*113·153.
Док.
*113·16.
Док.
*113·17.
Док.
*113·171.
Док.
Заметим, что гипотеза имеет смысл только тогда, когда и принадлежат к одному и тому же типу.
*113·172.
Док.
*113·18.
Док.
*113·181.
Док.
*113·182.
*113·183.
Док.
*113·19.
Док.
*113·191.
Док.
*113·2.
*113·201.
*113·202.
Док.
*113·203.
*113·204.
*113·205.
*113·21.
*113·22.
Док.
*113·221.
*113·222.
Док.
*113·23.
Док.
*113·24.
*113·25.
Это предложение составляет часть обоснования наших определений. Очевидно, что такие определения следует, по возможности, выбирать так, чтобы они приводили к этому предложению.
*113·251.
*113·26.
Док.
*113·261.
Здесь «» включает все возрастающие производные от . Мы докажем результат только для и , поскольку для других случаев он доказывается точно так же. или или и т. д. подойдут одинаково хорошо; т. е. нет необходимости брать ту же производную от , что и от .
Док.
Как видно из приведенного выше доказательства, если и — любые производные от и , то вышеуказанное предложение верно при условии, что мы имеем
Таким образом, оно верно для всех возрастающих производных, но не всегда для убывающих производных.
*113·27.
Док.
Заметим, что это предложение не ограничивается случаем, когда и являются кардинальными числами. Когда одно из них или оба не являются кардинальными числами,
*113·3.
Док.
*113·31.
*113·32.
*113·33.
*113·34.
Приведенные выше предложения показывают связь сложения и умножения.
Следующие предложения касаются различных форм дистрибутивного закона.
*113·4.
Док.
*113·401.
*113·41.
Док.
*113·42.
*113·421.
*113·43.
Док.
Следующие предложения касаются различных форм дистрибутивного закона, когда слагаемые не перечисляются, а задаются как члены класса.
Первое из них (*113·44) дает дистрибутивный закон относительно арифметического умножения классов и логического сложения классов.
*113·44.
Док.
*113·45.
Док.
*113·46.
Док.
*113·47.
Это дистрибутивный закон для арифметического умножения и арифметического сложения того вида, который определен в *112.
*113·48.
Док.
*113·49.
Док.
*113·491.
Следующие предложения касаются ассоциативного закона для арифметического умножения.
*113·5.
Док.
*113·51.
Док.
*113·511.
*113·52.
*113·53.
Док.
*113·531.
*113·54.
Док.
*113·541.
*113·6.
Док.
*113·601.
Док.
*113·602.
Док.
Следующие предложения касаются умножения на единичный класс или на 1 или 2.
*113·61.
Док.
*113·611.
*113·612.
*113·62.
Док.
*113·621.
Док.
Заметим, что если есть типически определенное кардинальное число, то есть «то же самое» кардинальное число, представленное как типически двусмысленное; в то время как если типически двусмысленно, то в каждом типе.
*113·63.
Док.
*113·64.
Док.
*113·65.
Док.
*113·66.
Док.
*113·67.
Док.
*113·671.
ПРИМЕЧАНИЯ:
[5] Мы определяем это как , а не как , ради определенных аналогий с произведениями в арифметике отношений. Ср. *166.
*114. АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ КЛАССА КЛАССОВ.
Сводка *114.
Вид умножения, определенный в *113, не может быть распространен на бесконечное число множителей. Поэтому, как и в случае со сложением, мы вводим другое определение, определяя произведение чисел класса классов, которое может быть применено к бесконечному числу множителей. Мы определяем произведение чисел членов как ; таким образом, мы полагаем
Следует заметить, что не является функцией от , потому что, если два члена имеют одно и то же число, это будет учтено только один раз в , но будет учтено дважды в .
