«Principia Mathematica, том 1»

Раздел A этой Части посвящен единичным классам и парам. Единичный класс — это класс терминов, идентичных данному термину, т.е. класс, единственным членом которого является данный термин. (Как объяснено во Введении, Глава III, стр. 80–83, класс, единственным членом которого является , не идентичен .) Мы определяем как класс всех единичных классов, оставляя для Части III доказательство того, что , определенное таким образом, является кардинальным числом. Подобным же образом мы определяем (кардинальную или ординальную) пару, а затем определяем как класс всех пар. Предложения о парах не будут часто упоминаться в остальной части настоящего раздела, поскольку их использование относится главным образом к арифметике (Части III и IV). С другой стороны, свойства единичных классов постоянно требуются в Разделах C, D, E этой Части.

Раздел B посвящен, во-первых, классу подклассов данного класса, т.е. классов, содержащихся в данном классе. Подклассы данного класса часто важны в арифметике. Далее мы рассматриваем класс подотношений данного отношения, т.е. отношений, содержащихся в данном отношении. Предложения по этой теме аналогичны предложениям о подклассах, но менее важны. Далее мы рассматриваем вопрос об «относительных типах», т.е. беря любой объект и называя его тип , мы даем обозначение для выражения через тип классов, членом которых является , или отношений, в которых может быть либо референтом, либо релатумом, и так далее. Обозначения, введенные в этой связи, очень полезны в арифметике, особенно в связи с теоремами существования. Но предложения Раздела B очень редко требуются в последующих разделах настоящей Части.

Раздел C, который имеет дело с одно-многими, много-одними и одно-однозначными отношениями, очень важен и постоянно актуален в дальнейшем. Отношение является одно-многим, когда ни один термин не имеет более одного референта, много-одним, если ни один термин не имеет более одного релатума, и одно-однозначным, если оно является одновременно одно-многим и много-одним. В этом разделе мы определяем понятие подобия, на котором основана вся кардинальная арифметика: два класса называются подобными, когда существует одно-однозначное отношение, областью которого является один, а областью значений — другой. Мы доказываем элементарные свойства подобия, включая теорему Шрёдера-Бернштейна, а именно: если подобен части , а подобен части , то подобен .

Раздел D посвящен понятию выборок, на котором основаны как кардинальное, так и ординальное умножение. Выборка из множества классов — это класс, состоящий из одного члена из каждого класса множества. Таким образом, селективное отношение может быть определено как такое, которое для данного класса классов делает членом , всякий раз, когда является членом . Более точно, селективное отношение для класса классов — это такое, которое является одно-многим, имеет в качестве области значений и таково, что если , то . Такое отношение можно назвать -селектором из . Более общим образом, мы можем определить -селектор из как отношение, которое является одно-многим, имеет в качестве области значений и которое содержится в . Теория селекторов очень важна в арифметике. Но до тех пор, пока мы не дойдем до кардинального умножения в Части III, Разделе B, предложения этого четвертого раздела будут редко актуальны.

Раздел E посвящен математической индукции, не в той специальной форме, в которой она применяется к конечным целым числам (это рассматривается в Части III, Разделе C), а в общей форме, в которой она применяется ко всем отношениям. Предложения этого раздела имеют очень большое значение, прежде всего в теории конечного и бесконечного (Часть III, Раздел C, и Часть V, Раздел E), но также и во многих других предметах, и особенно при выведении рядов из одно-многих, много-одних или одно-однозначных отношений — например, при упорядочивании «рациональных» точек проективного пространства посредством последовательных построений гармонических точек. Идеи, задействованные в этом разделе, несколько сложны, и мы должны отослать читателя к самому разделу для ознакомления с ними.

РАЗДЕЛ A. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ И ПАРЫ.

Резюме Раздела A.

В этом разделе мы начинаем (*50) с введения обозначения для отношения идентичности, в противоположность функции « »; то есть, называя отношение идентичности I, мы полагаем . Цель этого определения — главным образом удобство обозначения. Определение позволяет нам говорить о , , , , и т. д., чего мы иначе не могли бы сделать.

В то же время мы вводим различие, которое определяется как отрицание идентичности и обозначается буквой . Свойства и следуют непосредственно из *13, поскольку

Затем мы вводим очень важное обозначение, принадлежащее Пеано, для класса, единственным членом которого является . Если бы мы придерживались строго и чисто экстенсионального взгляда на классы, мы бы естественно предположили, что этот класс идентичен . Но ввиду теории классов, объясненной в *20, ясно, что никогда не может быть идентичен классу, членом которого он является, даже если он является единственным членом этого класса. Пеано использует обозначение « » для класса, единственным членом которого является ; мы изменим это на « », следуя нашему общему обозначению для дескриптивных функций. Таким образом, мы должны иметь . Следовательно, мы принимаем в качестве нашего определения , поскольку это определение дает желаемое значение . Свойства многочисленны и важны.

Важно заметить, что « » означает «единственный член ». Таким образом, он существует тогда и только тогда, когда имеет один член и не более, в каком случае имеет форму , если x — его единственный член. Таким образом, « » означает то же самое, что «( », а « » означает то же самое, что «( ». То, что мы называем « », обозначается в нотации Пеано как « ».

Классы формы называются единичными классами, а класс всех таких классов называется 1. Это кардинальное число 1, согласно определению кардинальных чисел, которое будет дано в *100. Свойства 1, поскольку они не зависят от других кардинальных чисел или от того факта, что 1 является кардинальным числом, будут изучены в *52.

После параграфа (*53), содержащего различные предложения, включающие 1 или , мы переходим к рассмотрению кардинальных пар (*54) и ординальных пар (*55). Кардинальная пара — это класс , где . Класс таких пар определяется как 2 и будет показан на более позднем этапе (*101) как кардинальное число. Ординальная пара, которая, в отличие от кардинальной пары, предполагает порядок между своими членами, определяется как отношение (ср. *35·04), где мы можем либо добавить , либо нет. Свойства ординальных пар отчасти аналогичны свойствам единичных классов, отчасти — свойствам кардинальных пар. В *56 мы определяем ординальное число 2 (которое мы обозначаем как , чтобы отличить его от кардинального 2) как класс всех ординальных пар , где . На более позднем этапе будет показано, что это ординальное число согласно нашему определению ординальных чисел (*153 и *251).

*50. ИДЕНТИЧНОСТЬ И РАЗЛИЧИЕ КАК ОТНОШЕНИЯ.

Резюме *50.

Цель настоящего параграфа — прежде всего нотационная. По нотационным причинам мы должны иметь возможность выражать идентичность и различие как отношения, а не только как пропозициональные функции, т.е. нам требуется обозначение для и . Поэтому мы полагаем

Несмотря на тот факт, что различие есть лишь отрицание идентичности, виды предложений, использующих различие, совершенно отличны от видов, использующих идентичность. Идентичность как отношение требуется, прежде всего, в теории единичных классов, что является нашей причиной для рассмотрения ее на данном этапе. Она требуется затем, постоянно, в теории математической индукции (Часть II, Раздел E). Она требуется также при доказательстве того, что кардинальное и ординальное подобие рефлексивны. Таковы ее основные применения.

Различие, с другой стороны, требуется почти исключительно в теории рядов (Часть V), и первый параграф в этой теории будет посвящен различию. До этого этапа различие будет упоминаться редко, за одним важным исключением, а именно при доказательстве ассоциативного закона умножения в арифметике отношений (*174).

