«Principia Mathematica, том 2»

В этом параграфе мы должны иметь дело с тремя различными наборами понятий, а именно

*104·01.

*104·02.

*104·03.

с аналогичными определениями и т.д. Таким образом, состоит из всех классов, подобных, но следующего более высокого типа, т.е. это кардинальное число в типе, непосредственно следующем за типом; есть класс всех таких кардинальных чисел, как, и является типически двусмысленным символом, хотя типически определено, когда задано; (если есть кардинальное число, которое не является нуль-классом) — это «то же самое» кардинальное число в следующем более высоком типе, так что, например, если 1 определено как состоящее из единичных классов индивидов, будет 1 определено как состоящее из единичных классов классов индивидов. (Когда не является существующим кардинальным числом, неважно.)

Ниже приведены наиболее полезные предложения в настоящем параграфе:

*104·12.

*104·2.

*104·21.

*104·24.

*104·25.

*104·26.

*104·265.

*104·27.

*104·35.

*104·43.

*104·01.

Это определяет кардинальное число в следующем типе выше типа; таким образом, состоит из всех классов, подобных и имеющих следующий тип выше типа.

*104·011.

Аналогичные определения следует предполагать для и т.д.

*104·02.

, как и, типически двусмысленно; но типически определено.

*104·021.

Аналогичные определения следует предполагать для и т.д.

*104·03.

Здесь, если есть кардинальное число, есть то же самое кардинальное число в следующем более высоком типе. Например, если есть пары индивидов, есть пары классов индивидов.

*104·031.

Аналогичные определения следует предполагать для и т.д.

*104·1.

*104·101.

*104·102.

*104·11.

*104·111.

*104·112.

*104·12.

Док.

*104·121.

Док.

*104·122.

*104·123.

*104·13.

*104·14.

*104·141.

Когда гипотеза «» опущена, это предложение все еще истинно, но с отличием. Например, положим. Тогда. Таким образом. Но мы все еще имеем. Таким образом, но не является тем же самым кардинальным числом, что и в более высоком типе, т.е. существуют классы, чье кардинальное число в одном типе есть, но чье кардинальное число в следующем более высоком типе не есть.

*104·142.

*104·15.

*104·2.

Док.

*104·201.

Док.

*104·21.

Из этого предложения следует, что возрастающие кардинальные числа никогда не являются нуль-классами. Доказательство должно быть сделано отдельно для каждого вида возрастающего кардинального числа, т.е., и т.д.

*104·211.

*104·23.

Док.

*104·231.

Док.

*104·232.

*104·24.

*104·25.

Это предложение справедливо для каждого возможного определения типических двусмысленностей, т.е. для каждого мы имеем

*104·251.

*104·252.

*104·26.

Док.

*104·261.

Док.

*104·262.

Док.

*104·263.

Док.

*104·264.

Док.

*104·265.

*104·27.

*104·28.

*104·29.

Док.

*104·3.

Док.

*104·31.

*104·311.

*104·32.

Док.

*104·33.

Док.

*104·34.

Док.

*104·35.

*104·36.

Док.

*104·37.

Док.

Следующие предложения касаются доказательства того, что для любых двух кардинальных чисел и одного и того же типа мы можем найти два взаимно исключающих класса, один из которых имеет членов, а другой — членов. Доказательство требует, чтобы мы повысили типы и на одну ступень выше того, в котором они были первоначально даны, т. е. чтобы мы превратили и в и . Так, например, предположим, что общее число индивидов во вселенной конечно (предположение, которое согласуется с нашими примитивными предложениями), и предположим, что — это число. Тогда, если , класс из индивидов будет существующим подклассом единственного класса, который состоит из индивидов, и, следовательно, мы будем иметь

Но если мы рассмотрим классы классов и классы, мы всегда сможем найти и такие, что

Существование таких и важно в связи с арифметическими операциями и поэтому доказывается здесь.

*104·4.

Док.

*104·41

Док.

Это предложение доказывает желаемые выводы при условии, что , и состоит по крайней мере из трех членов. Следующие предложения рассматривают случаи, в которых эта гипотеза не подтверждается.

*104·411.

Док.

*104·412.

Док.

*104·413.

Док.

*104·42.

*104·43.

Док.

Вышеприведенное предложение дает желаемый результат. Следующие предложения переформулируют этот результат в других видах.

*104·44.

*104·45.

*104·46.

*105. УБЫВАЮЩИЕ КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

Резюме *105.

В этом параграфе мы рассматриваем кардинальные числа, порожденные отношением схожести, которое идет от более высокого типа к более низкому, т. е. для любого класса классов мы рассматриваем в типе членов (который мы назовем ) или в некотором более низком типе. Так, например, мы будем иметь , где «» означает «классы, схожие с , но следующего более низкого типа». Аналогично и так далее. Мы будем иметь в общем случае и так далее. Главное различие между возрастающими и убывающими кардинальными числами состоит в том, что является одним из последних, но не одним из первых. В остальном предложения настоящего параграфа по большей части аналогичны соответствующим предложениям *104.

По аналогии с определениями в *104 мы полагаем с аналогичными определениями для и .

Ни на одно предложение настоящего параграфа в дальнейшем не делается ссылок, и читатель, не интересующийся данным предметом, может поэтому опустить его без ущерба для последующего изложения. Основные доказанные предложения следующие:

*105·25.

*105·251.

*105·26.

Таким образом, или в любом данном типе отличается от в этом типе только добавлением .

*105·3.

*105·322.

*105·34.

*105·35.

*105·38.

*105·01.

Мы могли бы написать , что было бы эквивалентно вышесказанному. Но мы выбираем вышеприведенную форму ради единообразия. Если есть какой-либо суффикс, мы полагаем, при условии, что было определено, , и если есть какой-либо индекс, для которого было определено, мы полагаем

Таким образом, ради единообразия лучше в вышеприведенном определении *105·01 писать «» вместо «».

*105·011.

*105·02.

*105·021.

*105·03.

*105·031.

*105·1.

*105·101.

*105·11.

*105·111.

*105·12.

*105·121.

*105·13.

*105·131.

*105·14.

Док.

*105·141.

*105·142.

*105·143.

*105·15.

*105·151.

*105·16.

*105·161.

В дальнейшем предложения, касающиеся или , имеют доказательства, точно аналогичные доказательствам соответствующих предложений, касающихся или .

*105·2.

Док.

*105·201.

*105·21.

*105·211.

*105·22.

*105·221.

*105·23.

*105·231.

*105·24.

*105·241.

*105·25.

*105·251.

*105·252.

Док.

*105·26.

Док.

*105·261.

*105·27.

*105·271.

*105·28.

*105·281.

*105·29.

*105·3.

Док.

*105·301.

*105·31.

*105·311.

*105·312.

*105·313.

*105·314.

*105·315.

*105·316.

Док.

*105·317.

*105·32.

Док.

*105·321.

*105·322.

*105·323.

*105·324.

*105·325.

