«Наше знание внешнего мира как область для научного метода в философии»

Исторические вопросы, поднятые вышеупомянутыми дискуссиями, несомненно, во многом неразрешимы из-за очень скудного материала, из которого получены наши свидетельства. Пункты, которые кажутся довольно ясными, следующие: (1) Что, несмотря на ММ. Мийо и Поля Таннери, Зенон стремится доказать, что движение действительно невозможно, и что он желает доказать это, потому что он следует Пармениду в отрицании множественности; (2) что третий и четвертый аргументы исходят из гипотезы неделимых, гипотезы, которая, была ли она принята пифагорейцами или нет, конечно, была широко распространена, как можно видеть из трактата «О неделимых линиях», приписываемого Аристотелю. Что касается первых двух аргументов, они, по-видимому, были бы обоснованными на гипотезе неделимых, а также, без этой гипотезы, были бы такими, которые были бы обоснованными, если бы традиционные противоречия в бесконечных числах были неразрешимы, каковыми они не являются.

Мы можем, следовательно, заключить, что полемика Зенона направлена против взгляда, что пространство и время состоят из точек и моментов; и что против взгляда, что конечный отрезок пространства или времени состоит из конечного числа точек и моментов, его аргументы — не софизмы, а вполне обоснованные.

Вывод, который Зенон хочет, чтобы мы сделали, состоит в том, что множественность — это иллюзия, а пространства и времена на самом деле неделимы. Другой вывод, который возможен, а именно, что число точек и моментов бесконечно, не был приемлемым, пока бесконечное было заражено противоречиями. В фрагменте, который не является одним из четырех знаменитых аргументов против движения, Зенон говорит:

«Если вещи — это многое, они должны быть ровно такими многими, как они есть, и ни больше, ни меньше. Теперь, если они такие многие, как они есть, они будут конечны по числу».

«Если вещи — это многое, они будут бесконечны по числу; ибо между ними всегда будут другие вещи, а между ними — еще другие. И так вещи бесконечны по числу».

Этот аргумент пытается доказать, что если существует много вещей, число их должно быть одновременно конечным и бесконечным, что невозможно; следовательно, мы должны заключить, что существует только одна вещь. Но слабое место в аргументе — это фраза: «Если они ровно такие многие, как они есть, они будут конечны по числу». Эта фраза не очень ясна, но ясно, что она предполагает невозможность определенных бесконечных чисел. Без этого допущения, которое, как теперь известно, ложно, аргументы Зенона, хотя они достаточны (при определенных вполне разумных допущениях), чтобы развеять гипотезу конечных неделимых, не достаточны, чтобы доказать, что движение, изменение и множественность невозможны. Они не являются, однако, ни при каком взгляде, просто глупыми придирками: это серьезные аргументы, поднимающие трудности, на ответ на которые потребовалось две тысячи лет и которые даже сейчас фатальны для учений большинства философов.

Первый из аргументов Зенона — это аргумент о беговой дорожке, который пересказывается Бернетом следующим образом: [40]

«Вы не можете добраться до конца беговой дорожки. Вы не можете преодолеть бесконечное число точек за конечное время. Вы должны преодолеть половину любого заданного расстояния, прежде чем преодолеете целое, и половину этого расстояния снова, прежде чем сможете преодолеть его. Это продолжается ad infinitum, так что в любом заданном пространстве существует бесконечное число точек, и вы не можете коснуться бесконечного числа точек одну за другой за конечное время». [41]

Зенон здесь в первую очередь апеллирует к тому факту, что любое расстояние, как бы мало оно ни было, можно разделить пополам. Из этого, конечно, следует, что на линии должно быть бесконечное число точек. Но, как представляет его аргументацию Аристотель, вы не можете коснуться бесконечного числа точек «одну за другой» за конечное время. Слова «одну за другой» важны. (1) Если речь идет обо всех точках, которых касаются, то, хотя вы проходите через них непрерывно, вы не касаетесь их «одну за другой». То есть после того, как вы коснулись одной, нет другой, которой вы касаетесь следующей: никакие две точки не являются соседними, но между любыми двумя всегда есть бесконечное число других, которые невозможно перечислить одну за другой. (2) Если, с другой стороны, речь идет только о последовательных средних точках, получаемых путем постоянного деления пополам того, что остается от дистанции, то точки достигаются одна за другой, и, хотя их бесконечно много, на самом деле все они достигаются за конечное время. Можно предположить, что его аргумент в пользу обратного апеллирует к представлению о том, что конечное время должно состоять из конечного числа мгновений, и в этом случае то, что он говорит, было бы совершенно верно при допущении, что возможность непрерывного дихотомического деления неоспорима. Если же мы предположим, что аргумент направлен против сторонников бесконечной делимости, мы должны предположить, что он строится следующим образом: [42] «Точки, полученные путем последовательного деления пополам расстояний, которые еще предстоит преодолеть, бесконечны по числу и достигаются последовательно, причем каждая достигается через конечное время после предыдущей; но сумма бесконечного числа конечных времен должна быть бесконечной, и поэтому процесс никогда не будет завершен». Вполне возможно, что это исторически верная интерпретация, но в такой форме аргумент несостоятелен. Если на половину дистанции уходит полминуты, на следующую четверть — четверть минуты и так далее, то на всю дистанцию уйдет минута. Кажущаяся сила аргумента в этой интерпретации заключается исключительно в ошибочном предположении, что не может быть ничего за пределами целого бесконечного ряда, что можно увидеть как ложное, заметив, что 1 находится за пределами целого бесконечного ряда 1/2, 3/4, 7/8, 15/16, …

Второй из аргументов Зенона — это аргумент об Ахиллесе и черепахе, который приобрел большую известность, чем остальные. Он пересказывается Бернетом следующим образом: [43]

«Ахиллес никогда не обгонит черепаху. Он должен сначала достичь места, откуда стартовала черепаха. К тому времени черепаха уже продвинется вперед. Ахиллес должен затем наверстать это расстояние, а черепаха снова окажется впереди. Он постоянно приближается, но никогда не догоняет ее». [44]

Этот аргумент по существу совпадает с предыдущим. Он показывает, что если Ахиллес когда-либо обгонит черепаху, то это произойдет после того, как с момента его старта пройдет бесконечное число мгновений. Это действительно так; но мнение, что бесконечное число мгновений составляет бесконечно долгое время, неверно, и поэтому вывод о том, что Ахиллес никогда не обгонит черепаху, не следует.

