«Введение в математическую философию»

(1) Для любого вещественного числа, меньшего y, функция сходится к последователям этого числа по мере приближения аргумента к x снизу;

(2) Для любого вещественного числа, большего y, функция сходится к предшественникам этого числа по мере приближения аргумента к x снизу;

(3) и (4) Аналогичные условия для приближения к x сверху.

Преимущество такой формы определения состоит в том, что она анализирует условия непрерывности, разбивая их на четыре, полученные из рассмотрения аргументов и значений, соответственно больших или меньших аргумента и значения, для которых определяется непрерывность.

Теперь мы можем обобщить наши определения так, чтобы они применялись к рядам, которые не являются числовыми или не считаются численно измеримыми. Удобно иметь в виду случай движения. Существует рассказ Г. Уэллса, который проиллюстрирует на примере движения разницу между пределом функции для заданного аргумента и ее значением для того же аргумента. Герой рассказа, обладавший, сам того не зная, силой воплощать свои желания, подвергся нападению полицейского, но, воскликнув «Отправляйся к...», обнаружил, что полицейский исчез. Если f(t) — положение полицейского в момент времени t, а t0 — момент восклицания, то пределом положений полицейского по мере приближения t к t0 снизу был бы контакт с героем, тогда как значением для аргумента t0 было «нигде». Но такие случаи считаются редкими в реальном мире, и предполагается, хотя и без достаточных доказательств, что все движения непрерывны, т. е. что для любого тела, если f(t) — его положение в момент времени t, то f(t) является непрерывной функцией от t. Именно смысл «непрерывности», подразумеваемый в таких утверждениях, мы теперь хотим определить как можно проще.

Определения, данные для случая функций, где аргумент и значение являются вещественными числами, могут быть легко адаптированы для более общего использования.

Пусть P и Q — два отношения, которые полезно представлять себе как сериальные, хотя для наших определений это не обязательно. Пусть f — отношение «один-ко-многим», область определения которого содержится в поле P, а область значений — в поле Q. Тогда f является (в обобщенном смысле) функцией, аргументы которой принадлежат полю P, а значения — полю Q. Предположим, например, что мы имеем дело с частицей, движущейся по линии: пусть P — временной ряд, Q — ряд точек на нашей линии слева направо, f — отношение положения нашей частицы на линии в момент времени t к самому времени t, так что «f(t)» — это ее положение в момент времени t. Эту иллюстрацию можно иметь в виду на протяжении всех наших определений.

Мы скажем, что функция f непрерывна для аргумента x, если для любого интервала κ в Q-ряде, содержащего значение f(x) функции для аргумента x, существует интервал λ в P-ряде, содержащий x не в качестве конечной точки, и такой, что на всем этом интервале функция принимает значения, являющиеся элементами κ. (Под «интервалом» мы понимаем все члены между любыми двумя; т. е. если a и b — два члена поля P, и P имеет отношение к a и b, то под «P-интервалом от a до b» мы будем понимать все члены x, такие что x имеет отношение к a и b — вместе, если это оговорено, с самими a или b.)

Мы можем легко определить «предельное сечение» и «предельное колебание». Чтобы определить «предельное сечение» для приближения к аргументу x снизу, возьмем любой аргумент x', который предшествует x (т. е. имеет отношение P к x), возьмем значения функции для всех аргументов вплоть до x' включительно и сформируем сечение Q, определяемое этими значениями, т. е. те члены Q-ряда, которые предшествуют или идентичны некоторым из этих значений. Сформируем все такие сечения для всех x', предшествующих x, и возьмем их общую часть; это и будет предельным сечением. Предельное верхнее сечение и предельное колебание определяются затем точно так же, как в предыдущем случае.

Адаптация определения сходимости и вытекающее из нее альтернативное определение непрерывности не представляют никакой сложности.

Мы говорим, что функция f «в конечном счете P-сходится к κ», если существует член x' области значений f и поля P такой, что значение функции для аргумента x' и для любого аргумента, к которому x' имеет отношение P, является элементом κ. Мы говорим, что f «P-сходится к κ по мере приближения аргумента к заданному аргументу x», если существует член x' из области значений f, имеющий отношение P к x, такой, что значение функции для любого аргумента в P-интервале от x' (включительно) до x (исключительно) принадлежит κ.

Из четырех условий, которым должна удовлетворять функция, чтобы быть непрерывной для аргумента x, первое, если обозначить через y значение для аргумента x, гласит:

Для любого члена, имеющего отношение Q к y, f P-сходится к последователям y (относительно Q) по мере приближения аргумента к x снизу.

Второе условие получается заменой Q на его конверс; третье и четвертое получаются из первого и второго заменой P на его конверс.

Таким образом, в понятиях предела функции или непрерывности функции нет ничего, что существенно включало бы число. Оба могут быть определены в общем виде, и многие утверждения о них могут быть доказаны для любых двух рядов (один из которых является рядом аргументов, а другой — рядом значений). Будет видно, что определения не включают бесконечно малые величины. Они включают бесконечные классы интервалов, уменьшающихся без какого-либо предела, кроме нуля, но они не включают никаких интервалов, которые не были бы конечными. Это аналогично тому факту, что если линию длиной в дюйм делить пополам, затем снова пополам и так далее до бесконечности, мы никогда не достигнем бесконечно малых величин таким путем: после n бисекций длина нашего отрезка составит 1/2^n дюйма; и это конечно, каким бы конечным ни было число n. Процесс последовательного деления пополам не приводит к делениям, ординальное число которых бесконечно, поскольку это по существу процесс «один за другим». Таким образом, бесконечно малые величины таким путем не достигаются. Путаница в таких темах имела большое отношение к трудностям, которые возникали при обсуждении бесконечности и непрерывности.

ГЛАВА XII. ВЫБОРКИ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ АКСИОМА

В этой главе мы должны рассмотреть аксиому, которая может быть сформулирована, но не доказана в терминах логики, и которая удобна, хотя и не обязательна, в некоторых разделах математики. Она удобна в том смысле, что многие интересные утверждения, которые кажется естественным считать истинными, невозможно доказать без ее помощи; но она не обязательна, поскольку даже без этих утверждений предметы, в которых они встречаются, все равно существуют, хотя и в несколько искаженном виде.

Прежде чем сформулировать мультипликативную аксиому, мы должны сначала объяснить теорию выборок и определение умножения, когда число множителей может быть бесконечным.

