Единственное другое предложение этого раздела, которое используется впоследствии, — это
*65·3.
Это предложение используется в *102·84.
*65·01.
*65·02.
*65·03.
*65·04.
*65·1.
*65·11.
*65·12.
*65·13.
Док.
*65·14.
*65·15.
*65·16.
*65·2.
Док.
*65·21.
Док.
*65·22.
Это и следующие три предложения доказываются так же, как доказывается *65·21.
*65·23.
*65·24.
*65·25.
*65·3.
Док.
РАЗДЕЛ C. ОДНО-МНОГИЕ, МНОГО-ОДНИ И ОДНО-ОДНИ ОТНОШЕНИЯ.
Сводка Раздела C.
В настоящем разделе мы должны рассмотреть три очень важных класса отношений, использование которых в арифметике постоянно. Одно-многое отношение — это отношение , такое что, если есть какой-либо член , существует один и только один член , который имеет отношение к , т.е. . Таким образом, отношение отца к сыну является одно-многим, потому что у каждого сына есть один отец и не более. Отношение мужа к жене является одно-многим, за исключением стран, практикующих полиандрию. (Оно является одно-многим как в моногамных, так и в полигамных странах, потому что, согласно определению, ничего не зафиксировано относительно количества релатумов для данного референта, и там может быть только один релатум для каждого данного референта, не переставая быть одно-многим согласно определению.) Отношение в алгебре к является одно-многим, но отношение к таковым не является, потому что существуют два разных значения , которые дают одно и то же значение .
Когда отношение является одно-многим, существует всякий раз, когда , и наоборот; т.е. мы имеем
Таким образом, отношения, которые дают дескриптивные функции, существующие всякий раз, когда их аргументы принадлежат к областям обратных отношений в рассматриваемых отношениях, являются одно-многими отношениями. Следовательно, , , , , , , , , , , , , , , , , , — все они являются одно-многими отношениями.
Когда есть одно-многое отношение, есть однозначная функция; наоборот, каждая однозначная функция выводима из одно-многого отношения. Многозначная функция от есть член , где не является единичным классом, и любой из его членов рассматривается как значение функции для аргумента y; но однозначная функция от — это единственный член , который получается, когда является одно-многим. Таким образом, например, синус в нашем обозначении выглядел бы как отношение, т.е. мы должны были бы положить , так что «» имеет обычное значение . Тогда вместо , мы имели бы , что было бы классом значений ; и вместо «», которое является вводящим в заблуждение обозначением, потому что и не подразумевают , мы имели бы . Аналогичные замечания применимы к любой из других функций, которые встречаются в анализе.
Отношение называется много-одним, когда, если есть какой-либо член , существует один и только один член , к которому имеет отношение , т.е. . Таким образом, много-одни отношения являются обратными к одно-многим отношениям. Когда отношение является много-одним, существует всякий раз, когда .
Отношение называется одно-одним, когда оно является одновременно одно-многим и много-одним, или, что сводится к тому же, когда и оно, и его обратное являются одно-многими. Из перечисленных выше одно-многих отношений , , , , , , являются одно-одними.
Два класса , называются подобными, когда существует одно-одное отношение , такое что , т.е. когда их члены могут быть соединены один к одному, так что ни один член ни одного из них не опущен или не повторен. Мы пишем «» для «подобен ». Когда два класса подобны, кардинальные числа их членов одинаковы; именно этот факт делает одно-одные отношения фундаментально важными в кардинальной арифметике.
Согласно вышесказанному, отношение является одно-многим, когда
Аналогично, отношение является много-одним, когда и отношение является одно-одним, когда выполнены оба условия. Классы , , которые здесь появляются, часто важны; некоторые из их свойств уже были даны в *37·77·771·772·773 и в *53·61 — *53·641.
