«Principia Mathematica, том 2»

РАЗДЕЛ B. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ОТНОШЕНИЙ.

Резюме Раздела B.

В настоящем разделе мы должны рассмотреть вид сложения отношений, который требуется в порядковой арифметике. В кардинальной арифметике, если есть класс взаимно исключающих классов, имеет свойства, требуемые от их суммы, и поэтому нам не требуется новый вид логического сложения перед тем, как иметь дело с арифметическим сложением. Но в порядковой арифметике это не так. Предположим, что и — порождающие отношения двух рядов, и мы хотим добавить -ряд в конце -ряда. Тогда мы хотим, чтобы каждый член -ряда предшествовал каждому члену -ряда; таким образом, не является порождающим отношением нового ряда, поскольку не дает никакого отношения между членами -ряда и членами -ряда. Отношение, которое нам нужно, есть , поскольку это заставляет каждый член -ряда предшествовать каждому члену -ряда. Следовательно, мы полагаем . Будет видно, что в общем случае отличается от .

Если и не имеют общих членов, сумма отношенческих чисел и есть отношенческое число (ср. *180).

Добавление одного члена к ряду требует нового определения и не может рассматриваться как частный случай сложения двух отношений. Можно было бы подумать, что, подобно тому как дает результат добавления одного члена к классу , так и дало бы результат добавления одного члена к ряду . Но это не так, поскольку, когда мы добавляем член к ряду, мы не хотим, чтобы этот член предшествовал самому себе, тогда как есть отношение, которое имеет к самому себе. Что нам нужно, так это отношение, которое каждый член имеет к , но которое не имеет к самому себе; таким образом, мы берем в качестве нашего отношения и полагаем . Это определение определяет порождающее отношение ряда, полученного путем добавления в конце -ряда; аналогично для добавления в начале мы полагаем . Если не является членом , отношенческое число есть сумма отношенческого числа и порядкового числа 1, которое мы представляем через . (Порядковое число 1 не имеет значения само по себе, а только как слагаемое.)

Сумма ряда рядов определяется так же, как была определена сумма двух рядов. Пусть будет сериальным отношением, поле которого состоит из сериальных отношений. Тогда сумма всех рядов, порожденных членами , когда эти ряды взяты в порядке, порожденном , должна быть отношением, которое имеет место между и всякий раз, когда либо (1) и оба принадлежат полю одного из рядов, и предшествует в этом ряду, или (2) принадлежит полю более раннего ряда, чем тот, к которому принадлежит . В первом случае мы имеем , т.е. . Во втором случае мы имеем , т.е. , т.е. . Следовательно, порождающее отношение суммы всех рядов есть . Следовательно, мы полагаем . Отношение обладает всеми свойствами, которые мы ожидали бы от суммы ряда рядов.

Если ряд должен получиться в результате сложения ряда рядов, необходимо, чтобы ни один из двух рядов не имел никаких общих членов. Ибо если мы имеем , мы также будем иметь .

Следовательно, вместо ряда мы будем иметь циклы; ибо для ряда существенно, чтобы никакой член не предшествовал самому себе. (То, что кажется рядами, в которых есть повторение, всегда является результатом взаимно-однозначного соответствия с рядами, в которых нет повторения, так что член может быть подсчитан один раз как коррелят одного члена, и снова как коррелят более позднего члена.) По этой причине, как и по многим другим, важно рассматривать отношения между взаимно исключающими отношениями, т.е. между отношениями, поля которых не имеют общих членов. Мы полагаем . Тогда имеет почти такую же полезность в арифметике отношений, как в кардинальной арифметике. Мы имеем , что аналогично предложению (*84·14) . Будет обнаружено, что в арифметике отношений отношение часто появляется там, где в аналогичном предложении кардинальной арифметики появляется .

Аналогичным «» является отношение двойной порядковой схожести. Оно имеет место между двумя отношениями и , когда они являются порядково подобными отношениями между порядково подобными отношениями с известными корреляторами, т.е. когда, если есть порядковый коррелятор и , так что , то если есть член , и есть соответствующий член , так что , мы будем иметь , и сможем указать член . Но как и в кардинальных числах, так и здесь мы должны сформулировать наше определение двойной порядковой схожести таким образом, чтобы минимизировать использование мультипликативной аксиомы. Поэтому мы принимаем в качестве нашего определения следующее: и называются имеющими двойную порядковую схожесть, когда существует взаимно-однозначное отношение , которое имеет в качестве своей обратной области и таково, что . Отношение , которое обладает этими свойствами, называется двойным коррелятором и , т.е. мы полагаем , определение, которое, как будет замечено, тесно аналогично определению в *111. Два отношения имеют двойную схожесть, когда они имеют двойной коррелятор, т.е. есть двойной коррелятор и , когда есть коррелятор и , и есть коррелятор и . Это могло бы быть принято в качестве определения двойного коррелятора, поскольку оно эквивалентно вышеприведенному определению.

Если мы предположим мультипликативную аксиому, мы можем доказать, что двойная схожесть имеет место между подобными отношениями взаимно исключающих подобных отношений, т.е. между двумя отношениями взаимно исключающих отношений и , которые имеют коррелятор такой, что, если , то и всегда подобны. В этом случае . Таким образом, если мы предположим мультипликативную аксиому, мы имеем, если , , . В частном случае, в котором поля и состоят из вполне упорядоченных отношений (т.е. отношений, порождающих вполне упорядоченные ряды), эта эквивалентность может быть доказана без использования мультипликативной аксиомы, потому что два подобных вполне упорядоченных отношения имеют только один коррелятор, так что трудность выбора среди корреляторов не возникает.

Двойные порядковые корреляторы имеют такое же значение при доказательстве формальных законов арифметики отношений, какое двойные кардинальные корреляторы имеют в кардинальной арифметике. Построение двойных корреляторов в различных случаях составляет большую часть арифметики отношений.

При определении порядкового произведения двух отношенческих чисел и при определении возведения в степень мы используем отношение, которое обладает свойствами, аналогичными свойствам . Это отношение есть , структура которого такова: Пусть , будут двумя членами, имеющими отношение ; тогда сформируем два отношения , . Отношение имеет место между двумя парами и всякий раз, когда ; таким образом, оно упорядочивает пары, чьи референты являются членами , а чьи реляты являются , в порядке, подобном . Отношения и являются (согласно *150·03) теми же, что и и . Таким образом, упорядочивает такие отношения, как в порядке, подобном . Таким образом, подобно , и каждый член его поля подобен . Таким образом, отношенческое число есть , и каждый член его поля имеет отношенческое число . Более того, , как легко видеть, является отношением взаимно исключающих отношений. Следовательно, оно подходит для определения произведения и , и мы полагаем . В следующем разделе, после того как мы определим произведение отношения отношений, мы будем использовать то же отношение для определения возведения в степень, полагая . Эти два определения следует сравнить с таковыми в *113 и *116.

В силу определения , отношение имеет место между членами, которые либо имеют одно из отношений вида , либо принадлежат соответственно полям двух отношений , , где . Таким образом, отношение имеет место между и всякий раз, когда и , а также между и всякий раз, когда . Таким образом, если, для иллюстрации, и порождают конечные ряды, так что их поля суть , то поле будет состоять из пар , и их порядок, как упорядочено , есть тот, в котором они написаны выше. Таким образом, вышеуказанные пары в вышеуказанном порядке составляют ряд , и очевидно, что этот ряд имеет членов.

