«Введение в математическую философию»

Из того факта, что бесконечное не является самопротиворечивым, но также не является логически доказуемым, мы должны сделать вывод, что ничего нельзя знать a priori о том, является ли число вещей в мире конечным или бесконечным. Вывод, следовательно, состоит в том, чтобы, используя лейбницевскую фразеологию, сказать, что некоторые из возможных миров конечны, некоторые бесконечны, и у нас нет средств узнать, к какому из этих двух видов принадлежит наш актуальный мир. Аксиома бесконечности будет истинной в одних возможных мирах и ложной в других; истинна она или ложна в этом мире, мы сказать не можем.

На протяжении всей этой главы синонимы «индивид» и «партикулярия» использовались без объяснения. Было бы невозможно объяснить их адекватно без более длинного рассуждения о теории типов, чем это было бы уместно для данной работы, но несколько слов перед тем, как мы покинем эту тему, могут сделать что-то, чтобы уменьшить неясность, которая в противном случае окутывала бы значение этих слов.

В обычном утверждении мы можем отличить глагол, выражающий атрибут или отношение, от существительных, которые выражают субъект атрибута или члены отношения. «Цезарь жил» приписывает атрибут Цезарю; «Брут убил Цезаря» выражает отношение между Брутом и Цезарем. Используя слово «субъект» в обобщенном смысле, мы можем назвать и Брута, и Цезаря субъектами этого суждения: тот факт, что Брут является грамматическим субъектом, а Цезарь — объектом, логически нерелевантен, поскольку одно и то же событие может быть выражено словами «Цезарь был убит Брутом», где Цезарь является грамматическим субъектом. Таким образом, в более простом виде суждения у нас будет атрибут или отношение, присущее одному, двум или более «субъектам» в расширенном смысле. (Отношение может иметь более двух членов: например, «дает... ...» — это отношение трех членов.) Теперь часто случается, что при более пристальном рассмотрении кажущиеся субъекты оказываются не настоящими субъектами, а способными к анализу; однако единственный результат этого заключается в том, что новые субъекты занимают их места. Также случается, что глагол может грамматически быть сделан субъектом: например, мы можем сказать: «Убийство — это отношение, которое существует между Брутом и Цезарем». Но в таких случаях грамматика вводит в заблуждение, и в прямом утверждении, следуя правилам, которыми должна руководствоваться философская грамматика, Брут и Цезарь будут выступать как субъекты, а убийство — как глагол.

Мы таким образом приходим к концепции терминов, которые, когда они встречаются в суждениях, могут встречаться только как субъекты и никогда иным образом. Это часть старого схоластического определения субстанции; но сохранение во времени, которое принадлежало этому понятию, не является частью понятия, с которым мы имеем дело. Мы определим «собственные имена» как те термины, которые могут встречаться только как субъекты в суждениях (используя «субъект» в расширенном смысле, только что объясненном). Мы далее определим «индивиды» или «партикулярии» как объекты, которые могут быть названы собственными именами. (Было бы лучше определить их напрямую, а не с помощью вида символов, которыми они символизируются; но чтобы сделать это, нам пришлось бы погрузиться в метафизику глубже, чем это желательно здесь.) Конечно, возможно, что существует бесконечный регресс: что все, что представляется партикулярией, на самом деле, при более пристальном рассмотрении, является классом или каким-то видом комплекса. Если это так, аксиома бесконечности, конечно, должна быть истинной. Но если это не так, теоретически возможно, чтобы анализ достиг предельных субъектов, и именно они дают значение «партикулярий» или «индивидов». Именно к числу этих субъектов, как предполагается, применяется аксиома бесконечности. Если она истинна для них, она истинна для классов из них, и классов классов из них, и так далее; аналогично, если она ложна для них, она ложна во всей этой иерархии. Поэтому естественно формулировать аксиому относительно них, а не относительно какой-либо другой ступени в иерархии. Но истинна аксиома или ложна, кажется, нет известного метода обнаружения.

ГЛАВА XIV. НЕСОВМЕСТИМОСТЬ И ТЕОРИЯ ДЕДУКЦИИ

МЫ теперь исследовали, несколько поспешно, правда, ту часть философии математики, которая не требует критического рассмотрения идеи класса. В предыдущей главе, однако, мы оказались перед лицом проблем, которые делают такое рассмотрение обязательным. Прежде чем мы сможем предпринять его, мы должны рассмотреть некоторые другие части философии математики, которые мы до сих пор игнорировали. В синтетическом изложении части, с которыми мы теперь будем иметь дело, идут первыми: они более фундаментальны, чем все, что мы обсуждали до сих пор. Три темы будут занимать нас, прежде чем мы дойдем до теории классов, а именно: (1) теория дедукции, (2) пропозициональные функции, (3) описания. Из них третья логически не предполагается в теории классов, но она является более простым примером того вида теории, который необходим при работе с классами. Именно первая тема, теория дедукции, будет занимать нас в настоящей главе.

Математика — это дедуктивная наука: начиная с определенных посылок, она приходит путем строгого процесса дедукции к различным теоремам, которые ее составляют. Это правда, что в прошлом математические дедукции часто были в значительной степени лишены строгости; это правда также, что совершенная строгость — это едва ли достижимый идеал. Тем не менее, поскольку строгость отсутствует в математическом доказательстве, доказательство является дефектным; нет никакой защиты в том, чтобы настаивать, что здравый смысл показывает правильность результата, ибо если бы мы полагались на это, было бы лучше вообще отказаться от аргументации, чем призывать на помощь здравому смыслу ошибку. Никакое обращение к здравому смыслу, или «интуиции», или чему-либо, кроме строгой дедуктивной логики, не должно требоваться в математике после того, как были установлены посылки.

Кант, заметив, что геометры его времени не могли доказать свои теоремы с помощью одной лишь аргументации, а требовали обращения к чертежу, изобрел теорию математического рассуждения, согласно которой вывод никогда не бывает строго логическим, а всегда требует поддержки того, что называется «интуицией». Вся тенденция современной математики с ее усиленным стремлением к строгости была направлена против этой кантовской теории. Вещи в математике времен Канта, которые нельзя доказать, нельзя знать — например, аксиома параллельных. То, что можно знать в математике и с помощью математических методов, — это то, что можно вывести из чистой логики. Все остальное, что должно принадлежать человеческому знанию, должно быть установлено иначе — эмпирически, через чувства или через опыт в какой-либо форме, но не a priori. Положительные основания для этого тезиса можно найти в Principia Mathematica, passim; спорная защита его дана в «Принципах математики». Мы не можем здесь сделать больше, чем отослать читателя к этим работам, поскольку предмет слишком обширен для поспешного рассмотрения. Тем временем мы будем исходить из того, что вся математика дедуктивна, и перейдем к вопросу о том, что подразумевается под дедукцией.

