэтому здесь не требуется примера.

¶ Sed si multiplicat aliam ponas super ipsam

Adiunges numerum quem prebet ductus earum.

leaf 159 b. Пятый случай этого искусства. ¶ Вот 5-й случай, который таков: если *нижняя фигура должна умножить высшую, и эта высшая фигура находится не recte над своей головой, и эта нижняя фигура имеет другие фигуры или одну фигуру над своей головой в результате умножения, которое было произведено ранее, ты запишешь то число, которое получается от этого, поверх голов всех тех фигур, вот так, как здесь: 236 234 Умножь 2 на 2, это будет 4; поставь 4 поверх головы этой 2. Затем 14 умножь высшую 2 на нижнюю 3, это будет 6. Поставь над ее головой 6, умножь высшую 2 на нижнюю 4, это будет 8. Убери высшую 2, которая стоит над головой фигуры 4, и поставь там 8. И ты получишь это число здесь: 46836 234 И сдвинь свои фигуры, то есть поставь свой нижний 4 под высшим 3, и поставь свои 2 другие фигуры рядом с ним так, чтобы нижняя 2 стояла под высшей 6, каковая 6 находится в левой стороне, а 3 стояла под 8, как вы можете видеть далее: 46836 234 Теперь работай дальше и умножь ту высшую 3 на 2, это будет 6; поставь ту 6, которая стоит над головой этой 2, и затем работай так, как я научил тебя ранее.

leaf 160 a.

* ¶ Si supra posita cifra debet multiplicare

Prorsus eam deles & ibi scribi cifra debet.

Шестой случай этого искусства. ¶ Вот 6-й случай, который таков: если случится так, что фигура, с помощью которой ты должен умножить высшую фигуру, стоящую прямо над ней, равна нулю (0), ты должен убрать ту фигуру, которая находится над головой этого нуля. ¶ И записать там то число, которое получается от умножения, вот так: 23. Убери 2 и поставь там 0. Unde versus.

¶ Si cifra multiplicat aliam positam super ipsam

Sitque locus supra vacuus super hanc cifra fiet.

Седьмой случай этого искусства. ¶ Вот 7-й случай, который таков: если ноль (0) должен умножить фигуру, которая стоит не recte над ним, и над этим нулем ничего не стоит, ты должен записать над этим нулем другой ноль, вот так: 24 03 Умножь 2 на 0, получится ничего. Запиши там ноль (0) поверх головы нижнего нуля, и затем работай дальше, пока не дойдешь до конца.

¶ Si supra 15 fuerit cifra semper est pretereunda.

Восьмой случай этого искусства. ¶ Вот 8-й случай, который таков: если в высшем ряду имеется один или много нулей, ты не должен их умножать, а оставляешь их стоять. И сдвинь нижние фигуры к следующей значащей фигуре вот так: 00032 22 Перешагни через все эти нули и поставь [лист 160б] *нижнюю двойку (2), которая находится в правой стороне, и поставь ее под тройку (3), а другую нижнюю двойку поставь рядом с ней так, чтобы она стояла под третьим нулем, который находится рядом с тройкой. И затем работай. Unde versus.

¶ Si dubites, an sit bene multiplicacio facta,

Divide totalem numerum per multiplicantem.

Как сделать проверку умножения. ¶ Здесь он учит, как ты можешь узнать, хорошо ли ты всё сделал или нет. И он говорит, что ты должен разделить всё число, получающееся от умножения, на нижние цифры. И тогда ты получишь то же самое число, которое у тебя было в начале. Но ты еще не владеешь искусством деления, однако ты овладеешь им впоследствии.

¶ Per numerum si vis numerum quoque multiplicare

¶ Tantum per normas subtiles absque figuris

Has normas poteris per versus scire sequentes.

Умножение в уме. ¶ Здесь он учит тебя умножать с помощью мысли цифры в твоем уме. И смысл этого стиха таков: если ты хочешь умножить одно число на другое в уме, у тебя будут правила для этого в стихах, которые последуют далее.