Третий аргумент, [45] аргумент о летящей стреле, весьма интересен. Текст подвергался сомнению. Бернет принимает изменения Целлера и пересказывает его так:

«Летящая стрела находится в покое. Ибо если все находится в покое, когда занимает пространство, равное самому себе, а то, что находится в полете в любой данный момент, всегда занимает пространство, равное самому себе, то оно не может двигаться».

Но согласно Прантлю, буквальный перевод неисправленного текста высказывания Аристотеля об этом аргументе таков: «Если все, когда оно ведет себя единообразно, постоянно либо движется, либо находится в покое, но то, что движется, всегда находится в "теперь", то летящая стрела неподвижна». Эта форма аргумента выявляет его силу более ясно, чем пересказ Бернета.

Здесь, если не в первых двух аргументах, по-видимому, предполагается взгляд, согласно которому конечная часть времени состоит из конечного ряда последовательных мгновений; во всяком случае, правдоподобность аргумента, по-видимому, зависит от предположения, что существуют последовательные мгновения. Говорят, что в течение мгновения движущееся тело находится там, где оно есть: оно не может двигаться в течение мгновения, ибо это потребовало бы, чтобы мгновение имело части. Таким образом, предположим, что мы рассматриваем период, состоящий из тысячи мгновений, и предположим, что стрела находится в полете в течение этого периода. В каждое из тысячи мгновений стрела находится там, где она есть, хотя в следующее мгновение она находится где-то в другом месте. Она никогда не движется, но каким-то чудесным образом изменение положения должно происходить между мгновениями, то есть не в какое-либо время вообще. Это то, что г-н Бергсон называет кинематографическим представлением реальности. Чем больше размышляешь над этой трудностью, тем более реальной она становится. Решение заключается в теории непрерывных рядов: нам трудно избежать предположения, что, когда стрела летит, существует следующее положение, занимаемое в следующий момент; но на самом деле нет ни следующего положения, ни следующего момента, и как только это осознается воображением, трудность исчезает.

Четвертый и последний из аргументов Зенона — это [46] аргумент о стадионе.

Аргумент в изложении Бернета выглядит следующим образом:

First Position. Second Position.

A . . . . A . . . .

B . . . . B . . . .

C . . . . C . . . .

«Половина времени может быть равна двойному времени. Предположим, что есть три ряда тел, один из которых (A) находится в покое, в то время как два других (B, C) движутся с равной скоростью в противоположных направлениях. К тому времени, когда они все окажутся в одной части дистанции, B пройдет мимо вдвое большего числа тел в C, чем в A. Следовательно, время, которое требуется, чтобы пройти мимо C, в два раза больше времени, которое требуется, чтобы пройти мимо A. Но время, которое B и C затрачивают на то, чтобы достичь положения A, одинаково. Следовательно, двойное время равно половине».

Гей [47] посвятил интересную статью интерпретации этого аргумента. Его перевод высказывания Аристотеля таков:

«Четвертый аргумент — это аргумент о двух рядах тел, каждый из которых состоит из равного числа тел равного размера, проходящих друг мимо друга на беговой дорожке, двигаясь с равной скоростью в противоположных направлениях; один ряд первоначально занимает пространство между финишем и средней точкой дистанции, а другой — пространство между средней точкой и стартовой линией. Это, как он полагает, влечет за собой вывод, что половина данного времени равна двойному времени. Ошибка рассуждения заключается в предположении, что тело затрачивает равное время на прохождение с равной скоростью мимо тела, которое находится в движении, и мимо тела равного размера, которое находится в покое, — предположение, которое является ложным. Например (так гласит аргумент), пусть A A … — неподвижные тела равного размера, B B … — тела, равные по числу и размеру A A …, первоначально занимающие половину дистанции от стартовой линии до середины A, а C C … — те, что первоначально занимали другую половину от финиша до середины A, равные по числу, размеру и скорости B B …. Тогда следуют три вывода. Во-первых, когда B и C проходят друг мимо друга, первый B достигает последнего C в тот же момент, когда первый C достигает последнего B. Во-вторых, в этот момент первый C прошел мимо всех A, тогда как первый B прошел мимо только половины A и, следовательно, затратил только половину времени, затраченного первым C, поскольку каждое из них затрачивает равное время на прохождение мимо каждого A. В-третьих, в тот же момент все B прошли мимо всех C: ибо первый C и первый B одновременно достигнут противоположных концов дистанции, поскольку (так говорит Зенон) время, затраченное первым C на прохождение мимо каждого из B, равно времени, затраченному им на прохождение мимо каждого из A, потому что равное время затрачивается как первым B, так и первым C на прохождение мимо всех A. Таков аргумент: но он предполагает вышеупомянутое ошибочное допущение».

First Position. Second Position.

B

· B′

· B″

· B

· B′

· B″

·

A

· A′

· A″

· A

· A′

· A″

·

C

· C′

· C″

· C

· C′

· C″

·

Этот аргумент не совсем легко проследить, и он справедлив только против предположения, что конечное время состоит из конечного числа мгновений. Мы можем переформулировать его на другом языке. Предположим, что три сержанта, A, A′ и A″, стоят в ряд, в то время как две шеренги солдат маршируют мимо них в противоположных направлениях. В первый момент, который мы рассматриваем, три человека B, B′, B″ в одном ряду и три человека C, C′, C″ в другом ряду находятся соответственно напротив A, A′ и A″. В самый следующий момент каждый ряд продвинулся, и теперь B и C″ находятся напротив A′. Таким образом, B и C″ находятся напротив друг друга. Когда же тогда B прошел мимо C′? Это должно было произойти где-то между двумя моментами, которые мы предположили последовательными, и поэтому два момента не могли быть действительно последовательными. Из этого следует, что между любыми двумя данными моментами должны быть другие моменты, и, следовательно, в любом данном интервале времени должно быть бесконечное число моментов.

