«Наше знание внешнего мира как область для научного метода в философии»

Но в этой точке воображение подсказывает, что мы можем описать непрерывность движения, говоря, что пятнышко всегда переходит от одной позиции в одно мгновение к следующей позиции в следующее мгновение. Как только мы говорим это или воображаем, мы впадаем в ошибку, потому что нет следующей точки или следующего мгновения. Если бы они были, мы нашли бы парадоксы Зенона в некоторой форме неизбежными, как это появится в нашей следующей лекции. Один простой парадокс может послужить иллюстрацией. Если наше пятнышко находится в движении вдоль шкалы в течение всего определенного времени, оно не может быть в одной и той же точке в два последовательных мгновения. Но оно не может от одного мгновения к следующему переместиться дальше, чем от одной точки к следующей, ибо если бы оно это сделало, не было бы мгновения, в котором оно было бы в позициях, промежуточных между той, что в первое мгновение, и той, что в следующее, а мы согласились, что непрерывность движения исключает возможность таких внезапных прыжков. Из этого следует, что наше пятнышко должно, пока оно движется, переходить от одной точки в одно мгновение к следующей точке в следующее мгновение. Таким образом, будет только одна совершенно определенная скорость, с которой все движения должны происходить: никакое движение не может быть быстрее этого, и никакое движение не может быть медленнее. Поскольку этот вывод ложен, мы должны отвергнуть гипотезу, на которой он основан, а именно, что существуют последовательные точки и мгновения. [18] Следовательно, непрерывность движения не должна предполагаться состоящей в том, что тело занимает последовательные позиции в последовательные времена.

Трудность для воображения заключается главным образом, я думаю, в том, чтобы исключить предположение о бесконечно малых расстояниях и временах. Предположим, мы делим пополам данное расстояние, а затем делим пополам половину, и так далее, мы можем продолжать процесс так долго, как нам угодно, и чем дольше мы продолжаем его, тем меньше становится результирующее расстояние. Эта бесконечная делимость кажется, на первый взгляд, подразумевающей, что существуют бесконечно малые расстояния, т. е. расстояния настолько малые, что любая конечная доля дюйма была бы больше. Это, однако, ошибка. Продолжающееся деление пополам нашего расстояния, хотя и дает нам постоянно меньшие расстояния, дает нам всегда конечные расстояния. Если наше исходное расстояние было дюймом, мы достигаем последовательно полдюйма, четверть дюйма, восьмую, шестнадцатую и так далее; но каждый из этого бесконечного ряда уменьшающихся расстояний является конечным. «Но», — может быть сказано, — «в конце расстояние станет бесконечно малым». Нет, потому что нет конца. Процесс деления пополам — это процесс, который может теоретически продолжаться вечно, без достижения какого-либо последнего члена. Таким образом, бесконечная делимость расстояний, которая должна быть допущена, не подразумевает, что существуют расстояния настолько малые, что любое конечное расстояние было бы больше.

Легко в этом роде вопроса впасть в элементарную логическую ошибку. При любом конечном расстоянии мы можем найти меньшее расстояние; это может быть выражено в двусмысленной форме «существует расстояние, меньшее любого конечного расстояния». Но если это затем интерпретируется как означающее «существует расстояние такое, что, какое бы конечное расстояние ни было выбрано, рассматриваемое расстояние меньше», то утверждение ложно. Обычный язык плохо приспособлен для выражения вещей такого рода, и философы, которые зависели от него, часто вводились им в заблуждение.

В непрерывном движении, таким образом, мы будем говорить, что в любое данное мгновение движущееся тело занимает определенную позицию, а в другие мгновения оно занимает другие позиции; интервал между любыми двумя мгновениями и между любыми двумя позициями всегда конечен, но непрерывность движения проявляется в том факте, что, как бы близко мы ни брали две позиции и два мгновения, есть бесконечное число позиций, еще более близких друг к другу, которые занимаются в мгновения, которые также еще более близки друг к другу. Движущееся тело никогда не прыгает от одной позиции к другой, а всегда проходит путем постепенного перехода через бесконечное число посредников. В данное мгновение оно там, где оно есть, как стрела Зенона; [19] но мы не можем сказать, что оно в покое в это мгновение, поскольку мгновение не длится конечное время, и нет начала и конца мгновения с интервалом между ними. Покой состоит в нахождении в той же позиции во все мгновения в течение определенного конечного периода, как бы мал он ни был; он не состоит просто в том, что тело находится там, где оно есть в данное мгновение. Вся эта теория, как очевидно, зависит от природы компактных рядов и требует для своего полного понимания, чтобы компактные ряды стали знакомыми и легкими для воображения, так же как и для обдуманного мышления.

То, что требуется, может быть выражено на математическом языке, сказав, что позиция движущегося тела должна быть непрерывной функцией времени. Чтобы точно определить, что это значит, мы действуем следующим образом. Рассмотрим частицу, которая в момент t находится в точке P. Выберем теперь любую малую часть P1P2 пути частицы, эта часть является той, которая содержит P. Мы говорим тогда, что если движение частицы непрерывно в момент t, должно быть возможно найти два мгновения t1, t2, одно раньше t и одно позже, такие, что в течение всего времени от t1 до t2 (оба включены) частица лежит между P1 и P2. И мы говорим, что это должно все еще выполняться, как бы мало мы ни делали часть P1P2. Когда это так, мы говорим, что движение непрерывно в момент t; и когда движение непрерывно во все моменты, мы говорим, что движение в целом непрерывно. Очевидно, что если бы частица прыгнула внезапно от P к некоторой другой точке Q, наше определение не сработало бы для всех интервалов P1P2, которые были слишком малы, чтобы включить Q. Таким образом, наше определение дает анализ непрерывности движения, допуская точки и мгновения и отрицая бесконечно малые расстояния в пространстве или периоды во времени.

Философы, в основном в невежестве относительно анализа математика, приняли другие и более героические методы борьбы с primâ facie трудностями непрерывного движения. Типичный и недавний пример философских теорий движения предоставлен Бергсоном, чьи взгляды на этот предмет я исследовал в другом месте. [20]

Помимо определенных аргументов, существуют определенные чувства, скорее, чем причины, которые стоят на пути принятия математического описания движения. Для начала, если тело движется хоть сколько-нибудь быстро, мы видим его движение так же, как видим его цвет. Медленное движение, как у часовой стрелки часов, известно только тем способом, который математика заставила бы нас ожидать, а именно путем наблюдения изменения позиции после истечения времени; но когда мы наблюдаем движение секундной стрелки, мы не просто видим сначала одну позицию, а затем другую — мы видим нечто столь же непосредственно чувственное, как цвет. Что это за нечто, что мы видим и что называем видимым движением? Что бы это ни было, это не последовательное занятие последовательных позиций: нечто за пределами математической теории движения требуется, чтобы объяснить его. Оппоненты математической теории подчеркивают этот факт. «Ваша теория», — говорят они, — «может быть очень логичной и могла бы применяться восхитительно к какому-то другому миру; но в этом актуальном мире актуальные движения совершенно отличаются от того, чем ваша теория объявила бы их, и требуют, поэтому, некоторой другой философии, чем ваша, для их адекватного объяснения».

