«Principia Mathematica, том 2»

Следующие предложения дают доказательство *124·56, которое отождествляет два определения конечного, при допущении, что ℵ₀ является мультипликативным кардинальным числом. (Однако *124·513 используется только при доказательстве *124·514, а *124·514 не используется в доказательстве. Оно сохраняется как отмечающее этап в аргументации, хотя фактические предложения, впоследствии используемые, — это не оно, а леммы, которые ведут к нему.)

*124·51.

здесь R имеет значение, определенное в *123·02.

Док.

*124·511.

*124·512.

Док.

*124·513.

*124·514.

Следующие предложения посвящены доказательству того, что если μ является мультипликативным кардинальным числом, то класс, такой как κ в *124·512, должен быть таким, что прогрессия содержится в κ. Характеристики κ, которые используются в доказательстве, — это κ ∈ Cls_hom. Поскольку κ ∈ Cls_hom, мы имеем κ ∈ Cls_hom. Следовательно, гипотеза, с которой связана следующая серия предложений, — это κ ∈ Cls_hom, но более ранние предложения не нуждаются в полной гипотезе.

В том, что следует, заметьте, что если κ_α — класс тех членов, которые встречаются в κ_α и никогда не встречались ранее ни в одном более раннем члене κ. Мы доказываем, что при нашей гипотезе члены κ, для которых этот класс новых членов не пуст, образуют класс, который не имеет последнего члена, и поэтому образуют прогрессию.

*124·52.

Док.

*124·521.

Док.

*124·53.

*124·531.

Док.

*124·532.

*124·533.

Док.

*124·534.

Док.

*124·535.

*124·536.

Док.

*124·54.

Док.

*124·541.

Док.

*124·55.

Док.

*124·56.

Док.

Вышеприведенное предложение отождествляет два определения конечного при гипотезе ℵ₀ ∈ Mult.

*124·57.

*124·58.

Док.

Вышеприведенное предложение дает другую гипотезу, которая позволила бы нам отождествить два определения конечного, если бы ее можно было доказать, а именно ℵ₀ ∈ Mult или, что сводится к тому же, ℵ₀ ∈ Mult.

*124·6.

Док.

*124·61.

Док.

Следующие свойства кардинальных чисел, которые не являются ни индуктивными, ни рефлексивными (предполагая, что таковые существуют), легко доказываются. Давайте положим Med = Card - (Induct ∪ Refl_num)

где «Med» означает «промежуточный». Тогда Med ⊂ Card. Следовательно, промежуточные кардинальные числа не имеют максимума или минимума. откуда μ ∈ Med ⊃ μ+1 ∈ Med, поскольку мы имеем либо μ ∈ Induct, либо μ ∈ Refl_num.

*125. АКСИОМА БЕСКОНЕЧНОСТИ.

Резюме *125.

Настоящий номер касается лишь приведения нескольких эквивалентных форм аксиомы бесконечности и родственного допущения существования ℵ₀.

В силу *125·24·25 ниже, если аксиома бесконечности выполняется в каком-либо одном типе, то она выполняется в любом другом типе, который может быть получен из этого, или из любого типа, из которого может быть получен этот. Следовательно, если мы предположим, как кажется естественным, что все экстенсиональные типы получены из первого типа, а именно типа индивидов, то аксиома бесконечности в любом таком типе эквивалентна допущению, что число индивидов не является индуктивным.

Мы рассматриваем в этом номере сначала эквивалентные формы ℵ₀ ∈ Exists, затем эквивалентные формы ℵ₀ ∈ Exists, затем эквивалентные формы ℵ₀ ∈ Exists или ℵ₀ ∈ Exists. Когда «ℵ₀» или «ℵ₀» встречается в этом номере без типического определения, он и все другие типически неоднозначные символы должны быть взяты в самых низких логически возможных типах или с теми же относительными типами, как если бы это было сделано. На предложения этого номера часто не ссылаются в дальнейшем, но они собраны здесь из-за их внутреннего интереса.

*125·1.

*125·11.

*125·12.

Док.

*125·13.

*125·14.

Док.

*125·15.

Док.

*125·16.

Док.

*125·2.

*125·21.

Док.

*125·22.

*125·23.

*125·24.

Док.

*125·25.

*125·3.

Док.

*125·31.

*125·32.

Док.

*125·33.

Док.

*125·34.

Док.

*125·35.

Док.

*125·36.

Док.

*126. О ТИПИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНДУКТИВНЫХ КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ.

Рекапитуляция соглашений и резюме *126.

Мы подошли к этапу, когда можем принять точку зрения обычной арифметики и в будущем при арифметических операциях с кардинальными числами игнорировать различия типов. Чтобы понять, как это происходит, необходимо кратко вспомнить ход мысли некоторых предыдущих номеров и соглашения, на которых основан символизм.

Символизм *102, хотя и совершенно точен в отношении типических связей различных символов, на самом деле слишком сложен для использования, за исключением случаев абсолютной необходимости. Лучше использовать типически неоднозначные символы ℵ₀ и n, в сочетании с некоторыми простыми правилами интерпретации символизма, чтобы обеспечить, чтобы различные вхождения одних и тех же символов находились в своих надлежащих отношениях типа. Это курс, которому следуют в *100, *101 и в каждом номере, начиная с *110.

Важные символы, которые включают явное или неявное использование ℵ₀ или n, называются «формальными числами», и необходимо только применять к ним правила интерпретации.

Постоянное формальное число — это любой символ, представляющий типически неоднозначную константу, такой что существует константа n, такая что, как бы ни определялись неоднозначности типа, первая константа идентична n. Переменные формальные числа определяются перечислением. Они делятся на три набора: первичный набор, аргументальный набор и арифметический набор.

Первичный набор состоит из ℵ₀, n, m, где n — переменная любого типа, а m — переменная любого типа. Также ℵ₀ и n могут сами быть сложными символами, которые каким-то образом включают переменные.

Аргументальный набор имеет только один член n, где n — переменная любого типа. В своем качестве формального числа n интересен только тогда, когда n является ℵ₀; тогда n дает соответствующее ℵ₀ в другом типе, при условии, что n не является ℵ₀. Также n может быть сложным символом, который каким-то образом включает переменную, например, n+1 является формальным числом аргументального набора: n называется аргументом n+1.

Арифметический набор состоит из n+m, n×m, n^m, n-m. Эти формальные числа интересны только тогда, когда n и m также являются членами ℵ₀. Также n и m могут быть сложными символами, при условии, что по крайней мере один из них включает переменную. Например, n+1 является формальным числом, и n×m тоже.

Первичный, аргументальный и арифметический наборы формальных чисел получены из соответствующих наборов переменных формальных чисел путем добавления к ним постоянных формальных чисел, полученных путем подстановки констант вместо переменных, встречающихся в выражениях для членов рассматриваемого переменного набора.

В формальных числах арифметического набора, как написано выше, n и m называются первыми компонентами. Таким образом, каждое формальное число этого набора имеет два первых компонента. Первые компоненты (если таковые имеются) первых компонентов также называются компонентами исходного формального числа, и так далее; так что компоненты компонентов являются компонентами исходного символа.

Формальное число арифметического набора, компоненты которого являются формальными числами, либо постоянными, либо переменными, но не принадлежащими к аргументальному набору, называется чистым арифметическим формальным числом. Это те формальные числа, которые важно в арифметике обезопасить от принятия значения 0 из-за низкого типа.

