«Principia Mathematica, том 2»

*170·68.

Док.

*170·69.

*171. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ (продолжение).

Сводка *171.

В этом номере мы рассмотрим более ограниченную форму принципа первых разностей, которая применима, когда существует определенный первый член одного класса, не принадлежащий другому классу. В этом случае, если есть первый различающийся член, часть , которая предшествует , должна быть такой же, как часть , которая предшествует . Если принадлежит и не принадлежит , мы ставим перед ; в обратном случае мы ставим перед . В случае , сам не должен считаться среди своих собственных предшественников; таким образом, предшественники должны быть . Следовательно, рассматриваемое отношение будет иметь место между двумя подклассами ( и ) , когда существует такой , что или, что сводится к тому же (благодаря ), . Это отношение между и мы обозначаем через «», где «» означает «разность».

Таким образом, наше определение имеет вид

По аналогии с , мы полагаем также

Когда вполне упорядочен, и совпадают соответственно с и . Их свойства тесно аналогичны свойствам и . Таким образом, например, следующие предложения остаются верными, когда подставляется вместо : *170·17 ·35 ·36 ·37 ·38 ·44 ·5 ·51 ·52 ·64 ·67 ·68 ·69.

Единственные новые предложения, которые следует отметить в этом номере, это

*171·2.

*171·21.

и следующие формулы, предлагающие индуктивную идентификацию и в случаях, к которым применима такая индукция:

*171·7.

*171·71.

Эти предложения, однако, заменяются (на более позднем этапе) доказательством того, что и совпадают, если вполне упорядочен (*251·37).

Главное свойство заключается в том, что его отношенческое число равно в степени . Это будет доказано в *177 и *186·4

*171·01.

*171·02.

*171·1.

*171·101.

*171·102.

*171*11.

*171·12.

*171·13.

*171·14.

Док.

*171·15.

Док.

*171·16.

Док.

*171·17.

Док.

*171·18.

Док.

*171·19.

Док.

*171·2.

Док.

*171·21.

Док.

*171·22.

*171·4.

*171·41.

*171·42.

*171·43.

*171·44.

*171·5.

Док.

*171·51.

Док.

*171·52.

*171·64.

Доказательство проходит те же стадии, что и доказательство *170·64.

*171·67.

*171·68.

*171·69.

*171·7.

*171·71.

*172. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ ПОЛЯ.

Сводка *172.

В этом номере мы должны рассмотреть форму произведения, которая применима к любому отношению отношений, независимо от того, являются ли они взаимно исключающими или нет. Если бы наше отношение было , мы могли бы взять и упорядочить выбранные классы из по первым разностям. Это дало бы нам отношение, поле которого было бы . Но если какие-либо два поля перекрываются, этот метод терпит неудачу. Мы могли бы заменить на и упорядочить члены по первым разностям; но этот метод не даст того, что мы хотим, если два или более членов имеют одно и то же поле. Чтобы избежать какой-либо путаницы из-за повторения, мы должны, если и , рассмотреть в связи с , а не просто с . То есть, отношения в поле произведения должны быть такими, которые касаются упорядоченной пары , а не просто . Самый простой способ осуществления этого — рассмотреть . Член , скажем , — это отношение, которое выбирает представителя из поля каждого , который является членом ; то есть, всякий раз, когда , . Поскольку мы имеем , а не , два отношения могут иметь одно и то же поле, и все же мы можем различить вхождение данного члена как представителя одного от его вхождения как представителя другого. Таким образом, никакая степень перекрытия не вызовет путаницы.

Отношения, которые составляют , должны быть упорядочены по первым разностям, но чтобы различить разные вхождения данного члена, мы должны придать немного другую форму принципу первых разностей, чем та, что использовалась в *170 или *171. Новая форма принципа заключается в следующем: Рассмотрим два отношения и , которые являются членами . Пусть будет членом , в котором выбирает представителя, который предшествует представителю , т. е. в котором ; и пусть все более ранние отношения, чем , т. е. все отношения такие, что и , имеют . Тогда мы говорим, что предшествует . Этот принцип может быть также сформулирован следующим образом: Мы можем разделить члены на четыре класса, не являющихся в общем случае взаимно исключающими, а именно:

(1) те, в которых , т. е. в которых -представитель предшествует -представителю;

(2) те, в которых ;

(3) те, в которых ;

(4) те, в которых не встречается ни одно из вышеуказанных трех отношений и .

Тогда мы скажем, что предшествует , если существует член класса (1), чьи предшественники все принадлежат классу (3).

В случае, если все члены являются сериальными, четвертый из вышеуказанных классов является пустым, а остальные три являются взаимно исключающими. Если, далее, вполне упорядочен, любые два различных члена должны быть такими, что один предшествует другому в вышеопределенном порядке. Таким образом, в этом случае произведение ряда рядов является рядом (ср. *251).

Определение произведения имеет вид . Из-за сложности этого определения доказательства предложений настоящего номера могут быть длинными.

Могут быть приняты различные другие определения для , но мы сочли вышеуказанное определение в целом наилучшим.

Мы могли бы, например, отбросить условие в определении; тогда мы могли бы записать наше определение в более простой форме: , которое, с нашим определением, доступно только тогда, когда . Но если мы примем это упрощение, мы больше не имеем , что является очень полезным предложением, требуемым в доказательствах *183·13, *185·21 и других важных предложений.

С другой стороны, мы могли бы построить наше определение по аналогии с , а не, как выше, по аналогии с . Определение тогда было бы:

Это определение не предполагает, что существует первое отношение, для которого -представитель предшествует -представителю. Таким образом, можно было бы подумать, что оно дало бы лучшие результаты в случаях, где не вполне упорядочен. Но на самом деле это не так. Если не вполне упорядочен, может случиться так, что каждый , для которого , предшествует одному, для которого , и наоборот; в этом случае мы не будем иметь ни , ни . Таким образом, наше предложенное новое определение не гарантирует, что будет рядом всякий раз, когда и все члены являются рядами, и поэтому не имеет существенного преимущества перед более простым определением, которое мы приняли, и имеет недостаток большей сложности.

В настоящем номере мы сначала доказываем, что (*172·13) и что (*172·14), так что произведение является пустым, если любой из его множителей является пустым. Затем мы переходим к предложениям о , и т. д. Мы имеем

*172·162.

*172·17.

Отсюда мы выводим предложения о существовании . Мы имеем

*172·181.

Таким образом, предполагая мультипликативную аксиому, произведение, которое имеет множители, ни один из которых не является пустым, не является пустым.

Затем мы рассматриваем и , где . Мы имеем

*172·2.

которое является полезным предложением, и

*172·23.

которое связывает два определения умножения, показывая, что они приводят к эквивалентным результатам для любого конечного числа множителей, т. е. всякий раз, когда определение *166 применимо.

Затем мы рассматриваем и , доказывая

*172·32.

с аналогичным предложением для (*172·321), и

*172·35.

которое является формой ассоциативного закона, использующей оба вида умножения. Вид, который использует только , будет доказан в *174.

Далее у нас есть доказательство (с его непосредственными следствиями), что если и имеют двойное подобие, . Мы доказываем

*172·43.