При определении арифметических операций единственно правильным подходом является построение фактического класса (или отношения, в случае чисел отношений), имеющего требуемое число членов. Это иногда требует определенной изобретательности, но необходимо для доказательства существования определенного числа. Возьмем в качестве простейшего примера случай сложения. Предположим, нам дано кардинальное число μ и класс α, имеющий μ членов. Как нам определить μ + μ? Для этой цели у нас должны быть два класса, имеющих μ членов, и они не должны пересекаться. Мы можем построить такие классы из α различными способами, из которых следующий, пожалуй, самый простой: сформируем сначала все упорядоченные пары, первым членом которых является класс, состоящий из одного члена α, а вторым — пустой класс; затем, во-вторых, сформируем все упорядоченные пары, первым членом которых является пустой класс, а вторым — класс, состоящий из одного члена α. Эти два класса пар не имеют общих членов, и логическая сумма этих двух классов будет иметь μ + μ членов. Точно так же мы можем определить μ + ν, при условии, что μ — число некоторого класса α, а ν — число некоторого класса β.

Такие определения, как правило, являются лишь вопросом подходящего технического приема. Но в случае умножения, когда число множителей может быть бесконечным, из определения возникают важные проблемы.

Умножение, когда число множителей конечно, не представляет трудностей. Даны два класса α и β, из которых первый имеет μ членов, а второй — ν членов; мы можем определить μ × ν как число упорядоченных пар, которые могут быть сформированы путем выбора первого члена из α, а второго — из β. Будет видно, что это определение не требует, чтобы α и β не пересекались; оно остается адекватным, даже когда α и β идентичны. Например, пусть α — класс, членами которого являются a, b, c. Тогда класс, который используется для определения произведения μ × μ, — это класс пар: (a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c). Это определение остается применимым, когда μ или ν (или оба) бесконечны, и оно может быть расширено шаг за шагом на три, четыре или любое конечное число множителей. Никаких трудностей с этим определением не возникает, за исключением того, что оно не может быть расширено на бесконечное число множителей.

Проблема умножения, когда число множителей может быть бесконечным, возникает следующим образом: предположим, у нас есть класс, состоящий из классов; предположим, задано число членов в каждом из этих классов. Как нам определить произведение всех этих чисел? Если мы сможем сформулировать наше определение в общем виде, оно будет применимо независимо от того, является ли класс классов конечным или бесконечным. Следует заметить, что проблема заключается в способности справиться со случаем, когда класс классов бесконечен, а не со случаем, когда его члены бесконечны. Если класс классов не бесконечен, метод, определенный выше, применим так же, как и тогда, когда его члены бесконечны, так и тогда, когда они конечны. Именно случай, когда класс классов бесконечен, даже если его члены конечны, мы должны научиться обрабатывать.

Следующий метод общего определения умножения принадлежит д-ру Уайтхеду. Он подробно объяснен и рассмотрен в Principia Mathematica, том I, * 80 и сл., и том II, * 114.

Предположим для начала, что κ — это класс классов, никакие два из которых не пересекаются — скажем, избирательные округа в стране, где нет множественного голосования, причем каждый округ рассматривается как класс избирателей. Теперь приступим к выбору одного члена из каждого класса в качестве его «представителя», как это делают округа, когда они избирают членов парламента, предполагая, что по закону каждый округ должен избрать человека, который является избирателем в этом округе. Таким образом, мы приходим к классу представителей, которые составляют наш парламент, по одному от каждого округа. Сколько существует различных возможных способов выбора парламента? Каждый округ может выбрать любого из своих избирателей, и поэтому, если в округе μ избирателей, он может сделать μ выборов. Выборы разных округов независимы; таким образом, очевидно, что когда общее число округов конечно, число возможных парламентов получается путем перемножения чисел избирателей в различных округах. Когда мы не знаем, конечно или бесконечно число округов, мы можем принять число возможных парламентов за определение произведения чисел отдельных округов. Это метод, с помощью которого определяются бесконечные произведения. Теперь мы должны отбросить нашу иллюстрацию и перейти к точным формулировкам.

Пусть κ — класс классов, и предположим для начала, что никакие два члена κ не пересекаются, т. е. что если α и β — два разных члена κ, то никакой член одного не является членом другого. Мы будем называть класс «выборкой» из κ, когда он состоит ровно из одного члена от каждого члена κ; т. е. λ — это «выборка» из κ, если каждый член λ принадлежит какому-либо члену κ, и если α — любой член κ, то α и λ имеют ровно один общий член. Класс всех «выборок» из κ мы будем называть «мультипликативным классом» κ. Число членов в мультипликативном классе κ, т. е. число возможных выборок из κ, определяется как произведение чисел членов κ. Это определение одинаково применимо независимо от того, является ли κ конечным или бесконечным.

Прежде чем мы сможем быть полностью удовлетворены этими определениями, мы должны снять ограничение, согласно которому никакие два члена κ не должны пересекаться. Для этой цели, вместо того чтобы сначала определять класс, называемый «выборкой», мы сначала определим отношение, которое назовем «селектором». Отношение R будет называться «селектором» из κ, если из каждого члена α класса κ оно выбирает один член в качестве представителя этого члена, т. е. если для любого члена α из κ существует ровно один член x, который является членом α и имеет отношение R к α; и это должно быть всем, что делает R. Формальное определение таково:

«Селектор» из класса классов κ — это отношение «один-ко-многим», имеющее κ своей областью значений и такое, что если x имеет отношение R к α, то x является членом α.

Если R — селектор из κ, а α — член κ, и x — член, который имеет отношение R к α, мы называем x «представителем» α в отношении R.

«Выборка» из κ теперь будет определяться как область определения селектора; а мультипликативный класс, как и прежде, будет классом выборок.

Но когда члены κ пересекаются, селекторов может быть больше, чем выборок, поскольку член x, который принадлежит двум классам α и β, может быть выбран один раз для представления α и один раз для представления β, что в двух случаях приводит к разным селекторам, но к одной и той же выборке. Для целей определения умножения нам нужны скорее селекторы, чем выборки. Таким образом, мы определяем:

«Произведение чисел членов класса классов κ» — это число селекторов из κ.

Мы можем определить возведение в степень путем адаптации вышеуказанного плана. Мы могли бы, конечно, определить μ^ν как число селекторов из ν классов, каждый из которых имеет μ членов. Но есть возражения против этого определения, вытекающие из того факта, что мультипликативная аксиома (о которой мы вскоре скажем) оказывается излишне вовлеченной, если его принять. Вместо этого мы принимаем следующую конструкцию:

Пусть μ — класс, имеющий μ членов, а ν — класс, имеющий ν членов.

Пусть y — член ν, и сформируем класс всех упорядоченных пар, которые имеют y в качестве второго члена, а член μ — в качестве первого члена. Для данного y будет μ таких пар, поскольку любой член μ может быть выбран в качестве первого члена, а μ имеет μ членов. Если мы теперь сформируем все классы такого рода, которые получаются при варьировании y, мы получим в общей сложности ν классов, поскольку y может быть любым членом ν, а ν имеет ν членов. Эти классы — каждый из них — являются классами пар, а именно всеми парами, которые могут быть сформированы из переменного члена μ и фиксированного члена y. Мы определяем μ^ν как число селекторов из класса, состоящего из этих ν классов. Или мы можем с таким же успехом определить μ^ν как число выборок, ибо, поскольку наши классы пар взаимно исключающие, число селекторов совпадает с числом выборок. Выборка из нашего класса классов будет набором упорядоченных пар, из которых будет ровно одна, имеющая любой заданный член ν в качестве второго члена, а первый член может быть любым членом μ. Таким образом, μ^ν определяется селекторами из определенного набора классов, каждый из которых имеет μ членов, но этот набор имеет определенную структуру и более управляемый состав, чем это имеет место в общем случае. Релевантность этого для мультипликативной аксиомы станет ясна вскоре.