¶ Si tu per digitum digitum vis multiplicare

Regula precedens dat qualiter est operandum.

Умножение цифры на цифру — это просто. ¶ Здесь он обучает правилу, как и прежде, умножать цифру на цифру, например, если ты хочешь узнать, чему равно шесть шестерок [лист 161а] *ты узнаешь это с помощью того правила, которому я научил тебя ранее, если ты помнишь его.

¶ Articulum si per reliquum reliquum vis multiplicare

In proprium digitum debet vterque resolui.

¶ Articulus digitos post se multiplicantes

Ex digitus quociens retenerit multiplicari

Articuli faciant tot centum multiplicati.

Первый случай этого искусства. ¶ Здесь он обучает первому правилу, которое таково: если ты хочешь умножить один десяток на другой так, чтобы оба десятка были в пределах сотни, ты поступишь следующим образом. Десяток на десяток; возьми цифру обоих десятков (ибо каждый десяток имеет цифру), затем умножь одну цифру на другую и посмотри, сколько единиц содержится в числе, получающемся от умножения этих 2 цифр, и столько же сотен содержится в числе, которое должно получиться от умножения этих самых 2 десятков, как показано далее. Пример: если ты хочешь узнать, чему равно десять раз по десять. Возьми цифру десятка, каковой является 1; возьми цифру того другого десятка, каковой является 1. ¶ Также умножь 1 на 1, то есть один раз один — это всего лишь 1. В единице содержится лишь одна единица, как ты хорошо знаешь, поэтому десять раз по десять — это всего лишь сотня. Другой случай: ¶ Также, если ты хочешь узнать, чему равно двадцать раз по 30. Возьми цифру двадцати, которая равна 2; и возьми цифру тридцати, которая равна 3. Умножь 3 на 2, это будет 6. Теперь в 6 содержится 6 единиц. ¶ И столько же сотен содержится в 20 раз по 30*, [лист 161б] *поэтому 20 раз по 30 равно ровно 6 сотням. Посмотри и убедись. ¶ Но если случится так, что один десяток находится в пределах сотни или между сотней и тысячей, так что это не полная тысяча, тогда посмотри, сколько единиц содержится в числе, получающемся от умножения 16 2 цифр каждого из десятков, [16] и столько же тысяч содержится в числе, получающемся от умножения. И столько же раз по десять тысяч будет содержаться в числе, получающемся от умножения 2 десятков, например, если ты хочешь узнать, чему равно 4 сотни умножить на [две сотни]. Умножь 4 на 2, [17] это будет 8; в 8 содержится 8 единиц. Как работать искусно без фигур. Умножение в уме. ¶ И столько же раз по десять тысяч содержится в 4 сотнях умножить на [2] сотни, [17] то есть 80 тысяч. Обрати внимание, я скажу тебе общее правило, когда у тебя есть 2 десятка и ты хочешь узнать, что получается от умножения их двух. Умножь цифру этого одного десятка и сохрани это число, затем посмотри, сколько нулей должно предшествовать этому одному десятку, если бы он был записан. Столько же нулей должно предшествовать тому другому, если бы он был записан цифрами. И держи все эти самые нули вместе в своем уме [лист 162а] *ряд за рядом один за другим, а в последнем месте поставь число, получающееся от умножения 2 цифр. И посмотри в своем уме, на каком месте оно стоит: на втором ли, на третьем, на четвертом или где-либо еще, и посмотри, что цифры обозначают на этом месте; и ровно столько составляет число, получающееся от умножения 2 десятков вместе, вот так: если ты хочешь узнать, чему равно 20 тысяч умножить на 3 тысячи. Умножь цифру того десятка, которая равна 2, на цифру того другого десятка, которая равна 3, это будет 6. Затем посмотри, сколько нулей должно приходиться на 20 тысяч, если бы число записывалось в таблице. Конечно, 4 нуля должны приходиться на 20 тысяч, ибо эта цифра 2 на первом месте обозначает два. Нумерация. ¶ На втором месте она обозначает двадцать. ¶ На третьем месте она обозначает 2 сотни. ¶ На четвертом — 2 тысячи. ¶ На пятом месте она обозначает двадцать тысяч. Поэтому она должна иметь 4 нуля перед собой, чтобы стоять на пятом месте. Сохрани эти 4 нуля в своем уме, затем посмотри, сколько нулей приходится на 3 тысячи. Конечно, на 3 тысячи [лист 162б] *приходятся 3 нуля перед ней. Теперь мысленно представь каждые 4 нуля, которые должны приходиться на двадцать тысяч, и эти 3 нуля, которые должны предшествовать 3 тысячам, и расположи их в ряд один за другим в своем уме так, как они стояли бы в таблице. И тогда у тебя будет 7 нулей; затем поставь ту 6, которая получается от умножения 2 цифр, после этих нулей на 8-е место, как если бы она стояла в таблице. И посмотри, что цифра 6 должна обозначать на 8-м месте, если бы она была в таблице, и именно столько она и составляет. И если эта цифра 6 стоит на первом месте, она должна обозначать лишь 6. ¶ На 2-м месте она должна обозначать шестьдесят. ¶ На 3-м месте она должна обозначать шесть сотен. Снова о нумерации. ¶ На 4-м месте — шесть тысяч. ¶ На 5-м месте — шестьдесят тысяч. ¶ На шестом месте — шестьсот тысяч. ¶ На 7-м месте — шесть тысяч тысяч. ¶ На 8-м месте — шестьдесят тысяч тысяч. Поэтому поставь 6 в octauo loco, и она будет обозначать шестьдесят тысяч тысяч. Умножение в уме. И ровно столько составляет двадцать тысяч умножить на 3 тысячи. ¶ И это правило является общим для всех видов десятков, будь то сотни или тысячи; но ты должен хорошо знать искусство работы в таблице [лист 163а] *прежде чем научишься делать это в уме по этому правилу. Ты должен помнить, что это правило имеет силу только там, где имеются 2 десятка и не более, из которых каждый имеет лишь одну значащую цифру, как например двадцать раз по 3 тысячи или 3 сотни, и тому подобное.