Это предложение следует сравнить с *114·51, которое является его кардинальным аналогом. Будет видно, что коррелятор отличается только заменой на . Из *172·43 мы получаем

*172·44.

откуда

*172·45.

Другие предложения о будут даны в *174.

*172·01.

*172·1.

*172·11.

Док.

*172·12.

Док.

*172·13.

Док.

*172·14.

Док.

*172·141.

Следующие предложения касаются , и т. д. *172·15 ·151 ·16 ·161 являются леммами для *172·162 ·17.

*172·15.

Док.

*172·151.

*172·16.

Док.

*172·161.

Док.

Следующее предложение важно. Оно показывает, что если состоит из рядов, если какой-либо член не имеет первого члена, не имеет первого члена, но если каждый член имеет первый член, выбор всех этих первых членов является первым членом .

*172·162.

Док.

Следующее предложение часто используется.

*172·17.

Док.

*172·171.

*172·18.

*172·181.

Док.

*172·182.

*172·19.

Заметьте, что мы не можем перейти к , потому что бессмысленно, из-за того факта, что поле состоит из неоднородных отношений.

*172·191.

Док.

*172·192.

Док.

Следующее предложение иногда полезно. (Оно используется в *173·22. *182·2. *185·21.)

*172·2.

Док.

Следующие предложения касаются природы связи между и . Связь такова, как можно было бы желать, за исключением случаев, когда , в каком случае, как показано выше, подобен , и поэтому не подобен .

*172·21.

Док.

*172·22.

Док.

*172·23.

Следующие предложения являются леммами для *172·32.

*172·3.

Док.

*172·31.

Док.

*172·32.

Док.

*172·321.

Следующее предложение является леммой для *172·34, которое требуется при доказательстве *172·35 (а также *176·4).

*172·33.

Док.

*172·34.

Док.

*172·35.

Вышеуказанное предложение важно, являясь формой ассоциативного закона.

Следующие предложения являются расширениями *172·23. Очевидно, что они могут быть расширены до любого конечного числа множителей.

*172·36.

Док.

*172·361.

*172·37.

Док.

Следующие предложения касаются построения коррелятора между и , когда нам дан двойной коррелятор между и . Если двойной коррелятор есть или , то коррелятор между и есть

*172·4.

Док.

*172·401.

Док.

*172·402.

Док.

*172·403.

Док.

*172·404.

Док.

*172·41.

Док.

Следующее предложение важно, поскольку оно дает требуемый коррелятор между и .

*172·42.

Док.

Следующее предложение является леммой для *172·43.

*172·421.

Док.

*172·43.

*172·44.

*172·45.

Следующее предложение показывает, что если два отношения имеют одну и ту же область определения и если их части, содержащиеся в дивергенции, одинаковы, то они имеют одно и то же произведение. Таким образом, например, в силу *91·541.

*172·5.

Док.

Следующее предложение используется в *182·42.

*172·51.

*172·52.

Док.

Таким образом, мы всегда будем иметь , если только не существуют члены , которые не имеют никакого референта, кроме самих себя.

*173. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ (продолжение).

Сводка *173.

В этом параграфе мы рассмотрим отношение между областями определений отношений, связанных посредством , т.е. мы рассмотрим . Это отношение имеет к отношение, аналогичное тому, которое имеет к . Мы обозначим его через «». Когда , подобно , и часто более удобно, чем . Когда , упорядочивает мультипликативный класс посредством первых различий, понимая под первыми различиями то, что самый ранний член , для которого имеет -член раньше, чем -член в -ряде.

Свойства всех вытекают непосредственно из свойств , и не представляют никакой сложности. Наиболее важными из них являются:

*173·14.

Т.е. если не пусто и никакие два члена не имеют одну и ту же область определения, то область определения есть произведение областей определений . Заметим, что если .

*173·16.

*173·2.

*173·22.

*173·23.

*173·3.

*173·31.

*173·01.

*173·1.

*173·11.

*173·12.

*173·121.

*173·13.

*173·14.

Док.

*173·15.

*173·151.

*173·16.

Док.

*173·161.

*173·17.

Док.

*173·2.

*173·21.

*173·22.

Док.

*173·23.

Док.

*173·24.

Док.

*173·25.

Док.

*173·26.

Док.

*173·27.

Док.

Следующее предложение дает коррелятор между и , когда нам дан двойной коррелятор между и .

*173·3.

Док.

*173·31.

*173·32.

Док.

*173·33.

Вышеприведенное предложение используется при доказательстве ассоциативного закона для «» (*174·401).

*174. АССОЦИАТИВНЫЙ ЗАКОН ОТНОШЕНЧЕСКОГО УМНОЖЕНИЯ.

Сводка *174.

В настоящем параграфе мы должны доказать ассоциативный закон для и для , т.е. мы должны доказать (при подходящей гипотезе) и .

Первое из них требует и либо , либо ; второе требует не только этого, но также . Когда и являются отношениями взаимно исключающих отношений, мы называем арифметическим отношением, которое мы обозначаем через «». Арифметические отношения служат точно аналогичным целям, что и арифметические классы в кардинальной арифметике.

Доказательство ассоциативного закона для состоит в том, чтобы показать, что при подходящей гипотезе (с ограниченной областью значений) является коррелятором между и (*174·221·23). Чтобы доказать это, мы сначала доказываем

*174·17.

и

*174·19.

Это дает то, что мы можем назвать кардинальной частью доказательства, т.е. это показывает, что является кардинальным коррелятором областей определений и . Затем мы доказываем, что если и принадлежат области определения , они имеют отношение , когда реляционные суммы их областей определений имеют отношение . Здесь, в дополнение к гипотезе , мы требуем, чтобы, если какое-либо отношение имеет отношение к самому себе, то не должно иметь более одного члена. Таким образом, мы имеем

*174·215.

Гипотеза подтверждается, если (*174·216); таким образом, для большинства целей удобнее подставить более простую гипотезу вместо . Мы, однако, будем иметь случай использовать гипотезу в *182·42·43·431, где наше есть отношение, область определения которого состоит целиком из отношений вида , области определений которых всегда являются единичными классами, так что наше удовлетворяет вышеуказанной гипотезе, даже если не содержится в .

Доказательство *174·215 (выше) осуществляется путем предварительного доказательства

*174·2.

Из *174·17·19·215 мы выводим

*174·221.

откуда мы получаем более удобное предложение

*174·23.

Таким образом, если гипотеза *174·221 или *174·23 выполняется, ассоциативный закон выполняется для (*174·241·25).

Чтобы доказать ассоциативный закон для , т.е. , мы замечаем, что, поскольку (*174·23), мы имеем (*174·41). Также , согласно *115·46. Следовательно, ассоциативный закон следует (*174·43). Будет замечено, что в этом случае коррелятор есть просто s с ограниченной областью значений (*174·42).

Как и в случае с , «» является более сильной гипотезой, чем нам действительно нужно: то, что нам нужно, есть .

*174·01.

*174·12.

Док.

*174·13.

*174·16.

Док.

*174·161.

Док.

*174·162.

Док.

*174·17.

Док.

*174·18.

Док.

*174·19.

Док.

*174·191.

Док.

*174·2.

Док.

*174·21.

Док.

*174·211.