Логическое исследование *100 и *101, где используются типически неоднозначные формальные числа, непосредственно связано с исследованием предпосылок, необходимых для обеспечения различных предложений от колеблющихся истинностных значений из-за вторжения нулевых значений среди кардинальных чисел. Соглашение, необходимое для избежания определений типа, которые мы никогда не хотим рассматривать, заключается в следующем, где используемые термины полностью объяснены в предисловии:

Аргументальные вхождения привязаны к логическим и атрибутивным вхождениям; и, если нет аргументальных вхождений, эквациональные вхождения привязаны к логическим вхождениям. Это правило применяется только в той мере, в какой позволяет смысл после назначения типов реальным переменным.

В *110, *113, *116, *119 мы рассматриваем арифметические операции сложения, умножения, возведения в степень и вычитания. Также в *117 мы рассматриваем сравнение кардинальных чисел в отношении отношения больше и меньше.

Нет интереса усложнять наши теоремы, допуская случаи, когда чистое арифметическое формальное число, компоненты которого неоднозначны по типу, становится равным 0 из-за низкого типа одного из его компонентов. Также в теории большего и меньшего возможность нулевых значений в низких типах не имеет реального интереса. Соответственно, они исключаются из любого рассмотрения определениями

*110·03·04, *113·04·05, *116·03·116·04, *117·02·03, насколько это касается членов первичного набора формальных чисел; и для других формальных чисел следующим соглашением:

Всякий раз, когда встречается формальное число n, так что, если бы оно было заменено на 0, доминирующий тип n по определению должен был бы быть адекватным, то доминирующий тип n также должен быть адекватным.

Когда n является чистым арифметическим формальным числом, это соглашение обеспечивает, что тип каждого компонента является адекватным.

Но в арифметике мы также хотим избежать вторжения нулевых значений в рассмотрение уравнений, насколько это избегание может быть достигнуто использованием высоких типов. Соответственно, когда мы имеем дело с чисто арифметической точки зрения, мы добавляем также следующее определение и соглашение (см. ниже).

Определение. Арифметическое уравнение — это уравнение между чистыми арифметическими формальными числами, доминирующие типы которых определены адекватно.

Все уравнения, включающие чистые арифметические формальные числа, должны быть арифметическими.

Это соглашение используется в *117 и в некоторых более ранних предложениях, которые отмечены в предисловии.

Его эффект заключается в том, чтобы сделать формулировку гипотез часто ненужной. Примеры его применения к номерам, где оно не используется в символизме, также рассматриваются в предисловии.

В случае индуктивных чисел мы не можем логически доказать, помимо *126·12, что существует один тип, который является адекватным для всех формальных чисел 0, 1, 2, 3 и т.д. Но мы можем доказать, что для любого конкретного индуктивного числа, скажем 521, существует тип, для которого 521 не равно 0. Соответственно, для данной символической формы, в которой символизм обязательно имеет только конечную сложность, когда типы переменных, которые по гипотезе представляют индуктивные классы или индуктивные числа, не равные 0, были установлены, всегда возможно зафиксировать тип, который будет адекватным для всех чистых арифметических формальных чисел, произведенных символизмом формы, а также в то же время (и здесь вступают в силу специфические свойства индуктивных чисел) выбрать исходные типы переменных так, чтобы любая из переменных могла принимать значение любого назначенного постоянного индуктивного числа, скажем 521, не будучи нулевой.

Результат состоит в том, что мы можем предположить, что символы, представляющие индуктивные числа, никогда не являются нулевыми, и тем самым получить стабильные истинностные значения предложений о них.

Соответственно, мы действуем следующим образом: мы полагаем

*126·01.

Мы принимаем правило, что когда появляется n, соглашение *126·01 всегда применяется. Результат состоит в том, что когда формальное число является индуктивным, нам никогда не нужно думать о его типе, и соответственно все соглашения исчезают из ума, насколько это касается чисто арифметических неопределенных индуктивных кардинальных чисел. Мы заменяем все другие соглашения единственным: если было доказано или принято, что формальное число представляет индуктивное кардинальное число, типы упорядочены так, что это формальное число не равно 0. Доказательства предложений в этом номере состоят в значительной степени из получения определенного типа, в котором достигается этот результат.

Важными предложениями являются

*126·12.

*126·121.

*126·13·14·15.

*126·141.

*126·151.

Также *126·4·42·43 дают фундаментальные предложения для вычитания, деления и «обратного возведения в степень»; и *126·5·51·52·53 фундаментальные предложения для отношений больше и меньше.

*126·01.

Всякий раз, когда используется символ n, соблюдается Правило неопределенных чисел, так что все рассмотрение различий в типе среди индуктивных кардинальных чисел может быть отложено (ср. Предисловие, а также Резюме этого номера).

*126·011.

*126·1.

Док.

*126·101.

*126·11.

*126·12.

Док.

*126·121.

Это предложение, взятое в связи с *120·4232, воплощает соглашение, названное Правилом неопределенных чисел, и его обоснование. Соглашение состоит в том, что 1, 2, 3, ... всегда в будущем должны использоваться в экзистенциальных типах. Иными словами, всякий раз, когда используется любое конкретное индуктивное число, оно определяется в типе, в котором оно не равно 0. Обоснование состоит в том, что согласно *126·11·12 такой тип всегда может быть найден для каждого конкретного индуктивного числа.

Соглашение также применяется к арифметическим формальным числам в *126·13·14·15.

Для всех арифметических и эквациональных вхождений это соглашение является результатом *126·11, *126·12 и *126·121.

*126·13.

*126·14.

*126·141.

*126·15.

*126·151.

*126·23.

Док.

*126·31.

Заметьте, что спецификация типа n опущена в соответствии с соглашением. Ссылка на *126·12 показывает, что всегда возможно применить соглашение.

*126·32.

*126·33.

*126·4.

*126·41.

*126·42.

*126·43.

*126·5.

Док.

*126·51.

Доказательство продолжается как в *126·5.

*126·52.

*126·53.

ЧАСТЬ IV. ОТНОШЕНЧЕСКАЯ АРИФМЕТИКА.

СВОДКА ЧАСТИ IV.

Предметом рассмотрения в этой части является общий вид арифметики, частным применением которой служит порядковая арифметика. Форма арифметики, рассматриваемая в этой части, применима ко всем отношениям, хотя ее главное значение относится к таким отношениям, которые порождают ряды. Аналогия с кардинальной арифметикой очень близка, и читатель обнаружит, что понимание последующего материала значительно облегчается, если держать эту аналогию в уме.

Основные положения отношенческой арифметики состоят в следующем. Мы сначала определяем отношение между отношениями, которое мы будем называть порядковой схожестью или подобием и которое играет для отношений ту же роль, что схожесть для классов. Подобие между P и Q состоит в том факте, что области P и Q могут быть соотнесены взаимно-однозначным отношением таким образом, что если любые два члена находятся в отношении P, то их корреляты находятся в отношении Q, и наоборот. Если P и Q порождают ряды, мы можем выразить это, сказав, что P и Q подобны, если их области могут быть соотнесены без изменения порядка. Определив подобие, мы следующим шагом определяем отношенческое число отношения P как класс отношений, которые подобны P, точно так же, как кардинальное число класса есть класс классов, которые схожи с ним. Затем мы переходим к сложению. Порядковая сумма двух отношений P и Q определяется как отношение, которое имеет место между x и y, когда x и y находятся в отношении P или в отношении Q, или когда x является членом области P, а y — членом области Q. Если P и Q порождают ряды, будет видно, что это определяет сумму P и Q как ряд, возникающий в результате добавления Q-ряда после конца P-ряда. Таким образом, сумма не является коммутативной. Сумма отношенческих чисел P и Q есть, конечно, отношенческое число их суммы, при условии, что P и Q не имеют общих членов.