Наиболее важными предложениями об идентичности в настоящем параграфе являются следующие:

50·16.

50·4.

50·5.

50·51.

50·52.

50·62.

50·63.

Наиболее важными предложениями о различии в настоящем параграфе являются следующие:

*50·23.

*50·24.

*50·43.

*50·45.

*50·47.

Следует заметить, что все эти предложения касаются или , оба из которых удовлетворяются, если есть сериальное отношение. Гипотеза или характеризует асимметричное отношение, т.е. такое, которое, если оно имеет место между и , не может иметь места между и .

*50·01.

*50·02.

Большинство предложений этого параграфа очевидны и не требуют комментариев.

*50·1.

*50·11

*50·12.

*50·13.

*50·14.

*50·15.

*50·16.

Док.

*50·17.

Док.

*50·2.

Док.

*50·21.

Док.

*50·22.

*50·23.

*50·24.

Док.

*50·3.

*50·31.

Док.

*50·32.

*50·33.

Док.

В вышеприведенном предложении (*50·33) гипотеза эквивалентна гипотезе о том, что существует более одного объекта рассматриваемого типа. Это можно доказать для всех типов, кроме самого низшего. Для самого низшего типа мы можем доказать лишь существование по крайней мере одного объекта: это доказано в *24·52. Для следующего типа мы можем доказать существование по крайней мере двух объектов, а именно и ; они различны согласно *24·1. Для класса порядка мы можем доказать существование объектов. Но для класса индивидов мы не можем доказать из наших примитивных предложений, что в универсуме существует более одного объекта, и поэтому мы не можем доказать . Мы могли бы, конечно, включить в число наших примитивных предложений допущение о том, что существует более одного индивида, или некоторое допущение, из которого это следовало бы, такое как . Но очень немногие из предложений, которые мы могли бы пожелать доказать, зависят от этого допущения, и поэтому мы исключили его. Следует заметить, что большинство философов, будучи монистами, отрицают это допущение.

*50·34.

Док.

*50·35.

*50·4.

Док.

*50·41.

Док.

*50·42.

Док.

*50·43.

Это предложение полезно в теории рядов. « » — это характеристика асимметричного отношения.

*50·44.

Док.

*50·45.

*50·46.

*50·47.

Док.

Это предложение используется в теории рядов. Если есть сериальное отношение, мы будем иметь и .

*50·5.

Док.

*50·51.

*50·52.

Док.

*50·53.

Док.

*50·54.

Док.

*50·55.

Док.

*50·56.

Док.

*50·57.

Док.

*50·58.

Док.

*50·59.

Док.

*50·6.

Док.

*50·61.

Док.

*50·62.

*50·63.

*50·64.

*50·65.

*50·7.

*50·71.

*50·72.

*50·73.

*50·74.

Док.

*50·75.

*50·76.

Док.

*50·761.

*51. ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ.

Резюме *51.

В этом параграфе мы вводим новую дескриптивную функцию , означающую «класс терминов, которые идентичны », что есть то же самое, что «класс, единственным членом которого является ». Таким образом, мы должны иметь . Но . Следовательно, мы обеспечиваем то, что нам требуется, следующим определением:

*51·01.

С точки зрения нотации можно было бы подумать, что подошло бы так же хорошо, как , и что это определение излишне. Но нам нужно также обратное отношение, а « » — недостаточно удобный символ.

Предложения этого параграфа постоянно используются в дальнейшем. Следует заметить, что класс, членами которого являются и , есть , класс, членами которого являются , , есть , класс, образованный добавлением к , есть , а класс, образованный вычитанием из , есть . (Если не является членом , это равно .)

Различие между и является одним из достоинств символической логики Пеано, а также Фреге. На основе нашей теории классов необходимость этого различия, конечно, очевидна. Но помимо этого, следующее соображение делает необходимость явной. Пусть есть класс; тогда класс, единственным членом которого является , имеет только один член, а именно , в то время как может иметь много членов. Следовательно, класс, единственным членом которого является , не может быть идентичен [59].

Предложения настоящего параграфа, которые используются наиболее часто, следующие:

*51·15.

*51·16.

*51·2.

Это предложение полезно, потому что оно позволяет нам заменить принадлежность к классу ( ) включением в класс ( ).

*51·211.

*51·221.

*51·222.

*51·23.

*51·4.

Т.е. существующий класс, содержащийся в единичном классе, должен быть идентичен этому единичному классу. Из этого предложения будет следовать, что 0 — единственное кардинальное число, которое меньше 1.

*51·51.

Для классов имеет те же применения, что и ( для функций; « » означает «единственный член ». Мы имеем

*51·59.

*51·01.

*51·1.

Док.

*51·11.

*51·12.

*51·13.

*51·131.

*51·14.

*51·141.

*51·15.

*51·16.

*51.161.

*51·17.

Док.

Вышеприведенное предложение используется в теории выборок (*83·71).

*51·2.

Док.

Вышеприведенное предложение показывает, как заменить принадлежность к классу включением в класс; так, например, оно дает:

До Пеано и Фреге отношение принадлежности ( ) рассматривалось лишь как частный случай отношения включения ( ). По этой причине традиционная формальная логика рассматривала такие предложения, как «Сократ есть человек», как примеры общеутвердительного суждения , «Всякое есть », что мы выражаем как « ». Это влекло за собой смешение фундаментально различных видов предложений, что сильно препятствовало развитию и полезности символической логики. Но с помощью вышеприведенного предложения (*51·2) мы всегда можем получить предложение, выражающее включение (а именно « »), которое эквивалентно данному предложению, выражающему принадлежность к классу (а именно « »).

*51·21.

Док.

*51·211.

Док.

*51·22.

Док.

*51·221.

Док.

*51·222.

*51·23.

Док.

*51·231.

Док.

*51·232.

Это предложение утверждает, что член должен быть либо , либо , и наоборот, т.е. что есть класс, единственными членами которого являются и .

*51·233.

*51·234.

Док.

*51·235.

Док.

*51·236.

*51·237.

*51·238.

Док.

*51·239.

Док.

*51·24.

Док.

*51·25.

*51·3.

*51·31.

Док.

*51·34.

*51·35.

*51·36.

*51·36 часто используется.

*51·37.

*51·4.

Док.

*51·401.

Док.

Это предложение показывает, что единичные классы являются наименьшими существующими классами.

*51·41.

Док.

Два следующих предложения являются леммами для *51·43.

*51·42.

Док.

*51·421.

*51·43.

Следующие предложения касаются , т.е. отношения единственного члена единичного класса к этому классу. Если есть единичный класс, есть его единственный член. ( и равны всякий раз, когда существует любой из них, и любое предложение об одном эквивалентно тому же предложению о другом.)

*51·51.

Док.

*51·511.

*51·52.

*51·53.

*51·54.

*51·55.

Док.

*51·56.

Док.

*51·57.

Док.

*51·58.

*51·59.

СНОСКИ:

[59] Этот аргумент принадлежит Фреге. См. его статью «Kritische Beleuchtung einiger Punkte in E. Schröder's Vorlesungen über die Algebra der Logik», Archiv für Syst. Phil., том I, стр. 444 (1895).

*52. КАРДИНАЛЬНОЕ ЧИСЛО 1.