Док.

*174·212.

*174·213.

Док.

*174·214.

Док.

*174·215.

Док.

*174·216.

Док.

*174·22.

*174·221.

Док.

*174·23.

*174·231.

Док.

*174·24.

*174·241.

*174·25.

Это предложение дает ассоциативный закон для . Остается доказать ассоциативный закон для .

Следующие предложения касаются различных свойств «арифметических» отношений, вплоть до *174·4, где начинается доказательство ассоциативного закона для .

*174·3.

*174·31.

*174·311.

*174·32.

*174·321.

*174·322.

Док.

*174·33.

Док.

*174·34.

Док.

*174·35.

Док.

*174·36.

Док.

*174·361.

Док.

*174·362.

Док.

*174·363.

Док.

*174·4.

Док.

*174·401.

Док.

*174·41.

*174·42.

Док.

*174·43.

Это ассоциативный закон для .

*174·44.

*174·45.

Док.

*174·46.

*174·461.

*174·462.

Два следующих предложения просто суммируют предыдущие результаты.

*174·47.

*174·48.

*176. ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ.

Сводка *176.

Определение возведения в степень сформулировано по аналогии с определением в кардинальных числах, т.е. мы полагаем . Мы полагаем также, что часто является более удобной формой,

Отношение имеет своей областью определения (если не ) класс «Belegungen» Кантора, т.е. класс . Оно упорядочивает их посредством формы принципа первых различий, а именно следующим образом: предположим, что и являются двумя членами , и предположим, что в существует член , для которого -представитель предшествует -представителю , т.е. для которого , и предположим далее, что все члены в , которые раньше, чем , т.е. для которых , имеют своего -представителя и своего -представителя идентичными; в этом случае мы говорим, что имеет к отношение . Это может быть сформулировано следующим образом, при условии, что мы предполагаем, что и являются рядами: пусть и будут двумя однозначными функциями, чьи возможные аргументы суть все члены , в то время как их значения суть некоторые или все члены . Тогда мы говорим, что имеет к отношение , если первый аргумент, для которого две функции не имеют одинакового значения, дает более раннее значение для , чем для .

Так, например, пусть будет рядом , , , , , и пусть будет рядом , , , . Тогда и должны быть такими, что или определено тогда и только тогда, когда есть или или или , и значение или есть или или или или . Тогда если и , предшествует ; если , и , предшествует ; и так далее. Таким образом, в этом случае первый член ряда, порожденного , есть тот, для которого , когда имеет любое из значений , , , . Таким образом, первый член ряда есть , т.е. . Следующий член будет . Следующий есть , и так далее. Это делает очевидным, что наш ряд имеет структуру, требуемую от ряда, который должен представлять -ю степень .

Два отношения и порядково схожи, поскольку является взаимно однозначным, когда его область определения ограничена . Это следует из *116·131 вместе с

Если есть коррелятор между и , и есть коррелятор между и , то и , с их ограниченными областями значений, являются соответственно корреляторами между и и между и . Это показывает, что отношенческое число зависит только от тех, что у и , что, конечно, существенно, если должно давать определение возведения в степень.

Если предполагается мультипликативная аксиома, то если есть отношение, которое подобно , и чья область определения состоит из отношений, которые подобны , и , произведение есть подобно . То есть, если мы положим , так что состоит из членов, каждый из которых имеет членов, произведение имеет членов. Это дает связь умножения с возведением в степень.

Существуют два формальных закона возведения в степень, которые справедливы для отношенческих чисел, а именно: Они оба нуждаются в гипотезе: первый нуждается в , в то время как второй нуждается в , поскольку он доказывается посредством ассоциативного закона (*174·43).

Первый из вышеуказанных формальных законов может быть обобщен путем подстановки вместо и взятия произведения различных степеней , где , , ..., и произведения берутся в порядке, определяемом . Результирующее обобщение есть

Доказательство этого предложения вытекает непосредственно из *174·43 и *162·35.

Доказательство второго из формальных законов более трудно. Мы замечаем, для начала, что

Предполагая подходящие гипотезы, это, согласно *162·35, которое подобно , согласно *174·43. Но . Таким образом, наш результат последует, если мы сможем доказать . Теперь один член области определения будет

Это подобно , потому что . Следовательно, есть ряд членов, каждый из которых подобен , и весь ряд таких членов подобен . Если бы мы предположили мультипликативную аксиому, этого было бы достаточно, чтобы доказать результат. Но возможно получить наш результат без предположения мультипликативной аксиомы.

Для этой цели мы действуем следующим образом. Коррелятор есть , согласно *165·361 и *172·3. Назовем это . Тогда . Это, с помощью двух или трех лемм, достаточно, чтобы доказать, что , откуда результат следует.

Основными предложениями настоящего параграфа являются следующие:

*176·1.

*176·11.

Эти предложения просто воплощают определения.

*176·14.

*176·151.

Будет замечено, что в отношенческой арифметике , тогда как в кардинальной арифметике . Различие обусловлено тем фактом, что не существует порядкового числа 1 (ср. *153).

*176·181.

*176·182.

*176·19.

*176·2.

*176·21. С той же гипотезой коррелирует и .

*176·22.

*176·24.

Это предложение связывает умножение и возведение в степень.

*176·31.

*176·311·32·321. Подобные предложения для ,

*176·34.

Мы переходим далее к формальным законам. Мы имеем

*176·42.

*176·44.

Это расширение *176·42.

*176·57.

*176·01.

*176·02.

*176·1.

*176·11.

*176·12.

Док.

Вышеприведенное предложение используется в *176·19. Оно имеет то достоинство, что дает прямую формулу для , вместо той, которая идет через .

*176·13.

*176·131.

Благодаря этому предложению, предложения, констатирующие аналогии между порядковыми и кардинальными степенями, по большей части требуют гипотезы или ее эквивалента, поскольку порядковая степень, чей показатель равен нулю, сама есть ноль, тогда как кардинальная степень, чей показатель равен нулю, есть 1.

*176·132.

*176·133.

*176·14.

Док.

*176·15.

Док.

*176·151.

*176·16.

*176·18.

Док.

*176·181.

*176·182.

*176·19.

Док.

Вышеприведенное предложение часто полезно, поскольку оно дает прямую формулу для , а не ту, которая проходит через или .

*176·2.

Док.

*176·21.

Док.

*176·22.

*176·23.

Док.

*176·24.

*176·3.

Док.

*176·31.

Док.

*176·311.

*176·32.

Док.

*176·321.

*176·33.

*176·34.

Док.

*176·341.

*176·35.

Док.

Вышеприведенное предложение используется в теории конечных порядковых чисел (*261·64).

Следующие предложения касаются доказательства (при подходящей гипотезе) и его расширения

*176·4.

Док.

*176·41.

*176·42.

Док.

*176·43.

Док.

*176·44.

Следующие предложения являются леммами для

*176·5.

Док.

*176·501.

Док.

*176·502.

Док.

*176·503.

Док.

*176·51.

Док.

*176·52.

Док.

*176·53.

Док.

*176·54.

Док.

*176·541.

Док.

*176·55.

Док.

*176·56.

Док.

*176·57.

Док.

Это завершает доказательство второго формального закона возведения в степень.