То, что относится к возведению в степень, относится также к произведению двух кардинальных чисел. Мы могли бы определить «μ × ν» как сумму чисел ν классов, каждый из которых имеет μ членов, но мы предпочитаем определять его как число упорядоченных пар, состоящих из члена μ, за которым следует член ν, где μ имеет μ членов, а ν имеет ν членов. Это определение также разработано так, чтобы избежать необходимости принятия мультипликативной аксиомы.

С помощью наших определений мы можем доказать обычные формальные законы умножения и возведения в степень. Но есть одна вещь, которую мы не можем доказать: мы не можем доказать, что произведение равно нулю только тогда, когда один из его множителей равен нулю. Мы можем доказать это, когда число множителей конечно, но не тогда, когда оно бесконечно. Другими словами, мы не можем доказать, что для любого класса классов, ни один из которых не является пустым, должны существовать селекторы из них; или что для любого класса взаимно исключающих классов должен существовать по крайней мере один класс, состоящий из одного члена из каждого из данных классов. Эти вещи нельзя доказать; и хотя на первый взгляд они кажутся очевидно истинными, размышление вызывает постепенно возрастающее сомнение, пока, наконец, мы не соглашаемся зарегистрировать это допущение и его следствия, как мы регистрируем аксиому параллельных прямых, не предполагая, что мы можем знать, истинна она или ложна. Допущение, выраженное нестрого, состоит в том, что селекторы и выборки существуют тогда, когда мы их ожидаем. Существует много эквивалентных способов точной формулировки этого. Мы можем начать со следующего:

«Для любого класса взаимно исключающих классов, ни один из которых не является пустым, существует по крайней мере один класс, который имеет ровно один общий член с каждым из данных классов».

Это утверждение мы назовем «мультипликативной аксиомой» [24]. Мы сначала приведем различные эквивалентные формы этого утверждения, а затем рассмотрим некоторые способы, которыми его истинность или ложность представляет интерес для математики.

[24] Principia Mathematica, том I, * 88. Также том III, * 257-258.

Мультипликативная аксиома эквивалентна утверждению, что произведение равно нулю только тогда, когда по крайней мере один из его множителей равен нулю; т. е. что если любое количество кардинальных чисел перемножается, результат не может быть 0, если только одно из рассматриваемых чисел не равно 0.

Мультипликативная аксиома эквивалентна утверждению, что если R — любое отношение, а κ — любой класс, содержащийся в области значений R, то существует по крайней мере одно отношение «один-ко-многим», подразумевающее R и имеющее κ своей областью значений.

Мультипликативная аксиома эквивалентна допущению, что если κ — любой класс, а κ' — все подклассы κ, за исключением пустого класса, то существует по крайней мере один селектор из κ'. Это форма, в которой аксиома была впервые доведена до сведения ученого мира Цермело в его работе «Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann» [25]. Цермело рассматривает аксиому как несомненную истину. Следует признать, что до тех пор, пока он не сделал ее явной, математики использовали ее без колебаний; но, по-видимому, они делали это неосознанно. И заслуга Цермело в том, что он сделал ее явной, полностью независима от вопроса о том, истинна она или ложна.

[25] Mathematische Annalen, том LIX, стр. 514-6. В этой форме мы будем называть ее аксиомой Цермело.

Мультипликативная аксиома, как показал Цермело в вышеупомянутом доказательстве, эквивалентна утверждению, что каждый класс может быть вполне упорядочен, т. е. может быть расположен в ряд, в котором каждый подкласс имеет первый член (кроме, конечно, пустого класса). Полное доказательство этого утверждения сложно, но нетрудно увидеть общий принцип, на котором оно строится. Оно использует форму, которую мы называем «аксиомой Цермело», т. е. предполагает, что для любого класса κ существует по крайней мере одно отношение «один-ко-многим», область значений которого состоит из всех существующих подклассов κ и которое таково, что если x имеет отношение R к α, то x является членом α. Такое отношение выбирает «представителя» из каждого подкласса; конечно, часто будет случаться, что два подкласса имеют одного и того же представителя. То, что делает Цермело, по сути, — это пересчет членов κ, один за другим, с помощью R и трансфинитной индукции. Мы ставим первым представителя κ; назовем его x1. Затем берем представителя класса, состоящего из всех членов κ, кроме x1; назовем его x2. Он должен отличаться от x1, потому что каждый представитель является членом своего класса, а x1 исключен из этого класса. Действуем аналогично, чтобы убрать x2, и пусть x3 будет представителем того, что осталось. Таким образом, мы сначала получаем прогрессию x1, x2, ..., xn, ..., предполагая, что κ не является конечным. Затем мы убираем всю прогрессию; пусть xω будет представителем того, что осталось от κ. Таким образом, мы можем продолжать, пока ничего не останется. Последовательные представители образуют вполне упорядоченный ряд, содержащий все члены κ. (Вышесказанное, конечно, лишь намек на общие линии доказательства.) Это утверждение называется «теоремой Цермело».

Мультипликативная аксиома также эквивалентна допущению, что из любых двух кардинальных чисел, которые не равны, одно должно быть больше другого. Если аксиома ложна, найдутся кардинальные числа μ и ν такие, что μ не меньше, не равно и не больше ν. Мы видели, что 2^ℵ0 и ℵ1, возможно, образуют пример такой пары.

Можно было бы привести много других форм аксиомы, но вышеприведенные являются наиболее важными из известных в настоящее время. Что касается истинности или ложности аксиомы в любой из ее форм, в настоящее время ничего не известно.