¶ Articulum digito si m u ltiplicare o portet

Articuli digit[i sumi quo multiplicate]

Debem us reliquu m quod m u ltiplicat ur ab ill is

P er reliq u o decuplu m sic su mma later e neq ui b i t.

Третий случай искусства; ¶ Вот он приводит третье правило, которое таково: если ты хочешь умножить в уме, а десяток является цифрой, ты должен проследить, чтобы цифра была в пределах ста, затем ты должен умножить цифру десятка на другую цифру. И каждая единица в числе, которое получится от этого, будет означать десять. Как например: пример. Если ты хочешь узнать, сколько будет дважды 40, умножь цифру числа 40, которая есть 4, на другую цифру, которая есть 2. И это будет 8. И в числе 8 содержится 8 единиц, и каждая из этих единиц должна означать 10. Поэтому там будет 8 раз по 10, что составит 4 десятка [80]. И столько же получается от дважды 40. ¶ Если десяток представляет собой сотню или две сотни и тысячу, лишь бы это не было тысячей, лист 163 b. * действуй так же, как ты делал прежде, с тем лишь исключением, что ты должен считать каждую единицу за сотню.

¶ In nu meru m mixtu m digitu m si ducer e cures

Articul us mixti sumat ur deinde resoluas

In digitu m post fac respectu de digitis

Articul us q ue docet excrescens in diriua n do

In digitu m mixti post ducas m u ltiplica n te m

¶ De digitis vt norma 18 [docet] de [hunc]

Multiplica si mu l et sic postea summa patebit.