*177. ПРЕДЛОЖЕНИЯ, СВЯЗЫВАЮЩИЕ С ПРОИЗВЕДЕНИЯМИ И СТЕПЕНЯМИ.

Сводка *177.

Основным предложением по этому предмету является

*177·13.

которое является аналогом *116·72, или, скорее, ведет к аналогу *116·72, как только были определены степени отношенческих чисел; ибо тогда оно становится . Другое предложение является расширением *171·69, а именно

*177·22.

где мы полагаем .

Остальные предложения этого параграфа являются леммами для вышеуказанных двух.

*177·13 показывает, например, что все классы конечных целых чисел могут быть упорядочены в ряд, отношенческое число которого есть , где есть отношенческое число ряда конечных целых чисел. не есть отношенческое число континуума, но тесно связано с ним.

*177·1.

В упомянутых предложениях *116 и появляются вместо и , но никакое свойство и не используется в доказательстве, кроме .

*177·11.

Док.

*177·12.

*177·13.

*177·2.

*177·21.

Доказательство протекает так, как протекает доказательство *174·24. Если , мы будем иметь, если ,

Отсюда мы легко получаем , откуда , откуда результат следует легко.

*177·22.

РАЗДЕЛ D. АРИФМЕТИКА ОТНОШЕНЧЕСКИХ ЧИСЕЛ.

Сводка Раздела D.

В настоящем разделе мы будем заниматься арифметическими операциями над отношенческими числами. Их чисто логические свойства были рассмотрены в Разделе A; в настоящем разделе должны быть установлены их арифметические свойства. Эти свойства вытекают непосредственно из арифметических свойств отношений, которые были установлены в Разделах B и C. Предметы, рассматриваемые в настоящем разделе, аналогичны тем, что рассматривались в Разделе B Части III, за исключением тех, чьи аналоги уже обсуждались в Разделах B и C Части IV. Аналогия достаточно близка, чтобы часто делать ненужным приведение доказательств, поскольку они часто пошагово аналогичны доказательствам соответствующих предложений в Части III, Разделе B.

Двумя главными требованиями при определении арифметических операций с отношенческими числами являются (1) должный учет типов, (2) построение того, что можно назвать разделенными отношениями, т.е. отношений взаимно исключающих отношений, производных от данных отношений и порядково схожих с ними. Каждый из этих пунктов требует некоторых предварительных объяснений.

Сумма двух отношенческих чисел , будет обозначаться через «», чтобы отличить этот вид сложения от (арифметического сложения классов) и (сложения кардинальных чисел). При определении мы должны принять во внимание следующие соображения.

Предположим, что и являются двумя отношениями, которые одного типа и имеют взаимно исключающие области определений. Тогда, очевидно, мы захотим сформулировать наше определение суммы двух отношенческих чисел таким образом, чтобы сумма и была . Но если и не одного типа, то бессмысленно; и если и перекрываются, может быть слишком малым, чтобы иметь в качестве своего отношенческого числа сумму отношенческих чисел и . Обе эти трудности могут быть преодолены путем наблюдения, что, если и , мы должны сделать такие определения, чтобы иметь . Следовательно, при определении суммы отношенческих чисел и мы можем заменить и любыми двумя отношениями и , которые соответственно подобны и . Поэтому то, что нам требуется для нашего определения, — это найти два отношения и , которые (1) соответственно подобны и , (2) одного типа, (3) имеют взаимно исключающие области определений. Все эти три требования удовлетворяются, если мы положим . Мы затем определяем как означающее , и мы определяем сумму отношенческих чисел и как отношенческое число . Эта процедура в точности аналогична процедуре *110; фактически, мы имеем

При определении суммы отношенческих чисел области определения мы не должны рассматривать типы, потому что члены области определения обязательно все одного типа. Но мы должны рассмотреть вопрос о перекрытии. Если член встречается как в , так и в , где , мы хотим метод подсчета x дважды при формировании арифметической суммы. Таким образом, не может быть взято как сумма отношенческих чисел членов , если только . Предположим, например, у нас есть три ряда . Каждый из них имеет три члена; и мы хотим, чтобы сумма их отношенческих чисел была отношенческим числом ряда из девяти членов. Но если мы положим и если мы далее положим , так что помещает вышеуказанные три ряда в вышеуказанном порядке, мы имеем , что не является рядом и не имеет отношенческого числа, которое мы требуем как сумму отношенческих чисел , , .

То, что требуется, — это метод различения различных вхождений и и . По этой причине, когда встречается как член области определения , мы заменяем его на ; когда как член области определения , на ; и когда как член области определения , на . Таким образом, ряд заменяется на ; заменяется на ; и заменяется на . Сумма этих трех рядов тогда имеет отношенческое число, которое требуется как сумма отношенческих чисел , , .

Вышеуказанный процесс символизируется следующим образом. Порождающее отношение ряда есть ; таким образом, три отношения, сумма которых должна быть взята, суть , , , т.е. используя обозначение *182, согласно которому мы полагаем , наши три отношения суть , , . Но порождающее отношение ряда есть , поскольку . Таким образом, есть отношение, требуемое для определения суммы отношенческих чисел членов области определения ; т.е. мы полагаем . Мы назовем разделенным отношением, соответствующим . конструируется, как выше, путем замены каждого члена , где , на ; так что если принадлежит как , так и , он дублируется путем преобразования один раз в , и еще раз в .

Для обработки произведений нам не требуется , потому что было определено так, чтобы осуществить требуемое разделение. Мы могли бы, однако, посредством использования , обойтись без как фундаментального понятия, и удовлетвориться ; ибо мы имеем . Таким образом, мы могли бы взять в качестве фундаментального понятия и определить посредством него.

Сложение единицы к отношенческому числу должно рассматриваться отдельно от сложения двух отношенческих чисел, по тем же причинам, которые делают необходимым рассмотрение и отдельно от . Не существует порядкового числа 1, но мы можем определить сложение одного к отношенческому числу. Если и , мы должны иметь , где мы пишем «» для единицы как добавки. Мы не пишем «», потому что мы, на более поздней стадии, дадим общее определение , в силу которого, если есть индуктивное кардинальное число, будет соответствующим порядковым числом. Это определение влечет , и поэтому мы используем другой символ «» для 1 как добавки. Символ определен только в своих использованиях и не имеет значения, кроме как в использовании, которое было специально определено.

Мы определяем произведение как отношенческое число , когда и . Произведение, так определенное, подчиняется ассоциативному закону и подчиняется дистрибутивному закону в форме , но не, в общем, в форме . Последняя форма выполняется, когда , , суть конечные порядковые числа, как мы докажем на более поздней стадии (*262). Коммутативный закон также не выполняется в общем для порядкового сложения и умножения, но выполняется, когда дело касается конечных порядковых чисел.

Произведение чисел членов , в порядке, порожденном , определяется как , и обозначается через . Будет видно, что не есть функция , поскольку значение произведения зависит от порядка множителей; оно также не есть функция , если только никакие два члена не имеют одно и то же отношенческое число. Свойства вытекают из *172 и *174.

« в -й степени» обозначается через «» и определяется как отношенческое число , где и . Его свойства вытекают из предложений *176 и *177.