Когда множители произведения не перечисляются, а даются как поле отношения, требуется новое определение умножения. Это определение, которое имеет преимущество применимости к бесконечным произведениям, будет рассмотрено в следующем разделе.

*160. СУММА ДВУХ ОТНОШЕНИЙ.

Резюме *160.

В этом параграфе мы вводим определение , которое было объяснено во введении к этому разделу. Хотя предложения этого и других параграфов в этой Части не требуют, чтобы и были таковы, чтобы порождать ряды, читателю будет удобно представить их таковыми, поскольку важные приложения идей этой Части относятся к рядам. Таким образом, мы можем рассматривать сумму и как отношение, которое имеет место между и , когда либо предшествует в -ряде, либо предшествует в -ряде, либо принадлежит -ряду, а принадлежит -ряду.

Наиболее важными предложениями этого параграфа являются:

*160·14.

*160·21.

*160·22.

*160·31.

который является ассоциативным законом, и

*160·4.

который является дистрибутивным законом для логического и арифметического сложения;

*160·44.

который также является своего рода дистрибутивным законом;

*160·47.

откуда

*160·48.

откуда следует, что если и взаимно исключающие, отношенческое число их суммы зависит только от отношенческих чисел и ;

*160·5.

*160·52.

*160·01.

*160·1.

*160·11.

*160·111.

*160·12.

*160·13.

*160·14.

Док.

Вышеприведенное предложение постоянно используется. Следующие предложения (*160·15—·161) не используются, но вставлены, чтобы показать, что имеет тот вид структуры, который мы ожидали бы от суммы.

*160·15.

Док.

*160·151.

*160·16.

*160·161.

*160·2.

*160·21.

*160·22.

*160·3.

Док.

*160·31.

Док.

*160·32.

Это определение служит лишь для избежания скобок.

*160·33.

*160*34.

*160·35.

*160·4.

Док.

*160·401.

Вышеприведенные два предложения формулируют дистрибутивный закон для логического и арифметического сложения. Три следующих предложения дают обобщенную форму этого закона, когда заменяет ; эти предложения впоследствии не используются, но вставлены ради их внутреннего интереса.

*160·41.

Док.

*160·411.

*160·412.

Док.

Следующие предложения подводят к *160·44, которое часто используется.

*160·42.

Док.

*160·421.

*160·43.

Док.

*160·44.

Док.

*160·45.

Док.

*160·451.

Док.

*160·452.

Док.

*160·46.

Док.

*160·47.

Док.

*160·48.

*160·5.

Док.

*160·51.

Док.

Вышеприведенное предложение полезно при доказательстве того, что, если , транзитивно, когда и транзитивны (ср. *201·4).

*160·52.

Док.

Вышеприведенное предложение используется при работе с рядом сегментов ряда (*213·561).

*161. ДОБАВЛЕНИЕ ЧЛЕНА К ОТНОШЕНИЮ.

Резюме *161.

Добавление члена имеет две формы, в зависимости от того, происходит ли оно в начале или в конце поля рассматриваемого отношения. Если мы добавим сначала , а затем в конце, результат будет таким же, как если бы мы добавили (*161·22); если в начале, то таким же, как если бы мы добавили (*161·221). Предложения настоящего параграфа все очевидны и не представляют никаких трудностей. Как объяснено во введении к этому разделу, мы полагаем . Большинство предложений этого параграфа требуют гипотезы , потому что если , (*161·2, ·201). Это связано с тем фактом, что не существует порядкового числа 1. Помимо уже упомянутых предложений, главными предложениями этого параграфа являются следующие (мы опускаем предложения о , когда они являются просто аналогами предложений о ):

*161·12.

*161·14.

*161·15.

*161·211.

*161·31.

*161·4.

*161·01.

*161·02.

*161·1.

*161·101.

*161·11.

*161·111.

*161·12.

*161·13.

Док.

*161·131.

*161·14.

Гипотеза необходима в этом предложении, поскольку без нее мы имеем .

*161·141.

*161·15.

*161·16.

Вышеприведенное предложение используется в теории связных отношений (*202·412).

*161·161.

Два следующих предложения часто используются.

*161·2.

*161·201.

*161·21.

Док.

Заметим, что есть отношение, которое упорядочивает и , и в порядке , , .

*161·211.

*161·212.

*161·213.

Эти определения служат лишь для избежания скобок.

*161·22.

Док.

*161·221.

*161·23.

Док.

*161·231.

*161·232.

Док.

*161·24.

Док.

*161·25.

Док.

*161·26.

Док.

Следующие предложения подводят к *161·33.

*161·3.

Док.

*161·301.

*161·31.

Док.

*161·32.

Док.

*161·321.

*161·33.

Вышеприведенное предложение оправдывает добавление 1 или вычитание 1 в порядковой арифметике.

Следующее предложение (*161·4) часто используется.

*161·4.

Док.

*161·41.

*161·42.

*161·43.

*162. СУММА ОТНОШЕНИЙ ПОЛЯ.

Сводка *162.

Форма суммирования, определенная в *160, не может быть распространена на бесконечное число слагаемых, поскольку она предполагает явное упоминание всех слагаемых. В настоящем параграфе мы рассмотрим форму суммирования, которая не подлежит этому ограничению. Следует заметить, что, поскольку реляционное суммирование не является перестановочным, мы не можем определить сумму класса отношений, так как это не определило бы порядок, в котором должно производиться суммирование. Наши отношения должны быть заданы как поле некоторого отношения, которое их упорядочивает; таким образом, сумма выступает не как сумма класса, а как сумма отношения, а именно отношения, полем которого являются суммируемые отношения. В случае двух отношений P и Q сумма P+Q, как она определена в настоящем параграфе, будет равна P;Q; аналогично для трех отношений сумма P+Q+R будет равна P;Q;R и так далее для любого конечного числа слагаемых.

Как объяснялось во введении к этому разделу, если P — отношение между отношениями, мы полагаем

Удобно предположить, что P является сериальным и что каждый член поля P также является сериальным. Тогда P;Q выполняется между x и y, если либо (1) существует ряд в поле P, в котором x предшествует y, либо (2) x принадлежит ряду, который является более ранним в P-ряде, чем ряд, к которому принадлежит y. Ниже приведены основные предложения этого параграфа:

*162·22·23.

*162·26.

*162·3.

*162·31.

*162·34.

*162·35.

Это аналог *40·38. (Ср. примечание к *162·35 ниже.)

*162·4.

*162·42.

*162·43.

Следует заметить, что порядковые аналоги предложений о классах классов часто включают замену Σ (а не ℵ) на ℵ. Примерами служат процитированные выше *162·34 и *162·35.

*162·01.

*162·1.

*162·11.

*162·12.

*162·13.

*162·14.

*162·2.

Док.

*162·21.

Док.

*162·211.

*162·212.

Док.

*162·213.

Вышеуказанное предложение используется в *163·22.

Два следующих предложения используются очень часто.

*162·22.

Док.