Удобно рассматривать одно-многое, много-одное и одно-одное отношения как частные случаи отношений, которые для некоторых данных и имеют
Следовательно, без нового определения «» становится классом одно-одных отношений; также, как будет показано, «» становится классом одно-многих отношений, и «» становится классом много-одных отношений. Хотя главным образом эти три специальных значения важны, мы начнем с общего изучения классов отношений вида .
*70. ОТНОШЕНИЯ, ЧЬИ КЛАССЫ РЕФЕРЕНТОВ И РЕЛАТУМОВ ПРИНАДЛЕЖАТ К ДАННЫМ КЛАССАМ.
Сводка *70.
Если и — два данных класса классов, отношение называется принадлежащим к классу , если всякий раз, когда , и всякий раз, когда . Если должно быть наложено только одно из этих условий, этот результат достигается заменой класса, участвующего в другом условии, на «», поскольку «» всегда истинно, как и «», и поэтому ни одно из них не накладывает никакого ограничения на . В наиболее важных случаях и являются либо кардинальными числами, либо одно из них является кардинальным числом, а другое — .
В силу *37·702·703, вышеупомянутые условия, наложенные на посредством принадлежности к , эквивалентны
Эта форма используется в определении (*70·01).
Предложения настоящего раздела почти никогда не используются, за исключением *71, где и оба заменены на или . Наиболее полезные предложения — это
*70·1.
(Это просто воплощает определение.)
*70·13.
*70·22.
*70·4.
*70·41.
*70·42.
*70·54.
с аналогичными предложениями для и .
*70·62.
с аналогичным предложением для .
*70·01.
*70·1.
*70·11.
*70·12.
*70·13.
Док.
*70·14.
*70·15.
*70·16.
*70·17.
Док.
*70·171.
*70·18.
*70·2.
Док.
*70·21.
Док.
*70·22.
Док.
*70·3.
Док.
*70·31.
Док.
*70·32.
Док.
*70·4.
Док.
*70·41.
*70·42.
*70·43.
*70·431.
*70·44.
*70·441.
*70·45.
*70·451.
*70·46.
*70·461.
*70·47.
*70·471.
*70·48.
*70·481.
*70·5.
*70·51.
Док.
*70·52.
*70·53.
Док.
*70·54.
Док.
*70·55.
*70·56.
*70·57.
Док.
*70·6.
Док.
*70·61.
*70·62.
Док.
*70·63.
*71. ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫЕ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫЕ И ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНЫЕ ОТНОШЕНИЯ.
Сводка *71.
В этом параграфе мы рассмотрим более элементарные свойства одно-многозначных, много-однозначных и взаимно однозначных отношений. Эти свойства весьма многочисленны и важны. Свойства много-однозначных отношений (т.е. отношений, принадлежащих классу ) следуют из свойств одно-многозначных отношений посредством *70·5, откуда вытекает, что много-однозначные отношения являются обратными к одно-многозначным. Таким образом, для получения свойства много-однозначного отношения из свойства одно-многозначного отношения достаточно поменять местами и , и , и . Либо мы можем повторить различные шаги любого доказательства, производя указанные перестановки на каждом шаге, в результате чего получится аналогичное предложение. По этой причине в дальнейшем мы будем опускать все доказательства свойств много-однозначных отношений, ограничиваясь доказательством аналогичных свойств одно-многозначных отношений.
В силу *70·42 взаимно однозначные отношения (т.е. отношения, принадлежащие классу ) — это отношения, которые являются одновременно одно-многозначными и много-однозначными; следовательно, их свойства вытекают из объединения свойств одно-многозначных и много-однозначных отношений. Мы будем опускать доказательства, если они состоят лишь из таких комбинаций.
Одно-многозначное отношение порождает дескриптивную функцию, которая существует всякий раз, когда её аргумент принадлежит области значений обратного отношения. То есть, если , мы имеем , когда . И наоборот, если для аргумента существует дескриптивная функция , то является одно-многозначным в той мере, в какой это касается данного аргумента, т.е. . Таким образом, мы находим
Дескриптивная функция , производная от одно-многозначного отношения , имеет, таким образом, определённое значение всякий раз, когда , и не имеет его в противном случае. Следовательно, класс аргументов, для которых существует такая функция, есть область значений обратного отношения, порождающего эту функцию, т.е. , и обратная импликация также справедлива.