*180. СУММА ДВУХ ОТНОШЕНЧЕСКИХ ЧИСЕЛ.

Сводка *180.

Чтобы определить сумму двух отношенческих чисел, мы действуем (как в *110) для построения отношения, отношенческое число которого должно быть требуемой суммой. Для этой цели мы полагаем . Это определение имеет следующие достоинства: (1) каковы бы ни были типы и , есть того же типа, что и ; (2) как бы области определений и ни перекрывались, и даже если , области определений и взаимно исключающие; (3) эти два отношения соответственно подобны и . Следовательно, очевидно, что, не накладывая никакого ограничения на и , мы можем взять отношенческое число в качестве определения суммы отношенческих чисел и . Следовательно, мы полагаем . Из этого определения следует, что есть нуль, если только и не являются гомогенными отношенческими числами, но что если они являются гомогенными отношенческими числами и , то есть отношенческое число .

Чтобы иметь возможность иметь дело с типически двусмысленными отношенческими числами, мы полагаем, как в *110,

Основными предложениями настоящего параграфа являются

*180·111.

*180·3.

*180·31.

Это предложение существенно, поскольку иначе не было бы функцией и , но зависело бы от конкретных и .

*180·32.

*180·4.

*180·42.

*180·56.

который есть ассоциативный закон.

*180·61.

*180·71.

Это предложение дает связь порядкового и кардинального сложения. Следует заметить, что, в силу *154·9, и суть кардинальные числа, когда и суть отношенческие числа.

*180·01.

*180·02.

*180·03.

*180·031.

О цели определений *180·03·031 см. замечания к соответствующим определениям в *110 и Предисловии.

*180·1.

*180·101.

*180·11.

*180·111.

Док.

*180·12.

*180·13.

Док.

*180·14.

*180·15.

Док.

*180·151.

Док.

*180·152.

*180·16.

*180·2.

*180·201.

*180·202.

Док.

В следующих предложениях доказательства опущены, поскольку они в точности аналогичны доказательствам предложений в *110, чьи номера имеют ту же десятичную часть.

*180·21.

*180·211.

*180·212.

*180·22.

*180·24.

*180·3.

*180·31.

*180·32.

*180·4.

*180·42.

*180·43.

*180·53.

Док.

*180·531.

*180·54.

*180·541.

*180·55.

*180·551.

*180·56.

*180·561.

*180·57.

*180·6.

Заметьте, что есть уравнение, зависящее от специфических свойств . Мы не имеем в общем , если только и не являются конечными порядковыми числами.

*180·61.

*180·62.

*180·64.

*180·642.

Заметьте, что , которое будет определено в *181, есть , а не .

Следующие предложения, будучи связанными с отношениями отношенческих чисел и кардинальных чисел, не имеют аналогов в *110.

*180·7.

Док.

*180·71.

Док.

*181. О СЛОЖЕНИИ ЕДИНИЦЫ К ОТНОШЕНЧЕСКОМУ ЧИСЛУ.

Сводка *181.

Отношенческое число , согласно нашим определениям, не имеет значения в изоляции, потому что наши определения сформулированы с прицелом на ряды, а ряд не может состоять из одного члена. Но мы можем добавить один член к ряду; следовательно, требуется как добавка. Чтобы получить наши определения в наиболее управляемой форме, мы сначала конструируем отношение, которое мы называем , которое таково, что, когда бы ни существовало, имеет на один член больше в своей области определения, чем ; отношенческое число этого отношения затем определяется как . Мы добавляем также определение , которое является чисто формальным и служит для минимизации исключений из ассоциативного закона сложения.

Определения тесно аналогичны определениям *180. Мы полагаем с аналогичным определением для . и могут быть любых относительных типов, и мы всегда имеем . Мы полагаем с аналогичным определением для . Мы также вводим определения, аналогичные *180·03·031.

Основными предложениями этого параграфа являются

*181·3.

*181·31.

*181·32.

*181·33.

*181·4.

*181·42.

Следующие предложения формально являются формами ассоциативного закона, но они нуждаются в отдельном доказательстве из-за специфики .

*181·54.

*181·56.

*181·58.

*181·59.

Гипотезы в вышеприведенных предложениях являются существенными.

*181·6.

*181·62.

Эти предложения устанавливают связь с кардинальными числами.

*181·01.

*181·011.

*181·02.

*181·021.

*181·03.

*181·031.

*181·04.

Предложения, касающиеся [выражение], опускаются в дальнейшем изложении, поскольку они доказываются точно так же, как доказываются аналогичные предложения, касающиеся [выражение].

*181·1.

*181·11.

Док.

*181·12.

*181·13.

Док.

*181·2.

*181·21.

*181·22.

Док.

*181·24.

*181·3.

*181·31.

*181·32.

*181·33.

Вышеприведенное предложение используется в *253·23·571.

*181·4.

*181·42.

Док.

*181·43.

Следующие предложения касаются ассоциативного закона, когда [выражение] является одним из слагаемых.

*181·53.

Док.

*181·54.

Док.

*181·55.

*181·56.

Док.

Последняя строка в вышеприведенном доказательстве, в которой используется *24·1, является правомерной, поскольку [выражение] и [выражение] могут быть любого типа, и поэтому тот факт, что [выражение], достаточен для установления [выражение] в требуемом смысле.

*181·561.

Это определение принимает соглашение, противоположное обычно принятому. Однако удобно иметь [выражение], [выражение], а также иметь как можно больше сходства между результатами добавления [выражение] в начале и в конце отношения. Оба соображения приводят к принятию вышеуказанного соглашения. (Ср. *181·57·571 ниже.)

*181·57.

*181·571.

*181·58.

Доказательство протекает так же, как доказательство *181·54.

*181·59.

Вышеприведенные предложения показывают, что, за исключением случаев, когда одно из слагаемых равно нулю, ассоциативный закон выполняется для [выражение] точно так же, как если бы оно было отношенческим числом.

Следующие предложения касаются отношений к кардинальному сложению.

*181·6.

Док.

*181·61.

*181·62.

Док.

*182 О РАЗДЕЛЕННЫХ ОТНОШЕНИЯХ.

Резюме *182.

В этом параграфе мы должны рассмотреть, в качестве предварительного этапа к сложению отношенческих чисел поля, свойства отношения [выражение], которое определяется следующим образом. Если [выражение] является любой функцией двух аргументов в смысле *38, мы полагаем [выражение]. Таким образом [выражение], т.е. [выражение]. Следовательно, [выражение] есть отношение [выражение] к [выражение], когда [выражение]. Таким образом, символ [выражение] значим только тогда, когда [выражение] является отношением отношений; когда это так, [выражение] есть отношение, которое получается, когда для каждого [выражение], являющегося членом [выражение], каждый член [выражение] заменяется на [выражение]. Результатом является [выражение], чьи арифметические свойства служат для определения арифметических свойств суммы отношенческих чисел членов [выражение] следующего параграфа, мы положим [выражение]. Позже мы положим [выражение] и найдем [выражение]. Таким образом, мы могли бы обойтись без [выражение] как фундаментального понятия, используя вместо него [выражение] и полагая [выражение]. Но этот путь в целом менее удобен, чем тот, который принят в *172 и *173.