*162·23.

*162·26.

Док.

*162·27.

*162·3.

Док.

Это предложение устанавливает связь между двумя видами арифметического сложения отношений.

*162·31.

Док.

Следующие предложения подводят к *162·34.

*162·32.

Док.

*162·33.

Док.

*162·331.

Док.

*162·332.

Док.

*162·34.

Это ассоциативный закон для арифметических сумм отношений.

Следующие предложения подводят к *162·35.

*162·341.

Док.

*162·342.

Док.

*162·343.

Док.

*162·35.

Док.

Это предложение важно, поскольку оно позволяет нам сделать вывод (при подходящей гипотезе), что если P всегда подобно Q, когда xRy, то арифметическая сумма всех таких отношений, как P, подобна сумме Q, являясь, по сути, ΣP. Иными словами, если всякий раз, когда xRy, S является коррелятором P и Q, то ΣS является коррелятором ΣP и ΣQ. Это предложение аналогично по своему использованию предложению, которое является *40·38. В общем, при получении реляционных аналогов кардинальных предложений Σ заменяется на ℵ, ℵ на ℵ, а ℵ на ℵ. Когда эти подстановки производятся в *40·38, получается *162·35, за исключением его гипотезы.

Если мы рассматриваем P;Q как своего рода произведение P и Q, то *162·35 становится дистрибутивным законом. Ибо он утверждает, что если мы умножим каждый член P на Q, а затем просуммируем полученные произведения, мы получим то же самое отношение, как если бы мы сначала просуммировали P, а затем умножили на Q. Следующее применение *162·35 к сумме двух отношений делает его дистрибутивный характер более очевидным.

*162·36.

Док.

Это предложение может быть распространено на любое конечное число слагаемых.

*162·37.

Док.

*162·371.

*162·372.

*162·4.

Док.

*162·41.

Док.

*162·42.

Док.

*162·43.

Док.

*162·431.

Заметьте, что в *162·43 и *162·431 P и Q должны быть разных типов, фактически P должен быть того типа, к которому принадлежат члены Q. *162·43 и *162·431 часто полезны.

*162.44.

Док.

*162·45.

Док.

Вышеуказанное предложение используется в *174·162.

*163. ОТНОШЕНИЯ ВЗАИМНО ИСКЛЮЧАЮЩИХ ОТНОШЕНИЙ.

Сводка *163.

В настоящем параграфе мы должны определить взаимно исключающие отношения и привести некоторые их свойства. Взаимно исключающие отношения играют в реляционной арифметике почти ту же роль, что и взаимно исключающие классы в кардинальной арифметике. Prima facie, существуют различные способы, которыми мы могли бы их определить. Мы могли бы определить P как отношение взаимно исключающих отношений, когда ℵ или когда ℵ, или несколькими другими способами. Но на самом деле наиболее полезным свойством для выбора является то, что любые два члена поля имеют взаимно исключающие поля, т.е.

Основные приложения предметов, изучаемых в этой части, относятся к рядам, а в рядах всегда важны поля отношений. Мы хотим, например, определить отношения взаимно исключающих отношений таким образом, чтобы, если P — сериальное отношение и каждый член P — сериальное отношение, то ΣP было бы сериальным отношением. Для этой цели необходимо, чтобы P было включено в разнообразие, что требует, чтобы P было включено в разнообразие, т.е. чтобы ℵ. Если P — сериальное отношение, как мы предполагаем, это эквивалентно ℵ.

Далее, мы хотим определить отношения взаимно исключающих отношений таким образом, чтобы, если P и Q — два таких отношения, и P и Q имеют двойную схожесть (ср. *164), то ΣP было бы подобно ΣQ; т.е. если нам дан коррелятор S отношений P и Q, и для каждого P' и Q', которые S коррелирует, нам снова дан коррелятор, то ΣP должно быть подобно ΣQ. То есть, если S — класс отношений, которые коррелируют пары отношений P' и Q', где P'SQ', мы хотим, чтобы ΣS было коррелятором ΣP и ΣQ. Теперь это требует, чтобы S было взаимно однозначным отношением, что требует ℵ. Это обеспечивается ℵ, но, за исключением специальных классов отношений, это не обеспечивается ℵ, поскольку могут существовать два отношения P' и Q', которые оба принадлежат полю S, но ни одно из которых не имеет отношения S к другому. Опять же, аналогия с кардинальной арифметикой нарушается во многих точках, если, когда P — отношение взаимно исключающих отношений, ΣP не является классом взаимно исключающих классов. Но это не обеспечивается ни одним из других возможных определений, которые мы рассматривали. Существуют дальнейшие причины, связанные с арифметическим произведением отношения отношений, для выбора в качестве определения ℵ.

С технической точки зрения свойства ℵ зависят главным образом от того факта, что ℵ, когда P — такой класс (*84·14); аналогично свойства ℵ зависят от ℵ, что требует нашего определения и эквивалентно ему (*163·12). Таким образом, мы получаем возможность использовать предложения *81 о выборках из многозначных отношений, что в противном случае было бы невозможно.

Следует заметить, что ℵ не эквивалентно ℵ, хотя и подразумевает это. Обратная импликация не будет выполняться, если P содержит два различных отношения с одним и тем же полем. Например, возьмем отношение P, поле которого состоит из четырех отношений P1, P2, P3, P4, и предположим ℵ. Тогда ℵ, и ℵ. Но если только ℵ и ℵ, мы не будем иметь ℵ.

Свойство, посредством которого мы определяем отношения взаимно исключающих отношений, — это свойство, которое зависит только от поля, так что мы могли бы с таким же успехом положить ℵ. Но для наших целей это было бы менее удобно, чем определение ℵ.

Таким образом, мы полагаем ℵ.

*163·01.

Мы имеем ℵ.

*163·11.

*163·12.

*163·17.

Любое из вышеперечисленных могло быть использовано для определения ℵ. Важны следующие предложения.

*163·3.

Это аналог *84·53.

*163·4·41.

*163·441.

*163·451.

*163·01.

*163·1.

*163·11.

*163·12.

Для многих целей это предложение дает наиболее полезный эквивалент ℵ.

Вместо вышеприведенного доказательства мы можем использовать *74·62, которое дает нам результат в силу *33·5.

*163·13.

*163·14.

*163·15.

Док.

*163·16.

*163·17.

*163·2.

*163·21.

Док.

Это предложение важно в связи с умножением отношений, ибо мы определим как произведение отношения P (поле которого состоит из отношений) отношение, поле которого есть ℵ. Таким образом, согласно вышеуказанному предложению, всякий раз, когда P является ℵ, поле его произведения есть произведение (в кардинальном смысле) полей его поля, точно так же, как поле его суммы есть (согласно *162·22) сумма полей его поля.

*163·22.

Док.

*163·3.

Док.

*163·31.

*163·311.

Док.

*163·32.

*163·33.

*163·331.

*163·4.

Док.

*163·41.

Док.

*163·42.

Док.

Вышеуказанное предложение используется в *251·22.

*163·43.

Док.

*163·431.

*163·44.

Док.

*163·441.

Вышеуказанное предложение используется в *173·26.

*163·442.

Док.

*163·45.

Док.

*163·451.

