«Principia Mathematica, том 1»

*33·04.

Мы обнаружим, что . будет отношением отношения к его области определения, будет классом отношений, имеющих в качестве своей области определения. Подобные замечания применимы к и . Поле отношения особенно важно в связи с рядами.

Предложения этого номера постоянно используются на протяжении остальной части работы. Идеи области определения, области значений и поля очень общие и имеют несколько различные применения для отношений разных видов. Рассмотрим сначала вид отношения, который порождает дескриптивную функцию . Для этого мы требуем, чтобы существовало всякий раз, когда есть что-либо, имеющее отношение к , т.е. чтобы никогда не было более одного члена, имеющего отношение к данному члену . В этом случае значения , для которых существует, будут составлять «область значений» , т.е. , а значения, которые принимает для различных значений , будут составлять «область определения» , т.е. . Таким образом, область значений есть класс возможных аргументов для дескриптивной функции , а область определения есть класс всех значений функции. Так, например, если — отношение квадрата целого числа к , то =квадрат , при условии, что есть целое число. В этом случае есть класс целых чисел, а есть класс полных квадратов. Или, опять же, предположим, что — отношение жены к мужу; тогда =жена , =женатые мужчины, =замужние женщины. В таких случаях поле обычно имеет мало значения; и если значения функции не того же типа, что и ее аргументы, т.е. если отношение не является гомогенным, поле бессмысленно. Так, например, если — гомогенное отношение, и не являются гомогенными, и поэтому «» и «» бессмысленны.

Давайте далее предположим, что — вид отношения, который порождает ряд, скажем, отношение «меньше» к «больше» среди целых чисел. Тогда = все целые числа, которые меньше какого-либо другого целого числа = все целые числа, = все целые числа, которые больше какого-либо другого целого числа = все целые числа, кроме 0. В этом случае = все целые числа, которые либо больше, либо меньше какого-либо другого целого числа = все целые числа. В общем, если порождает ряд, = все элементы ряда, кроме последнего (если таковой имеется), = все элементы ряда, кроме первого (если таковой имеется), и = все элементы ряда. В этом случае «» выражает тот факт, что есть элемент ряда. Таким образом, когда порождает ряд, становится важным, и отношение, вероятно, будет полезным.

У нас будет повод иметь дело со многими отношениями, имеющими некоторые свойства рядов, и со многими предложениями, которые, хотя и важны только в связи с сериальными отношениями, справедливы гораздо более широко. В таких случаях поле отношения, вероятно, будет важным. Так, в разделе об индукции (Часть II, Раздел E), где мы готовим путь для построения сериальных отношений посредством некоторого вида несериального отношения, и на протяжении всей арифметики отношений (Часть IV), поля отношений будут встречаться постоянно. Но в более ранних частях работы именно области определения и области значений встречаются главным образом.

Среди более важных свойств областей определения, областей значений и полей, которые доказаны в настоящем номере, являются следующие.

Мы всегда имеем , , (*33·12·121·122). (Последнее из них, однако, значимо только тогда, когда — гомогенно.)

*33·13.

*33·131.

*33·132.

*33·14.

*33·16.

*33·2·21·22. Область значений отношения есть область определения его конверса, область определения отношения есть область значений его конверса, а поле отношения есть поле его конверса.

*33·24.

*33·4.

с соответствующими предложениями (*33·41·42) для и .

*33·43.

*33·431.

*33·5.

*33·51.

Доказательства предложений, касающихся и , обычно аналогичны доказательствам для , и поэтому часто опускаются.

*33·01.

*33·02.

*33·03.

*33·04.

*33·1.

*33·101.

*33·102.

*33·103.

*33·11.

*33·111.

*33·112.

*33·12.

*33·121.

*33·122.

*33·123.

*33·124.

*33·125.

*33·13.

*33·131.

*33·132.

*33·14.

Док.

*33·15.

Док.

*33.151.

*33·152.

*33·16.

Док.

*33·161.

*33·17.

*33·18.

Док.

*33·181.

Док.

*33·182.

Если — вид отношения, который порождает ряд, так что «» может быть прочитано как « предшествует », то есть условие того, что ряд может не иметь последнего члена, поскольку оно утверждает, что каждый член, который следует за каким-либо членом, предшествует какому-то другому члену, и поэтому не является последним в ряду.

*33·2.

Док.

*33·21.

*33·22.

Док.

*33·24.

Док.

*33·241.

*33·25.

Док.

*33·251.

*33·252.

*33·26.

Док.

*33·261.

*33·262.

*33·263.

Док.

*33·264.

*33·265.

*33·27.

Док.

*33·271.

*33·272.

*33·28.

Док.

*33·29.

*33·3.

Док.

*33·31.

Три следующих предложения используются в теории выборок (*80, *83 и *85). Второе из них также используется в теории большего и меньшего (*117) и в теории транзитивных отношений (*201).

*33·32.

Конверс этого предложения не является истинным.

Док.

*33·33.

*33·34.

Док.

*33·35.

Док.

*33·351.

*33·352.

Док.

Два следующих предложения (*33·4·41) используются очень часто.

*33·4.

Док.

*33·41.

*33·42.

Док.

*33·43.

Док.

*33·431.

Док.

*33·432.

Док.

*33·44.

Док.

*33·45.

Заметьте, что согласно нашим соглашениям относительно обозначающих выражений, область действия как , так и в вышеприведенном есть «», и должно иметь большую область действия.

Док.

*33·46.

*33·47.

Док.

*33·48.

*33·5.

Док.

*33·51.

полезна в порядковой арифметике, где мы имеем дело с рядом, порожденным отношением, и «» выражает тот факт, что является членом этого ряда. Вышеприведенные два предложения (*33·5·51) будут широко использоваться в Части IV, где мы рассматриваем основы порядковой арифметики, но в других местах на них будут ссылаться нечасто.

*33·6.

Док.

*33·61.

*33·62.

*34. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ОТНОШЕНИЙ.

Сводка *34.

Относительным произведением двух отношений и является отношение, которое имеет место между и , когда существует промежуточный член , такой что имеет отношение к , а имеет отношение к . Так, например, относительное произведение «брата» и «отца» есть «дядя по отцу»; относительное произведение «отца» и «отца» есть «дед по отцу»; и так далее. Относительное произведение и обозначается через «»; определение таково:

*34·01.

Это определение значимо только тогда, когда и принадлежат к одному и тому же типу.

Относительное произведение и называется квадратом ; мы полагаем

*34·02.

*34·03.

Наиболее полезными предложениями в настоящем параграфе являются следующие:

*34·2.

Т.е. конверс относительного произведения получается путем превращения каждого множителя в его конверс и изменения порядка множителей на обратный.

*34·21.

Т.е. относительное произведение подчиняется ассоциативному закону.

*34·25.

*34·26.

Т.е. относительное произведение подчиняется дистрибутивному закону по отношению к логической сумме отношений. (Для логического произведения вместо логической суммы мы получаем лишь включение вместо тождества; ср. *34·23·24.)

*34·34.

*34·36.

*34·41.

*34·01.

*34·02.

*34·03.

*34·1.

*34·11.

Док.

*34·12.

*34·2.

Док.

*34·202.

Док.

*34·203.

*34·21.

Док.

*34·22.

Это определение служит исключительно для избежания скобок.

*34·23.

Док.

Конверс вышеприведенного не является истинным.