Утверждения, которые зависят от аксиомы, не будучи известными как эквивалентные ей, многочисленны и важны. Возьмем сначала связь сложения и умножения. Мы естественно думаем, что сумма μ взаимно исключающих классов, каждый из которых имеет ν членов, должна иметь μ × ν членов. Когда μ конечно, это можно доказать. Но когда μ бесконечно, это невозможно доказать без мультипликативной аксиомы, за исключением случаев, когда в силу каких-то особых обстоятельств можно доказать существование определенных селекторов. То, как входит мультипликативная аксиома, заключается в следующем: предположим, у нас есть два набора μ взаимно исключающих классов, каждый из которых имеет ν членов, и мы хотим доказать, что сумма одного набора имеет столько же членов, сколько сумма другого. Чтобы доказать это, мы должны установить отношение «один-к-одному». Теперь, поскольку в каждом случае есть μ классов, существует некоторое отношение «один-к-одному» между двумя наборами классов; но что нам нужно, так это отношение «один-к-одному» между их членами. Рассмотрим некоторое отношение «один-к-одному» R между классами. Тогда, если κ и λ — два набора классов, а α — некоторый член κ, будет член β из λ, который будет коррелятом α относительно R. Теперь α и β каждый имеют ν членов и поэтому подобны. Соответственно, существуют корреляции «один-к-одному» между α и β. Проблема в том, что их слишком много. Чтобы получить корреляцию «один-к-одному» суммы κ с суммой λ, мы должны выбрать одну выборку из набора классов корреляторов, причем один класс набора — это все корреляторы «один-к-одному» α с β. Если μ и ν бесконечны, мы не можем в общем случае знать, что такая выборка существует, если не можем знать, что мультипликативная аксиома истинна. Следовательно, мы не можем установить обычный вид связи между сложением и умножением.

Этот факт имеет различные любопытные последствия. Прежде всего, мы знаем, что ℵ0 × ℵ0 = ℵ0. Из этого обычно делают вывод, что сумма ℵ0 классов, каждый из которых имеет ℵ0 членов, сама должна иметь ℵ0 членов, но этот вывод ошибочен, поскольку мы не знаем, что число членов в такой сумме равно ℵ0, и, следовательно, что оно равно ℵ0. Это имеет отношение к теории трансфинитных ординальных чисел. Легко доказать, что ординальное число, которое имеет ℵ0 предшественников, должно быть одним из тех, что Кантор называет «вторым классом», т. е. таким, что ряд, имеющий это ординальное число, будет иметь ℵ0 членов в своем поле. Также легко видеть, что если мы возьмем любую прогрессию ординальных чисел второго класса, предшественники их предела образуют самое большее сумму ℵ0 классов, каждый из которых имеет ℵ0 членов. Отсюда делается вывод — ошибочно, если только мультипликативная аксиома не истинна, — что предшественников предела ℵ0 по количеству, и, следовательно, что предел является числом «второго класса». То есть предполагается доказанным, что любая прогрессия ординальных чисел второго класса имеет предел, который снова является ординальным числом второго класса. Это утверждение, вместе со следствием, что ℵ1 (наименьшее ординальное число третьего класса) не является пределом никакой прогрессии, включено в большую часть признанной теории ординальных чисел второго класса. Учитывая то, как вовлечена мультипликативная аксиома, это утверждение и его следствие нельзя считать доказанными. Они могут быть истинными, а могут и нет. Все, что можно сказать в настоящее время, — это то, что мы не знаем. Таким образом, большая часть теории ординальных чисел второго класса должна считаться недоказанной.

Другая иллюстрация может помочь сделать этот момент яснее. Мы знаем, что ℵ0 × 2 = ℵ0. Отсюда мы могли бы предположить, что сумма ℵ0 пар должна иметь ℵ0 членов. Но это, хотя мы можем доказать, что это иногда имеет место, нельзя доказать как всегда происходящее, если мы не примем мультипликативную аксиому. Это иллюстрируется миллионером, который покупал пару носков всякий раз, когда покупал пару ботинок, и никогда в другое время, и который имел такую страсть к покупке обоих, что в конце концов у него было ℵ0 пар ботинок и ℵ0 пар носков. Проблема: сколько у него было ботинок и сколько носков? Естественно предположить, что у него было вдвое больше ботинок и вдвое больше носков, чем пар каждого, и что поэтому у него было ℵ0 каждого, поскольку это число не увеличивается при удвоении. Но это пример уже отмеченной трудности соединения суммы ℵ0 классов, каждый из которых имеет 2 члена, с ℵ0. Иногда это можно сделать, иногда нет. В нашем случае это можно сделать с ботинками, но не с носками, за исключением какого-то очень искусственного приема. Причина различия такова: среди ботинок мы можем различить правый и левый, и поэтому мы можем сделать выборку по одному из каждой пары, а именно, мы можем выбрать все правые ботинки или все левые ботинки; но с носками никакой такой принцип выбора не напрашивается, и мы не можем быть уверены, если не примем мультипликативную аксиому, что существует какой-либо класс, состоящий из одного носка из каждой пары. Отсюда и проблема.

Мы можем выразить это иначе. Чтобы доказать, что класс имеет ℵ0 членов, необходимо и достаточно найти какой-то способ расположения его членов в прогрессию. Нетрудно сделать это с ботинками. ℵ0 пар даны как образующие ℵ0, и поэтому как поле прогрессии. Внутри каждой пары возьмем сначала левый ботинок, а затем правый, сохраняя порядок пар неизменным; таким образом мы получим прогрессию всех ботинок. Но с носками нам придется выбирать произвольно, в каждой паре, какой поставить первым; а бесконечное число произвольных выборов — это невозможность. Если мы не можем найти правило для выбора, т. е. отношение, которое является селектором, мы не знаем, что выборка вообще теоретически возможна. Конечно, в случае объектов в пространстве, таких как носки, мы всегда можем найти какой-то принцип выбора. Например, возьмем центры масс носков: будут точки в пространстве такие, что в любой паре центры масс двух носков не находятся оба на точно таком же расстоянии от точки; таким образом, мы можем выбрать из каждой пары тот носок, центр масс которого ближе к точке. Но нет теоретической причины, почему такой метод выбора должен быть всегда возможен, и случай с носками, при некоторой доброй воле читателя, может послужить примером того, как выборка может быть невозможной.

Следует заметить, что если бы было невозможно выбрать по одному из каждой пары носков, из этого следовало бы, что носки не могли бы быть расположены в прогрессию, и, следовательно, что их не ℵ0. Этот случай иллюстрирует, что если ℵ0 — бесконечное число, один набор ℵ0 пар может не содержать того же числа членов, что и другой набор ℵ0 пар; ибо, учитывая ℵ0 пар ботинок, там, безусловно, ℵ0 ботинок, но мы не можем быть уверены в этом в случае с носками, если не примем мультипликативную аксиому или не прибегнем к какому-то случайному геометрическому методу выбора, подобному вышеупомянутому.