Четвертый случай искусства: Вот он приводит 4-е правило, которое таково: если ты умножаешь составное число на цифру, как, например, 6 на 24, 19, то возьми цифру этого составного числа и умножь эту цифру на ту другую цифру, и сохрани число, которое от этого получается. Затем возьми цифру этого составного числа и умножь эту цифру на другую цифру, на которую ты умножил цифру десятка, и посмотри, что от этого получится. Составное число на цифру. Затем возьми это число и прибавь его к тому другому числу, которое ты ищешь. Как например, если ты хочешь узнать, что получается от 6 раз по 4 и двадцать [24]. Умственное умножение. Умножь десяток составного числа на цифру, которая есть 6, как тебя учили в третьем правиле, и это составит 6 десятков [60]. Затем умножь цифру составного числа, лист 164 a. *которая есть 4, и умножь ее на ту другую цифру, которая есть 6, как тебя учили в первом правиле, если ты помнишь об этом, и это составит 4 и двадцать [24]. Сложи все эти числа вместе, и получится 144. И столько же составляет 6 раз по 4 и двадцать [24].

Как умножать без цифр.

¶ Duct us in articulu m num erus si com posit us sit

Articulu m puru m comites articulu m q u o qu e

Mixti pro digit is post fiat [et articulus vt]

Norma iubet [retinendo quod extra dicta ab illis]

Articuli digitu m post tu mixtu m digitu m duc

Re gula de digitis nec p re cedit articul us q ue

Ex quib us exc re scens su mme tu iunge p ri ori

Sic ma nifesta cito fiet t ibi su mma petita.

Пятый случай искусства: ¶ Вот он приводит 5-е правило, которое таково: если ты хочешь умножить десяток на составное число, умножь этот десяток на десяток составного числа и действуй так, как тебя учили во втором правиле, стих которого начинается так. Десяток на составное число. ¶ Articulum si per Relicum vis multiplicare. Затем умножь цифру составного числа на тот другой десяток согласно учению 3-го правила. Обрати на это особое внимание, я прошу тебя, следующим образом. Если ты хочешь узнать, что такое 24 раза по десять. Пример. Умножь десять на 20, это составит 2 сотни. Затем умножь цифру числа 10, которая есть 1, на цифру составного числа, которая есть 4, и т лист 164 b. *о составит 4. Затем считай каждую единицу, содержащуюся в 4, за 10, и это составит 40. Прибавь 40 к 2 сотням, и это составит 2 сотни и 40. И столько же составляет 24 раза по десять.

Как работать без цифр.

¶ Compositu m num er u m mixto si[c] m u ltiplicabis

Vndecies tredeci m sic e st ex hiis op er andum

In reliquu m p rimu m demu m duc post in eund em

Vnu m post den u m duc in t ri a dei nde p er vnu m

Multiplices que dem u m int ra o mnia m u ltiplicata

In su mma decies q ua m si fu er it t ibi doces

Multiplicandor um de normis sufficiunt h ec.

Шестой случай искусства: ¶ Вот он приводит 6-е правило, последнее из всех правил умножения, которое таково: если ты хочешь умножить составное число на другое составное число, ты должен сделать следующее. Составное число на составное число. Умножь то составное число, какое пожелаешь из двух, на десяток другого составного числа, как тебя учили в 5-м правиле; затем умножь это же составное число, которое ты умножил на другой десяток, на цифру другого составного числа, Умственное умножение. как тебя учили в 4-м правиле. Пример. Как например, если ты хочешь узнать, что такое 11 раз по 13, как тебя учили в 5-м правиле, и это составит сотню и десять; после этого умножь то же самое составное число, которое ты умножил, а именно 11, и умножь его на цифру другого составного числа, которая есть 3, ибо 3 — это цифра числа 13, и это составит 30. Затем возьми цифру того составного числа, каковое составное число ты умножил на цифру того другого составного числа, лист 165 a. *а именно 11. Из шестого случая искусства. ¶ Также каковое число 11 имеет единицу в качестве цифры. Умножь эту цифру на цифру того другого составного числа, каковой цифрой является 3, как тебя учили в первом правиле в начале этого искусства, каковое правило начинается так: «In digitum cures». И от всего умножения двух цифр получается три, ибо однажды 3 — это всего лишь 3. Теперь сложи все эти числа вместе, а именно: сотню, десять, 30 и 3. И все это составит 143. Запиши 3 сначала с правой стороны. И прибавь 10 к 30, что составит 40. Поставь 40 сразу после в левую сторону, и поставь после сотню, как здесь приводится пример: 143.