*105·326.

Док.

*105·327.

*105·33.

Док.

*105·331.

*105·34.

*105·341.

*105·342.

Док.

*105·343.

*105·344.

Док.

*105·345.

*105·35.

Док.

*105·351.

*105·352.

*105·353.

*105·354.

*105·355.

*105·356.

*105·357.

*105·36.

Док.

*105·361.

Док.

*105·362.

*105·37.

*105·371.

Док.

*105·372.

*105·38.

Док.

*105·4.

Док.

*105·41.

*105·42.

*105·43.

Док.

*105·44.

Док.

*106. КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА РЕЛЯЦИОННЫХ ТИПОВ.

Резюме *106.

В этом параграфе мы должны рассмотреть кардинальные числа, членами которых являются классы отношений, имеющих данное отношение типа к некоторому данному классу. Например, мы имеем , и имеет данное отношение типа к , когда задано. Таким образом, нам нужно обозначение для и всех связанных идей. В этом параграфе мы будем иметь дело только с отношениями, в которых референт и релатум имеют отношение, с точки зрения типа, которое может быть выражено обозначениями *63, т. е., грубо говоря, когда для подходящих значений , , , наши отношения содержатся в

Таким образом, если было определено, мы положим с аналогичными определениями для , и .

Наиболее важным случаем является случай . Для этого случая мы имеем

*106·1.

Таким образом, будет числом класса отношений, поля которых имеют тот же тип, что и , при условии, что этот класс отношений схож с . Например, число таких членов, как , где , будет .

Мы имеем

*106·21.

*106·22.

*106·23.

*106·32.

*106·4·41·411.

*106·53.

откуда следует, что

*106·54.

Предложения этого параграфа, за исключением *106·21, никогда больше не упоминаются (за исключением *154·25·251·262, которые сами никогда больше не используются), но они имеют несколько большую важность, чем предложения *105, благодаря тому факту, что арифметические операции определяются посредством классов отношений, т. е. сумма двух кардинальных чисел (например) определяется как кардинальное число некоторого класса отношений (ср. *110).

*106·01

*106·011.

*106·012.

*106·02.

*106·021.

*106·03.

*106·04.

*106·041.

*106·1.

*106·101.

Аналогичные предложения справедливы для любого другого двойного индекса, для которого было определено.

*106·11.

Аналогичные предложения справедливы для любого другого двойного суффикса, для которого было определено.

*106·12.

*106·121.

Аналогичные предложения справедливы для любого другого индекса и суффикса, для которых или были определены.

*106·13.

Аналогичные предложения справедливы для и т. д.

*106·14.

*106·141.

Аналогичные предложения справедливы для , , и т. д.

*106·2

Док.

*106·201.

*106·202.

*106·203.

*106·204.

*106·21.

*106·211.

*106·212.

*106·213.

*106·22.

Док.

Доказательство требует, в дополнение к *106·12, его аналога для . Такие аналоги будут предполагаться по мере необходимости.

*106·221.

*106·222.

*106·223.

Другие предложения того же рода, что и выше, могут быть доказаны путем наблюдения, что если и — индексы, для которых и были определены, мы имеем , доказательство чего является прямым и простым. Следовательно, поскольку мы всегда имеем , мы также всегда имеем . Мы имеем аналогичным образом . Но мы не всегда имеем

*106·23.

Док.

*106·231.

*106·24.

*106·241.

Аналоги вышеприведенных предложений для других индексов или суффиксов доказываются аналогично.

*106·25.

*106·251.

*106·31.

*106·311.

*106·312.

Док.

*106·32.

Док.

*106·4.

Док.

*106·401.

Док.

*106·402.

Док.

*106·41.

Док.

*106·411.

*106·43.

Док.

*106·44.

Следующие предложения аналогичны *102·71 и сл., и к ним применимы аналогичные замечания.

*106·5.

Док.

*106·51.

Док.

*106·52.

Док.

*106·53.

*106·54.

Док.

*106·55.

РАЗДЕЛ B. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ.

Резюме Раздела B.

В настоящем разделе мы должны рассмотреть арифметические операции применительно к кардинальным числам, а также отношение «больше» и «меньше» между кардинальными числами. Таким образом, темы, которые будут рассматриваться в этом разделе, являются первыми, которые можно должным образом отнести к арифметике.

Изложение сложения, умножения и возведения в степень, которое будет дано далее, продиктовано стремлением обеспечить наибольшую возможную общность. Во-первых, все, что будет сказано в общем об арифметических операциях, должно в равной степени применяться к конечным и бесконечным классам или кардинальным числам. Во-вторых, мы желаем таких определений, которые позволили бы числу слагаемых в сумме или множителей в произведении быть бесконечным. В-третьих, мы хотим иметь возможность складывать или умножать два числа, которые не обязательно принадлежат к одному и тому же типу. В-четвертых, мы хотим, чтобы наши определения были такими, чтобы сумма кардинальных чисел двух или более классов зависела только от кардинальных чисел этих классов и была одинаковой как тогда, когда классы перекрываются, так и тогда, когда они взаимно исключают друг друга; с аналогичными условиями для произведения. Стремление получить определения, удовлетворяющие всем этим условиям, приводит к несколько более сложным определениям, чем потребовалось бы в противном случае; но в конечном итоге результат оказывается проще, чем если бы мы начали с более простых определений, поскольку мы избегаем досадных исключений.

Вышеприведенные замечания станут яснее через их применение. Начнем со случая арифметического сложения двух классов.

Если и — взаимно исключающие классы, сумма их кардинальных чисел будет кардинальным числом . Но для того чтобы и были взаимно исключающими, они не должны иметь общих членов, и это значимо только тогда, когда они одного типа. Следовательно, для двух совершенно общих классов и нам требуется найти два класса, которые являются взаимно исключающими и соответственно схожи с и ; если эти два класса называются и , то будет суммой кардинальных чисел и . Мы отмечаем, что и указывают соответственно на 'ы того же типа, что и и , и, соответственно, мы принимаем в качестве и два класса ; эти два класса всегда одного типа, всегда взаимно исключающие и всегда схожи с и соответственно. Следовательно, мы определяем

Сумма кардинальных чисел и будет тогда кардинальным числом ; следовательно, мы можем назвать арифметической суммой классов двух классов, в отличие от , которая является логической суммой. Следует отметить, что , в отличие от , не требует, чтобы и были одного типа. Также не идентично , но когда , также является , хотя и в другом типе. Таким образом, закон тавтологии не применим к арифметической сумме классов двух классов.