Вышеуказанное предложение используется в *173·25.

*163·452.

*163·46.

*163·461.

*163·462.

*164. ДВОЙНАЯ СХОЖЕСТЬ.

Сводка *164.

Предмет этого параграфа имеет большое значение во всей реляционной арифметике и ее приложениях. Двойная схожесть, или двойная порядковая схожесть, — это отношение, которое должно выполняться между P и Q, когда (1) P и Q подобны, (2) коррелированные члены полей P и Q подобны, с конкретным заданным коррелятором в каждом случае. (В общем случае необходимо иметь заданный коррелятор в каждом случае, чтобы избежать необходимости в мультипликативной аксиоме для выбора между корреляторами.) Это определение может быть несколько упрощено, если начать с отношения, коррелирующего P и Q. Если S — такой коррелятор, так что P S Q, мы хотим, чтобы S было таким, что оно не только коррелирует все P со всем Q, но также коррелирует каждый член P с соответствующим членом Q, т.е. таким, что, если P' — любой член P, то P' S Q' — соответствующий член Q. Это требует ℵ, т.е. записывая P' S Q' вместо P' S Q, это требует ℵ. Когда P и Q — ℵ, мы имеем ℵ согласно *162·35. Следовательно, двойная схожесть будет существовать, если существует отношение S такое, что ℵ.

Отношение S, выполняющее это условие, будет называться двойным коррелятором P и Q. Таким образом, два отношения P и Q имеют двойную схожесть, когда существует двойной коррелятор P и Q, т.е. когда ℵ. Двойной коррелятор P и Q — это отношение S, которое является коррелятором P и Q и таково, что ℵ является коррелятором P' и Q'.

Будет видно, что это определение имеет обычную аналогию с соответствующим определением в кардинальных числах (*111·01). Две перевернутые запятые кардинального определения заменены точкой с запятой, а ℵ заменено на ℵ, и ℵ заменено на ℵ или ℵ. Предложения настоящего параграфа состоят в значительной степени из аналогов предложений *111 в соответствии с вышеуказанными подстановками.

Если бы не трудность выбора между корреляторами, мы могли бы определить два отношения как имеющие двойную схожесть, когда они являются подобными отношениями подобных отношений, т.е. когда, если P и Q — два отношения, они имеют коррелятор S такой, что, если P' S Q', то P' подобно Q'. В этом случае ℵ. Таким образом, мы должны рассмотреть отношения класса ℵ к классу двойных корреляторов, и мы должны рассмотреть отношение отношения «ℵ» к отношению двойной схожести. Предложения, которые должны быть доказаны по этому предмету в настоящем параграфе, аналогичны предложениям *111. Но на более позднем этапе (*251·61) мы покажем, что если поле P состоит целиком из отношений, которые порождают вполне упорядоченные ряды, то использование мультипликативной аксиомы перестает быть необходимым при отождествлении двойной схожести с отношением ℵ, причина в том, что два вполне упорядоченных ряда никогда не могут быть коррелированы более чем одним способом.

Наши определения таковы:

*164·01.

*164·02.

Основные предложения этого параграфа:

*164·15.

откуда

*164*151.

*164*18.

Это обычно наиболее удобное предложение, когда необходимо доказать двойную корреляцию.

*164·201·211·221. Двойная схожесть рефлексивна, симметрична и транзитивна.

*164·31.

(Ср. примечание к *164·31 ниже.)

Затем у нас есть набор предложений (*164·4 до конца) об отождествлении ℵ с двойной схожестью посредством мультипликативной аксиомы. Мы имеем

*164·43.

То есть, при условии, что P и Q — подобные отношения подобных взаимно исключающих отношений, если мы можем выбрать один коррелятор для каждой пары коррелированных членов P и Q, то сумма таких выбранных корреляторов является двойным коррелятором P и Q. Следовательно, замечая, что если S — двойной коррелятор P и Q, то ℵ (*164·15·16), мы приходим к

*164·45.

Из *164·43 мы также выводим

*164·46.

*164·48.

Т.е., по сути, предполагая мультипликативную аксиому, если два ряда (P и Q) могут быть каждый разделены на ℵ множеств из ℵ членов (ℵ, ℵ — отношенческие числа), то два ряда порядково подобны, и ℵ множеств в одном случае имеют двойную схожесть с ℵ множествами в другом. (Здесь мы написали ℵ, ℵ вместо ℵ и ℵ из формулировки.)

Именно посредством вышеуказанных предложений связываются порядковое сложение и умножение, как это будет показано в *166.

*164·01.

*164·02.

*164·1.

*164·11.

*164·12.

*164·13.

*164·131.

Док.

*164·14.

Два следующих предложения требуются для доказательства *164·18.

*164·141.

*164·142.

*164·143.

Док.

*164·15.

Док.

*164·151.

*164·16.

Док.

*164·17.

Это предложение утверждает, что когда P и Q имеют двойную схожесть, существует коррелятор P и Q, который связывает подобные с подобными отношениями; т.е. если S — коррелятор, то, если P' S Q', P' и Q' порядково подобны. Обратное этому предложению, а именно, что если P и Q имеют коррелятор, который связывает порядково подобные отношения, то P и Q имеют двойную схожесть, может быть доказано, если предположить мультипликативную аксиому, но не иначе, за исключением специальных случаев, таких как случай вполне упорядоченных рядов.

Следующее предложение используется часто, благодаря тому факту, что в случаях, с которыми мы имеем дело, двойные корреляторы обычно имеют форму ℵ, где ℵ — некоторое отношение, для которого мы имеем ℵ.

*164·18.

Док.

*164·181.

Док.

Следующие предложения касаются доказательства того, что двойная схожесть рефлексивна, симметрична и транзитивна.

*164·2.

Док.

*164·201.

*164·21.

Док.

*164·211.

*164·22.

Док.

*164·221.

*164·23.

Док.

*164·3.

Док.

*164·301.

*164·31.

Док.

Это предложение имеет то достоинство, что сводит порядковый элемент в двойной схожести к минимуму. Доказательство ℵ — это кардинальная проблема, и то, что должно быть добавлено для порядковых целей, — это просто ℵ.

*164·32.

В этом предложении различные ℵ не обязательно должны быть одного типа. Следовательно, «ℵ» не является непосредственным следствием *164·201.

Док.

*164·33.

Док.

*164·34.

Следующие предложения касаются показа того, что, если P и Q — подобные отношения, и коррелятор P и Q содержится в схожести (т.е. коррелирует отношения, которые имеют отношение схожести), при условии, что для каждой пары отношений, связанных коррелятором P и Q, дан коррелятор, то логическая сумма таких корреляторов является двойным коррелятором P и Q, при условии, что P и Q являются отношениями взаимно исключающих отношений. То есть, предполагая S коррелятором P и Q, и предполагая, что всякий раз, когда P' S Q', пусть будет возможно выбрать один коррелятор из класса корреляторов ℵ для каждого P', который принадлежит полю P. То есть, предположим, что возможно сделать выборку из класса классов корреляторов. Если S' — такая выборка, то ℵ будет двойным коррелятором P и Q, если ℵ, ℵ.

Следующие предложения, вплоть до *164·421, являются леммами для *164·43.