*34·24.

*34·25.

Док.

*34·26.

Вышеприведенные две формы дистрибутивного закона и ассоциативный закон (*34·21) являются единственными из обычных формальных законов, которые справедливы для относительного произведения. Коммутативный закон, в частности, в общем случае не выполняется.

*34·27.

Док.

*34·28.

*34·29.

Док.

При доказательстве равенства двух отношений, скажем и , мы обычно сначала устанавливаем утвержденное предложение вида

Затем мы переходим посредством *11·11 (вместе с *11·3 во втором случае) к , откуда результат следует посредством *21·43. В будущем мы будем опускать эти шаги и писать «» после того, как установим . Аналогичный пропуск будет делаться при доказательстве равенства классов.

*34·3.

Док.

*34·301.

*34·302.

Док.

*34·31.

Док.

*34·32.

*34·33.

Док.

*34·34.

Док.

*34·35.

Док.

*34·351.

*34·36.

Док.

Следующее предложение является леммой для *95·31.

*34·361.

Док.

*34·37.

*34·38.

*34·4.

Док.

*34·41.

Док.

Вышеприведенное предложение перестает быть истинным, если мы заменим гипотезу на , поскольку ( может существовать, когда не существует. Предположим, например, что есть отношение ребенка к отцу, а — отношение дочери к отцу. Тогда ( = внучка , но = дочь ребенка . Первое существует всякий раз, когда у имеет только одну внучку, в то время как второе требует дополнительно, чтобы у имел только одного ребенка.

По той же причине мы не имеем . Это будет верно, если , — отношения «один-многие» (ср. *71), но в общем случае — нет.

*34·42.

Док.

*34·5.

*34·51.

Док.

*34·52.

*34·53.

*34·531.

*34·54.

Док.

*34·55.

*34·56.

*34·6.

Док.

*34·62.

Док.

Вышеприведенное предложение является леммой для *160·51, как и *34·73, в котором используется вышеприведенное предложение.

*34·63.

Док.

*34·7.

Док.

Таким образом, всегда является симметричным отношением, т.е. таким, которое равно своему конверсу.

*34·701.

*34·702.

Док.

*34·703.

*34·73.

Док.

*34·8.

Док.

Гипотеза вышеприведенного предложения — это гипотеза о том, что является симметричным () и транзитивным (). Это формальные свойства тех отношений, которые могут быть подходящим образом рассмотрены как выражающие равенство в каком-либо отношении.

*34·81.

Следующие предложения являются леммами для *34·85, которое используется в *72·64:

*34·82.

Док.

*34·83.

Док.

*34·84.

Док.

*34·841.

Док.

*34·85.

*35. ОТНОШЕНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ОБЛАСТЯМИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБЛАСТЯМИ ЗНАЧЕНИЙ.

Сводка *35.

В этом разделе мы должны рассмотреть отношение, производное от данного отношения путем ограничения либо его области определения, либо его области значений членами некоторого заданного класса. Отношение с областью определения, ограниченной членами , записывается как «»; с областью значений, ограниченной членами , оно записывается как «»; с обоими ограничениями оно записывается как «». Так, например, «брат» и «сестра» выражают одно и то же отношение (отношение общего происхождения), с областью определения, ограниченной в первом случае мужчинами, во втором — женщинами. «Отношение белых работодателей к цветным наемным работникам» — это отношение, ограниченное как по области определения, так и по области значений. Мы полагаем

*35·01.

с аналогичными определениями для и .

Особо важным случаем является случай, в котором одно и то же ограничение накладывается на область определения и на область значений, т.е. когда мы имеем отношение вида «». В этом случае ограничение членами может быть более кратко сформулировано как наложенное на поле. Для этого случая удобно принять «» в качестве альтернативного обозначения. Этот случай будет рассмотрен в *36.

Удобно рассмотреть в настоящей связи отношение между и , которое образуется тем, что x является членом , а y является членом . Это отношение будет обозначаться через «». Таким образом, мы полагаем

*35·04.

Главная важность отношений с ограниченными полями возникает в теории рядов. Дан ряд, порожденный отношением , пусть будет класс, состоящий из части этого ряда. Тогда есть поле отношения или , и именно это отношение является порождающим отношением ряда членов в том же порядке, который они имеют как части исходного ряда. Таким образом, части ряда, рассматриваемые не просто как классы, а как ряды, рассматриваются посредством сериальных отношений с ограниченными полями.

Отношения с ограниченными областями определения используются далеко не так часто, как отношения с ограниченными областями значений. Отношения с ограниченными областями значений играют большую роль в арифметике, особенно при установлении формальных законов. Что требуется в таких случаях, так это взаимно-однозначное отношение, коррелирующее два класса или два ряда. То есть мы хотим такое отношение, чтобы не только существовало всякий раз, когда , но также существовало всякий раз, когда . Род отношения, который чаще всего оказывается осуществляющим такую корреляцию, — это некое отношение, такое как или или , или какое-либо другое постоянное отношение, для которого мы всегда имеем , с областью значений, настолько ограниченной, что при условии этого ограничения только одно значение дает любое заданное значение . Так, например, пусть будет класс отношений, никакие два из которых не имеют одну и ту же область определения; тогда даст взаимно-однозначную корреляцию этих отношений с их областями определения: если , , мы будем иметь . Мы также будем иметь и . Более того, область значений есть , а область определения есть класс областей определения членов . Таким образом, дает взаимно-однозначную корреляцию с областями определения членов . Именно такими способами отношения с ограниченными областями значений являются полезными.

Для целей ссылки в настоящем параграфе приводится большое количество предложений, но предложения, которые будут использоваться часто, сравнительно немногочисленны. Среди них следующие:

*35·21.

*35·31.

*35·354.

Т.е. в относительном произведении не имеет значения, ограничиваем ли мы область значений первого множителя или область определения второго.

*35·412.

*35·452.

*35·48.

*35·52.

*35·61.

*35·64.

*35·65.

Гипотеза выполняется в подавляющем большинстве случаев, в которых мы имеем повод использовать .

*35·66.

*35·7.

Это предложение используется очень часто, благодаря тому факту, что ограничение области значений главным образом применяется к таким отношениям, которые порождают дескриптивные функции (например, , ).

*35·71.

Это предложение полезно по причине, сходной с той, которая делает *35·7 полезным.

*35·82.

Благодаря этому предложению свойства могут быть выведены из уже доказанных свойств , путем полагания .

Отношение «» — это то, что можно назвать «анализируемым» отношением, т.е. оно имеет место между и y, когда и , т.е. когда имеет свойство, независимое от , а имеет свойство, независимое от .

*35·85.

*35·86.

Если либо , либо является пустым, то таковым является и (*35·88).

*35·01.

*35·02.

*35·03.

*35·04.

*35·05.

Последнее определение служит исключительно для избежания скобок.

*35·1.

*35·101.

*35·102.

*35·103.

*35·11.

Док.

*35·12.

Док.

*35·13.

Док.

*35·14.

*35·15.

Док.

*35·16.

*35·17.

*35·18.

*35·21.

Док.

*35·22.

Док.

*35·23.

*35·24.

*35·25.

*35·26.

Док.

*35·27.

*35·31.

Док.

*35·32.

*35·33.

*35·34.

*35·35.

Док.

*35·351.

*35·352.

*35·354.

Док.

*35·41.

*35·412.