Обозначение [выражение] таким образом требуется в связи с порядковым сложением, где оно почти незаменимо. Оно имеет, кроме того, некоторые второстепенные применения. Цель этого обозначения — позволить нам представить как функцию от [выражение] выражение вида [выражение], где [выражение] — любая дескриптивная двойная функция, существующая для всех возможных пар аргументов. Так, например, [выражение] является функцией от [выражение], но введенные до сих пор обозначения не позволяют нам представить его в форме [выражение]. Следовательно, если мы хотим (скажем) иметь дело с классом [выражение], мы не можем записать его в форме [выражение], если не введем новое обозначение. Мы полагаем [выражение], откуда [выражение]. Мы вводим это обозначение в общем виде для всех дескриптивных двойных функций, существующих для всех возможных пар аргументов. Таким образом, «[выражение]» в этом параграфе соответствует «[выражение]» в *38.

В настоящем параграфе мы начнем с нескольких предложений, иллюстрирующих возможные применения обозначения [выражение]. Так, например, если [выражение] — класс отношений, у нас до сих пор не было простого обозначения для выражения класса их квадратов. Но поскольку [выражение], класс квадратов [выражение] есть [выражение]. Однако это обозначение введено главным образом для того, чтобы применяться к [выражение] и [выражение]. Поэтому мы почти сразу переходим к предложениям о [выражение], и особенно о [выражение]. Мы имеем

*182·16·162.

*182·2.

*182·21.

Далее мы доказываем (*182·27), что если [выражение], то [выражение] имеет двойную схожесть с [выражение], причем двойным коррелятором является [выражение] с его обратной областью, ограниченной [выражение] (*182·26). Затем мы доказываем (*182·33), что если [выражение] является двойным коррелятором [выражение] с [выражение], то [выражение] (с его обратной областью, ограниченной) является двойным коррелятором [выражение] и [выражение], откуда мы выводим

*182·34.

Затем мы переходим к доказательству

*182·42.

Доказательство этого состоит в следующем: в силу *182·21 и ассоциативного закона для [выражение] мы имеем [выражение]. Теперь [выражение] (*182·413) и [выражение] (*172·51).

Отсюда следует наше предложение. Следовательно, мы приходим к

*182·44.

Наконец, у нас есть несколько предложений, показывающих, как обозначение [выражение] может быть применено в кардинальных числах. Затем оно применяется к [выражение], вместо того чтобы, как выше, применяться к [выражение]. Мы имеем (*182·5·51·52) [выражение]. Таким образом, обозначение настоящего параграфа могло бы быть использовано при работе с кардинальным сложением (*112) вместо обозначения [выражение]. Общее обозначение [выражение] было, однако, необходимо для других целей (ср. *85) и от него нельзя было отказаться.

В *183 мы положим [выражение] и по *182·52 мы имеем [выражение]. Будет видно, что эти формулы обладают обычным видом аналогии.

*182·01.

*182·02.

*182·021.

*182·022.

*182·023.

*182·03.

Таким образом, если [выражение] — класс отношений, класс их квадратов есть [выражение].

*182·031.

*182·032.

*182·033.

*182·04.

Заметьте, что в [выражение] мы сначала берем [выражение], а затем ставим над ним циркумфлекс. Если бы мы сначала взяли [выражение], мы не смогли бы затем поместить под ним две запятые, поскольку [выражение] — это отношение, а не двойная дескриптивная функция, а две запятые могут быть значимо помещены только под двойной дескриптивной функцией.

*182·05.

Отношение, ради которого главным образом введено вышеуказанное обозначение, есть [выражение], где [выражение] — отношение отношений. Если [выражение] связывает [выражение] и [выражение], то [выражение] связывает [выражение] и [выражение]. Это утверждается в следующем предложении:

*182·1.

*182·11.

*182·12.

*182·13.

*182·14.

Док.

*182·15.

Док.

*182·16.

*182·161.

Док.

*182·162.

*182·17.

Док.

*182·18.

Док.

*182·19.

Док.

*182·2.

*182·21.

Следующие предложения подводят к *182·26·27.

*182·22.

*182·23.

*182·24.

*182·25.

Док.

*182·26.

Док.

*182·27.

Следующие предложения подводят к *182·33·34.

*182·3.

Док.

*182·31.

Док.

*182·32.

Док.

*182·33.

Док.

*182·34.

Обратное вышеприведенному предложению ложно. Например, если [выражение], мы будем иметь [выражение] согласно *182·16·27, но мы не будем иметь [выражение], если только [выражение], как следует из *182·16 и *164·23.

*182·411·412 являются леммами для *182·413. Все следующие предложения подводят к *182·42, которое ведет к *182·44.

*182·411.

Док.

*182·412.

Док.

*182·413.

*182·414.

Док.

*182·415.

Док.

Цель вышеприведенного предложения — позволить нам применить *174·221·231 к [выражение], как это делается в *182·42·43·431 ниже.

*182·42.

Док.

*182·43.

Док.

*182·431.

*182·44.

*182·45.

Следующие предложения касаются кардинальных чисел. Они показывают, как выразить предложения и определения *112 в обозначениях этого параграфа, и тем самым иллюстрируют аналогию кардинального и порядкового сложения.

*182·5.

*182·51.

*182·52.

*182·53.

Док.

*182·54.

*183. СУММА ОТНОШЕНЧЕСКИХ ЧИСЕЛ ПОЛЯ.

Резюме *183.

В этом параграфе мы должны определить и рассмотреть сумму отношенческих чисел членов [выражение], где [выражение] — отношение отношений. Поскольку отношенческие суммы не коммутативны, мы не можем определить сумму отношенческих чисел членов класса отношений [выражение]: необходимо, чтобы [выражение] было задано как поле отношения [выражение], где [выражение] определяет порядок, в котором должно осуществляться суммирование.

Чтобы избежать повторений, мы заменяем [выражение] на [выражение], так что если [выражение] является членом [выражение], [выражение] заменяется на [выражение], т.е. [выражение] на [выражение]. Это отношение подобно [выражение], и его поле не имеет общих членов с полем [выражение], если только [выражение]. Следовательно, мы приходим к следующему определению:

*183·01.

Это определение аналогично *112·01, как следует из *182·52, и предложения настоящего параграфа аналогичны некоторым предложениям *112.

Мы имеем не только

*183·11.

но также

*183·15.

что является предложением с более слабой гипотезой, чем гипотеза *183·11 (ср. примечание к *182·34).

Важными предложениями в этом параграфе являются

*183·13.

*183·2.

Т.е. сумма равна нулю только тогда, когда нет слагаемого, кроме (в крайнем случае) нуля. (Ср. *162·4·45.)

*183·25.

*183-26.

Это предложение связывает сложение и умножение.

*183·31.

Это предложение связывает два вида сложения. Мы имеем также

*183·33.

Ассоциативный закон сложения в очень общей форме есть

*183·43.

Наконец, связь порядкового и кардинального сложения дается

*183·5.

*183·01.

*183·1.

*183·11.

Док.

*183·12.

*183·13.

*183·14.

Док.

*183·15.

*183·2.

Док.

*183·22.

Док.

*183·23.

*183·231.