Возражение, таким образом поднятое, — это то, которое я не имею желания недооценивать, но я верю, что оно может быть полностью отвечено, не отходя от методов и взгляда, которые привели к математической теории движения. Давайте, однако, сначала попытаемся изложить возражение более полно.

Если математическая теория адекватна, ничего не происходит, когда тело движется, кроме того, что оно находится в разных местах в разные времена. Но в этом смысле часовая стрелка и секундная стрелка одинаково в движении, однако в секундной стрелке есть нечто воспринимаемое нашими чувствами, чего нет в часовой стрелке. Мы можем видеть, в каждый момент, что секундная стрелка движется, что отличается от видения ее сначала в одном месте, а затем в другом. Это, кажется, вовлекает наше видение ее одновременно в ряде мест, хотя это должно также вовлекать наше видение того, что она в некоторых из этих мест раньше, чем в других. Если, например, я двигаю свою руку быстро слева направо, вы, кажется, видите все движение сразу, несмотря на тот факт, что вы знаете, что оно начинается слева и заканчивается справа. Это тот род соображения, я думаю, который ведет Бергсона и многих других рассматривать движение как действительно одно неделимое целое, а не ряд отдельных состояний, воображаемых математиком.

На это возражение есть три дополнительных ответа: физиологический, психологический и логический. Мы рассмотрим их последовательно.

(1) Физиологический ответ просто показывает, что если физический мир таков, каким его предполагает математик, его чувственное явление может тем не менее ожидаться быть таким, какое оно есть. Цель этого ответа, таким образом, скромная — показать, что математическое описание не является невозможным при применении к физическому миру; оно даже не пытается показать, что это описание необходимо или что аналогичное описание применимо в психологии.

Когда любой нерв стимулируется, чтобы вызвать ощущение, ощущение не прекращается мгновенно с прекращением стимула, а угасает в короткое конечное время. Вспышка молнии, краткая, как она есть для нашего зрения, еще более кратка как физическое явление: мы продолжаем видеть ее несколько мгновений после того, как световые волны перестали ударять в глаз. Таким образом, в случае физического движения, если оно достаточно быстрое, мы будем фактически в одно мгновение видеть движущееся тело на протяжении конечной части его пути, а не только в точном месте, где оно находится в это мгновение. Ощущения, однако, по мере того как они угасают, становятся постепенно слабее; таким образом, ощущение, обусловленное стимулом, который недавно прошел, не совсем похоже на ощущение, обусловленное настоящим стимулом. Из этого следует, что, когда мы видим быстрое движение, мы будем не только видеть ряд позиций движущегося тела одновременно, но мы будем видеть их с разными степенями интенсивности — настоящую позицию наиболее ярко, а другие с уменьшающейся яркостью, пока ощущение не угаснет в непосредственную память. Это состояние вещей полностью объясняет восприятие движения. Движение воспринимается, а не просто выводится, когда оно достаточно быстрое для того, чтобы многие позиции были чувственны в одно время; и более ранние и более поздние части одного воспринимаемого движения различаются меньшей и большей яркостью ощущений.

Этот ответ показывает, что физиология может объяснить наше восприятие движения. Но физиология, говоря о стимуле и органах чувств и физическом движении, отличном от непосредственного объекта чувства, предполагает истинность физики и, таким образом, способна лишь показать физическое описание возможным, а не показать его необходимым. Это соображение приводит нас к психологическому ответу.

(2) Психологический ответ на нашу трудность относительно движения является частью обширной теории, еще не разработанной и способной в настоящее время быть лишь смутно очерченной. Мы рассматривали эту теорию в третьей и четвертой лекциях; на данный момент достаточно простого наброска ее применения к нашей настоящей проблеме. Мир физики, который предполагался в физиологическом ответе, очевидно, выводится из того, что дано в ощущении; однако, как только мы серьезно рассматриваем то, что фактически дано в ощущении, мы находим его, по-видимому, очень отличным от мира физики. Вопрос, таким образом, навязывается нам: является ли вывод от чувства к физике обоснованным? Я верю, что ответ утвердительный, по причинам, которые я предложил в третьей и четвертой лекциях; но ответ не может быть ни коротким, ни легким. Он состоит, в общих чертах, в том, чтобы показать, что, хотя частицы, точки и мгновения, с которыми оперирует физика, сами по себе не даны в опыте и, весьма вероятно, не являются актуально существующими вещами, тем не менее, из материалов, предоставленных в ощущении, возможно сделать логические конструкции, имеющие математические свойства, которые физика приписывает частицам, точкам и мгновениям. Если это может быть сделано, то все положения физики могут быть переведены, своего рода словарем, в положения о родах объектов, которые даны в ощущении.

Применяя эти общие соображения к случаю движения, мы находим, что даже в сфере непосредственных чувственных данных необходимо, или, по крайней мере, более согласно с фактами, чем любой другой столь же простой взгляд, различать мгновенные состояния объектов и рассматривать такие состояния как образующие компактный ряд. Давайте рассмотрим тело, которое движется достаточно быстро для того, чтобы его движение было воспринимаемым, и достаточно долго для того, чтобы его движение не было полностью включено в одно ощущение. Тогда, несмотря на тот факт, что мы видим конечную протяженность движения в одно мгновение, протяженность, которую мы видим в одно мгновение, отличается от той, которую мы видим в другое. Таким образом, мы возвращаемся, в конце концов, к ряду мгновенных видов движущегося тела, и этот ряд будет компактным, как и прежний физический ряд точек. В самом деле, хотя члены ряда кажутся разными, математический характер ряда неизменен, и вся математическая теория движения будет применяться к нему verbatim.

