«Древнейшая арифметика на английском языке»

Этот текст содержит символы, которые отображаются только в кодировке файла UTF-8 (Unicode):

ȝ, ſ (йог, длинная s) ɳ, łł (n с завитушкой, перечеркнутая l: см. ниже) φ (греческая фи, иногда используемая в печатном тексте для 0)

Если какие-либо из этих символов отображаются некорректно или если апострофы и кавычки в этом абзаце выглядят как белиберда, возможно, у вас несовместимый браузер или отсутствуют необходимые шрифты. Сначала убедитесь, что для «кодировки символов» или «кодировки файла» в браузере установлен Unicode (UTF-8). Вам также может потребоваться изменить шрифт браузера по умолчанию.

В трактате «The Crafte of Nombrynge» конечная буква n иногда писалась с дополнительной завитушкой в виде . Она передана как ɳ для визуального эффекта; этот символ не предназначен для передачи фонетической информации. В том же отрывке цифра «0» иногда печаталась в виде греческой буквы φ (фи); она была сохранена для электронного текста. Двойная буква l с чертой отображается как łł. Первые несколько появлений буквы d (обозначающей «пенсы») были напечатаны с завитушкой в виде . Эта буква отображается с той же буквой d’, используемой в остальной части текста.

Слово «withdraw» или «w i t h draw» переносилось с дефисом непоследовательно; оно оставлено так, как было напечатано, а дефисы на конце строк сохранены. Все квадратные скобки [ ] присутствуют в оригинале.

Диаграммы в разделе «Accomptynge by Counters» могут выравниваться не идеально во всех браузерах, но их содержимое все равно должно быть понятным.

Оригинальный текст содержал по меньшей мере пять типов маргинальных примечаний. Подробности приведены в конце электронного текста.

Типографские ошибки отмечены в тексте всплывающими подсказками при наведении указателя мыши. Другие подчеркнутые слова являются перекрестными ссылками на «Индекс технических терминов» и «Глоссарий».

Оглавление (добавлено составителем)

Introduction

v

The Crafte of Nombrynge

3

The Art of Nombryng

33

Accomptynge by Counters

52

Искусство счета на пальцах

66

Прил. I. Трактат о нумерации алгоризма

70

Прил. II. Carmen de Algorismo

72

Index of Technical Terms

81

Glossary

83

Древнейшие трактаты по арифметике на английском языке

ИЗДАНО С ВВЕДЕНИЕМ

СОСТАВИЛ

РОБЕРТ СТИЛ

ЛОНДОН:

ОПУБЛИКОВАНО ДЛЯ ОБЩЕСТВА ПО ИЗДАНИЮ РАННИХ АНГЛИЙСКИХ ТЕКСТОВ

ХАМФРИ МИЛФОРДОМ, ОКСФОРД УНИВЕРСИТЕТ ПРЕСС,

АМЕН-КОРНЕР, E.C. 4. 1922.

ВВЕДЕНИЕ

Количество английских трактатов по арифметике, созданных до XVI века, весьма невелико. В этом нет ничего удивительного, поскольку до середины XV века любой, кому требовалось применять даже простейшие операции этого искусства, скорее всего, владел латынью, на каноническом языке которой существовало несколько трактатов в значительном числе рукописей, о чем свидетельствует их количество, дошедшее до наших дней. До тех пор пока современная торговля не получила должного развития, немногие нуждались в арифметике сложнее сложения и вычитания, и даже в XIII веке в научных трактатах, адресованных продвинутым студентам, предполагалась вероятность того, что они не смогут выполнить простое деление. С другой стороны, изучение астрономии с самых ранних дней ее существования как науки требовало значительного мастерства и точности в вычислениях, не только при расчете астрономических таблиц, но и при их использовании, знание которого было довольно широко распространено с XIII по XVI век.

Известные мне арифметические трактаты на английском языке следующие:

(1) Bodl. 790 G. VII. (2653) f. 146-154 (XV в.) нач. «Of angrym ther be IX figures in numbray ...» Простой незавершенный фрагмент, доходящий только до дупликации.

(2) Camb. Univ. LI. IV. 14 (III.) f. 121-142 (XV в.) нач. «Al maner of thyngis that prosedeth ffro the frist begynnyng ...»

(3) Фрагментарные отрывки или диаграммы в Sloane 213 f. 120-3 (счетная доска XIV века), Egerton 2852 f. 5-13, Harl. 218 f. 147 и

(4) Две рукописи, публикуемые здесь: Eg. 2622 f. 136 и Ashmole 396 f. 48. Все они, как показывает язык, относятся к XV веку.

Трактат «The Crafte of Nombrynge» является одним из множества научных трактатов, преимущественно на латыни, сброшюрованных вместе в качестве рукописи Egerton MS. 2622 в библиотеке Британского музея. Его размер составляет 7” × 5”, на странице от 29 до 30 строк, написанных грубым почерком. Английский язык относится к диалекту северо-восточных графств Средней Англии. Это перевод и расширение одного из многочисленных глоссариев к труду «de algorismo» Александра Вильдеюского (ок. 1220 г.), подобного глоссарию Томаса Ньюмаркетского, содержащемуся в рукописи Британского музея Reg. 12, E. 1. Фрагмент другого перевода той же глоссы был опубликован Холливеллом в его «Rara Mathematica» (1835), стр. 291. Он соответствует (вплоть до стр. 71, стр. 2) примерно стр. 3 нашей версии, а оттуда до конца — стр. 2, стр. 16-40.

Трактат «The Art of Nombryng» является одним из трактатов, сброшюрованных в рукописи Бодлианской библиотеки Ashmole 396. Его размер составляет 11½” × 17¾”, и он написан тридцатью тремя строками на странице почерком XV века. Это довольно буквальный перевод с дополнениями трактата «de arte numerandi», приписываемого Иоанну Сакробоско, причем переводчик явно имел перед собой плохую рукопись. Трактат «de arte numerandi» печатался в 1488, 1490 (s.n.), 1501, 1503, 1510, 1517, 1521, 1522, 1523, 1582 годах, а также отдельно Холливеллом и в двух изданиях его «Rara Mathematica» 1839 и 1841 годов, и переиздан Курце в 1897 году.

Оба эти трактата публикуются здесь впервые, но поскольку первый из них распространялся в корректурных оттисках много лет назад в попытке обнаружить другие рукописи или части рукописей, доктор Дэвид Юджин Смит, неправильно поняв ситуацию, опубликовал несколько страниц в виде любопытной транскрипции с четырьмя факсимиле в журнале «Archiv für die Geschichte der Naturwissenschaften und der Technik» за 1909 год и призвал научное сообщество взяться за «неприятную задачу» его редактирования.

Трактат «Accomptynge by Counters» перепечатан из издания арифметики Роберта Рекорда 1543 года, отпечатанного Р. Вульфом. Он был переиздан несколько лет назад мистером Ф. П. Барнардом в его работе о счетных жетонах. Это древнейший известный нам английский трактат об этой разновидности абака (существуют латинские трактаты конца XV века), однако у меня нет сомнений в том, что этот метод выполнения простейших арифметических операций намного старше любых письменных методов. В конце трактата следует примечание о способах записи сумм купюрами и аудиторами, и, наконец, система цифровой нумерации, которая кажется весьма древней и распространенной почти по всему миру.