Другая важная проблема, включающая мультипликативную аксиому, — это отношение рефлексивности к неиндуктивности. Напомним, что в главе VIII мы указали, что рефлексивное число должно быть неиндуктивным, но что обратное (насколько известно в настоящее время) может быть доказано, только если мы примем мультипликативную аксиому. То, как это происходит, заключается в следующем:

Легко доказать, что рефлексивный класс — это тот, который содержит подклассы, имеющие ℵ0 членов. (Класс может, конечно, сам иметь ℵ0 членов.) Таким образом, мы должны доказать, если сможем, что для любого неиндуктивного класса можно выбрать прогрессию из его членов. Теперь нетрудно показать, что неиндуктивный класс должен содержать больше членов, чем любой индуктивный класс, или, что то же самое, что если κ — неиндуктивный класс, а n — любое индуктивное число, существуют подклассы κ, которые имеют n членов. Таким образом, мы можем сформировать наборы конечных подклассов κ: сначала один класс, не имеющий членов, затем классы, имеющие 1 член (столько, сколько членов в κ), затем классы, имеющие 2 члена, и так далее. Мы получаем прогрессию наборов подклассов, каждый набор состоит из всех тех, которые имеют определенное заданное конечное число членов. До сих пор мы не использовали мультипликативную аксиому, но мы только доказали, что число коллекций подклассов κ является рефлексивным числом, т. е. что если μ — число членов κ, так что 2^μ — число подклассов κ, а 2^(2^μ) — число коллекций подклассов, то, при условии, что μ не индуктивно, 2^(2^μ) должно быть рефлексивным. Но это далеко от того, что мы намеревались доказать.

Чтобы продвинуться дальше этой точки, мы должны использовать мультипликативную аксиому. Из каждого набора подклассов давайте выберем по одному, опуская подкласс, состоящий только из пустого класса. То есть мы выбираем один подкласс, содержащий один член, скажем, α1; один, содержащий два члена, скажем, α2; один, содержащий три, скажем, α3; и так далее. (Мы можем сделать это, если мультипликативная аксиома принята; в противном случае мы не знаем, можем ли мы всегда это сделать или нет.) Теперь у нас есть прогрессия α1, α2, α3, ... подклассов κ, вместо прогрессии коллекций подклассов; таким образом, мы на один шаг ближе к нашей цели. Теперь мы знаем, что, предполагая мультипликативную аксиому, если μ — неиндуктивное число, μ должно быть рефлексивным числом.

Следующий шаг — заметить, что, хотя мы не можем быть уверены, что новые члены κ появляются на каком-то одном указанном этапе в прогрессии α1, α2, α3, ..., мы можем быть уверены, что новые члены продолжают появляться время от времени. Давайте проиллюстрируем. Класс α1, который состоит из одного члена, — это новое начало; пусть этим одним членом будет x1. Класс α2, состоящий из двух членов, может содержать или не содержать x1; если содержит, он вводит один новый член; а если не содержит, он должен вводить два новых члена, скажем, x2, x3. В этом случае возможно, что α3 состоит из x1, x2, x3, и поэтому не вводит новых членов, но в этом случае α4 должен ввести новый член. Первые n классов α1, α2, ..., αn содержат, самое большее, 1+2+...+n членов, т. е. n(n+1)/2 членов; таким образом, было бы возможно, если бы не было повторений в первых n классах, продолжать только с повторениями от αn-го класса до αn+1-го класса. Но к тому времени старые члены уже не были бы достаточно многочисленны, чтобы сформировать следующий класс с нужным числом членов, т. е. n+1, поэтому новые члены должны появиться в этой точке, если не раньше. Отсюда следует, что если мы опустим из нашей прогрессии α1, α2, α3, ... все те классы, которые состоят целиком из членов, встречавшихся в предыдущих классах, у нас все равно останется прогрессия. Пусть наша новая прогрессия называется β1, β2, β3, ... (У нас будет β1 = α1 и β2 = α2, потому что α1 и α2 должны вводить новые члены. У нас может быть или не быть β3 = α3, но, говоря в общем, βn будет αm, где m — некоторое число, большее n; т. е. β-ые — это некоторые из α-ых.) Теперь эти β-ые таковы, что любой из них, скажем βn, содержит члены, которые не встречались ни в одном из предыдущих β-ых. Пусть γn — часть βn, которая состоит из новых членов. Таким образом, мы получаем новую прогрессию γ1, γ2, γ3, ... (Опять же γ1 будет идентично β1 и α1; если β2 не содержит единственного члена α1, мы будем иметь γ2 = β2, но если β2 содержит этот один член, γ2 будет состоять из другого члена β2). Эта новая прогрессия γ-ых состоит из взаимно исключающих классов. Следовательно, выборка из них будет прогрессией; т. е. если x1 — член γ1, x2 — член γ2, x3 — член γ3, и так далее; тогда x1, x2, x3, ... — это прогрессия, и она является подклассом κ. Предполагая мультипликативную аксиому, такая выборка может быть сделана. Таким образом, дважды используя эту аксиому, мы можем доказать, что если аксиома истинна, каждое неиндуктивное кардинальное число должно быть рефлексивным. Это также можно было бы вывести из теоремы Цермело, что если аксиома истинна, каждый класс может быть вполне упорядочен; ибо вполне упорядоченный ряд должен иметь либо конечное, либо рефлексивное число членов в своем поле.

Есть одно преимущество в вышеприведенном прямом аргументе перед дедукцией из теоремы Цермело: вышеприведенный аргумент не требует универсальной истинности мультипликативной аксиомы, а только ее истинности применительно к набору ℵ0 классов. Может случиться так, что аксиома выполняется для ℵ0 классов, хотя и не для больших чисел классов. По этой причине лучше, когда это возможно, довольствоваться более ограниченным допущением. Допущение, сделанное в вышеприведенном прямом аргументе, состоит в том, что произведение ℵ0 множителей никогда не равно нулю, если один из множителей не равен нулю. Мы можем сформулировать это допущение в виде: «ℵ0 — мультипликабельное число», где число μ определяется как «мультипликабельное», когда произведение μ множителей никогда не равно нулю, если один из множителей не равен нулю. Мы можем доказать, что конечное число всегда мультипликабельно, но мы не можем доказать, что любое бесконечное число таково. Мультипликативная аксиома эквивалентна допущению, что все кардинальные числа мультипликабельны. Но чтобы идентифицировать рефлексивное с неиндуктивным, или справиться с проблемой ботинок и носков, или показать, что любая прогрессия чисел второго класса является числом второго класса, нам нужно только гораздо меньшее допущение, что ℵ0 мультипликабельно.

Не невероятно, что многое еще предстоит открыть в отношении тем, обсуждаемых в настоящей главе. Могут быть найдены случаи, когда утверждения, которые, кажется, включают мультипликативную аксиому, могут быть доказаны без нее. Вполне возможно, что мультипликативная аксиома в своей общей форме может быть признана ложной. С этой точки зрения теорема Цермело предлагает лучшую надежду: континуум или какой-то еще более плотный ряд могли бы быть доказаны как неспособные к тому, чтобы их члены были вполне упорядочены, что доказало бы ложность мультипликативной аксиомы в силу теоремы Цермело. Но до сих пор не было обнаружено никакого метода получения таких результатов, и предмет остается окутанным неясностью.