Когда мы рассматриваем в этой связи фактические данные ощущений, важно осознать, что два чувственных данных могут быть — и иногда должны быть — действительно различными, даже если мы не можем уловить между ними никакого различия. Старый, но убедительный довод в пользу этого был подчеркнут Пуанкаре. Во всех случаях чувственных данных, способных к постепенному изменению, мы можем обнаружить одно чувственное данное, неотличимое от другого, а то, в свою очередь, неотличимое от третьего, в то время как первое и третье вполне легко различимы. Предположим, например, что человек с закрытыми глазами держит в руке груз, а кто-то бесшумно добавляет небольшой дополнительный груз. Если дополнительный груз достаточно мал, разница в ощущении не будет воспринята. Через некоторое время может быть добавлен еще один небольшой груз, и изменение по-прежнему не будет воспринято; но если бы оба дополнительных груза были добавлены одновременно, вполне возможно, что изменение было бы весьма легко заметно. Или, опять же, возьмем оттенки цвета. Легко найти три материала столь близких оттенков, что между первым и вторым нельзя было бы заметить никакой разницы, как и между вторым и третьим, в то время как первый и третий были бы различимы. В таком случае второй оттенок не может быть тем же самым, что первый, иначе он был бы отличим от третьего; и не может быть тем же самым, что третий, иначе он был бы отличим от первого. Следовательно, он должен, будучи неотличимым от обоих, быть действительно промежуточным между ними.

Подобные соображения показывают, что, хотя мы не можем различать чувственные данные, если они не отличаются более чем на определенную величину, вполне разумно предположить, что чувственные данные определенного рода, такие как веса или цвета, действительно образуют компактный ряд. Возражения, которые могут быть выдвинуты с психологической точки зрения против математической теории движения, являются, таким образом, возражениями не против этой теории в ее правильном понимании, а лишь против совершенно излишнего допущения о простоте моментального объекта ощущения. Об объекте ощущения в случае видимого движения мы можем сказать, что в каждый момент он находится во всех положениях, которые остаются ощутимыми в этот момент; но этот набор положений непрерывно меняется от момента к моменту и поддается точно такой же математической обработке, как если бы он был простой точкой. Когда мы утверждаем, что некоторое математическое описание явлений верно, мы прежде всего утверждаем лишь то, что нечто, определяемое через грубые феномены, удовлетворяет нашим формулам; и в этом смысле математическая теория движения применима к данным ощущений так же, как и к предполагаемым частицам абстрактной физики.

Существует ряд различных вопросов, которые часто смешивают, когда говорят, что математический континуум неадекватен фактам чувственного восприятия. Мы можем сформулировать их в порядке убывания общности следующим образом:

(a) Логически возможны ли ряды, обладающие математической непрерывностью?

(b) Если предположить, что они логически возможны, не являются ли они невозможными применительно к фактическим чувственным данным, поскольку среди последних нет таких фиксированных, взаимно внешних членов, какие можно найти, например, в ряду дробей?

(c) Не делает ли допущение точек и моментов все математическое описание фиктивным?

(d) Наконец, если предположить, что на все эти возражения даны ответы, существует ли в фактическом эмпирическом опыте какое-либо достаточное основание полагать мир чувств непрерывным?

Рассмотрим эти вопросы последовательно.

(a) Вопрос о логической возможности математического континуума частично упирается в элементарные недоразумения, которые мы рассмотрели в начале настоящей лекции, частично — в возможность математической бесконечности, которой будут посвящены две наши следующие лекции, и частично — в логическую форму ответа на бергсоновское возражение, которое мы сформулировали несколько минут назад. Я не буду больше говорить на эту тему в данный момент, поскольку желательно сначала завершить психологический ответ.

(b) Вопрос о том, состоят ли чувственные данные из взаимно внешних единиц, не может быть решен эмпирическими свидетельствами. Часто утверждают, что в непосредственном опыте чувственный поток лишен делений и искажается расчленениями интеллекта. У меня нет желания спорить с тем, что этот взгляд противоречит непосредственному опыту: я лишь хочу утверждать, что он по существу не способен быть доказан непосредственным опытом. Как мы видели, среди чувственных данных должны существовать различия, столь незначительные, что они остаются незаметными: тот факт, что чувственные данные даны непосредственно, не означает, что их различия также должны быть даны непосредственно (хотя они могут быть таковыми). Предположим, например, окрашенную поверхность, на которой цвет меняется постепенно — настолько постепенно, что разница в цвете двух очень близких участков незаметна, в то время как разница между более удаленными участками вполне заметна. Эффект, производимый в таком случае, будет в точности эффектом «взаимопроникновения», перехода, который не является делом дискретных единиц. И поскольку принято полагать, что цвета, будучи непосредственными данными, должны казаться разными, если они разные, легко следует, что «взаимопроникновение» должно быть в конечном счете верным описанием. Но это не следует. Бессознательно принимается в качестве посылки для reductio ad absurdum аналитического взгляда то, что если A и B являются непосредственными данными и A отличается от B, то факт их различия также должен быть непосредственным данным. Трудно сказать, как возникло это допущение, но я думаю, что оно связано со смешением «знакомства» (acquaintance) и «знания о» (knowledge about). Знакомство, которое мы получаем из чувств, теоретически, по крайней мере, не подразумевает даже малейшего «знания о», т.е. оно не подразумевает знания какого-либо суждения относительно объекта, с которым мы знакомы. Ошибочно говорить так, будто знакомство имеет степени: существует лишь знакомство и незнакомство. Когда мы говорим о том, что стали «лучше знакомы», например, с человеком, мы должны иметь в виду, что стали знакомы с большим количеством частей некоторого целого; но знакомство с каждой частью либо полное, либо отсутствует. Таким образом, ошибочно говорить, что если бы мы были совершенно знакомы с объектом, мы знали бы о нем все. «Знание о» — это знание суждений, которое не обязательно вовлечено в знакомство с составляющими этих суждений. Знать, что два оттенка цвета различны, — это знание о них; следовательно, знакомство с двумя оттенками никоим образом не делает необходимым знание о том, что они различны.

Из только что сказанного следует, что природа чувственных данных не может быть обоснованно использована для доказательства того, что они не состоят из взаимно внешних единиц. С другой стороны, можно признать, что ничто в их эмпирическом характере специально не делает необходимым взгляд, согласно которому они состоят из взаимно внешних единиц. Этот взгляд, если он поддерживается, должен поддерживаться на логических, а не на эмпирических основаниях. Я верю, что логические основания адекватны этому выводу. В конечном счете они опираются на невозможность объяснения сложности без допущения составляющих. Неоспоримо, что визуальное поле, например, сложно; и, насколько я могу судить, всегда существует самопротиворечие в теориях, которые, признавая эту сложность, пытаются отрицать, что она является результатом комбинации взаимно внешних единиц. Но углубление в эту тему увело бы нас слишком далеко от нашей темы, и поэтому я не буду больше говорить об этом в данный момент.