Очень легко увидеть, что в случае, если конечно, будет тем, что мы обычно считали бы произведением чисел членов . Ибо предположим (например), где . Тогда
Таким образом, если является членом , то детерминировано, когда заданы , , , где , , — референты к , , . Независимо от того, перекрываются , , или нет, выбор любого одного из , , полностью не зависит от выбора двух других, и поэтому общее число возможных выборов, очевидно, является произведением чисел , , . Таким образом, наше определение не будет противоречить тому, что обычно понимается под произведением.
Предложения этого номера менее многочисленны и менее важны, чем предложения *113. Мы сначала рассмотрим произведения с одним множителем и произведения, в которых один множитель равен нулю (*114·2 — ·27). Затем мы рассмотрим (*114·3 — ·36) отношения между определенным здесь видом умножения и видом, определенным в *113. Затем у нас есть несколько предложений (*114·4 — *114·43), показывающих, что единичные множители не влияют на значение произведения. Затем мы доказываем (*114·5 — ·52), что значение произведения одинаково для двух классов, имеющих двойную схожесть, а затем (*114·53 — ·571) мы приводим расширения этого результата, которые зависят от мультипликативной аксиомы. Наконец, мы приводим некоторые новые формы ассоциативного закона умножения.
Среди наиболее важных предложений в этом номере следующие:
*114·21.
Т. е. произведение одного множителя равно этому множителю.
*114·23.
Т. е. произведение обращается в нуль, если один из его множителей равен нулю. Обратное требует мультипликативной аксиомы, как видно из предложения
*114·26.
Т. е. мультипликативная аксиома эквивалентна предположению, что произведение обращается в нуль тогда и только тогда, когда один из его множителей равен нулю.
*114·301.
откуда
*114·31.
что является формой ассоциативного закона, и
*114·35.
что связывает два вида умножения.
*114·41.
Т. е. единичные множители не влияют на значение произведения.
*114·51.
Это предложение дает коррелятор и как функцию двойного коррелятора и , и, таким образом, приводит к
*114·52.
Следовательно, из предложений *111 мы выводим
*114·571.
Т. е. при условии мультипликативной аксиомы, если и каждый состоят из классов по членов каждый, их произведения равны.
Далее у нас есть различные формы ассоциативного закона, начиная с
*114·6.
что является непосредственным следствием *85·44. Другая форма — это
*114·632.
Относительно того, в каком смысле это является формой ассоциативного закона, см. замечания после *114·6.
*114·01.
*114·1.
*114·11.
*114·12.
*114·2.
Таким образом, произведение без множителей равно 1. Это источник , как мы увидим позже.
*114·21.
*114·22.
*114·23.
Таким образом, арифметическое произведение равно нулю, если любой из его множителей равен нулю. Чтобы доказать обратное, мы должны предположить мультипликативную аксиому, которая, по сути, эквивалентна предложению, что арифметическое произведение равно нулю только тогда, когда по крайней мере один из его множителей равен нулю.
*114·24.
Док.
*114·25.
Док.
Заметим, что .
*114·26.
*114·261.
*114·27.
*114·3.
Док.
*114·301.
Док.
*114·31.
Вышеприведенное является одной из форм ассоциативного закона умножения.
*114·311.
*114·32.
Док.
*114·33.
*114·34.
*114·35.
*114·36.
*114·4.
*114·41.
*114·42.
Док.
*114·43.
*114·5.
Док.
*114·501.
Док.
*114·51.
*114·52.
*114·53.
*114·54.
Условие , , которое задействовано в гипотезе *114·54 (через , ), не является необходимым. Следующие предложения позволяют нам его устранить. Мы сначала доказываем , а затем используем *114·54, чтобы перейти от к . Оттуда мы приходим к .
*114·56.
*114·561.
*114·562.
Док.
*114·57.
Док.
*114·571.
*114·6.
Это наиболее общая форма ассоциативного закона для арифметического умножения.