Часто случается, что отношение, которое в общем случае не является одно-многозначным, становится таковым, когда его область определения, область значений обратного отношения или поле подвергаются некоторому ограничению. Например, пусть будет отношением «родитель — ребёнок», — класс мужчин, а — класс женщин. Тогда не является одно-многозначным, но и являются одно-многозначными, и, фактически, ( = отец ), ( = мать ). Нам часто придётся иметь дело с отношениями, полученными путём ограничений, наложенных на или ; так, принадлежит классу и имеет в качестве своей области определения. Класс может быть устроен так, что только одно отношение удовлетворяет этому условию; в этом случае . Поскольку , мы находим . Этот тип условия, или , или , часто встречается в последующей работе. Другое условие, которое часто встречается, — это . Когда это условие выполняется, член , принадлежащий полю одного отношения из класса , не принадлежит полю никакого другого отношения этого класса, т.е. поля отношений этого класса взаимно исключают друг друга.
Для целей наглядного представления свойств одно-многозначных отношений часто удобно изображать их структуру, как на прилагаемом рисунке.
Здесь , , , ... образуют область определения , и все точки в овале, помеченном , таковы, что имеет отношение к каждой из них, с аналогичными условиями для и . То, что характеризует как , — это отсутствие перекрытий в овалах. Ибо если бы и имели общую точку, она была бы релятумом как для , так и для , и оба и были бы референтами к ней; тогда как в ни один член не имеет более одного референта.
Приведённый выше рисунок иллюстрирует очень важное свойство одно-многозначных отношений, а именно
На приведённом выше рисунке есть отношение тождества, ограниченное , , , .... Если бы не было , мы могли бы иногда перейти от к некоторому члену из по отношению , а оттуда обратно к по отношению . Но когда , должно вернуть нас в точку, с которой мы начали.
Когда , каждый из овалов , , , ... на приведённом выше рисунке сжимается в единственную точку, так что . Таким образом, когда задано как , оно будет , если . Это предложение постоянно используется, как и следствие, что есть , если . (Эти предложения суть *71·54·55 ниже.)
Гипотеза эквивалентна гипотезе (ср. *71·17 ниже), а гипотеза эквивалентна
Для многих целей это наиболее удобные гипотезы для использования.
Наиболее полезными предложениями в настоящем параграфе являются следующие. (Мы опускаем здесь предложения, касающиеся или , которые являются лишь аналогами предложений, касающихся .)
*71·16.
Это даёт связь одно-многозначных отношений с дескриптивными функциями. Мы имеем также
*71·163.
Для многих константных отношений, определяемых время от времени, таких как или , полезно следующее предложение:
*71·166.
*71·17.
Это могло бы быть принято в качестве определения одно-многозначных отношений, если бы мы не хотели вывести их из более общего понятия . При доказательстве того, что отношение является одно-многозначным, *71·17 используется чаще, чем любое другое предложение.
*71·22.
*71·25.
*71·36.
*71·381.
(Это предложение полезнее, чем соответствующее свойство )
*71·55.
Это предложение используется постоянно. Например, подставляя вместо , оно даёт
Большинство отношений, используемых для установления корреляций в арифметике, получаются из одно-многозначного отношения, такого как , путём наложения некоторого ограничения на область значений обратного отношения, которое делает отношение взаимно однозначным.
*71·571.
Здесь « » есть , которое уже сыграло большую роль в качестве гипотезы, например, в *37·6 и сл.
*71·7.
Таким образом, например, мы будем иметь .
*71·01.
*71·02.
*71·03.
*71·04.
*71·1.
*71·101.
*71·102.
*71·103.
*71·11.
*71·111.
*71·112.
*71·12.
*71·121.
*71·122.
*71·13.
*71·131.
*71·132.
*71·14.