В дедукции у нас есть одно или несколько суждений, называемых посылками, из которых мы выводим суждение, называемое заключением. Для наших целей будет удобно, когда изначально имеется несколько посылок, объединить их в одно суждение, чтобы иметь возможность говорить о посылке, так же как и о заключении. Таким образом, мы можем рассматривать дедукцию как процесс, посредством которого мы переходим от знания определенного суждения, посылки, к знанию некоторого другого суждения, заключения. Но мы не будем рассматривать такой процесс как логическую дедукцию, если он не является правильным, т. е. если между посылкой и заключением нет такого отношения, что мы имеем право верить в заключение, если мы знаем, что посылка истинна. Именно это отношение представляет главный интерес в логической теории дедукции.

Чтобы иметь возможность обоснованно вывести истинность суждения, мы должны знать, что некоторое другое суждение истинно и что между ними существует отношение того рода, который называется «импликацией», т. е. что (как мы говорим) посылка «имплицирует» заключение. (Мы определим это отношение вкратце.) Или мы можем знать, что некоторое другое суждение ложно и что между ними существует отношение того рода, который называется «дизъюнкцией», выражаемое через «или» [32], так что знание того, что одно из них ложно, позволяет нам вывести, что другое истинно. Опять же, то, что мы хотим вывести, может быть ложностью некоторого суждения, а не его истинностью. Это может быть выведено из истинности другого суждения при условии, что мы знаем, что они «несовместимы», т. е. что если одно истинно, то другое ложно. Это может быть также выведено из ложности другого суждения при тех же обстоятельствах, при которых истинность другого могла быть выведена из истинности первого; т. е. из ложности p мы можем вывести ложность q, когда p имплицирует q. Все эти четыре случая являются случаями вывода. Когда наш ум сосредоточен на выводе, кажется естественным принять «импликацию» как примитивное фундаментальное отношение, поскольку это отношение, которое должно существовать между p и q, если мы хотим иметь возможность вывести истинность q из истинности p. Но по техническим причинам это не лучшая примитивная идея для выбора. Прежде чем переходить к примитивным идеям и определениям, давайте рассмотрим далее различные функции суждений, предложенные вышеупомянутыми отношениями суждений.

[32] Мы будем использовать буквы p, q, r, s, t для обозначения переменных суждений.

Простейшей из таких функций является отрицание, «не-p». Это та функция от p, которая истинна, когда p ложно, и ложна, когда p истинно. Удобно говорить об истинности суждения или его ложности как о его «истинностном значении» [33]; т. е. истина — это «истинностное значение» истинного суждения, а ложь — ложного. Таким образом, не-p имеет противоположное истинностное значение по сравнению с p.

[33] Этот термин принадлежит Фреге.

Мы можем взять далее дизъюнкцию, «p или q». Это функция, истинностным значением которой является истина, когда p истинно, а также когда q истинно, но является ложью, когда и p, и q ложны.

Далее мы можем взять конъюнкцию, «p и q». Она имеет истину в качестве своего истинностного значения, когда p и q оба истинны; в противном случае она имеет ложь в качестве своего истинностного значения.

Возьмем далее несовместимость, т. е. «p и q не оба истинны». Это отрицание конъюнкции; это также дизъюнкция отрицаний p и q, т. е. это «не-p или не-q». Ее истинностное значение — истина, когда p ложно, а также когда q ложно; ее истинностное значение — ложь, когда p и q оба истинны.

Наконец, возьмем импликацию, т. е. «p имплицирует q» или «если p, то q». Это следует понимать в самом широком смысле, который позволит нам вывести истинность q, если мы знаем истинность p. Таким образом, мы интерпретируем это как означающее: «Если только p не ложно, q истинно» или «либо p ложно, либо q истинно». (Тот факт, что «имплицирует» способно иметь другие значения, нас не касается; это значение, которое удобно для нас.) То есть «p имплицирует q» должно означать «не-p или q»: его истинностное значение должно быть истиной, если p ложно, так же если q истинно, и должно быть ложью, если p истинно и q ложно.

Таким образом, у нас есть пять функций: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, несовместимость и импликация. Мы могли бы добавить другие, например, совместная ложность, «не-p и не-q», но вышеуказанных пяти будет достаточно. Отрицание отличается от остальных четырех тем, что является функцией одного суждения, тогда как остальные являются функциями двух. Но все пять согласуются в том, что их истинностное значение зависит только от истинностного значения тех суждений, которые являются их аргументами. Зная истинность или ложность p, q или p и q (как в том или ином случае), мы знаем истинность или ложность отрицания, дизъюнкции, конъюнкции, несовместимости или импликации. Функция суждений, обладающая этим свойством, называется «функцией истинности».

Весь смысл функции истинности исчерпывается указанием обстоятельств, при которых она истинна или ложна. «Не-p», например, — это просто та функция от p, которая истинна, когда p ложно, и ложна, когда p истинно: нет никакого дальнейшего значения, которое можно было бы ей приписать. То же самое относится к «p или q» и остальным. Отсюда следует, что две функции истинности, которые имеют одинаковое истинностное значение для всех значений аргумента, неразличимы. Например, «p и q» — это отрицание «не-p или не-q» и наоборот; таким образом, любая из них может быть определена как отрицание другой. В функции истинности нет никакого дополнительного значения сверх условий, при которых она истинна или ложна.

Ясно, что вышеуказанные пять функций истинности не являются полностью независимыми. Мы можем определить некоторые из них через другие. Нет большой сложности в сведении их числа к двум; две, выбранные в Principia Mathematica, — это отрицание и дизъюнкция. Импликация тогда определяется как «не-p или q»; несовместимость как «не-p или не-q»; конъюнкция как отрицание несовместимости. Но Шеффером [34] было показано, что мы можем довольствоваться одной примитивной идеей для всех пяти, а Нико [35] — что это позволяет нам свести примитивные суждения, требуемые в теории дедукции, к двум неформальным принципам и одному формальному. Для этой цели мы можем принять в качестве нашего одного неопределяемого понятия либо несовместимость, либо совместную ложность. Мы выберем первое.

[34] Trans. Am. Math. Soc., том XIV, стр. 481-488.

[35] Proc. Camb. Phil. Soc., том XIX, i, январь 1917 г.

Наша примитивная идея теперь — это некоторая функция истинности, называемая «несовместимостью», которую мы обозначим через p|q. Отрицание может быть сразу определено как несовместимость суждения с самим собой, т. е. «не-p» определяется как p|p. Дизъюнкция — это несовместимость не-p и не-q, т. е. это (p|p)|(q|q). Импликация — это несовместимость p и не-q, т. е. p|(q|q). Конъюнкция — это отрицание несовместимости, т. е. это (p|q)|(p|q). Таким образом, все наши четыре другие функции определены через несовместимость.