*35·413.

*35·42.

*35·421.

*35·422.

*35·43.

Док.

*35·431.

*35·432.

*35·44.

Док.

*35·441.

*35·442.

*35·451.

Док.

*35·452.

*35·453.

*35·454.

*35·46.

Док.

*35·461.

*35·462.

*35·471.

Док.

*35·472.

*35·473.

*35·474.

*35·48.

Док.

*35·481.

*35·51.

Док.

*35·52.

*35·53.

*35·61.

Док.

*35·62.

*35·63.

Док.

*35·64.

*35·641.

*35·642.

*35·643.

*35·644.

*35·65.

*35·66.

*35·671.

Док.

*35·672.

*35·68.

Док.

*35·7.

Это предложение очень часто используется в последующих частях работы.

Док.

*35·71.

Док.

*35·75.

Док.

*35·76.

Док.

Остальная часть этого параграфа, вплоть до *35·93 включительно, касается , за исключением *35·81·812.

*35·81.

*35·812.

*35·82.

Док.

*35·822.

Док.

*35·83.

Док.

*35·831.

Док.

*35·832.

*35·834.

Док.

*35·84.

*35·85.

Док.

*35·86.

*35·87.

Док.

*35·88.

*35·881.

Док.

*35·882.

*35·89.

Док.

*35·891.

Док.

*35·892.

*35·895.

*35·9.

Док.

*35·91.

Док.

*35·92.

*35·93.

Док.

*35·931.

*35·932.

*35·94.

*35·941.

*35·942.

*36. ОТНОШЕНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ПОЛЯМИ.

Сводка *36.

В этом параграфе мы имеем дело с частным случаем, в котором одно и то же ограничение накладывается на область определения и область значений отношения. В этом случае тот же результат достигается путем наложения ограничения на поле. Удобно иметь возможность рассматривать как дескриптивную функцию от или от , что мы обеспечиваем обозначением , откуда, как будет объяснено в *38, и будут оба означать . Если есть сериальное отношение, и , «» будет означать «члены , расположенные в порядке, определяемом », или, как мы можем кратко назвать это, « в -порядке». определяется следующим образом:

*36·01.

Таким образом, мы имеем

*36·13.

Большинство предложений, касающихся , требуют, чтобы имело по крайней мере некоторые из характеристик сериального отношения. Следовательно, предложения, касающиеся , которые могут быть приведены в настоящем параграфе, по большей части не являются наиболее полезными предложениями, касающимися . Наиболее полезными предложениями в настоящем параграфе являются следующие:

*36·25.

*36·29.

*36·3.

*36·33.

*36·01.

*36·11.

*36·13.

Следующие предложения получены из предложений *35 посредством *36·11, на которое, поскольку оно используется в каждом случае, больше не ссылаются.

*36·2.

*36·201.

*36·202.

*36·203.

*36·21.

*36·22.

Док.

*36·23.

*36·24.

*36·241.

*36·25.

Док.

*36·26.

*36·27.

*36·28.

*36·29.

*36·3.

Док.

*36·31.

*36·32.

*36·33.

*36·34.

*36·35.

*36·4.

Док.

*37. МНОЖЕСТВЕННЫЕ ДЕСКРИПТИВНЫЕ ФУНКЦИИ.

Сводка *37.

В этом параграфе мы вводим то, что можно рассматривать как множественное число от . «» было определено как означающее «член, который имеет отношение к ». Теперь мы вводим обозначение «» для обозначения «члены, которые имеют отношение к членам ». Таким образом, если есть класс великих людей, а есть отношение жены к мужу, будет означать «жены великих людей». Если есть класс дробей вида для целых значений , а есть отношение «меньше чем», будет классом дробей, каждая из которых меньше некоторого члена этого класса дробей, т.е. будет классом правильных дробей. В общем, есть класс тех референтов, которые имеют релаты, являющиеся членами .

Нам также требуется обозначение для отношения к . Это отношение мы назовем . Таким образом, есть отношение, которое имеет место между двумя классами и , когда состоит из всех членов, которые имеют отношение к некоторому члену .

Особо важный случай возникает, когда всегда существует, если . В этом случае есть класс всех членов вида , когда . Мы обозначим гипотезу о том, что всегда существует, если , обозначением , означающим «существуют 'ы 'ов».

Определения таковы:

*37·01.

*37·02.

*37·03.

Это определение служит исключительно для избежания скобок. Без него «» было бы двусмысленным между ( и , которые не равны. Во всех случаях, когда встречается суффикс, мы будем принимать ту же конвенцию, т.е. мы всегда будем полагать

*37·04.

Таким образом, состоит из всех классов, которые имеют отношение к некоторому члену . значимо только тогда, когда есть класс классов относительно членов области значений ; в этом случае есть класс классов относительно членов области определения .

*37·05.

Здесь символ «» должен рассматриваться как целое, т.е. мы не должны рассматривать его как делающий утверждение о . Если , мы не должны предполагать, что сможем поставить «», что было бы бессмыслицей, точно так же, как «» является бессмыслицей, даже когда и .

Обозначение , введенное в настоящем параграфе, чрезвычайно полезно и воплощает очень важную идею. Его использование несколько различается в зависимости от рода рассматриваемого отношения. Рассмотрим сначала род отношения, который ведет к дескриптивной функции, скажем . Если есть класс отношений, есть класс областей определения этих отношений. В этом случае есть класс, каждый из членов которого имеет вид , где . Далее, обозначим через «» отношение к ; тогда, если мы обозначим через «» класс кардинальных чисел, будет обозначать все числа, которые являются результатом умножения кардинального числа на , т.е. все кратные . Так, например, будет классом четных чисел. Если есть корреляция между двумя классами и , т.е. отношение такое, что если , существует и является членом , в то время как обратно, если , существует и является членом , тогда , и мы можем рассматривать как преобразование, применяемое к каждому члену и порождающее член . Именно посредством таких преобразований два класса показываются подобными, т.е. имеющими одно и то же (кардинальное) число членов.

В случае сериальных отношений полезность обозначения несколько иная. Предположим, например, что есть отношение «меньше» к «больше» среди вещественных чисел. Тогда, если есть любой класс вещественных чисел, будет сегментом вещественных чисел, определяемым , т.е. классом вещественных чисел, которые меньше предела или максимума . В любом ряду, если есть класс, содержащийся в ряду, и есть порождающее отношение ряда, есть сегмент, определяемый . Если имеет либо предел, либо максимум, скажем , будет . Но если не имеет ни предела, ни максимума, будет тем, что мы можем назвать «иррациональным» сегментом ряда. Мы увидим на более позднем этапе, что вещественные числа могут быть отождествлены с сегментами ряда рациональных чисел, т.е. если есть отношение «меньше» к «больше» среди рациональных чисел, вещественными числами будут все классы, такие как , для различных значений . Вещественные числа, которые соответствуют рациональным, будут теми, которые являются результатом , имеющего предел или максимум; иррациональные числа будут теми, которые являются результатом , не имеющего ни предела, ни максимума.

Настоящий параграф может быть разделен на различные разделы следующим образом: (1) Во-первых, мы имеем различные элементарные свойства членов, определенных в начале параграфа; этот раздел заканчивается *37·29. (2) Далее мы имеем набор предложений, имеющих дело с относительными произведениями, и с такими символами, как , и так далее. Центральным предложением здесь является

*37·33.