Порядковое произведение двух отношений P и Q есть отношение между двумя парами (x, z) и (x', z'), когда x, x' принадлежат области P, а z, z' принадлежат области Q, и либо xPx', либо x=x' и zQz'. Так, например, если область P состоит из x, x', x'', а область Q состоит из z, z', то отношение P×Q будет иметь место от любого более раннего к любому более позднему члену следующего ряда: (x, z), (x, z'), (x', z), (x', z'), (x'', z), (x'', z'). Ясно, что, обозначая порядковое произведение P и Q через P×Q, мы имеем P×Q = P×Q, где второе «×», стоящее между классами, имеет значение, определенное в *113·01.

Бесконечные порядковые суммы и произведения также будут определены, но определения несколько сложны.

Арифметика, которая вытекает из вышеприведенных определений, удовлетворяет всем тем формальным законам, которые удовлетворяются в порядковой арифметике, когда она не ограничивается конечными ординалами; то есть отношенческие числа удовлетворяют ассоциативному закону для сложения и умножения [10], они удовлетворяют дистрибутивному закону в форме P×(Q+R) = P×Q + P×R (где + и × являются теми, что подходят для отношенческих чисел), и они удовлетворяют экспоненциальным законам P^(Q+R) = P^Q × P^R, (P×Q)^R = P^R × Q^R, P^(Q×R) = (P^Q)^R. Они в общем случае не удовлетворяют коммутативному закону ни при сложении, ни при умножении, и не удовлетворяют дистрибутивному закону в форме (Q+R)×P = Q×P + R×P, ни экспоненциальному закону P^(Q×R) = (P^Q)^R. Но в частном случае, когда рассматриваемые отношения являются конечными сериальными отношениями, соответствующие отношенческие числа удовлетворяют этим дополнительным формальным законам; следовательно, арифметика конечных ординалов точно аналогична арифметике индуктивных кардинальных чисел (ср. Часть V, Раздел E).

Если рассматриваемые отношения ограничены вполне упорядоченными отношениями, отношенческая арифметика становится порядковой арифметикой, как она была развита Кантором; но многие предложения Кантора, как мы увидим в этой части, не требуют ограничения вполне упорядоченными отношениями.

СНОСКИ:

[10] Для ассоциативного закона умножения требуется гипотеза относительно вида рассматриваемого отношения. Ср. *174·241 ·25.

РАЗДЕЛ A. ПОРЯДКОВАЯ СХОЖЕСТЬ И ОТНОШЕНЧЕСКИЕ ЧИСЛА.

Сводка Раздела A.

Два ряда, порожденные отношениями P и Q соответственно, называются порядково схожими, когда их члены могут быть соотнесены в том виде, в каком они есть, без изменения порядка. На прилагаемом рисунке отношение S соотносит члены P и Q таким образом, что если xPy, то x'Qy', где x' = S'x и y' = S'y. Очевидно, что путь от x' к y' (где x'Qy') может в таком случае быть пройден путем перехода сначала к x, затем к y, и затем обратно к y', так что Q = S;P, т.е. P = S;Q;S. Следовательно, сказать, что P и Q порядково схожи, равносильно тому, чтобы сказать, что существует взаимно-однозначное отношение S, которое имеет P в качестве своей области, а Q в качестве своей обратной области и дает P = S;Q;S. В этом случае мы называем S коррелятором P и Q.

Мы обозначаем отношение порядковой схожести через «sm_ord», что является сокращением от «similar ordinally» (порядково схожи). Таким образом, P sm_ord Q ≡ (∃S).S ∈ 1→1 . D'S = P . C'S = Q . P = S;Q;S.

Будет обнаружено, что отношение sm_ord играет ту же роль по отношению к P в отношенческой арифметике, что и sm по отношению к α в кардинальной арифметике. Поэтому желательно иметь более простое обозначение для sm_ord. Мы полагаем P sm_ord Q ≡ P Q. Мы обнаружим, что точка с запятой, определенная таким образом, обладает тем же видом свойств в отношенческой арифметике, что и две перевернутые запятые в кардинальной арифметике. Соответственно обозначению α = sm'β, мы полагаем P = sm_ord'Q. Мы будем, таким образом, иметь P sm_ord Q ≡ P = sm_ord'Q. Окажется, что sm_ord имеет порядковые свойства, аналогичные кардинальным свойствам sm. Так, например, где S выступает как кардинальный коррелятор, S будет выступать как порядковый коррелятор (в каждом случае с соответствующим образом ограниченной обратной областью).

Элементарные свойства sm_ord будут рассмотрены в *150. Затем, в *151, мы сможем изучить порядковую схожесть, приняв в качестве нашего определения порядкового коррелятора S ∈ P sm_ord Q ≡ S ∈ 1→1 . D'S = P . C'S = Q . P = S;Q;S и определяя два отношения как порядково схожие, когда они имеют по крайней мере один порядковый коррелятор, т.е. полагая (по аналогии с *73) P sm_ord Q ≡ (∃S).S ∈ P sm_ord Q.

Нет необходимости ограничивать понятие порядковой схожести (или подобия, как мы также будем его называть) сериальными отношениями. Когда два отношения имеют порядковую схожесть, их внутренние структуры аналогичны, и поэтому они имеют много общих свойств. Всякий раз, когда доказана схожесть между двумя классами α и β, тогда, если P дано как область некоторого отношения, а S — как соотносящее отношение, то S;P;S' подобно P и имеет β в качестве своей области. Следовательно, схожие классы являются областями подобных отношений. Однако не следует полагать, что подобные отношения коэкстенсивны с отношениями, чьи области схожи. Это не выполняется, даже если мы ограничиваемся сериальными отношениями, за исключением частного случая конечных сериальных отношений.

Определение отношенческих чисел (*152) следующее: отношенческое число P, которое мы называем ord'P, есть класс отношений, которые порядково схожи с P; а класс отношенческих чисел, который мы обозначаем через NO, есть класс всех классов вида ord'P. Элементарные свойства отношенческих чисел, рассматриваемые в *152, тесно аналогичны свойствам кардинальных чисел, рассматриваемым в *100.

После нескольких предложений об ординале 0 и ординале 2, которые мы называем 0_ord и 2_ord (*153), мы переходим к рассмотрению отношенческих чисел различных типов. Будет замечено, что «sm_ord», подобно «sm», является отношением, которое двусмысленно относительно типа как своей области, так и своей обратной области. Таким образом, «P sm_ord Q» имеет однозначное значение только тогда, когда определены типы P и Q. P и Q могут быть или не быть одного и того же типа; единственное ограничение на тип каждого из них состоит в том, что оба должны быть «однородными» отношениями, т.е. отношениями, чьи область и обратная область одного и того же типа. Это ограничение вытекает из того факта, что S;Q;S' встречается в определении «P sm_ord Q», а отношение не имеет области, если оно не является однородным; следовательно, Q должно быть однородным, и поэтому, каково бы ни было S, S;Q;S' должно быть однородным, т.е. P должно быть однородным. Таким образом, например, такие отношения, как P, где D'P ≠ C'P, не являются порядково схожими ни с самими собой, ни с чем-либо еще. Всякий раз, когда «P sm_ord Q» значимо для подходящего S, мы имеем P sm_ord Q; но если P не является однородным, «P sm_ord Q» никогда не является значимым. Следовательно, на протяжении всей теории порядковой схожести отношения, о которых утверждается или отрицается порядковая схожесть, должны быть однородными. Корреляторы, напротив, не обязаны быть однородными.