*164·4.

Док.

*164·41.

Док.

*164·411.

Док.

*164·412.

*164·413.

Док.

*164·414.

*164·42.

*164·421.

Следующее предложение, помимо использования при доказательстве всех последующих предложений этого параграфа (за исключением *164·432 и *164·433, которые являются лишь леммами для *164·44), используется в *251·6, в теории порядковых чисел.

*164·43.

Док.

*164·431.

*164·432.

Док.

*164·433.

Все остальные предложения параграфа важны.

*164·44.

*164·45.

*164·46.

*164·47.

Док.

*164·48.

*165. ОТНОШЕНИЯ ОТНОШЕНИЙ ПАР.

Сводка *165.

В настоящем параграфе мы приведем различные предложения, касающиеся отношения ℵ, которое имеет те же применения в реляционной арифметике, что и ℵ в кардинальной арифметике. Предложения этого параграфа будут использованы в следующем параграфе для установления свойств арифметического произведения двух отношений P и Q, которое определяется как ℵ. Опять же, в связи с возведением в степень предложения настоящего параграфа будут полезны, поскольку после того, как произведение отношения отношений было определено (*172), мы определим возведение в степень посредством определения ℵ. Также будут иметь место случайные использования предложений этого параграфа во всей теории рядов. Отношение ℵ важно, потому что его структура полностью известна. Это ℵ, которое состоит из ℵ отношений, каждое из которых подобно P (*165·27); и если ℵ, мы можем построить двойной коррелятор P и Q, не прибегая к мультипликативной аксиоме. Фактически мы имеем

*165·362.

Это предложение следует сравнить с *113·127. В силу *164·31, вместе с различными предложениями *165 и *166, окажется, что *165·362 включает *113·127 как часть того, что оно утверждает.

В настоящем параграфе мы начинаем с набора предложений о полях. Мы имеем

*165·12.

*165·13.

откуда

*165·14.

которое связывает теорию ℵ с теорией ℵ (*113 и *116). Следовательно

*165·16.

В *166 мы определим ℵ как ℵ; таким образом, вышесказанное станет

Далее у нас есть набор предложений, касающихся ℵ как отношения, и обстоятельств, при которых мы можем вывести ℵ или ℵ из данных о ℵ и ℵ. Мы имеем

*165·21.

*165·211.

*165·22.

Затем у нас есть различные предложения, касающиеся ℵ, главными из которых являются

*165·241.

*165·242.

Далее у нас есть четыре предложения, которые постоянно используются, доказывая, что ℵ состоит из ℵ отношений, каждое из которых подобно P. Эти предложения таковы:

*165·25.

*165·251.

*165·26.

*165·27.

С *165·3 по *165·372 мы занимаемся построением двойного коррелятора P и Q, когда нам даны простые корреляторы P с P' и Q с Q'. Результат (*165·362) уже был дан. Следовательно, мы имеем

*165·37.

и согласно *164·48 и *165·27 мы имеем

*165·38.

Следовательно, предложения, касающиеся ряда ℵ рядов, каждый из которых содержит ℵ членов (где ℵ и ℵ — отношенческие числа), которые в общем случае требуют мультипликативной аксиомы, могут быть выведены, при условии принятия этой аксиомы, из предложений (не требующих аксиомы), касающихся ℵ, где ℵ и ℵ. Таким образом, использование ℵ позволяет нам минимизировать использование мультипликативной аксиомы.

*165·01.

*165·1.

*165·11.

*165·12.

*165·13.

*165·131.

*165·14.

*165·15.

*165·16.

*165·161.

Док.

*165·162.

Док.

*165·17.

Док.

*165·18.

*165·181.

*165·182.

*165·19.

*165·2.

*165·201.

Док.

*165·202.

*165·203.

*165·204.

Док.

*165·205.

*165·206.

*165·21.

Док.

*165·211.

*165·212.

Док.

*165·22.

Док.

*165·221.

Док.

*165·222.

*165·223.

Док.

*165·23.

Док.

*165·231.

*165·232.

Док.

*165·233.

*165·24.

Док.

*165·241.

*165·242.

Док.

*165·243.

Док.

*165·244.

Док.

*165·245.

*165·25.

*165·251.

*165·26.

*165·27.

Следующие предложения касаются доказательства того, что, если S — коррелятор P и Q, а S' — коррелятор P' и Q', то ℵ (с ограниченной областью обращения) является двойным коррелятором P и Q.

Это предложение требуется впоследствии при установлении схожестей.

*165·3.

Док.

*165·301.

Док.

*165·302.

Док.

*165·31.

Док.

*165·311.

*165·32.

Док.

*165·321.

*165·33.

Док.

*165·331.

*165·34.

Док.

*165·341.

*165·35.

Док.

*165·351.

Док.

*165·352.

Док.

*165·36.

Док.

*165·361.

Доказательство продолжается как в *165·36.

*165·362.

Вышеуказанные три предложения очень полезны в реляционной арифметике.

*165·37.

*165·38.

Док.

*166. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ОТНОШЕНИЙ.

Сводка *166.

Произведение P×Q определяется как ℵ. Это отношение, которое имеет своим полем все пары, которые могут быть сформированы путем выбора референта в P и релатума в Q. Эти пары упорядочены ℵ по следующему принципу: если релатум одной пары имеет отношение Q к релатуму другой, мы ставим одну перед другой, и если релатумы двух пар равны, в то время как референт одной имеет отношение P к референту другой, мы ставим одну перед другой. Таким образом, продвигаясь от любого члена x в поле P, мы сначала держим x фиксированным и изменяем y в более поздние члены насколько возможно; затем мы изменяем x в более поздний член, возвращаем y к началу, и так далее. Таким образом, с заданным x мы получаем ряд, который подобен Q, и этот ряд полностью следует за или полностью предшествует ряду с референтом x', где x' следует или предшествует x.

Предложения этого параграфа по большей части являются непосредственными следствиями предложений *165. Наиболее важные из них:

*166·12.

*166·13.

Отсюда следует, что порядковое произведение конечного числа множителей обращается в нуль тогда и только тогда, когда один из его множителей обращается в нуль.

*166·16.

*166·23.

Это предложение показывает, что отношенческое число произведения зависит только от отношенческих чисел его множителей.

*166·24.

Это предложение связывает сложение и умножение (ср. примечание к *166·24 ниже).

*166·42.

Это ассоциативный закон. Дистрибутивный закон имеет две формы:

*166·44.

*166·45.

Мы не имеем в общем случае (ср. примечание перед *166·44 ниже)

Мы также имеем дистрибутивный закон для сложения одного члена, т.е.

*166·53.

*166·531.

Здесь снова закон не выполняется в общем случае для P×(Q+R) или (P+Q)×R.

*166·01.

*166·1.

*166·11.

*166·111.

*166·112.

*166·113.

*166·12.

*166·13.

*166·14.

*166·15.

*166·16.

Док.

Вышеуказанное предложение используется в порядковой теории прогрессий (*263·62·65).

*166·2.

*166·21.

*166·22.

Это предложение дает коррелятор для произведения, когда даны корреляторы для множителей.

*166·23.