Согласно определению, . Таким образом, . Это связывает предложения, касающиеся таких символов, как , с предложениями, касающимися относительных произведений. Этот второй раздел состоит из предложений от *37·3 до *37·39. (3) Далее мы имеем набор предложений об отношениях с ограниченными областями определения и областями значений. Главными из них являются

*37·401.

*37·412.

*37·41.

Эти предложения об отношениях с ограниченными областями определения и областями значений, вместе с некоторыми другими, естественно связанными с ними, простираются от *37·4 до *37·52. (4) Далее мы имеем ряд очень важных предложений о следствиях гипотезы , т.е. гипотезы о том, что для любого аргумента, который является членом , дает дескриптивную функцию . Главным предложением в этом разделе является

*37·6.

Предложения с гипотезой применяются к случаям и , в которых гипотеза верифицируется. Этот раздел простирается от *37·6 до *37·791. (5) Наконец, мы имеем три предложения об относительном произведении с другими отношениями. Эти предложения полезны в арифметике отношений (Часть IV).

Предложения настоящего параграфа, которые наиболее часто используются в дальнейшем, помимо уже упомянутых, являются следующими (опуская те, которые просто воплощают определения):

*37·15.

*37·16.

*37·2.

*37·22.

*37·25.

*37·26.

*37·265.

*37·29.

*37·32.

*37·45.

*37·46.

*37·61.

Например, пусть есть отношение отца к сыну, класс итонцев, класс богатых людей; тогда «» утверждает «все отцы итонцев богаты», в то время как «» утверждает «если мальчик — итонец, его отец должен быть богат». В силу вышеприведенного предложения эти два утверждения эквивалентны.

*37·62.

*37·63.

*37·01.

*37·02.

*37·03.

*37·04.

*37·05.

*37·1.

*37·101.

*37·102.

*37·103.

*37·104.

*37·105.

*37·106.

Док.

*37·11.

*37·111.

*37·12.

*37·13.

Док.

*37·131.

Док.

*37·14.

Док.

*37·15.

Док.

*37·16.

*37·17.

Док.

*37·171.

Док.

*37·18.

Док.

*37·181.

*37·2.

Док.

Вышеприведенное предложение (*37·2) является одной из форм асиллогистического вывода, принадлежащей учителю Лейбница Юнгиусу. Пример, приведенный Юнгиусом: «Circulus est figura; ergo qui circulum describit, is figuram describit [56]». Здесь класс кругов — наш , класс фигур — наш , а отношение описания — наш .

*37·201.

*37·202.

*37·21.

Док.

*37·211.

*37·212.

*37·22.

Это предложение используется очень часто. Тот факт, что здесь мы имеем тождество, в то время как в *37·21 мы имеем лишь включение, объясняется тем, что *10·42 утверждает эквивалентность, в то время как *10·5 утверждает лишь импликацию.

Док.

*37·221.

*37·222.

*37·23.

*37·231.

Тип «» здесь — это тот тип, члены которого принадлежат к тому же типу, что и . В доказательстве используется конвенция о том, что греческая буква всегда означает выражение вида .

Док.

Как видно из вышеприведенного доказательства, необходимо, когда должно быть доказано предложение, содержащее «», отказаться от обозначения с греческими буквами и вернуться к явному функциональному обозначению.

*37·24.

Док.

*37·25.

Док.

*37·26.

Док.

*37·261.

*37·262.

*37·263.

*37·264.

Док.

*37·265.

Док.

*37·27.

*37·271.

*37·28.

*37·29.

Док.

*37·3.

Док.

*37·301.

*37·302.

*37·31.

Док.

*37·311.

*37·32.

Док.

*37·321.

*37·322.

*37·323.

*37·33.

Док.

*37·34.

Док.

*37·341.

*37·35.

Док.

*37·351.

*37·352.

*37·353.

Док.

*37·354.

*37·355.

*37·36.

*37·37.

*37·371.

Это определение служит исключительно для избежания скобок. Как и *37·03, это определение будет распространено на все суффиксы.

*37·38.

*37·39.

*37·4.

Док.

*37·401.

*37·402.

Док.

*37·41.

*37·411.

Док.

*37·412.

Док.

*37·413.

Док.

*37·42.

*37·421.

*37·43.

Док.

*37·431.

*37·44.

*37·441.

*37·45.

*37·451.

*37·46.

*37·461.

*37·462.

*37·47.

Док.

*37·5.

Док.

*37·501.

Док.

*37·502.

*37·51.

Док.

*37·52.

Следующие предложения, вплоть до *37·7 включительно, касаются особых свойств , которые являются результатом гипотезы , определенной в *37·05. Гипотеза важна, потому что она имеет много следствий и удовлетворяется во многих случаях, с которыми мы хотим иметь дело.

*37·6.

Это предложение очень важно и используется постоянно.

Док.

*37·601.

Док.

*37·61.

Док.

*37·62.

Док.

Вышеприведенное представляет собой тип вывода, о котором Джевонс говорит [57]: «Я помню, как покойный профессор Де Морган заметил, что вся логика Аристотеля не могла доказать, что “поскольку лошадь есть животное, голова лошади есть голова животного”». Следует признать, что это было достоинством логики Аристотеля, поскольку предлагаемый вывод является ошибочным без добавленной посылки «голова рассматриваемой лошади». Например, это неверно для устрицы или гидры. Но с добавлением этого условия вышеприведенное предложение дает важный и распространенный тип асиллогистического вывода.

*37·63.

Док.

Это предложение используется очень часто.

*37·64.

Док.

*37·65.

Док.

*37·66.

Док.

*37·67.

Док.

*37·68.

Док.

*37·69.

Док.

Особо важным случаем является или . Этот случай будет далее изучен позже (в *70); в настоящее время мы приведем лишь несколько предварительных предложений о нем. Можно заметить, что гипотеза или всегда подтверждается в силу *32·12·121. Отсюда следуют применения *37·6 и далее:

*37·7.

*37·701.

*37·702.

*37·703.

*37·704.

*37·705.

*37·706.

*37·707.

*37·708.

*37·709.

*37·71.

*37·711.

*37·712.

*37·713.

*37·72.

Док.

*37·721.

*37·73.

*37·731.

Заметьте, что символы , встречающиеся в этом предложении, будут не все одного типа. Например, если относится к индивидам как к индивидам, то первый будет классом, не содержащим индивидов, в то время как второй и третий будут классом, не содержащим классов. Таким образом, двусмысленность, присущая типу , должна определяться по-разному для различных вхождений в это предложение. В общем случае, когда это происходит с нашими двусмысленными символами, мы будем использовать обозначение, указывающее на этот факт. Но когда двусмысленным символом является , это кажется едва ли стоящим усилий.

*37·74.

Док.

*37·75.

*37·76.

Док.

*37·761.

*37·77.

*37·771.

*37·772.

*37·773.

*37·78.

*37·781.

*37·79.

*37·791.

*37·8.

Док.

*37·81.

*37·82.

СНОСКИ:

[56] Мы цитируем по Кутюра, «La Logique de Leibniz», глава III, § 15 (стр. 75, прим.).

[57] «Principles of Science», глава I (стр. 18 издания 1887 г.).

*38. ОТНОШЕНИЯ И КЛАССЫ, ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ДВОЙНОЙ ДЕСКРИПТИВНОЙ ФУНКЦИИ.