Благодаря однородности наших отношений типы отношенческих чисел рассматриваются гораздо легче, чем это было бы в противном случае; ибо тип однородного отношения определяется типом одного класса, а именно его области, тогда как тип отношения в общем случае зависит от типов двух классов, а именно его области и его обратной области. Поскольку, когда речь идет о подобии, тип области определяет тип отношения, предложения, касающиеся отношений между различными типическими определениями данного отношенческого числа, по большей части точно аналогичны предложениям для кардинальных чисел и выводимы из них. Фактически, отношение, порядково схожее с P, существует в типе τ тогда и только тогда, когда класс, схожий с D'P, существует в типе τ, т.е. (∃Q).Q ∈ ord'P . Q ∈ τ ≡ (∃α).α ∈ sm'D'P . α ∈ τ. Половина этого предложения следует из того факта, что если Q подобно P, то D'Q схоже с D'P. Другая половина следует из факта, упомянутого выше, что если α ∈ sm'D'P и Q подобно P, то существует отношение, подобное P и имеющее α в качестве своей области. Теперь, если Q принадлежит типу τ, любое отношение, имеющее α в качестве своей области, содержится в τ. Следовательно, в предполагаемом случае существует отношение, подобное P и содержащееся в τ. Но отношения, содержащиеся в τ, составляют ord'P ∩ τ. Следовательно, существует отношение, которое подобно P и является членом ord'P ∩ τ, откуда и вытекает наше предложение. С помощью этого предложения и предложений *102—6 свойства отношенческих чисел в отношении типов следуют легко. Соглашения NO, ord'P и т.д. применяются к отношенческим числам так же, как к кардинальным числам; они должны применяться таким же образом, как в аналогичных предложениях Части III, Раздела A.

*150. ВНУТРЕННЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОТНОШЕНИЯ.

Сводка *150.

В этом параграфе мы вводим два обозначения, которые имеют применения в отношении отношений, тесно аналогичные применениям S'α и S''α в отношении классов. Эти два обозначения определяются следующим образом: S;P = S;P;S' и P;S = S';P;S. Затем мы имеем S;P;S' = S;(P;S').

S;P является лишь альтернативой S;P;S', точно так же, как S''α является альтернативой S;α. Также S;P;S' = S;P;S', в силу *38·01 и *43·01.

Применения S;P встречаются главным образом, когда S является взаимно-однозначным отношением и D'S = D'P. Этот случай проиллюстрирован на рисунке во введении к этому разделу. Здесь, если S соотносит x и x', S;P соотносит x' и y'. Таким образом, учитывая класс α, схожий с D'P, если S — соотносящее отношение, S;P имеет α в качестве своей области и обладает во многих отношениях свойствами, аналогичными свойствам P.

S;P;S' важен для многих частных значений S. Например, пусть P будет отношением между отношениями; тогда S;P;S' будет соответствующим отношением областей этих отношений. Если P будет любым отношением, S;P будет соответствующим отношением между упорядоченными парами, из которых P является релятумом; т.е. если xPy, то (S'x) (S;P) (S'y) будет иметь место между S'x и S'y. Если P — отношение между классами, и мы имеем αPβ, то отношение (S''α) (S;P;S') (S''β) будет иметь место между S''α и S''β. Короче говоря, всякий раз, когда S является взаимно-однозначным отношением и, следовательно, порождает дескриптивную функцию, тогда S;P;S' есть отношение, которое имеет место между S'x и S'y всякий раз, когда xPy имеет место между x и y.

Мы вводим одно другое новое обозначение в этом параграфе, соответствующее S'y в *38. Это обозначение определяется так: P;S = P;S. Цель этого обозначения состоит в том, чтобы позволить нам перейти к P;S и другим подобным обозначениям; или, иначе говоря, позволить нам рассматривать P как функцию от y, а не от x. Возьмем, например, случай P;S. Мы можем пожелать рассмотреть различные отношения P, Q, где мы должны иметь (скажем) Q = S;P;S'. Чтобы выразить отношение Q к P, возникающее из S, нам нужно вышеуказанное обозначение. С его помощью мы имеем Q = S;P;S'. Таким образом, S;P;S' есть отношение между x' и y' соответствующее отношению P между x и y. S;P;S' играет ту же роль в отношенческой арифметике, что и S''α в кардинальной арифметике.

Обозначения этого параграфа способны к эпизодическим применениям в кардинальной арифметике [11], но их главная полезность — в отношенческой арифметике, в которой они фундаментальны.

Чтобы минимизировать использование скобок, мы полагаем S;P;S' = S;P;S'.

Как непосредственный результат определения S;P;S' мы имеем S;P;S' = S;P;S'.

*150·11.

Мы имеем также S;P;S' = S;P;S'.

*150·12.

*150·13.

Это предложение, которое является аналогом S'(P'x) = (S;P)'(S'x) (*37·33), используется очень часто. Мы имеем также S;P;S' = S;P;S'.

*150·3.

*150·42.

Оставшиеся предложения этого параграфа (за немногими исключениями) могут быть классифицированы следующим образом:

(1) Предложения, касающиеся области, обратной области и поля S;P;S' (*150·2—·23). Ввиду того факта, что главные применения этого предмета относятся к случаям, где P и Q являются сериальными, поле S;P;S' более важно, чем его область или обратная область. Таким образом, главные предложения здесь суть:

*150·22.

*150·23.

Гипотеза D'P ⊂ D'S проверяется почти во всех применениях S;P;S'. Когда она не проверяется, часть P, не содержащаяся в D'S, не имеет отношения к значению S;P;S'. Гипотеза D'P ⊂ D'S очень часто проверяется на практике, так как она проверяется, когда S является коррелятором P и Q.

(2) Предложения, касающиеся отношений с ограниченными областями, обратными областями или полями (*150·32—·38). В широком смысле, ограничение на поле S;P;S' эквивалентно ограничению на обратную область S;P;S', и оба эквивалентны соответствующему ограничению на поле P, при условии D'S = D'P. Ограничения, которые встречаются на практике, — это ограничения на обратную область S;P;S' с последующими ограничениями на поля P и Q.

Главные предложения по этому предмету суть:

*150·32.

*150·35.

(Это следует из *150·32 и *35·71.)

*150·36.

*150·37.

(3) Предложения о S;P;S', когда S является взаимно-однозначным или однозначно-взаимным (*150·4—·56). Мы имеем:

*150·4.

Это предложение используется постоянно. Лишь немногим менее полезно:

*150·41.

Оставшиеся предложения этого набора — главным образом применения *150·4·41 к частным случаям.

(4) Несколько предложений о S;P;S' (*150·6—·62). Это непосредственные следствия определения.

(5) Набор предложений о парах и связанных с ними вопросах (*150·7—·75). Главное из них:

*150·71.

Это предложение очень часто используется в отношенческой арифметике. Полезно также:

*150·73.