Это предложение позволяет нам использовать ℵ для определения произведения отношенческих чисел P и Q, ибо оно показывает, что отношенческое число P×Q определено, когда даны отношенческие числа P и Q. Поэтому мы (в разделе D этой части) определим произведение двух отношенческих чисел ℵ и ℵ как отношенческое число P×Q, когда ℵ и ℵ.

*166·24.

Это предложение демонстрирует связь сложения и умножения. Если мы положим ℵ и ℵ, то ℵ в вышеуказанном предложении есть сумма ℵ отношений, каждое из которых есть ℵ. В силу вышеуказанного предложения следует, что (если предположить мультипликативную аксиому) ℵ. Иными словами, предполагая мультипликативную аксиому, сумма ℵ рядов (или других отношений), каждый из которых имеет ℵ членов, имеет ℵ членов.

*166·3.

Аналогичное предложение ℵ верно в общем случае только если ℵ.

*166·31.

*166·311.

*166·312.

Следующие предложения являются леммами для ассоциативного закона (*166·42).

*166·4.

Док.

*166·401.

*166·41.

Док.

*166·42.

Это ассоциативный закон для вида умножения, рассматриваемого в этом параграфе.

*166·421.

Это определение служит лишь для избежания скобок.

Два следующих предложения дают дистрибутивный закон. В реляционной арифметике это в общем случае верно только в одной из двух своих форм, т.е. мы имеем P×(Q+R) = P×Q + P×R. Последнее верно для конечных рядов, но не для бесконечных рядов или (за исключением исключительных случаев) для отношений, которые не являются сериальными.

*166·44.

Док.

*166·45.

Док.

Следующие предложения (*166·46 — *166·472) демонстрируют нарушение дистрибутивного закона в форме (P+Q)×R = P×R + Q×R и дают некоторые результаты для специальных случаев. Они не упоминаются нигде, кроме этого параграфа.

*166·46.

*166·461.

*166·462.

Док.

*166·463.

*166·464.

Док.

*166·47.

*166·471.

*166·472.

Док.

Следующие предложения касаются дистрибутивного закона для сложения одного члена к отношению. Этот закон, в той форме, в которой он выполняется, дан в *166·53 и *166·531 (помня ℵ). *166·54 и *166·541 демонстрируют нарушение другой формы.

*166·5.

Док.

*166·51.

*166·511.

*166·52.

*166·521.

*166·53.

Док.

*166·531.

*166·54.

Док.

*166·541.

РАЗДЕЛ C. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, А ТАКЖЕ УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ.

Сводка раздела C.

В настоящем разделе мы должны рассмотреть различные формы принципа, который имеет величайшую полезность в арифметике отношений. Этот принцип можно назвать «принципом первых разностей». Он был разъяснен и использован Хаусдорфом в блестящих статьях [15]. Полученные там с его помощью результаты дают некоторое представление о его важности в арифметике отношений. Однако он имеет и другие применения, помимо тех, что связаны с умножением и возведением в степень отношенческих чисел, как, например, при упорядочении сегментов и отрезков в ряду или любого другого множества классов, содержащихся в поле данного отношения. В настоящем разделе, после первых двух номеров, мы будем заниматься его арифметическими применениями, но другие применения встретятся позже.

Принцип первых разностей имеет различные формы, которые, хотя и являются аналогичными, не могут в общем случае быть сведены к одному общему роду. Простейшей из них является отношение, посредством которого упорядочиваются подклассы. Оно определяется следующим образом. Если и оба содержатся в , мы говорим, что , если существуют члены, принадлежащие , но не принадлежащие , такие, что никакие члены, принадлежащие и не принадлежащие , не предшествуют им; т. е. если после удаления членов (если таковые имеются), общих для и , остаются члены в , которые не следуют ни за одним из членов, оставшихся в , т. е. если . Таким образом, определение имеет вид . Будет видно, что это отношение имеет место, если . Таким образом, оно имеет место между любым существующим членом и , а также между и любым членом , отличным от самого . Когда является сериальным отношением (что является важным случаем для всех отношений в этом разделе), транзитивно и асимметрично, но не обязательно связно, т. е. могут существовать два члена его поля, ни один из которых не имеет отношения к другому. Это происходит всякий раз, когда не является вполне упорядоченным; но когда вполне упорядочен, связно и, следовательно, порождает ряд.

Чтобы проиллюстрировать порядок, порождаемый в простом случае, рассмотрим ряд из трех членов , , . Давайте на мгновение запишем для отношения и аналогично мы запишем для и так далее. Тогда, предполагая , . В этом ряду класс, содержащий , всегда является более ранним, чем тот, который не содержит ; и из двух классов, из которых оба или ни один не содержат , тот, который содержит , является более ранним, чем тот, который не содержит ; и из двух классов, из которых оба или ни один не содержат , и оба или ни один не содержат , тот, который содержит , является более ранним, чем тот, который не содержит . Таким образом, наше отношение может быть порождено следующим образом: Начнем с , что есть . Добавим перед этими членами то, что получается в результате добавления к каждому; тогда мы имеем , что есть . Теперь добавим в начале то, что получается в результате добавления к каждому из вышеуказанных четырех классов, и мы получим . Таким образом, в общем случае, если . Таким образом, добавляя один член к , мы удваиваем число членов в .

Опять же, если и — два отношения, которые не имеют общих членов в своих полях, мы будем иметь , в то время как, наоборот, . Следовательно, , так что .

Эти предложения иллюстрируют связь с умножением.

Помимо , нам часто требуется (хотя и не в этой части) отношение, которое является конверсом . Это отношение мы называем , так что . Оно начинается с и заканчивается на .

Таким образом, мы будем иметь, например, . Здесь, если мы начнем с , что есть , ряд растет путем добавления членов в конце: мы добавляем к каждому члену и помещаем полученные члены после и ; затем мы добавляем к каждому из четырех членов, которые у нас уже есть, и добавляем полученные члены в конце; и так мы можем продолжать бесконечно.

Отношение с ограниченным полем упорядочивает сегменты P в порядке возрастания величины; если класс сегментов есть , порождает то, что можно назвать естественным порядком среди сегментов (ср. *212).

Вариант дает отношение (*171), которое должно иметь место между двумя членами , из , когда первый член , который не принадлежит обоим, принадлежит , т. е. «первая разность» принадлежит . Это отношение подразумевает и совпадает с ним, если вполне упорядочен; но когда не вполне упорядочен, может иметь место между двумя классами, которые не имеют первой точки различия, например (если «меньше, чем» среди рациональных чисел), если состоит из рациональных чисел между 0 и 1 (оба исключены) и из рациональных чисел между 1 и 2 (оба исключены). Определение имеет вид

Отношение обладает интересным свойством: его отношенческое число находится путем возведения в степень (ср. *177). Поскольку полем является , эта теорема является порядковым аналогом (*116·72).

Несколько более сложная форма отношения первых разностей возникает, когда мы имеем ряд рядов. Предположим, для начала, что есть сериальное отношение, поле которого состоит из взаимно исключающих сериальных отношений.