Вышеупомянутая трудность, что B должен был пройти мимо C′ в какое-то время между двумя последовательными моментами, является подлинной, но это не совсем та трудность, которую поднял Зенон. То, что Зенон претендует доказать, — это то, что «половина данного времени равна двойному времени». Наиболее понятное объяснение аргумента, известное мне, принадлежит Гею. [48] Поскольку, однако, его объяснение нелегко изложить кратко, я переформулирую то, что мне представляется логической сущностью утверждения Зенона. Если мы предположим, что время состоит из ряда последовательных мгновений, а движение состоит в прохождении через ряд последовательных точек, то самое быстрое возможное движение — это такое, которое в каждое мгновение находится в точке, последовательной той, в которой оно было в предыдущее мгновение. Любое более медленное движение должно быть таким, в котором перемежаются интервалы покоя, а любое более быстрое движение должно полностью пропускать некоторые точки. Все это очевидно из того факта, что мы не можем иметь более одного события для каждого мгновения. Но теперь, в случае с нашими A, B и C, B находится напротив нового A каждое мгновение, и поэтому число пройденных A дает число мгновений с начала движения. Но во время движения B прошел мимо вдвое большего числа C и все же не мог пройти мимо более чем одного в каждое мгновение. Следовательно, число мгновений с начала движения вдвое больше числа пройденных A, хотя ранее мы обнаружили, что оно равно этому числу. Из этого результата следует вывод Зенона.

Аргументы Зенона в той или иной форме послужили основанием почти для всех теорий пространства, времени и бесконечности, которые были созданы со времен Зенона до наших дней. Мы видели, что все его аргументы справедливы (при определенных разумных гипотезах) при допущении, что конечные пространства и времена состоят из конечного числа точек и мгновений, и что третий и четвертый почти наверняка фактически исходили из этого допущения, в то время как первый и второй, которые, возможно, были призваны опровергнуть противоположное допущение, в этом случае были ошибочными. Поэтому мы можем избежать его парадоксов либо утверждая, что, хотя пространство и время действительно состоят из точек и мгновений, число их в любом конечном интервале бесконечно; либо отрицая, что пространство и время вообще состоят из точек и мгновений; либо, наконец, отрицая реальность пространства и времени в целом. По-видимому, сам Зенон, как сторонник Парменида, сделал последний из этих трех возможных выводов, по крайней мере в отношении времени. В этом за ним последовало очень большое число философов. Многие другие, подобно г-ну Бергсону, предпочли отрицать, что пространство и время состоят из точек и мгновений. Любое из этих решений позволит справиться с трудностями в той форме, в которой их поднял Зенон. Но, как мы видели, с трудностями можно справиться и в том случае, если допустимы бесконечные числа. И на основаниях, которые не зависят от пространства и времени, бесконечные числа и ряды, в которых никакие два члена не являются последовательными, должны в любом случае быть допущены. Рассмотрим, например, все дроби меньше 1, расположенные в порядке возрастания. Между любыми двумя из них есть другие, например, среднее арифметическое этих двух. Таким образом, никакие две дроби не являются последовательными, и общее число их бесконечно. Окажется, что многое из того, что говорит Зенон относительно ряда точек на линии, может быть в равной степени применено к ряду дробей. И мы не можем отрицать, что существуют дроби, так что два из вышеуказанных путей к спасению для нас закрыты. Отсюда следует, что если мы хотим решить весь класс трудностей, выводимых из аргументов Зенона по аналогии, мы должны обнаружить какую-то состоятельную теорию бесконечных чисел. Каковы же тогда трудности, которые до последних тридцати лет приводили философов к убеждению, что бесконечные числа невозможны?

Трудности бесконечности бывают двух видов, из которых первые можно назвать ложными, в то время как другие требуют для своего решения определенного количества нового и не совсем легкого мышления. Ложные трудности — это те, что проистекают из этимологии, и те, что проистекают из смешения математической бесконечности с тем, что философы дерзко называют «истинной» бесконечностью. Этимологически «бесконечное» должно означать «не имеющее конца». Но на самом деле некоторые бесконечные ряды имеют концы, некоторые — нет; в то время как некоторые совокупности бесконечны, не будучи рядами, и поэтому их нельзя должным образом рассматривать ни как бесконечные, ни как имеющие концы. Ряд мгновений от любого более раннего к любому более позднему (оба включены) бесконечен, но имеет два конца; ряд мгновений от начала времени до настоящего момента имеет один конец, но бесконечен. Кант в своей первой антиномии, по-видимому, считает, что прошлому труднее быть бесконечным, чем будущему, на том основании, что прошлое теперь завершено и что ничто бесконечное не может быть завершено. Очень трудно понять, как он мог вообразить, что в этом замечании есть какой-то смысл; но представляется наиболее вероятным, что он думал о бесконечном как о «незавершенном». Странно, что он не увидел, что будущее тоже имеет один конец в настоящем и находится точно на одном уровне с прошлым. То, что он рассматривает их как разные в этом отношении, иллюстрирует именно тот вид рабства перед временем, которое, как мы согласились, говоря о Пармениде, истинный философ должен научиться оставлять позади.

Путаница, внесенная в представления философов так называемой «истинной» бесконечностью, любопытна. Они видят, что это понятие не то же самое, что математическая бесконечность, но они предпочитают верить, что это именно то понятие, к которому тщетно пытаются прийти математики. Поэтому они любезно, но твердо сообщают математикам, что те ошибаются, придерживаясь «ложной» бесконечности, поскольку, очевидно, «истинная» бесконечность — это нечто совершенно иное. Ответ на это заключается в том, что то, что они называют «истинной» бесконечностью, — это понятие, совершенно не относящееся к проблеме математической бесконечности, с которой оно имеет лишь причудливую и словесную аналогию. Оно настолько отдалено, что я не намерен запутывать вопрос, даже упоминая, что такое «истинная» бесконечность. Нас беспокоит «ложная» бесконечность, и мы должны показать, что эпитет «ложная» незаслужен.

Существуют, однако, некоторые подлинные трудности в понимании бесконечного, некоторые привычки ума, производные от рассмотрения конечных чисел и легко переносимые на бесконечные числа под ошибочным представлением, что они представляют собой логические необходимости. Например, каждое число, к которому мы привыкли, кроме 0, имеет другое число непосредственно перед ним, из которого оно получается путем прибавления 1; но первое бесконечное число не обладает этим свойством. Числа перед ним образуют бесконечный ряд, содержащий все обычные конечные числа, не имеющий максимума, не имеющий последнего конечного числа, после которого один маленький шаг погрузил бы нас в бесконечность. Если предположить, что первое бесконечное число достигается последовательностью маленьких шагов, легко показать, что оно противоречит самому себе. Первое бесконечное число, по сути, находится за пределами всего бесконечного ряда конечных чисел. «Но», — скажут нам, — «не может быть ничего за пределами целого бесконечного ряда». Это, как мы можем указать, тот самый принцип, на который опирается Зенон в аргументах о беговой дорожке и Ахиллесе. Возьмем беговую дорожку: есть момент, когда бегуну еще нужно пробежать половину дистанции, затем момент, когда ему еще нужно пробежать четверть, затем восьмую, и так далее в строго бесконечном ряду. За пределами целого этого ряда находится момент, когда он достигает финиша. Таким образом, определенно может быть нечто за пределами целого бесконечного ряда. Но остается показать, что этот факт — лишь то, чего можно было ожидать.