Резюме *52.

В этом параграфе мы вводим кардинальное число 1, определенное как класс всех единичных классов. Тот факт, что 1, определенное таким образом, является кардинальным числом, в настоящее время не актуален и, конечно, не может быть доказан, пока не будет определено «кардинальное число». Поэтому в настоящее время 1 следует рассматривать просто как класс всех единичных классов, причем единичные классы — это такие классы, которые имеют форму для некоторого .

Подобно и , 1 двусмысленно относительно типа: оно означает «все единичные классы рассматриваемого типа». Символ « », где есть тип, будет означать «все единичные классы, чьи единственные члены принадлежат к типу » (ср. *65). Таким образом, например, « )» будет означать « есть класс, состоящий из одного индивида», если « » означает класс индивидов.

Свойства 1, которые должны быть доказаны в настоящем параграфе, являются тем, что мы можем назвать логическими, в противоположность арифметическим свойствам, т.е. они не касаются арифметических операций (сложения и т.д.), которые могут быть выполнены с 1, а касаются отношений 1 к единичным классам. Арифметические свойства 1 будут рассмотрены позже, в Части III.

Предложения настоящего параграфа, которые используются наиболее часто, следующие:

*52·16.

Т.е. есть единичный класс тогда и только тогда, когда он не пуст и все его члены идентичны.

*52·22.

*52·4.

Мы определим 0 как . Таким образом, вышеприведенное предложение утверждает, что класс имеет один член или ни одного тогда и только тогда, когда все его члены идентичны.

*52·41.

Это предложение получается из *52·4 путем транспозиции, т.е. путем отрицания каждой стороны эквивалентности.

*52·46

Т.е. два единичных класса идентичны тогда и только тогда, когда один содержится в другом, и тогда и только тогда, когда они имеют общую часть.

*52·01

*52·1

*52·11

*52·12

Док.

*52·13

Док.

*52·14

*52·15

*52·16

*52·17

*52·171

*52·172

*52·173

*52·18

Док.

*52·181

*52·2

Док.

*52·21.

Док.

*52·22.

*52·23.

Док.

*52·24.

*52·3.

Док.

*52·31.

Док.

*52·4.

Док.

Это предложение часто полезно. Мы определим число 0 как ; таким образом, вышеприведенное предложение утверждает, что класс имеет один член или ни одного тогда и только тогда, когда все его члены идентичны. Будет видно, что не подразумевает , и поэтому допускает возможность отсутствия членов.

*52·41.

Док.

*52·42.

Док.

*52·43.

*52·44.

Док.

*52·45.

Док.

52·46.

Док.

*52·6.

Док.

*52·601.

Док.

*52·602.

*52·61.

*52·62.

Док.

*52·63.

*52·64.

Док.

*52·7.

Док.

*53. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ, ВКЛЮЧАЮЩИЕ ЕДИНИЧНЫЕ КЛАССЫ.

Резюме *53.

Предложения, которые будут приведены в этом параграфе, по большей части таковы, что они более естественно смотрелись бы на более раннем этапе, но не могли быть приведены раньше, поскольку они включали единичные классы. Следует заметить, что есть класс, состоящий из членов и , в то время как есть отношение, которое имеет место только между и . Если и есть классы, есть класс классов, членами которого являются и . Если и есть отношения, есть отношение отношений; и так далее.

Настоящий параграф начинается с соединения произведений и сумм , , , , в случаях, когда члены или специфицированы, с произведениями или суммами , , , . Мы имеем

*53·01.

*53·1.

*53·14.

с аналогичными предложениями для , и .

Далее у нас есть набор предложений о суммах и произведениях классов единичных классов. Наиболее важным из них является

*53·22.

Далее у нас есть предложение, показывающее, что сумма есть пустой класс тогда и только тогда, когда либо пуст, либо имеет пустой класс в качестве своего единственного члена, т.е.

*53·24.

(Здесь мы пишем « », чтобы показать, что рассматриваемый « » относится к следующему типу выше того, к которому относятся два других 's.)

Далее у нас есть различные предложения об отношениях и и в различных случаях, сначала для общего отношения , а затем для частного отношения , определенного в *40. Три из этих предложения используются очень часто, а именно:

*53·3.

*53·301.

*53·31.

Остальные предложения этого параграфа менее важны и упоминаются редко.

*53·01.

Док.

*53·02.

Док.

*53·03.

*53·04.

*53·1.

Док.

Это предложение может быть расширено до , и т.д. Оно показывает связь (для конечных классов классов) между произведением и произведением членов

*53·11.

Док.

Аналогичные замечания применимы к этому предложению, как и к *53·1.

*53·12.

Это предложение показывает связь между произведением для класса, состоящего из двух отношений и , и произведением . Предложение может быть расширено до произведения любого данного конечного класса отношений.

*53·13.

Аналогичные замечания применимы к этому предложению, как и к *53·12.

*53·14.

Док.

*53·15.

*53·16.

*53·17.

Вышеприведенное предложение и следующее за ним используются в связи с математической индукцией (*91·55 и *97·46 соответственно).

*53·18.

Док.

*53·181.

*53·2.

Это предложение требует для значимости, чтобы было классом классов. Оно используется в *88·47, в параграфе о существовании выборок и аксиоме умножения.

Док.

*53·21.

Это предложение требует для значимости, чтобы было классом отношений.

*53·22.

Док.

*53·221.

Док.

*53·222.

Док.

*53·23.

Док.

*53·231.

Док.

*53·24.

Док.

В формулировке и последней строке доказательства вышеприведенного предложения мы пишем « » вместо « », потому что этот должен быть типа, следующего непосредственно за типом в « ».

Следующее предложение используется в теории выборок (*83·731).

*53·25.

Док.

*53·3.

Док.

Вышеприведенное предложение используется очень часто.

*53·301.

Док.

*53·302.

Вышеприведенное предложение используется в кардинальной теории возведения в степень (*116·71).

*53·31.

Вышеприведенное предложение является одним из тех, которые часто используются в дальнейшем.

Док.

*53·32.

Док.

*53·33.

*53·34.

*53·35.

Док.

Вышеприведенное предложение может быть также доказано следующим образом:

*53·4.

Док.

*53·5.

Док.

В вышеприведенном доказательстве, как обычно там, где встречаются «Cls» или другие символы типов, необходимо отказаться от обозначений греческими буквами и вернуться к явным обозначениям.

*53·51.

*53·52.

Док.

*53·53.

Следующие предложения включены ввиду их связи с определением в *70. и ( являются важными классами.

*53·6.

Док.

*53·601.

Док.

*53·602.

*53·603.

*53·604.

*53·61.

Док.

*53·611.

*53·612.

*53·613.

*53·614.

Док.

*53·615.

Два следующих предложения используются в *70·12.

*53·62.

Док.

*53·621.

*53·63.

*53·631.

*53·64.

*53·641.

*54. КАРДИНАЛЬНЫЕ ПАРЫ.

Резюме *54.