Очевидно, что нет предела созданию функций истинности, либо путем введения большего количества аргументов, либо путем повторения аргументов. То, что нас беспокоит, — это связь этого предмета с выводом.

Если мы знаем, что p истинно и что p имплицирует q, мы можем перейти к утверждению q. В выводе всегда неизбежно есть что-то психологическое: вывод — это метод, с помощью которого мы приходим к новому знанию, и то, что в нем не является психологическим, — это отношение, которое позволяет нам делать вывод правильно; но сам переход от утверждения p к утверждению q является психологическим процессом, и мы не должны пытаться представить его в чисто логических терминах.

В математической практике, когда мы делаем вывод, у нас всегда есть некоторое выражение, содержащее переменные суждения, скажем p и q, которое, в силу своей формы, известно как истинное для всех значений p и q; у нас также есть некоторое другое выражение, часть первого, которое также известно как истинное для всех значений p и q; и в силу принципов вывода мы можем отбросить эту часть нашего исходного выражения и утверждать то, что осталось. Этот несколько абстрактный отчет может быть прояснен несколькими примерами.

Предположим, что мы знаем пять формальных принципов дедукции, перечисленных в Principia Mathematica. (М. Нико свел их к одному, но поскольку это сложное суждение, мы начнем с пяти.) Эти пять суждений следующие:

(1) «p или p» имплицирует p — т. е. если либо p истинно, либо p истинно, то p истинно.

(2) q имплицирует «q или p» — т. е. дизъюнкция «q или p» истинна, когда одна из ее альтернатив истинна.

(3) «p или q» имплицирует «q или p». Это не потребовалось бы, если бы у нас была теоретически более совершенная нотация, поскольку в концепции дизъюнкции не задействован порядок, так что «p или q» и «q или p» должны быть тождественны. Но поскольку наши символы в любой удобной форме неизбежно вводят порядок, нам нужны подходящие допущения для показа того, что порядок нерелевантен.

(4) Если либо p истинно, либо «q или r» истинно, то либо q истинно, либо «p или r» истинно. (Поворот в этом суждении служит для увеличения его дедуктивной силы.)

(5) Если p имплицирует q, то «r или p» имплицирует «r или q».

Это формальные принципы дедукции, используемые в Principia Mathematica. Формальный принцип дедукции имеет двойное использование, и именно для того, чтобы сделать это ясным, мы процитировали вышеуказанные пять суждений. Он имеет использование в качестве посылки вывода и использование в качестве установления факта, что посылка имплицирует заключение. В схеме вывода у нас есть суждение p и суждение «p имплицирует q», из которых мы выводим q. Теперь, когда мы имеем дело с принципами дедукции, наш аппарат примитивных суждений должен давать как p, так и «p имплицирует q» наших выводов. То есть наши правила дедукции должны использоваться не только как правила, что является их использованием для установления «p имплицирует q», но также как субстантивные посылки, т. е. как p нашей схемы. Предположим, например, мы хотим доказать, что если p имплицирует q, то если q имплицирует r, то из этого следует, что p имплицирует r. У нас здесь отношение трех суждений, которые выражают импликации. Положим

p имплицирует q, q имплицирует r, и p имплицирует r.

Тогда мы должны доказать, что (p имплицирует q) имплицирует, что (q имплицирует r) имплицирует (p имплицирует r). Теперь возьмем пятый из наших вышеуказанных принципов, подставим не-p вместо p и помним, что «не-p или q» по определению то же самое, что «p имплицирует q». Таким образом, наш пятый принцип дает:

«Если p имплицирует q, то 'r имплицирует p' имплицирует 'r имплицирует q'», т. е. «p имплицирует, что (q имплицирует r) имплицирует (p имплицирует r)». Назовем это суждение A.

Но четвертый из наших принципов, когда мы подставляем не-p, не-q, не-r вместо p, q, r и помним определение импликации, становится:

«Если p имплицирует, что q имплицирует r, то q имплицирует, что p имплицирует r».

Записывая (p имплицирует q) вместо p, (q имплицирует r) вместо q и (p имплицирует r) вместо r, это становится:

«Если (p имплицирует q) имплицирует, что (q имплицирует r) имплицирует (p имплицирует r), то (q имплицирует r) имплицирует, что (p имплицирует q) имплицирует (p имплицирует r)». Назовем это B.

Теперь мы доказали с помощью нашего пятого принципа, что

«p имплицирует, что (q имплицирует r) имплицирует (p имплицирует r)», что было тем, что мы назвали A.

Таким образом, у нас здесь пример схемы вывода, поскольку A представляет p нашей схемы, а B представляет «p имплицирует q». Следовательно, мы приходим к q, а именно:

«(q имплицирует r) имплицирует, что (p имплицирует q) имплицирует (p имплицирует r)»,

что и было суждением, которое нужно было доказать. В этом доказательстве адаптация нашего пятого принципа, которая дает A, встречается как субстантивная посылка; в то время как адаптация нашего четвертого принципа, которая дает B, используется для придания формы вывода. Формальное и материальное использование посылок в теории дедукции тесно переплетены, и не очень важно держать их разделенными, при условии, что мы осознаем, что они теоретически различны.

Самый ранний метод прихода к новым результатам из посылки — это метод, который проиллюстрирован в вышеприведенной дедукции, но который сам по себе едва ли можно назвать дедукцией. Примитивные суждения, какими бы они ни были, должны рассматриваться как утвержденные для всех возможных значений переменных суждений p, q, r, которые встречаются в них. Мы можем поэтому подставить вместо (скажем) p любое выражение, значением которого всегда является суждение, например, не-p, p имплицирует q и так далее. С помощью таких подстановок мы действительно получаем наборы частных случаев нашего исходного суждения, но с практической точки зрения мы получаем то, что фактически является новыми суждениями. Легитимность подстановок такого рода должна быть обеспечена с помощью неформального принципа вывода [36].

[36] Никакой такой принцип не сформулирован в Principia Mathematica или в статье М. Нико, упомянутой выше. Но это, по-видимому, является упущением.

Теперь мы можем сформулировать один формальный принцип вывода, к которому М. Нико свел пять, приведенных выше. Для этой цели мы сначала покажем, как некоторые функции истинности могут быть определены через несовместимость. Мы уже видели, что p|(q|q) означает «p имплицирует q».

означает «p имплицирует q».

Теперь мы замечаем, что

(p|q)|(p|q) означает «p имплицирует оба p и q».