Трудность, как и большинство более расплывчатых трудностей, окружающих математическую бесконечность, проистекает, я думаю, из более или менее бессознательного действия идеи счета. Если вы возьметесь считать члены бесконечной совокупности, вы никогда не завершите свою задачу. Таким образом, в случае с бегуном, если бы были отмечены половина, три четверти, семь восьмых и так далее дистанции, и бегуну не разрешалось бы проходить ни одну из отметок, пока судья не сказал бы «Теперь», тогда вывод Зенона был бы верен на практике, и он никогда не достиг бы финиша.

Но для существования совокупности или даже для знания и рассуждения о ней не является существенным, чтобы мы могли рассматривать ее члены один за другим. Это можно увидеть на примере конечных совокупностей; мы можем говорить о «человечестве» или «человеческом роде», хотя многие индивиды в этой совокупности нам лично не известны. Мы можем делать это, потому что мы знаем о различных характеристиках, которыми обладает каждый индивид, если он принадлежит к совокупности, и не обладает, если не принадлежит. И точно то же самое происходит в случае с бесконечными совокупностями: они могут быть известны по своим характеристикам, хотя их члены не могут быть перечислены. В этом смысле бесконечный ряд может тем не менее образовывать целое, и за пределами целого могут быть новые члены.

Некоторые чисто арифметические особенности бесконечных чисел также вызывали недоумение. Например, бесконечное число не увеличивается при прибавлении к нему единицы или при его удвоении. Такие особенности многим казались противоречащими логике, но на самом деле они противоречат лишь укоренившимся умственным привычкам. Вся трудность предмета заключается в необходимости мыслить непривычным образом и в осознании того, что многие свойства, которые мы считали присущими числу, на самом деле свойственны только конечным числам. Если это помнить, то позитивная теория бесконечности, которая займет следующую лекцию, не покажется такой сложной, как она кажется тем, кто упорно цепляется за предрассудки, внушенные арифметикой, которую изучают в детстве.

ЛЕКЦИЯ VII ПОЗИТИВНАЯ ТЕОРИЯ БЕСКОНЕЧНОСТИ

ЛЕКЦИЯ VII ПОЗИТИВНАЯ ТЕОРИЯ БЕСКОНЕЧНОСТИ

Позитивная теория бесконечности и общая теория числа, к которой она привела, являются одними из триумфов научного метода в философии и поэтому особенно подходят для иллюстрации логико-аналитического характера этого метода. Работа в этой области была проделана математиками, и ее результаты могут быть выражены в математической символике. Почему же тогда, можно сказать, этот предмет следует рассматривать как философию, а не как математику? Это поднимает сложный вопрос, отчасти связанный с использованием слов, но отчасти также имеющий реальное значение для понимания функции философии. Любой предмет, по-видимому, может порождать философские исследования наряду с соответствующей наукой, причем разница между двумя подходами заключается в направлении движения и в том, какого рода истины стремятся установить. В специальных науках, когда они становятся полностью развитыми, движение идет вперед и синтетически, от более простого к более сложному. Но в философии мы следуем обратному направлению: от сложного и относительно конкретного мы переходим к простому и абстрактному посредством анализа, стремясь в процессе устранить партикулярность исходного предмета и ограничить наше внимание исключительно логической формой рассматриваемых фактов.

Между философией и чистой математикой существует определенное родство в том факте, что обе они являются общими и априорными. Ни одна из них не утверждает положений, которые, подобно положениям истории и географии, зависят от того, что актуальные конкретные факты являются именно такими, какие они есть. Мы можем проиллюстрировать эту характеристику с помощью лейбницевской концепции многих возможных миров, из которых только один является актуальным. Во всех многих возможных мирах философия и математика будут одинаковыми; различия будут только в отношении тех частных фактов, которые фиксируются описательными науками. Любое качество, следовательно, которым наш актуальный мир отличается от других абстрактно возможных миров, должно игнорироваться как математикой, так и философией. Математика и философия, однако, различаются в своем способе обращения с общими свойствами, в которых согласны все возможные миры; ибо в то время как математика, начиная с относительно простых положений, стремится выстроить все более сложные результаты посредством дедуктивного синтеза, философия, начиная с данных, которые являются общеизвестными, стремится очистить и обобщить их до простейших утверждений абстрактной формы, которые могут быть получены из них путем логического анализа.

Различие между философией и математикой можно проиллюстрировать на нашей текущей проблеме, а именно на природе числа. Обе начинают с определенных фактов о числах, которые очевидны при рассмотрении. Но математика использует эти факты для вывода все более сложных теорем, в то время как философия стремится путем анализа выйти за пределы этих фактов к другим, более простым, более фундаментальным и по своей сути более подходящим для формирования посылок науки арифметики. Вопрос «Что такое число?» является выдающимся философским вопросом в этой области, но это вопрос, который математик как таковой не обязан задавать, при условии, что он знает достаточно свойств чисел, чтобы иметь возможность вывести свои теоремы. Мы, поскольку наша цель философская, должны взяться за вопрос философа. Ответ на вопрос «Что такое число?», к которому мы придем в этой лекции, как окажется, дает также, по импликации, ответ на трудности бесконечности, которые мы рассматривали в предыдущей лекции.

Вопрос «Что такое число?» — это вопрос, который до недавнего времени никогда не рассматривался таким образом, который способен дать точный ответ. Философы довольствовались каким-нибудь расплывчатым изречением, таким как «Число есть единство во множественности». Типичное определение того рода, который удовлетворял философов, — это следующее из «Логики» Зигварта (§ 66, раздел 3): «Каждое число есть не просто множественность, но множественность, мыслимая как удерживаемая вместе и замкнутая, и в этой мере как единство». Теперь в таких определениях есть очень элементарная ошибка, того же рода, которая была бы совершена, если бы мы сказали «желтое — это цветок», потому что некоторые цветы желтые. Возьмем, например, число 3. Единичную совокупность из трех вещей можно было бы мыслить как «множественность, мыслимую как удерживаемую вместе и замкнутую, и в этой мере как единство»; но совокупность из трех вещей не есть число 3. Число 3 — это нечто, что есть общего у всех совокупностей из трех вещей, но само по себе оно не является совокупностью из трех вещей. Определение, следовательно, помимо любых других дефектов, не достигло необходимой степени абстракции: число 3 — это нечто более абстрактное, чем любая совокупность из трех вещей.