(6) Далее у нас есть четыре предложения (*150·8—·83) о S;P;S', когда S является степенью P. Они относятся к предложениям *92; они полезны в порядковой теории конечного и бесконечного. Мы имеем:

*150·82·83.

Отсюда следует, что в предполагаемой гипотезе, если S является коррелятором P и Q, он также является коррелятором P^n и Q^n.

(7) Предложения, касающиеся отношения S;P;S' (*150·14—·171 и *150·9—·94). Они имеют применения, аналогичные применениям предложений, касающихся S''α. Наиболее важные:

*150·14.

(Это следует непосредственно из *150·13, выше.)

*150·141.

(Это следует непосредственно из определения.)

*150·16.

Это предложение аналогично S'(P'x) = (S;P)'(S'x) (*40·38), т.е. S;P;S' = S;P;S', как оказывается при подстановке P и Q вместо α и β в этом варианте *40·38.

Оставшиеся предложения в основном имеют характер лемм, которые будут использованы по одному или два раза каждое в отношенческой арифметике.

*150·01.

*150·02.

*150·03.

Здесь, как и в *38, «R» означает любой знак, который при помещении между двумя буквами определяет дескриптивную функцию аргументов, представленных этими буквами. Так, например, «R» может представлять любое из следующего:

Два следующих определения служат исключительно для избежания скобок.

*150·04.

*150·05.

*150·1.

*150·11.

*150·12.

*150·13.

Док.

*150·131.

Док.

Заметьте, что мы не имеем S;P;S' = S;P;S'.

*150·14.

Док.

Это предложение является отношенческим аналогом *37·34.

*150·141.

*150·15.

*150·151.

Следующее предложение используется в теории двойной порядковой схожести (*164·13).

*150·152.

Док.

*150·153.

Док.

Вышеприведенное предложение используется при работе с отношениями отношений пар (*165·23).

*150·16.

Следующее предложение является леммой для *150·171.

*150·17.

Док.

*150·171.

Док.

Вышеприведенное предложение требуется в теории двойной порядковой схожести. Оно используется при доказательстве *164·141, которое используется в *164·18, являющемся фундаментальным предложением в теории двойной порядковой схожести.

Следующие предложения об области, обратной области и поле S;P;S' часто используются, особенно *150·202, *150·22, *150·23. *150·201 почти никогда не используется, но вставлено для того, чтобы общий случай не остался без рассмотрения.

*150·2.

*150·201.

Док.

*150·202.

Док.

*150·203.

*150·21.

*150·211.

*150·22.

На практике, когда используется S;P;S', мы почти всегда имеем D'P ⊂ D'S. Ибо использование S;P;S' состоит в получении отношения, аналогичного P и имеющего другое поле; теперь S;P;S' аналогично P, ибо часть P, которая лежит вне D'S, не затрагивается S. Следовательно, если у нас есть, для начала, отношение P, чье поле не содержится в D'S, мы обычно найдем выгодным ограничить поле до D'S и рассматривать преобразованное отношение скорее как S;P;S', чем как P. Таким образом, гипотеза D'P ⊂ D'S будет проверена почти во всех полезных применениях понятия S;P;S'.

*150·23.

*150·24.

Док.

*150·25.

*150·3.

*150·301.

*150·31.

Следующие предложения часто полезны, когда нам приходится иметь дело с корреляторами вида S;P;S', что случается часто.

*150·32.

*150·33.

*150·34.

*150·35.

Док.

Вышеприведенное предложение, которое является аналогом *37·69, часто используется в отношенческой арифметике.

Следующее предложение часто используется после того, как мы достигаем теории вполне упорядоченных рядов, но не до того (за исключением *150·37).

*150·36.

Док.

*150·361.

*150·37.

Док.

Вышеприведенное предложение не используется, пока мы не достигнем теории рядов.

*150·38.

Док.

Вышеприведенное предложение используется при работе с корреляцией рядов (*208·2).

*150·4.

Это предложение фундаментально в теории S;P;S', потому что в большинстве применений этого понятия S является однозначным. Предложение утверждает, что когда S является однозначным, S;P;S' есть отношение между коррелятами членов, связанных P. Таким образом, если P — отношение жены к мужу, а S — отношение брата к брату, S;P;S' — отношение между женами братьев. Если P — отношение между отношениями, S;P;S' будет соответствующим отношением их полей; и так далее.

*150·41.

*150·42.

Следующие предложения, вплоть до *150·56, являются, за исключением *150·52—·535, все иллюстрациями *150·4·41.

*150·5.

*150·51.

*150·511.

*150·512.

*150·52.

S;P;S' — это отношение, которое играет большую роль в отношенческой арифметике.

*150·53.

*150·531.

*150·532.

*150·534.

*150·535.

*150·54.

*150·541.

*150·55.

*150·56.

*150·6.

*150·601.

*150·61.

*150·62.

Отношения вида S;P;S' часто полезны в отношенческой арифметике, особенно в частном случае S;P;S', который занимает место, занимаемое S''α в кардинальной арифметике. Отношения вида S;P;S' будут рассмотрены в *165.

Следующие предложения главным образом касаются корреляций пар. Они очень полезны в отношенческой арифметике. *150·71, в частности, фундаментально.

*150·7.

*150·71.

*150·72.

*150·73.

*150·74.

*150·75.

Док.

Четыре следующих предложения относятся к предмету *92, но не могли быть даны в этом параграфе из-за того, что они включают обозначения *150. Они требуются для доказательства того, что если S является коррелятором P и Q, он также является коррелятором P^n и Q^n (*151·45), и для одного из фундаментальных предложений в порядковой теории прогрессий (*263·17).

*150·8.

Док.

*150·81.

Док.

*150·82.

Док.

*150·83.

Док.

Следующие предложения, вплоть до *150·94 включительно, возобновляют предмет отношения S;P;S', который уже был рассмотрен в *150·14—·171.

*150·9.

Док.

Следующие предложения ведут к *150·931, *150·94, которые используются в теории двойной порядковой схожести (*164·3, *164·21).

*150·91.

Док.

*150·92.

Док.

*150·921.

*150·93.

*150·931.

Док.

*150·932.

*150·933.

*150·94.

Док.

Вышеприведенное предложение — аналог *74·61, которое (с несколькими тривиальными преобразованиями) может быть записано как S''α = S''α.

При получении порядковых аналогов таких предложений S''α будет заменено на S;P;S', а две перевернутые запятые будут заменены точкой с запятой; класс классов α будет заменен, в большинстве своих вхождений, отношением отношений P, но иногда будет заменен на P.

Вышеприведенное предложение (*150·94) используется при доказательстве того, что обратное к двойному коррелятору P и Q является двойным коррелятором P и Q (*164·21). Соответствующее кардинальное предложение (*111·131) использует *74·6, которое практически то же самое предложение, что *74·61, являющееся аналогом *150·94.

*150·95.

Док.

Вышеприведенное предложение используется в теории «первых разностей» (*170·41).

*150·96.

Док.

*150·961.

Док.

Вышеприведенное предложение используется в теории порядкового возведения в степень (*176·21).

FOOTNOTES:

[11] Например, в *116·53 и последующих предложениях, где обозначение S;P;S' было введено временным определением.

*151. ПОРЯДКОВАЯ СХОЖЕСТЬ.

Сводка *151.