В качестве приложения после уже упомянутого фрагмента я публикую поэму «Carmen de Algorismo» Александра Вильдеюского в расширенном и исправленном виде. Впервые она была напечатана Холливеллом в «Rara Mathematica», но я добавил ряд строф из различных рукописей, отбирая разночтения по принципу того, чтобы стихи сканировались, чему способствовал совет моего друга мистера Вернона Рендолла, который не несет ответственности за те немногие сомнительные строки, которые я сохранил. Эта поэма лежит в основе всех остальных трактатов по данному предмету в средневековые времена, однако я не могу указать ее источники.

Предметная область.

Древние и средневековые авторы проводили различие между наукой и искусством арифметики. Классические трактаты на эту тему — труды Евклида у греков и Боэция у латинян — посвящены науке арифметики, однако очевидно, что одновременно с практической астрономией должно было существовать и искусство вычислений, достигшее значительного прогресса. Если ранние трактаты об этом искусстве вообще существовали, то они почти по необходимости должны были быть написаны на греческом языке, который был языком науки для римлян до тех пор, пока существовала латинская цивилизация. Но в их отсутствие можно с уверенностью утверждать, что с помощью буквенной нотации греков и римлян никакие сложные операции не выполнялись и не могли быть выполнены. Новые авторы действительно составляли образцовые примеры сумм, которые демонстрируют такую возможность, но абсурдно думать, что ученые мужи, знакомые с египетскими методами и владевшие абаком2, были неспособны разработать методы для его использования.

Досредневековые инструменты, используемые в вычислениях.

Известны следующие:

(1) Плоская отполированная поверхность или таблички, посыпанные песком, на которых фигуры вычерчивались стилом.

(2) Отполированная табличка, разделенная продольно на девять колонок (или более), сгруппированных по три, на которой использовались счетные жетоны — простые или помеченные знаками, обозначающими девять цифр и т. д.

(3) Таблички или ящики, содержащие девять желобков или проволок, в которых или на которых перемещались бусины.

(4) Таблички, на которых были начерчены девять (или более) горизонтальных линий, причем каждая третья линия была отмечена особо.

Единственная известная нам греческая счетная доска относится к четвертому классу и была обнаружена на Саламине. Она высечена на мраморном блоке и имеет размеры 5 на 2½ фута. Ее основная часть состоит из одиннадцати параллельных линий, причем 3-я, 6-я и 9-я линии отмечены крестом. Другой участок состоит из пяти параллельных линий, и имеются три ряда арифметических символов. Эту доску можно было использовать только со счетными жетонами (calculi), предпочтительно немаркированными, как в нашем трактате «Accomptynge by Counters».

Классические римские методы вычислений.

У нас есть свидетельства о двух методах вычислений в древнем Риме: один — с помощью первого метода, при котором песчаная поверхность разделялась на колонки с помощью стила или руки. В вычислениях использовались счетные жетоны (calculi или lapilli), которые хранились в коробочках (loculi), как мы узнаем от школьников Горация (Sat. 1. vi. 74). О песчаной поверхности см. Персий I. 131: «Nec qui abaco numeros et secto in pulvere metas scit risisse», Апулей (Apol. 16, pulvisculo), Марциан Капелла (кн. VII. 3, 4) и др. Цицерон говорит об искусном вычислителе: «eruditum attigisse pulverem» (de nat. Deorum, ii. 18). Тертуллиан называет преподавателя арифметики «primus numerorum arenarius» (de Pallio, in fine). Жетоны изготавливались из различных материалов, главным образом из слоновой кости: «Adeo nulla uncia nobis est eboris, etc.» (Juv. XI. 131), иногда из драгоценных металлов: «Pro calculis albis et nigris aureos argenteosque habebat denarios» (Pet. Arb. Satyricon, 33).

Тем не менее до сих пор существуют четыре римские счетные доски такого рода, который, судя по всему, не отражен в литературе. Типичная доска относится к третьему классу. Она состоит из нескольких поперечных проволок, разорванных посередине. На левую часть нанизаны четыре бусины, на правую — одна (или две). Бусины слева обозначают единицы, бусина справа — пять единиц. Таким образом, можно представить любое число до девяти. Этот инструмент по всем основным признакам аналогичен суаньпаню или абаку, используемому на Дальнем Востоке. Русские счеты, применяемые по всей Восточной Европе, еще проще. Метод использования этой системы точно такой же, как в «Accomptynge by Counters», где правая бусина, обозначающая пять, заменяет жетон между линиями.

Абак Боэция.

Между классической эпохой и X веком мы почти не имеем руководств по искусству вычислений. Боэций (V век) в конце второй книги своей «Геометрии» приводит рисунок абака второго класса с набором жетонов, расположенных внутри него. Однако с большой долей вероятности утверждалось, что весь этот пассаж является интерполяцией X века. Поскольку правила его использования не приводятся, главная ценность рисунка заключается в том, что на нем представлены знаки девяти чисел, известные как боэциевы «апексы» или «ноты» (отсюда происходит наше слово «нотация»). К ним мы вернемся позже.

Абацисты.

Представляется вероятным, что авторы трудов по календарю, такие как Беда (721 г. н. э.) и Хелперик (903 г. н. э.), были способны выполнять простейшие вычисления, хотя мы не можем догадаться об их методах, и в большинстве своем они зависели от таблиц, заимствованных из греческих источников. У нас нет раннесредневековых трактатов по арифметике вплоть до конца X века, когда мы обнаруживаем возрождение научного интереса, сосредоточенного для нас вокруг имени Герберта, который в 999 году стал папой под именем Сильвестра II. Его трактат об использовании абака был написан (ок. 980 г.) другу Константину и впервые был издан среди сочинений Беды в базельском издании его трудов (1563 г., т. I, стр. 159) в несколько расширенном виде. Другим трактатом X века является труд Аббона Флёрийского (ок. 988 г.), сохранившийся в нескольких рукописях. Лишь очень немногие трактаты об использовании абака можно с уверенностью отнести к XI веку, но с начала XII века их число быстро возрастает, судя по сохранившимся экземплярам.

Абацисты использовали постоянную доску, обычно разделенную на двенадцать колонок; колонки были сгруппированы по три, причем каждая колонка называлась «аркус» (arcus), а значение фигуры в ней составляло десятую часть от того значения, которое она имела бы в колонке слева, как в нашей позиционной арифметике. На этой доске использовались счетные жетоны или жетоны-жеты, либо простые, либо, что более вероятно, помеченные числовыми знаками, которыми у ранних абацистов были «апексы», хотя жетоны античных времен иногда отмечались с одной стороны цифровыми знаками, а с другой — римскими цифрами. Два диска из слоновой кости такого рода из коллекции Гамильтона можно увидеть в Британском музее. Рихер утверждает, что Герберт изготовил для целей вычислений тысячу роговых жетонов; обычное количество жетонов в наборе в XVI и XVII веках составляло сто штук.