(c) Иногда утверждают, что математическое описание движения становится фиктивным из-за допущения точек и моментов. Здесь следует различать два разных вопроса. Существует вопрос об абсолютном или относительном пространстве и времени, и существует вопрос о том, должно ли то, что занимает пространство и время, состоять из элементов, не имеющих протяженности или длительности. И каждый из этих вопросов в свою очередь может принимать две формы, а именно: (α) является ли гипотеза согласованной с фактами и логикой? (β) является ли она необходимой в силу фактов или логики? Я хочу ответить в каждом случае «да» на первую форму вопроса и «нет» на вторую. Но в любом случае математическое описание движения не будет фиктивным, при условии, что словам «точка» и «момент» дается правильная интерпретация. Несколько слов о каждой альтернативе помогут прояснить это.

Формально математика принимает абсолютную теорию пространства и времени, т.е. она предполагает, что помимо вещей, находящихся в пространстве и времени, существуют также сущности, называемые «точками» и «моментами», которые занимаются вещами. Этот взгляд, однако, хотя и отстаивался Ньютоном, давно рассматривается математиками как просто удобная фикция. Насколько я могу судить, нет никаких мыслимых доказательств ни за, ни против него. Он логически возможен и согласуется с фактами. Но факты также согласуются с отрицанием пространственных и временных сущностей сверх вещей с пространственными и временными отношениями. Следовательно, в соответствии с бритвой Оккама, нам будет лучше воздержаться как от допущения, так и от отрицания точек и моментов. Это означает, с точки зрения практической разработки, что мы принимаем реляционную теорию; ибо на практике отказ от допущения точек и моментов имеет тот же эффект, что и их отрицание. Но в строгой теории они совершенно различны, поскольку отрицание вводит элемент неверифицируемого догмата, который полностью отсутствует, когда мы просто воздерживаемся от утверждения. Таким образом, хотя мы будем выводить точки и моменты из вещей, мы оставим открытой чистую возможность того, что они могут также иметь независимое существование как простые сущности.

Теперь мы подходим к вопросу о том, следует ли мыслить вещи в пространстве и времени как состоящие из элементов без протяженности или длительности, т.е. из элементов, которые занимают лишь точку и момент. Физика формально предполагает в своих дифференциальных уравнениях, что вещи состоят из элементов, которые занимают лишь точку в каждый момент, но сохраняются во времени. По причинам, объясненным в Лекции IV, сохранение вещей во времени следует рассматривать как формальный результат логической конструкции, а не как обязательно подразумевающее какое-либо фактическое сохранение. Те же мотивы, фактически, которые ведут к делению вещей на точечные частицы, должны, по-видимому, вести к их делению на моментные частицы, так что конечной формальной составляющей материи в физике будет точечно-моментная частица. Но такие объекты, как и частицы физики, не являются данными. Та же экономия гипотез, которая диктует практическое принятие относительного, а не абсолютного пространства и времени, также диктует практическое принятие материальных элементов, имеющих конечную протяженность и длительность. Поскольку, как мы видели в Лекции IV, точки и моменты могут быть сконструированы как логические функции таких элементов, математическое описание движения, в котором частица непрерывно проходит через непрерывный ряд точек, может быть интерпретировано в форме, предполагающей только элементы, которые согласуются с нашими фактическими данными в том, что имеют конечную протяженность и длительность. Таким образом, что касается использования точек и моментов, математическое описание движения может быть освобождено от обвинения в использовании фикций.

(d) Но теперь мы должны столкнуться с вопросом: существует ли в фактическом эмпирическом опыте какое-либо достаточное основание полагать мир чувств непрерывным? Ответ здесь, я думаю, должен быть отрицательным. Мы можем сказать, что гипотеза непрерывности вполне согласуется с фактами и логикой и что она технически проще любой другой приемлемой гипотезы. Но поскольку наши способности различения среди очень похожих чувственных объектов не являются бесконечно точными, совершенно невозможно сделать выбор между различными теориями, которые различаются лишь в том, что находится ниже порога различения. Если, например, окрашенная поверхность, которую мы видим, состоит из конечного числа очень маленьких поверхностей, и если движение, которое мы видим, состоит, подобно кинематографу, из большого конечного числа последовательных положений, не будет ничего эмпирически обнаруживаемого, что показало бы, что объекты чувств не являются непрерывными. В том, что называется опытной непрерывностью, как говорят, данной в чувствах, есть большой отрицательный элемент: отсутствие восприятия различия происходит в случаях, которые, как думают, дают восприятие отсутствия различия. Когда, например, мы не можем отличить цвет A от цвета B, ни цвет B от цвета C, но можем отличить A от C, неотличимость является чисто отрицательным фактом, а именно тем, что мы не воспринимаем различие. Даже в отношении непосредственных данных это не является причиной для отрицания того, что различие существует. Таким образом, если мы видим окрашенную поверхность, цвет которой меняется постепенно, ее чувственный облик, если изменение непрерывно, будет неотличим от того, каким он был бы, если бы изменение происходило мелкими конечными скачками. Если это верно, как кажется, то следует, что никогда не может быть никаких эмпирических свидетельств, чтобы доказать, что чувственный мир непрерывен, а не является совокупностью очень большого конечного числа элементов, каждый из которых отличается от своего соседа на конечную, хотя и очень малую величину. Непрерывность пространства и времени, бесконечное число различных оттенков в спектре и так далее — все это по своей природе неверифицируемые гипотезы: логически вполне возможные, вполне согласующиеся с известными фактами и технически более простые, чем любые другие приемлемые гипотезы, но не единственные гипотезы, которые являются логически и эмпирически адекватными.

Если сконструирована реляционная теория моментов, в которой «момент» определяется как группа событий, одновременных друг другу и не все одновременных с каким-либо событием вне группы, то, если наш результирующий ряд моментов должен быть компактным, должно быть возможно, если x полностью предшествует y, найти событие z, одновременное с частью x, которое полностью предшествует некоторому событию, которое полностью предшествует y. Теперь это требует, чтобы число вовлеченных событий было бесконечным в любой конечный период времени. Если это должно быть так в мире чувственных данных одного человека, и если каждое чувственное данное должно иметь не менее чем определенную конечную временную протяженность, необходимо будет предположить, что мы всегда имеем бесконечное число чувственных данных, одновременных с любым данным чувственным данным. Применяя аналогичные соображения к пространству и предполагая, что чувственные данные должны иметь не менее чем определенную пространственную протяженность, необходимо будет предположить, что бесконечное число чувственных данных перекрываются пространственно с любым данным чувственным данным. Эта гипотеза возможна, если мы предположим, что единичное чувственное данное, например, в зрении, является конечной поверхностью, заключающей в себе другие поверхности, которые также являются единичными чувственными данными. Но в такой гипотезе есть трудности, и я не знаю, можно ли успешно справиться с этими трудностями. Если нельзя, мы должны сделать одно из двух: либо объявить, что мир чувственных данных одного человека не является непрерывным, либо отказаться признать, что существует какой-либо нижний предел длительности и протяженности единичного чувственного данного. Я не знаю, какой путь следует выбрать в отношении этих альтернатив. Логический анализ, который мы рассматривали, предоставляет аппарат для работы с различными гипотезами, а эмпирическое решение между ними — это проблема для психолога.