Ибо это выражение означает «p несовместимо с несовместимостью p и q», т. е. «p имплицирует, что p и q не несовместимы», т. е. «p имплицирует, что p и q оба истинны» — ибо, как мы видели, конъюнкция p и q является отрицанием их несовместимости.

Заметим далее, что p|(p|p) означает «p имплицирует себя». Это частный случай p|q.

Пусть мы запишем p' для отрицания p; таким образом, p' будет означать отрицание p, т. е. оно будет означать конъюнкцию p и p. Отсюда следует, что p|(q|r) выражает несовместимость p с конъюнкцией q и r; другими словами, он утверждает, что если q и r оба истинны, p ложно, т. е. p и q оба истинны; еще проще говоря, он утверждает, что p и q совместно имплицируют p и q совместно.

Теперь положим p = (q|(r|s))|(q|(r|s)). Тогда единственный формальный принцип дедукции М. Нико — это p|(q|r)|(p|(q|r)), другими словами, p имплицирует оба q и r.

Он использует в дополнение один неформальный принцип, относящийся к теории типов (который нас не должен беспокоить), и один, соответствующий принципу, что, имея p и имея, что p имплицирует q, мы можем утверждать q. Этот принцип таков:

«Если p истинно и p имплицирует q истинно, то q истинно».

Из этого аппарата следует вся теория дедукции, за исключением случаев, когда мы имеем дело с дедукцией из или к существованию или универсальной истинности «пропозициональных функций», которые мы рассмотрим в следующей главе.

Существует, если я не ошибаюсь, некоторая путаница в умах некоторых авторов относительно отношения между суждениями, в силу которого вывод является правильным. Чтобы было правильным вывести q из p, необходимо только, чтобы p было истинным и чтобы суждение «не-p или q» было истинным. Всякий раз, когда это так, ясно, что q должно быть истинным. Но вывод на самом деле будет иметь место только тогда, когда суждение «не-p или q» известно иначе, чем через знание не-p или знание q. Всякий раз, когда p ложно, «не-p или q» истинно, но бесполезно для вывода, который требует, чтобы p было истинным. Всякий раз, когда p уже известно как истинное, «не-p или q», конечно, также известно как истинное, но опять-таки бесполезно для вывода, поскольку p уже известно и, следовательно, не нуждается в выводе. На самом деле, вывод возникает только тогда, когда «не-p или q» может быть известно без того, чтобы мы уже знали, какая из двух альтернатив делает дизъюнкцию истинной. Теперь обстоятельства, при которых это происходит, — это те, в которых между p и q существуют определенные отношения формы. Например, мы знаем, что если p имплицирует отрицание q, то q имплицирует отрицание p. Между «p имплицирует не-q» и «q имплицирует не-p» существует формальное отношение, которое позволяет нам знать, что первое имплицирует второе, не имея сначала необходимости знать, что первое ложно, или знать, что второе истинно. Именно при таких обстоятельствах отношение импликации практически полезно для проведения выводов.

Но это формальное отношение требуется только для того, чтобы мы могли знать, что либо посылка ложна, либо заключение истинно. Именно истинность «не-p или q» требуется для правильности вывода; то, что требуется далее, требуется только для практической осуществимости вывода. Профессор К. И. Льюис [37] особенно изучал более узкое, формальное отношение, которое мы можем назвать «формальной выводимостью». Он настаивает на том, что более широкое отношение, выражаемое через «не-p или q», не следует называть «импликацией». Это, однако, вопрос слов. При условии, что наше использование слов последовательно, не имеет большого значения, как мы их определяем. Существенный момент различия между теорией, которую я защищаю, и теорией, которую защищает профессор Льюис, заключается в следующем: он утверждает, что когда одно суждение q «формально выводимо» из другого p, отношение, которое мы воспринимаем между ними, — это то, что он называет «строгой импликацией», которая не является отношением, выражаемым через «не-p или q», а более узким отношением, существующим только тогда, когда между p и q есть определенные формальные связи. Я утверждаю, что, существует ли такое отношение, о котором он говорит, или нет, оно в любом случае является тем, в чем математика не нуждается, и поэтому тем, что, исходя из общих соображений экономии, не должно быть допущено в наш аппарат фундаментальных понятий; что всякий раз, когда отношение «формальной выводимости» существует между двумя суждениями, имеет место то, что мы можем видеть, что либо первое ложно, либо второе истинно, и что ничего, кроме этого факта, не является необходимым для включения в наши посылки; и что, наконец, детальные доводы, которые профессор Льюис приводит против точки зрения, которую я защищаю, могут быть встречены в деталях и зависят своей правдоподобностью от скрытого и бессознательного принятия точки зрения, которую я отвергаю. Я заключаю, следовательно, что нет необходимости допускать в качестве фундаментального понятия какую-либо форму импликации, не выразимую как функция истинности.

[37] См. Mind, том XXI, 1912 г., стр. 522-531; и том XXIII, 1914 г., стр. 240-247.

ГЛАВА XV. ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

КОГДА в предыдущей главе мы обсуждали суждения, мы не пытались дать определение слова «суждение». Но хотя слово не может быть формально определено, необходимо сказать что-то о его значении, чтобы избежать очень распространенной путаницы с «пропозициональными функциями», которые будут темой настоящей главы.

Мы подразумеваем под «суждением» прежде всего форму слов, которая выражает то, что является либо истинным, либо ложным. Я говорю «прежде всего», потому что не хочу исключать другие, кроме вербальных, символы или даже просто мысли, если они имеют символический характер. Но я думаю, что слово «суждение» должно быть ограничено тем, что может, в некотором смысле, быть названо «символами», и далее такими символами, которые дают выражение истине и лжи. Таким образом, «дважды два — четыре» и «дважды два — пять» будут суждениями, так же как «Сократ — человек» и «Сократ не человек». Утверждение: «Какими бы числами ни были n и m, n + m = m + n» — это суждение; но одна лишь голая формула «n + m = m + n» таковым не является, поскольку она не утверждает ничего определенного, если нам не сказано далее или мы не приведены к предположению, что n и m должны иметь все возможные значения или должны иметь такие-то и такие-то значения. Первое из них, как правило, молчаливо предполагается в формулировке математических формул, которые таким образом становятся суждениями; но если бы такое предположение не было сделано, они были бы «пропозициональными функциями». «Пропозициональная функция», по сути, — это выражение, содержащее один или несколько неопределенных компонентов, таких, что при присвоении значений этим компонентам выражение становится суждением. Другими словами, это функция, значениями которой являются суждения. Но это последнее определение должно использоваться с осторожностью. Дескриптивная функция, например, «самое сложное суждение в математическом трактате X», не будет пропозициональной функцией, хотя ее значениями являются суждения. Но в таком случае суждения только описаны: в пропозициональной функции значения должны фактически формулировать суждения.