В связи с тем, что у нас есть два вида умножения, а именно и , у нас есть четыре формы ассоциативного закона умножения, а именно:
(1) *114·6, выше,
(2) *113·54, т. е. ,
(3) *114·31, т. е. ,
(4) форма ассоциативного закона, которая еще не была доказана, которая может быть объяснена следующим образом.
Предположим, у нас есть ряд пар классов, например , , , .... Предположим, мы формируем произведения , , , ... и перемножаем все эти произведения вместе. Мы хотим доказать, что (при подходящей гипотезе) результат подобен произведению всех и всех , взятых вместе как один класс; т. е. если мы назовем класс произведений , , , ..., а класс, членами которого являются , , , ..., , , , ..., то мы хотим доказать . Чтобы выразить это предложение в символах, пусть будет коррелятором и , так что . (Суффикс не будет использоваться далее, поскольку он подразумевает, что число и конечно или счетно.) Тогда наш класс произведений вида — это , где — класс всех ; и произведение этого класса произведений есть . С другой стороны, класс всех и — это , и произведение этого класса есть . Таким образом, то, что мы должны доказать (при подходящей гипотезе), есть . Требуемая гипотеза — это
Однако меньшей гипотезы достаточно для предложения, которое в силу *114·301 тесно связано с вышеуказанным, а именно . Для этого достаточной гипотезой является . Таким образом, например, мы можем написать вместо , и мы находим
Теперь мы докажем вышеприведенные предложения. То, что следует далее, вплоть до *114·621, состоит из лемм.
Для удобства мы пишем вместо в ходе этих лемм; это обозначение введено в гипотезах лемм.
*114·601.
Док.
*114·602.
Док.
Как и в *114·601, мы доказываем
*114·603.
Док.
*114·604.
Отношение , определенное здесь, является коррелятором, необходимым для доказательства
Помимо того, что доказано в настоящем предложении, нам придется доказать
Доказательство настоящего предложения выглядит следующим образом.
Док.
*114·605.
Док.
Следующие предложения необходимы для доказательства того, что при той же гипотезе .
*114·61.
Док.
*114·611.
Док.
*114·612.
Док.
*114·613.
Док.
*114·614.
Док.
*114·62.
*114·621.
Гипотеза не является необходимой, поскольку, когда ,
оба являются . Это доказано в *114·63.
*114·63.
Док.
Вышеприведенное является одним из двух вариантов ассоциативного закона для и .
*114·631.
*114·632.
Это второй вариант ассоциативного закона для и .
*114·64.
Док.
В вышеприведенном предложении гипотеза должна быть такой, чтобы давать . Различные другие формы гипотез обеспечат этот результат и дадут другие формы вышеприведенного предложения. Эта тема рассматривается в *74, выше.
*114·65.
*115. МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ КЛАССЫ И АРИФМЕТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ.
Сводка *115.
Всякий раз, когда есть класс взаимно исключающих классов, подобен ; следовательно
Теперь того же типа, что и ; и когда есть класс взаимно исключающих классов, состоит из всех классов, образованных путем выбора одного представителя из каждого члена . Часто случается, что с легче иметь дело, чем с ; поэтому, когда это возможно (т. е. когда ), удобно использовать , а не , в качестве стандартного члена . Поэтому мы полагаем
Мы будем называть «мультипликативным классом» .
Ассоциативный закон, требует не только , но и . Сочетание этих двух гипотез дает полностью несвязный класс классов классов, т. е. класс классов классов, который может быть получен путем деления заданного класса на взаимно исключающие части, а затем деления каждой из этих частей на взаимно исключающие части. Например, возьмем квадрат (класс точек) и разделим его горизонтальными линиями, а затем разделим каждый из полученных прямоугольников вертикальными линиями; тогда полученные ряды маленьких прямоугольников образуют такой класс, где каждый ряд прямоугольников является одним членом класса. Такой класс мы называем «арифметическим» классом и обозначаем «».
Настоящий номер касается свойств мультипликативных классов и арифметических классов. Некоторые из этих свойств будут полезны при работе с возведением в степень.