В этом параграфе мы даем определение порядковой схожести и различные эквивалентные формы; мы доказываем, что порядковая схожесть рефлексивна (*151·13), симметрична (*151·14) и транзитивна (*151·15), и мы даем некоторые частные случаи порядковой схожести (*151·6 и сл.). Предложения в этом параграфе следует сравнить с предложениями в *73, которым они аналогичны.

Класс порядковых корреляторов P и Q записывается как P sm_ord Q, где «sm_ord» означает «similar ordinally» (порядково схожи). Мы полагаем P sm_ord Q = {S : S ∈ 1→1 . D'S = P . C'S = Q . P = S;Q;S}.

(Мы могли бы с равным успехом положить P sm_ord Q = {S : S ∈ 1→1 . D'S = P . C'S = Q . Q = S;P;S'}, что является эквивалентной, но более сжатой формой определения.) Мы затем определяем «P порядково схоже с Q» как означающее, что существует по крайней мере один порядковый коррелятор P и Q, т.е. P sm_ord Q ≡ (∃S).S ∈ P sm_ord Q.

Мы обнаружим, что если P и Q порождают вполне упорядоченные ряды, они имеют по крайней мере один коррелятор (*250·6), но это не выполняется в общем случае для других рядов.

После приведения элементарных свойств порядковой схожести у нас есть три важных предложения о ее связи с кардинальной схожестью, а именно: (*151·18) если P схоже с Q, то поле P схоже с полем Q (обратное не выполняется в общем случае, но выполняется, если P и Q — конечные сериальные отношения); (*151·19) если P схоже с Q, существует отношение, подобное P и имеющее α в качестве своего поля, и наоборот; (*151·191) S является порядковым коррелятором P и Q тогда и только тогда, когда он является кардинальным коррелятором D'P и D'Q и P = S;Q;S.

Затем у нас есть набор предложений о корреляторах вида S;P;S' (*151·2—·243). Большинство корреляторов, с которыми мы будем иметь дело, имеют этот вид. Наиболее полезное предложение здесь:

*151·22.

Полезное следствие этого предложения:

*151·231.

Это следствие полезно, потому что гипотеза D'P ⊂ D'S удовлетворяется большинством отношений, которые встречаются как корреляторы.

Далее у нас есть ряд предложений о выводимости P sm_ord Q или P sm_ord Q из P sm_ord Q или P sm_ord Q, и связанные с этим вопросы (*151·25—·29).

Мы имеем:

*151·25.

*151·26.

*151·29.

*151·29 никогда не используется, но вставлено, чтобы показать, что наше определение «порядковой схожести» согласуется с тем, что обычно понимается под этим термином. Если P и Q рассматриваются как сериальные, так что «xPy» означает «x предшествует y в P-ряду», а «x'Qy'» означает «x' предшествует y' в Q-ряду», то наше предложение утверждает, что два ряда порядково схожи, когда их члены могут быть так соотнесены, что предшественники в любом из них соотнесены с предшественниками в другом, а преемники — с преемниками, т.е. когда два ряда могут быть соотнесены без изменения порядка.

Далее у нас есть (*151·31—·52) набор разнообразных предложений, из которых наиболее полезные:

*151·401.

*151·5.

*151·401 будет полезно в таких случаях, как следующий: пусть P и Q будут отношениями между отношениями, тогда P' и Q' будут соответствующими отношениями их областей. Предположим P sm_ord Q, P' sm_ord Q'. Тогда, по *151·401, если S является коррелятором P и Q, S' является коррелятором P' и Q'.

*151·5 показывает, что если S является коррелятором P и Q, он соотносит D'P с D'Q, C'P с C'Q, D'P с D'Q и C'P с C'Q.

Наш следующий набор предложений (*151·53—·59) касается корреляции степеней P и Q и родственных вопросов. Мы показываем (*151·55), что коррелятор P и Q также является коррелятором P^n и Q^n, и поэтому если P и Q подобны, то подобны и P^n и Q^n (*151·56); мы показываем также (*151·59), что если P и Q подобны, то подобны и P^n и Q^n. Эти предложения используются в теории прогрессий (*263·17).

Оставшиеся предложения (от *151·6 до конца) касаются применений к частным случаям. Наиболее полезные из них:

*151·61.

которое показывает, как повысить тип отношения, не меняя его отношенческого числа;

*151·64.

*151·65.

Мы доказываем также, что все члены ord'P (т.е. все отношения вида S;P;S', где S ∈ 1→1) подобны (*151·63), и что все отношения вида P;S;P' подобны (*151·631).

*151·01.

*151·02.

*151·1.

*151·11.

*151·12.

*151·121.

*151·13.

*151·131.

Док.

*151·14.

*151·141.

Док.

*151·15.

*151·16.

*151·161.

*151·162.

*151·17.

*151·18.

Док.

*151·19.

Док.

*151·191.

Док.

*151·2.

Док.

*151·21.

*151·22.

Док.

*151·23.

Вышеприведенное предложение (*151·23) очень полезно. Оно является аналогом *73·15. (Следует заметить, что во всех предложениях, касающихся подобия, P sm_ord Q играет ту же роль, что sm играет в предложениях, касающихся схожести.) С помощью *151·23 мы можем установить подобие во всех тех многочисленных случаях, в которых отношение, которое обычно не является взаимно-однозначным, становится взаимно-однозначным при ограничении определенной обратной областью, как, например, если нам приходится иметь дело с P, где P ∈ 1→1, или с P, где P ∈ 1→1. Так, например, по вышеприведенному предложению, если P — любое отношение, чье поле есть α, где α ∈ 1→1, то S;P;S' будет порядково схожим отношением, чье поле есть β.

*151·231.

*151·232.

*151·24.

*151·241.

*151·242.

*151·243.

*151·25.

Док.

*151·251.

*151·252.

*151·253.

*151·254.

Док.

Это предложение — аналог *72·54. «P sm_ord Q» означает «P sm_ord Q», а не «P sm_ord Q».

*151·26.

Док.

*151·261.

*151·262.

*151·263.

*151·264.

Док.

*151·27.

*151·271.

*151·28.

Док.

Вышеприведенное предложение показывает, что порядковая схожесть, как мы ее определили, обладает свойствами, которые обычно ассоциируются с термином «порядковая схожесть», а именно, что P и Q порядково схожи, когда их поля могут быть так соотнесены, что два члена, имеющие отношение P, всегда соотнесены с двумя членами, имеющими отношение Q, и наоборот.

Гипотеза D'P ⊂ D'S избыточна в *151·28; это показано в следующем предложении.

*151·281.

Док.

*151·29.

*151·31.

Док.

*151·32.

*151·33.

Док.

*151·4.

Док.

*151·401.

Док.

*151·41.

Это предложение — аналог *73·63.

Следующее предложение часто используется как в отношенческой арифметике, так и в теории рядов.

*151·5.

Док.

*151·51.

Док.

*151·52.

*151·53.

Док.

*151·54.

Док.

*151·55.

*151·56.

*151·56 используется в *263·17.

Два следующих предложения — леммы для *151·59, которое используется в *263·17.

*151·57.

Док.

*151·58.

Док.

*151·59.

Оставшиеся предложения этого параграфа состоят из применений к частным случаям.

*151·6.

Это предложение значимо только тогда, когда P является отношением между отношениями.

*151·61.

*151·62.

*151·63.

Док.