Док.

*183·24.

Док.

*183·25.

Док.

*183·26.

Док.

*183·3.

*183·301.

*183·302.

Док.

*183·31.

Док.

*183·32.

Док.

*183·33.

Док.

*183·331.

*183·42.

Док.

*183·43.

Это форма ассоциативного закона сложения.

Док.

*183·5.

Док.

*184. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ОТНОШЕНЧЕСКИХ ЧИСЕЛ.

Резюме *184.

Предложения этого параграфа по большей части аналогичны тем предложениям *113, которые касаются [выражение]. Те из *113, которые касаются [выражение], имеют свои аналоги в *166. Мы полагаем

*184·01.

*184·02.

*184·03.

Мы доказываем, что [выражение] равно нулю только тогда, когда один из его множителей равен нулю (*184·16); мы доказываем ассоциативный закон (*184·31) и дистрибутивный закон в формах

*184·33.

*184·35.

и мы доказываем [выражение] (*184·4). Также мы расширяем дистрибутивный закон на случай, когда одно из слагаемых есть [выражение], т.е. мы доказываем

*184·41.

*184·42.

и связь кардинального и порядкового умножения дается

*184·5.

*184·01.

*184·02.

*184·03.

*184·1.

Доказательства следующих предложений опущены, поскольку они аналогичны доказательствам соответствующих предложений *113.

*184·11.

*184·111.

*184·12.

*184·13.

*184·14.

*184·15.

*184·16.

*184·2.

*184·21.

Док.

*184·3.

Док.

*184·31.

Док.

*184·32.

*184·33.

Док.

*184·34.

Док.

*184·35.

Доказательство протекает так же, как в *184·31.

*184·4.

Док.

*184·41.

Док.

*184·42.

*184·5.

Док.

*185. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОТНОШЕНЧЕСКИХ ЧИСЕЛ ПОЛЯ.

Резюме *185.

Тема этого параграфа аналогична части темы *114. Рассматриваемые предложения являются непосредственными следствиями ранее доказанных свойств [выражение] и не представляют никакой трудности.

*185·01.

*185·1.

*185·11.

*185·12.

*185·2.

*185·21.

*185·22.

*185·23.

*185·25.

*185·27.

*185·28.

*185·29.

*185·31.

*185·32.

*185·321.

*185·35.

*185·4.

*185·41.

Следующее предложение дает связь между порядковым и кардинальным умножением.

*185·5.

Док.

*186. СТЕПЕНИ ОТНОШЕНЧЕСКИХ ЧИСЕЛ.

Резюме *186.

Для «[выражение] в [выражение]-й степени», когда речь идет о порядковых степенях, мы используем обозначение «[выражение]». Мы не можем использовать «[выражение]» или «[выражение]», поскольку они уже использовались для кардинальных чисел и классов (*116). Поэтому мы добавляем суффикс [выражение] к «[выражение]», чтобы показать, что мы имеем дело с отношенческими степенями. Мы полагаем

Следующие предложения являются основными предложениями этого параграфа:

*186·2.

Мы не имеем [выражение], поскольку не существует порядкового числа 1.

*186·21.

*186·22.

*186·23.

*186·14.

*186·15.

*186·31.

которое связывает возведение в степень с умножением.

*186·4. (ср. *177)

*186·5.

которое связывает порядковое и кардинальное возведение в степень.

*186·01.

*186·02.

*186·03.

*186·1.

*186·11.

*186·111.

*186·12.

*186·13.

*186·14.

Док.

*186·15.

Док.

*186·2.

*186·21.

Док.

*186·22.

Док.

*186·23.

*186·3.

*186·31.

*186·4.

*186·5.

Док.

ЧАСТЬ V. РЯДЫ.

РЕЗЮМЕ ЧАСТИ V.

Отношение [выражение] называется сериальным, или порождающим ряд, когда оно обладает тремя различными свойствами, а именно: (1) содержанием в разнообразии, (2) транзитивностью, (3) связностью, т.е. свойством, состоящим в том, что отношение или его обратное выполняется между любыми двумя различными членами его поля. Таким образом, [выражение] является сериальным отношением, если (1) [выражение], (2) [выражение], (3) [выражение]. Третья характеристика, связность, может быть записана короче, т.е. [выражение], используя обозначение *97; и это, в силу *97·23, эквивалентно [выражение].

В силу *50·47, первые две характеристики эквивалентны [выражение]. Когда [выражение], мы говорим, что [выражение] является «асимметричным». Таким образом, сериальные отношения — это такие, которые являются асимметричными, транзитивными и связными.

Можно было бы подумать, что сериальное отношение не обязательно должно быть содержащимся в разнообразии, поскольку мы обычно говорим о рядах, в которых есть повторения, т.е. в которых более ранний член тождественен более позднему члену. Так, например, [выражение] называли бы рядом букв, хотя буквы [выражение] и [выражение] повторяются. Но во всех таких случаях есть некоторое средство (в вышеуказанном случае — положение в пространстве), с помощью которого одно вхождение данного члена отличается от другого вхождения, и это, как будет обнаружено, означает, что существует некоторый другой ряд (в вышеуказанном случае — ряд положений на линии), свободный от повторений, с которым наш псевдоряд имеет одно-многозначную корреляцию. Таким образом, в вышеприведенном примере у нас есть ряд из девяти положений, которые мы можем назвать [выражение], образующих истинный ряд без повторений; у нас есть одно-многозначное отношение, отношение «занимания» этих положений, с помощью которого мы различаем вхождения [выражение], причем первое вхождение есть [выражение] как коррелят 1, второе есть [выражение] как коррелят 4. Все ряды, в которых есть повторения (которые мы можем назвать псевдорядами), таким образом, получаются путем корреляции с истинными рядами, т.е. с рядами, в которых нет повторений. То есть псевдоряд имеет в качестве своего порождающего отношения отношение вида [выражение], где [выражение] — сериальное отношение, а [выражение] — одно-многозначное отношение, чья обратная область содержит поле [выражение]. Таким образом, то, что мы можем назвать самосущими рядами, должно быть рядами без повторений, т.е. рядами, чьи порождающие отношения содержатся в разнообразии.

Для наших целей нет смысла отличать ряд от его порождающего отношения. Ряд не является классом, поскольку он имеет определенный порядок, в то время как класс не имеет порядка, но способен иметь много порядков (если только он не содержит только один член или ни одного). Порождающее отношение определяет порядок, а также класс упорядочиваемых членов, поскольку этот класс является полем порождающего отношения. Следовательно, порождающее отношение полностью определяет ряд и может, для всех математических целей, считаться самим рядом.

Когда [выражение] транзитивно, мы имеем [выражение]. Следовательно, все предложения Части II, Раздела E становятся значительно упрощенными при применении к рядам.

Также, поскольку поле связного отношения состоит из одного семейства, ряд имеет один первый член или ни одного, и один последний член или ни одного.

В случае сериального отношения [выражение] отношение [выражение] (определенное в *121·02) становится [выражение], т.е. отношением «непосредственно предшествующий». В дискретном ряду члены в общем случае непосредственно предшествуют другим членам. Компактный ряд, напротив, определяется как такой, в котором между любыми двумя членами есть члены: в таком ряду [выражение].