Примеры пропозициональных функций привести легко: «... есть человек» — это пропозициональная функция; пока «...» остается неопределенным, она не является ни истинной, ни ложной, но когда «...» присваивается значение, она становится истинным или ложным высказыванием. Любое математическое уравнение является пропозициональной функцией. Пока переменные не имеют определенного значения, уравнение — это лишь выражение, ожидающее определения, чтобы стать истинным или ложным высказыванием. Если это уравнение, содержащее одну переменную, оно становится истинным, когда переменная приравнивается к корню уравнения, в противном случае оно становится ложным; но если это «тождество», оно будет истинным при любом числовом значении переменной. Уравнение кривой на плоскости или поверхности в пространстве — это пропозициональная функция, истинная для значений координат, принадлежащих точкам на кривой или поверхности, и ложная для других значений. Выражения традиционной логики, такие как «все ... есть ...», являются пропозициональными функциями: «...» и «...» должны быть определены как конкретные классы, прежде чем такие выражения станут истинными или ложными.

Понятие «случаев» или «примеров» зависит от пропозициональных функций. Рассмотрим, например, своего рода процесс, который подразумевается тем, что называется «обобщением», и возьмем какой-нибудь очень примитивный пример, скажем: «за молнией следует гром». У нас есть ряд «примеров» этого, т. е. ряд высказываний, таких как: «это вспышка молнии, и за ней следует гром». Примерами чего являются эти случаи? Они являются примерами пропозициональной функции: «Если ... есть вспышка молнии, то за ... следует гром». Процесс обобщения (валидность которого нас, к счастью, не интересует) состоит в переходе от ряда таких примеров к универсальной истинности пропозициональной функции: «Если ... есть вспышка молнии, то за ... следует гром». Можно обнаружить, что аналогичным образом пропозициональные функции всегда задействованы всякий раз, когда мы говорим об экземплярах, случаях или примерах.

Нам не нужно задавать вопрос «Что такое пропозициональная функция?» или пытаться на него ответить. Пропозициональную функцию, взятую саму по себе, можно рассматривать как простую схему, простую оболочку, пустой сосуд для смысла, а не как нечто уже значимое. Мы имеем дело с пропозициональными функциями, говоря в широком смысле, в двух аспектах: во-первых, как с элементами понятий «истинно во всех случаях» и «истинно в некоторых случаях»; во-вторых, как с элементами теории классов и отношений. Вторую из этих тем мы отложим до более поздней главы; первая должна занять нас сейчас.

Когда мы говорим, что нечто «всегда истинно» или «истинно во всех случаях», ясно, что это «нечто» не может быть высказыванием. Высказывание просто истинно или ложно, и на этом вопрос исчерпан. Не существует экземпляров или случаев «Сократ — человек» или «Наполеон умер на острове Святой Елены». Это высказывания, и было бы бессмысленно говорить об их истинности «во всех случаях». Эта фраза применима только к пропозициональным функциям. Возьмем, к примеру, то, что часто говорят при обсуждении причинности. (Нас не интересует истинность или ложность сказанного, а только его логический анализ.) Нам говорят, что ... во всех случаях сопровождается .... Теперь, если существуют «случаи» ..., то ... должно быть неким общим понятием, о котором значимо сказать «... есть ..., ...», «... есть ..., ...», «... есть ..., ...» и так далее, где ..., ..., ... — это партикулярии, которые не тождественны друг другу. Это применимо, например, к нашему предыдущему случаю с молнией. Мы говорим, что молния (...) сопровождается громом (...). Но отдельные вспышки — это партикулярии, не тождественные, но обладающие общим свойством быть молнией. Единственный способ выразить общее свойство в общем виде — это сказать, что общее свойство ряда объектов есть пропозициональная функция, которая становится истинной, когда любой из этих объектов берется в качестве значения переменной. В этом случае все объекты являются «примерами» истинности пропозициональной функции — ибо пропозициональная функция, хотя сама по себе не может быть истинной или ложной, истинна в одних случаях и ложна в других, если только она не «всегда истинна» или «всегда ложна». Когда, возвращаясь к нашему примеру, мы говорим, что ... во всех случаях сопровождается ..., мы имеем в виду, что, чем бы ни было ..., если ... есть ..., то за ним следует ...; то есть мы утверждаем, что некая пропозициональная функция «всегда истинна».

Предложения, содержащие такие слова, как «все», «каждый», «а», «тот», «некоторые», требуют для своей интерпретации пропозициональных функций. То, как возникают пропозициональные функции, можно объяснить с помощью двух из вышеупомянутых слов, а именно «все» и «некоторые».

В конечном счете, с пропозициональной функцией можно сделать только две вещи: одна — утверждать, что она истинна во всех случаях, другая — утверждать, что она истинна по крайней мере в одном случае, или в некоторых случаях (как мы будем говорить, предполагая, что это не обязательно подразумевает множество случаев). Все остальные способы использования пропозициональных функций могут быть сведены к этим двум. Когда мы говорим, что пропозициональная функция истинна «во всех случаях» или «всегда» (как мы также будем говорить, без какого-либо временного подтекста), мы имеем в виду, что все ее значения истинны. Если «...» — это функция, а ... — объект подходящего типа, чтобы быть аргументом для «...», то «...» должна быть истинной, как бы ни был выбран .... Например, «если ... есть человек, то ... смертен» истинно, является ли ... человеком или нет; фактически, каждое высказывание такой формы истинно. Таким образом, пропозициональная функция «если ... есть человек, то ... смертен» «всегда истинна» или «истинна во всех случаях». Или, опять же, утверждение «единорогов не существует» то же самое, что утверждение «пропозициональная функция '... не есть единорог' истинна во всех случаях». Утверждения в предыдущей главе о высказываниях, например, «'... или ...' влечет '... или ...'», на самом деле являются утверждениями о том, что определенные пропозициональные функции истинны во всех случаях. Мы не утверждаем вышеприведенный принцип, например, как истинный только для того или иного конкретного ... или ..., но как истинный для любого ... или ..., о которых это можно значимо сказать. Условие, при котором функция должна быть значимой для данного аргумента, совпадает с условием, что она должна иметь значение для этого аргумента, либо истинное, либо ложное. Изучение условий значимости относится к теории типов, которую мы не будем рассматривать далее, чем это было сделано в очерке в предыдущей главе.