Если и — два кардинальных числа заданных типов, мы обозначаем их арифметическую сумму через . (Поскольку в нашей работе встречается много видов арифметического сложения и поскольку для наших целей существенно различать их, мы осуществляем это различие с помощью суффиксов к знаку сложения. Конечно, только при рассмотрении принципов нужны эти различные символы: мы не хотим предполагать, что они должны быть приняты в обычной математике.) Теперь, если должно обладать свойствами, которые мы обычно связываем с суммой двух кардинальных чисел, оно должно быть типически двусмысленным и должно быть кардинальным числом любого класса, который может быть разделен на две взаимно исключающие части, имеющие членов и членов соответственно. Следовательно, мы приходим к следующему определению:

В этом определении следует отметить различные моменты. Во-первых, оно не требует, чтобы и были одного типа; значимо всякий раз, когда и — классы классов. Таким образом, для значимости не обязательно, чтобы и были кардинальными числами, хотя если они не оба являются кардинальными числами, . Если они оба являются кардинальными числами, мы находим

Таким образом, в этом случае .

Следовательно, если ни , ни не являются нулевыми, и если имеет членов, а имеет членов, является членом .

Следовательно, когда и — однородные кардинальные числа (т. е. когда они являются кардинальными числами, отличными от ), их сумма есть число арифметической суммы классов любых двух классов, имеющих членов и членов соответственно.

Необходимо несколько слов, чтобы объяснить, почему в определении мы ставим , а не . Причина в следующем. Предположим, что либо , либо , скажем , равно . Тогда, согласно *102·73, , если находится в соответствующем типе. Следовательно, если бы мы поставили , где двусмысленности типа, вовлеченные в и , могут быть определены как угодно, мы имели бы . Мы также имели бы и так далее. Таким образом, не имело бы определенного значения, т. е. оно не просто имело бы типическую двусмысленность, которую оно должно иметь, но оно не имело бы определенного значения даже тогда, когда его тип был назначен. Таким образом, такое определение было бы непригодным. По вышеуказанным причинам мы ставим в определении и получаем типическую двусмысленность, которую мы желаем, посредством типической двусмысленности «» в «». Для правильного символизма всегда существенно, чтобы значения типически двусмысленных символов были уникальными, как только их тип назначен. Область этих определений и соответствующих определений для умножения и возведения в степень (*113·04·05, *116·03·04) расширяется по соглашению преамбулы.

Вышеприведенное определение предназначено для случая, в котором и типически определены. Но мы должны иметь возможность говорить о «», и это должно быть определенным кардинальным числом, а именно . Если мы просто напишем вместо в определении , мы найдем . Но это не всегда будет иметь определенное значение, когда тип назначен. Чтобы взять простой случай, напишем для и для . Тогда , откуда мы легко получаем . Если мы определим двусмысленность как , мы найдем во всех типах; но если мы определим двусмысленность как , мы имеем , и это существует в типе , если не в более низких типах. Следовательно, значение зависит от определения двусмысленности . Очевидно, что мы хотим, чтобы наше определение давало во всех типах; но для того, чтобы гарантировать, что это будет выполняться даже тогда, когда для некоторых значений , , мы должны ввести два новых определения, а именно . Это определение должно применяться, когда «» и «» встречаются без какого-либо определения типа. С другой стороны, если у нас есть и , мы применяем определение . Мы обнаружим, что всякий раз, когда и оба существуют, . Таким образом, вышеприведенное определение требуется только для того, чтобы исключить значения или , для которых либо , либо равно .

Коммутативный и ассоциативный законы арифметического сложения легко выводятся из определения . Мы будем иметь , потому что каждое = . Аналогичное, хотя и несколько более длинное доказательство показывает, что

Вышеприведенное определение позволяет нам перейти к сумме любого конечного числа классов и позволяет одному классу повторяться в суммировании. Но оно не позволяет нам определить сумму бесконечного числа классов. Для этого нам нужно новое определение. Поскольку бесконечное число классов не может быть задано перечислением, а только интенсионально, нам придется взять класс классов и определить арифметическую сумму членов . Таким образом, теперь классы, которые являются слагаемыми, должны быть все одного типа (поскольку они все являются членами ), и ни один класс не может встречаться более одного раза, поскольку каждый член учитывается только один раз. (Чтобы иметь дело с повторением, мы должны перейти к умножению, которое будет объяснено в ближайшее время.) Таким образом, устраняя ограничение на конечное число слагаемых, мы вводим некоторые другие ограничения. Это причина, которая делает целесообразным введение вышеприведенного определения в дополнение к определению, которое сейчас будет дано.

Если — класс классов, сумма кардинальных чисел членов будет очевидно получена путем построения класса взаимно исключающих классов, члены которых имеют взаимно однозначное отношение к членам соответствующих членов . Предположим, , — два различных члена , и предположим, что — член как , так и . Тогда мы хотим посчитать дважды: один раз как член , и один раз как член . Самый простой способ сделать это — сформировать порядковые пары и , которые не идентичны, за исключением случаев, когда и идентичны. Таким образом, если мы возьмем все такие порядковые пары, т. е. если мы возьмем класс для каждого , который является членом , мы получим класс взаимно исключающих классов, а именно классы вида , где , каждый из них схож с соответствующим членом . Следовательно, логическая сумма этого класса классов, т. е. , имеет требуемое число членов. Теперь, согласно *85·601, . Следовательно, класс, логическую сумму которого мы берем, есть . Следовательно, мы полагаем . может быть названа арифметической суммой , в отличие от , которая является логической суммой. Таким образом, относится к как отношение, аналогичное тому, которое относится к .

Мы полагаем далее

Таким образом, есть сумма чисел членов .

Следует заметить, что в общем случае не является функцией . Ибо, если два члена имеют одно и то же кардинальное число, это будет учтено только один раз в , тогда как в оно учитывается дважды.

Мы обнаружим, что при условии , . Таким образом, там, где речь идет о конечном числе слагаемых, два определения сложения согласуются, за исключением того, что первое позволяет одному классу учитываться несколько раз, тогда как второе — нет.

При работе с умножением наша процедура тесно аналогична процедуре для сложения. Мы сначала определяем арифметическое произведение классов двух классов и , которое является некоторым классом, кардинальное число которого есть произведение кардинальных чисел и . Мы пишем для арифметического произведения классов и и определяем его как класс всех порядковых пар, референт которых является членом , а релатум — членом , т. е. как . Согласно *40·7, этот класс есть . Следовательно, мы полагаем . Класс схож с , и каждый его член схож с ; следовательно, если и , состоит из классов, имеющих по членов каждый. Класс также важен в связи с возведением в степень.

Произведение двух кардинальных чисел определяется следующим образом: . Что касается типов, это определение требует аналогичных замечаний тем, которые были сделаны относительно . Также, как и прежде, нам нужны определения и , откуда мы получаем . С помощью этих определений мы можем определить произведение любого конечного числа кардинальных чисел; но для того, чтобы определить произведения, которые имеют бесконечное число множителей, нам нужно новое определение.

Если — класс классов, мы берем в качестве его арифметического произведения. В простых случаях легко увидеть оправдание этого решения. Например, пусть состоит из трех классов , , , и пусть члены , ; те из , , ; те из , , . Тогда члены есть с четырьмя дополнительными, полученными путем подстановки вместо в вышеприведенном. Таким образом, . В общем, однако, существование сомнительно из-за сомнения в справедливости мультипликативной аксиомы. (Мы вернемся к этому пункту в ближайшее время.) Следовательно, нет доказательства того, что произведение бесконечного числа множителей не может быть нулем, если только один из множителей не равен нулю.