Резюме *38.

Двойная дескриптивная функция — это непропозициональная функция двух аргументов, такая как , , , , , , , . Предложения настоящего параграфа применимы ко всем таким функциям, при условии, что обозначение (как в вышеприведенных примерах) представляет собой функциональный знак, помещенный между двумя аргументами. Чтобы рассмотреть все аналогичные случаи сразу, мы в этом параграфе примем обозначение , где «» означает любой такой знак, как , , , , , , , или любой функциональный знак, который будет определен далее и удовлетворяет условию . Производные отношения и классы, с которыми мы будем иметь дело, можно проиллюстрировать на примере . Отношение к будет записываться как , а отношение к будет записываться как . Таким образом, мы будем иметь . Полезность этого обозначения в основном обусловлена возможностью таких обозначений, как и . Например, возьмем такую фразу, как «иностранные члены английских клубов». Тогда, если мы положим = иностранцы, = английские клубы, мы получим . Или, опять же, пусть будет коническое сечение, а — пучок прямых; тогда . В этом случае, поскольку , мы имеем . Но когда рассматриваемая функция не является коммутативной, это не выполняется. Так, например, мы не имеем .

Обозначения этого параграфа будут часто применяться далее к . В соответствии с тем, что было сказано выше, мы пишем для отношения к , и для отношения к . Следовательно, мы имеем . Следовательно, будет классом отношений, полученных путем взятия членов и их относительного умножения на . Таким образом, если бы было классом отношений «двоюродный брат», «троюродный брат» и т. д., а было отношением родителя к ребенку, то было бы классом отношений «двоюродный брат в первом колене», «троюродный брат в первом колене» и т. д., взятых в смысле, который идет от старшего поколения к младшему.

Часто бывает удобно иметь возможность представить и подобные выражения как дескриптивные функции первого аргумента, а не второго. Для этой цели мы положим с аналогичными обозначениями для других дескриптивных двойных функций. Тогда мы имеем, точно так же, как в случае с , . Это позволяет нам сформировать класс . Этот класс в основном полезен тем, что члены его членов (т. е. , как мы определим это в *40) составляют класс всех произведений, которые могут быть образованы из члена и члена .

Таким образом, мы приходим к трем общим определениям для дескриптивных двойных функций, а именно (если — любая такая функция): . Поскольку снова является дескриптивной двойной функцией, к ней могут быть применены первые два из вышеприведенных определений. Третье определение по типографским причинам не может быть применено удобно, хотя теоретически оно, конечно, применимо. Отношения и представляют общую идею, содержащуюся в некоторых применениях в математике термина «операция», например, +1 — это операция прибавления 1.

Использование обозначений, введенных в настоящем параграфе, встречается главным образом в арифметике (части III и IV). На данном этапе можно привести лишь немногие предложения, поскольку большинство важных применений введенного здесь обозначения зависит от подстановки некоторой специальной функции вместо общей функции «», используемой здесь. В настоящем параграфе все приведенные предложения являются непосредственными следствиями определений.

*38·01.

*38·02.

*38·03.

*38·1.

*38·101.

*38·11.

*38·12.

*38·13.

*38·131.

*38·2.

*38·21.

*38·22.

*38·23.

*38·24.

Док.

*38·3.

*38·31.

ПРИМЕЧАНИЕ К РАЗДЕЛУ D.

Общие замечания об отношениях. Понятие «отношение» настолько общее, что важно осознавать различные виды отношений, к которым могут быть применены обозначения, определенные в предыдущем разделе. Часто случается, что предложение, которое верно для любого отношения, важно только для отношений определенных видов; поэтому желательно, чтобы читатель имел в виду некоторые из основных видов отношений. Из различных применений, для которых могут быть использованы разные виды отношений, есть три, которые особенно важны, а именно: (1) порождение дескриптивных функций, (2) установление корреляций между различными классами, (3) порождение рядов. Давайте рассмотрим их последовательно.

(1) Для того чтобы отношение могло породить дескриптивную функцию, оно должно быть таким, чтобы референт был единственным при заданном релатуме. Так, например, отношения , , , , , , , определенные выше, все порождают дескриптивные функции. В общем случае, если порождает дескриптивную функцию, будет существовать определенный класс, а именно , к которому должен принадлежать аргумент функции, чтобы функция могла иметь значение для этого аргумента. Например, взяв синус в качестве иллюстрации и написав «» вместо «», должен быть числом, чтобы мог существовать. Тогда есть отношение к , когда . Если мы положим числа между и , включительно, будет отношением к , когда и . Обратное к этому отношению, которое есть , также будет порождать дескриптивную функцию; таким образом, то значение , которое лежит между и . Это иллюстрирует случай, который возникает очень часто, а именно: отношение не порождает, как оно есть, дескриптивную функцию, но делает это, когда его область или область значений ограничена соответствующим образом. Так, например, отношение «родитель» не порождает дескриптивную функцию, но делает это, когда его область ограничена мужчинами или ограничена женщинами. Отношение «квадратный корень», аналогично, порождает дескриптивную функцию, когда его область ограничена положительными числами или ограничена отрицательными числами. Отношение «жена» порождает дескриптивную функцию, когда его область значений ограничена христианскими мужчинами, но не тогда, когда включены мусульмане. Область отношения, которое порождает дескриптивную функцию без ограничения его области или области значений, состоит из всех возможных значений функции; область значений состоит из всех возможных аргументов функции. Опять же, если порождает дескриптивную функцию, будет классом тех аргументов, для которых значение функции есть . Таким образом, состоит из всех чисел, синус которых есть , т. е. всех значений . Опять же, будут синусами различных членов . Если есть класс чисел, то, согласно обозначению *38, будут удвоенными значениями этих чисел, утроенными значениями их и так далее. Чтобы взять другую иллюстрацию, пусть будет пучок прямых, и пусть будет пересечением прямой с данной трансверсалью. Тогда будут пересечениями прямых, принадлежащих пучку, с трансверсалью.

(2) Отношения, которые устанавливают корреляцию между двумя классами, на самом деле являются частным случаем отношений, порождающих дескриптивные функции, а именно случаем, в котором обратное отношение также порождает дескриптивную функцию. В этом случае отношение является «взаимно однозначным», т. е. при заданном референте релатум определен, и наоборот. Отношение, которое должно рассматриваться как корреляция, обычно будет обозначаться или . В таких случаях мы, как правило, меньше интересуемся конкретными членами и , для которых , чем классами таких членов. Мы обычно в таких случаях имеем некоторый класс , содержащийся в области значений нашего отношения , и мы имеем класс такой, что . В этом случае отношение коррелирует члены и члены . Мы будем иметь также , так что для такого отношения корреляция является взаимной. Такие отношения фундаментальны в арифметике, поскольку они используются при определении того, что подразумевается под утверждением, что два класса (или ряда) имеют одинаковое кардинальное (или ординальное) число членов.

(3) Отношения, которые порождают ряды, в общем случае будут обозначаться или , и в предложениях, чья главная важность заключается в их применении к рядам, мы также, как правило, будем обозначать переменное отношение или . Когда используется , его можно читать как «предшествует». Тогда можно читать как «следует за», можно читать как «предшественники », можно читать как «последователи ». будут всеми членами ряда, порожденного , кроме последнего (если таковой имеется), будут всеми членами ряда, кроме первого (если таковой имеется), будут всеми членами ряда. будет состоять из всех членов, предшествующих некоторому члену . Предположим, например, что наш ряд — это ряд вещественных чисел, и что есть класс членов возрастающего ряда , , , ..., ... Тогда будет сегментом вещественных чисел, определенным этим рядом, т. е. это будут все предшественники предела ряда. (В случае, если ряд , , , ..., ... растет без предела, будет всем рядом вещественных чисел.)