Такие расплывчатые философские определения, однако, оставались недейственными из-за самой своей расплывчатости. То, что большинство людей, размышлявших о числах, действительно имели в виду, заключалось в том, что числа — это результат счета. «На сознании закона счета, — говорит Зигварт в начале своего обсуждения числа, — покоится возможность спонтанного продолжения ряда чисел ad infinitum». Именно этот взгляд на число как на порождаемое счетом был главным психологическим препятствием для понимания бесконечных чисел. Счет, поскольку он привычен, ошибочно полагается простым, тогда как на самом деле это в высшей степени сложный процесс, который не имеет смысла, если числа, достигаемые при счете, не имеют какого-то значения, независимого от процесса, с помощью которого они достигаются. И бесконечные числа вообще не могут быть достигнуты таким образом. Ошибка того же рода, как если бы коров определяли как то, что можно купить у скототорговца. Человеку, который знал нескольких скототорговцев, но никогда не видел коровы, это могло бы показаться восхитительным определением. Но если бы в своих путешествиях он наткнулся на стадо диких коров, ему пришлось бы заявить, что это вовсе не коровы, потому что ни один скототорговец не мог бы их продать. Так бесконечные числа объявлялись вовсе не числами, потому что их нельзя было достичь счетом.

Стоит на мгновение рассмотреть, что такое счет на самом деле. Мы считаем набор объектов, когда позволяем нашему вниманию переходить от одного к другому, пока не уделим внимание каждому по одному разу, произнося названия чисел по порядку с каждым последовательным актом внимания. Последнее число, названное в этом процессе, есть число объектов, и поэтому счет — это метод выяснения того, каково число объектов. Но эта операция на самом деле очень сложная, и те, кто воображает, что она является логическим источником числа, показывают себя удивительно неспособными к анализу. Во-первых, когда мы говорим «один, два, три…», считая, нельзя сказать, что мы обнаруживаем число считаемых объектов, если мы не придаем никакого значения словам один, два, три… Ребенок может научиться знать эти слова по порядку и повторять их правильно, как буквы алфавита, не придавая им никакого значения. Такой ребенок может считать правильно с точки зрения взрослого слушателя, не имея вообще никакого представления о числах. Операция счета, по сути, может быть разумно выполнена только человеком, который уже имеет некоторое представление о том, что такое числа; и из этого следует, что счет не дает логического основания числа.

Опять же, откуда мы знаем, что последнее число, достигнутое в процессе счета, есть число считаемых объектов? Это как раз один из тех фактов, которые слишком привычны, чтобы их значение было осознано; но те, кто хочет быть логиками, должны приобрести привычку останавливаться на таких фактах. В этом факте задействованы два положения: во-первых, что число чисел от 1 до любого данного числа есть это данное число — например, число чисел от 1 до 100 равно ста; во-вторых, что если набор чисел может быть использован в качестве названий набора объектов, причем каждое число встречается только один раз, то число чисел, использованных в качестве названий, равно числу объектов. Первое из этих положений допускает легкое арифметическое доказательство, пока речь идет о конечных числах; но с бесконечными числами, после первого, оно перестает быть верным. Второе положение остается верным и является, по сути, как мы увидим, непосредственным следствием определения числа. Но из-за ложности первого положения там, где речь идет о бесконечных числах, счет, даже если бы он был практически возможен, не был бы верным методом обнаружения числа членов в бесконечной совокупности и на самом деле давал бы разные результаты в зависимости от того, каким образом он осуществлялся.

Существует два аспекта, в которых известные бесконечные числа отличаются от конечных чисел: во-первых, бесконечные числа обладают, в то время как конечные числа не обладают, свойством, которое я назову рефлексивностью; во-вторых, конечные числа обладают, в то время как бесконечные числа не обладают, свойством, которое я назову индуктивностью. Давайте рассмотрим эти два свойства последовательно.

(1) Рефлексивность. — Число называется рефлексивным, когда оно не увеличивается при прибавлении к нему 1. Отсюда сразу следует, что любое конечное число может быть прибавлено к рефлексивному числу, не увеличивая его. Это свойство бесконечных чисел всегда считалось до недавнего времени противоречащим самому себе; но благодаря работе Георга Кантора стало признаваться, что, хотя это поначалу и удивительно, это не более противоречиво, чем тот факт, что люди на антиподах не падают вниз. В силу этого свойства, учитывая любую бесконечную совокупность объектов, любое конечное число объектов может быть добавлено или убрано без увеличения или уменьшения числа совокупности. Даже бесконечное число объектов может, при определенных условиях, быть добавлено или убрано без изменения числа. Это может быть прояснено с помощью некоторых примеров.

Представьте все натуральные числа 0, 1, 2, 3, … записанными в ряд, и непосредственно под ними запишите числа 1, 2, 3, 4, …, так что 1 находится под 0, 2 под 1 и так далее. Тогда каждое число в верхнем ряду имеет число непосредственно под ним в нижнем ряду, и ни одно число не встречается дважды ни в одном ряду. Отсюда следует, что число чисел в двух рядах должно быть одинаковым. Но все числа, которые встречаются в нижнем ряду, также встречаются в верхнем ряду, и еще одно, а именно 0; таким образом, число членов в верхнем ряду получается путем прибавления единицы к числу нижнего ряда. До тех пор, следовательно, пока предполагалось, что число должно увеличиваться при прибавлении к нему 1, это положение дел составляло противоречие и приводило к отрицанию того, что существуют бесконечные числа.