Когда — класс взаимно исключающих классов, схож с . Из-за своего более низкого типа часто более удобен, чем . Следовательно, мы полагаем или (что сводится к тому же самому) . Для произведения кардинальных чисел членов мы полагаем . Как и в случае , в общем случае не является функцией . Мы будем иметь . Таким образом, для произведений конечного числа различных множителей два определения умножения согласуются.

Остается определить возведение в степень. Поскольку это не коммутативная операция, она существенно включает порядок между основанием и показателем; следовательно, мы не получаем определения возведения в степень класса , аналогичного или , а только определение , которое может быть расширено до любого конечного числа возведений в степень. Мы полагаем , где имеет значение, объясненное выше, вытекающее из *38·03. Будет замечено, что если и , есть класс взаимно исключающих классов, каждый из которых имеет членов; следовательно, может быть подходящим образом использовано для определения . Следовательно, мы полагаем , и по тем же причинам, что и прежде, мы полагаем

Вышеприведенное определение возведения в степень дает то же значение , что и результат определения Кантора посредством «Belegungen». Класс канторовских «Belegungen» есть , и легко доказать, что он схож с .

Обычные формальные свойства возведения в степень вытекают без особых трудностей из вышеприведенных определений.

Вышеприведенное определение возведения в степень сформулировано так, чтобы сделать предложения о возведении в степень независимыми от мультипликативной аксиомы, за исключением случаев, когда возведение в степень должно быть связано с умножением, т. е. когда должно быть показано, что произведение множителей, каждый из которых есть , равно . Это предложение не может быть доказано в общем виде без мультипликативной аксиомы. Аналогично, в теории умножения предложение о том, что сумма 'ов равна , требует мультипликативной аксиомы (как и предложение о том, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из его множителей равен нулю). В остальном теория умножения продолжается без необходимости использования мультипликативной аксиомы.

Чтобы взять сначала связь сложения и умножения: эта связь, в той форме, в которой мы естественно предполагаем, что она должна выполняться, утверждается в предложении: . Мы возьмем первое из них как более простое. Оно утверждает, что сумма 'ов есть . Это может быть доказано, когда конечно, независимо от того, конечно или нет; но когда бесконечно, это не может быть доказано без мультипликативной аксиомы. Это можно увидеть следующим образом. Мы знаем, что . Таким образом, (A) выше будет результатом, если мы сможем доказать , поскольку мы положим для , и используем (B).

Поскольку , , мы имеем . Предположим . Пусть , , ... будут членами , и пусть , , ... будут членами , которые коррелированы с , , ... посредством , т. е. . Мы имеем, поскольку , , . Таким образом , т. е. . Если и конечны, мы можем произвольно выбрать корреляцию для и , другую для и , и так далее; тогда ... коррелирует и , и, следовательно, . Но когда и бесконечны, этот метод непрактичен. В этом случае мы действуем следующим образом.

Согласно *73·01, .

Таким образом, «» будет означать все перестановки класса в самого себя; «» означает все перестановки в , т. е. все 'ы, чья область есть , а область обращения есть . Очевидно, что . В случае и выше мы знаем, что , когда ; таким образом , где «» означает «соответствие». Таким образом, есть класс всех соответствий и ; есть класс всех таких классов соответствий. Если мы извлечем один член из каждого из этих классов соответствий, мы получим класс отношений, сумма которых есть коррелятор и ; т. е. . Таким образом, желаемый результат следует всякий раз, когда . Теперь мы имеем .

Следовательно , откуда, согласно тому, что было сказано ранее,

Рассмотрение ведет аналогично к предложению . Доказательство тесно аналогично доказательству для связи сложения и умножения.

Будет видно, что в вышеприведенном использовании мультипликативной аксиомы у нас есть два класса классов и , относительно которых мы предполагаем , т. е. мы предполагаем, что и — схожие классы схожих классов. Слегка измененная гипотеза относительно и позволит нам получить многие результаты без мультипликативной аксиомы, которые в противном случае, как можно было бы ожидать, потребовали бы этой аксиомы. Это осуществляется следующим образом.

Положим , где «» — это одиночный символ, представляющий отношение.

Когда это отношение выполняется между и , мы будем говорить, что и имеют «двойную схожесть». В этом случае коррелирует и , в то время как коррелирует и , так что если — член , , т. е. , является его коррелятом в . Мы будем тогда иметь

Также мы имеем . Наоборот, , откуда . Следовательно, мультипликативная аксиома требуется только для того, чтобы перейти от к . Именно этот факт и вытекающая из него возможность уменьшения использования мультипликативной аксиомы привели нас к использованию «» в настоящем разделе.

Мы рассматриваем также в этом разделе отношение «больше» и «меньше» между кардинальными числами. Мы говорим, что , когда есть часть , которая схожа с , но никакая часть не схожа с . Основным предложением в этом предмете является теорема Шрёдера-Бернштейна, т. е. . Это непосредственное следствие *73·88. Нельзя показать без предположения мультипликативной аксиомы, что из любых двух кардинальных чисел одно должно быть больше другого, т. е. . Если мы предположим мультипликативную аксиому, это вытекает из доказательства Цермело о том, что при этом предположении каждый класс может быть вполне упорядочен, вместе с доказательством Кантора о том, что из любых двух вполне упорядоченных рядов, которые не схожи, один должен быть схож с частью другого. Но эти предложения не могут быть доказаны до гораздо более поздней стадии (*258).

*110. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СУММА ДВУХ КЛАССОВ И ДВУХ КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

Резюме *110.

В этом параграфе мы начинаем с определения:

*110·01.

называется «арифметической суммой классов» и . Определение сформулировано так, чтобы дать два взаимно исключающих класса, соответственно схожих с и , так что число членов в логической сумме этих двух классов есть арифметическая сумма чисел членов в и соответственно. значимо всякий раз, когда и — классы, какими бы ни были их типы.

С помощью мы определяем арифметическую сумму двух кардинальных чисел следующим образом:

*110·02.

Это определяет «арифметическую сумму двух кардинальных чисел». (Для значимости не обязательно, чтобы и были кардинальными числами, а только чтобы они были классами классов. Если, однако, какое-либо из них не является кардинальным числом, .) Будет замечено, что когда и типически определены, таковы же и в вышеприведенном определении; но типически двусмысленно из-за двусмысленности «». Следовательно, также типически двусмысленно.

Будет показано, что всегда является кардинальным числом, и что если . Следовательно, всякий раз, когда и — кардинальные числа, отличные от , является существующим кардинальным числом в некоторых типах, хотя оно может быть в других.

В этом параграфе требуются еще два определения, а именно:

*110·03.

*110·04.