Трактаты об абаке обычно состоят из глав о нумерации, объясняющих нотацию, и правил умножения и деления. Сложение, поскольку оно требовало каких-либо правил, естественным образом подпадало под умножение, тогда как вычитание было задействовано в процессе деления. Этих правил было вполне достаточно в Западной Европе в те века, когда торговля почти не существовала, а астрономия не практиковалась, и даже они требовались лишь при составлении календаря и распределении средств королевской казны. В Англии, например, когда гайда превратилась из обычного крестьянского надела в единицу налогообложения, расчет гельда в каждом графстве требовал выполнения задачи на деление; как мы знаем из того факта, что один из абацистов предлагает задачу: «Если с графства Эссекс, которое, согласно Хью де Бокланду, содержит 2500 гайд, взимается 200 марок, сколько платит каждая гайда?»3 Методы казначейства вплоть до XVI века основывались на абаке, хотя, судя по более поздним подробностям, использовалась иная, более простая форма.

Главной трудностью ранних абацистов, из-за отсутствия цифры, обозначающей ноль, было размещение результатов и промежуточных операций в правильных колонках абака, особенно при выполнении деления. Основные различия, заметные в их трудах, касаются методов реализации этого правила. Деление выполнялось либо напрямую, либо с помощью разности между делителем и ближайшим большим числом, кратным десяти. Поздние абацисты проводили различие между «железными» и «золотыми» методами деления. Ниже приведены примеры, взятые из трактата XII века. При прослеживании операций следует помнить, что фигура со звездочкой обозначает жетон, снятый с доски. Ноль очевидно не требуется, и результат может быть записан словами.

(a) Умножение. 4600 × 23.

Thousands

H

u

n

d

r

e

d

s T

e

n

s U

n

i

t

s H

u

n

d

r

e

d

s T

e

n

s U

n

i

t

s

4 6 Multiplicand.

1 8 600 × 3.

1 2 4000 × 3.

1 2 600 × 20.

8 4000 × 20.

1 5 8 Total product.

2 3 Multiplier.

(b) Division: direct. 100,000 ÷ 20,023. Here each counter in turn is a separate divisor.

H. T. U. H. T. U.

2 2 3 Divisors.

2 Поместите наибольший делитель справа от делимого.

1 Dividend.

2 Remainder.

1

1 9 9 Another form of same.

8 Произведение 1-го частного и 20.

1 9 9 2 Remainder.

1 2 Произведение 1-го частного и 3.

1 9 9 8 Final remainder.

4 Quotient.

(c) Деление через разности. 900 ÷ 8. Здесь мы делим на (10-2).

H. T. U.

2 Difference.

8 Divisor.

49 Dividend.

41 8 Произведение разности на 1-е частное (9).

2 Произведение разности на 2-е частное (1).

41 Sum of 8 and 2.

2 Произведение разности на 3-е частное (1).

4 Произведение разности на 4-е частное (2). Остаток.

2 4th Quotient.

1 3rd Quotient.

1 2nd Quotient.

9 1st Quotient.

1 1 2 Частное. (Сумма всех четырех).

Деление. 7800 ÷ 166.

Thousands

H. T. U. H. T. U.

3 4 Разности (принимая 200 за пробный делитель).

1 6 6 Divisors.

47 8 Dividends.

1 Остаток наибольшего делимого.

1 2 Произведение 1-й разности (4) на 1-е частное (3).

9 Произведение 2-й разности (3) на 1-е частное (3).

42 8 2 New dividends.

3 4 Произведение 1-й и 2-й разностей на 2-е частное (1).

41 1 6 New dividends.

2 Произведение 1-й разности на 3-е частное (5).

1 5 Произведение 2-й разности на 3-е частное (5).

43 3 New dividends.

1 Остаток наибольшего делимого.

3 4 Произведение 1-й и 2-й разностей на 4-е частное (1).

1 6 4 Остаток (меньше делителя).

1 4th Quotient.

5 3rd Quotient.

1 2nd Quotient.

3 1st Quotient.

4 6 Quotient.

Деление. 8000 ÷ 606.

Thousands

H. T. U. H. T. U.

9 Разность (принимая 700 за пробный делитель).

4 Difference.

6 6 Divisors.

48 Dividend.

1 Remainder of dividend.

9 4 Произведение разностей 1 и 2 с 1-м частным (1).

41 9 4 New dividends.

3 Остаток наибольшего делимого.

9 4 Произведение разностей 1 и 2 со 2-м частным (1).

41 3 3 4 New dividends.

3 Остаток наибольшего делимого.

9 4 Произведение разностей 1 и 2 с 3-м частным (1).

7 2 8 New dividends.

6 6 Произведение делителей на 4-е частное (1).

1 2 2 Remainder.

1 4th Quotient.

1 3rd Quotient.

1 2nd Quotient.

1 1st Quotient.

1 3 Quotient.

Главными абацистами являются Герберт (X век), Аббон и Герман Расслабленный (1054 г.), которым приписывают возрождение этого искусства, а также Бернелин, Герланд и Радульф Лаонский (XII век). Нам известны следующие английские абацисты: Роберт, епископ Херефорда (1095 г.), который «abacum et lunarem compotum et celestium cursum astrorum rimatus», Турхилл Компотист (Турхил) и через него Вильгельм Р. . . . «лучший из живущих вычислителей», Гизлеберт и Симон де Ротелли (Симон Свитков). Они процветали, вероятнее всего, в первой четверти XII века, поскольку трактат Турхила касается также дробей. Вальчер Даремский, Томас Йоркский и Самсон Вустерский также известны как абацисты.

В конце концов термин «абацисты» стал применяться к вычислителям, использовавшим ручную арифметику. Алгоритмический трактат XIII века (Sl. 3281, f. 6, b) содержит следующий пассаж: «Est et alius modus secundum operatores sive practicos, quorum unus appellatur Abacus; et modus ejus est in computando per digitos et junctura manuum, et iste utitur ultra Alpes».

В составном трактате, содержащем сочинения 1157 и 1208 гг. н. э. о календаре, абаке, ручном календаре и ручном абаке, сохранился ряд методов. В качестве примера мы приводим правило для умножения (Claud. A. IV., f. 54 vo): «Si numerus multiplicat alium numerum auferatur differentia majoris a minore, et per residuum multiplicetur articulus, et una differentia per aliam, et summa proveniet». Пример: 8 × 7. Разность 8 составляет 2, а 7 — 3, при этом ближайший десяток равен 10; 7 - 2 = 5. 5 × 10 = 50; 2 × 3 = 6. 50 + 6 = 56 — ответ. Это правило будет действовать в таких случаях, как 17 × 15, где ближайший высший десяток одинаков для обоих чисел, то есть 20; но в таких случаях, как 17 × 9, разность для каждого числа должна вычитаться из большего десятка, то есть разность 9 будет равна 11.

Алгоритмики.

Алгоризм (augrim, augrym, algram, agram, algorithm) обязан своим названием той случайности, что первый переведенный с арабского языка арифметический трактат оказался трудом Аль-Хорезми, написанным в начале IX века («de numeris Indorum»), который в своей латинской форме начинается со слов «Dixit Algorismi...» Перевод, из которого известна лишь одна рукопись, был выполнен около 1120 года Аделардом Батским, который также писал об абаке и перевел с арабского языка Евклида с комментариями. Весьма вероятно, что другой вариант перевода был выполнен Герардом Кремонским (1114-1187); количество важных трудов, которые переводились с арабского более одного раза, уменьшается с каждым годом по мере расширения наших знаний о средневековых текстах. Несколько строк этого перевода в копии Холливела приведены на стр. 72, примеч. 2. Еще один перевод, судя по всему, был выполнен Иоанном Севильским.