ГЛАВА XIII. АКСИОМА БЕСКОНЕЧНОСТИ И ЛОГИЧЕСКИЕ ТИПЫ

Аксиома бесконечности — это допущение, которое может быть сформулировано следующим образом:

«Если n — любое индуктивное кардинальное число, существует по крайней мере один класс индивидов, имеющий n членов».

Если это истинно, то, конечно, следует, что существует много классов индивидов, имеющих n членов, и что общее число индивидов в мире не является индуктивным числом. Ибо, согласно аксиоме, существует по крайней мере один класс, имеющий n членов, из чего следует, что существует много классов n членов и что n не является числом индивидов в мире. Поскольку n — любое индуктивное число, следует, что число индивидов в мире должно (если наша аксиома истинна) превышать любое индуктивное число. Ввиду того, что мы обнаружили в предыдущей главе о возможности кардинальных чисел, которые не являются ни индуктивными, ни рефлексивными, мы не можем вывести из нашей аксиомы, что существует по крайней мере ℵ0 индивидов, если только мы не примем мультипликативную аксиому. Но мы знаем, что существуют по крайней мере ℵ0 классов классов, поскольку индуктивные кардинальные числа являются классами классов и образуют прогрессию, если наша аксиома истинна. То, как возникает потребность в этой аксиоме, можно объяснить следующим образом: одно из допущений Пеано состоит в том, что никакие два индуктивных кардинальных числа не имеют одного и того же последователя, т. е. что у нас не будет n+1 = m+1, если n = m, если n и m — индуктивные кардинальные числа. В главе VIII нам довелось использовать то, что фактически является тем же самым, что и вышеупомянутое допущение Пеано, а именно, что если n — индуктивное кардинальное число, n не равно n+1. Можно было бы подумать, что это можно доказать. Мы можем доказать, что если α — индуктивный класс, а n — число членов α, то n не равно n+1. Это утверждение легко доказывается индукцией и могло бы показаться подразумевающим другое. Но на самом деле это не так, поскольку такого класса, как α, могло бы не существовать. Что оно подразумевает, так это следующее: если n — индуктивное кардинальное число такое, что существует по крайней мере один класс, имеющий n членов, то n не равно n+1. Аксиома бесконечности заверяет нас (истинно или ложно), что существуют классы, имеющие n членов, и таким образом позволяет нам утверждать, что n не равно n+1. Но без этой аксиомы мы остались бы с возможностью, что n и n+1 могли бы оба быть пустым классом.

Проиллюстрируем эту возможность примером: предположим, что в мире ровно девять индивидов. (Что касается того, что имеется в виду под словом «индивид», я должен попросить читателя набраться терпения.) Тогда индуктивные кардинальные числа от 0 до 9 были бы такими, как мы ожидаем, но 10 (определенное как 9+1) было бы пустым классом. Напомним, что n+1 может быть определено следующим образом: n+1 — это коллекция всех тех классов, которые имеют член x такой, что, когда x убирается, остается класс n членов. Теперь, применяя это определение, мы видим, что в предполагаемом случае 10 — это класс, состоящий из отсутствия классов, т. е. это пустой класс. То же самое будет верно для 11, или вообще для n+1, если n не равно нулю. Таким образом, 10 и все последующие индуктивные кардинальные числа будут идентичны, поскольку все они будут пустым классом. В таком случае индуктивные кардинальные числа не будут образовывать прогрессию, и не будет истинным, что никакие два не имеют одного и того же последователя, ибо 9 и 10 будут оба иметь своим последователем пустой класс (10 само является пустым классом). Именно для того, чтобы предотвратить такие арифметические катастрофы, нам требуется аксиома бесконечности.

На самом деле, пока мы довольствуемся арифметикой конечных целых чисел и не вводим ни бесконечные целые числа, ни бесконечные классы или ряды конечных целых чисел или отношений, можно получить все желаемые результаты без аксиомы бесконечности. То есть мы можем иметь дело со сложением, умножением и возведением в степень конечных целых чисел и отношений, но мы не можем иметь дело с бесконечными целыми числами или иррациональными числами. Таким образом, теория трансфинитных чисел и теория вещественных чисел нам не подходят. Как возникают эти различные результаты, должно быть теперь объяснено.

Предполагая, что число индивидов в мире равно n, число классов индивидов будет 2^n. Это в силу общего утверждения, упомянутого в главе VIII, что число классов, содержащихся в классе, который имеет n членов, равно 2^n. Теперь 2^n всегда больше n. Следовательно, число классов в мире больше числа индивидов. Если теперь мы предположим, что число индивидов равно 9, как мы только что сделали, число классов будет 2^9, т. е. 512. Таким образом, если мы возьмем наши числа как применяемые к счету классов, а не к счету индивидов, наша арифметика будет нормальной, пока мы не достигнем 512: первым числом, которое будет пустым, будет 513. И если мы перейдем к классам классов, мы сделаем еще лучше: их число будет 2^(2^n), число, которое настолько велико, что поражает воображение, поскольку оно имеет около 153 цифр. И если мы перейдем к классам классов классов, мы получим число, представленное 2, возведенным в степень, которая имеет около 153 цифр; число цифр в этом числе будет около трех раз по 10^152. Во время нехватки бумаги нежелательно выписывать это число, и если мы хотим больших, мы можем получить их, путешествуя дальше по логической иерархии [26].

[26] По этому предмету см. Principia Mathematica, том II, * 120 и сл. О соответствующих проблемах в отношении отношений см. там же, том III, * 303 и сл.

Что касается отношений, у нас очень похожее положение дел. Если отношение r должно обладать ожидаемыми свойствами, должно быть достаточно объектов любого рода, который подсчитывается, чтобы гарантировать, что пустой класс внезапно не навяжет себя. Но это может быть гарантировано для любого заданного отношения r без аксиомы бесконечности, просто путем продвижения вверх по иерархии на достаточное расстояние. Если мы не можем преуспеть путем счета индивидов, мы можем попробовать считать классы индивидов; если мы все еще не преуспеваем, мы можем попробовать классы классов и так далее. В конечном счете, как бы мало индивидов ни было в мире, мы достигнем стадии, где будет гораздо больше, чем n объектов, каким бы ни было индуктивное число n. Даже если бы индивидов вообще не было, это все равно было бы верно, ибо тогда был бы один класс, а именно пустой класс, 2 класса классов (а именно пустой класс классов и класс, единственным членом которого является пустой класс индивидов), 4 класса классов классов, 16 на следующей стадии, 65 536 на следующей и так далее. Таким образом, никакого такого допущения, как аксиома бесконечности, не требуется для достижения любого заданного отношения или любого заданного индуктивного кардинального числа.