*71·141.
*71·142.
*71·15.
*71·151.
*71·152.
*71·16.
Док.
Это предложение очень важно; оно показывает связь дескриптивных функций с одно-многозначными отношениями.
*71·161.
*71·162.
*71·163.
Док.
*71·164.
*71·165.
*71·166.
Док.
*71·167.
*71·168.
*71·17.
Это предложение постоянно используется в дальнейшем.
Док.
*71·171.
*71·172.
*71·18.
Док.
*71·181.
*71·182.
*71·19.
Док.
*71·191.
*71·192.
*71·2.
*71·21.
Док.
*71·211.
*71·212.
*71·22.
Док.
*71·221.
*71·222.
*71·223.
*71·224.
*71·225.
*71·23.
*71·231.
*71·232.
*71·233.
Док.
*71·234.
*71·235.
*71·24.
*71·241.
*71·242.
*71·243.
*71·244.
Док.
*71·245.
*71·25.
Док.
*71·251.
*71·252.
*71·25 может быть также выведено из *70·6 следующим образом:
Альтернативное док. *71·25.
Аналогично, *71·251 может быть выведено из *70·61.
*71·26.
*71·261.
*71·27.
*71·271.
*71.28.
*71·281.
*71·29.
*71·31.
*71·311.
*71·312.
*71·32.
*71·321.
*71·33.
Док.
*71·331.
*71·332.
*71·333.
*71·34.
*71·341.
*71·35.
Док.
*71·351.
*71·352.
*71·36.
Док.
*71·361.
*71·362.
*71·37.
Док.
*71·371.
*71·38.
Док.
*71·381.
*71·4.
*71·401.
*71·41.
*71·411.
*71·42.
*71·421.
*71·43.
*71·431.
*71·44.
*71·441.
*71·45.
Док.
*71·451.
*71·46.
Док.
*71·461.
*71·47.
Док.
*71·471.
*71·48.
Док.
*71·481.
Следующее предложение используется в теории производных ряда (*216·411).
*71·49.
Док.
*71·491.
Это предложение используется в теории производных ряда (*216·4) и в теории порядковых чисел (*251·11).
*71·5.
Док.
*71·501.
*71·51.
Док.
*71·511.
*71·52.
Док.
*71·521.
*71·53.
Док.
*71·531.
*71·532.
*71·54.
Это предложение и следующее (*71·55) используются очень часто.
Док.
*71·55.
Док.
*71·56.
Док.
*71·561.
*71·57.
Док.
*71·571.
Док.
*71·572.
*71·58.
Док.
*71·59.
Док.
Следующее предложение используется в теории выборок (*80·91).
*71·6.
Док.
*71·61.
Док.
*71·611.
*71·612.
*71·613.
*71·613 используется в теории рядов (*206·6) и в теории «подобия положения» (*272·131).
*71·7.
Док.
*71·701.
*72. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ, КАСАЮЩИЕСЯ ОДНО-МНОГОЗНАЧНЫХ, МНОГО-ОДНОЗНАЧНЫХ И ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНЫХ ОТНОШЕНИЙ.
Сводка *72.
В этом параграфе мы докажем различные предложения, включающие , или , но не воплощающие фундаментальные свойства этих классов отношений.
Настоящий параграф начинается с различных предложений (*72·1 — ·191), показывающих, что различные специальные отношения являются одно-многозначными или взаимно однозначными. Наиболее полезными из них являются
*72·182.
*72·184.
Далее у нас идёт набор предложений, касающихся , когда и являются одно-многозначными, или , когда является взаимно однозначным, и смежных вопросов. Наиболее полезным из них является
*72·241.
Далее у нас идёт набор предложений (*72·3 — ·341), касающихся произведений и сумм классов отношений; из них наиболее часто используемым является
*72·32.
которое является расширением *71·24.
Далее у нас идёт набор предложений (*72·4 — ·481), дающих различные отношения и , когда , или и , когда . Более полезными предложениями этого набора являются те, которые имеют гипотезу ; они иногда полезны в арифметике. Мы имеем
*72·401.