Очень часто случается, что мы хотим рассмотреть отношения различных рядов, которые все содержатся в каком-то одном ряду; например, мы можем захотеть рассмотреть различные ряды вещественных чисел, все расположенные в порядке возрастания величины. В таком случае, если [выражение] — ряд, в котором содержатся все остальные, а [выражение], [выражение], [выражение]... — поля содержащихся рядов, сами содержащиеся ряды суть [выражение], [выражение], [выражение].... Таким образом, когда ряды заданы как содержащиеся в данном ряду, они полностью определяются своими полями.

В дальнейшем Раздел A рассматривает элементарные свойства рядов, включая максимальные и минимальные точки, последующие точки и пределы.

Раздел B будет иметь дело с теорией сегментов и родственными темами; в этом разделе мы определим «дедекиндовы» ряды и докажем важное предложение о том, что ряд сегментов ряда всегда является дедекиндовым, т.е. что каждый класс сегментов имеет либо максимум, либо предел.

Раздел C, который стоит вне основных разработок книги, касается сходимости и пределов функций и определения непрерывной функции. Его цель — показать, как эти понятия могут быть выражены, и многие их свойства установлены, гораздо более общим способом, чем это обычно делается, и без предположения, что аргументы или значения рассматриваемых функций являются либо числовыми, либо численно измеримыми.

Раздел D будет иметь дело с «вполне упорядоченными» рядами, т.е. рядами, в которых каждый класс, содержащий члены поля, имеет первый член. Свойства вполне упорядоченных рядов многочисленны и важны; большинство из них зависит от того факта, что при работе с вполне упорядоченными рядами возможна расширенная разновидность математической индукции. Термин «порядковое число» ограничивается по употреблению отношенческим числом вполне упорядоченного ряда; порядковые числа также будут рассмотрены в нашем четвертом разделе.

Раздел E будет иметь дело с конечным и бесконечным. Мы покажем, что различие между «индуктивным» и «нерефлексивным» не возникает во вполне упорядоченных рядах.

Раздел F будет иметь дело с «компактными» рядами, т.е. рядами, в которых между любыми двумя членами есть член, т.е. в которых [выражение]. В частности, мы рассмотрим «рациональные» ряды (т.е. ряды, подобные ряду рациональных чисел в порядке возрастания величины) и непрерывные ряды (т.е. ряды, подобные ряду вещественных чисел в порядке возрастания величины). Наше рассмотрение этой темы будет тесно следовать Кантору.

РАЗДЕЛ A. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РЯДОВ.

Резюме Раздела A.

В настоящем разделе мы будем заниматься свойствами, общими для всех рядов. Такие свойства по большей части очень просты и не представляют никаких трудностей. Многие свойства рядов не требуют всех трех характеристик, которыми определяются сериальные отношения, а только одного или двух из этих свойств: поэтому мы начинаем с параграфов, в которых, хотя доказанные свойства и получают свою главную важность от их применимости к рядам, гипотезы состоят лишь в том, что рассматриваемые отношения обладают одним или двумя свойствами сериальных отношений. Оттуда мы переходим к наиболее элементарным свойствам, присущим рядам, и далее к теории минимальных и максимальных членов классов, содержащихся в ряду, и к преемникам и пределам классов. Затем мы переходим к корреляции ряда с частью самого себя. Пройденный путь знаком, и встречающиеся трудности меньше, чем в большинстве предыдущих разделов.

Будет замечено, что там, где речь идет о рядах, если [выражение] — существующий класс, содержащийся в [выражение], [выражение] коррелятивно [выражение] (которое есть [выражение]): [выражение] — это «предшественники некоторых [выражение]», а [выражение] — это «преемники всех [выражение]». Если [выражение] — существующий класс, содержащийся в [выражение], то весь [выражение], за исключением последнего члена [выражение] (если таковой имеется), принадлежит к тому или иному из классов [выражение], [выражение], из которых первый полностью предшествует второму. Деление [выражение] на эти два класса — это дедекиндово «сечение», определяемое [выражение]. Но когда только часть [выражение] содержится в [выражение], мы должны заменить [выражение] на [выражение], поскольку если [выражение] имеет какой-либо член, не принадлежащий [выражение]. Опять же, если [выражение], мы имеем [выражение]. Но то, что нам нужно, — это дополнение к [выражение], которое в этом случае является пустым. Следовательно, мы должны заменить [выражение] на [выражение]: это [выражение], когда [выражение], т.е. когда [выражение]. В любом другом случае оно равно [выражение]. Если [выражение] содержится в [выражение] и не является пустым, [выражение]. Таким образом, дедекиндово «сечение», определяемое классом [выражение], независимо от того, содержится ли этот класс целиком или частично в [выражение], всегда представляет собой два класса [выражение].

На протяжении всех элементарных предложений этого раздела мы старались избегать более сильных гипотез, чем требуется: мы не предполагали, что [выражение] является сериальным, если наш вывод следовал бы (например) из гипотезы, что [выражение] транзитивно и связно. Будет обнаружено, что многие свойства рядов зависят от того факта, что если [выражение], [выражение] — два различных члена ряда [выражение], то [выражение] (*204·3). Здесь импликация [выражение] требует, чтобы [выражение] было асимметричным, т.е. чтобы мы имели [выражение] или [выражение]. Импликация [выражение] требует, чтобы [выражение] было связным. Таким образом, требуемая гипотеза состоит не в том, что [выражение] должно быть сериальным, а в том, что [выражение] должно быть связным и асимметричным (*202·5).

Опять же, рассмотрим предложение о том, что если [выражение] — ряд, [выражение]. Это отношение — очень полезное отношение «непосредственно предшествующий»; таким образом, вышеприведенное предложение важно, как и дальнейшее предложение о том, что если [выражение] — ряд, [выражение] — одно-однозначное отношение. Будет помниться, что (по *121) «[выражение]» означает, что [выражение] состоит из двух членов. В *121·304·305 было показано, что если [выражение] содержится в разнообразии, «[выражение]» подразумевает «[выражение]» и эквивалентно утверждению, что [выражение] и [выражение] составляют весь интервал [выражение] и не являются тождественными. Также по *121·254, [выражение]. Очевидно, что если [выражение] содержится в разнообразии и [выражение], мы не можем иметь [выражение], поскольку в интервале [выражение] нет члена, отличного от [выражение] и [выражение], и мы не можем иметь [выражение] или [выражение]. Следовательно, если [выражение], мы имеем [выражение]. Следовательно, согласно тому, что было сказано выше (*121·305), если [выражение], мы будем иметь [выражение]. С другой стороны, если [выражение] транзитивно, мы имеем [выражение] (*201·61). Объединяя эти два факта и помня, что если [выражение] транзитивно, [выражение] (*201·18), мы находим, что если [выражение] транзитивно и содержится в разнообразии. Мы находим далее (*202·7), что если [выражение] связно, [выражение] одно-однозначно. Следовательно, нам нужна полная гипотеза о том, что [выражение] — ряд, чтобы доказать, что [выражение] одно-однозначно (*204·7). Это хороший пример того, как различные отдельные характеристики, составляющие определение ряда, релевантны при доказательстве свойств рядов.