Вышеприведенное предложение показывает, что все порядковые пары (т.е. все члены ord'(x↓y)) порядково схожи. Следующее предложение показывает то же самое для пар, чей референт и релятум идентичны.

*151·631.

Док.

*151·64.

Следующее предложение часто используется в отношенческой арифметике.

*151·65.

*152. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ОТНОШЕНЧЕСКИХ ЧИСЕЛ.

Сводка *152.

Отношенческое число P, которое мы обозначаем через ord'P, определяется как класс отношений, которые порядково схожи с P, т.е. ord'P = {Q : Q sm_ord P}. Следовательно, наше определение есть ord'P = sm_ord''{P}. Класс отношенческих чисел состоит из всех таких классов, как ord'P, т.е. NO = {ord'P : P ∈ Rel}. Эти два определения аналогичны определениям *100, просто заменяя «sm» на «sm_ord». Они оправданы аналогичными соображениями и приводят к аналогичным результатам. За исключением *152·7, *152·71, *152·72, предложения этого параграфа являются аналогами предложений *100 и не требуют замечаний, кроме тех, что во введении к *100 (mutatis mutandis).

*152·7, *152·71, *152·72 дают отношения между отношенческими числами и кардинальными числами. *152·7, которое постоянно используется, утверждает, что кардинальное число D'P состоит из полей отношенческого числа P, т.е. классы, схожие с D'P, являются полями отношений, схожих с P; в символах, sm''D'P = D''ord'P.

*152·7.

Отсюда следует, что поля отношенческого числа образуют кардинальное число, т.е. sm''D'P ∈ NC.

*152·71.

Отсюда также следует, что кардинальные числа, отличные от 0, состоят из классов вида D'P, где P — отношенческое число, отличное от 0_ord, т.е. NC - {0} = {sm''D'P : P ∈ NO - {0_ord}}.

*152·72.

В *154·9 мы покажем, как устранить ограничение числами, отличными от , придя таким образом к

*152·01.

*152·02.

*152·1.

*152·11.

*152·2.

*152·21.

*152·22.

*152·3.

*152·31.

*152·32.

*152·321.

*152·33.

Док.

*152·35.

Док.

В приведенном выше предложении следует сделать те же замечания относительно типов, что и в случае *100·35. Если в некотором типе и оба являются нулевыми, то в этом типе мы имеем , но мы не обязаны иметь . Так, например, мы обнаружим, что в типе , Но мы не имеем

*152·4.

Заметим, что «», подобно «», является формальным числом и может быть подвергнуто конвенциям , , .

*152·41.

*152·42.

*152·43.

*152·44.

*152·45.

*152·5.

*152·51.

Док.

*152·52.

Ограничение, содержащееся в , как мы увидим позже, не является необходимым, поскольку в любом заданном типе.

*152·53.

Док.

*152·54.

*152·6.

*152·62.

*152·63.

Полезность *152·6, ·62, ·63 заключается в том, что они позволяют нам повысить тип отношенческого числа до любой требуемой степени. Так, дает отношение, полем которого является класс следующего типа выше, чем у , т.е. типа ; в то время как дает отношение, полем которого является , которое имеет тип . Если , или, более общо, если , то это тип . Таким образом, если мы положим , мы имеем . Таким образом, есть отношение, поле которого состоит из членов того же типа, что и .

Следующие предложения об отношениях кардинальных чисел и отношенческих чисел очень важны.

*152·7.

Док.

*152·71.

*152·72.

Док.

Мы покажем в *154·9, что исключение в *152·72 является излишним.

*153. ОТНОШЕНЧЕСКИЕ ЧИСЛА , И .

Резюме *153.

Отношенческие числа и уже были определены (в *56), хотя в настоящем параграфе остается показать, что они являются отношенческими числами. Они представляют собой порядковые числа 0 и 2 соответственно, т.е. они являются порядковыми числами вполне упорядоченных рядов, не имеющих членов, и рядов из двух членов соответственно. Но не существует способа ввести порядковое число 1, которое было бы аналогично кардинальному числу 1 столь же полно, как и аналогичны 0 и 2. Единственными отношениями, полями которых являются единичные классы, являются отношения вида . Поэтому мы полагаем

*153·01.

Приведенное выше определение дает максимально близкое приближение к порядковому числу 1. определенное таким образом, является отношенческим числом и представляет собой отношенческое число, соответствующее 1 в том смысле, что оно является отношенческим числом всех таких отношений, поле которых состоит из одного члена. Но не является тем, что называется «порядковым числом», поскольку этот термин ограничен в употреблении отношенческими числами вполне упорядоченных рядов, а не является сериальным отношением. Для сериального отношения существенно быть содержащимся в отношении различия; и если по определению мы включаем в ряды, мы вводим больше исключений, чем избегаем. Более того, не обладает тем видом свойств, которыми мы хотим, чтобы обладало 1; например, не есть .

Мы не используем , потому что на более позднем этапе мы определим как класс тех рядов , поля которых имеют членов, так что , в то время как и имеют значения и , как определено ранее. Ввиду этого общего определения , мы выбираем другой символ для отношенческого числа 1, и имеет то достоинство, что оно максимально похоже на .

Чтобы проиллюстрировать, забегая вперед, то, как отличается от собственных порядковых чисел, мы можем указать, что если к прибавляется , мы не получаем . Мы определим как класс рядов, состоящих из трех членов, т.е. класс отношений вида , где . Мы определим сумму двух порядковых чисел как порядковое число суммы двух отношений, имеющих эти порядковые числа (ср. *180), и окажется, что если и — отношения, поля которых не имеют общих членов, то имеет отношенческое число, которое является суммой таковых для и . Предположим теперь и , где . Тогда Это не является членом , из-за дополнительного члена . Таким образом, добавление одного члена к ряду не дает того же числа, которое получается в результате добавления к . Следовательно, добавление 1 к порядковому числу должно рассматриваться отдельно [12].

Мы доказываем в этом параграфе, что (*153·11), что (*153·24; заметим, что мы должны взять пару классов (или отношений), чтобы быть уверенными в существовании двух различных объектов рассматриваемого класса), и что ) (*153·32). Мы доказываем (*153·18), (*153·212) и (*153·36). Мы также имеем (не доказано) и (*153·301). Но мы не имеем ; например, если , но . Мы имеем (*153·12) и (*153·34), но из наших примитивных предложений мы не можем вывести , если не поднимемся выше низшего типа отношений. Этот случай в точности аналогичен случаю (ср. *101); мы имеем

*153·26·262.

Но если, как утверждают монисты, существует только один индивид, мы не будем иметь в типе отношений индивидов к индивидам. Наши примитивные предложения не достаточны, чтобы опровергнуть это предположение.

*153·01.

*153·1.

*153·101.

Док.

*153·11.

*153·111.

*153·12.

*153·13.

*153·14.

Док.

*153·15.

Док.

*153·16.

Док.

*153·17.

*153·18.

Док.

*153·2.

*153·201.

*153·202.

*153·203.

Док.

*153·21.

*153·211.

*153·212.

*153·22.

*153·23.

Это предложение иллюстрирует причины, по которым не следует полагать . Мы хотим, чтобы индуктивные порядковые числа, подобно индуктивным кардинальным числам, образовывали ряд в порядке возрастания величины; но, как иллюстрирует вышеприведенное предложение, отношенческое число таких отношений, как , не находится в том же ряду, что и и . Вышеприведенное предложение следует сопоставить с *51·411.

*153·24.

*153·25.