(3) Теперь мы должны рассмотреть логический ответ на предполагаемые трудности математической теории движения, или, скорее, на позитивную теорию, которая выдвигается с другой стороны. Взгляд, прямо выдвигаемый Бергсоном и подразумеваемый в доктринах многих философов, состоит в том, что движение — это нечто неделимое, не поддающееся обоснованному анализу на ряд состояний. Это часть гораздо более общей доктрины, которая утверждает, что анализ всегда искажает, потому что части сложного целого отличаются, будучи объединенными в этом целом, от того, чем они были бы в противном случае. Очень трудно сформулировать эту доктрину в какой-либо форме, имеющей точное значение. Часто используются аргументы, которые не имеют никакого отношения к вопросу. Утверждается, например, что когда человек становится отцом, его природа изменяется новым отношением, в котором он оказывается, так что он не является строго тождественным человеку, который ранее не был отцом. Это может быть правдой, но это каузальный психологический факт, а не логический факт. Доктрина потребовала бы, чтобы человек, который является отцом, не мог быть строго тождественен человеку, который является сыном, потому что он модифицируется одним образом отношением отцовства и другим — отношением сыновства. Фактически, мы можем дать точную формулировку доктрины, с которой мы боремся, в виде: Не может быть двух фактов относительно одной и той же вещи. Факт относительно вещи всегда есть или включает отношение к одной или нескольким сущностям; таким образом, два факта относительно одной и той же вещи включали бы два отношения одной и той же вещи. Но рассматриваемая доктрина утверждает, что вещь настолько модифицируется своими отношениями, что она не может быть той же самой в одном отношении, что и в другом. Следовательно, если эта доктрина верна, никогда не может быть более одного факта относительно любой одной вещи. Я не думаю, что рассматриваемые философы осознали, что это точная формулировка взгляда, который они отстаивают, потому что в этой форме взгляд настолько противоречит простой истине, что его ложность очевидна, как только он сформулирован. Обсуждение этого вопроса, однако, включает так много логических тонкостей и настолько обременено трудностями, что я не буду продолжать его в данный момент.

Как только вышеуказанная общая доктрина отвергнута, становится очевидным, что там, где есть изменение, должна быть последовательность состояний. Не может быть изменения — а движение есть лишь частный случай изменения — если нет чего-то, что отличается в одно время от того, что есть в другое время. Изменение, следовательно, должно включать отношения и сложность и должно требовать анализа. До тех пор, пока наш анализ дошел лишь до других меньших изменений, он не полон; если он должен быть полным, он должен закончиться терминами, которые не являются изменениями, но связаны отношением «раньше» и «позже». В случае изменений, которые кажутся непрерывными, таких как движения, кажется невозможным найти что-либо, кроме изменения, пока мы имеем дело с конечными периодами времени, как бы коротки они ни были. Мы, таким образом, вынуждены логическими необходимостями случая вернуться к концепции моментов без длительности, или, во всяком случае, без какой-либо длительности, которую могут обнаружить даже самые тонкие инструменты. Эта концепция, хотя ее можно заставить казаться трудной, на самом деле легче любой другой, которую допускают факты. Это своего рода логический каркас, в который должна вписаться любая приемлемая теория — не обязательно сама по себе являющаяся изложением грубых фактов, но форма, в которой утверждения, верные относительно грубых фактов, могут быть сделаны посредством подходящей интерпретации. Прямое рассмотрение грубых фактов физического мира было предпринято в более ранних лекциях; в настоящей лекции мы были озабочены лишь тем, чтобы показать, что ничто в грубых фактах не противоречит математической доктрине непрерывности или не требует непрерывности радикально иного рода, чем та, что присуща математическому движению.

ЛЕКЦИЯ VI ПРОБЛЕМА БЕСКОНЕЧНОСТИ В ИСТОРИЧЕСКОМ РАССМОТРЕНИИ

ЛЕКЦИЯ VI ПРОБЛЕМА БЕСКОНЕЧНОСТИ В ИСТОРИЧЕСКОМ РАССМОТРЕНИИ

Напомним, что когда мы перечисляли основания, по которым ставилась под сомнение реальность чувственного мира, одним из упомянутых была предполагаемая невозможность бесконечности и непрерывности. В свете нашего более раннего обсуждения физики, казалось бы, не существует убедительных эмпирических свидетельств в пользу бесконечности или непрерывности в объектах чувств или в материи. Тем не менее, объяснение, которое предполагает бесконечность и непрерывность, остается несравненно более легким и естественным, с научной точки зрения, чем любое другое, и поскольку Георг Кантор показал, что предполагаемые противоречия иллюзорны, больше нет причин стремиться к финитистскому объяснению мира.

Предполагаемые трудности непрерывности все имеют свой источник в том факте, что непрерывный ряд должен иметь бесконечное число членов, и фактически являются трудностями, касающимися бесконечности. Следовательно, освобождая бесконечное от противоречия, мы в то же время показываем логическую возможность непрерывности, как она предполагается в науке.

То, каким образом бесконечность использовалась для дискредитации мира чувств, можно проиллюстрировать первыми двумя антиномиями Канта. В первой тезис гласит: «Мир имеет начало во времени, а в отношении пространства заключен в границы»; антитезис гласит: «Мир не имеет начала и границ в пространстве, но бесконечен как в отношении времени, так и в отношении пространства». Кант претендует на то, чтобы доказать оба этих положения, тогда как, если то, что мы сказали о современной логике, имеет хоть какую-то долю истины, должно быть невозможно доказать ни то, ни другое. Однако, чтобы спасти мир чувств, достаточно разрушить доказательство одного из двух. Для нашей текущей цели нас интересует доказательство того, что мир конечен. Аргумент Канта в отношении пространства здесь опирается на его аргумент в отношении времени. Поэтому нам нужно лишь рассмотреть аргумент в отношении времени. То, что он говорит, заключается в следующем:

«Ибо предположим, что мир не имеет начала во времени, так что до каждого данного момента истекла вечность, а следовательно, прошел бесконечный ряд последовательных состояний вещей в мире. Но бесконечность ряда состоит как раз в том, что он никогда не может быть завершен последовательным синтезом. Следовательно, бесконечный прошлый мировой ряд невозможен, и, соответственно, начало мира является необходимым условием его существования; что и требовалось доказать первым».