Алгоризм отличается от вычислений абацистов тем, что признает семь правил: сложение, вычитание, дупликацию, медиацию, умножение, деление и извлечение корней, к которым впоследствии добавились нумерация и прогрессия. Он также отличается использованием нуля, что позволило вычислителю обходиться без колонок абака. В нем очевидно используется доска с мелким песком или воском, а позднее — в качестве замены — бумага или пергамент; грифельная доска и карандаш также применялись в XIV веке, а насколько раньше — неизвестно5. Алгоризм быстро вытеснил методы абака для всех сложных вычислений, поскольку он был проще и легче проверялся: фактически астрономическое возрождение XII и XIII веков было бы невозможно без его помощи.

Количество латинских алгоризмов, сохранившихся в рукописях, сравнительно велико, однако здесь мы имеем дело лишь с двумя: прозаическим алгоризмом, приписываемым Сакробоско (Иоанну Сакробоско) в колофоне парижской рукописи, хотя это приписывание больше не считается окончательным, и другим — в стихах, вероятнее всего, принадлежащим Александру Вильдеюскому (Villa Dei). Александр, умерший в 1240 году, преподавал в Париже в 1209 году. Его стихотворный трактат о календаре датирован 1200 годом, и к тому же периоду можно отнести его алгоризм; Сакробоско умер в 1256 году и цитирует стихотворный алгоризм. Было создано несколько комментариев к стихотворному трактату Александра, из одного из которых был переведен наш первый трактат, а сам текст время от времени расширялся за счет добавления разделов о доказательствах и устном счете. Мы не имеем указаний на источник, которым пользовался Александр; скорее всего, это был один из переводов труда Аль-Хорезми, но он также держал в уме абацистов, о чем свидетельствует сохранение использования разностей при умножении. Его трактат, впервые опубликованный Холливеллом-Филлиппсом в его сборнике «Rara Mathematica», приспособлен для использования на доске, покрытой песком, — методе, почти универсальном в XIII веке, как показывают некоторые уже цитировавшиеся отрывки из алгоризмов того периода: «Est et alius modus qui utitur apud Indos, et doctor hujusmodi ipsos erat quidem nomine Algus. Et modus suus erat in computando per quasdam figuras scribendo in pulvere...» «Si voluerimus depingere in pulvere predictos digitos secundum consuetudinem algorismi...» «et sciendum est quod in nullo loco minutorum sive secundorum... in pulvere debent scribi plusquam sexaginta».

Современная арифметика.

Современная арифметика начинается с трактата Леонардо Фибоначчи «de Abaco», написанного в 1202 году и переписанного в 1228 году. Он является современным скорее по кругу своих задач и методам подхода к ним, чем по самим методам вычислений, которые соответствуют его эпохе. Его единственный интерес для настоящей работы заключается в том, что Леонардо использует цифровые знаки, описанные в трактате Рекорда «The arte of nombrynge by the hand», для устного счета, называя этот метод «modus Indorum». Леонардо также вводит метод проверки «девятью».

Пальцевая арифметика.

Метод обозначения чисел с помощью пальцев имеет весьма долгую историю. Британский музей располагает двумя жетонами из слоновой кости, на одной стороне которых небрежно выцарапаны римские цифры IIIV и VIIII, а на другой — тщательно выгравированы цифровые знаки для 8 и 9. Шестнадцать, по-видимому, было количеством полного набора. Эти жетоны использовались либо в играх, либо для счетной доски, и музейные экспонаты, происходящие из коллекции Гамильтона, несомненно, созданы не позже I века. Фрёнер опубликовал в «Zeitschrift des Münchener Alterthumsvereins» почти полный набор таких жетонов вместе с византийским трактатом; латинский трактат опубликован среди сочинений Беды. Использование этого метода универсально на Востоке, а его разновидность встречается у многих коренных народов Африки. В средневековой Европе он был почти ограничен Италией и бассейном Средиземноморья, и в уже цитировавшемся трактате (Sloane 3281) он даже называется абаком, что, возможно, является отголоском труда Фибоначчи.

Методы вычислений с помощью этих знаков, несомненно, существовали, но они были слишком сложными и подверженными ошибкам, чтобы получить широкое распространение.

Использование «арабских» цифр.

В настоящее время Бубновым можно считать доказанным, что наши нынешние цифры происходят из греческих источников через так называемые боэциевы «апексы», которые впервые встречаются в рукописях конца X века. То, что они произошли не напрямую из арабского языка, кажется несомненным из-за различающихся очертаний некоторых цифр, особенно 0, который в арабском обозначает 5. Существовала иная греческая форма, которая была введена в Европе Иоанном Базингстокским в XIII веке и изображена Матвеем Парижским (V. 285); однако эта форма не имела успеха. Дата появления нуля горячо дебатировалась, но представляется очевидным, что латинские переводчики XII века с арабского языка прекрасно знали систему, с которой они столкнулись в своих арабских текстах, в то время как самые ранние астрономические таблицы XIII века, которые я видел, используют числа европейского, а не арабского происхождения. Тот факт, что латинские авторы имели удобный способ записи сотен и тысяч без каких-либо нулей, вероятно, задержал всеобщее распространение арабской нотации. Доктор Хилл опубликовал очень полное исследование различных форм цифр в Европе. Они стали распространяться с середины XIII века, и весьма интересный набор семейных записей о рождениях в рукописи Британского музея Harl. 4350 демонстрирует их распространение. Первая запись датирована Mijc. lviii., вторая — Mijc. lxi., третья — Mijc. 63, четвертая — 1264, а пятая — 1266. Другой пример приведен в наборе астрономических таблиц за 1269 год в рукописи сочинений Роджера Бэкона, где переписчик начал писать MCC6. и перечеркнул цифры, заменив их «арабской» формой.

Счетная доска.

Трактат на стр. 52–65 — единственный известный на английском языке по этому вопросу. В нем описывается метод вычислений, который с небольшими изменениями распространен в России, Китае и Японии по сей день, хотя в Западной Европе он вышел из употребления к XVII веку. В Германии этот метод называется «Algorithmus Linealis», и существует несколько изданий трактата под этим названием (с диаграммой счетной доски), отпечатанных в Лейпциге в конце XV и начале XVI века. В них приводятся девять правил, но с оговоркой: «Capitulum de radicum extractione ad algoritmum integrorum reservato, cujus species per ciffrales figuras ostenduntur ubi ad plenum de hac tractabitur». Изобретение этого искусства приписывается там философу Апулею.

Преимущество счетной доски — будь то постоянной или изготовленной путем нанесения мелом параллельных линий на стол, как показано на некоторых гравюрах по дереву XVI века — заключается в том, что для обозначения числа девять требуется всего пять жетонов: жетоны на линиях обозначают единицы, а жетоны в промежутках над ними — значения, в пять раз превышающие значения на линии ниже. Русский абак, «чатуи» или «счеты», имеет десять бусин на линии; китайский и японский «суаньпань» экономит место, разделяя линию на две части, причем бусины на одной стороне обозначают величину, в пять раз превышающую достоинство бусин на другой. «Суаньпань» обычно имеет гораздо больше линий, чем «счеты», что позволяет производить более сложные вычисления (см. Tylor, Anthropology (1892), p. 314).