*153·251.

Док.

*153·26.

*153·261.

*153·262.

*153·27.

*153·28.

Док.

*153·281.

Вышеприведенное предложение используется в теории рядов (*204·48).

*153·3.

*153·301.

*153·31.

Док.

*153·311.

Док.

*153·32.

*153·33.

*153·34.

Док.

*153·341.

*153·35.

Док.

*153·36.

Док.

СНОСКИ:

[12] Ср. *161 и *181, где этот момент разъяснен более полно.

*154. ОТНОШЕНЧЕСКИЕ ЧИСЛА ЗАДАННЫХ ТИПОВ.

Резюме *154.

Этот параграф дает предложения, аналогичные предложениям *102. В соответствии с нашими общими обозначениями для типической определенности, «» означает «класс отношений, подобных и того же типа, что и », «» означает «отношение к отношению типа , принадлежащему классу отношений, подобных ему и типа ». По специальному определению, «» должно означать все типически определенные отношенческие числа вида «», т.е. все отношенческие числа, порожденные отношением , т.е. область .

Теоремы существования в этой области могут быть доказаны с помощью *154·14, которая утверждает, что отношения, подобные , существуют в типе тогда и только тогда, когда классы, подобные , существуют в типе . В силу этого предложения теоремы существования нашей текущей темы выводимы из таковых для кардинальных чисел. В символах это предложение есть

*154·14.

Отсюда, согласно *102·73, мы выводим

*154·242.

откуда, согласно *152·72,

*154·9.

Оставшиеся предложения являются главным образом аналогами таковых в *102. Очень немногие из них впоследствии упоминаются.

*154·01.

*154·1.

Док.

*154·11.

Док.

*154·12.

Док.

*154·121.

Док.

*154·13.

Док.

*154·14.

В силу *154·14 и предложений *102, *103, *104, *105, *106 мы видим, что все однородные или возрастающие отношенческие числа существуют, в то время как является членом каждого убывающего типа отношенческих чисел. Помня, что рассматриваемые отношения должны быть однородными, мы видим, что существуют два вида шагов, с помощью которых их типы могут быть повышены, а именно: (1) от к отношениям типа , т.е. от к отношениям типа , или ; (2) от к отношениям типа , т.е. от к отношениям типа , или , если . Таким образом, повторения двух шагов от к и от к , где , позволят нам, не меняя отношенческого числа, повышать его тип неопределенно. Будет замечено, что в соответствии с нашими общими определениями для относительных типов, тип есть , а тип (где ) есть .

*154·2.

*154·201.

*154·202.

*154·203.

Когда принадлежит любому другому типу, кроме , бессмысленно.

*154·21.

*154·22.

Док.

*154·23.

Док.

*154·24.

*154·241.

*154·242.

Док.

*154·25.

*154·251.

Док.

*154·26.

*154·261.

*154·262.

Следующие предложения касаются двух частных преобразований от к и от к , которые полезны при повышении типа отношенческого числа.

*154·31.

Док.

*154·311.

*154·32.

Док.

*154·321.

*154·322.

*154·33.

Док.

*154·331.

*154·4.

Док.

*154·401.

Оставшиеся предложения этого параграфа (за исключением *154·9) являются аналогами тех, чьи номера имеют ту же десятичную часть в *102. Они приведены здесь без доказательства, поскольку доказательства пошагово аналогичны доказательствам соответствующих предложений в *102.

*154·41.

*154·42.

*154·43.

*154·46.

*154·52.

*154·53.

*154·55.

*154·64.

*154·641.

*154·8.

*154·81.

*154·82.

*154·83.

*154·84.

*154·85.

*154·86.

*154·861.

*154·87.

*154·88.

*154·9.

Док.

*155. ОДНОРОДНЫЕ ОТНОШЕНЧЕСКИЕ ЧИСЛА.

Резюме *155.

Отношенческое число называется однородным, когда оно порождается однородным отношением подобия, т.е. когда оно состоит из всех отношений, которые подобны данному отношению и того же типа, что и . Для однородного отношенческого числа мы пишем «»; таким образом . Когда задано, типически определено. Мы всегда имеем , следовательно . Обратно, если типически определенное отношенческое число не является нулевым, оно является однородным отношенческим числом; фактически, если является его членом, то оно есть . Таким образом, однородные отношенческие числа — это все отношенческие числа, кроме .

Однородные отношенческие числа играют ту же роль в арифметике отношений, что и однородные кардинальные числа в кардинальной арифметике. Предложения этого параграфа (за исключением *155·6, ·61) являются аналогами таковых с той же десятичной частью в *103. Их доказательства в точности аналогичны доказательствам их аналогов в *103 и поэтому опущены.

Следующие предложения являются наиболее полезными в этом параграфе.

*155·11.

Это просто воплощает определение.

*155·12.

откуда

*155·13.

*155·16.

Это предложение используется в теории вполне упорядоченных рядов (*253 и *255). Оно требует, чтобы уравнение «» в правой части было подчинено конвенции . В противном случае типические неоднозначности могли бы быть определены так, чтобы дать , что не подразумевало бы .

*155·2.

Это просто воплощает определение .

*155·22.

*155·26.

*155·27.

*155·34.

*155·4.

*155·5.

*155·6.

Это последнее предложение связывает однородные отношенческие числа с однородными кардинальными числами.

*155·01.

*155·02.

*155·11.

*155·12.

*155·13.

*155·14.

*155·15.

*155·16.

*155·2.

*155·21.

*155·22.

*155·23.

*155·24.

*155·25.

*155*26.

*155*27.

*155·28.

*155·3.

*155·301.

*155·31.

*155·32.

*155·33.

*155·34.

*155·35.

*155·4.

*155·41.

*155·42.

*155·43.

*155·44.

*155·5.

*155·51.

*155·52.

Следующие предложения не имеют аналога в *103.

*155·6.

Док.

*155·61.

Относительно возрастающих и убывающих отношенческих чисел предложения, аналогичные предложениям *104, *105 и *106, могли бы быть доказаны с помощью доказательств, аналогичных тем, что даны в этих параграфах. Однако вряд ли необходимо добавлять что-либо к уже доказанным предложениям, а именно *154·24, ·241, ·242, ·25, ·251 об убывающих отношенческих числах, *154·26, ·261, ·262, ·31, ·311, ·32, ·321, ·322, ·33, ·331 о возрастающих отношенческих числах и *155·23, ·34, дающим отношения неоднородных к однородным отношенческим числам. Возрастающие отношенческие числа все существуют, и те, которые начинаются с типа , где бы они ни заканчивались [13], являются корреспондентами [14] однородных отношенческих чисел типа и являются лишь некоторыми из однородных отношенческих чисел типа, в котором они заканчиваются. Убывающие отношенческие числа состоят из вместе с однородными отношенческими числами типа, в котором они заканчиваются: они являются корреспондентами лишь некоторых из типа, в котором они начинаются, или, скорее, является общим корреспондентом всех тех отношенческих чисел в начальном типе, которые не являются корреспондентами никакого однородного отношенческого числа в конечном типе. Эти свойства в точности такие же, как и в случае кардинальных чисел, что можно было предвидеть по *154·14.

СНОСКИ:

[13] Мы говорим, что начинается с типа и заканчивается в типе .

[14] Мы называем два типически определенных отношенческих числа корреспондентами, когда они различаются только типической детерминацией, т.е. и являются корреспондентами.