Можно было бы высказать много различных критических замечаний по поводу этого аргумента, но мы ограничимся самым минимумом. Прежде всего, ошибочно определять бесконечность ряда как «невозможность завершения последовательным синтезом». Понятие бесконечности, как мы увидим в следующей лекции, является прежде всего свойством классов и лишь производно применимо к рядам; классы, которые являются бесконечными, даны все сразу определяющим свойством своих членов, так что нет вопроса о «завершении» или «последовательном синтезе». А слово «синтез», предполагая ментальную активность синтезирования, вводит, более или менее скрытно, ту отсылку к разуму, которой была заражена вся философия Канта. Во-вторых, когда Кант говорит, что бесконечный ряд «никогда» не может быть завершен последовательным синтезом, все, на что он имеет хоть какое-то право претендовать, — это то, что он не может быть завершен в конечное время. Таким образом, то, что он действительно доказывает, — это, самое большее, то, что если бы мир не имел начала, он должен был бы уже существовать бесконечное время. Это, однако, очень слабый вывод, отнюдь не подходящий для его целей. И с этим результатом мы могли бы, если бы захотели, оставить первую антиномию.

Стоит, однако, рассмотреть, как Кант пришел к совершению такой элементарной ошибки. То, что произошло в его воображении, было, очевидно, чем-то вроде этого: начиная с настоящего и двигаясь назад во времени, мы имеем, если мир не имел начала, бесконечный ряд событий. Как мы видим из слова «синтез», он вообразил разум, пытающийся охватить их последовательно, в обратном порядке тому, в котором они произошли, т.е. двигаясь от настоящего назад. Этот ряд, очевидно, является таким, который не имеет конца. Но ряд событий до настоящего имеет конец, поскольку он заканчивается настоящим. Из-за закоренелого субъективизма своих ментальных привычек он не заметил, что изменил направление ряда, подставив обратный синтез вместо прямого протекания, и таким образом он предположил, что необходимо отождествить ментальный ряд, который не имел конца, с физическим рядом, который имел конец, но не имел начала. Именно эта ошибка, я думаю, действуя бессознательно, привела его к тому, что он приписал обоснованность необычайно хликому куску ошибочного рассуждения.

Вторая антиномия иллюстрирует зависимость проблемы непрерывности от проблемы бесконечности. Тезис гласит: «Каждая сложная субстанция в мире состоит из простых частей, и существует повсюду ничего, кроме простого или того, что составлено из него». Антитезис гласит: «Никакая сложная вещь в мире не состоит из простых частей, и повсюду в нем не существует ничего простого». Здесь, как и прежде, доказательства как тезиса, так и антитезиса открыты для критики, но для цели оправдания физики и мира чувств достаточно найти ошибку в одном из доказательств. Мы выберем для этой цели доказательство антитезиса, которое начинается следующим образом:

«Предположим, что сложная вещь (как субстанция) состоит из простых частей. Поскольку всякое внешнее отношение, а следовательно, всякая композиция из субстанций, возможна только в пространстве, пространство, занимаемое сложной вещью, должно состоять из стольких же частей, из скольких состоит вещь. Теперь пространство не состоит из простых частей, а из пространств».

Остальная часть его аргумента не должна нас волновать, ибо нерв доказательства лежит в одном утверждении: «Пространство не состоит из простых частей, а из пространств». Это похоже на возражение Бергсона против «абсурдного положения, что движение состоит из неподвижностей». Кант не говорит нам, почему он считает, что пространство должно состоять из пространств, а не из простых частей. Геометрия рассматривает пространство как состоящее из точек, которые просты; и хотя, как мы видели, этот взгляд не является научно или логически необходимым, он остается prima facie возможным, и одной его возможности достаточно, чтобы порочить аргумент Канта. Ибо, если бы его доказательство тезиса антиномии было обоснованным, и если бы антитезиса можно было избежать только путем допущения точек, то сама антиномия дала бы убедительное основание в пользу точек. Почему же тогда Кант считал невозможным, чтобы пространство было составлено из точек?

Я думаю, на него, вероятно, повлияли два соображения. Во-первых, существенным в пространстве является пространственный порядок, и одни лишь точки сами по себе не объяснят пространственный порядок. Очевидно, что его аргумент предполагает абсолютное пространство; но именно пространственные отношения являются единственно важными, и они не могут быть сведены к точкам. Это основание для его взгляда зависит, следовательно, от его незнания логической теории порядка и его колебаний между абсолютным и относительным пространством. Но есть и другое основание для его мнения, которое более релевантно нашей текущей теме. Это основание, выведенное из бесконечной делимости. Пространство может быть разделено пополам, а затем снова пополам и так далее ad infinitum, и на каждой стадии процесса части все еще являются пространствами, а не точками. Чтобы достичь точек таким методом, необходимо было бы дойти до конца бесконечного процесса, что невозможно. Но точно так же, как бесконечный класс может быть дан весь сразу своим определяющим понятием, хотя он не может быть достигнут последовательным перечислением, так и бесконечное множество точек может быть дано все сразу как составляющее линию, или площадь, или объем, хотя они никогда не могут быть достигнуты процессом последовательного деления. Таким образом, бесконечная делимость пространства не дает оснований отрицать, что пространство составлено из точек. Кант не приводит своих оснований для этого отрицания, и поэтому мы можем лишь предполагать, какими они были. Но вышеуказанные два основания, которые, как мы видели, являются ошибочными, кажутся достаточными, чтобы объяснить его мнение, и мы можем поэтому заключить, что антитезис второй антиномии не доказан.

Вышеуказанная иллюстрация антиномий Канта была введена лишь для того, чтобы показать релевантность проблемы бесконечности проблеме реальности объектов чувств. В остальной части настоящей лекции я хочу сформулировать и объяснить проблему бесконечности, показать, как она возникла, и показать нерелевантность всех решений, предложенных философами. В следующей лекции я попытаюсь объяснить истинное решение, которое было открыто математиками, но тем не менее по существу принадлежит философии. Решение является окончательным в том смысле, что оно полностью удовлетворяет и убеждает всех, кто изучает его внимательно. Более двух тысяч лет человеческий интеллект был озадачен этой проблемой; ее многочисленные неудачи и окончательный успех делают эту проблему особенно подходящей для иллюстрации метода.