Пары бывают двух видов, а именно: (1) , в которых нет порядка между и , и (2) , в которых есть порядок. Мы можем различать эти два вида пар как кардинальные и ординальные соответственно, поскольку (как будет показано далее) класс всех пар вида (где ) есть кардинальное число 2, в то время как класс всех пар вида (где ) есть ординальное число 2, которому, ради различия, мы присваиваем символ «», где суффикс «» означает «реляционный», поскольку ординал 2 является классом отношений. В настоящем и последующих номерах мы определим 2 и как классы кардинальных и ординальных пар соответственно, оставляя на более поздний этап доказательство того, что 2 и , определенные таким образом, являются соответственно кардинальным и ординальным числом. Ординальная пара будет также называться упорядоченной парой или парой с направлением. Таким образом, пара с направлением — это пара, в которой один элемент является первым, а другой — вторым.

Мы вводим здесь кардинальное число 0, определенное как . То, что 0, определенное таким образом, является кардинальным числом, будет доказано на более позднем этапе; в настоящее время мы откладываем доказательство того, что 0, определенное таким образом, обладает арифметическими свойствами нуля.

Кардинальные пары гораздо менее важны, даже в кардинальной арифметике, чем ординальные пары, которые будут рассмотрены в двух следующих номерах (*55 и *56). Однако необходимо доказать некоторые свойства кардинальных пар, и это будет сделано в настоящем номере. Некоторые свойства кардинальных пар, которые уже были доказаны, повторяются здесь для удобства ссылок. Определения 0 и 2 таковы:

*54·01.

*54·02.

Большинство предложений настоящего номера, за исключением тех, которые лишь воплощают определения (*54·1·101·102), используются очень редко. Ниже приведены одни из наиболее важных.

*54·26.

*54·3.

*54·4.

*54·53.

*54·56.

*54·01.

*54·02.

*54·1.

*54·101.

*54·102.

Два следующих предложения уже встречались в *51, но повторяются здесь, поскольку они относятся к предмету настоящего номера.

*54·21.

*54·22.

*54·25.

Док.

*54·26.

Док.

*54·27.

*54·271.

Док.

*54·3.

Док.

*54·4.

Док.

Это предложение показывает, что класс, содержащийся в паре, является либо нулевым классом, либо единичным классом, либо самой парой, откуда следует, что 0 и 1 — единственные числа, которые меньше 2.

*54.41.

Док.

*54·411.

*54·42.

Док.

*54·43.

Док.

Из этого предложения будет следовать, когда будет определено арифметическое сложение, что 1 + 1 = 2.

*54·44.

Док.

*54·441.

Док.

Это предложение используется в *163·42, в теории отношений взаимно исключающих отношений.

*54·442.

*54·443.

*54·45.

*54·451.

*54·452.

*54·46.

*54·5.

Док.

*54·51.

Док.

*54·52.

*54·53.

Док.

*54·531.

Док.

*54·54.

Док.

В вышеприведенном предложении «» гарантирует, что имеет не более двух членов, в то время как «» гарантирует, что имеет не менее двух членов.

*54·55.

Док.

*54·56.

Док.

В силу этого предложения класс, который не является ни нулевым, ни единичным, ни парой, содержит по крайней мере три различных члена. Отсюда будет следовать, что любое кардинальное число, отличное от 0, 1 или 2, равно или больше 3. Вышеприведенное предложение используется в *104·43, которая является теоремой существования, имеющей значительную важность в кардинальной арифметике.

*54·6.

Док.

Вышеприведенное предложение полезно при работе с множествами пар, образованных из одного члена класса и одного члена класса , где и не имеют общих членов. Оно используется в теории кардинального умножения (*113·148).

*55. ОРДИНАЛЬНЫЕ ПАРЫ.

Резюме *55.

Ординальные пары, которые теперь будут рассмотрены, гораздо важнее, даже в кардинальной арифметике, чем кардинальные пары. Их свойства отчасти аналогичны свойствам кардинальных пар, но отчасти также и свойствам единичных классов; ибо они являются наименьшими существующими отношениями, точно так же как единичные классы являются наименьшими существующими классами. Свойства, аналогичные свойствам единичных классов, не требуют, чтобы два члена пары были различными, т.е. они справедливы как для , так и для (где ); с другой стороны, свойства, аналогичные свойствам кардинальных пар, в общем случае требуют, чтобы два члена ординальной пары были различными.

Обозначение громоздко и не позволяет нам легко представить пару как дескриптивную функцию от для аргумента , или наоборот. Поэтому мы вводим новый символ «» для пары. В паре мы будем называть референтом пары, а — релятумом. В силу определений в *38, это порождает два отношения, и ; следовательно, мы получаем обозначения , , , и так далее, которые будут широко использоваться в дальнейшем. Следует заметить, что означает класс ординальных пар, в которых является референтом, а член является релятумом, в то время как или обозначает класс пар, имеющих в качестве релятума и член в качестве референта; обозначает все такие классы пар, как , где y — любой член ; и в силу *40·7, обозначает все ординальные пары, референтом которых является член , в то время как релятум является членом . Это очень важный класс, который будет использован для определения произведения двух кардинальных чисел; ибо очевидно, что число членов есть произведение числа членов и числа членов .

Первые несколько предложений настоящего номера являются непосредственными следствиями определения и обозначений, введенных в *38. Затем мы переходим к различным элементарным свойствам отношения , из которых наиболее используемыми являются следующие:

*55·13.

*55·15.

*55·16.

*55·202.

Это предложение следует противопоставить *54·22 как дающее одну из причин, почему ординальные пары более полезны в арифметике, чем кардинальные пары. В силу вышеприведенного предложения, когда две ординальные пары идентичны, их референты идентичны, и их релятумы идентичны.

Далее мы переходим к различным свойствам отношений и . Эти отношения играют большую роль в арифметике. Следует заметить, что если два члена имеют отношение , то референт является парой, чей релятум есть релятум в отношении , т.е. когда мы имеем , мы имеем (ср. *55·122). Аналогичные замечания применимы к отношению . Класс , состоящий из всех пар, чей референт является членом , в то время как релятум есть , важен. Мы имеем

*55·232.

Это предложение часто бывает полезным.

Далее мы переходим (*55·3—·51) к изложению различных свойств , которые аналогичны свойствам единичных классов. Среди наиболее важных из этих свойств — следующие:

*55·3.

Это аналог *51·31.

*55·34.

Это аналог *51·4.

*55·5.

Это аналог *54·4.

Затем мы переходим к таким свойствам ординальных пар, которые не являются аналогичными свойствам единичных классов. Для связи кардинального числа 2 с ординальным числом мы имеем предложение

*55·54.

Это предложение показывает, что единственными асимметричными отношениями, которые имеют данную кардинальную пару в качестве своего поля, являются две соответствующие ординальные пары и . Далее у нас есть набор предложений об относительных произведениях пар и других отношений, т.е. о , и . Эти предложения очень полезны в арифметике. Главным из них является

*55·61.

Наконец, у нас есть четыре предложения, которые по своему предмету относятся к *43, но не могли быть приведены там, поскольку доказательства используют ординальные пары.

*55·01.

*55·02.

Это определение служит лишь для избежания скобок.

*55·1.

*55·11.

*55·12.

*55·121.

*55·122.

*55·123.

*55·13.

Док.

*55·132.

*55·134.

*55·14.

*55·15.

*55·16.

Док.

Вышеприведенное предложение важно и будет часто использоваться.

*55·161.

Док.

*55·17.

*55·2.

Док.

*55·201.

*55·202.

Док.

Вышеприведенное предложение важно.

*55·21.

*55·22.

*55·221.

*55·222.

Док.

*55·223.

*55·224.