Эти определения необходимы для того, чтобы применить определение к случаю, в котором и заменены типически двусмысленными символами и . Это не делает никакой разницы для значения , как определены двусмысленности и , до тех пор, пока они определены способом, который гарантирует ; но если есть типы, в которых либо , либо равно , мы получаем во всех типах, если мы определяем двусмысленности так, что или . Именно для того, чтобы исключить такие определения двусмысленности, требуются вышеприведенные определения. Также в связи с этими определениями и соответствующими определениями *113·04·05 и *116·03·04 и *117·02·03, следует отметить соглашение преамбулы.

Предложения настоящего параграфа начинаются со свойств . Мы показываем (*110·11·12), что состоит из двух взаимно исключающих частей, которые соответственно схожи с и ; мы показываем (*110·14), что если и взаимно исключают друг друга, схож с , и (*110·15), что если и соответственно схожи с и , то схож с . Мы показываем (*110·16), что состоит из всех классов, которые могут быть разделены на две взаимно исключающие части, которые соответственно схожи с и .

Затем мы переходим (*110·2—·252) к рассмотрению . Здесь и типически определены, и определение *110·02 применяется к любым типически определенным символам, таким как или . Мы доказываем (*110·21), что если и — кардинальные числа, их сумма состоит из всех классов, схожих с некоторым классом вида , где ; мы доказываем (*110·22), что сумма и есть , и (*110·25), что если и — кардинальные числа, их сумма равна сумме «тех же» кардинальных чисел в любых других типах, в которых они не равны нулю, т. е.

*110·25.

Затем мы (*110·3—·351) рассматриваем , к которому мы применяем определения *110·03·04. Мы имеем

*110·3. откуда другие свойства следуют из предыдущих предложений.

Затем мы имеем (*110·4—·44) различные предложения о типе и его существовании и родственных вопросах. Основными из них являются

*110·4.

*110·42.

Это предложение не требует гипотезы, потому что, если и не оба являются кардинальными числами, , и есть кардинальное число, согласно *102·74.

Наш следующий набор предложений (*110·5—·57) касается перестановочного и ассоциативного законов, которые являются *110·51 и *110·56 соответственно.

Затем мы (*110·6—·643) рассматриваем сложение 0 или 1, доказывая (*110·61), что кардинальное число не меняется при сложении 0, и (*110·643), что .

*110·01.

*110·02.

*110·03.

*110·04.

Эти определения расширяются преамбулой.

*110·1.

*110·101.

Док.

*110·11.

Док.

*110·12.

*110·11·12 дают оправдание для использования в определении арифметического сложения, поскольку они показывают, что состоит из двух взаимно исключающих частей, которые соответственно схожи с и .

*110·13.

Док.

*110·14.

Таким образом, всякий раз, когда и взаимно исключают друг друга, их логическая сумма может заменить их арифметическую сумму при определении суммы их кардинальных чисел.

*110·15.

Док.

*110·151.

Док.

*110·152.

Док.

*110·16.

*110·17.

Док.

Таким образом, когда и одного типа, существует по крайней мере в типе, следующем за типом и . Мы не можем доказать, что оно существует в типе и . Например, предположим, что самый низкий тип содержал только один член; тогда, если был этим одним членом, не существовало бы в типе, к которому принадлежит , но существовало бы в следующем типе, т. е. не было бы двух индивидов, но были бы два класса, а именно и , так что .

*110·18.

Док.

*110·2.

*110·201.

*110·202.

Док.

*110·21.

*110·211.

Док.

*110·212.

Док.

*110·22.

Док.

*110·221.

Док.

*110·23.

Таким образом, это не зависит от и , пока и существуют в типах и соответственно.

*110·231.

*110·24.

Док.

*110·25.

Док.

*110·251.

Док.

*110·252.

Аналогичное доказательство применимо к , и т. д., а также к любым таким производным кардинальным числам, существование которых следует из существования и . Предложение не выполняется в общем случае для , и других убывающих производных кардинальных чисел, поскольку они могут быть пустыми, когда и существуют.

Следующее предложение (*110·3) используется чаще, чем любое другое в этом параграфе, за исключением *110·4.

*110·3.

*110·31.

Следующее предложение часто используется.

*110·32.

*110·33.

Вышеприведенное предложение используется в *110·63. Мы могли бы использовать его для определения арифметического сложения, но этот метод был бы менее удобным, чем метод, принятый в данном параграфе, как из-за больших трудностей при работе с типами, так и из-за того, что существование (в типах, в которых оно существует) менее очевидно при вышеуказанном определении, чем при определениях, данных в *110·01, ·02, ·03, ·04.

*110·331.

Док.

*110·34.

*110·35.

*110·351.

Аналогичные предложения будут справедливы в общем случае для возрастающих кардинальных чисел.

Следующее предложение (*110·4) является наиболее часто используемым из предложений в этом параграфе. Оно полезно как в приведенной форме, так и в форме, получаемой путем транспозиции, в которой оно показывает, что , если только и не являются существующими кардинальными числами. Оно главным образом полезно для избежания необходимости гипотезы в таких предложениях, как коммутативный и ассоциативный законы.

*110·4.

Следующие предложения, вплоть до *110·411 включительно, касаются типов. В дальнейшем на них ссылок нет.

*110·401.

Док.

*110·402.

Док.

*110·403.

*110·404.

*110·41.

Док.

*110·411.

Следует заметить, что следующее предложение (*110·42) не требует никакой гипотезы. Это обусловлено *110·4 и *102·74.

*110·42.

Док.

*110·43.

*110·44.

Док.

Вышеприведенное предложение зависит от того факта, что типически двусмысленно, даже когда и типически определены. Оно используется в теории индуктивных кардинальных чисел (*120·32, ·41, ·424).

Следующие предложения касаются коммутативного и ассоциативного законов для арифметического сложения кардинальных чисел.

*110·5.

Док.

*110·501.

*110·51.

Для истинности вышеприведенного предложения не требуется, чтобы и были кардинальными числами. Если хотя бы одно из них не является кардинальным числом, то и оба равны .

Следующие предложения ведут к ассоциативному закону (*110·56).

*110·52.

Док.

*110·521.

*110·53.

*110·531.

*110·54.

Док.

*110·541.

Док.

*110·55.

*110·551.

*110·56.

Док.

Это ассоциативный закон для арифметического сложения. Можно видеть, что, подобно коммутативному закону, он не требует, чтобы , , были кардинальными числами.

*110·561.

*110·57.

Следующие предложения, касающиеся сложения 0 или 1, часто используются при работе с индуктивными кардинальными числами (*120).

*110·6.

Док.

Когда является типически определенным кардинальным числом, есть то же самое кардинальное число, представленное как типически двусмысленное; когда является типически двусмысленным кардинальным числом, , есть . Вместо вышеприведенного предложения мы могли бы написать ; это было бы истинно всякий раз, когда двусмысленность была определена так, чтобы сделать его значимым. Но вышеприведенная форма дает больше информации.