0, 1, 2, 3, … n …

1, 2, 3, 4, … n + 1 …

Следующий пример еще более удивителен. Запишите натуральные числа 1, 2, 3, 4, … в верхнем ряду, а четные числа 2, 4, 6, 8, … в нижнем ряду, так что под каждым числом в верхнем ряду стоит его удвоенное значение в нижнем ряду. Тогда, как и прежде, число чисел в двух рядах одинаково, однако второй ряд получается путем вычитания всех нечетных чисел — бесконечной совокупности — из верхнего ряда. Этот пример приводится Лейбницем, чтобы доказать, что не может быть бесконечных чисел. Он верил в бесконечные совокупности, но, поскольку он думал, что число всегда должно увеличиваться, когда к нему прибавляют, и уменьшаться, когда из него вычитают, он утверждал, что бесконечные совокупности не имеют чисел. «Число всех чисел, — говорит он, — подразумевает противоречие, которое я показываю так: любому числу соответствует число, равное его удвоенному значению. Следовательно, число всех чисел не больше числа четных чисел, т.е. целое не больше своей части». [49] При рассмотрении этого аргумента мы должны заменить «число всех чисел» на «число всех конечных чисел»; тогда мы получим в точности иллюстрацию, данную нашими двумя рядами, один из которых содержит все конечные числа, а другой — только четные конечные числа. Будет видно, что Лейбниц считает противоречащим самому себе утверждение, что целое не больше своей части. Но слово «больше» — это слово, которое способно иметь много значений; для нашей цели мы должны заменить его менее двусмысленной фразой «содержащее большее число членов». В этом смысле не является противоречивым, чтобы целое и часть были равны; именно осознание этого факта сделало возможной современную теорию бесконечности.

Существует интересное обсуждение рефлексивности бесконечных целых в первом из «Диалогов о движении» Галилея. Я цитирую перевод, опубликованный в 1730 году. [50] Персонажи диалога — Сальвиати, Сагредо и Симпличио, и они рассуждают следующим образом:

«Симп. Здесь уже возникает сомнение, которое, я думаю, не может быть разрешено; и оно заключается в следующем: поскольку ясно, что одна линия дана большей, чем другая, и поскольку обе содержат бесконечные точки, мы должны, конечно, неизбежно сделать вывод, что мы нашли в том же роде нечто большее, чем бесконечное, поскольку бесконечность точек большей линии превышает бесконечность точек меньшей. Но теперь, назначить бесконечное, большее, чем бесконечное, — это то, что я никак не могу себе представить».

«Салв. Это некоторые из тех трудностей, которые возникают из рассуждений, которые наш конечный разум ведет о бесконечностях, приписывая им атрибуты, которые мы даем вещам конечным и ограниченным, что, я думаю, весьма неуместно, потому что эти атрибуты большинства, меньшинства и равенства не согласуются с бесконечностями, о которых мы не можем сказать, что одна больше, меньше или равна другой. В доказательство чего мне пришло в голову нечто, что (чтобы меня лучше поняли) я предложу в виде вопросов Симпличио, который начал эту трудность. Начнем тогда: я полагаю, вы знаете, какие числа квадратные, а какие нет?»

«Симп. Я очень хорошо знаю, что квадратное число — это то, которое возникает от умножения любого числа на само себя; таким образом, 4 и 9 — квадратные числа, первое возникает от 2, а второе от 3, умноженных на самих себя».

«Салв. Очень хорошо; и вы также знаете, что поскольку произведения называются квадратами, множители называются корнями: и что другие числа, которые не происходят от чисел, умноженных на самих себя, не являются квадратами. Откуда, беря все числа, как квадраты, так и не квадраты, если бы я сказал, что не квадратов больше, чем квадратов, разве я не был бы прав?»

«Симп. Безусловно».

«Салв. Если я продолжу с вами тогда и спрошу, сколько существует квадратных чисел? вы можете справедливо ответить, что их столько же, сколько их собственных корней, поскольку каждый квадрат имеет свой корень, и каждый корень — свой квадрат, и поскольку ни один квадрат не имеет более одного корня, ни один корень — более одного квадрата».

«Симп. Очень верно».

«Салв. Но теперь, если бы я спросил, сколько существует корней, вы не можете отрицать, что их столько же, сколько чисел, поскольку нет числа, которое не было бы корнем какого-нибудь квадрата. И это будучи признанным, мы можем точно так же утверждать, что существует столько же квадратных чисел, сколько чисел; ибо квадратов столько же, сколько корней, а корней столько же, сколько чисел. И все же в начале этого мы сказали, что чисел гораздо больше, чем квадратов, большая часть чисел не является квадратами: и хотя число квадратов уменьшается в большей пропорции, по мере того как мы переходим к большим числам, ибо посчитайте до ста, вы найдете 10 квадратов, а именно 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, что то же самое, что сказать, что 10-я часть — это квадраты; в десяти тысячах только 100-я часть — квадраты; в миллионе только 1000-я: И все же в бесконечном числе, если мы можем только постичь его, мы можем сказать, что квадратов столько же, сколько всех чисел, взятых вместе».

«Сагр. Что же должно быть определено в этом случае?»

«Салв. Я не вижу иного пути, кроме как сказать, что все числа бесконечны; квадраты бесконечны, их корни бесконечны, и что число квадратов не меньше числа чисел, ни это меньше того: и затем заключить, что атрибуты или термины равенства, большинства и меньшинства не имеют места в бесконечностях, но ограничены конечными величинами».

То, как проблема изложена в вышеприведенном обсуждении, достойно Галилея, но предложенное решение не является верным. На самом деле число квадратных (конечных) чисел такое же, как число (конечных) чисел. Тот факт, что, пока мы ограничиваемся числами, меньшими некоторого данного конечного числа, доля квадратов стремится к нулю по мере увеличения данного конечного числа, не противоречит тому факту, что число всех конечных квадратов такое же, как число всех конечных чисел. Это лишь пример того факта, теперь привычного математикам, что предел функции по мере приближения переменной к данной точке может быть не тем же самым, что ее значение, когда переменная фактически достигает данной точки. Но хотя бесконечные числа, которые обсуждает Галилей, равны, Кантор показал, что то, что Симпличио не мог постичь, верно, а именно, что существует бесконечное число различных бесконечных чисел и что понятие большего и меньшего может быть прекрасно применено к ним. Вся трудность Симпличио проистекает, как очевидно, из его убеждения, что если можно применить большее и меньшее, то часть бесконечной совокупности должна иметь меньше членов, чем целое; и когда это отрицается, все противоречия исчезают. Что касается больших и меньших длин линий, что является проблемой, с которой начинается вышеприведенное обсуждение, то это подразумевает значение большего и меньшего, которое не является арифметическим. Число точек одинаково в длинной линии и в короткой, будучи на самом деле таким же, как число точек во всем пространстве. Большее и меньшее метрической геометрии включает в себя новое метрическое понятие конгруэнтности, которое не может быть развито из одних только арифметических соображений. Но этот вопрос не имеет той фундаментальной важности, которая принадлежит арифметической теории бесконечности.