Док.

*55·23.

*55·231.

*55·232.

Док.

*55·233.

Вышеприведенные два предложения часто бывают полезны в арифметике.

*55·24.

Док.

*55·241.

*55·25.

Док.

*55·251.

Это предложение используется в теории кардинального умножения (*113·142).

*55·26.

*55·261.

*55·262.

*55·27.

*55·28.

*55·281.

*55·282.

*55·283.

*55·29.

*55·291.

*55·292.

Следующие предложения, вплоть до *55·51 включительно, дают свойства ординальных пар, которые аналогичны свойствам единичных классов.

*55·3.

Первая половина этого предложения является аналогом *51·2; подобно этому предложению, она дает средство сведения предложений к форме включений. Для второй половины сравните *51·31.

*55·31.

Это предложение является аналогом *51·23.

Док.

*55·32.

Док.

*55·33.

*55·34.

Док.

*55·341.

Док.

*55·35.

Док.

*55·36.

Док.

*55·37.

Док.

Следующее предложение является аналогом *51·232.

*55·4.

*55·41.

Док.

Вышеприведенное предложение является аналогом *51·234. Следующее предложение (*55·42) является аналогом *51·235.

*55·42.

Док.

*55·43.

Это предложение является аналогом *51·41.

Док.

*55·431.

Док.

*55·44.

Док.

Вышеприведенное предложение является аналогом *51·43.

*55·5.

Док.

Вышеприведенное предложение является аналогом *54·4.

*55·51.

Док.

В остальной части настоящего номера мы рассматриваем свойства ординальных пар, которые не имеют аналогов для единичных классов.

*55·52.

*55·521.

*55·53.

Док.

*55·54.

Док.

*55·57.

*55·571.

*55·572.

*55·573.

*55·58.

*55·581.

*55·582.

*55·583.

Вышеприведенные предложения часто бывают полезны в арифметике. Их использование возникает следующим образом. Пусть , , , будут классами, из которых коррелирован с посредством отношения , а с посредством отношения . Тогда если , пара, состоящая из коррелята и коррелята , есть (, т.е. , согласно вышесказанному, , т.е. (. Таким образом, отношение коррелирует пары в и , составленные из коррелятов членов в и . Наиболее полезная на практике форма *55·583 — это та, что приведена ниже в *55·61.

*55·6.

*55·61.

*55·62.

Док.

*55·621.

Четыре следующих предложения относятся к *43, но включены здесь, поскольку доказательство использует *55·13.

*55·63.

Док.

*55·631.

*55·632.

Док.

*55·64.

*56. ОРДИНАЛЬНОЕ ЧИСЛО .

Резюме *56.

В этом номере мы должны рассмотреть класс тех отношений, каждое из которых образовано единственной парой. В случае, если два члена этой пары не идентичны, класс таких отношений есть (как будет показано позже) ординальное число 2, которое, чтобы отличить его от кардинального числа 2, мы обозначаем «». (Здесь суффикс призван намекать на «реляционный».) Класс всех отношений, состоящих из единственной пары, без ограничения, что два члена пары должны быть различными, будет обозначаться «». Это не ординальное число. Следует заметить, что не существует ординального числа 1, поскольку ординальные числа применяются к рядам, а ряды должны иметь более одного члена, если они вообще имеют какие-либо члены. Это станет более ясным, когда мы перейдем к рассмотрению рядов.

Свойства во многом аналогичны свойствам 1, в то время как свойства более аналогичны свойствам 2.

Большинство предложений настоящего номера редко упоминаются в дальнейшем, но те ссылки, которые встречаются, важны. Наиболее полезными предложениями в настоящем номере являются следующие.

*56·111.

*56·112.

*56·113.

Заметьте, что «» означает «отношения, поля которых имеют два члена».

*56·13.

*56·37.

Т.е. есть класс асимметричных отношений, поля которых имеют два члена.

*56·381.

*56·39.

Т.е. отношения, которые являются парами, чей референт и релятум идентичны, — это отношения, поля которых состоят из единственного члена.

*56·01.

*56·02.

*56·03.

*56·1.

*56·101.

Док.

*56·102.

Док.

*56·103.

Док.

*56·104.

*56·11.

*56·111.

Док.

*56·112.

Док.

*56·113.

Док.

*56·114.

*56·12.

Док.

*56·121.

*56·122.

*56·13.

Док.

можно было бы определить как ординальное число 1, поскольку это то, что мы будем называть числом отношения (ср. *153). Но мы хотим, чтобы наши ординальные числа были классами серийных отношений, и такие отношения обладают свойством содержаться в разнообразии. Следовательно, если бы мы определили как ординальное число 1, мы бы ввели утомительное исключение, из-за которого в ординальную арифметику были бы внесены тривиальные осложнения. Поэтому мы не приняли этот путь.

*56·14.

Док.

*56·141.

*56·15.

Док.

*56·151.

*56·16.

Док.

*56·17.

Док.

*56·18.

Док.

*56·19.

Док.

*56·191.

*56·2.

*56·21.

*56·22.

*56·24.

*56·25.

*56·26.

Это предложение является аналогом *52·4.

Док.

*56·261.

Док.

*56·262.

Док.

*56·27.

Док.

*56·28.

Док.

*56·281.

Док.

*56·29.

Док.

*56·3.

Док.

Шаги от (2) к заключению аналогичны шагам от (2) в *56·29 к заключению *56·29. Аналогичные шаги в последующих доказательствах будут лишь указаны, как выше.

*56·31.

*56·32.

Док.

*56·33.

Док.

*56·34.

Док.

*56·35.

Док.

*56·36.

Док.

Следующее предложение, помимо использования в *56·38, используется в элементарной теории рядов (*204·463).

*56·37.

*56·38.

Док.

Это предложение важно, поскольку устанавливает связь между кардинальным и ординальным 2. Оно показывает, что ординальное 2 состоит из тех асимметричных отношений, поля которых имеют (кардинально) 2 члена. Оно используется в теории вполне упорядоченных рядов (*250·44).

Следующее предложение, помимо использования в *56·39, используется в арифметике отношений (*165·38) и в теории рядов (*205·4).

*56·381.

Док.

*56·39.

Док.

Это предложение устанавливает связь между и 1, показывая, что есть класс тех отношений, поля которых состоят из единственного члена. Оно используется в обсуждении и и в качестве чисел отношений (*153·301).

*56·4.

Док.

Это предложение является аналогом *53·23. Оно используется в номере о возведении в степень в арифметике отношений (*176·19).

РАЗДЕЛ B. ПОДКЛАССЫ, ПОДОТНОШЕНИЯ И ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ.

Резюме Раздела B.