*110·61.

Док.

В этом предложении типически двусмысленно; следовательно, мы избегаем необходимости ставить справа, как нам пришлось бы сделать, если бы было типически определенным. Мы можем вывести *110·61 из *110·6 следующим образом:

В этом доказательстве мы должны пройти через , чтобы избежать возможности типического определения , которое сделало бы . По той же причине мы не можем поставить " "; ибо если первое определено типом, в котором , а второе нет, это равенство становится ложным.

*110·62.

Док.

*110·63.

Док.

Вышеприведенное предложение широко используется в теории конечного и бесконечного, как кардинального, так и ординального. Оно связывает математическую индукцию для индуктивных кардинальных чисел с математической индукцией для индуктивных классов (ср. *120).

*110·631.

Док.

Предложение , которое на первый взгляд может показаться доказуемым, будет истинным повсеместно только в том случае, если общее число объектов в любом одном типе не является конечным. Ибо предположим, что есть тип, и . Тогда, если есть конечный класс, . Следовательно, . Следовательно, во всех типах. Но будет существовать во всех типах выше типа . Если, с другой стороны, число сущностей в бесконечно, мы будем иметь . Следовательно, в этом случае вышеприведенное предложение будет истинным повсеместно.

*110·632.

Док.

*110·64.

*110·641.

*110·642.

*110·643.

Док.

Вышеприведенное предложение иногда полезно. Оно используется по крайней мере трижды, в *113·66 и *120·123, ·472.

*110·7, ·71 требуются для доказательства *110·72, а *110·72 используется в *117·3, которое является фундаментальным предложением в теории большего и меньшего.

*110·7.

Док.

*110·71.

Док.

Вышеприведенное доказательство зависит от того факта, что " " и " " типически двусмысленны, и поэтому, когда утверждается, что они равны, это должно выполняться в любом типе, и, следовательно, в частности, в том типе, для которого мы имеем , т.е. для . Вот почему использование *100·3 является правомерным.

*110·72.

Док.

*111. ДВОЙНАЯ СХОЖЕСТЬ.

Резюме *111.

Арифметические свойства класса, поскольку они не требуют или не предполагают, что он является классом классов, одинаковы для любого схожего класса. Но класс классов обладает многими арифметическими свойствами, которые он не разделяет со всеми схожими классами классов. Например, если есть класс классов, число членов есть арифметическое свойство , но очевидно, что оно не определяется числом членов , а требует также знания чисел членов членов . Например, пусть состоит из двух членов и , и пусть состоит из и . Тогда ; но чтобы иметь возможность вывести , нам требуется , и или или какие-либо другие подобные дополнительные данные. Отношение "двойной схожести", определяемое в настоящем параграфе, является отношением между классами классов, которое, когда оно выполняется между и , гарантирует, что все арифметические свойства и одинаковы, например, мы имеем (в частности) и . Это отношение мы обозначаем через ",", которое следует читать как один символ. Оно определяется следующим образом: мы определяем сначала класс "двойных корреляторов" и , который мы обозначаем через "," и определение которого есть

*111·01.

так что

Затем мы определяем "," как означающее, что не пусто, т.е. что существует по крайней мере один двойной коррелятор и .

Чтобы проиллюстрировать природу двойного коррелятора, предположим, что состоит из двух классов и , и что состоит из , , , в то время как состоит из , , . Аналогично пусть состоит из и , в то время как состоит из , и состоит из , , . Теперь пусть коррелирует каждый с имеющим те же два суффикса. Тогда есть взаимно-однозначное соответствие, и его обратная область есть . Более того (который есть ) = , и , так что . Таким образом, есть двойной коррелятор согласно определению.

Существенной характеристикой двойного коррелятора является то, что (1) есть коррелятор и , (2) есть коррелятор и . Если мы напишем вместо , то если , мы имеем ; более того, есть коррелятор и . Таким образом, и являются схожими классами схожих классов. Однако они не только это, ибо мы не только знаем, что схож с , но мы знаем конкретный коррелятор и , а именно . Это существенно для использования двойной схожести, как станет ясно вскоре.

Рассмотрим отношение между и , которое состоит в том, что они являются схожими классами схожих классов. Это означает, что существует коррелятор и такой, что, если , схож с . То есть мы должны рассмотреть гипотезу или, как это может быть более кратко выражено, . Предположим . Если мы попытаемся доказать (скажем), что схож с , мы обнаружим, что вынуждены предположить мультипликативную аксиому, если только и не являются конечными. Эта необходимость возникает следующим образом. Положим , где " " означает "соответствие". Тогда мы знаем, что всякий раз, когда , не пусто. Далее, легко доказать, что если и являются классами взаимно исключающих классов, и если мы можем выбрать один репрезентативный член для каждого значения , которое является членом , то реляционная сумма всех этих репрезентативных корреляций дает нам коррелятор и . То есть мы имеем

Но чтобы вывести отсюда , нам нужно , т.е. нам нужно иметь возможность выбрать конкретный коррелятор для каждой пары схожих классов и . Это, однако, не может быть сделано в общем случае без предположения мультипликативной аксиомы. Отсюда следует, что мы не должны определять два класса как имеющие двойную схожесть, когда , но должны дать определение, которое позволяет нам указать конкретный коррелятор для каждой пары схожих классов. Это достигается вышеприведенным определением двойных корреляторов, где наш дан как имеющий форму , где . Если мультипликативная аксиома принята, но в общем случае нет, мы имеем (*111·5)

В настоящем параграфе мы начнем с различных свойств двойных корреляторов. Мы доказываем (*111·11), что есть двойной коррелятор и тогда и только тогда, когда есть коррелятор и , и есть коррелятор и . Мы доказываем (*111·112), что в той же гипотезе . Мы доказываем (*111·13), что есть двойной коррелятор с самим собой; что (*111·131) если есть двойной коррелятор и , то есть двойной коррелятор и ; что (*111·132) если , являются двойными корреляторами с и с соответственно, то есть двойной коррелятор с . Отсюда следует (*111·45, ·451, ·452), что двойная схожесть является рефлексивной, симметричной и транзитивной.

Затем мы переходим (*111·2 — ·34) к рассмотрению , где предполагается, что есть коррелятор и , и что схож с , если . Мы доказываем

*111·32.

Таким образом, в предполагаемом случае есть двойной коррелятор и . Таким образом

*111·322.

Затем мы переходим (*111·4 — ·47) к различным предложениям о "," и, наконец, (*111·5, ·51, ·53) формулируем три предложения, которые предполагают мультипликативную аксиому, а именно

*111·5. Если , , то .

*111·51. В том же случае , т.е. если и являются схожими классами взаимно исключающих схожих классов, их суммы схожи.

*111·53. В том же случае, если , , . Следовательно, мультипликативная аксиома подразумевает, что два класса взаимно исключающих классов, каждый из которых имеет членов, имеют одинаковое число членов в своей сумме.