(2) Неиндуктивность. — Второе свойство, которым бесконечные числа отличаются от конечных чисел, — это свойство неиндуктивности. Это будет лучше всего объяснено путем определения положительного свойства индуктивности, которое характеризует конечные числа и которое названо в честь метода доказательства, известного как «математическая индукция».

Давайте сначала рассмотрим, что имеется в виду под называнием свойства «наследственным» в данном ряду. Возьмем такое свойство, как быть названным Джонсом. Если человека зовут Джонс, то и его сына тоже; поэтому мы назовем свойство называться Джонсом наследственным по отношению к отношению отца и сына. Если человека зовут Джонс, то все его потомки по прямой мужской линии называются Джонс; это следует из того факта, что свойство является наследственным. Теперь, вместо отношения отца и сына, рассмотрим отношение конечного числа к его непосредственному преемнику, то есть отношение, которое имеет место между 0 и 1, между 1 и 2, между 2 и 3 и так далее. Если свойство чисел является наследственным по отношению к этому отношению, то если оно принадлежит (скажем) 100, оно должно принадлежать также всем конечным числам, большим 100; ибо, будучи наследственным, оно принадлежит 101, потому что принадлежит 100, и оно принадлежит 102, потому что принадлежит 101, и так далее — где «и так далее» приведет нас, рано или поздно, к любому конечному числу, большему 100. Таким образом, например, свойство быть больше 99 является наследственным в ряду конечных чисел; и вообще, свойство является наследственным в этом ряду, когда, учитывая любое число, обладающее этим свойством, следующее число всегда также должно обладать им.

Будет видно, что наследственное свойство, хотя оно должно принадлежать всем конечным числам, большим данного числа, обладающего этим свойством, не обязательно должно принадлежать всем числам, меньшим этого числа. Например, наследственное свойство быть больше 99 принадлежит 100 и всем большим числам, но не любому меньшему числу. Аналогично, наследственное свойство называться Джонсом принадлежит всем потомкам (по прямой мужской линии) тех, кто обладает этим свойством, но не всем их предкам, потому что мы достигаем, наконец, первого Джонса, до которого предки не имеют фамилии. Очевидно, однако, что любое наследственное свойство, которым обладал Адам, должно принадлежать всем людям; и аналогично любое наследственное свойство, которым обладал 0, должно принадлежать всем конечным числам. Это принцип того, что называется «математической индукцией». Часто случается, когда мы хотим доказать, что все конечные числа обладают некоторым свойством, что мы должны сначала доказать, что 0 обладает этим свойством, а затем, что свойство является наследственным, т.е. что если оно принадлежит данному числу, то оно принадлежит следующему числу. Благодаря тому факту, что такие доказательства называются «индуктивными», я буду называть свойства, к которым они применимы, «индуктивными» свойствами. Таким образом, индуктивное свойство чисел — это свойство, которое является наследственным и принадлежит 0.

Взяв любое из натуральных чисел, скажем 29, легко увидеть, что оно должно обладать всеми индуктивными свойствами. Ибо поскольку такие свойства принадлежат 0 и являются наследственными, они принадлежат 1; следовательно, поскольку они наследственные, они принадлежат 2, и так далее; двадцатью девятью повторениями таких аргументов мы показываем, что они принадлежат 29. Мы можем определить «индуктивные» числа как все те, которые обладают всеми индуктивными свойствами; они будут такими же, как то, что называется «натуральными» числами, т.е. обычными конечными целыми числами. Ко всем таким числам доказательства посредством математической индукции могут быть обоснованно применены. Это те числа, мы можем свободно сказать, которые могут быть достигнуты из 0 путем последовательных прибавлений 1; другими словами, это все числа, которые могут быть достигнуты счетом.

Но за пределами всех этих чисел существуют бесконечные числа, и бесконечные числа не обладают всеми индуктивными свойствами. Такие числа, следовательно, могут быть названы неиндуктивными. Все те свойства чисел, которые доказываются воображаемым пошаговым процессом от одного числа к следующему, подвержены неудаче, когда мы доходим до бесконечных чисел. Первое из бесконечных чисел не имеет непосредственного предшественника, потому что нет наибольшего конечного числа; таким образом, никакая последовательность шагов от одного числа к следующему никогда не дойдет от конечного числа до бесконечного, и пошаговый метод доказательства терпит неудачу. Это еще одна причина предполагаемых самопротиворечий бесконечных чисел. Многие из наиболее привычных свойств чисел, которые обычай заставлял людей рассматривать как логически необходимые, на самом деле доказуемы только пошаговым методом и перестают быть верными для бесконечных чисел. Но как только мы осознаем необходимость доказательства таких свойств посредством математической индукции и строго ограниченную область этого метода доказательства, предполагаемые противоречия оказываются противоречащими не логике, а только нашим предрассудкам и умственным привычкам.

Свойство увеличиваться при прибавлении 1 — т.е. свойство нерефлексивности — может послужить иллюстрацией ограничений математической индукции. Легко доказать, что 0 увеличивается при прибавлении 1 и что, если данное число увеличивается при прибавлении 1, то увеличивается и следующее число, т.е. число, полученное при прибавлении 1. Отсюда следует, что каждое из натуральных чисел увеличивается при прибавлении 1. Это следует в общем из общего аргумента и следует для каждого частного случая при достаточном количестве применений аргумента. Мы сначала доказываем, что 0 не равно 1; затем, поскольку свойство увеличиваться на 1 является наследственным, отсюда следует, что 1 не равно 2; отсюда следует, что 2 не равно 3; если мы хотим доказать, что 30 000 не равно 30 001, мы можем сделать это, повторив это рассуждение 30 000 раз. Но мы не можем доказать таким образом, что все числа увеличиваются при прибавлении 1; мы можем только доказать, что это верно для чисел, достижимых последовательными прибавлениями 1, начиная с 0. Рефлексивные числа, которые лежат за пределами всех тех, что достижимы таким образом, на самом деле не увеличиваются при прибавлении 1.