Очень часто случается, что отношение имеет в большей или меньшей степени серийный характер, не обладая всеми характеристиками, необходимыми для порождения рядов. Возьмем, например, отношение сына к отцу. Очевидно, что с помощью этого отношения могут быть порождены ряды, которые начинаются от любого человека и заканчиваются Адамом. Но эти ряды не являются полем рассматриваемого отношения; более того, это отношение не является транзитивным, т. е. сын сына не является сыном . Если, однако, мы заменим «сын» на отношение «потомок по прямой мужской линии» (которое может быть определено через «сын» методом, объясненным в *90 и *91), и если мы ограничим область значений этого отношения предками по прямой мужской линии, мы получим новое отношение, которое является серийным и имеет своим полем и всех его предков по прямой мужской линии. Опять же, одно отношение может порождать ряд рядов, как, например, отношение « восточнее ». Если и — точки на поверхности земли и в восточном полушарии, это отношение порождает один ряд для каждой параллели широты. Ограничивая поле отношения далее одной параллелью широты, мы получаем отношение, которое порождает ряд. (Причина ограничения и одним полушарием заключается в том, чтобы гарантировать, что отношение будет транзитивным, поскольку в противном случае мы могли бы иметь восточнее , а восточнее , но западнее .)

Отношение может обладать характеристиками всех трех видов отношений, при условии, что мы включим в третий вид все те, которые ведут к рядам посредством некоторых ограничений, подобных тем, что были только что описаны. Например, отношение , т. е. (в силу обозначения *38) отношение к , где предполагается, что является конечным кардинальным целым числом, обладает характеристиками всех трех видов отношений. Во-первых, оно ведет к дескриптивной функции (, т. е. . Во-вторых, оно коррелирует с любым классом чисел класс, полученный путем прибавления 1 к каждому члену , т. е. (. Эта корреляция может быть использована для доказательства того, что число конечных целых чисел бесконечно (в одном из двух смыслов слова «бесконечно»); ибо если мы возьмем в качестве нашего класса все натуральные числа, включая 0, класс ( состоит из всех натуральных чисел, кроме 0, так что натуральные числа могут быть коррелированы с собственной частью [58] самих себя. Опять же, отношение может быть использовано, подобно отношению отца к сыну, для порождения ряда, а именно обычного ряда натуральных чисел в порядке возрастания, в котором каждое имеет к своему непосредственному предшественнику отношение . Таким образом, это отношение разделяет характеристики всех трех видов отношений.

СНОСКИ:

[58] Т. е. часть, не являющаяся целым. Об этом определении бесконечности см. *124.

РАЗДЕЛ E. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СУММЫ КЛАССОВ.

Резюме раздела E.

В настоящем разделе мы делаем расширение , , , . Дан класс классов, скажем , произведение (которое обозначается ) есть общая часть всех членов , т. е. класс, состоящий из тех членов, которые принадлежат каждому члену . Определение есть . Если имеет только два члена, скажем и , . Если имеет три члена, , , , то ; и так далее. Но этот процесс может быть продолжен только до конечного числа членов, тогда как определение не требует, чтобы было конечным. Это понятие главным образом важно в связи с нижними пределами рядов. Например, пусть будет классом рациональных чисел, квадрат которых больше 2, и пусть «» означает «, где и — рациональные числа». Тогда если , будет классом рациональных чисел, меньших . Таким образом, будет классом таких классов, как , где . Таким образом, произведение , которое мы называем , будет классом рациональных чисел, которые меньше каждого члена , т. е. классом рациональных чисел, квадраты которых меньше 2. Каждый член есть сегмент ряда рациональных чисел, и есть нижний предел этих сегментов. Именно так мы доказываем существование нижних пределов рядов сегментов.

Аналогично, сумма класса классов определяется как класс, состоящий из всех членов, принадлежащих некоторому члену ; т. е. принадлежит сумме , если принадлежит некоторому . Это понятие играет ту же роль для верхних пределов рядов сегментов, что и для нижних пределов. Оно имеет, однако, гораздо больше других применений, чем , и является в целом более важной концепцией. Так, в кардинальной арифметике, если никакие два члена не имеют общего члена, арифметическая сумма чисел членов, которыми обладают различные члены , есть число членов, которыми обладает .

Произведение класса отношений (скажем ) есть отношение, которое имеет место между и , когда и имеют каждое отношение класса . Определение есть . Свойства аналогичны свойствам , но его применения реже.

Сумма класса отношений (скажем ) есть отношение, которое имеет место между и , всякий раз, когда существует отношение класса , которое имеет место между и . Определение есть . Эта концепция, хотя и менее важна, чем , более важна, чем . Суммирование рядов и ординальных чисел зависит от нее, хотя связь менее непосредственна, чем связь суммирования кардинальных чисел с .

Вместо определения , , , было бы формально более правильно определить , , и , которые являются отношениями, порождающими вышеуказанные дескриптивные функции. Таким образом, мы должны были бы иметь , откуда мы должны были бы перейти к .

Но в случаях, когда отношение, в отличие от дескриптивной функции, требуется очень редко, проще и легче дать определение дескриптивной функции в первую очередь. В таких случаях всегда молчаливо предполагается, что отношение также определено; т. е. когда мы даем определение вида , где есть некоторое ранее определенное отношение, мы всегда предполагаем, что это определение должно рассматриваться как производное от .

В дополнение к произведениям и суммам мы рассматриваем в настоящем разделе некоторые свойства отношений и , значения которых вытекают из обозначения, введенного в *38. Такие отношения очень полезны в арифметике. Причина рассмотрения их в настоящем разделе заключается в том, что большая часть предложений, подлежащих доказательству, включает суммы классов классов или отношений.

*40. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СУММЫ КЛАССОВ КЛАССОВ.

Резюме *40.

В этом параграфе мы вводим два обозначения (объясненные выше) . Оба эти понятия будут становиться все более полезными по мере нашего продвижения, но остается более полезным, чем , на протяжении всего изложения. Для значимости и требуется, чтобы было классом классов.

В настоящем параграфе наиболее полезными предложениями являются следующие:

*40·12.

Т. е. произведение содержится в каждом члене .

*40·13.

Т. е. каждый член содержится в сумме .

*40·15.

Т. е. содержится в произведении , если содержится в каждом члене , и наоборот.

*40·151.

Т. е. сумма содержится в , если каждый член содержится в , и наоборот.

*40·2.

Т. е. произведение нулевого класса классов есть универсальный класс. Это может показаться парадоксальным на первый взгляд, но на самом деле это не так. Чем меньше членов имеет , тем больше, говоря в общем, становится . Если не имеет членов, то не имеет членов, которым не принадлежит данный член , и поэтому принадлежит .

*40·23.

Т. е. если не является нулевым, его произведение содержится в его сумме.

*40·38.