*111·01.

*111·02.

*111·03.

*111·1.

*111·11.

Док.

*111·111.

Док.

*111·112.

Два следующих предложения являются полезными леммами для случая, когда заменяется (как это часто бывает) на .

*111·12.

Док.

*111·121.

Док.

*111·13.

Док.

*111·131.

Док.

*111·132.

Док.

*111·14.

Док.

*111·15.

Док.

*111·16.

Док.

*111·18.

Док.

Класс важен, являясь классом канторовских "Belegungen", используемых им для определения возведения в степень; мы имеем, фактически, . Таким образом, вышеприведенное предложение показывает, что меньше или равно ; и поскольку, всякий раз, когда оно не равно нулю, , оно меньше или равно .

Следующие предложения ведут к *111·32, ·33, ·34:

*111·2.

*111·201.

*111·202.

*111·21.

*111·211.

*111·22.

Док.

*111·221.

Док.

*111·23.

Док.

*111·24.

Док.

*111·25.

*111·3.

Док.

*111·31.

Док.

*111·311.

*111·313.

Док.

*111·32.

Док.

*111·321.

*111·322.

*111·33.

Док.

*111·34.

Док.

Следующие предложения касаются элементарных свойств ",". Будет видно, что они тесно аналогичны свойствам ",".

*111·4.

*111·401.

Док.

*111·402.

*111·43.

*111·44.

*111·45.

*111·451.

*111·452.

*111·46.

*111·47.

Док.

*111·5.

*111·51.

*111·52.

Док.

*111·53.

*112. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СУММА КЛАССА КЛАССОВ.

Резюме *112.

В этом параграфе мы возвращаемся к арифметическим операциям. Определение сложения в *110 было применимо только к конечному числу слагаемых, поскольку слагаемые должны были быть перечислены. В настоящем параграфе мы определяем арифметическую сумму класса классов, так что слагаемые даны как члены класса и не требуют перечисления. Следовательно, определение в этом параграфе применимо как к бесконечному числу слагаемых, так и к конечному.

Если есть класс взаимно исключающих классов, число будет суммой чисел членов ; т.е. если мы напишем " " для суммы чисел членов , . Но когда члены не являются взаимно исключающими, член , который является членом двух членов (скажем и ) , должен быть посчитан дважды при получении арифметической суммы , тогда как в логической сумме он считается только один раз. Таким образом, нам нужна конструкция, которая дублировала бы , принимая его сначала как член , а затем как член . Это достигается, если мы заменим сначала на , а затем на . Фактически, имеет тот вид арифметических свойств, которые мы намереваемся обеспечить, когда говорим о " рассматриваемом как член " — фраза, которая, как она есть, не служит нашей цели, ибо есть просто , как бы мы ни решили его рассматривать. Таким образом, мы заменяем на и на и так далее; т.е. (используя *85·5), мы заменяем на и на и так далее. Эти новые классы схожи с и и так далее, и являются взаимно исключающими. Следовательно, их логическая сумма имеет число членов, которое требуется для арифметической суммы членов . Таким образом, мы полагаем

Что касается второго из этих определений, следует заметить, что не является функцией , если только никакие два члена не являются схожими; ибо не может содержать одно и то же число дважды. По той же причине, если есть класс кардинальных чисел, и мы определяем ",", мы не получаем того, что требуется для арифметического сложения, поскольку наше определение не позволит нам иметь дело с суммами, в которых есть повторяющиеся числа. Мы могли бы, если бы это стоило того, определить "," следующим образом: возьмем класс классов , состоящий из одного класса, имеющего каждое число, которое является членом , т.е. пусть будет выборкой из ; тогда будет иметь требуемое число членов. т.е. мы могли бы положить . Но поскольку это определение доступно только для сумм, в которых ни одно число не повторяется, не стоит его вводить.

В этом параграфе мы доказываем, среди прочих, следующие предложения.

*112·15.

Это расширение *110·32.

*112·17.

Главный момент в вышеприведенном предложении заключается в том, что оно не требует , .

*112·2 — ·24 касаются использования мультипликативной аксиомы и предложений *111, в которых она появляется как гипотеза. Мы имеем

*112·22.

откуда мы выводим предложение

*112·24.

Т.е. предполагая мультипликативную аксиому, два класса, каждый из которых состоит из классов по членов каждый, имеют одинаковое число членов в своей сумме. Это число естественно было бы определено как умноженное на , но из-за необходимости мультипликативной аксиомы в этом предложении мы выбрали другое определение умножения (*113), которое не зависит от мультипликативной аксиомы. Читатель должен заметить, что схожесть двух классов, каждый из которых состоит из взаимно исключающих множеств по членов, не может быть доказана в общем случае без мультипликативной аксиомы.

Оставшиеся предложения этого параграфа дают свойства в частных случаях. Мы доказываем, что (*112·3), что (*112·321), что (*112·34), которое связывает определение сложения в этом параграфе с определением в *110. Наконец, мы доказываем общий ассоциативный закон для сложения в следующих двух формах:

*112·41.

*112·43.

*112·01.

*112·02.

*112·1.

*112·101.

*112·102.

Док.

*112·103.

*112·11.

*112·12.

*112·13.

*112·14.

Док.

*112·15.

*112·151.

Док.

Следующее предложение является леммой для *112·153, которая требуется для *112·16. *112·16, в свою очередь, используется в *112·17, которое является фундаментальным предложением в теории сложения.

*112·152.

Док.

В следующем предложении мы имеем двойной коррелятор такого рода, который часто встречается в кардинальной арифметике, а именно с ограниченной обратной областью, где есть заданный двойной коррелятор (или одиночный коррелятор, в других случаях). Как следует из предложений, используемых в вышеприведенном доказательстве *112·152, если есть коррелятор, чья обратная область включает и имеет в качестве члена, . Таким образом, есть операция, которая при воздействии на подходящие отношения индивидов к классам (включая селекторы) превращает индивидов в их корреляты, а классы — в классы коррелятов их членов. Вот почему это полезное отношение.

*112·153.

Док.

*112·16.

*112·17.

Док.

*112·18.

Док.

*112·2.

Док.

*112·21.

*112·22.

*112·23.

Док.

*112·231.

Док.

*112·24.

Док.

*112·3.

*112·301.

Док.

*112·302.

Док.

Таким образом, если есть член класса классов, это не влияет на значение их арифметической суммы.

*112·303.

Док.

*112·304.

Док.

*112·31.

Док.

*112·311.

Док.

*112·32.

Док.

*112·321.

*112·33.

*112·331.

*112·34.

Док.

Это предложение устанавливает согласованность двух определений сложения, а именно в *110 и в *112. Будет видно, что определение *112 неприменимо к сложению класса с самим собой, если это должно дать удвоение класса, вместо того чтобы (как логическое сложение) просто воспроизвести класс. Отсюда необходимость условия в вышеприведенном предложении.

*112·341.

Док.

*112·35.

Док.