Настоящий номер начинается с различных предложений, касающихся , которые являются лишь повторениями предыдущих предложений *83, *84, *85 или *113. Таким образом, у нас есть
*115·141. ,
*115·142. ,
*115·143. ,
*115·16. ,
и различные другие свойства.
Затем мы переходим к рассмотрению . Мы доказываем
*115·22.
и *115·23 дает аналогичное предложение, заменяя «» на .
После еще нескольких предложений о , мы переходим к ассоциативному закону для (*115·34), т. е.
(Это предложение, *115·34, также утверждает, что при той же гипотезе . Следовательно, у нас есть
*115·35.
У нас также есть
*115·42.
*115·44.
Далее нам нужно доказать, что если два класса классов имеют двойную схожесть, то ее имеют и их мультипликативные классы. Доказательство простое, поскольку двойной коррелятор такой же, как и для исходных классов, т. е.
*115·502.
откуда
*115·51.
Номер заканчивается некоторыми предложениями, которые вытекают из *114·64·65 и аналогичны им. Одно из них используется в следующем номере при доказательстве , а именно,
*115·6.
Тема этого номера будет полезна при работе с возведением в степень, так как мы определим с помощью , где и .
*115·01.
*115·02.
*115·1.
*115·101.
*115·11.
Благодаря этому предложению можно рассматривать без какой-либо ссылки на , всякий раз, когда .
*115·12.
Именно это предложение делает обозначение подходящим для мультипликативного класса.
*115·13.
*115·131.
*115·14.
*115·141.
*115·142.
*115·143.
*115·144.
*115·145.
*115·15.
*115·151.
*115·152.
*115·153.
*115·154.
*115·16.
Следующее предложение используется в теории вполне упорядоченных рядов (*250·5).
*115·17.
Док.
*115·18.
*115·2.
*115·21.
*115·211.
Док.
*115·22.
Док.
Заметим, что, хотя «» следует из , обратная импликация не выполняется. Если бы существовали два разных класса и , имеющих одну и ту же сумму, мы могли бы иметь , т. е. , не имея , несмотря на «». В доказательствах можно меньше использовать «», чем «». Если или , то последнее подразумевает .
*115·23.
Док.
*115·24.
*115·25.
*115·26.
В вышеприведенном предложении не требуется гипотеза , так как оно верно всегда. Оно включено здесь просто для удобства ссылки.
*115·27.
Теперь мы должны доказать ассоциативный закон для «», т. е.
В силу *115·12 нам остается только доказать (при гипотезе) , что, согласно *85·44, будет следовать из , что, согласно *114·52, будет следовать из
Теперь
Таким образом, коррелятором, который даст наше предложение, будет . Нам остается только доказать, что это , и остальное следует.
*115·3.
Док.
*115·31.
Док.
*115·32.
*115·33.
*115·34.
Это предложение дает ассоциативный закон для «».
Следующее предложение воплощает последние три предложения.
*115·35.
В связи с и остаются два предложения, представляющие достаточный интерес, чтобы заслужить доказательство, а именно и
Из них первое выводится из второго, в то время как второе доказывается с помощью *114·51, подставляя вместо , которое появляется в этом предложении, и вместо того, которое в этом предложении.
*115·4.
Док.
*115·41.
*115·42.
Док.
*115·43.
Док.
*115·44.
Следующее предложение является леммой для *115·46.
*115·45.
Док.
*115·46.
Док.
Вышеприведенное предложение используется при работе с произведениями в арифметике отношений (*174·42).
*115·5.
*115·501.
*115·502.
Док.
*115·51.
Вышеприведенные предложения показывают, в каких отношениях удобнее, чем . Мы не можем иметь , потому что есть класс отношений, а не класс классов; и коррелятор и отнюдь не является такой простой функцией коррелятора и , как , который коррелирует и в силу *115·502.