Не только принципы дедукции, но и все примитивные высказывания логики состоят из утверждений о том, что определенные пропозициональные функции всегда истинны. Если бы это было не так, им пришлось бы упоминать конкретные вещи или понятия — Сократа, или красноту, или восток и запад, или что-то еще, — а ведь очевидно, что в компетенцию логики не входит делать утверждения, которые истинны в отношении одной такой вещи или понятия, но не в отношении другой. Частью определения логики (но не всем ее определением) является то, что все ее высказывания полностью общие, т. е. все они состоят из утверждения, что некоторая пропозициональная функция, не содержащая константных терминов, всегда истинна. В нашей заключительной главе мы вернемся к обсуждению пропозициональных функций, не содержащих константных терминов. А пока мы перейдем к другой вещи, которую можно сделать с пропозициональной функцией, а именно к утверждению, что она «иногда истинна», т. е. истинна по крайней мере в одном примере.

Когда мы говорим «люди существуют», это означает, что пропозициональная функция «... есть человек» иногда истинна. Когда мы говорим «некоторые люди — греки», это означает, что пропозициональная функция «... есть человек и грек» иногда истинна. Когда мы говорим «каннибалы все еще существуют в Африке», это означает, что пропозициональная функция «... есть каннибал, находящийся сейчас в Африке» иногда истинна, т. е. истинна для некоторых значений .... Сказать «в мире существует по крайней мере ... индивидов» — значит сказать, что пропозициональная функция «... есть класс индивидов и член кардинального числа ...» иногда истинна, или, как мы можем сказать, истинна для определенных значений .... Эта форма выражения более удобна, когда необходимо указать, какой именно переменный компонент мы берем в качестве аргумента нашей пропозициональной функции. Например, вышеупомянутая пропозициональная функция, которую мы можем сократить до «... есть класс ... индивидов», содержит две переменные, ... и .... Аксиома бесконечности на языке пропозициональных функций звучит так: «Пропозициональная функция 'если ... есть индуктивное число, то для некоторых значений ... истинно, что ... есть класс ... индивидов' истинна для всех возможных значений ...». Здесь есть подчиненная функция «... есть класс ... индивидов», о которой говорится, что она в отношении ... «иногда истинна»; и утверждение, что это происходит, если ... есть индуктивное число, называется, в отношении ..., «всегда истинным».

Утверждение, что функция ... всегда истинна, является отрицанием утверждения, что не-... иногда истинна, а утверждение, что ... иногда истинна, является отрицанием утверждения, что не-... всегда истинна. Таким образом, утверждение «все люди смертны» является отрицанием утверждения, что функция «... есть бессмертный человек» иногда истинна. А утверждение «единороги существуют» является отрицанием утверждения, что функция «... не есть единорог» всегда истинна. [38] Мы говорим, что ... «никогда не истинна» или «всегда ложна», если не-... всегда истинна. Мы можем, если захотим, взять одну из пары «всегда», «иногда» в качестве примитивной идеи и определить другую с помощью нее и отрицания. Так, если мы выберем «иногда» в качестве нашей примитивной идеи, мы можем определить: «'... всегда истинна' означает 'ложно, что не-... иногда истинна'». [39] Но по причинам, связанным с теорией типов, кажется более правильным взять и «всегда», и «иногда» в качестве примитивных идей и определять с их помощью отрицание высказываний, в которых они встречаются. То есть, предполагая, что мы уже определили (или приняли в качестве примитивной идеи) отрицание высказываний того типа, к которому принадлежит ..., мы определяем: «Отрицание '... всегда' есть 'не-... иногда'; а отрицание '... иногда' есть 'не-... всегда'». Подобным образом мы можем переопределить дизъюнкцию и другие функции истинности, применяемые к высказываниям, содержащим кажущиеся переменные, в терминах определений и примитивных идей для высказываний, не содержащих кажущихся переменных. Высказывания, не содержащие кажущихся переменных, называются «элементарными высказываниями». От них мы можем шаг за шагом подниматься, используя методы, которые только что были указаны, к теории функций истинности, применяемой к высказываниям, содержащим одну, две, три, ... переменные, или любое число вплоть до ..., где ... — любое заданное конечное число.

[38] Метод дедукции приведен в Principia Mathematica, том I, * 9.

[39] По лингвистическим причинам, чтобы избежать указания на множественное или единственное число, часто удобнее говорить «... не всегда ложна», чем «... иногда» или «... иногда истинна».

Формы, которые в традиционной формальной логике считаются простейшими, на самом деле далеки от таковых и все включают утверждение всех значений или некоторых значений сложной пропозициональной функции. Возьмем для начала «все ... есть ...». Мы будем считать, что ... определяется пропозициональной функцией ..., а ... — пропозициональной функцией .... Например, если ... — это «люди», то ... будет «... есть человек»; если ... — это «смертные», то ... будет «существует время, в которое ... умирает». Тогда «все ... есть ...» означает: «'... влечет ...' всегда истинно». Следует заметить, что «все ... есть ...» относится не только к тем терминам, которые действительно являются ...; оно говорит нечто равным образом и о терминах, которые не являются .... Предположим, мы сталкиваемся с ..., о котором мы не знаем, является ли оно ... или нет; тем не менее, наше утверждение «все ... есть ...» говорит нам нечто о ..., а именно, что если ... есть ..., то ... есть .... И это в такой же мере истинно, когда ... не есть ..., как и когда ... есть .... Если бы это не было в равной степени истинно в обоих случаях, reductio ad absurdum не был бы валидным методом; ибо сущность этого метода состоит в использовании импликаций в случаях, когда (как впоследствии оказывается) гипотеза ложна. Мы можем выразить это иначе. Чтобы понять «все ... есть ...», не обязательно уметь перечислять, какие термины являются ...; при условии, что мы знаем, что значит быть ... и что значит быть ..., мы можем полностью понять, что именно утверждается в «все ... есть ...», как бы мало мы ни знали о реальных примерах того или другого. Это показывает, что в утверждении «все ... есть ...» релевантны не только реальные термины, которые являются ..., но все термины, в отношении которых предположение, что они являются ..., значимо, т. е. все термины, которые являются ..., вместе со всеми терминами, которые не являются ..., т. е. весь соответствующий логический «тип». То, что применимо к утверждениям о «всех», применимо и к утверждениям о «некоторых». «Люди существуют», например, означает, что «... есть человек» истинно для некоторых значений .... Здесь релевантны все значения ... (т. е. все значения, для которых «... есть человек» значимо, независимо от того, истинно оно или ложно), а не только те, которые на самом деле являются людьми. (Это становится очевидным, если мы рассмотрим, как мы могли бы доказать ложность такого утверждения.) Каждое утверждение о «всех» или «некоторых» таким образом включает не только аргументы, которые делают определенную функцию истинной, но все, которые делают ее значимой, т. е. все, для которых она вообще имеет значение, истинное или ложное.

Теперь мы можем продолжить нашу интерпретацию традиционных форм старомодной формальной логики. Мы предполагаем, что ... — это те термины, для которых ... истинно, а ... — это те, для которых ... истинно. (Как мы увидим в более поздней главе, все классы выводятся таким образом из пропозициональных функций.) Тогда:

«Все ... есть ...» означает «'... влечет ...' всегда истинно».