Таким образом, на прилагаемом рисунке каждый ряд представляет собой ряд, причем порождающими отношениями этих рядов являются , ... , ... Но сами ряды образуют ряд, который можно рассматривать как порожденный отношением , поле которого состоит из отношений , ... , ... (Можно было бы считать более естественным взять , , ... в качестве поля ; но это привело бы к путанице в случае, когда два или более рядов имеют одно и то же поле.) Предположим, теперь мы хотим найти отношение, которое упорядочит мультипликативный класс полей , , ..., т. е. класс . В случае, проиллюстрированном на рисунке, в котором порождает вполне упорядоченный ряд, и все члены являются сериальными, и , мы могли бы использовать ; это отношение, с полем, ограниченным до , даст нам тогда то, что мы хотим. Это отношение будет, в предполагаемом случае, ставить выбранный класс перед другим выбранным классом , если там, где они впервые различаются, выбирает более ранний член, чем . Но если ряд не является вполне упорядоченным — если он (скажем) типа (ср. *263) — может не быть первого члена поля , где и различаются. Это произойдет, например, если состоит из всех первых членов, а из всех вторых членов. Наше упорядочивающее отношение может быть определено так, чтобы ставить перед в этом случае также, но если оно определено таким образом, ассоциативный закон умножения выполняется только в том случае, если вполне упорядочен. По этой причине мы определяем наше упорядочивающее отношение так, что в таком случае не стоит ни перед, ни после . Опять же, если не является , член выбранного класса может встретиться дважды, один раз как представитель , и один раз как представитель , если и имеют общие члены. Мы хотим различить эти два вхождения. Следовательно, мы действуем следующим образом: Если и — два выбранных класса , пусть существует один или более членов , в которых -представитель предшествует -представителю, и которые таковы, что среди всех более ранних [16] членов , -представитель идентичен -представителю.

Но дальнейшая модификация желательна для того, чтобы рассмотреть случай, в котором два или более членов имеют одно и то же поле. Предположим, например, нам пришлось иметь дело с рядом, состоящим из всех рядов, которые могут быть сформированы из данного набора членов: в этом случае нам пришлось бы различать вхождения любого данного члена не по полю, а по порождающему отношению. Это требует, чтобы мы сделали -выбор из , а не -выбор из . Следовательно, мы берем два члена , скажем и , и мы упорядочиваем их или их домены по следующему принципу: Мы ставим перед (или перед ), если существует отношение в поле такое, что -представитель , т. е. , имеет отношение к -представителю , и такое, что, если есть любой более ранний член , то идентичен . То есть, предшествует , если

Отношение между и , определенное таким образом, обладает свойствами, требуемыми для арифметического произведения; следовательно, мы полагаем

Это отношение является порядковым аналогом . Порядковым аналогом является соответствующее отношение доменов и , т. е. ; следовательно, мы полагаем

В случае, если есть , мы имеем . Но когда не является , и в общем случае не являются порядково схожими. Мы можем, однако, всегда сделать , заменив члены , и т. д. (где ) на , и т. д. Таким образом, если встречается дважды в , один раз как член , и один раз как член , два вхождения заставляют соответствовать и соответственно, и таким образом мы получаем новое отношение, которое является .

Если каждый член имеет первый член, будет первым членом , и будет первым членом . Если, далее, существует последний член , т. е. если , и если этот последний член имеет второй член, второй член получается путем взятия этого второго члена в качестве представителя , и оставления всех других представителей неизменными. В любом случае, если существует, самые ранние преемники любого члена — это те, которые получены только путем варьирования представителя в . Таким образом, если существует, те члены , которые имеют данный набор представителей во всех членах , образуют последовательный отрезок ряда, и этот отрезок подобен . Если имеет непосредственного предшественника, отрезки, полученные путем варьирования только представителя в этом предшественнике, снова являются последовательными и образуют ряд, подобный указанному предшественнику; и так далее. Это делает понятным, почему обладает свойствами произведения.

Как и в случае с кардинальными числами, определение возведения в степень выводится из определения умножения. Мы полагаем . Это важное отношение, которое заслуживает рассмотрения отдельно от того факта, что оно полезно в связи с возведением в степень. Будет обнаружено, что

Это форма принципа первых разностей, которая является подходящей, когда задействованы два отношения, вместо только одного, как в . Принцип в этом случае заключается в следующем: Пусть , — любые два один-многие отношения, которые соотносят часть (или целое) с целым . То есть, каждое из двух отношений назначает представителя в каждому члену , но разные члены могут иметь одного и того же представителя. Тогда при прохождении вдоль ряда , должен, рано или поздно, встретиться член , чей -представитель является более ранним, чем его -представитель, и члены, которые приходят раньше, чем в , все должны иметь свои -представители идентичными своим -представителям.

Отношение может быть подвергнуто различным ограничениям, которые дают важные результаты. Эта тема была рассмотрена Хаусдорфом. Например, если (где ), и имеет порядковый тип, который Кантор называет , т. е. тип прогрессий (порожденных транзитивными отношениями), то если есть любой член , всегда либо , либо . Если мы наложим условие, что должно быть за исключением конечного числа значений , результирующий ряд имеет тип рациональных чисел в порядке величины, т. е. тип, называемый . Если мы наложим условие, что должно быть бесконечное число значений , для которых , результирующий ряд является континуумом, т. е. он имеет порядковый тип, называемый ; в этом случае содержащийся «рациональный» ряд состоит из тех 'ов, для которых существует только конечное число 'ов, имеющих . Если мы не наложим никаких ограничений, имеет тип, представленный вещественными числами, когда десятичные дроби, заканчивающиеся повторяющейся 9, считаются отдельно от завершающихся десятичных дробей, имеющих то же значение.

Мы можем обобщить , вместо того чтобы ограничивать его. Для начала мы можем позволить нашим и иметь только часть в качестве их конверсного домена и удалить предположение, что существует первый член , для которого и различаются; это приводит к отношению . Далее, мы можем отбросить ограничение на один-многие отношения. Будет замечено, что если , мы имеем . Таким образом, мы можем рассмотреть отношение . Это отношение имеет в качестве своего поля все отношения, содержащиеся в . Мы можем, если хотим, отбросить даже это ограничение и рассмотреть . Это представляет собой наиболее общую форму принципа первых разностей, примененную к паре отношений и . В порядковой арифметике, однако, достаточно общо для тех применений, которые мы хотим сделать из него.

Формальные законы, насколько они верны, могут быть доказаны без чрезмерных трудностей. Мы имеем , которое связывает два вида умножения; , которое является одной формой ассоциативного закона, другой формой которого является также . Мы имеем , который является ассоциативным законом для «». Мы имеем . Но мы не имеем в общем случае , что, очевидно, потребовало бы коммутативного закона для умножения и, следовательно, не выполняется в общем случае, несмотря на тот факт, что его кардинальный аналог всегда выполняется.

Что касается связи с кардинальными числами, мы имеем , и мы уже имели . Более того, корреляторы, посредством которых устанавливается схожесть в кардинальных числах, как правило, достаточны для установления подобия в аналогичных случаях в арифметике отношений. Таким образом, мы имеем , которые все тесно аналогичны предложениям, которые были доказаны в кардинальных числах.

Применения предложений этого раздела почти полностью относятся к рядам, и удобно представлять наши отношения сериальными. Но гипотеза о том, что они являются сериальными, не является необходимой для истинности любого из предложений настоящего раздела, и примечательным фактом является то, что так много формальных законов порядковой арифметики выполняются для отношений в целом.