Проблема, по-видимому, впервые возникла каким-то таким образом. Пифагор и его последователи, которые интересовались, подобно Декарту, применением числа к геометрии, приняли в этой науке более арифметические методы, чем те, с которыми нас познакомил Евклид. Они, или их современники атомисты, верили, по-видимому, что пространство состоит из неделимых точек, в то время как время состоит из неделимых моментов. Это убеждение само по себе не вызвало бы трудностей, с которыми они столкнулись, но оно, по-видимому, сопровождалось другим убеждением, что число точек в любой конечной площади или моментов в любом конечном периоде должно быть конечным. Я не предполагаю, что это последнее убеждение было осознанным, потому что, вероятно, никакой другой возможности им не приходило в голову. Но убеждение тем не менее действовало и очень скоро привело их в конфликт с фактами, которые они сами открыли. Прежде чем объяснять, как это произошло, однако, необходимо сказать одно слово в объяснение фразы «конечное число». Точное объяснение — это дело нашей следующей лекции; на данный момент должно быть достаточно сказать, что я имею в виду 0, 1, 2, 3 и так далее, навсегда — другими словами, любое число, которое может быть получено последовательным прибавлением единиц. Это включает все числа, которые могут быть выражены с помощью наших обычных цифр, и поскольку такие числа могут быть сделаны все больше и больше, никогда не достигая непревзойденного максимума, легко предположить, что других чисел нет. Но это предположение, естественное, как оно есть, ошибочно.

Верили ли сами пифагорейцы в то, что пространство и время состоят из неделимых точек и моментов, — вопрос спорный. По-видимому, различие между пространством и материей еще не было четко проведено, и поэтому, когда выражается атомистический взгляд, трудно решить, имеются ли в виду частицы материи или точки пространства. Есть интересный отрывок в «Физике» Аристотеля, где он говорит:

«Пифагорейцы все утверждали существование пустоты и говорили, что она входит в само небо из беспредельного дыхания, поскольку небо вдыхает и пустоту; и пустота дифференцирует природы, как если бы это было своего рода разделение последовательных вещей, и как если бы это была их дифференциация; и что это также то, что является первым в числах, ибо именно пустота дифференцирует их».

Это, по-видимому, подразумевает, что они рассматривали материю как состоящую из атомов с пустым пространством между ними. Но если так, они должны были думать, что пространство можно изучать, лишь обращая внимание на атомы, иначе было бы трудно объяснить их арифметические методы в геометрии или их утверждение, что «вещи — это числа».

Трудность, которая постигла пифагорейцев в их попытках применять числа, возникла из-за их открытия несоизмеримых, и это, в свою очередь, возникло следующим образом. Пифагор, как мы все узнали в юности, открыл предложение о том, что сумма квадратов сторон прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Говорят, что он принес в жертву быка, когда открыл эту теорему; если так, бык был первым мучеником науки. Но теорема, хотя она осталась его главной претензией на бессмертие, вскоре оказалась имеющей следствие, фатальное для всей его философии. Рассмотрим случай прямоугольного треугольника, две стороны которого равны, такой треугольник, который образован двумя сторонами квадрата и диагональю. Здесь, в силу теоремы, квадрат на диагонали вдвое больше квадрата на любой из сторон. Но Пифагор или его ранние последователи легко доказали, что квадрат одного целого числа не может быть вдвое больше квадрата другого. Таким образом, длина стороны и длина диагонали несоизмеримы; то есть, какую бы малую единицу длины вы ни взяли, если она содержится целое число раз в стороне, она не содержится целое число раз в диагонали, и наоборот.

Теперь этот факт мог быть ассимилирован некоторыми философиями без особых трудностей, но для философии Пифагора он был абсолютно фатальным. Пифагор утверждал, что число является конститутивной сущностью всех вещей, однако никакие два числа не могли выразить отношение стороны квадрата к диагонали. Вероятно, мы можем расширить его трудность, не отходя от его мысли, предположив, что он рассматривал длину линии как определяемую числом атомов, содержащихся в ней — линия длиной в два дюйма содержала бы вдвое больше атомов, чем линия длиной в один дюйм, и так далее. Но если бы это была истина, то должно было бы существовать определенное числовое отношение между любыми двумя конечными длинами, потому что предполагалось, что число атомов в каждой, как бы велико оно ни было, должно быть конечным. Здесь было неразрешимое противоречие. Пифагорейцы, как говорят, решили хранить существование несоизмеримых в глубокой тайне, открываемой лишь немногим высшим главам секты; и один из их числа, Гиппас из Метапонта, как говорят, даже потерпел кораблекрушение в море за нечестивое раскрытие ужасного открытия их врагам. Следует помнить, что Пифагор был основателем новой религии, а также учителем новой науки: если науку начинали подвергать сомнению, ученики могли впасть в грех и, возможно, даже есть бобы, что, согласно Пифагору, так же плохо, как есть кости родителей.

Проблема, впервые поднятая открытием несоизмеримых, оказалась со временем одной из самых серьезных и в то же время самых далеко идущих проблем, с которыми столкнулся человеческий интеллект в своем стремлении понять мир. Она сразу показала, что числовое измерение длин, если оно должно быть точным, должно требовать арифметики более продвинутой и более трудной, чем любая, которой владели древние. Поэтому они принялись реконструировать геометрию на основе, которая не предполагала универсальной возможности числового измерения — реконструкция, которую, как можно видеть у Евклида, они осуществили с необычайным мастерством и с большой логической проницательностью. Современники, под влиянием декартовой геометрии, вновь утвердили универсальную возможность числового измерения, расширив арифметику, частично для этой цели, так чтобы включить то, что называется «иррациональными» числами, которые дают отношения несоизмеримых длин. Но хотя иррациональные числа давно использовались без колебаний, лишь в совсем недавние годы были даны логически удовлетворительные определения их. С этими определениями первая и самая очевидная форма трудности, с которой столкнулись пифагорейцы, была решена; но другие формы трудности остаются для рассмотрения, и именно они вводят нас в проблему бесконечности в ее чистой форме.

Мы видели, что, принимая взгляд, согласно которому длина состоит из точек, существование несоизмеримых доказывает, что каждая конечная длина должна содержать бесконечное число точек. Другими словами, если бы мы убирали точки одну за другой, мы никогда не убрали бы все точки, как бы долго мы ни продолжали процесс. Число точек, следовательно, не может быть сосчитано, ибо счет — это процесс, который перечисляет вещи одну за другой. Свойство невозможности быть сосчитанным характерно для бесконечных совокупностей и является источником многих их парадоксальных качеств. Столь парадоксальны эти качества, что до наших дней они считались логическими противоречиями. Длинный ряд философов, от Зенона до М. Бергсона, основывали значительную часть своей метафизики на предполагаемой невозможности бесконечных совокупностей. В широком смысле, трудности были сформулированы Зеноном, и ничего существенного не было добавлено, пока мы не доходим до «Парадоксов бесконечного» Больцано, небольшой работы, написанной в 1847–8 годах и опубликованной посмертно в 1851 году. Промежуточные попытки справиться с проблемой тщетны и незначительны. Окончательное решение трудностей принадлежит не Больцано, а Георгу Кантору, чья работа на эту тему впервые появилась в 1882 году.