В трактате Рекорда упоминается также другой метод нотации с помощью жетонов (стр. 64) — «купеческий счет» и «аудиторский счет». Они были приспособлены для принятого в Англии метода счета чисел до 200 двадцатками. Этот метод, по-видимому, использовался в казначействе. Счетная доска для использования купцами опубликована Холливеллом в «Rara Mathematica» (стр. 72) из рукописи Sloane MS. 213, а еще две изображены в Egerton 2622 (f. 82 и f. 83). Последняя названа «novus modus computandi secundum inventionem Magistri Thome Thorleby» и по своему принципу аналогична «суаньпаню».

Казначейская доска описана в «Dialogus de Scaccario» (Oxford, 1902), стр. 38.

1. Холливелл напечатал две стороны своего листа в неправильном порядке. Это обстоятельство, а также некоторые очевидные ошибки переписки — вроде «ferye» вместо «ferthe», «lest» вместо «left» и т. д. — не были исправлены в репринтном издании на стр. 70–71.

2. Об использовании в Египте см. Геродот, II, 36; Платон, «Законы», VII.

3. См. об этом: Dr. Poole, The Exchequer in the Twelfth Century, Chap. III., и Haskins, Eng. Hist. Review, 27, 101. Общее количество гайд в Эссексе в 1130 году составляло 2364.

4. Эти цифры удаляются на следующем шаге.

5. Грифельные доски упоминаются Чосером, а вскоре после этого (в 1410 г.) Проздочимо де Бельдаманди упоминает об использовании «lapis» вычислителями для ведения записей.

Egerton 2622.

leaf 136 a.

Hic algorismus ars presens dicitur; in qua

Talibus indorum fruimur bis quinque figuris.

Происхождение слова «алгоризм». Эта книга называется книгой алгоризма, или огримом по простонародному обычаю. И эта книга трактует об искусстве счета, которое также называется алгоризмом. Жил-был царь в Индии, которого звали Алгор, и он создал это искусство. И по своему имени он назвал его алгорисмом; Другая этимология слова. или же есть другая причина, почему он называется алгорисмом: латинское слово Algismus происходит от греческого Algos, что означает ars (латынь), «искусство» по-английски, и rides, что означает numerus (латынь), «число» по-английски, отсюда Algismus образуется путем добавления слога mus и вычитания d и e, как бы ars numerandi. ¶ Более того, вы должны понимать, что в этом искусстве используются десять фигур, которые написаны здесь для примера: φ 9 8 7 6 5 4 3 2 1. ¶ Истолкуйте два предыдущих стиха: это настоящее искусство называется алгоризмом, в коем мы используем десять знаков Индии. Вопрос. ¶ Почему десять индийских фигур? Ответ. Ибо, как я уже говорил, они были впервые найдены в Индии царем той страны, которого звали Алгор.

Нотация и нумерация.

versus [in margin].

Prima significat unum; duo vero se cunda:

Tercia significat tria; sic procede sinistre.

Donec ad extremam venias, que cifra vocatur.

Capitulum primum de significacione figurarum. Толкование стиха. В этом стихе разъясняется значение этих фигур. И истолкуйте этот стих следующим образом. Значение и место фигур. Первая фигура означает один, вторая [лист 136 b] означает два, третья означает три, а четвертая означает 4. ¶ И так далее по направлению к левой стороне таблицы или книги, на которой написаны фигуры, пока вы не дойдете до последней фигуры, которая называется цифрой. ¶ Вопрос. С какой стороны находится первая фигура? Ответ. Поистине, посмотрите, какая фигура стоит первой с правой стороны книги или таблицы, и именно она является первой фигурой, ибо вы должны писать справа налево, как здесь: 3. 2. 6. 4. 1. 2. 5. Какая фигура читается первой. Цифра 5 была написана первой, и она является первой, потому что стоит с правой стороны. А цифра 3 — последняя. ¶ Тем не менее, когда он говорит: Prima significat unum и т. д., это значит, что первая означает один, вторая — 2, и далее он подразумевает не первую цифру каждого ряда. ¶ Но он подразумевает первую фигуру, которая находится в числе упомянутых десяти фигур, каковой является единичка. 1. И вторая — 2, и так далее.

versus [in margin].

Quelibet illarum si primo limite ponas,

Simpliciter se significat: si vero secundo,

Se decies: sursum procedas multiplicando.

Namque figura sequens quamvis signat decies plus.

Ipsa locata loco quam significat pertinente.

Толкование [на полях]. ¶ Истолкуйте этот стих так: каждая из этих фигур обозначает саму себя и ничего более, если она стоит на первом месте ряда; это слово Simplicitеr в данном стихе означает не что иное, как «именно так и никак иначе». Пояснение принципов нотации. ¶ Если она стоит на втором месте ряда, она обозначает себя в десять раз больше, как эта фигура 2 здесь (20 означает в десять раз больше себя, [лист 137 a] то есть двадцать, ибо сама по себе она обозначает два, а десять раз по два будет двадцать). И поскольку она стоит с левой стороны и на втором месте, она обозначает себя в десять раз больше. И так далее. ¶ Ибо каждая фигура, если она стоит одна за другой по направлению к левой стороне, должна обозначать в десять раз больше того, что она обозначала бы, если бы стояла на том месте, где стоит предшествующая ей фигура. Пример: вот пример. 9. 6. 3. 4. Цифра 4, которая имеет такое начертание ., обозначает лишь саму себя, потому что стоит на первом месте. единицы, Цифра 3, которая имеет такое начертание ., обозначает в десять раз больше, чем она обозначала бы, если бы стояла там, где стоит цифра 4, то есть тридцать. десятки, Цифра 6, которая имеет такое начертание ., обозначает в десять раз больше, чем если бы она стояла там, где стоит цифра ., ибо там она обозначала бы лишь шестьдесят, а теперь она обозначает в десять раз больше, то есть шестьсот. сотни, Цифра 9, которая имеет такое начертание ., обозначает в десять раз больше, чем если бы она стояла на месте цифры шесть, ибо тогда она обозначала бы девять сотен, а на том месте, где она стоит теперь, она обозначает 9 тысяч. тысячи. Все число в целом составляет 9 тысяч 6 сотен 34. ¶ Более того, когда вам предстоит прочитать многозначное число, Как читать число. вы должны начать с последней фигуры с левой стороны и читать дальше вправо, как здесь: 9. 6. 3. 4. Вы должны начать чтение с цифры 9 и читать дальше следующим образом: [лист 137 b] 9 тысяч 6 сотен 34. Но когда вам нужно писать, вы должны начинать писать с правой стороны.

¶ Nil cifra significant sed dat signare sequenti.