В этом разделе мы сначала рассматриваем классы, содержащиеся в данном классе, и отношения, содержащиеся в данном отношении. Если — любой класс, классы, содержащиеся в , являются членами ; они также называются подклассами , или (иногда) «частями» . В этом последнем употреблении они называются «собственными частями», когда они не коэкстенсивны с , эта фраза образована по аналогии с «правильными дробями». Подклассы — это все классы, которые могут быть образованы из членов ; они представляют собой то же самое, что «комбинации» членов , взятые по любому числу за раз. Если — число членов , — число подклассов , независимо от того, является ли конечным или бесконечным. Число подклассов всегда больше числа членов . В силу этих и других предложений класс подклассов данного класса является важной функцией класса. Если класс есть , мы обозначаем класс его подклассов через «». Это дескриптивная функция, производная от отношения «», определенного следующим образом:

Подотношения данного отношения — это все отношения, содержащиеся в данном отношении, т.е. все отношения, которые имплицируют данное отношение для всех возможных аргументов. То есть, если — данное отношение, есть подотношение , если . Таким образом, обозначая класс подотношений через «», мы должны иметь ; следовательно, мы принимаем в качестве определения «» следующее: Подотношения обладают свойствами, аналогичными свойствам подклассов, но они несколько менее важны. Следует, однако, заметить, что когда один ряд содержится в другом, т.е. получен путем выбора некоторых членов другого ряда без изменения их порядка, то порождающее отношение одного ряда является подотношением порождающего отношения другого ряда. (Неверно, что подотношение порождающего отношения ряда должно порождать содержащийся ряд, ибо его поле может распасться на отдельные части или иным образом перестать быть серийным.)

Мы также рассмотрим в этом разделе (*62) отношение принадлежности к классу, т.е. отношение, которое имеет к , когда . Это отношение относится к «» так же, как «» относится к «». Строго говоря, мы должны были бы ввести для него новое обозначение, положив (скажем) . Но поскольку , в отличие от «», является буквой и может удобно использоваться отдельно, представляется более желательным, с точки зрения избежания ненужного дублирования символов, положить . Строго говоря, это определение ошибочно, поскольку оно придает два разных значения «». Но практически это не имеет значения, поскольку вышеприведенное определение дает , где первое имеет только что определенное значение, в то время как второе имеет старое значение. Таким образом, все, что действительно требуется от вышеприведенного определения, а именно придание значения формулам, в которых встречается без референта или релятума, достигается без опасности какой-либо путаницы, которая могла бы привести к ошибкам.

Главная важность как отношения проистекает из того факта, что отношения, содержащиеся в , играют очень важную роль в арифметике. Возьмем, например, задачу выбора одного члена из каждого члена класса классов: в этом случае нам требуется выбирающее отношение , которое таково, что всякий раз, когда , является членом , т.е. такое, что . (Это условие — лишь часть определения выбирающего отношения; полное определение дано в *80.)

Три номера в этом разделе (*63, *64, *65) посвящены обсуждению относительных типов. Данная переменная , мы часто хотим определить относительные типы других переменных или двусмысленных символов, встречающихся в том же контексте; то есть мы хотим выразить типы этих других символов через тип . Мы используем «» для типа , «» для типа, в котором содержится . Тогда , и . Также мы вводим обозначение (*65) для придания типической определенности, относительно , типически двусмысленным символам. Это обозначение очень полезно в кардинальной и ординальной арифметике, поскольку числа типически двусмысленны, и неспособность принять во внимание этот факт привела к противоречиям относительно наибольшего кардинала и наибольшего ординала.

*60. ПОДКЛАССЫ ДАННОГО КЛАССА.

Резюме *60.

Наши определения в этом номере таковы:

*60·01.

Это определяет отношение к классу класса всех его подклассов.

*60·02.

Это определяет отношение к классу класса всех его существующих подклассов, т.е. всех его подклассов, кроме . Это часто требуется, как, например, в формулировке аксиомы Цермело: «Дан любой класс , существует отношение такое, что, если — любой существующий подкласс , является членом », т.е. . Эта аксиома, или ее эквивалент, мультипликативная аксиома, играет (как будет показано далее) важную роль в качестве гипотезы для многих предложений в кардинальной арифметике.

*60·03.

— это класс, членами которого являются классы.

*60·04.

— это класс, членами которого являются классы, членами которых являются классы, т.е. — это класс классов классов.

Помимо предложений, которые лишь воплощают определения, наиболее полезными предложениями в этом номере являются следующие:

*60·3.

*60·32.

*60·34.

*60·362.

Т.е. и — единственные подклассы единичного класса .

*60·5.

*60·57.

*60·6.

Предложения этого номера главным образом полезны в кардинальной и ординальной арифметике, но применения встречаются также в теории рядов; почти никаких применений не встречается до кардинальной арифметики.

*60·01.

*60·02.

*60·03.

*60·04.

*60·1.

*60·11.

*60·12.

*60·13.

*60·14.

*60·15.

*60·2.

*60·21.

*60·22.

*60·23.

*60·24.

*60·3.

*60·31.

*60·32.

Док.

*60·321.

Док.

*60·33.

Мы пишем «» справа, чтобы указать, что рассматриваемый имеет более высокий тип, чем слева.

Док.

*60·34.

*60·35.

*60·36.

*60·361.

*60·362.

*60·37.

Док.

*60·371.

Док.

*60·38.

Док.

*60·39.

*60·391.

Это предложение используется в теории непрерывности функций (*234·202).

*60·4.

*60·41.

Следующее предложение используется в теории вполне упорядоченных рядов (*250·14).

*60·42.

*60·43.

*60·44.

Следующее предложение требуется в теории «первых разностей» (*170·65).

*60·45.

Док.

*60·5.

Док.

*60·501.

Док.

Вышеприведенное предложение используется в теории кардинального умножения (*115·17).

*60·51.

Следующее предложение используется в кардинальной теории конечного и бесконечного (*124·541).

*60·52.

*60·53.

Док.

*60·54.

*60·55.

Док.

*60·56.

Следующее предложение используется часто.

*60·57.

Док.

*60·6.

Следующее предложение используется в связи с кардинальным умножением и с «больше» и «меньше» (*115·17 и *117·66).

*60·61.

*60·62.

*60·7.

Док.

*60·71.

*60·72.

*61. ПОДОТНОШЕНИЯ ДАННОГО ОТНОШЕНИЯ.

Сводка *61.

Предложения этого раздела (за исключением того, что *61·371·372·373 несовершенно соответствуют *60·371) являются аналогами предложений с той же десятичной частью в *60. Доказательства опущены, поскольку они в точности аналогичны доказательствам в *60. В дальнейшем встречается очень мало ссылок на предложения этого раздела.

*61·01.

*61·02.

*61·03.

*61·04.

*61·1.

*61·11.

*61·12.

*61·13.

*61·14.

*61·15.

*61·2.

*61·21.

*61·22.

*61·23.

*61·24.

*61·3.

*61·31.

*61·32.

*61·321.

*61·33.

*61·34.

*61·35.

*61·36.

*61·361.

*61·362.

*61·37.

*61·371.

*61·372.

*61·373.

*61·38.

*61·39.

*61·391.

*61·4.

*61·41.

*61·42.

*61·43.

*61·44.

*61·5.

*61·501.

*61·51.

*61·52.

*61·53.

*61·54.

*61·55.

*61·56.

*61·6.

Аналог *60·61 не приводится, поскольку у нас нет подходящего обозначения для его выражения.

*61·62.

*61·7.

*62. ОТНОШЕНИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ К КЛАССУ.

Сводка *62.

Когда в *20 определялось «», оно было определено как пропозициональная функция; и такой способ определения был необходим, поскольку мы должны были рассматривать эту функцию до рассмотрения отношений. Однако для многих целей желательно рассматривать как отношение, так что «» становится частным случаем обозначения «». Это требует, строго говоря, изменения значения «», но это изменение не делает ложным ни одно из предыдущих предложений, в которых встречается «»; ибо если мы назовем новое значение «», т.е. если мы положим

Следовательно, на практике нет необходимости в новом обозначении для нового значения, и мы просто пишем Это определение, хотя и строго неверное, рекомендуется ввиду его удобства и того факта, что оно не может привести к каким-либо вредным путаницам. Новое значение может быть принято как заменяющее старое на протяжении всей оставшейся части этой работы.