«Некоторые ... есть ...» означает «'... и ...' иногда истинно».

«Ни один ... не есть ...» означает «'... влечет не-...' всегда истинно».

«Некоторые ... не есть ...» означает «'... и не-...' иногда истинно».

Будет замечено, что пропозициональные функции, которые здесь утверждаются для всех или некоторых значений, — это не сами ... и ..., а функции истинности ... и ... для одного и того же аргумента. Самый простой способ представить себе то, что имеется в виду, — это начать не с ... и ... в общем, а с ... и ..., где ... — некоторая константа. Предположим, мы рассматриваем «все люди смертны»: мы начнем с

«Если Сократ есть человек, то Сократ смертен»,

а затем мы будем рассматривать «Сократ» как замененное переменной везде, где встречается «Сократ». Цель состоит в том, чтобы, хотя ... остается переменной, без какого-либо определенного значения, она имела одно и то же значение в «...» и в «...», когда мы утверждаем, что «... влечет ...» всегда истинно. Это требует, чтобы мы начали с функции, значениями которой являются такие, как «... влечет ...», а не с двух отдельных функций ... и ...; ибо если мы начнем с двух отдельных функций, мы никогда не сможем обеспечить, чтобы ..., оставаясь неопределенной, имела одно и то же значение в обеих.

Для краткости мы говорим «... всегда влечет ...», когда имеем в виду, что «... влечет ...» всегда истинно. Высказывания формы «... всегда влечет ...» называются «формальными импликациями»; это название дается в равной степени, если переменных несколько.

Вышеприведенные определения показывают, насколько далеки от простейших форм такие высказывания, как «все ... есть ...», с которых начинается традиционная логика. Типичным для отсутствия анализа является то, что традиционная логика рассматривает «все ... есть ...» как высказывание той же формы, что и «... есть ...» — например, она рассматривает «все люди смертны» как имеющее ту же форму, что и «Сократ смертен». Как мы только что видели, первое имеет форму «... всегда влечет ...», в то время как второе имеет форму «...». Эмфатическое разделение этих двух форм, которое было осуществлено Джузеппе Пеано и Готлобом Фреге, было очень важным шагом вперед в символической логике.

Будет видно, что «все ... есть ...» и «ни один ... не есть ...» на самом деле не различаются по форме, за исключением замены ... на не-..., и что то же самое относится к «некоторые ... есть ...» и «некоторые ... не есть ...». Следует также заметить, что традиционные правила обращения ошибочны, если мы примем точку зрения, которая является единственно технически допустимой, что такие высказывания, как «все ... есть ...», не предполагают «существования» ..., т. е. не требуют, чтобы существовали термины, которые являются .... Вышеприведенные определения приводят к результату, что если ... всегда ложно, т. е. если нет ..., то «все ... есть ...» и «ни один ... не есть ...» будут оба истинными, чем бы ни было .... Ибо, согласно определению в последней главе, «... влечет ...» означает «не-... или ...», что всегда истинно, если не-... всегда истинно. В первый момент этот результат может вызвать у читателя желание получить другие определения, но небольшой практический опыт вскоре показывает, что любые другие определения были бы неудобными и скрывали бы важные идеи. Высказывание «... всегда влечет ..., и ... иногда истинно» по существу является составным, и было бы очень неловко давать это в качестве определения «все ... есть ...», ибо тогда у нас не осталось бы языка для «... всегда влечет ...», который нужен сто раз на один раз, когда нужно другое. Но с нашими определениями «все ... есть ...» не влечет «некоторые ... есть ...», поскольку первое допускает несуществование ..., а второе — нет; таким образом, обращение per accidens становится невалидным, и некоторые модусы силлогизма являются ошибочными, например, Darapti: «Все ... есть ..., все ... есть ..., следовательно, некоторые ... есть ...», что не работает, если нет ....

Понятие «существования» имеет несколько форм, одна из которых займет нас в следующей главе; но фундаментальной формой является та, которая выводится непосредственно из понятия «иногда истинно». Мы говорим, что аргумент ... «удовлетворяет» функцию ..., если ... истинно; это тот же смысл, в котором корни уравнения, как говорят, удовлетворяют уравнению. Теперь, если ... иногда истинно, мы можем сказать, что существуют ..., для которых оно истинно, или мы можем сказать «аргументы, удовлетворяющие ..., существуют». Это фундаментальное значение слова «существование». Другие значения либо производны от этого, либо воплощают простую путаницу в мышлении. Мы можем правильно сказать «люди существуют», имея в виду, что «... есть человек» иногда истинно. Но если мы составим псевдосиллогизм: «Люди существуют, Сократ есть человек, следовательно, Сократ существует», мы говорим бессмыслицу, поскольку «Сократ» не является, подобно «людям», просто неопределенным аргументом к данной пропозициональной функции. Эта ошибка тесно аналогична ошибке в аргументе: «Люди многочисленны, Сократ есть человек, следовательно, Сократ многочислен». В этом случае очевидно, что вывод бессмысленен, но в случае существования это не очевидно по причинам, которые станут более понятными в следующей главе. А пока отметим лишь тот факт, что, хотя правильно сказать «люди существуют», неправильно, или, скорее, бессмысленно приписывать существование данному конкретному ..., который случайно является человеком. В общем, «термины, удовлетворяющие ... существуют» означает «... иногда истинно»; но «... существует» (где ... — термин, удовлетворяющий ...) — это просто шум или форма, лишенная значимости. Будет обнаружено, что, помня об этой простой ошибке, мы можем решить многие древние философские загадки, касающиеся значения существования.

Другой набор понятий, в отношении которых философия позволила себе впасть в безнадежную путаницу из-за недостаточного разделения высказываний и пропозициональных функций, — это понятия «модальности»: необходимое, возможное и невозможное. (Иногда вместо «возможное» используется «контингентное» или «ассерторическое».) Традиционная точка зрения заключалась в том, что среди истинных высказываний некоторые являются необходимыми, в то время как другие — лишь контингентными или ассерторическими; тогда как среди ложных высказываний некоторые являются невозможными, а именно те, чьи противоречия необходимы, в то время как другие просто случайно не являются истинными. Фактически, однако, никогда не было ясного объяснения того, что добавляется к истине концепцией необходимости. В случае пропозициональных функций трехчастное деление очевидно. Если «...» — это неопределенное значение некоторой пропозициональной функции, оно будет необходимым, если функция всегда истинна, возможным, если она иногда истинна, и невозможным, если она никогда не истинна. Такая ситуация возникает, например, в отношении вероятности. Предположим, шар ... вынимается из мешка, который содержит ряд шаров: если все шары белые, «... есть белый» необходимо; если некоторые белые, оно возможно; если ни одного, оно невозможно. Здесь все, что известно о ..., это то, что он удовлетворяет некоторой пропозициональной функции, а именно «... был шаром в мешке». Это ситуация, которая является общей в задачах на вероятность и не является редкостью в практической жизни — например, когда приходит человек, о котором мы ничего не знаем, кроме того, что он приносит рекомендательное письмо от нашего друга такого-то. Во всех таких случаях, как и в отношении модальности в целом, пропозициональная функция релевантна. Для ясного мышления во многих самых разных направлениях привычка держать пропозициональные функции четко отделенными от высказываний имеет величайшее значение, и неспособность делать это в прошлом была позором для философии.