Чтобы понять Зенона и осознать, как мало современная ортодоксальная метафизика добавила к достижениям греков, мы должны на мгновение рассмотреть его учителя Парменида, в интересах которого были изобретены парадоксы. Парменид изложил свои взгляды в поэме, разделенной на две части, называемые «путь истины» и «путь мнения» — подобно «Видимости» и «Реальности» г-на Брэдли, за исключением того, что Парменид сначала рассказывает нам о реальности, а затем о видимости. «Путь мнения» в его философии — это, в широком смысле, пифагореизм; он начинается с предупреждения: «Здесь я закончу свою заслуживающую доверия речь и мысль об истине. Отныне изучай мнения смертных, прислушиваясь к обманчивому упорядочению моих слов». То, что было до этого, было открыто богиней, которая говорит ему, что есть на самом деле. Реальность, говорит она, нерожденная, неразрушимая, неизменная, неделимая; она «неподвижна в оковах могучих цепей, без начала и без конца; поскольку возникновение и исчезновение были изгнаны прочь, и истинная вера отбросила их». Фундаментальный принцип его исследования сформулирован в предложении, которое было бы уместно у Гегеля: «Ты не можешь знать того, чего нет — это невозможно — ни высказать его; ибо одно и то же есть то, что можно мыслить, и то, что может быть». И снова: «Необходимо, чтобы то, что можно мыслить и о чем можно говорить, было; ибо возможно, чтобы оно было, и невозможно, чтобы то, что есть ничто, было». Невозможность изменения следует из этого принципа; ибо о том, что прошло, можно говорить, и поэтому, согласно принципу, оно все еще есть.

Великая концепция реальности за проходящими иллюзиями чувств, реальности единой, неделимой и неизменной, была таким образом введена в западную философию Парменидом, не, по-видимому, по мистическим или религиозным причинам, а на основе логического аргумента о невозможности небытия. Все великие метафизические системы — особенно системы Платона, Спинозы и Гегеля — являются результатом этой фундаментальной идеи. Трудно распутать истину и ошибку в этом взгляде. Утверждение, что время нереально и что мир чувств иллюзорен, должно, я думаю, рассматриваться как основанное на ошибочных рассуждениях. Тем не менее, существует некоторый смысл — легче почувствовать, чем сформулировать, — в котором время является неважной и поверхностной характеристикой реальности. Прошлое и будущее должны быть признаны столь же реальными, как настоящее, и определенное освобождение от рабства времени существенно для философской мысли. Важность времени скорее практическая, чем теоретическая, скорее в отношении наших желаний, чем в отношении истины. Более верный образ мира, я думаю, получается при представлении вещей как входящих в поток времени из вечного мира снаружи, чем из взгляда, который рассматривает время как пожирающего тирана всего, что есть. Как в мысли, так и в чувстве осознание неважности времени — это врата мудрости. Но неважность — это не нереальность; и поэтому то, что мы должны будем сказать об аргументах Зенона в поддержку Парменида, должно быть главным образом критическим.

Отношение Зенона к Пармениду объясняется Платоном в диалоге, в котором Сократ, будучи молодым человеком, учится логической проницательности и философской беспристрастности из их диалектики. Я цитирую перевод Джоуэтта:

«Я вижу, Парменид, сказал Сократ, что Зенон — ваш двойник и в своих сочинениях; он излагает то, что вы говорите, другим способом и хотел бы обманом заставить нас поверить, что он говорит нам что-то новое. Ибо вы в своих поэмах говорите: Все есть одно, и для этого вы приводите превосходные доказательства; а он, с другой стороны, говорит: Нет никакого Множества; и в пользу этого он предлагает ошеломляющие свидетельства. Обмануть мир, как это сделали вы, говоря одно и то же разными способами, один из вас утверждая одно, а другой отрицая многое, — это искусство, недоступное большинству из нас».

«Да, Сократ, сказал Зенон. Но хотя вы остры, как спартанская гончая, в преследовании следа, вы не совсем улавливаете истинный мотив сочинения, которое на самом деле не является такой амбициозной работой, как вы воображаете; ибо то, о чем вы говорите, было случайностью; у меня не было серьезного намерения обманывать мир. Истина в том, что эти мои сочинения были призваны защитить аргументы Парменида против тех, кто насмехается над ним и показывает многие нелепые и противоречивые результаты, которые, как они предполагают, следуют из утверждения одного. Мой ответ — это обращение к сторонникам многих, чью атаку я возвращаю с процентами, отвечая им, что их гипотеза бытия многих, если ее довести до конца, предстает в еще более нелепом свете, чем гипотеза бытия одного».

Четыре аргумента Зенона против движения были призваны продемонстрировать противоречия, которые возникают из предположения, что существует такая вещь, как изменение, и тем самым поддержать парменидовскую доктрину о том, что реальность неизменна. К сожалению, мы знаем его аргументы только через Аристотеля, который изложил их, чтобы опровергнуть. Те философы в наши дни, чьи доктрины были изложены оппонентами, поймут, что справедливого или адекватного представления позиции Зенона вряд ли стоит ожидать от Аристотеля; но при некоторой осторожности в интерпретации кажется возможным реконструировать так называемые «софизмы», которые были «опровергнуты» каждым новичком с тех пор и до наших дней.

Аргументы Зенона, по-видимому, являются «ad hominem»; то есть, они, кажется, принимают посылки, предоставленные его оппонентами, и показывают, что, принимая эти посылки, можно вывести следствия, которые его оппоненты должны отрицать. Чтобы решить, являются ли они обоснованными аргументами или «софизмами», необходимо угадать негласные посылки и решить, кто был тем «homo», против которого они были направлены. Некоторые утверждают, что они были направлены против пифагорейцев, в то время как другие полагали, что они были призваны опровергнуть атомистов. М. Эвеллен, напротив, считает, что они представляют собой опровержение бесконечной делимости, в то время как М. Г. Ноэль, в интересах Гегеля, утверждает, что первые два аргумента опровергают бесконечную делимость, в то время как следующие два опровергают неделимые. Среди такого ошеломляющего разнообразия интерпретаций мы, по крайней мере, не можем жаловаться на какие-либо ограничения нашей свободы выбора.