Это предложение очень часто используется в арифметике. То, что оно утверждает, заключается в следующем: дан класс классов , возьмите его сумму, , а затем рассмотрите все члены, которые имеют отношение к некоторому члену ; это дает класс ; затем возьмите каждый отдельный член , скажем , и сформируйте класс , состоящий из всех членов, имеющих отношение к некоторому члену . Класс всех таких классов, как , для различных , которые являются членами , есть ; сумма этого класса, согласно вышеприведенному предложению, та же, что и .

*40·4.

Это предложение требует для значимости, чтобы всегда было классом. Предложение утверждает, что если всегда существует, когда , то сумма всех классов, которые имеют отношение к некоторому члену , состоит из всех членов таких классов, как , где .

*40·5.

Это предложение получается из *40·4 путем подстановки вместо в этом предложении.

*40·51.

В силу *40·5, коррелятивно . Таким образом, если есть серийное отношение, состоит из членов, предшествующих всему , а состоит из членов, предшествующих части . Если имеет нижний предел, он будет верхним пределом или максимумом ; если имеет верхний предел, он будет верхним пределом .

*40·61.

В этом предложении гипотеза существенна, поскольку, если , и .

*40·01.

*40·02.

*40·1.

*40·11.

*40·12.

Док.

*40·13.

Док.

*40·14.

*40·141.

*40·15.

Док.

*40·151.

Док.

Это предложение часто используется.

*40·16.

Док.

*40·161.

Док.

*40·17.

Док.

*40·171.

Док.

*40·18.

Док.

*40·181.

Док.

*40·19.

Это предложение является расширением *22·6.

Док.

*40·2.

Док.

*40·21.

Док.

В вышеприведенном предложении два символа относятся к разным типам, поскольку относится к типу, следующему за типом . Таким образом, было бы более правильно написать

Но в случае с не очень важно сохранять типы различными.

*40·22.

Док.

В этом предложении два символа относятся к одному и тому же типу.

*40·221.

Док.

Заметьте, что гипотеза существенна для этого предложения, поскольку, когда , и . Таким образом

*40·23.

Док.

Заметьте, что гипотеза существенна для этого предложения, поскольку, когда , и . Таким образом

*40·24.

Док.

Вышеприведенное предложение используется в доказательстве *215·25.

*40·25.

Док.

*40·26.

Док.

Следующее предложение используется в доказательстве *216·51.

*40·27.

Док.

Следующие предложения значимы только тогда, когда есть отношение, область которого состоит из классов, ибо они касаются или , и поэтому требуют, чтобы было классом классов.

*40·3.

*40·31.

*40·32.

Док.

*40·33.

Следующие предложения больше не требуют, чтобы область состояла из классов.

*40·35.

Док.

*40·36.

*40·37.

Док.

*40·38.

Док.

Это предложение часто используется в доказательствах арифметических предложений.

*40·4.

Это предложение значимо только тогда, когда .

Док.

*40·41.

*40·42.

Док.

Это предложение используется в *40·57, где мы берем , , .

*40·43.

Док.

*40·44.

Док.

Следующее предложение используется в доказательстве *84·44.

*40·45.

Док.

Следующее предложение используется в доказательстве *94·402.

*40·451.

Док.

*40·5.

Док.

*40·51.

есть класс членов, каждый из которых имеет отношение к каждому члену , точно так же, как есть класс членов, каждый из которых имеет отношение к некоторому члену . В теории рядов играет важную роль, коррелятивную той, которую играет (что есть , согласно *40·5). Если есть класс, содержащийся в ряде, порождающим отношением которого является , то будут предшественниками всех членов , в то время как будут предшественниками некоторых .

*40·52.

*40·53.

*40·54.

*40·55.

С этого момента и до *40·69 предложения вставлены ввиду их использования в теории рядов.

*40·56.

В вышеприведенном предложении условия значимости требуют, чтобы было классом отношений.

*40·57.

*40·6.

*40·61.

Док.

*40·62.

Два следующих предложения (*40·63·64) используются при доказательстве *40·65, которое используется в *204·63.

*40·63.

Док.

*40·64.

*40·65.

*40·66.

Док.

*40·67.

*40·68.

Док.

Это предложение используется в теории рядов (*206·2).

*40·681.

Следующее предложение используется в *211·56.

*40·682.

Док.

*40·69.

Док.

Вышеприведенные предложения, касающиеся и , конечно, имеют аналоги для и . Но в силу *40·5 эти аналоги более просто формулируются как свойства и . Так, например, *37·264 является аналогом *40·67. Вышеприведенные предложения, касающиеся и , будут использоваться в теории рядов, но до тех пор, пока мы не достигнем этой стадии, к ним будут обращаться редко.

*40·7.

Док.

Это предложение имеет значительную важность, поскольку оно дает компактную форму для класса всех значений функции, полученных путем взятия в классе и в классе . Так, например, предположим, что есть класс чисел, которые являются кратными 3, и есть класс чисел, которые являются кратными 5, и представляет арифметическое произведение и , тогда будет классом произведений кратных 3 и кратных 5, т. е. классом кратных 15. Опять же, предположим, что и — оба классы отношений; тогда будут всеми относительными произведениями, полученными путем выбора в классе и в классе .

*40·71.

Док.

Гипотеза , которая появляется в *40·8·81, играет важную роль на более поздней стадии. В теории индукции (часть II, раздел E) она характеризует наследственный класс, а в теории рядов она характеризует верхнюю секцию (в сочетании с ).

*40·8.

Док.

*40·81.

Док.

*41. ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СУММА КЛАССА ОТНОШЕНИЙ.

Резюме *41.

Предложения, которые будут приведены в этом параграфе, до *41·3 включительно, являются аналогами предложений *40, исключая те, что начиная с *40·3, которые не имеют аналогов. Доказательства в этом параграфе не будут приведены, если они точно аналогичны доказательствам предложений с той же десятичной частью в *40. Меньшая важность и по сравнению с и иллюстрируется меньшим числом предложений в *41 по сравнению с *40.

Наши определения:

*41·01.

*41·02.

Из предложений, предшествующих *41·3, которые являются аналогами предложений в *40, единственные два, которые часто используются, это

*41·13.

*41·151.

Из оставшихся предложений этого параграфа, которые не имеют аналогов в *40, наиболее важными являются *41·43·44·45, а именно . Эти предложения постоянно требуются в теории выборок (часть II, раздел D) и в арифметике отношений. Большинство других предложений этого параграфа используются только один раз или не используются вовсе.

*41·01.

*41.02.

*41·1.

*41·11.

*41·12.

*41·13.

*41·14.

*41·141.

*41·15.

*41·151.

*41·16.

*41·161.

*41·17.

*41·171.

*41·18.

*41·181.

*41·19.

*41·2.

*41·21.

*41·22.

*41·221.

*41·23.

*41·24.

*41·25.

*41·26.

*41·27.

*41·3.

Док.

*41·31.

*41·32.

*41·33.

*41·34.

Док.

*41·341.

*41·342.

Док.

Следующее предложение используется в *85·22.

*41·35.

Док.

*41·351.

*41·4.

Док.

*41·41.

*41·42.

Док.

*41·43.

Док.

*41·44.

*41·45.

Док.

*41·5.

Док.

*41·51.

Док.

Вышеприведенное предложение, которое используется в *92·31, утверждает, что если и — классы отношений, то относительное произведение реляционной суммы и реляционной суммы есть реляционная сумма всех относительных произведений, образованных из члена и члена .

Следующее предложение используется в *96·111.