*72·411.
Например, отношение сына к отцу является много-однозначным. Пусть = члены кабинета министров, = глупцы; тогда, предполагая , отсюда следует, что сыновья членов кабинета министров и сыновья (мужчин-)глупцов не имеют общего члена. Если мы сделаем отношение сына к родителю (которое не является много-однозначным), то уже не следует, что сыновья членов кабинета министров и сыновья глупцов не имеют общего члена.
Мы имеем
*72·451.
Смысл этого предложения в том, что если и оба содержатся в , и , то (используя ).
Далее у нас есть набор предложений, касающихся отношений и ( , или, что сводится к тому же, обстоятельств, при которых и при которых . Мы имеем
*72·502.
Таким образом, например, отцы детей мудрых отцов являются классом мудрых отцов; но отцы детей мудрых родителей не все мудры, и родители детей мудрых родителей не все мудры — первое потому, что « » не выполняется, второе потому, что « » не выполняется.
Мы имеем также
*72·52.
Далее у нас идёт набор предложений (*72·59 — ·66), в которых встречается относительное произведение , если , или , если . Наиболее полезные предложения в этом наборе:
*72·591.
*72·601.
*72·66.
Это «принцип абстракции». Он показывает, что каждое отношение, обладающее формальными свойствами равенства, т.е. которое является транзитивным и симметричным, равно относительному произведению много-однозначного отношения на его обратное; т.е. всякий раз, когда отношение выполняется между и , существует член такой, что , где есть много-однозначное отношение; и *72·64 показывает, что этот член может быть взят как , которое равно . Этот принцип воплощает большую часть оснований для наших определений различных видов чисел; при поиске этих определений мы всегда имеем, для начала, некоторое транзитивное симметричное отношение, которое мы рассматриваем как тождество числа; таким образом, согласно *72·64, желаемые свойства чисел рассматриваемого вида обеспечиваются принятием числа объекта за класс объектов, к которым данный объект имеет рассматриваемое транзитивное симметричное отношение. Именно таким образом мы приходим к определению кардинальных чисел как классов классов, а порядковых чисел — как классов отношений.
Оставшиеся предложения этого параграфа менее важны, за исключением
*72·92.
Это предложение показывает, что каждое отношение, содержащееся в одно-многозначном отношении, может быть получено ограничением области значений обратного отношения. Так, например, каждое отношение, содержащееся в отношении отца к сыну, может быть специфицировано путём спецификации класса сыновей, которые должны быть его областью значений обратного отношения; ибо тогда все отцы этих сыновей должны быть включены, чтобы обеспечить референты. Но если мы возьмём отношение родителя и ребёнка, которое не является одно-многозначным или много-однозначным, содержащееся отношение не является детерминированным даже тогда, когда заданы и его область определения, и область значений обратного отношения; ибо отношение может соотносить некоторых детей в любой семье с отцом, а некоторых — с матерью, и до тех пор, пока все дети и оба родителя связаны каждый с кем-то данным отношением, область определения и область значений обратного отношения остаются неизменными при перестановках внутри семьи.
*72·1.
Док.
*72·11.
Док.
*72·12.
*72·121.
Док.
*72·13.
*72·131.
*72·132.
*72·14.
Это предложение применимо к очень многим отношениям, с которыми нам приходится иметь дело, например , , , , , , , и т.д.
*72·15.
В *72·16 ниже имеет значение, определённое в *40·01, и не представляет собой переменную пропозицию. Аналогично, s в *72·161 имеет значение, определённое в *40·02.
*72·16.
Док.
*72·161.
*72·162.
*72·163.
*72·17.
Док.
*72·18.
*72·181.
*72·182.
Док.
*72·184.
*72·185.
*72·19.
*72·191.
*72·192.
*72·193.
*72·2.
Док.
*72·201.
*72·202.
*72·21.
Док.
*72·211.
*72·22.
Док.