Значение и использование цифры ноль. Истолкуй этот стих. Цифра ноль ничего не обозначает, но она заставляет фигуру, которая идет за ней, обозначать больше, чем если бы ее не было, например: 10. Здесь единица обозначает десять, а если бы цифра ноль отсутствовала и перед ней не было другой фигуры, она обозначала бы только единицу, поскольку тогда она стояла бы на первом месте. ¶ И цифра ноль сама по себе ничего не обозначает, ибо общая сумма этих двух фигур равна лишь десяти. ¶ Вопрос. Почему он говорит, что цифра ноль заставляет фигуру обозначать (значимо) больше и т. д.? ¶ Я говорю это ради слова «значимо»: воистину, может случиться так, что за цифрой ноль последует другая цифра ноль, например: 100. И все же вторая цифра ноль не будет обозначать ничего большего, кроме как сохранять порядок разряда, а цифра ноль не является значащей фигурой.

¶ Quam precedentes plus ultima significabit /

Последняя цифра означает больше, чем все остальные, так как она имеет наибольшую ценность. Истолкуй этот стих так: последняя цифра будет обозначать больше, чем все остальные предыдущие, даже если перед ней было сто тысяч фигур, например: 16798. Последняя цифра, то есть 1, обозначает десять тысяч. А все остальные фигуры вместе обозначают лишь шесть тысяч семьсот девяносто восемь. ¶ И десять тысяч больше, чем все это число, следовательно, последняя цифра обозначает больше, чем все предыдущее число.

Три вида чисел

leaf 138 a. * ¶ Post predicta scias breviter quod tres numerorum

Distincte species sunt; nam quidam digiti sunt;

Articuli quidam; quidam quoque compositi sunt.

¶ Capitulum 2m de triplici divisione numerorum. ¶ Автор этого трактата делит слово «число» на 3 части. Некоторое число называется по-латыни digitus, по-английски — digit (цифра). Цифры. Некоторое число называется по-латыни articulus. По-английски — Articul (десяток). Десятки. Некоторое число называется по-английски composyt (составное число). Составные числа. ¶ Истолкуй этот стих. Пойми после правил, которые я изложил ранее, что существует три вида чисел. Одно — цифра, другое — десяток, а третье — составное число. Версус.

Цифры, десятки и составные числа.

¶ Sunt digiti numeri qui citra denarium sunt.

Что такое цифры. ¶ Здесь он рассказывает, что такое цифра. Истолкуй стих следующим образом. Числа-цифры — это все числа, которые находятся в пределах десяти, такие как девять, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

¶ Articupli decupli degitorum; compositi sunt

Illi qui constant ex articulis degitisque.

¶ Здесь он рассказывает, что такое составное число и что такое десяток. Истолкуй стих следующим образом. Что такое десятки. ¶ Десятки — это все числа, которые можно разделить на десятки без остатка, такие как двадцать, тридцать, сорок, сто, тысяча и тому подобные, ибо двадцать можно разделить на 2 десятка, сорок — на четыре десятка и так далее.

лист 138б. Что такое составные числа. *Составные числа — это числа, которые состоят из цифры и десятка, такие как четырнадцать, пятнадцать, шестнадцать и тому подобные. Четырнадцать состоит из четырех, что является цифрой, и из десяти, что является десятком. Пятнадцать состоит из 5 и десяти, и так все остальные, какими бы они ни были. Кратко говоря, каждое число, которое начинается с цифры и заканчивается десятком, является составным числом, как, например, четырнадцать начинается с четырех, что является цифрой, и заканчивается десятью.

¶ Ergo, proposito numero tibi scribere, primo

Respicias quid sit numerus; si digitus sit

Primo scribe loco digitum, si compositus sit

Primo scribe loco digitum post articulum; sic.

Как записывать число. ¶ Здесь он рассказывает, как следует действовать, когда нужно записать число. Истолкуй стих следующим образом и поступай согласно смыслу толкователя: когда у тебя есть число для записи, посмотри сначала, какого рода число тебе нужно записать — является ли оно цифрой, составным числом или десятком. Если это цифра; ¶ Если это цифра, запиши цифру, например, если это семь, запиши семь и запиши эту цифру на первом месте по направлению к правой стороне. Если это составное число. Если это составное число, запиши цифру составного числа на первом месте, а десяток этого числа запиши на втором месте в следующем разряде по направлению к левой стороне. Например, если тебе нужно записать двадцать шесть, запиши цифру числа на первом месте, то есть шесть, а десяток запиши в следующем разряде, то есть двадцать, вот так: 26. Как его прочитать. Но когда ты будешь произносить вслух, или лист 139а *говорить, или читать составное число, ты должен сначала назвать десяток, а после него цифру, как ты видишь в обычной речи: двадцать шесть, а не шесть и двадцать. Версус.

¶ Articulus si sit, in primo limite cifram,

Articulum vero reliquis inscribe figuris,

Как записывать десятки: ¶ Здесь он рассказывает, как следует писать, когда число, которое тебе нужно записать, является десятком. Истолкуй стих следующим образом и действуй согласно смыслу. Если число, которое тебе нужно записать, является десятком, запиши сначала цифру ноль, а после нуля запиши десяток вот так: 20. Десятки, ¶ Кроме того, ты должен понимать: если у тебя есть десяток, посмотри, каков он; если он находится в пределах ста, ты должен написать только один ноль перед ним, вот так: 90. Сотни, ¶ Если десяток представлен сам по себе и равен ровно ста, тогда ты должен написать .1. и два нуля перед ним, чтобы он стоял на третьем месте, ибо каждая фигура на третьем месте будет обозначать себя саму сто раз. Тысячи и т. д. Если десяток представляет собой тысячу или тысячи 3 и стоит сам по себе, напиши перед ним 3 нуля и так далее для всех остальных.

¶ Quolibet in numero, si par sit prima figura,

Par erit & totum, quicquid sibi continuatur;

Impar si fuerit, totum tunc fiet & impar.

Как узнать четное число ¶ Здесь он обучает общему правилу: если первая цифра в ряду фигур обозначает число, которое является четным, то все число фигур в этом ряду будет четным, как здесь ты можешь видеть: 6. 7. 3. 5. 4. Подсчитай и проверь. или нечетное. ¶ Если первая лист 139б *фигура обозначает число, которое является нечетным, то все число в этом ряду будет нечетным, как здесь: 5 6 7 8 6 7. Подсчитай и проверь. Версус.

¶ Septem sunt partes, non plures, istius artis;

¶ Addere, subtrahere, duplare, dimidiare,

Sextaque diuidere, sed quintam multiplicare;

Radicem extrahere pars septima dicitur esse.

Семь правил арифметики.

Семь правил. ¶ Здесь говорится, что существует .7. видов или частей этого ремесла. Первая называется сложением, вторая называется вычитанием. Третья называется дупликацией. Четвертая называется медиацией. Пятая называется умножением. Шестая называется делением. Седьмая называется извлечением корня. Что представляют собой все эти виды, будет рассказано по отдельности в их главах.

¶ Subtrahis aut addis a dextris vel mediabis:

Складывайте, вычитайте или делите пополам справа налево. Ты начнешь с правой стороны книги или таблицы. Посмотри, где ты хочешь начать писать по-латыни или по-английски в книге, и та сторона, куда ты пишешь, будет называться правой стороной книги, а та, от которой ты пишешь, будет называться левой стороной книги. Версус.