Следующие предложения являются продолжением тех, что даны в *114·601 и сл.
*115·6.
Док.
*115·601.
Док.
*115·602.
*115·61.
*115·62.
*115·63.
*116. ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ.
Сводка *116.
В этом номере мы определяем «», означающее « в степени », где и — классы, как . Теперь состоит из всех способов выбора по одному из членов , т. е. из классов , где . Таким образом, чтобы получить член , возьмем набор пар , где всегда является , и есть только один для данного , и есть каждый член в последовательности. Таким образом, для каждого члена у нас есть возможных референтов; следовательно, ясно, что число возможных наборов пар состоит из множителей, каждый из которых равен , и поэтому подходит для определения .
Определения и производятся из определения точно так же, как определения и , или и , были получены соответственно из и .
Главная трудность в этом номере заключается в доказательстве трех формальных законов возведения в степень, а именно . Доказательства второго и третьего из них, в частности, требуют различных лемм; но здесь нет никакой трудности, кроме сложности рассматриваемых классов и отношений.
Определение сформулировано так, чтобы минимизировать необходимость в мультипликативной аксиоме (см. примечание к *113·31 во введении к *113). У нас есть
*116·36.
то есть, предполагая мультипликативную аксиому, произведение множителей, каждый из которых равен , есть (предполагая, что и — кардинальные числа, которые не равны нулю).
Если бы мы определили как произведение множителей, каждый из которых равен , нам потребовалась бы мультипликативная аксиома почти для всех предложений о , но, взяв конкретный класс , мы избегаем мультипликативной аксиомы, за исключением нескольких предложений. Среди этих немногих — вышеприведенное предложение, связывающее возведение в степень с умножением.
Кантор определил с помощью класса «Belegungen», т. е. класса , который (*116·12) = . Согласно *85·53 и *113·103, этот класс равен (как доказано в *116·13), откуда, поскольку , следует (*116·15), что класс «Belegungen» подобен . Следовательно, наше определение дает то же значение , что и у Кантора.
Предложения настоящего номера начинаются с различных простых свойств . Его существование следует из
*116·152.
откуда (*116·16) , и
*116·18.
У нас есть
*116·19.
в силу *113·13 и *115·51. *116·192 показывает, что если коррелирует с , а коррелирует с , то является двойным коррелятором с .
Затем мы переходим к набору предложений о , которые аналогичны *113·2 и сл. о . У нас есть
*116·203.
*116·25.
и различные другие менее полезные предложения.
Затем у нас есть различные предложения о 0, 1 и 2. Мы доказываем
*116·301.
*116·311.
*116·321.
(Заметим, что — то же кардинальное число, что и , но представленное как типически двусмысленное.)
*116·331.
*116·34.
(Это предложение не требует, чтобы было кардинальным числом.)
После уже процитированного предложения (*116·36) о связи возведения в степень и умножения мы переходим к набору предложений о случае, когда ряд классов заданы как подобные (посредством назначаемых корреляций) данному классу. В *116·411 мы доказываем, что если есть класс взаимно исключающих классов, каждый из которых подобен данному классу , и если, когда , есть коррелятор и , и есть сумма , то . Это дальнейшая связь умножения и возведения в степень. (О смысле этого и последующих предложений см. объяснение перед *116·4.) В *116·43 гипотеза несколько изменена. У нас все еще есть набор классов, которые все подобны , но коррелятор для данного класса задан не как , а как , где есть член класса , который подобен . Тогда . Мы предполагаем, что есть взаимно однозначное соответствие, и что если и имеют перекрывающиеся области, то . Таким образом, есть класс взаимно исключающих классов, каждый из которых имеет членов, в то время как имеет членов. Тогда в *116·43 доказано, что . Это предложение и другое (*116·45), которое следует из него, полезны при доказательстве формальных законов возведения в степень. Доказательство их занимает следующие предложения с *116·5 по *116·68. У нас есть