*41·52.

Док.

Следующее предложение используется в *162·32 и в *166·461.

*41·6.

Док.

*42. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ.

Резюме *42.

Настоящий параграф содержит различные предложения, касающиеся произведений и сумм классов. Они касаются главным образом классов классов классов или отношений отношений отношений. Они требуются соответственно в кардинальной и ординальной арифметике. Так, *42·1 используется в *112 и *113, которые касаются кардинального сложения и умножения, в то время как *42·12·2 используются в *160 и *162, которые касаются ординального сложения. *42·22, хотя на него прямо не ссылаются, полезно для облегчения понимания предложений о рядах рядов рядов, или, скорее, об отношениях между отношениями между отношениями, которые требуются в связи с ассоциативным законом умножения в арифметике отношений.

*42·1.

Здесь для значимости должно быть классом классов классов. Предложение утверждает, что если мы возьмем каждый член , из , и сформируем , а затем сформируем сумму всех классов, полученных таким образом, результат будет таким же, как если бы мы сформировали сумму суммы . Это ассоциативный закон для , и является (как будет показано позже) источником ассоциативного закона сложения в кардинальной арифметике. То, как это предложение становится ассоциативным законом для , можно увидеть следующим образом: предположим, что состоит из двух классов, и ; предположим, что в свою очередь состоит из двух классов и , а из двух классов и . Тогда . (Это будет доказано позже.) Таким образом, имеет два члена, один из которых есть , а другой — . Таким образом, . Но имеет четыре члена, а именно , , , . Таким образом, .

Таким образом, наше предложение ведет к , что очевидно является случаем ассоциативного закона.

Наше предложение формулирует ассоциативный закон в общем виде, включая случай, когда число скобок или слагаемых в любой скобке бесконечно. Доказательство следующее.

Док.

*42·11.

Док.

Это ассоциативный закон для произведений. Предполагая снова, для иллюстрации, что состоит из двух классов , , в то время как состоит из двух классов , , а из двух классов , , тогда состоит из двух классов и , так что , в то время как . Таким образом, наше предложение становится

Дескриптивная функция , чьими аргументами являются классы или классы классов, может быть названа подчиняющейся ассоциативному закону, при условии, что

Это уравнение можно интерпретировать следующим образом: дан класс , разделите его на любое число подчиненных классов, так что ни один член не останется, хотя один член может принадлежать двум или более классам. Пусть классы, на которые разделен , составляют класс , так что есть класс классов, и . Тогда вышеприведенное уравнение утверждает, что если мы сначала сформируем из различных подклассов , а затем из результирующего класса, результат будет таким же, как если бы мы сформировали непосредственно из .

В некоторых случаях — например, в случае арифметического сложения кардиналов — вышеприведенное уравнение выполняется только тогда, когда никакие два члена не имеют общего члена, т. е. когда части, на которые разделен , являются взаимно исключающими.

Для дескриптивной функции, аргументами которой являются отношения отношений, мы найдем другую форму ассоциативного закона; эта форма играет в ординальной арифметике роль, аналогичную той, которую играет вышеуказанная форма в кардинальной арифметике.

*42·12.

Док.

*42·13.

Док.

*42·2.

В этом предложении предполагается, что есть отношение между отношениями. Например, предположим, что у нас есть ряд рядов, порождающие отношения которых упорядочены отношением . Тогда есть класс этих порождающих отношений; есть отношение «то или иное из порождающих отношений, составляющих », а есть класс всех членов, встречающихся в любом из рядов. — это поля различных рядов, а — это снова все члены, встречающиеся в любом из рядов. — это все члены, принадлежащие полям рядов, которые являются элементами , а — это все элементы полей элементов поля ; каждый из них, в свою очередь, представляет собой все члены, встречающиеся в любом из рядов. Доказательство выглядит следующим образом:

Док.

Следующие предложения применимы к отношению отношений отношений. Эти предложения полезны для доказательства ассоциативных законов в ординальной арифметике, поскольку эти законы имеют дело с рядами рядов рядов, а ряды рядов рядов проще всего образуются путем предположения, что порождающие отношения составляющих рядов упорядочены отношениями, которые сами упорядочены отношением .

*42·21.

Док.

*42·22.

Если в вышеприведенном предложении есть отношение, порождающее ряд рядов рядов, то вышесказанное дает различные формы для класса предельных членов этих рядов. Так, предположим ; тогда есть отношение между порождающими отношениями рядов. Если теперь , то есть порождающее отношение ряда, который мы можем рассматривать как состоящий из индивидов. Класс индивидов, полученный таким образом, может быть выражен в любой из вышеприведенных форм, а также в других, которые здесь не приведены.

*42·3.

Док.

*42·31.

*43. ОТНОШЕНИЯ РЕЛЯТИВНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ К ЕГО МНОЖИТЕЛЯМ.

Резюме *43.

Цель настоящего параграфа — привести некоторые предложения об отношении, которое имеет место между и , когда , или когда , или когда , где и фиксированы. В силу общих определений *38, эти отношения суть соответственно , и ( . Такие отношения весьма полезны как в кардинальной, так и в ординальной арифметике; они также широко используются в теории индукции (Часть II, Раздел E). Вместо громоздкого обозначения ( мы принимаем более компактное обозначение . Если есть класс отношений, то будет классом отношений , где , будет классом отношений , где , а ( будет классом отношений , где . Эти классы отношений часто требуются в дальнейшей работе.

В силу наших определений мы имеем

*43·112.

Предложения, наиболее часто используемые в настоящем параграфе (за исключением тех, которые лишь воплощают определения), следующие:

*43·302.

*43·411.

*43·421.

Остальные предложения используются редко, но их применение, когда оно имеет место, важно.

*43·01.

На более позднем этапе (в *150) мы введем более простое обозначение для частного случая . Следующие предложения по большей части являются непосредственными следствиями определений, поэтому доказательства обычно опускаются.

*43·1.

*43·101.

*43·102.

*43·11.

*43·111.

*43·112.

*43·12.

*43·121.

*43·122.

*43·2.

Док.

*43·201.

*43·202.

*43·21.

*43·211.

*43·212.

*43·213.

*43·22.

*43·3.

*43·301.

*43·302.

*43·31.

Док.

*43·311.

*43·312.

*43·34.

*43·4.

*43·401.

*43·41.

*43·411.

*43·42.

Док.

*43·421.

*43·43.

Док.

*43·48.

*43·481.

*43·49.

Док.

*43·491.

*43·5.

*43·51.

Док.

Вышеприведенное предложение используется при доказательстве *74·773.

ЧАСТЬ II. ПРОЛЕГОМЕНЫ К КАРДИНАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКЕ.

РЕЗЮМЕ ЧАСТИ II.

Объекты, которые будут изучаться в этой Части, не имеют резкого отличия от тех, что изучались в Части I. Различие заключается в степени: объекты в этой Части имеют несколько меньшую общую важность, чем объекты Части I, и изучаются скорее из-за их отношения к кардинальной арифметике, чем сами по себе. Хотя кардинальная арифметика является целью, определяющей наш курс в Части II, все изучаемые объекты окажутся необходимыми также в ординальной арифметике и теории рядов. По мере продвижения этой Части подход к кардинальной арифметике становится постепенно более выраженным, пока, наконец, не остается недостающим ничего, кроме определения кардинальных чисел, с которого начинается Часть III.