ГЛАВА XVI ОПИСАНИЯ

В предыдущей главе мы имели дело со словами «все» и «некоторые»; в этой главе мы рассмотрим слово «тот» в единственном числе, а в следующей главе мы рассмотрим слово «тот» во множественном числе. Может показаться излишним посвящать две главы одному слову, но для философа-математика это слово огромной важности: подобно грамматику Браунинга с энклитикой ..., я бы изложил доктрину этого слова, если бы я был «мертв от пояса вниз», а не просто в тюрьме.

У нас уже был случай упомянуть «дескриптивные функции», т. е. такие выражения, как «отец ...» или «синус ...». Они должны быть определены путем предварительного определения «описаний».

«Описание» может быть двух видов: определенное и неопределенное (или двусмысленное). Неопределенное описание — это фраза вида «некий такой-то», а определенное описание — это фраза вида «тот самый такой-то» (в единственном числе). Начнем с первого.

«Кого ты встретил?» «Я встретил человека». «Это очень неопределенное описание». Поэтому мы не отходим от употребления в нашей терминологии. Наш вопрос: что я на самом деле утверждаю, когда утверждаю «Я встретил человека»? Предположим на мгновение, что мое утверждение истинно и что на самом деле я встретил Джонса. Ясно, что я утверждаю не «Я встретил Джонса». Я могу сказать «Я встретил человека, но это был не Джонс»; в этом случае, хотя я и лгу, я не противоречу сам себе, как я сделал бы, если бы, говоря, что встретил человека, я действительно имел в виду, что встретил Джонса. Ясно также, что человек, с которым я разговариваю, может понять, что я говорю, даже если он иностранец и никогда не слышал о Джонсе.

Но мы можем пойти дальше: не только Джонс, но и никакой реальный человек не входит в мое утверждение. Это становится очевидным, когда утверждение ложно, поскольку тогда нет больше оснований предполагать, что Джонс входит в высказывание, чем кто-либо другой. Действительно, утверждение оставалось бы значимым, хотя оно и не могло бы быть истинным, даже если бы вообще не было никакого человека. «Я встретил единорога» или «Я встретил морского змея» — это вполне значимое утверждение, если мы знаем, что значило бы быть единорогом или морским змеем, т. е. каково определение этих сказочных монстров. Таким образом, в высказывание входит только то, что мы можем назвать концептом. В случае «единорога», например, существует только концепт: не существует также где-то среди теней чего-то нереального, что можно было бы назвать «единорогом». Поэтому, поскольку значимо (хотя и ложно) сказать «Я встретил единорога», ясно, что это высказывание, правильно проанализированное, не содержит компонента «единорог», хотя оно и содержит концепт «единорог».

Вопрос «нереальности», с которым мы сталкиваемся в этой точке, является очень важным. Введенные в заблуждение грамматикой, подавляющее большинство тех логиков, которые занимались этим вопросом, подходили к нему ошибочно. Они рассматривали грамматическую форму как более надежный ориентир в анализе, чем она есть на самом деле. И они не знали, какие различия в грамматической форме важны. «Я встретил Джонса» и «Я встретил человека» традиционно считались бы высказываниями одной и той же формы, но на самом деле они имеют совершенно разные формы: первое называет реального человека, Джонса; в то время как второе включает пропозициональную функцию и становится, если его сделать явным: «Функция 'Я встретил ... и ... есть человек' иногда истинна». (Следует помнить, что мы приняли конвенцию использовать «иногда» как не подразумевающее более одного раза.) Это высказывание очевидно не имеет формы «Я встретил ...», что объясняет существование высказывания «Я встретил единорога», несмотря на тот факт, что не существует такой вещи, как «единорог».

Из-за отсутствия аппарата пропозициональных функций многие логики пришли к выводу, что существуют нереальные объекты. Утверждается, например, Мейнонгом [40], что мы можем говорить о «золотой горе», «круглом квадрате» и так далее; мы можем составлять истинные высказывания, субъектами которых они являются; следовательно, они должны иметь какой-то вид логического бытия, иначе высказывания, в которых они встречаются, были бы бессмысленными. В таких теориях, как мне кажется, отсутствует то чувство реальности, которое должно сохраняться даже в самых абстрактных исследованиях. Логика, я должен настаивать, должна допускать единорога не более, чем зоология; ибо логика имеет дело с реальным миром так же истинно, как и зоология, хотя и с его более абстрактными и общими чертами. Сказать, что единороги существуют в геральдике, или в литературе, или в воображении, — это самая жалкая и ничтожная уловка. То, что существует в геральдике, — это не животное, сделанное из плоти и крови, движущееся и дышащее по собственной инициативе. То, что существует, — это картина или описание словами. Точно так же утверждать, что Гамлет, например, существует в своем собственном мире, а именно в мире воображения Шекспира, так же истинно, как (скажем) Наполеон существовал в обычном мире, — значит сказать нечто преднамеренно запутанное или же запутанное до степени, в которую трудно поверить. Существует только один мир, «реальный» мир: воображение Шекспира является его частью, и мысли, которые были у него при написании Гамлета, реальны. Так же реальны и мысли, которые есть у нас при чтении пьесы. Но самой сущностью фикции является то, что реальны только мысли, чувства и т. д. у Шекспира и его читателей, и что нет, в дополнение к ним, объективного Гамлета. Когда вы приняли во внимание все чувства, вызванные Наполеоном у писателей и читателей истории, вы не коснулись реального человека; но в случае с Гамлетом вы дошли до его конца. Если бы никто не думал о Гамлете, от него ничего бы не осталось; если бы никто не думал о Наполеоне, он бы вскоре позаботился о том, чтобы кто-то подумал. Чувство реальности жизненно важно в логике, и тот, кто жонглирует им, делая вид, что Гамлет имеет другой вид реальности, оказывает медвежью услугу мышлению. Здоровое чувство реальности очень необходимо при построении правильного анализа высказываний о единорогах, золотых горах, круглых квадратах и других подобных псевдообъектах.