A leua dupla, divide, multiplica.

Здесь он говорит тебе, на какой стороне книги или таблицы ты должен начать выполнять дупликацию, деление и умножение. Умножайте или делите слева направо. Ты должен начать работу с левой стороны книги или таблицы, но каким образом ты будешь работать с ними, будет сказано отдельно в следующих главах, а также о пользе каждого искусства, и на этом завершается лист 140 *пролог, после чего следует трактат, и сначала об искусстве сложения, которое является первым искусством по порядку.

Искусство сложения.

Addere si numero numerum vis, ordine tali

Incipe; scribe duas primo series numerorum

Primam sub prima recte ponendo figuram,

Et sic de reliquis facias, si sint tibi plures.

Четыре вещи, которые необходимо знать: ¶ Здесь начинается искусство сложения. В этом искусстве ты должен знать четыре вещи. ¶ Во-первых, ты должен знать, что такое сложение. Во-вторых, ты должен знать, сколько рядов фигур ты должен иметь. ¶ В-третьих, ты должен знать, сколько различных случаев происходит в этом искусстве сложения. ¶ И в-четвертых, какова польза этого искусства. Что это такое; ¶ Что касается первого, ты должен знать, что сложение — это сложение вместе двух чисел в одно число. Например, если я спрошу, сколько будет два и три, ты сложешь эти два числа вместе и скажешь, что это пять. Сколько рядов фигур; ¶ Что касается второго, ты должен знать, что у тебя будет два ряда фигур, один под другим, как ты можешь здесь видеть: 1234 2168. Сколько случаев; ¶ Что касается третьего, ты должен знать, что существует четыре различных случая. Каков его результат. Что касается четвертого, ты должен знать, что польза этого искусства заключается в том, чтобы сказать, каково общее число, получающееся из различных чисел. Теперь, что касается текста нашего стиха, он учит там, как ты должен работать в этом искусстве. ¶ Он говорит, что если ты хочешь прибавить одно число к другому, ты должен начать следующим образом. Как записать сумму. ¶ Сначала запиши лист 140б *два ряда фигур и чисел так, чтобы ты записал первую фигуру верхнего числа точно под первой фигурой нижнего числа, 123 234. И вторую фигуру нижнего числа точно под второй фигурой верхнего, и так далее для каждой фигуры обоих рядов, как ты можешь видеть.

Случаи искусства сложения.

¶ Inde duas adde primas hac condicione:

Si digitus crescat ex addicione priorum;

Primo scribe loco digitum, quicunque sit ille.

¶ Здесь он обучает тому, что ты должен делать, когда ты записал два ряда фигур одну под другой, как я сказал ранее. Сложите первые фигуры; ¶ Он говорит, что ты должен взять первую фигуру верхнего числа и первую фигуру нижнего числа и сложить их вместе на следующем условии. Ты должен посмотреть, является ли получающееся от этого число цифрой или нет. Сотрите верхнюю фигуру; ¶ Если это цифра, ты должен убрать первую фигуру верхнего числа и записать на ее месте, где она стояла, цифру, получающуюся от этих двух фигур, и запишите результат на его месте. работай дальше с другими фигурами, если таковые имеются, пока не дойдешь до конца по направлению к левой стороне. И пусть нижняя фигура стоит на месте всегда, пока ты не закончил. Ибо благодаря этому ты узнаешь, правильно ли ты все сделал или нет, как я расскажу тебе позже в конце этой главы. ¶ И следи всегда лист 141а *за тем, чтобы начать работу в этом искусстве сложения с правой стороны. Вот пример. Вот пример этого случая. 1234 2142. Прибавь 2 к четырем, и это будет шесть, убери 4 и запиши на том же месте цифру шесть. ¶ И пусть цифра 2 в нижнем ряду стоит на месте. Когда ты это сделаешь, сложи 3 и 4 вместе, и это будет семь, что является цифрой. Убери 3, поставь там семь, и пусть нижняя фигура стоит на месте, и так работай дальше назад, пока не сделаешь все целиком.

Et si compositus, in limite scribe sequente

Articulum, primo digitum; quia sic iubet ordo.

¶ Здесь второй случай, который может произойти в этом искусстве. И этот случай таков: Если число, полученное от сложения двух чисел вместе, а именно фигуры верхнего ряда и фигуры нижнего ряда, является составным числом, как тебе действовать. Ты должен действовать следующим образом. Ты должен убрать фигуру верхнего числа, которая была прибавлена к фигуре нижнего числа. ¶ И записать там цифру составного числа. И поместить десяток составного числа сразу после цифры в том же ряду, если после него больше нет фигур. Но если после этой цифры есть еще фигуры, тогда он будет учитываться сам по себе. И когда ты будешь прибавлять ту самую фигуру, которая несет десяток над своей головой, к фигуре под ней, ты должен прибавить этот десяток к фигуре, у которой он находится над головой, и там этот десяток будет обозначать сам себя. Вот пример. Вот пример лист 141б *всего. 326 216. Прибавь 6 к 6, и из этого получится двенадцать. Убери верхнюю 6 и запиши там 2, что является цифрой этого составного числа. И затем напиши десяток над головой фигуры двоек вот так: 1 322 216. Теперь прибавь десяток, который стоит над головой фигуры двоек, к этой же фигуре, и считай этот десяток только за один, и тогда получится три. Затем прибавь эту тройку к нижней фигуре, то есть к единице, и это будет четыре. Убери цифру 3 и запиши там цифру четыре, и пусть нижняя фигура стоит на месте, и затем продолжай работу. И так далее, версус.

¶ Articulus si sit, in primo limite cifram,

¶ Articulum vero reliquis inscribe figuris,

Vel per se scribas si nulla figura sequatur.

¶ Здесь он излагает третий случай искусства сложения. И этот случай таков: Предположим, это десяток, поставьте ноль и запомните десяток. Если от сложения 2 фигур возникает десяток, как ты должен поступить? Ты должен убрать верхнюю фигуру, которая была прибавлена к нижней, и записать там ноль, а десятки поместить на голову фигуры, если после этого появятся другие. И затем действовать так, как я рассказал тебе во втором случае. Пример. 25. 15. Прибавь 5 к 5, это будет десять. Теперь убери верхнюю 5 и запиши там ноль. И помести десять на голову фигуры 2. И считай это только за один вот так: Вот пример. пример 1 20 15 И лист 142а *затем продолжай работу. Но если после нуля не идет никакой фигуры, запиши десяток рядом с ним в том же ряду, вот так: 5 5 Прибавь 5 к 5, и это будет десять. Убери 5, то есть верхнюю 5, и запиши там ноль, и запиши после него десяток вот так: 10 5 И тогда ты закончил.

¶ Si tibi cifra superueniens occurrerit, illam

Dele superpositam; fac illic scribe figuram,

Postea procedas reliquas addendo figuras.