Использование предложений настоящего раздела встречается почти исключительно в теории выборок из класса классов (*83, *84, *85 и *88). Такие выборки осуществляются посредством селективных отношений, часть определения которых состоит в том, что они содержатся в . Отсюда и использование настоящего раздела. Если есть класс классов, из которого должна быть сделана выборка, то селективное отношение фактически будет содержаться в ; отсюда свойства становятся важными. Некоторые из этих свойств приведены в *62·4 и далее.

Наиболее важными предложениями настоящего раздела являются следующие:

*62.2.

*62.231.

*62.26.

*62.3.

*62.42.

*62·43.

*62·55.

*62·01.

*62·1.

В вышеприведенном предложении первое имеет вновь определенное значение, в то время как второе имеет старое значение. В силу вышеприведенного предложения новое значение может быть подставлено вместо старого во всех доказанных до сих пор предложениях, касающихся , и может занять место старого значения во всем последующем.

*62·2.

Док.

*62·21.

Таким образом, состоит из классов, членом которых является .

*62·22.

Док.

*62·23.

Док.

*62·231.

*62·24.

Док.

*62·25.

Док.

*62·26.

Док.

*62·3.

Док.

*62·31.

Заметим, что, поскольку не является однородным отношением, т.е. таким, в котором референт и релатум принадлежат к одному и тому же типу, строго бессмысленно. Ибо если мы имеем , то два имеют разные значения и, следовательно, не дают должным образом . Но удобно допустить , при условии, что двусмысленность должна определяться по-разному для двух множителей в произведении , а именно: второе должно делать и референт, и релатум принадлежащими к следующему типу выше того, к которому они соответственно принадлежат для первого .

Док.

*62·32.

*62·33.

Док.

Использование *20·41 в вышеприведенном доказательстве зависит от того факта, что является лишь сокращением для выражения вида .

*62·34.

Док.

*62·4.

Отношение очень важно в кардинальной арифметике в связи с проблемой выбора из членов , т.е. извлечения одного члена из каждого из членов . Отношение, которое должно осуществить этот выбор, должно содержаться в . Отсюда и использование настоящего раздела.

*62·41.

Док.

*62·42.

Док.

*62·43.

Док.

*62·44.

Док.

*62·45.

Док.

Это предложение полезно в теории выборок. Оно используется в доказательстве *83·27, а отсюда и *83·28.

*62·5.

Док.

*62·51.

Док.

*62·52.

Док.

*62·53.

*62·54.

*62·55.

Док.

*62·56.

Док.

*62·57.

Док.

*63. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ КЛАССОВ.

Сводка *63.

Обозначения, введенные в этом и двух следующих разделах, служат для выражения типа одной переменной через тип другой. Они очень полезны в арифметике, где необходимо учитывать типы, чтобы избежать противоречий. Два главных обозначения — «» для типа, в котором содержится , и «» для типа, членом которого является . Мы полагаем

*63·02.

Это определяет «тип членов » или «тип, который является того же типа, что и ». Характеристика типа состоит в том, что если есть тип, то мы имеем , и наоборот, если , то есть тип. Ибо в этом случае «» истинно всякий раз, когда оно значимо, т.е. всякий раз, когда принадлежит к типу, который является областью значимости в «». Следовательно, есть эта область значимости, т.е. есть тип.

Поскольку мы имеем , отсюда следует, что есть тип. Это не «тип », а «тип членов ». (В случае если пусто, «тип членов » может быть истолкован как означающий «тип, к которому принадлежит , когда «» значимо».) «Тип », т.е. тип, членом которого является , определяется следующим образом:

*63·01.

Согласно сказанному выше, «» — это тип членов , т.е. тип . Объединяя определения и , мы получаем Таким образом

Короче говоря, состоит из всего, что идентично или не идентично , то есть каждого , для которого существует такое предложение, истинное или ложное, как «». Мы пишем «» здесь вместо «», потому что не обязательно должно быть классом и фактически не подлежит никаким ограничениям, тогда как «» не значимо, если не является классом, и поэтому мы пишем «» скорее, чем «».

Мы полагаем также

*63·011.

Это определение служит лишь для того, чтобы привести обозначение в соответствие с и типами, определенными ниже.

В силу *20·8 мы имеем , т.е. если «» значимо, то область значимости функции есть тип . Отсюда следует, что две области значимости, которые перекрываются, идентичны, и две разные области значимости не имеют общего члена.

Будет видно, что всегда на один тип выше, чем тип , а (если есть класс классов) на один тип ниже, чем тип . Мы полагаем

*63·03.

так что есть тип, следующий непосредственно за тем, в котором содержится . Таким образом, если есть класс классов индивидов, то есть класс индивидов. Мы полагаем также

*63·04.

*63·041.

*63·05.

*63·051.

Таким образом, имея любые два объекта, которые являются членами любого из следующего: тип , тип классов, к которым принадлежит , тип классов, к которым принадлежат эти классы, и так далее, мы можем выразить тип любого из наших двух объектов посредством его отношения к другому объекту.

Предложения этого и двух следующих разделов вряд ли когда-либо будут использоваться, пока мы не перейдем к кардинальной арифметике. Они постоянно используются в первом разделе по кардинальной арифметике, и они постоянно актуальны в первом разделе по арифметике отношений. Более того, они обычно требуются для теорем существования кардинальных и ординальных чисел.

Среди наиболее полезных предложений настоящего раздела — следующие:

*63·103.

*63·105.

*63·11.

Т.е. если либо является, либо не является членом , то тип есть тип, который содержит . Это предложение использует *20·8.

*63·13.

Т.е. если существует какая-либо функция, удовлетворяемая как , так и , то есть типа . Для использования этого предложения необходимо, чтобы, если является типически двусмысленной функцией, она получала одно и то же типическое определение для и для . Например, мы всегда имеем и ; но мы не должны рассматривать их как значения одной функции , потому что такая функция типически двусмысленна. С другой стороны, и являются значениями одной функции , потому что здесь наличие делает функцию типически определенной.

*63·15.

*63·19.

*63·16.

Это предложение, которое зависит от *63·11, а отсюда от *20·8 и *13·3, а отсюда от *9·14·15, является жизненно важным для всей теории типов.

*63·32.

*63·371.

*63·383.

Мы будем иметь в общем , где мы можем считать суффиксы отрицательными индексами, так что или в зависимости от того, что больше, или .

*63·5.

Это предложение используется постоянно.

*63·51.

*63·52.

*63·53.

Вышеприведенные четыре предложения, вместе с четырьмя аналогичными (*63·54·55·56·57), дают преобразования, которые позволяют нам выразить любое отношение типа, как между классом и членами, или членами членов и т.д., которое может встретиться на практике.

*63·64.

Это предложение часто используется в первом разделе по кардинальной арифметике.

*63·66.

*63·01.

*63·011.

*63·02.

*63·03.

*63·04.

*63·041.

*63·05.

*63·051.

*63·1.

*63·101.

*63·102.

*63·103.