Аналогичные предложения могут быть очевидно доказаны для любого конечного числа слагаемых.

*112·4.

Док.

*112·41.

Док.

*112·42.

Док.

*112·43.

Док.

Вышеприведенное является ассоциативным законом для арифметического сложения.

*113. ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ ДВУХ КЛАССОВ ИЛИ ДВУХ КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

Резюме *113.

В этом параграфе мы даем определение умножения, которое может быть расширено на любое конечное число множителей, но не на бесконечное число множителей. Мы определяем сначала арифметическое произведение классов двух классов и , а затем произведение двух кардинальных чисел и как число членов в произведении и , когда имеет членов, а имеет членов. В *114 мы дадим определение умножения, которое не ограничено конечным числом множителей. Преимущества определения, которое будет дано в этом параграфе, заключаются в том, что оно не требует, чтобы множители были одного типа, и что оно позволяет нам умножать класс на самого себя, не (как в логическом сложении и умножении) просто воспроизводя рассматриваемый класс. Недостатком определения в этом параграфе является невозможность расширения его на бесконечное число множителей.

Арифметическое произведение классов двух классов и , которое мы обозначаем через [5], есть класс всех ординальных пар, которые берут свой референт из , а свой релятум из , т.е. это класс всех таких отношений, как , где и . Для заданного , класс пар, который мы получаем, есть , который схож с ; и число таких классов для варьирующегося есть . Таким образом, мы имеем классов пар, и есть логическая сумма этих классов пар. Класс таких классов, как , где , снова важен в связи с возведением в степень; мы имеем , откуда класс таких классов, когда варьируется среди 'ов, есть , и , что мы принимаем как определение .

Мы представляем арифметическое произведение и через . Это, так же как и , определяется через точно так же, как в *110 сумма была определена через .

Настоящий параграф содержит много предложений, которые принадлежат теории скорее , чем (специально) ; и многие предложения являются скорее логическими, чем арифметическими по своей природе, т.е. они могли бы быть даны в *55. Однако границу провести так трудно, что казалось лучше рассматривать одновременно все предложения о или о его сумме, которая есть . Таким образом, в настоящем параграфе ранние предложения, вплоть до *113·118, имеют дело главным образом с логическими свойствами и ; следующие предложения, вплоть до *113·13, имеют дело главным образом с арифметическими свойствами ; предложения *113·14 — ·191 касаются главным образом арифметических свойств ; *113·2 — ·27 имеют дело с более простыми свойствами ; *113·3 — ·34 дают предложения, включающие мультипликативную аксиому и демонстрирующие связь (при условии этой аксиомы) сложения и умножения; *113·4 — ·491 касаются различных форм дистрибутивного закона; *113·5 — *113·541 имеют дело с ассоциативным законом умножения, а оставшиеся предложения имеют дело с умножением на 0, 1 или 2.

Наиболее важными предложениями в настоящем параграфе являются следующие:

*113·101.

Это просто воплощает определение .

*113·105.

Это предложение особенно полезно при работе с возведением в степень (*116).

*113·114.

Именно в силу этого предложения произведение конечного числа множителей обращается в нуль только тогда, когда один из его множителей обращается в нуль.

*113·118.

Это предложение главным образом полезно в аналогичной теории ординальных произведений (*165, *166), где оно позволяет нам применить *74·773. Если только , мы имеем , и если только (*113·116).

*113·12.

Т.е. если только не пусто, состоит из взаимно исключающих классов, каждый из которых имеет членов.

*113·127.

Это важное предложение, поскольку оно дает двойной коррелятор с всякий раз, когда даны простые корреляторы с и с . Оно немедленно ведет к

*113·13.

Это предложение является фундаментальным в теории умножения, поскольку оно показывает, что число членов зависит только от чисел членов и . Оно также является фундаментальным в теории возведения в степень, как станет ясно в *116.

*113·141.

Это источник коммутативного закона умножения (*113·27).

*113·146.

Это связывает нашу настоящую теорию умножения с теорией выборок.

Далее мы переходим к предложениям, касающимся . Мы имеем

*113·204.

Использование этого предложения, подобно использованию *110·4, предназначено для избежания тривиальных исключений.

*113·23.

*113·25.

Это предложение позволяет нам выводить предложения о произведениях кардинальных чисел из предложений о произведениях классов и поэтому постоянно используется.

*113·27.

Это коммутативный закон кардинального умножения.

Главным предложением, использующим мультипликативную аксиому, является

*113·31.

Т.е. предполагая мультипликативную аксиому, сумма чисел членов в классах по членов есть . Если бы мы приняли эту сумму как определение , почти все предложения об умножении потребовали бы мультипликативной аксиомы. Преимущество состоит в том, что, имея и , мы можем построить двойной коррелятор с , не используя мультипликативную аксиому. Это доказано в *113·127 (упомянутом выше).

Дистрибутивный закон, который рассматривается далее, имеет различные формы. Мы имеем, для начала,

*113·4.

откуда, используя также коммутативный закон, мы легко выводим

*113·43.

Но дистрибутивный закон также выполняется, когда вместо перечисленных слагаемых , или , , слагаемые даны как члены класса , который может быть бесконечным. Мы имеем

*113·48.

откуда, используя определения *112, мы находим

*113·491.

Это расширение дистрибутивного закона на случай, когда число слагаемых может быть бесконечным.

Ассоциативный закон

*113·54.

доказывается без каких-либо трудностей.

Мы доказываем далее, что тогда и только тогда, когда или , , будучи существующими кардинальными числами (*113·602); что кардинальное число не изменяется, когда оно умножается на 1 (*113·62, ·621); что (*113·66) и что (*113·671).

*113·02.

*113·03.

*113·04.

*113·05.

В отношении типов *113·03, ·04, ·05 требуют аналогичных замечаний тем, что были сделаны в *110 для сложения.

*113·1.

*113·101.

*113·102.

Док.

*113·103.

*113·104.

*113·105.

Док.

*113·106.

*113·107.

*113·11.

Док.

*113·111.

*113·112.

Док.

*113·113.

*113·114.

*113·115.

Док.

*113·116.

*113·117.

*113·118.

*113·12.

*113·121.

*113·122.

*113·123.

*113·124.

Док.

*113·125.

*113·126.

Док.

*113·127.

*113·128.

*113·13.

*113·14.

*113·141.

*113·142.

Док.

*113·143.

Док.

*113·144.

Док.

Примечание к *113·144. В силу *113·143 и *55·61 мы имеем

На более позднем этапе (в *150) мы положим

Таким образом, мы будем иметь, предвосхищая это обозначение,

Следовательно, мы имеем

*113·145.

*113·146.

*113·147.

Док.

Преимущество этого предложения в том, что оно представляет коррелятор и как функцию .

*113·148.

Док.

*113·15.

Док.

*113·151.

*113·152.

Док.

Следующее предложение имеет смысл только тогда, когда и — классы отношений. Оно используется в арифметике отношений (*172·34).