Что делать, если в верхнем ряду оказался ноль. ¶ Здесь он излагает четвертый случай, и он заключается в том, что если в верхнем ряду встречается ноль, как тебе следует поступить. Ты должен поступить следующим образом. Убери ноль и поставь там цифру, которая получается от сложения, вот так: 10084. 17743. Пример всех трудностей. В этом примере представлены все четыре случая. Прибавь 3 к четырем, это будет семь. Убери 4 и запиши там семь; затем прибавь 4 к фигуре 8, это будет 12. Убери 8 и поставь там 2, что является цифрой, и помести десяток составного числа, то есть десять, на голову нуля, и считай его сам по себе, то есть как единицу. Затем прибавь единицу к нулю, и получится только единица, ибо ничто и единица дают только единицу. Затем прибавь 7, которая стоит под этой единицей, к ней, и это будет 8. Убери ноль и ту единицу и поставь там 8. Затем иди дальше. Прибавь другую 7 к нулю, который стоит над ней, это будет только семь, так как ноль ничего не обозначает. Убери ноль и поставь там семь, лист 142б *и затем иди дальше и прибавь 1 к 1, и это будет 2. Убери верхнюю 1 и поставь там 2. Затем ты закончил. И если ты все сделал правильно, число, которое приведено здесь ниже, будет числом, которое получится от всего сложения, вот здесь: 27827. ¶ Sequitur alia species.

Искусство вычитания.

A numero numerum si sit tibi demere cura

Scribe figurarum series, vt in addicione.

Четыре вещи, которые нужно знать о вычитании: ¶ Это глава о вычитании, в которой ты должен знать четыре необходимые вещи. Первая — что такое вычитание. Вторая — сколько чисел ты должен иметь для вычитания, третья — сколько видов случаев может произойти в этом искусстве вычитания. Четвертая — какова польза этого искусства. ¶ Что касается первого; Первое — ты должен знать, что вычитание — это извлечение одного числа из другого числа. Второе; Что касается второго, ты должен знать, что у тебя должно быть два ряда фигур один под другим, как ты складывал при сложении. Третье; Что касается третьего, ты должен знать, что в этом искусстве могут происходить четыре вида различных случаев. Четвертое. ¶ Что касается четвертого, ты должен знать, что польза этого искусства заключается в том, чтобы после вычитания меньшего числа из большего сказать, что останется после этого. И ты должен начать работу в этом искусстве с правой стороны книги, как ты делал при сложении. Версус.

¶ Maiori numero numerum suppone minorem,

¶ Siue pari numero supponatur numerus par.

лист 143а. * ¶ Здесь он говорит о том, что Поместите большее число над меньшим. верхнее число должно быть больше нижнего или, по крайней мере, равным ему. Но оно не может быть меньше. И случай таков: ты будешь вычитать нижнее число из верхнего, и ты не можешь сделать этого, если верхнее число меньше него. Ибо ты не можешь вычесть шесть из двух. Но ты можешь вычесть 2 из шести. И ты можешь вычесть два из двух, ибо от верхних двух у тебя ничего не останется, анде версус.

Случаи искусства вычитания.

¶ Postea si possis a prima subtrahe primam

Scribens quod remanet.

Первый случай вычитания. Здесь изложен первый случай вычитания, и он говорит, что ты должен начать с правой стороны и вычесть первую фигуру нижнего ряда из первой фигуры верхнего ряда, независимо от того, больше верхняя фигура нижней или равна ей. И это отмечено в стихе, когда он говорит «Si possis». Когда ты сделаешь это таким образом, убери самую верхнюю фигуру и поставь там то, что остается от вычитания. Вот пример. вот пример 234 122 Вычти 2 из 4. Тогда останется 2. Убери 4 и запиши там 2, и пусть нижняя фигура стоит на месте, и так проходи мимо других фигур, пока не дойдешь до конца, тогда ты все сделал.

¶ Cifram si nil remanebit.

Поставьте ноль, если ничего не осталось. ¶ Здесь он излагает второй случай, и он таков. Если случится так, что когда ты вычел нижнюю фигуру из верхней, после вычитания ничего не осталось, лист 143б *ты должен поступить следующим образом. Ты должен убрать верхнюю фигуру и записать там ноль, как Вот пример. вот пример 24 24 Вычти четыре из четырех, тогда ничего не останется. Поэтому убери верхнюю 4 и поставь там ноль, затем вычти 2 из 2, тогда ничего не останется. Убери верхнюю 2 и поставь там ноль, и так поступай везде, где это случается.

Sed si non possis a prima demere primam

Precedens vnum de limite deme sequente,

Quod demptum pro denario reputabis ab illo

Subtrahe totalem numerum quem proposuisti

Quo facto scribe super quicquid remanebit.

Предположим, вы не можете вычесть нижнюю фигуру из верхней, займите десяток; Здесь он излагает третий случай, который заключается в следующем. Если случится так, что нижняя фигура больше верхней фигуры, из которой ее нужно вычесть, как тебе поступить? Ты должен поступить следующим образом. Ты должен занять .1. у следующей фигуры, которая идет следом в том же ряду, ибо этот случай никогда не может произойти иначе, чем если за ней идут фигуры. Затем ты должен поместить эту единицу над головой верхней фигуры, из которой ты хотел вычесть нижнюю фигуру, если бы у тебя была такая возможность. Когда ты сделаешь это, ты должен считать эту .1. за десять. вычтите меньшее число из десяти; ¶ И из этих десяти ты должен вычесть самую нижнюю фигуру, И все, что останется, ты должен добавьте ответ к верхнему числу. прибавить к фигуре, на голове которой стояла эта .1. И тогда ты должен убрать все это и поставить там все, что получается от сложения этих двух фигур. И если лист 144а *случится так, что фигура, у которой ты должен занять единицу, сама по себе равна только 1, ты возьмешь эту единицу и поместишь ее на голову другой фигуры, а на том 1 месте поставишь ноль, если после него идет много фигур. Пример. вот пример. 2122 1134 Вычти 4 из 2. Это не получится, поэтому займи единицу у следующей фигуры, то есть у 2, и помести ее над головой первой 2, и считай ее за десять. И там, где стоит вторая [фигура], напиши 1, так как ты взял у нее единицу. Затем вычти нижнюю фигуру, то есть 4, из десяти. И тогда останется 6. Прибавь к 6 фигуру той 2, которая стояла под головой единицы, которая была занята и посчитана за десять, и это будет 8. Убери эту 6 и эту 2 и поставь там 8, и пусть нижняя фигура стоит на месте. Когда ты это сделаешь, переходи к следующей фигуре, которая теперь равна только 1, но сначала она была 2, и от нее была занята 1. Как «вернуть» занятый десяток. Затем вычти из нее стоящую под ней фигуру, то есть 3. Это не получится. Поэтому займи у следующей фигуры, которая равна только 1. Также возьми ее и помести над головой фигуры, которую ты хотел вычесть из нижней фигуры, каковой была 3, а ты не мог, и считай эту занятую 1 за десять и поставь в том же месте, из которого ты её взял, ноль, так как она была равна только 1. Когда ты сделаешь это, вычти из этой 1, которая засчитана за десять, нижнюю фигуру 3. И там останется 7. лист 144б *прибавь эти самые 7 к фигуре, у которой над головой была эта десятка, каковой фигурой была 1, и это будет 8. Затем убери эту 1 и эту 7 и запиши там 8. И затем продолжай работу с другими фигурами, пока не дойдешь до конца, и тогда ты все сделал. Версус.

¶ Facque nonenarios de cifris, cum remeabis