(Остальное отсутствует.)

1. В рукописи: «awiy».

2. «ben» повторяется в рукописи.

3. В рукописи: «thausandes».

4. Возможно, «So» (Так).

5. «hali» помечено для удаления в рукописи.

6. В рукописи: «moy».

7. «Subtrahas aut addis a dextris vel mediabis» добавлено на полях рукописи.

8. После слова «craft» вставить «the .4. what is þe profet of þis craft».

9. После слова «sythes» вставить «& þis wordes fyue sithe & sex sythes».

10. «t'l» помечено для удаления перед «tyl» в рукописи.

11. Здесь «of þe same rew» помечено для удаления в рукописи.

12. «sed» зачеркнуто в рукописи.

13. 6883 в рукописи.

14. «þen» написано поверх «þat», помеченного для удаления.

15. «Supra» вставлено в рукописи вместо «cifra», помеченного для удаления.

16–16. Помечено для удаления в рукописи.

17. 4 в рукописи.

18. docet. decet MS.

19. «4 times 4» в рукописи.

[Рукопись Ашмола 396, фолио 48.]

Боэций говорит в начале своей аритметики: — Все вещи, которые существовали с самого первого начала вещей, произошли и возникли, и сформированы посредством числа; и каковы они есть, таковыми они должны быть и познаваемы; поэтому во всеобщем познании вещей искусство счисления является наилучшим и наиболее действенным.

Поэтому, поскольку наука, о которой мы в настоящее время намереваемся Название искусства. написать, целиком состоит из чисел и касается их: прежде всего мы должны посмотреть, каково ее собственное название и откуда это название произошло: впоследствии — что такое число и сколько существует видов чисел. Это название именуется алгоризмом, Происхождение алгоризма. происходящим из Алгора или от греческого «алгос», что называется по-английски искусством или ремеслом [art or craft], и «ритмус», который называется числом. Таким образом, алгоризм называется искусством счисления, Другое. или же оно происходит от «en» или «in» и «гогос», что означает введение, и «ритмус» — число, то есть введение в число. Другое. И в-третьих, оно происходит от имени короля по имени Алго и «ритмус»; отсюда название «алгоризмус». Виды чисел. Воистину два вида чисел бывают отмечены: Формальное, 1 как число есть единицы, собранные вместе; Материальное, 2 как число есть совокупность единиц. Другое число есть множество, получаемое из единиц, [причем] единица есть та вещь, посредством которой каждая вещь называется единицей или иной вещью. Среди чисел одно называется цифрой, другое — десятком, иное — составным или смешанным числом. Цифра — это число в пределах 10; десяток — это число, которое может быть разделено на 10 равных частей так, чтобы не оставалось остатка; составное или смешанное число — это число, которое получается из цифры и десятка. И хорошо пойми, что все числа между двумя ближайшими десятками суть составные числа. 9 правил искусства. Из этого искусства имеется 9 видов, а именно: нумерация, сложение, вычитание, медиация, дупликация, умножение, деление, прогрессия и извлечение корней, каковое может производиться двумя способами, а именно: для квадратных и для кубических чисел: среди которых я намерен написать сначала о нумерации, а затем по порядку об остальных.