*63·104.

*63·105.

*63·106.

*63·107.

Док.

*63·108.

*63·109.

*63·11.

Док.

*63·12.

Док.

*63·13.

*63·14.

*63·15.

*63·151.

*63·152.

*63·16.

Док.

*63·17.

*63·18.

*63·181.

Док.

*63·182.

*63·19.

Док.

*63·191.

*63·2.

Док.

*63·21.

Док.

*63·22.

Док.

*63·23.

Предложения того же рода, что и выше, могут быть очевидно распространены на и т.д.

*63·3.

Док.

*63·31.

Док.

Заметим, что использование *10·221 в вышеприведенном доказательстве зависит от того факта, что встречается как в (2), так и в (3), так что оба они имеют форму .

*63·32.

*63·321.

Док.

*63·33.

*63·34.

Док.

*63·35.

*63·36.

*63·361.

*63·37.

*63·371.

Док.

*63·38.

Док.

*63·381.

Док.

*63·382.

*63·383.

Док.

*63·384.

*63·39.

*63·391.

Док.

*63·392.

Док.

*63·4.

Док.

*63·41.

Док.

*63·42.

*63·43.

*63·44.

Очевидно, что аналоги вышеприведенных предложений будут справедливы для и , и и т.д. Мы не будем доказывать эти аналоги, но если возникнет необходимость, мы будем предполагать их, ссылаясь на соответствующие предложения для и .

*63·5.

Док.

*63·51.

Док.

*63·52.

Док.

*63·53.

Док.

*63·54.

Док.

*63·55.

*63·56.

Док.

*63·57.

*63·61.

*63·62.

Док.

*63·621.

*63·63.

Док.

*63·64.

Док.

*63·65.

*63·66.

*63·661.

*63·67.

*63·68.

*64. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТИПЫ ОТНОШЕНИЙ.

Сводка *64.

В настоящем разделе мы вводим обозначения, определяющие тип отношения относительно типов его области и области обратного отношения, когда эти типы даны относительно некоторого фиксированного класса . Если есть какое-либо отношение, оно того же типа, что и . Если и оба того же типа, что и , то того же типа, что и , которое того же типа, что и . Тип мы называем , а тип мы называем , и тип мы называем , и тип мы называем , и тип мы называем . Таким образом, у нас есть средство выражения типа любого отношения через тип , при условии, что типы области и области обратного отношения даны относительно .

Наиболее полезными предложениями настоящего раздела являются следующие:

*64·16.

*64·201.

*64·231.

Здесь «» будет значимо только в том случае, если и являются однородными отношениями, что не требуется остальной частью предложения. Когда и являются однородными отношениями, мы имеем

*64·24.

Это предложение полезно при связывании ординальных и кардинальных теорем существования.

*64·312.

*64·5.

Это предложение часто используется. Оно утверждает, что класс отношений, чьи референты являются типа членов , в то время как их релатумы являются типа членов (т.е. класс всех отношений, содержащихся в ) есть тип , и также есть тип .

*64·55.

*64·57.

Предложения настоящего раздела по большей части очевидны, хотя формальные доказательства иногда найти не очень легко. Использование предложений этого раздела встречается главным образом в первом разделе по арифметике отношений и в доказательствах теорем существования в ординальной арифметике и теории отношений.

*64.01.

*64.011.

*64.012.

*64.013.

*64.014.

*64.02.

*64.021.

*64.022.

*64.03.

*64.031.

*64.04.

*64.041.

*64.1.

Док.

*64.11.

*64.12.)

Док.

*64·13.

*64·14.

*64·15.

*64·16.)

Док.

Подставляя (где и есть некоторые индекс и суффикс, которые были определены) вместо и вместо , вышеприведенные предложения дают результаты, применимые к любому из типов, определенных в начале этого раздела, из-за .

*64·2.

*64·201.

Док.

*64·21.)

Док.

*64·22.

*64·23.

Док.

*64·231.

Док.

*64·24.

Это предложение значимо только тогда, когда и являются однородными отношениями.

Док.

*64·3.

Док.

*64·31.

*64·311.

*64·312.

*64·313.

*64·32.

Док.

Аналогично доказываются другие эквивалентности.

*64·33.

Док.

Аналогично доказываются другие эквивалентности.

*64·34.

*64·5.

*64·51.

*64·52.

*64·53.

Док.

Это предложение используется в связи с кардинальным сложением (*110·18).

*64·54.

*64·55.

Док.

*64·56.

Док.

*64·57.

*64·6.

Док.

*64·61.

Док.

*64·62.

Док.

*64·63.

Док.

*65. О ТИПИЧЕСКОМ ОПРЕДЕЛЕНИИ ДВУСМЫСЛЕННЫХ СИМВОЛОВ.

Сводка *65.

В этом разделе мы имеем дело с определениями и предложениями, в которых двусмысленный символ определяется как принадлежащий к некоторому назначенному типу. Если «» — это двусмысленный символ, представляющий класс (например, или ), «» должно обозначать то, чем становится , когда его члены определены как принадлежащие к типу , в то время как «» обозначает то, чем становится , когда его члены определены как принадлежащие к типу . Таким образом, например, «» будет всем, что того же типа, что и , т.е. ; будет . Аналогично, если «» означает отношение двусмысленного типа, такое как или , будет обозначать то, чем становится , когда его область ограничена типом ; будет обозначать то, чем становится , когда его область и область обратного отношения ограничены соответственно типами и ; будет иметь область и область обратного отношения, ограниченные соответственно типами и ; с аналогичными значениями для и . На протяжении всего этого раздела и не означают собственные переменные, а являются типически двусмысленными символами.

Обозначения настоящего раздела используются в элементарных частях теории кардинальных и ординальных чисел, т.е. в Части III, Раздел A, и в Части IV, Раздел A. Единственное предложение, однако, которое часто используется, — это

*65·13.

Здесь предполагается, что является типически двусмысленным символом. Первая эквивалентность, «», просто воплощает определение (*65·01). Именно вторая эквивалентность является важной. Давайте, для иллюстрации, подставим 1 вместо . Тогда мы должны иметь (Поскольку 1 — это класс классов, нам придется предположить, что есть класс.) Рассмотрим . Если , . Но мы имеем . Следовательно , откуда . Также если , конечно . Таким образом . Обратная импликация следует из *22·621. Причина этого предложения заключается в том, что символ, такой как «1», если он встречается в таком предложении, как , должен для значимости быть определен как означающий ту 1, которая того же типа, что и , т.е. класс всех единичных классов, которые того же типа, что и члены . И аналогично, когда мы пишем , это не означает, что есть класс всех единичных классов, а только то, что это класс всех единичных классов соответствующего типа, который, если , будет . Предложение «» истинно всякий раз, когда оно значимо, но типически определено, когда дано , тогда как 1 типически двусмысленно. Использование вышеприведенного предложения заключается в том, что оно позволяет нам подставлять типически определенные символы вместо тех, которые являются типически двусмысленными.

Другое полезное предложение — это

*65·2.

Здесь предполагается, что является типически двусмысленным символом; предложение утверждает, что если типически определено как идущее от объектов типа к объектам типа , то должно идти от объектов типа к объектам типа . Это предложение используется только дважды (*102·3 и *154·2), но оба использования имеют большое значение, одно в кардинальной, а другое в ординальной арифметике.