Именно тогда, когда мы хотим иметь дело со всем классом или рядом индуктивных кардинальных чисел или отношений, требуется эта аксиома. Нам нужен весь класс индуктивных кардинальных чисел, чтобы установить существование 0, и весь ряд, чтобы установить существование прогрессий: для этих результатов необходимо, чтобы мы могли образовать единый класс или ряд, в котором ни одно индуктивное кардинальное число не является нулевым. Нам нужен весь ряд отношений в порядке возрастания величины, чтобы определить вещественные числа как сегменты: это определение не даст желаемого результата, если ряд отношений не является компактным, что невозможно, если общее число отношений на рассматриваемом этапе конечно.

Естественно было бы предположить — как я сам предполагал в прежние времена, — что с помощью конструкций, подобных тем, что мы рассматривали, аксиому бесконечности можно доказать. Можно сказать: допустим, что число индивидов равно n, где n может быть равно 0, не нарушая нашего аргумента; тогда, если мы сформируем полное множество индивидов, классов, классов классов и т. д., взятых вместе, число членов во всем нашем множестве будет 2^n, что больше n. Таким образом, беря все виды объектов вместе и не ограничиваясь объектами какого-либо одного типа, мы, безусловно, получим бесконечный класс и, следовательно, не будем нуждаться в аксиоме бесконечности. Так можно было бы сказать.

Теперь, прежде чем вдаваться в этот аргумент, первое, что следует заметить, — это то, что от него веет фокусничеством: что-то напоминает фокусника, который достает вещи из шляпы. Человек, одолживший свою шляпу, совершенно уверен, что в ней не было живого кролика до этого, но он в недоумении, как кролик туда попал. Так и читатель, если он обладает здравым чувством реальности, будет убежден, что невозможно создать бесконечную совокупность из конечной совокупности индивидов, хотя он, возможно, не сможет сказать, в чем заключается изъян в приведенной выше конструкции. Было бы ошибкой придавать слишком большое значение таким ощущениям фокусничества; как и другие эмоции, они легко могут сбить нас с пути. Но они дают prima facie основание для очень тщательного изучения любого аргумента, который их вызывает. И когда приведенный выше аргумент подвергается тщательной проверке, он, на мой взгляд, оказывается ошибочным, хотя эта ошибка является тонкой и отнюдь не легкой для последовательного избегания.

Ошибка, о которой идет речь, — это ошибка, которую можно назвать «смешением типов». Чтобы полностью объяснить предмет «типов», потребовался бы целый том; более того, цель этой книги — избегать тех частей предмета, которые все еще остаются неясными и спорными, выделяя для удобства начинающих те части, которые могут быть приняты как воплощающие математически установленные истины. Теория типов решительно не относится к завершенной и достоверной части нашего предмета: многое в этой теории все еще остается зачаточным, запутанным и неясным. Но необходимость в некоторой доктрине типов менее сомнительна, чем точная форма, которую эта доктрина должна принять; и в связи с аксиомой бесконечности особенно легко увидеть необходимость в какой-либо подобной доктрине.

Эта необходимость вытекает, например, из «противоречия наибольшего кардинального числа». Мы видели в главе VIII, что число классов, содержащихся в данном классе, всегда больше числа членов этого класса, и мы сделали вывод, что не существует наибольшего кардинального числа. Но если бы мы могли, как мы предложили мгновение назад, сложить в один класс индивидов, классы индивидов, классы классов индивидов и т. д., мы получили бы класс, членами которого были бы его собственные подклассы. Класс, состоящий из всех объектов, которые можно сосчитать, любого рода, должен, если такой класс существует, иметь кардинальное число, которое является максимально возможным. Поскольку все его подклассы будут его членами, их не может быть больше, чем членов. Следовательно, мы приходим к противоречию.

Когда я впервые столкнулся с этим противоречием в 1901 году, я попытался обнаружить какой-либо изъян в доказательстве Кантора о том, что не существует наибольшего кардинального числа, которое мы привели в главе VIII. Применяя это доказательство к предполагаемому классу всех мыслимых объектов, я пришел к новому и более простому противоречию, а именно к следующему:

Всеобъемлющий класс, который мы рассматриваем и который должен охватывать все, должен охватывать самого себя как одного из своих членов. Другими словами, если существует такая вещь, как «все», то «все» — это нечто, и оно является членом класса «все». Но обычно класс не является членом самого себя. Человечество, например, не является человеком. Сформируем теперь совокупность всех классов, которые не являются членами самих себя. Это класс: является ли он членом самого себя или нет? Если является, то он один из тех классов, которые не являются членами самих себя, т. е. он не является членом самого себя. Если не является, то он не один из тех классов, которые не являются членами самих себя, т. е. он является членом самого себя. Таким образом, из двух гипотез — что он является и что он не является членом самого себя — каждая влечет свою противоположность. Это противоречие.

Нет никакой сложности в создании подобных противоречий ad lib. Решение таких противоречий с помощью теории типов подробно изложено в Principia Mathematica [27], а также, более кратко, в статьях автора в American Journal of Mathematics [28] и в Revue de Metaphysique et de Morale [29]. На данный момент достаточно будет краткого изложения решения.

[27] Том I, Введение, гл. II, * 12 и * 20; том II, Предисловие.

[28] «Математическая логика, основанная на теории типов», том XXX, 1908 г., стр. 222-262.

[29] «Парадоксы логики», 1906 г., стр. 627-650.

Ошибка заключается в формировании того, что мы можем назвать «нечистыми» классами, т. е. классов, которые не являются чистыми по «типу». Как мы увидим в следующей главе, классы — это логические фикции, и утверждение, которое, по-видимому, относится к классу, будет значимым только в том случае, если его можно перевести в форму, в которой не упоминается класс. Это накладывает ограничение на способы, которыми то, что номинально, хотя и не реально, является именами классов, может значимо встречаться: предложение или набор символов, в которых такие псевдоимена встречаются неправильным образом, не является ложным, а строго лишено смысла. Предположение о том, что класс является или не является членом самого себя, бессмысленно именно таким образом. И, более общо, предполагать, что один класс индивидов является членом или не является членом другого класса индивидов, — значит предполагать бессмыслицу; а символически конструировать любой класс, члены которого не все одного уровня в логической иерархии, — значит использовать символы таким образом, что они перестают что-либо символизировать.

Таким образом, если в мире есть n индивидов и 2^n классов индивидов, мы не можем сформировать новый класс, состоящий как из индивидов, так и из классов и имеющий n + 2^n членов. Таким образом, попытка избежать необходимости в аксиоме бесконечности терпит неудачу. Я не претендую на то, что объяснил доктрину типов или сделал больше, чем указал в общих чертах, почему существует необходимость в такой доктрине. Я стремился лишь сказать ровно столько, сколько требовалось, чтобы показать, что мы не можем доказать существование бесконечных чисел и классов с помощью таких фокуснических методов, которые мы рассматривали. Однако остаются некоторые другие возможные методы, которые необходимо рассмотреть.