Следует заметить, что не всегда является рядом, когда является рядом и все отношения в поле являются рядами. Ряд (ср. *204) — это отношение , которое (1) содержится в разнообразии, (2) транзитивно, (3) связно, т. е. такое, что каждый член поля P имеет отношение P или отношение к каждому другому члену поля. Именно третье условие может не выполняться для , и которое, фактически, не выполняется всякий раз, когда не является вполне упорядоченным. Таким образом, предположим, для простоты, что имеет тип , который мы назовем регрессией, т. е. конверс прогрессии (ср. *263); и предположим, что поле состоит полностью из пар. Возьмем выбор , который выбирает первый член каждой нечетной пары, и второй член каждой четной пары; и возьмем другой выбор , который выбирает второй член каждой нечетной пары, и первый член каждой четной пары. Ни один из этих двух выборов не имеет отношения к другому, ибо какой бы член мы ни выбрали, если есть выбор, который выбирает первый член , существует более ранний член (а именно, непосредственный предшественник ), в котором выбирает первый член, в то время как выбирает второй. Следовательно, не существует такого , как требуется для ; и аналогичный аргумент справедлив против . В таком случае порождает ряд различных рядов, и путем соответствующих ограничений поля один из этих рядов может быть извлечен. Точно такие же замечания применимы к .

СНОСКИ:

[15] "Untersuchungen über Ordnungstypen," Berichte der mathematisch-physischen Klasse der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, февр. 1906 и февр. 1907. Ср. также его "Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen," Math. Annalen, 65 (1908).

[16] Здесь говорится, что раньше, чем , если имеет отношение к и не идентичен .

*170. ОБ ОТНОШЕНИИ ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ СРЕДИ ПОДКЛАССОВ ДАННОГО КЛАССА.

Сводка *170.

Определение, которое будет дано в этом номере отношения первых разностей среди подклассов данного класса, отнюдь не является единственно возможным, на самом деле другое определение будет рассмотрено в *171. В настоящем номере определение, которое мы выбираем, таково: говорится, что предшествует согласно этому определению, когда имеет по крайней мере один член, который не принадлежит ни , ни следует за каким-либо членом, принадлежащим и не принадлежащим ( и будучи оба подклассами ). Другими словами, если мы рассмотрим два класса и , существуют члены , которые не предшествуют никаким членам . Образно говоря, мы можем представить отношение следующим образом (предполагается, что является сериальным): и каждый выбирает члены из , и эти члены имеют порядок, приданный ; мы предполагаем, что более ранние члены, выбранные и , возможно, одни и те же, но рано или поздно, если , мы должны прийти к членам, которые принадлежат одному, но не другому. Мы предполагаем, что самые ранние члены такого рода принадлежат , а не ; в этом случае имеет отношение к . То есть, там, где и начинают различаться, это члены , к которым мы приходим, а не члены . Мы не предполагаем, что существует первый член, который принадлежит и не принадлежит , так как это ввело бы нежелательные ограничения в случае, если не вполне упорядочен.

Несколько предложений настоящего номера будут использованы в следующем номере, который имеет дело с несколько иной формой отношения первых разностей, но за этим исключением предложения этого номера не будут упоминаться снова, пока мы не дойдем до рядов. Их главное применение встречается в разделе о компактных рядах, рациональных рядах и непрерывных рядах (Часть V, Раздел F), особенно в *274 и *276, которые соответственно устанавливают существование рациональных рядов (предполагая аксиому бесконечности) и тот факт, что кардинальное число членов в непрерывном ряду такое же, как число классов, содержащихся в поле прогрессии, т. е. . Определения и несколько более простых предложений также используются в связи с рядом сегментов ряда, поскольку, как объяснено выше, сегменты ряда упорядочены в ряду, порожденном .

Предложения этого номера, которые будут использованы при работе с рядами, являются следующими:

*170·1.

*170·101.

*170·102.

(Эти предложения просто воплощают определения.)

*170·11.

Эта форма часто более удобна, чем *170·1.

*170·16.

Т. е. каждый подкласс имеет отношение к каждой собственной части самого себя.

*170·17.

*170·2.

Это предложение имеет дело со случаем, когда существует определенный первый член y, который принадлежит и не принадлежит , и чьи предшественники все принадлежат обоим или ни одному.

*170·23.

Это предложение полезно в случае, если вполне упорядочен, поскольку тогда должен иметь минимум, если он существует ( и предполагаются подклассами ).

*170·31.

Это следует из *170·16, как и следующее предложение:

*170·32.

*170·35.

*170·38.

*170·6.

Помимо вышеуказанных, следует отметить следующие предложения:

*170·36.

*170·37.

*170.44.

*170·64.

Это предложение показывает, что каждый член, добавленный к , удваивает число членов в ; следовательно, неудивительно, что (когда вполне упорядочен) имеет степень для своего отношенческого числа (ср. *177).

*170.67.

откуда

*170·69.

*170·01.

*170·02.

*170·1.

*170·101.

*170·102.

Таким образом, означает, грубо говоря, что длится дольше, чем , так же как означает, что начинается раньше. Таким образом, если есть отношение более раннего и более позднего во времени, и и — времена, когда и соответственно встают с постели, «» будет означать, что встает раньше, чем , а «» будет означать, что ложится спать позже, чем .

*170·103.

Док.

*170·11.

*170·12.

*170*121.

*170*13.

Док.

*170·14.

*170·141.

*170·15.

Док.

*170·16.

Док.

*170·161.

Док.

*170·17.

Док.

Для того чтобы был сериальным, нам нужно далее, чтобы он был транзитивным и связным. транзитивен, если транзитивен и связен. Но может все еще не быть связным: в его поле может быть много различных семейств, хотя все они должны начинаться с и заканчиваться на . Например, если есть регрессия, класс, который берет каждый нечетный член, не имеет ни одного из отношений , к классу, который берет каждый четный член. Для того чтобы был сериальным, мы требуем, чтобы был не только сериальным, но и вполне упорядоченным, т. е. чтобы каждый существующий подкласс имел первый член. Когда сериален, но не вполне упорядочен, однако, будет порождать различные ряды, содержащиеся в нем, путем наложения соответствующих ограничений на поле.

*170·2.

*170·21.

Док.

*170·22.

Док.

*170·23.

Док.

*170·3.

*170·31.

*170·32.

*170·33.

Док.

*170·34.

Док.

*170·35.

*170·36.

Док.

*170·37.

*170·371.

*170·38.

Следующие предложения ведут к *170·44.

*170·4.

Док.

*170·41.

*170·42.

Док.

*170·43.

Док.

*170·44.

*170·5.

Док.

*170·51.

Док.

*170·52.

Док.

*170·6.

*170·601.

*170·61.

Это и следующие предложения являются леммами для

Док.

*170·62.

Док.

*170·63.

Док.

*170·64.

Док.

Следующие предложения являются леммами для *170·67, т. е. , которое само ведет к *170·69, т. е.

*170·65.

Док.

*170·651.

Док.

*170·652.

Док.

*170·653.

Док.

*170·66.

Док.

*170·67.

Док.