Два свойства рефлексивности и неиндуктивности, которые мы рассматривали как характеристики бесконечных чисел, до сих пор не были доказаны как всегда встречающиеся вместе. Известно, что все рефлексивные числа являются неиндуктивными, но не известно, что все неиндуктивные числа являются рефлексивными. Ошибочные доказательства этого положения были опубликованы многими авторами, включая меня, но до настоящего времени не было найдено ни одного верного доказательства. Бесконечные числа, фактически известные, однако, являются все рефлексивными, а также неиндуктивными; таким образом, в математической практике, если не в теории, эти два свойства всегда связаны. Для наших целей, следовательно, будет удобно игнорировать голую возможность того, что могут существовать неиндуктивные нерефлексивные числа, поскольку все известные числа являются либо индуктивными, либо рефлексивными.

Когда людям впервые представляют бесконечные числа, они склонны отказывать им в праве называться числами, поскольку их поведение настолько отличается от поведения конечных чисел, что называть их числами кажется преднамеренным злоупотреблением терминами. Чтобы ответить на это ощущение, мы должны теперь обратиться к логическому обоснованию арифметики и рассмотреть логическое определение чисел.

Логическое определение чисел, хотя оно и кажется существенной опорой для теории бесконечных чисел, было на самом деле открыто независимо и другим человеком. Теория бесконечных чисел — то есть арифметическая, в противоположность логической, часть теории — была открыта Георгом Кантором и опубликована им в 1882–1883 годах. Определение числа было открыто примерно в то же время человеком, чей великий гений не получил должного признания, — я имею в виду Готлоба Фреге из Йены. Его первая работа, «Begriffsschrift», опубликованная в 1879 году, содержала весьма важную теорию наследственных свойств в ряду, на которую я ссылался в связи с индуктивностью. Его определение числа содержится во второй работе, опубликованной в 1884 году под названием «Die Grundlagen der Arithmetik, eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl». Именно с этой книги начинается логическая теория арифметики, и нам будет полезно рассмотреть анализ Фреге более подробно.

Фреге начинает с того, что отмечает возросшее стремление к логической строгости в математических доказательствах, которое отличает современных математиков от их предшественников, и указывает, что это должно привести к критическому исследованию определения числа. Он переходит к демонстрации неадекватности предыдущих философских теорий, особенно теории «синтетического априори» Канта и эмпирической теории Милля. Это подводит его к вопросу: объектом какого рода является то, к чему можно правильно приписать число? Он указывает, что физические вещи могут рассматриваться как одно или как многое: например, если у дерева тысяча листьев, их можно рассматривать в совокупности как составляющие его листву, что будет считаться за одно, а не за тысячу; и одна пара ботинок — это тот же объект, что и два ботинка. Отсюда следует, что физические вещи не являются субъектами, о которых правильно предикатируется число; ибо когда мы обнаружили надлежащие субъекты, число, которое должно быть приписано, должно быть однозначным. Это ведет к обсуждению весьма распространенного взгляда, что число — это на самом деле нечто психологическое и субъективное, взгляда, который Фреге решительно отвергает. «Число, — говорит он, — является столь же мало объектом психологии или результатом психических процессов, как Северное море... Ботаник желает констатировать нечто, что является таким же фактом, когда он указывает число лепестков цветка, как и тогда, когда он указывает его цвет. Первое зависит от нашего произвола не больше, чем второе. Поэтому существует определенное сходство между числом и цветом; но оно состоит не в том, что оба они чувственно воспринимаемы во внешних вещах, а в том, что оба они объективны» (с. 34).

«Я отличаю объективное, — продолжает он, — от осязаемого, пространственного, действительного. Земная ось, центр масс Солнечной системы объективны, но я не назвал бы их действительными, подобно самой Земле» (с. 35). Он приходит к выводу, что число не является ни пространственным и физическим, ни субъективным, но нечувственным и объективным. Этот вывод важен, поскольку он применим ко всему предмету математики и логики. Большинство философов полагали, что физическое и ментальное вместе исчерпывают мир бытия. Некоторые утверждали, что объекты математики очевидно не являются субъективными, а следовательно, должны быть физическими и эмпирическими; другие утверждали, что они очевидно не являются физическими, а следовательно, должны быть субъективными и ментальными. Обе стороны были правы в том, что они отрицали, и неправы в том, что они утверждали; заслуга Фреге состоит в принятии обоих отрицаний и нахождении третьего утверждения путем признания мира логики, который не является ни ментальным, ни физическим.

Дело в том, как указывает Фреге, что никакое число, даже 1, не применимо к физическим вещам, а только к общим терминам или описаниям, таким как «человек», «спутник Земли», «спутник Венеры». Общий термин «человек» применим к определенному количеству объектов: в мире существует столько-то людей. Единство, которое философы справедливо считают необходимым для утверждения числа, есть единство общего термина, и именно общий термин является надлежащим субъектом числа. И это в равной степени применимо, когда под общий термин подпадает один объект или ни одного. «Спутник Земли» — это термин, применимый только к одному объекту, а именно к Луне. Но «один» не является свойством самой Луны, которую с таким же успехом можно рассматривать как множество молекул: это свойство общего термина «спутник Земли». Аналогично, 0 — это свойство общего термина «спутник Венеры», поскольку у Венеры нет спутника. Здесь мы наконец получаем понятную теорию числа 0. Это было невозможно, если бы числа применялись к физическим объектам, поскольку очевидно, что ни один физический объект не мог бы иметь число 0. Таким образом, в поисках нашего определения числа мы пришли к результату, что числа являются свойствами общих терминов или общих описаний, а не физических вещей или ментальных событий.

Вместо того чтобы говорить об общем термине, таком как «человек», как о субъекте, о котором может быть утверждено число, мы можем, не внося никаких серьезных изменений, взять в качестве субъекта класс или совокупность объектов — т. е. «человечество» в вышеприведенном примере, — к которым применим данный общий термин. Два общих термина, такие как «человек» и «двуногое без перьев», которые применимы к одной и той же совокупности объектов, очевидно, будут иметь одно и то же число экземпляров; таким образом, число зависит от класса, а не от выбора того или иного общего термина для его описания, при условии, что можно найти несколько общих терминов для описания одного и того же класса. Но какой-то общий термин всегда необходим для описания класса. Даже когда термины перечисляются как «это, и то, и другое», совокупность конституируется общим свойством быть либо этим, либо тем, либо другим, и только так приобретает единство, которое позволяет нам говорить о ней как об одной совокупности. А в случае бесконечного класса перечисление невозможно, так что описание посредством общей характеристики, общей и присущей членам класса, является единственно возможным описанием. Здесь, как мы видим, теория числа, к которой Фреге пришел путем чисто логических соображений, становится полезной, показывая, как бесконечные классы могут быть доступны для счета, несмотря на невозможность их перечисления.