Различные аргументы, претендующие на доказательство существования бесконечных классов, приведены в «Принципах математики», § 339 (стр. 357). Поскольку эти аргументы предполагают, что если n — индуктивное кардинальное число, то n + 1 не равно n, они уже были рассмотрены. Существует аргумент, предложенный отрывком из «Парменида» Платона, о том, что если существует такое число, как 1, то 1 обладает бытием; но 1 не тождественно бытию, и поэтому 1 и бытие — это два, и поэтому существует такое число, как 2, а 2 вместе с 1 и бытием дает класс из трех членов, и так далее. Этот аргумент ошибочен отчасти потому, что «бытие» не является термином, имеющим какое-либо определенное значение, и еще больше потому, что, если бы для него было изобретено определенное значение, оказалось бы, что числа не обладают бытием — они, по сути, являются тем, что называется «логическими фикциями», как мы увидим, когда перейдем к рассмотрению определения классов.

Аргумент о том, что число чисел от 0 до n (включительно) равно n + 1, зависит от предположения, что вплоть до n включительно ни одно число не равно своему преемнику, что, как мы видели, не всегда будет истинным, если аксиома бесконечности ложна. Следует понимать, что уравнение n + 1 = n, которое могло бы быть истинным для конечного n, если бы n превышало общее число индивидов в мире, совершенно отличается от того же уравнения, применяемого к рефлексивному числу. Применительно к рефлексивному числу это означает, что, имея класс из n членов, этот класс «подобен» тому, который получен путем добавления еще одного члена. Но применительно к числу, которое слишком велико для реального мира, это означает лишь то, что не существует класса из n индивидов и не существует класса из n + 1 индивидов; это не означает, что, если мы поднимемся по иерархии типов достаточно высоко, чтобы обеспечить существование класса из n членов, мы затем обнаружим, что этот класс «подобен» классу из n + 1 членов, ибо если n индуктивно, то это не будет так, совершенно независимо от истинности или ложности аксиомы бесконечности.

Существует аргумент, используемый как Больцано [30], так и Дедекиндом [31] для доказательства существования рефлексивных классов. Аргумент, вкратце, таков: объект не тождественен идее объекта, но существует (по крайней мере в сфере бытия) идея любого объекта. Отношение объекта к идее о нем является взаимно однозначным, и идеи — это лишь некоторые среди объектов. Следовательно, отношение «идея о» представляет собой отображение всего класса объектов в часть самого себя, а именно в ту часть, которая состоит из идей. Соответственно, класс объектов и класс идей оба бесконечны. Этот аргумент интересен не только сам по себе, но и потому, что ошибки в нем (или то, что я считаю ошибками) относятся к тому роду, который поучительно отметить. Основная ошибка заключается в предположении, что существует идея каждого объекта. Конечно, чрезвычайно трудно решить, что подразумевается под «идеей»; но предположим, что мы знаем. Тогда мы должны предположить, что, начиная (скажем) с Сократа, существует идея Сократа и так далее ad inf. Теперь ясно, что это не так в том смысле, что все эти идеи имеют реальное эмпирическое существование в умах людей. После третьей или четвертой стадии они становятся мифическими. Если аргумент должен быть поддержан, то подразумеваемые «идеи» должны быть платоновскими идеями, хранящимися на небесах, ибо, конечно, их нет на земле. Но тогда сразу становится сомнительным, существуют ли такие идеи. Если мы должны знать, что они существуют, это должно быть на основе какой-то логической теории, доказывающей, что для вещи необходимо наличие идеи о ней. Мы, безусловно, не можем получить этот результат эмпирически или применить его, как это делает Дедекинд, к «meine Gedankenwelt» — миру моих мыслей.

[30] Больцано, Paradoxien des Unendlichen, 13.

[31] Дедекинд, Was sind und was sollen die Zahlen? № 66.

Если бы мы были озабочены полным исследованием отношения идеи и объекта, нам пришлось бы заняться рядом психологических и логических изысканий, которые не имеют отношения к нашей основной цели. Но следует отметить еще несколько моментов. Если «идея» должна пониматься логически, она может быть тождественна объекту или может означать описание (в смысле, который будет объяснен в последующей главе). В первом случае аргумент терпит неудачу, поскольку для доказательства рефлексивности было существенно, чтобы объект и идея были различными. Во втором случае аргумент также терпит неудачу, поскольку отношение объекта и описания не является взаимно однозначным: существует бесчисленное множество правильных описаний любого данного объекта. Сократ (например) может быть описан как «учитель Платона», или как «философ, выпивший цикуту», или как «муж Ксантиппы». Если — чтобы принять оставшуюся гипотезу — «идея» должна интерпретироваться психологически, необходимо утверждать, что не существует никакой одной определенной психологической сущности, которую можно было бы назвать идеей объекта: существуют бесчисленные убеждения и установки, каждую из которых можно было бы назвать идеей объекта в том смысле, в котором мы могли бы сказать «моя идея о Сократе сильно отличается от вашей», но нет никакой центральной сущности (кроме самого Сократа), чтобы связать вместе различные «идеи о Сократе», и, таким образом, нет никакого такого взаимно однозначного отношения идеи и объекта, как предполагает аргумент. И, конечно, как мы уже отмечали, психологически неверно, что существуют идеи (в каком бы широком смысле ни понимать) более чем крошечной доли вещей в мире. По всем этим причинам приведенный выше аргумент в пользу логического существования рефлексивных классов должен быть отвергнут.

Можно было бы подумать, что, что бы ни говорили о логических аргументах, эмпирических аргументов, выводимых из пространства и времени, разнообразия цветов и т. д., вполне достаточно, чтобы доказать фактическое существование бесконечного числа партикулярий. Я в это не верю. У нас нет никаких причин, кроме предрассудков, верить в бесконечную протяженность пространства и времени, по крайней мере в том смысле, в котором пространство и время являются физическими фактами, а не математическими фикциями. Мы естественно рассматриваем пространство и время как непрерывные или, по крайней мере, как компактные; но это опять-таки в основном предрассудок. Теория «квантов» в физике, истинна она или ложна, иллюстрирует тот факт, что физика никогда не может дать доказательства непрерывности, хотя вполне могла бы дать опровержение. Органы чувств недостаточно точны, чтобы различать непрерывное движение и быструю дискретную последовательность, как может обнаружить любой в кинотеатре. Мир, в котором все движение состояло бы из серии маленьких конечных рывков, был бы эмпирически неотличим от того, в котором движение было бы непрерывным. Потребовалось бы слишком много места, чтобы адекватно защитить эти тезисы; на данный момент я лишь предлагаю их на рассмотрение читателя. Если они верны, то из этого следует, что нет эмпирической причины верить в то, что число партикулярий в мире бесконечно, и что ее никогда не может быть; также то, что в настоящее время нет эмпирической причины верить в то, что число конечно, хотя теоретически мыслимо, что когда-нибудь могут появиться доказательства, указывающие, хотя и не окончательно, в этом направлении.